Robast stabilisation and damping of external perturbations in systems with controlled and observed outputs
Methods for construction of control laws providing a robust stability and specified evaluation of the weighted damping level of input signals and initial perturbations are proposed for a class of systems with controllable and observable outputs. Realization of the methods using the static state feed...
Gespeichert in:
| Datum: | 2017 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2017
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/48 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552572861022208 |
|---|---|
| author | Mazko, O. G. Kusiy, S. M. Мазко, О. Г. Кусий, С. М. Мазко, О. Г. Кусiй, С. М. |
| author_facet | Mazko, O. G. Kusiy, S. M. Мазко, О. Г. Кусий, С. М. Мазко, О. Г. Кусiй, С. М. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "О. Г. Мазко",
"institution": "Інститут математики НАН України"
},
{
"author": "С. М. Кусiй",
"institution": "Інститут математики НАН України"
}
] |
| author_sort | Mazko, O. G. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-02-13T11:57:10Z |
| description | Methods for construction of control laws providing a robust stability and specified evaluation of the weighted damping level of input signals and initial perturbations are proposed for a class of systems with controllable and observable outputs. Realization of the methods using the static state feedback or the full order dynamic regulators reduces to solving the systems of linear matrix inequalities. The results are illustrated by an example for a stabilization system of a linear damped oscillator. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:01:34Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iнституту математики НАН України 2016, т. 13, № 3, 129–145
УДК 517.93; 519.711
Робастна стабiлiзацiя та гасiння
зовнiшнiх збурень у системах з
керованими i спостережуваними
виходами *
О. Г. Мазко 1, С.М. Кусiй 2
1 Iнститут математики НАН України, Київ;
mazko@imath.kiev.ua,
2 Iнститут математики НАН України, Київ;
sergii.kusii@gmail.com
Methods for construction of control laws providing a robust stability and
specified evaluation of the weighted damping level of input signals and
initial perturbations are proposed for a class of systems with controllable
and observable outputs. Realization of the methods using the static state
feedback or the full order dynamic regulators reduces to solving the systems
of linear matrix inequalities. The results are illustrated by an example for
a stabilization system of a linear damped oscillator.
Для класса систем с управляемыми и наблюдаемыми выходами пред-
ложены методы построения законов управления, обеспечивающих ро-
бастную устойчивость и заданную оценку взвешенного уровня гаше-
ния входных сигналов и начальных возмущений. Реализация данных
методов с использованием статической обратной связи по состоянию
или динамического регулятора полного порядка сводится к решению
систем линейных матричных неравенств. Полученные результаты про-
демонстрированы на примере системы стабилизации линейного осцил-
лятора с демпфированием.
1 Вступ
При дослiдженнi складних динамiчних систем використовуються ма-
тематичнi моделi у виглядi рiвнянь руху з невизначеними елементами
*Робота виконана за частковою пiдтримкою НДР № 0112U001015.
c○ Мазко О. Г., Кусiй С.М., 2016
130 Мазко О. Г., Кусiй С. М.
(параметрами, зовнiшнiми збуреннями тощо). Для таких систем пер-
шочерговими є задачi побудови статичних або динамiчних регулято-
рiв, що забезпечують робастну стiйкiсть станiв рiвноваги та зниження
впливу зовнiшнiх збурень на динамiку керованих об’єктiв. Цi зада-
чi можуть бути розв’язанi методами теорiї 𝐻∞-оптимiзацiї, а також
методами iнварiантних елiпсоїдiв (див., наприклад, [1–7]).
Слiд зазначити, що практичнi застосування багатьох методiв син-
тезу систем керування базуються на розв’язуваннi лiнiйних матри-
чних нерiвностей (ЛМН). Для цього створенi достатньо ефективнi
засоби LMI Toolbox комп’ютерної системи Matlab [8].
У данiй роботi для деякого класу систем з керованими i спостере-
жуваними виходами розробляються алгоритми побудови динамiчних
регуляторiв, що забезпечують верхню оцiнку зваженого рiвня гасiння
вхiдних сигналiв та початкових збурень, а також робастну стабiлiза-
цiю вiдносно заданої множини невизначеностей. При цьому викори-
стовуються критерiї якостi, що є аналогами 𝐻∞-норми передатної
матричної функцiї системи керування [9–11].
Будемо використовувати такi позначення:
∙ 𝐼𝑛 — одинична матриця порядку 𝑛;
∙ 0𝑛×𝑚 — нульова матриця розмiрiв 𝑛×𝑚;
∙ 𝑋 = 𝑋𝑇 > 0 (≥ 0) — додатно (невiд’ємно) визначена матриця 𝑋;
∙ i(𝑋) = {i+, i−, i0} — iнерцiя симетричної матрицi 𝑋, яку утворюють
кiлькостi її додатних, вiд’ємних i нульових власних значень, врахо-
вуючи кратностi;
∙ 𝜎(𝐴) — спектр матрицi 𝐴;
∙ 𝐵⊥ (𝐶⊥) — ортогональне доповнення матрицi 𝐵 ∈ ℝ𝑛×𝑚 (𝐶 ∈ ℝ𝑙×𝑛)
повного рангу 𝑚 (𝑙), що визначається спiввiдношеннями
𝐵𝑇𝐵⊥ = 0, det
[︀
𝐵,𝐵⊥]︀ ̸= 0 (𝐶⊥𝐶𝑇 = 0, det
[︀
𝐶𝑇 , 𝐶⊥𝑇 ]︀ ̸= 0);
∙ Ker𝐴 — ядро матрицi 𝐴;
∙ 𝑊𝐴 — матриця, стовпцi якої утворюють базис ядра матрицi 𝐴;
∙ Co{𝐴1, . . . , 𝐴𝜈} — опуклий многогранник (полiтоп) з вершинами
𝐴1, . . . , 𝐴𝜈 у просторi матриць.
∙ ‖𝑥‖ — евклiдова норма вектора 𝑥;
∙ ‖𝑥‖𝑄 — зважена 𝐿2-норма вектор-функцiї 𝑥(𝑡).
Робастна стабiлiзацiя та гасiння зовнiшнiх збурень у системах . . . 131
2 Допомiжнi твердження
При дослiдженнi матричних нерiвностей з блочно-матричними вира-
зами типу
𝑀 =
[︂
𝐴 𝐵𝑇
𝐵 𝐶
]︂
часто використовують наступне твердження.
Лема 2.1. (лема Шура [12]). Якщо дiагональний блок 𝐴 (𝐶) матрицi
𝑀 невироджений, то 𝑀 ≤ 0 тодi i лише тодi, коли
𝐴 < 0, 𝑀𝐴 = 𝐶 −𝐵𝐴−1𝐵𝑇 ≤ 0
(︀
𝐶 < 0, 𝑀𝐶 = 𝐴−𝐵𝑇𝐶−1𝐵 ≤ 0
)︀
.
При цьому 𝑀 < 0 ⇐⇒ 𝐴 < 0, 𝑀𝐴 < 0 ⇐⇒ 𝐶 < 0, 𝑀𝐶 < 0.
Лема 2.2. [13] Лiнiйна матрична нерiвнiсть
𝐴𝑇𝑋𝐵 +𝐵𝑇𝑋𝑇𝐴 < 𝐶, (1)
де 𝐴 ∈ ℝ𝑝×𝑛, 𝐵 ∈ ℝ𝑞×𝑛 i 𝐶 = 𝐶* ∈ ℝ𝑛×𝑛, має розв’язок 𝑋 ∈ ℝ𝑝×𝑞
тодi i лише тодi, коли виконується одна iз умов:
(a) rank𝐴 = 𝑛, rank𝐵 = 𝑛;
(b) rank𝐴 < 𝑛, rank𝐵 = 𝑛, 𝑊𝑇
𝐴𝐶𝑊𝐴 > 0;
(c) rank𝐵 < 𝑛, rank𝐴 = 𝑛, 𝑊𝑇
𝐵𝐶𝑊𝐵 > 0;
(d) rank𝐴 < 𝑛, rank𝐵 < 𝑛, 𝑊𝑇
𝐴𝐶𝑊𝐴 > 0, 𝑊𝑇
𝐵𝐶𝑊𝐵 > 0;
де 𝑊𝐴 i 𝑊𝐵 — матрицi, стовпцi яких складають базиси вiдповiдних
ядер kerA i kerB.
