Про розподіл значень однієї сингулярної функції, пов'язаної з зображенням чисел рядами Люрота
In the article we study the distribution of the random variable $Y = F (X)$, where $X$ --- is evenly distributed on $[0; 1]$ random variable, $F$ --- distribution function, the digits of which are positive by the Lurot's rows are independent and equally distributed random variables. The pro...
Gespeichert in:
| Datum: | 2019 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2019
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/516 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872553023145771008 |
|---|---|
| author | Гончаренко, Я. В. Калашнікова, Є. І. Дмитренко, С. О. Василенко, Н. А. |
| author_facet | Гончаренко, Я. В. Калашнікова, Є. І. Дмитренко, С. О. Василенко, Н. А. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Я. В. Гончаренко",
"institution": "Національний педагогічний університет імені М. П. Драгоманова, Київ"
},
{
"author": "Є. І. Калашнікова",
"institution": "Національний педагогічний університет імені М. П. Драгоманова, Київ"
},
{
"author": "С. О. Дмитренко",
"institution": "НАПН України, Київ"
},
{
"author": "Н. А. Василенко",
"institution": "Інститут математики НАН України, Київ"
}
] |
| author_sort | Гончаренко, Я. В. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2023-03-02T07:56:20Z |
| description | In the article we study the distribution of the random variable $Y = F (X)$, where $X$ --- is evenly distributed on $[0; 1]$ random variable, $F$ --- distribution function, the digits of which are positive by the Lurot's rows are independent and equally distributed random variables. The problem of the Lebesgue structure of the distribution $Y$ is solved, the criterion of discreteness (and continuity) of the distribution $Y$ is proved, the conditions under which the distribution is not pure are found. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:08:44Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2019, т. 16, № 3, 187–197
УДК 517.5+ 519.21
Я.В. Гончаренко 1 Є. I. Калашнiкова 2,
С.О. Дмитренко 3, Н.А. Василенко 4
1 НПУ iменi М.П. Драгоманова, Київ; yan_a@ukr.net
2 НПУ iменi М.П. Драгоманова, Київ; evgeniak885@gmail.com
3 НАПН України, Київ; sergey@inlay.com.ua
4 Iнститут математики НАН України, Київ;
vasylenkonnn@gmail.com
Про розподiл значень однiєї
сингулярної функцiї, пов’язаної з
зображенням чисел рядами Люрота
In the article we study the distribution of the random variable Y =
F (X), where X — is evenly distributed on [0; 1] random variable, F —
distribution function, the digits of which are positive by the Lurot’s
rows are independent and equally distributed random variables. The
problem of the Lebesgue structure of the distribution Y is solved,
the criterion of discreteness (and continuity) of the distribution Y is
proved, the conditions under which the distribution is not pure are
found.
Key words: Lürot’s rows, L-representation of numbers, L-cylinders,
lebesgue distribution structure, discrete distribution, continuous di-
stribution, singular distribution, a mixture of distributions of pure
Lebesgue types.
c© Я.В. Гончаренко, Є. I. Калашнiкова, С. О. Дмитренко, Н.А
Василенко 2019
188Гончаренко Я. I., Калашнiкова Є. I., Дмитренко С.О., Василенко Н.А
Вивчається розподiл випадкової величини Y = F (X), де X —
рiвномiрно розподiлена на [0; 1] випадкова величина, F — фун-
кцiя розподiлу, цифри зображення якої додатним рядом Люрота
є незалежними i однаково розподiленими випадковими величина-
ми. Розв’язується задача про лебегiвську структуру розподiлу Y ,
доводиться критерiй дискретностi (i неперервностi) розподiлу Y ,
знайдено умови, при яких розподiл не є чистим.
Ключовi слова: Ряд Люрота, L-зображення чисел, L-цилiндри,
лебегiвська структура розподiлу, дискретний розподiл, неперерв-
ний розподiл, сингулярний розподiл, сумiш розподiлiв чистих ле-
бегiвських типiв.
