Symmetry groups admitted by one class of wave equations
Complete group classification of quasi-linear hyperbolic-type differential equations with arbitrary element dependent on three variables is presented.
Gespeichert in:
| Datum: | 2006 |
|---|---|
| Автори та афіліації: |
|
| Ключові слова: | keywords |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2006
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/458 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552957563633664 |
|---|---|
| author | Magda, O. Магда, О. |
| author_facet | Magda, O. Магда, О. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "О. Магда",
"institution": null
}
] |
| author_sort | Magda, O. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-08-13T10:42:30Z |
| description | Complete group classification of quasi-linear hyperbolic-type differential equations with arbitrary element dependent on three variables is presented. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:07:41Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iнституту математики НАН України 2006, т.3, N 2, 201–210
УДК 517.9
Симетрiйна класифiкацiя одного
класу хвильових рiвнянь
О.В. МАГДА
Iнститут математики НАН України, Київ
E-mail: magda@imath.kiev.ua
Здiйснено повну групову класифiкацiю квазiлiнiйних рiвнянь гiпербо-
лiчного типу з довiльним елементом, що залежить вiд трьох змiнних.
Complete group classification of quasi-linear hyperbolic-type differential
equations with arbitrary element dependent on three variables is presented.
1. Вступ. Диференцiальнi рiвняння з частинними похiдними гiпер-
болiчного типу займають важливе мiсце серед фундаментальних рiв-
нянь математичної фiзики. До них, зокрема, приводять задачi (на-
ближеного) опису процесiв коливань рiзноманiтної природи в тер-
мiнах диференцiальних рiвнянь. При цьому, як правило, обмежую-
ться першим наближенням, одержуючи лiнiйнi рiвняння. Основна
перевага такого пiдходу полягає у тому, що лiнiйнi диференцiальнi
рiвняння задовольняють принцип лiнiйної суперпозицiї. Цей прин-
цип обумовлює ефективнiсть застосування iснуючого на даний час
математичного апарату для аналiзу та розв’язування таких рiвнянь.
В рядi випадкiв опис процесiв коливань в термiнах лiнiйних рiв-
нянь є незадовiльним, оскiльки вiдповiдна математична модель не
“вiдчуває” бiльш тонких нелiнiйних ефектiв, притаманних дослiджу-
ваному процесовi. Класичним прикладом є солiтоннi рiвняння, що
описують суттєво нелiнiйний ефект фазового зсуву взаємодiючих
солiтонних розв’язкiв. Розв’язки лiнеаризованих солiтонних рiвнянь
очевидно не мають такої властивостi. Отже, наступному (бiльш то-
чному) наближенню реального процесу вiдповiдає нелiнiйна матема-
тична задача, для розв’язування i дослiдження якої є досить обме-
жений математичний апарат. Бiльше цього, якщо дослiджуються ди-
ференцiальнi рiвняння з довiльними функцiями, то взагалi не iснує
загальних методiв для їх точного iнтегрування.
Ця ситуацiя суттєво змiнюється, якщо вiдповiднi нелiнiйнi ди-
ференцiальнi рiвняння мають нетривiальнi симетрiйнi властивостi.
202 О.В. Магда
Дiйсно, за цiєї умови для їх аналiзу можна застосувати потужнi
методи теорiї груп та алгебр Лi (див., наприклад, [1–4]). У зв’яз-
ку iз цим актуальною є задача виокремлення iз заданого класу не-
лiнiйних рiвнянь тих, якi допускають нетривiальнi групи симетрiї.
Вiдзначимо, що задача класифiкацiї рiвнянь за їх групами симетрiї
є центральною проблемою класичного групового аналiзу диферен-
цiальних рiвнянь [1]. Вiдповiдна процедура називається груповою
класифiкацiєю диференцiальних рiвнянь. Групова класифiкацiя до-
зволяє окреслити коло задач, до яких можна застосовувати потужнi
теоретико-груповi методи. Одним iз результатiв такої класифiкацiї
є можливiсть побудови точних розв’язкiв складних нелiнiйних рiв-
нянь.
