On Lebesgue inequality of the Vallée-Poussin sums on classes ${C}^{\overline{\psi}}C$
We consider the exact top limits of deviations Valle Poussin sums on classes of $ \overline {\psi} $-differentiable functions where the sequence $ \overline {\psi} = \left ({\psi}_1, {\psi}_2 \right) $ is a quasiconvex. These estimates are expressed in terms of best approximation $ \overline {\psi}...
Збережено в:
| Дата: | 2015 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Онлайн доступ: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/284 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552784919789568 |
|---|---|
| author | Veremiy, M. A. Zaderey, P. V. Веремій, М. А. Задерей, П. В. |
| author_facet | Veremiy, M. A. Zaderey, P. V. Веремій, М. А. Задерей, П. В. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "М. А. Веремій",
"institution": "Східноєвропейський національний університет імені Лесі Українки"
},
{
"author": "П. В. Задерей",
"institution": "Київський національний університет технологій та дизайну"
}
] |
| author_sort | Veremiy, M. A. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-02-01T13:48:04Z |
| description | We consider the exact top limits of deviations Valle Poussin sums on classes of $ \overline {\psi} $-differentiable functions where the sequence $ \overline {\psi} = \left ({\psi}_1, {\psi}_2 \right) $ is a quasiconvex. These estimates are expressed in terms of best approximation $ \overline {\psi} $ - derivatives functions in terms of O.I. Stepanets'. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:04:57Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2015, Т.12, №4, 79–91
УДК 517.5
М. А. Веремiй (Схiдноєвропейський нацiональний унiверситет
iменi Лесi Українки, Луцьк)
П. В. Задерей (Київський нацiональний унiверситет технологiй та
дизайну, Київ)
ПРО НЕРIВНIСТЬ ЛЕБЕГА ДЛЯ СУМ ВАЛЛЕ ПУССЕ-
НА НА КЛАСАХ CψC
We consider the exact top limits of deviations Valle Poussin sums on classes
of ψ-differentiable functions where the sequence ψ = (ψ1, ψ2) is a quasiconvex.
These estimates are expressed in terms of best approximation ψ - derivatives
functions in terms of O.I. Stepanets’.
Розглядаються точнi верхнi межi вiдхилень сум Валле Пуссена на кла-
сах ψ-диференцiйовних функцiй, причому послiдовностi ψ = (ψ1, ψ2) є
квазiопуклими. Отриманi оцiнки таких вiдхилень вираженi через най-
краще наближення ψ-похiдних функцiй в сенсi О. I. Степанця.
Позначимо через L− простiр 2π-перiодичних iнтегрованих за Ле-
бегом функцiй f(·) з нормою
‖f‖L =
∫ π
−π
|f(x)| dx,
а через C− простiр, який складається з неперервних 2π-перiодичних
функцiй f(·) з нормою
‖f‖C = max
x
|f(x)| .
Нехай f ∈ L i ї ї ряд Фур’є має вигляд
S [f ] =
a0
2
+
∞∑
k=1
(ak(f) cos kx + bk (f) sin kx ) = =
a0
2
+
∞∑
k=1
Ak (f ;x),
(1)
c© М. А. Веремiй, П. В. Задерей, 2015
80 М. А. Веремiй, П. В. Задерей
де a0, ak (f) , bk (f) , k = 1, 2, . . ., — коефiцiєнти Фур’є функцiї f(·).
Позначимо через Sn (f ;x)− частиннi суми порядку n ряду (1).
Кожнiй функцiї f ∈ L(див. [1, с. 74]) з рядом Фур’є (1) поставимо
у вiдповiднiсть послiдовнiсть полiномiв Vn,p(f ;x) вигляду
Vn,p(f ;x) =
1
p+ 1
n∑
k=n−p
Sk (f ;x) =
Vn,p(f ;x) =
a0
2
λ
(n)
0 +
n∑
k=1
λ
(n)
k (ak(f) cos kx + bk (f) sin kx ), (2)
де λ(n)k,p мають вигляд
λ
(n)
k,p =
1, k = 0, 1, . . . , n− p,
1− k−n+p
p+1 , k = n− p+ 1, . . . , n,
0, k ≥ n+ 1,
1 ≤ p ≤ n. (3)
Цi полiноми Vn,p (f ;x) називають сумами Валле Пуссена.
