Clark-Ocone type formulas on the spaces of regular basic and generalized functions in the analysis of Levy white noise
In the classical Gaussian analysis the Clark-Ocone formula can be written in the form $$ F=\mathbf{E}{F}+\int\mathbf{E}\big(\partial_t F|_{\mathcal F_t}\big)\,dW_t, $$ where a function (a random variable) $F$ is square integrable with respect to the Gaussian measure and differentiable by Hida; $\ma...
Gespeichert in:
| Datum: | 2023 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2023
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/529 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872553036920913920 |
|---|---|
| author | Kachanovskyy, Mykola Качановський, Микола |
| author_facet | Kachanovskyy, Mykola Качановський, Микола |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Микола Качановський",
"institution": "Інтистут математики НАН України, м. Київ"
}
] |
| author_sort | Kachanovskyy, Mykola |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2023-08-17T17:00:35Z |
| description |
In the classical Gaussian analysis the Clark-Ocone formula can be written in the form
$$
F=\mathbf{E}{F}+\int\mathbf{E}\big(\partial_t F|_{\mathcal F_t}\big)\,dW_t,
$$
where a function (a random variable) $F$ is square integrable with respect to the Gaussian measure and differentiable by Hida;
$\mathbf{E}$ denotes the expectation; $\mathbf{E}\big(\circ|_{\mathcal F_t}\big)$---the conditional expectation with respect to the full $\sigma$-algebra $\mathcal F_t$ that is generated by the Wiener process $W$ up to the point of time $t$;
$\partial_{\cdot} F$ is the Hida derivative of $F$; $\int\circ (t)dW_t$ denotes the It\^o stochastic integral with respect to the Wiener process.
This formula has many applications, in particular, in the stochastic analysis and in the financial mathematics.
In this paper we generalize the Clark-Ocone formula to spaces of regular test and generalized functions of the Levy white noise analysis.
More exactly, we obtain different Clark-Ocone type formulas on the above-mentioned spaces, study the properties of the integrands in these formulas, establish the conditions under which a Clark-Ocone type formula takes a classical form, etc.
In particular, we show that the restrictive condition of differentiability by Hida for a random variable is not really significant.
|
| doi_str_mv | 10.3842/trim.v20n1.529 |
| first_indexed | 2026-08-04T01:08:57Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збірник праць Ін-ту математики НАН України (2023) т. 20, №1, 805–842
Формули типу Кларка-Окона
на просторах регулярних основних
і узагальнених функцій
в аналізі білого шуму Леві
М. О. Качановський
Abstract. In the classical Gaussian analysis the Clark-Ocone formula can
be written in the form
F = EF +
ż
E
(BtF |Ft
)
dWt,
where a function (a random variable) F is square integrable with respect to
the Gaussian measure and differentiable by Hida; E denotes the expectation;
E
( ˝ |Ft
)
—the conditional expectation with respect to the full σ-algebra Ft
that is generated by the Wiener process W up to the point of time t; B¨F
is the Hida derivative of F ;
ş ˝(t)dWt denotes the Itô stochastic integral
with respect to the Wiener process. This formula has many applications, in
particular, in the stochastic analysis and in the financial mathematics.
In this paper we generalize the Clark-Ocone formula to spaces of regular
test and generalized functions of the Lévy white noise analysis. More ex-
actly, we obtain different Clark-Ocone type formulas on the above-mentioned
spaces, study the properties of the integrands in these formulas, establish the
conditions under which a Clark-Ocone type formula takes a classical form,
etc. In particular, we show that the restrictive condition of differentiability
by Hida for a random variable is not really significant.
Анотація. У класичному гауссівському аналізі формулу Кларка-Окона
можна записати у вигляді
F = EF +
ż
E
(BtF |Ft
)
dWt,
де функція (випадкова величина) F є квадратично інтегровною за гаус-
сівською мірою та диференційовною за Хідою; E позначає математичне
сподівання; E
( ˝ |Ft
)
– умовне математичне сподівання відносно повної
σ-алгебри Ft, породженої вінерівським процесом W до моменту часу t;
B¨F – похідна Хіди F ;
ş ˝(t)dWt позначає стохастичний інтеграл Іто за
вінерівським процесом. Ця формула має багато застосувань, зокрема, у
стохастичному аналізі та у фінансовій математиці.
2020 Mathematics Subject Classification: 46F05, 46F25, 60H40, 60G51, 60H05
Ключові слова: процес Леві; властивість хаотичного розкладу; розширений стоха-
стичний інтеграл; стохастична похідна; формула Кларка-Окона
DOI : http://dx.doi.org/10.3842/trim.v20n1.529
805
806 М. Качановський
В цій статті ми узагальнюємо формулу Кларка-Окона на простори ре-
гулярних основних і узагальнених функцій в аналізі білого шуму Леві.
Точніше, ми отримуємо різні формули типу Кларка-Окона на вищезга-
даних просторах, вивчаємо властивості підінтегральних функцій у цих
формулах, встановлюємо умови, за яких формула типу Кларка-Окона
приймає класичний вигляд, тощо. Зокрема, ми показуємо, що обмежу-
вальна умова диференційовності за Хідою для випадкової величини не є
суттєвою.
ВСТУП
Позначимо через D простір Шварца, що складається з усіх дійсно-
значних нескінченно-диференційовних функцій на R+ := [0,+8) з ком-
пактними носіями. Добре відомо (напр., [33]), що D можна наділити то-
пологією проективної границі, породженою сім’єю соболевських прос-
торів. Нехай D1 – множина лінійних неперервних функціоналів на D.
Відзначимо, що D1 та D є негативним та позитивним просторами лан-
цюжка
D1 Ą L2(R+) Ą D, (0.1)
де L2(R+) – простір (класів) дійснозначних функцій на R+, квадрати-
чно інтегровних за мірою Лебега (напр., [33]).
Позначимо через x¨, ¨y дуальне спарювання між елементами D1 та
D, породжене скалярним добутком у L2(R+); через нижній індекс C
будемо позначати комплексифікації лінійних топологічних просторів
(наприклад, елементами DC є a+bi, a, b P D); через C(D1) – циліндричну
σ-алгебру на D1.
Нехай γ – стандартна гауссівська міра на (D1, C(D1)) (C(D1) вважаємо
поповненою відносно γ), тобто ймовірнісна (γ(D1) = 1) міра з перетво-
ренням Лапласа
lγ(λ) :=
ż
D1
exx,λyγ(dx) = exλ,λy/2, λ P DC.
Як добре відомо (напр., [4, 19, 25]), кожну квадратично інтегровну за
γ та диференційовну за Хідою комплекснозначну функцію (випадкову
величину) F на D1 можна представити у вигляді
F = EF +
ż
E
(BtF |Ft
)
dWt, (0.2)
де E позначає математичне сподівання; E
( ˝ |Ft
)
– умовне математи-
чне сподівання відносно повної σ-алгебри Ft, породженої вінерівським
процесом W до моменту часу t (тобто Ft – поповнення відносно γ σ-ал-
гебри σ(Wu : u ď t)); B¨F – похідна Хіди F ;
ş ˝(t)dWt позначає стохасти-
чний інтеграл Іто за вінерівським процесом (для інтегралів по R+ ми,
Формули типу Кларка-Окона 807
як правило, не вказуємо границі інтегрування задля спрощення позна-
чень). Формула (0.2) називається формулою Кларка-Окона. Як бачимо,
ця формула, зокрема, дозволяє поновити версію підінтегральної функ-
ції (ця функція не є єдиною, взагалі кажучи), якщо відомий результат
стохастичного інтегрування.
Як відомо (напр., [7, 32]), формула (0.2) залишається справедливою
(з точністю до зрозумілих модифікацій), якщо замість гауссівської міри
розглядається пуассонівська. Відзначимо також, що можна легко уни-
кнути обмежувального припущення, що випадкова величина F має бу-
ти диференційовною за Хідою: достатньо узагальнити формулу Клар-
ка-Окона на певні простори узагальнених функцій (при цьому F може
залишатись квадратично інтегровною), див., напр., [5, 6].
Формула Кларка-Окона та її узагальнення мають численні застосу-
вання, зокрема, у стохастичному аналізі та у фінансовій математиці,
див., напр., [1, 6–8, 10, 22, 26–28, 32] і посилання там. Задля задоволен-
ня потреб застосувань побудовано різноманітні формули типу Кларка-
Окона на різних просторах, з використанням різних стохастичних по-
хідних та зі стохастичними інтегралами за різними випадковими проце-
сами й мірами, див., зокрема, [1,2,5–7,13,14,18–20,22,32,36]. Наприклад,
в [19,20] отримано формулу типу Кларка-Окона, пов’язану з процесами
Леві, яка містить стохастичні інтеграли за вінерівським процесом та за
компенсованою пуассонівською випадковою мірою.
В [6] запропоновано інший підхід до побудови формул типу Кларка-
Окона в аналізі Леві, який базується на так званому розкладі Нуаларта-
Скоутенса квадратично інтегровних випадкових величин [24,30]; зараз
згадані формули містять інтеграли за спеціальними випадковими про-
цесами. Варто відзначити, що автори [6] також узагальнюють свої ре-
зультати на певні простори узагальнених випадкових величин.
В роботах автора [13,14,36] побудовано формули типу Кларка-Окона
на просторах регулярних основних, квадратично інтегровних та регу-
лярних узагальнених функцій майкснерівського аналізу білого шуму.
Цей аналіз пов’язаний з узагальненою мірою Майкснера m [29] та з
відповідним випадковим процесом Майкснера, похідною якого (в сенсі
узагальнених функцій [34]) є майкснерівський білий шум (мірою цього
шуму як узагальненого випадкового процесу [35] є m).
Зауважимо, що підклас процесів Майкснера, який складається зі
стаціонарних випадкових процесів, є доволі широким підкласом про-
цесів Леві. Проте, побудови [13, 14, 36] суттєво відрізняються від по-
будов [19, 20] та [6]: ми намагались зберегти, наскільки це можливо,
класичну форму формул типу Кларка-Окона, і тому використовували
808 М. Качановський
стохастичну похідну Хіди та стохастичне інтегрування лише за проце-
сом Майкснера.
Дана робота в певному сенсі є продовженням досліджень [13,14,36],
зараз наша мета полягає в отриманні та вивченні формул типу Кларка-
Окона на просторах так званого регулярного параметризованого осна-
щення простору квадратично інтегровних випадкових величин в аналізі
білого шуму Леві [15,37]. Зокрема, ми встановлюємо необхідну і доста-
тню умову, за якої можливо отримати формули типу Кларка-Окона з
використанням інтегрування лише за випадковим процесом Леві; отри-
муємо різні формули типу Кларка-Окона та вивчаємо властивості пі-
дінтегральних функцій у цих формулах; а також з’ясовуємо необхідну
і достатню умову, за якої формула типу Кларка-Окона набуває класи-
чного вигляду (0.2) (з процесом Леві замість вінерівського процесу).
Статтю організовано наступним чином. В першому розділі ми наво-
димо необхідні попередні відомості: розглядаємо процес Леві та буду-
ємо пов’язаний з ним ймовірнісний простір, зручний для подальшого
викладу; описуємо запропоноване Є. В. Литвиновим [21] узагальнення
властивості хаотичного розкладу в аналізі білого шуму Леві, на осно-
ві якого побудоване регулярне параметризоване оснащення простору
квадратично інтегровних випадкових величин [15]; нагадуємо констру-
кцію згаданого оснащення; а також описуємо конструкції розширеного
стохастичного інтеграла та стохастичної похідної Хіди на його просто-
рах [15, 16]. Другий розділ присвячено побудові та вивченню формул
типу Кларка-Окона: розглянуто формулу Кларка-Окона в найпрості-
шому частинному випадку; встановлено необхідну і достатню умову,
за якої можливо отримати формули типу Кларка-Окона з використа-
нням стохастичного інтегрування лише за випадковим процесом Леві;
отримано згадані формули найпростішого та наближеного до класи-
чного вигляду; а також визначено необхідну і достатню умову, за якої
формула Кларка-Окона в аналізі Леві набуває класичного вигляду.
1. ПОПЕРЕДНІ ВІДОМОСТІ
В цій роботі будемо позначати через } ¨ }H або | ¨ |H норму в просторі
H; через (¨, ¨)H дійсний (тобто білінійний) скалярний добуток в просторі
H; через xx¨, ¨yyH або x¨, ¨yH дуальне спарювання, породжене скалярним
добутком в просторі H; через B борелівську σ-алгебру; через 1∆ інди-
катор множини або події ∆; та через pb симетричне тензорне множення.
Також ми використовуємо позначення pr lim (відповідно, ind lim) для
проективної (відповідно, індуктивної) границі сім’ї просторів; це позна-
чення означає, що граничний простір наділено топологією проективної
(відповідно, індуктивної) границі (див., напр., [33]).
Формули типу Кларка-Окона 809
1.1. Процес Леві та його ймовірнісний простір. Нехай
L = (Lt)tPR+
– дійснозначний локально квадратично інтегровний процес Леві (тобто
неперервний за ймовірністю випадковий процес на R+ зі стаціонарни-
ми незалежними приростами і такий, що L0 = 0, див., напр., [3]) без
гауссівської частини та зсуву. Добре відомо (напр., [6]), що характери-
стична функція L має вигляд
E[eiθLt ] = exp
[
t
ż
R
(eiθx ´ 1 ´ iθx)ν(dx)
]
, (1.1)
де ν – міра Леві процесу L, що є мірою на (R,B(R)). Накладемо додат-
ково такі умови: ν є мірою Радона з носієм, що містить нескінченну
кількість точок; ν(t0u) = 0; існує ε ą 0 таке, що
ż
R
x2eε|x|ν(dx) ă 8;
та ż
R
x2ν(dx) = 1. (1.2)
Визначимо міру білого шуму процесу L.
