Estimates for the entropy numbers of the classes $B^{\Omega}_{p,\theta}$ of periodic functions of many variables
We obtain the order estimates for the entropy numbers of the classes $B^{\Omega}_{p,\theta}$ of periodic functions of many variables in the space $L_q$ with certain relations between the parameters $p$ and $q$.
Saved in:
| Date: | 2017 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2017
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/319 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552825197690880 |
|---|---|
| author | Konograi, A. F. Musienko, A. P. Конограй, А. Ф. Мусієнко, А. П. |
| author_facet | Konograi, A. F. Musienko, A. P. Конограй, А. Ф. Мусієнко, А. П. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "А. Ф. Конограй",
"institution": "Інститут математики НАН України"
},
{
"author": "А. П. Мусієнко",
"institution": "Київський національний університет імені Тараса Шевченка"
}
] |
| author_sort | Konograi, A. F. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-02-13T13:12:44Z |
| description | We obtain the order estimates for the entropy numbers of the classes $B^{\Omega}_{p,\theta}$ of periodic functions of many variables in the space $L_q$ with certain relations between the parameters $p$ and $q$. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:05:35Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2017, т. 14, № 3, 222–239
УДК 517.5
А.Ф. Конограй 1, А.П. Мусiєнко 2
1 Iнститут математики НАН України, Київ; Konogray@i.ua,
2 Київський нацiональний унiверситет iм. Тараса Шевченка,
Київ; mysienkoandrey@gmail.com
Оцiнки ентропiйних чисел класiв BΩ
p,θ
перiодичних функцiй багатьох
змiнних
We obtain the order estimates for the entropy numbers of the classes
BΩ
p,θ of periodic functions of many variables in the space Lq with
certain relations between the parameters p and q.
Знайдено порядковi оцiнки ентропiйних чисел класiв BΩ
p,θ перiо-
дичних функцiй багатьох змвнних у просторi Lq для деяких спiв-
вiдношень мiж параметрами p i q.
1. Вступ
Нехай Rd, d ≥ 1, — d-вимiрний евклiдiв простiр з елементами
x = (x1, ..., xd), y = (y1, ..., yd), (x, y) = x1y1 + ... + xdyd i Lp(πd),
πd =
d∏
j=1
[0; 2π], — простiр 2π-перiодичних за кожною змiнною i
c© А.Ф. Конограй, А.П. Мусiєнко, 2017
Оцiнки ентропiйних чисел класiв BΩ
p,θ перiодичних функцiй... 223
сумовних у степенi p, 1 ≤ p < ∞ (вiдповiдно суттєво обмеже-
них при p =∞), на кубi πd функцiй f(x) = f(x1, ..., xd), норма в
якому визначається таким чином:
‖f‖Lp(πd) = ‖f‖p =
(
(2π)−d
∫
πd
|f(x)|pdx
) 1
p
, 1 ≤ p <∞,
‖f‖L∞(πd) = ‖f‖∞ = ess sup
x∈πd
|f(x)|.
Всюди далi будемо вважати, що для функцiй f ∈ Lp(πd) ви-
конується додаткова умова
2π∫
0
f(x)dxj = 0 , j = 1, d.
Для f ∈ Lp(πd), 1 ≤ p ≤ ∞, i t = (t1, ..., td), tj ≥ 0, j = 1, d,
розглянемо мiшаний модуль неперервностi порядку l
Ωl(f, t)p = sup
|hj |≤tj
j=1,d
||∆l
hf(·)||p ,
де l ∈ N, ∆l
hf(x) = ∆l
h1
. . .∆l
hd
f(x) = ∆l
hd
(. . . (∆l
h1
f(x))) — змi-
шана рiзниця порядку l з векторним кроком h = (h1, ..., hd), а
рiзниця l–го порядку з кроком hj за змiнною xj визначається
наступним чином:
∆l
hj
f(x) =
l∑
n=0
(−1)l−nCnl f(x1, . . . , xj−1, xj + nhj , xj+1, . . . , xd).
Нехай Ω(t) = Ω(t1, . . . , td) — задана функцiя типу змiшаного
модуля неперервностi порядку l, яка задовольняє такi умови:
1) Ω(t) > 0, tj > 0, j = 1, d i Ω(t) = 0, якщо
d∏
j=1
tj = 0;
224 А.Ф. Конограй, А.П. Мусiєнко
2) Ω(t) не спадає по кожнiй змiннiй tj > 0, j = 1, d, при до-
вiльних фiксованих значеннях iнших змiнних ti, i 6= j;
3) Ω(m1t1, . . . ,mdtd) ≤
(
d∏
j=1
mj
)l
Ω(t), mj ∈ N, j = 1, d;
4) Ω(t) неперервна при tj ≥ 0, j = 1, d .
Множину таких функцiй Ω позначимо через Ψl.
Додатково будемо вимагати, щоб функцiї Ω задовольняли
умови (Sα) та (Sl), якi називають умовами Барi–Стєчкiна [1].
Це означає наступне.
