Establishing a movable object located in a search zone during the random time intervals
We study the problem on the target detection in the case when this targetis assumed to be present in the search region for a random a mount oftime and moves independent of the detection system. To find the target’sdetection probability we develop a random process by using the Markovrecovery function...
Збережено в:
| Дата: | 2015 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Онлайн доступ: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/40 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552564032012288 |
|---|---|
| author | Шлепаков, Л. М. Шлепаков, Л. М. |
| author_facet | Шлепаков, Л. М. Шлепаков, Л. М. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Л. М. Шлепаков",
"institution": "Iнститут математики НАН України"
}
] |
| author_sort | Шлепаков, Л. М. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-23T12:01:13Z |
| description | We study the problem on the target detection in the case when this targetis assumed to be present in the search region for a random a mount oftime and moves independent of the detection system. To find the target’sdetection probability we develop a random process by using the Markovrecovery function corresponding to the semi Markov kernel. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:01:26Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iнституту математики НАН України 2015, т. 12, № 5, 235–240
УДК 519.2:518.5:518.61
Виявлення рухомого об’єкту, що
перебуває у зонi пошуку протягом
випадкових промiжкiв часу
Л.М. Шлепаков
Iнститут математики НАН України, Київ; lshlepak@imath.kiev.ua
We study the problem on the target detection in the case when this target
is assumed to be present in the search region for a random a mount of
time and moves independent of the detection system. To find the target’s
detection probability we develop a random process by using the Markov
recovery function corresponding to the semi Markov kernel.
Исследуется проблема обнаружения объекта, находящегося в зоне
(области) поиска в течение случайных промежутков времени. Зада-
ча поиска рассматривается с независимыми объектом и поисковой си-
стемой. Для нахождения вероятности обнаружения объекта в течение
заданного времени построен случайный процесс при помощи функции
марковского восстановления, однозначно связанный с полумарковским
ядром.
Розглядається задача пошуку, коли об’єкт та пошукова система
дiють незалежно. Для опису функцiонування системи пошуку вико-
ристовується випадковий процес, який не переривається у момент
першого виявлення об’єкту, навiть якщо шукана характеристика по-
в’язана саме з цим моментом.
Нехай об’єкт то з’являється, то зникає в деякiй випадковим чи-
ном обранiй точцi зони пошуку — вiдкритiй областi X ⊂ Rn. Задано
щiльнiсть розподiлу U(x) точки, в якiй об’єкт “пульсує”, за умови, що
цей об’єкт то з’являється, то зникає в точцi x iз ймовiрнiстю β(x) у
моменти 0, T (x), λT (x), ... i перебуває в тiй же точцi x протягом про-
мiжку часу ∆(x), а потiм знову зникає iз зони пошуку до наступної
c© Л. М. Шлепаков, 2015
236 Л. М. Шлепаков
появи у данiй точцi, де U(x), ∆(x), β(x) — заданi кусково-неперервнi
на X функцiї, ∆(x) ≤ T (x).
Виявлення об’єкту здiйснюється великою пошуковою системою у
заданi промiжки часу t0 таким чином, що дiю окремих пошукових
одиниць можна описати за допомогою функцiї λ(x, t) : X×R1 7−→ R1
— стратегiї пошуку [1]. Припустимо, що процес пошуку не припине-
но в момент першого виявлення об’єкту, а дiї пошукової системи за-
здалегiдь запрограмовано на час t0. З урахуванням цiєї особливостi
стратегiя пошуку буде визначатися функцiєю λ(x, t) : X × R → R з
такими властивостями:
1) λ(x, t) ≥ 0 для всiх x ∈ X, t ≥ 0;
2)
∫
X
λ(x, t)dx = L(t), L(t) — кусково-неперервна функцiя, t ≥ 0;
3) λ(x, t)∆t + o(∆t) — ймовiрнiсть того, що протягом промiжку
часу (t, t+∆t) було хоча б одне виявлення об’єкту за умови, що
вiн перебуває в точцi x у момент t. Ця ймовiрнiсть не залежить
вiд поведiнки об’єкту впродовж попереднiх промiжкiв часу та
здiйснених ранiше пошукових дiй.
