Зображення обкладинки

Нега$-$канторівські зображення дійсних чисел як тривіальні перекодування канторівських (нега$-s-$кові $-$ перекодування $s$-кових)

In this paper we study representations of numbers in Cantorian and negative Cantorian numeral systems, that are generalization of the classical $s$-adic system, we examine geometry and metric relations for the representations. We substantiated a fact: number representation by Cantor's famil...

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Дата:2017
Автор: Працьовитий, М.В.
Формат: Стаття
Мова:Українська
Опубліковано: Інститут математики НАН України 2017
Онлайн доступ:https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/413
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine
Завантажити файл: Pdf

Репозитарії

Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine
_version_ 1872552913352523776
author Працьовитий, М.В.
author_facet Працьовитий, М.В.
author_institution_txt_mv [ { "author": "М.В. Працьовитий", "institution": "НПУ імені М.П. Драгоманова" } ]
author_sort Працьовитий, М.В.
baseUrl_str https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai
collection OJS
datestamp_date 2020-08-10T06:16:24Z
description In this paper we study representations of numbers in Cantorian and negative Cantorian numeral systems, that are generalization of the classical $s$-adic system, we examine geometry and metric relations for the representations. We substantiated a fact: number representation by Cantor's familiar series does not generate a new geometry, but is only a trivial re-coding of the known representation by a positive Cantor series.
first_indexed 2026-08-04T01:06:59Z
format Article
fulltext Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2017, т. 14, № 4, 167–177 УДК 511.72 М.В. Працьовитий НПУ iменi М.П. Драгоманова, Iнститут математики НАН України, Київ; prats4444@gmail.com Нега–канторiвськi зображення дiйсних чисел як тривiальнi перекодування канторiвських (нега–s–ковi — перекодування s–кових) In this paper we study representations of numbers in Cantorian and negative Cantorian numeral systems, that are generalization of the classical s-adic system, we examine geometry and metric relations for the representations. We substantiated a fact: number representation by Cantor’s familiar series does not generate a new geometry, but is only a trivial re-coding of the known representation by a positive Cantor series. Key words: numeral system, coding of real numbers, alphabet of numeral system, s-adic representations of real number, negati- ve s-adic representations of real number, Cantor series, Cantor representation of number, negative Cantor representation of number, metric relations generated by representation of number. c© М.В. Працьовитий, 2017 168 М.В. Працьовитий Робота присвячена зображенням чисел у канторiвськiй i нега– канторiвськiй системах числення, що є узагальненням класичної s–кової системи, геометрiї й метричним вiдношенням для таких зображень. Обґрунтовується факт: представлення чисел знако- почережними рядами Кантора не породжує нової геометрiї, а є лише тривiальним перекодуванням вiдомого представлення до- датним рядом Кантора. Ключовi слова: система числення; кодування дiйсних чисел; ал- фавiт системи зображення числа; s–кове зображення числа; нега– s–кове зображення; ряд Кантора; канторiвське зображення числа; нега–канторiвське зображення числа; метричнi вiдношення, поро- дженi зображенням чисел. Вступ Сьогоднi людство оперує рiзними числовими системами (систе- мами чисел, якi утворюють певнi алгебраїчнi структури i мають деяку ступiнь автономностi). Це системи