On the local up to the boundary of domain properties of harmonic functions
For harmonic functions given in a bounded Euclidean domain with smooth boundary, we prove theorems on the local regularity and local a priory estimate up to the boundary in the two-sided Sobolev scale.
Gespeichert in:
| Datum: | 2017 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2017
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/266 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552765183492096 |
|---|---|
| author | Anop, A. V. Murach, A. A. Аноп, A. В. Мурач, О. О. |
| author_facet | Anop, A. V. Murach, A. A. Аноп, A. В. Мурач, О. О. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "A. В. Аноп",
"institution": "Інститут математики НАН України"
},
{
"author": "О. О. Мурач",
"institution": "Інститут математики НАН України"
}
] |
| author_sort | Anop, A. V. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-02-13T13:12:44Z |
| description | For harmonic functions given in a bounded Euclidean domain with smooth boundary, we prove theorems on the local regularity and local a priory estimate up to the boundary in the two-sided Sobolev scale. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:04:38Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2017, т. 14, № 3, 7–20
УДК 517.956.22
А. В. Аноп, О. О. Мурач
Iнститут математики НАН України, Київ;
ahlv@ukr.net, murach@imath.kiev.ua
Про локальнi аж до межi областi
властивостi гармонiчних функцiй
For harmonic functions given in a bounded Euclidean domain with
smooth boundary, we prove theorems on the local regularity and local
a priory estimate up to the boundary in the two-sided Sobolev scale.
Для гармонiчних функцiй, заданих у евклiдовiй обмеженiй обла-
стi з гладкою межею, доведено теореми про локальну регуляр-
нiсть i локальну апрiорну оцiнку аж до межi областi у двобiчнiй
соболєвськiй шкалi.
1. Вступ
У цiй роботi дослiджуються локальнi властивостi гармонiчних
функцiй аж до гладкої межi Γ багатовимiрної областi Ω, де їх
задано. Як добре вiдомо, властивостi гармонiчних функцiй пов-
нiстю визначаються їх поведiнкою на межi областi. Зокрема,
оператор, який кожнiй гармонiчнiй функцiї з гiльбертового со-
болєвського простору Hs(Ω) ставить у вiдповiднiсть її слiд на
Γ, встановлює iзоморфiзм мiж пiдпростором усiх цих функцiй i
гiльбертовим соболєвським простором Hs−1/2(Γ) для довiльного
c© А. В. Аноп, О. О. Мурач, 2017
8 А. В. Аноп, О. О. Мурач
дiйсного s ∈ R (див. [1, розд. 2, п. 7.3] i [2, п. 3.3.1]). Звiдси негай-
но випливають твердження про те, що пiдвищення регулярностi
на всiй межi Γ у соболєвськiй шкалi слiду гармонiчної функцiї
тягне за собою вiдповiдне пiдвищення гладкостi самої функцiї,
а також апрiорна оцiнка норми гармонiчної функцiї у просторi
Hs(Ω) через норму її слiду у просторi Hs−1/2(Γ).
Мета цiєї роботи — довести новi версiї цих теорем у випадку,
коли гладкiсть слiду задається лише на частинi межi областi.
Якщо s > 1/2, то цi версiї є окремим випадком вiдомих тео-
рем [3 – 5] про вiдповiднi властивостi розв’язкiв u ∈ Hs(Ω) задачi
Дiрiхле для рiвняння Пуассона. У випадку s ≤ 1/2 таких теорем
нема.
До того ж, теореми про локальнi властивостi (аж до межi
областi) гармонiчних функцiй не можна вивести з їх вiдповiдних
глобальних властивостей за допомогою стандартного прийому
множення розв’язку на зрiзаючу нескiнченно гладку функцiю,
бо добуток гармонiчної i зрiзаючої функцiї не є, узагалi кажучи,
гармонiчною функцiєю. Зважаючи на це, у роботi запропоновано
новий пiдхiд, який спирається на теореми Я. А Ройтберга [6, пп.
4.4, 7.2] про розв’язнiсть елiптичних крайових задач i локальне
пiдвищення регулярностi їх розв’язкiв у двобiчнiй шкалi гiльбер-
тових просторiв Соболєва –Ройтберга.
2. Основнi результати
Нехай Ω — довiльна обмежена область у евклiдовому просторi
Rn, де n ≥ 2, а її межа Γ := ∂Ω є нескiнченно гладким замкне-
ним многовидом вимiрностi n − 1. (Як звичайно вважаємо, що
нескiнченно гладка структура на Γ породжена простором Rn.)
