Nonlocal problem for nonlinear parabolic equations with variable exponents of the nonlinearities
The nonlocal problem for nonlinear parabolic equations with variable exponents of the nonlinearities is considered. The existence and uniqueness theorems are proved.
Gespeichert in:
| Datum: | 2017 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2017
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/268 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552769061126144 |
|---|---|
| author | Buhrii, O. M. Бугрій, О. М. |
| author_facet | Buhrii, O. M. Бугрій, О. М. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "О. М. Бугрій",
"institution": "Львівський національний університет імені Івана Франка"
}
] |
| author_sort | Buhrii, O. M. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-02-13T13:12:44Z |
| description | The nonlocal problem for nonlinear parabolic equations with variable exponents of the nonlinearities is considered. The existence and uniqueness theorems are proved. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:04:41Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2017, т. 14, № 3, 47–75
УДК 517.95
О. М. Бугрiй
Львiвський нацiональний унiверситет iм. I.Франка, Львiв;
ol_buhrii@i.ua
Нелокальна задача для нелiнiйних
параболiчних рiвнянь зi змiнними
показниками нелiнiйностi
The nonlocal problem for nonlinear parabolic equations with vari-
able exponents of the nonlinearities is considered. The existence and
uniqueness theorems are proved.
Для нелiнiйних параболiчних рiвнянь зi змiнними показниками
нелiнiйностi розглянуто нелокальну задачу. Знайдено достатнi
умови iснування та єдиностi її розв’язку.
1. Вступ
Нехай n ∈ N, T > 0, Ω ⊂ Rn – обмежена область класу C0,1 (див.
[1, c. 48]) з межею ∂Ω, Qt1,t2 = Ω × (t1, t2), Σt1,t2 = ∂Ω × (t1, t2),
0 ≤ t1 < t2 ≤ T , Ωτ = {(x, t) | x ∈ Ω, t = τ}, τ ∈ [0, T ].
Розглянемо в цилiндрi Q0,T таку задачу:
ut −
n∑
i=1
(
ai(x, t)|uxi |p(x)−2uxi
)
xi
+ c(x, t)u+
+ g(x, t)|u|q(x)−2u = f(x, t), (x, t) ∈ Q0,T , (1)
c© О. М. Бугрiй, 2017
48 О. М. Бугрiй
u|Σ0,T
= 0, (2)
u(x, 0) =
T∫
0
<(t)u(x, t) dt+ h(x), x ∈ Ω, (3)
де a1, . . . , an, c, g, p, q, f,<, h – деякi функцiї, зокрема, p, q – (змiн-
нi) показники нелiнiйностi рiвняння.
Задачi для рiвнянь типу (1) мають велике прикладне значе-
ння. Вони описують, зокрема, процеси поширення тепла в силь-
но неоднорiдному середовищi. Огляд результатiв, що стосуються
мiшаних задач з класичною початковою умовою
u|t=0 = u0(x), x ∈ Ω, (4)
замiсть нелокальної умови (3) для рiвнянь зi змiнними показни-
ками нелiнiйностi можна знайти в [2 – 5].
Нелокальнi задачi для рiзноманiтних рiвнянь з частинними
похiдними розглянуто в [6 – 10]. Задачi з нелокальними за часо-
вою змiнною умовами виникають при моделюваннi рiзних про-
цесiв, коли неможливо визначити початковий стан динамiчної
системи, але вiдома залежнiсть цього стану вiд майбутнiх зна-
чень невiдомої функцiї. Такi задачi є узагальненням задач з пе-
рiодичними за t умовами. Нелокальнi за часовою змiнною умови
виникають, наприклад, при прогнозуваннi погоди [11], в зада-
чi про перемiщення частинок [12]. Аналогiчно, як в [13], можна
розглядати (1)-(3), як обернену задачу з невiдомою функцiєю
u0 з класичної початкової умови (4) та умовою перевизначення
(3). В працi [14], зокрема, показано як лiнiйний аналог (1)-(3)
звести до еквiвалентної мiшаної задачi з класичною початковою
умовою (4) для iнтегро-диференцiального рiвняння з iнтегралом
типу
∫ T
0 H(x, t, s)u(x, s) ds в рiвняннi.
Задачi з нелокальною умовою типу (3) для лiнiйних рiвнянь
дослiджено в [15 – 17], а для нелiнiйних рiвнянь зi сталими пока-
зниками нелiнiйностi – в [18 – 20]. Задачi з нелокальною умовою
Нелокальна задача для нелiнiйних параболiчних рiвнянь ... 49∫ T
0 u(x, t) dt = h(x) для лiнiйних параболiчних рiвнянь вивче-
но в [21 – 23]. Нелiнiйнi параболiчнi рiвняння зi змiнними пока-
зниками нелiнiйностi i нелокальною за часовою змiнною умовою
розглянуто, мабуть, вперше.
Структура роботи така. У другому пунктi сформульовано
основний результат – теореми iснування i єдиностi узагальненого
розв’язку задачi (1)-(3). Третiй мiстить допомiжнi позначення i
факти, якi використано у четвертому пунктi статтi при доведеннi
основних теорем. Статтю завершує список лiтератури.
2. Формулювання основного результату
Спершу введемо деякi позначення. Нехай || · ||B ≡ || · ;B|| – норма
банахового простору B, B∗ – спряжений до B простiр, 〈·, ·〉B –
скалярний добуток мiж B∗ та B.
Нехай m ∈ N, p ∈ [1,∞], O = Ω або O = Q0,T , M(O) –
множина всiх вимiрних за Лебегом функцiй v : O → R (див.
[24, с. 120]), Cm(O) та C∞0 (O) визначено в [25, с. 9], Lp(O)
– простiр Лебега (див. [25, с. 22, 24]), Wm,p(O) та Wm,p
0 (O)
– простори Соболєва (див. [25, с. 45]), Hm(O) := Wm,2(O),
Hm
0 (O) := Wm,2
0 (O), C([0, T ];B) та Cm([0, T ];B) визначено в [1,
с. 147], Lp(0, T ;B) – простiр Лебега-Бохнера (див. [1, с. 154]),
Wm,p(0, T ;B) – простiр Соболєва-Бохнера (див. [26, с. 286]),
Hm(0, T ;B) := Wm,2(0, T ;B),
B+(O) := {δ ∈ L∞(O) | ess inf
y∈O
δ(y) > 0}.
Для кожної функцiї u ∈ L1(Q0,T ) = L1(0, T ;L1(Ω)) маємо, що
u(·, t) ∈ L1(Ω), t ∈ (0, T ). Для зручностi писатимемо u(t) замiсть
u(·, t) та u замiсть u(x, t). Для всiх δ ∈ B+(O) використовувати-
мемо позначення:
δ0 := ess inf
y∈O
δ(y), δ0 := ess sup
y∈O
δ(y),
Sδ(s) := max{sδ0 , sδ0}, s ≥ 0,
(5)
50 О. М. Бугрiй
δ′(y) :=
δ(y)
δ(y)− 1
, y ∈ O, (6)
(тодi 1
δ(y) + 1
δ′(y) = 1 та δ′ ∈ B+(O) при δ0 > 1),
%δ(v;O) :=
∫
O
|v(y)|δ(y) dy, v ∈M(O). (7)
Нехай δ ∈ B+(O) та δ0 > 1. Множину
Lδ(y)(O) := {v ∈M(O) | %δ(v;O) < +∞}
з нормою ||v;Lδ(y)(O)|| := inf{λ > 0 | %δ(v/λ;O) ≤ 1} називати-
мемо узагальненим простором Лебега. Множину
Wm,δ(y)(O) := {v ∈ Lδ(y)(O) | Dαv ∈ Lδ(y)(O), |α| ≤ m}
з нормою
||v;Wm,δ(y)(O)|| :=
∑
|α|≤m
||Dαv;Lδ(y)(O)|| (8)
називатимемо узагальненим простором Соболєва. Замикання
C∞0 (O) за нормою (8) теж називатимемо узагальненим просто-
ром Соболєва i позначатимемо Wm,δ(y)
0 (O). Властивостi узагаль-
нених просторiв Лебега i Соболєва вивчено, зокрема, у [2,27 – 30]
та [31].
