Jacobi matrices associated with singular non-symmetric perturbations
A link between an inverse eigenvalue problem and the Jacobi matrices is established within the framework of the theory of singular non-symmetric perturbations of unbounded self-adjoint operators.
Saved in:
| Date: | 2017 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2017
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/342 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552853210398720 |
|---|---|
| author | Tugay, G. V. Тугай, Г. В. Тугай, Г. В. |
| author_facet | Tugay, G. V. Тугай, Г. В. Тугай, Г. В. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Г. В. Тугай",
"institution": "Нацiональний авiацiйний унiверситет"
}
] |
| author_sort | Tugay, G. V. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-02-13T11:53:50Z |
| description | A link between an inverse eigenvalue problem and the Jacobi matrices is established within the framework of the theory of singular non-symmetric perturbations of unbounded self-adjoint operators. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:06:02Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iнституту математики НАН України 2017, т. 14, №2, 172–179
УДК 517.9
Матрицi Якобi, асоцiйованi iз
сингулярними несиметричними
збуреннями
Г.В. Тугай
Нацiональний авiацiйний унiверситет, Київ; ttugay@ukr.net
A link between an inverse eigenvalue problem and the Jacobi matrices is
established within the framework of the theory of singular non-symmetric
perturbations of unbounded self-adjoint operators.
У рамках теорiї сингулярних несиметричних збурень необмежених са-
моспряжених операторiв встановлено зв’язок мiж оберненою задачею
на власнi значення та матрицями Якобi.
В рамках теории сингулярных несимметричных возмущений неогра-
ниченных самосопряженных операторов установлена связь между об-
ратной задачей на собственные значения и матрицами Якоби.
Вступ
Нехай A ≥ 1 – необмежений самоспряжений оператор з областю ви-
значення domA ≡ D(A) у комплексному сепарабельному просторi
Гiльберта H iз скалярним добутком (·, ·) та нормою ‖·‖ .
Оператор Ã 6= A називається [3] (чисто) сингулярно несиметрично
збуреним вiдносно A (пишемо Ã ∈ Ps(A)), якщо множини
D =
{
ϕ ∈ D(A) ∩ D(Ã) : Aϕ = Ãϕ
}
D∗ =
{
ϕ ∈ D(A) ∩ D(Ã∗) : Aϕ = Ã∗ϕ
}
є щiльними в H. Зрозумiло, що A i à та A i Ã∗ мають спiльнi си-
метричнi оператори Ȧ := A ↾ D = Ã ↾ D, Ȧ∗ := A ↾ D∗ = Ã∗ ↾ D∗
iз нетривiальними iндексами дефекту n±(Ȧ) = dimKer(Ȧ ± i)∗ 6= 0,
n±
∗ (Ȧ∗) = dimKer(Ȧ∗ ± i)∗ 6= 0.
Вiдомо, що наступний варiант оберненої задачi на власнi значення
є розв’язним. А саме, для довiльної послiдовностi чисел Ej , j = 1, 2, ...
c© Тугай Г.В., 2017
Матрицi Якобi, асоцiйованi iз сингулярними несиметричними . . . 173
та послiдовностей векторiв ψj , з умовою (span{ψj})cl ∩ dom(A) =
{0} i ψ∗
j , з умовою (span{ψ∗
j })cl ∩ dom(A) = {0} (cl – замикання)
iснує послiдовнiсть сингулярно несиметрично збурених операторiв
An, n = 1, 2, ..., якi розв’язують задачу на власнi значення: Anψj =
Ejψj , A
∗
nψj = Ējψ
∗
j , j ≤ n.
У цiй статтi будемо дослiджувати так званi не симетрично син-
гулярно збуренi оператори Ã з класу Ps(A) [3], якi не вимагають
додаткової параметризацiї. Це означає, що образ рiзницi резольвент
операторiв A i à та A i Ã∗ належить областi визначення оператора
A1/2:
ran[Ã− z)−1 − (A− z)−1] ⊂ D(A1/2),
ran[Ã∗ − z)−1 − (A− z)−1] ⊂ D(A1/2).
