Elliptic problems in the sense of Lawruk with boundary operators of higher orders in refined Sobolev scale
In a refined Sobolev scale, we investigate an elliptic boundary-value problem with additional unknown functions in boundary conditions for which the maximum of orders of boundary operators is grater than or equal to the order of the elliptic equation. This scale consists of inner product Hörmander s...
Збережено в:
| Дата: | 2017 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2017
|
| Онлайн доступ: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/317 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552822993584128 |
|---|---|
| author | Kasirenko, T. M. Chepurukhina, I. S. Касіренко, Т. М. Чепурухіна, І. С. |
| author_facet | Kasirenko, T. M. Chepurukhina, I. S. Касіренко, Т. М. Чепурухіна, І. С. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Т. М. Касіренко",
"institution": "Інститут математики НАН України"
},
{
"author": "І. С. Чепурухіна",
"institution": "Інститут математики НАН України"
}
] |
| author_sort | Kasirenko, T. M. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-02-13T13:12:44Z |
| description | In a refined Sobolev scale, we investigate an elliptic boundary-value problem with additional unknown functions in boundary conditions for which the maximum of orders of boundary operators is grater than or equal to the order of the elliptic equation. This scale consists of inner product Hörmander spaces whose order of regularity is given by a real number and a function varying slowly at infinity in the sense of Karamata. We prove a theorem on the Fredholm property of a bounded operator corresponding to this problem in the refined Sobolev scale. For the generalized solutions to the problem, we establish a local a priory estimate and prove a theorem about their regularity in Hörmander spaces. We find sufficient conditions under which given generalized derivatives of the solutions are continuous. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:05:33Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2017, т. 14, № 3, 161–203
УДК 517.956.223
Т. М. Касiренко, I. С. Чепурухiна
Iнститут математики НАН України, Київ;
kasirenko@imath.kiev.ua, Chepurukhina@gmail.com
Елiптичнi за Лавруком задачi
з крайовими операторами
вищих порядкiв
в уточненiй соболєвськiй шкалi
In a refined Sobolev scale, we investigate an elliptic boundary–value
problem with additional unknown functions in boundary conditions
for which the maximum of orders of boundary operators is grater
than or equal to the order of the elliptic equation. This scale consists
of inner product Hörmander spaces whose order of regularity is gi-
ven by a real number and a function varying slowly at infinity in the
sense of Karamata. We prove a theorem on the Fredholm property
of a bounded operator corresponding to this problem in the refi-
ned Sobolev scale. For the generalized solutions to the problem, we
establish a local a priory estimate and prove a theorem about their
regularity in Hörmander spaces. We find sufficient conditions under
which given generalized derivatives of the solutions are continuous.
c© Т. М. Касiренко, I. С. Чепурухiна, 2017
162 Т. М. Касiренко, I. С. Чепурухiна
В уточненiй соболєвськiй шкалi дослiджено елiптичну крайову
задачу з додатковими невiдомими функцiями у крайових умо-
вах, для яких максимум порядкiв крайових операторiв бiль-
ший за порядок елiптичного рiвняння, або рiвний йому. Ця
шкала складається з гiльбертових просторiв Хермандера, для
яких показником регулярностi служать дiйсне число i фун-
кцiя, повiльно змiнна на нескiнченностi за Караматою. Дове-
дено теорему про нетеровiсть обмеженого оператора, вiдповiд-
ного цiй задачi, в уточненiй соболєвськiй шкалi. Для узагаль-
нених розв’язкiв задачi встановлено локальну апрiорну оцiнку
та доведено теорему про їх регулярнiсть у просторах Херман-
дера. Знайдено достатнi умови неперервностi заданих узагаль-
нених похiдних розв’язкiв.
1. Вступ
Ця стаття присвячена дослiдженню елiптичних крайових задач з
додатковими невiдомими функцiями у крайових умовах. Їх було
введено Б. Лавруком [1 – 3] у 1963 роцi. Вони природно виника-
ють при переходi вiд загальної (нерегулярної) елiптичної кра-
йової до формально спряженої задачi вiдносно спецiальної фор-
мули Грiна. Клас елiптичних за Лавруком крайових задач є за-
мкненим вiдносно такого переходу. Важливi приклади цих задач
виникають у теорiї пружностi i гiдродинамiцi [4 – 6].
Елiптичнi за Лавруком крайовi задачi дослiджено у соболєв-
ських просторах В. О. Козловим, В. Г. Маз’єю i Й. Россма-
ном [7, розд. 3] в основному для одного елiптичного рiвняння
та I. Я. Ройтберг [8, 9] для елiптичних систем мiшаного порядку
(див. також монографiю [10, розд. 2]). Було доведено теореми
про нетеровiсть обмежених операторiв, що вiдповiдають цим за-
дачам, i породженi ними iзоморфiзми, та теореми про апрiорнi
оцiнки розв’язкiв задач i пiдвищення регулярностi розв’язкiв.
Втiм, соболєвська шкала є занадто грубою для низки важли-
вих задач теорiї рiвнянь з частинними похiдними [11 – 15]. У цьо-
му зв’язку Л. Хермандер [11, 12] ще у 1963 роцi увiв i дослiдив
широкий клас нормованих просторiв, для яких показником ре-
Елiптичнi за Лавруком задачi ... 163
гулярностi служить не число (як у просторах Соболєва), а до-
сить загальна вагова функцiя частотних змiнних. Л. Хермандер
навiв важливi застосування цих просторiв до питань про розв’я-
знiсть рiвнянь з частинними похiдними i регулярнiсть їх розв’яз-
кiв. Проте, довгий час простори Хермандера та їх рiзнi версiї не
застосовували до крайових задач, оскiльки не було видiлено до-
сить широких класiв цих просторiв, якi б допускали коректне
означення на гладких многовидах. Зауважимо, що серед про-
сторiв Хермандера найбiльший iнтерес з точки зору застосувань
викликають саме гiльбертовi простори.
Недавно ситуацiя змiнилася завдяки роботам В. А. Михай-
леця i О. О. Мурача [16 – 21], у яких побудовано загальну тео-
рiю розв’язностi елiптичних крайових задач у класах гiльберто-
вих просторiв Хермандера, що утворюють уточнену соболєвську
шкалу. Показниками регулярностi для цих просторiв служить
пара параметрiв — числовий i функцiональний. Останнiй є дода-
тною функцiєю, повiльно змiнною на нескiнченностi за Й. Кара-
матою. Важливо, що уточнена соболєвська шкала отримується
методом iнтерполяцiї з функцiональним параметром пар гiльбер-
тових просторiв Соболєва. За його допомогою вдалося перенести
основнi результати “соболєвської” теорiї елiптичних крайових за-
дач на уточнену соболєвську шкалу (цi результати викладено у
монографiї [13] та оглядi [22]), а також на деякi бiльш широкi
класи гiльбертових просторiв Хермандера [23 – 27].
У вказаних просторах Хермандера було дослiджено i елiпти-
чнi за Лавруком крайовi задачi [28 – 32]. Втiм, важливий випа-
док, коли максимум порядкiв крайових операторiв бiльший за
порядок елiптичного рiвняння, або рiвний йому, дотепер не ви-
вчали у просторах Хермандера. Вiдмiтимо, що елiптичнi крайовi
задачi з крайовими операторами вищих порядкiв зустрiчаються
в акустицi, гiдродинамiцi, теорiї випадкових процесiв [33 – 35].
Мета цiєї роботи — дослiдити в уточненiй соболєвськiй шка-
лi характер розв’язностi i властивостi розв’язкiв елiптичних за
Лавруком задач з крайовими операторами вищих порядкiв.
164 Т. М. Касiренко, I. С. Чепурухiна
Робота складається з семи пунктiв. Пункт 1 є вступом. У п. 2
наведено постановку елiптичної за Лавруком крайової задачi.
Там же розглянуто спецiальну формулу Грiна для цiєї задачi у
випадку крайових операторiв вищих порядкiв i наведено фор-
мальну спряжену крайову задачу вiдносно зазначеної форму-
ли Грiна. Окрiм того, розглянуто вiдповiднi приклади. У п. 3
наведено означення функцiональних просторiв Хермандера, якi
утворюють уточнену соболєвську шкалу. Пункт 4 мiстить основ-
нi результати роботи про властивостi дослiджуваної задачi у цiй
шкалi. Серед них — теореми про нетеровiсть оператора задачi
у вiдповiдних парах просторiв Хермандера i породженi цiєю за-
дачею iзоморфiзми, теореми про локальну апрiорну оцiнку уза-
гальнених розв’язкiв задачi та їх регулярнiсть у просторах Хер-
мандера. У п. 5, як застосування уточненої соболєвської шкали,
отримано новi достатнi умови неперервностi узагальнених похi-
дних розв’язкiв дослiджуваної задачi, зокрема, умови класично-
стi її узагальненого розв’язку. Усi результати роботи доведено у
п. 6. Завершальний п. 7 мiстить висновки до роботи.
2. Постановка задачi
Нехай Ω — довiльна обмежена область у евклiдовому просторi
Rn, де n ≥ 2. Припустимо, що її межа Γ := ∂Ω є нескiнченно
гладким замкненим (тобто компактним i без краю) многовидом
вимiрностi n − 1. При цьому вважаємо, що C∞-структура на Γ
породжена простором Rn. Як звичайно, Ω = Ω ∪ Γ. Позначимо
через ν(x) орт внутрiшньої нормалi до межi Γ у точцi x ∈ Γ.
Довiльно виберемо цiлi числа q ≥ 1, κ ≥ 1, m1, . . . ,mq+κ i
r1, . . . , rκ. Розглянемо в Ω таку лiнiйну крайову задачу:
Au = f в Ω, (1)
Bju+
κ∑
k=1
Cj,kvk = gj на Γ, j = 1, ..., q + κ. (2)
Елiптичнi за Лавруком задачi ... 165
Тут є невiдомими функцiя u в областi Ω i κ функцiй v1, . . . , vκ
на Γ. В роботi всi функцiї та розподiли вважаємо комплексно-
значними. У цiй задачi
A := A(x,D) :=
∑
|µ|≤2q
aµ(x)Dµ
є лiнiйним диференцiальним оператором на Ω парного порядку
2q ≥ 2, кожне
Bj(x,D) =
∑
|µ|≤mj
bj,µ(x)Dµ
є крайовим лiнiйним диференцiальним оператором на Γ поряд-
ку ordBj ≤ mj , а кожне Cj,k = Cj,k(x,Dτ ) є дотичним лiнiйним
диференцiальним оператором на Γ порядку ordCj,k ≤ mj + rk.
При цьому, як звичайно, Bj = 0, якщо mj < 0, i Cj,k = 0, якщо
mj + rk < 0. Усi коефiцiєнти цих диференцiальних операторiв є
нескiнченно гладкими функцiями, заданими на Ω i Γ вiдповiдно.
Крайовi задачi вигляду (1), (2) уперше були розглянутi Б. Лав-
руком [1 – 3].
Тут i надалi використовуємо такi стандартнi позначення:
µ := (µ1, . . . , µn) — мультиiндекс, |µ| := µ1 + . . . + µn, Dµ :=
Dµ1
1 . . . Dµn
n , Dl := i∂/∂xl, де l ∈ {1, . . . , n}, i — уявна одини-
ця, а x = (x1, . . . , xn) — довiльна точка простору Rn. Окрiм
того, покладаємо Dν := i∂/∂ν та ξµ := ξµ11 . . . ξµnn для вектора
ξ = (ξ1, . . . ξn) ∈ Cn.
Припускаємо, що
m := max{m1, . . . ,mq+κ} = max{ordB1, . . . , ordBq+κ}.
Окрiм того, робимо природне припущення про те, що
m ≥ −rk для кожного k ∈ {1, . . . ,κ}. (3)
(Якщо m+ rk < 0 для деякого k, то усi оператори C1,k,..., Cq+κ,k
дорiвнюють нулю i тому шукана функцiя vk вiдсутня у крайових
умовах (2).)
166 Т. М. Касiренко, I. С. Чепурухiна
Далi припускаємо, що крайова задача (1), (2) є елiптичною
в областi Ω за Лавруком. Наведемо вiдповiдне означення (див.,
наприклад, [7, п. 3.1.2]).
Покладемо
A◦(x, ξ) :=
∑
|µ|=2q
aµ(x)ξµ для довiльних x ∈ Ω, ξ ∈ Cn.
