Прямая и обратная задачи рассеяния для гиперболической системы шести уравнений первого порядка на полуоси
We investigate the direct and inverse scattering problems for a hyperbolic system of six equations of first order on a semi-axis when there are four incident and two scattering waves. We prove the theorem about existence and uniqueness of solution of the inverse scattering problem under joint consid...
Збережено в:
| Дата: | 2017 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2017
|
| Онлайн доступ: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/316 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552821676572672 |
|---|---|
| author | Iskenderov, N. Sh. Jafarova, L. N. Искендеров, Н. Ш. Джафарова, Л. Н. Iskenderov, N. Sh. Jafarova, L. N. |
| author_facet | Iskenderov, N. Sh. Jafarova, L. N. Искендеров, Н. Ш. Джафарова, Л. Н. Iskenderov, N. Sh. Jafarova, L. N. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Н. Ш. Искендеров",
"institution": "Бакинский государственный университет"
},
{
"author": "Л. Н. Джафарова",
"institution": "Бакинский государственный университет"
}
] |
| author_sort | Iskenderov, N. Sh. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-02-13T13:12:44Z |
| description | We investigate the direct and inverse scattering problems for a hyperbolic system of six equations of first order on a semi-axis when there are four incident and two scattering waves. We prove the theorem about existence and uniqueness of solution of the inverse scattering problem under joint consideration of four problems with different boundary conditions. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:05:32Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2017, т. 14, № 3, 128–160
УДК 517.948
Н. Ш. Искендеров, Л. Н. Джафарова
Бакинский Государственный Университет, Баку
nizameddin_isgenderov@mail.ru, cafarov.90@bk.ru
Прямая и обратная задачи рассеяния
для гиперболической системы шести
уравнений первого порядка на
полуоси
We investigate the direct and inverse scattering problems for a
hyperbolic system of six equations of first order on a semi-axis when
there are four incident and two scattering waves. We prove the
theorem about existence and uniqueness of solution of the inverse
scattering problem under joint consideration of four problems with
different boundary conditions.
Дослiджено пряму i обернену задачi розсiювання для системи ше-
сти рiвнянь першого порядку на пiвосi у ситуацiї, коли є чотири
падаючi та двi розсiянi хвилi. Доведено теорему iснування та єди-
ностi розв’язку оберненої задачi розсiювання за умови спiльного
розгляду чотирьох задач з рiзними крайовими умовами.
Рассмотрим на полуоси x ≥ 0 гиперболическую систему шести
уравнений первого порядка вида
ξi
∂ψi(x, t)
∂t
− ∂ψi(x, t)
∂x
=
6∑
j=1
cij(x, t)ψj(x, t), i = 1, 6, (1)
c© Н. Ш. Искендеров, Л. Н. Джафарова,2017
Прямая и обратная задачи рассеяния... 129
где {ψ1(x, t), ...ψ6(x, t)} — искомая функция, ξ1 > ... > ξ4 > 0 >
ξ5 > ξ6,−∞ < t < +∞, cij(x, t) — комплекснозначные, измери-
мые по x и t функции, удовлетворяющие условию
|cij(x, t)| ≤ c[(1 + |x|)(1 + |t|)]−1−ε, (2)
c > 0, ε > 0 — поcтоянные, причем cii(x, t) ≡ 0, i = 1, 6, j = 1, 6.
Обратные задачи рассеяния для гиперболической системы
двух уравнений на всей оси и на полуоси изучены в [1, 2], а для
гиперболической системы n ≥ 3 уравнений на всей оси — в [3],
обратная задача рассеяния для гиперболической системы трех
уравнений на полуоси изучена в [4], для системы n уравнений,
когда имеются (n − 1) падающие и одна рассеянная волна, или
когда имеются одна падающая и (n−1) рассеянные волны изуче-
ны в [5, 6], когда имеются равные числа падающих и рассеянных
волн — в [7, 8], для системы пяти уравнений с двумя падающими
или тремя падающими волнами — в [9, 10].
Обратные задачи рассеяния для различных систем гипербо-
лических уравнений также изучены в работах [11 – 13] и др.
В данной работе рассматривается случай, когда имеются че-
тыре падающие и две рассеянные волны.
1. Задача рассеяния
Всякое существенно ограниченное решение системы (1) с коэф-
фициентами, удовлетворяющими условиям (2), допускает на по-
луоси x ≥ 0 следующие асимптотические представления
ψk(x, t) = ak(t+ ξkx) + 0(1), k = 1, 4, x→ +∞,
ψk(x, t) = bk(t+ ξkx) + 0(1), k = 5, 6,
(3)
где функции ak(s) ∈ L∞(R), R = (−∞,∞), k = 1, 4 определяют
падающие волны, а bk(s) ∈ L∞(R), k = 5, 6 — рассеянные.
Задача рассеяния на полуоси состоит в нахождении решения
системы (1) по заданным падающим волнам ai(s), i = 1, 4 и
130 Н. Ш. Искендеров, Л. Н. Джафарова
граничным условиям при x = 0. Будем совместно рассматривать
четыре задачи. Каждая задача состоит в нахождении решения
системы уравнений (1), удовлетворяющего одному из следующих
условий:
1. ψ1
5(0, t) = ψ1
1(0, t) + ψ1
2(0, t) + ψ1
3(0, t),
ψ1
6(0, t) = ψ1
4(0, t);
(4)
2. ψ2
5(0, t) = ψ2
1(0, t) + ψ2
2(0, t) + ψ2
4(0, t),
ψ2
6(0, t) = ψ2
3(0, t);
(5)
3. ψ3
5(0, t) = ψ3
1(0, t) + ψ3
3(0, t) + ψ3
4(0, t),
ψ3
6(0, t) = ψ3
2(0, t);
(6)
4. ψ4
5(0, t) = ψ4
2(0, t) + ψ4
3(0, t) + ψ4
4(0, t),
ψ4
6(0, t) = ψ4
1(0, t).
(7)
Совместное рассмотрение этих четырех задач будем называть
задачей рассеяния для системы уравнений (1) на полуоси.
Теорема 1. Пусть коэффициенты ci,j(x, t), i, j = 1, 6 системы
уравнений (1) удовлетворяют условиям (2). Тогда существует
единственное решение задачи рассеяния на полуоси x ≥ 0 для си-
стемы (1) с заданными падающими волнами ai(s) ∈ L∞(R), i =
1, 4. Каждое решение допускает в пространстве L∞(R) асимп-
тотику:
ψki (x, t) = bki (t+ ξix) + 0(1), x→ +∞, i = 4, 5; k = 1, 4. (8)
Доказательство этой теоремы следует из следующей эквива-
лентной системы интегральных уравнений и условий (2):
ψpi (x, t) = ai(t+ ξix)+
+
+∞∫
x
6∑
j=1
cij(y, t+ ξi(x− y))ψpj (y, t+ ξi(x− y))dy i = 1, 4
Прямая и обратная задачи рассеяния... 131
ψpi (x, t) = bpi (t+ ξix)+
+
+∞∫
x
6∑
j=1
cij(y, t+ ξi(x− y))ψpj (y, t+ ξi(x− y))dy i = 5, 6,
(9)
где bp5(t), b
p
6(t), (p = 1, 4) выражаются через ai(t) (i = 1, 4), ко-
эффициенты cij(x, t) (i, j = 1, 6) и решений соответственно, —
первой, ...., четвертой задач.
Таким образом, можно определить операторы Sk, переводя-
щие (a1(s), · · · a4(s)) ∈ L∞(R,C4) в (bk5, b
k
6) ∈ L∞(R,C2) k = 1, 4.
Оператор S = (S1, S2, S3, S4) называется оператором рассея-
ния для системы (1) на полуоси, где
Sk =
(
Sk11 Sk12 Sk13 Sk14
Sk21 Sk22 Sk23 Sk24
)
, k = 1, 4. (10)
2. Интегральные представления решений
Всякое существенно ограниченное решение системы (1) на по-
луоси можно выразить через их асимптотики (3), т. е. функции
a1, a2, a3, a4, b5, b6 через значения решений при x = 0, т. е. через
ψi(0, t)(i = 1, 6) или через некоторые комбинации этих величин.
