Reciprocal derivatives of the 2nd type and rational functions
New properties of reciprocal derivatives of the 2nd type are studied. Itis proved that the reciprocal derivative of the 2nd type of the (2n)–thorder of the polynomials p n (z) is equal to zero, and that the reciprocalderivative of the 2nd type of the (2n−1)–th order of the rational functionp m (z)/q...
Збережено в:
| Дата: | 2015 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Онлайн доступ: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/27 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552551384088576 |
|---|---|
| author | Пагіря, М. М. Пагіря, М. М. |
| author_facet | Пагіря, М. М. Пагіря, М. М. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "М. М. Пагіря",
"institution": "Мукачiвський державний унiверситет"
}
] |
| author_sort | Пагіря, М. М. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-23T12:01:13Z |
| description | New properties of reciprocal derivatives of the 2nd type are studied. Itis proved that the reciprocal derivative of the 2nd type of the (2n)–thorder of the polynomials p n (z) is equal to zero, and that the reciprocalderivative of the 2nd type of the (2n−1)–th order of the rational functionp m (z)/q n (z),m < n, is equal to zero as well. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:01:14Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iнституту математики НАН України 2015, т. 12, № 5, 132–139
УДК 517.518:519.652
Оберненi похiднi 2–го типу
многочлена та рацiональної функцiї
М.М. Пагiря
Мукачiвський державний унiверситет, Мукачево;
pahirya@gmail.com
New properties of reciprocal derivatives of the 2nd type are studied. It
is proved that the reciprocal derivative of the 2nd type of the (2n)–th
order of the polynomials pn(z) is equal to zero, and that the reciprocal
derivative of the 2nd type of the (2n− 1)–th order of the rational function
pm(z)/qn(z),m < n, is equal to zero as well.
Изучаются новые свойства обратных производных 2-го типа. Доказа-
но, что обратная производная 2-го типа (2n)–го порядка многочлена
pn(z) равна нулю и обратная производная 2-го типа (2n−1)–го порядка
рациональной функции pm(z)/qn(z),m < n, также равна нулю.
Вступ
Наближення функцiй однiєї дiйсної або комплексної змiнної на де-
якому компактi належить до задач, якi мають не тiльки теоретичне,
а i практичне значення, оскiльки iнтерполяцiйнi агрегати та розви-
нення функцiй широко використовуються при розв’язуваннi багатьох
задач обчислювальної математики. Поряд iз наближеннями функцiй
многочленами або узагальненими многочленами [1] та апроксимацiя-
ми Паде [2] в якостi апарату наближення використовують ланцюговi
дроби [3–5]. Розвинення функцiй у ланцюговий дрiб можна отримати
iз диференцiального рiвняння Рiккатi [6], iз представлення вiдноше-
ння гiпергеометричного ряду правильним ланцюговим С–дробом, iз
розвинення функцiї в степеневий ряд через вiдношення визначни-
кiв Ганкеля, або за допомогою формули Тiле [7], яка ґрунтується
c© М.М. Пагiря, 2015
Оберненi похiднi 2–го типу многочлена . . . 133
на обернених похiдних Тiле. В роботi [8] введенi в розгляд оберне-
нi похiднi 2–го типу та аналог формули Тiле розвинення функцiй в
квазi–обернений ланцюговий дрiб. В данiй роботi доведенi два твер-
дження, якi стосуються обернених похiдних 2–го типу многочлена та
рацiональної функцiї. Цi твердження аналогiчнi вiдповiдним твер-
дженням для обернених похiдних Тiле [9].
1. Означення та основнi вiдомостi
Нехай функцiя f(z) аналiтична в областi Z ⊂ C, яка мiстить круг
K = {z ∈ C : |z − z∗| < R}. Тодi в довiльнiй точцi z ∈ K iснує
розвинення функцiї f(z) в степеневий ряд [10]
f(z) =
∞∑
n=0
cn(z − z∗)
n , cn =
f (n)(z∗)
n!
. (1)
Визначником Ганкеля H(n)
k (z∗) порядку k, який пов’язаний iз степе-
невим рядом (1) (навiть коли (1) формальний степеневий ряд [11]),
називається визначник вигляду
H
(n)
0 (z∗) = 1, H
(n)
k (z∗) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
cn cn+1 cn+2 . . . cn+k−1
cn+1 cn+2 cn+3 . . . cn+k
cn+2 cn+3 cn+4 . . . cn+k+1
...
...
...
. . .
