Eigenoscillations of composite shell "tapered cone -- circular cylinder"
A variational method for constructing an approximate solution of the spectral problem on the eigen non-symmetric oscillations of a shell of revolution constituted by cylindrical and tapered conical components is developed. A generalized functional with respect to the shell displacements is constr...
Збережено в:
| Дата: | 2020 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2020
|
| Онлайн доступ: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/420 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552919545413632 |
|---|---|
| author | Trotsenko, Yu. V. Троценко, Ю. В. Троценко, Ю. В. |
| author_facet | Trotsenko, Yu. V. Троценко, Ю. В. Троценко, Ю. В. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Ю. В. Троценко",
"institution": "IM Department 04"
}
] |
| author_sort | Trotsenko, Yu. V. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-08-09T15:01:39Z |
| description |
A variational method for constructing an approximate solution of the spectral problem on the eigen non-symmetric oscillations of a shell of revolution constituted by cylindrical and tapered conical components is developed. A generalized functional with respect to the shell displacements is constructed whose necessary extrema condition naturally provides all transmission con- ditions. To find the extrema of the functional, the Ritz method is used. The numerical results are compared with computations by other authors.
|
| first_indexed | 2026-08-04T01:07:05Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iнституту математики НАН України 2019, т. 16, № 2, 167–176
УДК 539.3
Собственные колебания составной
оболочки “усечённый конус –
цилиндр”
Ю.В. Троценко ⇤
Институт математики НАН Украины, Киев; trots@imath.kiev.ua
A variational method for constructing an approximate solution of the spec-
tral problem on the eigen non-symmetric oscillations of a shell of revolution
constituted by cylindrical and tapered conical components is developed. A
generalized functional with respect to the shell displacements is constructed
whose necessary extrema condition naturally provides all transmission con-
ditions. To find the extrema of the functional, the Ritz method is used.
The numerical results are compared with computations by other authors.
Розвинуто варiацiйний метод побудови наближеного розв’язку спе-
ктральної задачi про власнi неосесимтричнi коливання оболоноки обер-
тання, що складається з цилiндричної та зрiзаної конiчної оболонок.
Побудовано узагальнений функцiонал вiдносно перемiщень оболонки,
для якого умови спряження розв’язкiв для складених оболонок є при-
родними граничними умовами на спiльнiй границi. Для знаходження
стацiонарних значень функцiоналу використовується метод Рiтца. На-
ведено порiвняння отриманих розрахункiв iз даними iнших авторiв.
Тонкостенные конструкции в виде составных оболочек вращения
широко используются в различных областях машиностроения и стро-
ительства сооружений. Определение резонансных частот и форм ко-
лебаний составных оболочек вращения является первоочередной за-
дачей в общем комплексе исследований их динамического поведения.
Развитие вычислительной техники обеспечило возможность ши-
рокого внедрения в расчётную практику численных методов реше-
ния рассматриваемых задач. Для определения свободных колебаний
составных оболочек вращения может быть использован метод чис-
ленного интегрирования систем обыкновенных дифференциальных
⇤Работа выполнена при частичной поддержке НИР № 0112U001015
c� Троценко Ю. В., 2019
168 Троценко Ю. В.
уравнений с ортогонализацией решений в некоторых внутренних точ-
ках интервала интегрирования [1, 2]. При определении собственных
частот колебаний этим методом приходится многократно решать кра-
евые задачи, задаваясь значениями частот в опредёленном диапазоне.
При использовании метода конечных элементов (МКЭ) ширина
кольцевых конечных элементов, на которые делится оболочка враще-
ния, для обеспечения необходимой точности аппроксимации решений
должна быть выбрана достаточно малой [3]. В результате для удли-
ненных тонкостенных конструкций система уравнений МКЭ имеет
достаточно высокий порядок, что усложняет построение решения.
Применение МКЭ к расчёту колебаний составных оболочечных кон-
струкций изложено в работах [4, 5].