Означення 1.1.1. Ймовірнісна міра µ на вимірному просторі (D1, C(D1))
з перетворенням Фур’є
ż
D1
eixω,φyµ(dω) = exp
[ż
R+ˆR
(eiφ(t)x´1´iφ(t)x)dtν(dx)
]
, φ P D, (1.3)
називається мірою білого шуму Леві.
Коректність цього визначення (тобто існування µ) випливає з теоре-
ми Бохнера-Мінлоса (напр., [11]), див. [21]. Нижче будемо вважати, що
циліндрична σ-алгебра C(D1) поповнена відносно µ.
Позначимо через
(L2) := L2(D1, C(D1), µ)
простір (класів) квадратично інтегровних за µ комплекснозначних фун-
кцій на D1. Нехай f P L2(R+) та послідовність (φk P D)kPN збігається
до f у L2(R+), коли k Ñ 8. Можна показати (напр., [16, 21]), що
x˝, fy := (L2) ´ lim
kÑ8x˝, φky
є коректно визначеним елементом (L2) (зокрема, x˝, fy не залежить від
того, якою саме послідовністю елементів D апроксимовано f).
810 М. Качановський
Покладемо 1[0,0) ” 0 (формальний напівінтервал [0, 0) природно вва-
жати порожньою множиною). З (1.1) та (1.3) випливає, що
(x˝, 1[0,t)y
)
tPR+
можна ототожнити з процесом Леві на ймовірнісному просторі (ймо-
вірнісній трійці) (D1, C(D1), µ) (див., напр., [6, 7]). Таким чином, для
кожного t P R+ маємо
Lt = x˝, 1[0,t)y P (L2).
Зауважимо, що похідна у сенсі узагальнених функцій процесу Леві
(тобто білий шум Леві)
L̇¨(ω) = xω, δ¨y ” ω(¨),
де δ є дельта-функцією Дірака. Отже, L̇ є узагальненим випадковим
процесом (в сенсі [34]) з траєкторіями з D1, а µ є мірою L̇ у класичному
сенсі [35].
1.2. Литвинівське узагальнення властивості хаотичного роз-
кладу. Як відомо, фундаментальну роль у гауссівському аналізі біло-
го шуму відіграє так звана властивість хаотичного розкладу (ВХР),
яка полягає, грубо кажучи, у наступному: кожну квадратично інте-
гровну випадкову величину можна єдиним чином розкласти в ряд з
повторних стохастичних інтегралів Іто від невипадкових функцій (див.
детальний виклад, напр., у [23]). Використовуючи ВХР, можна будува-
ти різні простори основних і узагальнених функцій, уводити та дослі-
джувати різноманітні оператори і операції на цих просторах (зокрема,
стохастичні інтеграли та похідні, віківське множення), тощо. В аналізі
білого шуму Леві, на жаль, ВХР немає (точніше, серед процесів Ле-
ві тільки вінерівський та пуассонівський мають цю властивість, див.
подробиці у [31]); але побудовано низку її узагальнень (короткий опис
таких узагальнень із відповідними посиланнями міститься у [37]).
В цій роботі ми використовуємо одне з найкорисніших узагальнень
ВХР в аналізі Леві, запропоноване Є. В. Литвиновим [21]. Коротко
опишемо це узагальнення.
Розповсюдимо уведене вище позначення x¨, ¨y на дуальні спарювання
в симетричних тензорних степенях комплексифікації ланцюжка (0.1).
Нехай Z+ := NY t0u. Позначимо через P множину комплекснозначних
поліномів на D1, яка складається з нуля та елементів вигляду
f(ω) =
Nfÿ
n=0
xωbn, f (n)y, ω P D1, f (n) P D pbn
C , Nf P Z+, f
(Nf ) = 0,
Формули типу Кларка-Окона 811
тут Nf – степінь поліному f ; xωb0, f (0)y := f (0) P D pb0
C := C. Міра білого
шуму Леві µ має голоморфне в нулі перетворення Лапласа (це випли-
ває з (1.3) та властивостей міри Леві ν, див. [21]), отже P є щільною
множиною у (L2) [38].
Позначимо через Pn, n P Z+, множину поліномів степені не більше
n, через Pn – замикання Pn в (L2). Нехай для n P N
Pn := Pn a Pn´1 (ортогональна різниця в (L2)).
Покладемо також P0 := P0. Зрозуміло, що
(L2) =
8‘
n=0
Pn. (1.4)
Нехай f (n) P D pbn
C , n P Z+. Позначимо через
:x˝bn, f (n)y : P (L2)
ортогональну проекцію монома x˝bn, f (n)y на Pn. Визначимо дійсні
(білінійні) скалярні добутки (¨, ¨)ext на D pbn
C , n P Z+, поклавши для
f (n), g(n) P D pbn
C
(f (n), g(n))ext :=
1
n!
ż
D1
:xωbn, f (n)y : :xωbn, g(n)y :µ(dω). (1.5)
Коректність цього визначення доведено (з точністю до очевидних мо-
дифікацій) у [21].
Позначимо через | ¨ |ext норми, що відповідають скалярним добу-
ткам (1.5), тобто | ¨ |ext :=
a
(¨, ¨)ext.
Означення 1.2.1. Для кожного n P Z+ визначимо гільбертів простір
H(n)
ext як поповнення D pbn
C за відповідною нормою | ¨ |ext (для скалярних
добутків та норм у просторах H(n)
ext ми збережемо позначення (¨, ¨)ext та
| ¨ |ext відповідно).
Для кожного F (n) P H(n)
ext визначимо віківський моном
:x˝bn, F (n)y : def= (L2) ´ lim
kÑ8 :x˝bn, f
(n)
k y :,
де D pbn
C Q f (n)k Ñ
kÑ8F
(n) в H(n)
ext (коректність цього визначення можна до-
вести методом «змішаних послідовностей»). Легко бачити що, зокрема,
:x˝b0, F (0)y : = x˝b0, F (0)y = F (0) та :x˝, F (1)y : = x˝, F (1)y,
(пор. з [21]).
Оскільки, як неважко бачити,
Pn =
␣
:x˝bn, F (n)y : | F (n) P H(n)
ext
(
812 М. Качановський
для кожного n P Z+, то з розкладу (1.4) випливає таке твердження.
Теорема 1.2.2 (литвинівське узагальнення ВХР, пор. з [21]). Випад-
кова величина F P (L2) якщо та лише якщо існує єдина послідовність
ядер F (n) P H(n)
ext, n P Z+, така, що
F =
8ÿ
n=0
:x˝bn, F (n)y : (1.6)
(ряд збігається у (L2)) та
}F }2(L2) =
ż
D1
|F (ω)|2µ(dω) = E|F |2 =
8ÿ
n=0
n!|F (n)|2ext ă 8. (1.7)
Наслідок 1.2.3. Для F,G P (L2) дійсний (білінійний) скалярний до-
буток має вигляд
(F,G)(L2) =
ż
D1
F (ω)G(ω)µ(dω) = E[FG] =
8ÿ
n=0
n!(F (n), G(n))ext,
де F (n), G(n) P H(n)
ext – ядра з розкладів (1.6) для F та G відповідно.
Зокрема, для F (n) P H(n)
ext, G(m) P H(m)
ext , n,m P Z+,
(
:x˝bn, F (n)y :, :x˝bm, G(m)y :)
(L2)
= δnmn!(F
(n), G(n))ext,
де δnm – символ Кронекера.
Зауваження 1.2.4. Розклад (1.6) є аналогом розкладу квадратично
інтегровної випадкової величини за ортогональними поліномами Ермі-
та, який є еквівалентним розкладу за повторними стохастичними ін-
тегралами Іто у гауссівському аналізі. В той же час віківські мономи
з (1.6) є поліномами лише у тому випадку, коли процес Леві є стаціонар-
ним процесом Майкснера. Зацікавлений читач може знайти детальну
інформацію про це у [21].
Для отримання багатьох результатів, пов’язаних з просторами H(n)
ext,
необхідно рахувати скалярні добутки та норми у цих просторах. Наве-
дена вище формула (1.5) практично непридатна для таких підрахунків;
але, на щастя, існує відносно проста явна формула для згаданих ска-
лярних добутків, отримана Є. В. Литвиновим у роботі [21]. Наведемо
цю формулу у трохи модифікованій формі, отриманій у [16]. Нехай
pn(x) := xn + an,n´1x
n´1 + ¨ ¨ ¨ + an,1x,
an,j P R, j P t1, . . . , n´ 1u, n P N,
Формули типу Кларка-Окона 813
є ортогональними поліномами у просторі L2(R, ν) (класів) квадратично
інтегровних за мірою Леві ν (див. (1.1), (1.3)) дійснозначних функцій
на R, тобто для довільних натуральних чисел n,m таких, що n = m,
ż
R
pn(x)pm(x)ν(dx) = 0.
Позначимо через } ¨ }ν норму в L2(R, ν). Зауважимо, що p1(x) = x, а
тому згідно з (1.2), }p1}ν = 1.
Для F (n), G(n) P H(n)
ext, n P N, маємо
(F (n), G(n))ext ” (F (n), G(n))H(n)
ext
=
=
ÿ
k,lj ,sjPN: j=1,...,k,
l1ąl2ą¨¨¨ąlk,
l1s1+¨¨¨+lksk=n
n!
s1! ¨ ¨ ¨ sk!
( }pl1}ν
l1!
)2s1 ¨ ¨ ¨
( }plk}ν
lk!
)2skˆ
ˆ
ż
Rs1+¨¨¨+sk
+
F (n)(t1, ..., t1looomooon
l1
, ..., ts1 , ..., ts1loooomoooon
l1
, ..., ts1+¨¨¨+sk , ..., ts1+¨¨¨+skloooooooooooooomoooooooooooooon
lk
)ˆ
ˆ G(n)(t1, ..., t1looomooon
l1
, ..., ts1 , ..., ts1loooomoooon
l1
, ..., ts1+¨¨¨+sk , ..., ts1+¨¨¨+skloooooooooooooomoooooooooooooon
lk
) dt1 ¨ ¨ ¨ dts1+¨¨¨+sk .
(1.8)
Зокрема, (F (1), G(1))ext = (F (1), G(1))L2(R+)C ,
(F (2), G(2))ext = (F (2), G(2))L2(R+)b2
C
+
}p2}2ν
2
ż
R+
F (2)(t, t)G(2)(t, t)dt,
і т. д. Зауважимо, що для кожного натурального n ą 1 простір H(n)
ext є
симетричним підпростором простору (класів) квадратично інтегровних
за певною мірою Радона комплекснозначних функцій на Rn
+.
Позначимо H := L2(R+), тоді HC = L2(R+)C. З (1.8) випливає, що
H(1)
ext = HC, і для кожного n P Nzt1u простір Hpbn
C можна ототожни-
ти із власним підпростором простору H(n)
ext, який складається зі «зни-
каючих на діагоналях» елементів (тобто таких F (n), які містять
представника (функцію) f (n) P F (n) таку, що f (n)(t1, . . . , tn) = 0, якщо
існують k, j P t1, . . . , nu: k = j, але tk = tj). У цьому сенсі простір H(n)
ext
є розширенням (англ. extension) простору Hpbn
C , цим пояснюється, чому
ми використовуємо індекси «ext» у наших позначеннях. В подальшо-
му, говорячи про вкладення просторів Hpbn
C в простори H(n)
ext та викори-
стовуючи позначення на кшталт Hpbn
C Ă H(n)
ext, завжди розуміємо такі
вкладення у щойно описаному сенсі.
814 М. Качановський
1.3. Регулярне оснащення простору квадратично інтегровних
випадкових величин. Позначимо
PW :=
!
f =
Nfÿ
n=0
:x˝bn, f (n)y : | f (n) P D pbn
C , Nf P Z+
)
Ă (L2).
Нехай β P [0, 1], q P Z у випадку β = 0, та q P Z+ якщо β = 0. Визначимо
дійсні (білінійні) скалярні добутки (¨, ¨)q,β на PW , поклавши для
f =
Nfÿ
n=0
:x˝bn, f (n)y :, g =
Ngÿ
n=0
:x˝bn, g(n)y : P PW
(f, g)q,β :=
min(Nf ,Ng)ÿ
n=0
(n!)1+β2qn(f (n), g(n))ext.
Легко перевірити [9], що (¨, ¨)q,β задовольняє аксіоми скалярного добут-
ку.
Позначимо через (L2)βq гільбертові простори, що є поповненнями PW
за нормами, породженими скалярними добутками (¨, ¨)q,β , та покладемо
(L2)β := pr lim
qÑ+8
(L2)βq .
Легко бачити, що справедливе таке твердження (пор. з Теоремою 1.2.2
та її наслідком).
Твердження 1.3.1. 1. Випадкова величина F P (L2)βq якщо та лише
якщо існує єдина послідовність ядер F (n) P H(n)
ext, n P Z+, така, що F
розкладається в ряд (1.6), який збігається у (L2)βq , тобто
}F }2
(L2)βq
=
8ÿ
n=0
(n!)1+β2qn|F (n)|2ext ă 8. (1.9)
2. Випадкова величина F P (L2)β якщо та лише якщо її можна
єдиним чином представити у вигляді (1.6), а відповідний ряд (1.9)
збігається для кожного q P Z+.