Нехай далi
En(f)X = inf
tn∈Tn
‖f (x)− tn(x)‖X (4)
– найкраще наближення функцiї f(·) тригонометричними полiнома-
ми tn(·) ∈ Tn, де Tn− множина тригонометричних полiномiв порядку
n, а X означає або простiр L, або C.
Валле Пуссен в 1919 роцi в своїй роботi [2] отримав оцiнку в рiв-
номiрнiй метрицi вiдхилення 2π-перiодичних неперервних функцiй
вiд сум (2):
‖f (x)− Vn,p(f ;x)‖C ≤ 2
n+ 1
p+ 1
En−p(f)C ,
яку уточнив С.М. Нiкольський [3] в 1940 роцi. Вiн показав, що
‖f (x)− Vn,p(f ;x)‖C ≤
(
M +
4
π2
ln
n
p+ 1
)
En−p(f)C .
Тут та далi через M будемо позначати деякi абсолютнi сталi, мож-
ливо неоднаковi в рiзних формулах.
Про нерiвнiсть Лебега для сум . . . 81
В 1951 роцi О. П. Тiман [4] на класi W r
∞ =
{
f ∈ W r :
ess sup
t
|fr(t)| ≤ 1, r ∈ N
}
розв’язав задачу про вiдшукання асимп-
тотичних рiвностей величини
E (W r
∞;Vn,p)C = sup
f∈W r
∞
‖f − Vn,p(f ;x)‖C = sup
f∈W r
∞
‖ρn,p (f ;x;Vn,p) ‖C =
=
4
π2
1
nr
ln
n
p+ 1
+O
(
1
nr
)
, r > 0, lim
n→∞
p
n
= 0.
Така ж задача для сум Валле Пуссена на бiльш загальних класах
функцiй для сум Валле Пуссена розглядалась О. В. Єфiмовим [5] та
С. О. Теляковським [6].
В. Дамен [7] та С. Б. Стечкин [8] незалежно в 1978 роцi вста-
новили точнi в розумiннi порядку оцiнки величини E (Cε;Vn,p)C , де
Cε = {f ∈ C : En(f) ≤ εn, εn ↓ 0} . Зокрема С. Б. Стечкин показав,
що
sup
f∈Cε
‖f − Vn,p‖C �
n∑
k=0
εn−p+k
p+ k + 1
.
О. I. Степанцем [9] було введено поняття ψ-похiдних i визначено
класи CψC0, наступним чином.
Нехай f ∈ L, а її ряд Фур’є має вигляд (1), ψ = (ψ1, ψ2) – пара
довiльних числових послiдовностей ψ1(k) та ψ2(k), для яких вико-
нується умова
ψ
2
(k) = ψ2
1 (k) + ψ2
2 (k) 6= 0,∀k ∈ N.
Якщо ряд
∞∑
k=1
(
ψ1(k)
ψ
2
(k)
Ak (f ;x) +
ψ2(k)
ψ
2
(k)
Ãk (f ;x)
)
,
де Ãk (f ;x) = ak(f) sin kx − bk (f) cos kx , є рядом Фур’є деякої
функцiї ϕ ∈ L, то ϕ називають ψ-похiдною функцiї f i позначимо
ϕ (·) = fψ(·). Так, при ψ1(k) = ψ(k) cosβ π2 , ψ2(k) = ψ(k) sinβ π2 , пи-
шуть Cψ = Cψβ .
Нехай Cψ – множина всiх неперервних функцiй f , у яких iснують
ψ-похiднi.
82 М. А. Веремiй, П. В. Задерей
Якщо f ∈ Cψ i при цьому fψ ∈ N, то такий клас позначають
CψN. Зокрема при N = C i N = Cε будемо позначати такi класи
вiдповiдно CψC та CψCε.
