On integrable three-dimensional quantum systems in magnetic fields
This paper is devoted to the construction of integrable three-dimensional quantum mechanical systems with magnetic fields. The existence of pairs of commuting integrals of motion not higher than second order in derivatives is considered. Most of the systems obtained are new and not related to the se...
Saved in:
| Date: | 2006 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2006
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/386 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552887064723456 |
|---|---|
| author | Zhalij, A. Жалій, О. |
| author_facet | Zhalij, A. Жалій, О. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "О. Жалій",
"institution": null
}
] |
| author_sort | Zhalij, A. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-08-13T10:42:30Z |
| description | This paper is devoted to the construction of integrable three-dimensional quantum mechanical systems with magnetic fields. The existence of pairs of commuting integrals of motion not higher than second order in derivatives is considered. Most of the systems obtained are new and not related to the separation of variables in the corresponding Schrodinger equation. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:06:34Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iнституту математики НАН України 2006, т.3, N 2, 113–123
УДК 517.9
Про iнтегровнi тривимiрнi
квантово-механiчнi системи
в магнiтному полi
О.Ю. ЖАЛIЙ
Iнститут математики НАН України, Київ
E-mail: zhaliy@imath.kiev.ua
Робота присвячена побудовi iнтегровних тривимiрних квантово-меха-
нiчних систем з ненульовими магнiтними полями. Розглядається iсну-
вання пари взаємокомутуючих iнтегралiв руху не вище другого поряд-
ку за похiдними. Бiльшiсть отриманих систем є новими i не спiввiднося-
ться з вiдокремленням змiнних у вiдповiдному рiвняннi Шрьодiнгера.
This paper is devoted to the construction of integrable three-dimensional
quantum mechanical systems with magnetic fields. The existence of pairs of
commuting integrals of motion not higher than second order in derivatives
is considered. Most of the systems obtained are new and not related to the
separation of variables in the corresponding Schrödinger equation.
Розглянемо стацiонарне рiвняння Шрьодiнгера для частинки, що ру-
хається в зовнiшньому електромагнiтному полi в тривимiрному ев-
клiдовому просторi
Hψ = Eψ, H = 1
2~p
2 +V (x, y, z) +Ai(x, y, z)pi+piAi(x, y, z), (1)
де V (x, y, z) та (A1(x, y, z), A2(x, y, z), A3(x, y, z)) – скалярний та ве-
кторний потенцiали електромагнiтного поля. Тут i надалi викори-
стовується позначення ~p = −ih~∇, та за iндексами, що повторюються
йде пiдсумовування вiд 1 до 3.
За аналогiєю з класичною гамiльтоновою механiкою будемо вва-
жати таку систему iнтегровною, якщо iснує пара квантово-механiч-
них операторiв P i Q, якi комутують мiж собою, а також з гамiль-
тонiаном H, тобто виконуються такi умови
[H,Q] = [H,P ] = [P,Q] = 0.
114 О.Ю. Жалiй
Окрiм цього, всi три операториH,Q,P мають бути алгебраїчно неза-
лежними, тобто жоден з них не може бути представлений полiномом
вiд двох iнших [1,2].
В нашому дослiдженнi обмежимося випадком, коли оператори Q,
P є квадратичними полiномами по ~p
Q = αik(x, y, z)pipk + fi(x, y, z)pi + u1(x, y, z),
P = βik(x, y, z)pipk + gi(x, y, z)pi + u2(x, y, z). (2)
В класичнiй механiцi iнтегровнi системи є цiкавими, оскiльки їх
рух у фазовому просторi є бiльш впорядкованим, а саме обмежує-
ться тором. В квантовiй механiцi iнтегровнiсть n-вимiрної квантово-
механiчної системи, тобто iснування n iнтегралiв руху (операторiв,
що комутують мiж собою, та з оператором рiвняння (1)), полегшує
задачу визначення енергетичного спектру та хвильових функцiй на-
вiть тодi, коли з iнтегровностi не випливає вiдокремлення змiнних,
а лише так зване “квазi-вiдокремлення змiнних” [3].