3. Для F,G P (L2)βq скалярний добуток у (L2)βq має вигляд
(F,G)
(L2)βq
=
8ÿ
n=0
(n!)1+β2qn(F (n), G(n))ext,
де F (n), G(n) P H(n)
ext – ядра з розкладів (1.6) для F та G відповідно.
Наступне твердження є тривіальною модифікацією відповідного твер-
дження з [15].
Формули типу Кларка-Окона 815
Твердження 1.3.2. Для довільних β P (0, 1] та q P Z, так само як і
для β = 0 та q P Z+, простір (L2)βq щільно та неперервно вкладено у
простір (L2) = (L2)00.
Прийнявши до уваги цей результат, побудуємо ланцюжок
(L2)´β Ą (L2)´β
´q Ě (L2) = (L2)00 Ě (L2)βq Ą (L2)β, (1.10)
де (L2)´β
´q та (L2)´β = ind lim
qÑ+8 (L2)´β
´q – простори, спряжені відповідно
до (L2)βq та (L2)β відносно (L2).
Означення 1.3.3. Ланцюжок (1.10) називається параметризованим
регулярним оснащенням простору (L2) квадратично інтегровних ви-
падкових величин. Простори (L2)βq та (L2)β називаються параметризо-
ваними просторами типу Кондратьєва регулярних основних функцій,
а простори (L2)´β
´q та (L2)´β – параметризованими просторами типу
Кондратьєва регулярних узагальнених функцій.
Наступне твердження випливає безпосередньо із цього означення та
загальної теорії дуальності.
Твердження 1.3.4. (пор. з Теоремою 1.2.2, її наслідком та Твердже-
нням 1.3.1) 1. Регулярна узагальнена функція (узагальнена випадкова
величина) F P (L2)´β
´q якщо та лише якщо існує єдина послідовність
ядер F (n) P H(n)
ext, n P Z+, така, що F розкладається в ряд (1.6), який
збігається у (L2)´β
´q , тобто
}F }2
(L2)´β
´q
=
8ÿ
n=0
(n!)1´β2´qn|F (n)|2ext ă 8. (1.11)
2. Регулярна узагальнена функція F P (L2)´β якщо та лише якщо
її можна єдиним чином представити у вигляді (1.6), а відповідний
ряд (1.11) збігається для деякого q P Z+.
3. Для F,G P (L2)´β
´q скалярний добуток у (L2)´β
´q має вигляд
(F,G)
(L2)´β
´q
=
8ÿ
n=0
(n!)1´β2´qn(F (n), G(n))ext,
де F (n), G(n) P H(n)
ext – ядра з розкладів (1.6) для F та G відповідно.
816 М. Качановський
4. Дуальне спарювання між елементами F P (L2)´β
´q та f P (L2)βq ,
породжене дійсним (білінійним) скалярним добутком у (L2), має ви-
гляд
xxF, fyy(L2) =
8ÿ
n=0
n!(F (n), f (n))ext,
де F (n), f (n) P H(n)
ext – ядра з розкладів (1.6) для F та f відповідно.
Відзначимо, що термін «регулярні» у назвах ланцюжка (1.10) та
просторів основних і узагальнених функцій пов’язаний із тим фактом,
що ядра з розкладів (1.6) елементів всіх просторів ланцюжка (1.10)
належать одним і тим самим просторам H(n)
ext.
Більше того, простори (L2)βq , (L2) = (L2)00 та (L2)´β
´q мають однакову
структуру (пор. (1.9), (1.7) та (1.11)), тому в подальшому ми абстрагу-
ємось від того, йдеться про регулярні основні, квадратично інтегровні
чи регулярні узагальнені функції, та будемо за умовчанням розгляда-
ти (L2)βq , β P [´1, 1], q P Z, з нормою (1.9).
Зауваження 1.3.5. Використання ваг 2qn саме з числом 2 та з цілим
q у визначенні скалярних добутків (¨, ¨)q,β не є принциповим – можна
використовувати більш загальні ваги Kqn із довільними K ą 1 та q P R.
Але такі узагальнення не є суттєвим для кола питань, які розглядаю-
ться у статті, тому ми обмежимось розглядом випадку K = 2 та q P Z
задля спрощення формул та позначень.
1.4. Розширений стохастичний інтеграл. Розклад (1.6) для еле-
ментів (L2)βq визначає ізометричний ізоморфізм (узагальнений ізомор-
фізм Вінера-Іто-Сігала)
I : (L2)βq Ñ 8‘
n=0
(n!)1+β2qnH(n)
ext :
для F P (L2)βq вигляду (1.6)
IF = (F (0), F (1), . . . ) P 8‘
n=0
(n!)1+β 2qnH(n)
ext.
Нехай 1 – одиничний оператор на HC. Тоді оператор
Ib1 : (L2)βq bHC Ñ ( 8‘
n=0
(n!)1+β2qnH(n)
ext
)bHC – 8‘
n=0
(n!)1+β2qn(H(n)
extbHC)
є ізометричним ізоморфізмом між гільбертовими просторами
(L2)βq b HC та
8‘
n=0
(n!)1+β2qn(H(n)
ext b HC).
Формули типу Кларка-Окона 817
Зрозуміло, що для довільних m P Z+ та F
(m)¨ P H(m)
ext b HC вектор
(0, . . . , 0loomoon
m
, F
(m)¨ , 0, . . . ) належить простору
8‘
n=0
(n!)1+β2qn(H(n)
ext b HC).
Покладемо
:x˝bm, F
(m)¨ y : def= (Ib 1)´1(0, . . . , 0loomoon
m
, F
(m)¨ , 0, . . . ) P (L2)βq b HC.
За побудовою елементи :x˝bn, F
(n)¨ y :, n P Z+, утворюють ортогональний
базис у просторі (L2)βq b HC у тому сенсі, що F належить (L2)βq b HC
якщо та лише якщо F можна єдиним чином представити у вигляді
ряду
F (¨) =
8ÿ
n=0
:x˝bn, F
(n)¨ y :, F
(n)¨ P H(n)
ext b HC, (1.12)
який збігається у (L2)βq b HC, тобто
}F }2
(L2)βq bHC
= }(Ib 1)F }28‘
n=0
(n!)1+β2qn(H(n)
extbHC)
=
=
8ÿ
n=0
(n!)1+β2qn|F (n)¨ |2H(n)
extbHC
ă 8.
(1.13)
Опишемо конструкцію розширеного стохастичного інтеграла за про-
цесом Леві, яка базується на розкладі (1.12) (зацікавлений читач може
знайти більш детальний виклад у [15,16]).
Нехай спочатку F P (L2)βq bHC є таким, що ядра F (n)¨ належать про-
сторам Hpbn
C bHC Ă H(n)
ext bHC (див. Підрозділ 1.2). Тоді розклад (1.12)
еквівалентний представленню
F (¨) = F
(0¨ +
8ÿ
n=1
n!
ż 8
0
ż tn
0
¨ ¨ ¨
ż t2
0
F
(n)¨ (t1, . . . , tn)dLt1 ¨ ¨ ¨ dLtn (1.14)
[16] (див. також [12]), де ряд складається з повторних стохастичних
інтегралів Іто; а розширений стохастичний інтеграл можна визначити
за класичною схемою якż
F (t)pdLt :=
:=
8ÿ
n=0
(n+ 1)!
ż 8
0
ż tn+1
0
¨ ¨ ¨
ż t2
0
pF (n)(t1, . . . , tn+1)dLt1 ¨ ¨ ¨ dLtn+1 –
–
8ÿ
n=0
:x˝bn+1, pF (n)y : P (L2)βq´1,
(1.15)
818 М. Качановський
де pF (n) P Hpbn+1
C Ă H(n+1)
ext , n P Z+, – симетризації ядер F
(n)¨ за всіма
аргументами (точніше, проекції F (n)¨ P Hpbn
C b HC на Hpbn+1
C ).
У загальному випадку представлення (1.14) не має місця (адже в
аналізі білого шуму Леві ВХР немає), а ядра pF (n) є невизначеними,
оскільки, взагалі кажучи, неможливо проектувати елементи з просто-
рів H(n)
ext b HC на простори H(n+1)
ext (див. Зауваження 1.5.2 нижче). Тим
не менш, можна зробити наступне природне узагальнення.
Нехай F (n)¨ P H(n)
ext b HC, n P N. У класі еквівалентності F (n)¨ оберемо
представника (функцію) ḟ (n)¨ P F (n)¨ такого, що
@t, t1, . . . , tn P R+
␣Dk P t1, . . . , nu : t = tk
( ñ ḟ
(n)
t (t1, . . . , tn) = 0 (1.16)
(тобто ḟ (n)t (t1, . . . , tn) = 0, якщо аргумент t співпадає хоча б з одним з
аргументів t1, . . . , tn). Нехай pf (n) – симетризація функції ḟ (n)¨ за n + 1
змінною. Визначимо
pF (n) P H(n+1)
ext
як клас еквівалентності в H(n+1)
ext , породжений функцією pf (n) (тобто
pf (n) P pF (n)). Наступне твердження є тривіальною модифікацією відпо-
відного результату з [16].
Лема 1.4.1. Для довільних n P N та F (n)¨ P H(n)
ext b HC елемент
pF (n) P H(n+1)
ext
визначений коректно (зокрема, pF (n) не залежить від вибору пред-
ставника ḟ (n)¨ P F (n)¨ , який задовольняє умову (1.16)), та
| pF (n)|H(n+1)
ext
ď |F (n)¨ |H(n)
extbHC
. (1.17)
Зауваження 1.4.2. Легко бачити, що якщо
F
(n)¨ P Hpbn
C b HC Ă H(n)
ext b HC,
то щойно побудоване ядро pF (n) є згаданою вище проекцією F
(n)¨ на
Hpbn+1
C Ă H(n+1)
ext .
Означення 1.4.3. Для F P (L2)βq b HC визначимо розширений стоха-
стичний інтеграл за процесом Леві
ş
F (t)pdLt P (L2)βq´1, поклавши
ż
F (t)pdLt :=
8ÿ
n=0
:x˝bn+1, pF (n)y : (1.18)
Формули типу Кларка-Окона 819
(пор. з (1.15)), де pF (0) := F
(0)¨ P HC = H(1)
ext та pF (n) P H(n+1)
ext , n P N,
побудовані за ядрами F (n)¨ P H(n)
ext b HC з розкладу (1.12) для F .
Оскільки (див. (1.18), (1.9), (1.17) та (1.13))
››››
ż
F (t)pdLt
››››
2
(L2)βq´1
=
8ÿ
n=0
((n+ 1)!)1+β2(q´1)(n+1)| pF (n)|2H(n+1)
ext
ď
ď
8ÿ
n=0
(n!)1+β2qn[(n+ 1)1+β2´n+q´1]|F (n)¨ |2H(n)
extbHC
ď
ď max
nPZ+
[(n+ 1)1+β2´n+q´1]}F }2
(L2)βq bHC
,
(1.19)
це визначення є коректним, а інтеграл
ż
˝(t)pdLt : (L
2)βq b HC Ñ (L2)βq´1 (1.20)
є лінійним обмеженим, а тому і неперервним оператором.
Відзначимо, що стохастичний інтеграл (1.20) називається розшире-
ним, оскільки у випадках, коли (L2)βq b HC є простором регулярних
узагальнених або квадратично інтегровних функцій (тобто коли β ă 0
або β = 0 і q ď 0), він є узагальненням стохастичного інтеграла Іто [16].
Легко бачити, що розширений стохастичний інтеграл можна визна-
чити формулою (1.18) як лінійний неперервний оператор, що діє з про-
стору
(L2)β b HC := pr lim
qÑ+8
(L2)βq b HC
в простір (L2)β , або з простору
(L2)´β b HC := ind lim
qÑ+8 (L2)´β
´q b HC
в простір (L2)´β , тут β P [0, 1]. До того ж за аналогією з (1.19) можна
показати, що у випадку β = ´1 розширений стохастичний інтеграл є
лінійним неперервним оператором, що діє з простору (L2)´1
q b HC в
простір (L2)´1
q ; а у випадку β P (´1, 1], як випливає з результатів [15],
цей інтеграл можна інтерпретувати як лінійний необмежений замкне-
ний оператор, що діє з простору (L2)βq b HC в простір (L2)βq .
Зауваження 1.4.4. В цій роботи нам не знадобляться стохастичні ін-
теграли за вимірними множинами, що відрізняються від R+, але такі
інтеграли часто виникають у застосуваннях. Визначення згаданих ін-
тегралів можна дати у класичний спосіб: для довільного ∆ P B(R+)
820 М. Качановський
покладемо ż
∆
˝(t)pdLt :=
ż
˝(t)1∆(t)pdLt.
Зацікавлений читач може знайти детальну інформацію про такі інте-
грали, зокрема, у [15,16,37].
1.5. Стохастична похідна Хіди. Опишемо конструкцію стохасти-
чної похідної Хіди на просторах (L2)βq , яка базується на розкладі (1.6)
(детальніше цей матеріал викладено у [15,16]).
Нехай G(n) P H(n)
ext, n P N, і ġ(n) P G(n) – представник G(n). Розглянемо
ġ(n)(¨), тобто відділимо один аргумент ġ(n), та визначимо елемент
G(n)(¨) P H(n´1)
ext b HC
як клас еквівалентності у H(n´1)
ext b HC, породжений функцією ġ(n)(¨)
(тобто ġ(n)(¨) P G(n)(¨)).
