Канторiвська система числення, пов'язана з двійковим рядом і послiдовністю Фiбоначчi
We study geometry of the Cantor notation generated by a sequence of bases $(s_n)$, where $s_n=2^{\varphi_n}$ and $(\varphi_n)$ is a classical Fibonacci sequence. We examine sets of Cantor type with zero and positive Lebesgue measure, in particular anomalously fractal ones.
Gespeichert in:
| Datum: | 2017 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2017
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/414 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552915566067712 |
|---|---|
| author | Бондаренко, О.І. Працьовитий, М.В. |
| author_facet | Бондаренко, О.І. Працьовитий, М.В. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "О.І. Бондаренко",
"institution": "НПУ імені М.П. Драгоманова"
},
{
"author": "М.В. Працьовитий",
"institution": "НПУ імені М.П. Драгоманова"
}
] |
| author_sort | Бондаренко, О.І. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-08-10T06:16:24Z |
| description | We study geometry of the Cantor notation generated by a sequence of bases $(s_n)$, where $s_n=2^{\varphi_n}$ and $(\varphi_n)$ is a classical Fibonacci sequence. We examine sets of Cantor type with zero and positive Lebesgue measure, in particular anomalously fractal ones. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:07:01Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2017, т. 14, № 4, 178–187
УДК 517.5
О. I. Бондаренко1, М.В. Працьовитий2
1НПУ iменi М.П. Драгоманова, Київ; omar2011@meta.ua
2 НПУ iменi М.П. Драгоманова, Iнститут математики НАН
України, Київ; prats4444@gmail.com
Канторiвська система числення,
пов’язана з двiйковим рядом i
послiдовнiстю Фiбоначчi
We study geometry of the Cantor notation generated by a sequence of
bases (sn), where sn = 2ϕn and (ϕn) is a classical Fibonacci sequence.
We examine sets of Cantor type with zero and positive Lebesgue
measure, in particular anomalously fractal ones.
Key words: Cantor notation, Fibonacci sequence, binary series,
geometry of representation, classical binary number system.
У роботi вивчається геометрiя канторiвської системи числення,
породженої послiдовнiстю основ (sn), де sn = 2ϕn , (ϕn) – класична
послiдовнiсть Фiбоначчi. Розглядаються множини канторiвсько-
го типу з нульовою й додатною мiрою Лебега, зокрема аномально
фрактальнi.
Ключовi слова: канторiвська система числення, послiдовнiсть
Фiбоначчi, двiйковий ряд, геометрiя зображення, класична двiй-
кова система числення.
c© О. I. Бондаренко, М. В. Працьовитий, 2017
Канторiвська система числення 179
Вступ
Сьогоднi в математицi широко застосовуються рiзнi представле-
ння (зображення) чисел зi скiнченним i нескiнченним, сталим i
змiнним алфавiтом, iз натуральною, цiлою вiд’ємною, рацiональ-
ною та iррацiональною основами тощо. Це s-ковi й нега-s-ковi
розклади, ланцюговi дроби, розклади чисел в ряди Кантора, Лю-
рота, Енгеля, Сiльвестера, Остроградського-Серпiнського-Пiрса,
Q – представлення тощо.
Їхнiм застосуванням передують ґрунтовнi вивчення геометрiї
зображень. Канторiвськi системи числення є узагальненням кла-
сичної s-кової системи, яка була покладена в основу першої змi-
стовної теорiї дiйсних чисел (теорiя Веєрштрасса). Така система
в якостi базисної послiдовностi використовує добутки елемен-
тiв наперед заданої послiдовностi натуральних чисел, бiльших
за 1. Це обумовлює тополого-метричнi властивостi зображення,
якi продукують властивостi математичних об’єктiв, означених у
термiнах таких зображень.
