On representations of "all but two" algebras
In this paper, we study representations of the $∗$-algebra generated by two projections $P_1 \perp P_2$ and $n$ more projections $Q_1 + \dots + Q_n = I$.
Saved in:
| Date: | 2015 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/5 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552586563813376 |
|---|---|
| author | Ashurova, E. N. Ostrovskyi, V. L. Ашурова, Е. Н. Островський, В. Л. |
| author_facet | Ashurova, E. N. Ostrovskyi, V. L. Ашурова, Е. Н. Островський, В. Л. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Е. Н. Ашурова",
"institution": "Інститут математики НАН України"
},
{
"author": "В. Л. Островський",
"institution": "Інститут математики НАН України"
}
] |
| author_sort | Ashurova, E. N. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-23T09:53:12Z |
| description | In this paper, we study representations of the $∗$-algebra generated by two projections $P_1 \perp P_2$ and $n$ more projections $Q_1 + \dots + Q_n = I$. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:01:47Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2015, том 12, № 1, 8–21
УДК 517.98
Е.Н. Ашурова, В.Л. Островський
(Iнститут математики НАН України, Київ)
Про зображення “all but two” алгебр
work1991@ukr.net, vo@imath.kiev.ua
In this paper, we study representations of the ∗-algebra generated by two
projections P1 ⊥ P2 and n more projections Q1 + · · ·+Qn = I.
У данiй роботi ми вивчаємо зображення ∗-алгебри, породженої двома
проекторами P1 ⊥ P2 та ще n проекторами Q1 + · · ·+Qn = I.
Вступ
У рядi робiт з теорiї iнтегральних операторiв (див, наприклад, [1] та
наведену там бiблiографiю) вивчаються властивостi C∗-алгебри, поро-
дженої наборами отропроекторiв P , Q1, . . . , Qn у деякому гiльбертово-
му просторi H, якi задовольняють спiввiдношення Q1 + · · ·+Qn = I, а
також бiльш загальними наборами, ортопроекторiв P1, . . . , Pm,Q1, . . . ,
Qn в H, якi задовольняють спiввiдношення
Pj ⊥ Pk, k 6= j, Q1 + · · ·+Qn = I (1)
(див. [2, 3]). У наведених роботах вивчались властивостi C∗-алгебри,
породженої незвiдними наборами ортопроекторiв, для яких образ про-
ектора P чи образи проекторiв P1, . . . , Pm є одновимiрними просто-
рами. Саме такi набори виникають у конкретних реалiзацiях локаль-
них алгебр, пов’язаних з операторами Теплiца з кусково гладенькими
символами. Зокрема, показано, що вiдповiдна C∗-алгебра вкладається
в алгебру неперервних матричнозначних функцiй на певнiй множи-
нi параметрiв. У випадку m = 1 множина параметрiв c1, . . . , cn, що
iндексують незвiднi зображення, є симплексом
c1 + · · ·+ cn = 1, cj ≥ 0, j = 1, . . . , n, (2)
c© Е.Н. Ашурова, В.Л. Островський, 2015
Про зображення “all but two” алгебр 9
i розклад довiльного зображення на незвiднi задається спектральним
розкладом вiдповiдного комутативного набору самоспряжиних опера-
торiв C1, . . . , Cn.
Проте при m ≥ 2 подiбного опису множини, що параметризує не-
звiднi зображення, наведено не було. Дослiдженню питання про па-
раметризацiю незвiдних зображень таких алгебр у випадку m = 2
присвячено дану роботу.
Зручним iнструментом дослiдження наборiв ортопроекторiв у гiль-
бертовому просторi є операторна матриця Грама (див. [4]). У першому
роздiлi викладено конструкцiю операторної матрицi Грама та її основ-
нi властивостi, що використовуються у подальшому.
Другий роздiл присвячено вивченню загальних властивостей набо-
рiв ортопроекторiв з умовами (1) при m = 2. Зокрема, показано, що
за умови, що кожна пара проекторiв (Pj , Qk), j = 1, 2, k = 1 . . . , n,
знаходиться у загальному положеннi, задача опису з точнiстю до унi-
тарної еквiвалентностi наборiв (1),m = 2, еквiвалентна до задачi опису
блочних 2× 2 додатних самоспряжених матриць A1, . . . , An з умовою
A1 + · · ·+An = I.
Ця умова є природним аналогом умови (2) у випадку m = 1.
Вiдомо, що навiть у випадку m = 1, n ≥ 3, задача опису наборiв ор-
топроекторiв з умовами (1) з точнiстю до унiтарної еквiвалентностi є
надзвичайно складною (∗-дикою). У третьому роздiлi дослiджуються
набори з додатковими комутацiйними спiввiдношеннями, якi еквiва-
лентнi умовi, що у незвiдному зображеннi образи ортопроекторiв P1,
P2 одновимiрнi. У цьому випадку задача опису незвiдних наборiв є
ручною. Основний результат роздiлу — теорема 4, яка описує комута-
тивний набiр нормальних операторiв, спектральний розклад яких дає
розклад набору на незвiднi набори.