...
cn+k−1 cn+k cn+k+1 . . . cn+2k−2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
,
де k = 1, 2, . . . , cn = 0, коли n < 0.
Функцiя f(z) в областi Z може бути розвинута в квазi–обернений
ланцюговий дрiб в околi точки z∗ наступним чином [12]
f(z) =
(
1
f(z∗)
+
z − z∗
{1}f(z∗) +
z − z∗
2/
(
{1}f(z∗)
)′ +
z − z∗
3/
(
{2}f(z∗)
)′ +
+ · · · +
z − z∗
n/
(
{n−1}f(z∗)
)′ + · · ·
)−1
,
де {n}f(z∗)— значення оберненої похiдної 2–го типу функцiї f(z) в
точцi z∗. Оберненi похiднi 2–го типу обчислюються за допомогою ре-
134 М. М. Пагiря
курентного спiввiдношення
{k}f(z) =
k
({k−1}f(z))
′ +
{k−2}f(z), k = 2, 3, . . .
при початкових значеннях {0}f(z) = 1/f(z), {1}f(z) = −f2(z)/f ′(z).
В [12] встановленi деякi властивостi обернених похiдних 2–го типу.
Теорема 1.1. Нехай f(z∗) 6= 0 в z∗ ∈ Z. Тодi {1}f(z∗) = ∞, якщо
f ′(z∗) = 0, i {1}f(z∗) = 0, якщо f ′(z∗) = ∞.
Теорема 1.2. Нехай для кожного z ∈ Z функцiї u = f(z) та
v = g(z) мають скiнченi оберненi похiднi 2–го типу. Тодi iснують
оберненi похiднi 2–го типу суми, рiзницi, добутку та частки цих
функцiй, якi визначаються за формулами
{1}(u ± v) =
(u± v)2 · {1}u · {1}v
u2 · {1}v ± v2 · {1}u
, {1}(u · v) = uv · {1}u · {1}v
u · {1}v + v · {1}u
,
{1}(u/v) =
(u/v) · {1}u · {1}v
u · {1}v − v · {1}u
.
Теорема 1.3. Нехай функцiя w = f(z) для кожного z ∈ Z має
оберненi похiднi 2–го типу до n–го порядку включно, C = const, C 6=
0, тодi виконуються спiввiдношення
{2m}(Cw) =
1
C
· {2m}w, {2m+1}(Cw) = C · {2m+1}w, m = 0, 1, . . .
Теорема 1.4. Оберненi похiднi 2–го типу функцiї f(z) в точцi
z∗ ∈ Z визначаються через звичайнi похiднi функцiї в цiй точцi як
вiдношення визначникiв Ганкеля наступним чином
{2n}f(z∗) = H(2)
n (z∗)/H
(0)
n+1(z∗) , n = 1, 2, . . . , (2a)
{2n+1}f(z∗) = H
(−1)
n+2 (z∗)/H
(1)
n+1(z∗) , n = 0, 1, . . . (2b)
Формули (2) є аналогом спiввiдношень Ньорлунда для обернених
похiдних Тiле [13].
В роботi [12] отриманi розвинення в квазi–обернений ланцюговий
дрiб функцiй ez, (c+ z)α, ln(c+ z), c, α ∈ C. При доведеннi тверджень
даної роботи будемо спиратися на наступнi теореми.
Оберненi похiднi 2–го типу многочлена . . . 135
Теорема 1.5 ( [12]). (A) Якщо α ∈ C\Z, c ∈ C, c = const, то
функцiя (c+ z)α має оберненi похiднi 2–го типу довiльного порядку,
якi обчислюються за формулами
{2n}(c+ z)α =
n∏
m=1
(m− α)
n∏
m=1
(m+ α)
(c+ z)−α, (3)
{2n+1}(c+ z)α =
(n+ 1)
n+1∏
m=2
(m+ α)
n∏
m=0
(m− α)
(c+ z)α+1, n = 0, 1, . . . (4)
(B) Якщо α = n, n∈N, то функцiя (c+z)n має оберненi похiднi 2–го
типу до (2n)–го порядку включно, якi визначаються за формулами
(3) та (4), крiм того
{2n}(c+ z)n = 0. (5)
(C) Якщо α = −n, n ∈ N, то функцiя (c + z)−n має оберненi похi-
днi 2–го типу до (2n− 1)–го порядку включно, якi визначаються за
формулами (3) та (4), крiм того {2n−1}(c+ z)−n = 0.