У цьому випадку є два варiанти зображення для збуреного опера-
тора Ã. Якщо Ã не має нульового власного значення, то його мо-
жна подати у виглядi узагальненої суми: Ã = A+̃T , де оператор
T дiє в A−шкалi H−1 ⊃ H0 ≡ H ⊃ H1 гiльбертових простoрiв [2],
T : H1 → H−1, при цьому, ranT ∩ H = {0}. Тут H1 = D(A1/2) у
нормi ‖ϕ‖1 := ‖A1/2ϕ‖, а H−1 позначає дуальний простiр до H1 вiд-
носно H. У будь-якому випадку оператор Ã визначається формулою
Крейна для резольвент
(Ã− z)−1 = (A− z)−1 +B−1(z), Imz 6= 0,
де операторна функцiя B(z) задовольняє певну тотожнiсть(див., на-
приклад, [3] у випадку рангу один) i, головне, ranB−1(z) ⊂ D(A1/2) \
D(A). Зокрема, резольвентне зображення для Ã будемо використову-
вати у випадку, коли 0 /∈ σ(Ã). При цьому множини D i D∗ утворюють
правильнi пiдпростори в H1, тобто не є щiльними в H1.
Пишемо Ã ∈ Pns (A), n ≤ ∞, якщо рiзниця резольвент (Ã− z)−1 −
(A− z)−1 та (Ã∗ − z)−1 − (A− z)−1, при деяких z ∈ C, є оператором
рангу n ≤ ∞.
1 Попереднi вiдомостi
Нехай Ej ∈ C \ R, j = 1, 2, ... – деяка послiдовнiсть комплексних
чисел, а ψj ∈ H1(A)\D(A), ψ∗
j ∈ H1(A)\D(A) – довiльнi послiдовностi
векторiв, ортонормованих в H такi, що виконуються умови:
span{ψj , j ≥ 1}cl ∩ D(A) = {0}, (1)
span{ψ∗
j , j ≥ 1}cl ∩ D(A) = {0}, (2)
174 Тугай Г. В.
де cl позначає замикання в H. Для кожного скiнченого n iснує єдиний
сингулярно збурений оператор An ∈ Pns (A), що розв’язує задачу на
власнi значення
Anψj = Ejψj , A
∗
nψ
∗
j = Ējψ
∗
j , j = 1, ..., n. (3)
Як правило, оператори An мають вигляд An = A+̃Tn i будуються
iндуктивно з використанням на кожному кроцi сингулярного збуре-
ння рангу 1. An визначається формулою типу Крейна для резоль-
вент. А саме, резольвента оператора An записується через резольвен-
ту An−1 та En ∈ C \ R, ψn ∈ H, ψ∗
n ∈ H у виглядi
(An − z)−1 = (An−1 − z)−1 +B−1
n (z) (·, ηn(z)) νn(z), Imz 6= 0, (4)
де
Bn(z) = (En − z) (ψn, ηn(z̄)) ,
νn(z) = (An−1 − En)(An−1 − z)−1ψn,
ηn(z) = (A∗
n−1 − Ēn)(A
∗
n−1 − z̄)−1ψ∗
n.
Рекурентна процедура побудови An природним чином породжує по-
слiдовнiсть асоцiйованих матриць Якобi
Jn =
b1 a1
c1 b2 a2 0
c2 b3 •
• • •
0 • • an−1
cn−1 bn
. (5)
При n→ ∞ ми одержуємо матрицю Якобi J нескiнченого рангу, яку
називаємо асоцiйованою з оберненою задачею на власнi значення для
заданих Ej ∈ C, ψj ∈ H, ψ∗
j ∈ H, j = 1, 2, ...
Матричнi елементи an, bn, cn якобiєвих матриць виражаються ре-
курентним чином через оператори Aj , вектoри ψj , ψ
∗
j та власнi зна-
чення Ej , j ≤ n. А саме,
b1 = 〈(A0 − E1)ψ1, ψ
∗
1〉 ,
a1 = 〈(A0 − E1)ψ2, ψ
∗
1〉 ,
c1 = 〈(A0 − E1)ψ1, ψ
∗
2〉 ,
Матрицi Якобi, асоцiйованi iз сингулярними несиметричними . . . 175
b2 = 〈(A0 − E2)ψ2, ψ
∗
2〉 ,
a2 = 〈(A1 − E2)ψ3, ψ
∗
2〉 ,
c2 = 〈(A1 − E2)ψ2, ψ
∗
3〉 ,
................
bn = 〈(An−2 − En)ψn, ψ
∗
n〉 ,
an = 〈(An−1 − En)ψn+1, ψ
∗
n〉 ,
cn =
〈
(An−1 − En)ψn, ψ
∗
n+1
〉
, n = 1, 2, ...,
де Aj , j = 1, 2, ..., n, позначає замикання оператора Aj : H1 → H−1.