В [14] за умов леми 2.2 наведено загальний розв’язок матричної
нерiвностi (1) в параметричнiй формi.
Розглянемо динамiчну систему без керування
𝑥̇ = 𝐴𝑥+𝐵𝑤, 𝑧 = 𝐶𝑥+𝐷𝑤, 𝑥(0) = 𝑥0, (2)
де 𝑥 ∈ ℝ𝑛, 𝑤 ∈ ℝ𝑠 i 𝑧 ∈ ℝ𝑘 — вектори вiдповiдно стану, зовнiшнiх
збурень i виходу системи, 𝐴, 𝐵, 𝐶 i 𝐷 — сталi матрицi вiдповiдних
розмiрiв.
Означення 2.1. [9] Система (2) називається неекспансивною, якщо
її вектор виходу при довiльному 𝑇 > 0 задовольняє нерiвнiсть∫︁ 𝑇
0
𝑧𝑇𝑄𝑧𝑑𝑡 ≤
∫︁ 𝑇
0
𝑤𝑇𝑃𝑤𝑑𝑡+ 𝑥𝑇0𝑋0𝑥0,
𝑄 = 𝑄𝑇 > 0, 𝑃 = 𝑃𝑇 > 0 i 𝑋0 = 𝑋𝑇
0 > 0 — деякi матрицi.
132 Мазко О. Г., Кусiй С. М.
Введемо критерiї якостi системи (2) вiдносно її вектора виходу:
𝐽0 = sup
0<‖𝑤‖𝑃<∞
𝜙0(𝑤), 𝜙0(𝑤) =
‖𝑧‖𝑄
‖𝑤‖𝑃
, (3)
𝐽 = sup
0<‖𝑤‖2
𝑃+𝑥𝑇
0 𝑋0𝑥0<∞
𝜙(𝑤, 𝑥0), 𝜙(𝑤, 𝑥0) =
‖𝑧‖𝑄√︁
‖𝑤‖2𝑃 + 𝑥𝑇0𝑋0𝑥0
, (4)
де
‖𝑧‖2𝑄 =
∫︁ ∞
0
𝑧𝑇𝑄𝑧 𝑑𝑡, ‖𝑤‖2𝑃 =
∫︁ ∞
0
𝑤𝑇𝑃𝑤 𝑑𝑡.
Значення 𝐽 характеризує зважений рiвень гасiння зовнiшнiх i по-
чаткових збурень у системi (2). Даний критерiй якостi вiдомий у ви-
падку вагових матриць 𝑃 = 𝐼𝑠, 𝑄 = 𝐼𝑘 i 𝑋0 = 𝜌2𝐼𝑛 [5]. Характери-
стику системи 𝐽0 використовуємо у випадку нульового початкового
вектора 𝑥0. Очевидно, що 𝐽0 ≤ 𝐽 , оскiльки 𝜙(𝑤, 0) = 𝜙0(𝑤), тобто 𝐽0 i
𝐽 при 𝑥0 = 0 спiвпадають. Якщо система (2) неекспансивна, то 𝐽 ≤ 1.
Зворотне твердження для лiнiйних систем (2) також має мiсце [11].
Лема 2.3. Нехай матриця 𝐴 гурвiцева. Тодi оцiнка 𝐽0 < 𝛾 викону-
ється у тому i лише у тому випадку, коли ЛМН
Φ𝛾 =
[︂
𝐴𝑇𝑋 +𝑋𝐴+ 𝐶𝑇𝑄𝐶 𝑋𝐵 + 𝐶𝑇𝑄𝐷
𝐵𝑇𝑋 +𝐷𝑇𝑄𝐶 𝐷𝑇𝑄𝐷 − 𝛾2𝑃
]︂
< 0 (5)
має розв’язок 𝑋 = 𝑋𝑇 > 0. Для виконання оцiнки 𝐽 < 𝛾 необхiдно i
достатньо, щоб була сумiсною система ЛМН (5) i
0 < 𝑋 < 𝛾2𝑋0. (6)
Доведення. Достатнiсть. Побудуємо для системи (2) квадратичну
функцiю Ляпунова 𝑣(𝑥) = 𝑥𝑇𝑋𝑥 i обчислимо вираз
𝑣̇(𝑥) + 𝑧𝑇𝑄𝑧 − 𝛾2𝑤𝑇𝑃𝑤 = ̃︀𝑥𝑇Φ𝛾̃︀𝑥, ̃︀𝑥𝑇 = [𝑥𝑇 , 𝑤𝑇 ],
де 𝑣̇(𝑥) — похiдна даної функцiї у силу системи (2). Пiсля iнтегрува-
ння даного виразу, враховуючи спiввiдношення (5) i (6), отримаємо
‖𝑧‖2𝑄 ≤ 𝛾2(‖𝑤‖2𝑃+𝑥𝑇0𝑋0𝑥0) i 𝜙(𝑤, 𝑥0) ≤ 𝛾. Бiльше того, 𝜙(𝑤, 𝑥0) ≤ 𝛾−𝜀
для деякого 𝜀 > 0. Остання нерiвнiсть також є наслiдком строгих
матричних нерiвностей (5) i (6), якi виконуються при зменшеннi 𝛾 на
достатньо мале 𝜀. Отже, 𝐽 < 𝛾 i, зокрема, 𝐽0 < 𝛾 у випадку 𝑥0 = 0.
Робастна стабiлiзацiя та гасiння зовнiшнiх збурень у системах . . . 133
Необхiднiсть. Використаємо розклади додатно визначених матриць
𝑄 = ̃︀𝑄𝑇 ̃︀𝑄, 𝑃 = ̃︀𝑃𝑇 ̃︀𝑃 , 𝑋0 = ̃︀𝑋𝑇
0
̃︀𝑋0 i перетворимо систему (2):
̃̇︀𝑥 = ̃︀𝐴̃︀𝑥+ ̃︀𝐵 ̃︀𝑤, ̃︀𝑧 = ̃︀𝐶̃︀𝑥+ ̃︀𝐷 ̃︀𝑤, ̃︀𝑥(0) = ̃︀𝑥0, (7)
де ̃︀𝑥 = ̃︀𝑋0𝑥, ̃︀𝑧 = ̃︀𝑄𝑧, ̃︀𝑤 = ̃︀𝑃𝑤, ̃︀𝐴 = ̃︀𝑋0𝐴 ̃︀𝑋−1
0 , ̃︀𝐵 = ̃︀𝑋0𝐵 ̃︀𝑃−1,̃︀𝐶 = ̃︀𝑄𝐶 ̃︀𝑋−1
0 i ̃︀𝐷 = ̃︀𝑄𝐷 ̃︀𝑃−1. При цьому критерiй якостi (4) для систе-
ми (7) набуває вигляду
̃︀𝐽 = sup
0<‖ ̃︀𝑤‖2
𝐼𝑚
+̃︀𝑥𝑇
0 ̃︀𝑥0<∞
‖̃︀𝑧‖𝐼𝑙√︁
‖ ̃︀𝑤‖2𝐼𝑚 + ̃︀𝑥𝑇0 ̃︀𝑥0 .
Якщо ̃︀𝐽 < 𝛾, то для деякої матрицi ̃︀𝑋 = ̃︀𝑋𝑇 (див. [5, теорема 1])
0 < ̃︀𝑋 < 𝛾2𝐼𝑛, ̃︀Ω =
⎡⎢⎣ ̃︀𝐴𝑇 ̃︀𝑋 + ̃︀𝑋 ̃︀𝐴 ̃︀𝑋 ̃︀𝐵 ̃︀𝐶𝑇̃︀𝐵𝑇 ̃︀𝑋 −𝛾2𝐼𝑚 ̃︀𝐷𝑇̃︀𝐶 ̃︀𝐷 −𝐼𝑙
⎤⎥⎦ < 0,
або за законом iнерцiї
0 < 𝑋 < 𝛾2𝑋0, Ω = 𝑆𝑇 ̃︀Ω𝑆 =
⎡⎣ 𝐴𝑇𝑋 +𝑋𝐴 𝑋𝐵 𝐶𝑇
𝐵𝑇𝑋 −𝛾2𝑃 𝐷𝑇
𝐶 𝐷 −𝑄−1
⎤⎦ < 0,
де 𝑋 = ̃︀𝑋𝑇
0
̃︀𝑋 ̃︀𝑋0, 𝑆 = diag
{︀ ̃︀𝑋0, ̃︀𝑃 , ̃︀𝑄−1𝑇
}︀
. Останнє спiввiдношення за
лемою Шура еквiвалентне матричнiй нерiвностi (5).