132 Н. Ш. Искендеров, Л. Н. Джафарова
С этой целью рассмотрим двенадцать вектор-функций:
h1(t) = {ψ1(0, t), ψ2(0, t), ψ3(0, t), ψ4(0, t), ψ5(0, t), ψ6(0, t)},
h2(t) = {a1(t), ψ2(0, t), ψ3(0, t), ψ4(0, t), ψ5(0, t), ψ6(0, t)},
h3(t) = {a1(t), a2(t), ψ3(0, t), ψ4(0, t), ψ5(0, t), ψ6(0, t)},
h4(t) = {a1(t), a2(t), a3(t), ψ4(0, t), ψ5(0, t), ψ6(0, t)},
h5(t) = {a1(t), a2(t), a3(t), a4(t), ψ5(0, t), ψ6(0, t)},
h6(t) = {a1(t), a2(t), a3(t), a4(t), b5(t), ψ6(0, t)},
h7(t) = {a1(t), a2(t), a3(t), a4(t), b5(t), b6(t)},
h8(t) = {ψ1(0, t), a2(t), a3(t), a4(t), b5(t), b6(t)},
h9(t) = {ψ1(0, t), ψ2(0, t), a3(t), a4(t), b5(t), b6(t)},
h10(t) = {ψ1(0, t), ψ2(0, t), ψ3(0, t), a4(t), b5(t), b6(t)},
h11(t) = {ψ1(0, t), ψ2(0, t), ψ3(0, t), ψ4(0, t), b5(t), b6(t)},
h12(t) = {ψ1(0, t), ψ2(0, t), ψ3(0, t), ψ4(0, t), ψ5(0, t), b6(t)}.
(11)
Представление допустимого решения через вектор-функции
hk(t) получаем с помощью следующей леммы.
Лемма 1. Пусть коэффициенты системы (1) удовлетво-
ряют условию (2). Тогда каждое решение имеет интегральное
представление
ψk(x, t) = h1k(t+ ξkx) +
t+ξ1x∫
t+ξ6x
6∑
j=1
R1
kj(x, t, ξ)h
1
j (ξ)dξ, (111)
ψk(x, t) = h2k(t+ ξkx)+
+
t+ξ1x∫
−∞
R2
k1(x, t, ξ)h
2
1(ξ)dξ +
t+ξ2x∫
−∞
6∑
j=2
R2
kj(x, t, ξ)h
2
j (ξ)dξ, (112)
Прямая и обратная задачи рассеяния... 133
ψk(x, t) = h3k(t+ ξkx) +
+∞∫
−∞
R3
k1(x, t, ξ)h
3
1(ξ)dξ+
+
t+ξ2x∫
−∞
R3
k2(x, t, ξ)h
3
2(ξ)dξ +
t+ξ3x∫
−∞
6∑
j=3
R3
kj(x, t, ξ)h
3
j (ξ)dξ, (113)
ψk(x, t) = h4k(t+ ξkx) +
+∞∫
−∞
2∑
j=1
R4
kj(x, t, ξ)h
4
j (ξ)dξ+
+
t+ξ3x∫
−∞
R4
k3(x, t, ξ)h
4
3(ξ)dξ +
t+ξ4x∫
−∞
6∑
j=4
R4
kj(x, t, ξ)h
4
j (ξ)dξ, (114)
ψk(x, t) = h5k(t+ ξkx) +
+∞∫
−∞
3∑
j=1
R5
kj(x, t, ξ)h
5
j (ξ)dξ+
+
t+ξ4x∫
−∞
R5
k4(x, t, ξ)h
5
4(ξ)dξ +
t+ξ5x∫
−∞
6∑
j=5
R5
kj(x, t, ξ)h
5
j (ξ)dξ, (115)
ψk(x, t) = h6k(t+ ξkx) +
+∞∫
−∞
4∑
j=1
R6
kj(x, t, ξ)h
6
j (ξ)dξ+
+
t+ξ5x∫
−∞
R6
k5(x, t, ξ)h
6
5(ξ)dξ +
t+ξ6x∫
−∞
R6
k6(x, t, ξ)h
6
6(ξ)dξ, (116)
ψk(x, t) = h7k(t+ ξkx) +
+∞∫
t+ξ1x
R7
k1(x, t, ξ)h
7
1(ξ)dξ+
134 Н. Ш. Искендеров, Л. Н. Джафарова
+
+∞∫
−∞
5∑
j=2
R7
kj(x, t, ξ)h
7
j (ξ)dξ +
t+ξ6x∫
−∞
R7
k6(x, t, ξ)h
7
6(ξ)dξ, (117)
ψk(x, t) = h8k(t+ ξkx) +
+∞∫
t+ξ1x
R8
k1(x, t, ξ)h
8
1(ξ)dξ+
+∞∫
t+ξ2x
R8
k2(x, t, ξ)h
8
2(ξ)dξ +
+∞∫
−∞
6∑
j=3
R8
kj(x, t, ξ)h
8
j (ξ)dξ, (118)
ψk(x, t) = h9k(t+ ξkx)+
+
+∞∫
−∞
R9
k1(x, t, ξ)h
9
1(ξ)dξ +
+∞∫
t+ξ2x
R9
k2(x, t, ξ)h
9
2(ξ)dξ+
+
+∞∫
t+ξ3x
R9
k3(x, t, ξ)h
9
3(ξ)dξ +
+∞∫
−∞
6∑
j=4
R9
kj(x, t, ξ)h
9
j (ξ)dξ, (119)
ψk(x, t) = h10k (t+ ξkx) +
+∞∫
t+ξ3x
3∑
j=1
R10
k1(x, t, ξ)h
10
j (ξ)dξ+
+
+∞∫
t+ξ4x
R10
k4(x, t, ξ)h
10
4 (ξ)dξ +
+∞∫
−∞
6∑
j=5
R10
kj(x, t, ξ)h
10
j (ξ)dξ, (1110)
ψk(x, t) = h11k (t+ ξkx) +
+∞∫
t+ξ4x
4∑
j=1
R11
kj(x, t, ξ)h
11
j (ξ)dξ+
+
+∞∫
t+ξ5x
R11
k5(x, t, ξ)h
11
5 (ξ)dξ +
+∞∫
−∞
R11
k6(x, t, ξ)h
11
6 (ξ)dξ, (1111)
Прямая и обратная задачи рассеяния... 135
ψk(x, t) = h12k (t+ ξkx)+
+
+∞∫
t+ξ5x
5∑
j=1
R12
kj(x, t, ξ)h
12
j (ξ)dξ +
+∞∫
t+ξ6x
R12
k6(x, t, ξ)h
12
6 (ξ)dξ.
(1112)
Ядра этих преобразований при фиксированном x суммируемы
с квадратом по t, x, т. е. являются ядрами Гильберта-Шмидта,
однозначно определяются коэффициентами cij(x, t) системы (1).
При произвольных hk(t) ∈ L∞(−∞,+∞) допустимые решения
системы (1) выражаются формулами (111)− (1112). Доказатель-
ство леммы аналогично методам работ [3, 5].
3. Свойства решений в нуле
Здесь с помощью интегральных представлений (111−1112) реше-
ние в нуле выражается через падающие и рассеянные волны, и
тем самым устанавливаются связи между компонентами векто-
ров hk(t), (k = 1, 2, · · · , 12) при определенных предположениях.
Лемма 2. Если a1(t) = a2(t) = a3(t) = 0, то для любого a4(t) ∈
L∞(R) верны следующие равенства:{
ψ1
i (0, t) = A5
i+a4(t), i = 1, 2, 3,
ψ1
4(0, t) = (I +A5
4+)a4(t);
(12)
{
ψ2
i (0, t) = B5
i+a4(t), i = 1, 2, 3,
ψ2
4(0, t) = (I +B5
4+)a4(t);
(13){
ψ3
i (0, t) = C5
i+a4(t), i = 1, 2, 3,
ψ3
4(0, t) = (I + C5
4+)a4(t);
(14){
ψ4
i (0, t) = D5
i+a4(t), i = 1, 2, 3,
ψ4
4(0, t) = (I +D5
4+)a4(t),
(15)
где A5
i+, B
5
i+, C
5
i+, D
5
i+(i = 1, 4) вольтерровые интегральные опе-
раторы и выражаются через элементы пятого интегрального
представления.
136 Н. Ш. Искендеров, Л. Н. Джафарова
Доказательство. Из интегрального представления (115) для
первой задачи при a1(t) = a2(t) = a3(t) = 0 имеем:(
I −R5
15+
)
ψ1
1(0, t)−R5
15+ψ
1
2(0, t)−
−R5
15+ψ
1
3(0, t)−R5
16+ψ
1
4(0, t) = R5
14+a4(t),
−R5
25+ψ
1
1(0, t) +
(
I −R5
25+
)
ψ1
2(0, t)−R5
25+ψ
1
3(0, t)−
−R5
26+ψ
1
4(0, t) = R5
24+a4(t),
−R5
35+ψ
1
1(0, t)−R5
35+ψ
1
2(0, t) + (I −R5
35+)ψ1
3(0, t)−
−R5
36+ψ
1
4(0, t) = R5
34+a4(t),
−R5
45+ψ
1
1(0, t)−R5
45+ψ
1
2(0, t)−R5
45+ψ
1
3(0, t)+
+(I −R5
46+)ψ1
4(0, t) = (I +R5
44+)a4(t).