Вступ
У роботах [5], [12], [13] проведена актуалiзацiя iнтересу до роз-
подiлiв значень функцiй зi складною тополого-метричною ло-
кальною структурою, зокрема сингулярних функцiй (монотоних
i немонотонних), неперервних, нiде не монотонних (майже скрiзь
диференцiйовних та нiде не диференцiйовних).
У роботах [5], [10] акцентувалася увага на сингулярних фун-
кцiях канторiвського типу. Вони стосувались зображень чисел
засобами скiнченного алфавiту. Виявилося, що в цьому класi роз-
подiлiв природньо виникають сумiшi дискретних i неперервних
розподiлiв. У цiй роботi ми розглядаємо зображення чисел у си-
стемi з нескiнченним алфавiтом, а саме додатними рядами Лю-
рота. Основною задачею, яка розв’язувалась в цих роботах, була
задачi про лебегiвську структуру розподiлу (функцiї розподiлу),
а саме: FY = β1F
d
Y +β2F
c
Y = α1F
d
Y +α2F
ac
Y +α3F
s
Y , βi ≥ 0, αi ≥ 0,
β1 + β2 = 1 = α1 + α2 + α3.
Нехай L = {1, 2, . . . , k, . . .} – алфавiт, L = A×A . . .×A× . . . –
простiр послiдовностей елементiв алфавiту.
Вiдомо [1], що для будь-якого числа x ∈ (0; 1] iснує послiдов-
Про розподiл значень однiєї сингулярної функцiї 189
нiсть (an) ∈ L така, що
x=
1
a1+1
+
1
a1(a1+1)(a2+1)
+
1
a1(a1+1)a2(a2+1)(a3+1)
+
+ . . .+
1
a1(a1 + 1) . . . an−1(an−1 + 1)(an + 1)
+ . . . = ∆L
a1...ak...
.
Символiчний запис ∆L
a1...ak...
, що є скороченим записом ряду i
його суми, називається L-зображенням числа x, an = an(x) –
його n-ою L-цифрою.
Геометрiя L-зображення чисел є добре вивченою [4], [8], [9].
Ключовим поняттям у цiй теорiї є поняття цилiндра. Нагадаємо
його змiст.
Нехай (c1, c2, ..., cm) — фiксований набiр натуральних чисел.
Цилiндром рангу m з основою c1c2...cm називається множина
∆L
c1c2...cm , яка мiстить всi числа x такi, що di(x) = ci при i 6 m,
тобто ∆L
c1c2...cm =
{
x : x = ∆L
c1c2...cmdm+1dm+2...
, dm+i ∈ N
}
. Ци-
лiндричним вiдрiзком (iнтервалом) рангу m з основою c1c2...cm
називається вiдрiзок (iнтервал), кiнцi якого спiвпадають з кiн-
цями цилiндра, вони позначаються
[
∆L
c1c2...cm
]
та ∇Lc1c2...cm вiдпо-
вiдно.
Цилiндри мають наступнi властивостi:
1. ∆L
c1c2...cm =
∞⋃
i1=1
...
∞⋃
ik=1
∆L
c1...cmi1i2...ik
,∀k ∈ N ;
2. inf∆L
c1...cmi
= max∆L
c1...cm[i+1];
2. Цилiндр ∆L
c1c2...cm є пiвiнтервалом (Am;Bm] з кiнцями
Am = inf ∆L
c1...cm =
1
c1 + 1
+...+
1
c1(c1 + 1)...cm−1(cm−1 + 1)(cm + 1)
,
Bm=sup ∆L
c1...cm =max ∆L
c1...cm =Am+
1
bm · 2
+
1
bm ·1 ·2·2
+...=Am+
1
bm
,
де bm = c1(c1 + 1)...cm(cm + 1), тобто
∆L
c1...cm =
(
Am, Am +
1
bm
]
=
(
Am, Am +
1
c1(c1 + 1)...cm(cm + 1)
]
.