Лема 1.5.1. Для довільних n P N та G(n) P H(n)
ext елемент
G(n)(¨) P H(n´1)
ext b HC
визначений коректно (зокрема, G(n)(¨) не залежить від вибору пред-
ставника ġ(n) P G(n)) та
|G(n)(¨)|H(n´1)
ext bHC
ď |G(n)|H(n)
ext
. (1.21)
Доведення цього твердження співпадає з точністю до очевидних мо-
дифікацій із доведенням відповідного результату у [16].
Зауваження 1.5.2. Варто відзначити, що, не зважаючи на оцінку (1.21),
простірH(n)
ext, n P Nzt1u, не є підпростором просторуH(n´1)
ext bHC, оскіль-
ки різні елементи H(n)
ext можуть співпадати у H(n´1)
ext b HC, тобто пред-
ставники різних класів еквівалентності у H(n)
ext можуть потрапляти у
один і той самий клас еквівалентності у H(n´1)
ext b HC (а тому, зокре-
ма, неможливо проектувати елементи H(n´1)
ext bHC на H(n)
ext та будувати
ядра розкладу (1.18) розширеного стохастичного інтеграла за класи-
чною схемою).
Означення 1.5.3. Для G P (L2)βq+1 визначимо стохастичну похідну
Хіди B¨G P (L2)βq b HC, поклавши
B¨G :=
8ÿ
n=1
n:x˝bn´1, G(n)(¨)y :, (1.22)
Формули типу Кларка-Окона 821
де G(n) P H(n)
ext – ядра з розкладу (1.6) для G, які розуміються як еле-
менти H(n´1)
ext b HC (в описаному вище сенсі).
Оскільки (див. (1.22), (1.13), (1.21) та (1.9))
}B¨G}2
(L2)βq bHC
=
8ÿ
n=1
((n´ 1)!)1+βn22q(n´1)|G(n)(¨)|2H(n´1)
ext bHC
ď
ď
8ÿ
n=1
(n!)1+β2(q+1)n[n1´β2´(n+q)]|G(n)|2H(n)
ext
ď
ď max
nPN [n1´β2´(n+q)]}G}2
(L2)βq+1
,
(1.23)
це визначення є коректним, а похідна
B¨ : (L2)βq+1 Ñ (L2)βq b HC (1.24)
є лінійним обмеженим, а тому і неперервним оператором.
Зрозуміло, що, як і розширений стохастичний інтеграл, стохастичну
похідну Хіди можна визначити формулою (1.22) як лінійний неперерв-
ний оператор, що діє з простору (L2)β в простір (L2)β bHC (β P [´1, 1]).
До того ж за аналогією з (1.23) можна показати, що у випадку β = 1
стохастична похідна Хіди є лінійним неперервним оператором, що діє з
простору (L2)1q в простір (L2)1q b HC; а у випадку β P [´1, 1), як випли-
ває з результатів [15], цю похідну можна інтерпретувати як лінійний
необмежений замкнений оператор, що діє з простору (L2)βq в простір
(L2)βq b HC.
В наступному твердженні описано зв’язок між розширеним стоха-
стичним інтегралом та стохастичною похідною Хіди.
Теорема 1.5.4. Розширений стохастичний інтеграл
ż
˝pdL : (L2)´β
´q b HC Ñ (L2)´β
´q´1
та стохастична похідна Хіди (1.24) є взаємно спряженими операто-
рами:
ż
˝pdL =
(B¨
)˚
, B¨ =
(ż
˝pdL
)˚
, (1.25)
тобто для довільних F P (L2)´β
´q b HC та G P (L2)βq+1
xx
ż
F (t)pdLt, Gyy(L2) = xxF (¨), B¨Gyy(L2)bHC . (1.26)
822 М. Качановський
Доведення зводиться до встановлення рівності (1.26), яке проводи-
ться так само, як і для інтеграла та похідної на просторах (L2) b HC
та (L2) відповідно, див. [16].
Відзначимо, що результат Теореми 1.5.4 тривіальним чином розпо-
всюджується на випадок граничних просторів, тобто коли стохасти-
чні інтеграл та похідна визначені відповідно на (L2)´β b HC та (L2)β
(β P [´1, 1]). Ясно також, що рівності (1.25) можуть використовуватись
як альтернативні визначення розширеного стохастичного інтеграла та
стохастичної похідної Хіди.
Зауваження 1.5.5. Результат Теореми 1.5.4 залишається справедли-
вим для розширеного стохастичного інтегралаż
˝(t)pdLt : (L
2)´β
´q b HC Ñ (L2)´β
´q
та стохастичної похідної Хіди
B¨ : (L2)βq Ñ (L2)βq b HC,
[15] (див. також [16]). З цього результату випливає, зокрема, замкне-
ність згаданих операторів.
Насамкінець зауважимо, що у випадках, коли замість розширеного
стохастичного інтеграла
ş ˝(t)pdLt розглядається інтеграл
ż
∆
˝(t)pdLt =
ż
˝(t)1∆(t)pdLt, ∆ P B(R+)
(див. Зауваження 1.4.4), відповідним спряженим оператором є стоха-
стична похідна Хіди 1∆(¨)B¨, це тривіальним чином випливає з рівно-
сті (1.26).
2. ФОРМУЛИ ТИПУ КЛАРКА-ОКОНА ТА СУМІЖНІ ПИТАННЯ
Нехай Ft, t P R+, – поповнення відносно міри білого шуму Леві σ-
алгебри σ(Lu : u ď t), породженої процесом Леві L до моменту часу t.
Для F P (L2)βq , β P [´1, 0) та q P Z, або β = 0 та ´q P N (тобто для уза-
гальнених випадкових величин), визначимо математичне сподівання E
та умовне математичне сподівання E
( ˝ |Ft
)
, поклавши
EF := xxF, 1yy(L2) = F (0) P C,
E
(
F |Ft
)
:= F (0) +
8ÿ
n=1
:x˝bn, F (n)1[0,t)ny : P (L2)βq ,
де F (n) P H(n)
ext – ядра з розкладу (1.6) для F . Якщо F P (L2) Ă (L2)βq ,
то, як легко бачити, EF є звичайним математичним сподіванням F ; і
Формули типу Кларка-Окона 823
цілком аналогічно доведенню Теореми 4.2 в [17] можна показати, що
E
(
F |Ft
)
є умовним математичним сподіванням F відносно Ft. Спира-
ючись на це визначення, для G P (L2)βq b HC природно покласти
E
(
G(¨)|F¨
)
:= G
(0)¨ +
8ÿ
n=1
:x˝bn, G
(n)¨ 1[0,¨)ny : P (L2)βq b HC, (2.1)
де G(n)¨ P H(n)
ext b HC – ядра з розкладу (1.12) для G. Зрозуміло, що
G
(n)¨ 1[0,¨)n P H(n)
ext b HC, |G(n)¨ 1[0,¨)n |H(n)
extbHC
ď |G(n)¨ |H(n)
extbHC
,
а тому E
( ˝ (¨)|F¨
)
є лінійним неперервним оператором в (L2)βq b HC.
2.1. Формула Кларка-Окона в найпростішому частинному ви-
падку. Як і при описі конструкції розширеного стохастичного інте-
грала, розглянемо спочатку найпростіший частинний випадок, в якому
формула Кларка-Окона приймає класичний вигляд.
Твердження 2.1.1. Нехай F P (L2)βq є таким, що ядра F (n), n P Z+, з
розкладу (1.6) належать просторам Hpbn
C Ă H(n)
ext (див. Підрозділ 1.2).
Тоді
F = EF +
ż
E
(BtF |Ft
)pdLt (2.2)
(пор. з (0.2)).
Доведення. Використовуючи (1.22), (2.1) та (1.15), нескладно прийти
до висновку, що представлення (2.2) справедливе, якщо для кожного
n P Nzt1u і для кожного F (n) P Hpbn
C
nPr
(
F (n)(¨1, . . . , ¨n´1, ¨n)1[0,¨n)n´1(¨1, . . . , ¨n´1)
)
= F (n)
у просторіHpbn
C , тут і нижче Pr – оператор симетризації за всіма змінни-
ми. Але ця рівність виконується у вказаному просторі, оскільки F (n) є
симетричною функцією (точніше, клас еквівалентності F (n) у просторі
Hpbn
C містить симетричну функцію-представника), для різних t1, . . . , tn
Pr1[0,tn)n´1(t1, . . . , tn´1) = 1
n , а іншими випадками можна знехтувати
через неатомарність міри Лебега. □
Зауваження 2.1.2. Нехай F P (L2)βq задовольняє умову Тверджен-
ня 2.1.1, а також є регулярною основною (β ą 0 або β = 0 та q P N), або
квадратично інтегровною (β = q = 0, F P (L2)) та диференційовною
за Хідою (B¨F P (L2) b HC) функцією. Тоді E
(B¨F |F¨
)
є інтегровним за
824 М. Качановський
Іто випадковим процесом, а тому у представленні (2.2) можна вико-
ристовувати стохастичний інтеграл Іто (який співпадає в зазначених
випадках з розширеним стохастичним інтегралом).
У загальному випадку представлення (2.2) не може бути справедли-
вим хоча б тому, що не кожне F P (L2)βq можна представити у вигляді
F = EF +
ż
G(t)pdLt, (2.3)
де G – бодай формальний ряд вигляду (1.12) (див. Теорему 2.2.1 ниж-
че). Але навіть якщо F є таким, що його можна подати у вигляді (2.3),
рівність (2.2) однаково може не виконуватись. Нехай, наприклад,
F = :x˝b3, F (3)y :, F (3) P H(3)
ext.
Тоді EF = 0 та, як неважко підрахувати за допомогою (1.22), (2.1)
та (1.18),
ż
E
(BtF |Ft
)pdLt =
= :x˝b3, F (3)(¨1, ¨2, ¨3)
(
1[0,¨3)2(¨1, ¨2)+1[0,¨2)2(¨3, ¨1)+1[0,¨1)2(¨2, ¨3)
)y :,
а тому, використовуючи (1.9) та (1.8), отримуємо
››F ´
ż
E
(BtF |Ft
)pdLt
››2
(L2)βq
= 61+β ¨ 8qˆ
ˆ ˇ̌
F (3)(¨1, ¨2, ¨3)
(
1 ´ [1[0,¨3)2(¨1, ¨2)+1[0,¨2)2(¨3, ¨1)+1[0,¨1)2(¨2, ¨3)]
)ˇ̌2
ext
=
= 9 ¨ 6β ¨ 8q}p2}2ν
ż
R2
+
|F (3)(t1, t1, t2)|21tt1ět2udt1dt2+
+ 6β ¨ 8q}p3}2ν
ż
R+
|F (3)(t1, t1, t1)|2dt1.
Якщо F (3) є таким, що
ş
R+
|F (3)(t1, t1, t1)|2dt1 = 0, то :x˝b3, F (3)y : можна
представити у вигляді (2.3) (див. Теорему 2.2.1 нижче); але якщо при
цьому ż
R2
+
|F (3)(t1, t1, t2)|21tt1ět2udt1dt2 = 0,
то F = ş
E
(BtF |Ft
)pdLt, тобто :x˝b3, F (3)y : не можна представити у виг-
ляді (2.2).
У наступних підрозділах ми встановимо необхідну і достатню умову,
за якої F P (L2)βq можна представити у вигляді (2.3); отримаємо фор-
мули типу Кларка-Окона для F ; а також з’ясуємо необхідну і достатню
умову, за якої F допускає представлення у вигляді (2.2).
Формули типу Кларка-Окона 825
2.2. Належність випадкових величин області значень розши-
реного стохастичного інтеграла. Розглянемо простий приклад. Не-
хай
F = :x˝b2, F (2)y :, F (2) P H(2)
ext.
Зрозуміло, що якщо таке F можна представити у вигляді (2.3), то
G(¨) = :x˝, G(1)¨ y :, G
(1)¨ P H(1)
ext b HC, F (2) = pG(1),
(див. Підрозділ 1.4). Оскільки за побудовою pG(1) містить представника
pg(1) такого, що для кожного t P R+pg(1)(t, t) = 0, маємо необхідну умову,
за якої :x˝b2, F (2)y : можна представити у вигляді (2.3):
‚ F (2) має містити представника f (2) такого, що для кожного t P R+
f (2)(t, t) = 0.
Більше того, легко бачити, що ця умова є й достатньою: покладемо
G
(1)¨ := F (2)(¨) P H(1)
ext b HC
(іншими словами, G(1)¨ – це ядро F (2), яке розуміється як елемент про-
стору H(1)
ext bHC, див. Підрозділ 1.5), тоді за виконання згаданої умови
маємо pG(1) = F (2) (в якості представника G
(1)¨ , що задовольніє умо-
ву (1.16), можна взяти згадану вище функцію f (2)), а тому згідно з (1.18)
ż
:x˝, G(1)
t y :pdLt = :x˝b2, F (2)y : = F.
У загальному випадку ситуація, звісно, подібна: F P (L2)βq можна
представити у вигляді (2.3) (таке представлення, взагалі кажучи, не є
єдиним) якщо та лише якщо ядра з розкладу (1.6) для F мають вла-
стивості, притаманні ядрам з розкладу (1.18) для розширених стоха-
стичних інтегралів. Точніше, справедливе таке твердження.
