Про один клас ніде не монотонних функцій з фрактальними властивостями, який містить підклас сингулярних функцій
We study one class of continuous functions $f$ defined on segment $[0,1]$ by equality$$f(x)=\delta_{\alpha_1(x)1}+\sum^{\infty}_{k=2}\left[\delta_{\alpha_k(x)k}\prod^{k-1}_{j=1}g_{\alpha_j (x)j}\right]\equiv\Delta^{G^*_3}_{\alpha_1\alpha_2\ldots\alpha_k\ldots},$$where $||q^*_{ik}||$ is given infinit...
Saved in:
| Date: | 2017 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2017
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/402 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552902888783872 |
|---|---|
| author | Працьовитий, М. В. Климчук, С.О. |
| author_facet | Працьовитий, М. В. Климчук, С.О. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "М. В. Працьовитий",
"institution": "Інститут математики НАН України"
},
{
"author": "С.О. Климчук",
"institution": "Інститут математики НАН України, Київ"
}
] |
| author_sort | Працьовитий, М. В. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-08-10T06:16:24Z |
| description | We study one class of continuous functions $f$ defined on segment $[0,1]$ by equality$$f(x)=\delta_{\alpha_1(x)1}+\sum^{\infty}_{k=2}\left[\delta_{\alpha_k(x)k}\prod^{k-1}_{j=1}g_{\alpha_j (x)j}\right]\equiv\Delta^{G^*_3}_{\alpha_1\alpha_2\ldots\alpha_k\ldots},$$where $||q^*_{ik}||$ is given infinite stochastic positive matrix ($i=0,1,2$; $k \in N$); $\beta_{0k}=0$, $\beta_{1k}=q_{0k}$, $\beta_{2k}=q_{0k}+q_{1k}$;$(\varepsilon_k)$ is given sequence of numbers such that $0\leqslant \varepsilon_k \leqslant 1 $; $g_{0k}=\dfrac{1+\varepsilon_k}{3}=g_{2k}$, $g_ {1k}=\dfrac{1-2\varepsilon_k}{3}$, $\delta_{0k}=0$, $\delta_{1k}=g_{0k}$, $\delta_{2k}=g_{0k}+g_{1k}$, $k\in N$.
We found criteria of strict monotonicity, non monotonicity and nowhere monotonicity, non-differentiability and singularity of the functions. We pay attention to properties of level sets of the functions. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:06:49Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2017, т. 14, № 4, 19–33
УДК 517.51
С.О. Климчук1, М.В. Працьовитий2
1Iнститут математики НАН України, Київ;
svetaklymchuk@gmail.com
2 НПУ iменi М.П. Драгоманова, Iнститут математики НАН
України, Київ; prats4444@gmail.com
Про один клас нiде не монотонних
функцiй з фрактальними
властивостями, який мiстить пiдклас
сингулярних функцiй
We study one class of continuous functions f defined on segment [0, 1]
by equality
f(x) = δα1(x)1 +
∞∑
k=2
δαk(x)k
k−1∏
j=1
gαj(x)j
≡ ∆
G∗
3
α1α2...αk...,
where ||q∗ik|| is given infinite stochastic positive matrix (i = 0, 1, 2;
k ∈ N); β0k = 0, β1k = q0k, β2k = q0k + q1k; (εk) is given sequence of
numbers such that 0 6 εk 6 1; g0k =
1 + εk
3
= g2k, g1k =
1− 2εk
3
,
δ0k = 0, δ1k = g0k, δ2k = g0k + g1k, k ∈ N .
We found criteria of strict monotonicity, non monotonicity and
nowhere monotonicity, non-differentiability and singularity of the
functions. We pay attention to properties of level sets of the functions.
Keywords: continuous non monotonic function, singular function,
level set of function, differentiability of function, Q∗3-representation of
real number, geometry of Q∗3-representation, cylinders, sets of Cantor
type.
c© С.О. Климчук, М.В. Працьовитий, 2017
20 С.О. Климчук, М.В. Працьовитий
У роботi розглядається клас неперервних функцiй f , означених
на вiдрiзку [0; 1] рiвнiстю
f(x) = δα1(x)1 +
∞∑
k=2
δαk(x)k
k−1∏
j=1
gαj(x)j
≡ ∆
G∗
3
α1α2...αk...,
де ||q∗ik|| — нескiнченна стохастична додатна матриця (i = 0, 1, 2;
k ∈ N); β0k = 0, β1k = q0k, β2k = q0k + q1k; (εk) — задана послi-
довнiсть чисел, де 0 6 εk 6 1; g0k =
1 + εk
3
= g2k, g1k =
1− 2εk
3
,
δ0k = 0, δ1k = g0k, δ2k = g0k + g1k, k ∈ N .
