Generalization of bi-hamiltonian Lax representations and Darboux type tranformation operators
A method of generalization of bi-Hamiltonian dynamical systems is proposed. For integrating the obtained generalized systems the binary Darboux dressing-method is applied.
Збережено в:
| Дата: | 2006 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2006
|
| Онлайн доступ: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/471 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552971715215360 |
|---|---|
| author | Sydorenko, Yu. Сидоренко, Ю. |
| author_facet | Sydorenko, Yu. Сидоренко, Ю. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Ю. Сидоренко",
"institution": null
}
] |
| author_sort | Sydorenko, Yu. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-08-13T10:42:30Z |
| description | A method of generalization of bi-Hamiltonian dynamical systems is proposed. For integrating the obtained generalized systems the binary Darboux dressing-method is applied. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:07:55Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iнституту математики НАН України 2006, т.3, N 2, 276–283
УДК 517.9
Узагальнення бiгамiльтонових
зображень Лакса та оператори
перетворень типу Дарбу
Ю.М. СИДОРЕНКО
Львiвський нацiональний унiверситет iменi Iвана Франка
E-mail: y_sydorenko@franko.lviv.ua
Запропоновано метод узагальнення бiгамiльтонових динамiчних сис-
тем. Для iнтегрування отриманих систем використовується метод бi-
нарних одягаючих перетворень Дарбу.
A method of generalization of bi-Hamiltonian dynamical systems is propo-
sed. For integrating the obtained generalized systems the binary Darboux
dressing-method is applied.
1. Вступ. Робота складається iз вступу, двох роздiлiв i заключних
зауважень. У роздiлi 2 наводяться основнi поняття, означення i необ-
хiднi в подальших роздiлах формули i властивостi з теорiї формаль-
них символiв iнтегродиференцiальних операторiв. У роздiлi 3 побу-
довано векторне узагальнення породжуючого оператора нелiнiйної
моделi Шредiнгера, знайдено для нього групу операторiв перетворе-
ння типу Дарбу та доведена теорема Дарбу, яка дозволяє будувати
широкi класи точних розв’язкiв для нелiнiйної багатокомпонентної
моделi типу Шредiнгера.
2. Вихiднi положення. Розглянемо над полем C лiнiйний про-
стiр ζ мiкродиференцiальних операторiв (МДО) (формальних сим-
волiв) вигляду
L ∈ ζ =
n(L)∑
i=−∞
aiDi : i, n(L) ∈ Z
, (1)
де коефiцiєнти ai є матричними (N × N)-функцiями “просторової”
змiнної x = t1: ai ∈ MatN×N (R→ C) i еволюцiйних параметрiв t2 :=
t, t3, . . . . Матричнi коефiцiєнти ai(t), t = (t1, t2, . . .), вважаються
Узагальнення бiгамiльтонових зображень Лакса 277
гладкими функцiями векторної змiнної t, яка має скiнчену кiлькiсть
компонент, i належать деякому функцiональному простору H, який
є диференцiальною алгеброю стосовно звичайних арифметичних дiй,
а оператор диференцiювання D := ∂
∂x .
Структура алгебри Лi на лiнiйному просторi ζ визначається ко-
мутатором Лi [·, ·] : ζ × ζ → ζ, [L1, L2] = L1L2 − L2L1, де композицiя
(операторне множення) МДО L1 та L2 iндукується загальним пра-
вилом Лейбнiца
Dnf :=
∞∑
j=0
(
n
j
)
f (j)Dn−j , (2)
де n ∈ Z, f ∈ H ⊂ ζ, f (j) := ∂jf
∂xj ∈ H ⊂ ζ, DnDm = DmDn = Dn+m,
∀n,m ∈ Z,
(
n
j
)
:= n(n−1)···(n−j+1)
j! , j > 0;
(
n
0
)
:= 1.
Формула (2) задає композицiю оператора Dn ∈ ζ i оператора мно-
ження на функцiю f ∈ H ⊂ ζ (як оператора нульового порядку) на
вiдмiну вiд позначення Dk{f} := ∂kf
∂xk
∈ H, k ∈ Z+. Порядком опе-
ратора L =
n(L)∑
i=−∞
aiDi, де an(L) 6= 0, називається цiле число n(L):
ordL = n(L).