В областi Ω розглядаємо крайову задачу Дiрiхле для рiвняння
Лапласа:
∆u = 0 в Ω, (1)
u = g на Γ. (2)
Про локальнi властивостi ... гармонiчнх функцiй 9
Дослiдимо властивостi розв’язкiв цiєї задачi у двобiчнiй шкалi
гiльбертових просторiв Соболєва. У роботi всi функцiї та розпо-
дiли вважаємо комплекснозначними i тому функцiональнi про-
стори, що розглядаються, є комплексними.
Нагадаємо означення потрiбних нам просторiв Соболєва. Не-
хай s ∈ R. Позначимо через Hs(Rn), де цiле n ≥ 1, гiльбертiв
простiр Соболєва порядку s. За означенням, вiн складається з
усiх розподiлiв w ∈ S ′(Rn) таких, що їх перетворення Фур’є ŵ є
функцiєю, яка локально iнтегровна на Rn за Лебегом i задоволь-
няє умову ∫
Rn
(1 + |ξ|)2s|ŵ(ξ)|2dξ <∞.
Тут, як звичайно, S ′(Rn) — лiнiйний топологiчний простiр усiх
повiльно зростаючих розподiлiв на Rn. Простiр Hs(Rn) є гiль-
бертовим вiдносно норми
‖w‖s,Rn :=
( ∫
Rn
(1 + |ξ|)2s|ŵ(ξ)|2dξ
)1/2
.
За означенням, лiнiйний простiр Hs(Ω) складається зi звужень
в область Ω всiх розподiлiв w ∈ Hs(Rn). Цей простiр гiльбертiв
вiдносно норми
‖v‖s,Ω := inf
{
‖w‖s,Rn : w ∈ Hs(Rn), w = v в Ω
}
,
де v ∈ Hs(Ω).
Коротко кажучи, лiнiйний простiр Hs(Γ) утворено усiма роз-
подiлами на Γ, якi в локальних картах на Γ дають розподiли з
простору Hs(Rn−1). Сформулюємо детальнiше означення собо-
лєвського простору Hs(Γ). Довiльним чином виберемо скiнчен-
ний атлас iз C∞-структури на многовидi Γ, утворений локаль-
ними картами αj : Rn−1 ↔ Uj , де j = 1, . . . ,κ. Тут {U1, . . . , Uκ}
є вiдкрите покриття многовиду Γ. Окрiм того, виберемо фун-
кцiї χj ∈ C∞(Γ), де j = 1, . . . ,κ, якi утворюють розбиття оди-
10 А. В. Аноп, О. О. Мурач
ницi на Γ, що задовольняє умову suppχj ⊂ Uj . Лiнiйний про-
стiр Hs(Γ) складається з усiх розподiлiв g ∈ D′(Γ) таких, що
(χjg) ◦ αj ∈ Hs(Rn−1) для кожного номера j ∈ {1, . . . ,κ}. Тут,
як звичайно, D′(Γ) — лiнiйний топологiчний простiр усiх розподi-
лiв на Γ, а (χjg) ◦αj — представлення розподiлу χjg у локальнiй
картi αj . Простiр Hs(Γ) гiльбертiв вiдносно норми
‖g‖s,Γ :=
( κ∑
j=1
‖(χjg) ◦ αj‖2s,Rn−1
)1/2
.
Вiн з точнiстю до еквiвалентностi норм не залежить вiд вибору
атласу i розбиття одиницi на Γ.
Пов’яжемо з рiвнянням Лапласа лiнiйний многовид
Hs(Ω; ∆) :=
{
u ∈ Hs(Ω) : ∆u = 0 в Ω
}
,
який надiлимо нормою з простору Hs(Ω). Тут i надалi вираз ∆u
розумiємо у сенсi теорiї розподiлiв в Ω. Цей многовид є повним
вiдносно вказаної норми; у ньому щiльна множина
C∞(Ω; ∆) :=
{
u ∈ C∞(Ω) : ∆u = 0 в Ω
}
(див. [2, п. 3.3.1]). Як вiдомо [1, розд. 2, теорема 3.2], Hs(Ω; ∆) ⊂
C∞(Ω); отже, простiр Hs(Ω; ∆) складається з гармонiчних фун-
кцiй. Втiм елементи цього простору можуть мати рiзнi неiнте-
гровнi особливостi на межi Γ, якщо s < 0.
