Generalized nonlinear modal model of the third order of smallness for sloshing in co-axial conical containers
For the problem on the resonant sloshing in coaxial conical reservoirs occurring due to harmonic horizontal tank excitations, an infinite-dimensional governing system of third-oder ordinary differential equations is derived. The derivation scheme is based on the non-conformal mapping technique and the...
Gespeichert in:
| Datum: | 2017 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2017
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/339 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552848528506880 |
|---|---|
| author | Solodun, A. V. Солодун, А. В. Солодун, А. В. |
| author_facet | Solodun, A. V. Солодун, А. В. Солодун, А. В. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "А. В. Солодун",
"institution": "Институт математики НАН Украины"
}
] |
| author_sort | Solodun, A. V. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-02-13T11:53:50Z |
| description | For the problem on the resonant sloshing in coaxial conical reservoirs occurring due to harmonic horizontal tank excitations, an infinite-dimensional governing system of third-oder ordinary differential equations is derived. The derivation scheme is based on the non-conformal mapping technique and the Moiseev–Narimanov asymptotics. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:05:57Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iнституту математики НАН України 2017, т. 14, №2, 133–149
УДК 534-14:532.59
Обобщённая нелинейная модальная
модель третьего порядка малости
колебаний жидкости в соосных
конических резервуарах ∗
А.В. Солодун
Институт математики НАН Украины, Киев;
solodun@imath.kiev.ua
For the problem on the resonant sloshing in coaxial conical reservoirs occur-
ring due to harmonic horizontal tank excitations, an infinite-dimensional
governing system of third-oder ordinary differential equations is derived.
The derivation scheme is based on the non-conformal mapping technique
and the Moiseev–Narimanov asymptotics.
Для задачi про резонанснi коливання рiдини у соосних конiчних єм-
ностях, що знаходяться пiд дiєю гармонiчних горизонтальних збу-
рень, виведено нескiнченномiрну нелiнiйну модальну систему нелi-
нiйних звичайних диференцiальних рiвнянь третього порядку, базую-
чись на технiцi неконформних перетвонень областi та використовуючи
асимптотики Моiсеєва–Нарiманова.
Введение
В последние годы исследования по динамике твердых тел с жидко-
стью пополнились новыми задачами, связанными с проектированием
водонапорных башен, а также с перевозками сжиженного природного
газа [12,24,25]. При резонансном возмущении баков, частично запол-
ненных жидкостью, с частотой, близкой к низшей собственной часто-
те колебаний жидкости, движение свободной поверхности становится
существенно нелинейным. При этом гидродинамический отклик (си-
лы и моменты) значительно превышает амплитуду внешних сил, при-
ложенных к баку, что может дестабилизировать движения системы
∗Робота выполнена при частичной поддержке НИР № 0117U004077.
c© Солодун А.В., 2017
134 Солодун А. В.
бак-жидкость. Большинство работ, описывающих нелинейные коле-
бания жидкости, относятся к случаю баков с вертикальными стенка-
ми (круговой цилиндр [3, 17, 22] и др., прямоугольный бак [13, 14] и
др.). Случаю невертикальных стенок посвящены исследования в ра-
ботах [4,7,8,11,16,18,20] и др. Обширная библиография относительно
задач о нелинейных колебаниях жидкости приведена в [3,15,19] и др.
В настоящей работе развивается нелинейный мультимодальный
метод, использование которого оправдано в ряде случаев исследо-
ваний волновых движений жидкости. Преимущества, недостатки и
ограничения метода обсуждаются в книгах [3, 15]. Это обобщение на
случай баков с невертикальными стенками связывается с методом
неконформных отображений Луковского [2, 20], который требует по-
строения форм собственных колебаний жидкости в аналитическом
виде, точно удовлетворяющих уравнению Лапласа и условию непе-
ретекания на стенках сосуда. Такие собственные формы были по-
строены для ряда конических [2,5,6,18,20] и сферических баков [16].
С использованием таких форм было построено ряд компактных и
малоразмерных нелинейных модальных систем для V-образных ко-
нических баков [4,7,18,20]. Такие системы базируются на асимптоти-
ке Моисеева-Нариманова, однако не являются “полными”, посколь-
ку не все обобщенные координаты второго и третьего порядка ма-
лости включены в анализ. Полные в смысле Моисеева-Нариманова
нелинейные модальные системы построены для усеченного кониче-
ского [10], вертикального цилиндрического [22] и сферического [16]
баков. Данная статья обобщает эти результаты на случай V-образных
соосных конических баков.
1 Постановка задачи
Рассмотрим абсолютно твердый бак в форме обратного вертикаль-
ного соосного кругового конуса с общей вершиной углами полурас-
твора внешнего θ0 и внутреннего θ1 и невозмущенной свободной по-
верхностью Σ0 единичного радиуса r0 (рис. 1). Бак частично за-
полнен идеальной несжимаемой жидкостью плотности ρ и соверша-
ет безвихревые волновые поступательные движения со скоростью
~v0(t), имеющей проекции на оси подвижной системы координат Oxyz
{η̇1(t), η̇2(t), η̇3(t)}. Начало координат размещено в вершине конуса
O. Ось Ox направлена вдоль оси конуса в направлении, противопо-
ложном вектору ускорения сил земного тяготения ~g в статическом
Обобщённая нелинейная модальная модель третьего порядка . . . 135
x
θ0
r
1
r
0
h
t
θ1
z
O
a) б)
Рис. 1. Рассматриваемая модель: a) эскиз; б) меридиональное сечение.
положении бака.
В предположениях теории потенциальных движений жидкости [3]
потенциал скоростей Φ(x, y, z, t) абсолютного движения жидкости в
подвижной системе координатOxyz и возмущенная форма свободной
поверхности, удовлетворяющая уравнению ζ(x, y, z, t) = 0, описыва-
ются следующей краевой задачей:
∇2Φ = 0, ~r ∈ Q(t), (1a)
∂Φ
∂ν
= ~v0 · ~ν, ~r ∈ S(t), (1b)
∂Φ
∂ν
= ~v0 · ~ν −
ζt
|∇ζ|2
, ~r ∈ Σ(t), (1c)
∂Φ
∂t
+
1
2
|∇Φ|2 −∇Φ · ~v0 + U = 0, ~r ∈ Σ(t), (1d)
∫
Q(t)
dQ = const, (1e)
где ~ν — орт внешней нормали к поверхности области Q(t), занятой
жидкостью, S(t) = S1(t) + S2 — смоченная боковая стенка и дно, со-
ответственно, Σ(t) — свободная поверхность жидкости, ~r = (x, y, z)
— радиус-вектор точек объема жидкости Q(t) и ее границ. U – по-
тенциал сил земного тяготения, заданный в неинерциальной системе
координат Oxyz. Интегральное соотношение (1e) выражает условие
136 Солодун А. В.
