Незалежність цифр $Q_2$-зображення випадкової величини з заданим розподілом
Let $\xi$ be a random variable with a given (uniform, exponential.) probability distribution on a segment $[0;1]$. We studyconditions for $Q_2$-digits $(\xi_n)$ of random variable$\xi=\Delta^{Q_2}_{\xi_1\xi_2...\xi_n...}$ to be independent. For $\xi$with exponential distribution, we prove that digit...
Gespeichert in:
| Datum: | 2019 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2019
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/448 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552948322533376 |
|---|---|
| author | Працьовитий, М. В. Ратушняк, С. П. |
| author_facet | Працьовитий, М. В. Ратушняк, С. П. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "М. В. Працьовитий",
"institution": "НПУ імені М. П. Драгоманова, Київ"
},
{
"author": "С. П. Ратушняк",
"institution": null
}
] |
| author_sort | Працьовитий, М. В. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2023-03-02T07:56:21Z |
| description | Let $\xi$ be a random variable with a given (uniform, exponential.) probability distribution on a segment $[0;1]$. We studyconditions for $Q_2$-digits $(\xi_n)$ of random variable$\xi=\Delta^{Q_2}_{\xi_1\xi_2...\xi_n...}$ to be independent. For $\xi$with exponential distribution, we prove that digits are independent ifand only if parameters $q_0$ and $q_1$ of this system ofrepresentation are equal to $\frac12$. Otherwise digits are dependentand this dependence is more complicated than Markov dependence. If the function of distribution of random variable with independent $Q_2$-digits has a positive derivative at all $Q_2$-binary points, then its distribution is uniform or exponential, moreover in the latter case the $Q_2$-representative is binary. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:07:32Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2019, т. 16, № 3, 79–91
УДК 517.5+ 519.21
М.В. Працьовитий 1 С.П. Ратушняк 2
1,2 IМ НАН України, НПУ iменi М.П. Драгоманова, Київ;
prats4444@gmail.com,ratush404@gmail.com
Незалежнiсть цифр Q2-зображення
випадкової величини з заданим
розподiлом
Let ξ be a random variable with a given (uniform, exponenti-
al.) probability distribution on a segment [0; 1]. We study condi-
tions for Q2-digits (ξn) of random variable ξ = ∆Q2
ξ1ξ2...ξn...
to be
independent. For ξ with exponential distribution, we prove that digi-
ts are independent if and only if parameters q0 and q1 of this system
of representation are equal to 1
2 . Otherwise digits are dependent and
this dependence is more complicated than Markov dependence. If
the function of distribution of random variable with independent Q2-
digits has a positive derivative at all Q2-binary points, then its di-
stribution is uniform or exponential, moreover in the latter case the
Q2-representative is binary.
Key words: Q2-representation of numbers, random variable,
independent digits, exponential distribution.
c© М.В. Працьовитий, С. П. Ратушняк, 2019
80 Працьовитй М.В., Ратушняк С.П.
Для в.в. ξ з заданим на [0; 1] розподiлом (рiвномiрним, екс-
поненцiйним) вивчається питання незалежностi цифр її Q2-
зображення: ξ = ∆Q2
ξ1ξ2...ξn...
. Доведено: при експоненцiйному роз-
подiлi в.в. ξ її цифри є незалежними тодi i тiльки тодi, коли осно-
ви q0 i q1 цiєї системи зображення дорiвнюють 1
2 . В рештi випадкiв
цифри мають залежнiсть складнiшу маркiвської. Якщо функцiя
розподiлу в.в. з незалежними Q2-цифрами має додатну похiдну у
всiх Q2-бiнарних точках, то її розподiл є рiвномiрним або експо-
ненцiйним, причому для останнього Q2-зображення є двiйковим.
Ключовi слова: Q2-зображення чисел, випадкова величина, не-
залежнiсть цифр, експоненцiйний розподiл.
