Damping of the limited perturbations in the system of the aircraft control when landing

A linear model of the aircraft control system in the landing mode is consid- ered in the presence of limited external perturbations. The method of lin- ear matrix inequalities is implemented in the generalized H∞-optimization problem in order to evaluate and reduce the influence of external and i...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2020
Автори:	Mazko, Відділ 04, Kusiy, S.I., Мазко, А.Г., Кусий, С.И., Мазко, О.Г., Кусій, С.І.
Формат:	Стаття
Мова:	Українська
Опубліковано:	Інститут математики НАН України 2020
Онлайн доступ:	https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/427
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine
Завантажити файл:

Репозитарії

Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine

_version_	1872552928915488768
author	Mazko, Відділ 04 Kusiy, S.I. Мазко, А.Г. Кусий, С.И. Мазко, О.Г. Кусій, С.І.
author_facet	Mazko, Відділ 04 Kusiy, S.I. Мазко, А.Г. Кусий, С.И. Мазко, О.Г. Кусій, С.І.
author_institution_txt_mv	[ { "author": "О.Г. Мазко", "institution": "Iнститут математики НАН України" }, { "author": "С.І. Кусій", "institution": "Iнститут математики НАН України" } ]
author_sort	Mazko, Відділ 04
baseUrl_str	https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai
collection	OJS
datestamp_date	2020-08-10T19:26:12Z
description	A linear model of the aircraft control system in the landing mode is consid- ered in the presence of limited external perturbations. The method of lin- ear matrix inequalities is implemented in the generalized H∞-optimization problem in order to evaluate and reduce the influence of external and ini- tial disturbances on qualitative characteristics of the system. In particular, influence of weight coefficients of the generalized quality criteria on the sta- bility factor and the transient process time of a closed system have been investigated.
first_indexed	2026-08-04T01:07:14Z
format	Article
fulltext	Збiрник праць Iнституту математики НАН України 2018, т. 15, № 1, 88–99 УДК 517.935;681.5 Зважене гасiння обмежених збурень у системi керування лiтака в режимi посадки ⇤ О.Г. Мазко, С.М. Кусiй Iнститут математики НАН України, Київ; mazko@imath.kiev.ua, sergii.kusii@gmail.com A linear model of the aircraft control system in the landing mode is consid- ered in the presence of limited external perturbations. The method of lin- ear matrix inequalities is implemented in the generalized H∞-optimization problem in order to evaluate and reduce the influence of external and ini- tial disturbances on qualitative characteristics of the system. In particular, influence of weight coefficients of the generalized quality criteria on the sta- bility factor and the transient process time of a closed system have been investigated. Розглянуто лiнiйну модель системи керування лiтака в режимi посад- ки за наявностi обмежених зовнiшнiх збурень. Реалiзовано методику лiнiйних матричних нерiвностей у узагальненiй задачi H∞-оптимiзацiї з метою оцiнки й пониження впливу зовнiшнiх i початкових збурень на якiснi характеристики системи. Зокрема, дослiджено вплив вагових коефiцiєнтiв узагальнених критерiїв якостi на запас стiйкостi й час пе- рехiдного процесу замкненої системи. 