A modal control by a “reservoir-liquid with a free surface” mechanical system
The paper considers an approach to control the mechanical system “reservoir–liquid with a free surface“ providing the system to move by a prescribed trajectory. Due to a multimodal method to the sloshing liquid adapted, the approximate governing equations of the system have twelve (12) degrees of fr...
Збережено в:
| Дата: | 2017 |
|---|---|
| Автори: | , , , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2017
|
| Онлайн доступ: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/332 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552840810987520 |
|---|---|
| author | Konstantinov, A. V. Novytsky, V. V. Константинов, А. В. Новицкий, В. В. Константінов, О. В. Новицький, В. В. |
| author_facet | Konstantinov, A. V. Novytsky, V. V. Константинов, А. В. Новицкий, В. В. Константінов, О. В. Новицький, В. В. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "О. В. Константінов",
"institution": "Інститут математики НАН України"
},
{
"author": "В. В. Новицький",
"institution": "Інститут математики НАН України"
}
] |
| author_sort | Konstantinov, A. V. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-02-13T11:53:50Z |
| description | The paper considers an approach to control the mechanical system “reservoir–liquid with a free surface“ providing the system to move by a prescribed trajectory. Due to a multimodal method to the sloshing liquid adapted, the approximate governing equations of the system have twelve (12) degrees of freedom. The control action contains two components, i.e., the program control and the feedback control. For the feedback control coefficients, analytical dependencies are found in an explicit form. The quality of transient processes in the controlled system is analysed. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:05:50Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iнституту математики НАН України 2017, т. 14, №2, 42–55
УДК 517.983.27
Модальне керування механiчною
системою “резервуар – рiдина з
вiльною поверхнею” ∗
О.В. Константiнов , В.В. Новицький
Iнститут математики НАН України, Київ;
akonst.im@ukr.net, v.novytskyy@gmail.com
The paper considers an approach to control the mechanical system
“reservoir–liquid with a free surface“ providing the system to move by a
prescribed trajectory. Due to a multimodal method to the sloshing liquid
adapted, the approximate governing equations of the system have twelve
(12) degrees of freedom. The control action contains two components, i.e.,
the program control and the feedback control. For the feedback control
coefficients, analytical dependencies are found in an explicit form. The
quality of transient processes in the controlled system is analysed.
В роботi розглянуто один iз пiдходiв до побудови керування механi-
чною системою “резервуар – рiдина з вiльною поверхнею“. Пiд дiєю
керування система повинна рухатись за заданим законом. Динамiка
системи розглядається на основi нелiнiйної багатомодової (12 форм ко-
ливань) моделi, яка описує сумiсний рух резервуару та рiдини пiд дiєю
керуючих сил. Керування складається iз двох компонентiв: програм-
ного керування та керування iз звортним зв’язком. Для коефiцiєнтiв
зворотного зв’язку знайдено аналiтичнi залежностi в явному вигля-
дi. Проаналiзовано якiсть перехiдних процесiв в системi при наявностi
керування.
В работе рассмотрен один из подходов к построению управления ме-
ханической системой “резервуар – жидкость со свободной поверхно-
стью“. Под действием управления система должна двигаться по за-
данному закону. Поведение системы рассматривается на основе нели-
нейной многомодовой (12 форм колебаний) модели, которая описывает
совместное движение резервуара и жидкости под действием управля-
ющих сил. Управляющее воздействие содержит две компоненты: про-
граммное управление и управление с обратной связью. Для коэффици-
ентов обратной связи найдены в явном виде аналитические зависимо-
сти. Проанализировано качество переходных процессов в системе при
наличии управления.
∗Робота виконана за частковою пiдтримкою НДР № 0117U004077.
c© Константiнов О.В., Новицький В.В., 2017
Модальне керування механiчною системою “резервуар – . . . 43
Вступ
Iнженернi конструкцiї, що мiстять у своєму складi резервуари, час-
тково заповненi рiдиною, широко використовуються у рiзних галузях
технiки. Резервуари з рiдиною є невiд’ємною складовою частиною
космiчних апаратiв з рiдинним ракетним двигуном, лiтакiв, гелiко-
птерiв, нафтосховищ та реакторiв, що використовуються у хiмiчнiй
та нафтохiмiчнiй промисловостi. Останнiм часом поширюється iнте-
рес до задач динамiки та керування обмеженими об’ємами рiдини
у зв’язку з проблемами транспортування та збереження у складних
умовах дiї вiбрацiйних, iмпульсних, сейсмiчних, вiтрових та iнших
навантажень. З практики вiдомо, що баки з рiдиною у лiтаках, тан-
керах, залiзничних та автомобiльних цистернах суттєво впливають
на стiйкiсть та якiсть керування транспортними засобами.
Проблемам керування рухомими об’єктами, якi мiстять маси рiди-
ни з вiльною поверхнею, зокрема, ракетами-носiями та супутниками,
присвяченi роботи [1,5,6,11,12,18]. У них розглядались задачi побудо-
ви автомату стабiлiзацiї на основi лiнiйної моделi динамiки системи
та апарату теорiї передавальних функцiй. У колективнiй моногра-
фiї [19] розглядались задачi керування обертанням твердого тiла, яке
має порожнину, частково заповнену iдеальною або в’язкою рiдиною,
на основi лiнеаризованих моделей.
