Approximation of classes $\overline{\psi}$-differentiated functions by the Fourier sums
We consider deviations of Fourier sums on the spaces $C^{\overline{\psi}}_{\infty}$ and estimates of these deviations are expressed by the best approximation $\overline{\psi}$-derivative functions of two variables in the understanding of A.I.Stepanets are obtained. The sequence $\psi_i^{(j)}(k_i),$...
Gespeichert in:
| Datum: | 2015 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/280 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552780793643008 |
|---|---|
| author | Bodra, V. I. Zaderey, P. V. Бодра, В. І. Задерей, П. В. |
| author_facet | Bodra, V. I. Zaderey, P. V. Бодра, В. І. Задерей, П. В. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "В. І. Бодра",
"institution": "Київський національний університет технологій та дизайну"
},
{
"author": "П. В. Задерей",
"institution": "Київський національний університет технологій та дизайну"
}
] |
| author_sort | Bodra, V. I. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-02-02T22:10:08Z |
| description | We consider deviations of Fourier sums on the spaces $C^{\overline{\psi}}_{\infty}$ and estimates of these deviations are expressed by the best approximation $\overline{\psi}$-derivative functions of two variables in the understanding of A.I.Stepanets are obtained. The sequence $\psi_i^{(j)}(k_i),$ $i=1,2,$ $j=1,2,$ are quasiconvex functions. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:04:53Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2015, Т.12, №4, 37–53
УДК 517.54
В. I. Бодра, П. В. Задерей (Київський нацiональний унiверситет
технологiй та дизайну, Київ)
НАБЛИЖЕННЯ КЛАСIВ ψ–ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ
ФУНКЦIЙ СУМАМИ ФУР’Є
We consider deviations of Fourier sums on the spaces Cψ∞ and estimates of
these deviations are expressed by the best approximation ψ-derivative functions
of two variables in the understanding of A. I. Stepanets are obtained. The
sequence ψ(j)
i (ki), i = 1, 2, j = 1, 2, are quasiconvex functions.
Розглядається вiдхилення сум Фур’є на просторах Cψ∞, причому отри-
манi оцiнки таких вiдхилень вираженi через найкращi наближення ψ-
похiдних функцiй двох змiнних в розумiннi О. I. Степанця. Послiдовно-
стi ψ(j)
i (ki), i = 1, 2, j = 1, 2, – квазiопуклi функцiї.
Нехай L — простiр 2π-перiодичних сумовних за Лебегом функцiй
f з нормою ‖f‖L =
π∫
−π
|f(t)|dt, а C — пiдпростiр L, що складається з
неперервних функцiй з нормою ‖f‖C = max
t
|f |.
Нехай
S[f ] :=
a0(f)
2
+
∞∑
k=1
(ak(f) cos kx+ bk(f) sin kx) (1)
— ряд Фур’є функцiї f ∈ L за тригонометричною системою; a0(f),
ak(f), bk(f), k = 1, 2, . . . , — її коефiцiєнти Фур’є. Позначимо через
Sn(f ;x) частинну суму ряду Фур’є (1) порядку n i покладемо
ρn(f ;x) = f(x)− Sn(f ;x).
Нехай далi Tn — множина усiх тригонометричних полiномiв tn
вигляду tn(x) =
n∑
k=0
(
αk cos kx + βk sin kx
)
, αk, βk — довiльнi дiйснi
числа, а
En(f)C := inf
tn∈Tn
‖f(x)− tn(x)‖C (2)
c© В. I. Бодра, П. В. Задерей, 2015
38 В. I. Бодра, П. В. Задерей
— найкраще наближення функцiї f за допомогою тригонометричних
полiномiв в метрицi простору C.
А. Лебег показав [1], що для довiльного n ∈ N
‖ρn(f ;x)‖C ≤ (Ln + 1)En(f)C , (3)
де Ln — норма оператора Sn, що дiє з простору C в C.
Як вiдомо, (див., наприклад, [6, с. 30]) для будь-якого n ∈ N :
Ln = 4
π2 lnn + rn, де |rn| < 1, 8. Тому спiввiдношення (3) можна
записати у виглядi
‖ρn(f ;x)‖C ≤
(
4
π2
lnn+Rn
)
En(f)C , |Rn| < 2, 8. (4)
Зауважимо, що нерiвнiсть (4) є асимптотично точною на всьому
просторi C, але вона перестає бути точною на деяких пiдмножинах
C.
К.I. Осколков [5] довiв, що для довiльної f ∈ C
‖ρn(f ;x)‖C ≤ K
n∑
k=0
En+k(f)C
k + 1
, (5)
деK > 0 — деяка стала i показав, що якщо ε = {εk}, k = 0, 1, 2, . . . , —
монотонно спадна до нуля послiдовнiсть невiд’ємних чисел (надалi
будемо писати ε ∈ P0) i Cε = {f ∈ C : Ek(f)C ≤ εk, k = 0, 1, 2, . . .}, то
iснують додатнi сталi K1 i K2, що
K1
n∑
k=0
εn+k
k + 1
≤ sup
f∈Cε
‖ρn(f ;x)‖C ≤ K2
n∑
k=0
εn+k
k + 1
. (6)
О.I. Степанець (див. [6, с. 149]) ввiв поняття ψ̄-похiдних i визна-
чив класи Cψ̄ наступним чином.
