Integrable geodesic flows on two-dimensional sphere, generated by one-dimensional many-particle systems
The problem of the existence of additional first integral for the geodesic flow of Riemannian metric on two-dimensional sphere is considered. The explicit form of corresponding metrics, connected with potentials of interaction in integrable three- and four-particle Calogero-Moser and Toda systems is...
Gespeichert in:
| Datum: | 2006 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2006
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/382 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552879941746688 |
|---|---|
| author | Vus, A. Вус, А. |
| author_facet | Vus, A. Вус, А. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "А. Вус",
"institution": null
}
] |
| author_sort | Vus, A. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-08-13T10:42:30Z |
| description | The problem of the existence of additional first integral for the geodesic flow of Riemannian metric on two-dimensional sphere is considered. The explicit form of corresponding metrics, connected with potentials of interaction in integrable three- and four-particle Calogero-Moser and Toda systems is obtained. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:06:27Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iнституту математики НАН України 2006, т.3, N 2, 63–70
УДК 514.745.82
Iнтегровнi геодезiйнi потоки
на двовимiрнiй сферi, породженi
одновимiрними багаточастинковими
системами
А.Я. ВУС
Львiвський нацiональний унiверситет iменi Iвана Франка, Львiв
E-mail: matmod@franko.lviv.ua
Розглянуто питання iснування додаткового першого iнтеграла геоде-
зiйного потоку рiманової метрики на двовимiрнiй сферi. Отримано яв-
ний вигляд вiдповiдних метрик, пов’язаних з потенцiалами взаємодiї
iнтегровних три- та чотиричастинкових систем Калоджеро–Мозера та
Тоди.
The problem of the existence of additional first integral for the geodesic flow
of Riemannian metric on two-dimensional sphere is considered. The explicit
form of corresponding metrics, connected with potentials of interaction in
integrable three- and four-particle Calogero–Moser and Toda systems is
obtained.
1. Вступ. Однiєю з нетривiальних задач у теорiї iнтегровних скiн-
ченновимiрних гамiльтонових систем є проблема iнтегровностi гео-
дезiйних потокiв рiманових метрик на сферi S2.
Нагадаємо, що на довiльному гладкому многовидiM з рiмановою
метрикою ds2 можна сконструювати геодезiйний потiк – гамiльтоно-
ву систему з гамiльтонiаном H = 1
2‖ ~p ‖
2, де ~p – вектор узагальнених
iмпульсiв i ‖ · ‖ – норма на дотичному просторi, iндукована вiдпо-
вiдною метрикою ds2. Геодезiйний потiк називається iнтегровним,
якщо вiн є iнтегровним як гамiльтонова система. Якщо розглядува-
ний многовид є сферою S2, вiдповiдний геодезiйний потiк є гамiльто-
новою системою з двома ступенями вiльностi, тому достатньою умо-
вою його iнтегровностi за Лiувiллем є iснування ще однiєї функцiї на
дотичному розшаруваннi F : T ∗S2 → R, функцiонально незалежної
з H, яка є сталою на траєкторiях гамiльтонової системи. Вiдомо, що
64 А.Я. Вус
у випадку двовимiрного многовида S2 iснує система глобальних ко-
ординат (x, y) ∈ R2, вiдомих як iзотермiчнi координати (див. [1]), в
яких метрика на сферi має вигляд
ds2 = λ(x, y)(dx2 + dy2), (1)
а вiдповiдний гамiльтонiан – вигляд
H = (p2
x + p2
y)/λ(x, y). (2)
Очевидно, достатньо шукати додатковi першi iнтеграли гамiльто-
нової системи з гамiльтонiаном (2) у виглядi однорiдного многочлена
за iмпульсами, оскiльки будь-яка однорiдна за iмпульсами компонен-
та розвинення iнтеграла F в ряд Лорана знову є першим iнтегралом
цiєї ж системи (див. [2]). Проблеми iснування для геодезiйного пото-
ку додаткових перших iнтегралiв, що є лiнiйними або квадратични-
ми функцiями за iмпульсами, є повнiстю дослiдженi (див., наприк-
лад, [3]). Однак для випадку додаткових iнтегралiв вищих порядкiв
вiдомi лише деякi частиннi випадки, якi переважно пов’язанi з кла-
сичними iнтегровними задачами динамiки твердого тiла.