У роботi розглянуто один з пiдходiв до побудови керування меха-
нiчною системою “резервуар – рiдина з вiльною поверхнею“ для за-
безпечення заданого закону руху. Поведiнка системи розглядається
на основi нелiнiйної багатомодової (12 форм коливань) моделi [7],
яка описує сумiсний рух резервуару та рiдини пiд впливом керуючих
сил. Використана модель побудована на основi варiацiйного принципу
Гамiльтона-Остроградського. Нелiнiйнi моделi для випадку заданого
руху резервуару на основi варiацiйного принципу Бейтмена побудо-
ванi у роботах I.О. Луковського [8–10,13].
Для забезпечення мети керування спочатку будується так зване
програмне керування, яке обчислюється для резервуару iз “затвердi-
лою“ рiдиною при вiдсутностi будь-яких збурень у системi [3]. Оскiль-
ки збурення у системi – коливання вiльної поверхнi рiдини – прису-
тнi, то на другому етапi будується керування зi зворотним зв’язком за
збуреннями [?, 2, 17]. Керування зi зворотним зв’язком будується на
основi лiнiйної моделi з використанням фазових змiнних – перемiщен-
ня та швидкостi резервуару i амплiтуди та швидкостi вiльної поверх-
44 Константiнов О. В., Новицький В. В.
нi рiдини. У роботах В.В. Новицького розроблено методи побудови
зворотного зв’язку для загального випадку лiнiйних нестацiонарних
систем [17]. Цi методи використовують пiдходи на основi модально-
го принципу, завдання функцiї Ляпунова або мiнiмiзацiї середньо-
квадратичного функцiоналу. Для отримання коефiцiєнтiв зворотно-
го зв’язку використовується один з таких методiв [14–17]: рiвняння
системи у збуреннях послiдовно перетворюються у форму, канонiчну
за керуванням, потiм у канонiчну форму Гессенберга i, нарештi, у
канонiчну форму Фробенiуса. Для матрицi, представленої у канонi-
чнiй формi Фробенiуса, коефiцiєнти характеристичного полiному ма-
ють найпростiшу залежнiсть вiд параметрiв системи. Спiвставлення
шуканих коефiцiєнтiв характеристичного полiному з коефiцiєнтами
характеристичного полiному еталонної системи дозволяє в аналiти-
чному виглядi отримати формули для знаходження коефiцiєнтiв зво-
ротного зв’язку, а значить, забезпечити вiдповiдну якiсть перехiдних
процесiв у системi пiд час керованого руху.
1 Математична модель механiчної системи “резер-
вуар – рiдина з вiльною поверхнею”
Розглянемо цилiндричний резервуар, частково заповнений рiдиною.
Резервуар вважаємо абсолютно твердим тiлом, яке може рухатись по-
ступально пiд дiєю активних зовнiшнiх сил. Рiдину вважаємо iдеаль-
ною, нестисливою, однорiдною, а її початковий рух безвихровим. Вiд-
повiдно до методики роботи О.С. Лимарченко [7], математична мо-
дель механiчної системи “резервуар – рiдина з вiльною поверхнею“ бу-
дується на основi варiацiйного принципу Гамiльтона-Остроградського
δI = 0, где I =
t2∫
t1
Ldt,
при цьому функцiя Лагранжа задається у класичному виглядi Га-
мiльтона - Остроградського як рiзниця мiж кiнетичною та потенцi-
альною енергiєю системи
L =
1
2
ρ
∫
τ
(~∇ϕ+ ~̇ε)2dτ +
1
2
MT (~̇ε)
2 − (MT +MF )gεz−
Модальне керування механiчною системою “резервуар – . . . 45
−1
2
ρg
∫
S
(ξ2 −H2)dS + ~F · ~ε,
де ρ – щiльнiсть рiдини; τ – область, яку займає рiдина; dτ = rdrdθdz
– цилiндричнi координати, при цьому вiсь Oz має напрямок, проти-
лежний напрямку вектора прискорення вiльного падiння ~g, а система
координат пов’язана з нерухомим резервуаром; ~∇ = ~i1
∂
∂r +~i2
1
r
∂
∂θ +
~i3
∂
∂z ; ϕ – потенцiал швидкостей рiдини; ξ – збурення вiльної поверх-
нi рiдини; S – поперечний перерiз цилiндричного резервуару; MT та
MF – маса резервуару та рiдини вiдповiдно; ~ε = (εx, εy, εz) – вектор
перемiщення резервуару у поступальному русi; ~F – головний вектор
зовнiшнiх сил, якi дiють на резервуар, вiдносно точки O.
Для ефективного застосування варiацiйного принципу Гамiльтона-
Остроградського поставлено задачу ввести у розгляд мiнiмальну кiль-
кiсть незалежних змiнних, що описують рух резервуару з рiдиною,
тобто фактично будуються розклади шуканих змiнних, якi задоволь-
няють наперед усi кiнематичнi граничнi умови. Оскiльки безвихровий
рух iдеальної однорiдної нестисливої рiдини вiдповiдно до теореми
Лагранжа повнiстю визначається рухом її границь, то збурення вiль-
ної поверхнi рiдини ξ та радiус-вектор ~ε(t) повнiстю характеризують
рух самої рiдини, i тому потенцiал швидкостей ϕ потрiбно вважати
залежною змiнною.