Теорема 1.6 ( [9]). Для функцiї
g(z) =
n∑
i=1
ai
(z − α)i
, ai, α ∈ C,
для довiльного значення z∗ ∈ C\{α} ранг нескiнченої матрицi Ган-
келя
H(0)(z∗) =
c0 c1 c2 . . . cn . . .
c1 c2 c3 . . . cn+1 . . .
c3 c2 c4 . . . cn+2 . . .
...
...
...
. . .
... . . .
cn cn+1 cn+2 . . . c2n . . .
cn cn+2 cn+3 . . . c2n+1 . . .
...
...
...
...
...
. . .
, ck =
g(k)(z∗)
k!
(k = 0, 1, . . . ) дорiвнює n.
136 М. М. Пагiря
Наслiдок 1.1 ( [9]). Довiльний визначник (n+m+1)–го порядку
вигляду
H̃
(0)
n+1 =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
ck0 ck1 . . . ckn b1 b2 . . . bm
ck0+1 ck1+1 . . . ckn+1 b2 b3 . . . bm+1
...
...
...
...
...
...
. . .
...
ck0+n ck1+n . . . ckn+n bn+1 bn+2 . . . bm+n
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= 0,
при довiльних k0, k1, . . . , kn ∈ N та m ∈ N, де b1, b2, . . . , bn+m ∈ C.
2. Обернена похiдна 2–го типу многочлена
Теорема 2.7. Обернена похiдна 2–го типу 2n–го порядку мно-
гочлена pn(z) = a0 + a1z + · · · + anz
n, n = 1, 2, . . . , тотожно рiвна
нулю.
Доведення. Коли n = 1, то твердження теореми випливає з (5).
Якщо вибрати деяке z∗ ∈ C, то в загальному випадку при n = 2, 3, . . . ,
з (2a) маємо, що {2n}pn(z∗) = H
(2)
n (z∗)/H
(0)
n+1(z∗). Оскiльки у випадку
многочлена n–го порядку cn+1 = cn+2 = · · · = c2n = 0, то останнiй
стовпчик ганкелевого визначника H
(2)
n (z∗) буде складатися лише iз
нулiв, а отже H(2)
n (z∗) ≡ 0. В той же час останнiй стовпчик ганке-
левого визначника H
(0)
n (z∗) буде мiстити один не нульовий елемент
cn = ann!, а отже цей визначник нулю не рiвний. Звiдси маємо, що
{2n}pn(z∗) ≡ 0 для довiльного значення z∗ ∈ C.
3. Обернена похiдна 2–го типу рацiональної фун-
кцiї
Теорема 3.8. Нехай функцiя Rm,n(z) = pm(z)/qn(z) задана на
Z ⊂ C, де pm(z) та qn(z)— многочлени вiдповiдно степенiв m та
n,m < n, многочлен qn(z) не має коренiв в Z. Обернена похiдна 2–го
типу (2n−1)–го порядку функцiї Rm,n(z) тотожно дорiвнює нулевi
для всiх z∗ ∈ Z.
Доведення. а) У випадку, коли R0,n(z) = A/(z − α)n, то згiдно
з теоремою 1.3 та теоремою 1.5 маємо, що {2n−1}R0,n(z) ≡ 0.
Оберненi похiднi 2–го типу многочлена . . . 137
б) Якщо Rm,n(z) = pm(z)/(z − α)n, то функцiя може бути подана у
виглядi суми простих дробiв наступним чином
Rm,n(z) =
n∑
i=1
ai
(z − α)i
.
Згiдно з (2b) {2n−1}Rm,n(z∗) = H
(−1)
n+1 (z∗)/H
(1)
n (z∗). Елементи ганкеле-
вих визначникiв H(−1)
n+1 (z∗) та H(1)
n (z∗) складаються iз елементiв, якi
визначаються наступним чином
ck =
n∑
i=1
(
k + i− 1
k
)
(−1)kai
(z∗ − α)k+i
, k = 0, 1, . . .
Згiдно з теоремою 1.6 визначник H(−1)
n+1 (z∗) = 0. Водночас H(0)
n (z∗) 6=
0. А тодi {2n−1}Rm,n(z∗) ≡ 0 для довiльного z∗ ∈ Z.
в) В загальному випадку довiльну рацiональну функцiю Rm,n(z) мо-
жна розвинути у суму простих дробiв, тобто подати у виглядi
Rm,n(z) =
r∑
s=1
ls∑
is=1
a
(s)
is
(z − αs)is
, l1 + l2 + · · ·+ lr = n.