Для оператора S ∈ ζ транспонований i спряжений оператори за-
даються формулами
Sτ :=
n(S)∑
i=−∞
(−1)iDis>i , S∗ :=
n(S)∑
i=−∞
(−1)iDis∗i ,
де s∗i := s̄i
> – ермiтово-спряжена матриця, тобто S∗ := S̄τ , “>” –
символ операцiї звичайного матричного транспонування.
Пiд символом ϕD−1ψ> ∈ ζ згiдно правила Лейбнiца при n = −1
розумiємо формальний ряд
ϕD−1ψ> = ϕψ>D−1 − ϕψ>x D−2 + · · · =
∞∑
i=0
(−1)iϕ(ψ(i))>D−i−1,
де ϕ, ψ ∈ MatN×K(R→ C). Цей ряд є символом оператора Вольтери
K̂ по змiннiй x з виродженим ядром
K̂{f} =
∫ x
K(x, y)f(y) dy, K(x, y) = ϕ(x)ψ>(y).
278 Ю.М. Сидоренко
Нехай αn ∈ C, I 3 tn – еволюцiйний параметр з деякої множини
параметрiв I; 1 < n ∈ N, ∂tn := ∂
∂tn
– оператор диференцiювання;
∂tnf := f∂tn + ftn = f∂tn + ∂f
∂tn
, ∂tn{f} := ∂f
∂tn
, ∂tnDj = Dj∂tn . По-
значимо через E елемент центру алгебри ζ. Розглянемо множину ζ̂,
яка мiстить алгебру Лi ζ в якостi пiдмножини:
ζ̂ 3 (αn;S) ∼= αnE∂tn − S = αnE∂tn −
n(S)∑
i=−∞
siDi,
[(αn;A), (αm;B)] := (0;αmEAtm − αnEBtn + [A,B]) ∈ ζ̂.
Зауваження. З попередньої формули видно, що ζ̂ є мультиплiка-
тивно-замкненою вiдносно операцiї Лi (комутатора) множиною.
Таким чином, елементами множини ζ̂ є еволюцiйнi iнтегродифе-
ренцiальнi оператори вигляду ζ̂ 3 L = αnE∂tn −
n(L)∑
i=−∞
uiDi, ζ̂≥0 3
L≥0 = αnE∂tn −
n(L)∑
i=0
uiDi, ζ̂≤0 = ζ≤0.
Ермiтово-спряжений оператор L∗ має вигляд: L∗ := −ᾱnE∗∂tn −
n(L)∑
i=−∞
(−1)iDia∗i . Транспонований оператор Lτ i оператор L∗ задо-
вольняють спiввiдношення L∗ = L̄τ .
Надалi обмежимося випадком E = Iζ := I.
Нехай σ – невироджена стала матриця розмiрностi N ×N .
Означення 1. Iнтегро-диференцiальний оператор L називається σ-
косоермiтовим (ермiтовим), якщо L∗ = −σLσ−1 (L∗ = σLσ−1).
Означення 2. Iнтегро-диференцiальний оператор L називається σ-
кососиметричним (σ-симетричним), якщо Lτ =−σLσ−1 (Lτ =σLσ−1).
Очевидно, σ-косоермiтовi i σ-кососиметричнi iнтегро-диференцi-
альнi оператори утворюють мультиплiкативно-замкненi множини
стосовно операцiї Лi-комутатора ([A,B] := AB −BA).
Означення 3. Iнтегро-диференцiальний оператор W називається
σ-унiтарним, якщо W−1 = σW ∗σ−1.
Означення 4. Iнтегро-диференцiальний оператор W називається
σ-ортогональним, якщо W−1 = σW τσ−1.
Надалi через σi позначено стандартнi матрицi Паулi, i = 1, 2, 3.
Узагальнення бiгамiльтонових зображень Лакса 279
Лема 1. Нехай L0 ∈ ζ задовольняє 2 редукцiї:
1) L∗0 = −σ3L1σ3, 2) Lτ0 = σ2L1σ2.
Тодi L = WL0W
−1 задовольняє цi двi редукцiї тодi i лише тодi,
коли виконуються умови:
1) W – σ3-унiтарний, 2) W – σ2-ортогональний.
Доведення.
1) L∗0 = −σ3L0σ3,
L∗ = (WL0W
−1)∗ = (W−1)∗L∗0W
∗ =
= σ3Wσ3(−σ3L0σ3)σ3W
−1σ3 = −σ3WL0W
−1σ3 = −σ3Lσ3.