Лему доведено.
Зауваження 2.1. Якщо Φ𝛾 < 0 для деякої матрицi 𝑋 = 𝑋𝑇 > 0, то
система (2) з невизначенiстю
𝑤 =
1
𝛾
Θ𝑧, Θ𝑇𝑃Θ ≤ 𝑄, (8)
робастно стiйка i має спiльну квадратичну функцiю Ляпунова 𝑣(𝑥) =
𝑥𝑇𝑋𝑥. Це твердження є наслiдком леми 2.3 i теореми 1 [15]. На мно-
жинi функцiй (8) функцiонали 𝜙0(𝑤) i 𝜙(𝑤, 𝑥0) в (3) i (4) приймають
мiнiмальнi значення, якщо виконується рiвнiсть Θ𝑇𝑃Θ = 𝑄. Зокре-
ма, у випадку 𝑘 ≤ 𝑠 маємо 𝜙0(𝑤) = 𝛾 при
Θ = (
√
𝑃 )−1𝐸
√︀
𝑄, 𝐸 =
{︃
𝐼𝑘, 𝑘 = 𝑠,[︀
𝐼𝑘, 0𝑘×𝑠−𝑘
]︀𝑇
, 𝑘 < 𝑠.
134 Мазко О. Г., Кусiй С. М.
Iз леми 2.3 також випливає, що критерiї якостi (3) i (4) системи
(2) можна обчислити як розв’язки вiдповiдних оптимiзацiйних задач:
𝐽0 = inf
{︀
𝛾 : Φ𝛾 < 0, 𝑋 > 0
}︀
, 𝐽 = inf
{︀
𝛾 : Φ𝛾 < 0, 0 < 𝑋 < 𝛾2𝑋0
}︀
.
(9)
Якщо в лемi 2.3 замiсть (5) використати нерiвнiсть Φ𝛾 ≤ 0, то отри-
маємо критерiї виконання нестрогих оцiнок 𝐽0 ≤ 𝛾 i 𝐽 ≤ 𝛾.
Узагальнимо систему (2) у виглядi
𝑥̇ = 𝐴(𝑥)𝑥+𝐵(𝑥)𝑤, 𝑧 = 𝐶(𝑥)𝑥+𝐷(𝑥)𝑤, 𝑥(0) = 𝑥0, (10)
де 𝐴(𝑥), 𝐵(𝑥), 𝐶(𝑥) i 𝐷(𝑥) — матричнi коефiцiєнти, неперервно за-
лежнi вiд 𝑥 у деякому околi 𝒮0 стану рiвноваги 𝑥 ≡ 0. Повторюючи
доведення достатностi леми 2.3 для системи (10), отримаємо наступне
твердження.
Лема 2.4. Для системи (10) виконується оцiнка 𝐽0 ≤ 𝛾, якщо iснує
матриця 𝑋 = 𝑋𝑇 > 0 така, що[︂
𝐴𝑇 (𝑥)𝑋 +𝑋𝐴(𝑥) + 𝐶𝑇 (𝑥)𝑄𝐶(𝑥) 𝑋𝐵(𝑥) + 𝐶𝑇 (𝑥)𝑄𝐷(𝑥)
𝐵𝑇 (𝑥)𝑋 +𝐷𝑇 (𝑥)𝑄𝐶(𝑥) 𝐷𝑇 (𝑥)𝑄𝐷(𝑥)− 𝛾2𝑃
]︂
< 0
(11)
при 𝑥 ∈ 𝒮0. Якщо до того ж 0 < 𝑋 ≤ 𝛾2𝑋0, то 𝐽 < 𝛾. При цьому
нульовий стан системи (10) з невизначенiстю (8) робастно стiйкий
зi спiльною функцiєю Ляпунова 𝑣(𝑥) = 𝑥𝑇𝑋𝑥.
Наведемо допомiжне твердження, яке вiдоме у випадку 𝛾 = 1 [5].
Лема 2.5. Для заданих матриць 𝑋 > 0, 𝑌 > 0 i числа 𝛾 > 0 iсну-
ють матрицi 𝑋1 ∈ ℝ𝑟×𝑛, 𝑋2 ∈ ℝ𝑟×𝑟, 𝑌1 ∈ ℝ𝑟×𝑛 i 𝑌2 ∈ ℝ𝑟×𝑟, що
задовольняють спiввiдношення
̂︀𝑋 =
[︂
𝑋 𝑋𝑇
1
𝑋1 𝑋2
]︂
> 0, ̂︀𝑌 =
[︂
𝑌 𝑌 𝑇1
𝑌1 𝑌2
]︂
> 0, ̂︀𝑋 ̂︀𝑌 = 𝛾2𝐼𝑛+𝑟, (12)
тодi i лише тодi, коли
𝑊 =
[︂
𝑋 𝛾𝐼𝑛
𝛾𝐼𝑛 𝑌
]︂
≥ 0, rank𝑊 ≤ 𝑛+ 𝑟. (13)
Доведення. Iз леми Шура i формули для рангу блочних матриць ви-
пливає еквiвалентнiсть спiввiдношень (13) i
𝑍 = 𝑌 − 𝛾2𝑋−1 ≥ 0, rank𝑍 ≤ 𝑟. (14)
Робастна стабiлiзацiя та гасiння зовнiшнiх збурень у системах . . . 135
Застосуємо формулу Фробенiуса [12] для обернення блочної матрицî︀𝑋 в (12):
1
𝛾2
[︂
𝑌 𝑌 𝑇1
𝑌1 𝑌2
]︂
=
[︂
𝑋−1 +𝑋−1𝑋𝑇
1 𝐻
−1𝑋1𝑋
−1 −𝑋−1𝑋𝑇
1 𝐻
−1
−𝐻−1𝑋1𝑋
−1 𝐻−1
]︂
,
де 𝐻 = 𝑋2−𝑋1𝑋
−1𝑋𝑇
1 . Звiдси маємо 𝑍 = 𝛾2𝑋−1𝑋𝑇
1 𝐻
−1𝑋1𝑋
−1 ≥ 0.
Це означає, що (14) є наслiдком (12).
Покажемо, що (12) є наслiдком (14), використовуючи, наприклад,
розклад невiд’ємно визначеної матрицi 𝑍 = 𝑉 𝑇𝑉 , де 𝑉 ∈ ℝ𝑟×𝑛 —
довiльна матриця така, що ker𝑉 = ker𝑍. Покладемо
𝑋1 =
1
𝛾
𝑉 𝑋, 𝑋2 =
1
𝛾2
𝑉 𝑋𝑉 𝑇 + 𝐼𝑟, 𝑌1 = −𝛾𝑉, 𝑌2 = 𝛾2𝐼𝑟. (15)
Тодi 𝐻 = 𝐼𝑟 > 0 i виконуються спiввiдношення (12).
Лему доведено.
3 Лiнiйнi системи з керованими i спостережувани-
ми виходами
Розглянемо систему керування
𝑥̇ = 𝐴𝑥+𝐵1𝑤 +𝐵2𝑢, 𝑥(0) = 𝑥0,
𝑧 = 𝐶1𝑥+𝐷11𝑤 +𝐷12𝑢,
𝑦 = 𝐶2𝑥+𝐷21𝑤 +𝐷22𝑢,
(16)
де 𝑥 ∈ ℝ𝑛, 𝑢 ∈ ℝ𝑚, 𝑤 ∈ ℝ𝑠, 𝑧 ∈ ℝ𝑘 i 𝑦 ∈ ℝ𝑙 — вектори вiдповiдно стану,
керування, зовнiшнiх збурень, керованого i спостережуваного вихо-
дiв, а всi матричнi коефiцiєнти вiдповiдних розмiрiв сталi. Нас цiкав-
лять керування, якi понижують критерiї якостi (3) i (4) та забезпечу-
ють умови неекспансивностi замкненої системи вiдносно вектора ке-
рованого виходу 𝑧. Статичнi та динамiчнi регулятори, якi мiнiмiзують
критерiй якостi 𝐽 , будемо називати 𝐽-оптимальними. 𝐽0-оптимальне
керування у випадку одиничних вагових матриць функцiоналу 𝜙0(𝑤)
є 𝐻∞-оптимальним.