Теорема 2.2.1. Нехай F P (L2)βq . Тоді наступні твердження еквіва-
лентні:
(1) F можна представити у вигляді (2.3), де G P (L2)βq bHC у випадку
β ě 0, та G P (L2)βq´1 b HC, якщо β ă 0;
(2) для кожного n P Nzt1u ядро F (n) P H(n)
ext з розкладу (1.6) для F
містить представника f (n) такого, що f (n)(t1, . . . , tn) = 0, якщо
для кожного i P t1, . . . , nu існує j P t1, . . . , nuztiu таке, що ti = tj.
Доведення. Спочатку доведемо теорему для
F = :x˝bn, F (n)y :, F (n) P H(n)
ext, n P Nzt1u
(випадки n = 0 та n = 1 є тривіальними).
826 М. Качановський
(1)ñ(2) Нехай :x˝bn, F (n)y : = ş
G(t)pdLt. Зрозуміло, що зараз
G(¨) = :x˝bn´1, G
(n´1)¨ y :, G
(n´1)¨ P H(n´1)
ext b HC, F (n) = pG(n´1)
(див. (1.18)). Але за побудовою pG(n´1) P H(n)
ext задовольняє умову твер-
дження (2) (в якості f (n) можна обрати функцію pg(n´1) P pG(n´1), що
є симетризацією представника ġ(n´1)¨ P G
(n´1)¨ , який задовольняє умо-
ву (1.16), див. Підрозділ 1.4).
(2)ñ(1) Нехай f (n) P F (n) – описаний у твердженні (2) представник
F (n). Не втрачаючи загальності можна вважати, що f (n) є симетричною
функцією. Покладемо
hn(t1, . . . , tn) := Pr1tt1 =tn,t2 =tn,...,tn´1 =tnu =
=
1
n
[
1tt1 =tn,t2 =tn,...,tn´1 =tnu + 1ttn =tn´1,t1 =tn´1,...,tn´2 =tn´1u+
+ ¨ ¨ ¨ + 1tt2 =t1,t3 =t1,...,tn =t1u
]
,
(2.4)
g
(n´1)
t (t1, . . . , tn´1) :=
#
f (n)(t1,...,tn´1,t)
hn(t1,...,tn´1,t)
, hn(t1, . . . , tn´1, t) = 0
0, hn(t1, . . . , tn´1, t) = 0
(2.5)
(зауважимо, що якщо hn(t1, . . . , tn´1, t) = 0, то
f (n)(t1, . . . , tn´1, t) = 0
за умовою твердження (2), а тому можна сказати, що g(n´1)¨ «зберігає
всю інформацію» про функцію f (n)). Використовуючи (1.8), неатомар-
ність міри Лебега, та рівність
hn(t1, . . . , t1looomooon
l1
, . . . , ts1+¨¨¨+sk , . . . , ts1+¨¨¨+sklooooooooooooomooooooooooooon
lk
, t) =
=
1
n
1tlką1u +
sk + 1
n
1tlk=1u
(2.6)
для різних t1, . . . , ts1+¨¨¨+sk , t, яка випливає безпосередньо з (2.4), де
k, l¨, s¨ P N, l1 ą ¨ ¨ ¨ ą lk, l1s1 + ¨ ¨ ¨ + lksk = n´ 1,
Формули типу Кларка-Окона 827
отримаємо
|g(n´1)¨ |2H(n´1)
ext bHC
=
=
ÿ
k,lj ,sjPN:
j=1,...,k, l1ą¨¨¨ąlk,
l1s1+¨¨¨+lksk=n´1
(n´ 1)!
s1! ¨ ¨ ¨ sk!
(}pl1}ν
l1!
)2s1 ¨ ¨ ¨
(}plk}ν
lk!
)2skˆ
ˆ
ż
Rs1+¨¨¨+sk+1
+
ˇ̌
g
(n´1)
t (t1, ..., t1looomooon
l1
, ..., ts1+¨¨¨+sk , ..., ts1+¨¨¨+sklooooooooooooomooooooooooooon
lk
)
ˇ̌2ˆ
ˆ dt1 ¨ ¨ ¨ dts1+¨¨¨+skdt =
= n
ÿ
k,lj ,sjPN: j=1,...,k,
l1ą¨¨¨ąlką1,
l1s1+¨¨¨+lksk+1=n
n!
s1! ¨ ¨ ¨ sk!
(}pl1}ν
l1!
)2s1 ¨ ¨ ¨
(}plk}ν
lk!
)2skˆ
ˆ
ż
Rs1+¨¨¨+sk+1
+
ˇ̌
f (n)(t1, . . . , t1looomooon
l1
, . . . , ts1+¨¨¨+sk , . . . , ts1+¨¨¨+sklooooooooooooomooooooooooooon
lk
, t)
ˇ̌2ˆ
ˆ dt1 ¨ ¨ ¨ dts1+¨¨¨+skdt+
+ n
ÿ
k,lj ,sjPN:
j=1,...,k, l1ą¨¨¨ąlk=1,
l1s1+¨¨¨+lk´1sk´1+sk+1=n
n!
s1! ¨ ¨ ¨ (sk + 1)!(sk + 1)
ˆ
ˆ
(}pl1}ν
l1!
)2s1 ¨ ¨ ¨
(}plk´1
}ν
lk´1!
)2sk´1ˆ
ˆ
ż
Rs1+¨¨¨+sk+1
+
ˇ̌
f (n)(t1, . . . , t1looomooon
l1
, ..., ts1+¨¨¨+sk´1+1, ..., ts1+¨¨¨+sk , t)
ˇ̌2ˆ
ˆ dt1 ¨ ¨ ¨ dts1+¨¨¨+skdt ď n|F (n)|2H(n)
ext
ă 8.
(2.7)
Отже, функція g(n´1)¨ породжує елемент (клас еквівалентності)
G
(n´1)¨ P H(n´1)
ext b HC.
Покладемо
ġ
(n´1)¨n (¨1, . . . , ¨n´1) := g
(n´1)¨n (¨1, . . . , ¨n´1)1t¨1 =¨n,¨2 =¨n,...,¨n´1 =¨nu P G(n´1)¨ .
Зрозуміло, що ця функція задовольняє умову (1.16). Враховуючи (2.4)
та (2.5), отримуємо
828 М. Качановський
pg(n´1)(¨1, . . . , ¨n) = Prġ
(n´1)¨n (¨1, . . . , ¨n´1) =
= g
(n´1)¨n (¨1, . . . , ¨n´1)hn(¨1, . . . , ¨n) = f (n)(¨1, . . . , ¨n) P F (n),
оскільки f (n) – симетрична функція, що задовольняє умову тверджен-
ня (2) (зауважимо, що якби функція f (n) не задовольняла б умову твер-
дження (2), остання рівність не мала б місця). З іншого боку, функція
pg(n´1) породжує ядро pG(n´1) P H(n)
ext, яке використовується при визна-
ченні розширеного стохастичного інтеграла:
ż
:x˝bn´1, G
(n´1)
t y :pdLt = :x˝bn, pG(n´1)y :
(див. Підрозділ 1.4). Отже, pG(n´1) = F (n) в H(n)
ext, а тому, поклавши
G(¨) := :x˝bn´1, G
(n´1)¨ y :, маємо F =
ş
G(t)pdLt, тобто умова тверджен-
ня (1) виконана.
У загальному випадку імплікація (1)ñ(2) тривіальним чином випли-
ває з (1.18) та відповідної імплікації у щойно розглянутому частинному
випадку.
Доведемо імплікацію (2)ñ(1). Нехай
G(¨) :=
8ÿ
n=1
:x˝bn´1, G
(n´1)¨ y :,
де G(n´1)¨ P H(n´1)
ext bHC – ядра, побудовані вище для кожного n P Nzt1u,
G
(0)¨ := F (1)(¨) P H(1)
ext = HC. Достатньо довести, що G P (L2)βq b HC у
випадку β ě 0, та G P (L2)βq´1 b HC, якщо β ă 0, тоді рівність (2.3)
випливатиме з (1.18) та відповідної імплікації у щойно розглянутому
частинному випадку. Використовуючи (1.13), оцінку
|G(n´1)¨ |2H(n´1)
ext bHC
ď n|F (n)|2H(n)
ext
(див. (2.7); випадок n = 1 є тривіальним), та (1.9), отримуємо для β ě 0
}G}2
(L2)βq bHC
=
8ÿ
n=1
((n´ 1)!)1+β2q(n´1)|G(n´1)¨ |2H(n´1)
ext bHC
ď
ď 2´q
8ÿ
n=1
(n!)1+β2qnn´β|F (n)|2H(n)
ext
ď 2´q}F }2
(L2)βq
ă 8,
та для β ă 0
}G}2
(L2)βq´1bHC
=
8ÿ
n=1
((n´ 1)!)1+β2(q´1)(n´1)|G(n´1)¨ |2H(n´1)
ext bHC
ď
Формули типу Кларка-Окона 829
ď 21´q
8ÿ
n=1
(n!)1+β2qn[2´nn´β]|F (n)|2H(n)
ext
ď
ď 21´q max
nPN [2´nn´β]}F }2
(L2)βq
ă 8,
звідки й випливає потрібне. □
Зауваження 2.2.2. Нехай випадкову величину F P (L2)βq можна фор-
мально представити у вигляді F = EF +
ş
G(t)pdLt (пор. з (2.3)), де
G(¨) :=
8ÿ
n=1
:x˝bn´1,G(n´1)¨ y :,
G(n´1)¨ P H(n´1)
ext b HC, – формальний ряд, та
ż
G(t)pdLt :=
8ÿ
n=1
:x˝bn, pG(n´1)y :
(пор. з (1.18)) – формальний стохастичний інтеграл. Тоді для кожного
ядра F (n) P H(n)
ext (n P N) з розкладу (1.6) для F маємо F (n) = pG(n´1),
а тому F задовольняє умову твердження (2) Теореми 2.2.1, відтак F
можна представити у вигляді (2.3) з G P (L2)βq b HC (β ě 0) або G P
(L2)βq´1 b HC (β ă 0).
Насамкінець відзначимо, що якщо F = :x˝bn, F (n)y :, F (n) P H(n)
ext,
n P Nzt1u, неможливо представити у вигляді (2.3), однаково можна по-
будувати ядра G(n´1)¨ P H(n´1)
ext b HC за функціями (2.5). Але в цьому
випадку pG(n´1) = F (n) в H(n)
ext (зараз | pG(n´1) ´F (n)|ext містить інтеграли
за сім’ями аргументів, для яких функція hn, визначена у (2.4), дорів-
нює нулю) та | pG(n´1)|ext ă |F (n)|ext (доведення цього факту залишимо
зацікавленому читачу).
2.3. Найпростіша формула типу Кларка-Окона в загальному
випадку. Почнемо з певної підготовки. Для n P Nzt1u та t1, . . . , tn P
R+ визначимо
h̄n(t1, . . . , tn) := nhn(t1, . . . , tn), (2.8)
де функції hn визначені формулою (2.4); покладемо також h̄1 ” 1. Далі,
для G(n)¨ P H(n)
ext b HC, n P Z+, покладемо
rG(n)¨ (¨1, . . . , ¨n) :=
#
G
(n)¨ (¨1,...,¨n)
h̄n+1(¨1,...,¨n,¨) , якщо h̄n+1(¨1, . . . , ¨n, ¨) = 0
0, якщо h̄n+1(¨1, . . . , ¨n, ¨) = 0.
(2.9)
830 М. Качановський
Легко бачити, що rG(n)¨ P H(n)
ext b HC та
| rG(n)¨ |H(n)
extbHC
ď |G(n)¨ |H(n)
extbHC
. (2.10)
Для G P (L2)βq b HC визначимо
(AG)(¨) :=
8ÿ
n=0
:x˝bn, rG(n)¨ y :, (2.11)
де ядра rG(n)¨ побудовані по ядрам G
(n)¨ з розкладу (1.12) для G. З
оцінки (2.10) випливає, що A є лінійним неперервним оператором в
(L2)βq b HC.
Твердження 2.3.1. Нехай F P (L2)βq . Тоді
AB¨F P (L2)βq b HC для β ě 0,
та
AB¨F P (L2)βq´1 b HC для β ă 0,
де B¨ – похідна Хіди (1.24).
Доведення. У випадку β ă 0 результат твердження випливає безпосе-
редньо з властивостей операторів B¨ та A. Розглянемо випадок β ě 0.
З (1.22) та (2.11) випливає, що
AB¨F =
8ÿ
n=1
n:x˝bn´1, rF (n)(¨)y :,
де ядра rF (n)(¨) P H(n´1)
ext bHC побудовані по ядрам F (n) з розкладу (1.6)
для F , які розуміються як елементи просторів H(n´1)
ext b HC (див. Під-
розділ 1.5). Використовуючи (1.8), неатомарність міри Лебега, (2.6)
та (2.8), подібно до викладки (2.7) можна встановити, що
|n rF (n)(¨)|2H(n´1)
ext bHC
ď n|F (n)|2H(n)
ext
. (2.12)
Скориставшись (1.13), цією оцінкою та (1.9), отримуємо
}AB¨F }2
(L2)βq bHC
=
8ÿ
n=1
((n´ 1)!)1+β2q(n´1)|n rF (n)(¨)|2H(n´1)
ext bHC
ď
ď 2´q
8ÿ
n=1
(n!)1+β2qnn´β|F (n)|2H(n)
ext
ď 2´q}F }2
(L2)βq
ă 8,
звідки й випливає потрібне. □
Сформулюємо й доведемо основний результат підрозділу.