Канторiвськi системи числення не мають такого поширення
як s-ковi системи, але останнiм часом їхня роль почала суттє-
во переусвiдомлюватись. У першу чергу завдяки задачам фра-
ктальної геометрiї, фрактального аналiзу, теорiї динамiчних си-
стем. Використовуються вони також у метричнiй i ймовiрнiснiй
теорiї чисел, зокрема, в теорiї сингулярних розподiлiв випадко-
вих величин тощо.
У цiй роботi ми концентруємо увагу на однiй iз канторiвських
систем, пов’язанiй з двiйковою системою числення i класичною
послiдовнiстю Фiбоначчi.
1. Постановка задачi
Розглядається представлення чисел x ∈ [0; 1] рядами Кантора:
x =
α1
s1
+
α2
s1s2
+ · · ·+ αn
s1s2 . . . sn
+ . . . ≡ 4(sn)
α1α2...αn..., (1)
180 О. I. Бондаренко, М.В. Працьовитий
що визначається класичною послiдовнiстю Фiбоначчi:
ϕ1 = 1, ϕ2 = 1, . . . , ϕn+2 = ϕn + ϕn+1, n ∈ N, (2)
загальний член якої виражається вiдомою формулою Бiне:
ϕn =
1√
5
[(
1 +
√
5
2
)n
−
(
1−
√
5
2
)n]
, (3)
а саме: sn = 2ϕn ,
x =
c1
21
+
c2
21 · 21
+
c3
22 · 22
+
c4
24 · 23
+ · · ·+ cn
2ϕn+1−1 · 2ϕn
+ · · · =
=
∞∑
n=1
cn
2ϕn+2−1 ≡ 4c1c2... cn..., (4)
де cn ∈ {0, 1, . . . , 2ϕn−1} ≡ An.
Формальний (скорочений) запис4c1c2... cn... ряду (4) i його су-
ми — числа x називатимемо їхнiм 4 - зображенням. Тодi послi-
довнiсть (cn) з 4 - зображення 4c1c2... cn... числа x є елементом
простору L = A1 ×A2 × . . .×An × . . . - елементiв послiдовностi
алфавiтiв (An) i ї ї кодом у цьому просторi.
Добре вiдомо, що бiльшiсть чисел має єдине 4-зображення i
лише злiченна множина чисел має їх два, а саме:
4(sn)
c1c2... cn(0)
= 4(sn)
c1c2... cn... [sn−1][sn+1−1][sn+2−1]....
2. Зв’язок4 - зображення числа з його кла-
сичним двiйковим зображенням
Зосередимо свою увагу на 4 - зображеннi числа x. Як буде по-
казано далi, це зображення має тiсний зв’язок з класичним двiй-
ковим зображенням, а тому має деякi свої технiчнi переваги.
Канторiвська система числення 181
Лема 1. Якщо ∆c1c2...cn... — ∆-зображення числа x ∈ [0; 1], тоб-
то
x =
c1
21
+
c2
21 · 21
+
c3
22 · 22
+
c4
24 · 23
+ · · ·+ cn
2ϕn+1−1 · 2ϕn
+ . . . ,
то його класичне двiйкове зображення має вигляд:
∆2
α1α2...αn... =
α1
2
+
α2
22
+
α3
23
+
α4
24
+ . . .+
αn
2n
+ . . . , де αn ∈ {0, 1},
причому
c1 = α1, c2 = α2,
c3 = 2 · α3 + α4, c4 = 22 · α5 + 2 · α6 + α7, . . . ,
cn = 2ϕn−1·αϕn+1+2ϕn−2·αϕn+1+1+. . .+21·αϕn+1+ϕn−2+20·αϕn+2−1.