Дана стаття присвячена груповiй класифiкацiї квазiлiнiйних ди-
ференцiальних рiвнянь гiперболiчного типу
utx = f(t, x, u), fuu 6= 0. (1)
Тут i далi, u = u(t, x). Проблему групової класифiкацiї лiнiйних рiв-
нянь другого порядку з двома незалежними змiнними вивчав ще
С. Лi. Вiн, зокрема, довiв теoрему, яка стверджує, що лiнiйне ди-
ференцiальне рiвняння другого порядку з двoма незалежними змiн-
ними допускає не бiльш нiж трипараметричну групу нетривiальних
перетворень [5]. Повний розв’язок задачi групової класифiкацiї лiнiй-
них рiвнянь вигляду (1) було одержано Л.В. Овсяннiковим [6] (див.,
такoж, [1]). Також вiдзначимо роботу [7], де було проведено групову
класифiкацiю лiнiйних хвильових рiвнянь
utt = f2(x)uxx.
Також слiд вiдзначити роботи, де одержано (повний або частковий)
розв’язок задачi групової класифiкацiї таких одновимiрних нелiнiй-
них хвильових рiвнянь:
utt = uxx + F (t, x, u), [3, 9],
utt = −λuxx + F (u, ux), [10],
utt = [f(u)ux]x, [11, 12],
utt = f(ux)uxx, [13],
utt = [f(x, u)ux]x, [14],
utt = [f(u)ux + g(x, u)]x, [15],
Симетрiйна класифiкацiя одного класу хвильових рiвнянь 203
utt = f(x, ux)uxx + g(x, ux)x, [16].
2. Метод класифiкацiї та деякi попереднi результати. До
класу рiвнянь (1) був застосований метод групової класифiкацiї, ал-
горитм якого розроблений в [17]. Оскiльки виконання першого кроку
алгоритму методу групової класифiкацiї для рiвняння (1) вимагає
хоча й громiздких, але стандартних обчислень, ми тут на них не
зупиняємося, а вiдразу наводимо отриманi результати.
Твердження 1. Група iнварiантностi рiвняння (1) генерується
iнфiнiтезимальним оператором
Q = τ(t)∂t + ξ(x)∂x + (ku+ r(t, x))∂u, (2)
де стала k та функцiї τ , ξ, r, f задовольняють рiвнiсть
rtx + [k − τ ′ − ξ′]f = τft + ξfx + [ku+ r]fu. (3)
Твердження 2. Групу еквiвалентностi E рiвняння (1) складають
перетворення
1) t̄ = T (t), x̄ = X(x), v = mu+ Y (t, x),
2) t̄ = T (x), x̄ = X(t), v = mu+ Y (t, x), T ′X ′m 6= 0. (4)
Iз рiвностi (3) випливає, що у випадку довiльного значення f τ =
ξ = k = r = 0, тобто оператор Q (2) є нульовим. Тому, перш за
все, проводимо класифiкацiю рiвнянь вигляду (1), якi допускають
однопараметричнi групи перетворень.
Лема. З точнiстю до перетворень з групи E (4), iснує тiльки три
нееквiвалентних оператора (2), якi можуть бути вибранi у вигля-
дi:
Q = ∂t + ∂x + εu∂u (ε = 0, 1);
Q = ∂t + εu∂u (ε = 0, 1);
Q = u∂u, Q = g(t, x)∂u (g 6= 0).