190Гончаренко Я. I., Калашнiкова Є. I., Дмитренко С.О., Василенко Н.А
3. Довжина цилiндра виражається формулою:
∣∣∆L
c1...cm
∣∣ =
1
c1(c1 + 1)...cm(cm + 1)
=
m∏
i=1
1
ci(ci + 1)
.
Остання рiвнiсть є наслiдком попередньої властивостi.
4. Для довiльної послiдовностi натуральних чисел (cn) перерiз
∞⋂
m=1
∆L
c1...cm ≡ ∆L
c1...cm...
є точкою (числом) з пiвiнтервалу (0; 1].
Нехай (ζk) — незалежнi однаково розподiленi випадковi ве-
личини, якi набувають значень 1, 2, . . . , n, . . . з ймовiрностями
p1, p2, . . . pn, . . . вiдповiдно. Випадкова величина ζ = ∆L
ζ1...ζk...
має
чистий лебегiвський тип розподiлу [9], причому її функцiя роз-
подiлу аналiтично виражається:
Fζ(x = ∆L
a1...ak...
) = βa1(x) +
∞∑
k=2
βak(x) k−1∏
j=1
paj(x)
, (1)
де βi = pi+1 + pi+2 + . . ., i ∈ N. Критерiї належностi розподiлу ζ
до кожного з чистих лебегiвських типiв також вiдомi.
Теорема 1. [9] Розподiл випадкової величини ζ = ∆L
ζ1ζ2...ζk...
цифри L-зображеня якої є незалежними i однаково розподiлен-
ними: P{ζk = i} = pi є 1) виродженим дискретним розподiлом
з одним атомом, коли max
i
pi = 1;
2) рiвномiрним, коли pi = 1
i(i+1) , i ∈ N;
3) сингулярно неперервним – в рештi випадках, причому сингу-
лярний розподiл канторiвського типу, якщо iснує pi = 0.
Теорема 2. [9] Випадкова величина ξ = ∆L
ξ1...ξk...
, L-символи ξn
якої є незалежними i мають розподiли: P{ξk = i} = pik, i ∈ N,
Про розподiл значень однiєї сингулярної функцiї 191
має чистий лебегiвський тип, причому
1.дискретний — тодi i тiльки тодi, коли
M =
∞∏
k=1
max
i
{pik} > 0;
2. абсолютно неперервний — тодi i тiльки тодi, коли
S =
∞∏
k=1
(
∞∑
i=1
√
pik
i(i+ 1)
) > 0; (2)
3. сингулярний — в рештi випадкiв, тобто, коли M = 0 = S.
Теорема 3. [9] Спектр Sξ (мiнiмальний замкнений носiй) роз-
подiлу випадкової величини ξ є
1) вiдрiзком [0, 1], якщо матриця ||pik|| нулiв не мiстить;
2) об’єднанням вiдрiзкiв, якщо матриця ||pik|| мiстить нулi ли-
ше у скiнченнiй кiлькостi стовпцiв;
3) нiде не щiльною множиною, мiра Лебега якої обчислюється
за формулою
λ(Sξ) =
∞∏
k=1
Wk, Wk =
∑
i:pik>0
1
i(i+ 1)
, k ∈ N,
якщо матриця ||pik|| мiстить нулi у нескiнченнiй кiлькостi
стовпцiв.
Далi з цього класу розглядаються сингулярнi розподiли кан-
торiвського типу, тобто такi, шо задовольняють умову 3).
1. Розподiл значень функцiї розподiлу ζ
при рiвномiрному розподiлi аргумента
Нехай X — рiвномiрно розподiлена на вiдрiзку [0; 1] випадко-
ва величина. Розглянемо випадкову величину Y = Fζ(X), коре-
ктнiсть її означення є наслiдком неперервностi функцiї Fζ .
