Estimates of the orthogonal widths of the classes $B^{\Omega}_{\infty,\theta}$ of periodic functions of many variables with given majorant of the mixed moduli of continuity
We obtain exact order estimates of approximation of classes $B^{\Omega}_{\infty,\theta}$ of periodic functions of several variables in the space $L_q$ by using operators of orthogonal projection as well as linear operators subjected to someconditions.
Збережено в:
| Дата: | 2015 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Онлайн доступ: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/294 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552795327954944 |
|---|---|
| author | Konograi, A. F. Fedunyk-Yaremchuk, O. V. Конограй, А. Ф. Федуник-Яремчук, О. В. |
| author_facet | Konograi, A. F. Fedunyk-Yaremchuk, O. V. Конограй, А. Ф. Федуник-Яремчук, О. В. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "А. Ф. Конограй",
"institution": "Інститут математики НАН України"
},
{
"author": "О. В. Федуник-Яремчук",
"institution": "Східноєвропейський національний університет імені Лесі Українки"
}
] |
| author_sort | Konograi, A. F. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-02-02T19:57:24Z |
| description | We obtain exact order estimates of approximation of classes $B^{\Omega}_{\infty,\theta}$ of periodic functions of several variables in the space $L_q$ by using operators of orthogonal projection as well as linear operators subjected to someconditions. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:05:06Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2015, Т.12, №4, 205–215
УДК 517.51
А. Ф. Конограй (Iн–т математики НАН України, Київ)
О. В. Федуник–Яремчук (Схiдноєвропейський нацiональний унiвер-
ситет iменi Лесi Українки, Луцьк)
ОЦIНКИ ОРТОПРОЕКЦIЙНИХ ПОПЕРЕЧНИКIВ
КЛАСIВ BΩ
∞,θ ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ БАГАТЬОХ
ЗМIННИХ IЗ ЗАДАНОЮ МАЖОРАНТОЮ МIШАНИХ
МОДУЛIВ НЕПЕРЕРВНОСТI
We obtain exact order estimates of approximation of classes BΩ
∞,θ of periodic
functions of several variables in the space Lq by using operators of orthogonal
projection as well as linear operators subjected to some conditions.
Oдержано точнi за порядком оцiнки наближення класiв BΩ
∞,θ перiодич-
них функцiй багатьох змiнних у просторi Lq за допомогою операторiв
ортогонального проектування, а також лiнiйних операторiв, якi пiдпо-
рядкованi деяким умовам.
Нехай Lp(πd), 1 ≤ p < ∞, — простiр 2π-перiодичних по кож-
нiй змiннiй i сумовних у степенi p на кубi πd =
d∏
j=1
[0; 2π] функцiй
f(x) = f(x1, ..., xd), в якому норма визначається наступним чином
||f ||Lp(πd) = ||f ||p =
(
(2π)
−d
∫
πd
|f(x)|pdx
) 1
p
,
L∞(πd) — простiр 2π-перiодичних по кожнiй змiннiй суттєво обме-
жених функцiй f(x) = f(x1, ..., xd) з нормою
‖f‖L∞(πd) = ||f ||∞ = ess sup
x∈πd
|f(x)|.
Всюди далi будемо вважати, що для функцiй f ∈ Lp(πd) вико-
нується додаткова умова∫ 2π
0
f(x)dxj = 0 , j = 1, d.
c© А. Ф. Конограй, О. В. Федуник–Яремчук, 2015
206 А. Ф. Конограй, О. В. Федуник-Яремчук
Для f ∈ Lp(πd), 1 ≤ p ≤ ∞, i t = (t1, ..., td), tj ≥ 0, j = 1, d,
розглянемо мiшаний модуль неперервностi порядку l
Ωl(f, t)p = sup
|hj |≤tj
j=1,d
||∆l
hf(·)||p ,
де l ∈ N, ∆l
hf(x) = ∆l
h1
. . .∆l
hd
f(x) = ∆l
hd
(. . . (∆l
h1
f(x))) — мiшана
рiзниця порядку l з векторним кроком h = (h1, ..., hd), а рiзниця l–го
порядку з кроком hj за змiнною xj визначається наступним чином
∆l
hjf(x) =
l∑
n=0
(−1)l−nCnl f(x1, . . . , xj−1, xj + nhj , xj+1, . . . , xd).