Нехай C+(Ω) := {p ∈ C(Ω) | min
x∈Ω
p(x) > 1};
Ξ(Ω) :=
{
p ∈ B+(Ω) | p0 > 1; p0 <
np0
n− p0
при p0 < n
}
;
Υ(Ω) – клас функцiй p ∈ B+(Ω), для яких p0 > 1 та iснують
вiдкритi множини Ω1, . . . ,Ωm ⊂ Ω та сталi s1, s
∗
1, . . . , sm, s
∗
m ∈ R+
такi, що:
1) ∀ j ∈ {1, ...,m}: Ωj складається зi скiнченої кiлькостi
C0,1-областей;
Нелокальна задача для нелiнiйних параболiчних рiвнянь ... 51
2) mes
(
Ω \
m⋃
j=1
Ωj
)
= 0;
3) 1 = s1 < s2 < s∗1 < s3 < s∗2 < . . . < sm−1 < s∗m−2 < n < sm <
< s∗m−1 < s∗m = +∞;
4) ∀ j ∈ {1, ...,m}: sj ≤ p(x) ≤ s∗j майже для всiх x ∈ Ωj ;
5) ∀ k ∈ {1, ...,m− 1}: s∗k <
nsk
n−sk .
Припустимо, що виконуються такi умови:
(S): p ∈ Υ(Ω) ∪ Ξ(Ω) ∪ C+(Ω), q ∈ B+(Ω), q0 > 1;
(A): ai ∈M(Q0,T ), 0 < a0 ≤ ai(x, t) ≤ a0 < +∞ майже для
всiх (x, t) ∈ Q0,T , i = 1, n;
(C): g ∈ B+(Q0,T ), c ∈ L∞(Q0,T );
(U): < ∈ L∞((0, T )), h ∈ L2(Ω);
(F): f ∈ L2(Q0,T ).
Користуватимемося такими позначеннями:
V := W
1,p(x)
0 (Ω) ∩ L2(Ω) ∩ Lq(x)(Ω), (9)
||v;V || :=
n∑
i=1
||vxi ;Lp(x)(Ω)||+ ||v;L2(Ω)||+ ||v;Lq(x)(Ω)||, (10)
U(Q0,T ) :=
{
u : (0, T )→ V
∣∣∣ ||u;U(Q0,T )|| :=
:=
n∑
i=1
||uxi ;Lp(x)(Q0,T )||+ ||u;L2(Q0,T )||+
+ ||u;Lq(x)(Q0,T )|| < +∞
}
; (11)
(z, w)Ω :=
∫
Ω
z(x)w(x) dx, z, w : Ω→ R; (12)
{u, v}Q :=
∫
Q0,T
u(x, t)v(x, t) dxdt, u, v : Q0,T → R; (13)
(A(t)z, w)Ω :=
n∑
i=1
(ai(t)|zxi |p(x)−2zxi , wxi)Ω + (c(t)z, w)Ω +
+ (g(t)|z|q(x)−2z, w)Ω, z, w ∈ V, t ∈ (0, T ); (14)
52 О. М. Бугрiй
〈Au, v〉U(Q0,T ) :=
T∫
0
(A(t)u(t), v(t))Ω dt, u, v ∈ U(Q0,T ); (15)
<2 :=
T∫
0
|<(t)|2 dt. (16)
Означення 1. Функцiю u ∈ U(Q0,T )∩C([0, T ];L2(Ω)) називати-
мемо узагальненим розв’язком нелокальної задачi (1)-(3), якщо
ut ∈ [U(Q0,T )]∗, u задовольняє (3) i для всiх v ∈ U(Q0,T ) пра-
вильна рiвнiсть
〈ut, v〉U(Q0,T ) + 〈Au, v〉U(Q0,T ) = {f, v}Q. (17)
Теорема 1. Якщо виконуються умови (S)-(F) та c0 >
<2
2 , то
нелокальна задача (1)-(3) не може мати бiльше одного узагаль-
неного розв’язку.
Теорема 2. Нехай виконуються умови теореми 1, i якщо
p0 ≤ n, то p0 > 1 + n−2
n+2 . Тодi якщо ∂Ω ⊂ C2r, де
r ≥ 1
2
max
{
2, 1 +
n(p0 − 2)
2p0
,
n(q0 − 2)
2q0
}
, r ∈ N, (18)
то нелокальна задача (1)-(3) має узагальнений розв’язок u.
3. Допомiжнi позначення i твердження
Нехай (·, ·)H – скалярний добуток в гiльбертовому просторi H,
|·|H :=
√
(·, ·)H ; (·, ·) := (·, ·)Rn . Для просторiвX та Y позначення
X Y означає неперервне вкладення, X
_
Y – неперервне i
щiльне вкладення, а X
K
⊂ Y – компактне вкладення. Нагадаємо
деякi властивостi узагальнених просторiв Лебега i Соболєва.
Нелокальна задача для нелiнiйних параболiчних рiвнянь ... 53
Твердження 1 (Лема 1 [32, c. 168]). Нехай ζ ∈ B+(Ω), ζ0 > 1.
Тодi для всiх v ∈M(Q0,T ) маємо таке (див. (5), (7) ):
i) ||v;Lζ(x)(Q0,T )|| ≤ S1/ζ(%ζ(v;Q0,T )) при %ζ(v;Q0,T ) < +∞;
ii) %ζ(v;Q0,T ) ≤ Sζ(||v;Lζ(x)(Q0,T )||) при ||v;Lζ(x)(Q0,T )|| < +∞.
Твердження 2 (Лема 2 [33, с. 46], теорема 3.2 [30, с. 77]). Нехай
ζ ∈ B+(Ω), ζ0 > 1. Тодi правильними є такi вкладення:
Lζ
0
(0, T ;Lζ(x)(Ω))
_
Lζ(x)(Q0,T )
_
Lζ0(0, T ;Lζ(x)(Ω)). (19)
Твердження 3. Нехай p ∈ B+(Ω), p0 > 1. Тодi
1) (теорема 3.10 [28, c. 610], теорема 2.7 [29, c. 443]) якщо
p ∈ Υ(Ω) ∪ C+(Ω), то еквiвалентною нормою в W 1,p(x)
0 (Ω) є
||v;W
1,p(x)
0 (Ω)|| =
n∑
i=1
||vxi ;Lp(x)(Ω)||; (20)
2) (лема 5 [33, с. 48], теорема 3.1 [30, с. 76]) якщо p ∈ Υ(Ω)∪
Ξ(Ω) та ux1 , . . . , uxn ∈ Lp(x)(Ω), то u ∈ Lp(x)(Ω) i правильна
узагальнена нерiвнiсть Пуанкаре
||u;Lp(x)(Ω)|| ≤ C1
( n∑
i=1
||uxi ;Lp(x)(Ω)||+ ||u;L1(Ω)||
)
, (21)
де C1 > 0 – стала, яка не залежить вiд u.
Нехай V – простiр з (9), U(Q0,T ) – з (11). При виконаннi
умови (S) з твердження 3 випливає, що (10) є нормою в V ,
яка еквiвалентна стандартнiй нормi перетину банахових просто-
рiв. Аналогiчно як в теоремi 3.6 [30, с. 83] показуємо, що V та
U(Q0,T ) є рефлексивними банаховими просторами. Зрозумiло,
що V
_
L2(Ω)
_
V ∗. Зокрема, з твердження 2 матимемо, що
Lsmax(0, T ;V )
_
U(Q0,T )
_
Lsmin(0, T ;V ), (22)
U(Q0,T )
_
L2(Q0,T )
_
[U(Q0,T )]∗
_
Ls
′
max(0, T ;V ∗), (23)
54 О. М. Бугрiй
де smin := min{p0, 2, q0}, smax := max{p0, 2, q0}, 1
smax
+ 1
s′max
= 1.
Звiдси, зокрема, випливає, що елементи просторiв U(Q0,T ) та
[U(Q0,T )]∗ є розподiлами з D∗(0, T ;V ∗). Аналогiчно як теорему 1
[33, с. 50] доводимо таку лему.
Лема 1. Нехай виконується умова (S), {wµ}µ∈N – база V . Тодi
множина Ψ=
{ m∑
µ=1
ψmµ (t)wµ(x)
∣∣m∈N, ψm1 , . . . , ψmm∈C1([0, 1])
}
є всюди щiльною в U(Q0,T ).