Вступ
Iснує багато рiзних систем зображення (iншими словами - ко-
дування) дробової частини дiйсних чисел, якi використовують
двосимвольний алфавiт A = {0, 1}. Такi системи кодування чи-
сел є ефективним засобом розвитку ймовiрнiсної теорiї дiйсних
чисел [6] i теорiї сингулярних розподiлiв випадкових величин [4].
Традицiйними в цьому вiдношеннi є задачi: 1) вивчити розпо-
дiл цифр зображення випадкової величини за наперед заданим
її розподiлом; 2) вивчити розподiл випадкової величини за зада-
ними розподiлами її цифр у певному зображеннi. Цi задачi ми
розглядаємо у данiй роботi, акцентуючи увагу на Q2-зображеннi
чисел [4, 8], на рiвномiрному та екпоненцiйному розподiлах.
Нехай q0 — задане дiйсне число з iнтервалу (0; 1), q1 ≡ 1− q0;
A = {0, 1} — алфавiт двосимвольних систем зображення чисел,
L = A×A×...×A×... — простiр послiдовностей нулiв та одиниць.
Двоосновне Q2-зображення дiйсних чисел вiдрiзка [0; 1] вста-
новлює наступне вiдоме твердження.
Теорема 1 ( [3]). Для довiльного дiйсного числа x з вiдрiзка [0; 1]
Незалежнiсть цифр випадкової величини 81
iснує така послiдовнiсть (αn) ∈ L, що
x = βα1 +
∞∑
n=2
βαn
n−1∏
j=1
qαj
≡ ∆Q2
α1α2...αn..., (1)
де βαn ≡ αn · q1−αn, а саме: β0 = 0, β1 = q0.
Означення 1 ( [3]). Подання числа x у виглядi ряду (1) на-
зивається його Q2-представленням, а скорочений запис x =
∆Q2
α1α2...αn... – Q2-зображенням числа x. При цьому αn назива-
ють n-ою цифрою (символом) цього зображення.
Числа, якi мають єдине Q2-зображення називаються Q2-
унарними (їх переважна бiльшiть), а тi числа, якi мають два
рiзнi зображення — Q2-бiнарними (їх злiченна множина). Зобра-
ження Q2-бiнарних чисел мають вигляд: ∆Q2
c1...cm1(0) = ∆Q2
c1...cm0(1).
Означення 2 ( [3]). Нехай (c1, c2, ..., cm)− фiксований набiр чи-
сел з A. Цилiндром рангу m з основою c1c2...cm називається
множина ∆Q2
c1c2...cm всiх чисел x ∈ [0; 1], якi мають наступне
Q2-зображення x = ∆Q2
c1c2...cmαm+1αm+2...αm+k..., αm+j ∈ A.
Легко довести, що Q2-цидiндри є вiдрiзками, а саме:
∆Q2
c1c2...cm =
[
∆Q2
c1c2...cm(0); ∆Q2
c1c2...cm(1)
]
.
Означення 3 ( [3]). Цилiндричним Q2-iнтервалом рангу m з
основою c1c2...cm називається внутрiшнiсть цилiндра ∆Q2
c1c2...cm ,
тобто множина ∇Q2
c1c2...cm = (∆Q2
c1c2...cm(0); ∆Q2
c1c2...cm(1)).
Властивостi цилiндричних множин (цилiндрiв, iнтервалiв):
1) ∆Q2
c1c2...cm = ∆Q2
c1c2...cm0 ∪∆Q2
c1c2...cm1;
2) |∆Q2
c1c2...cm | =
m∏
j=1
qcj → 0 (m→∞);
3) ∇Q2
c1c2...cm0 ∩∇
Q2
c1c2...cm1 = ∅;
82 Працьовитй М.В., Ратушняк С.П.
4)
∞⋂
k=1
∆Q2
c1c2...ck = x ≡ ∆Q2
c1c2...ck... − точка вiдрiзка[0; 1];
5) ∆Q2
c1...cm∩∆Q2
a1...am...ak =
{
∆a1...am...ak , якщо ci = ai, i = 1,m,
∅, якщо iснує ci 6= ai.