Поскольку определение собственных колебаний конструкции яв-
ляется базовой задачей при исследовании ее динамического поведе-
ния под воздействием нестационарной нагрузки, то при выборе мето-
да ее решения отдается преимущество методам, которые имеют ана-
литическую форму решения и обеспечивают гарантированную точ-
ность вычислений. Аналитическое решение задачи об определении
резонансных частот системы �усеченный конус – цилиндр� в рамках
уравнений теории оболочек Муштари – Доннелла – Власова и Флю-
ге предложено в работе [6]. Метод степенных рядов для вычисления
собственных частот сопряжённых оболочек вращения использован в
работе [7]. Применение метода Ритца к изучению колебаний состав-
ных оболочек не является тривиальной задачей, поскольку подсисте-
мы конструкции описываются разными уравнениями и выполнение
кинематических и силовых условий сопряжения на смежной границе
представляет собой сложную проблему.
Модифицированный вариационный метод для анализа колебаний
составных оболочек предложен в работах [8–10]. Метод базируется на
объединении вариационного принципа с методом наименьших квад-
ратов с подходящим выбором весовых коэффициентов. Для повыше-
ния точности решения задачи каждая оболочка, входящая в состав
конструкции, дополнительно разбивается на конечное число элемен-
тов.
Данная работа посвящена применению метода Ритца к определе-
нию собственных колебаний оболочечной системы “усечённый конус –
цилиндр” в рамках теории оболочек Муштари – Доннелла – Власова.
Рассмотрим неосесимметричные свободные колебания двух соос-
но расположенных тонкостенных оболочек вращения разной геомет-
Собственные колебания составной оболочки “усечённый конус . . . 169
рии, которые сопряжены между собой вдоль некоторой параллели.
Считается также, что элементы оболочечной системы выполнены из
изотропного материала с плотностью ⇢ и имеют постоянную толщи-
ну h. Упругие свойства оболочки характеризуются модулем Юнга E
и коэффициентом Пуассона ⌫. Будем предполагать, что составная
оболочка ограничена двумя параллелями L1 и L2. В качестве криво-
линейных координат для произвольной точки срединной поверхности
оболочки выберем длину дуги меридиана s, отсчитываемую от неко-
торой начальной параллели s = s1 и угол �, определяющий поло-
жение точки на соответствующей параллели. Обозначим через R1 �
радиус кривизны меридиана, а через r = r(s) � расстояние от точ-
ки меридиана до оси вращения. Второй радиус кривизны R2 равен
длине отрезка нормали к срединной поверхности от этой поверхности
к оси вращения оболочки. Проекции перемещения точек срединной
поверхности на положительные направления меридиана и паралле-
ли, а также внешнюю нормаль к поверхности оболочки обозначим
соответственно через u, v и w.
В дальнейшем будем пользоваться основными положениями тео-
рии тонких оболочек Муштари – Доннелла – Власова [11], которая
является наиболее простой и позволяет проводить расчеты для ря-
да оболочек с удовлетворительной точностью. При установившихся
гармонических колебаниях оболочки с частотой ! для асимметрич-
ной формы деформации ее срединной поверхности перемещения u, v
и w можно искать в следующем виде:
u(s,�, t) = u(s) cos(n�) expi!t, v(s,�, t) = v(s) sin(n�) expi!t,
w(s,�, t) = w(s) cos(n�) expi!t, n = 1, 2, . . .
(1)
где n � число волн упругой поверхности оболочки в окружном на-
правлении.
Введём в рассмотрение безразмерные величины (обозначенные чёр-
точкой сверху), которые связаны с соответствующими размерными
величинами следующим образом:
{T1, S, Q̃1 =
Eh
(1� ⌫2)
{T̄1, S̄,
¯̃Q1}; {M1, H} =
EhR0
(1� ⌫2)
{M̄1, H̄};
{u, v, w} = R0{ū, v̄, w̄}; �2 =
(1� ⌫2)⇢R2
0!