Пов’яжемо з елiптичною крайовою задачею (1), (2) лiнiйне
вiдображення
u 7→ u�Γ, де u ∈ C∞(Ω; ∆). (3)
Воно продовжується єдиним чином (за неперервнiстю) до iзо-
морфiзму
R∆ : Hs(Ω; ∆)↔ Hs−1/2(Γ) для кожного s ∈ R. (4)
Про локальнi властивостi ... гармонiчнх функцiй 11
Це безпосередньо випливає з результату Ж.-Л. Лiонса i Е. Ма-
дженеса [1, розд. 2, п. 7.3], якщо s /∈ {1/2− k : 1 ≤ k ∈ Z}. (Для
напiвцiлих s < 0 соболєвськi простори в областi Ω, використанi
в [1], вiдрiзняються вiд Hs(Ω).) Для довiльного s ∈ R iзоморфiзм
(4) є окремим випадком теореми 3.11 з [2] (див також [9]).
Спираючись на iзоморфiзм (4), дамо поняття узагальненого
розв’язку задачi (1), (2). Позначимо через S ′(Ω) лiнiйний простiр
звужень в Ω усiх розподiлiв w ∈ S ′(Rn). Зауважимо, що
S ′(Ω) =
⋃
s∈R
Hs(Ω) i D′(Γ) =
⋃
s∈R
Hs(Γ).
Розподiл u ∈ S ′(Ω) називаємо узагальненим розв’язком крайової
задачi (1), (2), де g ∈ D′(Γ), якщо ∆u = 0 в Ω (тодi u ∈ Hs(Ω; ∆)
для деякого s ∈ R) i R∆u = g на Γ, де R∆ — оператор (4). Це
означення коректне, бо не залежить вiд s.
З iзоморфiзму (4) негайно випливає такий результат: припу-
стимо, що розподiл u ∈ S ′(Ω) є узагальненим розв’язком кра-
йової задачi (1), (2), де g ∈ Hs−1/2(Γ) для деякого s ∈ R; тодi
u ∈ Hs(Ω). Сформулюємо версiю цього результату про умову ре-
гулярностi розв’язку u в областi Ω аж до деякого куска її межi.
Нехай Γ0 — довiльна вiдкрита непорожня пiдмножина много-
виду Γ. Позначимо через Hs
loc(Ω,Γ0), де s ∈ R, лiнiйний простiр
усiх розподiлiв u ∈ S ′(Ω) таких, що χu ∈ Hs(Ω) для довiльної
функцiї χ ∈ C∞(Ω), яка задовольняє умову suppχ ⊂ Ω ∪ Γ0.
Аналогiчно, позначимо через Hσ
loc(Γ0), де σ ∈ R, лiнiйний про-
стiр усiх розподiлiв g ∈ D′(Γ) таких, що χg ∈ Hσ(Γ) для довiльної
функцiї χ ∈ C∞(Γ), яка задовольняє умову suppχ ⊂ Γ0.
Теорема 1. Нехай u ∈ S ′(Ω) є узагальненим розв’язком кра-
йової задачi (1), (2), де g ∈ Hs−1/2
loc (Γ0) для деякого s ∈ R. Тодi
u ∈ Hs
loc(Ω,Γ0).
Окрiм того, прямим наслiдком iзоморфiзму (4) є така апрiор-
на оцiнка узагальненого розв’язку u дослiджуваної задачi: нехай
12 А. В. Аноп, О. О. Мурач
довiльно вибрано число s ∈ R; тодi iснує число c = c(s) > 0 таке,
що
‖u‖s,Ω ≤ c ‖g‖s−1/2,Γ для кожного u ∈ Hs(Ω; ∆);
тут g := R∆u. Сформулюємо локальну версiю цiєї оцiнки.
Теорема 2. Нехай довiльно вибрано числа s ∈ R i σ > 0, а
також функцiї χ, η ∈ C∞(Ω), якi задовольняють умову η = 1 в
околi suppχ. Тодi iснує число c = c(s, σ, χ, η) > 0 таке, що для
довiльного u ∈ Hs(Ω; ∆) виконується оцiнка
‖χu‖s,Ω ≤ c
(
‖η1g‖s−1/2,Γ + ‖ηu‖s−σ,Ω
)
, (5)
де g := R∆u i η1 := η �Γ.