Вираз A◦(x, ξ) є головним символом диференцiального операто-
ра A(x,D). Аналогiчно, для кожного номера j ∈ {1, . . . ,m + κ}
покладемо
B◦j (x, ξ) :=
∑
|µ|=mj
bj,µ(x)ξµ для довiльних x ∈ Γ, ξ ∈ Cn;
при цьому B◦j (x, ξ) ≡ 0, якщо mj < ordBj . Якщо mj = ordBj ,
то B◦j (x, ξ) є головним символом крайового диференцiального
оператора Bj(x,D). Окрiм того, для будь-яких номерiв j ∈
{1, . . . ,m+κ} i k ∈ {1, . . . ,κ} позначимо через C◦j,k(x, τ) головний
символ дотичного диференцiального оператора Cj,k(x,Dτ ), якщо
ordCj,k = mj+rk. Для кожної точки x ∈ Γ вираз C◦j,k(x, τ) є одно-
рiдним полiномом порядку mj + rk змiнної τ , де τ— довiльний
дотичний вектор до межi Γ у точцi x. Якщо ordCj,k < mj + rk,
то покладаємо C◦j,k(x, τ) := 0.
Крайову задачу (1), (2) називають елiптичною в областi Ω за
Лавруком, якщо виконуються такi три умови:
(i) Диференцiальний оператор A(x,D) є елiптичним в кожнiй
точцi x ∈ Ω, тобто A◦(x, ξ) 6= 0 для довiльного вектора
ξ ∈ Rn \ {0}.
(ii) Диференцiальний оператор A(x,D) є правильно елiпти-
чним в кожнiй точцi x ∈ Γ, тобто для довiльного вектора
τ 6= 0, дотичного до Γ у точцi x, многочлен A◦(x, τ + ζν(x))
комплексної змiнної ζ має q коренiв з додатною уявною ча-
стиною i стiльки ж коренiв з вiд’ємною уявною частиною
(пiдрахованих з урахуванням їх кратностi).
Елiптичнi за Лавруком задачi ... 167
(iii) Система крайових умов (2) накриває рiвняння (1) у кожнiй
точцi x ∈ Γ, тобто для кожного вектора τ 6= 0, дотичного
до Γ у точцi x, крайова задача
A◦(x, τ + ν(x)Dt)θ(t) = 0 при t > 0, (4)
B◦j (x, τ + ν(x)Dt)θ(t)
∣∣
t=0
+
+
κ∑
k=1
C◦j,k(x, τ)λk = 0, j = 1, ..., q + κ,
(5)
має лише тривiальний (нульовий) розв’язок. Ця задача
розглядається вiдносно невiдомої функцiї θ ∈ C∞([0,∞)),
яка задовольняє умову θ(t) → 0 при t → ∞, i невiдо-
мих комплексних чисел λ1, . . . , λκ. Тут A◦(x, τ + ν(x)Dt)
i B◦j (x, τ + ν(x)Dt) є диференцiальними операторами вiд-
носно Dt := i∂/∂t, якi отримуємо, поклавши ζ := Dt у
вiдповiдно многочленах A◦(x, τ + ζν(x)) i B◦j (x, τ + ζν(x))
змiнної ζ.
Зауважимо [36, с. 166], що умова (ii) є наслiдком умови (i) у
випадку, коли n ≥ 3, а також у випадку, коли n = 2 i усi старшi
коефiцiєнти оператора A(x,D) є дiйсними функцiями.
Приклад 1. Нехай n = 2, q = 1 i κ = 1. Припустимо, що ди-
ференцiальний оператор A(x,D) другого порядку задовольняє
умови (i) та (ii). Розглянемо крайову задачу, яка складається з
диференцiального рiвняння (1) i пари крайових умов
∂pνu+ v = g1 на Γ,
∂p+1
ν u+ ∂Γv = g2 на Γ,
де довiльно вибрано цiле p ≥ 0. Тут ∂ν := ∂/∂ν — похiдна вздовж
орта ν, а ∂Γ — похiдна вздовж кривої Γ у додатному напряму. Цi
крайовi умови набирають вигляду (2), де B1 = ∂pν , B2 = ∂p+1
ν i
C1,1 = 1, C2,1 = ∂Γ, а m1 = p, m2 = p+ 1 i r1 = −p.
168 Т. М. Касiренко, I. С. Чепурухiна
Переконаємося, що розглянута крайова задача є елiптичною
за Лавруком в областi Ω. Треба перевiрити лише, що вона за-
довольняє умову (iii). Виберемо довiльно точку x ∈ Γ i вектор
τ 6= 0, дотичний до Γ у цiй точцi. Загальний розв’язок диферен-
цiального рiвняння (4), який задовольняє умову θ(t) → 0 при
t→∞, записується у виглядi
θ(t) = c exp(−iζ−(x, τ)t), (6)
де c є довiльне комплексне число, а ζ−(x, τ) є ζ-корiнь многочле-
на A◦(x, τ + ζν(x)) такий, що Im ζ−(x, τ) < 0. Для розглянутої
крайової задачi умови (5) набирають вигляду
θ(p)(0) + λ1 = 0, (7)
θ(p+1)(0)∓ i|τ |λ1 = 0. (8)
Справдi, оскiльки
Bj(x,D) = ∂p+j−1
ν = (−i)p+j−1Dp+j−1
ν
для кожного номера j ∈ {1, 2}, то в умовi (iii)
B◦j (x, τ + ζν(x)) = (−iζ)p+j−1.
Отже,
B◦j (x, τ + ν(x)Dt)θ(t) = (−iDt)
p+j−1θ(t) = θ(p+j−1)(t). (9)
Окрiм того,
C2,1(x,DΓ) = ∂Γ =
±τ1
|τ |
∂
∂x1
+
±τ2
|τ |
∂
∂x2
=
∓i
|τ |
(τ1D1 + τ2D2),
де записуємо τ = (τ1, τ2) i вибираємо верхнiй (вiдповiдно нижнiй)
знак, якщо дотичний вектор τ направлений у бiк додатного (вiд’-
ємного) обходу кривої Γ. Тому
C◦2,1(x, τ) =
∓i
|τ |
(τ2
1 + τ2
2 ) = ∓i|τ |. (10)
Елiптичнi за Лавруком задачi ... 169
З огляду на (9) i (10) робимо висновок, що крайова умова (5) при
j = 1 набирає вигляду (7), а при j = 2 — вигляду (8).
Пiдставивши (6) в умови (7) i (8), запишемо
(−iζ−(x, τ))pc+ λ1 = 0,
(−iζ−(x, τ))p+1c∓ i|τ |λ1 = 0.
Це — система лiнiйних однорiдних алгебраїчних рiвнянь вiдносно
невiдомих c, λ1 ∈ C. Її визначник∣∣∣∣ (−iζ−(x, τ))p 1
(−iζ−(x, τ))p+1 ∓i|τ |
∣∣∣∣ =
= −i(−iζ−(x, τ))p(±|τ | − ζ−(x, τ))
вiдмiнний вiд нуля. Тому ця система має лише тривiальний
розв’язок, тобто умова (iii) виконується. Отже, розглянута у цьо-
му прикладi крайова задача є елiптичною за Лавруком в обла-
стi Ω.
Приклад 2. Нехай n ≥ 2, q = 2 i κ = 2. Припустимо, що дифе-
ренцiальний оператор A(x,D) четвертого порядку задовольняє
умови (i) та (ii). Розглянемо крайову задачу, яка складається з
диференцiального рiвняння (1) i таких чотирьох крайових умов
на Γ:
∂pνu+ v1 = g1,
∂p+1
ν u+ v2 = g2,
∂p+2
ν u+ ∆Γv1 = g3,
∂p+3
ν u+ ∆Γv2 = g4.
Тут цiле p ≥ 0 вибрано довiльно, а ∆Γ позначає, як звичайно,
оператор Бельтрамi-Лапласа на Γ, при цьому на Γ введено рiма-
нову метрику, iндуковану простором Rn. Цi крайовi умови наби-
рають вигляду (2), де Bj = ∂p+j−1
ν для кожного j ∈ {1, 2, 3, 4}, а
C1,1 = 1, C1,2 = 0, C2,1 = 0, C2,2 = 1, C3,1 = ∆Γ, C3,2 = 0, C4,1 = 0
170 Т. М. Касiренко, I. С. Чепурухiна
i C4,2 = ∆Γ. Тут mj = p + j − 1 для кожного j ∈ {1, 2, 3, 4}, а
r1 = −p i r2 = −p− 1.
Додатково припустимо, що для довiльної точки x ∈ Γ i векто-
ра τ 6= 0, дотичного до Γ у цiй точцi, многочлен A◦(x, τ+ζν(x)) не
має кратних ζ-коренiв. Це припущення виконується, наприклад,
якщо A = ∂4
ν + ∆2
Γ на Γ, бо тодi A◦(x, τ + ζν(x)) = ζ4 + γ2(x, τ).
Тут γ(x, τ) позначає головний символ оператора ∆Γ; цей символ
задовольняє умову γ(x, τ) < 0 при τ 6= 0.
Перевiримо, що розглянута крайова задача є елiптичною за
Лавруком в областi Ω. Треба показати лише, що вона задоволь-
няє умову (iii). Виберемо довiльно точку x ∈ Γ i вектор τ 6= 0,
дотичний до Γ у цiй точцi. Для цiєї задачi система крайових
умов (5) набирає вигляду
θ(p)(0) + λ1 = 0,
θ(p+1)(0) + λ2 = 0,
θ(p+2)(0) + γ(x, τ)λ1 = 0,
θ(p+3)(0) + γ(x, τ)λ2 = 0.
Тут θ(t) — загальний розв’язок диференцiального рiвняння (1),
який задовольняє умову θ(t)→ 0 при t→∞, а λ1, λ2 — довiльнi
комплекснi числа. Ця система еквiвалентна такiй:
λ1 = −θ(p)(0),
λ2 = −θ(p+1)(0),
θ(p+2)(0)− γ(x, τ)θ(p)(0) = 0, (11)
θ(p+3)(0)− γ(x, τ)θ(p+1)(0) = 0. (12)
Згiдно зроблених припущень щодо оператора A розв’язок θ(t)
запишемо у виглядi
θ(t) = c1 exp(−iζ1(x, τ)t) + c2 exp(−iζ2(x, τ)t),
де ζ1(x, τ) i ζ2(x, τ) — рiзнi ζ-коренi многочлена A(0)(x, τ+ζν(x)),
якi мають вiд’ємну уявну частину, а c1 i c2 — довiльнi комплекснi
Елiптичнi за Лавруком задачi ... 171
числа. Пiдставивши цей розв’язок в умови (11) i (12), отримаємо
систему однорiдних лiнiйних алгебраїчних рiвнянь
(ζ1(x, τ))pγ1(x, τ)c1 + (ζ2(x, τ))pγ2(x, τ)c2 = 0,
(ζ1(x, τ))p+1γ1(x, τ)c1 + (ζ2(x, τ))p+1γ2(x, τ)c2 = 0,
вiдносно невiдомих чисел c1 i c2, де позначено
γj(x, τ) := −ζ2
j (x, τ)− γ(x, τ) для кожного j ∈ {1, 2}.
Отже, для розглянутої у цьому прикладi крайової задачi умо-
ва (iii) рiвносильна тому, що ця система має лише тривiальний
розв’язок, тобто її головний визначник
(ζ1(x, τ))p(ζ2(x, τ))pγ1(x, τ)γ2(x, τ)(ζ2(x, τ)− ζ1(x, τ)) 6= 0.
Оскiльки коренi ζ1(x, τ) i ζ2(x, τ) рiзнi та ненульовi, то остання
умова еквiвалентна такiй
γ1(x, τ)γ2(x, τ) 6= 0. (13)
Покажемо, що ця нерiвнiсть виконується. Для кожного номе-
ра j ∈ {1, 2} запишемо ζj(x, τ) = αj + iβj , де αj ∈ R та βj < 0.
Тодi
γj(x, τ) = −(αj + iβj)
2 − γ(x, τ) = β2
j − α2
j − γ(x, τ)− 2iαjβj ;
тут, нагадаємо, γ(x, τ) < 0. Таким чином, якщо αj = 0, то
γj(x, τ) > 0, а якщо αj 6= 0, то γj(x, τ) /∈ R. Отже, умова (13)
виконується i тому розглянута крайова задача є елiптичною за
Лавруком в областi Ω.
Далi припускаємо, що m ≥ 2q, тобто принаймнi один крайо-
вий оператор Bj має порядок ordBj ≥ 2q.
Пов’яжемо iз задачею (1), (2) лiнiйне вiдображення
Λ : (u, v1, ..., vκ)→
→
(
Au, B1u+
κ∑
k=1
C1,kvk, ..., Bq+κu+
κ∑
k=1
Cq+κ,kvk
)
,
де u ∈ C∞(Ω), v1, . . . , vκ ∈ C∞(Γ).
(14)
172 Т. М. Касiренко, I. С. Чепурухiна
Ми дослiджуємо властивостi продовження за неперервнiстю цьо-
го вiдображення у пiдходящих парах гiльбертових просторiв
Хермандера, якi утворюють уточнену соболєвську шкалу.