2. Iнтеграл третього степеня. Розглянемо задачу iснування
додаткового першого iнтеграла, кубiчного за iмпульсами, вигляду
F = E30(x, y)p3
x+ E21(x, y)p2
xpy+ E12(x, y)pxp
2
y+ E03(x, y)p3
y (3)
для геодезiйного потоку метрики (1) на сферi S2.
Надалi перейдемо до комплексних координат z, z̄ (z = x + iy).
У цих координатах метрика (1) має вигляд ds2 = λ(z, z̄)dzdz̄, а га-
мiльтонiан задається формулою H = 2pp̄/λ(z, z̄), де p = (px − ipy)/2
– вiдповiдний узагальнений iмпульс.
Зобразимо перший iнтеграл (3) в координатах z, z̄, p, p̄ у виглядi
F = A(z, z̄)p3 +B(z, z̄)p2p̄+ C(z, z̄)pp̄2 +D(z, z̄)p̄3. (4)
Оскiльки F є дiйснозначною функцiєю, то симетричнi функцiональ-
нi коефiцiєнти в (4) є комплексно-спряженими, тобто D = Ā, C = B̄.
Запишемо умову того, що функцiя (4) є першим iнтегралом гамiль-
тонової системи з гамiльтонiаном H. Тодi дужка Пуассона {H, F}
тотожно дорiвнює нулю:
{H, F} =
∂H
∂z
∂F
∂p
+
∂H
∂z̄
∂F
∂p̄
− ∂H
∂p
∂F
∂z
− ∂H
∂p̄
∂F
∂z̄
= 0.
Iнтегровнi геодезiйнi потоки на двовимiрнiй сферi 65
Прирiвнюючи до нуля коефiцiєнти при усiх мономах pip̄j в дужцi
Пуассона {H, F}, одержимо систему рiвнянь
A2 = 0, A1λ+B2λ+ 3Aλ1 +Bλ2 = 0,
B1λ+ C2λ+ 2Bλ1 + 2Cλ2 = 0,
C1λ+D2λ+ Cλ1 + 3Dλ2 = 0, D1 = 0, (5)
де введено позначення A1 := ∂A/∂z, A2 := ∂A/∂z̄ i т.п.
З першого рiвняння негайно отримуємо, що A = A(z) є голо-
морфною функцiєю аргументу z ∈ C. Елементарними мiркування-
ми (див. [4]) легко показати, що A(z) є полiномом не вище 6-го
степеня. Вiдповiдно, диференцiальнi форми λ(z, z̄)dzdz̄, dz3/A(z),
dz2dz̄/B(z, z̄) є iнварiантними щодо довiльного голоморфного пере-
творення глобальної координати z, тобто
dz3/A(z) = dω3/Ã(ω), λ(z, z̄)dzdz̄ = λ̃(ω, ω̄)dωdω̄.
Лема. При ω →∞ справедливi такi асимптотики:
λ̃(ω, ω̃) =
a+ o(1)
ω2ω̃2
, β̃(ω, ω̃) = (b+ o(1))ω2,
Φ̃(ω, ω̃) = c+ o(1),
де a, b, c – деякi константи (можливо, нульовi).
Доведення леми цiлком аналогiчне до вiдповiдного результату
Колокольцова [4], яке було одержано для додаткових квадратичних
за iмпульсами перших iнтегралiв. Таким чином, замiна змiнної
z =
∫ ω
0
(3Ã(s)/i)−1/3ds (6)
переводить глобальну координату ω в локальну координату z ∈ K ⊂
C, якiй вiдповiдає полiном A(z) = i/3.
