$(1{+}1)$-dimensional evolution equations of the second order with maximal Lie symmetry algebras
We have established the explicit forms of the transformations that connect nonlinear $(1{+}1)$-dimensional evolution equations of the second order with maximal seven-dimensional Lie symmetry algebras
Gespeichert in:
| Datum: | 2019 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2019
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/364 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552860575596544 |
|---|---|
| author | Boyko, V. Lokazyuk, O. Бойко, В. Локазюк, О. |
| author_facet | Boyko, V. Lokazyuk, O. Бойко, В. Локазюк, О. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "В. Бойко",
"institution": "Інститут математики НАН України"
},
{
"author": "О. Локазюк",
"institution": "Інститут математики НАН України"
}
] |
| author_sort | Boyko, V. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-08-13T08:52:53Z |
| description | We have established the explicit forms of the transformations that connect nonlinear $(1{+}1)$-dimensional evolution equations of the second order with maximal seven-dimensional Lie symmetry algebras |
| first_indexed | 2026-08-04T01:06:09Z |
| format | Article |
| fulltext |
Çáiðíèê ïðàöü Iíñòèòóòó ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè 2019, ò. 16, � 1, 16�21
ÓÄÊ 517.912:512.816
(1+1)-âèìiðíi íåëiíiéíi åâîëþöiéíi
ðiâíÿííÿ äðóãîãî ïîðÿäêó
ç ìàêñèìàëüíèìè ëi¨âñüêèìè
ñèìåòðiÿìè
Â.Ì. Áîéêî, Î.Â. Ëîêàçþê
Iíñòèòóò ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè, Êè¨â
E-mail: boyko@imath.kiev.ua, sasha.lokazuik@gmail.com
Çíàéäåíî ÿâíèé âèãëÿä ïåðåòâîðåíü, ùî ïîâ'ÿçóþòü íåëiíiéíi (1+1)-âè-
ìiðíi åâîëþöiéíi ðiâíÿííÿ äðóãîãî ïîðÿäêó ç ìàêñèìàëüíèìè ñåìèâè-
ìiðíèìè àëãåáðàìè ëi¨âñüêèõ ñèìåòðié.
We have established the explicit forms of the transformations that connect
nonlinear (1+1)-dimensional evolution equations of the second order with
maximal seven-dimensional Lie symmetry algebras.
Ðîçãëÿíåìî êëàñ (1+1)-âèìiðíèõ åâîëþöiéíèõ ðiâíÿíü ïîðÿäêó n
ut = F (t, x, u, u1, . . . , un), (1)
äå ut = ∂u
∂t , ui = ∂iu
∂xi , i = 0, . . . , n, u0 ≡ u, n ≥ 2, F � äîâiëüíà ãëàäêà
ôóíêöiÿ. Òàêîæ áóäåìî âèêîðèñòîâóâàòè ïîçíà÷åííÿ ux, uxx, . . . äëÿ
ïîõiäíèõ çà çìiííîþ x.
Ñèìåòðiéíèì âëàñòèâîñòÿì ðiâíÿíü ç êëàñó (1) ïðèñâÿ÷åíî áà-
ãàòî äîñëiäæåíü. Êðiì òîãî, ó áàãàòüîõ âèïàäêiâ ñàìå åâîëþöiéíi
ðiâíÿííÿ ç êëàñó (1), ÿê ïðàâèëî, âèñòóïàþòü áàçîâèìè ïðèêëàäàìè
â ñèìåòðiéíîìó àíàëiçi äèôåðåíöiàëüíèõ ðiâíÿíü (äèâ., íàïðèêëàä,
ìîíîãðàôi¨ [6, 9, 15, 17]).
Âiäïîâiäíî äî ðåçóëüòàòiâ Â.Â. Ñîêîëîâà [18, p. 173] òà Á.À. Ìà-
ãàä¹¹âà [12, p. 346] (äèâ. òàêîæ ñòàòòþ Ð.Ç. Æäàíîâà [19]) êîíòàêòíi
ïåðåòâîðåííÿ, ÿêi çáåðiãàþòü âèãëÿä åâîëþöiéíèõ ðiâíÿíü (1), âè÷åð-
ïóþòüñÿ ïåðåòâîðåííÿìè
t̃ = κ(t), x̃ = φ(t, x, u, ux), ũ = ψ(t, x, u, ux),
Åâîëþöiéíi ðiâíÿííÿ ç ìàêñèìàëüíèìè ëi¨âñüêèìè ñèìåòðiÿìè 17
äå ôóíêöi¨ φ òà ψ çàäîâîëüíÿþòü óìîâó êîíòàêòíîñòi
φux(uxψu + ψx) = ψux(uxφu + φx).