Використовуватимемо такi факти.
Твердження 4 (Лема 4.4 [34, с. 457]). Якщо виконується умова
(S), u, v ∈ U(Q0,T ) ∩ C([0, T ];L2(Ω)), ut, vt ∈ [U(Q0,T )]∗, то для
всiх t1, t2 ∈ [0, T ] правильна формула
t2∫
t1
〈ut(t), v(t)〉V dt=
∫
Ω
u(x, t)v(x, t)dx
∣∣∣∣t=t2
t=t1
−
t2∫
t1
〈vt(t), u(t)〉V dt. (24)
Твердження 5 (Теорема 1 [35, c. 119]). Якщо s > 1, то формула(
|u|s
)
t
= s|u|s−2uut (25)
правильна при виконаннi однiєї з таких умов:
i) u ∈ C1(Q0,T ), i тодi |u|s ∈ C1(Q0,T );
ii) u ∈W 1,d(Q0,T ), де d ≥ s, i тодi |u|s ∈W 1, ds (Q0,T ).
Твердження 6 (Лема Вiшика, див. лему 4.3 [36, с. 66] та [37,
с. 60]). Нехай P : Rm → Rm – неперервна функцiя. Якщо iснує
% > 0 таке, що (P (z), z)Rm ≥ 0 ∀ z ∈ Rm: |z| = %, то iснує таке
zm ∈ Rm, |z| ≤ %, що P (zm) = 0.
Твердження 7 (Аналог леми Фату, див. [38, с. 173, 179]). Якщо
B – банахiв простiр, zj −→
j→∞
z слабко, або ∗-слабко в B, то вико-
нується нерiвнiсть ||z||B ≤ lim
j→∞
||zj ||B.
Нелокальна задача для нелiнiйних параболiчних рiвнянь ... 55
Твердження 8 (Теорема Обена, див. [39] i [40, c. 393]). Якщо
α, β > 1 – числа, W,L,B – банаховi простори, W
K
⊂ L B, то
{u ∈ Lα(0, T ;W) | ut ∈ Lβ(0, T ;B)}
K
⊂ Lα(0, T ;L) ∩ C([0, T ];B).
Через Cw([0, T ];B) позначимо множину всiх слабко неперерв-
них функцiй u : [0, T ]→ B, тобто таких функцiй, що
lim
[0,T ]3tm→t∈[0,T ]
〈y, u(tm)〉B = 〈y, u(t)〉B для всiх y ∈ B∗.
Твердження 9 (Теорема Штрауса, див. теорему 2.1 [41, с. 544]
та лему 8.1 [42, с. 307]). Нехай L,B – банаховi простори, L –
рефлексивний, L B. Тодi
L∞(0, T ;L) ∩ Cw([0, T ];B) = Cw([0, T ];L).
Для простору V з (9) та H := L2(Ω) з твердження 9 випливає
така лема.
Лема 2 (Узагальнена теорема Штрауса).
L∞(0, T ;H) ∩ C([0, T ];V ∗) = C([0, T ];H).
Доведення. Нехай u ∈ L∞(0, T ;H)∩C([0, T ];V ∗). Вiзьмемо до-
вiльнi t0 ∈ [0, T ] i {tm}m∈N ⊂ [0, T ] такi, що tm −→
m→∞
t0. Очевидно,
що C([0, T ];V ∗) ⊂ Cw([0, T ];V ∗). Тому з твердження 9 маємо, що
u ∈ Cw([0, T ];H). Тодi одержимо таке: a) u(t0) ∈ H, u(tm) ∈ H,
m ∈ N; б) u(tm) −→
m→∞
u(t0) слабко вH. Крiм того, u(tm) −→
m→∞
u(t0)
сильно в просторi V ∗, а тому ||u(tm)−u(t0)||V ∗ −→
m→∞
0 в R. Якщо
w ∈ V ∗ та w ∈ H, то (див. [27, с. 384] та [43, с. 291]) |w|H = ||w||V ∗ .
Тому |u(tm)− u(t0)|H −→
m→∞
0. Отже, u ∈ C([0, T ];H) i лему дове-
дено. �
Нехай L(X,Y ) – простiр обмежених лiнiйних операторiв з X в
Y ( [43, с. 32]), ∆0v := v, ∆1v := ∆v, ∆rv := ∆(∆r−1v), де r ∈ N,
Wr ≡ H2r
∆ (Ω) := {v ∈ H2r(Ω) | v|∂Ω = ∆v|∂Ω = . . . =
= ∆r−1v|∂Ω = 0}, W∗r := [Wr]
∗. (26)
56 О. М. Бугрiй
Твердження 10 (Лема 3 [44, c. 229]). Якщо ∂Ω ⊂ C2r, r ∈ N,
то iснує стала C2 > 0 така, що для всiх v ∈ Wr виконується
оцiнка
||v;H2r(Ω)|| ≤ C2||∆rv;L2(Ω)||. (27)
Розглядатимемо простiрWr зi скалярним добутком (u, v)Wr =∫
Ω ∆ru∆rv dx. З (27) випливає, що породжена цим скалярним
добутком норма еквiвалентна стандартнiй нормi || · ;H2r(Ω)||, iн-
дукованiй в Wr. Тому Wr є гiльбертовим простором, причому
Wr H2r(Ω), Wr
_
L2(Ω)
_
W∗r . (28)
Нехай {λj}j∈N – всi власнi значення, а {wj}j∈N – вiдповiднi їм
власнi функцiї задачi
−∆w = λw в областi Ω, w|∂Ω = 0. (29)
Твердження 11 (Теорема 8 [44, c. 230]). Якщо ∂Ω ⊂ C2r, де
r ∈ N, то множина {wj}j∈N всiх власних функцiй задачi (29) є
базою простору Wr.
Нехай H – гiльбертовий простiр, V – рефлексивний сепара-
бельний банахiв простiр,
V
_
H ∼= H∗
_
V∗. (30)
Нехай {wj}j∈N – ортонормальна база просторуH,m ∈ N – число,
M – лiнiйна оболонка елементiв {w1, . . . , wm}. Визначимо єдиний
ортогональний проектор Pm : H →M так (див. [45, с. 527]):
Pmh :=
m∑
j=1
(h,wj)Hw
j , h ∈ H. (31)
Вiдомо, що Pm – самоспряжений оператор, а з теореми 7.3.6 [45,
с. 515] маємо неперервнiсть Pm i оцiнку
|Pmh|H ≤ |h|H, h ∈ H. (32)
Нелокальна задача для нелiнiйних параболiчних рiвнянь ... 57
Якщо {wj}j∈N ⊂ V, то розглянемо, взагалi кажучи, несамоспря-
жений оператор P̂m : V → V, визначений так:
P̂mv := Pmv для всiх v ∈ V (33)
(P̂m – це звуження Pm на V). Спряжений до P̂m оператор позна-
чимо P̂ ∗m. Тодi з [46, с. 865] матимемо, що P̂ ∗m(V∗) ⊂ V.
Твердження 12 (Лема 3.9 [46, c. 865-866]). Нехай {wj}j∈N –
ортонормована база простору H, яка належить до простору
V, ψm1 , . . . , ψmm ∈ R – деякi числа, F ∈ V∗. Тодi елемент
zm =
m∑
s=1
ψms w
s ∈ V задовольняє систему спiввiдношень
〈zm, w1〉V = 〈F,w1〉V ,
...
