Reduction and exact solutions of a class of nonlinear reaction-diffusion systems with power coefficients
Non-Lie reduction and exact solutions of a class of nonlinear reaction-diffusion systems with power coefficients of diffusivity and interaction are obtained. In the particular case, the blow up solutions for some systems are constructed.
Gespeichert in:
| Datum: | 2006 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2006
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/461 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552960357040128 |
|---|---|
| author | Myroniuk, L. Cherniha, R. Миронюк, Л. Черніга, Р. |
| author_facet | Myroniuk, L. Cherniha, R. Миронюк, Л. Черніга, Р. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Л. Миронюк",
"institution": null
},
{
"author": "Р. Черніга",
"institution": null
}
] |
| author_sort | Myroniuk, L. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-08-13T10:42:30Z |
| description | Non-Lie reduction and exact solutions of a class of nonlinear reaction-diffusion systems with power coefficients of diffusivity and interaction are obtained. In the particular case, the blow up solutions for some systems are constructed. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:07:44Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iнституту математики НАН України 2006, т.3, N 2, 217–224
УДК 517.9:519.46
Редукцiя та розв’язки одного класу
систем нелiнiйних рiвнянь
реакцiї-дифузiї зi степеневими
нелiнiйностями
Л.П. МИРОНЮК †, Р.М. ЧЕРНIГА ‡
† Волинський державний унiверситет iменi Лесi Українки, Луцьк
† Iнститут математики НАН України, Київ
E-mail: cherniha@imath.kiev.ua
Проведено нелiївську редукцiю та знайдено точнi розв’язки класу не-
лiнiйних систем рiвнянь реакцiї-дифузiї зi степеневими коефiцiєнтами
дифузiї та взаємодiї. Зокрема, у явному виглядi отримано вибухаючi
розв’язки для окремих систем такого вигляду.
Non-Lie reduction and exact solutions of a class of nonlinear reaction-
diffusion systems with power coefficients of diffusivity and interaction are
obtained. In the particular case, the blow up solutions for some systems
are constructed.
1. Вступ. В цiй роботi розглядаються нелiнiйнi системи рiвнянь
реакцiї-дифузiї вигляду
Ut = (Uα1Ux)x + U(a1 + b1U
α1) + c1UV
α2 ,
Vt = (V α2Vx)x + V (a2 + b2V
α2) + c2V U
α1 , (1)
де αk, ak, bk, ck, k = 1, 2 – довiльнi сталi, U = U(t, x), V = V (t, x) –
шуканi функцiї. У випадку αk = 1, k = 1, 2, ця система набуває
вигляду
Ut = (UUx)x + U(a1 + b1U) + c1UV,
Vt = (V Vx)x + V (a2 + b2V ) + c2V U. (2)
Система (2) є природнiм узагальненням дифузивної системи Лот-
ки–Вольтера на випадок змiнних коефiцiєнтiв дифузiї. Зокрема, у ви-
падку V ≡ 0 система (2) набуває вигляду так званого пористого
218 Л.П. Миронюк, Р.М. Чернiга
рiвняння Фiшера, яке вивчалося в багатьох роботах (див., наприк-
лад, [1]). Як вiдомо, класична дифузiйна система Лотки–Вольтера
(тобто (2) зi сталими коефiцiєнтами дифузiї) була запропонована
для опису взаємодiї двох бiологiчних видiв, зокрема, в залежностi
вiд знакiв коефiцiєнтiв, вона є моделлю “хижак U – жертва V ” або
моделлю змагання чи симбiозу двох видiв. Проте давно встановлено,
що вона недостатньо точно описує цi процеси i має суттєвi недолiки
(див. детальнiше [1, п. 3.1]), тому на теперiшнiй час вивчаються рi-
зноманiтнi узагальнення цiєї системи (див., наприклад, [2] та цитова-
ну там лiтературу). Як одне з таких узагальнень може розглядатися
i система (1).