Решение этой системы приводит к (12). Остальные формулы
(13),(14) и (15) доказываются аналогично.
Лемма 3. Для любых ai(t) ∈ L∞(R), i = 1, 4 выполняются сле-
дующие соотношения:
ψik(0, t)− ψ
j
k(0, t) = r6k+(bi5(t)− b
j
5(t)), k = 1, 4, i < j,
ψ2
4(0, t)− ψ1
3(0, t) =
(
I + r65+ − r61+ − r62+
)
(b25(t)− b15(t)),
ψ3
4(0, t)− ψ1
2(0, t) =
(
I + r65+ − r61+ − r63+
)
(b35(t)− b15(t)),
ψ4
4(0, t)− ψ1
1(0, t) =
(
I + r65+ − r62+ − r63+
)
(b45(t)− b15(t)),
ψ2
2(0, t)− ψ3
3(0, t) =
(
I + r65+ − r64+ − r61+
)
(b25(t)− b35(t)),
ψ4
3(0, t)− ψ2
1(0, t) =
(
I + r65+ − r64+ − r62+
)
(b45(t)− b25(t)),
ψ4
2(0, t)− ψ3
1(0, t) =
(
I + r65+ − r64+ − r63+
)
(b45(t)− b35(t)), (16)
где
r6k+ = R5
k5+ −R5
k6+(I + r66+), k = 1, 5,
I + r66+ =
= (I +R6
56+ −R6
46+ −R6
36+ −R6
26+ −R6
16+)−1×
×(I +R6
55+ −R6
45+ −R6
35+ −R6
25+ −R6
15+).
Прямая и обратная задачи рассеяния... 137
Доказательство. Из представлений (116) имеем
ψik(0, t)− ψ
j
k(0, t) =
= R6
k5+(bi5(t)− b
j
5(t)) +R6
k6+(ψi6(0, t)− ψ
j
6(0, t)),
i < j, k = 1, 4,
ψi5(0, t)− ψ
j
5(0, t) =
= (I +R6
55+)(bi5(t)− b
j
5(t)) +R6
56+(ψi6(0, t)− ψ
j
6(0, t)),
ψi6(0, t)− ψ
j
6(0, t) = ψi6(0, t)− ψ
j
6(0, t). (17)
Учитывая граничные условия (4)-(7), имеем
ψk1 (0, t)+ψk2 (0, t)+ψk3 (0, t)+ψk4 (0, t) = ψk5 (0, t)+ψk6 (0, t), (k = 1, 4).
Тогда, из (17) получаем
(I +R6
56+ −R6
46+ −R6
36+ −R6
26+ −R6
16+)
(
ψi6(0, t)− ψ
j
6(0, t)
)
=
= −(I +R6
55+ −R6
45+ −R6
35+ −R6
25+ −R6
15+)(bi5(t)− b
j
5(t))
или
ψi6(0, t)− ψ
j
6(0, t) = −
(
I +R6
56+ −
4∑
k=1
R6
k6+
)−1
×
×
(
I +R6
55+ −
4∑
k=1
R6
k5+
)
(bi5(t)− b
j
5(t)) =
=− (I + r66+)(bi5(t)− b
j
5(t)).
(18)
В результате, из (17) и (18) получим (16).
Лемма 4. Для любых ai(t) ∈ L∞(R)(i = 1, 4) справедливо равен-
ство
bi6(t)− b
j
6(t) = −(I +M)(bi5(t)− b
j
5(t)),
i < j, i = 1, 2, 3; j = 2, 3, 4, (19)
138 Н. Ш. Искендеров, Л. Н. Джафарова
где
I +M =
(
I +R7
66+ −
5∑
k=1
R7
k6+
)−1(
I +R7
65 −
5∑
k=1
R7
k5
)
≡
≡
(
I +R7
+
)−1 (
I +R7
4
)
=
=
(
Sk14 − S1
14
)−1 (
Sk24 − S1
24
)
, k = 2, 3, 4.
(20)
Доказательство. Из представлений (117) получаем:
ψik(0, t)−ψ
j
k(0, t) = A7
k5(b
i
5(t)− b
j
5(t))+A7
k6+(bi6(t)− b
j
6(t)), k = 1, 4,
ψi5(0, t)− ψ
j
5(0, t) = (I +A7
55)(b
i
5(t)− b
j
5(t)) +A7
56+(bi6(t)− b
j
6(t)),
ψi6(0, t)− ψ
j
6(0, t) = A7
65(b
i
5(t)− b
j
5(t)) + (I +A7
66+)(bi6(t)− b76(t)).
Отсюда, учитывая граничные условия (4)-(7), имеем (19).
Докажем, что оператор M выражается через элементы опе-
ратора рассеяния по формуле (20).
Из формулы (18) и из определения оператора рассеяния S
3∑
k=1
(
Si2k − S
j
2k
)
ak(t) = −(I +M)
3∑
k=1
(
Si1k − S
j
1k
)
ak(t).
Отсюда, учитывая произвольность ak(t) (k = 1, 4), имеем
(I +M)
(
Si1k − S
j
1k
)
= Si2k − S
j
2k, k = 1, 4, i < j, i = 1, 3; j = 1, 4.
Мы позже (теорема 2) докажем, что операторы Sk14−S1
14, для
k = 2, 4 имеют вид:
Sk14 − S1
14 = I +Gk+ (Gk+− вольтерровский оператор).
Поэтому справедлива формула (20).
Прямая и обратная задачи рассеяния... 139
Лемма 5.
a) Если b15(t) = b25(t) = b35(t), то решения первой, второй и тре-
тьей задач совпадают и b16(t) = b26(t) = b36(t), более того, если
b16(t) = 0, то
ψk2 (0, t) = ψk3 (0, t) = ψk4 (0, t) = α1
−b
1
5(t), (21)
ψk1 (0, t) = (I + β1−)b15(t), k = 1, 2, 3. (22)
б) Если b15(t) = b25(t) = b45(t), то решения первой, второй и чет-
вертой задач совпадают и b16(t) = b26(t) = b46(t), более того, если
b26(t) = 0, то
ψk1 (0, t) = ψk3 (0, t) = ψk4 (0, t) = α2
−b
2
5(t), (23)
ψk2 (0, t) = (I + β2−)b25(t), k = 1, 2, 4. (24)
c) Если b15(t) = b35(t) = b45(t), то решения первой, третьей и
четвертой задач совпадают и b16(t) = b36(t) = b46(t), более того,
если b36(t) = 0, то
ψk1 (0, t) = ψk2 (0, t) = ψk4 (0, t) = α3
−b
3
5(t), (25)
ψk3 (0, t) = (I + β3−)b35(t), k = 1, 3, 4. (26)
д) Если b25(t) = b35(t) = b45(t), то решения второй, третьей и
четвертой задач совпадают и b26(t) = b36(t) = b46(t), более того,
если b46(t) = 0, то
ψk1 (0, t) = ψk2 (0, t) = ψk3 (0, t) = α4
−b
4
5(t), (27)
ψk4 (0, t) = (I + β4−)b45(t), k = 2, 3, 4, (28)
где αk−, βk− (k = 1, 4) выражаются через элементы одиннадца-
того интегрального представления.
Доказательство. Доказательство приведем для случая а),
остальные случаи доказываются аналогично.
140 Н. Ш. Искендеров, Л. Н. Джафарова
Из леммы 3 и 4 получим, что b16(t) = b26(t) = b46(t), ψ
1
k(0, t) =
= ψ2
k(0, t) = ψ3
k(0, t), k = 1, 6. Отсюда ψ1
2(0, t) = ψ1
3(0, t) = ψ1
4(0, t).
В силу одиннадцатого представления, учитывая граничные
условия и b16(t) = 0, имеем(
I −R11
51−
)
ψ1
1(0, t) + (2 · I −R11
52− −R11
53− −R11
54−)ψ1
2(0, t) =
=
(
I +R11
55−
)
b15(t),
−R11
61−ψ
1
1(0, t) + (I −R11
62− −R11
63− −R11
64−)ψ1
2(0, t) =
= R11
65−b
1
5(t).
Решение этой системы имеет вид (21) и (22), где(
I + β1−
α1
−
)
=
=
(
I −R11
55− 2 · I −R11
52− −R11
53− −R11
54−
−R11
61− I −R11
62− −R11
63− −R11
64−
)−1(
I +R11
55−
R11
65−
)
.
Лемма 6.
a) Если a1(t) = 0, b15(t) = b25(t) = b35(t), то
ψk1 (0, t) = γ1+a2(t), (29)
ψk2 (0, t) = ψk3 (0, t) = ψk4 (0, t) = (I + γ2+)a2(t), k = 1, 2, 3. (30)
b) Если a1(t) = 0, b15(t) = b25(t) = b45(t), то
ψk1 (0, t) = ψk3 (0, t) = ψk4 (0, t) = ν1+a2(t), (31)
ψk2 (0, t) = (I + ν2+)a2(t), k = 1, 2, 4, (32)
где операторы γk+, ν
k
+k = 1, 2 выражаются через элементы тре-
тьего интегрального представления.
