Implementing the Ritz method for computing the elastic axisymmetric shell partily filed with a liquid
An algorithm for calculating the eigen frequencies and modes of arbitraryshells of revolution which are partially filled with an ideal fluid is pro-posed. The solution method of this hydroelastic problem is based on thedomain decomposition method applied to the shell equations that is com-bined with...
Saved in:
| Date: | 2015 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/39 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552563209928704 |
|---|---|
| author | Троценко, Ю. В. Троценко, Ю. В. |
| author_facet | Троценко, Ю. В. Троценко, Ю. В. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "",
"institution": null
}
] |
| author_sort | Троценко, Ю. В. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-23T12:01:13Z |
| description | An algorithm for calculating the eigen frequencies and modes of arbitraryshells of revolution which are partially filled with an ideal fluid is pro-posed. The solution method of this hydroelastic problem is based on thedomain decomposition method applied to the shell equations that is com-bined with the variational method constructing an inverse operator for thehydrodynamic part of the problem. A comparison of the obtained numer-ical results with existing exact solutions of the problem for the shell of thecircular cylindrical shape is given. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:01:25Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iнституту математики НАН України 2015, т. 12, № 5, 203–234
УДК 532.5;539.3
Применение метода Ритца
к расчету колебаний упругих
оболочек вращения, частично
заполненных жидкостью
Ю.В. Троценко
Институт математики НАН Украины, Киев;
trots@imath.kiev.ua
An algorithm for calculating the eigen frequencies and modes of arbitrary
shells of revolution which are partially filled with an ideal fluid is pro-
posed. The solution method of this hydroelastic problem is based on the
domain decomposition method applied to the shell equations that is com-
bined with the variational method constructing an inverse operator for the
hydrodynamic part of the problem. A comparison of the obtained numer-
ical results with existing exact solutions of the problem for the shell of the
circular cylindrical shape is given.
Запропоновано алгоритм розрахунку частот та форм власних коли-
вань довiльних оболонок обертання, частково заповнених iдеальною
рiдиною з врахуванням хвильових рухiв на її вiльнiй поверхнi. Розв’я-
зок вихiдної задачi гiдропружностi базується на застосуваннi методу
декомпозицiї областi iнтегрування рiвнянь теорiї оболонок у поєднаннi
з варiацiйним методом та наближенiй побудовi оберненого оператора
для гiдродинамiчної частини задачi. Наведено порiвняння отриманих
чисельних результатiв з iснуючими точними розв’язками розглядува-
ної задачi для оболонки у формi кругового цилiндра.
1. Введение
Многие важные задачи динамики механических систем, включаю-
щих в себя жидкие массы с изменяющимися во времени границами,
∗ Работа выполнена при частичной поддержке НИР № 0112U001015
c© Ю.В. Троценко 2015
204 Ю. В. Троценко
приводят к необходимости решения проблемы о взаимодействии жид-
кости с абсолютно твердыми или упругими телами. Эта проблема
стала особенно актуальной в связи с развитием и совершенствова-
нием авиационной, ракетной и космической техники. Упругие кон-
струкции, несущие большие массы жидкости, широко представлены
также в кораблестроении (танкеры для перевозки сжиженных газов)
и в промышленном строительстве (резервуары для хранения нефте-
продуктов, металлические водонапорные башни, которые могут нахо-
диться под воздействием ветровых или сейсмических нагрузок). Во
многих случаях подвижная масса жидкости составляет значитель-
ную часть от массы всей механической системы и является одним
из основных факторов, определяющих динамическую прочность и
устойчивость движения системы «тело - жидкость».
Проблемам динамики упругих конструкций с жидкостью посвя-
щена обширная литература [1, 2]. Краевые задачи гидроупругости
относятся к числу достаточно сложных задач математической фи-
зики, поскольку необходимо совместно интегрировать систему диф-
ференциальных уравнений для перемещений оболочки и уравнения
в частных производных для потенциала смещений жидкости. Тем
не менее среди публикаций имеются работы, в которых построены
точные решения рассматриваемых задач [1, 3, 4]. Точные решения
можно построить только в тех случаях, когда поверхность оболоч-
ки совпадает с какой-либо координатной поверхностью одной из си-
стем координат и уравнения теории оболочек допускают построение
их явного общего решения. Особо следует отметить работу В. Б. Ку-
лешова и Ю. Ю. Швейко [3], в которой в наиболее общей постановке
с учетом волновых движений жидкости построено точное решение
задачи об определении собственных неосесимметричных колебаний
цилиндрических оболочек, частично заполненных жидкостью. Чис-
ленные данные, которые представлены в этой работе, имеют очень
важное значение, поскольку могут быть использованы для оценки
точности различных приближенных методов, которые позволяют по-
лучить необходимые результаты более простым способом, чем при
непосредственном интегрировании исходных уравнений.
Применительно к оболочкам вращения общего вида разработано
ряд приближенных аналитических методов решения рассматривае-
мых краевых задач гидроупругости. Получение этих решений осно-
вано на применении метода Ритца [1,5,6] и Бубнова - Галеркина [7,8].
При их использовании к расчету колебаний произвольных оболочек
Применение метода Ритца ... 205
вращения, частично заполненных жидкостью, основную трудность
представляет выбор координатных функций для перемещений обо-
лочки и жидкости. При реализации метода Бубнова - Галеркина эти
трудности могут быть преодолены путем его модификации, предло-
женной в работе [9]. Следуя этому пути в работах [10] – [12] были
предложены оригинальные решения ряда задач гидроупругости.
В настоящее время в связи с бурным развитием вычислитель-
ной техники интенсивно развиваются численные методы расчета
динамических характеристик упругих оболочек вращения, частич-
но заполненных жидкостью. Так в работе [13] предложен алго-
ритм расчета собственных и вынужденных колебаний упругих обо-
лочек с жидкостью. Исходная задача сводится к системе интегро-
дифференциальных уравнений за счет введения в рассмотрение вспо-
могательной спектральной задачи с параметром в граничном усло-
вии. Сформулированная краевая задача для этой системы уравне-
ний сводится к соответствующим задачам Коши, решения которых
находятся методом Кутта – Мерсона с ортогонализацией решений по
С. К. Годунову. Имеется обширная литература по применению раз-
ных вариантов метода конечных элементов в задачах гидроупруго-
сти [14] – [16] и др. Рассмотренные численные методы обладают уни-
версальностью по охвату решаемых задач, однако они требуют тща-
тельной проверки точности получаемых результатов.
В настоящей работе предлагается алгоритм расчета колебаний
произвольных оболочек вращения, частично заполненных жидко-
стью. При этом учитываются волновые движения жидкости на ее
свободной поверхности.
Сначала исходная краевая задача для уравнений в частных произ-
водных с помощью метода Бубнова – Галеркина приводится к беско-
нечной системе обыкновенных дифференциальных уравнений, неза-
висимой переменной в которой является время. Определение коэф-
фициентов этих уравнений сводится к квадратурам, если известны
собственные числа и собственные функции дополнительно введенной
в рассмотрение спектральной задачи о колебаниях оболочки без учета
волновых движений жидкости. Решение этой задачи гидроупругости
основано на применении метода декомпозиции области в сочетании
с вариационным методом и на приближенном построении обратно-
го оператора для гидродинамической части задачи. Преимущество
предлагаемого подхода решения исходной задачи гидроупругости по
сравнению с другими вариантами вариационного метода состоит в
206 Ю. В. Троценко
том, что рассматриваемую задачу удается разделить на отдельные
подзадачи, для которых применяются индивидуальные пути их ре-
шения.
Приведено сравнение полученных расчетных данных с имеющи-
мися в литературе точными решениями данной задачи.
2. Постановка задачи
Рассмотрим тонкостенную упругую оболочку вращения, которая на
глубину H заполнена идеальной и несжимаемой жидкостью. В даль-
нейшем предполагается, что поле массовых сил, действующих на обо-
лочку и жидкость, является потенциальным и ускорение поля массо-
вых сил ~g параллельно оси симметрии оболочки. Будем считать, что
смещения, скорости и ускорения оболочки и частиц жидкости малы в
том смысле, что их произведениями и квадратами можно пренебречь
по сравнению с самими величинами. Оболочка является изотропной
и обладает всеми свойствами, обеспечивающими применимость мо-
ментной теории тонкостенных оболочек В. З. Власова [17]. Началь-
ными перемещениями срединной поверхности оболочки, обусловлен-
ными гидростатическим давлением жидкости, а также диссипацией
энергии при колебаниях оболочки пренебрегаем.
Введенные допущения позволяют максимально упростить поста-
новку задачи, сохранив при этом ее практическое значение. Такого
рода предположения характерны для большинства теоретических ра-
бот по динамике упругих оболочек с жидкостью [1, 2, 18].