Встановлено критерiї строгої монотонностi, немонотонностi та нi-
де не монотонностi, недиференцiйовностi й сингулярностi таких
функцiй. Придiляється увага властивостям множин рiвнiв фун-
кцiї f .
Ключовi слова: неперервна нiде не монотонна функцiя, сингу-
лярна функцiя, множина рiвня функцiї, диференцiйовнiсть фун-
кцiї, Q∗3-зображення дiйсного числа, геометрiя Q∗3-зображення,
цилiндри, множини канторiвського типу.
Вступ
Нехай A3 = {0, 1, 2} — алфавiт трiйкової системи числення, L3 =
A3×A3× ... — простiр послiдовностей алфавiту, Q∗3 = ‖qik‖ — не-
скiнченна додатна стохастична матриця (i = 0, 1, 2; k = 1, 2, ...),
тобто
Q∗3 =
q01 q02 . . . q0k . . .
q11 q12 . . . q1k . . .
q21 q22 . . . q2k . . .
,
де qik > 0, q0k+q1k+q2k = 1, яка визначає Q∗3-зображення чисел:
[0; 1] 3 x = βα1(x)1 +
∞∑
k=2
βαk(x)k
k−1∏
j=1
qαj(x)j
≡ ∆
Q∗
3
α1α2...αk...,
де β0k = 0, β1k = q0k = β0k + q0k, β2k = q0k + q1k = β1k + q1k.
Про один клас нiде не монотонних функцiй 21
Зауважимо, що при qi = qi1 = qi2 = ... = qik = ..., де i ∈ A3,
k ∈ N , отримаємо Q3-зображення, яке визначається трiйкою до-
датних чисел q0, q1, q2, а у випадку q0 = q1 = q2 =
1
3
— класичне
трiйкове зображення.
Нехай також задано послiдовнiсть дiйсних чисел (εk), таку,
що 0 6 εk 6 1; нехай g0k =
1 + εk
3
= g2k, g1k =
1− 2εk
3
, k ∈ N .
Об’єктом даного дослiдження є функцiя f , означена рiвнiстю
f(x) = δα1(x)1 +
∞∑
k=2
δαk(x)k
k−1∏
j=1
gαj(x)j
≡ ∆
G∗
3
α1α2...αk..., (1)
де δ0k = 0, δ1k = g0k = δ0k + g0k, δ2k = g0k + g1k = δ1k + g1k.
Нiде не монотоннi функцiї з фрактальними властивостями ви-
вчались у рядi робiт. Зокрема, у роботi [3] вивчались немоно-
тоннi неперервнi на вiдрiзку [0; 1] функцiї, похiдна яких майже
скрiзь (у розумiннi мiри Лебега) дорiвнює нулю, визначенi в тер-
мiнах s-кового та його узагальнення — Qs-зображенння дiйсних
чисел, дослiджувались властивостi їхнiх графiкiв. Значна увага
придiлена функцiям, аргумент яких має трiйкове та четвiркове
зображення. В роботi [6] запропоновано клас неперервних фун-
кцiй зi складною локальною будовою, визначених у термiнах Q∗s-
зображення, властивостi яких залежать вiд заданого скiнченно-
го набору дiйсних чисел. У роботах [10, 11] дослiджувалась сiм’я
неперервних строго зростаючих сингулярних функцiй, залежних
вiд параметра 0 < a < 1, визначених трiйковим зображенням ар-
гументу. Показано, що залежно вiд значення параметру функцiя
є нiде не диференцiйовною, недиференцiйовною майже скрiзь (у
розумiннi мiри Лебега), сингулярною тощо.
1. Коректнiсть означення функцiї
Для обґрунтування коректностi означення функцiї f доста-
тньо довести, що ряд (1) є збiжним за будь–якої послiдовностi
22 С.О. Климчук, М.В. Працьовитий
(αn) ∈ L3 i вираз (1) дає однаковi значення для рiзних зобра-
жень того самого Q∗3-рацiонального числа.
Оскiльки для ряду з модулiв можливi спiввiдношення
|δα1(x)1|+
∞∑
k=2
|δαk(x)k
k−1∏
j=1
gαj(x)j | 6
2
3
+
∞∑
k=2
(
2
3
)k
= 2,
то ряд (1) є абсолютно збiжним.