〈zm, wm〉V = 〈F,wm〉V ,
(34)
тодi i тiльки тодi, коли виконується така рiвнiсть в V∗:
zm = P̂ ∗mF. (35)
Далi вважатимемо, що в (30) H = L2(Ω), V =Wr. Крiм того,
нехай функцiї {wj}j∈N в (31) є такими, як в твердженнi 11. Тодi
Pm ∈ L(L2(Ω), L2(Ω)), P̂m ∈ L(Wr,Wr) та (див. [46, с. 866])
||P̂mv||Wr ≤ ||v||Wr , v ∈ Wr. (36)
Якщо f ∈ Ls(0, T ;H), s > 1, то Pmf(t) ∈ H для t ∈ [0, T ], i з (32)
випливає оцiнка
∫ T
0 |Pmf(t)|sH dt ≤
∫ T
0 |f(t)|sH dt, а тому
||Pmf ; ||Ls(0,T ;L2(Ω)) ≤ ||f ||Ls(0,T ;L2(Ω)), f ∈ Ls(0, T ;L2(Ω)). (37)
Крiм того,
∫ T
0 ||P̂mu(t)||sWr
dt ≤
∫ T
0 ||u(t)||sWr
dt (див. (36) ), тобто
||P̂mu||Ls(0,T ;Wr) ≤ ||u||Ls(0,T ;Wr), u ∈ Ls(0, T ;Wr). (38)
58 О. М. Бугрiй
Тому (див. теорему 6 [47, с. 231]) для s′ = s
s−1 матимемо, що
||P̂ ∗mw||Ls′ (0,T ;W∗r ) ≤ ||w||Ls′ (0,T ;W∗r ), w ∈ Ls′(0, T ;W∗r ). (39)
При побудовi гальоркiнських наближень розв’язку нашої за-
дачi нам треба буде показати розв’язнiсть задачi Кошi для си-
стеми звичайних диференцiальних рiвнянь
ϕ′(t) + L(t, ϕ(t)) = M(t) при t ∈ (0, T ), ϕ(0) = ϕ0. (40)
Тут ϕ,M : (0, T ) → Rm, ϕ0 ∈ Rm, L : Q → Rm (для спрощення
вважатимемо, що L(t, 0) = 0 для t ∈ [0, T ]), Q := (0, T )× Rm.
Означення 2. Функцiю ϕ ∈ W 1,1(0, T ;Rm) називатимемо уза-
гальненим розв’язком задачi (40), якщо ϕ задовольняє систему
рiвнянь (401) майже для всiх t ∈ (0, T ) та ϕ задовольняє поча-
ткову умову (402).
Означення 3. Казатимемо, що функцiя L : Q → Rm задо-
вольняє умову Каратеодорi, якщо для всiх ξ ∈ Rm функцiя
(0, T ) 3 t 7→ L(t, ξ) ∈ Rm є вимiрною i для майже всiх t ∈ (0, T )
функцiя Rm 3 ξ 7→ L(t, ξ) ∈ Rm є неперервною.
Означення 4 ( [48, с. 241]). Казатимемо, що L : Q → Rm
задовольняє Lp-умову Каратеодорi, якщо L задовольняє умову
Каратеодорi та для всiх R > 0 iснує таке hR ∈ Lp(0, T ), що для
всiх ξ ∈ Rm (|ξ| ≤ R) i майже для всiх t ∈ (0, T ) виконується
оцiнка
|L(t, ξ)| ≤ hR(t). (41)
Твердження 13 (Теорема Каратеодорi-Ла-Салля, див. теоре-
му 3.24 [46, с. 872]). Нехай p ≥ 2, функцiя L : Q → Rm задо-
вольняє Lp-умову Каратеодорi, M ∈ Lp(0, T ;Rm), ϕ0 ∈ Rm. Тодi
якщо iснують невiд’ємнi функцiї α, β ∈ L1(0, T ) такi, що для
всiх ξ ∈ Rm i майже для всiх t ∈ (0, T ) виконується нерiвнiсть
(L(t, ξ), ξ)Rm ≥ −α(t)|ξ|2 − β(t), (42)
то задача (40) має узагальнений розв’язок ϕ ∈W 1,p(0, T ;Rm).
Нелокальна задача для нелiнiйних параболiчних рiвнянь ... 59
Лема 3. Нехай r ∈ B+(Ω), r0 > 1. Тодi правильнi такi оцiнки:
1) для всiх η1, η2 ∈ Rn та x ∈ Ω∣∣∣|η1|r(x)−2η1 − |η2|r(x)−2η2
∣∣∣ ≤
≤ C3(r0, r
0)
(
|η1|+ |η2|
)r(x)−1−α(x)
|η1 − η2|α(x), (43)
де 0 ≤ α(x) ≤ min{1, r(x)− 1},
C3(r0, r
0) := max{1, 22−r0 , (r0 − 1)22−r0};
2) для всiх ξ1, ξ2 ∈ Rn та x ∈ Ω(
|ξ1|r(x)−2ξ1 − |ξ2|r(x)−2ξ2, ξ1 − ξ2
)
≥
≥ C4(r0, r
0)
(
|ξ1|+ |ξ2|
)r(x)−β(x)
|ξ1 − ξ2|β(x), (44)
де max{r(x), 2} ≤ β(x) <∞,
C4(r0, r
0) := min{22−r0 , (r0 − 1)22−r0}.
Доведення. 1) З теореми 2.1 [49, c. 2] випливає, що в кожнiй
точцi x ∈ Ω виконується оцiнка (43) зi сталою
C̃3(r(x)) = max{1, 22−r(x), (r(x)− 1)22−r(x)}.
З очевидної нерiвностi C̃3(r(x)) ≤ C3(r0, r
0) для всiх x ∈ Ω i
випливає (43).
2) З теореми 2.2 [49, c. 3] випливає, що в кожнiй точцi x ∈ Ω
виконується оцiнка (44) зi сталою
C̃4(r(x)) = min{22−r(x), (r(x)− 1)22−r(x)}.
З очевидної нерiвностi C̃4(r(x)) ≥ C4(r0, r
0) для всiх x ∈ Ω i
випливає (44). Лему доведено. �
Використовуватимемо таке твердження.
60 О. М. Бугрiй
Твердження 14 (Лема 3.25 [46, с. 874]). Нехай r ∈ B+(Ω), r0 >
1, b ∈ L∞(Q0,T ), z ∈ Lr(x)(Ω), w(x, ξ) =
m∑
l=1
ξlw
l(x), ξ = (ξ1,
. . . , ξm) ∈ Rm, w1, . . . , wm ∈ Lr(x)(Ω), m ∈ N. Тодi функцiя
I(t, ξ) :=
∫
Ω
b(x, t)|w(x, ξ)|r(x)−2w(x, ξ)z(x) dx, (45)
t ∈ (0, T ), ξ ∈ Rm, задовольняє L∞-умову Каратеодорi.
Лема 4. Нехай виконуються умови (A) та (C), оператори
{A(t)}t∈(0,T ) взято з (14), A – з (15). Тодi A(t) : V → V ∗ та
A : U(Q0,T )→ [U(Q0,T )]∗ є обмеженими монотонними i семiне-
перервними операторами i для всiх z, w ∈ V
(A(t)z, z)Ω ≥
∫
Ω
[
a0
n∑
i=1
|zxi |p(x) + c0|z|2 + g0|z|q(x)
]
dx, (46)
(A(t)z −A(t)w, z − w)Ω ≥
∫
Ω
c0|z − w|2 dx, t ∈ (0, T ). (47)
Лему 4 доводимо аналогiчно як теорему 3.4 [34, с. 454]. Вико-
ристовуватимемо такi позначення:
h2 :=
∫
Ω
|h(x)|2 dt, f2 :=
∫
Q0,T
|f(x, t)|2 dt. (48)
4. Обґрунтування основного результату
Спершу доведемо теорему єдиностi.
Доведення теореми 1. Нехай u1 i u2 є узагальненими розв’яз-
ками нелокальної задачi (1)-(3), u := u1−u2. Тодi з рiвностi (17),
записаної для u1 та u2, отримаємо, що
I1 + I2 = 0, (49)
Нелокальна задача для нелiнiйних параболiчних рiвнянь ... 61
де I1 = 〈ut, u〉U(Q0,T ), I2 = 〈Au1 −Au2, u1 − u2〉U(Q0,T ). Викори-
ставши (24), (3), нерiвнiсть Кошi-Буняковського i позначення
(16), одержимо нерiвнiсть
I1 =
1
2
∫
Ω
|u(x, T )|2 dx− 1
2
∫
Ω
|u(x, 0)|2 dx ≥
≥ −1
2
∫
Ω
∣∣∣ T∫
0
<(t)u(x, t) dt
∣∣∣2 dx ≥ −1
2
∫
Ω
( T∫
0
|<(t)|2 dt
)
×
×
( T∫
0
|u(x, t)|2 dt
)
dx = −<2
2
∫
Q0,T
|u|2 dxdt.
З (47) випливає оцiнка
I2 ≥
∫
Q0,T
c0|u|2 dxdt.