Вiдповiдно до методики роботи [7], розклади шуканих змiнних
представимо у виглядi
ξ(r, θ, t) =
∑
i
ai(t)ψi(r, θ), ϕ =
∑
i
bi(t)ϕi(r, θ, z), (1)
де ai(t) – амплiтуди форм коливань збуреної вiльної поверхнi рiди-
ни ξ. Системи функцiй ψi i ϕi = ψi
coshκi(z+H)
κi sinhκiH
є розв’язком лiнiйної
спектральної задачi [7] та мають вигляд
ψn(r, θ) = Jn
(
κ
(m)
n
R
r
)
sin(nθ)
cos(nθ)
, n = 0, 1, 2, ...; m = 1, 2, ...
У роботi [7] розроблено метод виключення кiнематичних грани-
чних умов на вiльнiй поверхнi рiдини, який дозволяє отримати дис-
кретну модель механiчної системи “резервуар – рiдина з вiльною по-
верхнею“ мiнiмальної розмiрностi. На основi розробленого методу,
варiацiйних методiв математичної фiзики та асимптотичних методiв
46 Константiнов О. В., Новицький В. В.
нелiнiйної механiки у роботi [7] побудована математична модель, яка
дозволяє дослiдити поступальнi та кутовi рухи механiчної системи
“резервуар – рiдина з вiльною поверхнею“ при рiзних видах кiнемати-
чного збурення та динамiчного (силового та моментного) збудження.
Ця модель представляє собою систему нелiнiйних звичайних дифе-
ренцiальних рiвнянь другого порядку вiдносно незалежних параме-
трiв ai – коефiцiєнтiв розкладу в ряд збурення вiльної поверхнi рi-
дини ξ за формами коливань вiльної поверхнi ψi та εi – компонент
вектора перемiщень центру незбуреної вiльної поверхнi рiдини вiдно-
сно деякої нерухомої системи вiдлiку:
∑
i
äi ·
{
βqri +
∑
j
ajγ
q
ij +
∑
i,j
aiajδ
q
rijk
}
+ (2)
+~̈ε ·
{
~B1
r +
∑
i
ai ~B
2
ri +
∑
i,j
aiaj ~B
3
rij +
∑
i,j,k
aiajak ~B
4
rijk
}
=
=
1
2
∑
i,j
ȧiȧj(γ
q
ijr − γqrij) +
∑
i,j,k
ȧiȧjak(δ
q
ijkr − 2δqrijk)−
−1
2
gαsr − αpr ȧr − gNrar + ~̇ε ·
{
~B1
r +
∑
i
ai( ~B
2
ir − ~B2
ri)+
+
∑
i,j
ȧiaj2( ~B
3
ijr − ~B3
rij) +
∑
i,j,k
ȧiajak3( ~B
4
ijkr − ~B4
rijk)
}
,
ρ
{∑
i
äi[ ~B
1
i +
∑
i,j
aj ~B
2
i,j +
∑
i,j,k
ajak ~B
3
ijk]
}
+ (MT +MF )~̈ε = (3)
= ~F − (MT +MF )g~k − ρ
{∑
i,j
ȧiȧj ~B
2
ij +
∑
i,j,k
ȧiȧjak ~B
3
ijk
}
.
Система (2) – (3) мiстить N + 3 рiвнянь (N – кiлькiсть форм
коливань рiдини, що розглядаються) та описує динамiку сумiсного
руху резервуару та рiдини при рiзних видах кiнематичного збурення
та динамiчного (силового) збудження. Рiвняння (2) описують дина-
мiку амплiтуд форм коливань вiльної поверхнi рiдини, а рiвняння (3)
– динамiку резервуару, однак цi рiвняння взаємозв’язанi та мiстять
сили взаємодiї мiж компонентами механiчної системи.
Модальне керування механiчною системою “резервуар – . . . 47
Сукупнiсть коефiцiєнтiв, якi входять до системи рiвнянь (2) – (3),
у рамках прийнятої моделi визначає властивостi механiчної систе-
ми, яка розглядається, та особливостi прояву в нiй внутрiшнiх лi-
нiйних та нелiнiйних механiзмiв взаємодiї. Цi коефiцiєнти визнача-
ються через квадратури вiд розв’язку крайової задачi iз визначен-
ня форм коливань вiльної поверхнi рiдини. При цьому коефiцiєнти
βqir, γ
q
ijr , δ
q
ijkr , α
s
r, Nr вiдповiдають випадку коливань рiдини у нерухо-
мому резервуарi, а коефiцiєнти ~B1
r ,
~B2
ri,
~B3
rij ,
~B4
rijk вiдображають вза-
ємозв’язок коливань рiдини та поступального руху резервуару.
2 Побудова програмного керування та керування
зi зворотним зв’язком
Якщо зовнiшня сила ~F , яка дiє на систему “резервуар – рiдина з вiль-
ною поверхнею“, має за мету здiйснення необхiдного закону руху або
мiнiмiзацiю заданого функцiоналу, то таку силу прийнято називати
керуванням.