Нехай x — довiльна Q∗3-рацiональна точка, яка має такi два
зображення: ∆
Q∗
3
α1α2...αn(0) i ∆
Q∗
3
α1α2...[αn−1](2), αn 6= 0. Розглянемо
рiзницю
ρ ≡f(∆
Q∗
3
α1α2...[αn−1](2))− f(∆
Q∗
3
α1α2...αn(0)) =
=
∞∑
k=n
δαk(x2)k
k−1∏
j=1
gαj(x2)j
− ∞∑
k=n
δαk(x1)k
k−1∏
j=1
gαj(x1)j
=
n−1∏
j=1
qαjj
[
δ[αn−1]n+δ2[n+1]gαn(x2)n+δ2[n+2]gαn(x2)ngαn+1(x2)[n+1]+...
− δ0[n+1]gαn(x1)n − δ0[n+2]gαn(x1)ngαn+1(x1)[n+1] − ...
]
=
n−1∏
j=1
qαjj
[
δ[αn−1]n−δαnn+gαn(x2)n
(
δ2[n+1]+δ2[n+2]gαn+1(x2)[n+1]+...
)]
=
n−1∏
j=1
qαjj
δ[αn−1]n−δαnn+gαn(x2)n
δ2[n+1]+
∞∑
k=2
δ2[n+k]
k−1∏
j=1
g2[n+j]
.
Оскiльки δ2(n+1) +
∞∑
k=2
[
δ2(n+k)
k−1∏
j=1
g2(n+j)
]
= ∆
G∗
3
(2) = 1, то
ρ =
n−1∏
j=1
gαjj
[
δ[αn−1]n − δαnn + g[αn−1]n
]
.
Про один клас нiде не монотонних функцiй 23
Якщо α1 = 1, то
ρ =
n−1∏
j=1
gαjj [δ0n − δ1n + g0n] =
n−1∏
j=1
gαjj [0− g0n + g0n] = 0.
Якщо α1 = 2, то
ρ =
n−1∏
j=1
gαjj [δ1n − δ2n + g1n] =
n−1∏
j=1
gαjj [g0n − g0n − g1n + g1n] = 0.
Зважаючи на цi факти, можемо вказати, що функцiя означена
коректно.
2. Множина значень функцiї
З означення функцiї отримуємо
f(0) = f
(
∆
Q∗
3
(0)
)
= δ01 +
∞∑
k=2
δ0k
k−1∏
j
g0j
=0+
∞∑
k=2
0
k−1∏
j
g0j
=0;
f(1)=f
(
∆
Q∗
3
(2)
)
=δ21+
∞∑
k=2
δ2k
k−1∏
j
g2j
=
2−ε1
3
+
∞∑
k=2
2−εk
3
k−1∏
j=1
1+εj
3
.
Оцiнимо вираз
2− ε1
3
+
∞∑
k=2
(
2− εk
3
k−1∏
j=1
1+εj
3
)
= A. Оскiльки
0 6 εn 6 1, то
A >
2
3
+
∞∑
k=2
2
3
k−1∏
j=1
1
3
=
2
3
+
∞∑
k=2
2
3
· 1
3k−1
=
2
3
+
∞∑
k=2
2
3k
=
2
3
+
2
32
+... = 1;
A 6
1
3
+
∞∑
k=2
1
3
k−1∏
j=1
2
3
=
1
3
+
∞∑
k=2
1
3
(
2
3
)k−1
=
1
3
+
1
3
(
2
3
+
22
32
+ ...
)
= 1.
Отже, f(1) = 1.
24 С.О. Климчук, М.В. Працьовитий
Лема 1. Функцiя f , означена рiвнiстю (1), набуває значень з
вiдрiзка [0; 1].
Доведення. Розглянемо частинну суму
Sm ≡ δα11 +
m∑
k=2
δαk(x)k
k−1∏
j=1
gαj(x)j
i доведемо, що 0 6 Sm < 1, причому Sm = 0 тодi i тiльки тодi,
коли α1 = α2 = . . . = αm = 0. Для цього скористаємось методом
математичної iндукцiї.
При m = 1 маємо S1 = δα11. Якщо α1 = 0, то S1 = 0, якщо
α1 6= 0, то 0 6 S1 < 1 за означенням δi1, i = 1, 2.