Нехай Ω(t) = Ω(t1, . . . , td) — задана функцiя типу мiшаного мо-
дуля неперервностi порядку l, яка задовольняє такi умови:
1) Ω(t) > 0, tj > 0, j = 1, d; Ω(t) = 0,
d∏
j=1
tj = 0;
2) Ω(t) не спадає по кожнiй змiннiй;
3) Ω(m1t1, . . . ,mdtd) ≤
(
d∏
j=1
mj
)l
Ω(t), mj ∈ N, j = 1, d;
4) Ω(t) неперервна при tj ≥ 0, j = 1, d .
Будемо вважати, що Ω(t) задовольняє також умови (S) i (Sl), якi
називають умовами Барi–Стєчкiна [1]. Це означає наступне.
Функцiя однiєї змiнної ϕ(τ) ≥ 0 задовольняє умову (S), якщо
ϕ(τ)/τα майже зростає при деякому α > 0, тобто iснує така неза-
лежна вiд τ1 i τ2 стала C1 > 0, що
ϕ(τ1)
τα1
≤ C1
ϕ(τ2)
τα2
, 0 < τ1 ≤ τ2 ≤ 1.
Функцiя ϕ(τ) ≥ 0 задовольняє умову (Sl), якщо ϕ(τ)/τγ майже
спадає при деякому 0 < γ < l, тобто iснує така незалежна вiд τ1 i τ2
стала C2 > 0, що
ϕ(τ1)
τγ1
≥ C2
ϕ(τ2)
τγ2
, 0 < τ1 ≤ τ2 ≤ 1.
Оцiнки ортопроекцiйних поперечникiв класiв BΩ
∞,θ . . . 207
Будемо говорити, що Ω(t) задовольняє умови (S) i (Sl), якщо Ω(t)
задовольняє цi умови по кожнiй змiннiй tj при фiксованих ti, i 6= j .
Нехай 1 ≤ p ≤ ∞, 1 ≤ θ ≤ ∞, а Ω — задана функцiя типу мiшано-
го модуля неперервностi порядку l. Тодi класи BΩ
p,θ можна означити
наступним чином [2]:
BΩ
p,θ =
{
f ∈ Lp(πd) : ||f ||BΩ
p,θ
≤ 1
}
,
де
||f ||BΩ
p,θ
:=
{∫
πd
(
Ωl(f, t)p
Ω(t)
)θ d∏
j=1
dtj
tj
} 1
θ
, 1 ≤ θ <∞,
||f ||BΩ
p,∞
:= sup
t>0
Ωl(f, t)p
Ω(t)
,
(запис t > 0 для t = (t1, ..., td) рiвносильний tj > 0, j = 1, d).
Зазначимо, що при θ =∞ класи BΩ
p,θ спiвпадають з класами HΩ
p ,
якi були розглянутi М.М. Пустовойтовим в [3].
Зауважимо також, що при Ω(t) =
d∏
j=1
t
rj
j , 0 < rj < l, класи BΩ
p,θ є
аналогами вiдомих класiв Бєсова Brp,θ, 1 ≤ θ < ∞, та Нiкольського
Brp,∞ = Hr
p (див., наприклад, [4]).
Для подальших мiркувань будемо використовувати еквiвалентнi
(з точнiстю до абсолютних сталих) означення норм функцiй з класiв
BΩ
p,θ.
Нехай Vn(t), n ∈ N позначає ядро Валле Пуссена порядку 2n− 1,
тобто
Vn(t) = 1 + 2
n∑
k=1
cos kt+ 2
2n−1∑
k=n+1
(
1− k − n
n
)
cos kt.