Елементи визначникiв H(−1)
n+1 (z∗) та H(0)
n (z∗) в (2b) будуть рiвнi
ck =
1
k!
dk
d zk
(Rm,n(z))
∣∣
z=z∗
=
r∑
s=1
ls∑
is=1
(
k + is − 1
k
)
(−1)ka
(s)
is
(z∗ − αs)k+is
,
де k = 0, 1, . . . , 2n.
Визначник Ганкеля H = H
(−1)
n+1 (z∗) в цьому випадку буде мати
вигляд
H =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
0 . . .
r∑
s=1
ls∑
is=1
(−1)n(is)na
(s)
is
n!(z∗−αs)is+n
r∑
s=1
ls∑
is=1
a
(s)
is
(z∗−αs)is
. . .
r∑
s=1
ls∑
is=1
(−1)n+1(is)n+1a
(s)
is
(n+1)!(z∗−αs)is+n+1
...
. . .
...
r∑
s=1
ls∑
is=1
(−1)n(is)na
(s)
is
n!(z∗−αs)is+n . . .
r∑
s=1
ls∑
is=1
(−1)2n+1(is)2n+1a
(s)
is
(2n+1)!(z∗−αs)is+2n+1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
,
138 М. М. Пагiря
де (is)n— символ Похгаммера.
Оскiльки кожний стовпчик визначника H мiстить n доданкiв, то
такий визначник буде рiвний сумi n визначникiв, якi вiдрiзняються
лише елементами першого стовпчика. Кожен iз отриманих визначни-
кiв можна розвинути у суму n визначникiв, якi будуть вiдрiзнятися
лише елементами другого стовпчика. В результатi будемо мати n ви-
значникiв. Продовжуючи подiбнi розвинення за третiм, четвертим, i
т.д., (n+2)–м стовпчиком, врештi–решт отримаємо nn+2 визначникiв,
якi будуть мiстити лише по одному доданку iз суми кожного стовпця
визначника H.
Виберемо один iз таких визначникiв
H̃(−1)
n+1 =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
0 . . .
(
jn+n−1
n
) (−1)nb
(n)
jn
(z−βn)jn+n
b
(0)
j0
(z−β0)j0
. . .
(
jn+n
n+1
) (−1)n+1b
(n)
jn
(z−βn)jn+n+1
(
j0
1
) −b(0)
j0
(z−β0)j0+1 . . .
(
jn+n+1
n+2
) (−1)n+2b
(n)
jn
(z−βn)jn+n+2
...
. . .
...
(
j0+n−1
n
) (−1)nb
(0)
j0
(z−β0)j0+n . . .
(
jn+2n
2n+1
) (−1)2n+1b
(n)
jn
(z−βn)jn+2n+1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
,
де βt ∈ {α1, α2, . . . , αr}, t = 0, 1, 2, . . . , n, а jt приймає деяке iз мо-
жливих своїх значень, якi вiдповiднi βt, тобто, якщо βt = αs, то
1 ≤ jt ≤ ls, b
(t)
jt
= a
(s)
jt
.
Оскiльки визначник H̃(−1)
n+1 мiстить (n+2)–а стовпцi, а знаменник
qn(z) має r рiзних коренiв, 1 ≤ r ≤ n, то принаймнi два βt будуть
приймати однаковi значення.
В кожному такому визначнику мiстять стовпцi, якi вiдповiдають
одному i тому кореню αs, i кiлькiсть таких стовпцiв бiльша за кра-
тнiсть кореня ls. Цi стовпцi будуть лiнiйно залежними, а тодi згiдно
iз наслiдком 1.1 кожен такий визначник буде рiвний нулю.
Визначник H(−1)
n+1 (z∗) рiвний нулю як сума визначникiв того ж по-
рядку, кожен з яких рiвний нулю. Тодi з (2b) випливає, що для до-
вiльного z∗ ∈ Z виконується {2n−1}Rm,n(z∗) ≡ 0.
[1] Гаврилюк I.П., Макаров В.Л. Методи обчислень. У 2 ч. — К.: Вища
шк., 1995. — Ч. 1. — 367 с.
Оберненi похiднi 2–го типу многочлена . . . 139
[2] Бейкер Дж., Грейвс–Моррис П. Аппроксимации Паде. — М.: Мир,
1986. — 502 с.
[3] Джоунс У., Трон В. Непрерывные дроби. Аналитическая теория и
приложения. — М.: Мир, 1985. — 414 с.