При m = 2 маємо S2 = δα11 + δα22gα11. Оскiльки αn ∈ {0, 1, 2},
то залежно вiд значень, яких набувають цифри α1, α2, матимемо
такi значення частинної суми S2 для кожного з випадкiв:
α1 = 0 : α1 = 1 :
0 при α2 = 0,
g02g01 при α2 = 1,
(g02 + g12)g01, α2 = 2.
g01 при α2 = 0,
g01 + g02g11 при α2 = 1,
g01 + (g02 + g12)g11, α2 = 2.
α1 = 2 :
g01 + g11 при α2 = 0,
g01 + g11 + g02g21 при α2 = 1,
g01 + g11 + (g02 + g12)g21 при α2 = 2.
Очевидно, що у кожному з цих випадкiв число S2 є невiд’ємним
(значення нуля досягається лише, коли α1 = α2 = 0) i меншим
за 1. Отже,
0 6 S2 = δα11 + δα22gα11 < 1.
Припустимо, що твердження виконується для m = n, тобто
0 6 Sn < 1, i доведемо, що з цього випливає iстиннiсть твердже-
ння для m = n+ 1.
Про один клас нiде не монотонних функцiй 25
Розглянемо частинну суму
Sn+1 = δα11 +
n+1∑
k=2
δαk(x)k
k−1∏
j=1
gαj(x)j
= δα11 + gα11
δα22 +
n+1∑
k=3
δαk(x)k
k−1∏
j=1
gαj(x)j
= δα11 + gα11S
′
n,
де S′n = δα22+
n+1∑
k=3
[
δαk(x)k
k−1∏
j=1
gαj(x)j
]
— частинна сума для набору
(α2, α3, . . . , αn+1).
За припущенням, 0 6 S′n < 1, причому S′n = 0 тодi i тiльки
тодi, коли α2 = α3 = . . . = αn+1 = 0. Якщо S′n = 0, то 1 > Sn+1 =
δα11 > 0 (причому Sn+1 = 0, коли α1 = 0). Якщо 0 < S′n < 1, то
0 < Sn+1 <
g01, якщо α1 = 0,
g01 + g11, якщо α1 = 1,
g01 + g11 + g21, якщо α1 = 2.
Таким чином, для довiльного x ∈ [0; 1] i m ∈ N виконується
нерiвнiсть 0 6 Sm < 1.
Здiйснивши граничний перехiд в останнiй подвiйнiй нерiвно-
стi, отримуємо 0 6 f(x) = lim
m→∞
Sm 6 1 = f(1). �
3. Неперервнiсть функцiї
Теорема 2. Функцiя f , означена рiвнiстю (1), є неперервною у
кожнiй точцi вiдрiзка [0; 1].
Доведення. Для доведення неперервностi функцiї в точцi x0 =
∆
Q∗
3
α1α2...αn... скористаємось означенням неперервностi, а саме: до-
ведемо, що lim
x→x0
|f(x)− f(x0)| = 0. Якщо x0 — Q∗3–iррацiональна
26 С.О. Климчук, М.В. Працьовитий
точка, то x → x0 рiвносильне m → ∞, де αm(x) 6= αm(x0), але
αj(x) = αj(x0) при j < m. Тодi
f(x)− f(x0) =
m−1∏
j=1
gαj(x0)j×
×
δαm(x)m +
∞∑
k=m+1
δαk(x)k
k−1∏
j=m+1
gαj(x)j
−
− δαm(x0)m +
∞∑
k=m+1
δαk(x0)k
k−1∏
j=m+1
gαj(x0)j
=
=
m−1∏
j=1
gαj(x0)j ·B → 0 (m→∞),
оскiльки
m−1∏
j=1
gαj(x0)j → 0 (m→∞), а ряд
δαm(u)m +
∞∑
k=m+1
δαk(u)k
k−1∏
j=m+1
gαj(u)j
є збiжним для u = x i u = x0 . Для доведення неперервностi f
у Q∗3–рацiональнiй точцi x0 достатньо скористатись тим самим
прийомом, але для доведення неперервностi злiва варто викори-
стовувати зображення числа x0 з перiодом (2), а для доведення
неперервностi справа – зображенням з перiодом (0). �
Наслiдок 1. Множиною значень функцiї f , означеної рiвнiстю
(1), є вiдрiзок [0; 1].
4. Властивостi монотонностi
Теорема 3. Прирiст µf (∆
Q∗
3
c1...cm) функцiї f , означеної на вiдрiз-
Про один клас нiде не монотонних функцiй 27
ку [0; 1] рiвнiстю (1), обчислюється за формулою
µf (∆
Q∗
3
c1...cm) =
m∏
j=1
gcjj .