Кожному вектору s = (s1, . . . , sd), sj ∈ N, j = 1, d, поставимо у
вiдповiднiсть полiном
As(x) =
d∏
j=1
(
V2sj (xj)− V2sj−1(xj)
)
208 А. Ф. Конограй, О. В. Федуник-Яремчук
i для f ∈ Lp(πd), 1 ≤ p ≤ ∞, через As(f, x) позначимо згортку
As(f, x) = f ∗As.
Нехай 1 ≤ p ≤ ∞, 1 ≤ θ ≤ ∞ i Ω — задана функцiя типу мiшаного
модуля неперервностi порядку l, яка задовольняє умови (S) i (Sl),
тодi з точнiстю до абсолютних сталих класи BΩ
p,θ можна означити
наступним чином
BΩ
p,θ=
{
f ∈Lp(πd) :‖f‖BΩ
p,θ
�
(∑
s
Ω−θ(2−s)‖As(f, ·)‖θp
) 1
θ
≤ 1
}
, (1)
де 1 ≤ θ <∞ та
BΩ
p,∞ =
{
f ∈ Lp(πd) : ‖f‖BΩ
p,∞
� sup
s
‖As(f, ·)‖p
Ω(2−s)
≤ 1
}
, (2)
тут i надалi Ω(2−s) = Ω(2−s1 , ..., 2−sd), sj ∈ N, j = 1, d.
Зазначимо, що спiввiдношення (1) i (2) були отриманi в роботах
[5] i [3] вiдповiдно.
Тут i далi для додатних функцiй µ1(N) та µ2(N) запис µ1 � µ2
означає, що iснує стала C > 0 така, що ∀N ∈ N виконується
µ1(N) ≤ Cµ2(N). Спiввiдношення µ1 � µ2 рiвносильне тому, що ви-
конуються порядковi нерiвностi µ1 � µ2 та µ1 � µ2. Зауважимо
також, що всi сталi Ci, i = 1, 2, . . . , якi будуть зустрiчатися в робо-
тi, можуть залежати тiльки вiд параметрiв, що входять в означення
класу, метрики, в якiй вимiрюється похибка наближення, та розмiр-
ностi d простору Rd.
У роботi будемо розглядати класи BΩ
p,θ, якi визначаються функ-
цiєю Ω деякого спецiального вигляду:
Ω(t) = Ω(t1, ..., td) =
d∏
j=1
trj(
log 1
tj
)bj
+
, якщо tj > 0, j = 1, d;
0, якщо
d∏
j=1
tj = 0.
(3)
Тут i надалi розглядаються логарифми за основою 2, крiм того(
log
1
tj
)
+
= max
{
1, log
1
tj
}
.
Оцiнки ортопроекцiйних поперечникiв класiв BΩ
∞,θ . . . 209
Також будемо вважати, що bj < r, j = 1, d, i 0 < r < l, а значить
для функцiї Ω вигляду (3) виконуються умови 1–4, (S) та (Sl).
Нами встановлюються точнi за порядком оцiнки ортопроекцiйних
поперечникiв класiв BΩ
∞,θ у просторi Lq(πd) при 1 ≤ q <∞. Поняття
ортопроекцiйного поперечника ввiв В. М. Темляков [6]. Перш, нiж
навести означення величини, що нами дослiджується, введемо деякi
позначення.
Нехай {ui}Mi=1 — ортонормована система функцiй ui ∈ L∞(πd).
Кожнiй функцiї f ∈ Lq(πd), 1 ≤ q ≤ ∞, поставимо у вiдповiднiсть
апарат наближення вигляду
M∑
i=1
(f, ui)ui, тобто ортогональну проек-
цiю функцiї f на пiдпростiр, породжений системою функцiй {ui}Mi=1.