Отже задача опису всiх тих потенцiалiв електромагнiтного по-
ля V та A1, A2, A3, для яких квантово-механiчна задача є iнтегров-
ною в означенному вище сенсi, є важливою i актуальною.
У випадку чисто скалярного потенцiалу, тобто коли магнiтне по-
ле вiдсутнє, для тривимiрного випадку цю задачу було розв’язано в
1967-му роцi Я.А. Смородiнським та його учнями [4, 5]. Вони дове-
ли, що з факту iснування пари iнтегралiв руху першого або другого
порядку по ~p (в означеному вище сенсi) випливає можливiсть вiд-
окремлення змiнних у вiдповiдному рiвняннi Шрьодiнгера [5] та нав-
паки [4]. А отже, отриманi ними 11 класiв iнтегровних потенцiалiв V
повнiстю спiвпали з результатами класичної роботи Ейзенхарта [6],
де вiн ще у 1948-му роцi описав всi скалярнi потенцiали, при яких
вiдповiдне рiвняння Шрьодiнгера (або ж рiвняння Гамiльтона-Якобi
у випадку класичної механiки) допускає вiдокремлення змiнних хоча
б в однiй iз 11 систем координат.
Наступний крок зробив у 1972-му роцi В.Н. Шаповалов зi спiвав-
торами [7], якi отримали повний опис вектор-потенцiалiв з ненульо-
вим магнiтним полем, при яких вiдповiдне рiвнянняШрьодiнгера (1)
допускає вiдокремлення змiнних хоча б в однiй iз 11 вищезгаданих
систем координат, та виписали вiдповiднi пари операторiв першого
та другого порядкiв, якi комутують мiж собою та з оператором рiв-
няння.
Iнтегровнi тривимiрнi квантовi системи в магнiтному полi 115
Подальшi результати в цьому напрямi пов’язанi з роботами групи
П. Вiнтернiца [8–10]. Для двовимiрного випадку було встановлено,
що в магнiтному полi з iснування iнтегралiв руху другого порядку не
обов’язково слiдує вiдокремлення змiнних. Хоча при цьому iнтеграли
руху все ще класифiкуються на класи еквiвалентностi пiд дiєю групи
Евклiда, причому члени другого порядку по pi в них мають таку ж
саму форму, як i у випадку чисто скалярного потенцiалу. Також
було показано, що в магнiтному полi квантовий випадок [10] вже не
обов’язково збiгається з класичним [8,9]: отриманi вектор-потенцiали
можуть залежати вiд сталої Планка ~ нетривiальним чином.
В данiй роботi робиться наступний крок в класифiкацiї потен-
цiалiв електромагнiтного поля V та ~A в тривимiрному евклiдовому
просторi, при яких вiдповiдна квантово-механiчна система, що опи-
сується рiвнянням (1), є iнтегровною в означеному вище сенсi, тобто
для яких iснує пара операторiв (2), що комутують мiж собою, а та-
кож з оператором рiвняння. Як результат, ми отримаємо цiлу низку
вектор-потенцiалiв, для яких вiдповiдне рiвняння Шрьодiнгера (1)
є iнтегровним в означеному вище сенсi, але при цьому не допускає
вiдокремлення змiнних, а отже цi потенцiали не мiстяться в класи-
фiкацiї Шаповалова [7] i тому є новими.
Спочатку ми розглянемо один оператор Q вигляду (2), який ко-
мутує з оператором рiвняння Шрьодiнгера H вигляду (1). Комута-
тор [Q,H] буде мiстити в собi члени третього, другого, першого, та
нульового порядкiв по pi, коефiцiєнти при яких ми маємо покласти
рiвними нулевi. Коефiцiєнти при третiй степенi pi дають таку систе-
му рiвнянь:
∂αik
∂xm
pmpipk = 0.