Побудуємо керування, яке забезпечить системi набiр швидкостi за
заданий час t1 зi стану спокою до заданого значення V1 та подаль-
ший поступальний рух з цiєю постiйною швидкiстю в напрямку Oy.
Шукане керування складається з двох складових: програмного керу-
вання та керування зi зворотним зв’язком.
Програмне керування будується на основi моделi руху резервуару
iз “затвердiлою“ рiдиною при вiдсутностi будь-яких збурень. За вка-
заними вище кiнематичними умовами руху закон змiни швидкостi
резервуару буде мати вигляд
ε̇y =
{
V1
t1
t, 0 ≤ t ≤ t1,
V1, t > t1,
тодi прискорення вiдповiдно буде мати вираз
ε̈y =
{
V1
t1
, 0 ≤ t ≤ t1,
0, t > t1,
i за другим законом Ньютона програмне керування буде мати вигляд
Fy =Mε̈y, де M =MT +MF – загальна маса системи. Таким чином,
побудоване програмне керування при вiдсутностi будь-яких збурень
48 Константiнов О. В., Новицький В. В.
i вiдповiдностi наявних початкових умов до заданих повинне буде
здiйснювати рух системи за програмним законом
εy =
{
V1
2t1
t2, 0 ≤ t ≤ t1,
V1t, t > t1,
ε̇y =
{
V1
t1
t, 0 ≤ t ≤ t1,
V1, t > t1,
(4)
ξ(t) = 0, ξ̇(t) = 0.
Оскiльки у системi присутнi збурення – коливання вiльної поверх-
нi рiдини, введемо у систему керування зi зворотним зв’язком, яке
буде корегувати наявнi похибки – вiдхилення наявних значень пара-
метрiв руху εy, ε̇y, ξ, ξ̇ вiд заданих програмних значень (4). Керування
зi зворотним зв’язком побудуємо на основi лiнеаризованної системи
рiвнянь руху (2) – (3), в якiй буде враховано коливання вiльної по-
верхнi рiдини по першiй антисиметричнiй формi a1 з можливiстю
горизонтального перемiщення резервуару по горизонтальнiй коорди-
натi y. Вiдповiднi рiвняння мають вигляд
ä1β
q
11 +B1y
1 ε̈y + gN1a1 = 0,
ρB1y
1
MT +MF
ä1 + ε̈y = 0,
або, з урахуванням позначень, ν1 =
B1y
1
βq
11
, ν2 = ρB1y
1 , частота першої
антисиметричної форми ω2
1 = gN1
βq
11
, у виглядi
ä1 + ν1ε̈y + ω2
1a1 = 0, (5)
ν2ä1 +Mε̈y = Fy. (6)
Введемо також позначення для фазових змiнних x1 = a1, x2 = ȧ1,
x3 = εy, x4 = ε̇y, u = Fy та приведемо систему диференцiальних
рiвнянь (5) – (6) до нормальної форми Кошi
ẋ = Fx+Gu, (7)
де x – вектор фазових змiнних [x1, x2, x3, x4]
T , u – керування, а ма-
триця F та вектор G мають вигляд
F =
0 1 0 0
λ1 0 0 0
0 0 0 1
λ2 0 0 0
, G =
0
β1
0
β2
, (8)
Модальне керування механiчною системою “резервуар – . . . 49
де λ1 = − Mω2
1
M−ν1ν2
, λ2 =
ν2ω
2
1
M−ν1ν2
, β1 = − ν1
M−ν1ν2
, β2 = 1
M−ν1ν2
. У систе-
мi (7) фазовi змiннi [x1, x2, x3, x4] мають сенс збурень, тобто вiдхилень
дiйсних значень параметрiв руху системи вiд програмних.
Побудоване керування зi зворотним зв’язком повинне забезпечити
асимптотичну стiйкiсть руху системи у збуреннях. Для його побудо-
ви будемо використовувати метод, розроблений В.В. Новицьким [?]:
рiвняння системи у збуреннях (7) послiдовно перетворюються у фор-
му, канонiчну за керуванням, потiм у канонiчну форму Гессенберга
i, нарештi, у канонiчну форму Фробенiуса.
Оскiльки у системi (7) вектор керування має розмiрнiсть 1, пiсля
перетворення система (7) у формi, канонiчнiй за керуванням, повинна
мати вигляд
ẏ = Ay +Bu,B = [0 0 0 1]T . (9)
Вiдповiдно до [17] побудуємо неособливе перетворення y = Tx, де
пряма та обернена матриця перетворення T мають вигляд
T =
1 0 0 0
0 1 0 −β1
β2
0 0 1 0
0 0 0 1
β2
, T−1 =
1 0 0 0
0 1 0 β1
0 0 1 0
0 0 0 β2
.
Застосовуючи перетворення T до системи (7), тобто
A = TFT−1, B = TG,
отримаємо вирази для A та B у системi (9) у формi, канонiчнiй щодо
керування
A =
0 1 0 β1
λ1 − β1λ2
β2
0 0 0
0 0 0 β2
λ2
β2
0 0 0
, B =
0
0
0
1
.
Другим етапом буде зведення системи (9) до канонiчної форми
Гессенберга. Матрицi A та B у канонiчнiй формi Гессенберга будуть
мати вигляд
A =
a11 1 0 0
a21 a22 1 0
a31 a32 a33 1
a41 a42 a43 a44
, B =
0
0
0
1
,
50 Константiнов О. В., Новицький В. В.