1. Попереднi вiдомостi
Нагадаємо конструкцiю операторної матрицi Грама (див. [4]) та її вла-
стивостi, що будуть потрiбнi для подальшого викладу.
Нехай H — сепарабельний гiльбертiв простiр та P1, . . . , Pn — набiр
ортопроекторiв у H. Нехай Hj = ImPj , j = 1, . . . , n.
10 Е.Н. Ашурова, В.Л. Островський
Позначимо Tj : Hj → H iзометричнi вкладення, такi що TjT ∗j = Pj ,
T ∗j Tj = IHj
. Розглянемо простiр
H = H1 ⊕ · · · ⊕Hn (3)
i оператор J = (T1, . . . , Tn) : H → H.
Означення 1. Оператор G = J∗J : H → H називають операторною
матрицею Грама системи пiдпросторiв (H;H1, . . . ,Hn).
Блочнi елементи оператора G у розкладi (3) мають вигляд
(T ∗j Tk)nj,k=1. У випадку, коли усi проектори Pj одновимiрнi, маємо
Hj = C〈ej〉, ‖ej‖ = 1 i G — звичайна матриця Грама системи векторiв
(e1, . . . , en).
Операторна матриця ГрамаG системи пiдпросторiв (H;H1, . . . ,Hn)
має наступнi властивостi:
1. G = G∗, G ≥ 0;
2. Дiагональнi елементи G — одиничнi оператори, Gjj = IHj , j =
1, . . . , n;
3. Gjk = 0⇔ Hj ⊥ Hk.
У просторi H розглянемо проектори Q1, . . . , Qn на компоненти
ортогональної суми, ImQj = Hj , j = 1, . . . , n. Тодi Q1 + · · ·+Qn = I i
QjGQj = Qj .
Твердження 1 ([4]). Нехай G ≥ 0 — невiд’ємний оператор у деякому
гiльбертовому просторi H, i нехай Q1, . . . , Qn — ортопроектори в
H, для яких Q1 + · · ·+Qn = I, та QjGQj = Qj, j = 1, . . . , n. Тодi G є
операторною матрицею Грама деякого набору проекторiв P1, . . . , Pn.
Теорема 1 ([4]). Набори (P1, . . . , Pn) i (P ′1, . . . , P
′
n) унiтарно
еквiвалентнi тодi i тiльки тодi, коли набори (G,Q1, . . . , Qn) i
(G′, Q′1, . . . , Q
′
n) унiтарно еквiвалентнi.
Теорема 2. Нехай для набору ортопроекторiв (P1, . . . , Pn) лiнiйна
оболонка їх образiв щiльна у просторi H. Набiр (P1, . . . , Pn) в H не-
звiдний тодi i тiльки тодi, коли набiр (G,Q1, . . . , Qn) в H незвiдний.
Доведення. Нехай оператор K в H комутує з усiма проекторами
P1, . . . , Pn, тобто KPi = PiK, i = 1, . . . , n. Розглянемо оператори
Про зображення “all but two” алгебр 11
Ki = T ∗i KTi i позначимо через K оператор у H, що має вигляд
K = diag(K1, . . . ,Kn).
Оскiльки у розкладi (3) Qj = diag(0, . . . , Ij , . . . , 0), j = 1, . . . , n,
то QiK = KQi. Покажемо, що GK = KG. Оскiльки блочнi елементи
матрицi Грама мають вигляд (T ∗j Tk)nj,k=1, то рiвнiсть GK = KG рiвно-
сильна виконанню умов KjT
∗
j Tk = T ∗j TkKk, j, k = 1, . . . , n. Справдi,
KjT
∗
j Tk = T ∗j KTjT
∗
j Tk = T ∗j KPjTk = T ∗j PjKTk
= T ∗j TjT
∗
j KTk = T ∗j KTk,
T ∗j TkKk = T ∗j TkT
∗
kKTk = T ∗j PkKTk = T ∗j KPkTk
= T ∗j KTkT
∗
kTk = T ∗j KTk.
Якщо набiр (G,Q1, . . . , Qn) незвiдний, то за лемою Шура K = λI,
i T ∗j KTj = λIHj . Отже, Kf = λf для векторiв f з лiнiйної оболонки
образiв проекторiв P1, . . . , Pn. Але якщо лiнiйна оболонка пiдпросторiв
Hj , j = 1, . . . , n, щiльна в H, то K = λI, i набiр проекторiв (P1, . . . , Pn)
незвiдний.