Доведення. Справдi,
µf (∆
Q∗
3
c1c2...cm) = f(∆
Q∗
3
c1c2...cm(2))− f(∆
Q∗
3
c1c2...cm(0)) =
∞∑
k=m+1
δ2k
k−1∏
j=1
gαj(x2)j −
∞∑
k=m+1
δ0k
k−1∏
j=1
gαj(x1)j =
m∏
j=1
gcjj
∞∑
k=m+1
δ2k
k−1∏
j=1
g2j −
∞∑
k=m+1
δ0k
k−1∏
j=1
g0j
=
m∏
j=1
gcjj
δ2(m+1) +
∞∑
k=m+2
δ2k
k−1∏
j=m+1
g2j
=
m∏
j=1
gcjj .
�
Наслiдок 2. Якщо εk =
1
2
для деякого натурального k 6 m,
то g1k = 0 i g0k = g2k =
1
2
, а отже, функцiя f(x) є сталою на
деякому цилiндрi ∆
Q∗
3
c1c2...cm .
Наслiдок 3. Якщо 0 6 εk <
1
2
, то функцiя f(x) є строго зро-
стаючою на всiй областi визначення.
Теорема 4. Неперервна на [0; 1] функцiя f , означена рiвнiстю
(1), є нiде не монотонною, якщо для будь–якого k ∈ N виконує-
ться нерiвнiсть
1
2
< εk 6 1.
Доведення. Оскiльки εk 6=
1
2
, то g0kg1kg2k 6= 0, отже, функцiя
f не має промiжкiв сталостi. Припустимо, що iснує iнтервал
28 С.О. Климчук, М.В. Працьовитий
(a; b) ⊂ [0; 1] монотонностi функцiї f . Оскiльки завжди iснує
цилiндр ∆
Q∗
3
c1...cm ⊂ (a; b), то вiн є промiжком монотонностi f .
Оскiльки g0kg1kg2k 6= 0, то µf (∆
Q∗
3
c1c2...cm) =
m∏
j=1
gcjj 6= 0 i
µf (∆
Q∗
3
c1c2...cm0)µf (∆
Q∗
3
c1c2...cm1)µf (∆
Q∗
3
c1c2...cm2) < 0,
тобто на цилiндрi ∆
Q∗
3
c1c2...cm1 функцiя f має вiд’ємний прирiст, а
на цилiндрах ∆
Q∗
3
c1c2...cm0 i ∆
Q∗
3
c1c2...cm2 — додатний, а це суперечить
її монотонностi на цилiндрi ∆
Q∗
3
c1c2...cm . �
5. Ознаки нiде не монотонностi, канторово-
стi
Якщо εn =
1
2
, то функцiя f(x) є сталою на цилiндричному iнтер-
валi ∇Q
∗
3
c1...cm−11, де ci ∈ V , i = 0, 1, ...,m− 1, m ∈ N , сумiжному з
множиною C[Q∗3, V ].
Оскiльки для довiльного x з цього iнтервалу αm(x) = 2, то
m∏
j=1
gαjj(x) = 0,
i з цього випливає, що
f(x) = δα1(x)1 + δα2(x)2gα1(x)1 + ...+ δαm−1(x)[m−1]
m−2∏
j=1
gαj(x)j+
+ 0 ·
m−1∏
j=1
gαj(x)j + 0 = const,
тобто f є сталою на цьому iнтервалi.
Про один клас нiде не монотонних функцiй 29
Сума довжин усiх iнтервалiв ∇Q
∗
3
c1...cm−11, сумiжних з множи-
ною C[Q∗3, V ], де ci ∈ V , i = 0, 1, ...,m − 1, m ∈ N , дорiвнює 1.
Справдi,
S = |∆Q∗
3
1 |+
∑
c1∈V
|∆Q∗
3
c11|+
∑
c1∈V
∑
c2∈V
|∆Q∗
3
c1c21|+... =
1
3
+
2
32
+
22
33
+... = 1.
Функцiя f є сталою на кожному з iнтервалiв ∇Q
∗
3
c1...cm−11, ci ∈ V ,
i = 0, 1, ...,m − 1, m ∈ N , тому має на кожному з них похiдну,
яка дорiвнює 0. Отже, вона є сингулярною.