2
E
,
(2)
где T1, S и Q̃1 � меридиональная, сдвигающая и обобщённая по-
перечная сила; M1 и H � изгибающий и крутящий момент; R0 �
170 Троценко Ю. В.
некоторый характерный размер оболочки. В дальнейшем черточку
над безразмерными величинами будем опускать.
Безразмерные усилия и моменты, действующие в срединной по-
верхности оболочки, связаны с ее перемещениями по следующим фор-
мулам:
T1 =
du
ds
+
w
R1
+ ⌫
✓
n
r
v +
r0
r
u+
w
R2
◆
;
M1 = �c2
d2w
ds2
+ ⌫
✓
r0
r
dw
ds
�
n2
r2
w
◆�
;
Q̃1 = �c2
d
ds
�w �
(1� ⌫)n2
r2
✓
dw
ds
�
r0
r
w
◆�
;
�w =
1
r
d
ds
✓
r
dw
ds
◆
�
n2
r2
w; c2 =
h2
12R2
0
;
H = c2(1� ⌫)
✓
n
r
dw
ds
�
r0n
r2
w
◆
; S =
1� ⌫
2
✓
dv
ds
�
r0
r
v �
n
r
u
◆
.
(3)
Определение вектор-функций ~u(k) = {u(k), v(k), w(k)
}
T
и частот
свободных колебаний составной оболочки сводится к интегрированию
двух однородных систем обыкновенных дифференциальных уравне-
ний восьмого порядка с переменными коэффициентами:
T(k)(~u(k)) = A(k)~u(k)
� �2~u(k) = 0, (k = 1, 2), (4)
где
A(k) =
0
BB@
L(k)
11 L(k)
12 L(k)
13
L(k)
21 L(k)
22 L(k)
23
L(k)
31 L(k)
32 L(k)
33
1
CCA .
Явные выражения для дифференциальных операторов L(k)
ij (k =
1, 2; i, j = 1, 2, 3) приведены в работе [11].
Здесь и в дальнейшем верхний индекс k = 1, 2 при функциях и опе-
раторах обозначает соответствующие величины, относящиеся к пер-
вой или второй оболочке. Системы уравнений (4) при k = 1 и k = 2
имеют одинаковую структуру и отличаются друг от друга только
коэффициентами. Первой оболочке соответствует область изменения
независимой переменной s G(1) = [s1, s0], а второй � G(2) = [s0, s2].
Собственные колебания составной оболочки “усечённый конус . . . 171
К уравнениям (4) следует добавить граничные условия, выража-
ющие условия закрепления торцов составной оболочки. Помимо этих
условий необходимо еще выполнить условия сопряжения решений на
смежной границе первой и второй оболочки. При формулировании
этих условий необходимо учитывать, что силы и перемещения для
разных частей составной оболочки рассчитываются в локальных си-
стемах координат. Наиболее простые условия сопряжения можно по-
лучить на основе проектирования ортов первой оболочки на орты
второй оболочки. При этом условия сопряжения при s = s0 для пе-
ремещений оболочки примут вид:
u(2) = u(1) cos � w(1) sin ; w(2) = u(1) sin + w(1) cos ;
v(2) = v(1);
dw(2)
ds
=
dw(1)
ds
.
(5)
В свою очередь, силовые условия сопряжения при s = s0 можно
записать так:
T (2)
1 = T (1)
1 cos � Q̃(1)
1 sin ; Q̃(2)
1 = T (1)
1 sin + Q̃(1)
1 cos ;
S(2) = S(1); M (2)
1 = M (1)
1 ,
(6)
где = ✓(2)(s0) � ✓(1)(s0); ✓(1)(s0) и ✓(2)(s0) � углы, образованные
нормалью к срединной поверхности и осью вращения первой и второй
оболочки в точке s = s0 соответственно.