Покажемо тепер, що з незвiдностi набору (P1, . . . , Pn) випливає не-
звiднiсть набору (G,Q1, . . . , Qn). Нехай оператор K у H комутує з
Q1, . . . , Qn, G. Розглянемо простiр H ′ = ImG та оператор вкладе-
ння T : H ′ → H̃, тодi T ∗T = IH′ , TT ∗ — проектор на замикання образу
G в H. Оператори P ′j = T ∗
√
GQj
√
GT є ортопроекторами, причому за
умови
∑n
j=1Hj = H набiр проекторiв (P ′j)
n
j=1 в H ′ унiтарно еквiвален-
тний початковому набору (Pj)
n
j=1 в H (див. [4]).
Розглянемо оператор K ′ = T ∗KT , K ′ : H ′ → H ′. Покажемо, що K ′
комутує з (P ′j)
n
j=1. Справдi, оскiльки G = TT ∗G = GTT ∗,
K ′P ′j = T ∗KTT ∗
√
GQj
√
GT = T ∗K
√
GQj
√
GT
= T ∗
√
GQj
√
GKT = T ∗
√
GQj
√
GTT ∗KT = P ′jK
′.
Нехай набiр (P1, . . . , Pn) незвiдний, тодi унiтарно еквiвалентний до
нього набiр (P ′1, . . . , P
′
n) теж незвiдний, i за лемою Шура K ′ = λI.
Оскiльки G = GTT ∗, маємо
KG = KGTT ∗ = GKTT ∗ = GTT ∗KTT ∗ = GTK ′T ∗ = λG,
тодi, оскiльки для довiльного j = 1, . . . , n виконується QjK = KQj та
QjGQj = Qj , отримаємо
QjKQj = QjKQjGQj = QjKGQj = λQjGQj = λQj .
12 Е.Н. Ашурова, В.Л. Островський
Оскiльки K коммутує з Qj , то QjKQk = 0 при j 6= k. Тодi
K =
n∑
j=1
QjK̃Qj = λ
n∑
j=1
Qj = λI,
отже, набiр (G,Q1, . . . , Qn) незвiдний.
2. Матриця Грама для “all but two” набору
проекторiв
Нехай H — сепарабельний гiльбертiв простiр. У данiй роботi ми ви-
вчаємо задачу опису з точнiстю до унiтарної еквiвалентностi наборiв
проекторiв Q1, . . . , Qn, P1, P2, таких, що
n∑
i=1
Qi = I, P1 ⊥ P2. (4)
Розглянемо iзометричнi вкладення Sj : ImQj → H, j = 1, . . . , n,
для них маємо S∗j Sj = IImQj
та SjS∗j = Qj . Аналогiчно, розглянемо
iзометричнi вкладення Ti : ImPi → H, i = 1, 2, для яких T ∗i Ti = IImTi
,
TiT
∗
i = Pi.
Оскiльки P1 ⊥ P2, Qi ⊥ Qj , i 6= j, то T ∗1 T2 = 0, T ∗2 T1 = 0,
S∗i Sj = 0, i 6= j. Отже, блочне представлення матрицi Грама для набо-
ру проекторiв P1, P2, Q1, . . . , Qn має вигляд:
G =
I 0 T ∗1 S1 . . . T ∗1 Sn
0 I T ∗2 S1 . . . T ∗2 Sn
S∗1T1 S∗1T2 I . . . 0
...
...
...
. . .
...
S∗nT1 S∗nT2 0 . . . I
.
Позначимо H1 = ImP1, H2 = ImP2, H0 = H1 ⊕H2 i проектори P ′1
та P ′2 у H0 на пiдпростори H1 та H2. Зауважимо, що оператор
T0 = (T1, T2) : H1 ⊕H2 → H
є iзометричним вкладенням H0 в H, причому
P ′i = T ∗0 PiT0, i = 1, 2, (5)
Про зображення “all but two” алгебр 13
тобто проектори P ′i є звуженнями проекторiв Pi на пiдпростiр H0.
Розглянемо оператори
Bj =
(
T ∗1 Sj
T ∗2 Sj
)
: ImPj → H0,
Aj = BjB
∗
j : H0 → H0, j = 1, . . . , n. (6)
Наступнi твердження встановлюють зв’язок мiж наборами
(P1, P2, Q1, . . . , Qn) в H та наборами (P ′1, P
′
2, A1, . . . , An) в H0.
Твердження 2. Набiр операторiв (P ′1, P
′
2, A1, . . . , An) в H0 має такi
властивостi.
1. P ′1 + P ′2 = IH0 , A1 + · · ·+An = IH0 ;
2. Якщо набори ортопроекторiв (P1, P2, Q1, . . . , Qn) та
(P̃1, P̃2, Q̃1, . . . , Q̃n) унiтарно еквiвалентнi, то вiдповiднi
набори операторiв (P ′1, P
′
2, A1, . . . , An) та (P̃ ′1, P̃
′
2, Ã1, . . . , Ãn)
унiтарно еквiвалентнi.