2. Lτ1 = σ2L0σ2,
Lτ2 = (WL0W
−1)τ = (W−1)τLτ0W
τ =
= σ2Wσ2(σ2L0σ2)σ2W
−1σ2 = σ2WL1W
−1σ2 = σ2Lσ2.
3. Побудова та iнтегрування рекурсiйних зображень Ла-
кса для нелiнiйного рiвняння Шрьодiнгера. Для нелiнiйного
рiвняння Шрьодiнгера (NS)
iq1t = q1xx + µ|q1|2q1 = K[q1], (3)
де q1(x, t) – скалярна комплекснозначна функцiя, µ ∈ R, вiдоме опе-
раторне зображення Лакса:
−iLt = [L,K ′τ ]⇐⇒ [L, i∂t −K ′τ ] = 0,
де оператор L називається породжуючим (рекурсiйним) оператором
i факторизується узгодженою парою гамiльтонових операторiв (див.,
наприклад, [1–3]),
L = σ3D + µ
(
q1
αq̄1
)
D−1(q̄1 − ᾱq1), µ ∈ R, |α|2 = 1,
K
′τ = σ3D2 +
(
2µ|q1|2 −µᾱq2
1
µαq̄2
1 −2µ|q1|2
)
, (4)
K ′ – похiдна Фреше оператора K.
Безпосереднiми обчисленнями нескладно перевiрити справедли-
вiсть наступного твердження для операторiв L iM := i∂t−K ′τ пари
Лакса (4).
280 Ю.М. Сидоренко
Твердження 1. 1) Оператор L є σ3-косоермiтовим та σ2-симет-
ричним, тобто
L∗ = −σ3Lσ3, Lτ = σ2Lσ2.
2) Оператор M є σ3-ермiтовим та σ2-кососиметричним, тобто
M∗ = σ3Mσ3, Mτ = −σ2Mσ2.
В цьому роздiлi ми будуємо комутуючу пару операторiв LNS i
MNS , якi є векторними узагальненнями пари Лакса L, M (4) i збе-
рiгають її властивостi, сформульованi в твердженнi 1.
Для пари операторiв LNS iMNS побудовано також групу перетво-
рень типу Дарбу, а вiдповiдна теорема Дарбу дозволяє побудувати
широкi класи точних розв’язкiв рiвняння Лакса [LNS ,MNS ] = 0, яке
рiвносильне векторному узагальненню нелiнiйного рiвняння Шрьо-
дiнгера (3).
Розглянемо пару операторiв:
L = σ3D + u+ qD−1r∗, (5)
M = i∂t − σ3D2 − vD − w, (6)
де
q =
(
q1
q2
)
=
(
q11, q12, . . . , q1l
q22, q22, . . . , q2l
)
,
r =
(
r1
r2
)
=
(
r11, r12, . . . , r1l
r22, r22, . . . , r2l
)
,
i кожна з чотирьох систем функцiй qi, ri є лiнiйно незалежною, i =
1, 2, l ∈ N, u =
(
0 u1
u2 0
)
, v =
(
v11 v12
v21 v22
)
, w =
(
w11 w12
w21 w22
)
,
тут uij , vij , wij , i, j = 1, 2 – гладкi функцiї змiнних x, t.
Теорема 1. Оператори L, M (5)–(6) комутують i задовольняють
твердження 1 тодi i тiльки тодi, якщо вони мають вигляд
L := LNS = σ3D +
(
q1
q̄1N>E
)
ND−1(q1
∗ − E∗N̄q1
>) =
= σ3D + Φ̆ND−1Φ̆∗σ3,
Узагальнення бiгамiльтонових зображень Лакса 281
M := MNS = i∂t − σ3D2 −
(
v11 0
0 v11
)
D − (7)
−
(
2q1Nq1
∗ −q1E
−1q1
>
q̄1Ē
−1q1
∗ −2q̄1N̄q1
>
)
, v11 = −v̄11, v11 = v11(t).
де q1 = (q1, q2, . . . , ql)(x) – l-компонентна комплекснозначна вектор-
функцiя, Φ̆ =
(
q1
q̄1N>E
)
, N ∈ Matl×l(C) – унiтарна, E ∈ Matl×l(C) –
симетрична, NĒN>E> = I, i вектор-функцiя q1 задовольняє рiв-
няння типу Шрьодiнгера
iq1t = q1xx + 2q1Nq∗1q1 − q1E
−1q>1 q̄1N
>E.