Наслiдуючи О. I. Степанця [9], введемо наступнi позначення:
M =
{
ψ(t) : ψ(t) > 0, ψ(t1)− 2ψ
(
t1 + t2
2
)
+ ψ(t) ≥ 0,∀t1, t2 ∈ [1,∞),
lim
t→∞
ψ(t) = 0
}
M0 – пiдмножина функцiй ψ ∈M, що задовольняють умову
0 ≤ µ (ψ; t) :=
t
η (t)− t
≤ K <∞, η (t) = η (ψ; t) = ψ−1
(
1
2
ψ (t)
)
;
M′ – пiдмножина функцiй ψ ∈M, для яких∫ ∞
1
ψ(t)
t
dt ≤ K <∞;
F – множина функцiй ψ ∈M для яких η′ (ψ; t) ≤ K;
L – множина пар ψ = (ψ1, ψ2) таких, що ряд
∞∑
k=1
(ψ1(k) cos kx + ψ2 (k) sin kx)
є рядом Фур’є деякої сумовної функцiї Ψ (x) .
На пiдмножинах класiв CψβN при рiзних обмеженнях на ψ та β
вiдхилення сум Валле Пуссена дослiджувались в роботах В. I. Ру-
касова [10, 11], О. О. Новiкова [11], А. С. Сердюка [12,13,14], Є. Ю.
Овсiя [14], А. П. Мусiєнка[12,15]. Бiльш детальний огляд результатiв
можна знайти в [1].
В 2002 роцi В. I. Рукасов, О. О. Новiков, С. О. Чайченко [17]
отримали наступну асимптотичну рiвнiсть при ψi ∈M′0 = M0
⋂
M′,
i = 1, 2, θ ∈ [0, 1)
(
lim
n→∞
p
n = θ
)
)
sup
f∈Cψ∞
‖ρn,p (f ;x)‖C =
2
π
∫ ∞
n+1
|ψ2(v)|
v
dv+
Про нерiвнiсть Лебега для сум . . . 83
+
4
π2
ψ (n+ 1) ln
n+ 1
p+ 1
+O (1)ψ (n+ 1) ,
де ψ (n) =
√
ψ2
1(n) + ψ2
2(n), а O (1) – величина, рiвномiрно обмежена
по n i p.
Також слiд вiдмiтити роботу Мусiєнка А. П. [15], в якiй знайдена
нерiвнiсть типу Лебега на множинах Cψβ C. Вiн показав, що якщо
ψ ∈ F, β ∈ R i p ∈ [0;n − η−1(ψ;n)], тодi для будь-якої функцiїї
f ∈ Cψβ C справедлива рiвнiсть
‖ρn,p (f ;x) ‖C ≤
(
4
π2
ln+ η(ψ;n)− n
p+ 1
+O(1)
)
ψ(n)En−p(f
ψ
β )C ,
де ln+ t = max{ln t; 0}, а O(1) – величина рiвномiрно обмежена по
n, p, β i f ∈ Cψβ C.
Далi будуть встановленi оцiнки вiдхилень сум Валле Пуссена на
класах CψC. Причому замiсть опуклостi послiдовностей ψi, i = 1, 2
ми будемо накладати умову квазiопуклостi.
Послiдовнiсть ψ(k), k ∈ N називається квазiопуклою, якщо для
неї виконуються наступнi умови
lim
k→∞
ψ (k) = 0, (5)
∞∑
k=1
k
∣∣42ψ(k − 1)
∣∣ <∞, (6)
де 42ψ (k − 1) = ψ (k − 1)− 2ψ (k) + ψ (k + 1).
Справедливе наступне твердження.