Для опису областi значень цього продовження нам потрiбна
така спецiальна формула Грiна [7, формула (4.1.10)]:
(Au, ω)Ω+
+
m−2q+1∑
j=1
(Dj−1
ν Au,wj)Γ +
q+κ∑
j=1
(
Bju+
κ∑
k=1
Cj,kvk, hj
)
Γ
=
= (u,A+ω)Ω+
+
m+1∑
k=1
(
Dk−1
ν u,Kkω +
m−2q+1∑
j=1
R+
j,kwj +
q+κ∑
j=1
Q+
j,khj
)
Γ
+
+
κ∑
k=1
(
vk,
q+κ∑
j=1
C+
j,khj
)
Γ
,
для довiльних функцiй u, ω ∈ C∞(Ω) i
v1, . . . , vκ, w1, . . . , wm−2q+1, h1, . . . , hq+κ ∈ C∞(Γ).
Тут i далi через (·, ·)Ω i (·, ·)Γ позначено вiдповiдно скалярнi добу-
тки у гiльбертових просторах L2(Ω) i L2(Γ) функцiй квадратично
iнтегровних на Ω i Γ вiдносно мiр Лебега, а також продовженням
за неперервнiстю цих скалярних добуткiв. Як звичайно, A+ —
диференцiальний оператор, формально спряжений до A, тобто
(A+ω)(x) :=
∑
|µ|≤2q
Dµ(aµ(x)ω(x)).
Окрiм того, усi C+
j,k, R
+
j,k i Q+
j,k є дотичними диференцiальними
операторами, формально спряженими вiдповiдно до Cj,k, Rj,k i
Qj,k вiдносно (·, ·)Γ, а дотичнi лiнiйнi диференцiальнi операто-
ри Rj,k := Rj,k(x,Dτ ) i Qj,k := Qj,k(x,Dτ ) узятi iз зображення
Елiптичнi за Лавруком задачi ... 173
крайових диференцiальних операторiв Dj−1
ν A i Bj у виглядi
Dj−1
ν A(x,D) =
m+1∑
k=1
Rj,k(x,Dτ )Dk−1
ν , j = 1, . . . ,m− 2q + 1,
Bj(x,D) =
m+1∑
k=1
Qj,k(x,Dτ )Dk−1
ν , j = 1, . . . , q + κ.
Вiдмiтимо, що ordRj,k ≤ 2q + j − k i ordQj,k ≤ mj − k + 1;
при цьому, звiсно, Rj,k = 0 при k ≥ 2q + j + 1 i Qj,k = 0 при
k ≥ mj + 2. Нарештi, кожне Kk := Kk(x,D) — деякий крайовий
лiнiйний диференцiальний оператор на Γ порядку ordKk ≤ 2q−k
з коефiцiєнтами класу C∞(Γ); при цьому, якщо k ≥ 2q + 1, то
Kk = 0.
Спецiальна формула Грiна приводить до такої крайової задачi
в областi Ω:
A+ω = η в Ω, (15)
Kkω +
m−2q+1∑
j=1
R+
j,kwj +
q+κ∑
j=1
Q+
j,khj = ψk на Γ,
k = 1, ...,m+ 1,
(16)
q+κ∑
j=1
C+
j,khj = ψm+1+k на Γ, k = 1, ...,κ. (17)
Ця задача мiстить, окрiм невiдомої функцiї ω в областi Ω, ще
m − q + 1 + κ додаткових невiдомих функцiй w1, . . . , wm−2q+1 i
h1, . . . , hq+κ на межi Γ. Задачу (15) – (17) називають формаль-
но спряженою до задачi (1), (2) вiдносно розглянутої спецiаль-
ної формули Грiна. Вiдомо [7, теорема 4.1.1], що елiптичнiсть за
Лавруком задачi (1), (2) рiвносильна елiптичностi за Лавруком
формально спряженої задачi (15) – (17).
174 Т. М. Касiренко, I. С. Чепурухiна
Приклад 3. Запишемо спецiальну формулу Грiна для крайової
задачi
∆u = f в Ω,
∂νu+ v = g1, ∂2
νu+ ∂Γv = g2 на Γ,
(18)
заданої в крузi
Ω := {(x1, x2) ∈ R2 : x2
1 + x2
2 < 1}.
Ця задача є елiптичною за Лавруком в Ω, оскiльки вона є окре-
мим випадком елiптичної крайової задачi, розглянутої у прикла-
дi 1. Зауважимо, що ∆u = ∂2
νu− ∂νu+ ∂2
Γu на Γ; тут ∂ν = −∂/∂%
i ∂Γ = ∂/∂ϕ, а (%, ϕ) — полярнi координати. Застосувавши дру-
гу класичну формулу Грiна для оператора Лапласа, отримаємо
такi рiвностi:
(∆u, ω)Ω + (∆u,w)Γ + (∂νu+ v, h1)Γ + (∂2
νu+ ∂Γv, h2)Γ =
= (u,∆ω)Ω − (∂νu, ω)Γ + (u, ∂νω)Γ + (∂2
νu− ∂νu+ ∂2
Γu,w)Γ+
+(∂νu+ v, h1)Γ + (∂2
νu+ ∂Γv, h2)Γ =
= (u,∆ω)Ω + (u, ∂νω + ∂2
Γw)Γ + (∂νu,−ω − w + h1)Γ+
+(∂2
νu,w + h2)Γ + (v, h1 − ∂Γh2)Γ
для довiльних функцiй u, ω ∈ C∞(Ω) i v, w, h1, h2 ∈ C∞(Γ). От-
же, спецiальна формула Грiна для крайової задачi (18) набирає
вигляду
(∆u, ω)Ω + (∆u,w)Γ + (∂νu+ v, h1)Γ + (∂2
νu+ ∂Γv, h2)Γ =
= (u,∆ω)Ω + (u, ∂νω + ∂2
Γw)Γ + (Dνu,−iω − iw + ih1)Γ+
+(D2
νu,−w − h2)Γ + (v, h1 − ∂Γh2)Γ.
Тому крайова задача
∆ω = η в Ω,
∂νω + ∂2
Γw = ψ1, −iω − iw + ih1 = ψ2 на Γ,
−w − h2 = ψ3, h1 − ∂Γh2 = ψ4 на Γ
Елiптичнi за Лавруком задачi ... 175
є формально спряженою до задачi (18) вiдносно цiєї формули
Грiна. Отримана формально спряжена задача мiстить три дода-
тковi невiдомi функцiї w, h1 i h2 на Γ.
3. Уточнена соболєвська шкала
Розглянемо гiльбертовi простори Хермандера [11, п. 2.2], в яких
будемо дослiджувати крайову задачу (1), (2). Вони утворюють
уточненi соболєвськi шкали {Hs,ϕ(G) : s ∈ R, ϕ ∈ M}, де
G ∈ {Ω,Γ}, введенi та дослiдженi В. А. Михайлецем i О. О. Му-
рачем [16, 17] (див. також їх монографiю [13] та огляд [22]).
Тут i надалi M — множина всiх вимiрних за Борелем функцiй
ϕ : [1,∞) → (0,∞), якi обмеженi i вiдокремленi вiд нуля на ко-
жному компактi i повiльно змiнюються на нескiнченностi за Ка-
раматою [37]. Остання властивiсть значить, що ϕ(λt)/ϕ(t) → 1
при t → ∞ для кожного λ > 0. Повiльно змiннi функцiї добре
вивченi i мають рiзноманiтнi застосування (див., наприклад, мо-
нографiї [38, 39]).
Характерним прикладом функцiї класуM служить неперерв-
на функцiя ϕ : [1,∞)→ (0,∞) така, що
ϕ(t) = (log t)r1(log log t)r2 . . . (log . . . log︸ ︷︷ ︸
k разiв
t)rk при t� 1;
тут числа k ∈ N i r1, . . . , rk ∈ R вибрано довiльно.
Нехай s ∈ R i ϕ ∈ M. Означимо простiр Hs,ϕ(·) спочатку
на Rn, а потiм на Ω i Γ. Будемо дотримуватися монографiї [13,
пп. 1.3, 2.1, 3.2].
За означенням, комплексний лiнiйний простiр Hs,ϕ(Rn), де
n ∈ N, складається з усiх повiльно зростаючих розподiлiв w на
Rn таких, що їх перетворення Фур’є ŵ є функцiєю, локально iн-
тегровною на Rn за Лебегом, i виконується умова∫
Rn
〈ξ〉2sϕ2(〈ξ〉)|ŵ(ξ)|2dξ <∞.
176 Т. М. Касiренко, I. С. Чепурухiна
Тут 〈ξ〉 := (1 + |ξ|2)1/2 є згладженим модулем вектора ξ ∈ Rn.
У просторi Hs,ϕ(Rn) введений скалярний добуток розподiлiв w1
i w2 за формулою
(w1, w2)Hs,ϕ(Rn) :=
∫
Rn
〈ξ〉2sϕ2(〈ξ〉)ŵ1(ξ)ŵ2(ξ)dξ.
Вiн породжує норму
‖w‖Hs,ϕ(Rn) := (w,w)
1/2
Hs,ϕ(Rn).
Простiр Hs,ϕ(Rn) є iзотропним гiльбертовим випадком про-
стору Bp,µ, введеного i дослiдженого Л. Хермандером [11, п. 2.2]
(див. також його монографiю [12, п. 10.1]). А саме, Hs,ϕ(Rn) =
B2,µ, якщо µ(ξ) = 〈ξ〉sϕ(〈ξ〉) для довiльного ξ ∈ Rn. Зауважи-
мо, що у гiльбертовому випадку p = 2 простiр Bp,µ i його версiї
для евклiдових областей ввели i дослiдили також Л. Р. Волевич
i Б. П. Панеях [40, § 2].
У важливому окремому випадку ϕ(·) ≡ 1 простiр Hs,ϕ(Rn)
стає гiльбертовим простором Соболєва Hs(Rn) порядку s. У за-
гальнiй ситуацiї виконуються неперервнi та щiльнi вкладення
Hs+ε(Rn) ↪→ Hs,ϕ(Rn) ↪→ Hs−ε(Rn)
для довiльного ε > 0.
(19)
З них видно, що у класi функцiональних просторiв{
Hs,ϕ(Rn) : s ∈ R, ϕ ∈M
}
числовий параметр s задає основну (степеневу) регулярнiсть, а
функцiональний параметр ϕ задає додаткову регулярнiсть, пiд-
порядковану основнiй. У залежностi вiд того, чи ϕ(t) → ∞ або
ϕ(t) → 0 при t → ∞, параметр ϕ задає додаткову додатну
або вiд’ємну регулярнiсть. Iншими словами, параметр ϕ уточнює
основну s-гладкiсть. Тому цей клас природно називати уточне-
ною соболєвською шкалою на Rn.
Елiптичнi за Лавруком задачi ... 177
Її аналоги для евклiдової областi Ω i замкненого компактного
многовиду Γ вводяться у стандартний спосiб. Наведемо вiдповiд-
нi означення.
Комплексний лiнiйний простiр Hs,ϕ(Ω) складається зi зву-
жень в область Ω усiх розподiлiв w ∈ Hs,ϕ(Rn). Норма у ньому
означена за формулою
‖u‖Hs,ϕ(Ω) := inf
{
‖w‖Hs,ϕ(Rn) : w ∈ Hs,ϕ(Rn), w = u в Ω
}
,
де u ∈ Hs,ϕ(Ω). Цей простiр гiльбертiв i сепарабельний вiдносно
вказаної норми. Множина C∞(Ω) щiльна у ньому.
Комплексний лiнiйний простiр Hs,ϕ(Γ) складається з усiх роз-
подiлiв на Γ, якi в локальних координатах дають елементи про-
стору Hs,ϕ(Rn−1). Дамо докладне означення. Нехай довiльним
чином вибрано скiнченний атлас iз C∞-структури на много-
видi Γ, утворений локальними картами πj : Rn−1 ↔ Γj , де
j = 1, . . . , λ. Тут вiдкритi множини Γ1, . . . ,Γλ складають скiн-
ченне покриття многовиду Γ. Нехай, окрiм того, вибранi функцiї
χj ∈ C∞(Γ), де j = 1, . . . , λ, якi утворюють розбиття одиницi на
Γ, що задовольняє умову suppχj ⊂ Γj .
Тодi, за означенням, простiр Hs,ϕ(Γ) складається з усiх роз-
подiлiв h на Γ таких, що
(χjh) ◦ πj ∈ Hs,ϕ(Rn−1)
для кожного номера j ∈ {1, . . . , λ}. Тут, звiсно, (χjh) ◦ πj є зо-
браженням розподiлу h у локальнiй картi πj . У просторi Hs,ϕ(Γ)
уведено норму за формулою
‖h‖Hs,ϕ(Γ) :=
( λ∑
j=1
‖(χjh) ◦ πj‖2Hs,ϕ(Rn−1)
)1/2
.
Цей простiр гiльбертiв i сепарабельний вiдносно цiєї норми. Ва-
жливо, що вiн з точнiстю до еквiвалентностi норм не залежить
вiд зазначеного вибору атласу i розбиття одиницi [13, теоре-
ма 2.3]. Множина C∞(Γ) щiльна у просторi Hs,ϕ(Γ).