3.1 Статичний регулятор по вимiрюваному виходу
Якщо керування у системi (16) шукати у виглядi статичного зворо-
тного зв’язку
𝑢 = 𝐾𝑦, det(𝐼𝑚 −𝐾𝐷22) ̸= 0, (17)
136 Мазко О. Г., Кусiй С. М.
то замкнена система набуває вигляду
𝑥̇ =𝑀𝑥+𝑁𝑤, 𝑧 = 𝐹𝑥+𝐺𝑤, 𝑥(0) = 𝑥0, (18)
де 𝑀 = 𝐴+𝐵2𝐾0𝐶2, 𝑁 = 𝐵1 +𝐵2𝐾0𝐷21, 𝐹 = 𝐶1 +𝐷12𝐾0𝐶2,
𝐺 = 𝐷11+𝐷12𝐾0𝐷21, 𝐾0 = (𝐼𝑚−𝐾𝐷22)
−1𝐾. Застосуємо лему 2.3 для
системи (18) i, враховуючи лему Шура, подамо критерiй виконання
оцiнки 𝐽0 < 𝛾 у виглядi⎡⎣ 𝑀𝑇𝑋 +𝑋𝑀 𝑋𝑁 𝐹𝑇
𝑁𝑇𝑋 −𝛾2𝑃 𝐺𝑇
𝐹 𝐺 −𝑄−1
⎤⎦ < 0. (19)
При цьому 𝑋 = 𝑋𝑇 > 0, а матриця 𝑀 повинна бути гурвiцевою.
Спiввiдношення (19) можна переписати у виглядi ЛМН вiдносно 𝐾0:̂︀𝐿𝑇𝐾0
̂︀𝑅+ ̂︀𝑅𝑇𝐾𝑇
0
̂︀𝐿+Ω < 0, (20)
де ̂︀𝑅 =
[︀
𝑅, 0𝑙×𝑘
]︀
, 𝑅 =
[︀
𝐶2, 𝐷21
]︀
, ̂︀𝐿 =
[︀
𝐿, 0𝑚×𝑠
]︀ ̃︀𝑋, 𝐿 =
[︀
𝐵𝑇2 , 𝐷
𝑇
12
]︀
,
̃︀𝑋 =
⎡⎣ 𝑋 0 0
0 0 𝐼𝑘
0 𝐼𝑠 0
⎤⎦ , Ω =
⎡⎣ 𝐴𝑇𝑋 +𝑋𝐴 𝑋𝐵1 𝐶𝑇1
𝐵𝑇1 𝑋 −𝛾2𝑃 𝐷𝑇
11
𝐶1 𝐷11 −𝑄−1
⎤⎦ .
Якщо матрична нерiвнiсть (20) сумiсна, то завжди можна вибрати
такий його розв’язок 𝐾0, щоб det(𝐼𝑚 −𝐾𝐷22) ̸= 0, де
𝐾 = 𝐾0(𝐼𝑙 +𝐷22𝐾0)
−1. (21)
Далi застосуємо твердження (d) леми 2.2 до нерiвностi (20). Оскiль-
ки
𝑊 ̂︀𝑅 =
[︂
𝑊𝑅 0
0 𝐼𝑘
]︂
, 𝑊̂︀𝐿 = ̃︀𝑋−1
[︂
𝑊𝐿 0
0 𝐼𝑠
]︂
,
то iснування розв’язку 𝐾0 матричної нерiвностi (20) еквiвалентне
спiввiдношенням
𝑊𝑇
𝑅
[︂
𝐴𝑇𝑋 +𝑋𝐴+ 𝐶𝑇1 𝑄𝐶1 𝑋𝐵1 + 𝐶𝑇1 𝑄𝐷11
𝐵𝑇1 𝑋 +𝐷𝑇
11𝑄𝐶1 𝐷𝑇
11𝑄𝐷11 − 𝛾2𝑃
]︂
𝑊𝑅 < 0, (22)
𝑊𝑇
𝐿
[︂
𝐴𝑌 + 𝑌 𝐴𝑇 +𝐵1𝑃
−1𝐵𝑇1 𝑌 𝐶𝑇1 +𝐵1𝑃
−1𝐷𝑇
11
𝐶1𝑌 +𝐷11𝑃
−1𝐵𝑇1 𝐷11𝑃
−1𝐷𝑇
11 − 𝛾2𝑄−1
]︂
𝑊𝐿 < 0, (23)
де 𝑌 = 𝛾2𝑋−1. Таким чином, доведено таке твердження.
Робастна стабiлiзацiя та гасiння зовнiшнiх збурень у системах . . . 137
Теорема 3.1. Для системи (16) iснує статичний регулятор (17),
що забезпечує оцiнку 𝐽0 < 𝛾 (𝐽 < 𝛾), тодi i лише тодi, коли для
деякої матрицi 𝑋 = 𝑋𝑇 > 0 виконується система спiввiдношень
(22) i (23)
(︀
(6), (22) i (23)
)︀
. При цьому замкнена система (18) з не-
визначенiстю (8) робастно стiйка i має спiльну функцiю Ляпунова
𝑣(𝑥) = 𝑥𝑇𝑋𝑥, а матрицю регулятора 𝐾 можна знайти у виглядi
(21), де 𝐾0 — розв’язок ЛМН (20).
Розглянемо випадок статичного зворотного зв’язку по стану: 𝐶2 =
𝐼𝑛, 𝐷21 = 0 i 𝐷22 = 0. Оскiльки 𝑋𝑌 = 𝛾2𝐼𝑛 i 𝑊𝑅 =
[︀
0𝑠×𝑛, 𝐼𝑠
]︀𝑇 , то в
цьому випадку спiввiдношення (6) i (22) набувають вигляду[︂
𝑋0 𝐼𝑛
𝐼𝑛 𝑌
]︂
> 0, (24)
𝐷𝑇
11𝑄𝐷11 − 𝛾2𝑃 < 0. (25)
Наслiдок 3.1. Для системи (16) iснує статичний регулятор по
стану 𝑢 = 𝐾𝑥, що забезпечує оцiнку 𝐽0 < 𝛾 (𝐽 < 𝛾), тодi i лише
тодi, коли для деякої матрицi 𝑌 = 𝑌 𝑇 > 0 виконується система
спiввiдношень (23) i (25)
(︀
(23) – (25)
)︀
. При цьому замкнена систе-
ма (18) з невизначенiстю (8) робастно стiйка i має спiльну функцiю
Ляпунова 𝑣(𝑥) = 𝛾2𝑥𝑇𝑌 −1𝑥, а матрицю регулятора 𝐾 можна зна-
йти у виглядi (21), де 𝐾0 — розв’язок ЛМН (20).
3.2 Динамiчний регулятор
Побудуємо динамiчний регулятор порядку 𝑟 з нульовим початковим
вектором:
𝜉 = 𝑍𝜉 + 𝑉 𝑦, 𝑢 = 𝑈𝜉 +𝐾𝑦, 𝜉(0) = 0, (26)
де 𝜉 ∈ ℝ𝑟 — вектор стану регулятора, 𝑍, 𝑉 , 𝑈 i 𝐾 — невiдомi матрицi
вiдповiдних розмiрiв 𝑟 × 𝑟, 𝑟 × 𝑙, 𝑚× 𝑟 i 𝑚× 𝑙. Припустимо, що
det(𝐼𝑚 −𝐾𝐷22) ̸= 0. (27)
Тодi замкнена система (16), (26) набуває вигляду
̂̇︀𝑥 = ̂︁𝑀̂︀𝑥+ ̂︀𝑁𝑤, 𝑧 = ̂︀𝐹 ̂︀𝑥+ ̂︀𝐺𝑤, ̂︀𝑥(0) = ̂︀𝑥0, (28)
де
̂︀𝑥 =
[︂
𝑥
𝜉
]︂
, ̂︁𝑀 =
[︂
𝐴+𝐵2𝐾0𝐶2 𝐵2𝑈0
𝑉0𝐶2 𝑍0
]︂
= ̂︀𝐴+ ̂︀𝐵2
̂︀𝐾0
̂︀𝐶2,
138 Мазко О. Г., Кусiй С. М.