Тодi для функцiонального класу F ⊂ Lq(πd) величина
d⊥M (F,Lq) = inf
{ui}Mi=1
sup
f∈F
∥∥∥∥f(·)−
M∑
i=1
(f, ui)ui(·)
∥∥∥∥
q
(4)
називається ортопроекцiйним поперечником (Фур’є–поперечником)
цього класу в просторi Lq(πd).
У роботi, крiм ортопроекцiйних поперечникiв, будемо дослiджу-
вати величини dBM (F,Lq), розглянутi В. М. Темляковим (див., напри-
клад, [7]), якi визначаються наступним чином:
dBM (F,Lq) = inf
G∈LM (B)q
sup
f∈F∩D(G)
‖f(·)−Gf(·)‖q . (5)
Через LM (B)q тут позначено множину лiнiйних операторiв, якi за-
довольняють умови:
а) область визначення D(G) цих операторiв мiстить всi триго-
нометричнi полiноми, а їх область значень мiститься в пiдпросторi
розмiрностi M простору Lq(πd);
б) iснує таке число B ≥ 1, що для всiх векторiв k = (k1, . . . , kd),
kj ∈ Z, j = 1, d, виконується нерiвнiсть
∥∥Gei(k,·)∥∥
2
≤ B.
Зазначимо, що до LM (1)2 належать оператори ортогонально-
го проектування на простори розмiрностi M , а також оператори,
якi задаються на ортонормованiй системi функцiй за допомогою
мультиплiкатора, який визначається послiдовнiстю {λm} такою, що
|λm| ≤ 1 для всiх m.
210 А. Ф. Конограй, О. В. Федуник-Яремчук
Iз (4) i (5) легко бачити, що величини d⊥M (F,Lq) i dBM (F,Lq) по-
в’язанi мiж собою нерiвнiстю
dBM (F,Lq) ≤ d⊥M (F,Lq).
На сьогоднi вiдомо багато робiт, в яких дослiджувалися величини
d⊥M (F,Lq) i dBM (F,Lq) для тих чи iнших класiв функцiй. Тут згадаємо
роботи [7–11], в яких вивчались величини (4) i (5) для класiв функцiй
багатьох змiннихW r
p,α, Hr
p , Brp,θ та H
Ω
p , i в яких можна ознайомитись
з бiльш детальною бiблiографiєю.
Зауважимо, що одержанi нижче оцiнки доповнюють результати,
якi отриманi в роботах [12–14].
Наведемо необхiднi позначення та означення, якi будемо викори-
стовувати у подальших мiркуваннях.
Кожному вектору s = (s1, ..., sd), sj ∈ N, j = 1, d, поставимо у
вiдповiднiсть множину
ρ(s) =
{
k = (k1, ..., kd) : 2sj−1 ≤ |kj | < 2sj , kj ∈ Z \ {0}, j = 1, d
}
.
Для натурального N покладемо
χ(N) =
{
s = (s1, ..., sd) : sj ∈ N, j = 1, d, Ω(2−s) ≥ 1
N
}
,
Q(N) =
⋃
s∈χ(N)
ρ(s).
Враховуючи (3), множину χ(N) можна означити так:
χ(N) =
{
s = (s1, ..., sd) : sj ∈ N, j = 1, d,
d∏
j=1
2rsjs
bj
j ≤ N
}
.
Далi, нехай
χ⊥(N) = Nd \ χ(N),
Θ(N) =
{
s = (s1, ..., sd) : sj ∈ N, j = 1, d,
1
2lN
≤ Ω(2−s) <
1
N
}
.
У прийнятих позначеннях має мiсце наступне твердження.
Оцiнки ортопроекцiйних поперечникiв класiв BΩ
∞,θ . . . 211
Лема А [11]. Кiлькiсть елементiв множини Q(N) рiвна за
порядком:
|Q(N)| � N 1
r
(
logN
)− b1r −...− bdr +d−1
.
Перш, нiж перейти до викладу отриманих результатiв, покладемо
M = |Q(N)|. Тодi, згiдно з лемою А, отримаємо
M � N 1
r
(
logN
)− b1r −...− bdr +d−1
,
logM � logN, N �Mr
(
logM
)b1+...+bd−(d−1)r
.