Теорема. Глобальний полiном Ã(ω) з точнiстю до дробово-лiнiйно-
го перетворення може мати лише один iз наступних виглядiв:
1. Ã(ω) = i/3,
2. Ã(ω) = iω/3,
3. Ã(ω) = iω2/3,
66 А.Я. Вус
4. Ã(ω) = iω3/3,
5. Ã(ω) = i(ω − θ)2(ω + θ̄)2/3.
Доведення теореми легко випливає з однозначностi оберненого
перетворення ω(z) : K → C, що пов’язане з однозначнiстю вiдобра-
ження, оберненого до (6), i практично повнiстю повторює мiркування
роботи [4], проведенi для випадку квадратичного додаткового пер-
шого iнтеграла.
Таким чином, зручно розглядати випадок локальної координа-
ти z, для якої A(z) = const = i/3, оскiльки всi iншi iнтегровнi
випадки можуть бути легко отриманi за допомогою замiни змiнної
dω/dz = (3Ã(ω)/i)1/3. Не обмежуючи загальностi, надалi вважати-
мемо, що A(z) = i/3. Введемо позначення β = iBλ, γ = −iCλ. Тодi
вiдповiдна система рiвнянь (5) на невiдомi функцiї λ, β, γ набуде
вигляду
β2 = λ1, β1λ+ βλ1 = γ2λ+ γλ2, γ1 = λ2. (7)
Це звичайна нелiнiйна система диференцiальних рiвнянь iз ча-
стинними похiдними вiдносно функцiї λ, лiнiйна стосовно перших
похiдних вiд невiдомої функцiї. При дослiдженнi розв’язкiв систе-
ми (7) одним iз важливих моментiв є питання про асимптотичну
поведiнку розв’язкiв у критичних точках областi змiни локальної
координати z.
У роботi [5] запропоновано загальний пiдхiд до розв’язування цiєї
системи i описано декiлька iнтегровних систем рухомої частинки на
сферi, що еволюцiонує пiд впливом деякого потенцiалу, якi пов’язанi
з вiдомими iнтегровними натуральними гамiльтоновими системами.
Один iз таких розв’язкiв отримується при пiдстановцi першого та
третього рiвнянь системи (7) у друге:
β1λ+ ββ2 = γ2λ+ γγ1.
Розглянувши випадок, коли з цього рiвняння неможливо вирази-
ти λ внаслiдок виконання рiвностей
β1 = γ2, ββ2 = γγ1,
остаточно отримаємо
λ111 = β112 = γ122 = λ222,
Iнтегровнi геодезiйнi потоки на двовимiрнiй сферi 67
звiдки
λ = f1(z + z̄) + f2(εz + ε2z̄) + f3(ε2z + εz̄), (8)
де ε = exp(2πi/3) – первiсний кубiчний корiнь з одиницi, fk : R→ R,
k = 1, 2, 3, – довiльнi гладкi функцiї.
Легко перевiрити, що зображення функцiї λ(z, z̄) у виглядi (8)
при пiдстановцi в систему (7) дає в якостi першоджерела вiдповiдної
метрики двi iнтегровнi системи на сферi S2, що пов’язанi з натураль-
ними динамiчними системами з гамiльтонiанами
H1 = 1
2 (p2
1 + p2
2) + c1 exp(x1) + c2 exp(x̃1) + c3 exp(˜̃x1) (9)
та
H2 = 1
2 (p2
1 + p2
2)− g2(x−2
1 + x̃−2
1 + ˜̃x−2
1 ), (10)
де
x̃1 = − 1
2x+ y
√
3
2 ,
˜̃x1 = − 1
2x− y
√
3
2 .