Теорема 1. Нехай для послiдовностей ψ1(k) i ψ2(k) виконують-
ся умови (5) та (6) i для ψ2(k) виконується умова
∞∑
k=1
|ψ2(k)|
k <∞,
Тодi для будь-якої функцiї f ∈ CψC при n ∈ N i p ∈ [0; n−12 ) вико-
нується нерiвнiсть
‖ρn,p (f ;x)‖C ≤
≤
(
4
π2
n−p∑
k=p+1
1
k
√
ψ2
1 (n− p+ k) + ψ2
2 (n− p+ k)+
84 М. А. Веремiй, П. В. Задерей
+
2
π
∞∑
k=2(n−p)+1
|ψ2 (k)|
k
+O (1)R (ψ1, ψ2)
)
En−p
(
fψ
)
C
. (7)
Крiм того, справедлива рiвнiсть
sup
f∈CψCε
‖ρn,p (f ;x)‖C =
=
(
4
π2
n−p∑
k=p+1
1
k
√
ψ2
1 (n− p+ k) + ψ2
2 (n− p+ k)+
+
2
π
∞∑
k=2(n−p)+1
|ψ2 (k)|
k
+O (1)R (ψ1, ψ2)
)
εn−p , (8)
де
Rn,p (ψ1, ψ2) =
∞∑
k=1
k
( ∣∣(42ψ1 (n− p+ k − 1)
)∣∣+
+
∣∣42 (ψ2 (n− p+ k − 1))
∣∣ ). (9)
Доведення. Як вiдомо (див. [9], с. 77), з умов (5) i (6) випливає,
що ψ ∈ L. Тому для fψ ∈ C0 у кожнiй точцi x виконується рiвнiсть
(див. [1], с. 79)
ρn,p (f ;x) =
=
1
π
π∫
−π
fψ (x− t)
∞∑
k=1
(
1− λ(n)k,p
)
(ψ1 (k) cos kt+ ψ2 (k) sin kt ) dt, (10)
де λ(n)k,p визначається формулою (3). Враховуючи спiввiдношення (3),
покладемо
γi,n,p (k) =
0, k = 0, 1, . . . , n− p
k−n+p
p+1 ψi (k) , k = n− p+1, . . . , n
ψi (k) , k ≥ n+ 1
, 1 ≤ p ≤ n, i =1, 2.
(11)
Про нерiвнiсть Лебега для сум . . . 85
Тодi рiвнiсть (10) набуде вигляду
ρn,p (f ;x; ) =
=
1
π
π∫
−π
fψ (x− t)
∞∑
k=n−p+1
(γ1,p (k) cos kt + γ2,p (k) sin kt ) dt. (12)
Використовуючи (11), отримаємо
π∫
−π
tn−p (τ)
∞∑
k=n−p+1
(γ1,p (k) cos kτ + γ2,p (k) sin kτ ) dτ = 0,
де tn−p (·)− тригонометричний полiном порядку n− p.
Нехай t∗n−p(·) – полiном найкращого рiвномiрного наближення
функцiї fψ порядку n − p, тодi позначимо ∆∗ (·) = fψ (·) − t∗n−p(·).
Звiдси рiвнiсть (12) набуде вигляду
ρn,p (f ;x) =
=
1
π
π∫
−π
∆∗ (x− t)
∞∑
k=n−p+1
(γ1,p (k) cos kt + γ1,p (k) sin kt ) dt.
Тодi
‖ρn,p (f ;x)‖C ≤
≤ En−p
(
fψ
)
C
1
π
π∫
−π
∣∣∣∣∣∣
∞∑
k=n−p+1
(γ1,p (k) cos kt + γ2,p (k) sin kt )
∣∣∣∣∣∣ dt. (13)
Застосуємо до iнтеграла в правiй частинi нерiвностi (13) асимпто-
тичну рiвнiсть С. О. Теляковського [18, c. 86]. Отримаємо наступне
спiввiдношення
‖ρn,p (f ;x;Vn,p)‖C ≤ En−p
(
fψ
)
C
(
4
π2
n−p∑
k=1
ξk
k
+
2
π
∞∑
k=2(n−p)+1
|γ2,p (k)|
k
+
86 М. А. Веремiй, П. В. Задерей
O(1)
( n−p−1∑
k=1
k(n− p− k)
n− p
(
|42γ1,n,p(k − 1)|+ |42γ2,n,p(k − 1)|
)
+
+|γ1,n,p(0)|+ |γ1,n,p(n− p)|+ |γ2,n,p(n− p)|+
+
∞∑
k=1
k
(∣∣42γ1,n,p (n− p+ k − 1)
∣∣+
∣∣42γ2,n,p (n− p+ k − 1)
∣∣))),
(14)
де
ξk = ξ
(
γ1,n,p(k),
(
(γ1,n,p (n− p− k)− γ1,n,p(n− p+ k))
2
+
+(γ2,n,p (n− p− k)− γ2,,n,p(n− p+ k))
2
) 1
2
)
,
ξ (t, u) =
{
π|t|
2 , |u| ≤ |t|
|t| arcsin
(
|t|
|u|
)
+
√
u2 − t2, |t| < |u|
. (15)
З (15) випливає, що ξ (0, u) = |u|.