1 Вступ При моделюваннi сучасних систем керування складними об’єктами необхiдно враховувати невизначенi елементи (параметри, зовнiшнi збурення, неточностi вимiрювальних приладiв тощо). Для таких об’- єктiв першочерговими є задачi побудови статичних або динамiчних регуляторiв, що забезпечують робастну стiйкiсть станiв рiвноваги й пониження впливу зовнiшнiх збурень на динамiку керованих об’єктiв. Цi задачi можуть бути розв’язанi методами теорiї H1-оптимiзацiї або ∗Робота виконана за частковою пiдтримкою НДР № 0117U004077. c� Мазко О. Г., Кусiй С. М., 2018 Зважене гасiння обмежених збурень у системi керування лiта‌ . . . 89 методами iнварiантних елiпсоїдiв iз залученням апарату лiнiйних ма- тричних нерiвностей (ЛМН) (див., наприклад, [1–8]). Для цього ство- ренi достатньо ефективнi засоби LMI Toolbox комп’ютерної системи Matlab [9]. Мiрою впливу збурень, обмежених за L2-нормою, на динамiку лi- нiйних об’єктiв iз нульовим початковим вектором є максимальне зна- чення вiдношення L2-норм векторiв керованого виходу i входу (збу- рень), яке збiгається з H1-нормою матричної передатної функцiї си- стеми [1]. В [6, 10, 11] використовувалися загальнiшi критерiї якостi, якi враховують також вплив початкових збурень, обумовлених по- чатковим вектором. Введення вагових коефiцiєнтiв у узагальнених критерiях якостi дає можливiсть встановити прiоритети мiж компо- нентами виходу, зовнiшнiх i початкових збурень. У данiй роботi викладено деякi результати попереднiх дослiджень авторiв, присвячених розробцi методiв зваженої H1-оптимiзацiї си- стем керування, i їхнього застосування в задачi мiнiмiзацiї зваженого рiвня впливу зовнiшнiх i початкових збурень у системi керування лi- така на режимi посадки. Використовуватимемо такi позначення: • In � одинична матриця порядку n; • 0n⇥m � нульова матриця розмiрiв n⇥m; • X = X> > 0 (� 0) � додатно (невiд’ємно) визначена матриця X; • WA � матриця, стовпцi якої утворюють базис ядра матрицi A; • kxk � евклiдова норма вектора x; • kxkQ � зважена L2-норма вектор-функцiї x(t). 2 Лiнiйна модель системи керування лiтака з керованим i спостережуваним виходами Поздовжнiй рух керованого лiтального апарата з урахуванням зов- нiшнiх (вiтрових) збурень описується лiнiйною системою [12] ẋ = Ax+B1w +B2u, x(0) = x0, z = C1x+D11w +D12u, y = C2x+D21w +D22u, (1) де x 2 R n, u 2 R m, w 2 R s, z 2 R k i y 2 R l � вектори вiдповiдно стану, керування, зовнiшнiх збурень, керованого i спостережуваного виходiв, а всi матричнi коефiцiєнти вiдповiдних розмiрiв сталi. Тут n = 6, m = 2, s = 5, k = 4, l = 2, 90 Мазко О. Г., Кусiй С. М. а компоненти вiдповiдних векторiв такi: x1 � вiдхилення повiтряної