Якщо s > 1/2, то теореми 1 i 2 є окремими випадками їх
аналогiв для рiвняння Пуассона. Цi аналоги виводяться за допо-
могою стандартних мiркувань з того факту, що вiдображення
u 7→ (∆u, u�Γ), де u ∈ C∞(Ω), (6)
продовжується єдиним чином (за неперервнiстю) до iзоморфiзму
(∆, R) : Hs(Ω)↔ Hs−2(Ω)⊕Hs−1/2(Γ) (7)
для кожного s > 1/2. В основi цих мiркувань лежить прийом
множення розв’язку на зрiзаючу нескiнченно гладку функцiю
(див., наприклад, [6, п. 7.2]). Якщо s ≤ 1/2, то цей прийом не
можна застосувати, спираючись на iзоморфiзм (4), оскiльки до-
буток гармонiчної i зрiзаючої функцiї не є гармонiчною функцi-
єю, узагалi кажучи. Окрiм того, у випадку s ≤ 1/2 не можна
скористатися крайовою задачею Дiрiхле для рiвняння Пуассона,
оскiльки вiдображення (6) не можна продовжити до лiнiйного
неперервного оператора у парi просторiв, що фiгурують в (7).
Про локальнi властивостi ... гармонiчнх функцiй 13
3. Доведення основних результатiв
Доведення теореми 1. Воно, як i доведення теореми 2, спи-
рається на властивостi задачi Дiрiхле для рiвняння Пуассона
у двобiчнiй шкалi гiльбертових просторiв Соболєва –Ройтберга
Hs,(2)(Ω), де s ∈ R. Останнi (у бiльш загальнiй ситуацiї) вве-
дено Я. А. Ройтбергом [7, 8] на основi соболєвських просторiв
(див. також його монографiю [6, п. 2.1]). За означенням, простiр
Hs,(2)(Ω), де s /∈ {1/2, 3/2}, є поповненням лiнiйного многовиду
C∞(Ω) за гiльбертовою нормою
‖u‖s,(2) :=
(
‖u‖2s,(0) + ‖u�Γ‖2s−1/2,Γ + ‖(∂νu)�Γ‖2s−3/2,Γ
)1/2
.
Тут ∂ν — оператор похiдної за ортом ν внутрiшньої нормалi до
межi Γ областi Ω, а ‖ · ‖s,(0) — норма у гiльбертовому просторi
Hs,(0)(Ω), який означається у такий спосiб для довiльного s ∈ R:
якщо s ≥ 0, то Hs,(0)(Ω) := Hs(Ω), а якщо s < 0, то Hs,(0)(Ω) —
поповнення C∞(Ω) за гiльбертовою нормою
‖u‖s,(0) := sup
{
|(u, v)Ω| : v ∈ H−s(Ω), ‖v‖−s,Ω = 1
}
.
Тут (·, ·)Ω — скалярний добуток у гiльбертовому просторi L2(Ω)
усiх функцiй, квадратично iнтегровних на Ω. У випадку, коли
s ∈ {1/2, 3/2}, простiр Hs,(2)(Ω) означається шляхом iнтерполя-
цiї з параметром 1/2 пари гiльбертових просторiв Hs±ε,(2)(Ω), де
0 < ε < 1.
Зауважимо [6, п. 2.1], що при s > k − 1/2, де фiксоване
k ∈ {0, 2}, простори Hs,(k)(Ω) i Hs(Ω) рiвнi як поповнення лiнiй-
ного многовиду C∞(Ω) за еквiвалентними нормами. Окрiм того,
виконується неперервне вкладення Hs,(k)(Ω) ↪→ Hσ,(k)(Ω), якщо
σ < s.
Згiдно з [6, теорема 4.1.1] вiдображення (6) продовжується
єдиним чином (за неперервнiстю) до iзоморфiзму
(∆, R) : Hs,(2)(Ω)↔ Hs−2,(0)(Ω)⊕Hs−1/2(Γ) (8)
14 А. В. Аноп, О. О. Мурач
для кожного s ∈ R. Iз сказаного вище випливає, що цей iзомор-
фiзм збiгається з (7) у випадку s > 3/2.
Покладемо
Hs,(2)(Ω; ∆) :=
{
u ∈ Hs,(2)(Ω) : ∆u = 0
}
;
тут ∆u як елемент простору Hs−2,(0)(Ω) розумiємо за допомогою
оператора (8). Надiлимо лiнiйний простiр Hs,(2)(Ω; ∆) нормою з
простору Hs,(2)(Ω). Звуження iзоморфiзму (8) на предгiльбертiв
простiр Hs,(2)(Ω; ∆) є iзоморфiзмом
R∆ : Hs,(2)(Ω; ∆)↔ Hs−1/2(Γ) (9)
для кожного s ∈ R. Звiдси випливає повнота цього простору.
