General Solution for a Coupled System of Eikonal Equations
We review the approach to obtaining the general solution for a coupled system of eikonal equations that based on using hodograph and contact transformations of the initial system. The procedure used allowed also finding of the general solution for a coupled system of the eikonal and Hamilton-Jacobi...
Збережено в:
| Дата: | 2019 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2019
|
| Онлайн доступ: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/368 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552863594446848 |
|---|---|
| author | Yehorchenko, I. Єгорченко, І. |
| author_facet | Yehorchenko, I. Єгорченко, І. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "І. Єгорченко",
"institution": "Інститут математики НАН України"
}
] |
| author_sort | Yehorchenko, I. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-08-13T08:52:53Z |
| description | We review the approach to obtaining the general solution for a coupled system of eikonal equations that based on using hodograph and contact transformations of the initial system. The procedure used allowed also finding of the general solution for a coupled system of the eikonal and Hamilton-Jacobi equation. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:06:12Z |
| format | Article |
| fulltext |
Çáiðíèê ïðàöü Iíñòèòóòó ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè 2019, ò. 16, � 1, 66�77
ÓÄÊ 517.912:512.816
Ðîçâ'ÿçêè ñèñòåìè ïîâ'ÿçàíèõ
ðiâíÿíü åéêîíàëó
I.À. �ãîð÷åíêî
Iíñòèòóò ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè, Êè¨â
E-mail: iyegorch@imath.kiev.ua
Íàâåäåíî êîðîòêèé îãëÿä ìåòîäó îòðèìàííÿ çàãàëüíîãî ðîçâ'ÿçêó ñè-
ñòåìè ïîâ'ÿçàíèõ ðiâíÿíü åéêîíàëó, ùî áàçó¹òüñÿ íà âèêîðèñòàííi ïå-
ðåòâîðåíü ãîäîãðàôà òà êîíòàêòíèõ ïåðåòâîðåíü. Âèêîðèñòàíà ïðîöå-
äóðà äîçâîëèëà òàêîæ çíàéòè çàãàëüíèé ðîçâ'ÿçîê ñèñòåìè ðiâíÿíü åé-
êîíàëó òà Ãàìiëüòîíà�ßêîái.
We review the approach to obtaining the general solution for a coupled
system of eikonal equations that based on using hodograph and contact
transformations of the initial system. The procedure used allowed also
�nding of the general solution for a coupled system of the eikonal and
Hamilton�Jacobi equation.
1. Âñòóï. Ìè ðîçãëÿäà¹ìî ïåðåâèçíà÷åíó ñèñòåìó, ÿêà ñêëàäà¹òüñÿ
ç äâîõ ðiâíÿíü åéêîíàëó äëÿ äâîõ ôóíêöié âiä (1 + n) íåçàëåæíèõ
çìiííèõ, òà ùå îäíîãî ðiâíÿííÿ, ùî ïîâ'ÿçó¹ öi äâi ôóíêöi¨:
uµuµ = 0, vµvµ = 0, uµvµ = 1, (1)
äå u = u(x0, x1, . . . , xn), v = v(x0, x1, . . . , xn).
ßêùî íå çàçíà÷åíî iíøå, iíäåêñè ó íåçàëåæíèõ çìiííèõ xµ ìî-
æóòü ïðèéìàòè çíà÷åííÿ âiä 0 äî n, µ = 0, 1, . . . , n; íèæíi iíäåêñè
ó çàëåæíèõ çìiííèõ îçíà÷àþòü ïîõiäíi çà âiäïîâiäíèìè çìiííèìè xµ,
i ïàðà iíäåêñiâ, ùî ïîâòîðþþòüñÿ, îçíà÷๠ïiäñóìîâóâàííÿ çà öèìè
iíäåêñàìè âiä 0 äî n â ïðîñòîði Ìiíêîâñüêîãî:
xµxµ = x0x0 − x1x1 − · · · − xnxn.
Ìè òàêîæ áóäåìî ââàæàòè, ùî âñi ôóíêöi¨, ÿêi ìè ðîçãëÿäà¹ìî, ¹
äîñòàòíüî ãëàäêèìè äëÿ iñíóâàííÿ òà íåïåðåðâíîñòi âñiõ ïîòðiáíèõ
ïîõiäíèõ, òà ùî âñi çàëåæíi òà íåçàëåæíi çìiííi ïðèéìàþòü çíà÷åííÿ
ó ïðîñòîði äiéñíèõ ÷èñåë.
Ðîçâ'ÿçêè ñèñòåìè ïîâ'ÿçàíèõ ðiâíÿíü åéêîíàëó 67
Âiäçíà÷èìî, ùî ñèñòåìà (1) ¹ ñïåöiàëüíèì âèïàäêîì áiëüø çà-
ãàëüíî¨ ñèñòåìè ïîâ'ÿçàíèõ ðiâíÿíü åéêîíàëó
uµuµ = 0, vµvµ = 0, uµvµ = h(u, v) (2)
ç äîâiëüíîþ ôóíêöi¹þ h(u, v).