сохранения объема жидкости и является необходимым условием раз-
решимости задачи Неймана (1a)-(1c).
Эволюционная задача со свободной границей (1a)-(1d) требует под-
чинения ее решения начальным условиям, которые состоят в задании
начального профиля свободной поверхности Σ(t0) и распределения
скоростей на Σ(t) в начальный момент времени t = t0 ζ(x, y, z, t0) =
ζ0(x, y, z),
∂ Φ
∂ ν
∣∣∣∣
Σ(t0)
= Φ0(x, y, z), где ζ0(x, y, z) и Φ0(x, y, z) являются
известными функциями.
Нелинейная краевая задача (1) имеет вариационную формули-
ровку, связанную с известным вариационным принципом Бейтмана-
Люка [3, 8], в котором в качестве функции Лагранжа выступает вы-
ражение
L = −ρ
∫
Q(t)
(
∂Φ
∂t
+
1
2
|∇Φ|2 −∇Φ · ~v0 + gx
)
dQ. (2)
Луковский [1] и Майлс [23] в соответствии с принципом Бейтмана-
Люка свели задачу (1) к нахождению экстремальных значений функ-
ционала действия A(ζ,Φ) =
∫ t2
t1
Ldt на пробных функциях [3], удо-
влетворяющих условиям δ Φ|t1,t2 = 0, δ ζ|t1,t2 = 0. При этом пред-
полагается, что свободная поверхность представима в форме ζ =
x− f(y, z, t) = 0 и f(y, z, t) раскладывается в обобщенный ряд Фурье
f(y, z, t) =
∑
i βi(t)fi(y, z) с зависимыми от времени коэффициентами
βi(t), играющими роль обобщенных координат. При этом
fmi(y, z) = (σmi/g)φmi(ht, y, z) (3)
— полная ортогональная вместе с константой система функций, удо-
влетворяющая условию сохранения объема (1e).
Потенциал скоростей представляется в виде
Φ(x, y, z, t) = ~v0 · ~r +
∑
j
Rj(t)φj(x, y, z), (4)
где φj(x, y, z) — полный линейно независимый набор гармонических
функций в Q(t), удовлетворяющих уравнению Лапласа и условию
Неймана на смоченных стенках бака, а Rj(t) — параметры, харак-
теризующие изменение потенциала скоростей во времени. Базовой
задачей в этой теории является спектральная задача на собственные
Обобщённая нелинейная модальная модель третьего порядка . . . 137
значения следующего вида:
∆φ = 0, ~r ∈ Q0,
∂φ
∂ν
= 0, ~r ∈ S0,
∂φ
∂ν
= κ φ, ~r ∈ Σ0,
∫
Σ0
∂φ
∂ν
dS = 0. (5)
Подставляя представление для свободной поверхности и потенци-
ала скоростей в условия стационарности действия по Гамильтону-
Остроградскому согласно схеме, описанной в [3], получим модальные
уравнения для обобщенных координат βi(t) и параметров Rj(t)
dAN
dt
≡
∑
K
∂AN
∂βK
β̇K −
∑
K
ANKRK = 0, N,K, i = 1, 2, ..., (6a)
∑
N
ṘN
∂AN
∂βi
+
1
2
∑
NK
∂ANK
∂βi
RNRK + (~̇v0 − ~g)
∂~l
∂βi
= 0, (6b)
где
AN = ρ
∫
Q(t)
φNdQ, ANK = ρ
∫
Q(t)
(∇φN ,∇φK) dQ, ~l = ρ
∫
Q(t)
~rdQ, (7)
Поскольку область жидкости Q(t) определяется при помощи сво-
бодной поверхности Σ(t), которая определяются в свою очередь при
помощи уравнения ζ(x, y, z, t, {βN}) = 0, то интегральные величины
AN , ANK и ~l выражаются сложным образом через обобщенные коор-
динаты {βN}.
2 Нелинейные модальные системы
2.1 Модальные представления ζ и Φ
Для того, чтобы дать подходящее представление свободной поверх-
ности, что невозможно в рамках декартовой параметризации, следуя
работам [3,18,20], введем в рассмотрение криволинейную систему ко-
ординат Ox1x2x3 с помощью соотношений x = x1, y = x1x2 cosx3,
z = x1x2 sinx3. Рисунок 1 б) иллюстрирует, как введенное преоб-
разование трансформирует меридиональное сечение G невозмущен-
ного объема жидкости в меридиональное сечение G∗, представляю-
щее собой в плоскости Ox1x2 прямоугольник со сторонами h = x10,
x20 = tan θ0 и x21 = tan θ1. Таким образом, усеченный конический
138 Солодун А. В.
объем невозмущенного объема жидкости трансформируется в систе-
ме (x1, x2, x3) в параллелепипед (0 ≤ x1 ≤ x10, x21 ≤ x2 ≤ x20,
0 ≤ x3 ≤ 2π).
Подходящие собственные формы колебаний жидкости (моды) для
V -образных конических баков были предложены в [2, 6]. Решения
представлены в криволинейной системе координат в виде
φ(x1, x2, x3) =
ψMi(x1, x2) cos(Mx3)
ψmi(x1, x2) sin(mx3)
, (8)
где ψMi(x1, x2) cos(Mx3) и ψmi(x1, x2) sin(mx3) возникают из соответ-
ствующей спектральной проблемы в G∗. За исключением осесиммет-
ричной модыM = 0, существуют две cos- и sin- моды для каждой соб-
ственной частоты σmi. Индекс i перенумеровывает все собственные
частоты и моды для одного волнового числа m в угловом направ-
лении, что соответствует иному волновому профилю в радиальном
направлении. Заглавная буква M подразумевает смену индекса от
нуля до бесконечности (M = 0, 1, 2, . . .), а прописная m – от единицы
до бесконечности (m, i = 1, 2, . . .).