Тому з (49) отримаємо оцiнку(
c0 −
<2
2
) ∫
Q0,T
|u|2 dxdt ≤ 0. (50)
Врахувавши умову c0 >
<2
2 , з (50) матимемо, що u = 0 майже
скрiзь в Q0,T . Тому u1 = u2 i теорему 1 доведено. �
Тепер перейдемо до доведення iснування розв’язку.
Доведення теореми 2. Використаємо метод Фаедо-Гальоркiна.
Крок 1. Нехай r взято з (18), Wr та W∗r – з (26), {wj}j∈N
– функцiї з твердження 11, якi вважаємо ортонормованими в
просторi L2(Ω),
um(x, t) =
m∑
µ=1
ϕmµ (t)wµ(x), (x, t) ∈ Q0,T , (51)
62 О. М. Бугрiй
де функцiї ϕm1 , . . . , ϕmm задовольняють рiвностi
(umt (t), wµ)Ω + (A(t)um(t), wµ)Ω = (f(t), wµ)Ω, (52)
t ∈ (0, T ), µ = 1,m,
um|t=0 = um0 . (53)
Тут um0 (x) :=
m∑
µ=1
αmµ w
µ(x), x ∈ Ω, числа αm1 , . . . , αmm ∈ R вибрано
так, щоб виконувалася рiвнiсть
um(x, 0) =
T∫
0
<(t)um(x, t) dt+ h(x), x ∈ Ω. (54)
Покажемо, що такi ϕm1 , . . . , ϕmm та αm1 , . . . , αmm iснують.
Враховуючи ортонормованiсть функцiй {wµ}µ∈N в L2(Ω), пе-
репишемо рiвностi (52)-(53) у виглядi (40), де ϕ := (ϕm1 , . . . , ϕ
m
m),
ϕ0 := (αm1 , . . . , α
m
m), L := (L1, . . . , Lm), M := (M1, . . . ,Mm),
Lµ(t, ϕ(t)) := (A(t)um(t), wµ)Ω,
Mµ(t) := (f(t), wµ)Ω, t ∈ (0, T ), µ = 1,m.
Покажемо, що виконуються умови теореми Каратеодорi-Ла-
Салля (твердження 13). З тверджень типу твердження 14 ви-
пливає, що функцiя L : (0, T )×Rm → Rm задовольняє L∞-умову
Каратеодорi. Зрозумiло, що M ∈ L2(0, T ;Rm). Крiм того, з оцi-
нок (46) та ортонормованостi функцiй {wµ}µ∈N в L2(Ω) отрима-
ємо таке:
(L(t, ϕ(t)), ϕ(t))Rm = (A(t)um(t), um(t))Ω ≥
≥ c0
∫
Ωt
|um|2 dx = c0
∫
Ω
∣∣∣ m∑
µ=1
ϕmµ (t)wµ(x)
∣∣∣2 dx = c0|ϕm(t)|2.
Нелокальна задача для нелiнiйних параболiчних рiвнянь ... 63
Звiдси випливає виконання оцiнки (42) з α(t) ≡ 0 та β(t) ≡ 0.
Тому для кожного набору αm := ϕ0 = (αm1 , . . . , α
m
m) з тео-
реми Каратеодорi-Ла-Салля випливає iснування узагальненого
розв’язку ϕ ∈ H1(0, T ;Rm) задачi (52)-(53) (тут ϕ = ϕ(t;αm),
t ∈ (0, T ), αm ∈ Rm). Пiдставивши ϕ в (51), матимемо функцiю
um = um(x, t;αm), (x, t) ∈ Q0,T , αm ∈ Rm, яка задовольняє (52)-
(53). Оскiльки ∂Ω ∈ C2r, то з твердження 11 i вкладення (28)
випливає, що {wµ}µ∈N ⊂ Wr ⊂ H2r(Ω). Тому, з (51) отримаємо:
um ∈ H1(0, T ;H2r(Ω)) ⊂ H1(Q0,T ). (55)
Крок 2. Покажемо, що числа αm1 , . . . , αmm можна вибрати так,
щоб виконувалася рiвнiсть (54). Домноживши (54) на wµ(x), де
µ = 1,m, зiнтегрувавши за x ∈ Ω, i використавши ортонормова-
нiсть {wµ}µ∈N в L2(Ω), отримаємо таке:
αmµ =
∫
Q0,T
<(t)um(x, t;αm1 , . . . , α
m
m)wµ(x) dxdt+
+
∫
Ω
h(x)wµ(x) dx, µ = 1,m. (56)
Ввiвши позначення P := (P1, . . . , Pm), де
Pµα
m := αmµ −{<wµ, um(x, t;αm1 , . . . , α
m
m)}Q− (h,wµ)Ω, µ = 1,m,
одержимо, що αm – розв’язок системи алгебричних рiвнянь
Pαm = 0. (57)
Покажемо, що цей розв’язок iснує. Використаємо лему Вiшика
(твердження 6). Спершу знайдемо рiвномiрнi оцiнки для um.
Зрозумiло, що
<hum ≤ κ0
2
|um|2 +
1
2κ0
|<|2|h|2, κ0 > 0.
64 О. М. Бугрiй
Тодi з (54) i нерiвностi Кошi-Буняковського одержимо, що
∫
Ω
|um(x, 0)|2 dx =
∫
Ω
∣∣∣ T∫
0
<(t)um(x, t) dt+ h(x)
∣∣∣2 dx ≤
≤
∫
Ω
[( T∫
0
<(t)um(x, t) dt
)2
+ 2
T∫
0
|<(t)h(x)um(x, t)| dt+
+ |h(x)|2
]
dx ≤
∫
Ω
( T∫
0
|<(t)|2 dt
)( T∫
0
|um(x, t)|2 dt
)
dx+
+ κ0
∫
Q0,T
|um|2 dxdt+
<2h2
κ0
+ h2 =
= (<2 + κ0)
∫
Q0,T
|um|2 dxdt+
<2h2
κ0
+ h2, (58)
де <2 взято з (16), а h2 – з (48).
Для фiксованих t ∈ (0, T ), µ ∈ {1, . . . ,m} домножимо µ-ту
рiвнiсть з (52) на ϕmµ (t), пiдсумуємо за µ вiд 1 до m i результат
зiнтегруємо за t ∈ (0, T ). Отримаємо таке:
{umt , um}Q + 〈Aum, um〉U(Q0,T ) = {f, um}Q. (59)
З (55) та пункту ii твердження 5 матимемо, що
|um|2 ∈W 1,1(Q0,T ),
(
|um|2
)
t
= 2um umt . (60)
Тому, зiнтегрувавши частинами i використавши (58), отримаємо
{umt , um}Q =
1
2
∫
Ω
|um(x, T )|2 dx− 1
2
∫
Ω
|um(x, 0)|2 dx ≥
≥ 1
2
∫
Ω
|um(x, T )|2 dx− <2 + κ0
2
∫
Q0,T
|um|2 dxdt− <2h2
2κ0
− h2
2
.
Нелокальна задача для нелiнiйних параболiчних рiвнянь ... 65
Для оцiнки другого доданку злiва в (59) використаємо (46). Зро-
зумiло, що
|fum| ≤ κ1
2
|um|2 +
1
2κ1
|f |2, κ1 > 0.
Тодi з (59) отримаємо оцiнку
1
2
∫
Ω
|um(x, T )|2 dx+
∫
Q0,T
[
a0
n∑
i=1
|umxi |
p(x) + g0|um|q(x) +
+
(
c0 −
<2
2
− κ0
2
− κ1
2
)
|um|2
]
dxdt ≤ <2h2
2κ0
+
h2
2
+
f2
2κ1
,
де <2 взято з (16), а h2 та f2 – з (48).
Вибравши κ0,κ1 > 0 досить малими, звiдси матимемо, що∫
Q0,T
[ n∑
i=1
|umxi |
p(x) + |um|q(x) + |um|2
]
dxdt ≤ C5, (61)
∫
Ω
|um(x, T )|2 dx ≤ C6. (62)
Тому з (58) одержимо, що∫
Ω
|um(x, 0)|2 dx ≤ C7. (63)
Тут C5, . . . , C7 > 0 – сталi, якi не залежать вiд m,αm.