Ñèñòåìà (2) ìîæå áóòè îòðèìàíà â ðåçóëüòàòi ëîêàëüíèõ ïåðåòâî-
ðåíü ñèñòåìè
uµuµ = ρ(u, v), vµvµ = σ(u, v), uµvµ = τ(u, v) (3)
ç äîâiëüíèìè ôóíêöiÿìè ρ, σ òà τ , äå ρσ − τ2 < 0. Òàêà ñèñòåìà
âèíèêëà â íàøié ðîáîòi [5] ÿê ÷àñòèíà óìîâ ðåäóêöi¨ áàãàòîâèìiðíîãî
íåëiíiéíîãî õâèëüîâîãî ðiâíÿííÿ 2φ = F (φ) ç çàñòîñóâàííÿì àíçàöó
ç äâîìà íîâèìè íåçàëåæíèìè çìiííèìè φ = φ(ω1, ω2).
Çàãàëüíèé âèãëÿä ñèñòåìè òèïó (3), ÿêà ìîæå áóòè ðåäóêîâàíà äî
ñèñòåìè âèãëÿäó (1), ¹ íàñòóïíèì
uµuµ = 2Aa(a, b)Ab(a, b),
vµvµ = 2Ba(a, b)Bb(a, b),
uµvµ = Aa(a, b)Bb(a, b) +Ba(a, b)Ab(a, b),
äå a = a(u, v), b = b(u, v) � öå äîâiëüíi äîñòàòíüî ãëàäêi ôóíêöi¨.
Ïðèêëàäîì ñèñòåìè òàêîãî âèãëÿäó ¹
uµuµ = 1, vµvµ = −1, uµvµ = 0.
Ïðîòå, ñèñòåìè ïîâ'ÿçàíèõ ðiâíÿíü åéêîíàëó ¹ öiêàâèìè i ç òî÷-
êè çîðó áåçïîñåðåäíüîãî ïðàêòè÷íîãî çàñòîñóâàííÿ ó ãåîìåòðè÷íié
îïòèöi, ðîçïiçíàâàííi îáðàçiâ, ìåõàíiöi ñóöiëüíîãî ñåðåäîâèùà òà ií-
øèõ ãàëóçÿõ.
Íàéìåíøà ðîçìiðíiñòü, êîëè äëÿ ñèñòåìè (1) ìîæíà îòðèìàòè
íåòðèâiàëüíi ðîçâ'ÿçêè � öå n = 2, òîáòî öå áóäå ñèñòåìà ç îäíi¹þ
÷àñîâîþ òà äâîìà ïðîñòîðîâèìè çìiííèìè. Ó âèïàäêó îäíi¹¨ ïðî-
ñòîðîâî¨ çìiííî¨ ìè ìàòèìåìî ëèøå òðèâiàëüíèé ëiíiéíèé ðîçâ'ÿçîê
u = a(x0±x1)+ c1, v = 1/2a(x0∓x1)+ c2, äå a = const 6= 0, c1 òà c2 �
äîâiëüíi äiéñíi ñòàëi.
Ó ðîáîòi [7] íàìè áóâ çíàéäåíèé ïàðàìåòðè÷íèé çàãàëüíèé ðîç-
â'ÿçîê äëÿ ñèñòåìè (1) òà äâîõ ïðîñòîðîâèõ çìiííèõ (ìè âèêëþ÷àëè
ñïåöiàëüíi âèïàäêè â ïðîöåñi çíàõîäæåííÿ)
u =
x1 + x2z√
1−z2
− k′(z)
g′(z)
,
68 I.À. �ãîð÷åíêî
v =
gx2√
1− z2
+
p(z)
g′(z)
[
x1 +
x2z√
1− z2
− k′(z)
]
+ r(z),
0 = x0 − x1z + x2
√
1− z2
+
g(z)
g′(z)
(
x1 +
x2z√
1− z2
− k′(z)
)
− k(z).
Òóò
r′ = −k′′
(
zg + (1− z2)g′
)
, p = 1
2
(
−g′2 + (g − zg′)2
)
.
Ìåòîä, ÿêèé ìè âèêîðèñòîâó¹ìî, áóâ ðîçðîáëåíèé íà îñíîâi iäåé,
ïðåäñòàâëåíèõ â ðîáîòàõ Ð.Ç. Æäàíîâà, I.Â. Ðåâåíêà òà Â.I. Ôóùè÷à
[3, 4] ùîäî çàãàëüíîãî ðîçâ'ÿçêó ñèñòåìè ä'Àëàìáåðà�Ãàìiëüòîíà.
2. Çàñòîñóâàííÿ ïåðåòâîðåíü ãîäîãðàôà òà êîíòàêòíèõ ïå-
ðåòâîðåíü. Ó öüîìó ïàðàãðàôi ðîçãëÿíåìî ëèøå ÷àñòêîâèé âèïàäîê
n = 2, i ôóíêöi¨
u = u(x0, x1, x2), v = v(x0, x1, x2) (4)
òà áóäåìî ââàæàòè, ùî ux0 6= 0 (â iíøîìó âèïàäêó ïåðøå ðiâíÿííÿ
ñèñòåìè (1) ìàòèìå ëèøå ñòàëi ðîçâ'ÿçêè).