Окрiм того, у ньому щiльна множина C∞(Ω; ∆), оскiльки мно-
жина C∞(Γ) щiльна у просторi Hs−1/2(Γ). Отже, iзоморфiзм (9),
як i iзоморфiзм (4), є продовженням за неперервнiстю вiдображе-
ння (3). Оскiльки вони мають спiльну область значень, то про-
стори Hs,(2)(Ω; ∆) i Hs(Ω; ∆) рiвнi як поповнення C∞(Ω; ∆) за
еквiвалентними нормами, й самi iзоморфiзми (9) i (4) також рiв-
нi як оператори.
Виберемо довiльну функцiю χ ∈ C∞(Ω) таку, що suppχ ⊂
Ω∪Γ0. Розглянемо функцiю η ∈ C∞(Ω) таку, що supp η ⊂ Ω∪Γ0 i
η = 1 у деякому околi V множини suppχ (звiсно, цей окiл розгля-
дається у топологiї на Ω). За умовою, u ∈ Hσ(Ω; ∆) для деякого
числа σ < s i, крiм того, η1g ∈ Hs−1/2(Γ), де η1 — звуження фун-
кцiї η на Γ. Згiдно з iзоморфiзмом (4) iснує розподiл v ∈ Hs(Ω; ∆)
такий, що R∆v = η1g. Крiм того, за умовою, R∆u = g. Тому
R∆(u−v) = (1−η1)g, де u−v ∈ Hσ(Ω; ∆). Як було показано вище
у цьому доведеннi, просториHσ(Ω; ∆) iHσ,(2)(Ω; ∆) рiвнi з точнi-
стю до еквiвалентностi норм. Тому елемент u−v ∈ Hσ,(2)(Ω). Вiн
задовольняє рiвняння (∆, R)(u − v) = (0, (1 − η1)g), де (∆, R) —
iзоморфiзм (8), у якому замiсть s узято σ. Оскiльки 1−η1 = 0 на
V ∩ Γ i suppχ ⊂ V , то за теоремою Ройтберга [6, теорема 7.2.1]
(про локальне пiдвищення регулярностi узагальнених розв’язкiв
Про локальнi властивостi ... гармонiчнх функцiй 15
елiптичних крайових задач) виконується включення
w := χ(u− v) ∈
⋂
λ≥2
Hλ,(2)(Ω) =
⋂
λ≥2
Hλ(Ω) = C∞(Ω).
Тому
χu = χv + w ∈ Hs(Ω),
бо v ∈ Hs(Ω). З огляду на довiльнiсть нашого вибору функцiї χ,
доведено потрiбне включення u ∈ Hs
loc(Ω,Γ0).
Теорему 1 доведено.
Доведення теореми 2. Спочатку доведемо потрiбну оцiнку (5)
для довiльної функцiї u ∈ C∞(Ω; ∆) у випадку σ = 1. З iзомор-
фiзму (8) негайно випливає, що
‖χu‖s,(2) ≤ c0
(
‖∆(χu)‖s−2,(0) + ‖(χu)�Γ‖s−1/2,Γ
)
, (10)
де c0 — норма оператора, оберненого до (8). З означення нормо-
ваних просторiв Hs,(0)(Ω) i Hs,(2)(Ω) випливають нерiвностi
‖χu‖s,Ω ≤ ‖χu‖s,(0) ≤ c1‖χu‖s,(2). (11)
Тут c1 — деяке додатне число, яке не залежить вiд u i χ.
Пояснимо цi нерiвностi. Якщо s ≥ 0, то перша з них пере-
творюється на рiвнiсть. Якщо s < 0, то оператор v 7→ Ov, де
v ∈ C∞(Ω), а
(Ov)(x) :=
{
v(x), якщо x ∈ Ω,
0, якщо x ∈ Rn \ Ω,
продовжується єдиним чином до iзометричного iзоморфiзму
O : Hs,(0)(Ω)↔ Hs
Ω
(Rn)
(див. [6, с. 52]). Тут
Hs
Ω
(Rn) :=
{
w ∈ Hs(Rn) : suppw ⊆ Ω
}
16 А. В. Аноп, О. О. Мурач
є пiдпростором простору Hs(Rn). Тому у випадку s < 0 викону-
ються спiввiдношення
‖χu‖s,Ω ≤ ‖O(χu)‖s,Rn = ‖χu‖s,(0).
Першу нерiвнiсть у формулi (11) обґрунтовано.