192Гончаренко Я. I., Калашнiкова Є. I., Дмитренко С.О., Василенко Н.А
Теорема 4. Якщо P{ζk = a} = pa = 0 i pc 6= 0, коли c 6= a, то
випадкова величина Y = Fζ(X) має чисто дискретний розподiл
з атомами виду:
y = ∆L
c1...cma(0)
= βc1 +
m∑
k=2
(
βck
k∏
i=1
pci
)
+ βa
m∏
i=1
pci , (3)
де a 6= ci ∈ N.
Доведення. Нехай x = ∆L
c1c2...cma... довiльна фiксована точка, яка
належить цилiндру ∆L
c1c2...cma, де a 6= ci ∈ N.
З виразу (2) функцiї розподiлу випадкової величини ζ бачимо:
якщо pci = 0, то функцiя розподiлу Fζ на кожному з цилiндрiв
∆L
c1c2...cm є сталою. З цього випливає, що образи усiх точок цилiн-
дра ∆L
c1c2...cma пiд дiєю функцiї Fζ(X) збiгаються, тобто цилiндр
∆L
c1c2...cma вiдображається в одну точку y0 = Fζ(∆L
c1...cma(1)
).
Оскiльки X має рiвномiрний на [0; 1] розподiл, то ймовiрнiсть
цилiндра ∆L
c1c2...cma дорiвнює його довжинi, тобто:
P{Y = y0} = P
{
X ∈ ∆L
c1c2...cma
}
=
1
a(a+ 1)
m∏
i=1
1
ci(ci + 1)
, (4)
Fζ(∆L
c1...cma) = y0.
Знайдемо суму S довжин усiх цилiндрiв виду
∣∣∆L
c1c2...cma
∣∣ , де
ci 6= a, i = 1,m, тобто
S =
∞∑
ci 6=a,m=1
∣∣∆L
c1...cma
∣∣ =
∞∑
m=1
∑
c1 6=a
. . .
∑
cm 6=a
∆L
c1...cma
.
Враховуючи формулу (4), маємо:∣∣∆L
a
∣∣ =
1
a · (a+ 1)
,
∣∣∆L
c1a
∣∣ =
1
a(a+ 1)
(
1
1 · 2
+
1
2 · 3
+ . . .+
1
(a− 1)a
+
1
(a+ 1)(a+ 2)
+ . . .
)
=
Про розподiл значень однiєї сингулярної функцiї 193
=
1
a(a+ 1)
(
1− 1
a(a+ 1)
)
.
За iндукцiєю, отримаємо∣∣∣∆L
c1c2...ck−1cka
∣∣∣ =
=
1
a(a+ 1)
∞∑
c1=1
. . .
∞∑
ck−1=1
∞∑
ck=1
1
c1(c1+1) ·. . .· ck−1(ck−1+1) · ck(ck+1)
=
=
1
a(a+ 1)
(
1− 1
a(a+ 1)
)k
.
Тодi S, як сума нескiнченно спадної геометричної прогресiї зi
знаменником 1−
1
a(a+ 1)
, дорiвнює 1.
Враховуючи, що сумарна маса всiх атомiв розподiлу Y дорiв-
нює 1, робимо висновок про його дискретнiсть. �
2. Розподiл значень функцiї розподiлу ξ
при рiвномiрному розподiлi аргумента
Нехай X — рiвномiрно розподiлена на вiдрiзку [0; 1] випадкова
величина. Розглядається випадкова величина Z = Fξ(X), коре-
ктнiсть її означення є наслiдком неперервностi функцiї Fξ.
Теорема 5. Якщо ξ – неперервна випадкова величина, спектр
Sξ якої має додатну мiру Лебега, меншу 1, то розподiл випадко-
вої величини Z = Fξ(X) є сумiшшю дискретного i неперервного
розподiлiв, причому в окремих випадках сумiшшю дискретного
i сингулярного або дискретного i абсолютно неперервного.