Доведення. Оскiльки cn ∈ An, то його можна подати у виглядi:
cn = 2ϕn−1·αϕn+1+2ϕn−2·αϕn+1+1+. . .+21·αϕn+1+ϕn−2+20·αϕn+2−1,
причому це можна зробити єдиним чином. Тодi, подавши дрiб
2ϕn−1 · αϕn+1 + 2ϕn−2 · αϕn+1+1
2ϕn+1−1 · 2ϕn
+ . . .+
+
+21 · αϕn+1+ϕn−2 + 20 · αϕn+2−1
2ϕn+1−1 · 2ϕn
у виглядi суми ϕn доданкiв
2ϕn−1 · αϕn+1
2ϕn+1−1 · 2ϕn
=
αϕn+1
2ϕn+1
,
2ϕn−2 · αϕn+1+1
2ϕn+1−1 · 2ϕn
=
αϕn+1+1
2ϕn+1+1
, . . . ,
21 · αϕn+1+ϕn−2
2ϕn+1−1 · 2ϕn
=
αϕn+1+ϕn−2
2ϕn+1+ϕn−2 ,
20 · αϕn+2−1
2ϕn+1−1 · 2ϕn
=
αϕn+2−1
2ϕn+2−1 ,
отримаємо двiйкове зображення числа:
x =
α1
2
+
α2
22
+ · · ·+ αn
2n
+ · · ·+ = 42
α1α2...αn....
�
182 О. I. Бондаренко, М.В. Працьовитий
Лема 2. 4 - зображення числа x = 42
α1α2... αn... має вигляд
4c1c2... cn..., де
cn = 2ϕn−1·αϕn+1+2ϕn−2·αϕn+1+1+. . .+21·αϕn+1+ϕn−2+20·αϕn+2−1.
Доведення. Нехай є двiйкове зображення числа x ∈ [0; 1]:
∆2
α1α2...αn... =
α1
2
+
α2
22
+
α3
23
+
α4
24
+ . . .+
αn
2n
+ . . . , де αn ∈ {0, 1}.
Згрупуємо почленно, зведемо до спiльного знаменника, почи-
наючи з третього доданка i отримаємо:
x =
α1
2
+
α2
22
+
(α3
23
+
α4
24
)
+
(α5
25
+
α6
26
+
α7
27
)
+
+
(α8
28
+
α9
29
+
α10
210
+
α11
211
+
α12
212
)
+ . . . =
=
α1
2
+
α2
22
+
2 · α3 + α4
24
+
22·α5 + 2 · α6 + α7
27
+
+
24·α8 + 23·α9 + 22·α10 + 2 · α11 + α12
212
+ . . .+
+
2ϕn−1 · αϕn+1 + 2ϕn−2 · αϕn+1+1
2ϕn+1−1 · 2ϕn
+ . . .+
+
+21 · αϕn+1+ϕn−2 + 20 · αϕn+2−1
2ϕn+1−1 · 2ϕn
=
=
α1
21
+
α2
21 · 21
+
2 · α3 + α43
22 · 22
+
22·α5 + 2 · α6 + α7
24 · 23
+ · · ·+
+
2ϕn−1 · αϕn+1 + 2ϕn−2 · αϕn+1+1 + . . .+
2ϕn+1−1 · 2ϕn
·
·
+21 · αϕn+1+ϕn−2 + 20 · αϕn+2−1
2ϕn+1−1 · 2ϕn
,
ми отримуємо його 4 - зображення 4c1c2... cn..., де
cn = 2ϕn−1·αϕn+1+2ϕn−2·αϕn+1+1+. . .+21·αϕn+1+ϕn−2+20·αϕn+2−1.
�
Канторiвська система числення 183
3. Геометрiя 4 - зображення.
У кожнiй системi кодування (зображення) дiйсних чисел цифри
мають свiй геометричний змiст, наслiдком чого є iншi геометри-
чнi тлумачення рiзних вiдношень. Геометрiя зображення чисел
(позицiйна й метрична) в значнiй мiрi визначається властивостя-
ми цилiндрiв та хвостових множин.
Нагадаємо, що цилiндром рангу m iз основою c1c2cm, що вiд-
повiдає даному зображенню чисел, називається множина:
4c1c2...cm ≡ {x : x = 4c1c2...cmum+1um+2..., um+k ∈ Asm+k
}, (5)
що є вiдрiзком [a; b] з кiнцями:
a =
m∑
i=1
c1
2ϕi+1−1
, b = a+
1
2ϕm+2−1 .