Ìè ïåðåõîäèìî âiä ïî÷àòêîâî¨ ïàðè (4) äî íîâî¨ ïàðè çàëåæíèõ
çìiííèõ w òà v, òà íîâèõ íåçàëåæíèõ çìiííèõ y0, y1, y2:
u = y0, x0 = w, x1 = y1, x2 = y2. (5)
Âèðàçè äëÿ ïîõiäíèõ ïî÷àòêîâî¨ ïàðè ôóíêöié:
ux0
=
1
wy0
, ux1
= −wy1
wy0
, ux2
= −wy2
wy0
,
vx0 =
vy0
wy0
, vx1
= vy1
− vy0
wy1
wy0
, vx2
= vy2
− vy0
wy2
wy0
. (6)
Çàçíà÷èìî, ùî ó íîâèõ ðiâíÿííÿõ, îòðèìàíèõ ïiñëÿ çàñòîñóâàííÿ ïå-
ðåòâîðåííÿ ãîäîãðàôà, ìè áóäåìî ïîçíà÷àòè ïîõiäíi çà çìiííèìè yµ
ÿê vyµ òà wyµ .
Ïiäñòàíîâêà ôîðìóë äëÿ ïîõiäíèõ (6) äî ïåðøîãî ðiâíÿííÿ ñèñòå-
ìè (1) ä๠íàñòóïíi âèðàçè:
−
w2
y1
w2
y0
−
w2
y2
w2
y0
+
1
w2
y0
= 0.
Ðîçâ'ÿçêè ñèñòåìè ïîâ'ÿçàíèõ ðiâíÿíü åéêîíàëó 69
Ìè âèêîðèñòîâó¹ìî ïðèïóùåííÿ wy0
6= 0, i òîìó çíàéäåíå ðiâíÿííÿ
¹ åêâiâàëåíòíèì íàñòóïíîìó:
w2
y1
+ w2
y2
= 1.
Ïiäñòàíîâêà ôîðìóë äëÿ ïîõiäíèõ äî äðóãîãî ðiâíÿííÿ ñèñòåìè (1)
äà¹
v2
y1
+ v2
y0
w2
y1
w2
y0
− 2
vy0
vy1
wy1
wy0
+ v2
y2
+ v2
y0
w2
y2
w2
y0
− 2
vy0
vy2
wy2
wy0
=
v2
y0
w2
y0
,
i â ðåçóëüòàòi îòðèìó¹ìî
v2
y1
+ v2
y2
− 2(vy1wy1 + vy2w2)
vy0
wy0
= 0. (7)
Ïiäñòàíîâêà äî òðåòüîãî ðiâíÿííÿ (1) äà¹
vy0
w2
y0
+
wy1
wy0
(
vy1
+ vy0
wy1
wy0
)
+
wy2
wy0
(
vy2
+ vy0
wy2
wy0
)
= 1.
Âðàõîâóþ÷è, ùî wy0 6= 0, ìè ïðèõîäèìî äî âèðàçó
vy1wy1 + vy2wy2 = wy0 .
Ðiâíÿííÿ (7) ïåðåòâîðþ¹òüñÿ íà íàñòóïíå:
v2
y1
+ v2
y2
= 2vy0 .
Ó ðåçóëüòàòi ïåðåòâîðåíü îòðèìó¹ìî òàêó ñèñòåìó ðiâíÿíü:
w2
y1
+ w2
y2
= 1,
v2
y1
+ v2
y2
= 2vy0 ,
vy1
wy1
+ vy2
wy2
= wy0
. (8)
Çàçíà÷èìî, ùî ñèñòåìà (8) âêëþ÷๠ðiâíÿííÿ åéêîíàëó òà ðiâíÿííÿ
Ãàìiëüòîíà�ßêîái, ïîäiáíi äî óìîâ ðåäóêöi¨ äëÿ ðiâíÿííÿ Øðüîäií-
ãåðà, ÿêi ðîçãëÿäàëèñü â ðîáîòi [6].
Äëÿ çàñòîñóâàííÿ êîíòàêòíèõ ïåðåòâîðåíü, ðîçãëÿäà¹ìî íàñòóï-
íèé íàáið íîâèõ íåçàëåæíèõ çìiííèõ z0 = y0, z1 = wy1
, z2 = y2.