178 Т. М. Касiренко, I. С. Чепурухiна
Уведенi гiльбертовi функцiональнi простори утворюють уто-
чненi соболєвськi шкали
{Hs,ϕ(Ω) : s ∈ R, ϕ ∈M} i {Hs,ϕ(Γ) : s ∈ R, ϕ ∈M} (20)
на Ω i Γ вiдповiдно. Вони мiстять гiльбертовi соболєвськi шкали:
якщо ϕ(·) ≡ 1, тоHs,ϕ(Ω) =: Hs(Ω) iHs,ϕ(Γ) =: Hs(Γ) є простори
Соболєва порядку s ∈ R.
Для шкал (20) виконуються компактнi i щiльнi вкладення
(19), якщо у формулi (19) замiнити Rn на Ω або Γ вiдповiдно.
4. Основнi результати
У цьому роздiлi сформулюємо основнi результати статтi про вла-
стивостi елiптичної крайової задачi (1), (2) в уточненiй соболєв-
ськiй шкалi.
Пов’яжемо iз задачею (1), (2) гiльбертовi простори
Ds,ϕ(Ω,Γ) := Hs,ϕ(Ω)⊕
κ⊕
k=1
Hs+rk−1/2,ϕ(Γ),
та
Es−2q,ϕ(Ω,Γ) := Hs−2q,ϕ(Ω)⊕
q+κ⊕
j=1
Hs−mj−1/2,ϕ(Γ),
де s ∈ R i ϕ ∈ M. У соболєвському випадку, коли ϕ(·) ≡ 1,
будемо пропускати iндекс ϕ в позначеннях просторiв Ds,ϕ(Ω,Γ)
i Es−2q,ϕ(Ω,Γ).
Позначимо через N лiнiйний простiр усiх розв’язкiв
(u, v1, . . . , vκ) ∈ C∞(Ω)× (C∞(Γ))κ
крайової задачi (1), (2) в однорiдному випадку, коли f = 0 в Ω
i кожне gj = 0 на Γ. Аналогiчно, позначимо через N? лiнiйний
простiр усiх розв’язкiв
(ω,w1, . . . , wm−2q+1, h1, . . . , hq+κ) ∈ C∞(Ω)× (C∞(Γ))m−q+1+κ
Елiптичнi за Лавруком задачi ... 179
формально спряженої крайової задачi (15) – (17) в однорiдному
випадку, коли η = 0 в Ω i кожне ψk = 0 на Γ. Оскiльки обидвi
задачi елiптичнi за Лавруком в Ω, то простори N i N? скiнчен-
новимiрнi [7, наслiдок 4.1.1].
Теорема 1. Нехай s > m+1/2 i ϕ ∈M. Тодi вiдображення (14)
продовжується єдиним чином (за неперервнiстю) до обмеже-
ного оператора
Λ : Ds,ϕ(Ω,Γ)→ Es−2q,ϕ(Ω,Γ). (21)
Цей оператор нетерiв. Його ядро збiгається з простором N , а
область значення складається з усiх векторiв
(f, g) := (f, g1, . . . , gq+κ) ∈ Es−2q,ϕ(Ω,Γ) (22)
таких, що
(f, ω)Ω +
m−2q+1∑
j=1
(Dj−1
ν f, wj)Γ +
q+κ∑
j=1
(gj , hj)Γ = 0
для всiх (ω,w1, . . . , wm−2q+1, h1, . . . , hq+κ) ∈ N?.
(23)
Iндекс оператора (21) дорiвнює dimN − dimN? й не залежить
вiд s та ϕ.
Зауважимо, що в умовi (23) функцiї
Dj−1
ν f ∈ Hs−2q−j+1/2(Γ) ⊂ L2(Γ)
коректно означенi для кожного номера j ∈ {1, . . . ,m− 2q+ 1} на
пiдставi [13, теорема 4.13(ii)] i нерiвностi s > m+ 1/2.
Стосовно цiєї теореми нагадаємо, що лiнiйний обмежений опе-
ратор T : X → Y , де X,Y — банаховi простори, називають нете-
ровим, якщо його ядро kerT i коядро Y/T (X) скiнченновимiрнi.
Нетерiв оператор має замкнену область значень T (X) (див., на-
приклад, [41, лемма 19.1.1]) i скiнченний iндекс
indT := dim kerT − dim(Y/T (X)).
180 Т. М. Касiренко, I. С. Чепурухiна
Зауважимо, що умову s > m + 1/2 в теоремi 1 не можна вiд-
кинути або послабити. Зокрема, якщо s ≤ mj + 1/2 i ϕ(·) ≡ 1,
то вiдображення u 7→ Bju, де u ∈ C∞(Ω), не можна продовжити
до неперервного лiнiйного оператора, що дiє з простору Соболє-
ва Hs(Ω) у лiнiйний топологiчний простiр D′(Γ) усiх розподiлiв
на Γ (див., наприклад, [13, зауваження 3.5]).
Якщо N = {0} i N? = {0}, то оператор (21) є iзоморфiзмом
простору Ds,ϕ(Ω,Γ) на простiр Es−2q,ϕ(Ω,Γ). У загальнiй ситуа-
цiї цей оператор породжує iзоморфiзм мiж деякими їх (замкне-
ними) пiдпросторами скiнченної ковимiрностi. Цi пiдпростори i
проектори на них будуємо у такий спосiб.
Розглянемо розклад простору Ds,ϕ(Ω,Γ), де s > m + 1/2 i
ϕ ∈M, у таку пряму суму його пiдпросторiв:
Ds,ϕ(Ω,Γ) = N u
{
(u, v1, . . . , vκ) ∈ Ds,ϕ(Ω,Γ) :
(u, u◦)Ω +
κ∑
k=1
(vk, v
◦
k)Γ для кожного (u◦, v◦1, . . . , v
◦
κ) ∈ N
}
.
(24)
Таке зображення iснує, оскiльки воно є звуженням розкладу про-
стору L2(Ω) ⊕ (L2(Γ))κ в ортогональну суму пiдпростору N та
його доповнення. Тут
Ds,ϕ(Ω,Γ) ↪→ L2(Ω)⊕ (L2(Γ))κ при s > m+ 1/2 (25)
на пiдставi умови (3).
Стосовно розкладу простору Es−2q,ϕ(Ω,Γ) скористаємося та-
ким результатом.
Лема 1. Iснує скiнченновимiрний простiр
G ⊂ C∞(Ω)× (C∞(Γ))q+κ
такий, що для довiльних s > m + 1/2 i ϕ ∈ M є правильним
наступний розклад простору Es−2q,ϕ(Ω,Γ) у пряму суму його
Елiптичнi за Лавруком задачi ... 181
пiдпросторiв:
Es−2q,ϕ(Ω,Γ) = Gu{
(f, g) ∈ Es−2q,ϕ(Ω,Γ) : виконується (23)
}
.
(26)
При цьому dimG = dimN?.
Позначимо через P i Q вiдповiдно проектори просторiв
Ds,ϕ(Ω,Γ) i Es−2q,ϕ(Ω,Γ) на другий доданок у сумах (24) i (26) па-
ралельно першому доданку. Цi проектори не залежать (як вiдо-
браження) вiд s i ϕ.
Теорема 2. Нехай s > m+1/2 i ϕ ∈M. Тодi звуження вiдобра-
ження (21) на пiдпростiр P(Ds,ϕ(Ω,Γ)) є iзоморфiзмом
Λ : P(Ds,ϕ(Ω,Γ))↔ Q(Es−2q,ϕ(Ω,Γ)). (27)
Дослiдимо властивостi узагальнених розв’язкiв елiптичної
крайової задачi (1), (2). Попередньо дамо означення такого
розв’язку. Покладемо
Dm+1/2+(Ω,Γ) :=
⋃
s>m+1/2,
ϕ∈M
Ds,ϕ(Ω,Γ) =
⋃
s>m+1/2
Ds(Ω,Γ);
тут остання рiвнiсть правильна з огляду на властивiсть (19). Ве-
ктор
(u, v) := (u, v1, . . . , vκ) ∈ Dm+1/2+(Ω,Γ) (28)
називаємо (сильним) узагальненим розв’язком крайової задачi
(1), (2) з правої частиною
(f, g) := (f, g1, . . . , gq+κ) ∈ D′(Ω)×
(
D′(Γ)
)q+κ
,
якщо Λ(u, v) = (f, g), де Λ — оператор (21) для деяких параме-
трiв s > m + 1/2 i ϕ ∈ M. Тут D′(Ω) — лiнiйний топологiчний
простiр усiх розподiлiв, заданих в областi Ω. Наведене означен-
ня узагальненого розв’язку коректне, оскiльки не залежить вiд
s i ϕ.
182 Т. М. Касiренко, I. С. Чепурухiна
Теорема 3. Нехай ϕ ∈ M, а числа s, λ ∈ R задовольняють
нерiвностi s > m + 1/2 i 0 < λ < s − m + 1/2. Нехай також
функцiї χ, η ∈ C∞(Ω) задовольняють умову η = 1 в околi suppχ.
Тодi iснує число c = c(s, ϕ, λ, χ, η) > 0 таке, що
‖χ(u, v)‖Ds,ϕ(Ω,Γ) ≤
≤ c
(
‖ηΛ(u, v)‖Es−2q,ϕ(Ω,Γ) + ‖η(u, v)‖Ds−λ,ϕ(Ω,Γ)
) (29)
для довiльного вектора (u, v) ∈ Ds,ϕ(Ω,Γ). Тут c не залежить
вiд (u, v).
Тут, звiсно,
χ(u, v) := (χu, (χ�Γ)v1, . . . , (χ�Γ)vκ)
i аналогiчно розумiємо вираз ηΛ(u, v).
Зауваження 1. Якщо χ = η = 1, то нерiвнiсть (29) є глобаль-
ною апрiорною оцiнкою узагальненого розв’язку u елiптичної
крайової задачi (1), (2). У цьому випадку умову λ < s−m+ 1/2
можна прибрати. Взагалi, нерiвнiсть (29) є локальною апрiорною
оцiнкою розв’язку u. Справдi, для кожної непорожньої вiдкритої
(у топологiї Ω) пiдмножини множини Ω, можна вибрати функцiї
χ, η так, щоб вони задовольняли умову теореми 3 i їх носiї лежа-
ли в цiй пiдмножинi. Якщо 0 < λ ≤ 1, то у нерiвностi (29) можна
узяти χΛ(u, v) замiсть ηΛ(u, v).
Дослiдимо регулярнiсть узагальнених розв’язкiв елiптичної
крайової задачi (1), (2). Нехай V — довiльна вiдкрита пiдмножи-
на простору Rn така, що Ω0 := Ω∩V 6= ∅. Покладемо Γ0 := Γ∩V
(можливий випадок, коли Γ0 = ∅). Для довiльних параметрiв
σ ∈ R i ϕ ∈ M введемо локальнi аналоги просторiв Хермандера
Hσ,ϕ(Ω) i Hσ,ϕ(Γ). А саме,
Hσ,ϕ
loc (Ω0,Γ0) :=
{
u ∈ D′(Ω) : χu ∈ Hσ,ϕ(Ω)
для всiх χ ∈ C∞(Ω) таких, що suppχ ⊂ Ω0 ∪ Γ0
}
.
Елiптичнi за Лавруком задачi ... 183
Аналогiчно покладемо
Hσ,ϕ
loc (Γ0) :=
{
h ∈ D′(Γ) : χh ∈ Hσ,ϕ(Γ)
для всiх χ ∈ C∞(Γ) таких, що suppχ ⊂ Γ0
}
.
Позначимо
Ds,ϕloc (Ω0,Γ0) := Hs,ϕ
loc (Ω0,Γ0)×
κ∏
k=1
H
s+rk−1/2,ϕ
loc (Γ0),
Es−2q,ϕ
loc (Ω0,Γ0) := Hs−2q,ϕ
loc (Ω0,Γ0)×
q+κ∏
j=1
H
s−mj−1/2,ϕ
loc (Γ0),
де s ∈ R i ϕ ∈M.
Теорема 4. Нехай вектор (u, v) ∈ Dm+1/2+(Ω,Γ) є узагальне-
ним розв’язком елiптичної крайової задачi (1), (2), правi части-
ни якої задовольняють умову (f, g) ∈ Es−2q,ϕ
loc (Ω0,Γ0) для деяких
параметрiв s > m+ 1/2 i ϕ ∈M. Тодi (u, v) ∈ Ds,ϕloc (Ω0,Γ0).