Оскiльки в першiй сумi правої частини нерiвностi (14)
k = 1, n− p , то згiдно з (15) γ2,n,p (k) = 0 , γ1,n,p (n− p− k) = 0,
γ1,n,p (n− p− k) = 0. Тому функцiя ξk набуде вигляду
ξk = ξ
(
0,
√
γ21,n,p (n− p+ k) + γ22,n,p (n− p+ k)
)
=
=
√
γ21,n,p (n− p+ k) + γ22,n,p (n− p+ k). (16)
Враховуючи (16) та (11), спiввiдношення (14) буде мати вигляд
‖ρn,p (f ;x)‖C ≤
≤ En−p
(
fψ
)
C
(
4
π2
n−p∑
k=1
√
γ21,n,p (n− p+ k) + γ22,n,p (n− p+ k)
k
+
Про нерiвнiсть Лебега для сум . . . 87
+
2
π
∞∑
k=2(n−p)+1
|γ1,n,p (k)|
k
+O (1)R (γ1,n,p, γ2,n,p)
)
=
= En−p
(
fψ
)
C
(
4
π2
p∑
k=1
√
γ21,n,p (n− p+ k) + γ22,n,p (n− p+ k)
k
+
4
π2
n−p∑
k=p+1
√
γ21,n,p (n− p+ k) + γ22,n,p (n− p+ k)
k
+
+
2
π
∞∑
k=2(n−p)+1
|γ2,n,p (k)|
k
+O (1)R (γ1,n,p, γ1,n,p)
)
. (17)
Використовуючи позначення (11), оцiнимо деякi суми з (17). В пер-
шiй сумi правої частини нерiвностi (17) k = 1, p, тому, враховуючи
(11), γi,n,p(n − p + k) = n−p+k−n+p
p+1 ψi(n − p + k) = k
p+1ψi(n − p + k),
де i = 1, 2. Отже,
4
π2
p∑
k=1
√
γ21,n,p (n− p+ k) + γ22,n,p (n− p+ k)
k
=
=
4
π2(p+ 1)
p∑
k=1
√
ψ2
1 (n− p+ k) + ψ2
2 (n− p+ k) ≤
≤ 4
π2(p+ 1)
p∑
k=1
(|ψ1 (n− p+ k) |+ |ψ2 (n− p+ k) |) ≤
≤M max
n−p≤i≤n
(|ψ1(i)|+ |ψ2(i)|) ≤
≤M
∞∑
k=1
k
(∣∣42ψ2 (n− p+ k − 1)
∣∣+
∣∣42ψ2 (n− p+ k − 1)
∣∣);
Також справедлива нерiвнiсть
∞∑
k=1
k
(∣∣42γ1,n,p (n− p+ k − 1)
∣∣+
∣∣42γ2,n,p (n− p+ k − 1)
∣∣) ≤
88 М. А. Веремiй, П. В. Задерей
≤M
∞∑
k=1
k
(∣∣42ψ2 (n− p+ k − 1)
∣∣+
∣∣42ψ2 (n− p+ k − 1)
∣∣).
Далi, за умови, що p < n−1
2 , i враховуючи (11) при k ≥ 2(n−p)+1
справедлива рiвнiсть γ2,n,p(k) = ψ2 (k) , тому
∞∑
k=2(n−p)+1
|γ2,n,p (k)|
k
=
∞∑
k=2(n−p)+1
|ψ2 (k)|
k
Тодi, враховуючи вище сказане, з (17) при p < n−1
2 одержимо (7).