швидкостi лiтака; x2 � вiдхилення кута нахилу траєкторiї у повiтрянiй системi ко- ординат; x3 � вiдхилення кутової швидкостi стосовно осi z; x4 � вiдхилення кута тангажа; x5 � вiдхилення висоти польоту лiтака; x6 � вiдхилення сили тяги двигунiв, напрям якої збiгається з пов- здовжньою вiссю лiтака; u1 � керування, що формує вiдхилення руля висоти; u2 � вiдхилення сектора газу вiд заданого значення; w1 � вертикальна складова швидкостi вiтру; w2 i w3 � вiдповiдно горизонтальна i вертикальна складовi при- скорення вiтру; w4 i w5 � похибки вимiрювання компонент вектора y, що забезпе- чує зворотний зв’язок у системi керування. Вектори керованого i спостережуваного виходiв мають вигляд z = 2 664 x1 x5 u1 u2 3 775 , y =  x1 + w4 x5 + w5 � . Керування у системi (1) шукатимемо у виглядi динамiчного регу- лятора порядку r  n з нульовим початковим вектором: ξ̇ = Zξ + V y, u = Uξ +Ky, ξ(0) = 0, (2) де ξ 2 R r � вектор стану регулятора, Z, V , U i K � невiдомi матри- цi вiдповiдних розмiрiв r ⇥ r, r ⇥ l, m ⇥ r i m ⇥ l. Основна функцiя регулятора � пiдтримувати робастну стiйкiсть i заданi значення ви- соти польоту й повiтряної швидкостi лiтака за наявностi обмежених невизначених зовнiшнiх i початкових збурень. 3 Оцiнка зважених критерiїв якостi За умови det(Im � KD22) 6= 0 замкнена система (1), (2) набуває ви- гляду ḃx = bA⇤bx+ bB⇤w, z = bC⇤bx+ bD⇤w, bx(0) = bx0, (3) Зважене гасiння обмежених збурень у системi керування лiта‌ . . . 91 де bx =  x ξ � , bA⇤ =  A+B2K0C2 B2U0 V0C2 Z0 � = bA+ bB2 bK0 bC2, bB⇤ =  B1 +B2K0D21 V0D21 � = bB1 + bB2 bK0 bD21, bC⇤ = ⇥ C1 +D12K0C2, D12U0 ⇤ = bC1 + bD12 bK0 bC2, bD⇤ = D11 +D12K0D21 = D11 + bD12 bK0 bD21, bA =  A 0n⇥r 0r⇥n 0r⇥r � , bB2 =  B2 0n⇥r 0r⇥m Ir � , bC2 =  C2 0l⇥r 0r⇥n Ir � , bK0 =  K0 U0 V0 Z0 � , bB1 =  B1 0r⇥s � , bD21 =  D21 0r⇥s � , bC1 = ⇥ C1, 0k⇥r ⇤ , bD12 = ⇥ D12, 0k⇥r ⇤ . Тут невiдомими є блоки матрицi bK0 K0 = (Im �KD22) �1K, U0 = (Im �KD22) �1U, V0 = V (Il �D22K)�1, Z0 = Z + V D22(Im �KD22) �1U, якi однозначно визначають шуканi матрицi регулятора (2): K = (Im +K0D22) �1K0, U = (Im +K0D22) �1U0, V = V0(Il +D22K0) �1, Z = Z0 � V0D22(Im +K0D22) �1U0. (4) Введемо критерiї якостi для замкненої системи (3): J0 = sup 0<kwkP<1 ϕ0(w), ϕ0(w) = kzkQ kwkP , (5) J = sup 0<kwk2 P +x> 0 X0x0<1 ϕ(w, x0), ϕ(w, x0) = kzkQq kwk2P + x> 0 X0x0 , (6) де kzk2Q = Z 1 0 z>Qz dt, kwk2P = Z 1 0 w>Pw dt, Q = Q> > 0, P = P> > 0 i X0 = X> 0 > 0 � заданi матрицi. 92 Мазко О. Г., Кусiй С. М. Значення J0 у випадку одиничних матриць P = Is i Q = Ik збiга- ється з H1-нормою матричної передатної функцiї системи kHk1 = sup ω2R q λmax(H>(�iω)H(iω)), H(λ) = bC⇤(λIn � bA⇤) �1 bB⇤ + bD⇤, яка характеризує рiвень гасiння енергiї вхiдних сигналiв w при їхньо- му проходженнi через систему. Значення J характеризує зважений рi- вень гасiння зовнiшнiх i початкових збурень у системi (3). Даний кри- терiй якостi використовувався у випадку P = Is, Q = Ik i X0 = ρ2In [6]. Очевидно, що J0  J , оскiльки ϕ(w, 