Доведення. Коефiцiєнти оператора M (6) виражаються через коефi-
цiєнти оператора L (5) з умови комутативностi [L,M ] = 0. Зв’язки
мiж коефiцiєнтами оператора L (5) рiвносильнi редукцiйним обме-
женням твердження 1. Векторне рiвняння типу Шрьодiнгера рiвно-
сильне умовi комутативностi операторiв LNS i MNS (7).
Теорема 2. Нехай ϕ =
(
ϕ1
iϕ̄1
)
– фiксована (2×K)-матриця розв’язкiв
лiнiйної системи:
σ3
(
ϕ1
iϕ̄1
)
x
=
(
ϕ1
iϕ̄1
)
Λ, де Λ ∈ MatK×K(iR),
i
(
ϕ1
iϕ̄1
)
t
= σ3
(
ϕ1
iϕ̄1
)
xx
, (8)
а f – довiльний розв’язок цiєї системи. Тодi
1) L := Wσ3DW−1 = σ3D + ΦN̆D−1Φ∗σ3, (9)
де
W := I + ΦD−1
(
ϕ1
iϕ̄1
)>
, (10)
Φ =
(
ϕ1
iϕ̄1
)(
C +
∫ x
(ϕ>1 ϕ̄1 − ϕ∗1ϕ1)ds
)−1
=:
(
Φ1
Φ2
)
,
ϕ>1 ϕ̄1 −ϕ∗1ϕ1 ∈ MatK×K(C) – ермiтова та кососиметрична матри-
чна функцiя, а сталi матрицi N̆ , C задовольняють спiввiдношення
N̆ = Λ>C − CΛ ∈ MatK×K(R) – симетрична; C∗ = C, C = −C>.
2) f → F = W{f}, де F є розв’язком рiвняння: L{F} = FΛ.
282 Ю.М. Сидоренко
Доведення. Оператор W (10) отримується з оператора загальних бi-
нарних перетворень Дарбу [4] пiсля врахування редукцiйних обме-
жень твердження 1 на власнi функцiї оператора L i спряженого опе-
ратора L∗. Неважко перевiрити, що оператори L0 = σ3D, M0 =
i∂t − σ3D2 i W задовольняють умови леми 1, отже i оператори L :=
WL0W
−1 та M := WM0W
−1 задовольняють редукцiйнi обмежен-
ня теореми 1. Явний вигляд операторiв L (9) i M (7) можна знайти
як в результатi безпосереднiх обчислень, так i як частковий випа-
док загального iнтегродиференцiального оператора L, отриманого в
роботi [4] пiсля врахування редукцiйних обмежень твердження 1.
Наслiдок 1. При K = l та N = N̆ функцiя
Φ1 = (Φ11,Φ12, . . . ,Φ1K)
є розв’язком l-компонентного нелiнiйного рiвняння Шрьодiнгера:
iq1t = q1xx + 2q1Nq∗1q1 − q1E
−1q>1 q̄1N
>E.
3. Заключнi зауваження. Один iз систематичних методiв отри-
мання векторно-матричних узагальнень вiдомих iнтегровних моде-
лей започатковано в роботах [5, 6] (див. також [7, 8]). Цей метод
базується на використаннi “нестандартних” – iнтегродиференцiаль-
них зображень Лакса. Використання iнших, специфiчних зображень
(теж iнтегродиференцiальних), пов’язаних з бiгамiльтоновiстю бiль-
шостi вiдомих iнтегровних моделей, коли вiдповiднi оператори Лакса
(рекурсiйнi оператори, див. наприклад [1–3]) виникають як факто-
ризацiя двох гамiльтонових, було продемонстровано з цiєю ж метою
в роботi [7] для скалярної алгебри ζ. В попередньому роздiлi ми роз-
ширили цей пiдхiд на випадок матричної алгебри ζ, в якiй крiм ре-
курсiйних зображень Лакса для НРШ мiститься також багато iнших
цiкавих зображень. Зокрема бiгамiльтоновi зображення рiзних моди-
фiкованих систем типуШрьодiнгера [1, 2], для яких можна отримати
аналогiчнi результати. Цим питанням планується присвятити окре-
му роботу.
[1] Сидоренко Ю.Н. О гамильтоновости некоторых двукомпонентных систем /
Вопросы квантовой теории поля и статистической физики. т. 6 // Зап. науч.
семин. ЛОМИ АН СССР. – 1986. – 150. – С. 143–153.