Потрiбно знайти ймовiрнiсть C(t0) виявлення об’єкту впродовж да-
ного часу t0.
Функцiонування системи пошуку опишемо стрибкоподiбним ви-
падковим процесом ξ(t), t ≥ 0, з фазовим простором (X,B), де B —
σ-алгебра борелiвських множин на X .
Процес ξ(t) потрапляє у стан x ∈ X за таких умов:
• у нульовий момент часу, якщо x — точка знаходження об’єкту
у зонi пошуку;
• у момент виявлення об’єкту в точцi x.
Час перебування у певному станi триває до чергового моменту вияв-
лення об’єкту.
Початковою умовою будемо вважати
P{ξ(0) ∈ B} =
∫
B
U(x)dx. (1)
Лема 1. Процес ξ(t) є неоднорiдним за часом напiвмарковським
iз щiльнiстю функцiї марковського вiдновлення, яка задана спiввiд-
Виявлення рухомого об’єкту, що перебуває у зонi пошуку . . . 237
ношеннями
h(0, t, x, B) =
{
P (x, t)λ(x, t)β(x), якщо x ∈ B,
0, якщо x 6∈ B,
(2)
h(τ, t, x, B) =
λ(x, t), якщо x ∈ B,
∃n : τ, t ∈ [nT (x), nT (x) +△(x)],
P (x, t)λ(x, t)β(x), якщо x ∈ B,
β(x), τ, t ∈ [nT (x), nT (x) +△(x)],
0 – у iнших випадках,
(3)
де 0 < τ < t, x ∈ X, B ∈ B,
P (x, t) =
{
1, якщо t ∈ ⋃∞
n=0 [nT (x), nT (x) +△(x)],
0 – у iншому випадку.
(4)
Доведення. Час перебування процесу ξ(t) у кожному iз введених
станiв за умовами постановки задачi залежить вiд моменту потрапля-
ння у вiдповiдний стан та не залежить вiд попередньої еволюцiї про-
цесу. Крiм того, iз стану x можливий перехiд тiльки у той же стан x.
Таким чином, вiдповiдна послiдовнiсть {ξn, τn : n ≥ 0} є двовимiрним
ланцюгом Маркова. Визначимо процес ξ(t) iз щiльнiстю функцiї мар-
ковського вiдновлення, однозначно пов’язаний iз напiвмарковським
ядром, таким чином:
h(τ, t, x, B) = q(τ, t, x, B) +
t∫
0
ds
∫
X
q(τ, t, x, dy)h(s, t, y, B),
t ≥ τ, x ∈ X, B ∈ B.
Доведемо спiввiдношення (3). Якщо вiдомо, що в момент τ > 0
у точцi x було виявлено об’єкт, то для моменту t > τ , який на-
лежить тому ж перiоду неперервного перебування об’єкту в точцi
x, одержимо h(τ, t, x, {x}) = λ(x, t). Для решти t > τ будемо мати
h(τ, t, x, {x}) = P (x, t)λ(x, t)β(x), оскiльки впродовж перiоду свого
перебування у зонi пошуку цiль з’являється iз ймовiрнiстю β(x).
Нехай P (x, t) — ймовiрнiсть того, що у момент t об’єкт перебуває
в зонi пошуку за умови, що x — точка ймовiрного перебування об’є-
кту в зонi пошуку. Очевидно, що спiввiдношення (4) справджуються.
238 Л. М. Шлепаков
Спiввiдношення (2) з початковими умовами (1) доводимо аналогiчно
доведенню (3).