[4] Cuyt A., Brevik Petersen V., Verdonk B., Waadeland H., Jones W.B.
Handbooks of Continued Fractions for Special Functions. — Berlin–
Heidelberg–New York: Springer, 2008. — XVI+431 p.
[5] Lorentzen L., Waadeland H. Continue Fraction with Applications. — Ams-
terdam–London–New York–Tokyo: North–Holland, 1992.— 606 p.
[6] Хованский А.Н. Приложение цепных дробей и их обобщений к вопро-
сам приближенного анализа. — М: ГИТТЛ, 1956. — 203 с.
[7] Thiele T.N. Interpolationsprechnung.— Leipzig: Commis. von B. G. Te-
ubner, 1909.— XII+175 s.
[8] Пагiря М.М. Оберненi похiднi 2–го типу та їх властивостi // Наук.
вiсник Ужгород. ун–ту. Сер. матем. i iнформ. — 2009. — 18. — С. 99–
105.
[9] Пагiря М.М. Двi властивостi обернених похiдних Тiле // Теорiя на-
ближень функцiй та сумiжнi питання: Зб. праць Iн–ту математики
НАН України. — 2015. – 12, 4. — С. 226–234.
[10] Гурвиц А., Курант Р. Теория функций. — М.: Наука, ГИФМЛ, 1968. —
648 с.
[11] Henrici P. Applied and Computational Complex Analysis. Vol. 1. Power
Series–Integration–Conformal Mapping–Location of Zeros. — New York–
London–Sydney–Toronto: A Wiley–Interscience publication, 1974. —
XV+682 p.
[12] Пагiря М.М. Розвинення функцiй комплексної змiнної в квазi–оберне-
ний iнтерполяцiйний ланцюговий дрiб типу Тiле // Наук. вiсник
Ужгород. ун–ту. Сер. матем. i iнформ. — 2014. — 25, 2. — С. 131–144.
[13] Nörlund N.E. Vorlesungen über Differenzenrechnung. — Berlin: Springer,
1924. — IX+551 s.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-27 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:01:14Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/fc/8352f10c962b529dd15a28015a3204fc.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-272018-01-23T12:01:13Z Reciprocal derivatives of the 2nd type and rational functions Оберненi похiднi 2–го типу многочлена та рацiональної функцiї Пагіря, М. М. Пагіря, М. М. New properties of reciprocal derivatives of the 2nd type are studied. Itis proved that the reciprocal derivative of the 2nd type of the (2n)–thorder of the polynomials p n (z) is equal to zero, and that the reciprocalderivative of the 2nd type of the (2n−1)–th order of the rational functionp m (z)/q n (z),m &lt; n, is equal to zero as well. Изучаются новые свойства обратных производных 2-го типа. Доказа-но, что обратная производная 2-го типа (2n)–го порядка многочленаp n (z) равна нулю и обратная производная 2-го типа (2n−1)–го порядкарациональной функции p m (z)/q n (z),m &lt; n, также равна нулю. Інститут математики НАН України 2015-12-01 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/27 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 12 No. 5 (2015): Mathematical problems of mechanics and computational mathematics; 132-139 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 12 № 5 (2015): Математичні проблеми механіки та обчислювальної математики; 132-139 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 12 № 5 (2015): Математичні проблеми механіки та обчислювальної математики; 132-139 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/27/27 Авторське право (c) 2015 Праці Інституту математики НАН України |
| spellingShingle | Пагіря, М. М. Пагіря, М. М. Reciprocal derivatives of the 2nd type and rational functions |
| title | Reciprocal derivatives of the 2nd type and rational functions |
| title_alt | Оберненi похiднi 2–го типу многочлена та рацiональної функцiї |
| title_full | Reciprocal derivatives of the 2nd type and rational functions |
| title_fullStr | Reciprocal derivatives of the 2nd type and rational functions |
| title_full_unstemmed | Reciprocal derivatives of the 2nd type and rational functions |
| title_short | Reciprocal derivatives of the 2nd type and rational functions |
| title_sort | reciprocal derivatives of the 2nd type and rational functions |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/27 |
| work_keys_str_mv | AT pagírâmm reciprocalderivativesofthe2ndtypeandrationalfunctions AT pagírâmm reciprocalderivativesofthe2ndtypeandrationalfunctions AT pagírâmm obernenipohidni2gotipumnogočlenataracionalʹnoífunkcií AT pagírâmm obernenipohidni2gotipumnogočlenataracionalʹnoífunkcií |