[2] Митропольский Ю.А., Боголюбов Н.Н. (мл.), Прикарпатский А.К., Са-
мойленко В.Г. Интегрируемые динамические системы: спектральные и
дифференциально-геометрические аспекты. – Киев: Наук. думка, 1987. –
296 с.
Узагальнення бiгамiльтонових зображень Лакса 283
[3] Тахтаджян Л.А., Фаддеев Л.Д. Гамильтонов подход в теории солитонов. –
Москва: Наука, 1986. – 528 c.
[4] Sydorenko Yu. Generalized binary Darboux-like theorem for constrained
Kadomtsev–Petviashvili (cKP) flows // Proceedings of Institute of Mathematics
of NAS of Ukraine, Kyiv. – 2004. – 50, Part 1. – P. 470–477.
[5] Sidorenko Yu. KP-hierachy and (1+1)-dimensional multicomponent integrable
systems // Укр. мат журн. – 1993. – 25. – С. 91–104.
[6] Sidorenko Yu., Strampp W. Multicomponents integrable reductions in
Kadomtsev–Petviashvilli hierarchy // J. Math. Phys. – 1993. – 34. – P. 1429–
1446.
[7] Беркела Ю.Ю., Сидоренко Ю.М. Векторно-матричнi узагальнення бiга-
мiльтонових динамiчних систем та їх iнтегрування // Математичнi студiї. –
2005.– 23. – С. 31–51.
[8] Притула Н.М., Сидоренко Ю.М. Теорема Дарбу для породжуючого опера-
тора нелiнiйної моделi Шредiнгера / Тези доповiдей мiжнародної конфе-
ренцiї “Математичний аналiз i сумiжнi питання”. – Львiв, 2005. – С. 83.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-471 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:07:55Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/68/6560225ed3bd51b749464b82aa067768.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-4712020-08-13T10:42:30Z Generalization of bi-hamiltonian Lax representations and Darboux type tranformation operators Узагальнення бігамільтонових зображень Лакса та оператори перетворень типу Дарбу Sydorenko, Yu. Сидоренко, Ю. A method of generalization of bi-Hamiltonian dynamical systems is proposed. For integrating the obtained generalized systems the binary Darboux dressing-method is applied. Запропоновано метод узагальнення бігамільтонових динамічних систем. Для інтегрування отриманих систем використовується метод бінарних одягаючих перетворень Дарбу. Інститут математики НАН України 2006-11-14 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/471 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 3 No. 2 (2006): Symmetry and Integrability of Equations of Mathematical Physics (Dedicated to the 70-th Anniversary of Professor W.I. Fushchych); 276-283 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 3 № 2 (2006): Симетрія та інтегровність рівнянь математичної фізики (До 70-річчя від дня народження Вільгельма Ілліча Фущича); 276-283 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 3 № 2 (2006): Симетрія та інтегровність рівнянь математичної фізики (До 70-річчя від дня народження Вільгельма Ілліча Фущича); 276-283 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/471/467 Авторське право (c) 2020 Ю. Сидоренко http://creativecommons.org/licenses/by/4.0 |
| spellingShingle | Sydorenko, Yu. Сидоренко, Ю. Generalization of bi-hamiltonian Lax representations and Darboux type tranformation operators |
| title | Generalization of bi-hamiltonian Lax representations and Darboux type tranformation operators |
| title_alt | Узагальнення бігамільтонових зображень Лакса та оператори перетворень типу Дарбу |
| title_full | Generalization of bi-hamiltonian Lax representations and Darboux type tranformation operators |
| title_fullStr | Generalization of bi-hamiltonian Lax representations and Darboux type tranformation operators |
| title_full_unstemmed | Generalization of bi-hamiltonian Lax representations and Darboux type tranformation operators |
| title_short | Generalization of bi-hamiltonian Lax representations and Darboux type tranformation operators |
| title_sort | generalization of bi-hamiltonian lax representations and darboux type tranformation operators |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/471 |
| work_keys_str_mv | AT sydorenkoyu generalizationofbihamiltonianlaxrepresentationsanddarbouxtypetranformationoperators AT sidorenkoû generalizationofbihamiltonianlaxrepresentationsanddarbouxtypetranformationoperators AT sydorenkoyu uzagalʹnennâbígamílʹtonovihzobraženʹlaksataoperatoriperetvorenʹtipudarbu AT sidorenkoû uzagalʹnennâbígamílʹtonovihzobraženʹlaksataoperatoriperetvorenʹtipudarbu |