Формули типу Кларка-Окона 831
Теорема 2.3.2. Нехай випадкова величина F P (L2)βq може бути пред-
ставлена у вигляді (2.3) (див. Теорему 2.2.1). Тоді має місце представ-
лення (формула типу Кларка-Окона)
F = EF +
ż
ABtF pdLt (2.13)
(пор. з (2.2)).
Доведення. Спочатку доведемо теорему для F = :x˝bn, F (n)y :, F (n) P
H(n)
ext, n P Nzt1u (випадки n = 0 та n = 1 є тривіальними). Задля
спрощення позначень приймемо за визначенням 0
0 := 0. Використо-
вуючи (1.22), (2.11), (2.9) та (2.8), отримуємо
AB¨:x˝bn, F (n)y : = n:x˝bn´1, rF (n)(¨)y : =
= n:x˝bn´1,
f (n)(¨1, . . . , ¨n´1, ¨)
h̄n(¨1, . . . , ¨n´1, ¨) y : = :x˝bn´1,
f (n)(¨1, . . . , ¨n´1, ¨)
hn(¨1, . . . , ¨n´1, ¨) y :,
де f (n) P F (n) P H(n)
ext – симетрична функція, описана у тверджен-
ні (2) Теореми 2.2.1 (нагадаємо, що якщо для деякого набору аргументів
t1, . . . , tn´1, t P R+ виконана умова
hn(t1, . . . , tn´1, t) = h̄n(t1, . . . , tn´1, t) = 0,
то f (n)(t1, . . . , tn´1, t) = 0). Але за побудовою ядер розширеного стоха-
стичного інтеграла (див. Підрозділ 1.4) yf (n)
hn
= f (n) P F (n), звідки маємо,
що
ż
(AB¨:x˝bn, F (n)y :)(t)pdLt ”
ż
ABt:x˝bn, F (n)y :pdLt = :x˝bn, F (n)y :,
що і треба було довести.
Твердження теореми в загальному випадку випливає з Тверджен-
ня 2.3.1, (1.18) та щойно доведеного результату. □
Зауваження 2.3.3. Нехай F P (L2)βq можна представити у вигля-
ді (2.3). З Зауваження 2.2.2, Твердження 2.3.1 та представлення (2.13)
випливає, що в якості підінтегральної функції G(¨) можна обрати AB¨F
(насправді саме у вигляді AB¨F , хоч і в інших позначеннях, G(¨) було
побудовано при доведенні Теореми 2.2.1).
2.4. Прямий аналог формули Кларка-Окона в загальному ви-
падку. Конструкція підінтегральної функції у формулі типу Клар-
ка-Окона (2.13) є відносно простою, але ця формула не є безпосере-
днім узагальненням класичної формули Кларка-Окона (2.2). Справді,
832 М. Качановський
нехай F P (L2)βq задовольняє умову Твердження 2.1.1. Використовую-
чи (1.22), (2.11), (2.9), (2.8), (2.4) та (2.1), неважко показати, що в цьому
випадку
AB¨F =
8ÿ
n=1
:x˝bn´1, F (n)(¨)y :,
в той час як
E
(B¨F |F¨
)
=
8ÿ
n=1
n:x˝bn´1, F (n)(¨)1[0,¨)n´1y : = AB¨F,
взагалі кажучи (тут F (n), n P N, – ядра з розкладу (1.6) для F , які
розуміються як елементи просторів H(n´1)
ext b HC, див. Підрозділ 1.5).
Подібна ситуація має місце і в гауссівському аналізі, див. [13].
Отримаємо прямий аналог, тобто безпосереднє узагальнення форму-
ли Кларка-Окона (2.2) на випадок, коли випадкову величину F можна
представити у вигляді (2.3), але умова Твердження 2.1.1 не виконана.
Для n P N та t1, . . . , tn, t P R+ покладемо
χn,t(t1, . . . , tn) :=
$
’&
’%
0, якщо Di P t1, . . . , nu : ti ě t
та @j P t1, . . . , nuztiu ti = tj
1, в інших випадках
(2.14)
тобто χn,t(t1, . . . , tn) = 0, якщо існує ti кратності 1 (себто ti не дорівнює
жодному іншому tj , j = i), більше за t або рівне t. Наприклад,
‚ χ3,4(7, 7, 2) = 1 (2 ă 4, 7 має кратність 2),
‚ χ3,4(5, 5, 5) = χ3,4(2, 2, 2) = 1 (відсутні аргументи кратності 1),
‚ χ3,4(7, 2, 2) = 0 (7 ą 4, 7 має кратність 1),
‚ χ3,4(4, 2, 2) = 0 (є однократний аргумент, що дорівнює 4).
Покладемо також χ0,¨ ” 1. Для G P (L2)βq b HC визначимо
(E¨G)(¨) :=
8ÿ
n=0
:x˝bn, G
(n)¨ χn,¨y :
” G
(0)¨ +
8ÿ
n=1
:x˝bn, G
(n)¨ χn,¨y : P (L2)βq b HC
(2.15)
(пор. з (2.1)), де G(n)¨ P H(n)
ext b HC – ядра з розкладу (1.12) для G.
Зрозуміло, що
G
(n)¨ χn,¨ P H(n)
ext b HC, |G(n)¨ χn,¨|H(n)
extbHC
ď |G(n)¨ |H(n)
extbHC
,
а отже E¨ є лінійним неперервним оператором в (L2)βq b HC.
Формули типу Кларка-Окона 833
Твердження 2.4.1. (пор. з Твердженням 2.3.1) Нехай F P (L2)βq . Тоді
E¨B¨F P (L2)βq b HC для β ě 0
та
E¨B¨F P (L2)βq´1 b HC для β ă 0,
де B¨ – похідна Хіди (1.24).
Доведення. У випадку β ă 0 результат твердження випливає безпосе-
редньо з властивостей операторів B¨ та E¨. Розглянемо випадок β ě 0.
З (1.22) та (2.15) випливає, що
E¨B¨F =
8ÿ
n=0
(n+ 1):x˝bn, F (n+1)(¨)χn,¨y :, (2.16)
де F (n+1) – ядра з розкладу (1.6) для F , які розуміються як елементи
просторів H(n)
ext bHC (див. Підрозділ 1.5). Для того, щоб оцінити норму
E¨B¨F в просторі (L2)βq b HC, потрібен такий технічний результат.
Лема 2.4.2. Для довільних n P Z+ та F (n+1) P H(n+1)
ext
(n+ 1)|F (n+1)(¨)χn,¨|2H(n)
extbHC
ď |F (n+1)|2H(n+1)
ext
(2.17)
(пор. з (2.12)).
Доведення. Використовуючи (1.8), (2.14), неатомарність міри Лебега та
той добре відомий факт, що для симетричної інтегровної за Лебегом
функції f : Rm
+ Ñ R+, m P N,
ż
Rm
+
f(t1, . . . , tm)dt1 . . . dtm = m
ż
R+
dt1
ż
[0,t1)m´1
f(t1, . . . , tm)dt2 . . . dtm,
отримуємо
(n+ 1)|F (n+1)(¨)χn,¨|2H(n)
extbHC
=
=
ÿ
k,lj ,sjPN:
j=1,...,k, l1ą¨¨¨ąlk,
l1s1+¨¨¨+lksk=n
(n+ 1)!
s1! ¨ ¨ ¨ sk!
(}pl1}ν
l1!
)2s1 ¨ ¨ ¨
(}plk}ν
lk!
)2skˆ
ˆ
ż
Rs1+¨¨¨+sk+1
+
|F (n+1)(t1, . . . , t1looomooon
l1
, ..., ts1+¨¨¨+sk , . . . , ts1+¨¨¨+sklooooooooooooomooooooooooooon
lk
, t)ˆ
ˆ χn,t(t1, ..., t1looomooon
l1
, ..., ts1+¨¨¨+sk , ..., ts1+¨¨¨+sklooooooooooooomooooooooooooon
lk
)|2dt1 ¨ ¨ ¨ dts1+¨¨¨+skdt =
834 М. Качановський
=
ÿ
k,lj ,sjPN:
j=1,...,k, l1ą¨¨¨ąlką1,
l1s1+¨¨¨+lksk=n
(n+ 1)!
s1! ¨ ¨ ¨ sk!
(}pl1}ν
l1!
)2s1 ¨ ¨ ¨
(}plk}ν
lk!
)2skˆ
ˆ
ż
Rs1+¨¨¨+sk+1
+
ˇ̌
F (n+1)(t1, ..., t1looomooon
l1
, ..., ts1+¨¨¨+sk , ..., ts1+¨¨¨+sklooooooooooooomooooooooooooon
lk
, t)
ˇ̌2ˆ
ˆ dt1 ¨ ¨ ¨ dts1+¨¨¨+skdt+
+
ÿ
k,lj ,sjPN:
j=1,...,k, l1ą¨¨¨ąlk=1,
l1s1+¨¨¨+lk´1sk´1+sk=n
(n+ 1)!
s1! ¨ ¨ ¨ sk!
(}pl1}ν
l1!
)2s1 ¨ ¨ ¨
(}plk´1
}ν
lk´1!
)2sk´1ˆ
ˆ
ż
Rs1+¨¨¨+sk+1
+
ˇ̌
F (n+1)(t1, ..., t1looomooon
l1
, ..., ts1+¨¨¨+sk´1+1, ..., ts1+¨¨¨+sk , t)ˆ
ˆ χn,t(t1, ..., t1looomooon
l1
, ..., ts1+¨¨¨+sk´1+1, ..., ts1+¨¨¨+sk)
ˇ̌2
dt1 ¨ ¨ ¨ dts1+¨¨¨+skdt =
=
ÿ
k,lj ,sjPN:
j=1,...,k, l1ą¨¨¨ąlką1,
l1s1+¨¨¨+lksk=n
(n+ 1)!
s1! ¨ ¨ ¨ sk!
(}pl1}ν
l1!
)2s1 ¨ ¨ ¨
(}plk}ν
lk!
)2skˆ
ˆ
ż
Rs1+¨¨¨+sk+1
+
ˇ̌
F (n+1)(t1, ..., t1looomooon
l1
, ..., ts1+¨¨¨+sk , ..., ts1+¨¨¨+sklooooooooooooomooooooooooooon
lk
, t)
ˇ̌2ˆ
ˆ dt1 ¨ ¨ ¨ dts1+¨¨¨+skdt+
+
ÿ
k,lj ,sjPN:
j=1,...,k, l1ą¨¨¨ąlk=1,
l1s1+¨¨¨+lk´1sk´1+sk=n
(n+ 1)!
s1! ¨ ¨ ¨ sk!
(}pl1}ν
l1!
)2s1 ¨ ¨ ¨
(}plk´1
}ν
lk´1!
)2sk´1ˆ
ˆ
ż
R
s1+¨¨¨+sk´1+1
+
dtdt1 ¨ ¨ ¨ dts1+¨¨¨+sk´1
ˆ
ˆ
ż
[0,t)sk
ˇ̌
F (n+1)(t1, ..., t1looomooon
l1
, ..., ts1+¨¨¨+sk´1+1, ..., ts1+¨¨¨+sk , t)
ˇ̌2ˆ
ˆ dts1+¨¨¨+sk´1+1 ¨ ¨ ¨ dts1+¨¨¨+sk =
Формули типу Кларка-Окона 835
=
ÿ
k,lj ,sjPN:
j=1,...,k, l1ą¨¨¨ąlką1,
l1s1+¨¨¨+lksk+1=n+1
(n+ 1)!
s1! ¨ ¨ ¨ sk!
(}pl1}ν
l1!
)2s1 ¨ ¨ ¨
(}plk}ν
lk!
)2skˆ
ˆ
ż
Rs1+¨¨¨+sk+1
+
ˇ̌
F (n+1)(t1, ..., t1looomooon
l1
, ..., ts1+¨¨¨+sk , ..., ts1+¨¨¨+sklooooooooooooomooooooooooooon
lk
, t)
ˇ̌2ˆ
ˆ dt1 ¨ ¨ ¨ dts1+¨¨¨+skdt+
+
ÿ
k,lj ,sjPN:
j=1,...,k, l1ą¨¨¨ą1,
l1s1+¨¨¨+lk´1sk´1+sk+1=n+1
(n+ 1)!
s1! ¨ ¨ ¨ (sk + 1)!
(}pl1}ν
l1!
)2s1 ¨ ¨ ¨
(}plk´1
}ν
lk´1!
)2sk´1ˆ
ˆ
ż
Rs1+¨¨¨+sk+1
+
ˇ̌
F (n+1)(t1, ..., t1looomooon
l1
, ..., ts1+¨¨¨+sk´1+1, ..., ts1+¨¨¨+sk , t)
ˇ̌2ˆ
ˆ dt1 ¨ ¨ ¨ dts1+¨¨¨+skdt ď |F (n+1)|2H(n+1)
ext
.