Свободную поверхность и потенциал скоростей можно задать в
следующем виде:
f∗(x2, x3, t) = x10 + β0(t) +
∑
Mi
pMi(t)fMi(x2) cos(Mx3)
+
∑
Mi
rmi(t)fmi(x2) sin(mx3), (9)
Φ∗(x1, x2, x3, t) = ~v0 · ~r +
∑
Mi
PMi(t)ψMi(x1, x2) cos(Mx3)
+
∑
mi
Rmi(t)ψmi(x1, x2) sin(mx3), (10)
где pMi и rmi играют роль обобщенных координат. Теперь, соглас-
но (9) и (10), интегралы (7) полностью определяются обобщенными
координатами pMi, rmi.
Особенностью нецилиндрических баков является то, что собствен-
ные функции (3) не гарантируют выполнение нелинейного условия
сохранения объема (1e). Поэтому модальное представление (9) со-
держит функцию β0(t), которая параметрически зависит от других
обобщенных координат и выбирается из необходимости удовлетворе-
ния условия (1e).
Обобщённая нелинейная модальная модель третьего порядка . . . 139
2.2 Кинематические и динамические уравнения
Учитывая представления (9) и (10), можно переписать модальные
уравнения (6) в соответствующей форме относительно введенных обо-
значений обобщенных координат. Кинематические модальные урав-
нения (6a) принимают следующий вид:
∑
Mn
∂ApAb
∂pMn
ṗMn+
∑
mn
∂ApAb
∂rmn
ṙmn =
∑
Mn
AppAb,MnPM,n+
∑
mn
AprAb,mnRmn = 0,
∑
Mn
∂Arab
∂pMn
ṗMn +
∑
mn
∂Arab
∂rmn
ṙmn =
∑
Mn
AprMn,abPMn +
∑
mn
ArrAb,mnRmn = 0,
(11)
а динамические модальные уравнения (6b) соответственно вид:
∑
Mn
∂ApMn
∂pAb
ṖMn +
∑
mn
∂Armn
∂pAb
Ṙmn +
1
2
∑
MnLk
∂AppMn,Lk
∂pAb
PMnPLk+
+
1
2
∑
mnlk
∂Arrmn,lk
∂pAb
RmnRlk +
∑
Mnlk
∂AprMn,lk
∂pAb
PMnRlk +
3∑
i=1
∂li
∂pAb
η̈i = 0,
∑
Mn
∂ApMn
∂rab
ṖMn +
∑
mn
∂Armn
∂rab
Ṙmn +
1
2
∑
MnLk
∂AppMn,Lk
∂rab
PMnPLk+
+
1
2
∑
mnlk
∂Arrmn,lk
∂rab
RmnRlk +
∑
Mnlk
∂AprMn,lk
∂rab
PMnRlk +
3∑
i=1
∂li
∂rab
η̈i = 0.
(12)
При помощи представления свободной поверхности (9) с учетом пред-
ставления β0(pMi, rmi, t) получаем явные выражения для интегралов
(7). Компоненты вектора AN = {{ApAb}, {Arab}} определяются следу-
ющими интегралами:
ApAb = ρ
∫ 2π
0
∫ x20
x21
cosAx3Θ
0
Ab(x1, x2, pIj, rij)dx2dx3,
Arab = ρ
∫ 2π
0
∫ x20
x21
sin ax3Θ
0
ab(x1, x2, pIj, rij)dx2dx3, (13)
а компоненты матрицы ANK = {{AppAb,Cd, A
pr
Ab,cd}, {A
pr
Ab,cd, A
rr
ab,cd}} со-
ответственно следующими интегралами:
140 Солодун А. В.
AppAb,Cd = ρ
∫ 2π
0
∫ x20
x21
(
cosAx3 cosCx3Θ
1
AbCd(x1, x2, pIj , rij)+
+ sinAx3 sinCx3Θ
2
AbCd(x1, x2, pIj , rij)
)
dx2dx3,
Arrab,cd = ρ
∫ 2π
0
∫ x20
x21
(
sin ax3 sin cx3Θ
1
abcd(x1, x2, pIj , rij)+
+ cosax3 cos cx3Θ
2
abcd(x1, x2, pIj, rij)
)
dx2dx3,
AprAb,cd = ρ
∫ 2π
0
∫ x20
x21
(
cosAx3 sin cx3Θ
1
Abcd(x1, x2, pIj , rij)−
− sinAx3 cos cx3Θ
2
Abcd(x1, x2, pIj , rij)
)
dx2dx3, (14)
где
Θ0
N (x1, x2, pIj, rij) =
∫ f∗+x10
0
x21ψN dx1,
Θ1
NK(x1, x2, pIj , rij) =
∫ f∗+x10
0
(
x21x2
∂ψN
∂x1
∂ψK
∂x1
+
+x2
(
1 + x22
) ∂ψN
∂x2
∂ψK
∂x2
− x1x
2
2
(
∂ψN
∂x1
∂ψK
∂x2
+
∂ψN
∂x2
∂ψK
∂x1
))
dx1,
Θ2
NK(x1, x2, pIj, rij) =
∫ f∗+x10
0
1
x2
∂ψN
∂x3
∂ψK
∂x3
dx1. (15)
2.3 Нелинейная форма модальных уравнений
Воспользовавшись адаптивным методом третьего порядка, детально
описанным в работах [3,7,22], можно получить общую полную беско-
нечномерную нелинейную модальную систему третьего порядка ма-
лости, в которой сохраняются лишь члены третьего порядка малости
относительно обобщенных координат. Предполагаем, что
pMi ∼ PMi ∼ rmi ∼ Rmi ∼ ǫ, (16)
где ǫ3 ≪ 1 является порядком величины безразмерного внешнего воз-
действия η1(t) ∼ η2(t) ∼ ǫ3, при этом пренебрегаем составляющими
выше ǫ3.