Розподiл випадкової величини ξ = ∆Q2
ξ1ξ2...ξn...
, цифри Q2-
зображення якої є незалежними i набувають значень 0 i 1 з
ймовiрностями p0n i p1n ≡ 1 − p0n вiдповiдно, в значнiй мiрi є
вивченим. Вiдомо [3], що вiн має чистий лебегiвський тип: дис-
кретний — тодi i тiльки тодi, коли M ≡
∞∏
n=1
max {p0n, p1n} > 0,
абсолютно неперервним, коли K =
∞∑
n=1
1∑
i=0
(1− pin
qi
)2 <∞, i син-
гулярний при M = 0 i K =∞.
Добре вивченими є тополого-метричнi властивостi спектра
(мiнiмального замкненого носiя) розподiлу. Не вивченими є асим-
птотична поведiнка модуля характеристичної функцiї випадко-
вої величини ξ, ї ї модуль неперевностi та iн. питання. Приро-
дним є запитання: скiльки у цьому класi розподiлiв таких, що
мають додатну похiдну функцiї розподiлу на всьому вiдрiзку
[0;1] або деякому iнтервалi? На це запитання при умовi, що Q2-
зображення є класичним двiйковим, вичерпну вiдповiдь дано у
роботi [1].
1. Цифра зображення числа як функцiя
цього числа
Цифра αn = αn(x) Q2-зображення числа x є коректно означеною
функцiєю на множинi Q2-унарних точок i стає такою на множинi
Q2-бiнарних точок пiсля введення домовленостi не використову-
вати зображення з перiодом (1). Вона є константою на кожному
цилiндричному iнтервалi n-го рангу, будучи обмеженою i маючи
Незалежнiсть цифр випадкової величини 83
скiнченне число розривiв першого роду, є iнтегровною на [0;1]:
1∫
0
αn(x)dx = 1 ·
∑
i1∈A
...
∑
in−1∈A
|∆Q2
α1...αn−11
| =
= q1
∑
i1∈A
...
∑
in−1∈A
|∆Q2
α1...αn−1
| = q1.
Двi множини A i B з [0; 1] називаються [2] метрично незале-
жними, якщо для мiри Лебега λ(·) виконується рiвнiсть
λ(A ∩B) = λ(A) · λ(B)⇔ λ(A ∩B)
λ(A)
=
λ(B)
1
.
Нехай ∆ki
ci ≡ {x : αki(x) = ci}. Множини ∆k1
c1 i ∆k2
c2 при k1 6= k2
є метрично незалежними, оскiльки
λ(∆k1
c1 ∩∆k2
c2 ) = qciqc2 = λ(∆k1
c1 ) · λ(∆k2
c2 ).
Аналогiчно, якщо (k1, k2, ..., km) — зростаючий набiр нату-
ральних чисел, то
λ(∆k1
c1 ∩∆k2
c2 ∩ ... ∩∆km
cm ) =
m∏
j=1
qcj =
m∏
j=1
λ(∆
kj
cj ).
Лема 2. Якщо ξ — випадкова величина з заданим розподiлом,
то цифра ξn її Q2-зображення є випадковою величиною, причому
P{ξn = i} = P{ξ ∈
⋃
c1∈A
...
⋃
cn−1∈A
∆Q2
c1...cn−1i
}. (2)
Доведення. Справдi, оскiльки ξ — вимiрна функцiя на [0; 1], тобто
така, що для будь-якого дiйсного x множина {ω : ξ(ω) < x} є
борелiвською, то очевидно, що множина {u : ξn(u) = i ∈ A}
борелiвська. При цьому вказана ймовiрнiсть є наслiдком рiвностi
подiй {αn(x) = i} = {x ∈
⋃
c1∈A
...