Вiдмiтимо важливi окремi випадки цiєї теореми. Якщо Ω0 = Ω
i Γ0 = Γ, то локальнi простори Ds,ϕloc (Ω0,Γ0) i Es−2q,ϕ
loc (Ω0,Γ0) збi-
гаються з просторами Ds,ϕ(Ω,Γ) i Es−2q,ϕ(Ω,Γ) вiдповiдно. Тому
теорема 4 стверджує, що регулярнiсть узагальненого розв’язку
(u, v) пiдвищується глобально, тобто в усiй областi Ω аж до її
межi Γ. Якщо Γ0 = ∅ i Ω0 = Ω, то згiдно з цiєю теоремою регу-
лярнiсть розв’язку (u, v) пiдвищується в околах усiх внутрiшнiх
точок замкненої областi Ω.
У соболєвському випадку, коли ϕ(·) ≡ 1, теореми 1 – 4 або
їх версiї вiдомi, див., наприклад, монографiю В. О. Козлова,
В. Г. Маз’ї i Й. Россмана [7, п. 4.1], статтi I. Я. Ройтберг [8, 9] та
монографiю А. Я. Ройтберга [10, п. 2.4].
5. Застосування
Розглянемо застосування уточненої соболєвської шкали до пи-
тання про достатнi умови неперервностi узагальнених похiдних
184 Т. М. Касiренко, I. С. Чепурухiна
(заданого порядку) компонент розв’язку (28) елiптичної крайо-
вої задачi (1), (2). Цi умови випливають з теореми 4 i такого
наслiдку з теореми вкладення Хермандера [11, теорема 2.2.7]:
Твердження 1. Нехай 0 ≤ l ∈ Z i ϕ ∈ M. Тодi кожне з вкла-
день H l+n/2,ϕ(Ω) ⊂ C l(Ω) i H l+(n−1)/2,ϕ(Γ) ⊂ C l(Γ) еквiвалентне
виконанню умови
∞∫
1
dt
t ϕ2(t)
<∞. (30)
Цi вкладення компактнi.
Твердження 1 обґрунтовано в [13, теореми 2.8 i 3.4]. Можна
сказати, що воно є уточненням вiдомої теореми вкладення Собо-
лєва, згiдно з якою
s > l + n/2 ⇔ Hs(Ω) ⊂ C l(Ω),
s > l + (n− 1)/2 ⇔ Hs(Γ) ⊂ C l(Γ),
де 0 ≤ l ∈ Z.
Сформулюємо достатнi умови, згаданi на початку цього пун-
кту.
Теорема 5. Нехай цiле число l ≥ 0. Припустимо, що вектор
(u, v) ∈ Dm+1/2+(Ω,Γ) є узагальненим розв’язком елiптичної
крайової задачi (1), (2), де
(f, g) ∈ E l+n/2−2q,ϕ
loc (Ω0,Γ0) (31)
для деякого функцiонального параметра ϕ ∈ M, який задоволь-
няє умову (30). Тодi u ∈ C l(Ω0 ∪ Γ0).
Теорема 6. Нехай задано цiлi числа l ≥ 0 i k ∈ {1, ...,κ}. При-
пустимо, що Γ0 6= ∅ i вектор (u, v) ∈ Dm+1/2+(Ω,Γ) є узагаль-
неним розв’язком елiптичної крайової задачi (1), (2), де
(f, g) ∈ E l−rk+n/2−2q,ϕ
loc (Ω0,Γ0) (32)
Елiптичнi за Лавруком задачi ... 185
для деякого функцiонального параметра ϕ ∈ M, який задоволь-
няє умову (30). Тодi vk ∈ C l(Γ0).
Зауваження 2. Умова (30) є точною у теоремах 5 i 6, якщо
число l достатньо велике. А саме, нехай 0 ≤ l ∈ Z i ϕ ∈ M.
Припустимо, що l+ n/2 > m+ 1/2; тодi умова (30) еквiвалентна
iмплiкацiї(
(u, v) ∈ Dm+1/2+(Ω,Γ) задовольняє умову теореми 5
)
⇒
⇒ u ∈ C l(Ω0 ∪ Γ0)
(33)
Окрiм того, нехай k ∈ {1, ...,κ} i Γ0 6= ∅. Припустимо, що l −
rk + n/2 > m+ 1/2; тодi умова (30) еквiвалентна iмплiкацiї(
(u, v) ∈ Dm+1/2+(Ω,Γ) задовольняє умову теореми 6
)
⇒
⇒ vk ∈ C l(Γ0).
(34)
Якщо б ми сформулювати версiї теорем 5 i 6 для просторiв
Соболєва, то замiсть умов (31) i (32) використали б таку бiльш
сильну умову: (f, g) ∈ Hs−2q,1
loc (Ω0,Γ0) для деякого s > l+n/2−2q
у випадку теореми 5 або для деякого s > l−rk+n/2−2q у випадку
теореми 6.
Сформулюємо також достатню умову того, що узагальне-
ний розв’язок (u, v) крайової задачi (1), (2) є класичним, тобто
u ∈ C2q(Ω)∩Cm(Uσ∪Γ) для деякого числа σ > 0 i vk ∈ Cm+rk(Γ)
для кожного номера k ∈ {1, ...,κ}. Тут
Uσ := {x ∈ Ω : dist(x,Γ) < σ}.
Якщо розв’язок (u, v) цiєї задачi є класичним, то її лiвi частини
обчислюються за допомогою класичних похiдних i є неперервни-
ми функцiями на Ω i Γ вiдповiдно.
Теорема 7. Нехай вектор (u, v) ∈ Dm+1/2+(Ω,Γ) є узагальне-
ним розв’язком елiптичної крайової задачi (1), (2), де
f ∈ Hn/2,ϕ1
loc (Ω,∅) ∩Hm+n/2−2q,ϕ2
loc (Uσ,Γ), (35)
gj ∈ Hm−mj+(n−1)/2,ϕ2(Γ) при j ∈ {1, . . . , q + κ} (36)
186 Т. М. Касiренко, I. С. Чепурухiна
для деякого числа σ > 0 i деяких функцiй ϕ1, ϕ2 ∈ M, якi за-
довольняють умову (30) при ϕ := ϕ1 i ϕ := ϕ2 вiдповiдно. Тодi
розв’язок (u, v) класичний.
6. Доведення
Доведемо теореми 1 – 7 i лему 1 та обґрунтуємо зауваження 1 i 2.
Доведення теореми 1. У випадку просторiв Соболєва, коли
ϕ(·) ≡ 1 i s > m+ 1/2, ця теорема (для загальних елiптичних си-
стем) доведена в статтях [8, 9] та в монографiї [10, теорема 2.4.1]
за виключенням вказаного зв’язку скiнченновимiрного простору
N? з формально спряженою задачею (15) – (17). За додаткового
припущення s ∈ Z, у повному обсязi теорема 1 мiститься у ре-
зультатi, встановленому в монографiї В. О. Козлова, В. Г. Маз’ї i
Й. Россмана [7, наслiдок 4.1.1]. Доведемо, що i для кожного дро-
бового s > m+ 1/2 висновок цiєї теореми правильний у повному
обсязi.
Згiдно з [10, теорема 2.4.1] вiдображення (14) продовжується
за неперервнiстю до обмеженого i нетерового оператора
Λ : Hs,(m+1)(Ω)⊕
κ⊕
k=1
Hs+rk−1/2(Γ)→
→ Hs−2q,(m+1−2q)(Ω)⊕
q+κ⊕
j=1
Hs−mj−1/2(Γ)
(37)
для кожного s ∈ R. Тут Hs,(r)(Ω), де s ∈ R i 1 ≤ r ∈ Z, є
гiльбертовим простором Соболєва –Ройтберга [43, п. 2.1]. Якщо
s /∈ {1/2, . . . , r− 1/2}, то, за означенням, Hs,(r)(Ω) — поповнення
простору C∞(Ω) за нормою
‖u‖Hs,(r)(Ω) :=
(
‖u‖2
Hs,(0)(Ω)
+
r∑
k=1
‖(Dk−1
ν u)�Γ‖2
Hs−k+1/2(Γ)
)1/2
.
Елiптичнi за Лавруком задачi ... 187
Тут Hs,(0)(Ω) := Hs(Ω) для s ≥ 0; якщо s < 0, то Hs,(0)(Ω) є
дуальний гiльбертiв простiр до простору H−s(Ω) вiдносно роз-
ширення за неперервнiстю скалярного добутку в L2(Ω).
Зауважимо, що для просторiв Соболєва –Ройтберга виконує-
ться неперервне i щiльне вкладення Hs+δ,(r)(Ω) ↪→ Hs,(r)(Ω) при
δ > 0. Окрiм того, якщо s > r − 1/2, то простори Hs,(r)(Ω) i
Hs(Ω) рiвнi як поповнення лiнiйного многовиду C∞(Ω) за еквi-
валентними нормами. Тому оператор (21), де ϕ(·) ≡ 1, i оператор
(37) рiвнi при s > m+ 1/2.
З огляду на формулу (37) покладемо
Ds,(m+1)(Ω,Γ) := Hs,(m+1)(Ω)⊕
κ⊕
k=1
Hs+rk−1/2(Γ),
Es−2q,(m+1−2q)(Ω,Γ) := Hs−2q,(m+1−2q)(Ω)⊕
q+κ⊕
j=1
Hs−mj−1/2(Γ).
Згiдно iз згаданим результатом [10, теорема 2.4.1] ядро опе-
ратора (37) дорiвнює N , а область значень складається з усiх
векторiв
(f, g) ∈ Es−2q,(m+1−2q)(Ω,Γ),
якi задовольняють умову (23), у котрiй замiсть N? фiгурує де-
який скiнченновимiрний простiр, що лежить в
C∞(Ω)× (C∞(Γ))m−q+1+κ
i не залежить вiд s. Звiдси випливає рiвнiсть
Λ(Ds2,(m+1)(Ω,Γ)) = Es2−2q,(m+1−2q)(Ω,Γ) ∩ Λ(Ds1,(m+1)(Ω,Γ))
для довiльних чисел s1, s2 ∈ R таких, що s1 < s2. Зокрема,
Λ(Ds(Ω,Γ)) = Es−2q(Ω,Γ) ∩ Λ(Dm,(m+1)(Ω,Γ)),
якщо m+ 1/2 < s ∈ R.
188 Т. М. Касiренко, I. С. Чепурухiна
На пiдставi [7, теорема 4.1.4] простiр Λ(Dm,(m+1)(Ω,Γ)) склада-
ється з усiх векторiв (f, g) ∈ Em−2q,(m+1−2q)(Ω,Γ), якi задоволь-
няють умову (23). Тому для довiльного дiйсного s > m + 1/2
область значень Λ(Ds(Ω,Γ)) оператора (21), де ϕ(·) ≡ 1, є такою
як це стверджується у теоремi 1. Таким чином, у соболєвському
випадку ця теорема доведена.
Теорему 1 для довiльного ϕ ∈ M виведемо тепер iз соболєв-
ського випадку за допомогою iнтерполяцiї з функцiональним па-
раметром (її означення i властивостi наведено, наприклад, у мо-
нографiї [13, п. 1.1]). Нехай s > m + 1/2 i ϕ ∈ M. Покладемо
ε := (s −m − 1/2)/2 > 0. Вiдображення (14) продовжується за
неперервнiстю до обмежених i нетерових операторiв
Λ : Ds∓ε(Ω,Γ)→ Es∓ε−2q(Ω,Γ), (38)
що дiють у парах соболєвських просторiв. Вони мають спiльне
ядро N та однаковий iндекс, рiвний dimN −dimN?. Окрiм того,
Λ(Ds∓ε(Ω,Γ)) =
=
{
(f, g) ∈ Es∓ε−2q(Ω,Γ) : виконується (23)
}
.
(39)
Означимо iнтерполяцiйний параметр ψ за формулами ψ(t) :=
t1/2ϕ(t1/(2ε)) при t ≥ 1 i ψ(t) := ϕ(1) при 0 < t < 1. Застосувавши
до (38) iнтерполяцiю з параметром ψ та використавши теорему
про iнтерполяцiю нетерових операторiв [13, теорема 1.7], отри-
маємо нетерiв обмежений оператор
Λ : [Ds−ε(Ω,Γ),Ds+ε(Ω,Γ)]ψ →
→ [Es−ε−2q(Ω,Γ), Es+ε−2q,ϕ(Ω,Γ)]ψ.
(40)
(Тут [H0, H1]ψ позначає гiльбертiв простiр, отриманий iнтерпо-
ляцiєю з параметром ψ допустимої пари гiльбертових просторiв
H0 i H1.) Оператор (40) є звуженням вiдображення (38), зада-
ного на Ds−ε(Ω,Γ). Отже, вiн є продовженням за неперервнiстю
вiдображення (14).
Елiптичнi за Лавруком задачi ... 189
Опишемо iнтерполяцiйнi простори, в яких дiє оператор (40).