Пiсля розв’язання цiєї системи ми маємо наступний результат: роз-
глядуваний оператор Q може бути представлений як симетричний
бiлiнiйний полiном по генераторам групи рухiв тривимiрного евклi-
дового простору E3, тобто групи симетрiй тривимiрного рiвняння
Шрьодiнгера для вiльної частинки (рiвняння Гельмгольца):
Q = aikMiMk + bik(piMk +Mkpi) + cijpipk +
+ fi(x, y, z)pi + u1(x, y, z), (3)
де aik, bik та cij є константами, а Mi – оператор повороту, а саме
Mi = εiklxkpl, де εikl – повнiстю антисиметричний тензор.
116 О.Ю. Жалiй
Порiвнюючи отриманий вигляд оператора (3) з аналогiчним ви-
глядом для випадку чисто скалярного потенцiалу [5] робимо висно-
вок, що члени другого порядку по pi в операторах залишаються не-
змiнними i пiсля появи ненульового магнiтного поля (як i в двови-
мiрному випадку [10]).
А тому, за повною аналогiєю з роботою [5], пара комутуючих опе-
раторiв P , Q вигляду (3) може бути зведена поворотами та зсувами
системи координат, а також перетвореннями виду
Q′ = µP + νQ+ λH
до одного з 11 класiв, що вiдповiдають класичним 11 ортогональ-
ним системам координат, якi дозволяють вiдокремлення змiнних у
тривимiрному рiвняннi Шрьодiнгера для вiльної частинки.
Тому в нашому випадку ненульового магнiтного поля ми отрима-
ємо члени другого порядку по pi в цих комутуючих 11 парах опера-
торiв P , Q такi ж самi, як i в роботi [5]. Але, на вiдмiну вiд чисто
скалярного випадку, в наших операторах залишаються також нену-
льовi коефiцiєнти при членах pi першого порядку, якi є довiльними
функцiями, вiд вигляду яких в рештi решт i залежить вигляд магнi-
тного поля (у скалярному випадку вони дорiвнюють нулевi), як це
буде показано далi.
В цiй статтi нам вдалося повнiстю розв’язати найпростiший “де-
картовий” випадок, тобто коли пара P , Q має вигляд:
Q = p2
1 + ~f(x, y, z)~p+ u1(x, y, z),
P = p2
2 + ~g(x, y, z)~p+ u2(x, y, z).
Прирiвнюючи в рiвностi [H,Q] = [H,P ] = [P,Q] = 0 коефiцiєнти
при незалежних степенях pi до нуля, ми отримаємо перевизначену
систему нелiнiйних диференцiальних рiвнянь с частинними похiдни-
ми для невiдомих функцiй f1, f2, f3, g1, g2, g3, u1, u2 i V , A1, A2, A3.
Коефiцiєнти при вищих степенях pi дають таку систему:
f2 = f2(x), f3 = f3(x), g1 = g1(y), g3 = g3(y), f1y = g2x,
f ′2(x) + f1y = 4A2x, g′3(y) + g2z = 4A3y, 4A1x = f1x,
f ′3(x) + f1z = 4A3x, g′1(y) + g2x = 4A1y, 4A2y = g2y.
Її загальним розв’язком для ~A буде
4A1 = sx + k1x + g1(y) + r1(z), 4A2 = sy + k2y + f2(x) + r2(z),
Iнтегровнi тривимiрнi квантовi системи в магнiтному полi 117
4A3 = sz + k1z + k2z + f3(x) + g3(y) + r′3(z),
де s = s(x, y, z), k1 = k1(x, z), k2 = k2(y, z).
Калiбровне перетворення
~A→ ~A+ ~∇F, F = s(x, y, z) + k1(x, z) + k2(y, z) + r3(z).
спрощує вираз для ~A до такого
A1 = 1
4 (g1(y) + r1(z)),
A2 = 1
4 (f2(x) + r2(z)),
A3 = 1
4 (f3(x) + g3(y)).