Аналогiчний результат має мiсце i у випадку самоспряженого сингу-
лярно збуреного оператора (див. [8]).
2 Побудова матрицi Якобi, асоцiйованої з сингу-
лярно збуреним оператором
Нехай задано: необмежений самоспряжений оператор A ≥ 0 в H,
послiдовнiсть чисел Ej ∈ C \ R, j = 1, 2, ... та послiдовностi ψj ∈
H1(A) \D(A) i ψ∗
j ∈ H1(A) \D(A) ортонормованих в H векторiв, якi
задовольняють умови (1), (2). Покажемо, що для заданої послiдовно-
стi чисел {Ej}∞j=1 та послiдовностей векторiв {ψj}∞j=1, {ψ∗
j }∞j=1 iснує
послiдовнiсть сингулярно несиметрично збурених операторiв скiнче-
ного рангу An ∈ Pns (A), що розв’язують задачу на власнi значення
(3). При цьому, з кожним оператором An буде асоцiйовано якобiєву
матрицю вигляду (5).
Опишемо послiдовно процедуру побудови такої матрицi.
На першому кроцi для n = 1 з заданими E1, ψ1 та ψ∗
1 ми визнача-
ємо сингулярно збурений оператор формулою:
A1 = A0+̃α1 〈·, ω1〉φ1, A0 ≡ A, (6)
де
ω1 := (A0 − Ē1)ψ
∗
1 ∈ H−1,
φ1 := (A0 − E1)ψ1 ∈ H−1,
α1 := − 1
〈ψ1, ω1〉
= − 1
〈(A0 − E1)ψ1, ψ∗
1〉
,
176 Тугай Г. В.
A0 — замикання iзометричного вiдображення A0 : H1 → H−1, а +̃ по-
значає так звану узагальнену суму операторiв (див., наприклад, [5]).
Безпосередня перевiрка показує, що оператор A1 розв’язує задачу:
A1ψ1 = E1ψ1, A∗
1ψ
∗
1 = Ē1ψ
∗
1 . Визначимо перший матричний елемент,
поклавши
b1 := 〈(A0 − E1)ψ1, ψ
∗
1〉 . (7)
Очевидно, що b1 взагалi комплексне. Зазначимо, що як сингулярне
збурення рангу один α1 〈·, ω1〉φ1, так i матричний елемент b1 яко-
бiєвої матрицi J0, яку ми будуємо, єдиним чином визначаються опе-
ратором A та заданою трiйкою E1, ψ1, ψ
∗
1 (доведення цього факту у
випадку сингулярного збурення довiльного скiнченого рангу можна
знайти у роботi [3]).
Зауважимо, що число b1 ми асоцiюємо з оператором A1, хоча у
формулi (7) фiгурує оператор A0. Це пов’язано з тим, що насправдi
елемент b1 визначається по E1, ψ1 та ψ∗
1 , якi однозначно фiксують
оператор A1.
На другому кроцi, для n = 2 ми використовуємо оператор A1,
число E2 та вектори ψ2, ψ
∗
2 , ортогональнi до ψ1, ψ
∗
1 вiдповiдно, i ви-
значаємо сингулярно збурений оператор A2 за формулою:
A2 = A1+̃α2 〈·, ω2〉φ2, (8)
де
ω2 = (A∗
1 − Ē2)ψ
∗
2 ∈ H−1, φ2 = (A1 − E2)ψ2 ∈ H−1,
α2 = − 1
〈ψ2, ω2〉
= − 1〈
ψ2, (A∗
1 − Ē2)ψ∗
2
〉 ,
(
ᾱ2 = − 1
〈φ2, ψ∗
2〉
= − 1
〈ψ∗
2 , (A1 − E2)ψ2〉
)
.