0) = ϕ0(w), тобто J0 i J при x0 = 0 збiгаються. Якщо система (3) неекспансивна, тобто її вектор виходу при довiльному T > 0 задовольняє нерiвнiсть Z T 0 z>Qzdt  Z T 0 w>Pwdt+ x> 0 X0x0, то J  1. Зворотне твердження для лiнiйної системи також виконує- ться. Статичнi й динамiчнi регулятори, якi мiнiмiзують критерiй якостi J , називатимемо J-оптимальними. J0-оптимальне керування у ви- падку одиничних вагових матриць функцiоналу ϕ0(w) є H1-оптимальним. Позначимо блочнi матрицi R = ⇥ C2, D21 ⇤ i L = ⇥ B> 2 , D> 12 ⇤ . Теорема 3.1. [11] Для системи (1) iснує динамiчний регулятор (2), що забезпечує оцiнку J < γ (J0 < γ), тодi i лише тодi, коли система спiввiдношень W> R  A>X +XA+ C> 1 QC1 XB1 + C> 1 QD11 B> 1 X +D> 11QC1 D> 11QD11 � γ2P � WR < 0, (7) W> L  AY + Y A> +B1P �1B> 1 Y C> 1 +B1P �1D> 11 C1Y +D11P �1B> 1 D11P �1D> 11 � γ2Q�1 � WL < 0, (8) W =  X γIn γIn Y � � 0, rankW  n+ r, (9) 0 < X < γ2X0 (10) � (7), (8) i (9) � сумiсна стосовно матриць X = X> > 0 i Y = Y > > 0. При цьому замкнена система (3) з невизначенiстю w = γ�1 Θz, Θ >PΘ  Q, (11) Зважене гасiння обмежених збурень у системi керування лiта‌ . . . 93 робастно стiйка i має спiльну квадратичну функцiю Ляпунова v(bx) = bx> bXbx, де bX � розв’язок ЛМН " bA> ⇤ bX + bX bA⇤ + bC> ⇤ Q bC⇤ bX bB⇤ + bC> ⇤ Q bD⇤ bB> ⇤ bX + bD> ⇤ Q bC⇤ bD> ⇤ Q bD⇤ � γ2P # < 0. (12) 4 Побудова найгiршого вектора зовнiшнiх збурень Наведемо методику знаходження так званого найгiршого збурення w у замкненiй системi (3). Для спрощення подальших виразiв замiсть (3) розглянемо лiнiйну систему ẋ = Ax+Bw, z = Cx+Dw, x(0) = x0, (13) а також її характеристики J0 i J , означенi у (5) i (6) вiдповiдно. Лема 4.1. [11] Нехай матриця A гурвiцева. Тодi оцiнка J0 < γ ви- конується в тому i лише в тому випадку, коли ЛМН Φγ =  A>X +XA+ C>QC XB + C>QD B>X +D>QC D>QD � γ2P � < 0 (14) має розв’язок X = X> > 0. Для виконання оцiнки J < γ необхiдно i достатньо, щоб була сумiсною система ЛМН (10) i (14). За лемою Шура [13] спiввiдношення (14) еквiвалентне матричнiй нерiвностi Рiккатi A> 1 X +XA1 +XR1X +Q1 < 0, (15) де A1 = A + BR�1D>QC, Q1 = C> � Q + QDR�1D>Q � C, R1 = BR�1B> i R = γ2P �D>QD > 0. При цьому виконується нерiвнiсть v̇(x) + z>Qz � γ2w>Pw = [x>, w>]Φγ  x w �  0, де v̇(x) � похiдна функцiї v(x) в силу системи (13). Якщо пара ма- триць (A,B) керована, пара матриць (A,C) спостережувана i J0 < γ, то вiдповiдне матричне рiвняння Рiккатi A> 1 S + SA1 + SR1S +Q1 = 0 (16) 94 Мазко О. Г., Кусiй С. М. має розв’язки S� i S+, при яких спектр σ(A1 + R1S±) ⇢ C ±, 0 < S� < S+ i кожний розв’язок нерiвностi (15) належить матричному iнтервалу S� < X < S+ (див. [2, 3] i доведення необхiдностi леми 4.1 [11]). Крiм того, якщо J < γ i S є розв’язком рiвняння (16), то S < γ2X0. Так, для функцiї v(x) = x>Sx i вектора збурень w = K0x, K0 = R�1(B>S +D>QC) (17) отримаємо рiвнiсть v̇(x) + z>Qz � γ2w>Pw = 0. Пiсля iнтегруван- ня даної рiвностi на iнтервалi [0,1) отримаємо kzk2Q � γ2kwk2P = x> 0 Sx0 < γ2x> 0 X0x0 