Друга нерiвнiсть, де c1 = 1, є прямим наслiдком означення
норми у просторi Hs,(2)(Ω) у випадку, коли s /∈ {1/2, 3/2}. У ви-
падку s ∈ {1/2, 3/2} вона виводиться за допомогою iнтерполяцiї
пар просторiв. А саме, як щойно зазначалося, тотожне вiдобра-
ження на лiнiйному многовидi C∞(Ω) продовжується за непе-
рервнiстю до лiнiйних обмежених операторiв
T : Hs±1/2,(2)(Ω)→ Hs±1/2,(0)(Ω). (12)
Застосувавши до них iнтерполяцiю з параметром 1/2, отримаємо
обмежений оператор
T :
[
Hs+1/2,(2)(Ω), Hs−1/2,(2)(Ω)
]
1/2
→
→
[
Hs+1/2,(0)(Ω), Hs−1/2,(0)(Ω)
]
1/2
;
(13)
вiн є звуженням оператора (12), для якого вибрано знак мiнус.
Тут враз [H1, H0]1/2 позначає гiльбертiв простiр, який отримує-
ться iнтерполяцiю з параметром 1/2 пари гiльбертових просторiв
H1 i H0 таких, що виконується неперервне i щiльне вкладення
H1 ↪→ H0 (див., наприклад, [1, розд. 1, п. 2.1]). За означенням,
Hs,(2)(Ω) :=
[
Hs+1/2,(2)(Ω), Hs−1/2,(2)(Ω)
]
1/2
.
Окрiм того, [
Hs+1/2,(0)(Ω), Hs−1/2,(0)(Ω)
]
1/2
=
=
[
Hs+1/2(Ω), Hs−1/2(Ω)
]
1/2
= Hs(Ω) = Hs,(0)(Ω),
Про локальнi властивостi ... гармонiчнх функцiй 17
причому друга рiвнiсть просторiв виконується з точнiстю до еквi-
валентностi норм у них [1, розд. 1, п. 9.1]. Отже, обмежений опе-
ратор (13) дiє у парi просторiв
T : Hs,(2)(Ω)→ Hs,(0)(Ω).
Звiдси негайно випливає у випадку s ∈ {1/2, 3/2} друга нерiв-
нiсть у формулi (11), де c1 — норма останнього оператора. Отож,
формулу (11) обґрунтовано.
Повернемося до оцiнки (10). Переставивши мiсцями оператор
Лапласа i оператор множення на функцiю χ, запишемо
∆(χu) = ∆(χηu) = χ∆(ηu) + ∆′(ηu) =
= χ∆u+ ∆′(ηu) = ∆′(ηu).
(14)
Тут ∆′ — деякий диференцiальний оператор першого порядку з
коефiцiєнтами класа C∞(Ω). На пiдставi формул (10), (11) i (14)
отримаємо оцiнку
‖χu‖s,Ω ≤ c2
(
‖∆′(ηu)‖s−2,(0) + ‖χ1g‖s−1/2,Γ
)
, (15)
де c2 := max{c0, c0c1} i χ1 := χ �Γ. Згiдно з [6, лема 2.3.1], вико-
нується нерiвнiсть
‖∆′(ηu)‖s−2,(0) ≤ c3
(
‖ηu‖s−1,(0) + ‖(ηu)�Γ‖s−3/2,Γ
)
.
Тут c3 — деяке додатне число, незалежне вiд u. Пiдставивши цю
нерiвнiсть в (15), отримаємо оцiнку
‖χu‖s,Ω ≤ c4
(
‖ηu‖s−1,(0) + ‖η1g‖s−3/2,Γ + ‖χ1g‖s−1/2,Γ
)
,
де c4 := max{c2c3, c2}. Тут
‖χ1g‖s−1/2,Γ = ‖χ1η1g‖s−1/2,Γ ≤ c5‖η1g‖s−1/2,Γ,
де c5 — норма оператора множення на функцiю χ1, обмеженого
на просторi Hs−1/2(Γ). Таким чином,
‖χu‖s,Ω ≤ c6
(
‖η1g‖s−1/2,Γ + ‖ηu‖s−1,(0)
)
; (16)
18 А. В. Аноп, О. О. Мурач
тут число c6 := max{c4, c4(1 + c5)} не залежить вiд u.
Ця нерiвнiсть збiгається з потрiбною оцiнкою (5) у випадку,
коли s ≥ 1 i σ = 1. Якщо s < 1, то
‖ηu‖s−1,(0) 6= ‖ηu‖s−1,Ω.