Робота побудована таким чином. В пунктi 2 система (1) зi сте-
пеневими нелiнiйностями замiною залежних змiнних зводиться до
системи з квадратичними нелiнiйностями. Отримана система мето-
дом додаткових породжуючих умов редукована до систем звичайних
диференцiальних рiвнянь (ЗДР). В пунктi 3 знайдено окремi випад-
ки, для яких побудованi розв’язки отриманих систем ЗДР в термiнах
елементарних функцiй. Для цих випадкiв отримано в явному виглядi
точнi розв’язки вiдповiдних систем реакцiї-дифузiї.
2. Редукцiя системи. Застосовуючи замiну U = u
1
α1 , V = v
1
α2
(див. [2]), зведемо систему (1) до вигляду:
ut = uuxx + 1
α1
u2
x + α1(a1u+ b1u
2) + α1c1uv,
vt = vvxx + 1
α2
v2
x + α2(a2v + b2v
2) + α2c2uv. (3)
Оскiльки (3) мiстить лише квадратичнi нелiнiйностi, то використо-
вуємо пiдхiд, запропонований в [3]. Як додаткову породжуючу умову
виберемо систему лiнiйних ЗДР третього порядку
β1(t)
du
dx
+ β2(t)
d2u
dx2
+
d3u
dx3
= 0,
β1(t)
dv
dx
+ β2(t)
d2v
dx2
+
d3v
dx3
= 0, (4)
де β1(t), β2(t) – довiльнi гладкi функцiї, а змiнна t розглядається
як параметр. З теорiї ЗДР вiдомо, що в залежностi вiд β1(t), β2(t)
розв’язки системи (4) можуть мати один з таких виглядiв:
u = ϕ0(t) + ϕ1(t)x+ ϕ2(t)x2,
v = ψ0(t) + ψ1(t)x+ ψ2(t)x2, (5)
Редукцiя та розв’язки одного класу систем 219
якщо β1 = β2 = 0;
u = ϕ0(t) + ϕ1(t)x+ ϕ2(t)eγ(t)x,
v = ψ0(t) + ψ1(t)x+ ψ2e
γ(t)x, (6)
якщо β1 = 0;
u = ϕ0(t) + ϕ1(t)eγ1(t)x + ϕ2(t)eγ2(t)x,
v = ψ0(t) + ψ1(t)eγ1(t)x + ψ2e
γ2(t)x, (7)
якщо γ1,2(t) = 1
2 (±
√
D − β2), D = β2
2 − 4β1 > 0, γ1 6= γ2;
u = ϕ0(t) + e−
β2x
2
(
ϕ1(t) cos
√
−D
2
x+ ϕ2(t) sin
√
−D
2
x
)
,
v = ψ0(t) + e−
β2x
2
(
ψ1(t) cos
√
−D
2
x+ ψ2(t) sin
√
−D
2
x
)
, (8)
якщо D < 0;
u = ϕ0(t) + ϕ1(t)eγ(t)x + xϕ2(t)eγ(t)x,
v = ψ0(t) + ψ1(t)eγ(t)x + xψ2(t)eγ(t)x, (9)
якщо D = 0, γ1 = γ2 = γ.
В формулах (5)–(9) ϕi(t), ψi(t), i = 0, 1, 2 є новими невiдомими
функцiями. Виявляється, що анзаци (5)–(9) редукують (3)до систем
ЗДР для функцiй ϕi(t), ψi(t) лише при певних додаткових умовах
на коефiцiєнти (3).