для будь-якого початкового вектора x0 6= 0. Iна- кше ϕ(w, x0) � γ для деякого x0, тобто J � γ. Вираз (17), що вiдповiдає стабiлiзуючому розв’язковi S = S� рiв- няння Рiккатi (16), є найгiршим збуренням у системi (13). Можна встановити, що вектор (17) належить множинi збурень (11), якщо су- мiсна щодо Θ система спiввiдношень Θ(C+DK0) = γK0 i Θ>PΘ  Q. 5 Алгоритм побудови динамiчного регулятора На основi теореми 3.1 наведемо алгоритм побудови динамiчного ре- гулятора (2), який забезпечує заданi оцiнки критерiїв якостi J0 < γ i J < γ замкненої системи (3). Алгоритм 5.1. 1) обчислення матриць WR i WL, де R = ⇥ C2, D21 ⇤ , L = ⇥ B> 2 , D> 12 ⇤ ; 2) знаходження матриць X = X> > 0 i Y = Y > > 0, якi задоволь- няють систему спiввiдношень (7) – (10); 3) побудова розкладу Z = Y � γ2X�1 = V >V , де V 2 R r⇥n, kerV = kerZ, i формування блочної матрицi bX =  X X> 1 X1 X2 � > 0, X1 = 1 γ V X, X2 = 1 γ2 V XV > + Ir; 4) розв’язування ЛМН bL> bK0 bR+ bR> bK> 0 bL+ bΩ < 0 стосовно bK0 при обмеженнi det(Im �KD22) 6= 0, де bR = ⇥ bC2, bD21, 0l+r⇥k ⇤ , bL = ⇥ bB> 2 , bD> 12, 0m+r⇥s ⇤ eX, eX = 2 4 bX 0 0 0 0 Ik 0 Is 0 3 5 , bΩ = 2 64 bA> bX + bX bA bX bB1 bC> 1 bB> 1 bX �γ2P D> 11 bC1 D11 �Q�1 3 75 ; Зважене гасiння обмежених збурень у системi керування лiта‌ . . . 95 5) обчислення матриць регулятора (2) за формулами (4). Для забезпечення оцiнки J0 < γ додаткове обмеження (10) у п. 2 даного алгоритму не використовується. При визначеннi матриць X i Y у випадку динамiчного регулятора повного порядку r = n рангова умова в (9) виконується автоматично i необхiдно розв’язати вiдповiдну систему ЛМН без обмежень. Зазначимо, що для побудови наближених J-оптимальних зако- нiв керування для наведених класiв систем можуть бути застосованi твердження теореми 3.1 при мiнiмально можливих значеннях пара- метра γ. 6 Зважене гасiння зовнiшнiх збурень руху лiтака по траєкторiї глiсади Розглянемо задачу керування повздовжнiм рухом лiтака в умовах не- визначених вiтрових збурень i шумiв вимiрiв. Вiтровi збурення при- зводять до вiдхилення повiтряної швидкостi й висоти польоту вiд за- даних значень, якi визначаються глiсадою � траєкторiєю зниження лiтака. Лiнеаризованi рiвняння руху лiтака ТУ-154 за траєкторiєю глiсади (пряма лiнiя з заданим кутом нахилу траєкторiї α = �2, 7�) описується у виглядi (1) iз такими матричними коефiцiєнтами [14]: A = 2 6666664 �0, 0608 �0, 0841 0 �0, 0869 0 0, 0904 0, 2187 �0, 6218 0, 10815 0, 72345 0 0, 0036 0, 0053 0, 5221 �1, 59015 �1, 55495 0 0 0 0 1 0 0 0 �0, 0471 1, 2437 0 0 0 0 0 0 0 0 0 �0, 4000 3 7777775 , B1 = 2 6666664 0 �0, 9989 0, 0471 0 0 0 �0, 0378 �0, 8019 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 7777775 , B2 = 2 6666664 0 0 �0, 1236 0 1, 1804 0 0 0 0 0 0 0.4 3 7777775 , C1 = 2 664 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 775 , C2 =  1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 � , 96 Мазко О. Г., Кусiй С. М. D12 = 2 664 0 0 0 0 1 0 0 1 3 775 , D21 =  