Безпосередня перевiрка показує, що оператор A2 розв’язує задачу на
власнi значення: A2ψ1 = E1ψ1, A2ψ2 = E2ψ2, A∗
2ψ
∗
1 = Ē1ψ
∗
1 , A
∗
2ψ
∗
2 =
Ē2ψ
∗
2 . Покладаємо
b2 = 〈(A0 − E2)ψ2, ψ2〉 , (9)
a1 = 〈(A0 − E1)ψ2, ψ
∗
1〉 , (10)
c1 = 〈(A0 − E1)ψ1, ψ
∗
2〉 . (11)
Матрицi Якобi, асоцiйованi iз сингулярними несиметричними . . . 177
Отже
α2 = − 1
b2 −
a1c1
b1
.
Знову варто зауважити, що елементи b2, a1, c1 ми асоцiюємо з опера-
тором A2 тому, що цi елементи, як i оператор A2, фiксуються трiйкою
E2, ψ2 та ψ∗
2 . До того ж коефiцiєнт α2, який визначає оператор A2,
також виражається через елементи b2, b1, a1, c1.
Для довiльного n ≥ 1 маємо
An = An−1+̃αn 〈·, ωn〉φn, (12)
ωn := (A∗
n−1 − Ēn)ψ
∗
n,
φn := (An−1 − En)ψn,
де
αn = − 1
〈ψn, ωn〉
= − 1
bn − an−1cn−1
bn−1 − · · · − a2c2
b2 −
a1c1
b1
.
Тут
bn = 〈(An−2 − En)ψn, ψ
∗
n〉 ,
an−1 =
〈
(An−2 − En−1)ψn, ψ
∗
n−1
〉
,
cn−1 = 〈(An−2 − En−1)ψn−1, ψ
∗
n〉 . (13)
Таким чином, для чисел Ej ∈ C \R, j = 1, 2, ... i векторiв ψj i ψ∗
j , якi
задовольняють умови (1), (2), iснує послiдовнiсть сингулярно неси-
метрично збурених операторiв An, якi розв’язують задачу на власнi
значення (3) i з якими можна конструктивно асоцiювати послiдов-
нiсть матриць Якобi Jn. Умови (1), (2) гарантують, що всi оператори
An є сингулярно збуреними вiдносно A. При цьому кожен An нале-
жить Pns (A), тому що всi вектори ψj i ψ∗
j належать H1(A) \ D(A).
Таким чином, доведено таку теорему.
Tеорема 1. Для заданого необмеженого самоспряженого операто-
ра A ≥ 1 у гiльбертовому просторi H, довiльної послiдовностi чисел
Ej ∈ C \ R, j = 1, 2, ... та послiдовностей ортонормoваних в H ве-
кторiв ψj ∈ H \D(A) i ψ∗
j ∈ H \D(A), для яких виконуються умови
178 Тугай Г. В.
(1), (2), рекурентна процедура розв’язання оберненої задачi на власнi
значення (3) за допомогою формул (6), (8), (12) породжує послiдов-
нiсть сингулярно несиметрично збурених операторiв An ∈ Pns (A),
якi у свою чергу асоцiйованi з послiдовнiстю узгоджених мiж собою
матриць Якобi Jn, що збiгаються до матрицi
J =
b1 a1
c1 b2 a2 0
c2 b3 •
• • •
0 • •
(14)
у сенсi сильної границi. Матричнi елементи матрицi J виражаю-
ться через задану послiдовнiсть чисел Ej , j = 1, 2, . . . , вектори ψj ,
ψ∗
j та оператори An згiдно з формулами (7), (9), (13).
Зауваження. У випадку сингулярно збуреного самоспряженого
оператора аналогiчна теорема доведена у [8]. Теорема з [8] є частин-
ним випадком теореми 1. Для неї попереднiм матерiалом були роботи
[1, 4-7, 9].
3 Висновки
Для послiдовностi сингулярних не симетричних збурень An само-
спряженого оператора A, що розв’язують задачу на власнi значен-
ня (3), побудовано матрицю Якобi, елементи якої виражаються через
числа Ej , j = 1, 2, . . . , вектори ψj , ψ∗
j , j = 1, 2, . . . , та оператори An.