Розгляньмо це детально на прикладi анзацу (5). Знайшовши ut,
ux та uxx i пiдставивши в (3), одержимо такi вирази:
ϕ̇0(t) + ϕ̇1(t)x+ ϕ̇2(t)x2 = 2ϕ0ϕ1 + 1
α1
ϕ2
1 + α1a1ϕ0 + α1b1ϕ
2
0 +
+ α1c1ϕ0ψ0 + (2ϕ1ϕ2 + 4
α1
ϕ1ϕ2 + α1a1ϕ1 + 2α1b1ϕ0ϕ1 +
+ α1c1ϕ0ψ1 + α1c1ϕ1ψ0)x+ (2ϕ2
2 + 4
α1
ϕ2
2 + α1a1ϕ2 +
+ α1b1ϕ
2
1 + 2α1b1ϕ0ϕ2 + α1c1ϕ0ψ2 + α1c1ϕ2ψ0 +
+ α1c1ϕ1ψ1)x2 + (2α1b1ϕ1ϕ2 + α1c1ϕ1ψ2 + α1c1ϕ2ψ1)x3 +
+ (α1b1ϕ
2
2 + α1c1ϕ2ψ2)x4, (10)
ψ̇0(t) + ψ̇1(t)x+ ψ̇2(t)x2 = 2ψ0ψ1 + 1
α2
ψ2
1 + α2a2ψ0 + α2b2ψ
2
0 +
220 Л.П. Миронюк, Р.М. Чернiга
+ α2c2ϕ0ψ0 + (2ψ1ψ2 + 4
α2
ψ1ψ2 + α2a2ψ1 + 2α2b2ψ0ψ1 +
+ α2c2ϕ0ψ1 + α2c2ϕ1ψ0)x+ (2ψ2
2 + 4
α2
ψ2
2 + α2a2ψ2 +
+ α2b2ψ
2
1 + 2α2b2ψ0ψ2 + α2c2ϕ0ψ2 + α2c2ϕ2ψ0 +
+ α2c2ϕ1ψ1)x2 + (2α2b2ψ1ψ2 + α2c2ϕ1ψ2 + α2c2ϕ2ψ1)x3 +
+ (α2b2ψ
2
2 + α2c2ϕ2ψ2)x4. (11)
Розчеплення виразiв (10)–(11) за степенями x веде до 10 ЗДР
та алгебраїчних рiвнянь для функцiй ϕi(t), ψi(t), i = 0, 1, 2. Аналiз
показує, що ця система рiвнянь є сумiсною лише у випадку таких
спiввiдношень мiж коефiцiєнтами системи (3):
α1a1 = α2a2, α1c1 = α2b2, α2c2 = α1b1,
1 + 2
α1
=
(
1 + 2
α2
)(
− b1
c1
)
. (12)
Враховуючи цi спiввiдношення, для знаходження функцiй ϕ0, ψ0,
ϕ1 отримуємо систему ЗДР:
ϕ̇0 = 2C0ϕ0ϕ1 + 1
α1
ϕ2
1 + α1a1ϕ0 + α1b1ϕ
2
0 + α2b2ϕ0ψ0,
ψ̇0 = −2C0
b1
c1
ψ0ϕ1 + 1
α2
(
b1
c1
)2
ϕ2
1 + α1a1ψ0 + α2b2ψ
2
0 + α1b1ϕ0ψ0,
ϕ̇1 = 2
(
1 + 1
α1
)
ϕ1ϕ2 + α1a1ϕ1 + α2b2ϕ1ψ0 + α1b1ϕ0ϕ1, (13)
а решту функцiй знаходимо за формулами:
ϕ2 = C0ϕ1, ψ1 = −b1
c1
ϕ1, ψ2 = −b1
c1
C0ϕ1,
де C0 – довiльна стала.
Таким чином, маючи довiльний розв’язок системи ЗДР (13), отри-
муємо розв’язок системи (1) з умовами (12) на коефiцiєнти за фор-
мулами:
U = (ϕ0 + ϕ1x+ C0ϕ1x
2)
1
α1 ,
V =
(
ψ0 − b1
c1
ϕ1x− b1
c1
C0ϕ1x
2
) 1
α2 .