0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 � , D11 = 04⇥5, D22 = 02⇥2. Основною задачею системи керування є пiдтримка заданої швидкостi v = 71, 375 м/с й висоти польоту при дiї зовнiшнiх збурень (зсуву вiтру). Таблиця 1. Результати розрахункiв. № p1 p2 q1 q2 γ J J0 α T 1 1,0 1,0 1,0 1,0 12,02 12,01782 11,66260 0,20709 118,02 2 1,0 0,1 1,0 1,0 13,19 13,18604 12,56592 0,19797 93,32 3 0,1 1,0 1,0 1,0 33,72 33,71460 33,71460 0,40264 345,28 4 1,0 1,0 1,0 0,1 7,67 7,66113 6,58203 0,37471 23,25 5 1,0 1,0 0,1 1,0 9,62 9,61304 9,61304 0,17020 934,29 6 1,0 0,1 1,0 0,1 9,31 9,30664 8,22266 0,34894 25,08 7 1,0 0,1 0,1 1,0 9,62 9,61304 9,61304 0,19085 675,51 8 0,1 1,0 0,1 1,0 30,41 30,40161 30,40161 0,21168 1438,33 9 0,1 1,0 1,0 0,1 13,02 13,01147 12,99438 0,40884 44,52 10 0,1 0,1 0,1 1,0 30,41 30,40405 30,40405 0,22877 1456,56 11 0,1 0,1 1,0 0,1 14,11 14,10522 14,10034 0,39938 35,79 12 0,1 1,0 0,1 0,1 10,67 10,66528 10,66528 0,40259 232,83 13 1,0 0,1 0,1 0,1 4,17 4,16992 3,96973 0,19963 87,15 14 0,1 0,1 0,1 0,1 10,69 10,68604 10,68604 0,41369 181,94 15 0,1 0,1 1,0 1,0 33,78 33,77808 33,77808 0,38998 326,167 16 1,0 1,0 0,1 0,1 3,81 3,80127 3,68652 0,20830 104,362 За допомогою алгоритму (5.1) проведено ряд чисельних експери- ментiв для побудови наближених J-оптимальних керувань у виглядi динамiчного регулятора за виходом (2). При цьому ваговi матрицi критерiю якостi (6) мали дiагональну структуру: P = diag � p1, p1, p1, p2, p2 , Q = diag � q1, q1, q2, q2 . X0 = diag � χ1,χ2,χ3,χ4,χ5,χ6 . Значення дiагональних елементiв χ1 = χ5 = 1 вагової матрицi X0, якi характеризують вплив початкових вiдхилень повiтряної швидкостi x1 i висоти польоту x5 лiтака, вибрано бiльшими порiвняно з iншими χ2 = χ3 = χ4 = χ6 = 0, 1. У табл. 1 наведено значення параметра γ, оптимальних критерiїв якостi J i J0, запасу стiйкостi α = �max � Reλ : λ 2 σ( bA⇤) i часу перехiдного процесу T замкненої системи при вибраних значеннях pi Зважене гасiння обмежених збурень у системi керування лiта‌ . . . 97 й qi (i = 1, 2). Остання характеристика наближено обчислювалась за формулою T = min � τ : kx(t)k  ε, t � τ , де ε = 0, 05. Для експерименту пiд номером 4 побудовано графiки поведiнки розв’язкiв замкненої системи пiд дiєю найгiршого збурення, знайде- ного за допомогою спiввiдношень (16) i (17) (рис. 1 i 2), а також графiки залежностi функцiоналу якостi J i часу перехiдного процесу T вiд коефiцiєнтiв вагових матриць (рис. 3 – 6). Матрицi отриманого J-оптимального динамiчного регулятора (2): K = h 1, 87099 �19, 61947 �0, 26827 �2, 17133 i , V = 2 6664 0, 46063 �4, 30556 �6, 57525 0, 02899 1, 00386 �5, 22558 �0, 09272 0, 51747 0, 16926 �2, 12938 0, 16560 �0, 87353 3 7775, U = h 8, 34464 1, 72886 �25, 35112 �5, 75243 32, 95934 �10, 49373 0, 75589 1, 85505 �2, 50665 �1, 83513 3, 58606 �1, 31451 i , Z = 2 6664 �28, 70496 0, 64242 �5, 09924 �1, 29327 7, 46573 �2, 11973 �0, 48567 �3, 23557 0, 49326 �5, 61372 �0, 61742 �2, 88923 3, 40179 0, 62057 �7, 10195 �1, 63963 11, 13945 �3, 02151 �0, 15322 0, 09184 0, 72038 �0, 44003 �0, 52193 �0, 52194 0, 73872 0, 19779 �2, 83179 �0, 42840 2, 07320 0, 64161 0, 46314 0, 10791 �1, 19824 �0, 07926 0, 84918 �1, 00330 3 7775. Рис 1. Поведiнка замкненої системи. Рис 2. Поведiнка динамiчного регулятора. 