Далi покладемо
Fn−p
(
ψ;x
)
=
∞∑
k=n−p+1
(γ1,n,p(k)cos kt + γ2,n,p(k)sin kt )
Побудуємо функцiю Φn−p (·) ∈ CψC0
ε , для якої виконується рiвнiсть
(8). Для цього покладемо
gn−p (−x) = sign Fn−p
(
ψ;x
)
, |x| ≤ π
2
− π
2(n− p) + 1
.
В околах точок розриву функцiї gn−p (−x) замiнимо її лiнiйною.
Одержану функцiю позначимо через g̃n−p (−x) , |x| ≤ π
2 −
π
2(n−p)+1 .
При π
2 −
π
2(n−p)+1 ≤ |x| ≤ π означимо функцiю g̃n−p (−x) так, щоб
gn−p (−x) стала неперервною на [−π;π], i крiм того g̃n−p (−π) =
g̃n−p (π) , |g̃n−p (−x)| ≤ 1. Крiм того, вимагатимемо, щоб iснувало
на [−π;π] не менше 2 (n− p) точок ci, в яких |g̃n−p (−ci)| = 1, в цих
точках функцiя g̃n−p (−x) почергово змiнює знак, i щоб при цьому
виконувалась рiвнiсть ∫ π
−π
g̃n−p (−x) dx = 0.
Позначимо ϕ̃n−p (−x) = εn−pg̃n−p (−x) . Оскiльки ψ ∈ L, то має
мiсце представлення
Φn−p (x) =
1
π
π∫
−π
ϕ̃n−p (t− x)
∞∑
k=1
(ψ1(k) cos kt+ ψ2(k) sin kt) dt,
Про нерiвнiсть Лебега для сум . . . 89
де Φn−p (x) називають ψ-iнтегралом функцiї ϕ̃n−p (−x) , тобто
(Φn−p (x))
ψ
= ϕ̃n−p (−x).
Тодi за критерiєм Чебишева найкраще рiвномiрне наближення
функцiї ϕ̃n−p (−x) буде здiйснювати полiном тотожно рiвний нулю.
Оскiльки
En−p (ϕ̃n−p)C = εn−pEn−p (g̃n−p (−x))C = εn−p,
то ϕ̃n−p ∈ C0
ε i
sup
f∈CψC0
ε
‖ρn,p (f ;x)‖C ≥ ‖ρn,p (Φn−p;x)‖C ≥ |ρn,p (Φn−p; 0)| =
=
1
π
∣∣∣∣∣∣
π∫
−π
ϕ̃n−p (−u)Fn−p
(
ψ;u
)
du
∣∣∣∣∣∣ ≥
≥ εn−p
π
π
2−
π
2(n−p)+1∫
−π2 + π
2(n−p)+1
∣∣Fn−p (ψ;u
)∣∣ du− εn−p
π
∫
π
2−
π
2(n−p)+1
≤|u|≤π
∣∣Fn−p (ψ;u
)∣∣ du.
(18)
Виходячи з того, що (див. (14))
sup
f∈CψC0
ε
‖ρn,p (f ;x)‖C ≤
εn−p
π
∫ π
−π
∣∣Fn−p (ψ;u
)∣∣ du, (19)
на пiдставi нерiвностей (18) i (19) робимо висновок, що
sup
f∈CψC0
ε
‖ρn,p (f ;x)‖C =
εn−p
π
∫ π
−π
∣∣Fn−p (ψ;u
)∣∣ du+
+O(1)
εn−p ∫
π
2−
π
2(n−p)+1
≤|u|≤π
∣∣Fn−p (ψ;u
)∣∣ du
. (20)
З (20) i оцiнки
90 М. А. Веремiй, П. В. Задерей
∫
π
2−
π
2(n−p)+1
≤|u|≤π
∣∣Fn−p (ψ;u
)∣∣ du ≤
≤ K
∞∑
k=1
k
(∣∣42γi (n− p+ k − 1)
∣∣+
∣∣42γi (n− p+ k − 1)
∣∣)
випливає спiввiдношення (8). Теорему доведено.
Зауваження 1. Пiдставивши p = 0 в (7), отримаємо нерiвнiсть
типу Лебега для частинних сум Фур’є Sn (f ;x), отриману Н. М. За-
дерей та П. В. Задереєм в [19].