У оболочек вращения линиями главных кривизн являются их ме-
ридианы и параллели. В качестве ортогональных координат для про-
извольной точки срединной поверхности оболочки выберем длину ду-
ги меридиана s, отсчитываемую от некоторой начальной параллели
(s1 6 s 6 s2) или от полюса оболочки (s1 = 0), и угол β, опре-
деляющий положение точки на соответствующей параллели. Проек-
ции перемещения точек срединной поверхности оболочки на положи-
тельные направления ее образующей, параллели и внешней нормали
обозначим соответственно через u, v и w. Обозначим через ν, E и
h коэффициент Пуассона, модуль упругости материала оболочки и
ее толщину соответственно. Если в уравнения равновесия элемента
оболочки, находящегося под воздействием поверхностной нагрузки
~Q = {Q1, Q2, Q3}, подставить силы и моменты, выраженные через
перемещения оболочки, и умножить полученные уравнения на коэф-
Применение метода Ритца ... 207
фициент (1− ν2)/(Eh), то получим следующую систему уравнений в
частных производных относительно компонентов перемещения u, v и
w:
L11(u) + L12(v) + L13(w) =
1− ν2
Eh
Q1,
L21(u) + L22(v) + L23(w) =
1− ν2
Eh
Q2,
L31(u) + L32(v) + L33(w) =
1− ν2
Eh
Q3,
(1)
где Li,j (i, j = 1, 3) – известные линейные операторы теории оболо-
чек [17]. Компоненты поверхностной нагрузки Q1, Q2 и Q3 в направ-
лении положительного отсчета координат s, β и внешней нормали к
поверхности оболочки в соответствии с принципом Д’Аламбера мож-
но представить в следующем виде:
Q1 = −ρh∂
2u
∂t2
; Q2 = −ρh∂
2v
∂t2
; Q3 = −ρh∂
2w
∂t2
+∆P. (2)
Здесь ρ – плотность материала оболочки и ∆P – динамическое давле-
ние на оболочку со стороны жидкости. К уравнениям (1) необходимо
добавить граничные условия крепления торцов оболочки при s = s1
и s = s2.
Введем декартову систему координат Oxyz и соответствующую
цилиндрическую систему координат Ozrβ, ось Oz которой совместим
с осью симметрии оболочки.
Для описания движения жидкости в оболочке введем в рассмотре-
ние потенциал смещений χ(z, r, β, t). Обозначим через S – срединную
поверхность оболочки; S1 – поверхность, смоченную жидкостью; S2 –
несмоченную часть поверхности оболочки; Σ – невозмущенную сво-
бодную поверхность жидкости и D – область, занятую жидкостью
(рис. 1).
Из принятых выше допущений вытекает возможность отнесения
граничных условий для потенциала смещений χ к неподвижной сре-
динной поверхности оболочки S1, а условия на возмущенной свобод-
ной поверхности жидкости – к ее невозмущенной свободной поверх-
ности Σ.
Потенциал смещений частиц жидкости при заданном движении
оболочки в ее нормальном направлении w(s, β, t) = w(p, t) определя-
208 Ю. В. Троценко
z
x
y
O
s
β
Рис. 1. Оболочка вращения, частично заполненная жидкостью.
ется из решения следующей краевой задачи [2, 18]
∆χ = 0, (z, r, β) ∈ D,
∂χ
∂n
∣∣∣∣
S1
= w(p, t),
(
∂2χ
∂t2
+ g
∂χ
∂z
+ f(t)
)∣∣∣∣
Σ
= 0,
(3)
где ∆ – оператор Лапласа; g – модуль вектора ~g; n – внешняя нормаль
к поверхности S1 и f(t) – произвольная функция времени.
Динамическое условие на поверхности Σ выражает собою условие
постоянства давления жидкости на ее свободной поверхности.
На основании линеаризованного интеграла Лагранжа – Коши ди-
намическое давление со стороны жидкости на оболочку будет опре-
деляться по формуле [18]:
∆P = −ρ0
(
∂2χ
∂t2
− 1
Σ
∫
Σ
∂2χ
∂t2
dΣ
)
. (4)
При написании формулы (4) пренебрегалось несущественным гид-
ростатическим давлением, обусловленным деформацией срединной
Применение метода Ритца ... 209
поверхности оболочки и свободной поверхности жидкости.
Заметим, что потенциал смещений χ должен еще удовлетворять
следующему соотношению:
∫
S1+Σ
∂χ
∂n
dS = 0, (5)
вытекающему из уравнения неразрывности и закона сохранения мас-
сы несжимаемой жидкости.
Таким образом, уравнения (1), (3) вместе с соотношениями (2), (4),
(5) и соответствующими начальными условиями для оболочки и для
волновых движений жидкости [2] однозначно определяют взаимосвя-
занные колебания упругой оболочки и находящейся в ней идеальной
жидкости.
В дальнейшем удобно перейти к безразмерным величинам. Обо-
значим через R0 какой-либо характерный размер оболочки. Введем
в рассмотрение следующие безразмерные параметры-величины (обо-
значенные черточкой сверху):
η =
ρgR0(1− ν2)
E
; c2 =
h2
12R2
0
; a =
ρ0R0
ρh
; K =
ρR2
0(1 − ν2)
E
;
t2 = Kt̄2; {u, v, w} = R0{ū, v̄, w̄}; χ = R2
0χ̄;
{Ti, S} =
Eh
(1− ν2)
{T̄i, S̄}; {Mi, H} =
EhR0
(1− ν2)
{M̄i, H̄}; i = 1, 2.
(6)
Кроме того, отнесем к R0 также параметры Ламе, кривизны и
координаты точек срединной поверхности оболочки. В дальнейшем
черточку над безразмерными величинами будем опускать. В форму-
лах (6) Ti и Mi – погонные силы и изгибающие моменты; S и H –
сдвигающая сила и крутящий момент, отнесенные к единице длины
нормального сечения срединной поверхности оболочки.
Безразмерные уравнения возмущенного движения оболочки удоб-
но представить в следующей векторно-матричной форме:
L~U + ~f = ~X. (7)
Здесь L – матричный оператор, порожденный дифференциальными
уравнениями (1) и определенный на множестве функций ~U , кото-
рые удовлетворяют граничным условиям закрепления краев оболоч-
210 Ю. В. Троценко
ки. Трехкомпонентные вектора ~f , ~X и ~U имеют вид
~f =
ü, v̈, ẅ + aδ(p)
(
∂2χ
∂t2
− 1
Σ
∫
Σ
∂2χ
∂t2
dΣ
)
;
~X = {X1, X2, X3}; Xi =
1− ν2
Eh
Qi, i = 1, 3;
~U = {u, v, w}, δ(p) =
{
1 при p ∈ S1,
0 при p /∈ S1.
В свою очередь потенциал смещений частиц жидкости определя-
ется из решения следующей краевой задачи
∂2χ
∂x2
+
∂2χ
∂y2
+
∂2χ
∂z2
= 0, (x, y, z) ∈ D,
∂χ
∂n
∣∣∣∣
S1
= w(p, t),
(
∂χ
∂z
+
1
η
∂2χ
∂t2
+ f̂(t)
)∣∣∣∣
Σ
= 0.
(8)
Характерной особенностью сформулированных краевых задач
для перемещений оболочки и для потенциала смещений жидкости
является необходимость совместного интегрирования уравнений для
вектор-функции ~U , определенной в точках срединной поверхности
оболочки и уравнений для функции χ(x, y, z, t), заданной в трехмер-
ной области D. Функция χ(x, y, z, t) зависит от нормального прогиба
оболочки w(p, t), поскольку он входит в граничное условие на части
границы S1 области D. В свою очередь функция w(p, t) зависит от
функции χ(x, y, z, t), которая входит в вектор ~f в уравнении (7). В
связи с этим непосредственное решение краевой задачи (7), (8) в об-
щем случае представляет собою достаточно сложную задачу. Поэто-
му в дальнейшем для ее решения будем применять приближенные ме-
тоды, позволяющие свести решение исходной задачи для уравнений в
частных производных к решению системы обыкновенных дифферен-
циальных уравнений, независимой переменной в которых является
время.
Применение метода Ритца ... 211
3. Сведение уравнений возмущенного движения
оболочки с жидкостью к системе обыкновенных
дифференциальных уравнений
Аналогично, как и в динамике твердого тела с жидким заполнением
[19], [20], представим потенциал смещений жидкости в виде суммы
двух гармонических функций
χ = Φ(x, y, z, t) + Ψ(x, y, z, t), (9)
где Φ — потенциал смещений частиц жидкости, обусловленный де-
формацией оболочки, при условии, что свободная поверхность пред-
ставляет собой плоскость, параллельную поверхности Σ (иными сло-
вами, отсутствуют волновые движения); Ψ – потенциал волновых
движений жидкости.