На пiдставi iнтерполяцiйних теорем 1.5, 2.2 i 3.2 з монографiї [13]
маємо такi рiвностi просторiв разом з еквiвалентнiстю норм у
них:
[Ds−ε(Ω,Γ),Ds+ε(Ω,Γ)]ψ = [Hs−ε(Ω), Hs+ε(Ω)]ψ⊕
⊕
κ⊕
k=1
[Hs+rk−1/2−ε(Γ), Hs+rk−1/2+ε(Γ)]ψ =
= Hs,ϕ(Ω)⊕
κ⊕
k=1
Hs+rk−1/2,ϕ(Γ) = Ds,ϕ(Ω,Γ).
Аналогiчно
[Es−2q−ε(Ω,Γ), Es−2q+ε(Ω,Γ)]ψ = Es−2q,ϕ(Ω,Γ).
Таким чином, обмежений нетерiв оператор (40) є оператором (21)
з теореми 1.
Згiдно з [13, теорема 1.7] ядро оператора (21) i його iндекс
збiгаються вiдповiдно зi спiльним ядром N i однаковим iндексом
dimN − dimN? операторiв (38). Окрiм того, на пiдставi рiвностi
(39) робимо висновок, що область значень оператора (21) дорiв-
нює
Es−2q,ϕ(Ω,Γ) ∩ Λ(Ds−ε(Ω,Γ))
=
{
(f, g) ∈ Es−2q,ϕ(Ω,Γ) : виконується (23)
}
.
Отже, доведено всi властивостi оператора (21), зазначенi в тео-
ремi 1.
Теорему 1 доведено.
Доведення леми 1. Скористаємося нетеровим обмеженим опе-
ратором (37) у випадку, коли s = m. Згiдно з [7, теорема 4.1.4]
вимiрнiсть коядра цього оператора дорiвнює dimN?. Оскiль-
ки лiнiйний многовид C∞(Ω) × (C∞(Γ))q+κ щiльний у просторi
190 Т. М. Касiренко, I. С. Чепурухiна
Em−2q,(m+1−2q)(Ω,Γ), то згiдно з [44, лема 2.1] iснує скiнченнови-
мiрний простiр
G ⊂ C∞(Ω)× (C∞(Γ))q+κ
такий, що
Em−2q,(m+1−2q)(Ω,Γ) = G u Λ(Dm,(m+1)(Ω,Γ)). (41)
Звiдси випливає, що dimG = dimN?.
Нехай дiйсне число l задовольняє умову m+ 1/2 < l < s. Тодi
виконуються неперервнi вкладення
Es−2q,ϕ(Ω,Γ) ↪→ E l−2q(Ω,Γ) =
= E l−2q,(m+1−2q)(Ω,Γ) ↪→ Em−2q,(m+1−2q)(Ω,Γ)
на пiдставi (19) i того, що простори H l−2q,(m+1−2q)(Ω) i H l−2q(Ω)
рiвнi з точнiстю до еквiвалентностi норм при l − 2q > m + 1 −
2q − 1/2, як це зазначалось у доведеннi теореми 1. Окрiм того,
G ⊂ Es−2q,ϕ(Ω,Γ). Тому з рiвностi (41) випливає формула
Es−2q,ϕ(Ω,Γ) = G u
(
Λ(Dm,(m+1)(Ω,Γ)) ∩ Es−2q,ϕ(Ω,Γ)
)
. (42)
На пiдставi [7, теорема 4.1.4] область значень Λ(Dm,(m+1)(Ω,Γ))
оператора (37), де s = m, складається з усiх векторiв
(f, g) ∈ Em−2q,(m+1−2q)(Ω,Γ),
якi задовольняють умову (23). Тому другий доданок у сумi (42)
складається з усiх векторiв (f, g) ∈ Es−2q,ϕ(Ω,Γ), якi задовольня-
ють (23). Таким чином, формула (42) перетворюється на рiвнiсть
(26), в якiй, згiдно з наведеними мiркуваннями, простiр G не за-
лежить вiд s i ϕ.
Лему 1 доведено.
Доведення теореми 2. Згiдно з теоремою 1 звуження опе-
ратора (21) на пiдпростiр P(Ds,ϕ(Ω,Γ)) є неперервним i взаєм-
но однозначним вiдображенням цього пiдпростору на пiдпростiр
Елiптичнi за Лавруком задачi ... 191
Q(Es−2q,ϕ(Ω,Γ)). Тому на пiдставi теореми Банаха про оберне-
ний оператор це вiдображення є iзоморфiзмом (27). Теорему 2
доведено.
Доведення теореми 3. У випадку, коли χ(·) ≡ η(·) ≡ 1 ця тео-
рема є наслiдком скiнченновимiрностi ядра i замкненостi областi
значень оператора (21) з теореми 1 та компактностi вкладення
Ds,ϕ(Ω) ↪→ Ds−λ,ϕ(Ω) для довiльного λ > 0. Це стверджує лема
Пiтре [45, лема 3]. Отже, iснує число c̃ = c̃(s, ϕ, λ) > 0 таке, що
для довiльного вектора (u′, v′) ∈ Ds,ϕ(Ω,Γ) виконується глобаль-
на апрiорна оцiнка
‖(u′, v′)‖Ds,ϕ(Ω,Γ) ≤ c̃
(
‖Λ(u′, v′)‖Es−2q,ϕ(Ω,Γ)+
+‖(u′, v′)‖Ds−λ,ϕ(Ω,Γ)
)
.
(43)
У цiй оцiнцi число λ > 0 вибране довiльним чином.
Виведемо з цiєї оцiнки теорему 3 для λ = 1. Зауважимо
спочатку, що нерiвнiсть λ < s − m + 1/2, вказана в умовi цi-
єї теореми, виконується для λ = 1. Довiльно виберемо вектор
(u, v) ∈ Ds,ϕ(Ω,Γ). Нехай функцiї χ, η ∈ C∞(Ω) такi як в умовi
теореми 3. Поклавши (u′, v′) := χ(u, v) ∈ Ds,ϕ(Ω,Γ) та λ := 1 в
оцiнцi (43), запишемо
‖χ(u, v)‖Ds,ϕ(Ω,Γ) ≤ c̃
(
‖Λ(χ(u, v))‖Es−2q,ϕ(Ω,Γ)+
+‖χ(u, v)‖Ds−1,ϕ(Ω,Γ)
)
.
(44)
Переставивши оператор множення на функцiю χ з диференцi-
альним оператором Λ отримаємо рiвнiсть
Λ(χ(u, v)) = Λ(χη(u, v)) = χΛ(η(u, v))+
+Λ′(η(u, v)) = χΛ(u, v) + Λ′(η(u, v)).
Тут
Λ′(u, v) :=
(
A′u, B′1u+
κ∑
k=1
C ′1,kvk, ..., B
′
q+κu+
κ∑
k=1
C ′q+κ,kvk
)
,
192 Т. М. Касiренко, I. С. Чепурухiна
деA′ — деякий лiнiйний диференцiальний оператор на Ω порядку
ordA′ ≤ 2q − 1, B′j — деякий крайовий лiнiйний диференцiаль-
ний оператор на Γ порядку ordB′j ≤ mj − 1, а C ′j,k — деякий
(дотичний) лiнiйний диференцiальний оператор на Γ порядку
ordC ′j,k ≤ mj + rk − 1. Коефiцiєнти цих операторiв є нескiнченно
гладкими функцiями на Ω i Γ вiдповiдно.
Таким чином,
Λ(χ(u, v)) = χΛ(u, v) + Λ′(η(u, v)). (45)
З властивостей порядкiв компонент диференцiального оператора
Λ′ негайно випливає нерiвнiсть
‖Λ′(η(u, v))‖Es−2q,ϕ(Ω,Γ) ≤ c1‖η(u, v)‖Ds−1,ϕ(Ω,Γ). (46)
У цьому доведеннi через c1, . . . , c7 позначено додатнi числа, не
залежнi вiд (u, v).
На пiдставi формул (44) – (46) отримаємо нерiвностi
‖χ(u, v)‖Ds,ϕ(Ω,Γ) ≤ c̃
(
‖χΛ(u, v)‖Es−2q,ϕ(Ω,Γ)+
+‖Λ′(η(u, v))‖Es−2q,ϕ(Ω,Γ) + ‖χ(u, v)‖Ds−1,ϕ(Ω,Γ)
)
≤
≤ c̃ ‖χΛ(u, v)‖Es−2q,ϕ(Ω,Γ) + c̃ c1‖η(u, v)‖Ds−1,ϕ(Ω,Γ)+
+c̃ ‖χ(u, v)‖Ds−1,ϕ(Ω,Γ).
Тут
‖χ(u, v)‖Ds−1,ϕ(Ω,Γ) = ‖χη(u, v)‖Ds−1,ϕ(Ω,Γ) ≤
≤ c2‖η(u, v)‖Ds−1,ϕ(Ω,Γ).
Отже,
‖χ(u, v)‖Ds,ϕ(Ω,Γ) ≤ c3
(
‖χΛ(u, v)‖Es−2q,ϕ(Ω,Γ)+
+‖η(u, v)‖Ds−1,ϕ(Ω,Γ)
)
.
(47)
Елiптичнi за Лавруком задачi ... 193
З цiєї нерiвностi випливає потрiбна оцiнка (29), оскiльки
‖χΛ(u, v)‖Es−2q,ϕ(Ω,Γ) = ‖χηΛ(u, v)‖Es−2q,ϕ(Ω,Γ) ≤
≤ c4‖ηΛ(u, v)‖Es−2q,ϕ(Ω,Γ).
Теорему 3 доведено у випадку, коли λ = 1. Звiсно, її висновок
правильний i якщо 0 < λ < 1.
Доведемо тепер цю теорему у випадку, коли
1 < λ < s−m+ 1/2. (48)
Для кожного дiйсного числа l ≥ 1 позначимо через Kl твердже-
ння теореми 3 у випадку, коли λ = l i фiксоване ϕ ∈M. А саме,
Kl позначає таке твердження: для довiльних числа s > m+ 1/2 i
функцiй χ, η ∈ C∞(Ω), якi задовольняють умови l < s−m+ 1/2
i η = 1 в околi suppχ, iснує число c = c(s, ϕ, l, χ, η) > 0 таке, що
для довiльного вектора (u, v) ∈ Ds,ϕ(Ω,Γ) виконується нерiвнiсть
(29) з λ = l. Iстиннiсть твердження K1 доведена вище. Довiльно
виберемо дiйснi числа l ≥ 1 i δ ∈ (0, 1]. Доведемо, що Kl ⇒ Kl+δ.
Припустимо, що твердження Kl iстинне. Нехай число s > m+
1/2 i функцiї χ, η ∈ C∞(Ω) задовольняють умови l + δ < s −
m + 1/2 i η = 1 в околi suppχ. Тодi знайдеться функцiя η1 ∈
C∞(Ω) така, що η1 = 1 в околi suppχ i η = 1 в околi supp η1.
За припущенням, iснує число c5 > 0 таке, що для довiльного
вектора (u, v) ∈ Ds,ϕ(Ω,Γ) виконується оцiнка
‖χ(u, v)‖Ds,ϕ(Ω,Γ) ≤ c5
(
‖η1Λ(u, v)‖Es−2q,ϕ(Ω,Γ)+
+‖η1(u, v)‖Ds−l,ϕ(Ω,Γ)
)
.
(49)
Оскiльки s − l − δ + 1 > m + 1/2, то на пiдставi твердження K1
маємо оцiнку
‖η1(u, v)‖Ds−l,ϕ(Ω,Γ) ≤ ‖η1(u, v)‖Ds−l−δ+1,ϕ(Ω,Γ) ≤
≤ c6
(
‖ηΛ(u, v)‖Es−l−δ+1−2q,ϕ(Ω,Γ) + ‖η(u, v)‖Ds−l−δ,ϕ(Ω,Γ)
)
.
(50)
194 Т. М. Касiренко, I. С. Чепурухiна
Окрiм того,
‖η1Λ(u, v)‖Es−2q,ϕ(Ω,Γ) = ‖η1ηΛ(u, v)‖Es−2q,ϕ(Ω,Γ) ≤
≤ c7‖ηΛ(u, v)‖Es−2q,ϕ(Ω,Γ).
(51)
На пiдставi оцiнок (49) – (51) запишемо
‖χ(u, v)‖Ds,ϕ(Ω,Γ) ≤ c5c7‖ηΛ(u, v)‖Es−2q,ϕ(Ω,Γ)+
+c5c6
(
‖ηΛ(u, v)‖Es−2q,ϕ(Ω,Γ) + ‖η(u, v)‖Ds−l−δ,ϕ(Ω,Γ)
)
,
тобто отримано нерiвнiсть (29) з λ = l+ δ. Iмплiкацiя Kl ⇒ Kl+δ
обґрунтована.
Тепер можемо довести теорему 3 у випадку (48). За доведе-
ним, правильний ланцюжок iмплiкацiй
K1 ⇒ K2 ⇒ . . .⇒ K[λ] ⇒ Kλ,
де твердження K1 iстинне, а Kλ є твердженням теореми 3 у дослi-
джуваному випадку (як звичайно, [λ] — цiла частина числа λ).
Теорему 3 доведено.