Таким образом, при решении задачи о собственных колебаниях
составных оболочек помимо граничных условий на торцах необходи-
мо выполнить еще восемь достаточно сложных условий сопряжения
(5) и (6).
Далее предлагается приближенный метод решения рассматривае-
мой задачи, который базируется на ее эквивалентной вариационной
формулировке. Этот метод ранее успешно был применён при реше-
нии одномерных и двумерных задач сопряжения [12], [13].
Для определённости будем считать, что при s = s1 торец оболочки
свободен и при s = s2 � жёстко закреплён. Тогда граничные условия
примут вид:
✓
u = v = w =
dw
ds
◆
s=s2
= 0, (7)
(T1 = S = Q̃1 = M1)s=s1 = 0. (8)
172 Троценко Ю. В.
Вариационную формулировку исходной спектральной задачи мож-
но получить из принципа возможных перемещений Лагранжа в со-
четании с принципом Д’Аламбера. В результате задача сводится к
отысканию стационарных значений для функционала I(~u)
I(~u) =
2X
k=1
Z
G(k)
F (k)(~u(k))dG(k)
(9)
на классе функций, подчинённых граничным условиям (5) � (8).
Приравнивая вариацию функционала (9) к нулю, получим вари-
ационное уравнение для определения функций ~u(k)
в областях ~G(k)
.
В силу произвольности варьирования функций ~u(k)
в областях ~G(k)
и на границе при s = s1 из этого уравнения следует, что в пределах
каждой из введённых подобластей должны выполняться уравнения
(4) и граничные условия (8) при s = s1.
Если предположить, что класс допустимых функций подчинён ки-
нематическим условиям сопряжения (5) при s = s0, то можно пока-
зать, что условия (6) являются естественными граничными услови-
ями для функционала (9). Таким образом, при применении метода
Ритца для решения вариационного уравнения �I = 0 аппроксимации
для функций u(k)
, v(k) и w(k)
должны выбираться таким образом,
чтобы они обеспечивали выполнение условий (5), что представляет
собой в общем случае достаточно сложную самостоятельную задачу.
Избежать этой трудности возможно, если сформулировать такой
обобщенный функционал, для которого граничные условия (5) бу-
дут естественными граничными условиями. В соответствии с мето-
дикой, представленной в работе [12], этот обобщенный функционал
⇧(~u) можно представить в виде
⇧(~u) = I(~u) +�I, (10)
где
�I = �
1
2
�
T (1)
1 cos �Q(1)
1 sin + T (2)
1
��
u(1) cos � w(1) sin � u(2)
�
+
+
�
S(1) + S(2)
��
v(1) � v(2)
�
�
�
M (1)
1 +M (2)
1
�✓dw(1)
ds
�
dw(2)
ds
◆
+
+
�
Q(1)
1 cos + T (1)
1 sin +Q(2)
1
��
u(1) sin + w(1) cos � w(2)
��
s=s0
.
Собственные колебания составной оболочки “усечённый конус . . . 173
Граничные условия (5), (6) и (8) являются естественными гранич-
ными условиями для функционала ⇧(~u), так как они автоматически
выполняются для функций, доставляющих ему стационарные значе-
ния.
Сформулированный обобщенный функционал позволяет прово-
дить независимое варьирование функций u(k)(s), v(k)(s) и w(k)(s) в
подобластях G(k) (k = 1, 2). В соответствии с методом Ритца пред-
ставим искомые функции в виде следующих отрезков обобщённых
рядов:
u(k)(s) =
NX
j=1
a(k)j U (k)
j (s);
v(k)(s) =
NX
j=1
b(k)j V (k)
j (s);
w(k)(s) =
NX
j=1
c(k)j W (k)
j (s).
(11)
Здесь a(k)j , b(k)j и c(k)j (k = 1, 2) � произвольные постоянные, подле-
жащие определению в дальнейшем, {U (k)
j (s), V (k)
j (s),W (k)
j (s)} � си-
стемы координатных функций, которые определены в подобластях
G(k)
.