Доведення. Оскiльки 0 < λ(Sξ) < 1, то сумарна довжина l про-
мiжкiв сталостi функцiї додатна, але менша 1. А отже, сума мас
атомiв розподiлу Z дорiвнює l. Отже, розподiл Z має нетривiаль-
нi дискретну (оскiльки розподiл атоми має) i неперервну (оскiль-
194Гончаренко Я. I., Калашнiкова Є. I., Дмитренко С.О., Василенко Н.А
ки сума мас атомiв менша 1) компоненту, тобто є сумiшшю дис-
кретного i неперервного розподiлiв. �
Наведемо приклади сумiшей розподiлiв. З цiєю метою дамо
iнше виведення формули для обчислення мiри Лебега спектра
розподiлу випадкової величини ξ.
Нехай Fk – об’єднання цилiндрiв рангу k, серед внутрiшнiх
точок яких є точки спектра Sξ. Тодi
Sξ =
∞⋂
k=1
Fk = lim
k→∞
Fk i λ(Fk) =
λ(Fk)
λ(Fk−1)
· λ(Fk−1)
λ(Fk−2)
· . . . · λ(F1)
λ(F0)
,
де F0 = [0; 1], а тому
λ(Sξ) = lim
k→∞
λ(Fk) = lim
k→∞
k∏
i=0
λ(Fi)
λ(Fi−1)
=
∞∏
i=0
λ(Fi)
λ(Fi−1)
.
Нехай Fk \ Fk+1 = F k+1. Тодi Fk+1 = Fk \ F k+1,
λFk+1 = λ(Fk)− λ(F k+1) i
∞∏
k=1
λ(Fk−1)− λ(F k)
λ(Fk−1)
=
∞∏
k=1
(1− λ(F k)
λ(Fk−1)
).
Наслiдком з наведених дедуктивних мiркувань є твердження.
Лема 6. Мiра Лебега спектра розподiлу випадкової величини ξ
обчислюється за формулою
λ(Sξ) =
∞∏
k=1
(1− λ(F k)
λ(Fk−1)
),
де Fk – об’єднання цилiндрiв рангу k, серед внутрiшнiх точок
яких є точки спектра Sξ, F k+1 = Fk+1 \ Fk.
Наслiдок 7. Мiра Лебега спектра Sξ розподiлу випадкової ве-
личини ξ дорiвнює нулю тодi i тiльки тодi, коли розбiгається
ряд
∞∑
k=1
λ(F k)
λ(Fk−1)
Про розподiл значень однiєї сингулярної функцiї 195
Приклад 1. (Сумiш дискретного та сингулярного розподiлiв)
Нехай 0 = p21 = p222 = . . . = p2kk = . . .; при i 6= 2k
pik =
1
2i
при i < 2k,
1
2i−1
при i > 2k.
Справдi, сума довжин iнтервалiв сталостi функцiї розподiлу
Fξ обчислюється за формулою l = 1−
∞∏
k=1
(1− 1
2k(2k+1)
), але остан-
нiй добуток P лежить в межах 0 < P < 5
6 . Тому сума мас атомiв
бiльше 1
6 , але менша 1.
Розподiл випадкової величини ξ при заданих умовах є сингу-
лярним розподiлом квазiканторiвського типу [10].
Приклад 2. (Сумiш дискретного i абсолютно неперервного
розподiлiв) Нехай 0 = p21 = p222 = . . . = p2kk = . . .; при i 6= 2k
pik =
1
i(i+ 1)
при i < 2k,
1
(i− 1)i
при i > 2k.
Справдi, нетривiальнiсть дискретної компоненти розподiлу Z
обгрунтовано у прикладi 1. Абсолютна неперервнiсть розподiлу
випадкової величини ξ випливає з теореми 2. Нетривiальнiсть аб-
солютно неперервної компоненти розподiлу Z є наслiдком того,
що вiдображеня ϕ спектра Sξ у вiдрiзок [0, 1], яке дає функцiю
розподiлу Fξ, зберiгає мiру Лебега.