У зауваженнi 1 потребують обґрунтування друге i останнє ре-
чення. Друге речення обґрунтоване у першому абзацi доведення
цiєї теореми, а останнє речення є прямим наслiдком оцiнки (47).
Доведення теореми 4. Спочатку доведемо цю теорему у гло-
бальному випадку, коли Ω0 = Ω i Γ0 = Γ. За умовою, (u, v) ∈
Dl(Ω,Γ) для деякого дiйсного числа l > m + 1/2 i, окрiм того,
(f, g) ∈ Es−2q,ϕ(Ω,Γ). Тому
(f, g) = Λ(u, v) ∈ Es−2q,ϕ(Ω,Γ) ∩ Λ(Dl(Ω,Γ)) = Λ(Ds,ϕ(Ω,Γ))
на пiдставi теореми 1. Отже, поряд з умовою Λ(u, v) = (f, g)
виконується рiвнiсть Λ(u′, v′) = (f, g) для деякого (u′, v′) ∈
Ds,ϕ(Ω,Γ). Тому Λ(u−u′, v− v′) = 0, де (u−u′, v− v′) ∈ Dl(Ω,Γ).
Це за теоремою 1, у якiй беремо l замiсть s i покладаємо ϕ(·) ≡ 1,
тягне за собою включення
(u− u′, v − v′) ∈ N ⊂ C∞(Ω)× (C∞(Γ))κ.
Елiптичнi за Лавруком задачi ... 195
Отже,
(u, v) = (u′, v′) + (u− u′, v − v′) ∈ Ds,ϕ(Ω,Γ).
Теорему 4 доведено у дослiджуваному випадку.
Виведемо з цього випадку теорему 4 у загальнiй ситуацiї. По-
передньо доведемо, що за умови цiєї теореми виконується така
iмплiкацiя для кожного дiйсного числа σ > m+ 1/2:
(u, v) ∈ Dσ,ϕloc (Ω0,Γ0) ⇒ (u, v) ∈ Dmin{σ+1,s},ϕ
loc (Ω0,Γ0). (52)
Припустимо, що виконується посилка цiєї iмплiкацiї для де-
якого σ > m+ 1/2. Виберемо довiльним чином функцiї χ i η такi
як у теоремi 3. Згiдно з формулою (45) маємо рiвнiсть
Λ(χ(u, v)) = χ(f, g) + Λ′(η(u, v)).
Тут χ(f, g) ∈ Es−2q,ϕ(Ω,Γ) за умовою i
Λ′(η(u, v)) ∈ Eσ−2q+1,ϕ(Ω,Γ)
на пiдставi посилки iмплiкацiї та властивостей порядкiв компо-
нент оператора Λ′, зазначених у доведеннi теореми 3. Отож,
Λ(χ(u, v)) ∈ Emin{σ+1,s}−2q,ϕ(Ω,Γ).
Звiдси, за теоремою 4 у вже доведеному глобальному випадку,
випливає включення
χ(u, v) ∈ Dmin{σ+1,s},ϕ(Ω,Γ).
Таким чином,
(u, v) ∈ Dmin{σ+1,s},ϕ
loc (Ω0,Γ0)
з огляду на довiльнiсть нашого вибору функцiї χ. Iмплiкацiю
(52) доведено.
Оскiльки (u, v) ∈ Dm+1/2+(Ω,Γ) за умовою, то
(u, v) ∈ Dl,ϕ(Ω,Γ) ⊂ Dl,ϕloc(Ω0,Γ0)
196 Т. М. Касiренко, I. С. Чепурухiна
для деякого числа l ∈ (m+1/2, s). Застосувавши iмплiкацiю (52)
[s − l] + 1 разiв послiдовно для значень σ = l, σ = l + 1, ...,
σ = l + [s− l], отримаємо такi спiввiдношення:
(u, v) ∈ Dl,ϕloc(Ω0,Γ0) ⇒
⇒ (u, v) ∈ Dmin{l+1,s},ϕ
loc (Ω0,Γ0) = Dl+1,ϕ
loc (Ω0,Γ0) ⇒ . . .
⇒ (u, v) ∈ Dmin{l+[s−l]+1,s},ϕ
loc (Ω0,Γ0) = Ds,ϕloc (Ω0,Γ0).
Теорему 4 доведено.
Доведення теореми 5. Розглянемо спочатку випадок, коли
l + n/2 > m + 1/2. Тодi, на пiдставi теореми 4, з умови (31)
випливає включення u ∈ H l+n/2,ϕ
loc (Ω0,Γ0). Довiльно виберемо то-
чку x ∈ Ω0 ∪ Γ0 i функцiю χ ∈ C∞(Ω) таку, що suppχ ⊂ Ω0 ∪ Γ0
i χ = 1 у деякому околi V (x) (у топологiї на Ω) точки x. Згiдно
з твердженням 1 маємо включення χu ∈ H l+n/2,ϕ(Ω) ⊂ C l(Ω).
Тому u ∈ C l(V (x)). Звiдси, з урахуванням довiльностi вибору
точки x ∈ Ω0 ∪ Γ0, робимо висновок, що u ∈ C l(Ω0 ∪ Γ0).
Дослiдимо тепер випадок, коли l + n/2 ≤ m + 1/2. Оскiльки,
за умовою, (u, v) ∈ Dm+1/2+(Ω,Γ), то u ∈ Hm+1/2+ε(Ω) для де-
якого ε > 0. Отож, у цьому випадку u ∈ H l+n/2+ε(Γ) ⊂ C l(Ω) за
теоремою вкладення Соболєва. Отже, i поготiв u ∈ C l(Ω0 ∪ Γ0).
Теорему 5 доведено.
Доведення теореми 6. Розглянемо спочатку випадок, коли
l − rk + n/2 > m + 1/2. Тодi, на пiдставi теореми 4, з умови
(32) випливає включення (u, v) ∈ Dl−rk+n/2,ϕ
loc (Ω0,Γ0). Зокрема,
vk ∈ H
l+(n−1)/2,ϕ
loc (Γ0). Довiльно виберемо точку x ∈ Γ0 i фун-
кцiю χ ∈ C∞(Γ) таку, що suppχ ⊂ Γ0 i χ = 1 в деякому околi
V (x) ⊂ Γ точки x. На пiдставi твердження 1 маємо включення
χvk ∈ H l+(n−1)/2,ϕ(Γ) ⊂ C l(Γ). Отже, vk ∈ C l(V (x)). Звiдси, з
урахуванням довiльностi вибору точки x ∈ Γ0, випливає потрi-
бна властивiсть vk ∈ C l(Γ0).
Дослiдимо тепер випадок, коли l−rk+n/2 ≤ m+1/2. Оскiль-
ки, за умовою, (u, v) ∈ Dm+1/2+(Ω,Γ), то vk ∈ Hm+rk+ε(Ω) для
Елiптичнi за Лавруком задачi ... 197
деякого ε > 0. Отже, у цьому випадку vk ∈ H l+(n−1)/2+ε(Γ) ⊂
C l(Γ) за теоремою вкладення Соболєва. Отож, i поготiв vk ∈
C l(Γ0).
Теорему 6 доведено.
Доведення теореми 7. Включення u ∈ C2q(Ω) є наслiдком
умови (35) на пiдставi теореми 5, у якiй покладаємо l := 2q,
ϕ := ϕ1, Ω0 := Ω i Γ0 := ∅. Включення u ∈ Cm(Uσ ∪ Γ) є на-
слiдком умови (35) на пiдставi теореми 5, у якiй беремо l := m,
ϕ := ϕ1, Ω0 := Uσ i Γ0 := Γ. Включення vk ∈ Cm+rk(Γ) є наслiд-
ком умови (36) на пiдставi теореми 6, у якiй беремо l := m+ rk,
ϕ := ϕ2 i Γ0 := Γ. Таким чином, розв’язок (u, v) класичний.
Теорему 7 доведено.
На завершення цього пункту обґрунтуємо зауваження 2. Не-
хай 0 ≤ l ∈ Z i ϕ ∈ M. Доведемо спочатку еквiвалентнiсть
(30)⇔ (33) за умови l+n/2 > m+1/2. З огляду на теорему 5 за-
лишається показати, що (33)⇒ (30). Припустимо, що (33) iстин-
не. Нехай Ω1 — деяка вiдкрита куля у просторi Rn, замикання
якої лежить в Ω0. Для довiльного розподiлу w ∈ H l+n/2,ϕ(Rn)
розглянемо вектор (u, v), де u := w �Ω, а v := 0. Вектор
(u, v) ∈ Dl+n/2,ϕ(Ω,Γ) ⊂ Dm+1/2+(Ω,Γ)
задовольняє умову теореми 5, а тому u ∈ C l(Ω0 ∪ Γ0) згiдно iз
зробленим припущенням. Отже,
H l+n/2,ϕ(Ω1) =
{
w �Ω1 : w ∈ H l+n/2,ϕ(Rn)
}
⊂ C l(Ω1).
Це вкладення тягне за собою умову (30) на пiдставi тверджен-
ня 1, де замiсть Ω беремо кулю Ω1. Таким чином, (33)⇒ (30).
Припустимо тепер, що k ∈ {1, ...,κ}, Γ0 6= ∅ i l − rk + n/2 >
m + 1/2. Доведемо еквiвалентнiсть (30) ⇔ (34). З огляду на те-
орему 6 залишається показати, що (34)⇒ (30). Припустимо, що
(34) iстинне. Нехай W — деяка вiдкрита непорожня пiдмножина
межi Γ така, що W ⊂ Γ0 ∩Γj для деякого j ∈ {1, . . . , λ}. Тут, на-
гадаємо, πj : Rn−1 ↔ Γj є локальною картою на многовидi Γ, яка
198 Т. М. Касiренко, I. С. Чепурухiна
використана в означеннi просторiв Хермандера на Γ. Розглянемо
довiльний розподiл h ∈ H l+(n−1)/2,ϕ(Rn−1) такий, що supph ⊂ U ,
де U := π−1
j (W ) — вiдкрита пiдмножина простору Rn−1. Розгля-
немо вектор (u, v) := (u, v1, . . . , vκ), де u := 0, vk := Θj(h ◦ π−1
j ) i
vi := 0 при i 6= k. Тут Θj — оператор продовження нулем фiнi-
тного розподiлу з пiдмножини Γj на увесь многовид Γ. Вектор
(u, v) ∈ Dl−rk+n/2,ϕ(Ω,Γ) ⊂ Dm+1/2+(Ω,Γ)
задовольняє умову теореми 6 й тому vk ∈ C l(Γ0) згiдно зробле-
ного припущення. Отже, h = vk ◦ πj ∈ C l(Rn−1). Нехай U1 —
вiдкрита пiдмножина простору Rn−1 така, що U1 ⊂ U . Оскiль-
ки простiр H l+(n−1)/2,ϕ(U1) складається зi звужень на U1 усiх
розглянутих розподiлiв h, то
H l+(n−1)/2,ϕ(U1) ⊂ C l(Ω1).
Це вкладення тягне за собою умову (30) на пiдставi тверджен-
ня 1, де замiсть Ω беремо кулю U1, а замiсть n беремо n − 1.
Таким чином, (34)⇒ (30).
Зауваження 2 обґрунтоване.
7. Висновки
У статтi дослiджено елiптичну за Лавруком задачу з крайовими
операторами високих порядкiв в уточненiй соболєвськiй шкалi.
Доведено, що цiй задачi вiдповiдають нетеровi обмеженi опера-
тори, якi дiють у вiдповiдних парах просторiв Хермандера (тео-
рема 1) та породжують iзоморфiзми мiж їх пiдпросторами скiн-
ченної ковимiрностi (теорема 2). Встановлено локальну апрiорну
оцiнку узагальнених розв’язкiв задачi (теорема 3). Дослiджено
регулярнiсть узагальнених розв’язкiв в уточненiй соболєвськiй
шкалi (теорема 4). Як застосування уточненої соболєвської шка-
ли, знайдено новi достатнi умови неперервностi узагальнених по-
хiдних (заданого порядку) розв’язкiв дослiджуваної задачi (тео-
Елiптичнi за Лавруком задачi ... 199
реми 5 i 6) та умову класичностi узагальненого розв’язку задачi
(теорема 7).
Автори дякують О. О. Мурачу за керiвництво роботою.
Лiтература
[1] Lawruk B. On parametric boundary value problems for elliptic
systems of linear differential equations, I // Bull. Polish. Acad. Sci.
Math. – 1963. – 11, No. 5. – P. 257–267.
[2] Lawruk B. On parametric boundary value problems for elliptic
systems of linear differential equations, II // Bull. Polish. Acad. Sci.
Math. – 1963. – 11, No. 5. – P. 266–278.
[3] Lawruk B. On parametric boundary value problems for elliptic
systems of linear differential equations, III // Bull. Polish. Acad. Sci.
Math. – 1965. – 13, No. 2. – P. 105–110.