6. Екстремуми функцiї
Позначимо прирiст µf функцiї f на цилiндрi ∆
Q∗
3
c1...cm через µm,
тобто
µm = µf (∆
Q∗
3
c1...cm) =
m∏
j=1
gcjj(x).
Лема 5. Функцiя f на цилiндрi ∆
Q∗
3
c1...cm набуває найбiльшого i
найменшого значень на його кiнцях. Причому, якщо
µm > 0, то max f(x) = f(∆
Q∗
3
c1...cm(2)),min f(x) = f(∆
Q∗
3
c1...cm(0)).
Якщо ж
µm < 0, то max f(x) = f(∆
Q∗
3
c1...cm(0)),min f(x) = f(∆
Q∗
3
c1...cm(2)).
Доведення. Оскiльки цилiндр ∆
Q∗
3
c1...cm є вiдрiзком
[∆
Q∗
3
c1...cm(0);∆
Q∗
3
c1...cm(2)], то значення функцiї f у довiльнiй то-
чцi x ∈ ∆
Q∗
3
c1...cm можна подати у формi
f(x) = f(∆
Q∗
3
c1...cm(0)) + µm · f(∆
Q∗
3
αm+1αm+2...αm+n...).
30 С.О. Климчук, М.В. Працьовитий
Якщо αm+j = 0 для всiх j ∈ N , то f(∆
Q∗
3
αm+1αm+2...αm+n...) = 0.
Якщо ж αm+j = 2 для всiх j ∈ N , то f(∆
Q∗
3
αm+1αm+2...αm+n...) = 1.
Тодi при µm > 0
max
x∈∆
Q∗
3
c1...cm
f(x) = f(∆
Q∗
3
c1...cm(2)), min
x∈∆
Q∗
3
c1...cm
f(x) = f(∆
Q∗
3
c1...cm(0)),
a при µm < 0
max
x∈∆
Q∗
3
c1...cm
f(x) = f(∆
Q∗
3
c1...cm(0)), min
x∈∆
Q∗
3
c1...cm
f(x) = f(∆
Q∗
3
c1...cm(2)).
�
7. Властивостi графiка Γf функцiї
Теорема 6. Якщо εn = const, i
2∏
i=0
gi 6= 0, то графiк функцiї
f i його частина Γif ≡ {(x; y) : x ∈ ∆
G∗
3
i , y = f(x)} афiнно-
еквiвалентнi, причому Γif = φi(Γf ), де
φi :
{
x′ = qix+ βi,
y′ = giy + δi, i ∈ {0, 1, 2}
Доведення. Для доведення теореми покажемо, що Γiφ ⊂ φi(Γf ) i
φi(Γf ) ⊂ Γiφ.
Нехай M(x; y) ⊂ Γif , тобто
x = ∆Q3
iα1α2...αn...
, i y = δi + gi
δα1 +
∞∑
k=2
δαk
k−1∏
j=1
gαj
.
Розглянемо точку M0(x0; y0) на графiку Γf , де
x0 = ∆Q3
α1α2...αn..., i y0 = δα1 +
∞∑
k=2
δαk
k−1∏
j=1
gαj
.
Про один клас нiде не монотонних функцiй 31
Її образ φi(M0) = M , тому M ∈ Γf .
Нехай M ′(x′; y′) є образом точки M(x; y) при афiнному пере-
твореннi φi, тобто
x = ∆Q3
α1α2...αn..., i y = δα1 +
∞∑
k=2
δαk
k−1∏
j=1
gαj
,
a
x′ = ∆Q3
iα1α2...αn...
, i y′ = δi + gi
δα1 +
∞∑
k=2
δαk
k−1∏
j=1
gαj
.
Звiдси випливає, щоM ′ ∈ Γif , а отже, φi(Γf ) ⊂ Γif . Таким чином,
Γif = φi(Γf ). �
8. Рiвнi функцiї
Нагадаємо, що множиною рiвня y0 функцiї f називається мно-
жина
f−1(y0) = {x : f(x) = y0}.
Якщо 0 6 εn <
1
2
для всiх n ∈ N , то функцiя f є строго
зростаючою, тому кожен її рiвень складається з однiєї точки.
Якщо εn =
1
2
, то g1n = 0 для всiх n ∈ N i кожен рiвень функцiї
f завдяки її неперервностi є або точкою, або вiдрiзком.