Провiвши аналогiчнi викладки у випадку анзацу (7), отримуємо
таку систему ЗДР для знаходження функцiй ϕ0, ψ0, ϕ1:
ϕ̇0 = α1a1ϕ0 + α1b1ϕ
2
0 + α1c1ϕ0ψ0 − 4
α1
γ2C0ϕ
2
1,
Редукцiя та розв’язки одного класу систем 221
ψ̇0 = α1a1ψ0 + α2b2ψ
2
0 + α2c2ϕ0ψ0 − 4
α2
γ2κ2C0ϕ
2
1,
ϕ̇1 = α1a1ϕ1 + α2c2ϕ0ϕ1 + α1c1ϕ1ψ0, (14)
а для знаходження решти функцiй отримуємо спiввiдношення:
ϕ2 = C0ϕ1, ψ1 = κϕ1, ψ2 = κC0ϕ1,
де C0 = const. Таку редукцiю можна здiйснити лише у випадку, коли
коефiцiєнти (3) задовольняють умови:
α1a1 = α2a2, γ2 = α1(α1b1 − α2c2) = α2(α2b2 − α1c1) > 0,
κ = −α1(α1b1 − α2c2) + 2α1b1 − α2c2
α1c1
=
= − α2c2
α2(α2b2 − α1c1) + 2α2b2 − α1c1
. (15)
Отже, довiльний розв’язок системи (14) (з умовами (15) на коефiцi-
єнти) породжує розв’язок системи (1) такого вигляду:
U = (ϕ0 + ϕ1e
γx + C0ϕ1e
−γx)
1
α1 ,
V = (ψ0 + κϕ1e
γx + κC0ϕ1e
−γx)
1
α2 .
Врештi-решт, у випадку використання анзацу (8), отримуємо таку
систему ЗДР для функцiй ϕ0, ψ0, ϕ1:
ϕ̇0 = α1a1ϕ0 + α1b1ϕ
2
0 + α1c1ϕ0ψ0 + 1
α1
γ2ϕ2
1(1 + C2
0 ),
ψ̇0 = α1a1ψ0 + α2b2ψ
2
0 + α2c2ϕ0ψ0 + 1
α2
γ2κ2ϕ2
1(1 + C2
0 ),
ϕ̇1 = α1a1ϕ1 + α2c2ϕ0ϕ1 + α1c1ϕ1ψ0, (16)
а решта функцiй визначаються за формулами:
ϕ2 = C0ϕ1, ψ1 = κϕ1, ψ2 = κC0ϕ1,
причому таку редукцiю можна здiйснити лише у випадку, коли кое-
фiцiєнти (3) задовольняють умови:
α1a1 = α2a2, γ2 = α1(α2c2 − α1b1) = α2(α1c1 − α2b2) > 0,
κ = −2α1b1 − α1(α2c2 − α1b1)− α2c2
α1c1
=
222 Л.П. Миронюк, Р.М. Чернiга
= − α2c2
2α2b2 − α2(α1c1 − α2b2)− α1c1
, (17)
Отже, довiльний розв’язок системи (16) породжує розв’язок си-
стеми (1)(з умовами (17) на коефiцiєнти ) вигляду:
U = (ϕ0 + ϕ1 cos(γx) + C0ϕ1 sin(γx))
1
α1 ,
V = (ψ0 + κϕ1 cos(γx) + κC0ϕ1 sin(γx))
1
α2 .
Нами також встановлено, що за допомогою анзацiв (6) i (9) мо-
жливо провести редукцiю системи (3) до систем ЗДР лише у випад-
ку, коли вони стають частинними випадками вiдповiдно анзацiв (5)
i (7).
3. Точнi розв’язки. Отриманi системи ЗДР (13), (14), (16) є
нелiнiйними i жодна з них в загальному виглядi не iнтегрується в
термiнах елементарних функцiй. Проте нам вдалося знайти випадки,
коли можна знайти їх частиннi розв’язки. Зокрема для системи (14)
при C0 = 0 можна побудувати її частиннi розв’язки, наклавши деякi
додатковi умови на коефiцiєнти.
I. Нехай a2 = −a1, b1 = b2 = c1 = c2 = b, α1 = ±
√
2, α2 = ∓
√
2,
κ = −(2±
√
2+3). При цих умовах отримуємо розв’язки системи (14)
вигляду
ϕ0 = C1e
±
√
2a1t, ψ0 = −C1e
±
√
2a1t,
ϕ1 = C2 exp
(
±
√
2a1t− 2bC1
a1
e±
√
2a1t
)
.