натуральних, цiлих, ра- цiональних, дiйсних, комплексних, гiперкомплексних чисел то- що. Представник тiєї чи iншої числової системи має свої змiст i форму iснування, якi йому надає система числення. Системою числення називається сукупнiсть засобiв для 1) представлення=подання (математичного вираження); 2) зображення (кодування, скороченого запису); 3) найменування дiйсних чисел; 4) їхньої iдентифiкацiї й порiвняння; 5) а також побудови арифметики. До цiєї сукупностi належать: 1. Модель числа у формi математичного виразу (ряду, нескiн- ченного добутку, ланцюгового дробу тощо). Нега–канторiвськi зображення дiйсних чисел 169 2. Алфавiт — набiр цифр (символiв, знакiв) для формального (скороченого) запису представлення числа математичним виразом, якi вiдiграють роль чисел або iндексiв. Вiн може бути скiнченним та нескiнченним, мiнiмальним та надли- шковим, сталим та змiнним. 3. Базис (базисну послiдовнiсть), якщо моделлю числа є ряд. Iснуючi сьогоднi системи числення часто мають принциповi вiдмiнностi. Класичною у цьому сенсi є s-кова система числення, де 1 < s ∈ N , зокрема десяткова i двiйкова. Числовi системи i системи числення обслуговують потреби об- числювальної математики й обчислювальної технiки, сучасних iнформацiйно-комунiкацiйних технологiй, рiзнi напрями прикла- дної математики й iнформатики. 1. Нега – s–кове зображення як тривiальне перекодування s–кового зображення дiй- сних чисел Нехай 1 < s – фiксоване натуральне число, As ≡ {0, 1, . . . , s− 1} – алфавiт s –кової системи числення, Ls ≡ As×As× . . .×As× . . . — простiр послiдовностей елементiв алфавiту As. Нагадаємо, що змiст s–кового зображення ∆s α1α2...αn... числа x ∈ [0; 1], де (αn) ∈ Ls, розкриває рiвнiсть x = α1 s + α2 s2 + · · ·+ αn sn + · · · ≡ ∆s α1α2...αn.... (1) Тут представленням числа x є ряд (1), при цьому послiдовнiсть an = s̄n є базисною, а цифри αn вiдiграють роль чисел у поданнi числа i символiв у його зображеннi. 170 М.В. Працьовитий Теорема 1. Для будь–якого числа x ∈ [0; 1] iснує послiдовнiсть (τn) ∈ Ls, така, що x = s s+ 1 + ∞∑ n=1 τn (−s)n ≡ ∆ s τ1τ2...τn... = (2) = 1− γ1 s + γ2 s2 − γ3 s3 + . . . = 1 + ∞∑ n=1 γn (−s)n , (3) де γn ∈ {1, 2, . . . , s}. Доведення. Добре вiдомо, що для числа x iснує послiдовнiсть (αn) ∈ Ls, така, що x = α1 s + α2 s2 + . . .+ αn sn + . . . . Тодi x = 1− 1 + α1 s + α2 + 1 s2 − 1 s2 + α3 s3 + α4 + 1 s4 − 1 s4 + α5 s5 + . . . = = 1− s− α1 s + α2 + 1 s2 − s− α3 s3 + α4 + 1 s4 − s− α5 s5 + . . . = = 1− γ1 s + γ2 s2 − γ3 s3 + γ4 s4 − γ5 s5 + . . . = = 1 + γ1 (−s)1 + γ2 (−s)2 + γ3 (−s)3 + γ4 (−s)4 + γ5 (−s)5 + . . . , де γn = { s− αn, якщо n– непарне, αn + 1, якщо n– парне, γn ∈ {1, 2, . . . , s}. Якщо покласти τn ≡ γn − 1, то τn ∈ {0, 1, 2, . . . , s− 1} i маємо x = 1 + τ1 (−s)1 − 1 s + τ2 (−s)2 + 1 s2 + τ3 (−s)3 − 1 s3 + τ4 (−s)4 + 1 s4 + . . . . Оскiльки 1− 1 s + 1 s2 − 1 s3 + . . . = s s+ 1 , то x = s s+ 1 + ∞∑ n=1 τn (−s)n , де τn ∈ As, Нега–канторiвськi зображення дiйсних чисел 171 що й треба було довести. � Означення 1. Розклад числа x у ряд (3) називається його нега– s–ковим представленням, а його формальний запис ∆ s τ1τ2...τn... — нега–s–ковим зображенням. При цьому τn називається n–ою цифрою даного зображення. Зауваження 1. Хiд доведення теореми 1 указує на зв’язок s– кового й нега–s–кового зображень одного i того самого числа, а саме: цифри τn нега–s–кового зображення ∆ s τ1τ2...τn... числа x = ∆s α1α2...αn... обчислюються за формулою τn = { s− 1− αn, якщо n– непарне, αn, якщо n– парне. Якщо ж вiдоме нега–s–кове зображення числа x = ∆ s τ1τ2...