Теорема 1. З точнiстю до еквiвалентностi iснують два нелiнiйнi
рiвняння вигляду (1), якi iнварiантнi вiдносно однопараметричних
груп локальних перетворень. Вiдповiднi одновимiрнi алгебри Лi та
значення функцiй f у цих рiвняннях такi:
A1
1 = 〈∂t + ∂x + εu∂u〉 (ε = 0, 1) : f = eεtf̃(θ, ω),
204 О.В. Магда
θ = t− x, ω = e−εtu, f̃ωω 6= 0;
A2
1 = 〈∂t + εu∂u〉 (ε = 0, 1) : f = eεtf̃(x, ω),
ω = e−εtu, f̃ωω 6= 0.
Для доведення теореми достатньо вiдiбрати тi iз операторiв, що
наведенi у формулюваннi леми, якi будуть складати базис однови-
мiрної алгебри iнварiантностi нелiнiйного рiвняння вигляду (1). Для
цього потрiбно для кожного з отриманих в лемi операторiв розв’я-
зати рiвняння (3).
Використовуючи оператори A1
1 та A2
1 знаходимо вiдповiднi нелi-
нiйнi рiвняння. Для двох останнiх операторiв безпосереднi обрахунки
показали, що вони можуть допускатися лише лiнiйними рiвняннями
вигляду (1). Також, безпосереднє використання стандартного алго-
ритму Лi–Овсяннiкова показало, що алгебри A1
1 та A2
1, у випадку
довiльних значень функцiй f̃ у вiдповiдних рiвняннях, є максималь-
ними алгебрами iнварiантностi цих рiвнянь.
3. Класифiкацiя рiвнянь (1), максимальнi алгебри iнва-
рiантностi яких мають розмiрнiсть вищу за одиницю. Опис
нелiнiйних рiвнянь, якi допускають алгебри iнварiантностi розмiр-
ностi вищої за 1, ми розпочинаємо з класифiкацiї рiвнянь, алгебри
iнварiантностi яких є напiвпростими алгебрами Лi, або мiстять такi
алгебри як пiдалгебри. Виявляється, що в класi операторiв (2) не
iснують реалiзацiї алгебри so(3), а реалiзацiї алгебри sl(2,R) з то-
чнiстю до еквiвалентностi, яку визначають перетворення (4) з групи
E рiвняння (1), вичерпуються такими алгебрами Лi:
1) 〈∂t, 1
2e
2t∂t,− 1
2e
−2t∂t〉;
2) 〈∂t, 1
2e
2t(∂t + ∂u),− 1
2e
−2t(∂t − ∂u)〉;
3) 〈∂t, 1
2e
2t(∂t + x∂u),− 1
2e
−2t(∂t − x∂u)〉;
4) 〈∂t + ∂x,
1
2e
2t∂t + 1
2e
2x∂x,− 1
2e
−2t∂t − 1
2e
−2x∂x +
+ ε[e−2x − e−2t]∂u〉, ε = 0, 1.
Перш нiж переходити до опису sl(2,R)-iнварiантних рiвнянь ви-
гляду (1), зупинимося на рiвняннi Лiувiлля
utx = λeu, λ 6= 0. (5)
Добре вiдомо, що максимальна група iнварiантностi цього рiвняння
Симетрiйна класифiкацiя одного класу хвильових рiвнянь 205
є нескiнченнопараметричною групою локальних перетворень, яка ге-
нерується оператором
Q = h(t)∂t + g(x)∂x − (h′ + g′)∂u,
де функцiї h та g є довiльними гладкими функцiями своїх аргумен-
тiв. Це рiвняння лiнеаризується (але нелокальними замiнами змiн-
них) й iнтегрується у загальному виглядi.
Повернемося до отриманих реалiзацiй алгебри sl(2,R). Подаль-
ший їх розгляд як алгебр iнварiантноcтi нелiнiйних рiвнянь вигля-
ду (1) показав що, реалiзацiї (1), (3), (4), де ε = 1, не можуть бути
алгебрами iнварiантностi нелiнiйних рiвнянь вигляду (1). Реалiзацiя
(2) є алгеброю iнварiантностi рiвняння
utx = f̃(x)e−2u, f̃ 6= 0.