Нехай f ∈ L i ряд (1) — її ряд Фур’є, ψ̄ = (ψ1, ψ2) — пара довiль-
них числових послiдовностей ψ1(k) i ψ2(k), причому для довiльного
k = 0, 1, 2, ... ψ
2
(k) = ψ2
1(k) + ψ2
2(k) 6= 0.
Якщо ряд
∞∑
k=1
(
ψ1(k)
ψ
2
(k)
Ak(f ;x)− ψ2(k)
ψ
2
(k)
Ãk(f ;x)
)
,
Наближення класiв ψ–диференцiйовних функцiй . . . 39
де Ak(f ;x) = ak(f) cos kx + bk(f) sin kx, Ãk(f ;x) =
= ak(f) sin kx− bk(f) cos kx, є рядом Фур’є деякої функцiї ϕ ∈ L, то
ϕ назвемо ψ̄-похiдною функцiї f i позначимо її через f ψ̄(·), тобто
ϕ(x) = fψ(x).
Через Cψ̄ позначається множина всiх неперервних функцiй f, у
яких iснують ψ̄-похiднi. Покладемо
Cψ̄C = {f ∈ Cψ̄ : f ψ̄ ∈ C},
Cψ̄Cε = {f ∈ Cψ̄ : f ψ̄ ∈ Cε},
C0 = {f ∈ C :
π∫
−π
f(t)dt = 0}.
Далi через M позначимо множину опуклих донизу при v ≥ 1
функцiй ψ(v), для яких lim
v→∞
ψ(v) = 0; η(t) = η(ψ, t) = = ψ−1( 1
2ψ(t)),
µ(ψ, t) = t
η(t)−t ; M0 — пiдмножина функцiй ψ ∈ M, для яких 0 <
µ(ψ, t) ≤ K < ∞, M′ — пiдмножина функцiй ψ ∈ M, для яких
∞∫
1
|ψ(t)|
t dt <∞; F = {ψ ∈M : η′(ψ, t) ≤ K}.
О.I. Степанцем встановлено такий аналог нерiвностi Лебега (4)
(див. [6], с. 216): Якщо ±ψ1 ∈ M0, ±ψ2 ∈ M′0, то для довiльної
f ∈ Cψ̄C0 та довiльного n ∈ N
‖ρn−1(f ;x)‖C ≤
≤
(
4
π2
ψ̄(n) lnn+
2
π
∞∫
n
|ψ2(t)|
t
dt+O(1)ψ̄(n)
)
En(f ψ̄)C , (7)
де O(1) — величина рiвномiрно обмежена по n та по f.
Там же (див. [6, с. 218, 242–244]) показано, що ∀ε ∈ P0 iснує
функцiя f∗ ∈ Cψ̄Cε така, що
‖ρn−1(f∗;x)‖C =
=
(
4
π2
ψ̄(n) lnn+
2
π
∞∫
n
|ψ2(t)|
t
dt+O(1)ψ̄(n)
)
εn−1.
40 В. I. Бодра, П. В. Задерей
Задерей П.В. та Задерей Н.М. в роботi [3] встановили нерiвнiсть
Лебега для квазiопуклих послiдовностей ψi, i=1,2. В цiй роботi по-
казано, що якщо виконуються умови:
lim
k→∞
ψ1(k) = lim
k→∞
ψ2(k) = 0, (8)
∞∑
k=1
|ψ2(k)|
k
<∞,
∞∑
k=1
k
(
|∆2ψ1(k − 1)|+ |∆2ψ2(k − 1)|
)
<∞, (9)
де ∆2ψi(k − 1) = ψi(k − 1) − 2ψi(k) + ψi(k + 1), i = 1, 2, тодi для
будь-якої функцiї f ∈ CψC0 при n ∈ N виконується нерiвнiсть
||ρn(f ;x)||C ≤
≤
(
4
π2
n∑
k=1
1
k
√
ψ2
1(n+ k) + ψ2
2(n+ k) +
2
π
∞∑
k=2n+1
|ψ2(k)|
k
+
+O(1)
∞∑
k=1
k(|∆2ψ1(n+ k − 1)|+ |∆2ψ2(n+ k − 1)|)
)
En(fψ)C . (10)
Метою даної роботи є встановлення нерiвностi типу Лебега (10)
для функцiй двох змiнних.