При принятых выше условиях закрепления торцов составной обо-
лочки, системы координатных функций, удовлетворяющих главным
граничным условиям задачи (7), примут вид:
U (1)
j = V (1)
j = W (1)
j = Pj(y); y =
2s
s0 � s1
�
s1 + s0
s0 � s1
,
U (2)
j = V (2)
j = (s2 � s)Pj(x);
W (2)
j = (s2 � s)2Pj(x); x =
2(s� s2)
s2 � s0
+ 1,
(12)
где Pj(z) � смещённые на единицу по индексу j многочлены Лежанд-
ра.
Вычисление многочленов Лежандра и их производных можно про-
водить с помощью известных рекуррентных соотношений. Введённые
системы базисных функций являются линейно независимыми и пол-
174 Троценко Ю. В.
ными системами функций, и они обеспечивают устойчивость вычис-
лительного процесса при большом числе членов N в разложениях
(11).
Из условий стационарности обобщённого функционала получаем
однородную систему алгебраических уравнений
(A� �2B) ~XT = 0, (13)
где
~X =
n
a(1)1 , . . . , a(1)N , b(1)1 , . . . , b(1)N , c(1)1 , . . . , c(1)N ,
a(2)1 , . . . , a(2)N , b(2)1 , . . . , b(2)N , c(2)1 , . . . , c(2)N
o
.
Приведём результаты расчётов частот конкретной составной обо-
лочки по предложенному выше алгоритму.
Рассмотрим конструкцию, состоящую из усечённой конической
оболочки и соосно сопряжённой с ней цилиндрической оболочкой.
Пусть l2 и R0 � длина и радиус цилиндрической оболочки, а r0 и
↵ � радиус срезанного торца и угол полураствора конической обо-
лочки. В качестве характерного линейного размера выберем радиус
цилиндрической оболочки R0. Коэффициент Пуассона ⌫ = 0.3.
Выберем следующие безразмерные геометрические параметры кон-
струкции: l2 = 1; r0 = 0.4226; ↵ = 30� и R0/h = 100.
Расчетные данные для первых шести значений частотного пара-
метра �i, (i = 1, 6) при различных числах волн n оболочки в окруж-
ном направлении представлены в таблице 1, полученные на основа-
нии предложенного алгоритма (первая строка) и с использованием
уточнённых теорий тонких оболочек (вторая строка [7], третья стро-
ка [6]). Напомним, что в работе [7] использована теория Рейсснера –
Нагди, тогда как в работе [6] – теория оболочек Флюгге.
В целом наблюдается небольшая разница между результатами,
полученными на основании уравнений Рейсснера – Нагди и Флюг-
ге. Уравнения Муштари – Доннелла – Власова дают менее точные
результаты в области низших частот. Различие в результатах может
быть объяснено различными теориями оболочек и подходами к ре-
шению рассматриваемых задач. При расчётах в настоящей работе
выбиралось такое количество членов в разложениях (11), которое
гарантированно обеспечивает получение четырех значащих цифр в
частотах.
Собственные колебания составной оболочки “усечённый конус . . . 175
�1 �2 �3 �4 �5 �6
n = 1
.2929 .6359 .8115 .9316 .9522 .9922
.2929 .6358 .8115 .9316 .9522 .9922
.2934 .6368 .8114 .9315 .9521 .9919
n = 2
.1023 .5030 .6915 .8592 .9161 .9608
.1000 .5027 .6913 .8591 .9159 .9604
.1000 .5028 .6914 .8590 .9159 .9604
n = 3
.0942 .3924 .5154 .7538 .7971 .9198
.0876 .3916 .5145 .7534 .7966 .9196
.0873 .3915 .5144 .7533 .7966 .9194
n = 4
.1508 .3322 .3980 .6480 .6936 .8721
.1446 .3304 .3956 .6467 .6928 .8718
.1445 .3304 .3955 .6465 .6927 .8715
n = 5
.2039 .2972 .3766 .5821 .6148 .8200
.1995 .2960 .3709 .5798 .6134 .8180
.1995 .2959 .3707 .5796 .6132 .8180
Таблица 1. Значения первых шести частот колебаний оболочки �i при
различных числах волн n в окружном направлении, рассчитанных по пред-
ложенному алгоритму (первая строка) и по уточненным теориям оболочек
(вторая строка [7], третья строка [6]).