⋃
ck−1∈A
∆Q2
c1...ck−1i
}. �
84 Працьовитй М.В., Ратушняк С.П.
2. Рiвномiрний розподiл
Лема 3. Якщо випадкова величина ξ має рiвномiрний на [0; 1]
розподiл, то цифри (ξn) її Q2-зображення ξ = ∆Q2
ξ1ξ2...ξn...
є неза-
лежними i мають розподiли P{ξn = 0} = q0, P{ξn = 1} = q1.
Доведення. Оскiльки ξ має рiвномiрний на [0; 1] розподiл, то вiн
є неперевним, тобто P{ξ = x} = 0 для довiльного x ∈ [0; 1], i
P{ξ ∈ ∆Q2
c1...cm} = λ(∆Q2
c1...cm) =
m∏
i=1
qci
для будь-якого набору (c1, ..., cm) нулiв та одиниць. Тому
P{ξ1 = i} = P (ξ ∈ ∆Q2
i ) = qi, i = 0, 1.
Зауважимо, що подiя {ξ ∈ ∆Q2
c1...cm} рiвносильна одночасному
виконанню подiй {ξi = ci}, i = 1,m. Для умовних ймовiрностей:
P{ξn = 0�∆Q2
c1...cn−1
} =
P{ξ ∈ ∆Q2
c1...cn−10
}
P{ξ ∈ ∆Q2
c1...cn−1}
=
q0
n−1∏
i=1
qi
n−1∏
i=1
qi
= q0,
P{ξn = 1�∆Q2
c1...cn−1
} =
P{ξ ∈ ∆Q2
c1...cn−11
}
P{ξ ∈ ∆Q2
c1...cn−1}
=
q1
n−1∏
i=1
qi
n−1∏
i=1
qi
= q1.
Як бачимо, умовнi ймовiрностi не залежать вiд набору
(c1, ..., cn−1), а отже, i ξ1, ξ2, ..., ξn−1. Тому
P{ξn = i�ξ ∈ ∆Q2
ξ1ξ2...ξn−1
} = P{ξn = i} = qi,
що й вимагалося довести. �
Наслiдок 4. Якщо випадкова величина має рiвномiрний роз-
подiл на [0, 1], то її двiйковi цифри є незалежними, однаково
розподiленими i рiвноймовiрними.
Незалежнiсть цифр випадкової величини 85
3. Експоненцiйний розподiл на [0; 1]
Традицiйно експоненцiйним розподiлом ймовiрностей з параме-
тром λ на R1 називається розподiл, що має щiльнiсть
f(x) =
{
c · e−cx при x ≥ 0,
0 при x < 0.
Eкспоненцiйним розподiлом в.в. X на вiдрiзку [0; 1] з параме-
тром c ∈ R, c 6= 0, називається розподiл з щiльнiстю
fc(x) =
c
ec − 1
· ecx.
Коректнiсть цього означення слiдує з
∫ 1
0 fc(x)dx = 1.
Лема 5. Якщо випадкова величина X має експоненцiйний роз-
подiл з параметром c на вiдрiзку [0; 1], то її функцiя розподiлу
Fc має вигляд
Fc(x) =
ecx − 1
ec − 1
i при цьому P{X ∈ [a; b]} = eca(ec(b−a)−1)
ec−1 .
Доведення. Перша частина твердження є очевидною, оскiльки
F ′c(x) = fc(x) i Fc(0) = 0, Fc(1) = 1. Тодi
P{X ∈ [a; b]} = Fc(b)− Fc(a) =
ecb − 1
ec − 1
− eca − 1
ec − 1
=
=
ec − eca
ec − 1
=
eca(ec(b−a) − 1)
ec − 1
.
Лему доведено. �
Зауваження 1. Поклавши c
ec−1 = 0 при c = 0, маємо f0(x) = 1.
Тому в цьому контекстi рiвномiрний розподiл на вiдрiзку [0; 1]
можна вважати частинним випадком експоненцiйного.