У цьому випадку мiркуємо так: розглянемо функцiю ζ ∈ C∞(Ω)
таку, що ζ = 1 в околi suppχ i η = 1 у деякому околi V носiя фун-
кцiї ζ. Цей окiл можна вибрати так, щоб вiн був зв’язним, а його
межа була нескiнченно гладким замкненим многовидом вимiр-
ностi n−1. Для областi V означено гiльбертiв простiр Hλ,(k)(V ),
де λ ∈ R i k ∈ {0, 2}. Норму у цьому просторi позначимо через
‖ · ‖λ,(k),V . Оцiнка (16) виконується, якщо у нiй узяти ζ замiсть
η, тобто
‖χu‖s,Ω ≤ c6
(
‖ζ1g‖s−1/2,Γ + ‖ζu‖s−1,(0)
)
, (17)
де ζ1 := ζ �Γ.
Оскiльки s < 1, то
‖ζu‖s−1,(0) = ‖O(ζu)‖s−1,Rn = ‖(ζu)�V ‖s−1,(0),V ≤
≤ c7‖u�V ‖s−1,(0),V ≤ c7‖u�V ‖s−1,(2),V .
Тут c7 — норма оператора множення на функцiю ζ � V , обме-
женого на просторi Hs−1,(0)(V ). Як було показано у доведеннi
теореми 1, норми у просторах Hs,(2)(V ) i Hs(V ) еквiвалентнi на
класi всiх гармонiчних в областi V функцiй v ∈ C∞(Ω). Тому
‖u�V ‖s−1,(2),V ≤ c8‖u�V ‖s−1,V =
= c8‖(ηu)�V ‖s−1,V ≤ c8‖ηu‖s−1,Ω,
де c8 — деяка додатна стала, незалежна вiд u. Отже,
‖ζu‖s−1,(0) ≤ c7c8‖ηu‖s−1,Ω. (18)
Окрiм того,
‖ζ1g‖s−1/2,Γ = ‖ζ1η1g‖s−1/2,Γ ≤ c9‖η1g‖s−1/2,Γ, (19)
Про локальнi властивостi ... гармонiчнх функцiй 19
де c9 — норма оператора множення на функцiю ζ1, обмеженого
на просторi Hs−1/2(Γ). Нерiвностi (17) – (19) негайно тягнуть за
собою потрiбну оцiнку (5) у випадку, коли s < 1 i σ = 1.
Таким чином, цю оцiнку доведено на класi усiх функцiй
u ∈ C∞(Ω; ∆) для довiльного s ∈ R у випадку σ = 1. Для до-
вiльного розподiлу u ∈ Hs(Ω; ∆) вона доводиться у цьому випад-
ку граничним переходом. А саме, нехай послiдовнiсть (uj)
∞
j=1 ⊂
C∞(Ω; ∆) така, що uj → u у просторi Hs(Ω; ∆) при j → ∞. За
доведеним,
‖χuj‖s,Ω ≤ c
(
‖η1gj‖s−1/2,Γ + ‖ηuj‖s−1,Ω
)
(20)
для кожного номера j ≥ 1, де gj := R∆uj . Тут χuj → χu в Hs(Ω).
Окрiм того, gj := R∆uj → R∆u = g у просторi Hs−1/2(Γ) на пiд-
ставi iзоморфiзму (4); звiдси η1gj → η1g у тому ж просторi. До
того ж, оскiльки простiр Hs(Ω) неперервно вкладається у про-
стiр Hs−1(Ω), то uj → u в Hs−1(Ω) i тому ηuj → ηu в Hs−1(Ω).
Отже, перейшовши у нерiвностi до границi, коли j →∞, отрима-
ємо потрiбну оцiнку (5) для довiльного розподiлу u ∈ Hs(Ω; ∆)
у випадку σ = 1.
З цього випадку оцiнка (5) виводиться для довiльного цiлого
σ ≥ 1 за допомогою iндукцiї за номером σ. А саме, припустимо,
що оцiнка (5) правильна для деякого цiлого σ ≥ 1 при довiльно-
му виборi зазначених у теоремi 1 функцiй χ та η. Доведемо цю
оцiнку для наступного номера σ + 1. Нехай функцiя ζ така як i
ранiше у доведеннi. Скориставшись iндуктивним припущенням,
у якому замiсть η беремо ζ, та теоремою 2, доведеною у випадку
σ = 1, отримаємо для довiльного u ∈ Hs(Ω; ∆) такi нерiвностi:
‖χu‖s,Ω ≤ c
(
‖ζ1g‖s−1/2,Γ + ‖ζu‖s−σ,Ω
)
,
‖ζu‖s−σ,Ω ≤ c
(
‖η1g‖s−σ−1/2,Γ + ‖ηu‖s−σ−1,Ω
)
.