τn..., то цифри його s–кового зображення можна отримати за фор- мулами: αn = { s− 1− τn, якщо n– непарне, τn, якщо n– парне. Отже, ∆s a1a2...an... = ∆ s [s−1−a1]a2[s−1−a3]a4[s−1−a5]a6.... (4) Рiвнiсть (4) дає пiдставу стверджувати, що нега–s–кове зобра- ження фактично є лише перекодуванням s–кового зображення числа x. Для повнiшого обґрунтування такого висновку прове- демо аналiз його тополого–метричних властивостей. 2. Геометрiя нега–s–кового зображення Суть геометрiї зображення чисел значною мiрою розкривають властивостi цилiндричних множин. Нагадаємо, що цилiндром 172 М.В. Працьовитий рангу m iз основою c1c2 . . . cm для s–кового й нега–s–кового зо- бражень вiдповiдно називаються множини: ∆s c1c2...cm ≡ {x : αi(x) = ci, i = 1,m}, ∆ s c1c2...cm ≡ {x : τi(x) = ci, i = 1,m}. 1. Цилiндр для кожного з зображень є вiдрiзком, причому 1.1. ∆s c1...cm = [a; b], де a = m∑ i=1 ci si , b = a+ 1 sm ; 1.2. ∆ s c1...cm = [A−B;A+ C], A = s s+ 1 + m∑ i=1 ci (−s)i ; B =  1 sm(s+ 1) , якщо m– непарне, 1 sm−1(s+ 1) , якщо m– парне, C =  1 sm−1(s+ 1) , якщо m– непарне, 1 sm(s+ 1) , якщо m– парне; 2. |∆s c1c2...cm | = 1 sm = |∆s c1c2...cm |; 3. |∆s c1c2...cmi | |∆s c1c2...cm | = 1 s = |∆s c1c2...cmi| |∆s c1c2...cm | ; 4. x = ∆s a1a2...am... = ∞⋂ m=1 ∆s a1a2...am ; x = ∆ s a1a2...am... = ∞⋂ m=1 ∆ s a1a2...am . Властивiсть 3 цилiндрiв s–кового й нега–s–кового зображень на- зивається основним метричним вiдношенням. Його вираз є свiд- ченням близкостi (i навiть збiгу) вiдповiдних метричних теорiй. Нега–канторiвськi зображення дiйсних чисел 173 Бiльше того, добре вiдомо [1, 14], що у випадку s–кового зобра- ження для майже всiх (у розумiннi мiри Лебега) чисел x ∈ [0; 1] iснує границя lim N→∞ 1 N N∑ n=1 φ(1− t+ xn) = v, де xn – дробова частина числа sn−1x, тобто xn = {sn−1x}, 0 < v ≤ 1, φ(t) = { 1, якщо 0 ≤ t ≤ 1, 0, якщо t < 0 або t > 1. Iнакше кажучи, числа послiдовностi (xn) майже для всiх x рiв- номiрно розподiленi на вiдрiзку [0; 1]. Зауваження 2. Враховуючи зазначене, доходимо висновку, що розв’язки задач для нега–s–кового зображення, аналогiчних до задач для s–кового зображення, можна отримати з вiдомих ре- зультатiв для останнього переформулюванням у новiй системi кодування з урахуванням указаних зв’язкiв. 3. Представлення чисел додатними та зна- козмiнними рядами Кантора Нехай (sn) – фiксована послiдовнiсть натуральних чисел, бiль- ших або рiвних 2; Asn ≡ {0, 1, . . . , sn − 1} – послiдовнiсть алфа- вiтiв; L ≡ As1 ×As2 × . . .×Asn × . . .. Теорема 2. [15] Для будь-якого числа x ∈ [0; 1] iснує послiдов- нiсть (an) ∈ L, така, що x = a1 s1 + a2 s1s2 + . . .+ an s1s2 . . . sn + . . . ≡ ∆(sn) a1a2...an.... (5) Ряд (5) називаються рядом Кантора. Розклад (1) є узагальне- нням класичного s–кового розкладу числа i збiгається з ним при 174 М.В. Працьовитий sn = s для будь-якого n ∈ N . Зображення ∆ (sn) a1a2...an... числа x на- зивається ∆(sn) – зображенням. Воно ґрунтується на розвиненнi числа в додатний ряд Кантора (5). Теорема 3. Якщо виконується рiвнiсть (5), то x = 1− γ1 s1 + γ2 s1s2 − γ3 s1s2s3 + γ4 s1s2s3s4 − γ5 s1s2s3s4s5 + . . . = b− τ1 s1 + τ2 s1s2 − τ3 s1s2s3 + τ4 s1s2s3s4 − . . .+ τ5 s1s2s3s4s5 + . . . ≡ ≡ ∆ (sn) τ1τ2...τn..., (6) де b = 1 + ∞∑ n=1 (−1)n s1s2 . . . sn = s1−1 s1 + s3−1 s1s2s3 + s5−1 s1s2s3s4s5 + ..., γn = { sn − an, якщо n– непарне, an + 1, якщо n– парне. γn − 1 ≡ τn ∈ Asn = {0, 1, . . . sn − 1}, Доведення. З рiвностi (5) маємо x = 1− 1 + a1 s1 + a2 + 1 s1s2 − 1 s1s2 + a3 s1s2s3 + a4 + 1 s1s2s3s4 − 1 s1s2s3s4 + a5 s1s2s3s4s5 + . . . = = 1− s1 − a1 s1 + a2 + 1 s1s2 − s3 − a3 s1s2s3 + a4 + 1 s1s2s3s4 − s5 − a5 s1s2s3s4s5 + . . . = = 1− γ1 s1 + γ2 s1s2 − γ3 s1s2s3 + γ4 s1s2s3s4 − γ5 s1s2s3s4s5 + . . . , де γn = { sn − an, якщо n– непарне, an + 1, якщо n– парне. Отже, γn ∈ {1, 2, . . . , sn}. Якщо покласти τn ≡ γn− 1, то τn ∈ {0, 1, 2, . . . , sn− 1} i мати- Нега–канторiвськi зображення дiйсних чисел 175 мемо x = 1− τ1 s1 − 1 s1 + τ2 s1s2 + 1 s1s2 + τ3 s1s2s3 − 1 s1s2s3 + τ4 s1s2s3s4 + + 1 s1s2s3s4 + . . . = = b− τ1 s1 + τ2 s1s2 − τ3 s1s2s3 + τ4 s1s2s3s4 − . . . де b = 1− 1 s1 + 1 s1s2 − 1 s1s2s3 + . . . = s1−1 s1 + s3−1 s1s2s3 + s5−1 s1s2s3s4s5 + ..., що й треба було довести. � Зауваження 3. Має мiсце рiвнiсть ∆(sn) γ1γ2...