Ðîçãëÿíåìî íîâi çàëåæíi çìiííi
H(z0, z1, z2) = y1wy1
− w, v = v(z0, z1, z2) (9)
70 I.À. �ãîð÷åíêî
òà âèïèøåìî ñïiââiäíîøåííÿ äëÿ ïîõiäíèõ çà íîâèìè íåçàëåæíèìè
çìiííèìè:
Hz0 = −wy0 , Hz1 = y1, Hz2 = −wy2 ,
vy0 = vz0 + vz1wy0y1 , vy1 = vz1 + wy1y1 , vy2 = vz2 + vz1wy1y2 ,
wy1y1
=
1
Hz1z1
, wy1y2
= −Hz1z2
Hz1z1
, wy0y1
= −Hz0z1
Hz1z1
,
wy0y2
= −
∣∣∣∣Hz1z1 Hz1z2
Hz0z1 Hz0z2
∣∣∣∣
Hz1z1
. (10)
Ïiñëÿ âiäïîâiäíî¨ ïiäñòàíîâêè ó ñèñòåìó (8) ïðèõîäèìî äî íàñòóïíî¨
ñèñòåìè ðiâíÿíü:
z2
1 +H2
z2 = 1, (11)(
vz1
Hz1z1
)2
+
(
vz2 − vz1
Hz1z2
Hz1z1
)2
= 2
(
vz0 − vz1
Hz1z2
Hz1z1
)
, (12)
vz1
z1
Hz1z1
−Hz2
(
vz2 − vz1
Hz1z2
Hz1z1
)
= −Hz0 . (13)
Ïåðøå ðiâíÿííÿ (11) öi¹¨ ñèñòåìè ì๠çàãàëüíèé ðîçâ'ÿçîê äëÿ ôóíê-
öi¨ H:
H = z2
√
1− z2
1 +G(z0, z1), (14)
äå G � ôóíêöiÿ ñâî¨õ àðãóìåíòiâ, ÿâíèé âèãëÿä ÿêî¨ ìè çíàéäåìî
íèæ÷å ç iíøèõ ðiâíÿíü öi¹¨ ñèñòåìè.
Âèïàäîê
z1 = wy1
= −ux1
ux0
= ±1
� öå ñïåöiàëüíèé âèïàäîê, ÿêèé ä๠òðèâiàëüíèé ðîçâ'ÿçîê, i ìè áó-
äåìî éîãî ðîçãëÿäàòè îêðåìî.
Ç âèðàçó äëÿ ôóíêöi¨ H (14) ìè îòðèìó¹ìî, ùî
Hz0 = Gz0 , Hz1 = − z1z2√
1− z2
1
, Hz2 =
√
1− z2
1 ,
Hz0z1 = Gz0z1 , Hz1z2 = − z1√
1− z2
1
, (15)
Ðîçâ'ÿçêè ñèñòåìè ïîâ'ÿçàíèõ ðiâíÿíü åéêîíàëó 71
Hz1z1 = − z2√
1− z2
1
− z2
1z2(
1− z2
1
) 3
2
+Gz1z1 = − z2(
1− z2
1
) 3
2
+Gz1z1 .
Äàëi, ïiäñòàíîâêà âèðàçó äëÿ êîíòàêòíèõ ïåðåòâîðåíü (15) òà âè-
ðàçó äëÿ ïîõiäíèõ ôóíêöi¨ H ó ðiâíÿííÿ (12) äà¹
vz1z1 +
Gz1z1 − z2(
1− z2
1
) 3
2
(Gz0 − vz2√1− z2
1
)
+ vz1
√
1− z2
1)
(
− z1√
1− z2
1
)
=
Gz1z1 − z2(
1− z2
1
) 3
2
(Gz0 − vz2√1− z2
1
)
= 0.
Âðàõîâóþ÷è, ùî
Gz1z1 −
z2(
1− z2
1
) 3
2
6= 0,
îòðèìó¹ìî
Gz0 − vz2
√
1− z2
1 = 0,
ùî ä๠íàì âèðàç äëÿ ôóíêöi¨ v:
v =
Gz0z2√
1− z2
1
+ P (z0, z1), (16)
äå P (z0, z1) � öå äåÿêà ôóíêöiÿ âiä ñâî¨õ àðãóìåíòiâ, ÿêà ì๠áóòè
çíàéäåíà íèæ÷å.