Доведення. 1. Справдi, P ′1 + P ′2 = IH0 за побудовою. Також маємо
A1 + · · ·+An = B1B
∗
1 + · · ·+BnB
∗
n
=
(
T ∗1 (S1S
∗
1 + · · ·+ SnS
∗
n)T1 T ∗1 (S1S
∗
1 + · · ·+ SnS
∗
n)T2
T ∗2 (S1S
∗
1 + · · ·+ SnS
∗
n)T1 T ∗2 (S1S
∗
1 + · · ·+ SnS
∗
n)T2
)
=
(
T ∗1 (Q1 + . . .+Qn)T1 T ∗1 (Q1 + . . .+Qn)T2
T ∗2 (Q1 + . . .+Qn)T1 T ∗2 (Q1 + . . .+Qn)T2
)
=
(
T ∗1 T1 T ∗1 T2
T ∗2 T1 T ∗2 T2
)
=
(
I 0
0 I
)
= IH0 .
2. Нехай набiр проекторiв (P1, P2, Q1, . . . , Qn) у H унiтарно еквiва-
лентний набору проекторiв (P̃1, P̃2, Q̃1, . . . , Q̃n) у H̃, тобто iснує унiтар-
ний оператор U : H → H̃ такий, що P̃i = UPiU
∗, Q̃j = UQjU
∗, i = 1, 2;
j = 1, . . . , n. Нехай G та G̃ — вiдповiднi матрицi Грама. Тодi iснує
блочно дiагональна унiтарна матриця U = diag(V1, V2, U1, . . . , Un), яка
14 Е.Н. Ашурова, В.Л. Островський
сплiтає G та G̃, G̃ = UGU∗. Тодi
Bj =
(
T ∗1 Sj
T ∗2 Sj
)
, B̃j =
(
T̃ ∗1 S̃j
T̃ ∗2 S̃j
)
=
(
V1T
∗
1 SjU
∗
j
V2T
∗
2 SjU
∗
j
)
,
Aj = BjB
∗
j =
(
T ∗1 SjS
∗
j T1 T ∗1 SjS
∗
j T2
T ∗2 SjS
∗
j T1 T ∗2 SjS
∗
j T2
)
,
Ãj = B̃jB̃
∗
j =
(
V1T
∗
1 SjS
∗
j T1V
∗
1 V1T
∗
1 SjS
∗
j T2V
∗
2
V2T
∗
2 SjS
∗
j T1V
∗
1 V2T
∗
2 SjS
∗
j T2V
∗
2
)
, j = 1, . . . , n.
Отже, Ãj =
(
V1 0
0 V2
)
Aj
(
V ∗1 0
0 V ∗2
)
= V AjV
∗, j = 1, . . . , n, V =
(
V ∗1 0
0 V ∗2
)
.
Оскiльки проектори P ′1, P ′2, P̃ ′1, P̃ ′2 мають блочно дiагональний вигляд,
то також маємо P̃ ′1 = V P ′1V
∗, P̃ ′2 = V P ′2V
∗.
Зауваження 1. Обернене до п.2 твердження невiрне: неважко наве-
сти приклади унiтарно нееквiвалентних наборiв (P1, P2, Q1, . . . , Qn)
та (P̃1, P̃2, Q̃1, . . . , Q̃n), якi породжують один i той же набiр
(P ′1, P
′
2, A1, . . . , An).
Справдi, нехай проектори (P1, P2, Q1, . . . , Qn) в H задовольняють
(4) i породжують згiдно (5) та (6) набiр (P ′1, P
′
2, A1, . . . , An). Вiзьме-
мо довiльний простiр Ĥ та довiльний ортогональний розклад одиницi
Q̂1 + · · ·+ Q̂n = I в Ĥ. Покладемо
H̃ = H ⊕ Ĥ, Q̃j = Qj ⊕ Q̂j , P̃i = Pi ⊕ 0, j = 1, . . . , n, i = 1, 2.
Тодi набiр (P̃1, P̃2, Q̃1, . . . , Q̃n) задовольняє (4), породжує той самий
набiр (P ′1, P
′
2, A1, . . . , An), проте у випадку скiнченновимiрного H за-
вiдомо не унiтарно еквiвалентний до набору (P1, P2, Q1, . . . , Qn).
Покажемо, що за певних додаткових умов є взаємно однозначна
вiдповiднiсть мiж “all but two” наборами ортопроекторiв та наборами
блочних 2× 2 невiд’ємних матриць з одиничною сумою.
Нагадаємо, шо пiдпростори E ⊂ H i K ⊂ H (проектори на пiдпро-
стори E ⊂ H i K ⊂ H) знаходяться у загальному положеннi, якщо
E ∩K = 0, E ∩K⊥ = 0, E⊥ ∩K = 0.