Нехай f(x) = f(x1, x2) — 2π–перiодична функцiя по кожнiй змiн-
нiй, сумовна на T 2 (f ∈ L(T 2)),
T 2 = {x = (x1, x2) : −π ≤ xi ≤ π, i = 1, 2},
S[f ] =
∞∑
k1=0
∞∑
k2=0
2−q(k1,k2)Ak1,k2(f ;x1, x2) =
∞∑
k=0
2−q(k)Ak(f ;x) (11)
— ряд Фур’є функцiї f ∈ L(T 2), де q(k) = q(k1, k2) — кiлькiсть нулiв
серед координат точки k = (k1, k2), а
Ak1,k2(f ;x1, x2)=Ak(f ;x) =
∑
γ∈P
ak(f ; γ)
2∏
i=1
cos
(
kixi − γi
π
2
)
, (12)
Наближення класiв ψ–диференцiйовних функцiй . . . 41
P — множина точок γ = (γ1, γ2) ∈ R2, координати яких γi, i = 1, 2,
приймають значення 0, або 1;
ak(f ; γ) =
1
π2
∫
T 2
f(t)
2∏
i=1
cos
(
kiti − γi
π
2
)
dt (13)
— коефiцiєнти Фур’є функцiї f ∈ L(T 2).
Нехай далi M = {1, 2} i µ ⊆ M, µ 6= ∅, |µ| — кiлькiсть елементiв
множини µ (|M | = 2). Якщо f ∈ L(T 2), то покладемо
S[f ]µ =
∞∑
kµ=0
2−q(kµ) 1
π|µ|
∫
T |µ|
f(tµ;xcµ)
∏
i∈µ
cos ki(ti − xi)dti. (14)
Зокрема, якщо µ = {1}, то, розкладаючи функцiю f(x1, x2) в ряд
Фур’є по змiннiй x1, одержимо
S[f ]{1} =
∞∑
k1=0
2−1 1
π
π∫
−π
f(t1;x2) cos k1(t1 − x1)dt1, (15)
аналогiчно при µ = {2}
S[f ]{2} =
∞∑
k2=0
2−1 1
π
π∫
−π
f(x1; t2) cos k2(t2 − x2)dt2. (16)
Ряди (15) та (16) називають частинними рядами Фур’є вiдповiдно
по змiнних x1 та x2. У випадку, коли µ = M S[f ]µ = S[f ].
Нехай далi ψi(ki) := (ψ
(1)
i (ki), ψ
(2)
i (ki), ), i = 1, 2, – пари довiльних
систем чисел ψ
(j)
i (ki), j = 1, 2, i = 1, 2, ki = 0, 1, 2, ...; ψ
(1)
i (0) = 1,
ψ
(2)
i (0) = 0, i = 1, 2.
Нехай дано функцiю f ∈ L(T 2) з рядом Фур’є (11) i множини
µ ⊆M , послiдовностi
ψ
2
i (ki) := (ψ
(1)
i (ki))
2 + (ψ
(2)
i (ki))
2 6= 0, ki ∈ N ∪ {0}, i = 1, 2.
42 В. I. Бодра, П. В. Задерей
Якщо ряд
∞∑
kµ=1
1
π|µ|
∫
T |µ|
f(tµ + xcµ)
∏
i∈µ
1
ψ
2
i (ki)
(
ψ
(1)
i (ki) cos ki(ti − xi)+
+ψ
(2)
i (ki) sin ki(ti − xi)
)
dtµ (17)
є рядом Фур’є деякої функцiї ϕ ∈ L(T 2) по змiнних xi, i ∈ µ, то
цю функцiю назвемо ψµ-похiдною функцiї f(x) i позначимо через
fψµ(x).
При µ = {1} fψ1(x) – ψ1-похiдна функцiї f(x) по змiннiй x1,
при µ = {2} fψ2(x) – ψ2-похiдна функцiї f(x) по змiннiй x2, а при
µ = {1, 2} fψ1,2(x) = fψ(x) – ψ-похiдна функцiї f(x) по змiнних x1 i
x2.
Множину функцiй f ∈ L(T 2) таких, що для ∀µ ⊆M iснують по-
хiднi fψµ(x), позначимо Lψ. Якщо f ∈ Lψ i для будь-якого µ ⊆ M,
fψµ ∈ N, де N – деяка пiдмножина з L(T 2), то множину таких функ-
цiй позначимо через LψN. Пiдмножину неперервних функцiй з Lψ i
LψN позначимо вiдповiдно Cψ i CψN. Нехай Cψ∞ – множина функ-
цiй f(x) = f(x1, x2) 2π-перiодичних по кожнiй змiннiй i якi мають
ψ1-похiдну по змiннiй x1, ψ2-похiдну по змiннiй x2 i ψ-похiдну по
змiнних x1, x2, причому майже скрiзь |fψ1(x)| ≤ 1, |fψ2(x)| ≤ 1,
|fψ(x)| ≤ 1.