Повернемося до системи (57). Використавши нерiвностi (61) i
(63), матимемо таке:
(Pαm, αm)Rm =
m∑
µ=1
(Pµα
m)αmµ = |αm|2 −
−
∫
Q0,T
<(t)um(x, 0;αm)um(x, t;αm) dxdt−
∫
Ω
h(x)um(x, 0;αm) dx ≥
66 О. М. Бугрiй
≥|αm|2−
∫
Q0,T
[1
2
|um|2+
|<|2
2
|um(0)|2
]
dxdt−
∫
Ω
[1
2
|um(0)|2+
|h|2
2
]
dx≥
≥ |αm|2 − C8 −→
|αm|→+∞
+∞.
Тому з леми Вiшика випливає iснування розв’язку системи (57).
Отже, для кожного αm ∈ Rm через um = um(x, t;αm) позна-
чаємо розв’язок задачi (52)-(53). По цiй функцiї формуємо праву
частину рiвностей (56) i отримуємо систему (57). Ми довели, що
розв’язок цiєї системи iснує, для спрощення запису позначимо
його знову αm. Для цього, вже конкретного, αm розв’язок задачi
(52)-(53) позначатимемо далi просто um = um(x, t), (x, t) ∈ Q0,T .
Крок 3. Для побудованих нами функцiй {um}m∈N виконую-
ться рiвностi (52)-(54), факти (55), (60) i оцiнки (61)-(63). З (61)-
(62), твердження 1 та леми 4 отримуємо оцiнки
||um;U(Q0,T )|| ≤ C9, (64)
||um(T );L2(Ω)|| ≤ C9, (65)
||Aum; [U(Q0,T )]∗|| ≤ C9, (66)
де C9 > 0 – стала, яка не залежить вiд m.
Для фiксованих t ∈ (0, T ) i µ ∈ {1, . . . ,m} домножимо µ-ту
рiвнiсть з (52) на ϕmµ (t), пiдсумуємо за µ = 1,m i результат зiн-
тегруємо за t ∈ (0, τ) ⊂ (0, T ). З одержаної рiвностi, використо-
вуючи (61)-(63), аналогiчно як (62) отримуємо оцiнку
||um;L∞(0, T ;L2(Ω))|| ≤ C10, (67)
де C10 > 0 – стала, яка не залежить вiд m.
З оцiнок (64)-(67) випливає iснування такої пiдпослiдовностi
{umj}j∈N ⊂ {um}m∈N, що
umj −→
j→∞
u ∗ -слабко в L∞(0, T ;L2(Ω)) i слабко в U(Q0,T ), (68)
Нелокальна задача для нелiнiйних параболiчних рiвнянь ... 67
umj (T ) −→
j→∞
χ1 слабко в L2(Ω), (69)
Aumj −→
j→∞
χ2 слабко в [U(Q0,T )]∗. (70)
Крок 4. Отримаємо додатковi оцiнки та збiжностi. Нехай
H := L2(Ω), V := Wr, Pm – оператор проектування з (31), P̂m
– оператор з (33). Використавши твердження 12, аналогiчно як
в [36, с. 77] та [50, с. 62-63] перепишемо (52) у виглядi
umt = P̂ ∗m
(
f −Aum
)
. (71)
Оскiльки r задовольняє (18), тоWr W 1,p0
0 (Ω),Wr Lq
0
(Ω) та
Wr L2(Ω). Тому Wr V L2(Ω) V ∗ W∗r . Нехай smin та
s′max взято з (22)-(23). Тодi з вкладень (22)-(23) отримаємо таке:
U(Q0,T )
_
Lsmin(0, T ;W 1,p0
0 (Ω)), (72)
L2(Q0,T )
_
[U(Q0,T )]∗
_
Ls
′
max(0, T ;W∗r ). (73)
З вкладення (72) i оцiнок (64) отримаємо таке:
||um;Lsmin(0, T ;W 1,p0
0 (Ω))|| ≤ C11||um;U(Q0,T )|| ≤ C12. (74)
Врахувавши (73) i (39), матимемо, що
||P̂ ∗mf ;Ls
′
max(0, T ;W∗r )|| ≤ ||f ;Ls
′
max(0, T ;W∗r )|| ≤
≤ C13||f ;L2(Q0,T )|| ≤ C14. (75)
Аналогiчно з (73) i (66) отримаємо таке:
||P̂ ∗mAum;Ls
′
max(0, T ;W∗r )|| ≤ ||Aum;Ls
′
max(0, T ;W∗r )|| ≤
≤ C15||Aum; [U(Q0,T )]∗|| ≤ C16. (76)
З рiвностi (71) i оцiнок (75)-(76) матимемо, що
||umt ;Ls
′
max(0, T ;W∗r )|| ≤ C17. (77)
68 О. М. Бугрiй
Тут C12, . . . , C17 > 0 – сталi, якi не залежать вiд m.
За умов теореми матимемо, щоW 1,p0
0 (Ω)
K
⊂ L2(Ω) W∗r . Тому
з (74), (77) та теореми Обена (твердження 8) випливає, що
umj −→
j→∞
u в Lsmin(0, T ;L2(Ω)) ∩ C([0, T ];W∗r ). (78)
Крок 5. Нехай Ψ – множина з леми 1. Для кожного η ∈ Ψ з
рiвностi (52) при великих m = mj отримаємо
{umj
t , η}Q + 〈Aumj , η〉U(Q0,T ) = {f, η}Q.
Спрямувавши j →∞, одержимо таку рiвнiсть в D∗(0, T ;V ∗):
ut + χ2 = f. (79)
Тодi ut = f − χ2 ∈ [U(Q0,T )]∗ ⊂ Ls
′
max(0, T ;V ∗) (див. (23) ). Крiм
того, з (68) та (22) випливає, що
u ∈ U(Q0,T ) ⊂ Lsmin(0, T ;V ) ⊂ Lsmin(0, T ;V ∗).
Тому u ∈ W 1,min{s′max,smin}(0, T ;V ∗) ⊂ C([0, T ];V ∗), i з (68) та
леми 2 одержимо, що u ∈ C([0, T ];L2(Ω)).
Нехай µ ∈ N, ψ ∈ C([0, T ]). Зрозумiло, що ψwµ ∈ U(Q0,T ).
Тодi з (79) i (70) матимемо рiвнiсть
〈ut, ψwµ〉U(Q0,T ) =〈f−χ2, ψw
µ〉U(Q0,T ) = lim
j→∞
〈f−Aumj , ψwµ〉U(Q0,T ).
Для великих j маємо нерiвнiсть mj ≥ µ. Тому звiдси та з (52)
одержимо, що
〈ut, ψwµ〉U(Q0,T ) = lim
j→∞
{umj
t , ψwµ}Q, ψ ∈ C([0, T ]), µ ∈ N. (80)
Крок 6. Доведемо, що знайдена нами функцiя u задовольняє
нелокальну умову (3). Вiзьмемо в (80) ψ(t) = T−t, t ∈ [0, T ]. Зро-
зумiло, що ψ(0) = T , ψ(T ) = 0. Тодi, зiнтегрувавши частинами,
з (54), (68) та (80) матимемо
〈ut, ψwµ〉U(Q0,T ) = lim
j→∞
{
(umj (T ), ψ(T )wµ)Ω −
Нелокальна задача для нелiнiйних параболiчних рiвнянь ... 69
− (umj (0), ψ(0)wµ)Ω − 〈(ψwµ)t, u
mj 〉U(Q0,T )
}
=
= −
( T∫
0
<(t)u(t) dt+ h, ψ(0)wµ
)
Ω
− 〈(ψwµ)t, u〉U(Q0,T ) =
= −
( T∫
0
<(t)u(t) dt+ h, ψ(0)wµ
)
Ω
−
− (u(T ), ψ(T )wµ)Ω + (u(0), ψ(0)wµ)Ω + 〈ut, ψwµ〉U(Q0,T ) =
= T
(
u(0)−
T∫
0
<(t)u(t) dt− h,wµ
)
Ω
+ 〈ut, ψwµ〉U(Q0,T ).
Звiдси випливає, що
(
u(0)−
T∫
0
<(t)u(t) dt− h,wµ
)
Ω
= 0 для всiх
µ ∈ N, а тому функцiя u задовольняє умову (3) в сенсi L2(Ω).