Функцiя однiєї змiнної ϕ(τ) ≥ 0 задовольняє умову (Sα), α > 0
якщо ϕ(τ)/τα майже зростає при τ > 0, тобто iснує така незале-
жна вiд τ1 i τ2 стала C1 > 0, що
ϕ(τ1)
τα1
≤ C1
ϕ(τ2)
τα2
, 0 < τ1 ≤ τ2.
Функцiя однiєї змiнної ϕ(τ) ≥ 0 задовольняє умову (Sl), якщо
iснує γ, 0 < γ < l, таке, що ϕ(τ)/τγ майже спадає при τ > 0,
тобто iснує така незалежна вiд τ1 i τ2 стала C2 > 0, що
ϕ(τ1)
τγ1
≥ C2
ϕ(τ2)
τγ2
, 0 < τ1 ≤ τ2.
Будемо вважати, що Ω(t) задовольняє умови (Sα) та (Sl),
якщо Ω(t) задовольняє цi умови за кожною змiнною tj при всiх
можливих фiксованих ti, i 6= j. У випадку, коли для Ω викона-
на умова (Sα), будемо говорити, що Ω належить множинi Sα, а
якщо умова (Sl), то — множинi Sl. Стверджуючи це (також i для
функцiї ω однiєї змiнної), будемо використовувати запис Ω ∈ Φα,l
(вiдповiдно ω ∈ Φα,l), l ∈ N, де множина Φα,l визначається спiв-
вiдношенням Φα,l = Ψl ∩ Sα ∩ Sl.
Варто зазначити, що до множини Φα,l належать, наприклад,
Оцiнки ентропiйних чисел класiв BΩ
p,θ перiодичних функцiй... 225
функцiї
Ω(t) = Ω(t1, ..., td) =
d∏
j=1
trj(
log 1
tj
)bj
+
, якщо tj > 0, j = 1, d;
0, якщо
d∏
j=1
tj = 0,
де (log τ)+ = max{1; log τ}, rj , bj ∈ R, 0 < rj < l, j = 1, d.
Для заданої функцiї Ω ∈ Ψl означимо клас функцiй BΩ
p,θ,
1 ≤ p ≤ ∞, 1 ≤ θ ≤ ∞, наступним чином [2]:
BΩ
p,θ =
{
f ∈ Lp(πd) : ||f ||BΩ
p,θ
≤ 1
}
,
де
||f ||BΩ
p,θ
=
{∫
πd
(
Ωl(f, t)p
Ω(t)
)θ d∏
j=1
dtj
tj
} 1
θ
, 1 ≤ θ <∞,
||f ||BΩ
p,∞
= sup
t>0
Ωl(f, t)p
Ω(t)
,
(запис t > 0 для t = (t1, ..., td) рiвносильний tj > 0, j = 1, d).
Зазначимо, що при θ = ∞ класи BΩ
p,θ спiвпадають з класами
HΩ
p , якi були розглянутi М. М. Пустовойтовим в [3].
Зауважимо також, що при r = (r1, ..., rd), 0 < rj < l, j = 1, d, i
Ω(t) =
d∏
j=1
t
rj
j класи BΩ
p,θ є аналогами вiдомих класiв Бєсова Br
p,θ,
1 ≤ θ <∞, та Нiкольського Br
p,∞ = Hr
p (див., наприклад, [4]).
Для подальших мiркувань будемо використовувати еквiвален-
тнi (з точнiстю до абсолютних сталих) означення норм функцiй
з класiв BΩ
p,θ.
226 А.Ф. Конограй, А.П. Мусiєнко
Нехай Vn(t), n ∈ N, t ∈ R, позначає ядро Валле-Пуссена по-
рядку 2n− 1, тобто
Vn(t) = 1 + 2
n∑
k=1
cos kt+ 2
2n−1∑
k=n+1
(
1− k − n
n
)
cos kt.
Кожному вектору s = (s1, . . . , sd), sj ∈ N, j = 1, d, поставимо у
вiдповiднiсть полiном
As(x) =
d∏
j=1
(
V2sj (xj)− V2sj−1(xj)
)
i для f ∈ Lp(πd), 1 ≤ p ≤ ∞, через As(f, x) позначимо згортку
As(f, x) = f ∗As.
Нехай 1 ≤ p ≤ ∞, 1 ≤ θ ≤ ∞ i Ω ∈ Φα,l, α > 0, l ∈ N, тодi
з точнiстю до абсолютних сталих класи BΩ
p,θ можна означити
наступним чином:
BΩ
p,θ=
{
f ∈Lp(πd) :‖f‖BΩ
p,θ
�
(∑
s
Ω−θ(2−s)‖As(f, ·)‖θp
) 1
θ
≤ 1
}
,
(1)
де 1 ≤ θ <∞ та
BΩ
p,∞ =
{
f ∈ Lp(πd) : ‖f‖BΩ
p,∞
� sup
s
‖As(f, ·)‖p
Ω(2−s)
≤ 1
}
, (2)
тут i надалi Ω(2−s) = Ω(2−s1 , ..., 2−sd), sj ∈ N, j = 1, d.
Зазначимо, що спiввiдношення (1) i (2) були отриманi в робо-
тах [5] i [3] вiдповiдно.