Але замiна змiнних
t̄ = t, x̄ = x, u = − 1
2 (v − ln |f̃ |), v = v(t, x)
показує, що воно є еквiвалентним рiвнянню (5).
Нарештi, скориставшись замiною змiнних
t̄ = e−2t, x̄ = e−2x, v = u,
ми замiсть реалiзацiї 4), де ε = 0, розглянули реалiзацiю (в початко-
вих позначеннях змiнних)
〈∂t + ∂x, t∂t + x∂x, t
2∂t + x2∂x〉
i отримали, що вiдповiдне iнварiантне рiвняння має вигляд
utx = (t− x)−2f̃(u), f̃uu 6= 0. (6)
Якщо в (6) функцiя f̃ є довiльною функцiєю змiнної u, то вiдповiдна
реалiзацiя є максимальною алгеброю iнварiантностi цього рiвняння.
Подальше використання методу Овсяннiкова показало, що розшире-
ння симетрiї рiвняння (6) має мiсце лише тодi, коли f̃ = λeu+2. Але
замiна змiнних
t̄ = t, x̄ = x, u = v(t, x) + 2 ln |t− x|
зводить таке рiвняння до рiвняння Лiувiлля.
206 О.В. Магда
Отже, з точнiстю до еквiвалентностi нелiнiйнi рiвняння (1), алге-
бри iнварiантностi яких є напiвпростими алгебрами Лi або мiстять
їх як пiдалгебри, вичерпуються рiвняннями (5), (6).
Для повної групової класифiкацiї рiвняння (1) залишилося опи-
сати рiвняння, алгебри iнварiантностi яких є розв’язними алгебрами
Лi, розмiрнiсть яких вища за одиницю. З даною метою ми, перш за
все, провели побудову тих реалiзацiй двовимiрних алгебр Лi A2.1,
A2.2, якi можуть бути алгебрами iнварiантностi нелiнiйних рiвнянь
вигляду (1).
Виявилося, що в класi операторiв (2) з точнiстю до еквiвалентно-
стi iснує одна реалiзацiя алгебри A2.1:
〈∂t + ε1u∂u, ∂x + ε2u∂u〉 (ε1 = 0, 1; ε2 = 0, 1),
яка задовольняє умовам сформульованої задачi. Вiдповiдне iнварi-
антне рiвняння має вигляд
utx = exp(ε1t+ ε2x)f̃(ω), ω = u exp(−ε1t− ε2x). (7)
Подальше дослiдження рiвняння (7) показало, що у випадку ε1+ε2 6=
0 дана реалiзацiя є максимальною алгеброю iнварiантностi рiвнян-
ня (7). Якщо ж ε1 = ε2 = 0, тобто рiвняння має вигляд
utx = f(u), (8)
то його максимальною алгеброю iнварiантностi є тривимiрна алгебра
Лi операторiв симетрiї
〈∂t, ∂x, t∂t − x∂x〉,
яка iзоморфна алгебрi A3.6. Рiвняння (8) допускає бiльш широку
симетрiю, коли воно є еквiвалентним рiвнянню Лiувiлля (5) або рiв-
нянню
utx = λ|u|n+1, λ 6= 0, n 6= 0,−1. (9)
Максимальною алгеброю iнварiантностi рiвняння (9) (воно ще вiдо-
ме в лiтературi як нелiнiйне рiвняння Даламбера) є чотиривимiрна
алгебра Лi
〈t∂t − 1
nu∂u, x∂x −
1
nu∂u, ∂t, ∂x〉,
яка iзоморфна алгебрi Лi A2.2 ⊕A2.2.
Симетрiйна класифiкацiя одного класу хвильових рiвнянь 207
Подальший аналiз рiвняння (7), в якому ε1 + ε2 6= 0 показав таке.