Якщо
1
2
< εn 6 1, то g1n < 0 i кожен рiвень функцiї f є злi-
ченною множиною. Справдi, в силу того, що прирости функцiї
f на цилiндрах ∆
Q∗
3
α1(x)α2(x)...αi(x) рангу i та ∆
Q∗
3
α1(x)α2(x)...αi(x)αi+1(x)
рангу i+1 мають протилежнi знаки i, враховуючи неперервнiсть
функцiї f , пряма y = y0 перетинає графiк функцiї f принаймнi
у двох точках, якi належать цилiндру ∆
Q∗
3
α1(x)α2(x)...αi(x) i не на-
лежать цилiндру ∆
Q∗
3
α1(x)α2(x)...αi(x)αi+1(x). Отже, рiвень f−1(y0) є
32 С.О. Климчук, М.В. Працьовитий
злiченною множиною. Континуальним вiн бути не може, оскiль-
ки множина локальних максимумiв i мiнiмумiв злiченна.
Лiтература
[1] Працьовитий М. В. Фрактальний пiдхiд у дослiдженнях сингу-
лярних розподiлiв. — Київ: НПУ iменi М. П. Драгоманова. – 1998.
– 296 с.
[2] Турбин А. Ф., Працевитый Н. В. Фрактальные множества, фун-
кции, распределения. – Киев: Наук. думка. – 1992. – 208 с.
[3] Працьовитий М. В. Нiде не монотоннi сингулярнi функцiї // На-
уковий часопис НПУ iменi М.П. Драгоманова. Cерiя 1. Фiзико-
математичнi науки. – Київ: НПУ iменi М.П. Драгоманова. – 2011,
№12. – С. 24-36.
[4] Працьовитий М. В. Фрактальнi властивостi однiєї неперервної,
нiде не диференцiйовної функцiї // Науковi записки НПУ iменi
М. П. Драгоманова. Фiзико-математичнi науки. – № 3, 2002. –
С. 327-338.
[5] Працевитый Н. В. Непрерывные канторовские проекторы // Ме-
тоды исследования алгебраических и топологических структур. —
Киев: КГПИ, 1989. – С. 95-105.
[6] Працьовитий М. В., Свинчук О. В. Сингулярнi немонотоннi фун-
кцiї, визначенi в термiнах Q∗s–зображення аргумента // Науко-
вий часопис НПУ iменi М. П. Драгоманова. Cерiя 1. Фiзико-
математичнi науки. – Київ: НПУ iменi М. П. Драгоманова. – 2013,
№ 15. – С. 144-155.
[7] Працьовитий М. В., Василенко Н. А. Одна сiм’я неперервних нi-
де не монотонних функцiй з фрактальними властивостями // На-
уковий часопис НПУ iменi М.П. Драгоманова. Cерiя 1. Фiзико-
математичнi науки. – Київ: НПУ iменi М. П. Драгоманова. – 2013,
№ 14. – С. 174-186.
[8] Калашнiков А. В., Працьовитий М. В. Самоафiннi сингулярнi
та нiде не монотоннi функцiї, пов’язанi з Q-зображенням дiйсних
чисел // Укр. мат. журн. – 2013. – 65, № 3. – С. 405-417.
Про один клас нiде не монотонних функцiй 33
[9] Марсалья Д. Случайные величины с независимыми двоичными
цифрами // Кибернет. сб. – 1983. – № 20. – С. 216-224
[10] Okamoto H. A remark on continuous, nowhere differentiable functi-
ons // Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci. – 2005, Vol. 81, № 3. –
P. 47-50.
[11] Okamoto H., Wunsh M. A geometric construction of continuous stri-
ctly increasing singular functions // Proc. Japan Acad. Ser. A Math.
Sci. – 2007, Vol. 83, № 7. – P. 114-118.
[12] Marsalia G. Random variables with independent binary digits // Ann.
Math. Statist. – 1971. – Vol. 42, № 2. – P. 1922-1929.
[13] Salem R. On some singular monotonic functions which are strictly
increasing // Trans. Amer. Math. Soc. – 1943, № 53. – P. 427-439.
[14] Takacs L. An increasing continuous singular function // The Ameri-
can Math. Monthly. – 1978, № 85. – P. 35-37.
[15] Zamfirescu T. Most monotone functions are singular // Amer. Math.