Функцию Φ определим как решение следующей краевой задачи:
∆Φ = 0, (x, y, z) ∈ D;
∂Φ
∂n
∣∣∣∣
S1
= w(p, t);
∂Φ
∂n
∣∣∣∣
Σ
= c(t), (10)
где c(t) – произвольная функция времени t, p – координаты любой
точки срединной поверхности оболочки.
Функцию c(t) выберем таким образом, чтобы выполнялось усло-
вие разрешимости задачи Неймана для уравнения Лапласа (10), ко-
торое есть условием равенства потока жидкости через замкнутую по-
верхность Σ + S1:
∫
Σ+S1
∂Φ
∂n
dS = 0.
Откуда следует, что
c(t) = − 1
Σ
∫
S1
w(p, t)dS. (11)
Здесь Σ — площадь невозмущенной свободной поверхности жидко-
сти.
Приведение уравнений (7) и (8) с учетом соответствующих гра-
ничных условий к бесконечной системе обыкновенных дифференци-
альных уравнений можно осуществить методом Бубнова – Галерки-
на. Для реализации этого метода необходимо располагать некоторой
212 Ю. В. Троценко
системой линейно независимых функций, удовлетворяющих гранич-
ным условиям задачи и условиям полноты.
Введем в рассмотрение спектральную задачу с параметром в гра-
ничном условии
∆ϕk(x, y, z) = 0, (x, y, z) ∈ D,
∂ϕk
∂n
∣∣∣∣
S1
= 0,
(
∂ϕ
∂n
− κkϕk
)∣∣∣∣
Σ
= 0,
(12)
В соответствии с уравнениями (8), краевая задача (12) описывает
собственные колебания жидкости в неподвижном сосуде. При этом
квадрат частоты σ2
k k - ой формы собственных колебаний жидкости
связан с частотным параметром κk соотношением
σ2
k = ηκk. (13)
Все собственные значения спектральной задачи (12) действитель-
ны, положительны и имеют единственную предельную точку, рас-
положенную на бесконечности. В свою очередь, совокупность соб-
ственных функций обладает свойством полноты на поверхности Σ и
удовлетворяет следующим условиям ортогональности [21]:
∫
Σ
∂ϕk
∂n
dΣ =
∫
Σ
ϕkdΣ = 0;
∫
Σ
ϕkϕldΣ = 0;
∫
Σ
∂ϕk
∂n
∂ϕl
∂n
dΣ = 0, (k 6= l).
(14)
Составляющую Ψ потенциала смещений жидкости (9) представим
в виде разложения в обобщенный ряд Фурье по функциям ϕk:
Ψ(x, y, z, t) =
∞∑
k=1
rk(t)ϕk(x, y, z). (15)
Коэффициенты Фурье rk(t) имеют смысл обобщенных координат, ха-
рактеризующих волновые движения жидкости в оболочке.
Обобщенные координаты жидкости rk(t) будем определять из ди-
намического условия для потенциала смещений жидкости χ (8) на
ее свободной поверхности. Для этого подставим в граничное условие
на Σ (8) выражения (9) и (15). Полученное соотношение умножим на
Применение метода Ритца ... 213
a∂ϕl/∂n и проинтегрируем его по области Σ. С учетом условий орто-
гональности (14) и того, что функция Φ(x, y, z, t) является решени-
ем краевой задачи (10), получим следующее уравнение относительно
rk(t)
aµk(r̈k + σ2
krk) = −a
∫
Σ
∂2Φ
∂t2
∂ϕk
∂n
dΣ, k = 1, 2, . . . , (16)
где
µk =
∫
Σ
ϕk
∂ϕk
∂n
dΣ.
Далее выберем базис для аппроксимации перемещений оболочки
и составляющей потенциала смещений жидкости Φ. Сформулируем
вспомогательную спектральную задачу, описывающую свободные ко-
лебания оболочки с жидкостью при условии, что свободная поверх-
ность жидкости представляет собой плоскость, перпендикулярную
продольной оси оболочки. Эту задачу можно сформулировать, ис-
ходя из уравнений (7). Для этого в них следует положить Xi ≡ 0,
для потенциала смещений жидкости (7) положить Ψ ≡ 0 и отделить
временную координату по формулам
[u, v, w] = expiΩt[u, v, w]; Φ = expiΩt Φ c(t) = expiΩt C.
Будем считать, что вектор - функция ~U = {u, v, w} принадлежит
вещественному пространствуH вектор - функций, удовлетворяющих
граничным условиям крепления краев оболочки. Тогда с учетом вве-
денных обозначений сформулированная спектральная задача будет
иметь следующий вид:
L~U − Ω2M~U = 0 M~U =
u, v, w + aδ(p)
(
Φ− 1
Σ
∫
Σ
ΦdΣ
)
, (17)
∆Φ = 0, (x, y, z) ∈ D,
∂Φ
∂n
∣∣∣∣∣
S1
= w,
∂Φ
∂z
∣∣∣∣∣
Σ
= C. (18)
Определим скалярное произведение векторов в H формулой
(~U1, ~U2) =
∫
S
(u1u2 + v1v2 + w1w2)dS.
214 Ю. В. Троценко
Рассмотрим свойства операторов L и M . Оператор L являет-
ся симметричным. Это значит, что для любых трехкомпонентных
вектор-функций ~U (1) и ~U (2), принадлежащих пространству H , спра-
ведливо тождество (L~U (1), ~U (2)) = (L~U (2), ~U (1)). Это тождество мож-
но проверить непосредственно, используя формулы интегрирования
по частям для поверхностных интегралов. Это можно сделать значи-
тельно проще если воспользоваться формулой [22]
(L~U (1), ~U (2)) =
∫
S
{
ε
(1)
1 ε
(2)
1 + ε
(1)
2 ε
(2)
2 + ν
(
ε
(1)
2 ε
(2)
1 + ε
(2)
2 ε
(1)
1
)
+
+
(1− ν)
2
ω(1)ω(2) + c2
[
κ
(1)
1 κ
(2)
1 + κ
(1)
2 κ
(2)
2 +
+ ν
(
κ
(1)
2 κ
(2)
1 + κ
(1)
1 κ
(2)
2
)
+ 2(1− ν)τ (1)τ (2)
]}
dS,
(19)
где верхние индексы в круглых скобках означают, что в соответ-
ствующие формулы для деформаций оболочки внесены компоненты
вектор-функций ~U (1) и ~U (2). Из этой формулы следует симметрия
оператора L. Если положить ~U (1) = ~U (2) = ~U , то получим
(L~U, ~U) =
∫
S
{
ε21 + ε22 + 2νε1ε2 +
(1− ν)
2
ω2+
+ c2
[
κ
2
1 + κ
2
2 + 2νκ1κ2 + 2(1− ν)τ2
]}
dS.
(20)
Правая часть в соотношении (20) равна удвоенной потенциальной
энергии деформации оболочки [23], следовательно, оператор L по-
ложителен. Можно доказать и более сильное утверждение [22], что
оператор L является и положительно определенным т.е. (L~U, ~U) >
γ(~U, ~U), γ > 0. В дальнейшем будем предполагать параметры обо-
лочки такими, что наименьшее собственное значение оператора L
λmin(L) > 0. В этом случае наибольшее возможное значение парамет-
ра γ и есть λmin(L). Таким образом наше предположение равносильно
требованию положительной определенности оператора L.
Для оператора M будем иметь
Применение метода Ритца ... 215
(M~U1, ~U2) =
∫
S
[
u1u2 + v1v2 + w1w2+
+ aδ(p)
(
Φ1 −
1
Σ
∫
Σ
Φ1dΣ
)
w2
]
dS.
(21)
Рассмотрим выражение
∫
S1
(
Φ1 −
1
Σ
∫
Σ
Φ1dΣ
)
w2dS =
∫
S1
(
Φ1 −
1
Σ
∫
Σ
Φ1dΣ
)
∂Φ2
∂n
dS =
=
∫
Σ+S1
(
Φ1 −
1
Σ
∫
Σ
Φ1dΣ
)
∂Φ2
∂n
dS =
∫
S1
(
Φ2 −
1
Σ
∫
Σ
Φ2dΣ
)
w1dS.
Здесь была использована формула Грина для гармонических функ-
ций, преобразующая интеграл по поверхности Σ + S1 в объемный
интеграл, а также соотношение
∫
Σ
(
Φ1 −
1
Σ
∫
Σ
Φ1dΣ
)
∂Φ2
∂n
dΣ = 0,
которое вытекает из граничных условий для функции Φ2 на поверх-
ности Σ.