‖ρn,0 (f ;x;Sn)‖C ≤
≤ En
(
fψ
)
C
(
4
π2
n∑
k=1
√
ψ2
1 (n+ k) + ψ2
2 (n+ k)
k
+
2
π
∞∑
k=2n+1
|ψ2(k)|
k
+
+O (1)
∞∑
k=1
k
(∣∣42ψ2 (n+ k − 1)
∣∣+
∣∣42ψ2 (n+ k − 1)
∣∣))
1. Степанець А. И., Рукасов В. И., Чайченко С. О. Приближения суммами
Валле Пуссена // Працi Iн-ту мат. НАН України. — 2007. — 68. — 386 с.
2. De la Vallee Poussin Ch. J. Lecons sur I’approximation des fonctions d’une
variable reelle. – Paris: Gautier-Villars, 1919. – 150 p.
3. Никольский С. М. О некоторых методах приближения тригонометриче-
скими суммами // Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1940. – Т. 4, № 6. – С. 509-
520.
4. Тиман А. Ф. Аппроксимативные свойства линейных методов суммирова-
ния рядов Фурье // Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1953. – Т. 17, № 2. –
С. 99-134.
5. Ефимов А. В. О приближении периодических функций суммами Валле
Пуссена. I // Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1959. – Т. 23, № 5. – С. 737-770.
6. Теляковский С. А. О нормах тригонометрических полиномов и приближе-
нии дифферинцируемых функций линейными средними их рядов Фурье
// Тр. Мат. Ин-та АН СССР. – 1961. – Т. 62. – С. 61-97.
7. Дамен В. О. наилучшем приближении и суммах Валле Пуссена // Мат.
заметки, 1978. – Т. 23, № 5, – С. 671-683.
Про нерiвнiсть Лебега для сум . . . 91
8. Stechkin S. B. On the approximation of periodic function by de la Vallee
Poussin sums // Anal. math. – 1978. – Vol. 4. – P. 61-74.
9. Степанец А.И. Методы теории приближений: В 2 ч. // Працi Iнституту
математики НАН України. — 2002. — 40. — Ч.1. — 427 c.
10. Рукасов В. И. Приближение функций класса Cψβ,∞ линейными средними
их рядов Фурье // Укр. мат. журн. – 1987. – Т.39, № 4. – С. 478-483.
11. Рукасов В. И., Новиков О. А. Приближение аналитических функций сум-
мами Валле Пуссена // Ряди Фур’є: теорiя i застосування: Працi Iн-ту
математики НАН України, – 1998. – 20. – С. 228-241.
12. Сердюк А. С., Мусiєнко А. П. Нерiвностi типу Лебега для сум Ваалле Пус-
сена при наближеннi iнтегралiв Пуассона // Терiя наближень та сумiжнi
питання: Збiрник праць iнституту математики НАН України. – 2010. –
Т. 7, № 1. – С. 298-316.
13. Сердюк А. С. Приближение интегралов Пуассона сумами Валле Пуссена
в равномерной и интегральных метриках // Укр. мат. журн. – 2010. – 62,
№ 12. – С. 1672-1686.
14. Сердюк А. С., Овсiй Є. Ю. Наближення на класах цiдих функцiй сумамми
Валле Пуссена // Теорiя наближення функцiй та сумiжнi питання: Зб.
праць. Iн-ту мат. НАН України. –2008. – 5, № 1. – С. 334-351.
15. Мусiєнко А. П. Нерiвностi типу Лебега для сум Валле Пуссена на множи-
нах (ψ, β)-диференцiйовних неперервних функцiй // Теорiя наближення
функцiй та сумiжнi питання: Зб. праць Iн-ту мат. НАН України, – 2011. –
8, № 1. – С. 128-151.
16. Степанец А. И. Аппроксимативные свойства метода Валле Пуссена //
Укр. мат. журн. - 2002. — 54, № 8. — С. 1100-1125.
17. Рукасов В. И. Новиков О. А., Чайченко С. О. Приближение классов Cψ∞
методами Валле Пуссена // Теорiя наближення функцiй та її застосуван-
ня: Зб. наук. праць – Київ: Iнститут математики НАН України, 2000. –
Вип. 31. – С. 396-406.