Á.À. Ìàãàä¹¹âèì [12, òåîðåìà 0.1] äîâåäåíî, ùî ðîçìiðíiñòü àë-
ãåáðè êîíòàêòíèõ ñèìåòðié (Cont) (1+1)-âèìiðíèõ åâîëþöiéíèõ ðiâ-
íÿíü (1) íå ïåðåâèùó¹ n+ 5 àáî äîðiâíþ¹ ∞. Â îñòàííüîìó âèïàäêó
åâîëþöiéíi ðiâíÿííÿ çâîäÿòüñÿ äî ëiíiéíèõ çà äîïîìîãîþ êîíòàêòíèõ
ïåðåòâîðåíü. Ó öié æå ðîáîòi àâòîðîì îòðèìàíî ïîâíèé ïåðåëiê àë-
ãåáð ñêií÷åííîâèìiðíèõ êîíòàêòíèõ ñèìåòðié åâîëþöiéíèõ ðiâíÿíü
òà ïîêàçàíî, ÿê îïèñàòè åâîëþöiéíi ðiâíÿííÿ, ÿêi äîïóñêàþòü çàäà-
íó àëãåáðó êîíòàêòíî¨ ñèìåòði¨.
Çîêðåìà, çãiäíî ç [12, òåîðåìà 3.5], áóäü-ÿêå ðiâíÿííÿ ç êëàñó (1)
ç ìàêñèìàëüíîþ (n + 5)-âèìiðíîþ àëãåáðîþ êîíòàêòíèõ ñèìåòðié,
åêâiâàëåíòíå ðiâíÿííþ
ut = u
1−n
1+n
n .
Ïðè öüîìó âiäïîâiäíà àëãåáðà êîíòàêòíèõ ñèìåòðié ì๠âèãëÿä [12,
äèâ. äîâåäåííÿ òåîðåìè 3.5 òà äîäàòîê]:
gM1 =
〈
1, x, . . . , xk, ux, −n−1
2 u+ xux, x
2ux − (n− 1)xu,
ut, tut + λu
〉
, (2)
äå k = 1, . . . , n−1, λ 6= 0, λ = −n+1
2n , ϕ = {1, x, . . . , tut+λu} � (n+5)-
êîìïîíåíòíà ãåíåðóþ÷à ôóíêöiÿ iíôiíiòåçèìàëüíîãî îïåðàòîðà
Q = τ(t)∂t + ξ(t, x, u, ux)∂x + η(t, x, u, ux)∂u
+ ζ(t, x, u, ux)∂ut + ρ(t, x, u, ux)∂ux
ç êîåôiöi¹íòàìè τ , ξ, η, ζ, ρ, ÿêi âèçíà÷àþòüñÿ íàñòóïíèì ÷èíîì
[11, 19]:
τ = −φut , ξ = −φux , η = φ− utφut − uxφux ,
ζ = φt + utφu, ρ = φx + uxφu.
Äëÿ äîâiëüíîãî n ≥ 2 âñi áàçèñíi åëåìåíòè àëåáðè (2) ¹ ïðîäîâæåí-
íÿìè âiäïîâiäíèõ ëi¨âñüêèõ ñèìåòðié (òîáòî àëåáðà (2) ¹ òðèâiàëüíîþ
àëãåáðîþ êîíòàêòíèõ ñèìåòðié). Çîêðåìà, äëÿ n = 2 öÿ àëãåáðà ìà¹
âèãëÿä
gn=2 = 〈∂t, ∂x, ∂u, 2x∂x + u∂u + ut∂ut − ux∂ux ,
18 Â.Ì. Áîéêî, Î.Â. Ëîêàçþê
x∂u + ∂ux , 4t∂t + 3u∂u − ut∂ut + 3ux∂ux ,
x2∂x + xu∂u + xut∂ut − xux∂ux〉
i ¹ ïðîäîâæåííÿì àëãåáðè ëi¨âñüêèõ (òî÷êîâèõ) ñèìåòðié ðiâíÿííÿ
ut = u
−1/3
xx (äèâ. ðåàëiçàöiþ (5) íèæ÷å). Óìîâè íà ôóíêöiþ F , ïðè
ÿêèõ êëàñ (1) äîïóñê๠ëèøå òðèâiàëüíi êîíòàêòíi ïåðåòâîðåííÿ,
îòðèìàíî â ðîáîòi [13].