γn... = ∆ (sn) [s1−1−a1]a2[s2−1−a3]a4..., яка засвiдчує факт перекодування ∆(sn)-зображення в ∆ (sn)- зображення (нега-зображення). Деталiзує цей висновок аналiз метричних спiввiдношень, якi породжують властивостi цилiн- дрiв. Означення 2. Представлення числа x рядом (6) називається його розкладом в знакопочережний ряд Кантора, а ∆ sn τ1τ2...τn... – ∆ sn-зображенням числа x. Зауваження 4. Теорема 3 встановлює зв’язок мiж представ- леннями того самого числа додатним рядом Кантора i знако- почережним рядом Кантора. Незважаючи на те, що нега–s–кове та нега–канторiвське зо- браження чисел є перекодуваннями вiдомих s–кових i канторiв- ських зображень, вони дають змогу розширити коло зручних аналiтичних завдань неперервних функцiй з нерегулярною ло- кальною поведiнкою (сингулярних, нiде не монотонних, недифе- ренцiйовних, звивистих), ортогональних мiри Лебега розподiлiв 176 М.В. Працьовитий ймовiрностей, динамiчних систем з фрактальними атрактарами та iн. Наприклад, функцiя, означена рiвнiстю f ( ∆̄2 a1a2...an... ) = ∆L2 b1b2...bn... = 1 b1 + 1 b2 + 1 b3 + . . . , де bn = { 0, 5, якщо an = 0, 1, якщо an = 1, є неперервною строго зростаю- чою функцiєю, похiдна якої дорiвнює 0 майже скрiзь у розумiннi мiри Лебега. Лiтература [1] Гельфонд А.О. Об одном общем свойстве систем счисления // Известие Академии наук СССР, Серия математическая. – 1959. – 23. – C. 809-814. [2] Касаткин В.Н. Новое о системах счисления. – К.: Вища школа. – 1982. – 96 с. [3] Понтрягин Л.С. Обобщение чисел. - М.: Наука. Гл. ред. физ.- мат.лит. – 1986. – 120 с. [4] Працьовитий М.В. Геометрiя класичного двiйкового зображення дiйсних чисел. — Київ. Вид–во НПУ iменi М. П. Драгоманова. – 2012. – 68 с. [5] Працьовитий М.В. Системи числення зi змiнною основою та змiн- ним алфавiтом (або розвинення чисел в ряди Кантора) // Сту- дентськi фiзико-математичнi етюди. – Київ: Вид-во НПУ iменi М. П. Драгоманова. – 2009. – № 8. – С. 6-18. [6] Працьовитий М.В., Торбiн Г.М. Суперфрактальнiсть множини чисел, якi не мають частоти n-адичних знакiв, та фрактальнi роз- подiли ймовiрностей //Укр. мат. журн. – 1995. – 47, № 7. – С. 971- 975. Нега–канторiвськi зображення дiйсних чисел 177 [7] Працьовита I.М. Про розклади чисел в знакозмiннi s–адичнi ряди i ряди Остроградського 1–го та 2–го виду // Український мате- матичний журнал. – 2009. – 61 – № 7. – С. 958-968. [8] Турбин А.Ф., Працевитый Н.В. Фрактальные множества, фун- кции, распределения. – Київ: Наукова думка. – 1992. – 208 с. [9] Працьовитий М.В. Фрактальний пiдхiд у дослiдженнях сингу- лярних розподiлiв. – Київ: НПУ iменi М. П. Драгоманова. – 1998. – 296 с. [10] Ралко Ю.В. Зображення чисел рядами Кантора та деякi його за- стосування // Науковий часопи НПУ iменi М. П. Драгоманова. – 2009, № 10. – С. 132-140. [11] Стахов A.П. Алгоритмическая теория измерения. – М.: Знание. – 1979. – 64 с. [12] Фомин С.В. Системы счисления. – М.: Наука. – 1987. – 48 с. [13] Schweiger F. Ergodische theorie der engelschen und sylvesterschen rei- hen // Praha, Czechoslovak Mathematical Journal. – 1970. – 20(95). – P. 243-245. [14] Hardy G.H. and Littlewood J. E. The fractional part of nkΘ // Acta Math. – 1914. – 37. – P. 155-191. [15] Cantor G. Uber die einfachen Zahlensysteme // Z. Math. Phys. – 1979. – Bd. 14. – P. 121-128.