Из формул (21) следует, что оператор M симметричен и поло-
жителен [24]. На основании общих теорем теории спектральных за-
дач [25] с учетом установленных свойств операторов L и M можно
сформулировать ряд утверждений для собственных значений и соб-
ственных функций задачи (17), (18). Рассматриваемая задача имеет
дискретный спектр 0 < Ω2
1 6 Ω2
2 6 . . . 6 Ω2
n . . . , причем Ω2
n → ∞
при n → ∞. Совокупность соответствующих собственных функций
~Ui полна в пространстве вектор-функций из H и удовлетворяет сле-
дующим условиям ортогональности:
(L~Ui, ~Uj) = (M~Ui, ~Uj) = 0 при i 6= j. (22)
Вследствие этого произвольная квадратично суммируемая на по-
верхности S вектор-функция может быть разложена в ряд по системе
собственных функций ~Ui, который будет сходиться покомпонентно в
216 Ю. В. Троценко
средне квадратичном смысле. Таким образом собственные функции
спектральной задачи (17), (18) могут быть использованы для сведе-
ния уравнений в частных производных (7), (8) к системе обыкновен-
ных дифференциальных уравнений.
Представим перемещения срединной поверхности оболочки и по-
тенциал смещений жидкости Φ в виде следующих разложений
~U(p, t) =
∞∑
j=1
sj(t)~Uj(p); Φ =
∞∑
j=1
sj(t)Φj(x, y, z), (23)
где Φj — гармонические функции, удовлетворяющие граничным
условиям
∂Φj
∂n
∣∣∣∣
S1
= wj(p);
∂Φj
∂z
∣∣∣∣
Σ
= − 1
Σ
∫
S1
wj(p)dS.
Следует отметить, что при таком представлении решений задачи
(7) выполняются все граничные условия для перемещений оболочки,
в том числе и кинематическое граничное условие ∂Φ/∂n|S1 = w.
Подставим разложения (23) в уравнения (7) и (16). Полученное
уравнение (7) умножим скалярно на ~Ui и проинтегрируем получен-
ный результат по всей поверхности оболочки S. Тогда с учетом усло-
вий ортогональности (22) и соотношения (L~Ui, ~Ui) = Ω2
iM(~Ui, ~Ui) по-
лучим следующую систему обыкновенных дифференциальных урав-
нений:
ai
(
s̈i +Ω2
i si
)
+ a
∞∑
k=1
r̈kλik = Q̃i,
aµk
(
r̈k + σ2
krk
)
+ a
∞∑
i=1
s̈iγki = 0, (i, k = 1, 2, . . .) .
(24)
Здесь
ai =
∫
S
(
u2i + v2i + w2
i
)
dS + a
∫
L
(
Φi −
1
Σ
∫
Σ
ΦidS
)
widS,
λik =
∫
S1
ϕkwidS, γki =
∫
Σ
Φi
∂ϕk
∂n
dS, Q̃i =
∫
S
(
~X, ~Ui
)
dS.
Применение метода Ритца ... 217
Покажем симметрию коэффициентов λik и γki:
γki =
∫
Σ
Φi
∂ϕk
∂n
dS =
∫
Σ+S1
Φi
∂ϕk
∂n
dS =
∫
S1
ϕk
∂Φi
∂n
dS =
∫
S1
ϕkwidS = λik.
При этом была использована формула Грина для гармонических
функций ϕ и ψ
∫
S
ϕ
∂ψ
∂n
dS =
∫
S
ψ
∂ϕ
∂n
dS,
где S — замкнутая поверхность, ограничивающая область D.
Система уравнений (24) для описания возмущенного движения
упругой оболочки, частично заполненной жидкостью, может быть
сведена к аналогичным уравнениям, которые получены в работах [2]
и [18] на основе использования принципа возможных перемещений.
Уравнения (24) могут быть использованы для приближенного
определения свободных колебаний жидкости в упругом резервуаре.
Для этого следует положить
si = expiωt Si, rk = expiωt Rk, Q̃i ≡ 0. (25)
C учетом этого и ограничиваясь конечным числом обобщенных
координат для определения амплитуд Si, Rk и частот колебаний ω,
получим следующую однородную конечную систему алгебраических
уравнений:
(
G− λ2F
)
~y = 0, ~y = {S1, S2, . . . , Ss0 ;R1, R2, . . . , Rr0} ,
λ2 =
(1− ν2)ρR2
0ω
2
E
.
(26)
Здесь элементы gij и fij верхней части относительно главной диаго-
нали симметричных матриц G и F соответственно имеют вид:
gi,j = δijaiΩ
2
i , fij = δijai, (i, j = 1, s0),
gi,j+s0 = 0, fi,j+s0 = aλij , (i = 1, s0, j = 1, r0),
gi+s0,j+s0 = δijaµiσ
2
i , fi+s0,j+s0 = δijaµi, (i, j = 1, r0),
δij =
{
1 при i = j,
0 при i 6= j.
Определение коэффициентов уравнений (24) связано с вычисле-
нием квадратур от решений спектральных задач (12) и (17), (18).
218 Ю. В. Троценко
4. Применение вариационных методов для по-
строения решений дополнительно введенных
спектральных задач
Для оболочек вращения компоненты перемещений точек срединной
поверхности оболочки u, v, w и потенциал смещений частиц жидкости
Φ с учетом условий их периодичности по углу β можно представить
в виде:
u(s, β) = u(s) cosnβ, v(s, β) = v(s) sinnβ,
w(s, β) = w(s) cosnβ, Φ(z, r, β) = Φ(z, r) cosnβ,
(27)
где n – число волн упругой поверхности оболочки и жидкости в
окружном направлении, рассматриваемое в дальнейшем в качестве
параметра.
Заметим, что интегралы
∫
S1
wds,
∫
Σ
wdΣ,
∫
Σ
ΦdΣ,
встречающиеся в приведенных выше формулах не равны нулю толь-
ко для случая осесимметричных колебаний при n = 0. Для других
целочисленных значений параметра n эти интегралы равны нулю.
В дальнейшем ограничимся рассмотрением неосесимметричных
колебаний оболочки с жидкостью при n > 0.
После отделения угловой координаты β для составляющей потен-
циала смещений жидкости Φ(z, r) будем иметь следующую краевую
задачу Неймана:
∂2Φ
∂t2
+
1
r
∂
∂r
(
r
∂Φ
∂r
)
− n2
r2
Φ = 0, (z, r) ∈ Q,
∂Φ
∂z
∣∣∣∣
L0
= 0;
∂Φ
∂n
∣∣∣∣
L1
= w,
(28)
где Q, L0 и L1 — меридиональное сечение области D, поверхностей
Σ и S1 соответственно.
Введем в рассмотрение операторG [26], который значениям функ-
ции w(s), заданной на контуре L1, ставит в соответствие функцию Φ,
определенную в области Q и являющуюся решением краевой задачи
Применение метода Ритца ... 219
(28). Это соответствие запишем в виде:
Φ = Gw. (29)
Здесь G — интегральный оператор, ядром которого является функ-
ция Грина второй краевой задачи (28). Если область имеет канони-
ческую форму, то эту функцию можно построить в явном виде.
Будем считать, что вектор-функция ~U = {u(s), v(s), w(s)} принад-
лежит к классуH функций, определенных в точках меридионального
сечения оболочки и удовлетворяющих условиям крепления ее торцов.
Тогда исходную спектральную задачу (17), (18) можно представить
в следующем операторном виде:
ℑ(~U) = L~U − Ω2M~U = 0; M = diag{1, 1, 1 + δ(p)aG}, (30)
где L — матричный оператор, порожденный дифференциальными
уравнениями (1) после отделения в них угловой координаты и пере-
хода к безразмерным величинам.
Решения системы интегро – дифференциальных уравнений (30),
имеющей восьмой порядок, должны быть подчинены соответствую-
щим однородным граничным условиям. Граничные условия накла-
дываются либо на перемещение оболочки, либо на соответствующие
им силы. Так для абсолютно жесткого крепления края оболочки при
s = s1 эти условия примут вид:
[
u = v = w =
dw
ds
= 0
]
s=s1
. (31)
Для свободного края оболочки при s = s2 имеют место следующие
силовые граничные условия
[
T1 = S = Q̃1 =M1 = 0
]
s=s2
. (32)
Здесь T1, S, Q̃1 и M1 — безразмерные погонные усилия, обобщенная
перерезывающая сила и момент, которые выражаются через переме-
щения оболочки по формулам:
T1 =
du
ds
+
w
R1
+ ν
(
n
r
v +
r′
r
u+
w
R2
)
;
S =
1− ν
2
(
n
r
u+
dv
ds
− r′
r
v
)
;
220 Ю. В. Троценко
Q̃1 = −c2
{
d
ds
[
1
r
d
ds
(
r
dw
ds
)
− n2
r2
w
]
− (1− ν)n2
r2
(
dw
ds
− r′
r
w
)}
;
M1 = c2
[
−d
2w
ds2
+ ν
(
n2
r2
w − r′
r
dw
ds
)]
.
В других случаях крепления края оболочки используются комби-
нации граничных условий (31) и (32). Для оболочек в форме купола
при построении решений следует учитывать асимптотическое пове-
дение искомых функций при s→ 0 [27].