86 Працьовитй М.В., Ратушняк С.П.
Лема 6. Характеристична функцiя ϕ експоненцiйного розподi-
лу на вiдрiзку [0; 1] з параметром c має вигляд
ϕ(t) =
c
z
· e
z − 1
z
, де z = it+ c.
Доведення. Справдi,
ϕ(t) =
+∞∫
−∞
eitxf(x)dx,
згiдно з означенням характеристичної функцiї розподiлу зi щiль-
нiстю f(x). Тому для експоненцiйного розподiлу на [0; 1] маємо
ϕ(t) =
1∫
0
eitxfc(x)dx =
1∫
0
eitx · ce
cx
ec − 1
dx =
=
c
ec − 1
·
1∫
0
e(it+c)xdx =
c
ec − 1
∫ 1
0
ezxdz =
=
c
ec − 1
· 1
z
ezx|10 =
c
ec − 1
· e
z − 1
z
.
Лему доведено. �
Лема 7. [1] Якщо q0 = 1
2 i в.в. ξ має експоненцiйний розподiл на
[0; 1] зi щiльнiстю fc(x) = cecx
ec−1 , то цифри (ξn) її Q2-зображення
(в цьому випадку воно є двiйковим) є незалежними i мають
розподiли:
P{τn = 0} =
1
1 + e
c
2n
≡ p0n, P{τk = 1} =
e
c
2n
1 + e
c
2n
≡ p1n. (3)
Теорема 8. Якщо q0 6= 1
2 i при цьому ξ = ∆Q2
ξ1ξ2...ξn...
має експо-
ненцiйний розподiл на вiдрiзку [0; 1] зi щiльнiстю fc(x) = cecx
ec−1 ,
то цифри (ξn) її Q2-зображення є залежними, причому зале-
жнiсть складнiша маркiвської.
Незалежнiсть цифр випадкової величини 87
Доведення. При виконаннi умов теореми з урахуванням леми 5 i
виразiв кiнцiв та довжин цилiндрiв, маємо
P (X ∈ ∆Q2
0 ) =
ecq0 − 1
ec − 1
, P{X ∈ ∆Q2
1 } =
ecq0(ecq1 − 1)
ec − 1
;
P{X ∈ ∆Q2
00 } =
eq
2
0c − 1
ec − 1
, P{X ∈ ∆Q2
01 } =
eq
2
0c(eq0q1c − 1)
ec − 1
;
P{X ∈ ∆Q2
10 } =
eq0c(eq0q1c − 1)
ec − 1
, P{X ∈ ∆Q2
11 } =
e(1−q
2
1)c(eq
2
1c − 1)
ec − 1
.
Тодi
P{ξ2 = 0/ξ1 = 0} =
P{ξ ∈ ∆Q2
00 }
P{ξ1 = 0}
=
eq
2
0c − 1
eq0c − 1
,
P{ξ2 = 0/ξ1 = 1} =
P{ξ ∈ ∆Q2
10 }
P{ξ1 = 1}
=
eq0q1c − 1
eq1c − 1
,
P{ξ2 = 1/ξ1 = 0} =
P{ξ ∈ ∆Q2
01 }
P{ξ1 = 0}
=
eq
2
0c(eq0q1c − 1)
eq0c − 1
,
P{ξ2 = 1/ξ1 = 1} =
P{ξ ∈ ∆Q2
11 }
P{ξ1 = 1}
=
e(1−q
2
1)c(eq
2
1c − 1)
eq0c(eq1c − 1)
.
Оскiльки при q0 6= 1
2 виконується нерiвнiсть
P{ξ2 = i/ξ1 = 0} 6= P{ξ2 = i/ξ1 = 1},
то ξ1 i ξ2 не є незалежними (i = 0, 1), тобто є залежними.