(6)
Має мiсце наступна теорема.
Теорема. Нехай 1 ≤ q <∞, 1 ≤ θ <∞, а Ω(t) задана формулою
(3). Тодi при 0 < r < l мають мiсце спiввiдношення
d⊥M (BΩ
∞,θ, Lq) � dBM (BΩ
∞,θ, Lq) �
�M−r
(
logM
)−b1−...−bd+(d−1)
(
r+
(
1
2−
1
θ
)
+
)
, (7)
де a+ = max{a, 0}.
Доведення. Вiдмiтимо, оскiльки dBM (BΩ
∞,θ, Lq) ≤ d⊥M (BΩ
∞,θ, Lq),
то оцiнку зверху в (7) достатньо встановити для поперечника
d⊥M (BΩ
∞,θ, Lq), а знизу — для величини dBM (BΩ
∞,θ, Lq).
Оцiнка зверху для поперечника d⊥M (BΩ
∞,θ, Lq) у випадку
1 < q <∞, випливає iз оцiнки наближення функцiй з класiв
BΩ
∞,θ тригонометричними полiномами tQ(N)(x) =
∑
s∈χ(N)
δs(f, x), де
δs(f, x) =
∑
k∈ρ(s)
f̂(k)ei(k,x), а f̂(k) = (2π)−d
∫
πd
f(t)e−i(k,t)dt — коефi-
цiєнти Фур’є функцiї f , (k, x) = k1x1 + . . .+ kdxd.
Тодi, скориставшись встановленим в [15] результатом
sup
f∈BΩ
∞,θ
‖f(·)− tQ(N)(·)‖q � N−1
(
logN
)(d−1)
(
1
2−
1
θ
)
+ ,
та спiввiдношеннями (6), одержуємо шукану оцiнку зверху в (7) у
випадку 1 < q < ∞. Для q = 1 проведемо аналогiчнi до наведених
212 А. Ф. Конограй, О. В. Федуник-Яремчук
вище мiркування, додатково використавши нерiвнiсть ‖ · ‖1 ≤ ‖ · ‖q,
1 < q <∞.
Перейдемо до встановлення вiдповiдної оцiнки знизу. Зазначимо,
що отримана оцiнка зверху не залежить вiд параметра q, тому для
доведення оцiнки знизу величини dBM (BΩ
∞,θ, Lq) достатньо розгляну-
ти випадок q = 1. Доведення розiб’ємо на двi частини.
Нехай спочатку 1 ≤ θ < 2. Використаємо мiркування аналогiчнi
до тих, якi використовувались у прикладi 1 роботи [8]. Нехай число
M задане, G ∈ LM (B)1. Тодi iснує вектор k0 = (k0
1, ..., k
0
d) ∈ Q̃(N), де
Q̃(N) =
⋃
s∈Θ(N)
ρ(s) такий, що∥∥ei(k0,·) −Gei(k
0,·)∥∥
1
� 1. (8)
Розглянемо функцiю
g1(x) = C3N
−1ei(k
0,x), C3 > 0,
яка при вiдповiдному виборi сталої C3 належить до класу
BΩ
∞,θ, 1 ≤ θ < 2.
Далi, скориставшись спiввiдношенням (8), отримаємо∥∥g1(·)−Gg1(·)
∥∥
1
� N−1
∥∥ei(k0,·) −Gei(k
0,·)∥∥
1
�
� N−1 �M−r
(
logM
)−b1−...−bd+(d−1)r
.
Нехай тепер 2 ≤ θ <∞. В цьому випадку для встановления оцiн-
ки знизу величини dBM (BΩ
∞,θ, L1) розглянемо функцiю, яка аналогiч-
на функцiї з прикладу 6 роботи [8].