Ç (16) ìè îá÷èñëþ¹ìî âèðàçè äëÿ ïîõiäíèõ ôóíêöi¨ v:
vz0 =
Gz0z0z2√
1− z2
1
+ Pz0 , vz1 =
Gz0z1z2√
1− z2
1
+
Gz0z1z2(
1− z2
1
) 3
2
+ Pz1 ,
vz2 =
Gz0√
1− z2
1
. (17)
Ïiäñòàíîâêà (15), (16), (17) ó (12) äà¹
v2
z1 + (vz2Hz1z1 − vz1Hz1z2)2 = 2Hz1z1(vz0Hz1z1 − vz1Hz0z1),
72 I.À. �ãîð÷åíêî
Gz0z1z2√
1− z2
1
+
Gz0z1z2(
1− z2
1
) 3
2
Pz1
2
+
Gz0√
1− z2
1
Gz1z1 − z2(
1− z2
1
) 3
2
+
z1√
1− z2
1
Pz1 +
Gz0z1z2√
1− z2
1
+
Gz0z1z2(
1− z2
1
) 3
2
2
= 2
Gz1z1 − z2(
1− z2
1
) 3
2
×
Gz1z1 − z2(
1− z2
1
) 3
2
( Gz0z0z2√
1− z2
1
+ Pz0
)
−Gz0z1
Gz0z1z2√
1− z2
1
+
Gz0z1z2(
1− z2
1
) 3
2
+ Pz1
. (18)
Äàëi ìè ìîæåìî ðîçêëàñòè öi âèðàçè çà ñòåïåíÿìè çìiííî¨ z2. Ç âè-
ìîãè ðiâíîñòi íóëþ ñóìè êîåôiöi¹íòiâ ïðè z3
2 ìè îòðèìó¹ìî óìîâó
−2
Gz0z0(
1− z2
1
) 7
2
= 0, (19)
çâiäêè ìîæíà çðîáèòè âèñíîâîê, ùî Gz0z0 = 0. Ç âèìîãè ðiâíîñòi
íóëþ ñóìè êîåôiöi¹íòiâ ïðè z2
2 ìè îòðèìó¹ìî óìîâè Gz0z1√
1− z2
1
+
Gz0z1(
1− z2
1
) 3
2
2
+
(
− Gz0(
1− z2
1
)2 +
Gz0z1z1
1− z2
1
+
Gz0z
2
1(
1− z2
1
)2
)2
= − 2(
1− z2
1
) 3
2
− Pz0(
1− z2
1
) 3
2
−Gz0z1
Gz0z1√
1− z2
1
+
Gz0z
2
1(
1− z2
1
) 3
2
,
G2
z0z1
(
1− z2
1
)2
+ 2Gz0z1Gz0z1
(
1− z2
1
)
+G2
z0z
2
1
+
(
1− z2
1
)
(z2
1G
2
z0z1 − 2z1Gz0z1Gz0 +G2
z0)
= 2(Pz0 +G2
z0z1
(
1− z2
1
)
+Gz0z1Gz0z1),
Ðîçâ'ÿçêè ñèñòåìè ïîâ'ÿçàíèõ ðiâíÿíü åéêîíàëó 73
(Gz0 − z1Gz0z1)2 = 2Pz0 +G2
z0z1 . (20)
Ç âèìîãè ðiâíîñòi íóëþ ñóìè êîåôiöi¹íòiâ ïðè z2 ìè îòðèìó¹ìî óìîâè
Pz1
Gz0z1√
1− z2
1
+
Gz0z1(
1− z2
1
) 3
2
+
(
Gz0Gz1z1 + z1Pz1√
1− z2
1
)
×
(
− Gz0(
1− z2
1
)2 +
Gz0z1z1
1− z2
1
+
Gz0z
2
1(
1− z2
1
)2
)
= Gz1z1
−Pz0 +Gz0z1Gz0z1(
1− z2
1
) 3
2
−
G2
z0z1√
1− z2
1
− Pz0Gz1z1 −Gz0z1Pz1(
1− z2
1
) 3
2
,
Pz1
(
Gz0z1
(
1− z2
1
)
+Gz0z1
)
+ (Gz0Gz1z1 + z1Pz1)(Gz0z1z1 −Gz0)
+Gz1z1G
2
z0z1
(
1− z2
1
)
+Gz1z1(Pz0 +Gz0z1Gz0z1) + Pz0Gz1z1
−Gz0z1Pz1 = 0,
Gz1z1(Gz0(Gz0z1z1 −Gz0) +G2
z0z1
(
1− z2
1
)
+ 2Pz0 +Gz0z1Gz0z1) = 0. (21)
Ç óìîâè (21) çíàõîäèìî, ùî
Gz1z1
[
2Pz0 +G2
z0z1 − (Gz0 −Gz0z1z1)2
]
= 0. (22)
Ðiâíiñòü íóëþ âèðàçó ó êâàäðàòíèõ äóæêàõ ðiâíÿííÿ (22) åêâiâàëåíò-
íà óìîâi, ÿêà áóëà âèçíà÷åíà â ðåçóëüòàòi çáèðàííÿ êîåôiöi¹íòiâ ïðè
z2
2 (20). Òàêèì ÷èíîì, ç êîåôiöi¹íòiâ ïðè z2 ìè íå îòðèìàëè íiÿêèõ
íîâèõ óìîâ.
Ç âèìîãè ðiâíîñòi íóëþ ñóìè êîåôiöi¹íòiâ ïðè z0
2 îòðèìó¹ìî
P 2
z1 +
(Gz0Gz1z1 + z1Pz1)2
1− z2
1
= 2Gz1z1(Pz0Gz1z1 −Gz0z1Pz1),
P 2
z1
(
1− z2
1
)
+
(
G2
z0G
2
z1z1 + 2z1Pz1Gz0Gz1z1 + z2
1P
2
z1
)
= 2Gz1z1(Pz0Gz1z1 −Gz0z1Pz1) (23)
− 2z2
1
(
Pz0G
2
z1z1 −Gz0z1Gz1z1Pz1
)
,
P 2
z1 +G2
z0G
2
z1z1 + 2z1Pz1Gz0Gz1z1
74 I.À. �ãîð÷åíêî
= 2
(
1− z2
1
)
Gz1z1(Pz0Gz1z1 − Pz1Gz0z1). (24)
Ç (18) âèïëèâà¹, ùî Gz0z0 = 0, ç (20) ðîáèìî âèñíîâîê, ùî Pz0z0 = 0.