тобто матриця A буде мати нижньотрикутну форму, а вектор B пi-
сля перетворень залишається незмiнним. Вiдповiдно до методу [17],
перехiд матрицi A системи (9) буде виглядати як серiя неособливих
перетворень
A(i) = R(i)A(i−1)R(i)−1, i = 1, 2, 3, 4,
при цьому A(0) = A. Введемо позначення γ1 = λ1 − β1λ2
β2
, γ2 = λ2
β2
для
вiдповiдних елементiв матрицi A i отримаємо крок за кроком вигляд
матрицi A
A(0) =
0 1 0 β1
γ1 0 0 0
0 0 0 β2
γ2 0 0 0
, A
(1) =
0 1
β1
0 0
γ1β1 0 γ1β1 0
0 0 0 1
γ2β1 0 γ2β1 0
,
A(2) =
0 γ1 0 0
1 0 1 0
0 0 0 1
γ2β1 0 γ2β1 0
, A
(3) =
0 1 0 0
γ1 0 1 0
0 0 0 1
γ2β1γ1 0 γ2β1 0
.
Таким чином, система (9) у канонiчнiй формi Гессенберга має вигляд
ẏ =
0 1 0 0
γ1 0 1 0
0 0 0 1
γ2β1γ1 0 γ2β1 0
y +
0
0
0
1
u.
Третiм етапом буде зведення системи (9) до канонiчної форми
Фробенiуса. Матрицi A та B у канонiчнiй формi Фробенiуса будуть
мати вигляд
A =
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
a41 a42 a43 a44
, B =
0
0
0
1
,
тобто у матрицi A тiльки у нижньому рядку можуть бути довiльнi
значення, а вектор B пiсля перетворень знову залишається незмiн-
ним. Як i на другому етапi, вiдповiдно до методу [17], перехiд матрицi
Модальне керування механiчною системою “резервуар – . . . 51
A системи (9) до канонiчної форми Фробенiуса буде виглядати як се-
рiя неособливих перетворень, якi мають вигляд
A(0) =
0 1 0 0
γ1 0 1 0
0 0 0 1
γ2β1γ1 0 γ2β1 0
, A
(1) =
0 1 0 0
0 0 1 0
0 γ1 0 1
0 0 γ2β1 0
,
A(2) =
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 β1γ2 + γ1 0
.
З врахуванням γ1 = λ1− β1λ2
β2
, γ2 = λ2
β2
, система (9) у канонiчнiй формi
Фробенiуса має вигляд
ẏ =
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 λ1 0
y +
0
0
0
1
u.
Перемноження всiх матриць перетворень, якi послiдовно дозволя-
ють перейти вiд початкової системи (7) до канонiчної щодо керуван-
ня та по Фробенiусу системи (9), дає можливiсть отримати пряму та
обернену матрицю для такої трансформацiї
T̃ =
− β2
β1(β1λ2−β2λ1)
0 1
β1(β1λ2−β2λ1)
0
0 − β2
β1(β1λ2−β2λ1)
0 1
β1(β1λ2−β2λ1)
1
β1
0 0 0
0 1
β1
0 0
,
T̃−1 =
0 0 β1 0
0 0 0 β1
β1λ2 − β2λ1 0 β2 0
0 β1λ2 − β2λ1 0 β2
. (10)
У систему (9) пiдключимо зворотний зв’язок u = −∑
i
kixi та отри-
маємо рiвняння замкненої системи
ẏ =
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
−k1 −k2 λ1 − k3 −k4
y. (11)
52 Константiнов О. В., Новицький В. В.
Необхiдно знайти значення коефiцiєнтiв ki зворотного зв’язку, якi б
забезпечили асимптотичну стiйкiсть замкненої системи (11). Як вiдо-
мо [2,4], коефiцiєнтами характеристичного полiнома матрицi у формi
Фробенiуса є елементи нижнього рядка, тому характеристичний по-
лiном системи (11) має вигляд
f(z) = z4 + k4z
3 + (k3 − λ1)z
2 + k2z + k1.
Для забезпечення асимптотичної стiйкостi системи (11) необхiдно,
щоб коренi характеристичного полiнома були дiйсними негативними
числами [2, 17]. Скористаємося для цього модальним принципом ке-
рування, тобто будемо задавати властивостi замкненої системи через
завдання значень коренiв характеристичного полiнома, а потiм зна-
йдемо значення коефiцiєнтiв пiдсилення ki зворотного зв’язку. Задає-
мо значення коренiв характеристичного полiнома як −µi i отримуємо
вiдповiдний вигляд характеристичного полiнома
f(z) = z4 + (µ1 + µ2 + µ3 + µ4)z
3+
+(µ1µ2 + µ1µ3 + µ1µ4 + µ2µ3 + µ2µ4 + µ3µ4)z
2+
(µ1µ2µ3 + µ1µ2µ4 + µ1µ3µ4 + µ2µ3µ4)z + µ1µ2µ3µ4.