98 Мазко О. Г., Кусiй С. М. 0 2 4 1,5 6 1,51 8 1 0,5 0,5 Рис 3. Залежнiсть J вiд p1 i p2. 0 2 1 4 0,8 1 6 0,80,6 8 0,60,4 0,4 0,2 0,2 Рис 4. Залежнiсть J вiд q1 i q2. 0 10 1,5 20 1,51 1 0,5 0,5 Рис 5. Залежнiсть T вiд p1 i p2. 0 10 1 20 0,8 1 30 0,80,6 40 0,60,4 0,4 0,2 0,2 Рис 6. Залежнiсть T вiд q1 i q2. [1] Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. � М.: Наука, 2002. � 303 с. [2] Zhou K., Doyle J. C., Glover K. Robust and optimal control. � Englewood: Prentice-Hall, Inc., 1996. � 586 p. [3] Dullerud G.E., Paganini F.G. A Course in Robust Control Theory. A Convex Approach. � Berlin: Springer-Verlag, 2000. � 419 p. Зважене гасiння обмежених збурень у системi керування лiта‌ . . . 99 [4] Gahinet P., Apkarian P. A Linear Matrix Inequality Approach to H∞ Control // Intern. J. of Robust and Nonlinear Control. � 1994. � 4. � P. 421 – 448. [5] Баландин Д.В., Коган М.М. Синтез законов управления на основе линейных матричных неравенств. � М.: Физматлит, 2007. � 280 с. [6] Баландин Д.В., Коган М.М. Обобщенное H∞-оптимальное управ- ление как компромисс между H∞-оптимальным и γ-оптимальным управлениями // Автоматика и телемеханика. � 2010. � № 6. � С. 20–38. [7] Ларин В.Б., Туник А.А. О компенсации внешних возмущений дина- мической обратной связью по выходной переменной // Прикладная механика. � 2006. � 42, 5. � С. 132–144. [8] Назин С.А., Поляк Б.Т., Топунов М.В. Подавление ограниченных внешних возмущений с помощью метода инвариантных эллипсоидов // Автоматика и телемеханика. � 2007. � № 3. � С. 106–125. [9] Gahinet P., Nemirovski A., Laub A. J., Chilali M. The LMI Control Toolbox. For Use with Matlab. User’s Guide. � Natick, MA: The MathWorks, Inc., 1995. � 138 p. [10] Мазко А.Г. Робастная устойчивость и стабилизация динамических си- стем. Методы матричных и конусных неравенств // Працi Iнституту математики НАН України. � Київ, 2016. � 102. � 332 с. [11] Мазко О.Г., Кусiй С.М. Робастна стабiлiзацiя та гасiння зовнiшнiх збурень у системах з керованими i спостережуваними виходами: Зб. праць Iн-ту математики НАН України. � 2016. � 13, 3. � С. 129–145. [12] Курдюков А.П., Тимин В.Н. Синтез робастной системы управления на режиме посадки самолёта в условиях сдвига ветра // Техническая кибернетика. � 1993, № 6. � С. 100–108. [13] Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. � М.: Наука, 1988. � 552 с. [14] Чайковский М.М., Курдюков А.П., Тимин В.Н. Построение H∞- субоптимального регулятора для управления самолётом на режиме посадки с помощью пакета LMI Control Toolbox // Труды II Все- российской научной конференции “Проектирование инженерных и на- учных приложений в среде MATLAB”. � М.: ИПУ РАН, 2004. � С. 1191–1206.