̂︀𝑁 =
[︂
𝐵1 +𝐵2𝐾0𝐷21
𝑉0𝐷21
]︂
= ̂︀𝐵1 + ̂︀𝐵2
̂︀𝐾0
̂︀𝐷21,
̂︀𝐹 =
[︀
𝐶1 +𝐷12𝐾0𝐶2, 𝐷12𝑈0
]︀
= ̂︀𝐶1 + ̂︀𝐷12
̂︀𝐾0
̂︀𝐶2,
̂︀𝐺 = 𝐷11 +𝐷12𝐾0𝐷21 = 𝐷11 + ̂︀𝐷12
̂︀𝐾0
̂︀𝐷21,
̂︀𝐴 =
[︂
𝐴 0𝑛×𝑟
0𝑟×𝑛 0𝑟×𝑟
]︂
, ̂︀𝐵2 =
[︂
𝐵2 0𝑛×𝑟
0𝑟×𝑚 𝐼𝑟
]︂
, ̂︀𝐶2 =
[︂
𝐶2 0𝑙×𝑟
0𝑟×𝑛 𝐼𝑟
]︂
,
̂︀𝐾0 =
[︂
𝐾0 𝑈0
𝑉0 𝑍0
]︂
, ̂︀𝐵1 =
[︂
𝐵1
0𝑟×𝑠
]︂
, ̂︀𝐷21 =
[︂
𝐷21
0𝑟×𝑠
]︂
,
̂︀𝐶1 =
[︀
𝐶1, 0𝑘×𝑟
]︀
, ̂︀𝐷12 =
[︀
𝐷12, 0𝑘×𝑟
]︀
.
Тут невiдомими є блоки матрицi ̂︀𝐾0
𝐾0 = (𝐼𝑚 −𝐾𝐷22)
−1𝐾, 𝑈0 = (𝐼𝑚 −𝐾𝐷22)
−1𝑈,
𝑉0 = 𝑉 (𝐼𝑙 −𝐷22𝐾)−1, 𝑍0 = 𝑍 + 𝑉 𝐷22(𝐼𝑚 −𝐾𝐷22)
−1𝑈,
якi однозначно визначають шуканi матрицi динамiчного регулятора
(26):
𝐾 = (𝐼𝑚 +𝐾0𝐷22)
−1𝐾0, 𝑈 = (𝐼𝑚 +𝐾0𝐷22)
−1𝑈0,
𝑉 = 𝑉0(𝐼𝑙 +𝐷22𝐾0)
−1, 𝑍 = 𝑍0 − 𝑉0𝐷22(𝐼𝑚 +𝐾0𝐷22)
−1𝑈0.
(29)
Застосуємо твердження леми 2.3 для системи (28) i, враховуючи
лему Шура, перепишемо критерiй виконання оцiнки 𝐽0 < 𝛾 у виглядi⎡⎢⎣ ̂︁𝑀𝑇 ̂︀𝑋 + ̂︀𝑋̂︁𝑀 ̂︀𝑋 ̂︀𝑁 ̂︀𝐹𝑇̂︀𝑁𝑇 ̂︀𝑋 −𝛾2𝑃 ̂︀𝐺𝑇̂︀𝐹 ̂︀𝐺 −𝑄−1
⎤⎥⎦ < 0, ̂︀𝑋 =
[︂
𝑋 𝑋𝑇
1
𝑋1 𝑋2
]︂
> 0.
(30)
При цьому матриця ̂︁𝑀 повинна бути гурвiцевою. Оскiльки крите-
рiй якостi ̂︀𝐽 типу (4) для системи (28) з початковим вектором ̂︀𝑥0 =[︀
𝑥𝑇0 , 0
]︀𝑇 спiвпадає з 𝐽 , де 𝑋0 — перший дiагональний блок матрицî︀𝑋0, то iснування розв’язку системи (30) при обмеженнi (6) еквiвален-
тне нерiвностi 𝐽 < 𝛾 i у випадку 𝛾 = 1 забезпечує неекспансивнiсть
системи вiдносно критерiя якостi 𝐽 .
Робастна стабiлiзацiя та гасiння зовнiшнiх збурень у системах . . . 139
Враховуючи блочну структуру матриць в (28), перепишемо перше
спiввiдношення (30) у виглядi ЛМН вiдносно ̂︀𝐾0:̂︀𝐿𝑇 ̂︀𝐾0
̂︀𝑅+ ̂︀𝑅𝑇 ̂︀𝐾𝑇
0
̂︀𝐿+ ̂︀Ω < 0, (31)
де ̂︀𝑅 =
[︀ ̂︀𝑅1, 0𝑙+𝑟×𝑘
]︀
, ̂︀𝑅1 =
[︀ ̂︀𝐶2, ̂︀𝐷21
]︀
,̂︀𝐿 =
[︀̂︀𝐿1, 0𝑚+𝑟×𝑠
]︀ ̃︀𝑋, ̂︀𝐿1 =
[︀ ̂︀𝐵𝑇2 , ̂︀𝐷𝑇
12
]︀
,
̃︀𝑋 =
⎡⎣ ̂︀𝑋 0 0
0 0 𝐼𝑘
0 𝐼𝑠 0
⎤⎦ , ̂︀Ω =
⎡⎢⎣ ̂︀𝐴𝑇 ̂︀𝑋 + ̂︀𝑋 ̂︀𝐴 ̂︀𝑋 ̂︀𝐵1
̂︀𝐶𝑇1̂︀𝐵𝑇1 ̂︀𝑋 −𝛾2𝑃 𝐷𝑇
11̂︀𝐶1 𝐷11 −𝑄−1
⎤⎥⎦ .
Якщо дана нерiвнiсть сумiсна, то завжди можна вибрати такий розв’я-
зок ̂︀𝐾0, щоб виконувалась умова (27).
Оскiльки
𝑊 ̂︀𝑅 =
[︂
𝑊 ̂︀𝑅1
0
0 𝐼𝑘
]︂
, 𝑊̂︀𝐿 = ̃︀𝑋−1
[︂
𝑊̂︀𝐿1
0
0 𝐼𝑠
]︂
,
то iснування розв’язку ̂︀𝐾0 матричної нерiвностi (31) еквiвалентне
спiввiдношенням (див. лему 2.2)
𝑊𝑇̂︀𝑅1
[︃ ̂︀𝐴𝑇 ̂︀𝑋 + ̂︀𝑋 ̂︀𝐴+ ̂︀𝐶𝑇1 𝑄 ̂︀𝐶1
̂︀𝑋 ̂︀𝐵1 + ̂︀𝐶𝑇1 𝑄𝐷11̂︀𝐵𝑇1 ̂︀𝑋 +𝐷𝑇
11𝑄
̂︀𝐶1 𝐷𝑇
11𝑄𝐷11 − 𝛾2𝑃
]︃
𝑊 ̂︀𝑅1
< 0,
𝑊𝑇̂︀𝐿1
[︃ ̂︀𝐴̂︀𝑌 + ̂︀𝑌 ̂︀𝐴𝑇 + ̂︀𝐵1𝑃
−1 ̂︀𝐵𝑇1 ̂︀𝑌 ̂︀𝐶𝑇1 + ̂︀𝐵1𝑃
−1𝐷𝑇
11̂︀𝐶1
̂︀𝑌 +𝐷11𝑃
−1 ̂︀𝐵𝑇1 𝐷11𝑃
−1𝐷𝑇
11 − 𝛾2𝑄−1
]︃
𝑊̂︀𝐿1
< 0,
де ̂︀𝑌 = 𝛾2 ̂︀𝑋−1. Далi, використовуючи блочнi вирази
𝑊 ̂︀𝑅1
=
⎡⎣ 𝐼𝑛 0 0
0 0 𝐼𝑟
0 𝐼𝑠 0
⎤⎦[︂ 𝑊𝑅
0𝑟× 𝑠1
]︂
, 𝑅 =
[︀
𝐶2, 𝐷21
]︀
,
𝑊̂︀𝐿1
=
⎡⎣ 𝐼𝑛 0 0
0 0 𝐼𝑟
0 𝐼𝑘 0
⎤⎦[︂ 𝑊𝐿
0𝑟× 𝑘1
]︂
, 𝐿 =
[︀
𝐵𝑇2 , 𝐷
𝑇
12
]︀
,
де 𝑠1 = 𝑛+ 𝑠− rank𝑅 i 𝑘1 = 𝑛+ 𝑘 − rank𝐿, отриманi спiввiдношення
набувають вигляду (22) i (23), де 𝑋 i 𝑌 — першi дiагональнi блоки
матриць (12).