Порiвнюючи значення коефiцiєнтiв шуканого та еталонного характе-
ристичного полiнома, отримаємо значення коефiцiєнтiв пiдсилення ki
зворотного зв’язку в явному виглядi
k1 = µ1µ2µ3µ4,
k2 = µ1µ2µ3 + µ1µ2µ4 + µ1µ3µ4 + µ2µ3µ4,
k3 = λ1 + µ1µ2 + µ1µ3 + µ1µ4 + µ2µ3 + µ2µ4 + µ3µ4,
k4 = µ1 + µ2 + µ3 + µ4.
Визначаючи значення коренiв характеристичного полiнома, а, зна-
чить, i коефiцiєнтiв пiдсилення ki зворотного зв’язку, можна завда-
вати якiсть перехiдних процесiв у замкненiй системi керування.
Модальне керування механiчною системою “резервуар – . . . 53
3 Результати чисельного моделювання
Розглядається круговий цилiндричний резервуар з вертикальною по-
здовжньою вiссюOz, який здiйснює поступальний рух у горизонталь-
нiй площинi вздовж осi Oy за рахунок дiї керуючої сили (керуван-
ня). Резервуар радiусу R = 1 м та маси MT частково заповнений
водою з масою MF до глибини H = R. Система рiвнянь (2) – (3)
зводиться чисельно до нормальної форми Кошi, а потiм чисельно iн-
тегрується за допомогою стандартного методу Рунге-Кутта. При до-
слiдженнi динамiки системи резервуар – рiдина у розкладах утриму-
валося n1 = n2 = 12 координатних функцiй з точнiстю до квадратiв
амплiтуд i n3 = 6 з точнiстю до кубiчних членiв. Координатнi фун-
кцiї розмiщено у порядку зростання вiдповiдних їм власних частот за
винятком ψ6 – другої осесиметричної форми. Крок чисельного iнте-
грування обирався ∆t = 0, 1πω12 с, де ω12 – найвища власна частота
у системi.
Розглянемо випадок, коли необхiдно за допомогою керування u =
Fy забезпечити поступальний рух за законом (11), де V1 = 0, 6м
с ,
t1 = 0, 2 с. На Рис. 1 показанi результати моделювання: 1) систе-
Рис. 1. Змiна швидкостi резервуару у часi.
ма з рiдиною рухається при вiдсутностi зворотного зв’язку (крива
1); 2) система з рiдиною рухається при наявностi зворотного зв’язку
(крива 2); 3) програмний iдеальний рух системи (крива 3). Як видно
з графiкiв, пiдключення до системи зворотного зв’язку забезпечує
54 Константiнов О. В., Новицький В. В.
прийнятне наближення до шуканого програмного руху.
Висновки
Дослiджено задачу побудови керування для забезпечення руху за
заданим законом механiчної системи “резервуар – рiдина з вiльною
поверхнею“ при наявностi постiйних збурень – коливань вiльної по-
верхнi рiдини. Програмне керування системою побудовано на основi
моделi твердого тiла iз “затвердiлою“ рiдиною. Для керування зi зво-
ротним зв’язком в аналiтичному виглядi отриманi коефiцiєнти пiд-
силення. Для їх обчислення використовувався модальний принцип:
спектр шуканої системи керування повинен спiвпадати зi спектром
еталонної системи для забезпечення асимптотичної стiйкостi руху.
Результати чисельних експериментiв пiдтверджують доцiльнiсть ви-
користання такого пiдходу.
[1] Абгарян К.А., Рапопорт И.М. Динамика ракет. — М.: Машиностро-
ение, 1969. — 378 с.
[2] Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами. —
М.: Наука, 1976. — 424 с.
[3] Галиуллин А.С. Построение систем программного движения. — М.:
Наука, 1971. — 352 с.
[4] Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1966. — 576 с.
[5] Колесников К.С. Жидкостная ракета как объект регулирования. —
М.: Машиностроение, 1969. — 298 с.
[6] Колесников К.С. Динамика ракет. — М.: Машиностроение, 1980. —
376 с.
[7] Лимарченко О.С., Ясинский В. В. Нелинейная динамика конструкций
с жидкостью. — Киев: НТТУ КПИ, 1997. — 338 с.
[8] Луковский И.А. Введение в нелинейную динамику твердого тела с по-
лостями, содержащими жидкость. — К.: Наукова думка, 1990. — 295 с.
[9] Луковский И.А. Математические модели нелинейной динамики твёр-
дых тел с жидкостью. — К.: Наукова думка, 2010. — 408 с.
[10] Lukovsky I.A. Nonlinear Dynamics. Mathematical Models for Rigid Bod-
ies with a Liquid. –– De Gruyter, 2015. –– 410 p.
[11] Микишев Г.Н., Рабинович Б.И. Динамика твердого тела с полостями,
частично заполненными жидкостью. — М.: Машиностроение, 1968. —
532 с.
Модальне керування механiчною системою “резервуар – . . . 55
[12] Микишев Г.Н. Экспериментальные методы в динамике космических
аппаратов. — М.: Машиностроение, 1978. — 247 с.
[13] Нариманов Г. С., Докучаев Л. В., Луковский И.А. Нелинейная ди-
намика летательного аппарата с жидкостью. — М.: Машинострое-
ние, 1977. — 208 с.
[14] Новицкий В. В. Модальное управление механическими системами //
Вопросы устойчивости и управления навигационных систем. — Киев:
Институт математики АН УССР, 1988. — с. 70-75.