Теорема 3. Нехай P1, P2, Q1, . . . , Qn — набiр ортопроекторiв в H,
що задовольняють (4), A1, . . . , An — невiд’ємнi самоспряженi опе-
ратори, побудованi згiдно (6), i нехай кожна з пар проекторiв
(P0 = P1 + P2, Qj), j = 1, . . . , n, знаходяться у загальному положеннi.
Про зображення “all but two” алгебр 15
Тодi розмiрнiсть усiх проекторiв Qj однакова i дорiвнює розмiрностi
проектора P0, dim ImP0 = dim ImQj, j = 1, . . . , n, причому kerAj = 0,
тобто оператор Aj має (взагалi кажучи, необмежений) обернений.
Навпаки, нехай у деякому просторi H0 задано проектори P ′1, P ′2,
та невiд’ємнi самоспряженi оператори A1, . . . , An, для яких
P ′1 + P ′2 = I, A1 + · · ·+An = I, kerAj = 0, j = 1, . . . , n.
Тодi iснує єдиний з точнiстю до унiтарної еквiвалентностi набiр ор-
топроекторiв P1, P2, Q1, . . . , Qn, що задовольняють (4), для якого ко-
жна з пар проекторiв (P0 = P1 + P2, Qj), j = 1, . . . , n, знаходяться у
загальному положеннi, i який задає проектори P ′1, P ′2, та оператори
A1, . . . , An формулами (5) та (6).
Доведення. Для фiксованого j розглянемо пару проекторiв (P0, Qj).
За спектральною теоремою для пари проекторiв
H = H00 ⊕H01 ⊕H10 ⊕H11 ⊕ (H+ ⊕H+)
P0 = 0⊕ 0⊕ I ⊕ I ⊕
(
I 0
0 0
)
,
Qj = 0⊕ I ⊕ 0⊕ I ⊕
(
C2 CS
CS S2
)
,
де C — самоспряжений оператор в H+, 0 < C < I, S =
√
1− C2.
Оскiльки проектори P0 i Qj знаходяться у загальному положеннi, то
H01 = H10 = H11 = 0, отже H = H00 ⊕ (H+ ⊕H+) i проектори P0 i Qj
мають вигляд:
P0 = 0⊕
(
I 0
0 0
)
= 0⊕ I ⊕ 0, Qj = 0⊕
(
C2 CS
CS S2
)
,
причому образи цих проекторiв iзоморфнi H+, оскiльки kerC = 0.
Покажемо, що kerAj = 0. Позначимо H0 = ImP0, i розглянемо iзо-
метричне вкладення T0 = (T1, T2) : H0 → H, тодi B∗j = (S∗j T1, S
∗
j T2) =
S∗j T0. Оскiльки Aj = BjB
∗
j = T ∗0QjT0 i у розкладi H = H00⊕H+⊕H+
маємо блочне представлення T ∗0 = (0, I, 0), в результатi отримаємо
Aj = C2, kerC = 0. Звiдси, зокрема, випливає, що kerB∗j = 0. По-
дiбними мiркуваннями можна також показати, що kerBj = 0, тобто
оператор Bj оборотний.
16 Е.Н. Ашурова, В.Л. Островський
Для набору операторiв (P1, P2, Q1, . . . , Qn) матриця Грама у про-
сторi H⊕n+1
0 має вигляд:
G =
I B1 . . . Bn
B∗1 I 0
...
. . .
B∗n 0 I
.
Оскiльки оператор Bj має обернений, то в полярному розкладi Bj =
AjUj , Aj ≥ 0, оператор Uj — унiтарний. Розглянемо унiтарну матрицю
U = diag(I, U1, U2, . . . , Un). Тодi за теоремою 1
UGU∗ =
I
√
A1 . . .
√
An√
A∗1 I . . . 0
...
...
...
...√
A∗n 0 . . . I
.
є матрицею Грама унiтарно еквiвалентного набору ортопроекторiв,
тобто вихiдний набiр (P1, P2, Q1, . . . , Qn) однозначно з точнiстю до унi-
тарної еквiвалентностi визначається операторами P ′1, P
′
2, A1, . . . , An в
H0.
Нехай тепер у деякому просторi H0 задано проектори P ′1, P ′2, та
невiд’ємнi самоспряженi оператори A1, . . . , An, для яких
P ′1 + P ′2 = I, A1 + · · ·+An = I, kerAj = 0, j = 1, . . . , n.
У просторi H⊕n+1
0 розглянемо оператор G, блочна структура якого
має вигляд
G =
I
√
A1 . . .
√
An√
A1 I 0
...
. . .√
An 0 I
.