Предлагаемый подход к решению спектральных задач для сопря-
жённых оболочек может быть использован с учётом уточнённых тео-
рий тонких оболочек.
[1] Григоренко Я.М., Беспалова Е.И., Китайгородский А.Б., Шинкарь
А.И. Свободные колебания элементов оболочечных конструкций. �
К.: Наук. думка, 1986. � 172 с.
[2] Кармишин А.В., Лясковец В.А., Мяченков В.И., Фролов А.Н. Статика
и динамика тонкостенных оболочечных конструкций. � М.: Машино-
строение. � 1975. � 375 с.
176 Троценко Ю. В.
[3] Вольмир А.С., Куранов Б.А., Турбаивский А.Т. Статика и динамика
сложных структур. Прикладные многоуровневые методы исследова-
ний � М.: Машиностроение. � 1989. � 247 с.
[4] Benjeddon A. Vibrations of complex shells of revolution using B-spline
finite elements // Comput. Struct. � 2000. � 74. � P. 429 – 440.
[5] Sivadas K.R., Ganesan N. Free vibration analysis of combined and stiffened
shells // Comput. struct. � 1993. � 46. � P. 537 – 546.
[6] Caresta M., Kessissoglou N.J. Free vibrational characteristics of isotropic
coupled cylindrical - conical shells // J. Sound and Vibr. � 2010. � 329. �
P. 733 – 751.
[7] Etraim E., Eisenberger M. Exact vibration frequencies of segmented
axisymmetric shells // Thin-Walled Struct. � 2006. � 44. � P. 281 –
289.
[8] Qu Y.G., Chen Y., Long X.H., Hua H.X., Meng G. A modified variational
approach for vibration analysis of ring-stiffened conical-cylindrical shell
combinations // European Journal of Mechanics A/Solids. � 2013. �
37. � P. 200 – 215.
[9] Wu S., Qu Y., Hua H. Vibration characteristics of a spherical-cylindrical-
spherical shell a domain decomposition method // Mechanics Research
Communications. � 2013. � 49. � P. 17 – 26.
[10] Qu Y.G., Chen Y., Long X.H., Hua H.X., Meng G. A variational method
for free vibration analysis of joined cylindrical-conical shells // Journal of
Vibration and Control. � 2013. � 19(16). � P. 2319 – 2334.
[11] Leissa A. Vibrations of shells. � Acoustical Society of America. � 1993. �
428 p.
[12] Trotsenko V.A., Trotsenko Yu.V. Nonaxisymmetric vibrations of shell
of revolution partially filled with liquid // Journal of Mathematical
Sciences. � 2017. � 220(3). � P. 341 – 358.