[4] Асланян А. Г., Васильев Д. Г., Лидский В. Б. Частоты свободных
колебаний тонкой оболочки, взаимодействующей з жидкостью //
Функц. анализ и его прилож. – 1981. — 15, № 3. – С. 1–9.
[5] Ciarlet P. G. Plates and junctions in ellastic multistructures. An
asymptotic analysis. – Paris: Mayson, 1990. – viii+215 p.
[6] Nazarov S., Pileckas K. On noncompact free boundary problems for
the plane stationary Navier–Stokes equations // J. Reine Angew.
Math. – 1993. – 438. – P. 103–141.
[7] Kozlov V. A., Maz’ya V. G., Rossmann J. Elliptic Boundary Value
Problems in Domains with Point Singularities. – Providence: Amer.
Math. Soc., 1997. – 414 p.
[8] Ройтберг И. Я. Эллиптические граничные задачи для общих си-
стем уравнений в полных шкалах банаховых пространств // До-
клады Академии Наук. – 1997. – 354, № 1. – С. 25–29.
[9] Roitberg I. Ya. Elliptic boundary value problems for general elliptic
systems in complete scales of Banach spaces // Oper. Theory: Adv.
and Appl. – 1998. – 102. – P. 231–241.
200 Т. М. Касiренко, I. С. Чепурухiна
[10] Roitberg Ya. A. Elliptic boundary value problems in the spaces of
distributions. – Dordrecht: Kluwer Acad. Publisher, 1999. – x+276 p.
[11] Hörmander L. Linear Partial Differential Operators. – Berlin: Spri-
nger, 1963. – 285 p. (Переклад росiйською: Хермандер Л. Линей-
ные дифференциальные операторы с частными производными. –
Москва: Мир, 1965. – 380 с.)
[12] Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов
с частными производными. Т. 2. Дифференциальные операторы
с постоянными коэффициентами. – Москва: Мир, 1986. – 456 с.
[13] Mikhailets V. A., Murach A. A. Hörmander spaces, interpolation, and
elliptic problems. – Berlin, Boston: De Gruyter, 2014. – xii+297 p.
(Видання росiйською доступне як arXiv:1106.3214.)
[14] Nicola F., Rodino L. Global Pseudodifferential Calculas on Euclidean
spaces. – Basel: Birkhäser, 2010. – x+306 p.
[15] Paneah B. The oblique derivative problem. The Poincaré problem.–
Berlin: Wiley–VCH, 2000. – 348 p.
[16] Михайлец В. А., Мурач А. А. Эллиптические операторы в
уточненной шкале функциональных пространств // Укр. мат.
журн. – 2005. – 57, № 5 – С. 689–696.
[17] Михайлец В. А., Мурач А. А. Уточненные шкалы пространств и
эллиптические краевые задачи. II // Укр. мат. журн. – 2006. – 58,
№ 3. – С. 352–370.
[18] Михайлец В. А., Мурач А. А. Уточненные шкалы пространств и
эллиптические краевые задачи. III // Укр. мат. журн. – 2007. –
59, № 5. – С. 679–701.
[19] Михайлец В. А., Мурач А. А. Регулярная эллиптическая грани-
чная задача для однородного уравнения в двусторонней уточнен-
ной шкале пространств // Укр. мат. журн. – 2006. – 58, № 11. –
С. 1536–1555.
[20] Михайлец В. А., Мурач А. А. Эллиптический оператор с одноро-
дными регулярными граничными условиями в двусторонней уто-
чненной шкале пространств // Укр. мат. вiсник. – 2006. – 3, № 4. –
С. 547–580.
Елiптичнi за Лавруком задачi ... 201
[21] Михайлец В. А., Мурач А. А. Эллиптическая краевая задача в
двусторонней уточненной шкале пространств // Укр. мат. журн. –
2008. – 60, № 4. – С. 497–520.
[22] Mikhailets V. A., Murach A. A. The refined Sobolev scale, interpo-
lation, and elliptic problems // Banach J. Math. Anal. – 2012. – 6,
No. 2. – P. 211–281.
[23] Аноп А. В. Загальна елiптична крайова задача в розширенiй со-
болєвськiй шкалi // Доп. НАН України. – 2014. – № 4. – С. 7–14.
[24] Аноп А. В., Мурач А. А. Регулярные эллиптические краевые зада-
чи в расширенной соболевской шкале // Укр. мат. журн. – 2014. –
66, № 7. – С. 867–883.
[25] Anop A. V., Murach A. A. Parameter-elliptic problems and
interpolation with a function parameter // Methods Funct. Anal.
Topology. – 2014. — 20, No 2. – P. 103–116.
[26] Anop A. V., Kasirenko T. M. Elliptic boundary-value problems in
Hörmander spaces // Methods Funct. Anal. Topology. – 2016. – 22,
№ 4. – P. 295–310.
[27] Касiренко Т. М., Мурач О. О. Елiптичнi задачi з крайовими умо-
вами високих порядкiв у просторах Хермандера // Укр. мат.
журн. – 2017. – 69, № 11. – С. 1486–1504.
[28] Чепурухiна I. С. Про деякi класи елiптичних крайових задач у
просторах узагальненої гладкостi // Диференцiальнi рiвняння i
сумiжнi питання. Зб-к праць Iн-ту математики НАН України. –
Т. 11, № 2. – Київ: Iн-т математики НАН України, 2014. – С. 284–
304.
[29] Chepurukhina I. S., Murach A. A. Elliptic problems in the sense of
B. Lawruk on two-sided refined scale of spaces. – Methods Funct.
Anal. Topology. – 2015. – 21, No 1. – P. 6–21.
[30] Chepurukhina I. S., Murach A. A. Elliptic boundary-value problems
in the sense of Lawruk on Sobolev and Hörmander spaces // Укр.
мат. журн. – 2015. – 67, № 5. – С. 672–691.
[31] Чепурухiна I. С. Елiптичнi крайовi задачi за Б. Лавруком у роз-
ширенiй соболєвськiй шкалi // Диференцiальнi рiвняння i сумi-
жнi питання. Зб-к праць Iн-ту математики НАН України. – Т. 12,
№ 2. – Київ: Iн-т математики НАН України, 2015. – С. 338–374.
202 Т. М. Касiренко, I. С. Чепурухiна
[32] Чепурухiна I. С. Напiводнорiдна елiптична задача з додаткови-
ми невiдомими функцiями у крайових умовах / I. С. Чепурухi-
на // Доповiдi НАН України. Матем. Природозн. Технiчнi нау-
ки. – 2015. – № 7. – C. 20 – 29.
[33] Вентцель A. Д. О граничных условиях для многомерных диф-
фузионных процессов // Теория вероятн. и ее примен. – 1959. –
4. – P. 172 – 185.
[34] Красильников В. Н. О решении некоторых гранично-контактных
задач линейной гидродинамики // Прикл. мат. мех. – 1961. – 25,
№ 4. – С. 764 – 768.
[35] Вешев В.А., Коузов Д.П. О влиянии среды на колебания пла-
стин, сочлененных под прямым углом // Акустический жуpнал. –
1977. – 23, № 3. – С. 368 – 377.
[36] Функциональный анализ / Под общ. ред. С. Г. Крейна. – Москва:
Наука, 1972. – 544 с.
[37] Karamata J. Sur certains "Tauberian theorems" de M. M. Hardy et
Littlewood // Mathematica (Cluj). – 1930. – 3. – P. 33–48.
[38] Сенета Е. Правильно меняющиеся функции. – Москва: Наука,
1985. – 144 с.
[39] Bingham N. H., Goldie C. M., Teugels J. L. Regular Variation. –
Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1989. – 512 p.
[40] Волевич Л.Р., Панеях Б.П. Некоторые пространства обобщенных
функций и теоремы вложения // Успехи мат. наук. – 1965. – 20,
№ 1. – С. 3–74.
[41] Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов
с частными производными. Т. 3. Псевдодифференциальные опе-
раторы. – Москва: Мир, 1987. – 696 с.
[42] Лионс Ж.-Л. Неоднородные граничные задачи и их приложе-
ния. – Москва: Мир, 1971. – 372 с.
[43] Roitberg Ya. A. Elliptic boundary value problems in the spaces of
distributions. – Dordrecht: Kluwer Acad. Publisher, 1996. – xii+415 p.
[44] Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Основные положения о дефектных
числах, корневых векторах и индексах линейных операторов //
Успехи мат. наук. – 1957. – 12, № 2. – С. 43–118.
Елiптичнi за Лавруком задачi ... 203
[45] Peetre J. Another approach to elliptic boundary problems //
Commun. Pure and Appl. Math. – 1961. – 14, № 4. – P. 711 – 731.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-317 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:05:33Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/77/19ff0fb3f231540dc1e4b61c536e7777.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-3172018-02-13T13:12:44Z Elliptic problems in the sense of Lawruk with boundary operators of higher orders in refined Sobolev scale Еліптичні за Лавруком задачі з крайовими операторами вищих порядків в уточненій соболєвській шкалі Kasirenko, T. M. Chepurukhina, I. S. Касіренко, Т. М. Чепурухіна, І. С. In a refined Sobolev scale, we investigate an elliptic boundary-value problem with additional unknown functions in boundary conditions for which the maximum of orders of boundary operators is grater than or equal to the order of the elliptic equation. This scale consists of inner product Hörmander spaces whose order of regularity is given by a real number and a function varying slowly at infinity in the sense of Karamata. We prove a theorem on the Fredholm property of a bounded operator corresponding to this problem in the refined Sobolev scale. For the generalized solutions to the problem, we establish a local a priory estimate and prove a theorem about their regularity in Hörmander spaces. We find sufficient conditions under which given generalized derivatives of the solutions are continuous. В уточненій соболєвській шкалі досліджено еліптичну крайову задачу з додатковими невідомими функціями у крайових умовах, для яких максимум порядків крайових операторів більший за порядок еліптичного рівняння, або рівний йому. Ця шкала складається з гільбертових просторів Хермандера, для яких показником регулярності служать дійсне число і функція, повільно змінна на нескінченності за Караматою. Доведено теорему про нетеровість обмеженого оператора, відповідного цій задачі, в уточненій соболєвській шкалі. Для узагальнених розв'язків задачі встановлено локальну апріорну оцінку та доведено теорему про їх регулярність у просторах Хермандера. Знайдено достатні умови неперервності заданих узагальнених похідних розв'язків. Інститут математики НАН України 2017-11-28 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/317 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 14 No. 3 (2017): Differential equations and related problems of analysis; 161-203 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 14 № 3 (2017): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 161-203 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 14 № 3 (2017): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 161-203 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/317/300 Авторське право (c) 2017 Т. М. Касіренко, І. С. Чепурухіна |
| spellingShingle | Kasirenko, T. M. Chepurukhina, I. S. Касіренко, Т. М. Чепурухіна, І. С. Elliptic problems in the sense of Lawruk with boundary operators of higher orders in refined Sobolev scale |
| title | Elliptic problems in the sense of Lawruk with boundary operators of higher orders in refined Sobolev scale |
| title_alt | Еліптичні за Лавруком задачі з крайовими операторами вищих порядків в уточненій соболєвській шкалі |
| title_full | Elliptic problems in the sense of Lawruk with boundary operators of higher orders in refined Sobolev scale |
| title_fullStr | Elliptic problems in the sense of Lawruk with boundary operators of higher orders in refined Sobolev scale |
| title_full_unstemmed | Elliptic problems in the sense of Lawruk with boundary operators of higher orders in refined Sobolev scale |
| title_short | Elliptic problems in the sense of Lawruk with boundary operators of higher orders in refined Sobolev scale |
| title_sort | elliptic problems in the sense of lawruk with boundary operators of higher orders in refined sobolev scale |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/317 |
| work_keys_str_mv | AT kasirenkotm ellipticproblemsinthesenseoflawrukwithboundaryoperatorsofhigherordersinrefinedsobolevscale AT chepurukhinais ellipticproblemsinthesenseoflawrukwithboundaryoperatorsofhigherordersinrefinedsobolevscale AT kasírenkotm ellipticproblemsinthesenseoflawrukwithboundaryoperatorsofhigherordersinrefinedsobolevscale AT čepuruhínaís ellipticproblemsinthesenseoflawrukwithboundaryoperatorsofhigherordersinrefinedsobolevscale AT kasirenkotm elíptičnízalavrukomzadačízkrajovimioperatoramiviŝihporâdkívvutočneníjsobolêvsʹkíjškalí AT chepurukhinais elíptičnízalavrukomzadačízkrajovimioperatoramiviŝihporâdkívvutočneníjsobolêvsʹkíjškalí AT kasírenkotm elíptičnízalavrukomzadačízkrajovimioperatoramiviŝihporâdkívvutočneníjsobolêvsʹkíjškalí AT čepuruhínaís elíptičnízalavrukomzadačízkrajovimioperatoramiviŝihporâdkívvutočneníjsobolêvsʹkíjškalí |