Неважко помiтити, що G ≥ 0. Справдi, безпосередня перевiр-
ка з врахуванням умови
∑n
j=1Aj = I показує, що вектори виду
(±x,
√
A1x, . . . ,
√
Anx), x ∈ H0, є власними векторами оператора G з
власними значеннями 0 та 2, а для довiльного вектора x, ортогонально-
го до векторiв такого виду, маємо x = (0, x1, . . . , xn),
∑n
j=1
√
Ajxj = 0,
i Gx = x. Таким чином, спектр G складається з точок 0, 1, 2.
Про зображення “all but two” алгебр 17
За твердженням 1 G є матрицею Грама деякого набору
(P0, Q1, . . . , Qn), причому розклад I = P ′1 + P ′2 задає розклад в ор-
тогональну суму P0 = P1 + P2. Проектори P0 та Qj знаходяться у
загальному положеннi, оскiльки kerAj 6= 0, j = 1, . . . , n.
Зауваження 2. Нехай набiр проекторiв P1, P2, Q1, . . . , Qn задоволь-
няє (4), причому проектори P0 = P1 + P2 та Qj знаходяться у за-
гальному положеннi, j = 1, . . . , n. Тодi набiр операторiв
PjQkPl, j, l = 1, 2, k = 1, . . . , n,
дозволяє вiдновити початковий набiр P1, P2, Q1, . . . , Qn з точнiстю
до унiтарної еквiвалентностi.
Доведення. Розглянемо iзометричнi вкладення Sk : ImQk → H,
Tj : ImPj → H, тодi Qk = SkS
∗
k , Pj = TjT
∗
j та оператори PjQkPl
мають вигляд
PjQkPl = TjT
∗
j SkS
∗
kTlT
∗
l = Tj(T
∗
j QkTl)T
∗
l .
Зауважимо, що вирази в дужках є матричними блоками оператора Ak.
Оскiльки оператори Ak ≥ 0 невиродженi, ImPjQkPj = ImPj , отже,
PjQkPj однозначно визначають проектори P1, P2 i вiдповiднi вкла-
дення T1. T2. Тодi (j, l)-й матричний блок оператора Ak має вигляд
T ∗j PjQkPlTl, тобто оператори Ak, k = 1, . . . , n, однозначно визначаю-
ться набором PjQkPl, j, l = 1, 2, k = 1, . . . , n. За операторами Aj можна
вiдновити матрицю Грама G, а отже, можна вiдновити з точнiстю до
унiтарної еквiвалентностi проектори Q1, . . . , Qn, P1, P2.
3. Незвiднi зображення
Нехай Λ — множина усiх мультиiндексiв
α = (j1, k1, j2, . . . , kl−1, jl, kl, j1),
js = 1, 2; ks = 1, . . . , n; s = 1, . . . , l; l = 0, 1, . . . .
Розглянемо набiр операторiв Cα, α ∈ Λ:
Cα = Pj1Qk1Pj2 . . . Qkl−1
PjlQklPj1 , (7)
Позначимо Λi ⊂ Λ пiдмножину iндексiв, що починаються та закiнчу-
ються на i, i = 1, 2, тодi Λ = Λ1 ∪ Λ2.
18 Е.Н. Ашурова, В.Л. Островський
Твердження 3. У незвiдному зображеннi образи проекторiв P1, P2
одновимiрнi тодi i тiльки тодi, коли оператори Cα, α ∈ Λ, утворю-
ють комутативний набiр.
Доведення. Необхiднiсть. Нехай dim(ImP1) = dim(ImP2) = 1. Оскiль-
ки для α ∈ Λj1 , β ∈ Λj2 маємо ImCα ⊂ ImPj1 , ImCβ ⊂ ImPj2 , то
Cα = cαPj1 , Cβ = cβPj2 , cα, cβ ∈ C i CαCβ = CβCα внаслiдок комуту-
вання проекторiв P1, P2.
Достатнiсть. Нехай при j = 1, 2 виконуються умови CαCβ =
CβCα для всiх α, β ∈ Λj . Покажемо, що dim(ImPj) = 1. Безпосере-
дньно з означення маємо C∗αCα = CαC
∗
α, тобто Cα, α ∈ Λ — злiченний
комутативний набiр нормальних операторiв.
Позначимо Hj = ImPj , Tj : Hj → H, як i ранiше, вiдповiдне iзо-
метричне вкладення. Оскiльки ImCα ⊂ ImPj , α ∈ Λj , то T ∗j CαTj ,
α ∈ Λj — комутативний набiр нормальних операторiв в Hj . Нехай
E(∆) є сумiсний розклад одиницi цього комутативного набору, i нехай
∆ — борелiвська множина, для якої E(∆) 6= 0.