Ó ðîáîòi [19] Ð.Ç. Æäàíîâèì âñòàíîâëåíî çâ'ÿçîê ìiæ ïîòåíöiàëü-
íèìè òà êîíòàêòíèìè ñèìåòðiÿìè åâîëþöiéíèõ ðiâíÿíü (1), à òàêîæ
çàïðîïîíîâàíî ïiäõiä äî êëàñèôiêàöi¨ òàêèõ ðiâíÿíü.
Ñâiæèé îãëÿä òà îñòàííi ðåçóëüòàòè ùîäî íåêëàñè÷íèõ ñèìåòðié
åâîëþöiéíèõ ðiâíÿíü ìîæíà çíàéòè â ðîáîòi [8].
Çíà÷íå ìiñöå â ëiòåðàòóði ïðèäiëÿ¹òüñÿ çíàõîäæåííþ ëi¨âñüêèõ
ñèìåòðié åâîëþöiéíèõ ðiâíÿíü. Êðiì òîãî, âèâ÷àþòüñÿ ñèìåòðiéíi
âëàñòèâîñòi ðiçíîìàíiòíèõ ïiäêëàñiâ êëàñó (1) ïðè n = 2, 3. Ó ðîáî-
òi [5], I.Ø. Àõàòîâ, Ð.Ê. Ãàçiçîâ òà Í.Õ. Iáðàãiìîâ ðîçãëÿíóëè ëî-
êàëüíi òà íåëîêàëüíi ñèìåòði¨ äëÿ äåÿêèõ êëàñiâ åâîëþöiéíèõ ðiâíÿíü
äðóãîãî ïîðÿäêó, à ñàìå äëÿ ðiâíÿíü íåëiíiéíî¨ òåïëîïðîâiäíîñòi, íå-
ëiíiéíî¨ ôiëüòðàöi¨ òà ãàçîâî¨ äèíàìiêè. Çîêðåìà, ó öié ðîáîòi çíàéäå-
íî ãðóïó åêâiâàëåíòíîñòi òà âèêîíàíî ïîâíó ãðóïîâó êëàñèôiêàöiþ
êëàñó ut = H(uxx). ßêùî âèêëþ÷èòè ç ðîçãëÿäó ëiíiéíèé âèïàäîê,
òî ïðè äîâiëüíié ôóíêöi¨ H öåé êëàñ äîïóñê๠ï'ÿòèâèìiðíó àëãå-
áðó ëi¨âñüêèõ ñèìåòðié. Êðiì òîãî, iñíó¹ 5 íååêâiâàëåíòíèõ âèïàäêiâ
ðîçøèðåííÿ öi¹¨ ï'ÿòèâèìiðíî¨ àëãåáðè. Ó âèïàäêó ñòåïåíåâî¨, ëîãà-
ðèôìi÷íî¨ òà åêñïîíåíöiàëüíî¨ íåëiíiéíîñòi, àëãåáðà iíâàðiàíòíîñ-
òi � øåñòèâèìiðíà, à ñåìèâèìiðíó àëãåáðó äîïóñêàþòü äâà íàñòóïíi
ðiâíÿííÿ [5]:
ut = u−1/3
xx , (3)
ut = u1/3
xx . (4)
Çãiäíî ç [5], ìàêñèìàëüíi ëi¨âñüêi àëãåáðè iíâàðiàíòíîñòi ðiâíÿíü (3)
òà (4) íàñòóïíi:
gAGI1 = 〈∂t, ∂x, ∂u, 2t∂t + x∂x + 2u∂u, x∂u, 4t∂t + 3u∂u,
x2∂x + xu∂u〉, (5)
gAGI2 = 〈∂t, ∂x, ∂u, 2t∂t + x∂x + 2u∂u, x∂u,
2t∂t + 3u∂u, u∂x〉. (6)
Åâîëþöiéíi ðiâíÿííÿ ç ìàêñèìàëüíèìè ëi¨âñüêèìè ñèìåòðiÿìè 19
Ó ðîáîòàõ [4, 7] âèâ÷åíî ñèìåòðiéíi âëàñòèâîñòi êëàñó
ut + uux = F (un).