Традицiйно означивши цилiндри рiвнiстю (5), можна ґрун-
товно конкретизувати геометрiю 4 - зображення чисел (геоме-
тричний змiст цифр, властивостi цилiндричних, напiвцилiндри-
чних i хвостових множин). Її частково розкривають такi метри-
чнi спiввiдношення:
1) довжина цилiндра
| 4c1c2...cm | =
1
s1s2 . . . sm
=
1
2ϕ1 · 2ϕ2 · · · · · 2ϕm
=
=
1
2ϕ1+ϕ2+···+ϕm
=
1
2ϕm+2−1 ,
2) основне метричне вiдношення
|4c1c2...cm | = sm+1·| 4c1c2...cmc | = (2ϕ1 ·2ϕ2 ·· · ··2ϕm+1)·| 4c1c2...cmc | =
= 2ϕ1+ϕ2+...+ϕm+1 |∆c1c2...cmc| = 2ϕm+2 |∆c1c2...cmc|.
184 О. I. Бондаренко, М.В. Працьовитий
4. Метричнi задачi
Теорема 3. Множина
C ≡ C[4; 1̄] = {x : x = 4c1c2...cn..., cn 6= 1}
є нiде не щiльною, досконалою множиною додатної мiри Лебега,
яка дорiвнює
λ(C) =
∞∏
n=1
(
1− 1
2ϕn
)
> 0. (6)
Доведення. Нiде не щiльнiсть множини C є наслiдком того, що
цилiндр ∆c1c2...cm мiстить iнтервал
∇c1c2...cm1 ≡ (∆c1c2...cm1(0); ∆c1c2...cm1(1)),
у якому немає точок множини C.
Досконалiсть (замкненiсть, вiдсутнiсть iзольованих точок) об-
грунтовується стандартним способом (як i для всiх неперервних
кодувань дiйсних чисел). Нехай F0 ≡ [0; 1], Fk - об’єднання всiх
цилiндрiв рангу k, серед внутрiшнiх точок яких є точки множини
C[4; 1̄], тобто ⋃
c1 6=1
· · ·
⋃
ck 6=1
4c1c2...ck ,
F k+1 = Fk\Fk+1. Тодi маємо
F0 ⊃ F1 · · · ⊃ Fk ⊃ Fk+1 ⊃ . . . i C[4; 1̄] ⊂ Fk при ∀k ∈ N.
Тому λ(C[4; 1̄]) ≤ λ(Fk) i бiльше того, оскiльки
C[4; 1̄] = lim
k→∞
Fk =
∞⋂
k=1
Fk,
то
λ(C[4; 1̄]) = lim
k→∞
λ(Fk) = lim
k→∞
k∏
m=1
λ(Fm)
λ(Fm−1)
=
∞∏
k=1
λ(Fk)
λ(Fk−1)
.
Канторiвська система числення 185
Враховуючи, що Fk+1 = Fk\F k+1, отримуємо
λ(C[4; 1̄]) =
∞∏
k=1
λ(Fk−1)− λ(F k)
λ(Fk−1)
=
∞∏
k=1
(
1− λ(F k)
λ(Fk−1)
)
.
Але λ(Fk)
λ(Fk−1)
= 1
2ϕk . Тому має мiсце рiвнiсть (6). Оскiльки ж ряд
∞∑
k=1
1
2ϕk є збiжним, то збiжним є i нескiнченний добуток (6). �
Теорема 4. Мiра Лебега множини
C ≡ C[4;Vn] = {x : x = 4c1c2...cn..., cn ∈ Vn ⊂ An} (7)
обчислюється за формулою
λ(C) =
∞∏
n=1
(1− |An \ Vn|
2ϕn
). (8)
Доведення. Мiркування, якi використовувалися при доведеннi
попередньої теореми, приводять до формули
λ(C) =
∞∏
(1− λ(Fk)
λ(Fk−1)
),
в даному випадку λ(Fk)
λ(Fk−1)
= |Ak\Vk|
2ϕk . Тому виконується рiв-
нiсть (8). �
Наслiдок. Множина C, означена рiвнiстю (7), є нуль-
множиною Лебега тодi i тiльки тодi, коли
∞∑
n=1
|An \ Vn|
2ϕn
=∞.