Крок 7. Доведемо, що χ1 = u(T ). Взявши в (80) ψ ≡ 1, отри-
маємо рiвнiсть
〈ut, wµ〉U(Q0,T ) = lim
j→∞
{umj
t , wµ}Q.
Зiнтегрувавши частинами i використавши (3) та (54), одержимо
(
u(T )−
T∫
0
<(t)u(t) dt− h,wµ
)
Ω
=
= lim
j→∞
(
umj (T )−
T∫
0
<(t)umj (t) dt− h,wµ
)
Ω
=
=
(
χ1 −
T∫
0
<(t)u(t) dt− h,wµ
)
Ω
, µ ∈ N.
Звiдси (u(T ) − χ1, w
µ)Ω = 0 для всiх µ ∈ N, а тому χ1 = u(T ) в
сенсi простору L2(Ω).
70 О. М. Бугрiй
Крок 8. Доведемо, що χ2 = Au. Нехай
Zj := 〈Aumj −Av, umj − v〉U(Q0,T ), v ∈ U(Q0,T ), j ∈ N.
З монотонностi оператора A матимемо нерiвнiсть Zj ≥ 0. З (52)
та формули iнтегрування частинами отримаємо, що
〈Aumj , umj 〉U(Q0,T ) = {f − umj
t , umj}Q =
= {f, umj}Q −
1
2
||umj (T )||2L2(Ω) +
1
2
||umj (0)||2L2(Ω).
Тому (див. (54) )
0 ≤ Zj ≤ {f, umj}Q −
1
2
||umj (T )||2L2(Ω) +
+
1
2
∣∣∣∣∣∣ T∫
0
<(t)umj (t) dt+ h
∣∣∣∣∣∣2
L2(Ω)
−
− 〈Aumj , v〉U(Q0,T ) − 〈Av, umj − v〉U(Q0,T ), j ∈ N. (81)
З (69), вже доведеної рiвностi u(T ) = χ1 та з твердження 7 ви-
пливає нерiвнiсть
lim
j→∞
||umj (T )||2L2(Ω) ≥ ||u(T )||2L2(Ω).
Крiм того, з нерiвностi Гельдера та сильної збiжностi з (78) ма-
тимемо таке:
∣∣∣∣∣∣( T∫
0
<(t)umj (t) dt+ h
)
−
( T∫
0
<(t)u(t) dt+ h
)∣∣∣∣∣∣
L2(Ω)
≤
=
T∫
0
|<(t)| · ||umj (t)− u(t)||L2(Ω) dt ≤
Нелокальна задача для нелiнiйних параболiчних рiвнянь ... 71
≤ C18(<)
( T∫
0
||umj (t)− u(t)||smin
L2(Ω)
dt
)1/smin
−→
j→∞
0.
Тому, взявши lim
j→∞
з обох частин нерiвностi (81) i використавши
(79), (24) та (3), для всiх v ∈ U(Q0,T ) отримаємо, що
0 ≤ {f, u}Q −
1
2
||u(T )||2L2(Ω) +
1
2
∣∣∣∣∣∣ T∫
0
<(t)u(t) dt+ h
∣∣∣∣∣∣2
L2(Ω)
−
− 〈χ2, v〉U(Q0,T ) − 〈Av, u− v〉U(Q0,T ) = 〈ut + χ2, u〉U(Q0,T ) −
− 1
2
||u(T )||2L2(Ω) +
1
2
∣∣∣∣∣∣ T∫
0
<(t)u(t) dt+ h
∣∣∣∣∣∣2
L2(Ω)
+ 〈χ2,−v〉U(Q0,T ) −
− 〈Av, u− v〉U(Q0,T ) = 〈χ2 −Av, u− v〉U(Q0,T ). (82)
Нехай w ∈ U(Q0,T ). Вiзьмемо в (82) v = u − λw, де λ > 0.
Подiливши на λ, отримаємо
〈χ2 −A(u− λw), w〉U(Q0,T ) ≥ 0, w ∈ U(Q0,T ). (83)
З семiнеперервностi оператора A (див. лему 4) випливає, що
lim
λ→+0
〈−A(u− λw), w〉U(Q0,T ) = 〈−Au,w〉U(Q0,T ).
Тому з (83) одержимо: 〈χ2 −Au,w〉U(Q0,T ) ≥ 0 для w ∈ U(Q0,T ).
Вiзьмемо спершу w = −z, а затим w = z, де z ∈ U(Q0,T ). Отри-
маємо систему нерiвностей, яка еквiвалентна такому рiвнянню:
〈χ2 −Au, z〉U(Q0,T ) = 0 для всiх z ∈ U(Q0,T ). Отже, χ2 = Au в
сенсi простору [U(Q0,T )]∗.
Крок 9. Пiдставивши χ2 = Au в (79), отримаємо, що функцiя
u задовольняє (17). Крiм того, ми вже довели, що u задовольняє
(3). Тому u є узагальненим розв’язком нелокальної задачi (1)-(3).
Теорему 2 доведено. �
72 О. М. Бугрiй
Лiтература
[1] Гаевский Х., Грёгер К., Захариас К. Нелинейные операторные
уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.:
Мир; 1978.
[2] Antontsev S., Shmarev S. Evolution PDEs with nonstandard growth
conditions. Existence, uniqueness, localization, blow-up. Atlantis
Studies in Diff. Eq. Vol. 4. Paris: Atlantis Press; 2015.
[3] Бокало М.М., Ciкорський В.М. Про властивостi розв’язкiв задачi
без початкових умов для рiвнянь, що узагальнюють рiвняння по-
лiтропної фiльтрацiї. Вiсник Львiв. ун-ту. Сер. мех.-мат. 1998; 51:
85-98.
[4] Бугрiй О., Лавренюк С. Мiшана задача для параболiчного рiв-
няння, яке узагальнює рiвняння полiтропної фiльтрацiї. Вiсник
Львiв. ун-ту. Сер. мех.-мат. 2000; 56: 33-43.
[5] Алхутов Ю.А., Антонцев С.Н., Жиков В.В. Параболические
уравнения с переменным порядком нелинейности. Збiрник праць
Iн-ту математики НАН України. 2009; 6 (1): 23-50.
[6] Пташник Б.Й, Iлькiв В.С., Кмiть I.Я., Полiщук В.М. Нелокаль-
нi крайовi задачi для рiвнянь iз частинними похiдними. Київ: На-
укова думка; 2002.
[7] Кирилич В.М. Нелокальна задача з iнтегральними обмеженнями
для двовимiрної гiперболiчної системи першого порядку. Вiсник
Львiв. ун-ту. Сер. мех.-мат. 1983; 21: 60-68.
[8] Лавренюк С.П. Нелокальна задача для квазiлiнiйного параболi-
чного рiвняння. Вiсник Львiв. ун-ту. Сер. мех.-мат. 1985; 24: 3-6.
[9] Пулькина Л.С. Нелокальная задача для уравнения теплопрово-
дности. Некласические уравнения мат. физ. Новосибирск; 2005:
231-239.
[10] Медвiдь О.М., Симотюк М.М. Iнтегральна задача для лiнiйних
рiвнянь з частинними похiдними. Мат. студiї. 2007; 28 (2): 115-140.
[11] Белов П.Н. Численные методы прогноза погоды. Л.: Гидрометеои-
здат; 1975.
Нелокальна задача для нелiнiйних параболiчних рiвнянь ... 73
[12] Шелухин В.В. Задача о перемещении частиц для модельной си-
стемы Бюргерса вязкого газа. Сиб. мат. журн. 1991; 32 (2): 154-
165.
[13] Пулькина Л.С. Об одном классе нелокальных задач и их связи
с обратными задачами. Труды Третьей Всероссийской научной
конф. Ч. 3.: Дифф. уравн. и краевые задачи. Самара; 2006: 190-
192.
[14] Кириченко С.В. Об одной краевой задаче для уравнения смешано-
го типа с нелокальными начальными условиями в прямоугольни-
ке. Вестник Самарского гос. техн. ун-та. Серия Физ.-мат. науки.
2013; 3 (32): 185-185.
[15] Шелухин В.В. Вариационный принцип в нелокальных по времени
задачах для линейных эволюционных уравнений. Сиб. мат. журн.