Маючи цей вираз для ~A, ми отримаємо з коефiцiєнтiв при нижчих
степенях pi наступну систему для функцiй g1(y), r1(z), f2(x), r2(z),
f3(x), g3(y):
f2(x)g′3(y) = g1(y)f ′3(x),
r1(z)f ′2(x) = f3(x)r′2(z), (4)
r2(z)g′1(y) = g3(y)r′1(z).
Очевидно, що рiвняння Шрьодiнгера з вектор-потенцiалом (1) є
iнварiантним вiдносно перестановок A1, A2, A3, що вiдбуваються
одночасно з x1, x2, x3. При цьому рiвняння (4) є iнварiантними вiд-
носно перестановок функцiй g1(y), r1(z), f2(x), r2(z), f3(x), g3(y). Цi
перетворення еквiвалентностi можна зобразити таким чином:
f2 g3 r1
f3 g1 r2
A1 A2 A3
x y z
∼
r1 f2 g3
r2 f3 g1
A3 A1 A2
z x y
∼
g3 r1 f2
g1 r2 f3
A2 A3 A1
y z x
∼
f3 r2 g1
f2 r1 g3
A1 A3 A2
x z y
∼
g1 f3 r2
g3 f2 r1
A2 A1 A3
y x z
∼
r2 g1 f3
r1 g3 f2
A3 A2 A1
z y x
.
118 О.Ю. Жалiй
Використовуючи це вiдношення еквiвалентностi, нам вдалося повнi-
стю описати всi розв’язки системи (4). Це, в свою чергу дало нам
опис всiх можливих форм вектор-потенцiалiв ~A. Коефiцiєнти при
степенях pi, що залишилися, служать для визначення форми ска-
лярної компоненти вектор-потенцiалу V i накладають деякi дода-
тковi обмеження на g1(y), r1(z), f2(x), r2(z), f3(x), g3(y).
Внизу ми наводимо остаточнi результати наших обчислень. Тут i
надалi ~Ω позначає магнiтне поле, а саме ~Ω = rot ~A.
Випадок 1.
~A = 0, ~Ω = 0, Q = p2
1 + 2u1(x),
V = u1(x) + u2(y) + u3(z), P = p2
2 + 2u2(y).
Цей випадок вiдповiдає нульовому магнiтному полю i мiститься в
класифiкацiї Ейзенхарта [6]. Згiдно його результатiв такий вигляд
для скалярного потенцiалу V = u1(x) + u2(y) + u3(z) вичерпує всi
скалярнi потенцiали, при яких вiдповiдне рiвняння Шрьодiнгера до-
пускає вiдокремлення змiнних в декартовiй системi координат.
Випадок 2.
~A =
v1(z)
v2(z)
0
, ~Ω =
−v′2(z)
v′1(z)
0
, V = v3(z),
Q = p2
1,
P = p2
2.
Випадок 3.
~A =
0
0
f(x) + g(y)
, ~Ω =
g′(y)
−f ′(x)
0
,
V = u1(x) + u2(y),
Q = p2
1 + 4f(x)p3 + 2u1(x),
P = p2
2 + 4g(y)p3 + 2u2(y).
Випадки 2–3 були отриманi в класифiкацiї Шаповалова та спiвавто-
рiв [7]. Згiдно їх результатiв цi два випадки вичерпують всi вектор-
потенцiали з ненульовим магнiтним полем, при яких вiдповiдне рiв-
няння Шрьодiнгера допускає вiдокремлення змiнних в декартовiй
системi координат.
Наступнi випадки не пов’язанi з вiдокремленням змiнних, а отже
цi потенцiали не мiстилися в класифiкацiї Шаповалова [7] i тому є
новими.
Iнтегровнi тривимiрнi квантовi системи в магнiтному полi 119
Випадок 4.