Гамiльтонiани (9), (10) описують вiдповiдно замкнутий ланцюжок
Тоди та систему Калоджеро–Мозера взаємодiючих трьох точок на
прямiй, якi допускають iснування додаткового кубiчного за iмпуль-
сами першого iнтеграла. За допомогою принципу Мопертюї динамi-
чнi системи з гамiльтонiанами (9), (10) iндукують геодезiйнi потоки
на многовидах
M1 = {(x1, x2) ∈ R2 : c1 exp(x1) + c2 exp(x̃1) + c3 exp(˜̃x1) < h},
M2 = {(x1, x2) ∈ R2 : −g2(x−2
1 + x̃−2
1 + ˜̃x−2
1 ) < h},
з метриками
ds2
1 = (h− c1 exp(x1)− c2 exp(x̃1)− c3 exp(˜̃x1)(dx2
1 + dx2
2), (11)
ds2
1 = (h− g2(x−2
1 + x̃−2
1 + ˜̃x−2
1 ))(dx2
1 + dx2
2). (12)
Причетнiсть обидвох цих систем до генерування iнтегровних гео-
дезiйних потокiв на сферi було вiдзначено в роботi [7], однак для них
не було знайдено явного виразу для λ̃(ω, ω̄) в глобальнiй координатi
ω ∈ C.
68 А.Я. Вус
Виявляється, що метрика (12) системи Калоджеро–Мозера, ана-
логiчно як i метрика (11) замкнутого ланцюжка Тоди, за допомогою
принципу Мопертюї генерує три сiм’ї iнтегровних гамiльтонових си-
стем на сферi S2 для випадкiв Ã(ω) ∈ {i/3, iω/3, iω2/3}, однак жо-
ден iз них не приводить до побудови гладкої метрики на S2, тобто
всi три випадки описують динамiку руху частинки на сферi S2 пiд
дiєю деякого потенцiалу, що має сингулярнi точки на конфiгурацiй-
ному просторi. Тому цi iнтегровнi системи не становлять значного
iнтересу в питаннях дослiдження iнтегровностi геодезiйних потокiв
на S2. Але метрика (11) за умов c1 = c2 = c3 = c > 0, h > 0, вiдпо-
вiдає локальному многовиду K ⊂ C, такому що K є трикутником з
вершинами в точках {%i, %εi, %ε2i}, де h = 2 exp(%
√
3/2). У всiх вер-
шинах трикутника K функцiя λ̃(ω, ω̄) обертається в нуль. Тодi за
допомогою iнтеграла Крiстоффеля–Шварца
ω =
∫ ω
0
dz
3
√
(z − %εi)2 (z − %ε2 i)2
(13)
область K конформно i однолисто вiдображається у верхню пiвпло-
щину комплексної площини C. Вiдповiдно, область K ∪K1 (де K1 –
трикутник, симетричний до K вiдносно вiдрiзка [%εi, %ε2i]) вiдобра-
жається конформно i однолисто у всю комплексну площину. Отже,
для випадку Ã(ω) = i(z − %εi)2(z − %ε2i)2/3 гладка на S2 iнтегровна
метрика з додатковим кубiчним за iмпульсами першим iнтегралом
має явний вигляд
λ̃(ω, ω̄) =
λ(z(ω), z̄(ω̄))
|Ã(ω)| 2/3
, (14)
де z(ω) – та вiтка многозначної функцiї, оберненої до (13), область
значень якої спiвпадає з областю K ∪K1 ⊂ C. Легко переконатися,
що функцiя (12) задовольняє асимптотицi
λ̃(ω, ω̄) =
a+ o(1)
ω2ω̄2
, ω →∞.