Поскольку оболочка подвержена действию разрывной динамиче-
ской нагрузки, то для эффективного построения приближенного ре-
шения системы (30) целесообразно разбить область изменения пара-
метра s на две подобласти. Пусть s = ζ соответствует уровню жидко-
сти, на который заполнена оболочка. Разобьем область [s1, s2] точкой
s = ζ на две подобласти G(1) = [s1, ζ] и G(2) = [ζ, s2]. Область G(1)
соответствует смоченной части оболочки, а область G(2) — оставшей-
ся несмоченной части. Обозначим решения исходной задачи в под-
областях G(1) и G(2) соответственно через ~U (1) и ~U (2). В дальней-
шем верхний индекс во всех встречающихся функциях будет обозна-
чать область, в которой эти функции определены. В дальнейшем, для
определенности, будем считать, что нижний торец оболочки жестко
закреплен, а верхний — свободен. Кроме граничных условий (31),
(32) в сечении s = ζ должны выполняться определенные граничные
условия сопряжения решений ~U (1)(s) и ~U (2)(s).
Эквивалентную вариационную постановку исходной спектральной
задачи можно получить, исходя из принципа возможных перемеще-
ний, согласно которому δΠ = δA, где δΠ — вариация потенциальной
энергии деформации оболочки [23]. Работу внешних сил δA на воз-
можных перемещениях оболочки можно представить в следующем
виде:
δA =
s2∫
s1
~Q, δ~Urds = Ω2
s2∫
s1
[uδu+ vδv + (w + δ(p)aG(w))δw]rds. (33)
В итоге исходная спектральная задача сведется к отысканию ста-
ционарных значений для функционала I(~U)
I(~U ) =
s2∫
s1
F (~U)rds.
Применение метода Ритца ... 221
Представим этот функционал в следующем виде:
I =
∫
G(1)
F (~U (1))dG(1) +
∫
G(2)
F (~U (2))dG(2). (34)
Будем предполагать, что в каждой из подобластей, в соответствии
с теорией тонких изотропных оболочек, поля смещений, деформаций
и напряжений обладают свойствами непрерывности и дифференци-
руемости. Вычислим первую вариацию от функционала (34), не на-
кладывая никаких ограничений на варьируемые функции, кроме гра-
ничных условий (31). Тогда с учетом интегрирования по частям и
принятых обозначений эту вариацию можно представить в виде:
δI =
2∑
k=1
∫
G(k)
ℑ(~U (k))dG(k)+
+
(
T
(1)
1 δu(1) + S(1)δv(1) + Q̃
(1)
1 δw(1) −M
(1)
1
dδw(1)
ds
)
s=ζ
−
−
(
T
(2)
1 δu(2) + S(2)δv(2) + Q̃
(2)
1 δw(2) −M
(2)
1
dδw(2)
ds
)
s=ζ
+
+
(
T
(2)
1 δu(2) + S(2)δv(2) + Q̃
(2)
1 δw(2) −M
(2)
1
dδw(2)
ds
)
s=s2
.
(35)
Приравнивая δI к нулю, получим вариационное уравнение для
нахождения функций ~U (k)(s). Из этого уравнения в силу произволь-
ности варьирования функций в областяхG(k) и на границе при s = s2
следует, что в пределах каждой из введенных подобластей должны
выполняться исходные уравнения и граничные условия свободного
края оболочки при s = s2. Далее, если предположить, что класс до-
пустимых функций при s = ζ подчинен условиям
u(1) = u(2); v(1) = v(2); w(1) = w(2);
dw(1)
ds
=
dw(2)
ds
, (36)
то из (35) вытекают следующие силовые граничные условия при s =
ζ:
T
(1)
1 = T
(2)
1 ; S(1) = S(2); M
(1)
1 =M
(2)
1 ; Q̃
(1)
1 = Q̃
(2)
1 . (37)
222 Ю. В. Троценко
При этом следует заметить, что условия (37) являются естественны-
ми граничными условиями для функционала (34).
Итак, при использовании метода Ритца для решения вариацион-
ного уравнения δI = 0 аппроксимации для функций u(k), v(k) и w(k)
должны выбираться таким образом, чтобы они обеспечивали выпол-
нение условий (36). В этом случае остальные граничные условия зада-
чи, кроме условий (31), будут естественными граничными условиями
для функционала (34). Построение решений, заведомо удовлетворя-
ющих условиям (36), представляет собою в общем случае достаточно
трудную самостоятельную задачу. В связи с этим возникает вопрос о
преобразовании функционала (34) в такой функционал, для которого
условия сопряжения (36) были бы естественными условиями.
Теория преобразования вариационных задач создана уже давно
[28], но в литературе известны лишь немногие примеры применения
ее к конкретным задачам.
Граничные условия (36) при s = ζ можно рассматривать как
дополнительные ограничения на задачу нахождения стационарно-
го значения функционала I(~U). Одним из способов учета ограниче-
ний в форме равенств является метод неопределенных множителей
Лагранжа [28]. В соответствии с этим методом введем в рассмотрение
новый функционал Π1, который имеет вид
Π1(~U, α1, α2, α3, α4) = I(~U) +
[
α1(u
(1) − u(2)) + α2(v
(1) − v(2))+
+ α3(w
(1) − w(2)) + α4
(
dw(1)
ds
− dw(2)
ds
)]
s=ζ
,
(38)
где αi (i = 1, 4) — множители Лагранжа, подлежащие определению
в дальнейшем. Исходная вариационная задача при этом переходит в
следующую:
δΠ1(~U, α1, α2, α3, α4) = 0. (39)
Преобразование функционала I в функционал Π1 достигается це-
ной увеличения количества неизвестных. Нужно искать стационар-
ное значение функционала Π1 не только по u, v и w, но и по α1, α2, α3
и α4. Эту задачу можно существенно упростить, если предваритель-
но найти явные выражения для множителей Лагранжа через сами
решения ~U и их производные. С этой целью вычислим первую ва-
Применение метода Ритца ... 223
риацию функционала Π1 при свободном варьировании функций ~U (i)
(i = 1, 2) и постоянных αi (i = 1, 4).
Из вариационного уравнения (39) выпишем только внеинтеграль-
ные члены при s = ζ. При этом будем иметь
[
δα1(u
(1) − u(2)) + δα2(v
(1) − v(2)) + δα3(w
(1) − w(2))+
+ δα4
(
dw(1)
ds
− dw(2)
ds
)
+ (T
(1)
1 + α1)δu
(1) − (T
(2)
1 + α1)δu
(2)+
+ (S(1) + α2)δv
(1) − (S(2) + α2)δv
(2) + (Q̃
(1)
1 + α3)δw
(1)+
+ (Q̃
(2)
1 + α3)δw
(2) + (α4 −M
(1)
1 )
dδw(1)
ds
+ (M
(2)
1 − α4)
dδw(2)
ds
]
s=ζ
.
Если функционал (38) принимает стационарное значение для про-
извольных вариаций δ~U (i),
dδw(i)
ds
(i = 1, 2) и δαi (i = 1, 4), то из этого
выражения следует, что в точке s = ζ будут выполняться кинемати-
ческие условия сопряжения (36), а также соотношения
α1 = −T (1)
1 ; α1 = −T (2)
1 ; α2 = −S(1); α2 = −S(2);
α3 = −Q̃(1)
1 ; α3 = −Q̃(2)
1 ; α4 =M
(1)
1 ; α4 =M
(2)
1 .
Из этих формул можно установить следующие выражения для
множителей Лагранжа:
α1 = −1
2
(
T
(1)
1 + T
(2)
1
) ∣∣∣∣
s=ζ
; α2 = −1
2
(
S(1) + S(2)
) ∣∣∣∣
s=ζ
;
α3 = −1
2
(
Q̃
(1)
1 + Q̃
(2)
1
) ∣∣∣∣
s=ζ
; α4 =
1
2
(
M
(1)
1 +M
(2)
1
) ∣∣∣∣
s=ζ
.
(40)
Исключая αi (i = 1, 4) из функционала (38) с помощью установ-
ленных для них выражений (40), получим обобщенный функционал
Π2, зависящий только от ~U(s). Краевые условия (32), (36) и (37) будут
автоматически выполняться для функций, доставляющих функцио-
налу Π2(~U) стационарное значение.
Полученный функционал служит теоретической основой для по-
строения прямых методов решения рассматриваемой задачи. На ос-
нове метода Ритца эти решения будут иметь аналитическую форму.
224 Ю. В. Троценко
Представим функции u(k)(s), v(k)(s) и w(k)(s) (k = 1, 2) в виде
следующих отрезков обобщенных рядов:
u(1) =
N∑
j=1
xjU
(1)
j (s); v(1) =
N∑
j=1
xj+NV
(1)
j (s);
w(1) =
N∑
j=1
xj+2NW
(1)
j (s); u(2) =
N∑
j=1
xj+3NU
(2)
j (s);
v(2) =
N∑
j=1
xj+4NV
(2)
j (s); w(2) =
N∑
j=1
xj+5NW
(2)
j (s).