Введемо такi позначення :
W (B, t) = P{ξ1 ∈ B, τ1 ≤ t}. (5)
Тодi W (B, t) =
∫
X
U(y)Q(0, t, y, B)dy. Припустимо, що функцiя
W (B, t) має щiльнiсть q(x, t), тобто
W (B, t) =
t∫
0
∫
B
q(x, s)dxds. (6)
Лема 2. Справедливим є iнтегральне рiвняння Вольтерра
U(x)h(0, t, x, {x}) = q(x, t) +
t∫
0
q(x, s)h(s, t, x, {x}ds). (7)
Доведення. Проведемо доведення для першого стрибка процесу
ξ(t) з такими початковими умовами: P{ξ0 ∈ B} =
∫
B
U(x)dx, τ0 = 0.
Ймовiрнiсть того, що у нескiнченно малому промiжку (t, t+dt), t < 0,
процес ξ(t) потрапив у множину B ∈ B, дорiвнює
∫
B
U(x)h(0, t, x, {x})dxdt,
а це є сума ймовiрностi того, що у множину B вiдбувся перехiд iз по-
чаткового стану, тобто τ1 ∈ (t, t+dt), та ймовiрностi того, що вiдбувся
не перший перехiд процесу ξ(t). Перший доданок суми з урахуванням
(5), (6) дорiвнює
∫
B
q(x, t)dxdt. За умови, що перший перехiд стався у
момент s в один iз станiв y ∈ X , тобто τ1 = s, ξ1 = y, ймовiрнiсть то-
го, що протягом нескiнченно малого промiжку часу (t, t+ dt) процес
потрапив у множину B, дорiвнює h(s, t, y, B)dt. Iнтегруючи отриману
умовну ймовiрнiсть з допомогою вiдповiдної мiри iз щiльнiстю q(y, s),
отримаємо другий доданок суми.
Виявлення рухомого об’єкту, що перебуває у зонi пошуку . . . 239
Таким чином, справедливим є рiвняння
∫
B
U(x)h(0, t, x, {x})dxdt =
∫
B
q(x, t)dxdt+
t∫
0
∫
X
q(y, s)h(s, t, y, B)dydsdt.
Враховуючи те, що з леми 2 випливає спiввiдношення h(s, t, x, {x}) =
= 0 для y 6= x, отримаємо рiвняння (7).
Теорема. Справедливим є спiввiдношення
C(t0) =
∫
X
V (x, t0)dx, (8)
де функцiя V (x, t) обчислюється за рекурентною формулою
V (x, t) = V (x, nT (x)) + β(x)
[
1− e−G(nT (x),t)
]
[U(x))− V (x, nT (x))],
nT (x) ≤ t ≤ (n+ 1)T (x), n = 0, 1, 2, ..., V (x, 0) = 0, (9)
G(a, t) =
t∫
a
P (x, s)λ(x, s)ds.
Доведення. Пiдставимо в рiвняння (7) значення функцiї h iз
(2), (3). Використовуючи позначення V (x, t) =
t∫
0
q(x, s)ds, отрима-
ємо ланцюжок диференцiальних рiвнянь
U(x)P (x, t)λ(x, t)β(x) =
dV (x, t)
dt
+ V (x, nT (x))P (x, t)λ(x, t)β(x)+
+[V (x, t)− V (x, nT (x))]P (x, t)λ(x, t),
nT (x) ≤ t ≤ (n+ 1)T (x), n = 0, 1, 2, ... .
Кожне з рiвнянь цього ланцюжка — лiнiйне диференцiальне рiвняння
першого порядку стосовно V (x, t), nT (x) ≤ t ≤ (n + 1)T (x). Для
заданого V (x, nT (x)) єдиний розв’язок рiвняння має вигляд (9). Iз
спiввiдношень (5), (6) та того, що момент першого виявлення об’єк-
ту в термiнах процесу ξ(t) є моментом виходу з початкового стану,
випливає (8).
240 Л. М. Шлепаков
Наслiдок 1. Якщо β(x) = 1, x ∈ X, то
C(t0) = 1−
∫
X
dxU(x)e−G(0,t0). (10)
Доведення проводиться безпосередньо пiдстановкою β(x), x ∈ X у
(8) та (9).