Оскiльки
P{ξ3 = 0/ξ2 = 0, ξ1 = 0} =
P{ξ ∈ ∆Q2
000}
P{ξ ∈ ∆Q2
00 }
=
eq
3
0c − 1
eq
2
0c − 1
;
P{ξ3 = 0/ξ2 = 0, ξ1 = 1} =
P{ξ ∈ ∆Q2
100}
P{ξ ∈ ∆Q2
10 }
=
eq1q
2
0c − 1
eq1q0c − 1
6=
6= P{ξ3 = 0/ξ2 = 0, ξ1 = 0},
88 Працьовитй М.В., Ратушняк С.П.
то залежнiсть в.в. (ξn) є складнiшою, нiж маркiвська [5]. �
Аналогiчнi задачi можна ставити для рiзних розподiлiв в.в ξ
на [0, 1]. Природним є запитання про те, для яких розподiлiв в.в.
ξ цифри її Q2-зображення є незалежними.
4. Розподiл випадкової величини, породже-
ний розподiлами цифр її Q2-зображення
Природним є запитання: чи є серед розподiлiв випадкових ве-
личин ξ, породжених розподiлами незалежних цифр їх Q2-
зображення такi, що мають нетривiальну щiльнiсть, крiм тих,
що фiгурували у лемах 5, 7? Цьому питанню пiдпорядкованi на-
ступнi мiркування.
Лема 9. В.в. τ = ∆Q2
τ1τ2...τn..., двiйковi цифри τn, якої є неза-
лежними i набувають значень 0 i 1 з ймовiрностями q0 i q1
вiдповiдно (0 < q0 < 1, q0 + q1 = 1) має сингулярно неперервний
розподiл при q0 6= 0, 5 i рiвномiрний при q0 = 0, 5, а її функцiя
розподiлу має вираз
Fτ (x = ∆2
α1...αn...) = α1q1−α1 +
∞∑
k=2
(αkq1−αk
k−1∏
j=1
qαj ).
Зауважимо, що нижче буде доведено бiльш загальне твердже-
ння, тому тут ми лише виразимо функцiю розподiлу i покажемо,
що її похiдна рiвна нулю майже скрiзь.
Лема 10. [4] Якщо в точцi x0 iснує похiдна функцiї розподiлу
Fξ випадкової величини ξ = ∆Q2
ξ1ξ2...ξn...
з незалежними цифрами
(ξn), що мають розподiли P{ξn = 0} = p0n ≥ 0 i P{ξn = 1} =
p1n ≥ 0, p0n + p1n = 1, то вона обчислюється за формулою
F ′ξ(x0) =
∞∏
n=1
pαn(x0)n
qαn(x0)
.
Незалежнiсть цифр випадкової величини 89
Лема 11. Якщо в Q2-бiнарнiй точцi x0 = ∆Q2
c1...cm−10(1)
=
∆Q2
c1...cm−11(0)
iснує скiнчена похiдна F ′ξ(x0), то
p0m
q0
∞∏
i=m+1
p1i
q1
=
p1m
q1
∞∏
i=m+1
p0i
q0
. (4)
Доведення. Оскiльки F ′ξ(x0) > 0, то згiдно з попередньою лемою,
маємо
p0m
q0
m−1∏
i=1
pcii
qci
∞∏
i=m+1
(
p1i
q1
) =
p1m
q1
m−1∏
i=1
pcii
qci
∞∏
i=m+1
(
p0i
q0
).
Звiдки отримуємо (4). �
Лема 12. Якщо F ′(∆Q2
0...0︸︷︷︸
k−1
1(0)
) > 0, то
q1
q0eck
∞∏
i=k+1
q0e
ci
q1
= 1. (5)
Доведення. Оскiльки похiдна F ′(∆Q2
0...0︸︷︷︸
k−1
1(0)
) iснує i додатна, то
вона згiдно з лемою має вирази
F ′(x0) = (
k−1∏
i=1
1
q1(1 + eci)
)
1
q0(1 + eck)
∞∏
i=k+1
eci
q1(1 + eci)
≡ Ak;
F ′(x0) = (
k−1∏
i=1
1
q0(1 + eci)
)
eck
q1(1 + eck)
∞∏
i=k+1
1
q0(1 + eci)
≡ Bk.