Надалi будемо вважати, що для двох невiд’ємних величин A
i B запис A � B означає, що iснують константи C3, C4 > 0 такi,
що C3A ≤ B ≤ C4A. Записи A � B або A � B, означають,
Оцiнки ентропiйних чисел класiв BΩ
p,θ перiодичних функцiй... 227
що C5A ≤ B i B ≤ C6A,C5, C6 > 0, вiдповiдно. Зауважимо та-
кож, що всi константи Ci, i = 1, 2, . . . , якi будуть зустрiчатися
в роботi, можуть залежати тiльки вiд параметрiв, що входять
в означення класу, метрики, в якiй оцiнюється похибка набли-
ження, та розмiрностi простору Rd. Через |N | будемо позначати
кiлькiсть елементiв множини N .
У роботi будемо розглядати класи BΩ
p,θ з функцiєю Ω спецi-
ального вигляду. Нехай ω — задана функцiя однiєї змiнної типу
модуля неперервностi порядку l, яка належить до множин Sα та
Sl. Покладемо
Ω(t) = ω
( d∏
j=1
tj
)
, tj ≥ 0.
Зрозумiло, що таким чином задана функцiя Ω буде належати
до множини Φα,l. Перейдемо тепер до означення дослiджуваної
апроксимативної характеристики.
Нехай X — банаховий простiр i BX (y, r) — куля X з радiусом
r i центром у точцi y, тобто
BX (y, r) = {x ∈ X : ‖x− y‖ ≤ r}.
Тодi величини (див., наприклад, [6])
εk(A,X ) = inf
{
ε : ∃y1, ..., y2k ∈ X : A ⊆
2k⋃
j=1
BX (yj , ε)
}
називаються ентропiйними числами множини A в просторi X .
Дослiдженню ентропiйних чисел, а також близьких до них
асимптотичних характеристик (ε–ємнiсть, ε–ентропiя та iн.) при-
свячено багато робiт. Початки цих дослiджень детально описано
у вступi роботи [7], де вiдзначається, що А. М. Колмогоров [8],
виходячи з результатiв робiт [9, 10] та популярних в той час за-
гальних iдей теорiї передачi iнформацiї, сформулював загальну
програму дослiдження ε–ентропiї та ε–ємностей цiкавих з точки
зору компактiв в функцiональних просторах. Вiдмiтимо, що в
228 А.Ф. Конограй, А.П. Мусiєнко
роботi [7] крiм оригiнальних результатiв наведено систематизо-
ваний виклад ряду результатiв, що вiдносяться до вiдповiдних
напрямкiв дослiджень i ранiше опублiкованi в роботах [8 – 14].
Серед подальших робiт, в яких вивчались ентропiйнi чи-
сла i ε–ентропiя класiв перiодичних функцiй багатьох змiнних
W r
p,α, H
r
p i Br
p,θ та їх аналогiв, вiдмiтимо роботи [15 – 31], де мо-
жна ознайомитись з бiльш детальною бiблiографiєю.
2. Допомiжнi твердження
Кожному вектору s = (s1, ..., sd), sj ∈ N, j = 1, d, поставимо у
вiдповiднiсть множину
ρ(s) =
{
k = (k1, ..., kd) : 2sj−1 ≤ |kj | < 2sj , kj ∈ Z \ {0}, j = 1, d
}
.
Для n ∈ N покладемо
Qn =
⋃
‖s‖1≤n
ρ(s), ∆Qn = Qn\Qn−1
i
Nn = {s = (s1, ..., sd), n− 1 < ‖s‖1 ≤ n, n ≥ d},
де ‖s‖1 = s1 + ...+ sd. Вiдмiтимо, що |∆Qn| � 2nnd−1.
Через SQn(f, ·) позначимо "схiдчасту" гiперболiчну суму
Фур’є функцiї f ∈ L1(πd) виду
SQn(f, ·) =
∑
‖s‖1≤n
δs(f, ·).
В прийнятих позначеннях має мiсце наступне твердження.
Теорема 1. [32]. Нехай 1 < p < q < ∞, 1 ≤ θ ≤ ∞, Ω(t) =
ω(t1 · . . . · td), де ω ∈ Φα,l, α > 1
p −
1
q , l ∈ N. Тодi має мiсце
спiввiдношення
sup
f∈BΩ
p,θ
‖f(·)− SQn(f, ·)‖q � ω(2−n)2
n( 1
p
− 1
q
)
n
(d−1)( 1
q
− 1
θ
)+ ,
де a+ = max{a, 0}.
Оцiнки ентропiйних чисел класiв BΩ
p,θ перiодичних функцiй... 229
Лема 2. Нехай f ∈ Lp(πd), 1 < p <∞. Тодi
‖
∑
s
δs(f, ·)‖p �
(∑
s
‖δs(f, ·)‖p
∗
p
) 1
p∗
, (3)
де p∗ = min{2, p}.
Нерiвнiсть (3) є наслiдком теореми Лiттлвуда–Пелi (див., на-
приклад, теорему А зi вступу роботи [33]).
Нехай G ⊂ Zd. Тодi через T (G) позначимо множину тригоно-
метричних полiномiв t виду
T (G) = {t : t̂(k) = 0, якщо k∈G}.