Розглянемо пiдпростiр E(∆)Hj = H0
j ⊆ Hj . Тодi пiдпростiр
Pol(Qk, Pj)H0
j = H0 ⊂ H iнварiантний вiдносно дiї проекторiв P1,
P2, Q1, . . . , Qn. Оскiльки набiр P1, P2, Q1, . . . , Qn є незвiдним, то
H0 = H i оскiльки довiльний вектор H0 лежить в P0H
0, то маємо
також H0
j = Hj , тобто E(∆) = I.
Таким чином, для будь-якої борелiвської множини ∆, для якої
E(∆) 6= 0 маємо E(∆) = I, звiдси випливає, що iснує єдина точка x0,
така що E(x0) = I. Тодi оператори T ∗j CαTj , α ∈ Λj є скалярними опе-
раторами в Hj , i для довiльного f ∈ Hj пiдпростiр Pol(Qk, Pj)f ⊂ H є
iнварiантним пiдпростором, i тому спiвпадає з усiм H. З iншого боку,
проекцiя Pol(Qk, Pj)f на Hj — одновимiрний пiдпростiр, породжений
f , тобто dimHj = 1.
Зауваження 3. З попереднього доведення випливає, що у випадку
незвiдного комутативного набору Cα, α ∈ λ, для довiльного α ∈ Λj,
j = 1, 2, маємо
Cα = cαPj , cα ∈ C.
Таким чином, у цьому випадку кожний незвiдний набiр проекторiв
P1, P2, Q1, . . . , Qn, що задовольняють (4), визначає набiр чисел cα,
α ∈ Λ.
Про зображення “all but two” алгебр 19
Природно виникає питання, чи можна за набором cα, α ∈ Λ вiдно-
вити набiр проекторiв P1, P2, Q1, . . . , Qn. Наступна теорема показує,
що це так, причому достатньо задати деякий скiнченний набiр чисел
cα, α ∈ Λ.
Теорема 4. Нехай набiр ортопроекторiв P1, P2, Q1, . . . , Qn, що за-
довольняють умови (4) незвiдний та виконуються умови:
i) P1 6= 0, P2 6= 0;
ii) при кожному j = 1, . . . , n пара проекторiв P0 = P1 + P2 та Qj
знаходяться у загальному положеннi;
iii) оператори Cα, α ∈ Λ, що визначаються формулою (7) утво-
рюють комутативний набiр.
Тодi Cα = cαPj, cα ∈ C, α ∈ Λj, i набiр чисел
cα, α ∈ {(j, k, j), (1, k, 2, l, 1) | j = 1, 2; k, l = 1, . . . , n},
визначає проектори P1, P2, Q1, . . . , Qn однозначно з точнiстю до
унiтарної еквiвалентностi.
Доведення. За твердженням 3 у незвiдному зображеннi простори H1,
H2 одновимiрнi, тому оператори A1, . . . , An, визначенi (6), є звичайни-
ми додатними матрицями у C2,
Aj =
(
aj11 aj12
aj21 aj22
)
, j = 1, . . . , n,
причому набiр матриць U∗AkU , k = 1, . . . , n, де U — дiагональна унi-
тарна матриця, визначає унiтарно еквiвалентний набiр (4).
Зауважимо, що принаймнi одне з чисел aj12 вiдмiнне вiд нуля.
Справдi, якщо усi aj12 = 0, j = 1, . . . , n, то пiдпростiр, породжений
{H1, QkH1, k = 1, . . . , n}, буде iнварiантним пiдпростором, який орто-
гональний до H2.
Перенумеровуючи при потребi проектори Q1, . . . , Qn, забезпечимо,
щоб виконувалась умова a112 6= 0, i вибираючи належним чином дiаго-
нальну унiтарну матрицю, вважатимемо, що a112 > 0.
З (6) маємо
akjj = T ∗j QkTj = T ∗j CjkjTj = cjkj , j = 1, 2; k = 1, . . . , n.
Оскiльки a112 ≥ 0, маємо
a112 = T ∗1Q1T2 =
√
T ∗1Q1T2T ∗2Q1T1 = T ∗1
√
P1Q1P2Q1P1T1 =
√
c11211.
20 Е.Н. Ашурова, В.Л. Островський
Оскiльки
a112a
k
21 = T ∗1Q1T2T
∗
2QkT1 = T ∗1Q1P2QkT1 = T ∗1 P1Q1P2QkP1T1 = c112k1,
маємо
ak12 = āk21 =
c̄112k1√
c11211
, k = 1, . . . , n.
Таким чином, ми знайшли матрицi A1, . . . , An. Задаючи у H0 = C2
P ′1 =
(
1 0
0 0
)
, P ′2 =
(
0 0
0 1
)
,
за теоремою 3 отримаємо потрiбний розв’язок (4).