Для вибору оптимальної стратегiї пошуку у випадку, розглянуто-
му в наслiдку 1, тобто для знаходження функцiї λ(x, t), яка задоволь-
няє умови 1)–3) i така, що
C(t0) = 1−
∫
X
dxU(x)e−G(0,t0)
приймає максимальне значення, можна також використати вiдомi ре-
зультати для нерухомого об’єкту.
Наслiдок 2. Якщо β(x) = 1, ∆(x) = T (x), x ∈ X, то об’єкт
буде нерухомим i спiввiдношення (10) збiгається з результатами,
широко вiдомими в теорiї пошуку.
Оптимальна стратегiя пошуку для цього випадку є предметом ви-
вчення у роботах [1,2]. Побудову моделей для оптимального селектив-
ного пошуку сигналiв у багатоканальних системах зв’язку з викори-
станням методiв теорiї марковських та напiвмарковських випадкових
процесiв дослiджено у роботi [3].
[1] Хеллман О. Введение в теорию оптимального поиска. — М.: Наука,
1985. — 248 с.
[2] De Guenin, J. Optimum distribution of effort: an extension of the
Koopman Basic Theory // Oper. Research. — 1969. — 9. — P. 1–7.
[3] Шлепаков Л.Н., Вовкодав Н. Г. Оптимальный поиск движущихся
объектов в дискретной области // Працi Iн-ту математики НАН
України. — 2008. — 79. — 144 с.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-40 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:01:26Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/3b/5cbe45e03b606ec1fbcd88dccaf6233b.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-402018-01-23T12:01:13Z Establishing a movable object located in a search zone during the random time intervals Виявлення рухомого об’єкту, що перебуває у зонi пошуку протягом випадкових промiжкiв часу Шлепаков, Л. М. Шлепаков, Л. М. We study the problem on the target detection in the case when this targetis assumed to be present in the search region for a random a mount oftime and moves independent of the detection system. To find the target’sdetection probability we develop a random process by using the Markovrecovery function corresponding to the semi Markov kernel. Исследуется проблема обнаружения объекта, находящегося в зоне(области) поиска в течение случайных промежутков времени. Зада-ча поиска рассматривается с независимыми объектом и поисковой си-стемой. Для нахождения вероятности обнаружения объекта в течениезаданного времени построен случайный процесс при помощи функциимарковского восстановления, однозначно связанный с полумарковскимядром. Інститут математики НАН України 2015-12-01 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/40 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 12 No. 5 (2015): Mathematical problems of mechanics and computational mathematics; 235-240 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 12 № 5 (2015): Математичні проблеми механіки та обчислювальної математики; 235-240 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 12 № 5 (2015): Математичні проблеми механіки та обчислювальної математики; 235-240 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/40/17 Авторське право (c) 2015 Праці Інституту математики НАН України |
| spellingShingle | Шлепаков, Л. М. Шлепаков, Л. М. Establishing a movable object located in a search zone during the random time intervals |
| title | Establishing a movable object located in a search zone during the random time intervals |
| title_alt | Виявлення рухомого об’єкту, що перебуває у зонi пошуку протягом випадкових промiжкiв часу |
| title_full | Establishing a movable object located in a search zone during the random time intervals |
| title_fullStr | Establishing a movable object located in a search zone during the random time intervals |
| title_full_unstemmed | Establishing a movable object located in a search zone during the random time intervals |
| title_short | Establishing a movable object located in a search zone during the random time intervals |
| title_sort | establishing a movable object located in a search zone during the random time intervals |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/40 |
| work_keys_str_mv | AT šlepakovlm establishingamovableobjectlocatedinasearchzoneduringtherandomtimeintervals AT šlepakovlm establishingamovableobjectlocatedinasearchzoneduringtherandomtimeintervals AT šlepakovlm viâvlennâruhomogoobêktuŝoperebuvaêuzonipošukuprotâgomvipadkovihpromižkivčasu AT šlepakovlm viâvlennâruhomogoobêktuŝoperebuvaêuzonipošukuprotâgomvipadkovihpromižkivčasu |