18. Теляковский С. А. Оценка нормы функции через ее коэффициенты Фурье,
удобная в задачах теории аппроксимации // Тр. Мат. ин-та АН СССР. –
1971. – 109. – С. 65-97.
19. Задерей П. В., Задерей Н. М. Про нерiвнiсть Лебега на класах ψ-
диференцiйовних функцiй // Укр. мат. журн. – 2013. – 65, № 6. — С.
844-849.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-284 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:04:57Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/69/f5db6b8e70359d59e01d1ac429d54a69.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-2842018-02-01T13:48:04Z On Lebesgue inequality of the Vallée-Poussin sums on classes ${C}^{\overline{\psi}}C$ Про нерівність Лебега для сум Валле Пуссена на класах ${C}^{\overline{\psi }}C$ Veremiy, M. A. Zaderey, P. V. Веремій, М. А. Задерей, П. В. We consider the exact top limits of deviations Valle Poussin sums on classes of $ \overline {\psi} $-differentiable functions where the sequence $ \overline {\psi} = \left ({\psi}_1, {\psi}_2 \right) $ is a quasiconvex. These estimates are expressed in terms of best approximation $ \overline {\psi} $ - derivatives functions in terms of O.I. Stepanets'. Розглядаються точні верхні межі відхилень сум Валле Пуссена на класах $\overline{\psi }$-диференційовних функцій, причому послідовності $\overline{\psi }=\left({\psi }_1,{\psi }_2\right)$ є квазіопуклими. Отримані оцінки таких відхилень виражені через найкраще наближення $\overline{\psi }$-похідних функцій в сенсі О. І. Степанця. Інститут математики НАН України 2015-07-14 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/284 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 12 No. 4 (2015): Approximation Theory of Functions and Related Problems; 79 - 91 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 12 № 4 (2015): Tеорія наближення функцій та суміжні питання; 79 - 91 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 12 № 4 (2015): Tеорія наближення функцій та суміжні питання; 79 - 91 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/284/317 |
| spellingShingle | Veremiy, M. A. Zaderey, P. V. Веремій, М. А. Задерей, П. В. On Lebesgue inequality of the Vallée-Poussin sums on classes ${C}^{\overline{\psi}}C$ |
| title | On Lebesgue inequality of the Vallée-Poussin sums on classes ${C}^{\overline{\psi}}C$ |
| title_alt | Про нерівність Лебега для сум Валле Пуссена на класах ${C}^{\overline{\psi }}C$ |
| title_full | On Lebesgue inequality of the Vallée-Poussin sums on classes ${C}^{\overline{\psi}}C$ |
| title_fullStr | On Lebesgue inequality of the Vallée-Poussin sums on classes ${C}^{\overline{\psi}}C$ |
| title_full_unstemmed | On Lebesgue inequality of the Vallée-Poussin sums on classes ${C}^{\overline{\psi}}C$ |
| title_short | On Lebesgue inequality of the Vallée-Poussin sums on classes ${C}^{\overline{\psi}}C$ |
| title_sort | on lebesgue inequality of the vallée-poussin sums on classes ${c}^{\overline{\psi}}c$ |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/284 |
| work_keys_str_mv | AT veremiyma onlebesgueinequalityofthevalleepoussinsumsonclassescoverlinepsic AT zadereypv onlebesgueinequalityofthevalleepoussinsumsonclassescoverlinepsic AT veremíjma onlebesgueinequalityofthevalleepoussinsumsonclassescoverlinepsic AT zaderejpv onlebesgueinequalityofthevalleepoussinsumsonclassescoverlinepsic AT veremiyma pronerívnístʹlebegadlâsumvallepussenanaklasahcoverlinepsic AT zadereypv pronerívnístʹlebegadlâsumvallepussenanaklasahcoverlinepsic AT veremíjma pronerívnístʹlebegadlâsumvallepussenanaklasahcoverlinepsic AT zaderejpv pronerívnístʹlebegadlâsumvallepussenanaklasahcoverlinepsic |