Таким чином, враховуючи лему 2.5, доведено таке твердження.
140 Мазко О. Г., Кусiй С. М.
Теорема 3.2. Для системи (16) iснує динамiчний регулятор (26),
що забезпечує оцiнку 𝐽0 < 𝛾 (𝐽 < 𝛾), тодi i лише тодi, коли система
спiввiдношень (13), (22) i (23)
(︀
(6), (13), (22) i (23)
)︀
сумiсна вiдносно
матриць 𝑋 = 𝑋𝑇 > 0 i 𝑌 = 𝑌 𝑇 > 0. При цьому замкнена система
(28) з невизначенiстю (8) робастно стiйка i має спiльну функцiю
Ляпунова 𝑣(̂︀𝑥) = ̂︀𝑥𝑇 ̂︀𝑋̂︀𝑥, де ̂︀𝑋 — розв’язок ЛМН (30).
4 Алгоритм побудови динамiчного регулятора
Наведемо алгоритм побудови динамiчного регулятора (26), який за-
безпечує оцiнки 𝐽0 < 𝛾 i 𝐽 < 𝛾.
Алгоритм 4.1. 1) обчислення матриць 𝑊𝑅 i 𝑊𝐿, де 𝑅 =
[︀
𝐶2, 𝐷21
]︀
,
𝐿 =
[︀
𝐵𝑇2 , 𝐷
𝑇
12
]︀
;
2) знаходження матриць 𝑋 = 𝑋𝑇 > 0 i 𝑌 = 𝑌 𝑇 > 0, якi задоволь-
няють систему спiввiдношень (6), (13), (22) i (23);
3) побудова розкладу 𝑍 = 𝑌 −𝛾2𝑋−1 = 𝑉 𝑇𝑉 , де 𝑉 ∈ ℝ𝑟×𝑛, ker𝑉 =
ker𝑍, i формування блочної матрицi
̂︀𝑋 =
[︂
𝑋 𝑋𝑇
1
𝑋1 𝑋2
]︂
> 0, 𝑋1 =
1
𝛾
𝑉 𝑋, 𝑋2 =
1
𝛾2
𝑉 𝑋𝑉 𝑇 + 𝐼𝑟;
4) розв’язання ЛМН (31) вiдносно ̂︀𝐾0 при обмеженнi (27);
5) обчислення матриць регулятора (26) за формулами (29).
Для забезпечення оцiнки 𝐽0 < 𝛾 додаткове обмеження (6) в п.
2) даного алгоритму можна не використовувати. При визначеннi ма-
триць 𝑋 i 𝑌 у випадку динамiчного регулятора повного порядку ви-
конується рангове обмеження в (13) i необхiдно розв’язати систему
ЛМН. Всi iншi блоки матриць (12) можуть бути визначенi за допо-
могою спiввiдношень (15).
Можна сформулювати аналоги теореми 3.2 i вiдповiднi алгоритми
побудови регуляторiв для системи (16), в яких враховуються невизна-
ченостi полiедрального типу
𝐴 ∈ Co{𝐴1, . . . , 𝐴𝜈1}, 𝐵1 ∈ Co{𝐵1
1 , . . . , 𝐵
𝜈2
1 },
𝐶1 ∈ Co{𝐶1
1 , . . . , 𝐶
𝜈3
1 }, 𝐷11 ∈ Co{𝐷1
11, . . . , 𝐷
𝜈4
11},
а матрицi 𝑃 i 𝑄 разом з 𝑋 i 𝑌 визначаються при розв’язаннi системи
матричних нерiвностей типу (22) i (23), сформованої для всiх вершин
заданих полiтопiв.
Робастна стабiлiзацiя та гасiння зовнiшнiх збурень у системах . . . 141
Викладенi методи побудови статичних та динамiчних регуляторiв
типу (17) i (26) можна застосувати до бiльш загального класу нелi-
нiйних систем з керованими i спостережуваними виходами
𝑥̇ = 𝐴(𝑥)𝑥+𝐵1(𝑥)𝑤 +𝐵2(𝑥)𝑢, 𝑥(0) = 𝑥0,
𝑧 = 𝐶1(𝑥)𝑥+𝐷11(𝑥)𝑤 +𝐷12(𝑥)𝑢,
𝑦 = 𝐶2(𝑥)𝑥+𝐷21(𝑥)𝑤 +𝐷22(𝑥)𝑢,
(32)
де всi матричнi коефiцiєнти є неперервними функцiями стану 𝑥 ∈ 𝒮0.
При цьому виконується висновок про робастну стабiлiзацiю нульового
стану рiвноваги вiдповiдних замкнених нелiнiйних систем типу (18)
i (28) з невизначенiстю (8) (див. зауваження 2.1), а характеристики
якостi 𝐽0 i 𝐽 даних систем можна оцiнити за допомогою леми 2.4.
Зазначимо, що для побудови наближених 𝐽-оптимальних зако-
нiв керування для наведених класiв систем можуть бути застосованi
твердження теорем 3.1 i 3.2 при мiнiмально можливих значеннях па-
раметра 𝛾.
5 Приклад. Гасiння коливань лiнiйного осцилято-
ра.
Розглянемо рiвняння руху керованого лiнiйного осцилятора з демп-
фуванням
𝜙+ 𝛿𝜙̇+ 𝜔2
0𝜙 = 𝑢+ 𝑤, (33)
де 𝛿 i 𝜔0 — вiдповiдно коефiцiєнт демпфування i власна частота коли-
вань осцилятора, 𝑢 — керування, а 𝑤 — обмежене зовнiшнє збурення.
Нехай 𝑧 =
[︀
𝜙, 𝑢
]︀𝑇 — керований, а 𝑦 = 𝜙 — спостережуваний виходи
даної системи, яка подається у виглядi (16), де
𝐴 =
[︂
0 1
−𝜔2
0 −𝛿
]︂
, 𝐵1 = 𝐵2 =
[︂
0
1
]︂
, 𝐶1 =
[︂
1 0
0 0
]︂
, 𝐶2 =
[︀
1, 0
]︀
,
𝐷11 =
[︂
0
0
]︂
, 𝐷12 =
[︂
0
1
]︂
, 𝐷21 = 𝐷22 = 0, 𝑥 =
[︂
𝜙
𝜙̇
]︂
.
Для системи без керування (𝑢 = 0) згiдно з (9) знайдено вiдпо-
вiднi характеристики 𝐽0 = 1, 001 i 𝐽 = 1, 289 при таких значеннях
параметрiв:
𝛿 = 0, 1, 𝜔0 = 1, 𝑃 = 1, 𝑄 =
[︂
𝑞1 0
0 𝑞2
]︂
, 𝑋0 =
[︂
𝜌1 0
0 𝜌2
]︂
,
142 Мазко О. Г., Кусiй С. М.
0
4
5
3 0,8
10
0,62
0,41
0,2
Рис 1. Залежнiсть 𝐽 вiд 𝛿 i 𝜔0.
-1
4
0
2 4
1
20
0-2
-2
-4 -4
Рис 2. Область невизначеностi.
1
1,5
0,4
2
0,08
2,5
0,3
0,06
3
0,2 0,04
0,020,1
Рис 3. Залежнiсть 𝐽0 вiд 𝑞1 i 𝑞2
(система без керування).
0,2
0,4
0,4
0,6
0,08
0,8
0,3
1
0,06
0,2 0,04
0,020,1
Рис 4. Залежнiсть 𝐽0 вiд 𝑞1 i 𝑞2
(замкнена система).
де 𝑞1 = 0, 01, 𝑞2 = 0, 1, 𝜌1 = 𝜌2 = 0, 04. Дослiджено залежностi даних
характеристик вiд 𝛿 i 𝜔0, а також вiд дiагональних елементiв вагових
матриць 𝑄 i 𝑋0 (див. рис. 1, 3 i 5). Рiвень гасiння зовнiшнiх i почат-
кових збурень осцилятора зменшується при збiльшеннi його власної
частоти коливань i майже не змiнюється при збiльшеннi коефiцiєнта
демпфування (рис. 1).