Введемо наступнi позначення
Sn1,n2
(f ;x1, x2)=Sn(f ;x)=
n1∑
k1=0
n2∑
k2=0
2−q(k1,k2)Ak1,k2(f ;x1, x2)=
=
n∑
k=0
2−q(k)Ak(f ;x) =
n∑
k=0
2−q(k) 1
π2
∫
T 2
f(t)
2∏
i=1
cos ki(ti − xi)dt (18)
— прямокутна частинна сума ряду Фур’є (11),
ρn(f ;x) = ρn1,n2(f ;x1, x2) =
Наближення класiв ψ–диференцiйовних функцiй . . . 43
= f(x)− Sn(f ;x) = f(x1, x2)− Sn1,n2
(f ;x1, x2) (19)
— вiдхилення функцiї вiд її частинної суми ряду Фур’є.
Нехай Tµ,nµ — множина функцiй tµ,nµ(x) таких, що при µ = {1}
T{1},n1
= Tn1
=
=
{
tn1(x1, x2) =
n1∑
k1=0
(ak1(x2; 0) cos k1x1 + ak1(x2; 1) sin k1x1)
}
— тригонометричний полiном по змiннiй x1, коефiцiєнти якого зале-
жать вiд змiнної x2; при µ = {2} T{2},n2
= Tn2 =
=
{
tn2
(x1, x2) =
n2∑
k2=0
(ak2(x1; 0) cos k2x2 + ak2(x1; 1) sin k2x2)
}
— тригонометричний полiном по змiннiй x2, коефiцiєнти якого зале-
жать вiд змiнної x1. А при µ = {1, 2}
T{1,2},n = Tn1,n2 =
{
tn1,n2(x1, x2) =
=
n1∑
k1=0
n2∑
k2=0
(ak1,k2(0; 0) cos k1x1 cos k2x2+
+ak1,k2(1; 0) sin k1x1 cos k2x2+
+ak1,k2(0; 1) cos k1x1 sin k2x2 + ak1,k2(1; 1) sin k1x1 sin k2x2
}
— тригонометричний полiном за двома змiнними. Нехай далi
Eµ,nµ(ϕ)C = inf
tµ,nµ∈Tµ,nµ
||ϕ(x)− tµ,nµ(x)||C
— найкраще наближення функцiї ϕ ∈ C функцiями tµ,nµ ∈ Tµ,nµ .
В данiй роботi встановлено аналог нерiвностi Лебега (10) для
класiв ψ-диференцiйовних функцiй двох змiнних, де ψ(j)
i (ki), i = 1, 2,
j = 1, 2, — квазiопуклi функцiї.
44 В. I. Бодра, П. В. Задерей
Tеорема. Нехай lim
k→∞
ψ
(j)
i (k) = 0,
∞∑
ki=1
|ψ(2)
i (ki)|
ki
<∞, i = 1, 2,
∞∑
ki=1
ki(|∆2ψ
(1)
i (ki + ni − 1)|+ |∆2ψ
(2)
i (ki + ni − 1)|) <∞,
де ∆2ψ
(j)
i (ki − 1) = ψ
(j)
i (ki − 1) − 2ψ
(j)
i (ki) + ψ
(j)
i (ki + 1), i = 1, 2,
j = 1, 2.
Тодi для ∀f ∈ CψC0, ∀n = (n1, n2), ni ∈ N, i = 1, 2,∣∣∣∣∣∣ρn(f ;x)
∣∣∣∣∣∣
C
≤ E1,2;n(fψ)En1
(Cψ1∞ )En2
(Cψ2∞ )+
+E1;n1
(fψ1)En1
(Cψ1∞ ) + E2;n2
(fψ2)En2
(Cψ2∞ )+
+O(1)
[
E1;n1(fψ1)Rn1 + E2;n2(fψ2)Rn2+
+E1,2;n(fψ)
(
Rn1
En2
(Cψ2∞ ) + En1
(Cψ1∞ )Rn2
+Rn1
Rn2
)]
, (20)
де
Eni(Cψi∞ ) =
4
π2
ni∑
ki=1
1
ki
√
(ψ
(1)
i (ni + ki))2 + (ψ
(2)
i (ni + ki))2+
+
2
π
∞∑
ki=2ni+1
|ψ(2)
i (ki)|
ki
,
|Rni | ≤ Ki
∞∑
ki=1
ki(|∆2ψ
(1)
i (ki + ni − 1)|+ |∆2ψ
(2)
i (ki + ni − 1)|).
При ψi ∈ F i ψ(1)
i (ki) = ψi(ki) cosβi
π
2 , ψ
(2)
i (ki) = = ψi(ki) sinβi
π
2
аналог нерiвностi Лебега належить О.I. Степанцю та Н.Л. Пачулiї
[9], а при ψ(1)
i (ki) ∈M0, ψ
(2)
i (ki) ∈M′0, — Р.А. Ласурiї [4].