~A =
g′(y)
f ′(x)
0
, ~Ω =
0
0
f ′′(x)− g′′(y)
,
V = −(C3f(x) + C3g(y) +
+ 2C2f
2(x) + 2C1g
2(y) + r(z) + 4g(y)f ′′(x) + 4f(x)g′′(y)),
Q = p2
1 + 4f ′(x)p2 − 2(4g(y)f ′′(x) + 2C2f(x)2 + C3f(x)),
P = p2
2 + 4g′(y)p1 − 2(4f(x)g′′(y) + 2C1g(y)2 + C3g(y)),
де функцiї f(x) та g(y) є розв’язками рiвнянь
f ′′(x) = Cf2(x) + C1f(x) + C4, g′′(y) = Cg2(y) + C2g(y) + C5.
При C = 0 це є лiнiйнi рiвняння другого порядку. Випадок C 6=
0 бiльш цiкавий: коли ще при цьому i C1 6= 0 (або ж, вiдповiдно,
C2 6= 0), то їх розв’язками будуть першi трансцеденти Пенлеве, а
якщо ж C1 = 0 (або ж, вiдповiдно, C2 = 0), то маємо справу с
рiвнянням Вейерштраса, розв’язки якого виражаються або ж через
функцiї Вейерштраса, або ж через елементарнi функцiї, в залежностi
вiд параметру C4 (або ж, вiдповiдно, C5) та констант iнтегрування.
Деталi можна знайти, наприклад, в довiднику Камке [11].
Випадок 5.
~A =
g′(y)
f ′(x)
Cf(x) + Cg(y)
, ~Ω =
Cg′(y)
−Cf ′(x)
f ′′(x)− g′′(y)
,
V = −(r + C3f(x) + C3g(y) +
+ 2C2f
2(x) + 2C1g
2(y) + 4g(y)f ′′(x) + 4f(x)g′′(y)),
Q = p2
1 + 4(f ′(x)p2 + Cf(x)p3)−
− 2(4g(y)f ′′(x) + 2C2f(x)2 + C3f(x)),
P = p2
2 + 4(g′(y)p1 + Cg(y)p3)−
− 2(4f(x)g′′(y) + 2C1g(y)2 + C3g(y)),
де функцiї f(x) та g(y) є розв’язками рiвнянь
f ′′(x) = C6f
2(x) + C1f(x) + C4,
120 О.Ю. Жалiй
g′′(y) = C6g
2(y) + C2g(y) + C5,
якi розв’язуються аналогiчно до попереднього випадку.
Випадок 6.
~A = 1
4
w′1(y) + v′1(z)
u′2(x) + v′2(z)
u′3(x) + w′3(y)
, ~Ω = 1
4
w′′3 (y)− v′′2 (z)
v′′1 (z)− u′′3(x)
u′′2(x)− w′′1 (y)
,
V = − 1
4 (r + u1(x) + w2(y) + v3(z) + w1(y)u′′2(x) + v1(z)u′′3(x) +
+ u2(x)w′′1 (y) + v2(z)w′′3 (y) + u3(x)v′′1 (z) + w3(y)v′′2 (z)),
Q = p2
1 + u′2(x)p2 + u′3(x)p3 −
− 1
2 (w1(y)u′′2(x) + v1(z)u′′3(x) + u1(x)),
P = p2
2 + w′1(y)p1 + w′3(y)p3 −
− 1
2 (u2(x)w′′1 (y) + v2(z)w′′3 (y) + w2(y)),
де функцiї u2(x), u3(x), w1(y), w3(y), v1(z), v2(z), u1(x), w2(y), v3(z)
визначенi конкретним чином, та розбиваються в свою чергу на чо-
тири випадки:
Випадок 6.1.