Для 1 ≤ q ≤ ∞ покладемо
T (G)q = {t ∈ T (G) : ‖t‖q ≤ 1}.
Лема 3. [21]. Нехай 1 < p ≤ 2 ≤ q <∞. Тодi має мiсце спiввiд-
ношення
εM (T (Qn)p, Lq)�
{
C(p, q) |Qn|M−1 (ln(|Qn|M−1))2, 2M ≤ |Qn|,
C(p, q) 2−M/|Qn|, 2M ≥ |Qn|.
Зауваження 1. Згiдно з наслiдком теореми Лiттлвуда-Пелi
(див., наприклад, [33, c. 7]) будемо мати ‖SQn(f, ·)‖q ≤
C(q) ‖f(·)‖q, 1 < q < ∞, i тому в лемi 2.2 можна вважати,
що елементи вiдповiдної ε–сiтки також належать T (Qn).
Попередньо вiдмiтимо, що при доведеннi отриманих результа-
тiв нами використовувались i розвивались методи, якi застосову-
вались в роботах [20, 21, 24, 25, 29] при дослiдженнi вiдповiдних
питань на класах W r
p,α, H
r
p i Br
p,θ перiодичних функцiй багатьох
змiнних.
230 А.Ф. Конограй, А.П. Мусiєнко
3. Основнi результати
Має мiсце наступне твердження.
Теорема 4. Нехай 1 ≤ q < ∞, 2 ≤ p ≤ ∞, 1 ≤ θ ≤ ∞, Ω(t) =
ω(t1 · . . . · td), де ω ∈ Φα,l, α > 1, l ∈ N. Тодi для будь-яких
M,n ∈ N таких, що M � 2nnd−1, має мiсце спiввiдношення
εM (BΩ
p,θ, Lq)� ω(2−n)n
(d−1)
(
1
2
− 1
θ
)
+ . (4)
Доведення. Оскiльки BΩ
p,θ ⊂ BΩ
2,θ, 2 < p < ∞, та ‖ · ‖q ≤ ‖ · ‖2,
1 < q ≤ 2, то оцiнку (4) достатньо отримати для випадку p = 2 i
2 < q <∞.
Отже, нехай f ∈ BΩ
2,θ, 1 ≤ θ < 2. Враховуючи спiввiдношення
(3) та вiдому нерiвнiсть [34, с. 43](∑
k
|ak|m2
)1/m2
≤
(∑
k
|ak|m1
)1/m1
, 1 ≤ m1 ≤ m2 <∞,
можемо записати∥∥∥ ∑
s∈Nn
δs(f, ·)
∥∥∥
2
�
( ∑
s∈Nn
‖δs(f, ·)‖22
) 1
2
≤
≤
( ∑
s∈Nn
‖δs(f, ·)‖θ2
) 1
θ
=
=
( ∑
s∈Nn
ω−θ(2−‖s‖1) ‖δs(f, ·)‖θ2 ωθ(2−‖s‖1)
) 1
θ
�
� ω(2−n) · ‖f‖BΩ
2,θ
≤ ω(2−n). (5)
Перейдемо до розгляду випадку 2 ≤ θ < ∞. Скориставшись
оцiнкою (3) та нерiвнiстю Гельдера з показником θ
2 , будемо мати
∥∥∥ ∑
s∈Nn
δs(f, ·)
∥∥∥
2
�
( ∑
s∈Nn
‖δs(f, ·)‖22
) 1
2
≤
Оцiнки ентропiйних чисел класiв BΩ
p,θ перiодичних функцiй... 231
≤
( ∑
s∈Nn
ω−θ(2−‖s‖1) ‖δs(f, ·)‖θ2
) 1
θ
·
( ∑
s∈Nn
ω
2θ
θ−2 (2−‖s‖1)
) θ−2
2θ
�
� ‖f‖BΩ
2,θ
( ∑
s∈Nn
ω
2θ
θ−2 (2−‖s‖1)
) θ−2
2θ
� ω(2−n)n(d−1)
(
1
2
− 1
θ
)
. (6)
Нарештi, нехай θ = ∞. Тодi, приймаючи до уваги спiввiдно-
шення (2) (оскiльки ‖As(f, ·)‖q0 � ‖δs(f, ·)‖q0 , при 1 < q0 < ∞)
та скориставшись оцiнкою (3), отримаємо
∥∥∥ ∑
s∈Nn
δs(f, ·)
∥∥∥
2
�
( ∑
s∈Nn
‖δs(f, ·)‖22
) 1
2
�
�
( ∑
s∈Nn
ω2(2−‖s‖1)
) 1
2
� ω(2−n)n
d−1
2 . (7)
Таким чином, для f ∈ BΩ
2,θ, 1 ≤ θ ≤ ∞, згiдно з (5)–(7),
можемо записати∥∥∥ ∑
s∈Nn
δs(f, ·)
∥∥∥
2
� ω(2−n)n
(d−1)
(
1
2
− 1
θ
)
+ . (8)
Далi, за заданим M пiдберемо m ∈ N таким, щоб викону-
вались нерiвностi |Qm−1| < M ≤ |Qm|. Тодi, враховуючи, що
|Qm−1| � |Qm| � 2mmd−1, будемо мати M � 2mmd−1.