Тодi
1 =
Ak
Bk
=
q1
q0eck
∞∏
i=k+1
q0e
ci
q1
,
що й вимагалось довести. �
90 Працьовитй М.В., Ратушняк С.П.
Наслiдок 13. Якщо (5), то або eci = q1
q0
, i ∈ {k, k+ 1, k+ 2, ...},
або {
q0 = 1
2 = q1,
ck = ck+1 + ck+2 + ....
Теорема 14. Якщо функцiя розподiлу Fξ випадкової величини
ξ, цифри (ξn) Q2-зображення ξ = ∆Q2
ξ1ξ2...ξn...
якої є незалежними
i мають розподiли P{ξn = 0} = p0n ≥ 0 i P{ξn = 1} = p1n ≥ 0,
p0n+p1n = 1, має додатну похiдну у всiх точках виду ∆Q2
0...0︸︷︷︸
k−1
1(0),
k ∈ N , то виконується одна з умов:
1) p0n = q0 для будь-якого n ∈ N ;
2) q0 = 1
2 i p0n = 1
1+e
c
2n
, p1n = e
c
2n
1+e
c
2n
.
У першому випадку ξ має рiвномiрний розподiл, а в другому
— експоненцiйний розподiл на [0; 1] зi щiльнiстю f(x) = cecx
ec−1 ,
c ∈ R.
Доведення. Якщо pik = 0 для деякого k, то функцiя Fξ є ста-
лою на кожному цилiндричному iнтервалi ∇Q2
c1...ck−1i
, а отже, i на
∇Q2
0 . . . 0︸ ︷︷ ︸
k−1
i
, а тому F ′ξ(∆
Q2
0 . . . 0︸ ︷︷ ︸
k−1
1(0)
) = 0 або не iснує. Отже, для всiх
k ∈ N виконуються нерiвностi 0 6= pik 6= 1. Тому розподiл цифри
ξk можна представити у виглядi
pok =
1
1 + eck
, p1k =
eck
1 + eck
. (6)
Тодi для кожного k ∈ N виконується рiвнiсть(5). Тому згiдно з
наслiдком з леми 5 або eci = q1
q0
(що рiвносильно p0i = q0) для
будь-якого i ∈ N , або q0 = 1
2 i разом з цим для будь-якого k ∈ N
виконується рiвнiсть ck = ck+1+ck+2+..., що рiвносильно ck = c
2k
,
де 0 6= c ∈ R. �
Незалежнiсть цифр випадкової величини 91
Лiтература
[1] Marsaglia G. Random variables with independent binary digits —
Ann. Math. Statist, 1971. — 42, No 2. — P. 1922-1929. Те ж саме.
Случайные величины з независимыми двоичными цыфрами, Дж.
Марсалья — Кибернет. сб. — 1983. — 20.— С. 216-224.
[2] Кац М. Статистическая независимость в теории вероятностей,
анализе и теории чисел (пер. с. англ.) — М.:Из-во иностранной
литературы, — 1963. — 156 с.
[3] Працевитый Н.В. Случайные величины с независимыми Q2-
символами // Асимптотические методы в исследовании стохасти-
ческих моделей. — Киев: Ин-т математики АН УССР, 1987. —
С.92–102.
[4] Працьовитий М.В. Фрактальний пiдхiд у дослiдженнях сингу-
лярних роподiлiв. — Київ: НПУ iменi М.П. Драгоманова, 1998 —
296с.
[5] Працьовитий М.В. Фрактальнi властивостi розподiлiв випадко-
вих величин, Q2-знаки яких утворюють однорiдний ланцюг Мар-
кова // Асимпотичний аналiз випадкових еволюцiй. — Київ: Iн-т
математики АН України, 1994 — С.245–254.