[15] Новицкий В.В. Декомпозиция линейных систем и модальное управ-
ление // Препринт. — Киев: Институт математики АН УССР, 1990. —
27 с.
[16] Новицкий В.В. Обобщение метода модальной декомпозиции на неста-
ционарные системы // Устойчивость и управление в механических си-
стемах. — Киев: Институт математики НАН Украины, 1988. — с. 36-
42.
[17] Новицкий В. В. Декомпозицiя та керування в лiнiйних системах. —
Київ: Iнститут математики НАН України, 2008. — 252 с.
[18] Рабинович Б.И. Введение в динамику ракет-носителей космических
аппаратов. — М.: Машиностроение, 1975. — 416 с.
[19] Gurchenkov A., Nosov M., Tsurkov V. Control of Fluid-Containing Ro-
tating Rigid Bodies. –– CRC Press, 2013. –– 160 p.
1. Голуб А.П., Лисенко Л.О.
2. Кіфоренко Б.М., Ткаченко Я.В., Васильєв І.Ю.
Постановка задачі
Оптимальні керування
Результати розрахунків
3. Коломійчук О.П., Новицький В.В.
Вступ
Ідентифікація системи з кососиметричною невиродженою матрицею коефіцієнтів методом квазілінеаризації
4. Кононов Ю.Н., Джуха Ю.А.
Введение
Постановка задачи
Метод решения
Собственные частоты совместных колебаний упругой мембраны и жидкости
Устойчивость осесимметричных колебаний упругой мембраны при перегрузке
5. Константінов О.В., Новицький В.В.
Математична модель механічної системи ``резервуар – рідина з вільною поверхнею''
Побудова програмного керування та керування зі зворотним зв'язком
Результати чисельного моделювання
6. Лимарченко О.С., Нефьодов О.О.
Вступ
Математична модель системи
Результати чисельного моделювання
Висновки
7. Лимарченко В.О., Лимарченко О.С., Сапон М.М.
Вступ
Математична модель системи
Аналіз числових прикладів
Висновки
8. Луковський І.О.
Крайова задача теорії просторового руху резервуара, цілком заповненого ідеальною нестисливою рідиною
Варіаційний принцип у задачі про просторовий рух пружного резервуара, цілком заповненого рідиною
Визначення сил взаємодії між пружними стінками резервуара і рідиною
9. Мазко О.Г., Кусій С.М.
Вступ
Допоміжні твердження
Динамічний регулятор по вимірюваному виходу
Зважений рівень гасіння обмежених збурень.
Динамічний регулятор зі збуреннями
Дискретні системи з керованими і спостережуваними виходами
Приклад. Двомасова механічна система
Висновок
10. Працьовитий М.В., Свинчук О.В.
Вступ
Основний об'єкт
Розподіл значень функції f(x) при заданому розподілі випадкового аргументу
11. Сатур О.Р.
Існування граничних координат
Нерухомі точки динамічної системи конфлікту з притягальною взаємодією
12. Солодун А.В.
Постановка задачи
Нелинейные модальные системы
Модальные представления и
Кинематические и динамические уравнения
Нелинейная форма модальных уравнений
Бесконечномерная система нелинейных асимптотических модальных уравнений третьего порядка
Асимптотика Моисеева-Нариманова
Общие бесконечномерные нелинейные асимптотические модальные уравнения
13. Сосницький C.П.
Рівняння руху для обмеженої задачі трьох тіл
Про деякі важливі рівності в еліптичній обмеженій задачі трьох тіл
Про рух малої частки по координаті
14. Троценко Ю.В.
Постановка задачи
Вариационная формулировка задачи
Построение решений
Некоторые результаты расчетов
15. Тугай Г.В.