Зауваження 4. Розмiрнiсть простору незвiдного зображення, що
задовольняє умови теореми, дорiвнює 2n, для того, щоб задати зо-
браження, слiд задати, з точнiстю до дiагональної унiтарної еквi-
валентностi, n 2 × 2 невiд’ємних матриць, сума яких є одиничною
матрицею. Для цього потрiбно задати 2n− 1 дiйсних та n− 2 ком-
плексних чисел.
У формулюваннi теореми фiгурує 2n + n2 чисел, з яких 3n є дiй-
сними. Разом з тим, у доведеннi теореми використовуються лише
числа cjkj (дiйснi, 2n штук), та c112k1 (одне додатне, n−1 коплекснi).
Зрозумiло, що умова A1 + · · ·+An = I дозволяє вiдповiдно зменшити
кiлькiсть чисел.
Остаточно, для однозначного визначення набору проекторiв, що
задовольняють умови теореми, досить задати числа
cjkj , c1l2k1, j = 1, 2; k = 1, . . . , n− 1,
де 1 ≤ l ≤ n — деяке число, при якому c1l2l1 6= 0.
Зауваження 5. У випадку all but one наборiв (лише один проектор
P1), незвiдний набiр задається числами 0 < c1, . . . , cn < 1 з умовою
c1 + · · · + cn = 1. Для випадку двох проекторiв P1, P2 таких про-
стих умов на числа cα, якi б забезпечували iснування набору проекто-
рiв (4) немає: цi числа визначають матричнi елементи операторiв
A1, . . . , An, для яких повинна виконуватись умова A1 + · · ·+An = I.
Автори висловлюють щиру вдячнiсть М.Л.Василевському та
Ю.С.Самойленку за змiстовнi дискусiї щодо предмету статтi та добру
увагу.
Про зображення “all but two” алгебр 21
Лiтература
[1] N. Vasilevski. Commutative algebras of Toeplitz operators on the
Bergman space. // Series: Operator Theory: Advances and Applicati-
onsю — 2008ю — Vol. 185. — 417 p.
[2] Yu. I. Karlovich, Luis V. Pessoa. Algebras Generated by the Bergman
and Anti-Bergman Projections and by Multiplications by Piecewise
Continuous Functions. // Integral Equations and Operator Theory. —
2005. — vol. 52, no 2. — 219–270.
[3] Yu. I. Karlovich, Luis V. Pessoa. C *-Algebras of Bergman Type
Operators with Piecewise Continuous Coefficients. // Integral Equati-
ons and Operator Theory. — 2007. — vol. 57, no 4. — 521–565.
[4] А. В. Стрелец, И. С. Фещенко. О системах подпространств гиль-
бертова пространства, удовлетворяющих условиям на углы между
каждой парой подпространств // Алгебра и анализ. — 2012. — Т. 24,
№ 5. — 181–214.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-5 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:01:47Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/29/e555bdc1f530a28e594774999a1b3b29.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-52018-01-23T09:53:12Z On representations of "all but two" algebras Про зображення “all but two” алгебр Ashurova, E. N. Ostrovskyi, V. L. Ашурова, Е. Н. Островський, В. Л. In this paper, we study representations of the $∗$-algebra generated by two projections $P_1 \perp P_2$ and $n$ more projections $Q_1 + \dots + Q_n = I$. У данiй роботi ми вивчаємо зображення $∗$-алгебри, породженої двома проекторами $P _1 \perp P_ 2$ та ще $n$ проекторами $Q_1 +\dots + Q_n = I$. Інститут математики НАН України 2015-05-05 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/5 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 12 No. 1 (2015): Spectral theory of operators and of collections of operators; 8-21 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 12 № 1 (2015): Спектральна теорія операторів та наборів операторів; 8-21 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 12 № 1 (2015): Спектральна теорія операторів та наборів операторів; 8-21 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/5/3 |
| spellingShingle | Ashurova, E. N. Ostrovskyi, V. L. Ашурова, Е. Н. Островський, В. Л. On representations of "all but two" algebras |
| title | On representations of "all but two" algebras |
| title_alt | Про зображення “all but two” алгебр |
| title_full | On representations of "all but two" algebras |
| title_fullStr | On representations of "all but two" algebras |
| title_full_unstemmed | On representations of "all but two" algebras |
| title_short | On representations of "all but two" algebras |
| title_sort | on representations of "all but two" algebras |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/5 |
| work_keys_str_mv | AT ashurovaen onrepresentationsofquotallbuttwoquotalgebras AT ostrovskyivl onrepresentationsofquotallbuttwoquotalgebras AT ašurovaen onrepresentationsofquotallbuttwoquotalgebras AT ostrovsʹkijvl onrepresentationsofquotallbuttwoquotalgebras AT ashurovaen prozobražennâallbuttwoalgebr AT ostrovskyivl prozobražennâallbuttwoalgebr AT ašurovaen prozobražennâallbuttwoalgebr AT ostrovsʹkijvl prozobražennâallbuttwoalgebr |