Òàêèì ÷èíîì, øóêàíi ôóíêöi¨ G òà P ïîâèííi ìàòè íàñòóïíó ôîð-
ìó
G = g(z1)z0 + k(z1), P = p(z1)z0 + r(z1), (25)
äå g, k, p, r � ïåâíi ôóíêöi¨ âiä çìiííî¨ z1, óìîâè íà ÿêi áóäóòü
çíàéäåíi äàëi.
Ïiñëÿ ïiäñòàíîâêè (25) ó (20) ìè îòðèìàëè
2p+ g′2 = (g − z1g
′)2. (26)
Ïiñëÿ ïiäñòàíîâêè (25) ó (24) ìè ïðèõîäèìî äî ðiâíÿííÿ
(p′z0 + r′)2 + g2(g′′z0 + k′′)2 + 2z1(p′z0 + r′)g(g′′z0 + k′′)
= 2
(
1− z2
1
)
(g′′z0 + k′′)(p(g′′z0 + k′′)− g′(p′z0 + r′)). (27)
Äàëi ìè ãðóïó¹ìî êîåôiöi¹íòè áiëÿ ñòåïåíiâ z0. Ïðè z
2
0 îòðèìó¹ìî
p′2 + g2g′′2 + 2z1p
′gg′′ = 2
(
1− z2
1
)(
g′′2p− g′′g′p′
)
. (28)
Ç ðiâíÿííÿ (26) ìè ìîæåìî çíàéòè âèðàç äëÿ ôóíêöi¨ p ÷åðåç ôóíê-
öiþ g:
p = 1
2
(
g2 − 2z1gg
′ +
(
z2
1 − 1
)
g′2
)
. (29)
Çâiäñè
p′ = g′′
((
z2
1 − 1
)
g′ − z1g
)
. (30)
Ïiñëÿ ïiäñòàíîâêè âèðàçiâ äëÿ p òà p′ äî (28) ìè îòðèìó¹ìî, ùî
g′′2
[((
z2
1 − 1
)
g′ − z1g
)2
+ g2g′′2 + 2z1g
((
z2
1 − 1
)
g′ − z1g
)
−
(
1− z2
1
)((
g2 − 2z1gg
′ +
(
z2
1 − 1
)
g′2
)
− g′
((
z2
1 − 1
)
g′ − z1g
))]
= 0. (31)
Ó êâàäðàòíèõ äóæêàõ ðiâíÿííÿ (31) ìè ìà¹ìî òîòîæíèé íóëü, òîìó
íîâi óìîâè íà ôóíêöi¨ G òà P ìîæíà çíàéòè ëèøå ç êîåôiöi¹íòiâ
ïðè z2
0 .
Ðîçâ'ÿçêè ñèñòåìè ïîâ'ÿçàíèõ ðiâíÿíü åéêîíàëó 75
Ãðóïóâàííÿ êîåôiöi¹íòiâ ïðè z0 ä๠íàñòóïíó óìîâó:
2p′r′ + 2g2g′′k′′ + 2z1g(p′k′′ + r′g′′)
= 2
(
1− z2
1
)
(g′′(pk′′ − r′g′) + k′′(pg′′ − p′g′)).
Ïiäñòàíîâêà âèðàçiâ (29) òà (30) äëÿ p òà p′ ïðèçâîäèòü äî âèðàçiâ
2g′′
[
(r′ + z1gk
′′)
((
z2
1 − 1
)
g′ − z1g
)
+
(
r′z1g + k′′g2
)]
= 2
(
1− z2
1
)
g′′
[
k′′
(
g2 − 2z1gg
′ +
(
z2
1 − 1
)
g′2
)
− r′g′
− k′′g′
((
z2
1 − 1
)
g′ − z1g
)]
,
ÿêi äàþòü òîòîæíó ðiâíiñòü, òîáòî ìè çíîâó íå îòðèìó¹ìî íîâèõ óìîâ
ïîðiâíÿíî çi çíàéäåíèìè ðàíiøå.
Ç âèìîãè ðiâíîñòi íóëþ ñóìè êîåôiöi¹íòiâ ïðè z0
0 ìè ìà¹ìî, ùî
r′2 + g2k′′2 + 2z1r
′gk′′ − 2
(
1− z2
1
)
k′′(pk′′ − g′r′)
=
(
r′ − k′′
((
z2
1 − 1
)
g′ − z1g
))2
= 0, (32)
òà ç (32) âèïëèâà¹, ùî
r′ = k′′
((
z2
1 − 1
)
g′ − z1g
)
,
i òîäi, ÿêùî g′′ 6= 0, öå áóäå åêâiâàëåíòíå óìîâi
r′g′′ − p′k′′ = 0.