Покладемо δ = 1
2 min{(α− 1), 1} та
Mn =
{
Cδ ·M · 2−
1
2
(m−n), якщо n < m,
Cδ · M · 2−δ(n−m), якщо n ≥ m,
де Cδ > 0 пiдiбрано так, що
∞∑
n=1
Mn ≤M.
232 А.Ф. Конограй, А.П. Мусiєнко
Покажемо, що така стала Cδ iснує. Дiйсно
∞∑
n=1
Mn = Cδ
m−1∑
n=1
M · 2−
1
2
(m−n) + Cδ
∞∑
n=m
M · 2−δ(n−m) ≤
≤ Cδ2−
m
2 2
m
2 ·M + Cδ ·M �M.
Позначимо Mn = [Mn], де [a] — цiла частина числа a. Тодi
Mn = 0, якщо Cδ ·M · 2−δ(n−m) < 1, тобто при n > m1 = m +
δ−1 logCδ ·M .
Покладемо
S4Qn(BΩ
2,θ) =
{
g : g(x) =
∑
k∈4Qn
f̂(k)ei(k,x), f ∈ BΩ
2,θ
}
i
‖S4Qn(BΩ
2,θ)‖q = sup
g∈S4Qn (BΩ
2,θ)
‖g(·)‖q. (9)
В прийнятих позначеннях можемо записати
εM (BΩ
2,θ, Lq) ≤
∑
n≤m1
εMn(S4Qn(BΩ
2,θ), Lq)+
+
∑
n>m1
‖S4Qn(BΩ
2,θ)‖q = I1 + I2. (10)
Оцiнимо спочатку доданок I2. Для f ∈ BΩ
2,θ, згiдно з теоре-
мою 1, будемо мати
‖S4Qn(f, ·)‖q = ‖SQn(f, ·)− SQn−1(f, ·) + f(·)− f(·)‖q ≤
≤ ‖f(·)− SQn(f, ·)‖q + ‖f(·)− SQn−1(f, ·)‖q �
� ω(2−n)2
n
(
1
2
− 1
q
)
n
(d−1)
(
1
q
− 1
θ
)
+ .
Таким чином, згiдно з (9), має мiсце оцiнка
‖S4Qn(BΩ
2,θ)‖q � ω(2−n)2
n
(
1
2
− 1
q
)
n
(d−1)
(
1
q
− 1
θ
)
+ . (11)
Оцiнки ентропiйних чисел класiв BΩ
p,θ перiодичних функцiй... 233
Далi, скориставшись (11), знаходимо
I2 =
∑
n>m1
‖S4Qn(BΩ
2,θ)‖q �
∑
n>m1
ω(2−n)2
n
(
1
2
− 1
q
)
n
(d−1)
(
1
q
− 1
θ
)
+ =
=
∑
n>m1
ω(2−n)
2−αn
2
−n
(
α− 1
2
+ 1
q
)
n
(d−1)
(
1
q
− 1
θ
)
+ = I3.
Для подальших мiркувань нам знадобиться допомiжне твер-
дження, яке ми сформулюємо у виглядi леми.
Лема 5. Для заданих чисел m ∈ N, σ > 0, β ∈ R, має мiсце
порядкова рiвнiсть ∑
n≥m
2−nσnβ � 2−mσmβ.
Доведення.
∑
n≥m
nβ
2nσ
=
mβ
2mσ
∑
n≥m
2−(n−m)σ
( n
m
)β
=
mβ
2mσ
∑
n≥m
an.
Далi
lim
n→∞
an+1
an
= lim
n→∞
2−(n+1−m)σ ·
(
n+1
m
)β
2−(n−m)σ ·
(
n
m
)β =
= lim
n→∞
2−(n+1)σ ·
(
n+ 1
)β
2−nσ · nβ
= lim
n→∞
2−σ ·
(
1 +
1
n
)β
= 2−σ < 1.
Отже, згiдно з ознакою д’Аламбера ряд
∑
n≥m
an є збiжний i,
як наслiдок, ∑
n≥m
2−nσnβ � 2−mσmβ.
Лему доведено.
Далi, враховуючи, що
ω(2−n)
2−αn
� ω(2−m1)
2−αm1
234 А.Ф. Конограй, А.П. Мусiєнко
при n > m1 та скориставшись лемою 5, будемо мати
I3 �
ω(2−m1)
2−αm1
∑
n>m1
2
−n
(
α− 1
2
+ 1
q
)
n
(d−1)
(
1
q
− 1
θ
)
+ �
� ω(2−m1)
2−αm1
2−m1(α−1)m
(d−1)
(
1
q
− 1
θ
)
+
1 =
= ω(2−m1)2m1m
(d−1)
(
1
q
− 1
θ
)
+
1 = I4.
Щоб продовжити оцiнку I4, розглянемо два випадки.