Доказательство. Из представлений (113) в случае a) получа-
ем:(
I −R3
15+
)
ψ1
1(0, t)− (R3
13+ +R3
14+ + 2R3
15+ +R3
16+)ψ1
2(0, t) =
= R3
12+a2(t),
Прямая и обратная задачи рассеяния... 141
−R3
25+ψ
1
1(0, t) + (I −R3
23+ −R
3
24+ − 2R3
25+ −R
3
26+)ψ1
2(0, t) =
=
(
I +R3
22+
)
a2(t).
Решение этой системы дает (31) и (32), где(
γ1+
γ2+
)
=
=
(
I −R3
15+
−(R3
13+
+R3
14+
+ 2R3
15+
+R3
16+
)
−R3
25+
I −R3
23+
−R3
24+
− 2R3
25+
−R3
26+
)(
R3
12+
I +R3
22+
)
.
Равенства (31),(32) доказываются аналогично.
Лемма 7.
a) Пусть a1(t) = a2(t) = 0, b15(t) = b25(t), то решения первой и
второй задач совпадают и
ψ1
i (0, t) = ψ2
i (0, t) = m1
i+a3(t), i = 1, 2,
ψ1
3(0, t) = ψ2
3(0, t) = ψ1
4(0, t) = ψ2
4(0, t) = (I +m1
3+)a3(t).
(33)
b) Пусть a1(t) = a2(t) = 0, b15(t) = b35(t), то решения первой и
третьей задач совпадают и
ψ1
1(0, t) = ψ3
1(0, t) = m2
1+a3(t),
ψ1
2(0, t) = ψ3
2(0, t) = ψ1
4(0, t) = ψ3
4(0, t) = m2
2+a3(t),
ψ1
3(0, t) = ψ3
3(0, t) = (I +m2
3+)a3(t).
(34)
c) Пусть a1(t) = a2(t) = 0, b15(t) = b45(t), то решения первой и
четвертой задач совпадают и
ψ1
1(0, t) = ψ4
1(0, t) = ψ1
4(0, t) = ψ4
4(0, t) = m3
1+a3(t),
ψ1
2(0, t) = ψ4
2(0, t) = m3
2+a3(t),
ψ1
3(0, t) = ψ4
3(0, t) = (I +m3
3+)a3(t).
(35)
Доказательство. Доказательство приведем для случая а),
остальные доказываются аналогично.
142 Н. Ш. Искендеров, Л. Н. Джафарова
Из леммы 3 получим что решения первой и четвертой задач
совпадают, более того, ψk3 (0, t) = ψk4 (0, t), k = 1, 2. В силу чет-
вертого представления
ψ1
1(0, t)
ψ1
2(0, t)
ψ1
3(0, t)
=
=
I −R4
15+
−(R4
14+
+R4
15+
+R4
16+
) −R4
15+
−R4
25+
(I −R4
24+
−R4
25+
−R4
26+
) −R4
25+
−R4
35+
−(R4
34+
+R4
35+
+R4
36+
) I −R4
35+
−1×
×
R4
13+
R4
23+
I +R4
33+
a3(t) ≡
m2
1+
m2
2+
I +m2
3+
a3(t).
Лемма 8. Пусть b15(t) = b25(t) = b35(t) = b45(t), тогда
b16(t) = b26(t) = b36(t) = b46(t), и
ψ1
k(0, t) = ψ2
k(0, t) = ψ3
k(0, t) = ψ4
k(0, t) ≡ α(t), k = 1, 6, k 6= 5
ψk6 (0, t) = α(t), ψk5 (0, t) = 3α(t),
α(t) = (I +K+)a1(t)
α(t) = (I +N−)b16(t),
(36)
где
I +K+ =
I −
6∑
j=2
(j 6=5)
R2
1j+ − 3R2
15+
−1 (
I +R2
11+
)
,
I +N− =
I −
5∑
j=1
(j 6=5)
R12
6j− − 3R12
65−
−1 (
I +R12
66−
)
.
Прямая и обратная задачи рассеяния... 143
Доказательство. Из леммы 4, при b15(t) = ... = b45(t), имеем
b16(t) = ... = = b46(t), а из равенств (16) получим ψpk(0, t) =
α(t), k = 1, 4, p = 1, 4, ψk5 (0, t) = = 3α(t), ψk6 (0, t) = α(t).
Справедливость равенства (36) следует из представлений
(112) и (1112).
4. Свойства оператора рассеяния на полу-
оси
Здесь устанавливаются вольтерровские и факторизационные
свойства элементов оператора рассеяния.
Теорема 2. Пусть коэффициенты системы (1) удовлетворяют
условиям (2). Тогда операторы
P k1 =
Sk21 Sk22 Sk23 Sk24
S2
11 − S1
11 S2
12 − S1
12 S2
13 − S1
13 S2
14 − S1
14
S3
11 − S1
11 S3
12 − S1
12 S3
13 − S1
13 S3
14 − S1
14
S4
11 − S1
11 S4
12 − S1
12 S4
13 − S1
13 S4
14 − S1
14
,
k = 1, 2, 3, 4,
(37)
P k2 =
Sk21 Sk22 Sk23 Sk24
S1
11 − S3
11 S1
12 − S3
12 S1
13 − S3
13 S1
14 − S3
14
S2
11 − S3
11 S2
12 − S3
12 S2
13 − S3
13 S2
14 − S3
14
S4
11 − S3
11 S4
12 − S3
12 S4
13 − S3
13 S4
14 − S3
14
,
k = 1, 2, 3, 4,
(38)
и их главные миноры имеют обратные(
P k1
)−1
=
∥∥∥P 1k
ij
∥∥∥4
i,j=1
,
(
P k2
)−1
=
∥∥∥P 2k
ij
∥∥∥4
i,j=1
.
Кроме того, имеют место следующие равенства:
S2
14 − S1
14 = I +G1+ , (39)
S3
14 − S1
14 = I +G2+, (40)
144 Н. Ш. Искендеров, Л. Н. Джафарова
S4
14 − S1
14 = I +G3+, (41)
Sk21 + (I +M)Sk11 = (I +R+)−1 (I +R−) , (42)
Sk2j + (I +M)Sk1j = (I +R+)−1 (I +Rj) , k = 1, 4, j = 2, 3, 4, (43)
4∑
i=1
S1
1iP
1k
i4 = −
(
I + δ1−
)−1 (
I + δ1+
)
, k = 1, 2, 3, (44)
4∑
i=1
S2
1iP
1k
i3 = −
(
I + δ2−
)−1 (
I + δ1+
)
, k = 1, 2, 4, (45)
4∑
i=1
S3
1iP
1k
i2 = −
(
I + δ3−
)−1 (
I + δ1+
)
, k = 1, 3, 4, (46)
4∑
i=1
S4
1iP
2k
i2 = −
(
I + δ4−
)−1 (
I + δ1+
)
, k = 2, 3, 4, (47)
P 1k
11 = P 2k
11 = (I +K+)−1 (I +N−), k = 1, 2, 3, 4, (48)
где
I +G1+ =
(
I + r65+ − r61+ − r62+
)−1 (
I +B5
4+ −A5
3+
)
,
I +G2+ =
(
I + r65+ − r61+ − r63+
)−1 (
I + C5
4+ −A5
2+
)
,
I +G3+ =
(
I + r65+ − r62+ − r63+
)−1 (
I +D5
4+ −A5
1+
)
,
R+ = R7
66+ +R7
56+ −
4∑
i=1
R7
i6+, R− =
4∑
i=1
R7
i1− −R7
51− −R7
61−,
Rk =
4∑
i=1
R7
ik −R7
5k −R7
6k (k = 2, 5),
δk− = βk− − αk−,
Прямая и обратная задачи рассеяния... 145
δk+ = r65+ −
4∑
i=1
i 6=k
r6i+, k = 1, 4.
Доказательство. Обратимость операторов P k1 и P k2 (k =
1, 2, 3) следует из леммы 5 и из представлений (1112), (112), (113),
(114), (115). Действительно, из этой леммы получаем ψ(t) ≡
ψ1
k(0, t) = ... = ψ4
k(0, t), bk6(t) = 0 (k = 1, 4). Из (112) вытекает,
что ψ(t) ≡ 0. Аналогично, из представлений (112)-(115) последо-
вательно имеем, что ai(t) = 0 (i = 1, 4). Обратимость главных
миноров доказывается аналогично.