Òàêèì ÷èíîì, ìè çíàéøëè ÿâíèé âèãëÿä ôóíêöié G òà P :
G = g(z1)z0 + k(z1), P = p(z1)z0 + r(z1), (33)
äå
p = 1
2
(
g2 − 2z1gg
′ +
(
z2
1 − 1
)
g′2
)
,
r′ = k′′
((
z2
1 − 1
)
g′ − z1g
)
. (34)
3. Çàñòîñóâàííÿ îáåðíåíèõ êîíòàêòíèõ ïåðåòâîðåíü òà ïå-
ðåòâîðåíü ãîäîãðàôà. Ôóíêöiÿ H ì๠âèãëÿä
H = z2
√
1− z2
1 +G(z0, z1),
76 I.À. �ãîð÷åíêî
äå G(z0, z1) ì๠âèãëÿä (33) ç äîâiëüíèìè g òà k, òà
v =
Gz0z2√
1− z2
1
+ P (z0, z1),
äå P (z0, z1) ì๠âèãëÿä (33), äå ôóíêöi¨ p òà r çíàõîäÿòüñÿ ó âiäïî-
âiäíîñòi äî (34).
Ôóíêöiÿ w ìîæå áóòè âèçíà÷åíà ç âèðàçó äëÿ H øëÿõîì âèêîðè-
ñòàííÿ ïåðåòâîðåíü, îáåðíåíèõ äî (5) òà (6):
w = z1Hz1 −H.
Äàëi ìè ìîæåìî çíîâó ïåðåïîçíà÷èòè z1 ÿê z, òàêèì ÷èíîì, ìè îòðè-
ìó¹ìî ïàðàìåòðè÷íèé çàãàëüíèé ðîçâ'ÿçîê äëÿ ñèñòåìè (8), n = 2:
v =
Gz0z2√
1− z2
+ p(z)z0 + r(z),
w = y1z − y2
√
1− z2 − g(z)y0 − k(z),
0 = y1 +
y2z√
1− z2
− g′(z)y0 − k′(z).
Çàñòîñóâàííÿ ïåðåòâîðåíü, îáåðíåíèõ äî (5) òà (6), ä๠ìîæëèâiñòü
çíàéòè ïàðàìåòðè÷íèé çàãàëüíèé ðîçâ'ÿçîê äëÿ ñèñòåìè ïîâ'ÿçàíèõ
ðiâíÿíü åéêîíàëó (1) äëÿ ïî÷àòêîâèõ ôóíêöié u òà v òà n = 2:
u =
x1 + x2z√
1−z2
− k′(z)
g′(z)
,
v =
gx2√
1− z2
+
p(z)
g′(z)
[
x1 +
x2z√
1− z2
− k′(z)
]
+ r(z),
0 = x0 − x1z + x2
√
1− z2
+
g(z)
g′(z)
{
x1 +
x2z√
1− z2
− k′(z)
}
− k(z),
äå
r′ = −k′′
(
zg +
(
1− z2
)
g′
)
, p = 1
2
(
−g′2 + (g − zg′)2
)
,
äå g òà k � äîâiëüíi ôóíêöi¨.
4. Îñîáëèâi âèïàäêè. Ìè ðîçãëÿäàëè çíàõîäæåííÿ çàãàëüíîãî
ïàðàìåòðè÷íîãî ðîçâ'ÿçêó ñèñòåìè (1) äëÿ n = 2 ç ïðèïóùåííÿìè,
Ðîçâ'ÿçêè ñèñòåìè ïîâ'ÿçàíèõ ðiâíÿíü åéêîíàëó 77
ùî u0 6= 0, v0 6= 0, wy0
6= 0. Îñòàííÿ óìîâà ó âiäïîâiäíîñòi äî âè-
çíà÷åííÿ çìiííèõ (5) áóäå âèêîíóâàòèñÿ çàâæäè i íå ñòàíîâèòèìå
ñïåöiàëüíîãî âèïàäêó äëÿ ïî÷àòêîâî¨ ñèñòåìè.
Ó âèïàäêó, ÿêùî u0 = 0, ïåðøå ðiâíÿííÿ ñèñòåìè (1) ìàòèìå
âèãëÿä −u2
1 − u2
2 = 0, çâiäêè u1 = u2 = 0, òîáòî òîäi ôóíêöiÿ u áóäå
ñòàëîþ, à âiäïîâiäíèé ðîçâ'ÿçîê ñèñòåìè (1) áóäå òðèâiàëüíèì.