(41)
Здесь xj (j = 1, 6N) — произвольные постоянные, подлежащие опре-
делению в дальнейшем; U (k)
j (s), V (k)
j (s) и W (k)
j (s) — системы коорди-
натных функций, которые определены соответственно в подобластях
G(k) (k = 1, 2).
Координатные функции выберем в виде
U
(1)
j = V
(1)
j = (s− s1)Pj(x); W
(1)
j = (s− s1)
2Pj(x); x =
2(s− ζ)
ζ − s1
+ 1;
U
(2)
j = V
(2)
j =W
(2)
j = Pj(y); y =
2s
s2 − ζ
− s2 + ζ
s2 − ζ
,
где Pj(z) — смещенные на единицу по индексу j многочлены Лежанд-
ра с аргументами, которые преобразуют интервалы [s1, ζ] и [ζ, s2] на
интервал [−1, 1].
Введенные системы базисных функций являются линейно неза-
висимыми и полными функциями в соответствующих подобластях.
Системы координатных функций с верхним индексом, равным еди-
нице, подчинены граничным условиям (31).
Подставим разложения (41) в функционал Π2(~U). Из необходи-
мых условий стационарности обобщенного функционала получим од-
нородную систему алгебраических уравнений
(A− Ω2B) ~X = 0, (42)
где ~X = {x1, x2, . . . , x6N}. Коэффициенты aij симметричной матрицы
A полностью совпадают с соответствующими элементами матрицы A
Применение метода Ритца ... 225
работы [29], где с позиций метода декомпозиции области предложен
алгоритм расчета свободных колебаний оболочек вращения, не взаи-
модействующих с жидкостью.
Коэффициенты bij симметричной матрицы B вычисляются по
следующим формулам:
bi,j =
ζ∫
s1
U
(1)
i U
(1)
j rds; bi+N,j+N =
ζ∫
s1
V
(1)
i V
(1)
j rds;
bi+2N,j+2N =
ζ∫
s1
(
W
(1)
i + aGW
(1)
i
∣∣
L1
)
W
(1)
j rds;
bi+3N,j+3N =
s2∫
ζ
U
(2)
i U
(2)
j rds; bi+4N,j+4N =
s2∫
ζ
V
(2)
i V
(2)
j rds;
bi+4N,j+4N =
s2∫
ζ
W
(2)
i W
(2)
j rds; (i, j = 1, N).
(43)
Остальные коэффициенты матрицы B равны нулю.
При вычислении элементов матрицы bi+2N,j+2N (i, j = 1, N) необ-
ходимо знать функции Fk(z, r) на контуре L1, которые являются ре-
шениями следующих задач Неймана:
∂2Fk
∂z2
+
1
r
∂
∂r
(
r
∂Fk
∂r
)
− n2
r2
Fk = 0, (z, r) ∈ Q,
∂Fk
∂z
∣∣∣∣
L0
= 0;
(
∂Fk
∂n
)∣∣∣∣
L1
=W
(1)
k , (k = 1, N).
(44)
В отличие от задачи (28) граничное условие на контуре L1 содер-
жит уже известные функции W
(1)
k , которые выбраны в качестве ко-
ординатных функций для аппроксимации нормального прогиба обо-
лочки w(1)(s) в области G(1).
Решения краевых задач (44) для произвольной оболочки враще-
ния могут быть найдены приближенно с помощью метода Трефтца,
если их предварительно свести к эквивалентным вариационным за-
226 Ю. В. Троценко
дачам для функционалов:
Ik =
∫
Q
[
r
(
∂Fk
∂z
)2
+ r
(
∂Fk
∂r
)2
+
n2
r
(Fk)
2
]
dzdr−
− 2
∫
L1
rFkW
(1)
k ds, (k = 1, N).
(45)
В качестве координатных функций выберем систему частных ре-
шений уравнения (44), которые линейно независимы и полны на лю-
бом замкнутом контуре Q [21]. В этом случае решения задач (44)
представим в виде разложений:
Fk(z, r) =
q∑
j=1
d
(k)
j Ψj(z, r). (46)
Здесь d(k)j — произвольные постоянные,
Ψj =
2nn!(j − n)!
(j + n)!
RjP
(n)
j (cos θ),
где R =
√
z2 + r2, cos θ = z/R, P (n)
j — присоединенные функции Ле-
жандра первого рода.
Координатные функции Ψj(z, r) и их производные удобно вычис-
лять по следующим рекуррентным соотношениям:
Ψj+1 =
1
j + 2n
{[2(j + n)− 1]zΨj − (j − 1)(z2 + r2)Ψj−1};
∂Ψj+1
∂z
= jΨj,
∂Ψj+1
∂r
=
(j + n)Ψj+1 − jzΨj
r
.
Приведенные соотношения позволяют построить системы частных
решений исходных уравнений и их производных для любого значения
параметра n и индекса j, если при этом положить:
Ψ1 = rn,
∂Ψ1
∂z
= 0,
∂Ψ1
∂r
= nr(n−1).
Постоянные d(k)j в разложениях (46) найдем из условий, что функ-
ции Fk(z, r) должны доставлять минимумы квадратичным функцио-
налам (45). Эти условия приводят к следующим системам линейных
Применение метода Ритца ... 227
неоднородных уравнений относительно компонент векторов-столбцов
~d(k) = {d(k)1 , d
(k)
2 , . . . , d
(k)
q }:
D~d(k) = ~γ(k), (k = 1, N), (47)
где коэффициенты dij симметричной матрицы D и элементы γ
(k)
i
вектор-столбцов ~γ(k) определяются по формулам
di,j =
∫
L0+L1
rΨi
∂Ψj
∂n
ds; γ
(k)
i =
∫
L1
rW
(1)
k Ψids, (i, j = 1, q).
При выводе этих выражений было учтено, что координатные
функции Ψi(z, r) удовлетворяют исходному уравнению (44). Это поз-
волило свести двойные интегралы по области Q к одномерным инте-
гралам по ее границе, что существенно упростило алгоритм решения
краевых задач (44).
Таким образом, решение спектральной задачи (17), (18) сведено к
решению однородной системы линейных алгебраических уравнений
(42). Из условия существования нетривиальных решений этой систе-
мы находим частоты Ωi (i = 1, 2, . . .) колебаний рассматриваемой
механической системы. Затем из уравнений (42) находятся вектора
~X(i) = {x(i)1 , x
(i)
2 , . . . , x
(i)
6N}, соответствующие каждой найденной ча-
стоте Ωi. Знание векторов ~X(i) позволяет определить формы колеба-
ний оболочки по формулам (41). В свою очередь потенциал смещений
жидкости, соответствующий i -му тону колебаний системы, опреде-
ляется следующим образом:
Φi(z, r) =
N∑
j=1
x
(i)
j+2NFj(z, r).
Для учета волновых движений жидкости в оболочке необходи-
мо располагать решениями спектральной задачи (12) с параметром
в граничном условии. Собственные функции и собственные значе-
ния этой задачи для произвольной оболочки вращения могут быть
найдены приближенно методом Трефтца, если краевую задачу (12)
после отделения угловой координаты предварительно свести к вариа-
ционной задаче. Функционал, соответствующий этой краевой задаче,
имеет вид:
I(ϕ) =
∫
Q
[
r
(
∂ϕ
∂z
)2
+ r
(
∂ϕ
∂r
)2
+
n2
r
ϕ2
]
dzdr − κ
∫
L0
rϕ2ds. (48)
228 Ю. В. Троценко
Функцию ϕ(z, r) представим в виде разложения
ϕ(z, r) =
q∑
k=1
akΨk(z, r), (49)
где ak — произвольные постоянные, Ψk(z, r) — ранее введенная си-
стема частных решений уравнения для функции ϕ.
Из условий стационарности функционала (48) для определения
коэффициентов ak и параметров κ получим однородную систему ал-
гебраических уравнений:
(D − κB1)~a = 0, ~a = {a1, a2, . . . , aq},
где коэффициенты матрицы D совпадают с коэффициентами соот-
ветствующей матрицы системы уравнений (47), элементы β
(1)
ij мат-
рицы B1 вычисляются по формулам
β
(1)
ij =
∫
L0
rΨiΨjds.
Найденные решения для функций ~Ui(s), Φi(z, r) и ϕi позволяют опре-
делить коэффициенты уравнений (24) возмущенного движения про-
извольной оболочки вращения, частично заполненной жидкостью.