Наближення класiв ψ–диференцiйовних функцiй . . . 45
Доведення. Добре вiдомо (див. [6], с. 178), що у випадку m = 1
для довiльної функцiї f(·) ∈ Lψ майже в кожнiй точцi x справедлива
рiвнiсть
ρn(f ;x) =
1
π
π∫
−π
fψ(x− t)Fn(ψ; t)dt, (21)
де
Fn(ψ; t) =
∞∑
k=n
ψ(1)(k) cos kt+ ψ(2)(k) sin kt,
ψ = (ψ(1), ψ(2)) ∈ L, тобто ряд
∞∑
k=1
(ψ(1)(k) cos kx+ ψ(2)(k) sin kx)
є рядом Фур’є деякої функцiї Ψ(x).
Згiдно (15)
Sn1(f ;x) =
n1∑
k1=0
2−q(k1) 1
π
π∫
−π
f(x1 − t1, x2) cos k1t1dt1.
На основi рiвностi (21) для функцiї f(x) як для функцiї однiєї
змiнної будемо мати
Sn1(f ;x) = f(x)− 1
π
π∫
−π
fψ1(x1 − t1, x2)Fn1(ψ1; t1)dt1, (22)
де
Fn1
(ψ1; t1)=Fn1
(t1) =
∞∑
k1=n1+1
(ψ
(1)
1 (k1) cos k1t1 + ψ
(2)
1 (k1) sin k1t1),
ψ1 ∈ L, а fψ1(x1, x2) — частинна ψ1–похiдна за О.I. Степанцем функ-
цiї f(x1, x2).
Оскiльки на основi (22)
Sn(f ;x) = Sn2(Sn1(f ;x)) = Sn1(f ;x)−
46 В. I. Бодра, П. В. Задерей
− 1
π
π∫
−π
(Sn1
(f ;x1, x2 − t2))ψ2Fn2
(ψ2; t2)dt2, ψ2 ∈ L, (23)
i
Sψ2
n1
(f ;x1, x2 − t2) = fψ2(x1;x2 − t2)− 1
π
π∫
−π
fψ(x− t)Fn1
(t1)dt1, (24)
то
Sn(f ;x) = Sn1
(f ;x)− 1
π
π∫
−π
fψ2(x1, x2 − t2)Fn2
(ψ2; t2)dt2+
+
1
π2
∫
T 2
fψ(x− t)Fn1
(t1)Fn2
(t2)dt1dt2.
Пiдставляючи в останню рiвнiсть значення Sn1
(f ;x) з (22), будемо
мати
Sn(f ;x) = f(x)− 1
π
π∫
−π
fψ1(x1 − t1, x2)Fn1
(t1)dt1−
− 1
π
π∫
−π
fψ2(x1, x2 − t2)Fn2
(t2)dt2+
+
1
π2
∫
T 2
fψ(x− t)Fn1
(t1)Fn2
(t2)dt1dt2. (25)
Звiдси
ρn(f ;x) = f(x)− Sn(f ;x) =
1
π
π∫
−π
fψ1(x1 − t1, x2)Fn1
(t1)dt1+
+
1
π
π∫
−π
fψ2(x1, x2− t2)Fn2(t2)dt2−
1
π2
∫
T 2
fψ(x− t)Fn1(t1)Fn2(t2)dt1dt2.
Наближення класiв ψ–диференцiйовних функцiй . . . 47
Очевидно, що ρn(f ;x) можна записати у виглядi
ρn(f ;x) =
1
π
π∫
−π
[
fψ1(x1 − t1, x2)− t1,n1(x1 − t1, x2)
]
Fn1(t1)dt1+
+
1
π
π∫
−π
[
fψ2(x1, x2 − t2)− t2,n2(x1, x2 − t2)
]
Fn2(t2)dt2−
− 1
π2
∫
T 2
[
fψ(x− t)− t{1,2}(x− t)
]
Fn1
(t1)Fn2
(t2)dt1dt2,
де t1,n1
(x1, x2) — тригонометричний полiном порядку n1 по змiннiй
x1, t2,n2
(x1, x2) — тригонометричний полiном порядку n2 по змiннiй
x2, а t{1,2},n(x) — тригонометричний полiном порядку n1 по змiннiй
x1 i порядку n2 по змiннiй x2.
Покладемо
Eµ,nµ(f)C = inf
tµ,nµ∈Tµ,nµ
||f(x)− tµ,nµ(x)||C =
= ||f(x)− t∗µ,nµ(x)||C ,
де t∗ — полiном найкращого наближення, тодi будемо мати
||ρn(f ;x)||C ≤
≤ E1,n1
(fψ1)
1
π
π∫
−π
|Fn1
(t1)|dt1 + E2,n2
(fψ2)
1
π
π∫
−π
|Fn2
(t2)|dt2+
+E{1,2}n(fψ)
1
π
π∫
−π
|Fn1
(t1)|dt1
1
π
π∫
−π
|Fn2
(t2)|dt2. (26)
Запишемо асимптотичну рiвнiсть для iнтегралу 1
π
π∫
−π
|Fni(ti)|dti.
Для цього використаємо один результат С.О. Теляковського ([10],
формула (3.76)).