За допомогою аналогiчних мiркувань, що i в [16], можна
показати, що iснує множина Θ1(N) ⊂ Θ(N) така, що для
s = (s1, ..., sd) ∈ Θ1(N) будуть виконуватись спiввiдношення
sj � logN, j = 1, d i |Θ1(N)| �
(
logN
)d−1
.
Далi, для G ∈ LM (B)1 знайдуться N, Θ2(N) ⊂ Θ1(N) такi, що
|Θ2(N)| ≥ 1
2
|Θ1(N)|,
Оцiнки ортопроекцiйних поперечникiв класiв BΩ
∞,θ . . . 213
i в кожному ρ(s), s ∈ Θ2(N), знайдуться такi вектори ks, що для
функцiї
g2(x) =
∑
s∈Θ2(N)
ei(k
s,x)
знайдеться y∗ = (y∗1 , ..., y
∗
d) такий, що
‖g2(x+ y∗)−Gg2(x+ y∗)‖1 �
(
logM
) d−1
2 . (9)
Доведення спiввiдношення (9) проводиться за допомогою тих же
мiркувань, якi використовувались при доведеннi вiдповiдної оцiнки
в прикладi 6 роботи [8].
Отже, розглянемо функцiю
g3(x) = C4N
−1
(
logN
)− d−1
θ g2(x), C4 > 0.
Покажемо, що функцiя g3 при вiдповiдному виборi сталої C4 на-
лежить до класу BΩ
∞,θ, 2 ≤ θ <∞.
Дiйсно,
‖g3‖BΩ
∞,θ
=
(∑
s
Ω−θ(2−s)‖As(g3, ·)‖θ∞
) 1
θ
�
� N−1
(
logN
)− d−1
θ
( ∑
s∈Θ2(N)
Ω−θ(2−s)‖As(g2, ·)‖θ∞
) 1
θ
�
� N−1
(
logN
)− d−1
θ
( ∑
s∈Θ2(N)
Ω−θ(2−s)
) 1
θ
�
� N−1
(
logN
)− d−1
θ ·N · |Θ2(N)| 1θ �
(
logN
)− d−1
θ
(
logN
) d−1
θ = 1.
Таким чином, скориставшись спiввiдношенням (9), будемо мати
‖g3(x+ y∗)−Gg3(x+ y∗)‖q ≥ ‖g3(x+ y∗)−Gg3(x+ y∗)‖1 �
� N−1
(
logN
)− d−1
θ ‖g2(x+ y∗)−Gg2(x+ y∗)‖1 �
214 А. Ф. Конограй, О. В. Федуник-Яремчук
� N−1
(
logN
)− d−1
θ
(
logM
) d−1
2 �
�M−r
(
logM
)−b1−...−bd+(d−1)
(
r+ 1
2−
1
θ
)
.
Оцiнку знизу встановлено. Теорему доведено.
Зауваження 1. У випадку Ω(t) =
d∏
j=1
trj результат теореми (для
класiв Br∞,θ, 1 ≤ θ <∞) встановлений А. С. Романюком [10].
Зауваження 2. Точнi за порядком оцiнки величин d⊥M (HΩ
∞, Lq)
та dBM (HΩ
∞, Lq) при 1 ≤ q <∞ отриманi М. М. Пустовойтовим [11].
1. Бари Н. К., Стечкин С. Б. Наилучшие приближения и дифференциаль-
ные свойства двух сопряженных функций // Тр. Моск. мат. о-ва. — 1956. —
5. — C. 483–522.
2. Sun Yongsheng, Wang Heping. Representation and Approximation of
Multivariate Periodic Functions with Bounded Mixed Moduli of Smoothness //
Тр. Мат. ин-та им. В.А.Стеклова. — 1997. — 219. — С. 356–377.
3. Пустовойтов Н. Н. Представление и приближение периодических функ-
ций многих переменных с заданным смешанным модулем непрерывно-
сти // Anal. Math. — 1994. — 20. — C. 35–48.
4. Лизоркин П. И., Никольский С. М. Пространства функций смешанной
гладкости с декомпозиционной точки зрения // Тр. Мат. ин-та АН СССР.