[13] Trotsenko Yu.V. Determination of the frequencies and modes of natural
oscillations of liquids in composed vessels // Journal of Mathematical
Sciences. � 2016. � 215(3). � P. 395 – 407.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-420 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Russian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:07:05Z |
| publishDate | 2020 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/8f/d3201ef74073b56de7f54e72f06b4e8f.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-4202020-08-09T15:01:39Z Eigenoscillations of composite shell "tapered cone -- circular cylinder" Собственные колебания составной оболочки “усечённый конус – цилиндр” Власні коливання складеної оболонки "Усічений конус -- циліндр" Trotsenko, Yu. V. Троценко, Ю. В. Троценко, Ю. В. A variational method for constructing an approximate solution of the spectral problem on the eigen non-symmetric oscillations of a shell of revolution constituted by cylindrical and tapered conical components is developed. A generalized functional with respect to the shell displacements is constructed whose necessary extrema condition naturally provides all transmission con- ditions. To find the extrema of the functional, the Ritz method is used. The numerical results are compared with computations by other authors. Розвинуто варiацiйний метод побудови наближеного розв’язку спектральної задачi про власнi неосесимтричнi коливання оболоноки обертання, що складається з цилiндричної та зрiзаної конiчної оболонок. Побудовано узагальнений функцiонал вiдносно перемiщень оболонки, для якого умови спряження розв’язкiв для складених оболонок є при- родними граничними умовами на спiльнiй границi. Для знаходження стацiонарних значень функцiоналу використовується метод Рiтца. Наведено порiвняння отриманих розрахункiв iз даними iнших авторiв. Розвинуто варiацiйний метод побудови наближеного розв’язку спектральної задачi про власнi неосесимтричнi коливання оболоноки обертання, що складається з цилiндричної та зрiзаної конiчної оболонок. Побудовано узагальнений функцiонал вiдносно перемiщень оболонки, для якого умови спряження розв’язкiв для складених оболонок є при- родними граничними умовами на спiльнiй границi. Для знаходження стацiонарних значень функцiоналу використовується метод Рiтца. Наведено порiвняння отриманих розрахункiв iз даними iнших авторiв. Інститут математики НАН України 2020-08-09 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/420 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 16 No. 2 (2019): Mathematical problems of mechanics and computational mathematics; 167-176 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 16 № 2 (2019): Математические проблеми механики и вычислительной математики; 167-176 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 16 № 2 (2019): Математичні проблеми механіки та обчислювальної математики; 167-176 3083-7529 1815-2910 ru https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/420/417 Авторське право (c) 2020 Ю. В. Троценко http://creativecommons.org/licenses/by/4.0 |
| spellingShingle | Trotsenko, Yu. V. Троценко, Ю. В. Троценко, Ю. В. Eigenoscillations of composite shell "tapered cone -- circular cylinder" |
| title | Eigenoscillations of composite shell "tapered cone -- circular cylinder" |
| title_alt | Собственные колебания составной оболочки “усечённый конус – цилиндр” Власні коливання складеної оболонки "Усічений конус -- циліндр" |
| title_full | Eigenoscillations of composite shell "tapered cone -- circular cylinder" |
| title_fullStr | Eigenoscillations of composite shell "tapered cone -- circular cylinder" |
| title_full_unstemmed | Eigenoscillations of composite shell "tapered cone -- circular cylinder" |
| title_short | Eigenoscillations of composite shell "tapered cone -- circular cylinder" |
| title_sort | eigenoscillations of composite shell "tapered cone -- circular cylinder" |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/420 |
| work_keys_str_mv | AT trotsenkoyuv eigenoscillationsofcompositeshellquottaperedconecircularcylinderquot AT trocenkoûv eigenoscillationsofcompositeshellquottaperedconecircularcylinderquot AT trocenkoûv eigenoscillationsofcompositeshellquottaperedconecircularcylinderquot AT trotsenkoyuv sobstvennyekolebaniâsostavnojoboločkiusečënnyjkonuscilindr AT trocenkoûv sobstvennyekolebaniâsostavnojoboločkiusečënnyjkonuscilindr AT trocenkoûv sobstvennyekolebaniâsostavnojoboločkiusečënnyjkonuscilindr AT trotsenkoyuv vlasníkolivannâskladenoíobolonkiquotusíčenijkonuscilíndrquot AT trocenkoûv vlasníkolivannâskladenoíobolonkiquotusíčenijkonuscilíndrquot AT trocenkoûv vlasníkolivannâskladenoíobolonkiquotusíčenijkonuscilíndrquot |