Теорема 5. Множина
C1 ≡ C[4;Vn] = {x : x = 4c1c2...cn..., cn ∈ Vn = {0, 2ϕn − 1}}.
є досконалою аномально фрактальною множиною.
186 О. I. Бондаренко, М.В. Працьовитий
Доведення. Досконалiсть множини C1 є очевидною. Скориста-
ємося критерiєм аномальної фрактальностi досконалої множи-
ни [4]. Оскiльки множину C1 можна покрити 2-ма цилiндрами
рангу k, кожен iз яких має довжину 1
2ϕk+2−1 , то α-об’єм цього
покриття виражається
lαk = 2k ·
(
1
2ϕk+2−1
)α
=
[
2
2α·
ϕk+2−1
k
]k
.
Тодi для будь-якого α, маємо lαk → 0 при k → ∞, тобто мiра
Гаусдорфа множини C дорiвнює нулю при будь-якому α > 0, що
засвiдчує аномальну фрактальнiсть множини C. �
5. Висновки.
Наявнiсть рiзних систем зображення чисел розширює можливо-
стi конструювання й моделювання математичних об’єктiв напе-
ред заданими властивостями, а також допомагає обминути про-
блеми ефективного їхнього аналiтичного задання. В континуаль-
нiй сiм’ї канторiвських систем числення окремi мають не тiльки
свою специфiку, а й власнi суттєвi метричнi переваги перед iн-
шими. До таких належить система, яку ми вивчаємо.
Лiтература
[1] Працьовитий М. В. Геометрiя класичного двiйкового зображення
дiйсних чисел. – Київ: Вид-во НПУ iменi М. П. Драгоманова. –
2012. – 4, № 2. – С. 68.
[2] Працьовитий М. В. Системи числення зi змiнною основою
та змiнним алфавiтом (або розвинення чисел в ряди Канто-
ра) // Студентськi фiзико-математичнi етюди. – Київ: Вид-во
НПУ iменi М. П.Драгоманова. – 2009. – 10, № 8. – С. 6-18.
[3] Ралко Ю. В. Зображення чисел рядами Кантора та деякi його
застосування // Науковий часопис НПУ iменi М. П. Драгомано-
Канторiвська система числення 187
ва. Серiя 1. Фiзико-математичнi науки. – Київ: Вид-во НПУ iменi
М. П. Драгоманова. – 2009. – 10, № 10. – С. 132-140.
[4] Працьовитий М. В. Фрактальний пiдхiд у дослiдженнях сингу-
лярних розподiлiв. —Київ: Вид-во НПУ iменi М. П. Драгомано-
ва. – 1998. – 296 с.
[5] Воробьев Н. Н. Числа Фибоначчи. Москва: Наука. – 2013. – 68 с.
[6] Cantor G. Uber die einfachen Zahlensysteme // Z. Math. Phys. –
1869. – 10, Bd. 14. – P. 121-128.
[7] Працьовитий М. В., Гетьман Б. I. Ряди Енгеля та їх застосува-
ння // Науковий часопис НПУ iменi М. П. Драгоманова. Серiя 1.
Фiзико–математичнi науки. – Київ: Вид-во НПУ iменi М. П. Дра-
гоманова. – 2006. – 10, № 7. – С. 105-116.
[8] Працьовита I. М. Про розклади чисел в знакозмiннi s-адичнi ряди
i ряди Остроградського 1-го та 2-го виду // Український матема-
тичний журнал. – 2009. – 61. – 10, № 7. – С. 958-968.