Зауважимо, що неперервнi компоненти у прикладах 1 та 2
мають розподiли, аналогiчнi до розподiлiв випадкових величин,
якi розглядались у роботах [11], [7].
Залишається вiдкритим питання про iснування нетривiальної
сумiшi сингулярного та абсолютно неперервного розподiлiв.
196Гончаренко Я. I., Калашнiкова Є. I., Дмитренко С.О., Василенко Н.А
Лiтература
[1] Lüroth J. Uber eine eindeutige Entwickelung von Zahlen in eine
unendliche Reihe //Math.Ann. – 1883. – Vol. 21. – P. 411–423.
[2] Pratsiovytyi M., Khvorostina Yu. Topological and metric properties
of distributions of random variables represented by the alternating
Lüroth series with independent elements // Random Oper. Stoch.
Equ. – 2013. – Vol. 21, no. 4. – P. 385–401.
[3] Pratsovytyi M.V., Lechinskii O.L. Properties of random variable defi-
ned by the distributions of elements of their -representation // Theor.
Probability and Math. Statist. No.57, 1998. – P.143-148.
[4] Zhykharyeva Yu., Pratsiovytyi M. Expansions of numbers in positive
Lüroth series and their applications to metric, probabilistic and fractal
theories of numbers// Algebra and Discrete Mathematics. – Vol.14. –
2012. – no. 1. – P. 145-160.
[5] Pratsiovytyi M., Lysenko I., Voitovska O. Distribution of values of
classic singular Cantor function of random argument // Random
Operators and Stochastic Equations. – 2018. – Vol. 26, no.4. – P.193-
200.
[6] Кац М. Статистическая независимость в теории вероятностей,
анализе и теории чисел (пер. с. англ.) — М.:Из-во иностранной
литературы, — 1963. — 156 с.
[7] Гончаренко Я.В., Лисенко I.М. Геометрiя нескiнченно-
символьного q∞0 -зображення дiйсних чисел та її застосування у
метричнiй теорiї чисел// Науковий часопис НПУ iменi М. П. Дра-
гоманова, Серiя 1. Фiзико-математичнi науки. К.: – НПУ iменi
М. П. Драгоманова, 2013. – №15. – С.63-82.
[8] Жихарєва Ю.I. Сингулярнi розподiли ймовiрностей, повязанi з
представленнями чисел знакододатними рядами Люрота: авто-
реф. дис. на здобуття наук. ступеня канд. фiз-мат. наук: спец.:
01.01.05 "теорiя ймовiрностей i математична статистика"/ Ю.I.
Жихарєва. – Донецьк, 2014. – 20 с.
[9] Жихарєва Ю.I., Працьовитий М.В. Властивостi розподiлу випад-
кової величини, L-символи якої в зображеннi знакододатним ря-
дом Люрота, є незалежними // Труды ИПММ НАН Украины. –
2011. – Т. 23. – С. 71–83.
Про розподiл значень однiєї сингулярної функцiї 197
[10] Працьовитий М.В. Фрактальний пiдхiд у дослiдженнях сингу-
лярних роподiлiв. — Київ: НПУ iменi М.П. Драгоманова, 1998 —
296с.
[11] Працьовитий М.В. Геометрiя дiйсних чисел у їх кодуваннях засо-
бами нескiнченного алфавiту як основа топологiчних, метричних,
фрактальних i ймовiрнiсних теорiй // Науковий часопис НПУ iме-
нi М.П. Драгоманова, Серiя 1. Фiзико-математичнi науки. – К.: –
НПУ iменi М.П. Драгоманова, 2013. – №14. – С.189-216.
[12] Працьовитий М.В., Ратушняк С.П. Влаcтивостi та розподiли
значень фрактальних функцiй, пов’язаних з Q2-зображенням дiй-
сних чисел // Теорiя ймовiрностей та математична статистика.,
Вип. 2(99)/2018. — С. 187–202.