1993; 34 (2): 191-207.
[16] Кожанов А.И. Нелокальная по времени краевая задача для ли-
нейных параболических уравнений. Сибирский журнал индустри-
альной математики. 2004; 7 (1) (17): 51-60.
[17] Ignjatovic M. On solving parabolic equation with homogeneous
boundary and integral initial conditions. Математички весник. 2015;
67 (4): 258-268.
[18] Шелухин В.В. Задача со средними по времени данными для нели-
нейных параболических уравнений. Сиб. мат. журн. 1991; 32 (2):
154-165.
[19] Gordeziani D., Avalishvili M., Avalishvili G. On the investigation of
one nonclassical problem for Navier-Stokes equations. AMI. 2002; 7
(2): 66-77.
[20] Aizicovici S., Lee H. Nonlinear nonlocal Cauchy problems in Banach
spaces. Applied Math. Letters. 2005; 18: 401–407.
[21] Попов А.Ю., Тихонов И.В. Экспоненциальные классы разреши-
мости в задаче теплопроводности с нелокальным условием сре-
днего по времени. Мат. сборник. 2005; 196 (9): 72-102.
[22] Каленюк П.I., Когут I.В., Нитребич З.М. Задача з iнтегральною
умовою для рiвняння iз частинними похiдними першого порядку
за часом. Мат. методи та фiз.-мех. поля. 2010; 53 (4): 7-16.
74 О. М. Бугрiй
[23] Смагин В.В., Хуен Н.Т. Сходимость метода Галёркина прибли-
жённого решения параболического уравнения с интегральным
условием на решение. Вестник Воронежского гос. ун-та. Серия
Физ. Мат. 2010; 1: 144-149.
[24] Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. T. 1: Общая
теория. М.; 1962.
[25] Adams R.A. Sobolev spaces. New York, San Francisco, London:
Academic Press; 1975.
[26] Evans L.C. Partial differential equations. Graduate Studies in Mathe-
matics. Amer. Math. Soc. Vol. 19. Providence, RI; 1998.
[27] Diening L., Harjulehto P., Hasto P., and Ruzicka M. Lebesgue and
Sobolev spaces with variable exponents. – Lecture Notes Math. – Vol.
2017. – Heidelberg: Springer, 2011. – 509 p.
[28] Kovacik O., Rakosnik J. On spaces Lp(x) and W 1,p(x). Czechoslovak
Math. J. 1991; 41 (116): 592-618.
[29] Fan X.-L., Zhao D. On the spaces Lp(x)(Ω) andWm,p(x)(Ω). J. Math.
Anal. Appl. 2001; 263: 424-446.
[30] Бугрiй О.М. Параболiчнi варiацiйнi нерiвностi без початкових
умов [Дис. ... канд. фiз.-мат. наук]. [Львiв]; 2001. 165 c.
[31] Бугрiй О.М. Задачi для нелiнiйних параболiчних рiвнянь та варi-
ацiйних нерiвностей зi змiнними показниками нелiнiйностi [Дис.
... докт. фiз.-мат. наук]. [Львiв]; 2017. 341 c.
[32] Бугрiй О.М. Скiнченнiсть часу стабiлiзацiї розв’язку нелiнiйної
параболiчної варiацiйної нерiвностi зi змiнним степенем нелiнiй-
ностi. Мат. студ. 2005; 24 (2): 167-172.
[33] Бугрiй О., Доманська Г., Процах Н.Мiшана задача для нелiнiйно-
го рiвняння третього порядку в узагальнених просторах Соболєва.
Вiсник Львiв. ун-ту. Сер. мех.-мат. 2005; 64: 44-61.
[34] Mashiyev R.A., Buhrii O.M. Existence of solutions of the parabolic
variational inequality with variable exponent of nonlinearity. J. Math.
Anal. Appl. 2011; 377: 450-463.
[35] Бугрiй О.М. Про формули iнтегрування частинами для степене-
вих функцiй спецiального вигляду. Мат. Студiї. 2016; 45 (2): 118-
131.
Нелокальна задача для нелiнiйних параболiчних рiвнянь ... 75
[36] Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейних краевых
задач. М.: Мир; 1972.
[37] Дубинский Ю.А. Квазилинейные эллиптические и параболиче-
ские уравнения любого порядка. Успехи мат. наук. 1968; 23 (1)
(139): 45-90.
[38] Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир; 1967.
[39] Aubin J.-P. Un theoreme de compacite // Comptes rendus hebdoma-
daires des seances de l’academie des sciences. 1963; 256 (24): 5042-
5044.
[40] Bernis F. Existence results for doubly nonlinear higher order parabo-
lic equations on unbounded domains. Math. Ann. 1988; 279: 373-394.
[41] Strauss W.A.On continuity of functions with values in various Banach
spaces. Pacific J. of Math. 1966; 19 (3): 543-551.
[42] Лионс Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и
их приложения. М.: Мир; 1971.
[43] Brezis H. Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential
Equations. New York, Dordrecht, Heidelberg, London: Springer; 2011.
[44] Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных прои-
зводных. М.: Наука; 1976.
[45] Suhubi E. Functional analysis. Dordrecht, Boston, London: Kluwer
Acad. Publ.; 2003.
[46] Buhrii O., Buhrii N. Integro-differential systems with variable expo-
nents of nonlinearity. Open Math. 2017; 15: 859-883.
[47] Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и фун-
кционального анализа. М.: Наука; 1972.
[48] Lee J.W., O’Regan D. Existence results for differential equations in
Banach spaces. Comment. Math. Univ. Carolin. 1993; 34 (2): 239-251.
[49] Byström J. Sharp constants for some inequalities connected to the
p-Laplace operator. J. of Ineq. in Pure and Appl. Math. 2005; 6 (2):
Article 56.
[50] Lions J.-L., Strauss W.A. Some non-linear evolution equations.
Bulletin de la S. M. F. 1965; 93: 43-96.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-268 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:04:41Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/f8/a8202accbc28965457380fa3bde7a1f8.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-2682018-02-13T13:12:44Z Nonlocal problem for nonlinear parabolic equations with variable exponents of the nonlinearities Нелокальна задача для нелінійних параболічних рівнянь зі змінними показниками нелінійності Buhrii, O. M. Бугрій, О. М. The nonlocal problem for nonlinear parabolic equations with variable exponents of the nonlinearities is considered. The existence and uniqueness theorems are proved. Для нелінійних параболічних рівнянь зі змінними показниками нелінійності розглянуто нелокальну задачу. Знайдено достатні умови існування та єдиності її розв'язку. Інститут математики НАН України 2017-11-28 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/268 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 14 No. 3 (2017): Differential equations and related problems of analysis; 47-75 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 14 № 3 (2017): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 47-75 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 14 № 3 (2017): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 47-75 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/268/294 Авторське право (c) 2017 О. М. Бугрій |
| spellingShingle | Buhrii, O. M. Бугрій, О. М. Nonlocal problem for nonlinear parabolic equations with variable exponents of the nonlinearities |
| title | Nonlocal problem for nonlinear parabolic equations with variable exponents of the nonlinearities |
| title_alt | Нелокальна задача для нелінійних параболічних рівнянь зі змінними показниками нелінійності |
| title_full | Nonlocal problem for nonlinear parabolic equations with variable exponents of the nonlinearities |
| title_fullStr | Nonlocal problem for nonlinear parabolic equations with variable exponents of the nonlinearities |
| title_full_unstemmed | Nonlocal problem for nonlinear parabolic equations with variable exponents of the nonlinearities |
| title_short | Nonlocal problem for nonlinear parabolic equations with variable exponents of the nonlinearities |
| title_sort | nonlocal problem for nonlinear parabolic equations with variable exponents of the nonlinearities |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/268 |
| work_keys_str_mv | AT buhriiom nonlocalproblemfornonlinearparabolicequationswithvariableexponentsofthenonlinearities AT bugríjom nonlocalproblemfornonlinearparabolicequationswithvariableexponentsofthenonlinearities AT buhriiom nelokalʹnazadačadlânelíníjnihparabolíčnihrívnânʹzízmínnimipokaznikaminelíníjností AT bugríjom nelokalʹnazadačadlânelíníjnihparabolíčnihrívnânʹzízmínnimipokaznikaminelíníjností |