У пiдсумку отримуємо вiдповiднi розв’язки
U±
√
2 = u = C1e
±
√
2a1t +
+ C2 exp
(
±
√
2a1t− 2bC1
a1
e±
√
2a1t ±
√
2b±
√
2x
)
,
V ∓
√
2 = v = −C1e
±
√
2a1t + (18)
+ κC2 exp
(
±
√
2a1t−
2bC1
a1
e±
√
2a1t ±
√
2b±
√
21x
)
,
де C1 ≥ 0, C2 – довiльнi сталi, системи
Ut = (U±
√
2Ux)x + U(a1 + bU±
√
2) + bUV ∓
√
2,
Vt = (V ∓
√
2Vx)x + V (−a1 + bV ∓
√
2) + bV U±
√
2.
Редукцiя та розв’язки одного класу систем 223
II. Нехай a2 = −a1(α1 + 1) 6= 0, b1 = b2 = 0, c1 = c2 = c та
α2 = − α1
α1+1 . Тодi розв’язками системи (14) є
ϕ0 = (1 + α1)a1e
α1a1tA(t), ψ0 = −a1e
α1a1tA(t),
ϕ1 = C2c
2eα1a1tA2(t),
де A(t) = (ceα1a1t + C1a1(1 + α1))−1 i C1, C2 – довiльнi сталi.
У пiдсумку отримуємо вiдповiднi розв’язки
Uα1 = u = (1 + α1)a1e
α1a1tA(t) + C2c
2eα1a1tA2(t)e
±
√
c
1+α1
α1x,
V −
α1
α1+1 = v = −a1e
α1a1tA(t)− C2c
2eα1a1tA2(t)e
±
√
c
1+α1
α1x (19)
системи
Ut = (Uα1Ux)x + a1U + cUV −
α1
α1+1 ,
Vt = (V −
α1
α1+1Vx)x − (α1 + 1)a1V + cV Uα1 .
III. Нехай a1 = a2 = b1 = b2 = 0, c1 = c2 = c та α2 = − α1
α1+1 .
Розв’язками системи (14) є
ϕ0 =
1 + α1
α1c(t− t0)
, ψ0 = − 1
α1c(t− t0)
, ϕ1 =
C1
(t− t0)2
.
Отже, розв’язками системи
Ut = (Uα1Ux)x + cUV −
α1
α1+1 ,
Vt = (V −
α1
α1+1Vx)x + cV Uα1 ,
є функцiї
Uα1 = u =
1 + α1
α1c(t− t0)
+
C1
(t− t0)2
e
±
√
c
α1+1α1x,
V −
α1
α1+1 = v = − 1
α1c(t− t0)
+
C1
(t− t0)2
e
±
√
c
α1+1α1x. (20)
Важливо вiдзначити, що розв’язки (19) (при C1ca1(1 + α1) < 0)
та (20) є прикладами вибухаючих розв’язкiв спецiального типу – нео-
дночасно вибухаючi (non-simultaneous blow-up), якi порiвняно недав-
но стали вивчатися (див. [4, 5]). Справдi при α1 > 0 компонента U
224 Л.П. Миронюк, Р.М. Чернiга
в (19) i (20) перетворюється в нескiнченнiсть вiдповiдно за скiнчен-
ний промiжок часу t = 1
α1a1
ln |C1a1(1+α1)
c | та t = t0. Одночасно ком-
понента V залишається обмеженою. Якщо ж −1 < α1 < 0, то за
скiнченний промiжок часу “вибухає” компонента V , а компонента U
залишається обмеженою. Врештi-решт при α1 < −1 цей ефект не-
одночасного вибухання зникає, а U та V стають обмеженими для
будь-якого скiнченного моменту часу t.
[1] Murray J.D. Mathematical biology. – Berlin: Springer, 1989. – 750 p.
[2] Cherniha R.M., King J.R. Nonlinear reaction-diffusion systems with variable
diffusivities: Lie symmetries, ansätze and exact solutions // J. Math. Anal.
Appl. – 2005. – 308. – P. 11–35.
[3] Cherniha R.M. A constructive method for construction of new exact solutions of
nonlinear evolution equations // Rep. Math. Phys. – 1996. – 38. – P. 301–312.