I. Нехай α ≥ 2. В такому випадку δ = 1
2 i, вiдповiдно, m1 =
m + log
(
CδM
)2
,M � 2mmd−1. Тодi, продовживши оцiнку I4,
отримаємо
I4 � ω(2−m)
2−m1α
2mα
2m1m
(d−1)
(
1
q
− 1
θ
)
+
1 ≤
ω(2−m)
2−(m+log(CδM)2)α
2mα
2m+log(CδM)2
(m+log(CδM)2)(d−1)
(
1
2
− 1
θ
)
+ =
= ω(2−m)
(m+ log(CδM)2)(d−1)
(
1
2
− 1
θ
)
+
2m(2α−1)2(α−1) log(CδM)2 �
� ω(2−m)m(d−1)
(
1
2
− 1
θ
)
+ . (12)
II. Нехай тепер 1 < α < 2. Тодi δ = 1
2(α − 1) i, вiдповiдно,
m1 = m+ log(CδM)
2
α−1 , де M � 2mmd−1. Продовжимо оцiнку
I4, будемо мати
I4 � ω(2−m)
2−m1α
2mα
2m1m
(d−1)
(
1
q
− 1
θ
)
+
1 ≤
≤ ω(2−m)
2−(m+log(CδM)
2
α−1 )α
2mα
2m+log(CδM)
2
α−1×
×(m+ log(CδM)
2
α−1 )(d−1)
(
1
2
− 1
θ
)
+ =
Оцiнки ентропiйних чисел класiв BΩ
p,θ перiодичних функцiй... 235
= ω(2−m)
(m+ log(CδM)
2
α−1 )
(d−1)
(
1
2
− 1
θ
)
+
2m(2α−1)2(α−1) log(CδM)
2
α−1
�
� ω(2−m)m
(d−1)
(
1
2
− 1
θ
)
+ . (13)
Отже, враховуючи спiввiдношення (12) та (13), можемо запи-
сати
I2 � ω(2−m)m
(d−1)
(
1
2
− 1
θ
)
+ . (14)
Перш нiж перейти до оцiнки величини I1, представимо її у
виглядi суми двох доданкiв
I1 =
∑
n≤m
εMn(S4Qn(BΩ
2,θ), Lq) +
∑
m<n≤m1
εMn(S4Qn(BΩ
2,θ), Lq).
(15)
Для оцiнки першого доданка скористаємося спiввiдношенням
(8) та лемою 3, отримаємо∑
n≤m
εMn(S4Qn(BΩ
2,θ), Lq)�
�
∑
n≤m
ω(2−n)n
(d−1)
(
1
2
− 1
θ
)
+ · εMn(T (Qn)2, Lq)�
�
∑
n≤m
ω(2−n)n
(d−1)
(
1
2
− 1
θ
)
+ · 2−CδM 2−
1
2 (m−n)|Qn|−1
= I5.
Далi, приймаючи до уваги спiввiдношення |Qn| � 2n nd−1 та
M � 2mmd−1, легко переконатися, що
I5 � ω(2−m) m
(d−1)
(
1
2
− 1
θ
)
+ . (16)
Щоб оцiнити другий доданок правої частини (15), також ско-
ристаємось спiввiдношенням (8) та лемою 3. Виконавши ряд пе-
ретворень, отримаємо∑
m<n≤m1
εMn(S4Qn(BΩ
2,θ), Lq)�
236 А.Ф. Конограй, А.П. Мусiєнко
�
∑
m<n≤m1
ω(2−n)n
(d−1)
(
1
2
− 1
θ
)
+M−12δ(n−m)|Qn| ln2(|Qn|M−12δ(n−m))
� ω(2−m)m
(d−1)
(
1
2
− 1
θ
)
+ . (17)
Таким чином, з врахуванням (15) – (17), будемо мати
I1 � ω(2−m)m
(d−1)
(
1
2
− 1
θ
)
+ . (18)
Нарештi, пiдставляючи (14) та (18) в (10), отримаємо шукану
оцiнку величини εM (BΩ
2,θ, Lq):
εM (BΩ
2,θ, Lq)� ω(2−m)m
(d−1)
(
1
2
− 1
θ
)
+ .
Теорему доведено.
Зауваження 2. У випадку Ω(t) =
d∏
j=1
trj i вiдповiдних обмежен-
нях на параметр r результат теореми (для класiв Br
p,θ, 1 ≤ θ <
∞ та Br
p,∞ = Hr
p) встановлений в [29] та [21] вiдповiдно.
Лiтература
[1] Бари Н.К., Стечкин С.Б. Наилучшие приближения и дифферен-
циальные свойства двух сопряженных функций // Тр. Моск. мат.
о-ва . — 1956. — Т. 5. — С. 483–522.
[2] Sun Yongsheng, Wang Heping. Representation and Approximati-
on of Multivariate Periodic Functions with Bounded Mixed Moduli
of Smoothness // Тр. Мат. ин-та им. В.А.Стеклова. — 1997. —
Т. 219. — С. 356–377.
[3] Пустовойтов Н.Н. Представление и приближение периодических
функций многих переменных с заданным смешанным модулем не-
прерывности // Anal. Math. — 1994. — Vol. 20. — P. 35–48.
[4] Лизоркин П.И., Никольский С.М. Пространства функций сме-
шанной гладкости с декомпозиционной точки зрения // Тр. Мат.