5. Результаты расчета колебаний цилиндрической
оболочки, частично заполненной жидкостью
В качестве методического примера, иллюстрирующего применение
предложенного выше алгоритма, рассмотрим задачу о собственных
неосесимметричных колебаниях упругой цилиндрической оболочки
длины l c абсолютно жестким и неподвижным днищем, которая ча-
стично заполнена жидкостью на глубину H . Как и ранее будем счи-
тать, что при z = 0 (s = z) торец оболочки жестко закреплен, а при
z = l — свободен.
В качестве характерного линейного размера системы выберем ра-
диус оболочки R0. В соответствии с работой [3] выберем следующие
безразмерные параметры оболочки:
l
R0
= 6.06;
R0
h
= 150; a = 19.2; η = 0.126 · 10−7.
Применение метода Ритца ... 229
Во всех расчетах в дальнейшем полагалось, что коэффициент
Пуассона ν = 0.29. Значения параметров n и ε = H/l в процессе
расчетов варьировались.
В данном случае решение спектральной задачи (12) можно полу-
чить методом разделения переменных. При этом собственные функ-
ции ϕk(z, r, β) будут иметь следующий вид:
ϕk(z, r, β) =
cosh(ξkz)
ξk sinh(ξkH)
· In(ξkr)
In(ξk)
cosnβ,
где In(x) — функции Бесселя первого рода и n -го порядка; ξk — k -ый
корень уравнения I ′n(ξ)=0.
Собственные значения κk задачи (12) и безразмерные коэффици-
енты µk уравнений (16) определяются по формулам
κk = ξk tanh(ξkH); µk =
π(ξ2k − n2)
2ξ3k tanh(ξkH)
.
Для определения свободных колебаний рассматриваемой механи-
ческой системы после нахождения коэффициентов уравнений (24) ai,
λik, Ω2
i , µk, σ
2
k необходимо решить однородную алгебраическую си-
стему уравнений (26).
В таблице 1 приведены низшие частоты λ связанных колебаний
жидкости и упругой оболочки при числе волн в окружном направле-
нии n = 2 и относительной глубине жидкости в оболочке ε = 0.25 в
зависимости от количества членов r0 и s0 в разложениях (12) и (23)
для аппроксимации волновых движений жидкости и перемещений
оболочки соответственно.
Из таблицы непосредственно следует, что спектр частот колеба-
ний рассматриваемой механической системы имеет две ветви. Пер-
вая λ1, λ2, . . . , λr0 связана преимущественно с волновыми движе-
ниями свободной поверхности жидкости, а вторая ветвь спектра
λr0+1, λr0+2, . . . , λr0+s0 преимущественно связана с деформациями
срединной поверхности оболочки, определяемой ее упругими и инер-
ционными свойствами. Для рассматриваемых параметров оболочки
низшие частоты преимущественно волновых движений жидкости с
точностью до шести значащих цифр совпадают с частотами свобод-
ных колебаний жидкости в абсолютно жестком цилиндре. Следова-
тельно в этом случае упругость оболочки практически не влияет на
колебания жидкости. В свою очередь волновые движения жидкости
230 Ю. В. Троценко
Таблица 1. Значения частот λi связанных колебаний рассматриваемой
системы при N = 14, q = 10, n = 2, ε = 0.25.
s0 λ1 λ2 λ3 λr0 λr0+1 λr0+2 λr0+3
r0 = 0
1 .02062
2 02062 .07459
3 02062 .07459 .14864
4 02062 .07459 .14864
5 02062 .07459 .14864
r0 = 1
1 .00020 .02071
2 .00020 .02071 .08171
3 .00020 .02071 .08160 .15176
4 .00020 .02071 .08152 .15157
5 .00020 .02071 .08152 .15156
r0 = 2
1 .00020 .00029 .02072
2 .00020 .00029 .02072 .08231
3 .00020 .00029 .02072 .08219 .15193
4 .00020 .00029 .02072 .08209 .15170
5 .00020 .00029 .02072 .08208 .15169
r0 = 3
1 .00020 .00029 .00035 .02072
2 .00020 .00029 .00035 .02072 .08250
3 .00020 .00029 .00035 .02072 .08237 .15197
4 .00020 .00029 .00035 .02072 .08226 .15173
5 .00020 .00029 .00035 .02072 .08226 .15172
r0 = 4
1 .00020 .00029 .00035 .00041 .02072
2 .00020 .00029 .00035 .00041 .02072 .08258
3 .00020 .00029 .00035 .00041 .02072 .08245 .15199
4 .00020 .00029 .00035 .00041 .02072 .08234 .15174
5 .00020 .00029 .00035 .00041 .02072 .08233 .15173
могут существенно влиять на частоты второй ветви связанных коле-
баний жидкости и оболочки.
Для преимущественно упругих частот колебаний максимальное
Применение метода Ритца ... 231
перемещение срединной поверхности оболочки всегда больше макси-
мального смещения свободной поверхности жидкости.
Предложенный алгоритм решения задачи обладает достаточно
быстрой сходимостью. Это объясняется удачным выбором парциаль-
ных систем, учитывающих основные свойства искомых решений.
При получении приведенных выше результатов в рядах (41) и (46)
удерживалось соответственно такое количество членов N и q, при
которых в найденных значениях частот λ было бы не менее шести
верных значащих цифр. Эти условия выполняются при N = 14 и
q = 10.
Сравнение полученных расчетных данных и точных табличных
результатов, приведенных в работе [3], указывает на полное их сов-
падение.
Характер изменения преимущественно упругих низших частот
λr0+1 в зависимости от числа волн n в окружном направлении и па-
раметра заполнения оболочки жидкостью ε (0 6 ε 6 1) показан на
(рис. 2).
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
ε
λ r 0+
1
4
2
5
n=3
Рис. 2. Характер изменения преимущественно упругих низших частот
λr0+1 в зависимости от числа волн n в окружном направлении и параметра
заполнения оболочки жидкостью ε.
Из приведенных зависимостей следует, что для рассматриваемых
параметров оболочки наибольшее влияние оказывает изменение глу-
бины жидкости в диапазоне 0.125 6 ε 6 0.75. Для ε < 0.125 частоты
близки к частотам оболочки без жидкости, а при ε > 0.75 — к часто-
232 Ю. В. Троценко
там оболочки, целиком заполненной жидкостью.
6. Заключение
В работе предложен алгоритм расчета собственных колебаний про-
извольных оболочек вращения, частично заполненных жидкостью,
с учетом волновых движений на свободной поверхности. Поскольку
оболочка подвержена действию разрывной динамической нагрузки,
то при построении приближенного решения задачи гидроупругости
область интегрирования уравнений для оболочки разбивается на две
подобласти. Первая подобласть соответствует смоченной части обо-
лочки, а вторая — несмоченной.
Решение сформулированной задачи базируется на построении
обобщенного функционала, для которого условия сопряжения на
смежной границе введенных подобластей являются естественными
граничными условиями. На основе метода Ритца и приближенного
построения обратного оператора для гидродинамической части зада-
чи решение задачи гидроупругости сведено к решению однородной
алгебраической системы уравнений. Такой подход позволяет разде-
лить трудности построения решений, которые возникают при сов-
местном интегрировании уравнений в частных производных для по-
тенциала смещений жидкости и системы обыкновенных дифференци-
альных уравнений, описывающих колебания произвольной оболочки
вращения.
На примере задачи о собственных неосесимметричных колебаниях
круговой цилиндрической оболочки, частично заполненной идеаль-
ной жидкостью, показана достаточно высокая точность и эффектив-
ность предложенного алгоритма решения рассматриваемой задачи
гидроупругости.
[1] Горшков А. Г., Морозов В.И., Пономарев А.Т., Шклярчук Ф.Н. Аэро-
упругость конструкций. — М.: Физматгиз, 2000. — 592 с.
[2] Микишев Г.Н., Рабинович Б.И. Динамика тонкостенных конструкций
с отсеками, содержащими жидкость. — М.: Машиностроение, 1971. —
563 с.
[3] Кулешов В.Б., Швейко Ю.Ю. Неосесимметричные колебания цилин-
дрических оболочек, частично заполненных жидкостью // Изв. АН
СССР, Механика твердого тела. — 1971. — №. 3 — С. 126 – 136.
Применение метода Ритца ... 233
[4] Кулешов В. Б., Швейко Ю.Ю. Неосесимметричные колебания круг-
лых и кольцевых пластин, взаимодействующих с жидкостью // Ис-
следования по теории сооружений. — 1972. — №. 19 — С. 28 – 40.
[5] Александрович Л.И., Лампер Р. Е. Собственные колебания упруго-
го осесимметричного сосуда произвольного контура // Тр. 6-й Всес.
конф. по теории оболочек и пластин, Баку. — 1966. — М.: Наука.,
1967. — C. 27 – 29.