Якщо ε1 = 1, ε2 = 0, то рiвняння (7) допускає розширення симе-
трiйних властивостей у таких двох випадках:
utx = λe−mt|u|m+1, λ 6= 0, m 6= 0,−1; (10)
utx = λet exp(ue−t), λ 6= 0. (11)
Максимальною алгеброю iнварiантностi рiвняння (9) є чотиривимiр-
на алгебра Лi
〈∂t + u∂u, e
mt∂t, ∂x, x∂x − 1
mu∂u〉,
яка iзоморфна алгебрi Лi A2.2 ⊕A2.2 i яке замiною змiнних
t̄ = e−mt, x̄ = x, u = v(t̄, x̄)
зводить рiвняння (10) до рiвняння вигляду (9).
Максимальною алгеброю iнварiантностi рiвняння (11) є триви-
мiрна алгебра Лi
〈∂t + u∂u, ∂x, x∂x − et∂u〉,
яка iзоморфна алгебрi A1 ⊕A2.2.
Опис A2.2-iнварiантних рiвнянь привiв до таких результатiв. В
класi операторiв (2) iснують шiсть нееквiвалентних реалiзацiй алге-
бри A2.2, якi задовольняють умовам сфоpмульованої задачi:
1) 〈−t∂t + x∂u, ∂t〉;
2) 〈−t∂t − x∂x, ∂t + ∂x〉;
3) 〈−t∂t − x∂x + u∂u, ∂t + ∂x〉; (12)
4) 〈−t∂t + ∂u, ∂t〉;
5) 〈−t∂t − x∂x − u∂u, ∂t〉;
6) 〈−t∂t − x∂x, ∂t〉.
Iнварiантне рiвняння, вiдповiдне реалiзацiї 1) має вигляд
utx = exp(x−1u). (13)
Його максимальною алгеброю iнварiантностi є тривимiрна алгебра
Лi
〈−t∂t + x∂u, ∂t, x∂x + u∂u〉,
яка iзоморфна алгебрi A2.2 ⊕A1.
208 О.В. Магда
Прямою перевiркою неважко переконатися, що замiна змiнних
t̄ = x, x̄ = et, u = v(t̄, x̄)
зводить отримане вище рiвняння (11) до рiвняння (13).
Iнварiантне вiдносно другої з перелiку (12) реалiзацiї рiвняння
має вигляд (6) i вже дослiджене пiд час опису sl(2,R)-iнварiантних
рiвнянь.
Реалiзацiя 3) з перелiку (11) є максимальною алгеброю iнварiан-
тностi рiвняння
utx = (t− x)−3f̃(ω), ω = (t− x)u. (14)
Подальший аналiз рiвняння (14) показав, що pозширення його симе-
трiї має мiсце, коли воно зводиться до вже отриманих вище рiвнянь.
Iнварiантне вiдносно реалiзацiї 4) з перелiку (12) рiвняння зводи-
ться до рiвняння Лiувiлля, а вiдносно реалiзацiї 6) – до рiвняння (8).
До нових результатiв привiв ще розгляд п’ятої реалiзацiї (11).
Вiдповiдне iнварiантне рiвняння має вигляд
utx = x−1f̃(ω), ω = x−1u,
i у випадку довiльного значення функцiї f̃ задає базис його мак-
симальної алгебри iнварiантностi. Подальша групова класифiкацiя
цього рiвняння привела до такого, ще невiдомого рiвняння:
utx = λ|x|−m−2|u|m+1, λ 6= 0, m 6= 0,−1,−2,
максимальна алгебра iнварiантностi якого є тривимiрною алгеброю
Лi
〈∂t, t∂t + x∂x + u∂u, x∂x + m+1
m u∂u〉,
яка iзоморфна алгебрi A2.2 ⊕A1.
Отриманi результати групової класифiкацiї рiвнянь вигляду (1),
алгебри iнварiантностi яких мають розмiрнiсть вищу за одиницю,
зведено в наступному твердженнi.