u2(x) = a3(r1 cosh(a1x) + k1 sinh(a1x)),
u3(x) = a2(r1 sinh(a1x) + k1 cosh(a1x)),
w1(y) = a3(r2 cosh(a2y) + k2 sinh(a2y)),
w3(y) = a1(r2 sinh(a2y) + k2 cosh(a2y)),
v1(z) = a2(r3 cosh(a3z) + k3 sinh(a3z)),
v2(z) = a1(r3 sinh(a3z) + k3 cosh(a3z)),
u1(x) = 1
4a
2
2a
2
3((r2
1 + k2
1) cosh(2a1x) + 2r1k1 sinh(2a1x)) +
+ C(r1 cosh(a1x) + k1 sinh(a1x)),
w2(y) = 1
4a
2
1a
2
3((r2
2 + k2
2) cosh(2a2y) + 2r2k2 sinh(2a2y)) +
+ C(r2 cosh(a2y) + k2 sinh(a2y)),
v3(z) = 1
4a
2
1a
2
2((r2
3 + k2
3) cosh(2a3z) + 2r3k3 sinh(2a3z)) +
+ C1(r3 cosh(a3z) + k3 sinh(a3z))
з 5 можливими пiдвипадками:
a) C = 0, C1 = 0;
Iнтегровнi тривимiрнi квантовi системи в магнiтному полi 121
b) r1 = k1, r2 = k2, r3 = k3, C1 = C;
c) r1 = k1, r2 = −k2, r3 = −k3, C1 = C;
d) r1 = −k1, r2 = k2, r3 = −k3, C1 = −C;
e) r1 = −k1, r2 = −k2, r3 = k3, C1 = −C.
Випадок 6.2.
u2(x) = a3(r1 sin(a1x)− k1 cos(a1x)),
u3(x) = a2(r1 cos(a1x) + k1 sin(a1x)),
w1(y) = a3(r2 sin(a2y)− k2 cos(a2y)),
w3(y) = a1(r2 cos(a2y) + k2 sin(a2y)),
v1(z) = a2(r3 cosh(a3z) + k3 sinh(a3z)),
v2(z) = a1(r3 sinh(a3z) + k3 cosh(a3z)),
u1(x) = 1
4a
2
2a
2
3((r2
1 − k2
1) cos(2a1x) + 2r1k1 sin(2a1x)) +
+ C(r1 sin(a1x)− k1 cos(a1x)),
w2(y) = 1
4a
2
1a
2
3((r2
2 − k2
2) cos(2a2y) + 2r2k2 sin(2a2y)) +
+ C(r2 sin(a2y)− k2 cos(a2y)),
v3(z) = − 1
4a
2
1a
2
2((r2
3 + k2
3) cosh(2a3z) + 2r3k3 sinh(2a3z)) +
+ C1(r3 cosh(a3z) + k3 sinh(a3z))
з 5 можливими пiдвипадками:
a) C = 0, C1 = 0;
b) r1 = ik1, r2 = −ik2, r3 = −k3, C1 = iC;
c) r1 = ik1, r2 = ik2, r3 = k3, C1 = iC;
d) r1 = −ik1, r2 = −ik2, r3 = k3, C1 = −iC;
e) r1 = −ik1, r2 = ik2, r3 = −k3, C1 = −iC.
Випадок 6.3.