Далi, застосовуючи алгоритм 4.1, проводилась мiнiмiзацiя пара-
метра 𝛾, при якому виконується теорема 3.2. В результатi при 𝛾 =
0, 865 наближено побудовано 𝐽-оптимальний динамiчний регулятор
Робастна стабiлiзацiя та гасiння зовнiшнiх збурень у системах . . . 143
1
0,4
1,5
0,40,3
0,30,2
2
0,2
0,1 0,1
Рис 5. Залежнiсть 𝐽 вiд 𝜌1 i 𝜌2
(система без керування).
0
0,5
0,4
1
0,3 0,4
0,30,2
1,5
0,2
0,1
0,1
Рис 6. Залежнiсть 𝐽 вiд 𝜌1 i 𝜌2
(замкнена система).
0 5 10 15 20 25
-2,5
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
x
1
x
2
Рис 7. Поведiнка системи без
керування з початковим
вектором 𝑥0 = [1,−2]𝑇 .
0 5 10 15 20 25
-2,5
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
x
1
x
2
1
2
Рис 8. Поведiнка замкненої
системи з початковим вектором̂︀𝑥0 = [1,−2, 0, 0]𝑇 .
(26) повного порядку з матрицями
𝑍 =
[︂
−0, 06612 −0, 09307
0, 23117 −1, 05843
]︂
, 𝑉 =
[︂
−0, 00037
0, 11011
]︂
,
𝑈 =
[︀
− 0, 31404 3, 90247
]︀
, 𝐾 = −0, 23776,
який забезпечує властивостi робастної стiйкостi i неекспансивностi
144 Мазко О. Г., Кусiй С. М.
замкненої системи (28), матриця ̂︁𝑀 якої має спектр
𝜎(̂︁𝑀) =
{︀
− 0, 16870± 1, 01840 𝑖; −0, 78994; −0, 09722
}︀
.
Даний регулятор суттєво понизив рiвнi гасiння зовнiшнiх i почат-
кових збурень (див. порiвняння значень функцiй 𝐽0(𝑞1, 𝑞2) i 𝐽(𝜌1, 𝜌2)
для системи без керування (рис. 3, 5) i замкненої системи (рис. 4, 6)).
Так, для наведених значень параметрiв i матриць регулятора 𝐽0 =
0, 39062 < 𝐽 = 0, 86181 < 1.
Осцилятор з побудованим регулятором (26) зберiгає асимптотичну
стiйкiсть при довiльнiй функцiї збурення (невизначеностi)
𝑤(𝑡) =
1
𝛾
𝜃𝑧(𝑡), 𝜃 = [𝜃1, 𝜃2],
𝜃21
𝑞1
+
𝜃22
𝑞2
≤ 1, |𝑤| ≤ 1
𝛾
√︀
𝑞1𝜙2 + 𝑞2𝑢2, (34)
значення якої знаходяться мiж двома поверхнями (див. рис. 2).
На рис. 7 показана поведiнка розв’язкiв системи без керування з
початковим вектором 𝑥0 = [1,−2]𝑇 , а на рис. 8 — поведiнка розв’язкiв
замкненої системи (28) з регулятором (26) i початковим вектором̂︀𝑥0 = [1,−2, 0, 0]𝑇 . При цьому функцiя збурення 𝑤 задана у виглядi
(34) при 𝜃1 =
√︀
𝑞1/2 i 𝜃2 =
√︀
𝑞2/2.
6 Висновок
Для класу лiнiйних систем з керованими та спостережуваними ви-
ходами розроблено методи побудови законiв керування, якi забезпе-
чують властивiсть неекспансивностi, оцiнку та оптимiзацiю крите-
рiїв якостi, що характеризують зваженi рiвнi гасiння зовнiшнiх та
початкових збурень, а також робастну стабiлiзацiю вiдносно зада-
ної множини невизначеностей. Запропонований алгоритм побудови
стабiлiзуючих регуляторiв може бути застосований до деякого класу
нелiнiйних систем керування. Його чисельна реалiзацiя базується на
розв’язуваннi систем лiнiйних матричних нерiвностей iз залученням
ефективних засобiв комп’ютерної системи Matlab.
Основнi результати роботи продемонстровано на прикладi керо-
ваного лiнiйного осцилятора з демпфуванням.
[1] Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. —
М.: Наука, 2002. — 303 с.
Робастна стабiлiзацiя та гасiння зовнiшнiх збурень у системах . . . 145
[2] Кунцевич В.М. Управление в условиях неопределенности: гаранти-
рованные результаты в задачах управления и идентификации. — К.:
Наук. думка, 2006. — 264 с.
[3] Dullerud G.E., Paganini F.G. A Course in Robust Control Theory. A
Convex Approach. — Berlin: Springer-Verlag, 2000. — 419 p.
[4] Баландин Д.В., Коган М.М. Синтез законов управления на основе
линейных матричных неравенств. — М.: Физматлит, 2007. — 280 с.
[5] Баландин Д.В., Коган М.М. Обобщенное 𝐻∞-оптимальное управ-
ление как компромисс между 𝐻∞-оптимальным и 𝛾-оптимальным
управлениями // Автоматика и телемеханика. — 2010. — № 6. — С.
20–38.
[6] Ларин В.Б., Туник А.А. О компенсации внешних возмущений дина-
мической обратной связью по выходной переменной // Прикладная
механика. — 2006. — 42, 5. — С. 132–144.
[7] Назин С.А., Поляк Б.Т., Топунов М.В. Подавление ограниченных
внешних возмущений с помощью метода инвариантных эллипсоидов
// Автоматика и телемеханика. — 2007. — № 3. — С. 106–125.
[8] Gahinet P., Nemirovski A., Laub A. J., Chilali M. The LMI Control
Toolbox. For Use with Matlab. User’s Guide. — Natick, MA: The
MathWorks, Inc., 1995. — 138 p.
[9] Мазко А. Г. Робастная устойчивость и стабилизация динамических си-
стем. Методы матричных и конусных неравенств // Працi Iнституту
математики НАН України. — Київ, 2016. — 102. — 332 с.
[10] Мазко А. Г., Кусий С.Н. Стабилизация по измеряемому выходу и
оценка уровня гашения возмущений в системах управления // Нелi-
нiйнi коливання. — 2015. — 18, 3. — С. 373–387.
[11] Мазко О. Г., Кусiй С.М. Задачi стабiлiзацiї i гасiння зовнiшнiх збурень
в системах керування // Математичнi проблеми механiки та обчи-
слювальної математики: Зб. праць Iн-ту математики НАН України. —
2015. — 12, 5. — С. 90–108.
[12] Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1988. — 552 с.
[13] Gahinet P., Apkarian P. A Linear Matrix Inequality Approach to 𝐻∞
Control // Intern. J. of Robust and Nonlinear Control. — 1994. — 4. —
P. 421 – 448.
[14] Баландин Д.В., Коган М.М. Применение линейных матричных не-
равенств в синтезе законов управления. — Нижний Новгород: ННГУ,
2010. — 93 с.
[15] Мазко А. Г. Робастная устойчивость и оценка функционала качества
нелинейных систем управления // Автоматика и телемеханика. —
2015. — № 2. — С. 73–88.
1. Луковський І.О., Гаврилюк І.О., Василик В.Б., Ситник Д.О.
2. Біленко В. І., Божонок К. В., Дзядик С. Ю., Стеля О. Б.
Інтегро–апроксимаційний алгоритм
Вступ
Постановка задачі
Алгоритм
Похибка алгоритму
Застосування a–методу для алгебраїчно–нелінійних рівнянь гіперболічного типу
Задача Дирихле для алгебраїчно–нелінійних рівнянь еліптичного типу на прямокутнику
Наближений розв'язок початкової задачі для алгебраїчно–нелінійних рівнянь параболічного типу на прямокутнику
Сплайн–алгоритм
Монотонна схема для рівняння конвекції–дифузії
Висновки
3. Василик В.Б., Макаров В.Л., Ситник Д.О.
Вступ
Регуляризація та явне зображення розв'язку
Вибір контуру інтегрування
Чисельний метод
4. Веселовська Г.М.
5. Грушковская В.В.
Введение
Построение модельной системы
Условия устойчивости
Оценка скорости убывания решений
Пример: оценка скорости затухания колебаний маятниковой системы с частичной диссипацией
Выводы
6. Дзюбенко Г.А.
Вступ
Допоміжні факти
Доведення Теореми ??
7. Діденко Ю.Ф., Денисенко В.І.
8. Елишевич М.А.
Постановка задачи
Полученный результат
Пример
9. Константинов А.В., Лимарченко О.С., Кинебас К.В., Паранькина О.Ю.