[6] Працьовитий М.В., Ратушняк С.П. Влативостi та розподiли зна-
чень фрактальних функцiй, пов’язаних зQ2-зображенням дiйсних
чисел // Теорiя ймовiрностей та математична статистика., Вип.
2(99)/2018. — С. 187–202.
[7] Salem R. On some singular monotonic functions with are stricly
increasing // Trans. Amer. Math. Soc. — 1943. — 53. — P. 423–439.
[8] Турбин А.Ф., Працевитый Н.В. Фрактальные множества, фун-
кции, распределения. - Київ: Наукова думка, 1992. - 208 с.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-448 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:07:32Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/79/d0872a549670496700913b9a3ae39379.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-4482023-03-02T07:56:21Z Незалежність цифр $Q_2$-зображення випадкової величини з заданим розподілом Працьовитий, М. В. Ратушняк, С. П. Let $\xi$ be a random variable with a given (uniform, exponential.) probability distribution on a segment $[0;1]$. We studyconditions for $Q_2$-digits $(\xi_n)$ of random variable$\xi=\Delta^{Q_2}_{\xi_1\xi_2...\xi_n...}$ to be independent. For $\xi$with exponential distribution, we prove that digits are independent ifand only if parameters $q_0$ and $q_1$ of this system ofrepresentation are equal to $\frac12$. Otherwise digits are dependentand this dependence is more complicated than Markov dependence. If the function of distribution of random variable with independent $Q_2$-digits has a positive derivative at all $Q_2$-binary points, then its distribution is uniform or exponential, moreover in the latter case the $Q_2$-representative is binary. Для в.в. $\xi$ з заданим на $[0;1]$ розподілом (рівномірним, експоненційним) вивчається питання незалежності цифр її $Q_2$-зображення: $\xi=\Delta^{Q_2}_{\xi_1\xi_2...\xi_n...}$. Доведено: при експоненційному розподілі в.в. $\xi$ її цифри є незалежними тоді і тільки тоді, коли основи $q_0$ і $q_1$ цієї системи зображення дорівнюють $\frac12$. В решті випадків цифри мають залежність складнішу марківської. Якщо функція розподілу в.в. з незалежними $Q_2$-цифрами має додатну похідну у всіх $Q_2$-бінарних точках, то її розподіл є рівномірним або експоненційним, причому для останнього $Q_2$-зображення є двійковим. Інститут математики НАН України 2019-12-26 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/448 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 16 No. 3 (2019): Фрактальний аналіз та суміжні питання; 79-91 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 16 № 3 (2019): Фрактальний аналіз та суміжні питання; 79-91 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 16 № 3 (2019): Фрактальний аналіз та суміжні питання; 79-91 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/448/445 Авторське право (c) 2019 М.В. Працьовитий, С.П. Ратушняк http://creativecommons.org/licenses/by/4.0 |
| spellingShingle | Працьовитий, М. В. Ратушняк, С. П. Незалежність цифр $Q_2$-зображення випадкової величини з заданим розподілом |
| title | Незалежність цифр $Q_2$-зображення випадкової величини з заданим розподілом |
| title_full | Незалежність цифр $Q_2$-зображення випадкової величини з заданим розподілом |
| title_fullStr | Незалежність цифр $Q_2$-зображення випадкової величини з заданим розподілом |
| title_full_unstemmed | Незалежність цифр $Q_2$-зображення випадкової величини з заданим розподілом |
| title_short | Незалежність цифр $Q_2$-зображення випадкової величини з заданим розподілом |
| title_sort | незалежність цифр $q_2$-зображення випадкової величини з заданим розподілом |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/448 |
| work_keys_str_mv | AT pracʹovitijmv nezaležnístʹcifrq2zobražennâvipadkovoíveličinizzadanimrozpodílom AT ratušnâksp nezaležnístʹcifrq2zobražennâvipadkovoíveličinizzadanimrozpodílom |