(Зауважимо, що якщо F (n+1) задовольняє умову, накладену на ядра у
твердженні (2) Теореми 2.2.1, то на останньому кроці маємо рівність,
тобто в такому випадку
(n+ 1)|F (n+1)¨ χn,¨|2H(n)
extbHC
= |F (n+1)|2H(n)
ext
,
довести це пропонується зацікавленому читачу.) □
Повернемось до доведення твердження. Скориставшись формула-
ми (2.16), (1.13), (2.17) та (1.9), отримуємо
}E¨B¨F }2
(L2)βq bHC
=
8ÿ
n=0
(n!)1+β2qn(n+ 1)2|F (n)(¨)χn,¨|2H(n)
extbHC
ď
ď 2´q
8ÿ
n=0
((n+ 1)!)1+β2q(n+1)(n+ 1)´β|F (n+1)|2H(n+1)
ext
ď
ď 2´q}F }2
(L2)βq
ă 8,
звідки й випливає потрібне. □
Сформулюємо й доведемо основний результат підрозділу.
Теорема 2.4.3 (пор. з Теоремою 2.3.2). Нехай випадкова величина F P
(L2)βq може бути представлена у вигляді (2.3) (див. Теорему 2.2.1).
836 М. Качановський
Тоді має місце представлення (формула типу Кларка-Окона)
F = EF +
ż
EtBtF pdLt (2.18)
(пор. з (2.2), (2.13)).
Доведення. Спочатку доведемо теорему для
F = :x˝bn, F (n)y :, F (n) P H(n)
ext, n P Nzt1u
(випадки n = 0 та n = 1 є тривіальними). Використовуючи (1.22), (2.15)
та (1.18), отримуємо
ż
EtBt:x˝bn, F (n)y :pdLt = n:x˝bn, {F (n)(¨)χn´1,¨y :,
отже, треба довести, що n {F (n)(¨)χn´1,¨ = F (n) в H(n)
ext. Нехай f (n) P F (n)
– симетрична функція, описана у твердженні (2) Теореми 2.2.1. Нага-
даємо, що ядро {F (n)(¨)χn´1,¨ породжене симетризацією функції
f (n)(¨1, . . . , ¨n´1, ¨)χn´1,¨(¨1, . . . , ¨n´1)1t¨1 =¨,...,¨n´1 =¨u
за всіма змінними, див. Підрозділ 1.4. Використовуючи (1.8), власти-
вості функції f (n), щойно згадану конструкцію ядра {F (n)(¨)χn´1,¨ та
неатомарність міри Лебега, отримуємо
|F (n) ´ n {F (n)(¨)χn´1,¨|2ext = |f (n) ´ n {f (n)(¨)χn´1,¨|2ext =
=
ÿ
k,lj ,sjPN:
j=1,...,k, l1ą¨¨¨ąlk=1,
l1s1+¨¨¨+lk´1sk´1+sk=n
n!
s1! . . . sk!
(}pl1}ν
l1!
)2s1 ¨ ¨ ¨
(}plk´1
}ν
lk´1!
)2sk´1ˆ
ˆ
ż
Rs1+¨¨¨+sk
+
ˇ̌
f (n)(t1, ..., t1looomooon
l1
, ..., ts1+¨¨¨+sk´1+1, ..., ts1+¨¨¨+sk)[1´
´ 1tts1+¨¨¨+sk´1+1ăts1+¨¨¨+sk
,ts1+¨¨¨+sk´1+2ăts1+¨¨¨+sk
,...,ts1+¨¨¨+sk´1ăts1+¨¨¨+sk
u´
´ 1tts1+¨¨¨+sk
ăts1+¨¨¨+sk´1,ts1+¨¨¨+sk´1+1ăts1+¨¨¨+sk´1,...,ts1+¨¨¨+sk´2ăts1+¨¨¨+sk´1u´
´ ¨ ¨ ¨ ´ 1tts1+¨¨¨+sk´1+2ăts1+¨¨¨+sk´1+1,...,ts1+¨¨¨+sk
ăts1+¨¨¨+sk´1+1u]
ˇ̌2ˆ
ˆ dt1 ¨ ¨ ¨ dts1+¨¨¨+sk = 0
(для різних ts1+¨¨¨+sk´1+1, . . . , ts1+¨¨¨+sk один і тільки один індикатор в
цій викладці дорівнює одиниці; інші випадки можна ігнорувати через
неатомарність міри Лебега).
Твердження теореми в загальному випадку випливає з Тверджен-
ня 2.4.1, (1.18) та щойно доведеного результату. □
Формули типу Кларка-Окона 837
Відзначимо, що якщо F P (L2)βq задовольняє умову Твердження 2.1.1
(тобто якщо ядра F (n), n P Z+, з розкладу (1.6) для F належать про-
сторам Hpbn
C Ă H(n)
ext), формула (2.18) редукується до (2.2) (довести це
пропонується зацікавленому читачу).
Зауваження 2.4.4. (пор. з Зауваженням 2.3.3) Нехай F P (L2)βq мо-
жна представити у вигляді (2.3). З Зауваження 2.2.2, Твердження 2.4.1
та представлення (2.18) випливає, що в якості підінтегральної функції
G(¨) можна обрати E¨B¨F .
2.5. Класична формула Кларка-Окона. У Підрозділі 2.1 ми вста-
новили доволі обтяжливу достатню умову на випадкову величину F ,
за якої формула Кларка-Окона для F приймає класичний вигляд (2.2)
(див. Твердження 2.1.1). На щастя, ця умова не є необхідною, і клас ви-
падкових величин, для яких справедливе представлення (2.2), є доволі
широким. Розглянемо це питання докладно.
Нехай F = :x˝b3, F (3)y :, F (3) P H(3)
ext. Умовою, за якої це F можна
представити у вигляді (2.3), є рівність
ş
R+
|F (3)(t, t, t)|2dt = 0, див. Під-
розділ 2.1. Але, як ми бачили у згаданому підрозділі, для представле-
ння F у вигляді (2.2) цього недостатньо: потрібна ще рівність
ż
R2
+
|F (3)(t1, t1, t2)|21tt1ět2udt1dt2 = 0,
яка виконується, якщо F (3) містить представника, який дорівнює ну-
лю, коли кратність найбільшого аргументу більша за одиницю (грубо
кажучи, якщо F (3)(t1, t1, t2) = 0, коли t1 ě t2). Виявляється, що для
F P (L2)βq подібна умова на ядра з розкладу (1.6) і є необхідною та
достатньою для представлення F у вигляді (2.2). Сформулюємо та до-
ведемо відповідне твердження; але спочатку пояснимо, чому виникає
саме така умова.
Нехай F P (L2)βq можна представити у вигляді (2.3) (насправді за
виконання згаданої вище умови ця вимога виконана автоматично, див.
Зауваження 2.5.2 нижче). Представлення (2.18), яке є однією з конкре-
тизацій представлення (2.3) (див. Зауваження 2.4.4), відрізняється від
представлення (2.2) використанням функцій χn,¨ (див. (2.14)) замість
індикаторів 1[0,¨)n у підінтегральному виразі (пор. (2.15) та (2.1)). Але,
на відміну від індикаторів, функції χn,¨ «не реагують» на «поведінку»
тих аргументів, кратність яких є більшою за одиницю; отже, для то-
го, щоб вирази у правих частинах (2.18) та (2.2) співпали, «реагувати»
мають ядра з розкладу (1.6) для F .
838 М. Качановський
Теорема 2.5.1 (пор. з Теоремою 2.2.1). Нехай F P (L2)βq . Наступні
твердження еквівалентні:
(1) F можна представити у вигляді (2.2), де E
(B¨F |F¨
) P (L2)βq b HC
у випадку β ě 0, та E
(B¨F |F¨
) P (L2)βq´1 b HC, якщо β ă 0;
(2) для кожного n P Nzt1u ядро F (n) P H(n)
ext з розкладу (1.6) для F
містить представника f (n) такого, що f (n)(t1, . . . , tn) = 0, якщо
існують i, j P t1, . . . , nu, i = j, такі, що
maxtt1, . . . , tnu = ti = tj
(тобто якщо кратність найбільшого t¨ P tt1, . . . , tnu більша за оди-
ницю).
Доведення. Спочатку доведемо теорему для
F = :x˝bn, F (n)y :, F (n) P H(n)
ext, n P Nzt1u,
(випадки n = 0 та n = 1 є тривіальними). Нехай f (n) P F (n) – симетри-
чний представник класу еквівалентності F (n) в просторі H(n)
ext. Викори-
стовуючи (1.22), (2.1) та конструкцію ядер розширеного стохастичного
інтеграла (див. Підрозділ 1.4), отримуємо
ż
E
(BtF |Ft
)pdLt =
ż
E
(Bt:x˝bn, F (n)y :|Ft
)pdLt =
=
ż
n:x˝bn´1, f (n)(t)1[0,t)n´1y :pdLt =
= :x˝bn, f (n)nPr1[0,¨n)n´1(¨1, . . . , ¨n´1)y :,
де, як і раніше, Pr – оператор симетризації за всіма змінними. Отже, ви-
падкову величину F = :x˝bn, F (n)y : можна представити у вигляді (2.2)
якщо та лише якщо функції f (n) та f (n)nPr1[0,¨n)n´1(¨1, . . . , ¨n´1) нале-
жать одному і тому самому класу еквівалентності F (n) в H(n)
ext.
(1)ñ(2) Якщо F можна представити у вигляді (2.2), то, як щойно
встановлено, f (n)nPr1[0,¨n)n´1(¨1, . . . , ¨n´1) P F (n). Легко перевірити, що
ця функція задовольняє умову твердження (2) теореми.
(2)ñ(1) Нехай f (n) P F (n) – описаний у твердженні (2) представ-
ник F (n). Не втрачаючи загальності можна вважати, що f (n) є си-
метричною функцією. Легко показати, що зараз справедлива рівність
f (n) = f (n)nPr1[0,¨n)n´1(¨1, . . . , ¨n´1), а тому F можна представити у виг-
ляді (2.2).
У загальному випадку імплікація (1)ñ(2) тривіальним чином випли-
ває з (1.18) та відповідної імплікації у щойно розглянутому частинному
Формули типу Кларка-Окона 839
випадку; імплікація (2)ñ(1) – з того факту, що за виконання умови
твердження (2)
E
(B¨F |F¨
)
= E¨B¨F
(див. доведення Твердження 2.5.3 нижче), Твердження 2.4.1, (1.18) та
щойно доведеної відповідної імплікації у частинному випадку. □
Зауваження 2.5.2. Відзначимо, що якщо деяке F P (L2)βq задоволь-
няє умову твердження (2) Теореми 2.5.1, то це F задовольняє й умову
твердження (2) Теореми 2.2.1, оскільки представлення (2.2) для F є
однією з конкретизацій представлення (2.3). Довести це можна й без-
посередньо, що пропонується зробити в якості вправи зацікавленому
читачу.
Як вже відзначалось, формула типу Кларка-Окона (2.18) є безпосе-
реднім узагальненням класичної формули Кларка-Окона (2.2). Точні-
ше, справедливе таке твердження.
Твердження 2.5.3. Якщо F P (L2)βq можна представити у вигля-
ді (2.2), то
E
(B¨F |F¨
)
= E¨B¨F (2.19)
в (L2)βq b HC у випадку β ě 0 та в (L2)βq´1 b HC у випадку β ă 0.
Доведення. Спочатку доведемо твердження для
F = :x˝bn, F (n)y :, F (n) P H(n)
ext, n P Nzt1u
(випадки n = 0 та n = 1 є тривіальними). Нехай f (n) P F (n) – опи-
саний в умові твердження (2) Теореми 2.5.1 представник F (n). Згідно
з (1.22), (2.1) та (2.15) достатньо показати, що
f (n)(¨)1[0,¨)n´1 = f (n)(¨)χn´1,¨
в H(n´1)
ext b HC. Легко перевірити, що якщо для деяких t1, . . . , tn´1, t
1[0,t)n´1(t1, . . . , tn´1) = χn´1,t(t1, . . . , tn´1),
то кратність maxtt1, . . . , tn´1, tu є більшою за одиницю; а у такому ви-
падку f (n)(t1, . . . , tn´1, t) = 0. Отже, для будь-якого набору аргументів
f (n)(t1, . . . , tn´1, t)[1[0,t)n´1(t1, . . . , tn´1) ´ χn´1,t(t1, . . . , tn´1)] = 0
і тому
|f (n)(¨)[1[0,¨)n´1 ´ χn´1,¨]|H(n´1)
ext bHC
= 0,
що і треба було довести.
У загальному випадку рівність (2.19) в просторі (L2)βq´1 b HC є на-
слідком щойно доведеного результату та неперервності операторів B¨,
840 М. Качановський
E
(˝ (¨)|F¨
)
і E¨; а якщо β ě 0, то згідно з твердженням 2.4.1 ця рівність
є справедливою в просторі (L2)βq b HC Ă (L2)βq´1 b HC. □
Відзначимо, що результати цієї статті залишаються справедливими
для випадкових величин F P (L2)β , β P [´1, 1], в цьому випадку підін-
тегральні функції належать відповідним просторам (L2)β b HC.
Насамкінець зауважимо, що крім просторів з регулярного оснащен-
ня простору (L2) (1.10), в аналізі білого шуму Леві уводяться та ви-
вчаються так звані простори нерегулярних основних і узагальнених
функцій [15,37], а також визначаються та досліджуються різноманітні
оператори й операції на таких просторах. Варто зазначити, що деякі
властивості згаданих просторів суттєво відрізняються від властивостей
просторів (L2)βq . Побудові й дослідженню формул типу Кларка-Окона
на просторах нерегулярних основних і узагальнених функцій будуть
присвячені інші роботи автора.
Я щиро вдячний професору В. І. Герасименку за пропозицію напи-
сати цю статтю та всебічну підтримку.