Вывод нелинейных модальных уравнений является достаточно уто-
мительной аналитической процедурой. Ограничимся здесь только схе-
мой получения общей модальной системы. На первом этапе находим
Обобщённая нелинейная модальная модель третьего порядка . . . 141
элементы вектора AN из (13) по симметричным ApAb и антисиммет-
ричным Arab компонентам с точностью до слагаемых третьей степени
(кубических) относительно обобщенных координат, а также находим
с точностью до слагаемых второй степени (квадратичных) относи-
тельно обобщенных координат компоненты AppAb, A
pr
Ab, A
rr
ab матрицы
ANK из (14). На втором этапе решаем асимптотически кинематиче-
ские уравнения (11) относительно обобщенных скоростей, которые в
общем виде выражаются через обобщенные координаты следующим
образом:
PCd = Z
p
CdṗCd +
∑
MNij
Z
pp,Cd
Mi,NjpMiṗNj +
∑
mnij
Z
rr,Cd
mi,njrmiṙnj+
+
∑
MNLijk
Z
ppp,Cd
Mi,Nj,LkpMipNj ṗLk +
∑
Mnlijk
Z
prr,Cd
Mi,nj,lkpMirnj ṙlk+
+
∑
mnLijk
Z
rrp,Cd
mi,nj,Lkrmirnj ṗLk, Rcd = Z
r
cdṙcd +
∑
Mnij
Z
pr,cd
Mi,njpMiṙnj+
+
∑
mNij
Z
rp,cd
mi,NjrmiṗNj +
∑
MNlijk
Z
ppr,cd
Mi,Nj,lkpMipNj ṙlk
+
∑
MnLijk
Z
prp,cd
Mi,nj,LkpMirnj ṗLk +
∑
mnlijk
Z
rrr,cd
mi,nj,lkrmirnj ṙlk. (17)
И, наконец, на финальном этапе, с учетом общего представления век-
тора ~l получаем следующие окончательные наиболее общие полные
бесконечномерные модальные уравнения до третьего порядка вклю-
чительно (теория третьего порядка малости):
LpEh
=
∑
Mi
δMEδihd
p,Eh
Mi p̈Mi+
∑
Mi
δMEδihg
p,Eh
Mi pMi+
∑
mnij
grr,Ehmi,njrmirnj
+
∑
MNij
gpp,EhMi,NjpMipNj +
∑
MNij
tpp,EhMi,Nj ṗMiṗNj +
∑
MNLijk
gppp,EhMi,Nj,LkpMipNjpLk
+
∑
Mnlijk
gprr,EhMi,nj,lkpMirnjrlk+
∑
MNij
dpp,EhMi,NjpMip̈Nj +
∑
Mnlijk
dprr,EhMi,nj,lkpMirnj r̈lk
+
∑
mnij
trr,Ehmi,nj ṙmiṙnj +
∑
mnij
drr,Ehmi,njrmir̈nj +
∑
MNLijk
tppp,EhMi,Nj,LkpMiṗNj ṗLk
+
∑
MNLijk
dppp,EhMi,Nj,LkpMipNj p̈Lk +
∑
Mnlijk
tprr,EhMi,nj,lkpMiṙnj ṙlk
142 Солодун А. В.
+
∑
mNlijk
trpr,Ehmi,Nj,lkrmiṗNj ṙlk +
∑
mnLijk
drrp,Ehmi,nj,Lkrmirnj p̈Lk = −η2δ1Eeh,
(18a)
Lreh =
∑
mi
δmeδihd
r,eh
mi r̈mi +
∑
mi
δmeδihg
r,eh
mi rmi +
∑
Mnij
gpr,ehMi,njpMirnj
+
∑
MNlijk
gppr,ehMi,Nj,lkpMipNjrlk +
∑
mnlijk
grrr,ehmi,nj,lkrmirnjrlk +
∑
Mnij
tpr,ehMi,nj ṗMiṙnj
+
∑
Mnij
dpr,ehMi,njpMir̈nj+
∑
mNLijk
trpp,ehmi,Nj,LkrmiṗNj ṗLk+
∑
MnLijk
dprp,ehMi,nj,LkpMirnj p̈Lk
+
∑
mNij
drp,ehmi,Njrmip̈Nj+
∑
MNlijk
tppr,ehMi,Nj,lkpMiṗNj ṙlk+
∑
MNlijk
dppr,ehMi,Nj,lkpMipNj r̈lk
+
∑
mnlijk
trrr,ehmi,nj,lkrmiṙnj ṙlk +
∑
mnlijk
drrr,ehmi,nj,lkrmirnj r̈lk = −η3δ1eeh. (18b)
Выражения гидродинамических d-, g- и t-коэффициентов имеют
гораздо более сложный вид, чем аналогичные коэффициенты, полу-
ченные для баков прямоугольной [13,14] или цилиндрической [17,22]
формы. Однако количество таких коэффициентов уменьшается за
счет того, что многие из них являются либо нулями, либо равны
друг другу. Многие из этих гидродинамических коэффициентов рав-
ны между собой или являются простой линейной комбинацией дру-
гих. Это было аналитически показано в работах [6,22] для вертикаль-
ной круговой цилиндрической емкости, в работе [18] для обычного
V-образного кругового конического бака, а также в работе [16] для
бака сферической формы.
Структура модальной системы (18) аналогична полученной для
баков с обычными коническими полостями [4, 18], а вид самих коэф-
фициентов более сложный, хотя алгоритмически они идентичны.
Упростить общие модальные уравнения (18) можно после посту-
лирования конкретных асимптотических соотношений между обоб-
щенными координатами pMi и rmi, выбрав среди них такие, которые
имеют первый, второй и третий порядок малости соответственно. Та-
кими интермодальными соотношениями являются асимптотики типа
Моисеева-Нариманова.