3. Iнтеграл четвертого степеня. Аналогiчним чином розгля-
немо модель геодезiйного потоку на сферi з додатковим першим iн-
тегралом, що є полiномом четвертого степеня за iмпульсами. Нехай
перший iнтеграл метрики (1) має вигляд
F = A(z, z̄)p4 +B(z, z̄)p3p̄+ C(z, z̄)p2p̄2 +
Iнтегровнi геодезiйнi потоки на двовимiрнiй сферi 69
+D(z, z̄)pp̄3 +D(z, z̄)p̄4. (15)
Мiркування, аналогiчнi до наведених вище для кубiчного за iмпуль-
сами першого iнтеграла, приводять до висновку, що A(z) є полiномом
не вище восьмого степеня. Розглядаючи деяку локальну координа-
ту z, для якої A(z) = 1/4, i ввiвши позначення β = −Bλ, γ = −Cλ,
δ = −Dλ, легко отримати систему рiвнянь для невiдомих функцiй
λ, β, γ, δ, аналогiчну до вищенаведеної системи (7):
β2 = λ1, β1λ+ βλ1 = γ2λ+ 2γλ2,
δ2λ+ δλ2 = γ1λ+ 2γλ1, γ1 = λ2. (16)
Зауважимо, що з другого та третього рiвнянь системи (16) випливає,
що функцiя γ є дiйснозначною, а β та δ – комплексно-спряженi.
Виключимо γ з другого та третього рiвнянь:
(β1λ+ βλ1)1 = (δ2λ+ δλ2)2.
Тодi випадок
β1 = γ2, δ2 = γ1
є аналогiчним до того, що був описаний вище для метрики (8) у
випадку кратного додаткового iнтеграла. У цьому випадку функцiя
λ задовольняє рiвняння λ1111 = λ2222 iз загальним розв’язком
λ = f1(z + z̄) + f2(θz + θ3z̄) + f3(θ2z + θ2z̄) + f4(θ3z + θz̄),
де θ – первiсний корiнь четвертого степеня з одиницi, а саме θ = i .
Пiдставляючи загальний вигляд функцiї λ в умову тотожньої рiв-
ностi нуль дужки Пуассона {F,H} = 0, одержимо функцiональне
рiвняння
(f4 − f2)(f̈3 − f̈1) + 2(f̈4 − f̈2)(f3 − f1) +
+ 3ḟ4(ḟ3 − ḟ1) + 3ḟ2(ḟ3 + ḟ1) = 0.
Це функцiональне рiвняння вперше виникло в роботi [6] при дослi-
дженнi iнтегровних натуральних динамiчних систем з додатковим
першим iнтегралом 4 степеня. Один iз частинних розв’язкiв (для
якого f4 = 0) генерує iнтегровну метрику на сферi, для якої у гло-
бальнiй координатi ω вiдповiдний полiном
Ã(ω) = (ω − ω1)2(ω − ω2)3/4.
70 А.Я. Вус
Вiдповiдний iнтегровний геодезiйний потiк на сферi породжується
натуральною динамiчною системою з двома ступенями вiльностi та
гамiльтонiаном
H = 1
2 (p2
1 + p2
2) + γ(exp(2x) + exp(−2y) + 2 exp(y − x))),
що описує окремий випадок системи чотирьох частинок на прямiй,
що рухається пiд дiєю експоненцiального потенцiалу взаємодiї, а са-
ме вiдповiдають розiрваному ланцюжку Тоди з симетричним роз-
ташуванням частинок та протилежними за значеннями величинами
iмпульсiв.
4. Заключнi зауваження. У дослiдженнях А.В. Болсiнова,
В.С. Матвєєва та А.Т. Фоменка (див. [3]) свого часу було вислов-
лено гiпотезу про наявнiсть для аналiтичних метрик на сферi S2 iн-
тегровних геодезiйних потокiв з додатковими полiномiальними пер-
шими iнтегралами вище четвертого степеня за iмпульсами. Останнiм
часом роботи Є.Н. Селiванової пiдтверджують можливiсть будува-
ти новi однопараметричнi метрики на сферi з додатковими першими
iнтегралами 3 та 4 степеня. Питання ж пiдтвердження або запере-
чення гiпотези про метрики з нетривiальними iнтегралами степеня
вище четвертого надалi залишається вiдкритим.
[1] Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. – Москва: Наука,
1967. – 664 с.
[2] Whittaker E.T. A Treatise on the analytical dynamics of particles and rigid
bodies. – Cambridge: Cambridge University Press, 1937.
[3] Bolsinov A.V., Matveev V.S., Fomenko A.T. Two-dimensional Riemannian me-
trics with an integrable geodesic flow. Local and global geometries // Math.