u2(x) = a3(r1 cos(a1x) + k1 sin(a1x)),
u3(x) = ia2(r1 sin(a1x)− k1 cos(a1x)),
w1(y) = a3(r2 cos(a2y) + k2 sin(a2y)),
w3(y) = ia1(r2 sin(a2y)− k2 cos(a2y)),
v1(z) = a2(r3 cos(a3z) + k3 sin(a3z)),
122 О.Ю. Жалiй
v2(z) = ia1(r3 sin(a3z)− k3 cos(a3z)),
u1(x) = − 1
4a
2
2a
2
3((r2
1 − k2
1) cos(2a1x) + 2r1k1 sin(2a1x)) +
+ C(r1 cos(a1x) + k1 sin(a1x)),
w2(y) = − 1
4a
2
1a
2
3((r2
2 − k2
2) cos(2a2y) + 2r2k2 sin(2a2y)) +
+ C(r2 cos(a2y) + k2 sin(a2y)),
v3(z) = − 1
4a
2
1a
2
2((r2
3 − k2
3) cos(2a3z) + 2r3k3 sin(2a3z)) +
+ C1(r3 sin(a3z)− k3 cos(a3z))
з 5 можливими пiдвипадками:
a) C = 0, C1 = 0;
b) r1 = ik1, r2 = −ik2, r3 = ik3, C1 = iC;
c) r1 = −ik1, r2 = −ik2, r3 = −ik3, C1 = iC;
d) r1 = −ik1, r2 = ik2, r3 = ik3, C1 = −iC;
e) r1 = ik1, r2 = ik2, r3 = −ik3, C1 = −iC.
Випадок 6.4.
u2(x) = a3(r1 cosh(a1x) + k1 sinh(a1x)),
u3(x) = −ia2(r1 sinh(a1x) + k1 cosh(a1x)),
w1(y) = a3(r2 cosh(a2y) + k2 sinh(a2y)),
w3(y) = −ia1(r2 sinh(a2y) + k2 cosh(a2y)),
v1(z) = a2(r3 cos(a3z) + k3 sin(a3z)),
v2(z) = ia1(r3 sin(a3z)− k3 cos(a3z)),
u1(x) = 1
4a
2
2a
2
3((r2
1 + k2
1) cosh(2a1x) + 2r1k1 sinh(2a1x)) +
+ C(r1 cosh(a1x) + k1 sinh(a1x)),
w2(y) = 1
4a
2
1a
2
3((r2
2 + k2
2) cosh(2a2y) + 2r2k2 sinh(2a2y)) +
+ C(r2 cosh(a2y) + k2 sinh(a2y)),
v3(z) = 1
4a
2
1a
2
2((r2
3 − k2
3) cos(2a3z) + 2r3k3 sin(2a3z)) +
+ C1(r3 sin(a3z)− k3 cos(a3z))
з 5 можливими пiдвипадками:
a) C = 0, C1 = 0;
b) r1 = −k1, r2 = −k2, r3 = −ik3, C1 = C;
Iнтегровнi тривимiрнi квантовi системи в магнiтному полi 123
c) r1 = k1, r2 = −k2, r3 = ik3, C1 = C;
d) r1 = k1, r2 = k2, r3 = −ik3, C1 = −C;
e) r1 = −k1, r2 = k2, r3 = ik3, C1 = −C.
Таким чином, ми отримали цiлу низку нових вектор-потенцiалiв,
для яких вiдповiдне рiвняння Шрьодiнгера (1) є iнтегровним в озна-
ченому вище сенсi, але при цьому не допускає вiдокремлення змiн-
них, i для яких вiдповiдну квантово-механiчну задачу визначення
енергетичного спектру та хвильових функцiй можна спробувати роз-
в’язати за допомогою, наприклад, квазi-вiдокремлення змiнних [3].
Автор вдячний Павловi Вiнтернiцу за кориснi дискусiї. Робота
була пiдтримана NATO Reintegration Grant NUKR.RIG 982038 та
грантом Президента України для пiдтримки наукових дослiджень
молодих вчених GP/F11/0061.
[1] Hietarinta J. Pure quantum integrability // Phys. Lett. A. – 1998. – 246. –
P. 97–104.
[2] Hietarinta J. Classical vs quantum integrability // J. Math. Phys. – 1984. –
25. – P. 1833–1840.
[3] Hudon C., Winternitz P. Quasiseparation of variables in the Schrödinger equa-
tion with a magnetic field, math-ph/0502046
[4] Смородинский Я.А., Тугов И.И. О полных наборах наблюдаемых //
ЖЭТФ – 1966. – 50. – С. 653–659.