Обобщённая нелинейная модальная модель третьего порядка . . . 143
3 Бесконечномерная система нелинейных асимп-
тотических модальных уравнений третьего по-
рядка
3.1 Асимптотика Моисеева-Нариманова
В работе [9] показано, что в случае небольших величин амплитуд
почти периодических внешних возмущений (η1 и η2) с частотой σ,
близкой к самой низкой собственной частоте σ11, и отсутствии вто-
ричного резонанса существуют специальные асимптотические взаи-
моотношения между обобщенными координатами. Асимптотические
соотношения Моисеева-Нариманова являются основой для дальней-
шего мультимодального анализа. Для осесимметричных баков, эти
соотношения подразумевают, что основные обобщенные координаты
p11 и r11 являются доминантными, другие – вспомогательными, и
согласно [3, 7, 13, 15, 22] имеют следующие порядки
p11, r11,∼ ǫ p0i, p2i, r2i ∼ ǫ2, p1(i+1), r1(i+1), p3i, r3i ∼ ǫ3, (19)
i = 1, 2, . . ., а остальные обобщенные координаты имеют порядокO(ǫ3)
и, следовательно, не учитываются в нелинейном взаимодействии. При-
меры подобных нелинейных асимптотических модальных систем, ба-
зирующихся на асимптотиках (19), можно найти в [3,17,22] для вер-
тикальных круговых цилиндрических емкостей, в [13,14] для прямо-
угольных баков, в [16] для сферических баков и в [7, 8, 10, 13, 18] для
вертикальных круговых конических баков.
3.2 Общие бесконечномерные нелинейные асимптотические
модальные уравнения
Опуская обширные и трудоемкие, но не сложные выводы общих мо-
дальных уравнений, в конечном итоге моисеевская асимптотика (19)
приводит к следующим единственным общим бесконечномерным нели-
нейным модальным уравнениям для описания резонансных колеба-
ний жидкости в окрестности основной собственной частоты в верти-
кальных усеченных круговых конических полостях:
Lp0h = µ0h
(
p̈0h + σ2
0hp0h
)
+ d8,h
(
ṗ211 + ṙ211
)
+
+ d10,h (p11p̈11 + r11r̈11) + G0h
(
p211 + r211
)
= 0, (20a)
144 Солодун А. В.
Lp2h = µ2h
(
p̈2h + σ2
2hp2h
)
+ d7,h
(
ṗ211 − ṙ211
)
+
+ d9,h (p11p̈11 − r11r̈11) + G4,h
(
p211 − r211
)
= 0, (20b)
Lr2h = µ2h
(
r̈2h + σ2
2hr2h
)
+ 2d7,h (ṗ11ṙ11) +
+ d9,h (p11r̈11 + r11p̈11) + 2G4,hp11r11 = 0, (20c)
Lp11 = µ11
(
p̈11 + σ2
11p11
)
+d1
(
p211p̈11 + p11r11r̈11 + p11ṗ
2
11 + p11ṙ
2
11
)
+
+ d2
(
r211p̈11 − p11r11r̈11 + 2r11ṗ11ṙ11 − 2p11ṙ
2
11
)
+ G1
(
p311 + p11r
2
11
)
+
+
∑
j=1
(
d j3 (p̈11p2j + r̈11r2j + ṗ11ṗ2j + ṙ11ṙ2j) + d j4 (p11p̈2j + r11r̈2j)+
+ d j5 (p0j p̈11 + ṗ0j ṗ11) + d j6 (p̈0jp11)+
+Gj2 (p0jp11) + Gj3 (p11p2j + r11r2j)
)
= −η̈2e1, (20d)
Lr11 = µ11
(
r̈11 + σ2
11r11
)
+ d1
(
p11r11p̈11 + r211r̈11 + r11ṗ
2
11 + r11ṙ
2
11
)
+
+ d2
(
p211r̈11 − p11r11p̈11 + 2p11ṗ11ṙ11 − 2r11ṗ
2
11
)
+ G1
(
p211r11 + r311
)
+
+
∑
j=1
(
d j3 (p̈11r2i − r̈11p2j + ṗ11ṙ2j − ṙ11ṗ2j) + d j4 (p11r̈2j − r11p̈2j)+
+ d j5 (p0j r̈11 + ṗ0j ṙ11) + d j6 (p̈0jr11)+
+Gj2 (p0jr11) + Gj3 (p11r2j − r11p2j)
)
= −η̈3e1, (20e)
Lp3h = µ3h
(
p̈3h + σ2
3hp3h
)
+ d11,h
(
p211p̈11 − r211p̈11 − 2p11r11r̈11
)
+
d12,h
(
p11ṗ
2
11 − p11ṙ
2
11 − 2r11ṗ11ṙ11
)
+ G6,h
(
p311 − 3p11r
2
11
)
+
∑
j=1
(
d j13,h (p̈11p2j − r̈11r2j) + d j14,h (p11p̈2j − r11r̈2j) +
+d j15,h (ṗ11ṗ2j − ṙ11ṙ2j) + Gj5,h (p11p2j − r11r2j)
)
= 0, (20f)
Lr3h = µ3h
(
r̈3h + σ2
3hr3h
)
+ d11,h
(
p211r̈11 − r211r̈11 + 2p11r11p̈11
)
+
Обобщённая нелинейная модальная модель третьего порядка . . . 145
d12,h
(
r11ṗ
2
11 − r11ṙ
2
11 + 2p11ṗ11ṙ11
)
+ G6,h
(
3p211r11 − r311
)
+
∑
j=1
(
d j13,h (p̈11r2j + r̈11p2j) + d j14,h (p11r̈2j + r11p̈2j) +
+d j15,h (ṗ11ṙ2j + ṙ11ṗ2j) + Gj5,h (p11r2j + r11p2j)
)
= 0, (20g)
Lp1k = µ1k
(
p̈1k + σ2
1kp1k
)
+ d16,k
(
p211p̈11 + p11r11r̈11
)
+
+ d18,k
(
p11ṗ
2
11 + p11ṙ
2
11
)
+ d17,k
(
r211p̈11 − p11r11r̈11
)
+
+ d19,k
(
r11ṗ11ṙ11 − p11ṙ
2
11
)
+ G1k
(
p311 + p11r
2
11
)
+
+
∑
j=1
(
d j20,k (p̈11p2j + r̈11r2j) + d j22,k (ṗ11ṗ2i + ṙ11ṙ2j)+
+ d j21,k (p11p̈2j + r11r̈2j) + d j23,k (p0j p̈11) + d j25,k (ṗ0j ṗ11) +
+d j24,k (p̈0jp11) + Gj3,k (p0jp11) + Gj2,k (p11p2j + r11r2j)
)
= 0, (20h)
Lr1k = µ1k
(
r̈1k + σ2
1kr1k
)
+ d16,k
(
p11r11p̈11 + r211r̈11
)
+
+ d18,k
(
r11ṗ
2
11 + r11ṙ
2
11
)
+ d17,k
(
p211r̈11 − p11r11p̈11
)
+
+ d19,k
(
p11ṗ11ṙ11 − r11ṗ
2
11
)
+ G1k
(
p211r11 + r311
)
+
+
∑
j=1
(
d j20,k (p̈11r2j − r̈11p2j) + d j22,k (ṗ11ṙ2j − ṙ11ṗ2j)+
+ d j21,k (r11p̈2j − p11r̈2j) + d j23,k (p0j r̈11) + d j25,k (ṗ0j ṙ11)+
+d j24,k (p̈0jr11) + Gj3,k (p0jr11) + Gj2,k (p11r2j − r11p2j)
)
= 0. (20i)
Такая упрощенная форма модальной системы весьма удобна для по-
следующего анализа. Особенностью этих коэффициентов является
бесконечное суммирование по порядковому индексу для мод второго
и третьего порядка малости в модальном представлении свободной
поверхности (9) и потенциала скоростей (10).