ин-та им. В.А. Стеклова. — 1989. — Т. 187. — С. 143–161.
Оцiнки ентропiйних чисел класiв BΩ
p,θ перiодичних функцiй... 237
[5] Стасюк С.А., Федуник О.В. Апроксимативнi характеристики кла-
сiв BΩ
p,θ перiодичних функцiй багатьох змiнних // Укр. мат.
журн. — 2006. — Т. 58, №5. — С. 692–704.
[6] Höllig K. Diameters of classes of smooth functions. –– Quant. Ap-
proxim. — New York: Acad. Press, 1980. –– P. 163–176.
[7] Колмогоров А.Н., Тихомиров В.М. ε–Энтропия и ε–емкость мно-
жеств в функциональных пространствах // Успехи мат. наук. —
1959. — Т. 14, №2. — С. 3–86.
[8] Колмогоров А.Н. Асимптотические характеристики некоторых
вполне ограниченных метрических пространств // Докл. АН СС-
СР. — 1956. — Т. 108, №3. — С. 385–389.
[9] Витушкин А.Г. К тринадцатой проблеме Гильберта // Докл. АН
СССР. — 1955. — Т. 95, №4. — С. 701–704.
[10] Колмогоров А.Н. Оценки минимального числа элементов ε–сетей
в различных функциональных пространствах и их применение к
вопросу о представимости функций нескольких переменных су-
перпозициями функций меньшего числа переменных // Успехи
мат. наук. — 1955. — Т. 10, №1. — С. 192–193.
[11] Витушкин А.Г. Абсолютная энтропия метрических про-
странств // Докл. АН СССР. — 1957. — Т. 117, №2. — С. 745–748.
[12] Тихомиров В.М. Об ε–энтропии некоторых классов аналитиче-
ских функций // Докл. АН СССР. — 1957. — Т. 117, №2. — С. 191–
194.
[13] Бабенко К.И. О энтропии одного класса аналитических фун-
кций // Науч. докл. высш. шк. — 1958. — Т. 1, №2. — С. 9–16.
[14] Ерохин В.Д. Об асимптотике ε–энтропии аналитических фун-
кций // Докл. АН СССР. — 1958. — Т. 120, №5. — С. 949–952.
[15] Смоляк С.А. ε-энтропия классов Eα,ks (B) иWα
s (B) в метрике L2 //
Докл. АН СССР. — 1960. — Т. 131, №1. — С. 30–33.
[16] Бирман М.Ш., Соломяк М.З. Кусочно-полиномиальные прибли-
жения классов Wα
p // Мат. сб. — 1967. — Т. 73, №3. — С. 331–355.
[17] Бахвалов Н.С. Оценки снизу асимптотических характеристик
классов функций с доминирующей смешанной производной //
Мат. заметки. — 1972. — Т. 12, №6. — С. 655–664.
238 А.Ф. Конограй, А.П. Мусiєнко
[18] Трибель Х. Интерполяционные свойства ε-энтропии и поперечни-
ков. Геометрические характеристики вложения пространств фун-
кций типа Соболева –Бесова // Мат. сб. — 1975. — Т. 98, №1. —
С. 27–41.
[19] Динь Зунг. Приближение гладких функций многих переменных
средствами гармонического анализа : Дис. д-ра физ.-мат. наук /
Динь Зунг ; МГУ. — Москва, 1985. — 231 с.
[20] Темляков В.Н. Об оценках ε-энтропии и поперечников клас-
сов функций с ограниченной смешанной производной или разно-
стью // Докл. АН СССР. — 1988. — Т. 301, №2. — С. 288–291.
[21] Темляков В.Н. Оценки асимптотических характеристик клас-
сов функций с ограниченной смешанной производной или разно-
стью // Тр. Мат. ин-та АН СССР. — 1989. — Т. 189. — С. 138–168.
[22] Belinskíı E.S. Approximation of functions of several variables by
trigonometric polynomials with given number of harmonics, and es-
timates of ε-entropy // Analysis Mathematica. –– 1989. –– Vol. 15. ––
P. 67–74.
[23] Белинский Э.С. Асимптотические характеристики классов фун-
кций с условиями на смешанную производную (смешанную ра-
зность) // Исследования по теории функций многих веществен-
ных переменных. — Ярославль: Ярослав.ун-т. — 1990. — С. 22–37.
[24] Кашин Б.С., Темляков В.Н. О наилучших m-членных приближе-
ниях и энтропии множеств в пространстве L1 // Матем. заме-
тки. — 1994. — Т. 56, №5. — С. 57–86.
[25] Кашин Б.С., Темляков В.Н. Об оценке аппроксимативных хара-
ктеристик классов функций с ограниченной смешанной произво-
дной // Матем. заметки. — 1995. — Т. 58, №6. — С. 922–925.
[26] Belinskíı E.S. Estimates of Entropy Numbers and Gaussian Measures
for Classes of Functions with Bounded Mixed Derivative // J. of Ap-
prox. Theory. –– 1998. –– Vol. 93. –– P. 114–127.
[27] Temlyakov V.N. An inequality for trigonometric polynomials and its
application for estimating the Kolmogorov widths // East J. Ap-
prox. –– 1996. –– Vol. 2, no. 1. –– P. 89–98.