Звiдси на пiдставi формули (19) i нерiвностi
‖η1g‖s−σ−1/2,Γ ≤ ‖η1g‖s−1/2,Γ
20 А. В. Аноп, О. О. Мурач
негайно випливає оцiнка (5) для параметра σ + 1, узятого за-
мiсть σ.
Отже, оцiнку (5) доведено для довiльного цiлого σ ≥ 1. Звiдси
вона негайно випливає для довiльного дiйсного σ > 0.
Теорему 2 доведено.
Лiтература
[1] Лионс Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и
их приложения. – М.: Мир, 1971. – 372 с.
[2] Mikhailets V. A., Murach A. A. Hörmander spaces, interpolation, and
elliptic problems. – Berlin/Boston: De Gruyter, 2014. – xii+297 p.
(Видання росiйською доступне як arXiv:1106.3214.)
[3] Березанский Ю. М. Разложение по собственным функциям само-
сопряженных операторов. – К.: Наук. думка, 1965. – 800 с.
[4] Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные
уравнения с частными производными второго порядка. – М.: На-
ука, 1989. – 464 с.
[5] Егоров Ю. В. Линейные дифференциальные уравнения главного
типа. – М.: Наука, 1984. – 360 с.
[6] Roitberg Ya. A. Elliptic boundary value problems in the spaces of di-
stributions. – Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group, 1996. –
xii+415 p.
[7] Ройтберг Я. А. Эллиптические задачи с неоднородными грани-
чными условиями и локальное повышение гладкости вплоть до
границы обобщенных решений // Докл. АН СССР. – 1964. – 157,
№ 4. – С. 798–801.
[8] Ройтберг Я. А. Теорема о гомеоморфизмах, осуществляемых в Lp
эллиптическими операторами, и локальное повышение гладкости
обобщенных решений // Укр. мат. журн. – 1965. – 17, № 5. – С.
122–129.
[9] Михайлец В. А., Мурач А. А. Регулярная эллиптическая грани-
чная задача для однородного уравнения в двусторонней уточнен-
ной шкале пространств // Укр. мат. журн. – 2006. – 58, 11. – С.
1536–1555.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-266 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:04:38Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/e2/18e1d2d731affd5093412215b3e675e2.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-2662018-02-13T13:12:44Z On the local up to the boundary of domain properties of harmonic functions Про локальні аж до межі області властивості гармонічних функцій Anop, A. V. Murach, A. A. Аноп, A. В. Мурач, О. О. For harmonic functions given in a bounded Euclidean domain with smooth boundary, we prove theorems on the local regularity and local a priory estimate up to the boundary in the two-sided Sobolev scale. Для гармонічних функцій, заданих у евклідовій обмеженій області з гладкою межею, доведено теореми про локальну регулярність і локальну апріорну оцінку аж до межі області у двобічній соболєвській шкалі. Інститут математики НАН України 2017-11-28 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/266 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 14 No. 3 (2017): Differential equations and related problems of analysis; 7-20 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 14 № 3 (2017): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 7-20 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 14 № 3 (2017): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 7-20 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/266/292 Авторське право (c) 2017 А. В. Аноп, О. О. Мурач |
| spellingShingle | Anop, A. V. Murach, A. A. Аноп, A. В. Мурач, О. О. On the local up to the boundary of domain properties of harmonic functions |
| title | On the local up to the boundary of domain properties of harmonic functions |
| title_alt | Про локальні аж до межі області властивості гармонічних функцій |
| title_full | On the local up to the boundary of domain properties of harmonic functions |
| title_fullStr | On the local up to the boundary of domain properties of harmonic functions |
| title_full_unstemmed | On the local up to the boundary of domain properties of harmonic functions |
| title_short | On the local up to the boundary of domain properties of harmonic functions |
| title_sort | on the local up to the boundary of domain properties of harmonic functions |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/266 |
| work_keys_str_mv | AT anopav onthelocaluptotheboundaryofdomainpropertiesofharmonicfunctions AT murachaa onthelocaluptotheboundaryofdomainpropertiesofharmonicfunctions AT anopav onthelocaluptotheboundaryofdomainpropertiesofharmonicfunctions AT muračoo onthelocaluptotheboundaryofdomainpropertiesofharmonicfunctions AT anopav prolokalʹníaždomežíoblastívlastivostígarmoníčnihfunkcíj AT murachaa prolokalʹníaždomežíoblastívlastivostígarmoníčnihfunkcíj AT anopav prolokalʹníaždomežíoblastívlastivostígarmoníčnihfunkcíj AT muračoo prolokalʹníaždomežíoblastívlastivostígarmoníčnihfunkcíj |