Ùå îäèí îñîáëèâèé âèïàäîê
z1 = wy1
= −ux1
ux0
= ±1,
òîáòî ux1
± 1ux0
= 0, u = u(x0 ± x1, x2), i ïî÷àòêîâà ñèñòåìà çâî-
äèòüñÿ äî ñèñòåìè ç äâîìà íåçàëåæíèìè çìiííèìè òà òðèâiàëüíèìè
ðîçâ'ÿçêàìè.
5. Âèñíîâêè. Ó öié ñòàòòi ìè íàâåëè îãëÿä ïðîöåäóðè, ÿêà äî-
çâîëÿ¹ ïîáóäóâàòè çàãàëüíi ðîçâ'ÿçêè ñèñòåìè (1) äëÿ çàãàëüíîãî òà
îñîáëèâèõ âèïàäêiâ. Öi ðåçóëüòàòè äîçâîëÿòü, çîêðåìà, îïèñàòè âñi
àíçàöè, ÿêi ðåäóêóþòü áàãàòîâèìiðíå ðiâíÿííÿ åéêîíàëó äî ðiâíÿíü
ç ìåíøèì ÷èñëîì ïðîñòîðîâèõ çìiííèõ, ùî äàñòü ìîæëèâiñòü óçà-
ãàëüíèòè ðåçóëüòàòè, îòðèìàíi â ðîáîòàõ [1] òà [2].
[1] Fushchych W.I., Serov N.I., The symmetry and some exact solutions of
the nonlinear many-dimensional Liouville, d'Alembert and eikonal equation,
J. Phys. A: Math. Gen. 16 (1983), 3645�3656.
[2] Fushchych W.I., Shtelen W.M., Serov N.I., Symmetry analysis and exact soluti-
ons of nonlinear equations of mathematical physics, Kluwer Academic Publi-
shers Group, Dordrecht, 1993.
[3] FushchychW.I., Zhdanov R.Z., Revenko I.V., Compatibility and solution of non-
linear d'Alembert-Hamilton equations, Preprint 90.39, Institute of Mathematics
of Acad.Sci. Ukr. SSR, Kyiv, 1990, 65 pp.
[4] Fushchych W.I., Zhdanov R.Z., Revenko I.V., On the general solution of the
d'Alembert equation with a nonlinear eikonal constraint and its applications,
J. Math. Phys. 36 (1995), 7109�7127.
[5] Yehorchenko I.A., Reduction of non-linear d'Alembert equations to two-
dimensional equations, in Proceedings of the 4th Workshop �Group Analysis of
Di�erential Equations and Integrable Systems� (October 26�30, 2008, Protaras,
Cyprus), University of Cyprus, Nicosia, 2009, 243�253.
[6] Yehorchenko I.A., Ansatzes and exact solutions for nonlinear Schr�odinger equa-
tions, arXiv:1412.1889.
[7] Yehorchenko I.A., General solution for a coupled system of eikonal equations in
two space variables, arXiv:1712.01948.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-368 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:06:12Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/69/f4b3c954686c080ee1518fd0b19ede69.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-3682020-08-13T08:52:53Z General Solution for a Coupled System of Eikonal Equations Розв'язки системи пов'язаних рівнянь ейконалу Yehorchenko, I. Єгорченко, І. We review the approach to obtaining the general solution for a coupled system of eikonal equations that based on using hodograph and contact transformations of the initial system. The procedure used allowed also finding of the general solution for a coupled system of the eikonal and Hamilton-Jacobi equation. Наведено короткий огляд методу отримання загального розв'язку системи пов'язаних рівнянь ейконалу, що базується на використанні перетворень годографа та контактних перетворень. Використана процедура дозволила також знайти загальний розв'язок системи рівнянь ейконалу та Гамільтона-Якобі Інститут математики НАН України 2019-09-03 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/368 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 16 No. 1 (2019): Symmetry and Integrability of Equations of Mathematical Physics; 66-77 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 16 № 1 (2019): Симетрія та інтегровність рівнянь математичної фізики; 66-77 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 16 № 1 (2019): Симетрія та інтегровність рівнянь математичної фізики; 66-77 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/368/363 Авторське право (c) 2019 І. Єгорченко |
| spellingShingle | Yehorchenko, I. Єгорченко, І. General Solution for a Coupled System of Eikonal Equations |
| title | General Solution for a Coupled System of Eikonal Equations |
| title_alt | Розв'язки системи пов'язаних рівнянь ейконалу |
| title_full | General Solution for a Coupled System of Eikonal Equations |
| title_fullStr | General Solution for a Coupled System of Eikonal Equations |
| title_full_unstemmed | General Solution for a Coupled System of Eikonal Equations |
| title_short | General Solution for a Coupled System of Eikonal Equations |
| title_sort | general solution for a coupled system of eikonal equations |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/368 |
| work_keys_str_mv | AT yehorchenkoi generalsolutionforacoupledsystemofeikonalequations AT êgorčenkoí generalsolutionforacoupledsystemofeikonalequations AT yehorchenkoi rozv039âzkisistemipov039âzanihrívnânʹejkonalu AT êgorčenkoí rozv039âzkisistemipov039âzanihrívnânʹejkonalu |