Оцiнки ентропiйних чисел класiв BΩ
p,θ перiодичних функцiй... 239
[28] Temlyakov V.N. An inequality for the entropy numbers and its appli-
cation // J. of Approx. Theory. –– 2013. –– Vol. 173. –– P. 110–121.
[29] Романюк А.С. Оценки энтропийных чисел и ε–энтропии клас-
сов Никольского–Бесова периодических функций многих пере-
менных // Теорiя наближення функцiй та сумiжнi питання : Зб.
праць Iн-ту математики НАН України. — 2014. — Т. 11, №3. —
С. 196–213.
[30] Романюк А.С. Оценки энтропийных чисел и колмогоровских по-
перечников классов Никольского–Бесова периодических функций
многих переменных // Укр. мат. журн. — 2015. — Т. 67, №11. —
С. 1540–1556.
[31] Романюк А.С. Энтропийные числа и поперечники классов Brp,θ
периодических функций многих переменных // Укр. мат. журн. —
2016. — Т. 68, №10. — С. 1403–1417.
[32] Sun Yongsheng, Wang Heping Representation and approximation
of multivariate periodic functions with bounded mixed moduli of
smoothness // Тр. Мат. ин-та им. В.А. Стеклова. — 1997. —
Т. 219. — С. 356–377.
[33] Темляков В.Н. Приближение функций с ограниченной смешанной
производной // Тр. Мат. ин-та АН СССР. — 1986. — Т. 178. — С. 1–
112.
[34] Неравенства / Г. Харди, И.Е. Литтлвуд, Дж. Пойа // — М.: Изд-
во иностр. лит., 1948. — 456 c.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-319 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:05:35Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/bb/9a3b23a9580739d1205825bafe8770bb.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-3192018-02-13T13:12:44Z Estimates for the entropy numbers of the classes $B^{\Omega}_{p,\theta}$ of periodic functions of many variables Оцінки ентропійних чисел класів $B^{\Omega}_{p,\theta}$ періодичних функцій багатьох змінних Konograi, A. F. Musienko, A. P. Конограй, А. Ф. Мусієнко, А. П. We obtain the order estimates for the entropy numbers of the classes $B^{\Omega}_{p,\theta}$ of periodic functions of many variables in the space $L_q$ with certain relations between the parameters $p$ and $q$. Знайдено порядкові оцінки ентропійних чисел класів $B^{\Omega}_{p,\theta}$ періодичних функцій багатьох змінних у просторі $L_q$ для деяких співвідношень між параметрами $p$ і $q$. Інститут математики НАН України 2017-11-28 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/319 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 14 No. 3 (2017): Differential equations and related problems of analysis; 222-239 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 14 № 3 (2017): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 222-239 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 14 № 3 (2017): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 222-239 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/319/302 Авторське право (c) 2017 А. Ф. Конограй, А. П. Мусієнко |
| spellingShingle | Konograi, A. F. Musienko, A. P. Конограй, А. Ф. Мусієнко, А. П. Estimates for the entropy numbers of the classes $B^{\Omega}_{p,\theta}$ of periodic functions of many variables |
| title | Estimates for the entropy numbers of the classes $B^{\Omega}_{p,\theta}$ of periodic functions of many variables |
| title_alt | Оцінки ентропійних чисел класів $B^{\Omega}_{p,\theta}$ періодичних функцій багатьох змінних |
| title_full | Estimates for the entropy numbers of the classes $B^{\Omega}_{p,\theta}$ of periodic functions of many variables |
| title_fullStr | Estimates for the entropy numbers of the classes $B^{\Omega}_{p,\theta}$ of periodic functions of many variables |
| title_full_unstemmed | Estimates for the entropy numbers of the classes $B^{\Omega}_{p,\theta}$ of periodic functions of many variables |
| title_short | Estimates for the entropy numbers of the classes $B^{\Omega}_{p,\theta}$ of periodic functions of many variables |
| title_sort | estimates for the entropy numbers of the classes $b^{\omega}_{p,\theta}$ of periodic functions of many variables |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/319 |
| work_keys_str_mv | AT konograiaf estimatesfortheentropynumbersoftheclassesbomegapthetaofperiodicfunctionsofmanyvariables AT musienkoap estimatesfortheentropynumbersoftheclassesbomegapthetaofperiodicfunctionsofmanyvariables AT konograjaf estimatesfortheentropynumbersoftheclassesbomegapthetaofperiodicfunctionsofmanyvariables AT musíênkoap estimatesfortheentropynumbersoftheclassesbomegapthetaofperiodicfunctionsofmanyvariables AT konograiaf ocínkientropíjnihčiselklasívbomegapthetaperíodičnihfunkcíjbagatʹohzmínnih AT musienkoap ocínkientropíjnihčiselklasívbomegapthetaperíodičnihfunkcíjbagatʹohzmínnih AT konograjaf ocínkientropíjnihčiselklasívbomegapthetaperíodičnihfunkcíjbagatʹohzmínnih AT musíênkoap ocínkientropíjnihčiselklasívbomegapthetaperíodičnihfunkcíjbagatʹohzmínnih |