Çîêðåìà, ïîêàçàíî, ùî ðiâíÿííÿ
ut + uux = u1/3
xx (7)
äîïóñê๠ñåìèâèìiðíó àëãåáðó Ëi
gBF = 〈∂t, ∂x, t∂x + ∂u, 4t∂t + 5x∂x + u∂u,
u∂x, (2t− x)∂x + u∂u, (tu− x)(t∂x + ∂u)〉. (8)
Ó ðîáîòàõ [1, 2] çà äîïîìîãîþ òåõíiêè ðîçãàëóæåíîãî ðîçùåïëåí-
íÿ âèêîíàíî ïîâíó ãðóïîâó êëàñèôiêàöiþ ëi¨ñüêèõ ñèìåòðié ïiäêëàñiâ
ut+uux = H(un) òà ut = H(un) âiäïîâiäíî, äå n ≥ 3. Äèâ. [16] òà ñïè-
ñîê ëiòåðàòóðè â öié ðîáîòi ùîäî ìåòîäó ðîçãàëóæåíîãî ðîçùåïëåí-
íÿ òà iíøèõ ñó÷àñíèõ àëãåáðà¨÷íèõ òåõíiê ñèìåòðiéíî¨ êëàñèôiêàöi¨
äèôåðåíöiàëüíèõ ðiâíÿíü.
Îñêiëüêè, çãiäíî ç ðåçóëüòàòîì Á.À. Ìàãàä¹¹âà [12], iñíó¹ ¹äèíå ç
òî÷íiñòþ äî êîíòàêòíèõ ïåðåòâîðåíü åêâiâàëåíòíîñòi (1+1)-âèìiðíå
åâîëþöiéíå ðiâíÿííÿ äðóãîãî ïîðÿäêó ç ñåìèâèìiðíîþ ìàêñèìàëü-
íîþ àëãåáðîþ êîíòàêòíèõ ñèìåòðié, òî îñíîâíà ìåòà öi¹¨ ðîáîòè ïî-
ëÿã๠â íàñòóïíîìó: çíàéòè ïåðåòâîðåííÿ, ùî ïîâ'ÿçóþòü íåëiíiéíi
(1+1)-âèìiðíi åâîëþöiéíi ðiâíÿííÿ (3), (4) òà (7).
Âiäîìî, ùî ðiâíÿííÿ (4) çâîäèòüñÿ äî ðiâíÿííÿ (3) çà äîïîìîãîþ
êîíòàêòíîãî ïåðåòâîðåííÿ (äèâ. [10, 14])
t = −t̃, x = ũx̃, u = x̃ũx̃ − ũ, ut = ũt̃, uxx =
1
ũx̃x̃
, (9)
äå ũ � íîâà çàëåæíà çìiííà òà t̃, x̃ � íîâi íåçàëåæíi çìiííi.
Çàóâàæèìî, ùî ðiâíÿííÿ (4) iíâàðiàíòíå ùîäî ïåðåòâîðåííÿ ãî-
äîãðàôà [3, c. 409]
t = t̃, x = ũ(t̃, x̃), u(t, x) = x̃, ut = −ũt̃, uxx = − 1
ũx̃x̃
.
Òàêèì ÷èíîì, ðiâíÿííÿ íåëiíiéíî¨ òåïëîïðîâiäíîñòi (4) � ùå îäèí
ïðèêëàä ãîäîãðàô-iíâàðiàíòíîãî åâîëþöiéíîãî ðiâíÿííÿ äðóãîãî ïî-
ðÿäêó ïîðÿä ç ðiâíÿííÿìè øâèäêî¨ äèôóçi¨ ut = uxxu
−1
x òà ôiëüòðàöi¨
ut = uxx
(
1 + u2
x
)−1
.
20 Â.Ì. Áîéêî, Î.Â. Ëîêàçþê
Íàìè çíàéäåíî ìîäèôiêîâàíå ïåðåòâîðåííÿ ãîäîãðàôà
t = t̃, x = ũ(t̃, x̃) + x̃t̃, u(t, x) = x̃,
ut = − ũx̃ + x̃
ũx̃ + t̃
, ux =
1
ũx̃ + t̃
, uxx = − ũx̃x̃
(ũx̃ + t̃)3
, (10)
ÿêå çâîäèòü ðiâíÿííÿ (7) äî ðiâíÿííÿ (4).