[13] Працьовитий М. В., Свинчук О. В. Розсiювання значень однi-
єї фрактальної неперервної немонотонної функцiї канторiвського
типу // Нелiнiйнi коливання, 2018., Том 21, №1. – C. 116-130.
[14] Турбин А.Ф., Працевитый Н.В. Фрактальные множества, фун-
кции, распределения. - Київ: Наукова думка, 1992. - 208 с.
[15] Хворостiна Ю.В., Працьовитий М.В. Випадкова величина, сим-
воли L̃-зображення якої є випадковими величинами з марков-
ською залежнiстю// Теорiя ймовiрностей та математична стати-
стика. – К. Вид-во ТЙiМС. – 2014. – Вип. 91. – С. 143–153.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-516 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:08:44Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/a8/8a5cb7af9d444b49f89255a585a42ca8.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-5162023-03-02T07:56:20Z Про розподіл значень однієї сингулярної функції, пов'язаної з зображенням чисел рядами Люрота Гончаренко, Я. В. Калашнікова, Є. І. Дмитренко, С. О. Василенко, Н. А. In the article we study the distribution of the random variable $Y = F (X)$, where $X$ --- is evenly distributed on $[0; 1]$ random variable, $F$ --- distribution function, the digits of which are positive by the Lurot's rows are independent and equally distributed random variables. The problem of the Lebesgue structure of the distribution $Y$ is solved, the criterion of discreteness (and continuity) of the distribution $Y$ is proved, the conditions under which the distribution is not pure are found. Вивчається розподіл випадкової величини $Y=F(X)$, де $X$ --- рівномірно розподілена на $[0;1]$ випадкова величина, $F$ --- функція розподілу, цифри зображення якої додатним рядом Люрота є незалежними і однаково розподіленими випадковими величинами. Розв'язується задача про лебегівську структуру розподілу $Y$, доводиться критерій дискретності (і неперервності) розподілу $Y$, знайдено умови, при яких розподіл не є чистим. Інститут математики НАН України 2019-12-30 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/516 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 16 No. 3 (2019): Фрактальний аналіз та суміжні питання; 187-197 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 16 № 3 (2019): Фрактальний аналіз та суміжні питання; 187-197 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 16 № 3 (2019): Фрактальний аналіз та суміжні питання; 187-197 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/516/499 Авторське право (c) 2019 2019 http://creativecommons.org/licenses/by/4.0 |
| spellingShingle | Гончаренко, Я. В. Калашнікова, Є. І. Дмитренко, С. О. Василенко, Н. А. Про розподіл значень однієї сингулярної функції, пов'язаної з зображенням чисел рядами Люрота |
| title | Про розподіл значень однієї сингулярної функції, пов'язаної з зображенням чисел рядами Люрота |
| title_full | Про розподіл значень однієї сингулярної функції, пов'язаної з зображенням чисел рядами Люрота |
| title_fullStr | Про розподіл значень однієї сингулярної функції, пов'язаної з зображенням чисел рядами Люрота |
| title_full_unstemmed | Про розподіл значень однієї сингулярної функції, пов'язаної з зображенням чисел рядами Люрота |
| title_short | Про розподіл значень однієї сингулярної функції, пов'язаної з зображенням чисел рядами Люрота |
| title_sort | про розподіл значень однієї сингулярної функції, пов'язаної з зображенням чисел рядами люрота |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/516 |
| work_keys_str_mv | AT gončarenkoâv prorozpodílznačenʹodníêísingulârnoífunkcíípov039âzanoízzobražennâmčiselrâdamilûrota AT kalašníkovaêí prorozpodílznačenʹodníêísingulârnoífunkcíípov039âzanoízzobražennâmčiselrâdamilûrota AT dmitrenkoso prorozpodílznačenʹodníêísingulârnoífunkcíípov039âzanoízzobražennâmčiselrâdamilûrota AT vasilenkona prorozpodílznačenʹodníêísingulârnoífunkcíípov039âzanoízzobražennâmčiselrâdamilûrota |