Mon. – 1981, № 88. – P. 47-49.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-402 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:06:49Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/d3/2966aedf470b00a326d1a2d5b71d66d3.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-4022020-08-10T06:16:24Z Про один клас ніде не монотонних функцій з фрактальними властивостями, який містить підклас сингулярних функцій Працьовитий, М. В. Климчук, С.О. We study one class of continuous functions $f$ defined on segment $[0,1]$ by equality$$f(x)=\delta_{\alpha_1(x)1}+\sum^{\infty}_{k=2}\left[\delta_{\alpha_k(x)k}\prod^{k-1}_{j=1}g_{\alpha_j (x)j}\right]\equiv\Delta^{G^*_3}_{\alpha_1\alpha_2\ldots\alpha_k\ldots},$$where $||q^*_{ik}||$ is given infinite stochastic positive matrix ($i=0,1,2$; $k \in N$); $\beta_{0k}=0$, $\beta_{1k}=q_{0k}$, $\beta_{2k}=q_{0k}+q_{1k}$;$(\varepsilon_k)$ is given sequence of numbers such that $0\leqslant \varepsilon_k \leqslant 1 $; $g_{0k}=\dfrac{1+\varepsilon_k}{3}=g_{2k}$, $g_ {1k}=\dfrac{1-2\varepsilon_k}{3}$, $\delta_{0k}=0$, $\delta_{1k}=g_{0k}$, $\delta_{2k}=g_{0k}+g_{1k}$, $k\in N$. We found criteria of strict monotonicity, non monotonicity and nowhere monotonicity, non-differentiability and singularity of the functions. We pay attention to properties of level sets of the functions. У роботі розглядається клас неперервних функцій $f$, означених на відрізку $[0;1]$ рівністю$$f(x)=\delta_{\alpha_1(x)1}+\sum^{\infty}_{k=2}\left[\delta_{\alpha_k(x)k}\prod^{k-1}_{j=1}g_{\alpha_j(x)j}\right] \equiv \Delta^{G^*_3}_{\alpha_1\alpha_2\ldots\alpha_k\ldots},$$де $||q^*_{ik}||$ --- нескінченна стохастична додатна матриця ($i=0,1,2$; $k\in N$); $\beta_{0k}=0$, $\beta_{1k}=q_{0k}$, $\beta_{2k}=q_{0k}+q_{1k}$;$(\varepsilon_k)$ --- задана послідовність чисел, де $0\leqslant\varepsilon_k\leqslant 1$; $g_{0k}=\dfrac{1+\varepsilon_k}{3}=g_{2k}$, $g_{1k}=\dfrac{1-2\varepsilon_k}{3}$, $\delta_{0k}=0$, $\delta_{1k}=g_{0k}$, $\delta_{2k}=g_{0k}+g_{1k}$, $k\in N$. Встановлено критерії строгої монотонності, немонотонності та ніде не монотонності, недиференційовності й сингулярності таких функцій. Приділяється увага властивостям множин рівнів функції $f$. Інститут математики НАН України 2017-12-26 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/402 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 14 No. 4 (2017): Фрактальний аналіз та суміжні питання; 19-33 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 14 № 4 (2017): Фрактальний аналіз та суміжні питання; 19-33 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 14 № 4 (2017): Фрактальний аналіз та суміжні питання; 19-33 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/402/399 Авторське право (c) 2017 М. В. Працьовитий, С.О. Климчук http://creativecommons.org/licenses/by/4.0 |
| spellingShingle | Працьовитий, М. В. Климчук, С.О. Про один клас ніде не монотонних функцій з фрактальними властивостями, який містить підклас сингулярних функцій |
| title | Про один клас ніде не монотонних функцій з фрактальними властивостями, який містить підклас сингулярних функцій |
| title_full | Про один клас ніде не монотонних функцій з фрактальними властивостями, який містить підклас сингулярних функцій |
| title_fullStr | Про один клас ніде не монотонних функцій з фрактальними властивостями, який містить підклас сингулярних функцій |
| title_full_unstemmed | Про один клас ніде не монотонних функцій з фрактальними властивостями, який містить підклас сингулярних функцій |
| title_short | Про один клас ніде не монотонних функцій з фрактальними властивостями, який містить підклас сингулярних функцій |
| title_sort | про один клас ніде не монотонних функцій з фрактальними властивостями, який містить підклас сингулярних функцій |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/402 |
| work_keys_str_mv | AT pracʹovitijmv proodinklasnídenemonotonnihfunkcíjzfraktalʹnimivlastivostâmiâkijmístitʹpídklassingulârnihfunkcíj AT klimčukso proodinklasnídenemonotonnihfunkcíjzfraktalʹnimivlastivostâmiâkijmístitʹpídklassingulârnihfunkcíj |