Îòæå, íåëiíiéíi ðiâíÿííÿ (4) òà (7) ç ñåìèâèìiðíèìè ìàêñèìàëü-
íèìè àëãåáðàìè iíâàðiàíòíîñòi çâîäÿòüñÿ äî íåëiíiéíîãî ðiâíÿííÿ
òåïëîðîâiäíîñòi (3) ç êëàñèôiêàöi¨ Á.À. Ìàãàä¹¹âà çà äîïîìîãîþ êîí-
òàêòíîãî ïåðåòâîðåííÿ (9) òà óçàãàëüíåíîãî ïåðåòâîðåííÿ ãîäîãðà-
ôà (10), à âiäïîâiäíi àëãåáðè (6) òà (8) içîìîðôíi ç òî÷íiñòþ äî êîí-
òàêòíèõ ïåðåòâîðåíü àëãåáði (5).
[1] Áîéêî Â.Ì., Ïîïîâè÷ Â.Î., Ãðóïîâà êëàñèôiêàöiÿ ãàëiëåé-iíâàðiàíòíèõ ðiâ-
íÿíü, Ïðàöi Ií-òó ìàò. ÍÀÍ Óêðà¨íè 36 (2001), 45�50.
[2] I÷àíñüêà Í.Â., Åâîëþöiéíi ðiâíÿííÿ òà ñèñòåìè iíâàðiàíòíi âiäíîñíî êîí-
ôîðìíî¨ àëãåáðè, Çá. ïðàöü Ií-òó ìàò. ÍÀÍ Óêðà¨íè 3 (2006), no. 2, 159�
169.
[3] Ïîëÿíèí À.Ä., Çàéöåâ Â.Ô., Ñïðàâî÷íèê ïî íåëèíåéíûì óðàâíåíèÿì ìàòå-
ìàòè÷åñêîé ôèçèêè. Òî÷íûå ðåøåíèÿ, Ôèçìàòëèò, Ìîñêâà, 2002.
[4] Ôóùè÷ Â.I., Áîéêî Â.Ì., Ãàëiëåé-iíâàðiàíòíi ðiâíÿííÿ òèïó Áþðãåðñà òà
Êîðòåâåãà�äå Ôðiçà âèñîêîãî ïîðÿäêó, Óêð. ìàò. æóðí. 48 (1996), 1589�
1601.
[5] Akhatov I.Sh., Gazizov R.K., Ibragimov N.Kh., Nonlocal symmetries. A heuri-
stic approach, J. Soviet Math. 55 (1991), 1401�1450.
[6] Bluman G.W., Kumei S., Symmetries and di�erential equations, Springer, New
York, 1989.
[7] Boyko V.M., On new generalizations of the Burgers and Korteweg�de Vries
equations, in Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics (Kyiv, 1997), Inst.
Math. of NAS of Ukraine, Kiev, 1997, Vol. 1, 122�129.
[8] Boyko V.M., Kunzinger M., Popovych R.O., Singular reduction modules of dif-
ferential equations, J. Math. Phys. 57 (2016), 101503, 34 pp.
[9] Fushchich W.I., Shtelen W.M., Serov N.I., Symmetry analysis and exact solu-
tions of equation of nonlinear mathematical physics, Dordrecht, Kluwer Acad.
Publ., 1993.
[10] Gazizov R.K., Potential �ltration equation, in CRC Handbook of Lie Group
Analysis of Di�erential Equations, Vol. 1, Boca Raton, Chemical Rubber
Company, 1994, 131�132.
[11] Ibragimov N.H., Transformation groups applied to mathematical physics,
D. Reidel Publishing Co., Dordrecht, 1985.
Åâîëþöiéíi ðiâíÿííÿ ç ìàêñèìàëüíèìè ëi¨âñüêèìè ñèìåòðiÿìè 21
[12] Magadeev B.A., On group classi�cation of nonlinear evolution equations,
St. Petersburg Math. J. 5 (1994), 345�359.
[13] Momoniat E., Mahomed F.M., The existence of contact transformations for
evolution-type equations, J. Phys. A: Math. Gen. 32 (1999), 8721�8730.