Следует отметить, что при удержании в системе (20) только пер-
вых семь гармоник (m = 0, 1, 2, 3, i, j, h = 1, k = 0) в результате полу-
чаем с точностью до переопределения семимодовую модальную си-
стему, эквивалентную полученной в работе [7] со всеми вытекающими
последствиями – аналитическим видом коэффициентов и равности их
146 Солодун А. В.
численных значений. Тем не менее, процедура вывода асимптотиче-
ской модальной системы есть весьма сложной аналитической зада-
чей, что может порождать вычислительные ошибки и требует особой
тщательности в выкладках, а также проверки полученных результа-
тов путем сравнения их с имеющимися в литературе для предельных
случаев. Таким предельным случаем является, например, вертикаль-
ный круговой цилиндр (θ0 → 0), a также случай r1 → 0, кото-
рый соответствует неусеченному конусу. В последнем случае уравне-
ния (20) переходят в пятимодовую модальную систему из работы [18].
Действительно, расчеты показывают, что гидродинамические коэф-
фициенты (20) принимают значения затабулированных коэффици-
ентов из работы [18]. Заметим, что в (20) имеются G-коэффициенты,
выражающие так называемую геометрическую нелинейность, возни-
кающую в связи с невертикальностью стенок. Такие коэффициенты
отсутствуют в уравнениях для кругового цилиндрического бака.
Занимательным, а возможно и существенным фактом является
то, что за исключением членов относящихся к “геометрической нели-
нейности” полученные модальные уравнения (20), имеющие моисе-
евскую асимптотику и описывающие колебания жидкости в верти-
кальных круговых полостях вращения, имеют ту же структуру, а
соответственные уравнения для конических и сферических полостей
вообще имеют идентичную структуру. Предположительно, структу-
ра дифференциальных уравнений (20) является инвариантной для
баков в форме фигур вращения с невертикальными стенками в рам-
ках используемой методики. Следовательно получается, что геомет-
рия бака влияет на вид и значения гидродинамических коэффициен-
тов и собственных частот, но не на структуру модальных уравнений.
Аналитическое определение всех функций и коэффициентов дано в
препринте arXiv:1710.01725.
С целью демонстрации конкретных численный результатов, огра-
ничимся для примера некоторыми основными значениями. Так на
рис. 2 представлены зависимости σmn, (m = 1, 2, k = 1, ..., 5) от уг-
ла θ1 для характерной полости с внешним углом θ0 = 30◦ полученные
из следующих формул:
σ2
mn = gh20λmn,mn
(
Ēmn,mn,0 + Ẽmn,mn,0
)
/Ê2
mn,1,mn. (21)
Граничные значения на вертикальной оси соответствуют нулевому
углу конусности, θ0 = 0 и, как видно из рисунков, действительно в
пределе совпадают c результатами Луковского из работы [7].
Обобщённая нелинейная модальная модель третьего порядка . . . 147
0 5 10 15 20 25 Θ1
5
10
15
20
Σ1 n
Σ15
Σ14
Σ13
Σ12
Σ11
0 5 10 15 20 25 Θ1
5
10
15
20
Σ2 n
Σ26
Σ25
Σ24
Σ23
Σ22
Рис. 2. σ1k, σ2k (k = 1, ..., 5) системы (20) относительно θ1 для θ0 = 30◦.
Выводы
Данная работа является обобщением результатов автора [7], описыва-
ющих резонансные колебания жидкости в соосных конических баках
с общей вершиной. Такое обобщение мультимодального метода стало
возможным благодаря найденным ранее собственным формам коле-
баний жидкости [5] и использованию техники неконформных отобра-
жений области Луковского [2].
В итоге получено три системы нелинейных модальных уравнений.
Первая — это общая полная нелинейная модальная система, связы-
вающая обобщенные координаты и скорости ((11) и (12)), известная
ранее только для баков с вертикальными боковыми стенками, а на
данный момент обобщенная (расширенная) и на некоторые баки с
невертикальными стенками (сферические и теперь конические). Вто-
рая система (18) — это общая полная система нелинейных модаль-
ных уравнений с обобщенными координатами третьего порядка мало-
сти. Данная система в общем случае учитывает резонансные колеба-
ния жидкости не обязательно в окрестности наинизшей собственной
частоты, т. е. может быть переписана с учетом наличия некоторо-
го внутреннего резонанса. Третья система — это полная нелинейная
модальная система третьего порядка малости, записанная с учетом
междумодальных асимптотических соотношений моисеевского типа
(20), описывающая резонансные колебания жидкости в окрестности
основной собственной наинизшей частоты.
[1] Луковский И. А. Вариационный метод в нелинейных задачах динами-
ки ограниченного объёма жидкости со свободной поверхностью Коле-
148 Солодун А. В.
бания упругих конструкций с жидкостью.— M.: Волна, 1976. — C. 260–
264.
[2] Луковський I. А. До розв’язування спектральних задач лiнiйної теорiї
коливань рiдини в конiчних баках // Доповiдi НАН України. Механi-
ка. — 2002. — № 5. — C. 53–58.
[3] Луковский И. А. Математические модели нелинейной динамики твер-
дых тел с жидкостью.— К.: Наук. думка, 2010. — 407 с.
[4] Луковский И. А., Билык А. Н. Вынужденные нелинейные колеба-
ния жидкости в подвижных осесимметричных конических полостях //
Численно-аналитические методы исследования динамики и устойчи-
вости многомерных систем.— К.: Институт математики АН УССР,
1985. — C. 12–26.