Введение
Объект исследования и математическая модель
Результаты вычислительных экспериментов
Выводы
10. Мазко О.Г., Кусій С.М.
Вступ
Допоміжні твердження
Лінійні системи з керованими і спостережуваними виходами
Статичний регулятор по вимірюваному виходу
Динамічний регулятор
Алгоритм побудови динамічного регулятора
Приклад. Гасіння коливань лінійного осцилятора.
Висновок
11. Працьовитий М. В., Маслова Ю. П.
Вступ
Функція Радемахера і ряди Уолша
Узагальнення функцій Радемахера
Узагальнення функцій Уолша
12. Працьовитий М.В., Чуйков А.С.
Вступ
Оператори лівостороннього та правостороннього зсуву елементів ланцюгового дробу
Інші функції, пов'язані з оператором T(x)
13. Новицький В.В., Зінчук М.О., Коломійчук О.П., Тетерятник О.В.
Вступ
Оптимальне керування лінійними неперервними майже консервативними системами
Оптимальне керування лінійними дискретними майже консервативними системами
14. Осауленко Р. Ю.
Вступ
Перетворення, які зберігають хвости Qs–зображення чисел
Група перетворень, які зберігають частоти цифр Qs–зображення числа
Приклад функції, яка зберігає частоти, але не зберігає хвости зображення Qs-ірраціональних чисел
15. Слинько В.І., Кравчук С.В.
Постановка задачі.
Основний результат.
Умови стійкості
16. Солодун А. В.
Постановка задачи
Численные результаты
17. Ситник Д.О.
Вступ
Sinc–апроксимація
Sinc-апроксимація функції за її значеннями поза інтерполяційною сіткою
18. Сосницький С.П.
Вступ
Про рівняння збуреного руху в околі стаціонарних лагранжевих трикутників
Теорема про орбітальну нестійкість лагранжевих стаціонарних рухів у задачі трьох тіл
Висновок
19. Сосницький С.П.
Вступ
Про достатні умови відсутності осцилюючих симетричних рухів
20. Чернецька Л.О.
21. Timokha A.N.
Statement
Asymptotic steady-state solutions of (??)–(??)
The reciprocating excitation type
The axisymmetric elliptic excitation type
The oblique elliptic excitation type
Conclusions
22. Shlepakov L.N.
Main relationships for a non-inflated system
Construction of enlarged systems
Defining the task mathematical programming
Case of multiple channels with same probability characteristics in the same system of channels.
23. Shidlich A.L.
Approximative characteristics
Main results
Order estimates for some functionals and their applications
Proof of Theorems ?? and ??.
24. Луковський І.О., Стороженко В.О.
25. Луковський І.О., Пустовойтов М.О.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-48 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:01:34Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/4b/b3d53f0168d0a7c2fed7755eca30a04b.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-482018-02-13T11:57:10Z Robast stabilisation and damping of external perturbations in systems with controlled and observed outputs Робастная стабилизация и гашение внешних возмущений с управляемыми и наблюдаемыми выходами Робастна стабiлiзацiя та гасiння зовнiшнiх збурень у системах з керованими i спостережуваними виходами Mazko, O. G. Kusiy, S. M. Мазко, О. Г. Кусий, С. М. Мазко, О. Г. Кусiй, С. М. Methods for construction of control laws providing a robust stability and specified evaluation of the weighted damping level of input signals and initial perturbations are proposed for a class of systems with controllable and observable outputs. Realization of the methods using the static state feedback or the full order dynamic regulators reduces to solving the systems of linear matrix inequalities. The results are illustrated by an example for a stabilization system of a linear damped oscillator. Для класса систем с управляемыми и наблюдаемыми выходами предложены методы построения законов управления, обеспечивающих робастную устойчивость и заданную оценку взвешенного уровня гашения входных сигналов и начальных возмущений. Реализация данных методов с использованием статической обратной связи по состоянию или динамического регулятора полного порядка сводится к решению систем линейных матричных неравенств. Полученные результаты продемонстрированы на примере системы стабилизации линейного осциллятора с демпфированием. Для класу систем з керованими і спостережуваними виходами запропоновані методи побудови законів керування, що забезпечують робастний стійкість і задану оцінку зваженого рівня гасіння вхідних сигналів і початкових збурень. Реалізація даних методів з використанням статичної зворотного зв'язку за станом або динамічного регулятора повного порядку зводиться до розв'язку систем лінійних матричних нерівностей. Отримані результати продемонстровані на прикладі системи стабілізації лінійного осцилятора з демпфуванням. Інститут математики НАН України 2017-12-22 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/48 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 13 No. 3 (2016): Mathematical problems of mechanics and computational mathematics; 129-145 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 13 № 3 (2016): Математичні проблеми механіки та обчислювальної математики; 129-145 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 13 № 3 (2016): Математичні проблеми механіки та обчислювальної математики; 129-145 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/48/44 Авторське право (c) 2016 Праці Інституту математики НАН України |
| spellingShingle | Mazko, O. G. Kusiy, S. M. Мазко, О. Г. Кусий, С. М. Мазко, О. Г. Кусiй, С. М. Robast stabilisation and damping of external perturbations in systems with controlled and observed outputs |
| title | Robast stabilisation and damping of external perturbations in systems with controlled and observed outputs |
| title_alt | Робастная стабилизация и гашение внешних возмущений с управляемыми и наблюдаемыми выходами Робастна стабiлiзацiя та гасiння зовнiшнiх збурень у системах з керованими i спостережуваними виходами |
| title_full | Robast stabilisation and damping of external perturbations in systems with controlled and observed outputs |
| title_fullStr | Robast stabilisation and damping of external perturbations in systems with controlled and observed outputs |
| title_full_unstemmed | Robast stabilisation and damping of external perturbations in systems with controlled and observed outputs |
| title_short | Robast stabilisation and damping of external perturbations in systems with controlled and observed outputs |
| title_sort | robast stabilisation and damping of external perturbations in systems with controlled and observed outputs |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/48 |
| work_keys_str_mv | AT mazkoog robaststabilisationanddampingofexternalperturbationsinsystemswithcontrolledandobservedoutputs AT kusiysm robaststabilisationanddampingofexternalperturbationsinsystemswithcontrolledandobservedoutputs AT mazkoog robaststabilisationanddampingofexternalperturbationsinsystemswithcontrolledandobservedoutputs AT kusijsm robaststabilisationanddampingofexternalperturbationsinsystemswithcontrolledandobservedoutputs AT mazkoog robaststabilisationanddampingofexternalperturbationsinsystemswithcontrolledandobservedoutputs AT kusijsm robaststabilisationanddampingofexternalperturbationsinsystemswithcontrolledandobservedoutputs AT mazkoog robastnaâstabilizaciâigašenievnešnihvozmuŝenijsupravlâemymiinablûdaemymivyhodami AT kusiysm robastnaâstabilizaciâigašenievnešnihvozmuŝenijsupravlâemymiinablûdaemymivyhodami AT mazkoog robastnaâstabilizaciâigašenievnešnihvozmuŝenijsupravlâemymiinablûdaemymivyhodami AT kusijsm robastnaâstabilizaciâigašenievnešnihvozmuŝenijsupravlâemymiinablûdaemymivyhodami AT mazkoog robastnaâstabilizaciâigašenievnešnihvozmuŝenijsupravlâemymiinablûdaemymivyhodami AT kusijsm robastnaâstabilizaciâigašenievnešnihvozmuŝenijsupravlâemymiinablûdaemymivyhodami AT mazkoog robastnastabilizaciâtagasinnâzovnišnihzburenʹusistemahzkerovanimiisposterežuvanimivihodami AT kusiysm robastnastabilizaciâtagasinnâzovnišnihzburenʹusistemahzkerovanimiisposterežuvanimivihodami AT mazkoog robastnastabilizaciâtagasinnâzovnišnihzburenʹusistemahzkerovanimiisposterežuvanimivihodami AT kusijsm robastnastabilizaciâtagasinnâzovnišnihzburenʹusistemahzkerovanimiisposterežuvanimivihodami AT mazkoog robastnastabilizaciâtagasinnâzovnišnihzburenʹusistemahzkerovanimiisposterežuvanimivihodami AT kusijsm robastnastabilizaciâtagasinnâzovnišnihzburenʹusistemahzkerovanimiisposterežuvanimivihodami |