Из лемм 2 и 3 вытекает (39)-(41). Действительно,{
ψ2
4(0, t)− ψ1
3(0, t) =
(
I + r65+ − r61+ − r62+
)
(b25(t)− b15(t)),
ψ2
4(0, t)− ψ1
3(0, t) = (I +B5
4+ −A5
3+)a4(t).{
ψ3
4(0, t)− ψ1
2(0, t) =
(
I + r65+ − r61+ − r63+
)
(b35(t)− b15(t)),
ψ3
4(0, t)− ψ1
2(0, t) = (I + C5
4+ −A5
2+)(b35(t)− b15(t)),{
ψ4
4(0, t)− ψ1
1(0, t) =
(
I + r65+ − r62+ − r63+
)
(b45(t)− b15(t)),
ψ4
4(0, t)− ψ1
1(0, t) = (I +D5
4+ −A5
1+)(b45(t)− b15(t)).
Отсюда
b25(t)− b15(t) =
(
I + r65+ − r61+ − r62+
)−1
(I +B5
4+ −A5
3+)a4(t) =
= (I +G1+)a4(t) = (S2
14 − S1
14)a4(t),
b35(t)− b15(t) =
(
I + r65+ − r61+ − r63+
)−1
(I + C5
4+ −A5
2+)a4(t) =
= (I +G2+)a4(t) = (S3
14 − S1
14)a4(t),
b45(t)− b15(t) =
(
I + r65+ − r62+ − r63+
)−1
(I +D5
4+ −A5
1+)a4(t) =
= (I +G3+)a4(t) = (S4
14 − S1
14)a4(t).
Докажем равенства (42),(43). Согласно граничным условиям
(4)-(7) выполняется равенство
4∑
i=1
ψki (0, t) =
6∑
i=5
ψki (0, t), k = 1, 4.
146 Н. Ш. Искендеров, Л. Н. Джафарова
Учитывая это в равенстве (117), имеем
(I +R−)a1(t) +
4∑
k=2
(I +Rk)ak(t) = (I +R5)b
k
5(t) + (I +R+)bk6(t).
Умножим обе части этого равенства слева на (I +R+)−1. То-
гда, учитывая обозначения (20), получим
bk6(t)+(I+M)bk5(t) = (I+R+)−1
[
(I +R−)a1(t) +
4∑
k=2
(I +Rk)ak(t)
]
.
Так как bk5(t) и bk6(t) имеют вид
bk5(t) =
4∑
j=1
Sk1jaj(t), bk6(t) =
4∑
j=1
Sk2jaj(t),
то для произвольных aj(t) (j = 1, 4) имеем соотношения
(42),(43).
Справедливость формул (44)-(47) следует из лемм 3 и 5. Дей-
ствительно, в случаях а), b), с) и d), соответственно, получаем
ψ1
4(0, t)− ψ1
1(0, t) =
I + r65+ −
4∑
k=1
k 6=1
r6k+
(b45(t)− b15(t)),
ψ1
4(0, t)− ψ1
1(0, t) = −(I + β1− − α1
−)b15(t);
ψ1
4(0, t)− ψ1
2(0, t) =
I + r65+ −
4∑
k=1
k 6=2
r6k+
(b35(t)− b15(t)),
ψ1
4(0, t)− ψ1
2(0, t) = −(I + β2− − α2
−)b25(t);
ψ1
4(0, t)− ψ1
3(0, t) =
I + r65+ −
4∑
k=1
k 6=3
r6k+
(b25(t)− b15(t)),
ψ1
4(0, t)− ψ1
3(0, t) = −(I + β3− − α3
−)b35(t);
Прямая и обратная задачи рассеяния... 147
ψ3
2(0, t)− ψ3
4(0, t) =
I + r65+ −
4∑
k=1
k 6=4
r6k+
(b15(t)− b35(t)),
ψ1
2(0, t)− ψ3
4(0, t) = −(I + β4− − α4
−)b45(t).
Отсюда
b15(t) = −(I + δ1−)−1(I + δ1+)
(
b45(t)− b15(t)
)
, (49)
b25(t) = −(I + δ2−)−1(I + δ2+)
(
b35(t)− b15(t)
)
, (50)
b35(t) = −(I + δ3−)−1(I + δ3+)
(
b25(t)− b15(t)
)
, (51)
b45(t) = −(I + δ4−)−1(I + δ4+)
(
b15(t)− b35(t)
)
. (52)
Из определений операторов Rk1 и Rk2 в случаях a), b),
c), d), соответственно, получаем ai(t) = P 1k
i4 (b45(t) − b15(t)),
ai(t) = P 1k
i3
(
b35(t)− b15(t)
)
, ai(t) = P 1k
i2
(
b25(t)− b15(t)
)
, ai(t) =
P 2k
i2
(
b15(t)− b35(t)
)
, а из определений S-оператора
bk5(t) = Sk11a1(t) + Sk12a2(t) + Sk13a3(t) + Sk14a4(t), k = 1, 4; i = 1, 4.
В результате мы получим формулы (44)-(47).
Теперь докажем равенство (48). Справедливость этой фор-
мулы следует из леммы 8 и из определений операторов Rki (i =
1, 2; k = 1, 4).
5. Обратная задача рассеяния на полуоси
Обратная задача рассеяния для системы (1) состоит в восстанов-
лении коэффициентов уравнений по известному оператору рас-
сеяния S задачи на полуоси.
В этом пункте для системы (1) установлена связь операто-
ра рассеяния S на полуоси с оператором перехода Π, связыва-
ющего асимптотику {a1(t), · · · , a4(t), b5(t), b6(t)}, с граничными
значениями {ψ1(0, t), · · · , ψ6(0, t)} на всей оси с дополнительным
условием cij(x, t) ≡ 0, x < 0, i, j = 1, 6.
148 Н. Ш. Искендеров, Л. Н. Джафарова
С этой целью сначала найдем операторы αk−, βk−(k = 1, 4)
(лемма 5), A4
i+, B
4
i+, (i = 1, 4) (леммы 2), γ+k(k = 1, 2) (лемма
6).
Из теоремы 3 по теории Гохберга-Крейна из факторизаци-
онных свойств по оператору рассеяния находятся операторы
R+, R−, Rj(j = 2, 4), δk− ,δk+(k = 1, 4), K+, N−.
1. Найдем α1
− и β1−. В случае а) из представления (112), учи-
тывая (21) и (22), получаем, что(
I −R2
15+
)
ψ1
1(0, t) =
=
(
I +R2
11+
)
a1(t) +
5∑
j=2
(j 6=5)
R2
1j+ + 2R2
15+
ψ1
2(0, t),
(
I −R2
15+
)
(I + β1−)b15(t) =
=
(
I +R2
11+
)
a1(t) +
6∑
j=2
(j 6=5)
R2
1j+ + 2R2
15+
α1
−b
1
5(t)
или(I −R2
15+
)
(I + β1− − α1
−) +
I −
6∑
j=2
(j 6=5)
R1j+ − 3R2
15+
α1
−
×
×(I + δ1−)−1(I + δ1+) = −(I +R2
11+)P 11
14 .
Отсюда
(
I −R2
15+
)
(I + δ1+) +
I −
6∑
j=2
(j 6=5)
R2
1j+ − 3R2
15+
α1
−(I + δ1−)−1 =
Прямая и обратная задачи рассеяния... 149
= −(I +R2
11+)P 11
14 (I + δ1+)−1
или I −
6∑
j=2
(j 6=5)
R2
1j+ − 3R2
15+
−1 (
I −R2
15+
)
(I + δ1+)+
+α1
−(I + δ1−)−1 = −(I +K+)P 11
14 (I + δ1+)−1.
В результате получим
α1
−(I + δ1−)−1 =
[
−(I +K+)P 11
14 (I + δ1+)−1 − I
]
−
или{
α1
− = −
[
(I +K+)P 11
14 (I + δ1+)−1 + I
]
− (I + δ1−),
β1− = δ1− + α1
− = δ1− −
[
(I +K+)P 11
14 (I + δ1+)−1 + I
]
− (I + δ1−).
(53)
Аналогично из представлений (112) в случаях в), с) и д) на-
ходим:{
α2
− = −[(I +K+)P 11
13 (I + δ2+)−1]−(I + δ2−),
β2− = δ2− + α2
− = δ2− − [(I +K+)P 11
13 (I + δ2+)−1]−(I + δ2−),
(54)
{
α3
− = −[(I +K+)P 11
12 (I + δ3+)−1]−(I + δ3−),
β3− = δ3− + α3
− = δ3− − [(I +K+)P 11
12 (I + δ3+)−1]−(I + δ3−),
(55)
{
α4
− = −[(I +K+)P 22
12 (I + δ4+)]−(I + δ4−),
β4− = δ4− + α4
− = δ4− − [(I +K+)P 22
12 (I + δ4+)−1]−(I + δ4−).