[5] Луковский И. А., Солодун А. В. Вариационный метод исследования
спектральной задачи о собственных колебаниях жидкости в соосных
конических резервуарах // Зб. праць Iн-ту математики НАН Украї-
ни. — 2013.— 10, 3.— С. 88–112.
[6] Луковский И. А., Солодун А. В., Тимоха А. Н. Собственные часто-
ты колебаний жидкости в усеченных конических баках // Акуст. вiс-
ник. — 2006.— 9, 3.— С. 18–34.
[7] Луковский И. А., Солодун А. В., Тимоха А. Н. Нелинейная асимпто-
тическая модальная теория резонансных колебаний жидкости в сре-
занных конических баках // Акуст. вiсник. — 2011.— 14, 4. — С. 37–64.
[8] Луковский И. А., Тимоxа А. Н. Вариационные методы в нелинейной
динамике ограниченного объёма жидкости. К.: Институт математики
НАН Украины, — 1995. — 400 с.
[9] Моисеев Н. Н. К теории нелинейных колебаний ограниченного объема
жидкости // Прикл. мат. мех. — 1958.— 22. — С. 612–621.
[10] Солодун А. В. Нелинейные модальные модели третьего порядка ма-
лости, описывающие резонансные колебания жидкости в усеченных
конических резервуарах // Зб. праць Iн-ту математики НАН Украї-
ни. — 2014.— 11, 4. — С. 280–307.
[11] Bauer H. F., Eidel W. Non–linear liquid motion in conical container//
Acta Mechanica. –– 1988. –– 73, (1-4). –– P. 11–31.
[12] El Damatty A., Korol R. M., Tang L. M. Analytical and experimental in-
vestigation of the dynamic response of liquid-filled conical tanks Proceed-
ings of the World Conference of Earthquake Engineering, New Zeland, ––
2000. –– Paper No. 966, Topic No. 7.
[13] Faltinsen O. M., Rognebakke O. F., Lukovsky I. A., Timokha A. N. Mul-
tidimensional modal analysis of nonlinear sloshing in a rectangular tank
Обобщённая нелинейная модальная модель третьего порядка . . . 149
with finite water depth // J. Fluid Mechanics. –– 2000. –– 407. –– P. 201–
234.
[14] Faltinsen O. M., Rognebakke O. F., Timokha A. N. Resonant three-
dimensional nonlinear sloshing in a square base basin // J. Fluid Me-
chanics. –– 2003. –– 487. –– P. 1–42.
[15] Faltinsen O. M., Timokha A. N. Sloshing. Cambridge: Cambridge Univ.
Press, 2009. –– 608 p.
[16] Faltinsen O. M., Timokha A. N. Multimodal analysis of weakly nonlinear
sloshing in a spherical tank // 2013. –– 719, –– P. 129–164.
[17] Gavrilyuk I., Lukovsky I., Timokha A. A multimodal approach to nonlin-
ear sloshing in a circular cylindrical tank // Hybrid Methods in Engineer-
ing. –– 2000. –– 2, (Issue 4). –– P. 463–483.
[18] Gavrilyuk I., Lukovsky I. A., Timokha A. N. Linear and nonlinear sloshing
in a circular conical tank // Fluid Dynamics Research. –– 2005. –– 37. ––
P. 399–429.
[19] Ibrahim R. Liquid sloshing dynamics. Cambridge: –– Cambridge Univ.
Press, –– 2005. –– 948 p.
[20] Lukovsky I. A., Timokha A. N. Modal modeling of nonlinear fluid sloshing
in tanks with non-vertical walls. Non-conformal mapping technique // In-
ternational Journal of Fluid Mechanics Research. –– 2002. –– 29, Issue 2. ––
P. 216–242.
[21] Lukovsky I. A. Variational methods of solving dynamic problems for fluid-
containing bodies // International Applied Mechanics. –– 2004. –– 40, Is-
sue 10. –– P. 1092–1128.
[22] Lukovsky I. A., Ovchinnikov D. V., Timokha A. N. Asymptotic nonlinear
multimodal method for liquid sloshing in an upright circular cylindrical
tank. Part 1: Modal equations // Nonlinear Oscillations. –– 2012. –– 14,
4. –– P. 512–525.
[23] Miles J. W. Nonlinear surface waves in closed basins // J. Fluid Mech. ––
1976. –– 75. –– P. 419–448.
[24] La Rocca M., Scortino M., Boniforti M. A fully nonlinear model for slosh-
ing in a rotating container // Fluid Dynamics Research. –– 2000. –– 27. ––
P. 225–229.
[25] Shrimali M. K., Jangid R. S. Earthquake response of isolated elevated
liquid storage steel tanks // J. of Constructional Steel Research.–– 2003. ––
59. –– P. 1267–1288.
1. Голуб А.П., Лисенко Л.О.
2. Кіфоренко Б.М., Ткаченко Я.В., Васильєв І.Ю.
Постановка задачі
Оптимальні керування
Результати розрахунків
3. Коломійчук О.П., Новицький В.В.
Вступ
Ідентифікація системи з кососиметричною невиродженою матрицею коефіцієнтів методом квазілінеаризації
4. Кононов Ю.Н., Джуха Ю.А.
Введение
Постановка задачи
Метод решения
Собственные частоты совместных колебаний упругой мембраны и жидкости
Устойчивость осесимметричных колебаний упругой мембраны при перегрузке
5. Константінов О.В., Новицький В.В.
Математична модель механічної системи ``резервуар – рідина з вільною поверхнею''
Побудова програмного керування та керування зі зворотним зв'язком
Результати чисельного моделювання
6. Лимарченко О.С., Нефьодов О.О.
Вступ
Математична модель системи
Результати чисельного моделювання
Висновки
7. Лимарченко В.О., Лимарченко О.С., Сапон М.М.
Вступ
Математична модель системи
Аналіз числових прикладів
Висновки
8. Луковський І.О.
Крайова задача теорії просторового руху резервуара, цілком заповненого ідеальною нестисливою рідиною
Варіаційний принцип у задачі про просторовий рух пружного резервуара, цілком заповненого рідиною
Визначення сил взаємодії між пружними стінками резервуара і рідиною
9. Мазко О.Г., Кусій С.М.