id oai:trim.imath.kiev.ua:article-413
institution Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine
keywords_txt_mv keywords
language Ukrainian
last_indexed 2026-08-04T01:06:59Z
publishDate 2017
publisher Інститут математики НАН України
record_format ojs
resource_txt_mv trimimathkievua/c4/4e9b100fc3c835ef5846726e3ab876c4.pdf
spelling oai:trim.imath.kiev.ua:article-4132020-08-10T06:16:24Z Нега$-$канторівські зображення дійсних чисел як тривіальні перекодування канторівських (нега$-s-$кові $-$ перекодування $s$-кових) Працьовитий, М.В. In this paper we study representations of numbers in Cantorian and negative Cantorian numeral systems, that are generalization of the classical $s$-adic system, we examine geometry and metric relations for the representations. We substantiated a fact: number representation by Cantor&#039;s familiar series does not generate a new geometry, but is only a trivial re-coding of the known representation by a positive Cantor series. Робота присвячена зображенням чисел у канторівській і нега--канторівській системах числення, що є узагальненням класичної $s$--кової системи, геометрії й метричним відношенням для таких зображень. Обґрунтовується факт: представлення чисел знакопочережними рядами Кантора не породжує нової геометрії, а є лише тривіальним перекодуванням відомого представлення додатним рядом Кантора. \\\textbf{Ключові слова:} система числення; кодування дійсних чисел; алфавіт системи зображення числа; $s$--кове зображення числа; нега--$s$--кове зображення; ряд Кантора; канторівське зображення числа; нега--канторівське зображення числа; метричні відношення, породжені зображенням чисел. Інститут математики НАН України 2017-12-26 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/413 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 14 No. 4 (2017): Фрактальний аналіз та суміжні питання; 167-177 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 14 № 4 (2017): Фрактальний аналіз та суміжні питання; 167-177 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 14 № 4 (2017): Фрактальний аналіз та суміжні питання; 167-177 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/413/409 Авторське право (c) 2017 М.В. Працьовитий http://creativecommons.org/licenses/by/4.0
spellingShingle Працьовитий, М.В.
Нега$-$канторівські зображення дійсних чисел як тривіальні перекодування канторівських (нега$-s-$кові $-$ перекодування $s$-кових)
title Нега$-$канторівські зображення дійсних чисел як тривіальні перекодування канторівських (нега$-s-$кові $-$ перекодування $s$-кових)
title_full Нега$-$канторівські зображення дійсних чисел як тривіальні перекодування канторівських (нега$-s-$кові $-$ перекодування $s$-кових)
title_fullStr Нега$-$канторівські зображення дійсних чисел як тривіальні перекодування канторівських (нега$-s-$кові $-$ перекодування $s$-кових)
title_full_unstemmed Нега$-$канторівські зображення дійсних чисел як тривіальні перекодування канторівських (нега$-s-$кові $-$ перекодування $s$-кових)
title_short Нега$-$канторівські зображення дійсних чисел як тривіальні перекодування канторівських (нега$-s-$кові $-$ перекодування $s$-кових)
title_sort нега$-$канторівські зображення дійсних чисел як тривіальні перекодування канторівських (нега$-s-$кові $-$ перекодування $s$-кових)
url https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/413
work_keys_str_mv AT pracʹovitijmv negakantorívsʹkízobražennâdíjsnihčiselâktrivíalʹníperekoduvannâkantorívsʹkihnegaskovíperekoduvannâskovih

Схожі ресурси