(56)
2. Найдем A5
4+− A5
i+, i = 1, 3, B5
4+−B5
3+, B
5
3+−B5
2+, B5
3+−
B5
1+,
150 Н. Ш. Искендеров, Л. Н. Джафарова
C5
4+ − C5
2+, C
5
3+ − C5
2+, C
5
2+ − C5
1+, D5
4+ − D5
1+, D5
2+ −
D5
1+, D5
3+ −D5
1+.
Из формулы (16){
ψ4
4(0, t)− ψ1
1(0, t) =
(
I + r65+ − r63+ − r62+
)
(b45(t)− b15(t)),
ψ4
4(0, t)− ψ1
4(0, t) = r64+(b45(t)− b15(t))
или
ψ1
4(0, t)− ψ1
1(0, t) = (I + δ1+)(b45(t)− b15(t)),
а из (12)
ψ1
4(0, t)− ψ1
1(0, t) = (I +A5
4+ −A5
1+)a4(t).
В результате
I +A5
4+ −A5
1+ = (I + δ1+)(S4
14 − S1
14). (57)
Аналогично из (16){
ψ3
4(0, t)− ψ1
4(0, t) = r64+(b35(t)− b15(t)),
ψ3
4(0, t)− ψ1
2(0, t) =
(
I + r65+ − r61+ − r63+
)
(b35(t)− b15(t)).
Отсюда
ψ1
4(0, t)− ψ1
2(0, t) =
(
I + δ2+
)
(b35(t)− b15(t)),
а из (12)
ψ1
4(0, t)− ψ1
2(0, t) = (I +A5
4+ −A5
2+)a4(t),
т. е.
I +A5
4+ −A5
2+ =
(
I + δ2+
)
(S3
14 − S1
14). (58)
Аналогично
I +A5
4+ −A5
3+ =
(
I + δ3+
)
(S2
14 − S1
14). (59)
Из формулы (13), (14), (15) и (16) подобным образом находим
Прямая и обратная задачи рассеяния... 151
I +B5
4+ −B5
3+ =
(
I + δ4+
)
(S2
14 − S1
14), (60)
B5
3+ −B5
1+ =
(
I + δ1+
)
(S4
14 − S2
14), (61)
B5
3+ −B5
2+ =
(
I + δ2+
)
(S3
14 − S2
14), (62)
C5
3+ − C5
2+ =
(
I + δ3+
)
(S3
14 − S2
14), (63)
C5
2+ − C5
1+ =
(
I + δ1+
)
(S4
14 − S3
14), (64)
I + C5
4+ − C5
2+ =
(
I + δ4+
)
(S3
14 − S1
14), (65)
I +D5
4+ −D5
1+ =
(
I + δ4+
)
(S4
14 − S1
14), (66)
D5
2+ −D5
1+ =
(
I + δ2+
)
(S4
14 − S3
14), (67)
D5
3+ −D5
1+ =
(
I + δ3+
)
(S4
14 − S2
14). (68)
3. Найдем операторы A4
i+, B
4
i+. Из представлений (1112), со-
гласно граничным условиям (4), имеем
(I−R12
64−)ψ1
4(0, t)− (R12
61−+R12
65−)ψ1
1(0, t)− (R12
62−+R12
65−)ψ1
2(0, t)−
−(R12
63− +R12
65−)ψ1
3(0, t) = (I +R12
66−)b16(t).
Пусть ai(t) = 0, i = 1, 2, 3, тогда, учитывая произвольность
a4(t), по лемме 2 получаемI − 4∑
j=1
R12
6j− − 3R12
65−
(I +A5
4+
)
+
+
3∑
k=1
(
R12
6k− +R12
65−
) (
I +A5
4+ −A5
k+
)
=
(
I +R12
66−
)
S1
21.
Отсюда
A5
4+ = (I +N−)S1
21 − I −
3∑
k=1
I − 4∑
j=1
R12
6j− − 3R12
65−
−1×
152 Н. Ш. Искендеров, Л. Н. Джафарова
×
(
R12
6k− +R12
65−
) (
I +A5
4+ −A5
k+
)
.
С другой стороны, по лемме 5 в случаях а), в) и с) из представ-
лений (1112) получим
I − 4∑
j=1
R12
6j− − 3R12
65−
−1 (R12
6k− +R12
65−
)
= αk−(I+βk−−αk−)−1 =
= αk−
(
1 + δk−
)−1
, k = 1, 2, 3. (69)
В результате, учитывая (57), (58) и (59), имеем
A5
4+ =(I +N−)S1
21 − I−
−
3∑
k=1
αk−
(
I + δk−
)−1 (
I + δk+
)
(S5−k
14 − S1
14).
(70)
Учитывая (57), (58) и (59), также находим A5
i+, i = 1, 2, 3 :
A5
i+ = (I +N−)S1
21−
−
3∑
k=1
αk−
(
I + δk−
)−1 (
I + δk+
)
(S5−k
14 − S1
14)− (71)
−
(
I + δi+
)
(S5−i
14 − S
1
14), i = 1, 2, 3.
Теперь найдём B5
i+ (i = 1, 4). Из представлений (1112) соглас-
но граничным условиям (5) при ai(t) = 0, (i = 1, 2, 3) по лемме
2, получим
B5
3+ +
4∑
k=1
(k 6=3)
I − 4∑
j=1
R12
6j− − 3R12
65−
−1 (R12
6k− +R12
65−
)
×
×
(
B5
3+ −B5
k+ − δk4
)
= (I +N−)S2
21, (72)
Прямая и обратная задачи рассеяния... 153
где δkj — символ Кронекера.
По лемме 5, в случае д) имеемI − 4∑
j=1
R12
6j− − 3R12
65−
−1 (R12
64− +R12
65−
)
=
= α4
−
(
I + δ4−
)−1
.
(73)
Тогда из (72), учитывая (60), (61), (62), (69) и (72), получим:
B5
3+ =(I +N−)S2
21−
−
4∑
k=1
(k 6=3)
αk−
(
I + δk−
)−1 (
1 + δk+
)
(S5−k
14 − S2
14),
(74)
B5
i+ = B5
3+ +
(
1 + δi+
)
(S5−i
14 − S
2
14)− Iδ4i. (75)
4. Найдём операторы γ1+ и γ2+ .
Из лемм 3 и 6 при a1(t) = 0, b15(t) = b25(t) = b35(t) получаем
ψ1
2(0, t)− ψ1
1(0, t) =
(
I + δ1+
)
(b45(t)− b15(t)),
ψ1
2(0, t)− ψ1
1(0, t) =
(
I + γ2+ − γ1+
)
a2(t).
(76)
С другой стороны, при a1(t) = 0, b15(t) = b25(t), b15(t) = b35(t)
имеет место равенство:
(S2
12 − S1
12)a2(t) + (S2
13 − S1
13)a3(t) + (S2
14 − S1
14)a4(t) = 0,
(S3
12 − S1
12)a2(t) + (S3
13 − S1
13)a3(t) + (S3
14 − S1
14)a4(t) = 0,
(S4
12 − S1
12)a2(t) + (S4
13 − S1
13)a3(t) + (S4
14 − S1
14)a4(t) =
= b45(t)− b15(t).
(77)
Главный минор
P
1
1 =
S2
12 − S1
12 S2
13 − S1
13 S2
14 − S1
14
S3
12 − S1
12 S3
13 − S1
13 S3
14 − S1
14
S4
12 − S1
12 S4
13 − S1
13 S4
14 − S1
14
(77 ′)
154 Н. Ш. Искендеров, Л. Н. Джафарова
имеет обратный
(
P
1
1
)−1
=
∥∥∥∥P 1
ij
∥∥∥∥3
i,j=1
. Тогда из (77) a2(t) =
P
1
13(b
4
5(t) − b15(t)). Сравнивая последнее равенство с (76), нахо-
дим
I + γ2+ − γ1+ =
(
P
1
13
)−1 (
I + δ1+
)
. (78)
Из представлений (1112) при a1(t) = 0, b14(t) = b24(t) = b34(t)
получаемI − 4∑
j=1
R12
6j− − 3R12
65−
(I + γ2+
)
+
+
(
R12
61− +R12
65−
) (
I + γ2+ − γ1+
)
= (I +R12
66+)S1
22.
Отсюда
γ2+ = (I +N−)S1
22 − I − α1
−
(
I + δ1−
)−1 (
I + γ2+ − γ1+
)
или
γ2+ = (I +N−)S1
22 − I − α1
−
(
I + δ1−
)−1(
P
1
13
)−1 (
I + δ1+
)
, (79)
γ1+ = (I +N−)S1
22 −
[
I + α1
−
(
I + δ1−
)−1](
P
1
13
)−1 (
I + δ1+
)
. (80)
Теорема 3. Пусть коэффициенты гиперболической системы
уравнений первого порядка (1) удовлетворяют условиям (2). То-
гда оператор перехода
Π =
I +R7
11− R7
12 ... R7
15 R7
16+
R7
21− I +R7
22 ... R7
25 R7
26+
... ... ... ... ...