Попередні відомості
Побудова матриці Якобі, асоційованої з сингулярно збуреним оператором
Висновки
16. Raynovskyy I.A., Timokha A.N.
Introduction
Statement of the problem
Linear damping coefficients
Steady-state resonant solution
Response curves in the (/11,A,B) space
Conclusions
17. Timokha A.N.
Statement
Almost steady-state asymptotic solution
Conclusion
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-332 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:05:50Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/d0/ebee3866d57751852e8f63dfd4d1c5d0.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-3322018-02-13T11:53:50Z A modal control by a “reservoir-liquid with a free surface” mechanical system Модальное управление механической системой "резервуар - жидкость со свободной поверхностью" Модальне керування механiчною системою “резервуар – рiдина з вiльною поверхнею” Konstantinov, A. V. Novytsky, V. V. Константинов, А. В. Новицкий, В. В. Константінов, О. В. Новицький, В. В. The paper considers an approach to control the mechanical system “reservoir–liquid with a free surface“ providing the system to move by a prescribed trajectory. Due to a multimodal method to the sloshing liquid adapted, the approximate governing equations of the system have twelve (12) degrees of freedom. The control action contains two components, i.e., the program control and the feedback control. For the feedback control coefficients, analytical dependencies are found in an explicit form. The quality of transient processes in the controlled system is analysed. В работе рассмотрен один из подходов к построению управления механической системой “резервуар – жидкость со свободной поверхностью“. Под действием управления система должна двигаться по заданному закону. Поведение системы рассматривается на основе нелинейной многомодовой (12 форм колебаний) модели, которая описывает совместное движение резервуара и жидкости под действием управляющих сил. Управляющее воздействие содержит две компоненты: программное управление и управление с обратной связью. Для коэффициентов обратной связи найдены в явном виде аналитические зависимости. Проанализировано качество переходных процессов в системе при наличии управления. В роботi розглянуто один iз пiдходiв до побудови керування механiчною системою “резервуар – рiдина з вiльною поверхнею“. Пiд дiєю керування система повинна рухатись за заданим законом. Динамiка системи розглядається на основi нелiнiйної багатомодової (12 форм коливань) моделi, яка описує сумiсний рух резервуару та рiдини пiд дiєю керуючих сил. Керування складається iз двох компонентiв: програмного керування та керування iз звортним зв’язком. Для коефiцiєнтiв зворотного зв’язку знайдено аналiтичнi залежностi в явному виглядi. Проаналiзовано якiсть перехiдних процесiв в системi при наявностi керування. Інститут математики НАН України 2017-10-31 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/332 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 14 No. 2 (2017): Mathematic problems of mechanics and computational mathematics; 42-55 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 14 № 2 (2017): Математические проблемы механики и вычислительной математики; 42-55 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 14 № 2 (2017): Математичні проблеми механіки та обчислювальної математики; 42-55 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/332/343 Авторське право (c) 2017 Праці Інституту математики НАН України |
| spellingShingle | Konstantinov, A. V. Novytsky, V. V. Константинов, А. В. Новицкий, В. В. Константінов, О. В. Новицький, В. В. A modal control by a “reservoir-liquid with a free surface” mechanical system |
| title | A modal control by a “reservoir-liquid with a free surface” mechanical system |
| title_alt | Модальное управление механической системой "резервуар - жидкость со свободной поверхностью" Модальне керування механiчною системою “резервуар – рiдина з вiльною поверхнею” |
| title_full | A modal control by a “reservoir-liquid with a free surface” mechanical system |
| title_fullStr | A modal control by a “reservoir-liquid with a free surface” mechanical system |
| title_full_unstemmed | A modal control by a “reservoir-liquid with a free surface” mechanical system |
| title_short | A modal control by a “reservoir-liquid with a free surface” mechanical system |
| title_sort | modal control by a “reservoir-liquid with a free surface” mechanical system |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/332 |
| work_keys_str_mv | AT konstantinovav amodalcontrolbyareservoirliquidwithafreesurfacemechanicalsystem AT novytskyvv amodalcontrolbyareservoirliquidwithafreesurfacemechanicalsystem AT konstantinovav amodalcontrolbyareservoirliquidwithafreesurfacemechanicalsystem AT novickijvv amodalcontrolbyareservoirliquidwithafreesurfacemechanicalsystem AT konstantínovov amodalcontrolbyareservoirliquidwithafreesurfacemechanicalsystem AT novicʹkijvv amodalcontrolbyareservoirliquidwithafreesurfacemechanicalsystem AT konstantinovav modalʹnoeupravleniemehaničeskojsistemojquotrezervuaržidkostʹsosvobodnojpoverhnostʹûquot AT novytskyvv modalʹnoeupravleniemehaničeskojsistemojquotrezervuaržidkostʹsosvobodnojpoverhnostʹûquot AT konstantinovav modalʹnoeupravleniemehaničeskojsistemojquotrezervuaržidkostʹsosvobodnojpoverhnostʹûquot AT novickijvv modalʹnoeupravleniemehaničeskojsistemojquotrezervuaržidkostʹsosvobodnojpoverhnostʹûquot AT konstantínovov modalʹnoeupravleniemehaničeskojsistemojquotrezervuaržidkostʹsosvobodnojpoverhnostʹûquot AT novicʹkijvv modalʹnoeupravleniemehaničeskojsistemojquotrezervuaržidkostʹsosvobodnojpoverhnostʹûquot AT konstantinovav modalʹnekeruvannâmehaničnoûsistemoûrezervuarridinazvilʹnoûpoverhneû AT novytskyvv modalʹnekeruvannâmehaničnoûsistemoûrezervuarridinazvilʹnoûpoverhneû AT konstantinovav modalʹnekeruvannâmehaničnoûsistemoûrezervuarridinazvilʹnoûpoverhneû AT novickijvv modalʹnekeruvannâmehaničnoûsistemoûrezervuarridinazvilʹnoûpoverhneû AT konstantínovov modalʹnekeruvannâmehaničnoûsistemoûrezervuarridinazvilʹnoûpoverhneû AT novicʹkijvv modalʹnekeruvannâmehaničnoûsistemoûrezervuarridinazvilʹnoûpoverhneû AT konstantinovav modalcontrolbyareservoirliquidwithafreesurfacemechanicalsystem AT novytskyvv modalcontrolbyareservoirliquidwithafreesurfacemechanicalsystem AT konstantinovav modalcontrolbyareservoirliquidwithafreesurfacemechanicalsystem AT novickijvv modalcontrolbyareservoirliquidwithafreesurfacemechanicalsystem AT konstantínovov modalcontrolbyareservoirliquidwithafreesurfacemechanicalsystem AT novicʹkijvv modalcontrolbyareservoirliquidwithafreesurfacemechanicalsystem |