[6] Троценко В.А. О колебаниях жидкости в сосудах, свободная поверх-
ность которой закрыта мембранной оболочкой из гиперупругого ма-
териала // Изв. АН СССР: Механика твердого тела. — 1980. — № 6. —
C. 166 – 177.
[7] Шмаков В.П. Об уравнениях осесимметричных колебаний цилиндри-
ческой оболочки с жидким заполнением // Изв. АН СССР: Механика
и машиностроение. — 1964. — № 1. — C. 170 – 173.
[8] Wen-Hwa Chu, Conzales R. Supplement to breathing vibrations of a
partially filled cylindrical tank – linear theory // Transactions of the
ASME, series E, J. of Appl. Mech. — 1964. — 31., 4. — P. 722 – 723.
[9] Шмаков В.П. Об одном приеме, упрощающем применение метода Буб-
нова – Галеркина к решению краевых задач // Инж. журнал: Меха-
ника твердого тела. — 1967. — № 5. — C. 129 – 136.
[10] Балакирев Ю.Г., Шмаков В.П. Осесимметричные колебания цилин-
дрической оболочки с полусферическим днищем // Колебания упру-
гих конструкций с жидкостью. — Новосибирск: Изд. НЭТИ, 1984. —
C. 28 – 32.
[11] Балакирев Ю.Г. Осесимметричные колебания пологой сферической
оболочки с жидкостью // Инж. журнал: Механика твердого тела. —
1967. — № 5. — C. 116 – 123.
[12] Кобычкин В.С., Шмаков В.П., Яблоков В.А. Осесимметричные коле-
бания полусферической оболочки, частично заполненной жидкостью
// Инж. журнал: Механика твердого тела. — 1968. — № 5. — C. 46 –
54.
[13] Брусиловский А.Д., Шмаков В.П., Яблоков В.А. Метод расчета соб-
ственных и вынужденных колебаний упругих оболочек вращения, за-
полненных идеальной несжимаемой жидкостью // Изв. АН СССР:
Механика твердого тела. — 1973. — № 3. — C. 99 – 110.
[14] Григорьев В. Г. Применение метода конечных элементов к расчету ко-
лебаний упругих оболочечных конструкций, содержащих жидкость //
Динамика упругих и твердых тел, взаимодействующих с жидкостью.
(труды III семинара). — Томск: Томский ун-т, 1978. — C. 55 – 60.
234 Ю. В. Троценко
[15] Olson L.G., Bathe K. J. A study of displacement based fluid finite
elements for calculating frequencies of fluid and fluid – structure systems
// Nuclear Engineering a Design. — 1983. — 76. — P. 137 – 151.
[16] Мокеев В. В. Исследование динамики конструкций с жидкостью и
газом с помощью метода конечных элементов // Изв. РАН: Механика
твердого тела. — 1998. — № 6. — C. 166 – 174.
[17] Власов В. З. Общая теория оболочек и ее приложения в технике. —
М.: — Л.: Гостехиздат, 1949. — 784 c.
[18] Шмаков В.П. Избранные труды по гидроупругости и динамике упру-
гих конструкций. — М.: Изд-во МГТУ им. Баумана, 2011. — 287 с.
[19] Нариманов Г. С. О движении твердого тела, полость которого частич-
но заполнена жидкостью // Прикл. математика и механика. — 1956. —
20, вып. 1. — C. 21 – 38.
[20] Микишев Г. С., Рабинович Б.И. Динамика твердого тела с полостями,
частично заполненными жидкостью. — М.: Машиностроение, 1968. —
532 c.
[21] Фещенко С.Ф., Луковский И.А., Рабинович Б.И., Докучаев Л.В. Ме-
тоды определения присоединенных масс жидкости в подвижных по-
лостях. — К.: Наукова думка, 1969. — 250 c.
[22] Гольденвейзер А.Л., Лидский В.Б., Товстик П.Е. Свободные колеба-
ния тонких упругих оболочек. — М.: Наука, ГРФ-МЛ, 1979. — 384 c.
[23] Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. — Л.: Судпромгиз, 1962. —
431 c.
[24] Бабский В. Г., Копачевский Н.Д., Мышкис А.Д., Слобожанин Л.А.,
Тюпцов А.Д. Гидромеханика невесомости. — М.: Наука, ГРФ-МЛ,
1976. — 504 c.
[25] Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. — М.:
ГРФ-МЛ, 1970. — 512 c.
[26] Моисеев Н.Н., Румянцев В.В. Динамика тела с полостями, содержа-
щими жидкость. — М.: Наука, 1965. — 439 c.
[27] Троценко Ю.В. Структура интегралов уравнений колебаний оболочек
вращения в форме купола // Зб. праць Iнституту математики НАН
України. — 2008. — 5, 2. — С. 334 – 348.
[28] Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. — М.: Го-
стехиздат, 1951. — 1. — 476 c.
[29] Троценко В.А., Троценко Ю.В. Применение метода Ритца в сочетании
с методом декомпозиции области для решения задачи о свободных
колебаниях оболочек вращения // Зб. праць Iнституту математики
НАН України. — 2014. — 11, 4. — С. 355 – 375.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-39 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Russian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:01:25Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/80/529a8589960d50b7f71832c880d0f280.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-392018-01-23T12:01:13Z Implementing the Ritz method for computing the elastic axisymmetric shell partily filed with a liquid Применение метода Ритца к расчету колебаний
упругих оболочек вращения, частично заполненных жидкостью Застосування методу Рітца для розрахунку коливань пружних оболонок обертання частково заповнених рідиною Троценко, Ю. В. Троценко, Ю. В. An algorithm for calculating the eigen frequencies and modes of arbitraryshells of revolution which are partially filled with an ideal fluid is pro-posed. The solution method of this hydroelastic problem is based on thedomain decomposition method applied to the shell equations that is com-bined with the variational method constructing an inverse operator for thehydrodynamic part of the problem. A comparison of the obtained numer-ical results with existing exact solutions of the problem for the shell of thecircular cylindrical shape is given. Запропоновано алгоритм розрахунку частот та форм власних коли-вань довiльних оболонок обертання, частково заповнених iдеальноюрiдиною з врахуванням хвильових рухiв на її вiльнiй поверхнi. Розв’я-зок вихiдної задачi гiдропружностi базується на застосуваннi методудекомпозицiї областi iнтегрування рiвнянь теорiї оболонок у поєднаннiз варiацiйним методом та наближенiй побудовi оберненого операторадля гiдродинамiчної частини задачi. Наведено порiвняння отриманихчисельних результатiв з iснуючими точними розв’язками розглядува-ної задачi для оболонки у формi кругового цилiндра. Інститут математики НАН України 2015-12-01 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/39 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 12 No. 5 (2015): Mathematical problems of mechanics and computational mathematics; 203-234 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 12 № 5 (2015): Математичні проблеми механіки та обчислювальної математики; 203-234 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 12 № 5 (2015): Математичні проблеми механіки та обчислювальної математики; 203-234 3083-7529 1815-2910 ru https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/39/18 Авторське право (c) 2015 Праці Інституту математики НАН України |
| spellingShingle | Троценко, Ю. В. Троценко, Ю. В. Implementing the Ritz method for computing the elastic axisymmetric shell partily filed with a liquid |
| title | Implementing the Ritz method for computing the elastic axisymmetric shell partily filed with a liquid |
| title_alt | Применение метода Ритца к расчету колебаний
упругих оболочек вращения, частично заполненных жидкостью Застосування методу Рітца для розрахунку коливань пружних оболонок обертання частково заповнених рідиною |
| title_full | Implementing the Ritz method for computing the elastic axisymmetric shell partily filed with a liquid |
| title_fullStr | Implementing the Ritz method for computing the elastic axisymmetric shell partily filed with a liquid |
| title_full_unstemmed | Implementing the Ritz method for computing the elastic axisymmetric shell partily filed with a liquid |
| title_short | Implementing the Ritz method for computing the elastic axisymmetric shell partily filed with a liquid |
| title_sort | implementing the ritz method for computing the elastic axisymmetric shell partily filed with a liquid |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/39 |
| work_keys_str_mv | AT trocenkoûv implementingtheritzmethodforcomputingtheelasticaxisymmetricshellpartilyfiledwithaliquid AT trocenkoûv implementingtheritzmethodforcomputingtheelasticaxisymmetricshellpartilyfiledwithaliquid AT trocenkoûv primeneniemetodaritcakrasčetukolebanijuprugihoboločekvraŝeniâčastičnozapolnennyhžidkostʹû AT trocenkoûv primeneniemetodaritcakrasčetukolebanijuprugihoboločekvraŝeniâčastičnozapolnennyhžidkostʹû AT trocenkoûv zastosuvannâmetodurítcadlârozrahunkukolivanʹpružnihobolonokobertannâčastkovozapovnenihrídinoû AT trocenkoûv zastosuvannâmetodurítcadlârozrahunkukolivanʹpružnihobolonokobertannâčastkovozapovnenihrídinoû |