[1] Albeverio S., Dudkin M., Konstantinov A., and Koshmanenko V. On the
point spectrum of H−2 singular perturbations // Math. Nachr. — 2005. —
280, 1-2. — P. 1–8.
[2] Березанський Ю.М. Разложение по собственным функциям самосо-
пряженных операторов.— Киев: Наук. думка, 1965.— 798 с.
[3] Вдовенко Т.I., Дудкiн М.Є. Сингулярнi рангу один несиметричнi збу-
рення самоспряженого оператора. // Збiрник праць Iнституту Мате-
матики НАН України, 2014. — т.11. — 2. — С. 1–17.
[4] Дудкiн М.Є., Кошманенко В.Д. Про точковий спектр самоспряжених
операторiв, що виникає при сингулярних збуреннях скiнченного ран-
гу // Укр. мат. журн.— 2003.— 55, №9. — С. 1269–1276.
[5] Каратаєва Т.В., Кошманенко В.Д. Обобщенная сумма операторов //
Мат. заметки. — 1999. — 66, 5. — С. 671–681.
Матрицi Якобi, асоцiйованi iз сингулярними несиметричними . . . 179
[6] Кошманенко В.Д. Сингулярные билинейные формы в теории во-
змущений самосопряженных операторов.— Киев: Наук. думка, 1993.—
176 с.
[7] Koshmanenko V. A variant of the inverse negative eigenvalues problem
in singular perturbation theory // Methods of Functional Analysis and
Topology, — 2002. — 8, 1. — P. 49–69.
[8] Кошманенко В.Д., Тугай Г.В. Матрицi Якобi, асоцiйованi з оберненою
задачею на власнi значення в теорiї сингулярних збурень самоспряже-
них операторiв // Укр. мат. журн.— 2006.— 58,№ 12. — С. 1651–1662.
[9] Nizhnik L. The singular rank-one perturbations of self-adjoint operators
// Methods Funct. Anal. and Top. — 2001. — 7, 3. — P. 54–66.
1. Голуб А.П., Лисенко Л.О.
2. Кіфоренко Б.М., Ткаченко Я.В., Васильєв І.Ю.
Постановка задачі
Оптимальні керування
Результати розрахунків
3. Коломійчук О.П., Новицький В.В.
Вступ
Ідентифікація системи з кососиметричною невиродженою матрицею коефіцієнтів методом квазілінеаризації
4. Кононов Ю.Н., Джуха Ю.А.
Введение
Постановка задачи
Метод решения
Собственные частоты совместных колебаний упругой мембраны и жидкости
Устойчивость осесимметричных колебаний упругой мембраны при перегрузке
5. Константінов О.В., Новицький В.В.
Математична модель механічної системи ``резервуар – рідина з вільною поверхнею''
Побудова програмного керування та керування зі зворотним зв'язком
Результати чисельного моделювання
6. Лимарченко О.С., Нефьодов О.О.
Вступ
Математична модель системи
Результати чисельного моделювання
Висновки
7. Лимарченко В.О., Лимарченко О.С., Сапон М.М.
Вступ
Математична модель системи
Аналіз числових прикладів
Висновки
8. Луковський І.О.
Крайова задача теорії просторового руху резервуара, цілком заповненого ідеальною нестисливою рідиною
Варіаційний принцип у задачі про просторовий рух пружного резервуара, цілком заповненого рідиною
Визначення сил взаємодії між пружними стінками резервуара і рідиною
9. Мазко О.Г., Кусій С.М.
Вступ
Допоміжні твердження
Динамічний регулятор по вимірюваному виходу
Зважений рівень гасіння обмежених збурень.
Динамічний регулятор зі збуреннями
Дискретні системи з керованими і спостережуваними виходами
Приклад. Двомасова механічна система
Висновок
10. Працьовитий М.В., Свинчук О.В.
Вступ
Основний об'єкт
Розподіл значень функції f(x) при заданому розподілі випадкового аргументу
11. Сатур О.Р.
Існування граничних координат
Нерухомі точки динамічної системи конфлікту з притягальною взаємодією
12. Солодун А.В.