ЛІТЕРАТУРА
[1] K. Aase, B. Oksendal, N. Privault, and J. Uboe. White noise generalizations of the
Clark-Haussmann-Ocone theorem with application to mathematical finance. Finance
Stochastics, 4(4):465–496, 2000. doi:10.1007/PL00013528.
[2] F. E. Benth, G. Di Nunno, A. Lokka, B. Oksendal, and F. Proske. Explicit
representation of the minimal variance portfolio in markets driven by Lévy processes.
Math. Finance, 13(1):55–72, 2003. doi:10.1111/1467-9965.t01-1-00005.
[3] Jean Bertoin. Lévy processes, volume 121 of Cambridge Tracts in Mathematics.
Cambridge University Press, Cambridge, 1996.
[4] J. M. C. Clark. The representation of functionals of Brownian motion by stochastic
integrals. Ann. Math. Statist., 41:1282–1295, 1970. doi:10.1214/aoms/1177696903.
[5] M. De Faria, M. J. Oliveira, and L. Streit. A generalized Clark-Ocone formula. Random
Oper. Stochastic Equations, 8(2):163–174, 2000. doi:10.1515/rose.2000.8.2.163.
[6] G. Di Nunno, B. Oksendal, and F. Proske. White noise analysis for Lévy processes. J.
Funct. Anal., 206(1):109–148, 2004. doi:10.1016/S0022-1236(03)00184-8.
[7] G. Di Nunno, B. Oksendal, and F. Proske. Malliavin Calculus for Lévy Processes with
Applications to Finance. Universitext. Springer-Verlag, Berlin, 2009.
[8] Khalifa Es-Sebaiy and Ciprian A. Tudor. Lévy processes and Itô-Skorokhod integrals.
Theory Stoch. Process., 14(2):10–18, 2008. URL: http://tsp.imath.kiev.ua/files/156/
1420_2.pdf.
[9] M. M. Frei. Wick calculus on spaces of regular generalized functions of Lévy white
noise analysis. Carpathian Mathematical Publications, 10(1):82–104, 2018. doi:10.
15330/cmp.10.1.82-104.
[10] W. Grecksch, C. Roth, and V. V. Anh. q-fractional Brownian motion in infinite
dimensions with application to fractional Black-Scholes market. Stoch. Anal. Appl.,
27(1):149–175, 2009. doi:10.1080/07362990802565084.
Формули типу Кларка-Окона 841
[11] H. Holden, B. Oksendal, J. Uboe, and T.-S. Zhang. Stochastic partial differential
equations. Universitext. Springer, New York, second edition, 2010. A modeling, white
noise functional approach. doi:10.1007/978-0-387-89488-1.
[12] N. A. Kachanovsky. On an extended stochastic integral and the Wick calculus on the
connected with the generalized Meixner measure Kondratiev-type spaces. Meth. Func.
Anal. and Topol., 13(4):338–379, 2007.
[13] N. A. Kachanovsky. Clark-Ocone type formulas in the Meixner white noise analysis.
Carpathian Mathematical Publications, 3(1):56–72, 2011.
[14] N. A. Kachanovsky. Clark-Ocone type formulas on spaces of test and generalized
functions of Meixner white noise analysis.Meth. Func. Anal. and Topol., 18(2):160–175,
2012.
[15] N. A. Kachanovsky. Extended stochastic integrals with respect to a Lévy process on
spaces of generalized functions. Mathematical Bulletin of Taras Shevchenko Scientific
Society, 10:169–188, 2013.
[16] N. A. Kachanovsky. On extended stochastic integrals with respect to Lévy processes.
Carpathian Mathematical Publications, 5(2):256–278, 2013.
[17] N. A. Kachanovsky and V. A. Tesko. Stochastic integral of Hitsuda-Skorokhod type
on the extended Fock space. Ukr. Math. J., 61(6):873–907, 2009. doi:10.1007/
s11253-009-0257-2.
[18] Ioannis Karatzas, Daniel L. Ocone, and Jinlu Li. An extension of Clark’s formula.
Stochastics Rep., 37(3):127–131, 1991. doi:10.1080/17442509108833731.
[19] A. Lokka. Martingale representation, chaos expansion and Clark-Ocone formulas. In
Research Report, Centre for Mathematical Physics and Stochastics, University of
Aarhus, Denmark, 22, pages 1–24. 1999.
[20] A. Lokka. Martingale representation of functionals of Lévy processes. Stochastic Anal.
Appl., 22(4):867–892, 2004. doi:10.1081/SAP-120037622.
[21] Eugene Lytvynov. Orthogonal decompositions for Lévy processes with an application
to the gamma, Pascal, and Meixner processes. Infin. Dimens. Anal. Quantum Probab.
Relat. Top., 6(1):73–102, 2003. doi:10.1142/S0219025703001031.
[22] Jan Maas and Jan van Neerven. A Clark-Ocone formula in UMD Banach spaces.
Electron. Commun. Probab., 13:151–164, 2008. doi:10.1214/ECP.v13-1361.
[23] P. A. Meyer. Quantum Probability for Probabilists. pages X+312. In: Lect. Notes in
Math., Vol. 1538, Springer–Verlag, Berlin. 1993.
[24] David Nualart and Wim Schoutens. Chaotic and predictable representations for
Lévy processes. Stochastic Process. Appl., 90(1):109–122, 2000. doi:10.1016/
S0304-4149(00)00035-1.
[25] Daniel Ocone. Malliavin’s calculus and stochastic integral representations of
functionals of diffusion processes. Stochastics, 12(3-4):161–185, 1984. doi:10.1080/
17442508408833299.
[26] Daniel L. Ocone and Ioannis Karatzas. A generalized Clark representation formula,
with application to optimal portfolios. Stochastics Stochastics Rep., 34(3-4):187–220,
1991. doi:10.1080/17442509108833682.
[27] Horst Osswald. Malliavin calculus on extensions of abstract Wiener spaces. J. Math.
Kyoto Univ., 48(2):239–263, 2008. doi:10.1215/kjm/1250271411.
[28] G. Peccati and M. S. Taqqu. Stable convergence of generalized L2 stochastic integrals
and the principle of conditioning. Electron. J. Probab., 12(15):447–480, 2007. doi:
10.1214/EJP.v12-404.
842 М. Качановський
[29] Irina Rodionova. Analysis connected with generating functions of exponential type in
one and infinite dimensions.Methods Funct. Anal. Topology, 11(3):275–297, 2005. URL:
http://mfat.imath.kiev.ua/article/?id=321.
[30] W. Schoutens. Stochastic processes and orthogonal polynomials. pages XIII+166. In:
Lect. Notes in Statist., Vol. 146. Springer–Verlag, New York. 2000.
[31] D. Surgailis. On L2 and non-L2 multiple stochastic integration. pages 212–226. In:
Lect. Notes in Control and Information Sciences, Vol. 36, Springer–Verlag., Berlin–
Heidelberg. 1981. doi:10.1007/BFb0006424.
[32] Xicheng Zhang. Clark-Ocone formula and variational representation for Poisson
functionals. Ann. Probab., 37(2):506–529, 2009. doi:10.1214/08-AOP411.
[33] Ю. М. Березанский, Г. Ф. Ус, and З. Г. Шефтель. Функциональный анализ. Курс
лекций. Вища школа, Київ, 1990.
[34] И. М. Гельфанд and Н. Я. Виленкин. Обобщенные функции, Том IV. Государ-
ственное издательство физико-математической литературы, Москва, 1961.
[35] И. И. Гихман and А. В. Скороход. Теория случайных процессов, Том 2. Наука,
Москва, 1973.
[36] М. О. Качановський. Формули типу Кларка-Окона в майкснерівському аналізі
білого шуму для недиференційовних за Хідою випадкових величин. Наукові вісті
НТУУ “КПІ”, 15(4):56–60, 2011.
[37] М. О. Качановський. Про стохастичне інтегрування, диференціювання та віківське
числення в аналізі білого шуму Леві. In Сучасні проблеми математики та її
застосувань, частина II: Збірник праць Інституту математики НАН України,
том 18, №1, pages 456–507. Інститут математики НАН України, 2021.
[38] А. В. Скороход. Интегрирование в гильбертовом пространстве. Наука, Москва,
1975.
М. О. Качановський
ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ НАН УКРАЇНИ, М. КИЇВ
Email: nkachano@gmail.com
ORCID: 0000-0001-7354-5384
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-529 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:08:57Z |
| publishDate | 2023 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/45/a8dccf5847a8e9f0b0b7fbb1f4de0f45.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-5292023-08-17T17:00:35Z Clark-Ocone type formulas on the spaces of regular basic and generalized functions in the analysis of Levy white noise Формули типу Кларка-Окона на просторах регулярних основних і узагальнених функцій в аналізі білого шуму Леві Kachanovskyy, Mykola Качановський, Микола In the classical Gaussian analysis the Clark-Ocone formula can be written in the form $$ F=\mathbf{E}{F}+\int\mathbf{E}\big(\partial_t F|_{\mathcal F_t}\big)\,dW_t, $$ where a function (a random variable) $F$ is square integrable with respect to the Gaussian measure and differentiable by Hida; $\mathbf{E}$ denotes the expectation; $\mathbf{E}\big(\circ|_{\mathcal F_t}\big)$---the conditional expectation with respect to the full $\sigma$-algebra $\mathcal F_t$ that is generated by the Wiener process $W$ up to the point of time $t$; $\partial_{\cdot} F$ is the Hida derivative of $F$; $\int\circ (t)dW_t$ denotes the It\^o stochastic integral with respect to the Wiener process. This formula has many applications, in particular, in the stochastic analysis and in the financial mathematics. In this paper we generalize the Clark-Ocone formula to spaces of regular test and generalized functions of the Levy white noise analysis. More exactly, we obtain different Clark-Ocone type formulas on the above-mentioned spaces, study the properties of the integrands in these formulas, establish the conditions under which a Clark-Ocone type formula takes a classical form, etc. In particular, we show that the restrictive condition of differentiability by Hida for a random variable is not really significant. У класичному гауссівському аналізі формулу Кларка-Окона можна записати у вигляді $$ F=\mathbf{E}{F}+\int\mathbf{E}\big(\partial_t F|_{\mathcal F_t}\big)dW_t, $$ де функція (випадкова величина) $F$ є квадратично інтегровною за гауссівською мірою та диференційовною за Хідою; $\mathbf{E}$ позначає математичне сподівання; $\mathbf{E}\big(\circ|_{\mathcal F_t}\big)$ -- умовне математичне сподівання відносно повної $\sigma$-алгебри $\mathcal F_t$, породженої вінерівським процесом $W$ до моменту часу $t$; $\partial_{\cdot} F$ -- похідна Хіди $F$; $\int\circ (t)dW_t$ позначає стохастичний інтеграл Іто за вінерівським процесом. Ця формула має багато застосувань, зокрема, у стохастичному аналізі та у фінансовій математиці. В цій статті ми узагальнюємо формулу Кларка-Окона на простори регулярних основних і узагальнених функцій в аналізі білого шуму Леві. Точніше, ми отримуємо різні формули типу Кларка-Окона на вищезгаданих просторах, вивчаємо властивості підінтегральних функцій у цих формулах, встановлюємо умови, за яких формула типу Кларка-Окона приймає класичний вигляд, тощо. Зокрема, ми показуємо, що обмежувальна умова диференційовності за Хідою для випадкової величини не є суттєвою. Інститут математики НАН України 2023-08-17 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/529 10.3842/trim.v20n1.529 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 20 No. 1 (2023): Modern problems of mathematics and its applications, III; 805-842 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 20 № 1 (2023): Сучасні проблеми математики та її застосувань III; 805-842 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 20 № 1 (2023): Сучасні проблеми математики та її застосувань III; 805-842 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/529/514 Авторське право (c) 2023 Микола Качановський http://creativecommons.org/licenses/by/4.0 |
| spellingShingle | Kachanovskyy, Mykola Качановський, Микола Clark-Ocone type formulas on the spaces of regular basic and generalized functions in the analysis of Levy white noise |
| title | Clark-Ocone type formulas on the spaces of regular basic and generalized functions in the analysis of Levy white noise |
| title_alt | Формули типу Кларка-Окона на просторах регулярних основних і узагальнених функцій в аналізі білого шуму Леві |
| title_full | Clark-Ocone type formulas on the spaces of regular basic and generalized functions in the analysis of Levy white noise |
| title_fullStr | Clark-Ocone type formulas on the spaces of regular basic and generalized functions in the analysis of Levy white noise |
| title_full_unstemmed | Clark-Ocone type formulas on the spaces of regular basic and generalized functions in the analysis of Levy white noise |
| title_short | Clark-Ocone type formulas on the spaces of regular basic and generalized functions in the analysis of Levy white noise |
| title_sort | clark-ocone type formulas on the spaces of regular basic and generalized functions in the analysis of levy white noise |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/529 |
| work_keys_str_mv | AT kachanovskyymykola clarkoconetypeformulasonthespacesofregularbasicandgeneralizedfunctionsintheanalysisoflevywhitenoise AT kačanovsʹkijmikola clarkoconetypeformulasonthespacesofregularbasicandgeneralizedfunctionsintheanalysisoflevywhitenoise AT kachanovskyymykola formulitipuklarkaokonanaprostorahregulârnihosnovnihíuzagalʹnenihfunkcíjvanalízíbílogošumuleví AT kačanovsʹkijmikola formulitipuklarkaokonanaprostorahregulârnihosnovnihíuzagalʹnenihfunkcíjvanalízíbílogošumuleví |