— 1989. — 187. — C. 143–161.
5. Стасюк С. А., Федуник О. В. Апроксимативнi характеристики класiвBΩ
p,θ
перiодичних функцiй багатьох змiнних // Укр. мат. журн. — 2006. — 58,
№ 5. — C. 692–704.
6. Темляков В. Н. Поперечники некоторых классов функций нескольких пе-
ременных // Докл. АН СССР. — 1982. — 267, № 2. — C. 314–317.
7. Темляков В. Н. Приближение функций с ограниченной смешанной про-
изводной // Тр. Мат. ин-та АН СССР. — 1986. — 178. — C. 1–112.
8. Темляков В. Н. Оценки асимптотических характеристик классов функций
с ограниченной смешанной производной // Тр. Мат. ин-та АН СССР. —
1989. — 189. — C. 138–168.
9. Романюк А. С. Наилучшие приближения и поперечники классов перио-
дических функций многих переменных // Мат. сб. — 2008. — 199, № 2. —
C. 93–114.
10. Романюк А. С. Поперечники и наилучшие приближения классов Бесова
Brp,θ периодических функций многих переменных // Anal. Math. — 2011. —
37. — C. 181–213.
Оцiнки ортопроекцiйних поперечникiв класiв BΩ
∞,θ . . . 215
11. Пустовойтов Н. Н. Ортопоперечники классов многомерных периодиче-
ских функций, мажоранта смешанных модулей непрерывности которых
содержит как степенные, так и логарифмические множители // Anal.
Math. — 2008. — 34. — C. 187–224.
12. Конограй А. Ф. Оценки аппроксимативных характеристик классов BΩ
p,θ
периодических функций многих переменных с заданной мажорантой сме-
шанных модулей непрерывности // Мат. заметки. — 2014. — 95, № 5. —
C. 734–749.
13. Конограй А. Ф.,Федуник-Яремчук О. В. Оцiнки апроксимативних ха-
рактеристик класiв перiодичних функцiй багатьох змiнних iз заданою ма-
жорантою мiшаних модулiв неперервностi // Теорiя наближення функцiй
та сумiжнi питання : Зб. праць Iн-ту математики НАН України. — 2013.
— 10, № 1. — С. 148–160.
14. Конограй А. Ф.,Федуник-Яремчук О. В. Оцiнки ортопроекцiйних попе-
речникiв класiв BΩ
p,θ перiодичних функцiй багатьох змiнних iз заданою
мажорантою мiшаних модулiв неперервностi // Теорiя наближення функ-
цiй та сумiжнi питання : Зб. праць Iн-ту мат. НАН України. — 2014. — 11,
№ 1. — С. 131–150.
15. Стасюк С. А. Наилучшие приближения периодических функций мно-
гих переменных из классов BΩ
p,θ // Мат. заметки. — 2010. — 87, № 1.
— C. 108–121.