R7
61− R7
62 ... R7
65 I +R7
66+
(81)
Прямая и обратная задачи рассеяния... 155
выражается через элементы операторов S,Rki (i = 1, 2; k =
1, 2, 3) и вольтерровские операторы из факторизационных ра-
венств (39)-(45).
Доказательство. Пусть S — заданный оператор рассеяния
на полуоси. Докажем, что элементы этого оператора однозначно
определяются по оператору S. Доказательство проведем по пяти
этапам
1. Из формулы (117), (12), (13) и (19) при a1(t) = a2(t) =
a3(t) = 0 получим
B5
i+ −A5
i+ =
[
R7
i5 −R7
i6+(I +M)
] (
S2
14 − S1
14
)
, i = 1, 4,
I +
(
B5
4+ +B5
2+ +B5
1+
)
−
(
A5
1+ +A5
2+ +A5
3+
)
=
=
[
I +R55 −R7
56+(I +M)
] (
S2
14 − S1
14
)
B5
3+ − I −A5
4+ =
[
R7
65 − (I +R7
66+)(I +M)
] (
S2
14 − S1
14
)
.
Учитывая (39), имеем{
R7
i5 = R7
i6+(I +M) + fi+, i = 1, 5,
R7
65 = (I +R7
66+)(I +M)− I + f6+,
(82)
где
fi+ =
(
B5
i+ −A5
i+
) (
S2
14 − S1
14
)−1
, i = 1, 4
f5+ =
[
(B5
i+ +B5
2+ +B5
4+)− (A5
1+ +A5
2+ +A5
3+)
]
(S2
14 − S1
14)
−1,
f6+ = −
(
I +A5
4+ −B5
3+
)
(S2
14 − S1
14)
−1 + I.
2. Из формулы (117) при a1(t) = a2(t) = a3(t) = 0 по лемме 2
и по определению S оператора получим
I · δk4 +R7
k4 +
(
I · δk5 +R7
k5
)
S1
14 +
(
I · δk6 +R7
k6+
)
S1
24 =
= ck, k = 1, 6,
(83)
где
ck = (δk1 + δk2 + δk3)A
5
k+ + (δk4 + δk6)
(
I +A5
4+
)
+ δi5
3∑
j=1
A5
j+.
156 Н. Ш. Искендеров, Л. Н. Джафарова
3. При a1(t) = a2(t) = 0, b15(t) = b25(t) = 0 из формулы (117),
по лемме 7 и по определению S оператора получим(
S2
13 − S1
13
)
a3(t) +
(
S2
14 − S1
14
)
a4(t) = 0
или
a4(t) = −
(
S2
14 − S1
14
)−1 (
S2
13 − S1
13
)
a3(t)
и [
I · δk3 +R7
k3 +
(
I · δk5 +R7
k5
)
S1
13 +
(
I · δk6 +R7
k6
)
S1
23
]
a3(t)+
+
[
I · δk4 +R7
k4 +
(
I · δk5 +R7
k5
)
S1
14 +
(
I · δk6 +R7
k6
)
S1
24
]
a4(t) =
=
[
(δk1 + δk2)m
1
k+ + (δk3 + δk4 + δk6)
(
I +m1
3+
)
+
+δk5
I +
3∑
j=1
m1
j+
a3(t), k = 1, 6.
Окончательно имеем
I · δk3 +R7
k3 +
(
I · δk5 +R7
k5
)
S1
13 +
(
I · δk6 +R7
k6
)
S1
23 = dk, (84)
где
dk = (δk1 + δk2)m
1
k+ + (δk3 + δk4 + δk6)
(
I +m1
3+
)
+
+δk5
I +
3∑
j=1
m1
j+
+ ck
(
S2
14 − S1
14
)−1 (
S2
13 − S1
13
)
.
4. При a1(t) = 0, b15(t) = b25(t) = b35(t), из формулы (117) по
лемме 6 и по определению S оператора получим[
I · δk2 +R7
k2 +
(
I · δk5 +R7
k5
)
S1
12 +
(
I · δk6 +R7
k6
)
S1
22
]
a2(t)+
+
[
I · δk3 +R7
k3 +
(
I · δk5 +R7
k5
)
S1
13 +
(
I · δk6 +R7
k6
)
S1
23
]
a3(t)+
+
[
I · δk4 +R7
k4 +
(
I · δk5 +R7
k5
)
S1
14 +
(
I · δk6 +R7
k6
)
S1
24
]
a4(t) =
Прямая и обратная задачи рассеяния... 157
= δk1γ
1
+ + (δk2 + δk3 + δk4 + δk6)
(
I + γ2+
)
+
+δk5(γ
1
+ + 2γ2+ + 2I), k = 1, 6.
Из (77) мы находим ak(t) = P
11
k−1,3(b
4
5(t) − b15(t)), k = 2, 3, 4.
Тогда, учитывая (83) и (84), имеем
I · δk2 +R7
k2 +
(
I · δk5 +R7
k5
)
S1
12 +
(
I · δk6 +R7
k6
)
S1
22 = lk, (85)
где
lk = δk1γ
1
+ +(δk2 + δk3 + δk4 + δk6)
(
I + γ2+
)
+δk5(γ
1
+ +2γ2+ +2I)−
−
[
dkP
11
23 + ckP
11
33
](
P
11
13
)−1
, k = 1, 6.
5. Пусть b15(t) = b25(t) = b35(t) = b45(t). Тогда из формулы (117)
по леммам 7, 8 и по определению оператора S имеем[
I · δk1 +R7
k1− +
(
I · δk5 +R7
k5
)
S1
11 +
(
I · δk6 +R7
k6+
)
S1
21
]
a1(t)+
+
[
I · δk2 +R7
k2 +
(
I · δk5 +R7
k5
)
S1
12 +
(
I · δk6 +R7
k6+
)
S1
22
]
a2(t)+
+
[
I · δk3 +R7
k3 +
(
I · δk5 +R7
k5
)
S1
13 +
(
I · δk6 +R7
k6+
)
S1
23
]
a3(t)+
+
[
I · δk4 +R7
k4 +
(
I · δk5 +R7
k5
)
S1
14 +
(
I · δk6 +R7
k6+
)
S1
24
]
a4(t) =
= (I +N−)b16(t), k = 1, 6.
Учитывая определение оператора P1, (83), (84) и (85), полу-
чим
[
I · δk1 +R7
k1− +
(
I · δk5 +R7
k5
)
S1
11 +
(
I · δk6 +R7
k6+
)
S1
21
]
P
11
11 =
= (I + 2Iδ5kN− − lkP
11
21 − dkP
11
31 − ckP
11
41, k = 1, 6.
Из (82) и (43) имеем:
I · δk1 +R7
k1− +R7
k6+
[
(I +M)S1
11 + S1
21
]
+ (δk5 + fk+ − δk6+)S1
11+
158 Н. Ш. Искендеров, Л. Н. Джафарова
+δk6S
1
21 =
[
I(1 + 2δ5k) +N− − lkP
11
21 − dkP
11
31 − ckP
11
41
] (
P
11
11
)−1
или
R7
k1− +R7
k6+ (I +R+)−1 (I +R−) = gk,
где
gk =
[
I(1 + 2δ5k)I +N− − lkP
11
21 − dkP
11
31 − ckP
11
41
] (
P
11
11
)−1
−
−(δk5 + fk+ − δk6)S1
11 − δk6S1
21.
Отсюда
R7
k1− (I +R−)−1 +R7
k6+ (I +R+)−1 = gk (I +R−)−1 .
С помощью теории Гохберга-Крейна находим
R7
k1− =
[
gk (I +R−)−1
]
−
(I +R−) , (86)
R7
k6+ =
[
gk (I +R−)−1
]
+
(I +R+) , k = 1, 6. (87)
Из (83), (84) и (85), используя формулы (82), имеем
R7
k4 = −R7
k6+
[
(I +M)S1
14 + S1
24
]
+ (88)
+ ck − I · δk4 − δk5S1
14 − δk6S1
24,
R7
k3 = −R7
k6+
[
(I +M)S1
13 + S1
23
]
+ (89)
+ dk − I · δk3 − δk5S1
13 − δk6S1
23,
R7
k2 = −R7
k6+
[
(I +M)S1
12 + S1
22
]
+ (90)
+ lk − I · δk2 − δk5S1
12 − δk6S1
22, k = 1, 6.