id	oai:trim.imath.kiev.ua:article-427
institution	Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine
keywords_txt_mv	keywords
language	Ukrainian
last_indexed	2026-08-04T01:07:14Z
publishDate	2020
publisher	Інститут математики НАН України
record_format	ojs
resource_txt_mv	trimimathkievua/c4/4b81b224764b250b75e15da447822ec4.pdf
spelling	oai:trim.imath.kiev.ua:article-4272020-08-10T19:26:12Z Damping of the limited perturbations in the system of the aircraft control when landing Зважене гасiння обмежених збурень у системi керування лiтака в режимi посадки Зважене гасiння обмежених збурень у системi керування лiтака в режимi посадки Mazko, Відділ 04 Kusiy, S.I. Мазко, А.Г. Кусий, С.И. Мазко, О.Г. Кусій, С.І. A linear model of the aircraft control system in the landing mode is consid- ered in the presence of limited external perturbations. The method of lin- ear matrix inequalities is implemented in the generalized H∞-optimization problem in order to evaluate and reduce the influence of external and ini- tial disturbances on qualitative characteristics of the system. In particular, influence of weight coefficients of the generalized quality criteria on the sta- bility factor and the transient process time of a closed system have been investigated. Розглянуто лiнiйну модель системи керування лiтака в режимi посадки за наявностi обмежених зовнiшнiх збурень. Реалiзовано методику лiнiйних матричних нерiвностей у узагальненiй задачi H∞-оптимiзацiї з метою оцiнки й пониження впливу зовнiшнiх i початкових збурень на якiснi характеристики системи. Зокрема, дослiджено вплив вагових коефiцiєнтiв узагальнених критерiїв якостi на запас стiйкостi й час пе- рехiдного процесу замкненої системи. Розглянуто лiнiйну модель системи керування лiтака в режимi посадки за наявностi обмежених зовнiшнiх збурень. Реалiзовано методику лiнiйних матричних нерiвностей у узагальненiй задачi H∞-оптимiзацiї з метою оцiнки й пониження впливу зовнiшнiх i початкових збурень на якiснi характеристики системи. Зокрема, дослiджено вплив вагових коефiцiєнтiв узагальнених критерiїв якостi на запас стiйкостi й час пе- рехiдного процесу замкненої системи. Інститут математики НАН України 2020-08-10 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/427 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 15 No. 1 (2018): Mathematical problems of mechanics and computational mathematics ; 88-99 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 15 № 1 (2018): Математические проблемы механики и вычислительной математики ; 88-99 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 15 № 1 (2018): Математичнi проблеми механiки та обчислювальної математики; 88-99 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/427/427 Авторське право (c) 2020 О.Г. Мазко, С.І. Кусій http://creativecommons.org/licenses/by/4.0
spellingShingle	Mazko, Відділ 04 Kusiy, S.I. Мазко, А.Г. Кусий, С.И. Мазко, О.Г. Кусій, С.І. Damping of the limited perturbations in the system of the aircraft control when landing
title	Damping of the limited perturbations in the system of the aircraft control when landing
title_alt	Зважене гасiння обмежених збурень у системi керування лiтака в режимi посадки Зважене гасiння обмежених збурень у системi керування лiтака в режимi посадки
title_full	Damping of the limited perturbations in the system of the aircraft control when landing
title_fullStr	Damping of the limited perturbations in the system of the aircraft control when landing
title_full_unstemmed	Damping of the limited perturbations in the system of the aircraft control when landing
title_short	Damping of the limited perturbations in the system of the aircraft control when landing
title_sort	damping of the limited perturbations in the system of the aircraft control when landing
url	https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/427
work_keys_str_mv	AT mazkovíddíl04 dampingofthelimitedperturbationsinthesystemoftheaircraftcontrolwhenlanding AT kusiysi dampingofthelimitedperturbationsinthesystemoftheaircraftcontrolwhenlanding AT mazkoag dampingofthelimitedperturbationsinthesystemoftheaircraftcontrolwhenlanding AT kusijsi dampingofthelimitedperturbationsinthesystemoftheaircraftcontrolwhenlanding AT mazkoog dampingofthelimitedperturbationsinthesystemoftheaircraftcontrolwhenlanding AT kusíjsí dampingofthelimitedperturbationsinthesystemoftheaircraftcontrolwhenlanding AT mazkovíddíl04 zvaženegasinnâobmeženihzburenʹusistemikeruvannâlitakavrežimiposadki AT kusiysi zvaženegasinnâobmeženihzburenʹusistemikeruvannâlitakavrežimiposadki AT mazkoag zvaženegasinnâobmeženihzburenʹusistemikeruvannâlitakavrežimiposadki AT kusijsi zvaženegasinnâobmeženihzburenʹusistemikeruvannâlitakavrežimiposadki AT mazkoog zvaženegasinnâobmeženihzburenʹusistemikeruvannâlitakavrežimiposadki AT kusíjsí zvaženegasinnâobmeženihzburenʹusistemikeruvannâlitakavrežimiposadki

Damping of the limited perturbations in the system of the aircraft control when landing

Репозитарії

Схожі ресурси