Теорема 2. Найширшу симетpiю серед нелiнiйних рiвнянь вигля-
ду (1) має рiвняння Лiувiлля
utx = λeu, λ 6= 0,
Симетрiйна класифiкацiя одного класу хвильових рiвнянь 209
максимальна група iнварiантноcтi якого є нескiнченнопараметри-
чною групою локальних перетворень. Ця група генерується iнфiнi-
тезимальними операторами вигляду
Q = h(t)∂t + g(x)∂x − (h′(t) + g′(x))∂u,
де h та g – довiльнi гладкi функцiї своїх аргументiв.
Також з точнiстю до еквiвалентностi iснують ще дев’ять рiв-
нянь вигляду (1), максимальнi алгебри iнварiантностi яких ма-
ють розмiрнiсть вищу за одиницю. Вигляд функцiй f у цих рiвня-
ннях, оператори симетрiї та тип алгебри iнварiантностi наведено
в таблицi.
№ Вигляд функцiї f Оператори симетрiї Тип алгебри
iнварiантностi
1 f = etf̃(ω), ∂t + u∂u, ∂x A2.1
ω = ue−t, f̃ωω 6= 0
2 f = et+xf̃(ω), ∂t + u∂u, A2.1
ω = ue−t−x, f̃ωω 6= 0 ∂x + u∂u
3 f = (t− x)−3f̃(ω), −t∂t − x∂x + u∂u, A2.2
ω = (t− x)u, f̃ωω 6= 0 ∂t + ∂x
4 f = x−1f̃(ω), −t∂t − x∂x − u∂u, A2.2
ω = x−1u, f̃ωω 6= 0 ∂t
5 f = (t− x)−2f̃(u), f̃uu 6= 0 ∂t + ∂x, t∂t + x∂x, sl(2,R)
t2∂t + x2∂x
6 f = ex
−1u −t∂t + x∂u, A2.2 ⊕A1
∂t, x∂x + u∂u
7 f = λ|x|−m−2|u|m+1, ∂t, t∂t − 1
m
u∂u, A2.2 ⊕A1
λ 6= 0, m 6= 0,−1,−2 x∂x + m+1
m
u∂u
8 f = f̃(u), f̃uu 6= 0 ∂t, ∂x, −t∂t − x∂x A3.6
9 f = λ|u|n+1, λ 6= 0, n 6= 0,−1 t∂t − 1
n
u∂u, A2.2 ⊕A2.2
x∂x − 1
n
u∂u, ∂t, ∂x
[1] Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. – Мо-
сква: Наука, 1978.
[2] Olver P.J. Applications of Lie groups to differential equations. – New York:
Springer-Verlag, 1986.
210 О.В. Магда
[3] Фущич В.И., Штелень В.М., Серов Н.И. Симметрийный анализ и точные
решения нелинейных уравнений математической физики. – Киев: Наукова
думка, 1989.
[4] Fushchych W.I., Zhdanov R.Z. Symmetries and exact solutions of nonlinear
Dirac equations. – Kyiv: Mathematical Ukraina Publishers, 1997.
[5] Lie S. Über die Integration durch bestimmte Inegrale einer Klasse linearer parti-
allen Differentialgleichungen // Arch. Math. – 1881. – 6, № 3. – S. 328–368.
[6] Овсянников Л.В. Групповые свойства уравнений С.А. Чаплыгина //Журн.
прикл. мех. и техн.физ. – 1960. – № 3. – P. 126–145.
[7] Bluman G.W., Kumei S. On invariance properties of the wave equation //
J. Math. Phys. – 1987. – 28. – P. 307–318.
[8] Lie S. Discussion der differential Gleichung d2z/dxdy = F (z) // Arch. Math. –
1881. – 8, № 1. – S. 112–125.
[9] Pucci E., Salvatori M.C. Group properties of a class of semilinear hyperbolic
equations // Int. J. Non-Linear Mech. – 1986. – 21, № 2. – P. 147–152.