16. Пустовойтов Н. Н. О приближении и характеризации периодических
функций многих переменных, имеющих мажоранту смешанных моду-
лей непрерывности специального вида // Anal. Math. — 2003. — 29. —
C. 201–218.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-294 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:05:06Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/dc/c7afe82184f88a77aeed9358bfd40ddc.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-2942018-02-02T19:57:24Z Estimates of the orthogonal widths of the classes $B^{\Omega}_{\infty,\theta}$ of periodic functions of many variables with given majorant of the mixed moduli of continuity Оцінки ортопроекційних поперечників класів $B^{\Omega}_{\infty,\theta}$ періодичних функцій багатьох змінних із заданою мажорантою мішаних модулів неперервності Konograi, A. F. Fedunyk-Yaremchuk, O. V. Конограй, А. Ф. Федуник-Яремчук, О. В. We obtain exact order estimates of approximation of classes $B^{\Omega}_{\infty,\theta}$ of periodic functions of several variables in the space $L_q$ by using operators of orthogonal projection as well as linear operators subjected to someconditions. Оцінки ортопроекційних поперечників класів $B^{\Omega}_{\infty,\theta}$ періодичних функцій багатьох змінних із заданою мажорантою мішаних модулів неперервності Інститут математики НАН України 2015-07-14 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/294 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 12 No. 4 (2015): Approximation Theory of Functions and Related Problems; 205 - 215 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 12 № 4 (2015): Tеорія наближення функцій та суміжні питання; 205 - 215 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 12 № 4 (2015): Tеорія наближення функцій та суміжні питання; 205 - 215 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/294/328 |
| spellingShingle | Konograi, A. F. Fedunyk-Yaremchuk, O. V. Конограй, А. Ф. Федуник-Яремчук, О. В. Estimates of the orthogonal widths of the classes $B^{\Omega}_{\infty,\theta}$ of periodic functions of many variables with given majorant of the mixed moduli of continuity |
| title | Estimates of the orthogonal widths of the classes $B^{\Omega}_{\infty,\theta}$ of periodic functions of many variables with given majorant of the mixed moduli of continuity |
| title_alt | Оцінки ортопроекційних поперечників класів $B^{\Omega}_{\infty,\theta}$ періодичних функцій багатьох змінних із заданою мажорантою мішаних модулів неперервності |
| title_full | Estimates of the orthogonal widths of the classes $B^{\Omega}_{\infty,\theta}$ of periodic functions of many variables with given majorant of the mixed moduli of continuity |
| title_fullStr | Estimates of the orthogonal widths of the classes $B^{\Omega}_{\infty,\theta}$ of periodic functions of many variables with given majorant of the mixed moduli of continuity |
| title_full_unstemmed | Estimates of the orthogonal widths of the classes $B^{\Omega}_{\infty,\theta}$ of periodic functions of many variables with given majorant of the mixed moduli of continuity |
| title_short | Estimates of the orthogonal widths of the classes $B^{\Omega}_{\infty,\theta}$ of periodic functions of many variables with given majorant of the mixed moduli of continuity |
| title_sort | estimates of the orthogonal widths of the classes $b^{\omega}_{\infty,\theta}$ of periodic functions of many variables with given majorant of the mixed moduli of continuity |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/294 |
| work_keys_str_mv | AT konograiaf estimatesoftheorthogonalwidthsoftheclassesbomegainftythetaofperiodicfunctionsofmanyvariableswithgivenmajorantofthemixedmoduliofcontinuity AT fedunykyaremchukov estimatesoftheorthogonalwidthsoftheclassesbomegainftythetaofperiodicfunctionsofmanyvariableswithgivenmajorantofthemixedmoduliofcontinuity AT konograjaf estimatesoftheorthogonalwidthsoftheclassesbomegainftythetaofperiodicfunctionsofmanyvariableswithgivenmajorantofthemixedmoduliofcontinuity AT fedunikâremčukov estimatesoftheorthogonalwidthsoftheclassesbomegainftythetaofperiodicfunctionsofmanyvariableswithgivenmajorantofthemixedmoduliofcontinuity AT konograiaf ocínkiortoproekcíjnihpoperečnikívklasívbomegainftythetaperíodičnihfunkcíjbagatʹohzmínnihízzadanoûmažorantoûmíšanihmodulívneperervností AT fedunykyaremchukov ocínkiortoproekcíjnihpoperečnikívklasívbomegainftythetaperíodičnihfunkcíjbagatʹohzmínnihízzadanoûmažorantoûmíšanihmodulívneperervností AT konograjaf ocínkiortoproekcíjnihpoperečnikívklasívbomegainftythetaperíodičnihfunkcíjbagatʹohzmínnihízzadanoûmažorantoûmíšanihmodulívneperervností AT fedunikâremčukov ocínkiortoproekcíjnihpoperečnikívklasívbomegainftythetaperíodičnihfunkcíjbagatʹohzmínnihízzadanoûmažorantoûmíšanihmodulívneperervností |