[9] Працьовита I. М. Ряди Остроградського 2-го виду i розподiли їх
випадкових неповних сум // Науковий часопис НПУ iменi М.П.
Драгоманова. Серiя 1. Фiзико-математичнi науки. - Київ: Вид-во
НПУ iменi М. П. Драгоманова. – 2006. – 10, № 7. – С. 174-189.
[10] Турбин А. Ф., Працевитый Н. В. Фрактальные множества, фун-
кции, распределения. – К.: Наук. думка. – 1992. – 208 с.
[11] Galambos J. On some Properties of the Luroth-tipe alternating series
representations fer real numbers // Int. J. Math. Math. – 2001. – Sci.
28. – 10, № 6. – P. 367-373.
[12] Kalpazidou S., Knopfmacher A., Knopfmacher J. Luroth-type
alternating series representations for real numbers // Acta Arith. –
1990. – 10, Vol. 55. – P. 311-322.
[13] Galambos J. Some remarks on the Luroth expansion // Czechoslovak
Mathematical Journal. – 1990. – Vol. 22. – 10, № 2. – P. 266-271.
[14] Sylvester J. J. On a point in the theory of vulgar fractions // Amer.
Journal of Math. – 1880. – 10, № 3. – P. 332-335.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-414 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:07:01Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/70/a65a1d01ed0f3b8e905b040aac440270.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-4142020-08-10T06:16:24Z Канторiвська система числення, пов'язана з двійковим рядом і послiдовністю Фiбоначчi Бондаренко, О.І. Працьовитий, М.В. We study geometry of the Cantor notation generated by a sequence of bases $(s_n)$, where $s_n=2^{\varphi_n}$ and $(\varphi_n)$ is a classical Fibonacci sequence. We examine sets of Cantor type with zero and positive Lebesgue measure, in particular anomalously fractal ones. У роботі вивчається геометрія канторівської системи числення, породженої послідовністю основ $(s_n)$, де $s_n=2^{\varphi_n}$, $(\varphi_n)$ -- класична послідовність Фібоначчі. Розглядаються множини канторівського типу з нульовою й додатною мірою Лебега, зокрема аномально фрактальні. Інститут математики НАН України 2017-12-26 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/414 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 14 No. 4 (2017): Фрактальний аналіз та суміжні питання; 178-187 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 14 № 4 (2017): Фрактальний аналіз та суміжні питання; 178-187 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 14 № 4 (2017): Фрактальний аналіз та суміжні питання; 178-187 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/414/410 Авторське право (c) 2017 О.І. Бондаренко, М.В. Працьовитий http://creativecommons.org/licenses/by/4.0 |
| spellingShingle | Бондаренко, О.І. Працьовитий, М.В. Канторiвська система числення, пов'язана з двійковим рядом і послiдовністю Фiбоначчi |
| title | Канторiвська система числення, пов'язана з двійковим рядом і послiдовністю Фiбоначчi |
| title_full | Канторiвська система числення, пов'язана з двійковим рядом і послiдовністю Фiбоначчi |
| title_fullStr | Канторiвська система числення, пов'язана з двійковим рядом і послiдовністю Фiбоначчi |
| title_full_unstemmed | Канторiвська система числення, пов'язана з двійковим рядом і послiдовністю Фiбоначчi |
| title_short | Канторiвська система числення, пов'язана з двійковим рядом і послiдовністю Фiбоначчi |
| title_sort | канторiвська система числення, пов'язана з двійковим рядом і послiдовністю фiбоначчi |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/414 |
| work_keys_str_mv | AT bondarenkooí kantorivsʹkasistemačislennâpov039âzanazdvíjkovimrâdomíposlidovnístûfibonačči AT pracʹovitijmv kantorivsʹkasistemačislennâpov039âzanazdvíjkovimrâdomíposlidovnístûfibonačči |