48 В. I. Бодра, П. В. Задерей
Теорема [10]. Нехай коефiцiєнти ряду
a0
2
+
∞∑
k=1
(ak cos kx+ bk sin kx)
прямують до нуля i збiгаються ряди
∞∑
k=1
|bk|
k та
∞∑
k=1
k(|∆2ak−1|+ |∆2bk−1|). (27)
Тодi справедлива оцiнка
π∫
−π
∣∣∣∣∣a0
2
+
∞∑
k=1
(ak cos kx+ bk sin kx)
∣∣∣∣∣dx =
=
4
π
m∑
k=1
ξk
k
+ 2
∞∑
k=2m+1
|bk|
k
+
+O
[
|a0|+
m−1∑
k=1
k(m− k)
m
(|∆2ak−1|+ |∆2bk−1|) + |am|+ |bm|+
+
∞∑
k=1
k(|∆2am+k−1|+ |∆2bm+k−1|)
]
, (28)
де ξk = ξ(bk,
√
(am−k − am+k)2 + (bm−k − bm+k)2), а функцiя ξ(t, u)
визначається рiвнiстю
ξ(t, u) =
{
π
2 |t|, |u| ≤ |t|,
|t| arcsin | tu |+
√
u2 − t2, |t| < |u|.
Покладемо в формулi (28) ak = bk = 0 при k = 1, 2, ..., ni, i = 1, 2,
ak = ψ
(1)
i , bk = ψ
(2)
i , k = ni + 1, ni + 2, ..., та m = ni. Отримаємо
1
π
π∫
π
|Fni(ti)|dti =
Наближення класiв ψ–диференцiйовних функцiй . . . 49
=
4
π2
ni∑
ki=1
1
ki
√
(ψ
(1)
i (ni + ki))2 + (ψ
(2)
i (ni + ki))2+
+
2
π
∞∑
ki=2ni+1
|ψ(2)
i (ki)|
ki
+O(1)
( ∞∑
ki=1
ki(|∆2ψ
(1)
i (ni + ki − 1)|+
+|∆2ψ
(2)
i (ni + ki − 1)|)
)
.
Тодi формулу (26) можна записати у виглядi
||ρn(f ;x)||C ≤ E1,n1
(fψ1)×
×
[
4
π2
n1∑
k1=1
1
k1
√
(ψ
(1)
1 (n1 + k1))2 + (ψ
(2)
1 (n1 + k1))2+
+
2
π
∞∑
k1=2n1+1
|ψ(2)
1 (k1)|
k1
+O(1)
( ∞∑
k1=1
k1(|∆2ψ
(1)
1 (n1 + k1 − 1)|+
+|∆2ψ
(2)
1 (n1 + k1 − 1)|)
)]
+ E2,n2
(fψ2)×
×
[
4
π2
n2∑
k2=1
1
k2
√
(ψ
(1)
2 (n2 + k2))2 + (ψ
(2)
2 (n2 + k2))2+
+
2
π
∞∑
k2=2n2+1
|ψ(2)
2 (k2)|
k2
+O(1)
( ∞∑
k2=1
k2(|∆2ψ
(1)
2 (n2 + k2 − 1)|+
+|∆2ψ
(2)
2 (n2 + k2 − 1)|)
)]
+ E{1,2}n(fψ)×
×
[
4
π2
n1∑
k1=1
1
k1
√
(ψ
(1)
1 (n1 + k1))2 + (ψ
(2)
1 (n1 + k1))2+
+
2
π
∞∑
k1=2n1+1
|ψ(2)
1 (k1)|
k1
+O(1)
( ∞∑
k1=1
k1(|∆2ψ
(1)
1 (n1 + k1 − 1)|+
50 В. I. Бодра, П. В. Задерей
+|∆2ψ
(2)
1 (n1 + k1 − 1)|)
)]
×
×
[
4
π2
n2∑
k2=1
1
k2
√
(ψ
(1)
2 (n2 + k2))2 + (ψ
(2)
2 (n2 + k2))2+
+
2
π
∞∑
k2=2n2+1
|ψ(2)
2 (k2)|
k2
+O(1)
( ∞∑
k2=1
k2(|∆2ψ
(1)
2 (n2 + k2 − 1)|+
+|∆2ψ
(2)
2 (n2 + k2 − 1)|)
)]
= E1,n1(fψ1)×
×
(
4
π2
n1∑
k1=1
1
k1
√
(ψ
(1)
1 (n1 + k1))2 + (ψ
(2)
1 (n1 + k1))2+
+
2
π
∞∑
k1=2n1+1
|ψ(2)
1 (k1)|
k1
)
+ E2,n2
(fψ2)×
×
(
4
π2
n2∑
k2=1
1
k2
√
(ψ
(1)
2 (n2 + k2))2 + (ψ
(2)
2 (n2 + k2))2+
+
2
π
∞∑
k2=2n2+1
|ψ(2)
2 (k2)|
k2
)
+ E{1,2}n(fψ)×
×
(
16
π4
n1∑
k1=1
1
k1
√
(ψ
(1)
1 (n1 + k1))2 + (ψ