[4] Quiros F., Rossi J.D. Non-simultaneous blow-up in a semilinear parabolic
system // Z. Angew. Math. Phys. – 2001. – 52. – P. 342–346.
[5] Brändle C., Quiros F., Rossi J.D. The role of non-linear diffusion in non-
simultaneous blow-up // J. Math. Anal. Appl. – 2005. – 308. – P. 92–104.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-461 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:07:44Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/e9/ce77621b785e0bee7e27a7088d5100e9.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-4612020-08-13T10:42:30Z Reduction and exact solutions of a class of nonlinear reaction-diffusion systems with power coefficients Редукція та розв'язки одного класу систем нелінійних рівнянь реакції-дифузії зі степеневими нелінійностями Myroniuk, L. Cherniha, R. Миронюк, Л. Черніга, Р. Non-Lie reduction and exact solutions of a class of nonlinear reaction-diffusion systems with power coefficients of diffusivity and interaction are obtained. In the particular case, the blow up solutions for some systems are constructed. Проведено неліївську редукцію та знайдено точні розв'язки класу нелінійних систем рівнянь реакції-дифузії зі степеневими коефіцієнтами дифузії та взаємодії. Зокрема, у явному вигляді отримано вибухаючі розв'язки для окремих систем такого вигляду. Інститут математики НАН України 2006-11-14 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/461 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 3 No. 2 (2006): Symmetry and Integrability of Equations of Mathematical Physics (Dedicated to the 70-th Anniversary of Professor W.I. Fushchych); 217-224 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 3 № 2 (2006): Симетрія та інтегровність рівнянь математичної фізики (До 70-річчя від дня народження Вільгельма Ілліча Фущича); 217-224 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 3 № 2 (2006): Симетрія та інтегровність рівнянь математичної фізики (До 70-річчя від дня народження Вільгельма Ілліча Фущича); 217-224 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/461/457 Авторське право (c) 2020 Л. Миронюк, Р. Черніга http://creativecommons.org/licenses/by/4.0 |
| spellingShingle | Myroniuk, L. Cherniha, R. Миронюк, Л. Черніга, Р. Reduction and exact solutions of a class of nonlinear reaction-diffusion systems with power coefficients |
| title | Reduction and exact solutions of a class of nonlinear reaction-diffusion systems with power coefficients |
| title_alt | Редукція та розв'язки одного класу систем нелінійних рівнянь реакції-дифузії зі степеневими нелінійностями |
| title_full | Reduction and exact solutions of a class of nonlinear reaction-diffusion systems with power coefficients |
| title_fullStr | Reduction and exact solutions of a class of nonlinear reaction-diffusion systems with power coefficients |
| title_full_unstemmed | Reduction and exact solutions of a class of nonlinear reaction-diffusion systems with power coefficients |
| title_short | Reduction and exact solutions of a class of nonlinear reaction-diffusion systems with power coefficients |
| title_sort | reduction and exact solutions of a class of nonlinear reaction-diffusion systems with power coefficients |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/461 |
| work_keys_str_mv | AT myroniukl reductionandexactsolutionsofaclassofnonlinearreactiondiffusionsystemswithpowercoefficients AT chernihar reductionandexactsolutionsofaclassofnonlinearreactiondiffusionsystemswithpowercoefficients AT mironûkl reductionandexactsolutionsofaclassofnonlinearreactiondiffusionsystemswithpowercoefficients AT černígar reductionandexactsolutionsofaclassofnonlinearreactiondiffusionsystemswithpowercoefficients AT myroniukl redukcíâtarozv039âzkiodnogoklasusistemnelíníjnihrívnânʹreakcíídifuzíízístepeneviminelíníjnostâmi AT chernihar redukcíâtarozv039âzkiodnogoklasusistemnelíníjnihrívnânʹreakcíídifuzíízístepeneviminelíníjnostâmi AT mironûkl redukcíâtarozv039âzkiodnogoklasusistemnelíníjnihrívnânʹreakcíídifuzíízístepeneviminelíníjnostâmi AT černígar redukcíâtarozv039âzkiodnogoklasusistemnelíníjnihrívnânʹreakcíídifuzíízístepeneviminelíníjnostâmi |