[5] Makarov A.A., Smorodinsky J.A., Valiev Kh., Winternitz P. A systematic search
for nonrelativistic systems with dynamical symmetries // Nuovo Cimento A –
1967. – 52. – P. 1061–1084.
[6] Eisenhart L.P. Enumeration of potentials for which one–particle Schroedinger
equations are separable // Phys. Rev. – 1948. – 74. – P. 87–89.
[7] Шаповалов В.Н., Багров В.Г., Мешков А.Г. Разделение переменных в ста-
ционарном уравнении Шредингера // Изв. вузов СССР, Физика. – 1972. –
№ 8. – С. 45–50.
[8] Dorizzi B., Grammaticos B., Ramani A., Winternitz P. Integrable Hamiltonian
systems with velocity-dependent potentials // J. Math. Phys. – 1985. – 26. –
P. 3070–3079.
[9] McSween E., Winternitz P. Integrable and superintegrable Hamiltonian systems
in magnetic fields // J. Math. Phys. – 2000. – 41. – P. 2957–2967.
[10] Berube, J., Winternitz P. Integrable and superintegrable quantum systems in a
magnetic field // J. Math. Phys. – 2004. – 45. – P. 1959–1973.
[11] Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. –
Москва: Наука, 1976. – 576 с.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-386 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:06:34Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/2c/f979f6a215453c3351fe2a8bb83a862c.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-3862020-08-13T10:42:30Z On integrable three-dimensional quantum systems in magnetic fields Про інтегровні тривимірні квантово-механічні системи в магнітному полі Zhalij, A. Жалій, О. This paper is devoted to the construction of integrable three-dimensional quantum mechanical systems with magnetic fields. The existence of pairs of commuting integrals of motion not higher than second order in derivatives is considered. Most of the systems obtained are new and not related to the separation of variables in the corresponding Schrodinger equation. Робота присвячена побудові інтегровних тривимірних квантово-механічних систем з ненульовими магнітними полями. Розглядається існування пари взаємокомутуючих інтегралів руху не вище другого порядку за похідними. Більшість отриманих систем є новими і не співвідносяться з відокремленням змінних у відповідному рівнянні Шрьодінгера. Інститут математики НАН України 2006-11-14 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/386 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 3 No. 2 (2006): Symmetry and Integrability of Equations of Mathematical Physics (Dedicated to the 70-th Anniversary of Professor W.I. Fushchych); 113-123 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 3 № 2 (2006): Симетрія та інтегровність рівнянь математичної фізики (До 70-річчя від дня народження Вільгельма Ілліча Фущича); 113-123 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 3 № 2 (2006): Симетрія та інтегровність рівнянь математичної фізики (До 70-річчя від дня народження Вільгельма Ілліча Фущича); 113-123 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/386/386 Авторське право (c) 2006 О. Жалій http://creativecommons.org/licenses/by/4.0 |
| spellingShingle | Zhalij, A. Жалій, О. On integrable three-dimensional quantum systems in magnetic fields |
| title | On integrable three-dimensional quantum systems in magnetic fields |
| title_alt | Про інтегровні тривимірні квантово-механічні системи в магнітному полі |
| title_full | On integrable three-dimensional quantum systems in magnetic fields |
| title_fullStr | On integrable three-dimensional quantum systems in magnetic fields |
| title_full_unstemmed | On integrable three-dimensional quantum systems in magnetic fields |
| title_short | On integrable three-dimensional quantum systems in magnetic fields |
| title_sort | on integrable three-dimensional quantum systems in magnetic fields |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/386 |
| work_keys_str_mv | AT zhalija onintegrablethreedimensionalquantumsystemsinmagneticfields AT žalíjo onintegrablethreedimensionalquantumsystemsinmagneticfields AT zhalija proíntegrovnítrivimírníkvantovomehaníčnísistemivmagnítnomupolí AT žalíjo proíntegrovnítrivimírníkvantovomehaníčnísistemivmagnítnomupolí |