(2)
1 (n1 + k1))2×
×
n2∑
k2=1
1
k2
√
(ψ
(1)
2 (n2 + k2))2 + (ψ
(2)
2 (n2 + k2))2+
+
8
π3
n1∑
k1=1
1
k1
√
(ψ
(1)
1 (n1 + k1))2 + (ψ
(2)
1 (n1 + k1))2×
×
∞∑
k2=2n2+1
|ψ(2)
2 (k2)|
k2
+
Наближення класiв ψ–диференцiйовних функцiй . . . 51
+
8
π3
n2∑
k2=1
1
k2
√
(ψ
(1)
2 (n2 + k2))2 + (ψ
(2)
2 (n2 + k2))2×
×
∞∑
k1=2n1+1
|ψ(2)
1 (k1)|
k1
+
4
π2
∞∑
k1=2n1+1
|ψ(2)
1 (k1)|
k1
∞∑
k2=2n2+1
|ψ(2)
2 (k2)|
k2
)
+
+E1,n1(fψ1)O(1)
( ∞∑
k1=1
k1(|∆2ψ
(1)
1 (n1 + k1 − 1)|+
+|∆2ψ
(2)
1 (n1 + k1 − 1)|)
)
+ E2,n2
(fψ2)×
×O(1)
( ∞∑
k2=1
k2(|∆2ψ
(1)
2 (n2 + k2 − 1)|+ |∆2ψ
(2)
2 (n2 + k2 − 1)|)
)
+
+E{1,2},n(fψ)×
×O(1)
[
4
π2
n2∑
k2=1
1
k2
√
(ψ
(1)
2 (n2 + k2))2 + (ψ
(2)
2 (n2 + k2))2×
×
∞∑
k1=1
k1(|∆2ψ
(1)
1 (n1 + k1 − 1)|+ |∆2ψ
(2)
1 (n1 + k1 − 1)|)+
+
2
π
∞∑
k2=2n2+1
|ψ(2)
2 (k2)|
k2
×
×
∞∑
k1=1
k1(|∆2ψ
(1)
1 (n1 + k1 − 1)|+ |∆2ψ
(2)
1 (n1 + k1 − 1)|)+
4
π2
n1∑
k1=1
1
k1
√
(ψ
(1)
1 (n1 + k1))2 + (ψ
(2)
1 (n1 + k1))2×
×
∞∑
k2=1
k2(|∆2ψ
(1)
2 (n2 + k2 − 1)|+ |∆2ψ
(2)
2 (n2 + k2 − 1)|)+
52 В. I. Бодра, П. В. Задерей
+
2
π
∞∑
k1=2n1+1
|ψ(2)
1 (k1)|
k1
×
×
∞∑
k2=1
k2(|∆2ψ
(1)
2 (n2 + k2 − 1)|+ |∆2ψ
(2)
2 (n2 + k2 − 1)|)+
+
∞∑
k1=1
k1(|∆2ψ
(1)
1 (n1 + k1 − 1)|+ |∆2ψ
(2)
1 (n1 + k1 − 1)|)×
×
∞∑
k2=1
k2(|∆2ψ
(1)
2 (n2 + k2 − 1)|+ |∆2ψ
(2)
2 (n2 + k2 − 1)|)
]
=
= E1,n1(fψ1)En1(Cψ1∞ ) + E2,n2(fψ2)En2(Cψ2∞ )+
+E{1,2}n(fψ)En1
(Cψ1∞ )En2
(Cψ2∞ )+
+O(1)
[
E1,n1
(fψ1)Rn1
+ E2,n2
(fψ2)Rn2
+
+E{1,2}n(fψ)
(
Rn1
En2
(Cψ2∞ ) + En1(Cψ1∞ )Rn2 +Rn1Rn2
)]
,
де
Eni(Cψi∞ ) =
4
π2
ni∑
ki=1
1
ki
√
(ψ
(1)
i (ni + ki))2 + (ψ
(2)
i (ni + ki))2+
+
2
π
∞∑
ki=2ni+1
|ψ(2)
i (ki)|
ki
,
|Rni | ≤ Ki
∞∑
ki=1
ki(|∆2ψ
(1)
i (ki + ni − 1)|+ |∆2ψ
(2)
i (ki + ni − 1)|).
Що й доводить спiввiдношення (20).
1. Lebesgue H. Sur la représentation trigonometrique approcheé des founctions
satisfaisant a une condition de Lipschitz // Bull. Soc. Math. France — 1910.
— 38. — P. 184–210
Наближення класiв ψ–диференцiйовних функцiй . . . 53
2. Задерей П. В. Интегральные представления уклонений линейных средних
рядов Фурье на классах дифференцируемых функций двух переменных
// Некоторые вопросы теории аппроксимации функций: Сб. научн. тр. —
К.: Ин-т математики АН УССР, 1985. — C. 16–28.