Из формул (86), (87), (82), (88), (89) и (90) мы находим опе-
ратор Π. Теорема доказана.
Известно, что по оператору перехода коэффициенты системы
(1) однозначно определяются [3 – 5]. Поэтому обратная задача
рассеяния на полуоси решается однозначно.
Прямая и обратная задачи рассеяния... 159
Таким образом, получаем следующий результат в обратной
задаче рассеяния для системы (1) на полуоси x ≥ 0.
Теорема 5. Пусть коэффициенты cij(x, t)(i, j = 1, 6) системы
уравнений (1) удовлетворяют условиям (2). Тогда коэффициен-
ты в системе (1) однозначно определяются по известному опе-
ратору рассеяния S на полуоси.
Алгоритм нахождения коэффициентов системы уравнений
(1) по оператору рассеяния S на полуоси заключается в следу-
ющем:
1. По оператору рассеяния S на полуоси с помощью теории
факторизации Гохберга-Крейна находятся вольтерровские опе-
раторы I+R+, I+R−, I+δk− (k = 1, 4), I+δk+ (k = 1, 4), K+, N−.
2. По элементам операторов S, P k1 , P k2 (k = 1, 4) и вышеука-
занным вольтерровским операторам построим оператор Π.
3. Оператор Π совпадает с оператором рассеяния на всей оси
для системы, полученной из системы (1) заменой переменной
x → −t, t → x и нулевым продолжением коэффициентов при
x < 0. Поэтому здесь применяется алгоритм решения обратной
задачи рассеяния на всей оси [3 – 5].
Список литературы
[1] Нижник Л.П. Обратная нестационарная задача рассеяния. Киев:
Наукова думка, 1973, 182 с.
[2] Нижник Л.П. Обратные задачи рассеяния для гиперболических
уравнений. Киев: Наукова думка, 1991, 232 с.
[3] Нижник Л.П., Тарасов В.Г. Обратная нестационарная задача рас-
сеяния для гиперболической системы уравнений // Докл. АН
СССР, 1977, т.233, No 3, с. 300-303.
[4] Нижник Л.П., Искендеров Н.Ш. Обратная нестационарная зада-
ча рассеяния для гиперболической системы трех уравнений пер-
вого порядка на полуоси // Укр. мат. журнал, 1990, т.42 No.7,
с. 931-938.
160 Н. Ш. Искендеров, Л. Н. Джафарова
[5] Искендеров Н.Ш. Обратная задача рассеяния для гиперболиче-
ской системы n уравнений первого порядка на полуоси // Укр.
мат журнал, 1991, т.43 No.12, с. 1638-1646.
[6] Искендеров Н.Ш. Нестационарные обратные задачи рассеяния
для системы гиперболических уравнений первого проядка на по-
луоси. Баку: Элм, 2000, 185 с.
[7] Искендеров Н.Ш., Исмаилов М.И. Oбратная нестационарная за-
дача рассеяния для гиперболической системы четырех уравнений
первого порядка на полуоси //Труды ИММ АН Азербайджана,
1996, IV (XII), с. 161-168.
[8] Ismailov M.I. Inverse scattering problem for hyperbolic system on
a semi-axis in the case of equal number of incident and scattered
Waves // Inverse Problems, 2006, 22, p. 955-974.
[9] Iskenderov N.Sh., Jabbarova K.A. The inverse scattering problem for
the system of five first order hyperbolic equations on semi-axis //
Transactions of NASA, 2005, V. XXV, No 7, p. 41-54.
[10] Мамедов А.А. Задача рассеяния для системы гиперболических
уравнений первого порядка // Вестник Бакинского Университета,
2015, No.1, с. 59-65.
[11] Sung Y., Fokas A.S. Inverse problem for N × N hyperbolic systems
on the plane and the N -wave interactions // Сommun. Pure. Appl.
Math., 1991, 44, p. 535-571.
[12] Нижник Л.П. Интегрирование многомерных нелинейных уравне-
ний методом обратной задачи // Успехи мат.наук. 1981, 36, No 4,
с. 228.
[13] Iskenderov N.Sh., Ismailov M.I. Inverse scattering problem for non-
stationary Dirac-type systems on the half-plane // J. Differntial
Equatins. 246, 2009, p. 277-290.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-316 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Russian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:05:32Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/b9/21141acdc055ae98e5fdc592694d25b9.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-3162018-02-13T13:12:44Z Прямая и обратная задачи рассеяния для гиперболической системы шести уравнений первого порядка на полуоси Direct and inverse scattering problems for a hyperbolic system of six equations of first order on a semi-axis Iskenderov, N. Sh. Jafarova, L. N. Искендеров, Н. Ш. Джафарова, Л. Н. Iskenderov, N. Sh. Jafarova, L. N. We investigate the direct and inverse scattering problems for a hyperbolic system of six equations of first order on a semi-axis when there are four incident and two scattering waves. We prove the theorem about existence and uniqueness of solution of the inverse scattering problem under joint consideration of four problems with different boundary conditions. Работа посвящена исследованию прямой и обратной задач рассеяния для гиперболической системы шести уравнений первого порядка на полуоси, когда имеются четыре падающие и две рассеянные волны. Доказана теорема существования и единственности решения обратной задачи рассеяния при совместном рассмотрении четырех задач с различными граничными условиями. Досліджено пряму і обернену задачі розсіювання для системи шести рівнянь першого порядку на півосі у ситуації, коли є чотири падаючі та дві розсіяні хвилі. Доведено теорему існування та єдиності розв'язку оберненої задачі розсіювання за умови спільного розгляду чотирьох задач з різними крайовими умовами. Інститут математики НАН України 2017-11-28 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/316 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 14 No. 3 (2017): Differential equations and related problems of analysis; 128-160 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 14 № 3 (2017): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 128-160 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 14 № 3 (2017): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 128-160 3083-7529 1815-2910 ru https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/316/299 Авторське право (c) 2017 Н. Ш. Искендеров, Л. Н. Джафарова |
| spellingShingle | Iskenderov, N. Sh. Jafarova, L. N. Искендеров, Н. Ш. Джафарова, Л. Н. Iskenderov, N. Sh. Jafarova, L. N. Прямая и обратная задачи рассеяния для гиперболической системы шести уравнений первого порядка на полуоси |
| title | Прямая и обратная задачи рассеяния для гиперболической системы шести уравнений первого порядка на полуоси |
| title_alt | Direct and inverse scattering problems for a hyperbolic system of six equations of first order on a semi-axis |
| title_full | Прямая и обратная задачи рассеяния для гиперболической системы шести уравнений первого порядка на полуоси |
| title_fullStr | Прямая и обратная задачи рассеяния для гиперболической системы шести уравнений первого порядка на полуоси |
| title_full_unstemmed | Прямая и обратная задачи рассеяния для гиперболической системы шести уравнений первого порядка на полуоси |
| title_short | Прямая и обратная задачи рассеяния для гиперболической системы шести уравнений первого порядка на полуоси |
| title_sort | прямая и обратная задачи рассеяния для гиперболической системы шести уравнений первого порядка на полуоси |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/316 |
| work_keys_str_mv | AT iskenderovnsh prâmaâiobratnaâzadačirasseâniâdlâgiperboličeskojsistemyšestiuravnenijpervogoporâdkanapoluosi AT jafarovaln prâmaâiobratnaâzadačirasseâniâdlâgiperboličeskojsistemyšestiuravnenijpervogoporâdkanapoluosi AT iskenderovnš prâmaâiobratnaâzadačirasseâniâdlâgiperboličeskojsistemyšestiuravnenijpervogoporâdkanapoluosi AT džafarovaln prâmaâiobratnaâzadačirasseâniâdlâgiperboličeskojsistemyšestiuravnenijpervogoporâdkanapoluosi AT iskenderovnsh prâmaâiobratnaâzadačirasseâniâdlâgiperboličeskojsistemyšestiuravnenijpervogoporâdkanapoluosi AT jafarovaln prâmaâiobratnaâzadačirasseâniâdlâgiperboličeskojsistemyšestiuravnenijpervogoporâdkanapoluosi AT iskenderovnsh directandinversescatteringproblemsforahyperbolicsystemofsixequationsoffirstorderonasemiaxis AT jafarovaln directandinversescatteringproblemsforahyperbolicsystemofsixequationsoffirstorderonasemiaxis AT iskenderovnš directandinversescatteringproblemsforahyperbolicsystemofsixequationsoffirstorderonasemiaxis AT džafarovaln directandinversescatteringproblemsforahyperbolicsystemofsixequationsoffirstorderonasemiaxis AT iskenderovnsh directandinversescatteringproblemsforahyperbolicsystemofsixequationsoffirstorderonasemiaxis AT jafarovaln directandinversescatteringproblemsforahyperbolicsystemofsixequationsoffirstorderonasemiaxis |