Вступ
Допоміжні твердження
Динамічний регулятор по вимірюваному виходу
Зважений рівень гасіння обмежених збурень.
Динамічний регулятор зі збуреннями
Дискретні системи з керованими і спостережуваними виходами
Приклад. Двомасова механічна система
Висновок
10. Працьовитий М.В., Свинчук О.В.
Вступ
Основний об'єкт
Розподіл значень функції f(x) при заданому розподілі випадкового аргументу
11. Сатур О.Р.
Існування граничних координат
Нерухомі точки динамічної системи конфлікту з притягальною взаємодією
12. Солодун А.В.
Постановка задачи
Нелинейные модальные системы
Модальные представления и
Кинематические и динамические уравнения
Нелинейная форма модальных уравнений
Бесконечномерная система нелинейных асимптотических модальных уравнений третьего порядка
Асимптотика Моисеева-Нариманова
Общие бесконечномерные нелинейные асимптотические модальные уравнения
13. Сосницький C.П.
Рівняння руху для обмеженої задачі трьох тіл
Про деякі важливі рівності в еліптичній обмеженій задачі трьох тіл
Про рух малої частки по координаті
14. Троценко Ю.В.
Постановка задачи
Вариационная формулировка задачи
Построение решений
Некоторые результаты расчетов
15. Тугай Г.В.
Попередні відомості
Побудова матриці Якобі, асоційованої з сингулярно збуреним оператором
Висновки
16. Raynovskyy I.A., Timokha A.N.
Introduction
Statement of the problem
Linear damping coefficients
Steady-state resonant solution
Response curves in the (/11,A,B) space
Conclusions
17. Timokha A.N.
Statement
Almost steady-state asymptotic solution
Conclusion
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-339 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Russian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:05:57Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/b9/ab9d9295a6985adc6fa6247aca7f66b9.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-3392018-02-13T11:53:50Z Generalized nonlinear modal model of the third order of smallness for sloshing in co-axial conical containers Обобщённая нелинейная модальная модель третьего порядка малости колебаний жидкости в соосных конических резервуарах Узагальнена нелінійна модальна модель третього порядку малості коливань рідини в соосних конічних резервуарах Solodun, A. V. Солодун, А. В. Солодун, А. В. For the problem on the resonant sloshing in coaxial conical reservoirs occurring due to harmonic horizontal tank excitations, an infinite-dimensional governing system of third-oder ordinary differential equations is derived. The derivation scheme is based on the non-conformal mapping technique and the Moiseev–Narimanov asymptotics. Для задачи о резонансных колебаниях жидкости в соосных конических емкостях, находящихся под действием гармонических горизонтальных возмущений, выведена бесконечномерная нелинейная модальная система нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядка, основываясь на технике неконформных отображений области и используя асимптотики Моисеева-Нариманова. Для задачi про резонанснi коливання рiдини у соосних конiчних ємностях, що знаходяться пiд дiєю гармонiчних горизонтальних збурень, виведено нескiнченномiрну нелiнiйну модальну систему нелiнiйних звичайних диференцiальних рiвнянь третього порядку, базуючись на технiцi неконформних перетвонень областi та використовуючи асимптотики Моiсеєва–Нарiманова. Інститут математики НАН України 2017-10-31 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/339 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 14 No. 2 (2017): Mathematic problems of mechanics and computational mathematics; 133-149 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 14 № 2 (2017): Математические проблемы механики и вычислительной математики; 133-149 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 14 № 2 (2017): Математичні проблеми механіки та обчислювальної математики; 133-149 3083-7529 1815-2910 ru https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/339/350 Авторське право (c) 2017 Праці Інституту математики НАН України |
| spellingShingle | Solodun, A. V. Солодун, А. В. Солодун, А. В. Generalized nonlinear modal model of the third order of smallness for sloshing in co-axial conical containers |
| title | Generalized nonlinear modal model of the third order of smallness for sloshing in co-axial conical containers |
| title_alt | Обобщённая нелинейная модальная модель третьего порядка малости колебаний жидкости в соосных конических резервуарах Узагальнена нелінійна модальна модель третього порядку малості коливань рідини в соосних конічних резервуарах |
| title_full | Generalized nonlinear modal model of the third order of smallness for sloshing in co-axial conical containers |
| title_fullStr | Generalized nonlinear modal model of the third order of smallness for sloshing in co-axial conical containers |
| title_full_unstemmed | Generalized nonlinear modal model of the third order of smallness for sloshing in co-axial conical containers |
| title_short | Generalized nonlinear modal model of the third order of smallness for sloshing in co-axial conical containers |
| title_sort | generalized nonlinear modal model of the third order of smallness for sloshing in co-axial conical containers |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/339 |
| work_keys_str_mv | AT solodunav generalizednonlinearmodalmodelofthethirdorderofsmallnessforsloshingincoaxialconicalcontainers AT solodunav generalizednonlinearmodalmodelofthethirdorderofsmallnessforsloshingincoaxialconicalcontainers AT solodunav generalizednonlinearmodalmodelofthethirdorderofsmallnessforsloshingincoaxialconicalcontainers AT solodunav obobŝënnaânelinejnaâmodalʹnaâmodelʹtretʹegoporâdkamalostikolebanijžidkostivsoosnyhkoničeskihrezervuarah AT solodunav obobŝënnaânelinejnaâmodalʹnaâmodelʹtretʹegoporâdkamalostikolebanijžidkostivsoosnyhkoničeskihrezervuarah AT solodunav obobŝënnaânelinejnaâmodalʹnaâmodelʹtretʹegoporâdkamalostikolebanijžidkostivsoosnyhkoničeskihrezervuarah AT solodunav uzagalʹnenanelíníjnamodalʹnamodelʹtretʹogoporâdkumalostíkolivanʹrídinivsoosnihkoníčnihrezervuarah AT solodunav uzagalʹnenanelíníjnamodalʹnamodelʹtretʹogoporâdkumalostíkolivanʹrídinivsoosnihkoníčnihrezervuarah AT solodunav uzagalʹnenanelíníjnamodalʹnamodelʹtretʹogoporâdkumalostíkolivanʹrídinivsoosnihkoníčnihrezervuarah |