3. Задерей Н. М., Задерей П. В. Про нерiвнiсть Лебега на класах ψ–
диференцiйовних функцiй // Укр. мат. журнал. — 2013. — 65, № 6. —
C. 844–849.
4. Ласурия Р. А. Кратные суммы Фурье на множествах ψ-
дифференцируемых функций (небольшая гладкость) // Укр. мат. журнал.
— 2003. — 55, № 7. — C. 911–918.
5. Осколков К. И. К неравенству Лебега в равномерной метрике и на мно-
жестве полной меры // Мат. заметки. — 1975. — 18, №4. — С. 515–526.
6. Степанец А. И. Методы теории приближений: В 2 ч. // Працi Iн-ту ма-
тематики НАН України. — 2002. — 40. — Ч. I. — 427 с.
7. Степанец А. И. Методы теории приближений: В 2 ч. // Працi Iн-ту ма-
тематики НАН України. — 2002. — 40. — Ч. 2. — 467 с.
8. Степанец А. И., Пачулиа Н. Л. Кратные суммы Фурье на множествах
(ψ, β)-дифференцируемых функций // Укр. мат. журнал. — 1991. — 43,
№ 4. — C. 545–555.
9. Степанец А. И., Пачулиа Н. Л. Кратные суммы Фурье на множествах
(ψ, β)-дифференцируемых функций // Кратные суммы Фурье на множе-
ствах (ψ, β)-дифференцируемых функций. – К., 1990. — С. 1–16. – (Пре-
принт / АН УССР. Ин-т математики; 90.55).
10. Теляковский С. А. Оценка нормы функции через ее коэффициенты Фурье,
удобная в задачах теории аппроксимации // Приближение периодических
функций: Тр. МИАН СССР, 109. — 1971 — C. 65–97.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-280 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:04:53Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/7e/9c1079a3174324f18d28c646f37e447e.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-2802018-02-02T22:10:08Z Approximation of classes $\overline{\psi}$-differentiated functions by the Fourier sums Наближення класів $\overline{\psi}$-диференційовних функцій сумами Фур'є Bodra, V. I. Zaderey, P. V. Бодра, В. І. Задерей, П. В. We consider deviations of Fourier sums on the spaces $C^{\overline{\psi}}_{\infty}$ and estimates of these deviations are expressed by the best approximation $\overline{\psi}$-derivative functions of two variables in the understanding of A.I.Stepanets are obtained. The sequence $\psi_i^{(j)}(k_i),$ $i=1,2,$ $j=1,2,$ are quasiconvex functions. - Розглядається відхилення сум Фур'є на просторах $C^{\overline{\psi}}_{\infty}$, причому отримані оцінки таких відхилень виражені через найкращі наближення $\overline{\psi}$-похідних функцій двох змінних в розумінні О.І.Степанця. Послідовності $\psi_i^{(j)}(k_i),$ $i=1,2,$ $j=1,2$, - квазіопуклі функції. Інститут математики НАН України 2015-07-14 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/280 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 12 No. 4 (2015): Approximation Theory of Functions and Related Problems; 37 - 53 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 12 № 4 (2015): Tеорія наближення функцій та суміжні питання; 37 - 53 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 12 № 4 (2015): Tеорія наближення функцій та суміжні питання; 37 - 53 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/280/314 |
| spellingShingle | Bodra, V. I. Zaderey, P. V. Бодра, В. І. Задерей, П. В. Approximation of classes $\overline{\psi}$-differentiated functions by the Fourier sums |
| title | Approximation of classes $\overline{\psi}$-differentiated functions by the Fourier sums |
| title_alt | Наближення класів $\overline{\psi}$-диференційовних функцій сумами Фур'є |
| title_full | Approximation of classes $\overline{\psi}$-differentiated functions by the Fourier sums |
| title_fullStr | Approximation of classes $\overline{\psi}$-differentiated functions by the Fourier sums |
| title_full_unstemmed | Approximation of classes $\overline{\psi}$-differentiated functions by the Fourier sums |
| title_short | Approximation of classes $\overline{\psi}$-differentiated functions by the Fourier sums |
| title_sort | approximation of classes $\overline{\psi}$-differentiated functions by the fourier sums |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/280 |
| work_keys_str_mv | AT bodravi approximationofclassesoverlinepsidifferentiatedfunctionsbythefouriersums AT zadereypv approximationofclassesoverlinepsidifferentiatedfunctionsbythefouriersums AT bodraví approximationofclassesoverlinepsidifferentiatedfunctionsbythefouriersums AT zaderejpv approximationofclassesoverlinepsidifferentiatedfunctionsbythefouriersums AT bodravi nabližennâklasívoverlinepsidiferencíjovnihfunkcíjsumamifur039ê AT zadereypv nabližennâklasívoverlinepsidiferencíjovnihfunkcíjsumamifur039ê AT bodraví nabližennâklasívoverlinepsidiferencíjovnihfunkcíjsumamifur039ê AT zaderejpv nabližennâklasívoverlinepsidiferencíjovnihfunkcíjsumamifur039ê |