Постановка задачи
Нелинейные модальные системы
Модальные представления и
Кинематические и динамические уравнения
Нелинейная форма модальных уравнений
Бесконечномерная система нелинейных асимптотических модальных уравнений третьего порядка
Асимптотика Моисеева-Нариманова
Общие бесконечномерные нелинейные асимптотические модальные уравнения
13. Сосницький C.П.
Рівняння руху для обмеженої задачі трьох тіл
Про деякі важливі рівності в еліптичній обмеженій задачі трьох тіл
Про рух малої частки по координаті
14. Троценко Ю.В.
Постановка задачи
Вариационная формулировка задачи
Построение решений
Некоторые результаты расчетов
15. Тугай Г.В.
Попередні відомості
Побудова матриці Якобі, асоційованої з сингулярно збуреним оператором
Висновки
16. Raynovskyy I.A., Timokha A.N.
Introduction
Statement of the problem
Linear damping coefficients
Steady-state resonant solution
Response curves in the (/11,A,B) space
Conclusions
17. Timokha A.N.
Statement
Almost steady-state asymptotic solution
Conclusion
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-342 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:06:02Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/2c/e6801809ce968de0ff37ddcfe38d062c.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-3422018-02-13T11:53:50Z Jacobi matrices associated with singular non-symmetric perturbations Матрицы Якоби, связанные с сингулярными несимметричными возмущениями Матрицi Якобi, асоцiйованi iз сингулярними несиметричними збуреннями Tugay, G. V. Тугай, Г. В. Тугай, Г. В. A link between an inverse eigenvalue problem and the Jacobi matrices is established within the framework of the theory of singular non-symmetric perturbations of unbounded self-adjoint operators. В рамках теории сингулярных несимметричных возмущений неограниченных самосопряженных операторов установлена связь между обратной задачей на собственные значения и матрицами Якоби. У рамках теорiї сингулярних несиметричних збурень необмежених самоспряжених операторiв встановлено зв’язок мiж оберненою задачею на власнi значення та матрицями Якобi. Інститут математики НАН України 2017-10-31 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/342 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 14 No. 2 (2017): Mathematic problems of mechanics and computational mathematics; 172-179 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 14 № 2 (2017): Математические проблемы механики и вычислительной математики; 172-179 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 14 № 2 (2017): Математичні проблеми механіки та обчислювальної математики; 172-179 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/342/353 Авторське право (c) 2017 Праці Інституту математики НАН України |
| spellingShingle | Tugay, G. V. Тугай, Г. В. Тугай, Г. В. Jacobi matrices associated with singular non-symmetric perturbations |
| title | Jacobi matrices associated with singular non-symmetric perturbations |
| title_alt | Матрицы Якоби, связанные с сингулярными несимметричными возмущениями Матрицi Якобi, асоцiйованi iз сингулярними несиметричними збуреннями |
| title_full | Jacobi matrices associated with singular non-symmetric perturbations |
| title_fullStr | Jacobi matrices associated with singular non-symmetric perturbations |
| title_full_unstemmed | Jacobi matrices associated with singular non-symmetric perturbations |
| title_short | Jacobi matrices associated with singular non-symmetric perturbations |
| title_sort | jacobi matrices associated with singular non-symmetric perturbations |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/342 |
| work_keys_str_mv | AT tugaygv jacobimatricesassociatedwithsingularnonsymmetricperturbations AT tugajgv jacobimatricesassociatedwithsingularnonsymmetricperturbations AT tugajgv jacobimatricesassociatedwithsingularnonsymmetricperturbations AT tugaygv matricyâkobisvâzannyessingulârnyminesimmetričnymivozmuŝeniâmi AT tugajgv matricyâkobisvâzannyessingulârnyminesimmetričnymivozmuŝeniâmi AT tugajgv matricyâkobisvâzannyessingulârnyminesimmetričnymivozmuŝeniâmi AT tugaygv matriciâkobiasocijovaniizsingulârniminesimetričnimizburennâmi AT tugajgv matriciâkobiasocijovaniizsingulârniminesimetričnimizburennâmi AT tugajgv matriciâkobiasocijovaniizsingulârniminesimetričnimizburennâmi |