Sb. – 1998. – 189, № 9–10. – P. 1441–1466.
[4] Колокольцов В.Н. Полиномиальные интегралы геодезических потоков на
римановых многообразиях // Дисс. . . . канд. физ.–мат. наук. – Мoсква, 1984.
[5] Вус А.Я. Геодезiйнi потоки на сферi S2 з додатковим кубiчним за iмпуль-
сами першим iнтегралом // Математичний вiсник НТШ. – 2005. – 2. –
C. 49–57.
[6] Hietarinta J. Direct methods for the search of second invariant // Phys. Rep. –
1987. – 147 – P. 87–154.
[7] Dullin H.R., Matveev V.S., Topalov P.I. On integrals of the third degree in the
momenta // Regular and Chaotic Dynamics, – 1999. – 4, N 3 – P. 35–44.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-382 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:06:27Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/86/ab6caee0de17e38bccf6a82edc8f7f86.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-3822020-08-13T10:42:30Z Integrable geodesic flows on two-dimensional sphere, generated by one-dimensional many-particle systems Інтегровні геодезійні потоки на двовимірній сфері, породжені одновимірними багаточастинковими системами Vus, A. Вус, А. The problem of the existence of additional first integral for the geodesic flow of Riemannian metric on two-dimensional sphere is considered. The explicit form of corresponding metrics, connected with potentials of interaction in integrable three- and four-particle Calogero-Moser and Toda systems is obtained. Розглянуто питання існування додаткового першого інтеграла геодезійного потоку ріманової метрики на двовимірній сфері. Отримано явний вигляд відповідних метрик, пов'язаних з потенціалами взаємодії інтегровних три- та чотиричастинкових систем Калоджеро-Мозера та Тоди. Інститут математики НАН України 2006-11-14 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/382 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 3 No. 2 (2006): Symmetry and Integrability of Equations of Mathematical Physics (Dedicated to the 70-th Anniversary of Professor W.I. Fushchych); 63-70 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 3 № 2 (2006): Симетрія та інтегровність рівнянь математичної фізики (До 70-річчя від дня народження Вільгельма Ілліча Фущича); 63-70 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 3 № 2 (2006): Симетрія та інтегровність рівнянь математичної фізики (До 70-річчя від дня народження Вільгельма Ілліча Фущича); 63-70 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/382/381 Авторське право (c) 2006 А. ВУС http://creativecommons.org/licenses/by/4.0 |
| spellingShingle | Vus, A. Вус, А. Integrable geodesic flows on two-dimensional sphere, generated by one-dimensional many-particle systems |
| title | Integrable geodesic flows on two-dimensional sphere, generated by one-dimensional many-particle systems |
| title_alt | Інтегровні геодезійні потоки на двовимірній сфері, породжені одновимірними багаточастинковими системами |
| title_full | Integrable geodesic flows on two-dimensional sphere, generated by one-dimensional many-particle systems |
| title_fullStr | Integrable geodesic flows on two-dimensional sphere, generated by one-dimensional many-particle systems |
| title_full_unstemmed | Integrable geodesic flows on two-dimensional sphere, generated by one-dimensional many-particle systems |
| title_short | Integrable geodesic flows on two-dimensional sphere, generated by one-dimensional many-particle systems |
| title_sort | integrable geodesic flows on two-dimensional sphere, generated by one-dimensional many-particle systems |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/382 |
| work_keys_str_mv | AT vusa integrablegeodesicflowsontwodimensionalspheregeneratedbyonedimensionalmanyparticlesystems AT vusa integrablegeodesicflowsontwodimensionalspheregeneratedbyonedimensionalmanyparticlesystems AT vusa íntegrovnígeodezíjnípotokinadvovimírníjsferíporodženíodnovimírnimibagatočastinkovimisistemami AT vusa íntegrovnígeodezíjnípotokinadvovimírníjsferíporodženíodnovimírnimibagatočastinkovimisistemami |