[10] Pucci E. Group analysis of the equation utt + λuxx = g(u, ux) // Riv. Mat.
Univ. Parma. – 1987. – 12, № 4. – P. 71–87.
[11] Ames W.F., Adams E., Lohner R.J. Group properties of utt = [f(u)ux]x // Int.
J. Non-Linear Mech. – 1981. – 16, № 5–6. – P. 439–447.
[12] Oron A., Rosenau Ph. Some symmetries of the nonlinear heat and wave equati-
ons // Phys. Lett. A. – 1986. – 118, № 4. – P. 172–176.
[13] Suhubi E.S., Bakkaloǧlu A. Group poperties and similarity solutions for a quasi-
linear wave equation in the plane // Int. J. Non-Linear Mech. – 1991. – 26. –
P. 567–584.
[14] Torrisi M., Valenti A. Group properties and invariant solutions for infinitesimal
transformations of a nonlinear wave equation // Int. J. Non. Mech. – 1985. –
20. – P. 135–144.
[15] Torrisi M., Valenti A. Group analysis and some solutions of a nonlinear wave
equation // Atti Sem. Mat. Fis. Univ. Modena. – 1990. – 38. – P. 445–458.
[16] Ibragimov N.H., Torrisi M., Valenti A. Preliminary group classification of
equations vtt = f(x, vx)vxx+g(x, vx) // J. Math. Phys. – 1991. – 32. – P. 2988–
2995.
[17] Zhdanov R.Z., Lahno V.I. Group classification of heat conductivity equations
with a nonlinear source // J. Phys. A: Math. Gen. – 1999. – 32. – 7405–7418.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-458 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:07:41Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/39/1c815bc5f4eba137c9c4f377e0ad8839.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-4582020-08-13T10:42:30Z Symmetry groups admitted by one class of wave equations Симетрійна класифікація одного класу хвильових рівнянь Magda, O. Магда, О. Complete group classification of quasi-linear hyperbolic-type differential equations with arbitrary element dependent on three variables is presented. Здійснено повну групову класифікацію квазілінійних рівнянь гіперболічного типу з довільним елементом, що залежить від трьох змінних. Інститут математики НАН України 2006-11-14 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/458 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 3 No. 2 (2006): Symmetry and Integrability of Equations of Mathematical Physics (Dedicated to the 70-th Anniversary of Professor W.I. Fushchych); 201-210 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 3 № 2 (2006): Симетрія та інтегровність рівнянь математичної фізики (До 70-річчя від дня народження Вільгельма Ілліча Фущича); 201-210 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 3 № 2 (2006): Симетрія та інтегровність рівнянь математичної фізики (До 70-річчя від дня народження Вільгельма Ілліча Фущича); 201-210 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/458/454 Авторське право (c) 2020 О. Магда http://creativecommons.org/licenses/by/4.0 |
| spellingShingle | Magda, O. Магда, О. Symmetry groups admitted by one class of wave equations |
| title | Symmetry groups admitted by one class of wave equations |
| title_alt | Симетрійна класифікація одного класу хвильових рівнянь |
| title_full | Symmetry groups admitted by one class of wave equations |
| title_fullStr | Symmetry groups admitted by one class of wave equations |
| title_full_unstemmed | Symmetry groups admitted by one class of wave equations |
| title_short | Symmetry groups admitted by one class of wave equations |
| title_sort | symmetry groups admitted by one class of wave equations |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/458 |
| work_keys_str_mv | AT magdao symmetrygroupsadmittedbyoneclassofwaveequations AT magdao symmetrygroupsadmittedbyoneclassofwaveequations AT magdao simetríjnaklasifíkacíâodnogoklasuhvilʹovihrívnânʹ AT magdao simetríjnaklasifíkacíâodnogoklasuhvilʹovihrívnânʹ |