[14] Pukhnachov V.V., Nonlocal symmetries in nonlinear heat equations, in Energy
Methods in Continuum Mechanics (Oviedo, 1994), Kluwer Acad. Publ., Dor-
drecht, 1996, 75�99.
[15] Olver P.J., Applications of Lie groups to di�erential equations, 2nd ed.,
Graduate Texts in Mathematics, Vol. 107, Springer-Verlag, New York, 1993.
[16] Opanasenko S., Boyko V., Popovych R.O., Enhanced group classi�cation
of nonlinear di�usion-reaction equations with gradient-dependent di�usion,
arXiv:1804.08776.
[17] Ovsyannikov L.V., Group analysis of di�erential equations, Academic Press,
New York, 1982.
[18] Sokolov V.V., On the symmetries of evolution equations, Russian Math. Surveys
43 (1988), 165�204.
[19] Zhdanov R., On relation between potential and contact symmetries of evolution
equations, J. Math. Phys. 50 (2009), 053522, 9 pp.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-364 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:06:09Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/3c/6cdbe7dec6caaee723772eec39a5c53c.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-3642020-08-13T08:52:53Z $(1{+}1)$-dimensional evolution equations of the second order with maximal Lie symmetry algebras (1+1)-вимірні нелінійні еволюційні рівняння другого порядку з максимальними ліївськими симетріями Boyko, V. Lokazyuk, O. Бойко, В. Локазюк, О. We have established the explicit forms of the transformations that connect nonlinear $(1{+}1)$-dimensional evolution equations of the second order with maximal seven-dimensional Lie symmetry algebras Знайдено явний вигляд перетворень, що пов'язують нелінійні $(1{+}1)$-вимірні еволюційні рівняння другого порядку з максимальними семивимірними алгебрами ліївських симетрій. Інститут математики НАН України 2019-09-03 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/364 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 16 No. 1 (2019): Symmetry and Integrability of Equations of Mathematical Physics; 16-21 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 16 № 1 (2019): Симетрія та інтегровність рівнянь математичної фізики; 16-21 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 16 № 1 (2019): Симетрія та інтегровність рівнянь математичної фізики; 16-21 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/364/358 Авторське право (c) 2019 В. Бойко, О. Локазюк |
| spellingShingle | Boyko, V. Lokazyuk, O. Бойко, В. Локазюк, О. $(1{+}1)$-dimensional evolution equations of the second order with maximal Lie symmetry algebras |
| title | $(1{+}1)$-dimensional evolution equations of the second order with maximal Lie symmetry algebras |
| title_alt | (1+1)-вимірні нелінійні еволюційні рівняння другого порядку з максимальними ліївськими симетріями |
| title_full | $(1{+}1)$-dimensional evolution equations of the second order with maximal Lie symmetry algebras |
| title_fullStr | $(1{+}1)$-dimensional evolution equations of the second order with maximal Lie symmetry algebras |
| title_full_unstemmed | $(1{+}1)$-dimensional evolution equations of the second order with maximal Lie symmetry algebras |
| title_short | $(1{+}1)$-dimensional evolution equations of the second order with maximal Lie symmetry algebras |
| title_sort | $(1{+}1)$-dimensional evolution equations of the second order with maximal lie symmetry algebras |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/364 |
| work_keys_str_mv | AT boykov 11dimensionalevolutionequationsofthesecondorderwithmaximalliesymmetryalgebras AT lokazyuko 11dimensionalevolutionequationsofthesecondorderwithmaximalliesymmetryalgebras AT bojkov 11dimensionalevolutionequationsofthesecondorderwithmaximalliesymmetryalgebras AT lokazûko 11dimensionalevolutionequationsofthesecondorderwithmaximalliesymmetryalgebras AT boykov 11vimírnínelíníjníevolûcíjnírívnânnâdrugogoporâdkuzmaksimalʹnimilíívsʹkimisimetríâmi AT lokazyuko 11vimírnínelíníjníevolûcíjnírívnânnâdrugogoporâdkuzmaksimalʹnimilíívsʹkimisimetríâmi AT bojkov 11vimírnínelíníjníevolûcíjnírívnânnâdrugogoporâdkuzmaksimalʹnimilíívsʹkimisimetríâmi AT lokazûko 11vimírnínelíníjníevolûcíjnírívnânnâdrugogoporâdkuzmaksimalʹnimilíívsʹkimisimetríâmi |