A group of continuous transformations of a region $[0; 1]$ that preserve the frequency of the digits in $Q_s$-representation of a number
In the paper, we propose to solve the problem of construction a set of a continuous transformation of the segment $[0;1]$, which keeps the figure frequency of a $????_????$ real number representation for any natural $???? >1$. The group properties of that set are studied in the article. S...
Збережено в:
| Дата: | 2017 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2017
|
| Онлайн доступ: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/53 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552577932984320 |
|---|---|
| author | Osaulenko, R. Yu. Осауленко, Р. Ю. Осауленко, Р. Ю. |
| author_facet | Osaulenko, R. Yu. Осауленко, Р. Ю. Осауленко, Р. Ю. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Р. Ю. Осауленко",
"institution": "Інститут математики НАН України"
}
] |
| author_sort | Osaulenko, R. Yu. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-02-13T11:57:10Z |
| description | In the paper, we propose to solve the problem of construction a set of a continuous transformation of the segment $[0;1]$, which keeps the figure frequency of a $????_????$ real number representation for any natural $???? >1$. The group properties of that set are studied in the article. Sets of functions which keeps figure frequency and functions which keepping tails of the $????_????$ number representation are presented in the paper. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:01:39Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iнституту математики НАН України 2016, т. 13, № 3, 191–204
УДК 517.521
Група неперервних перетворень
вiдрiзка [0;1], якi зберiгають частоти
цифр 𝑄𝑠–зображення числа
Р. Ю. Осауленко1
1 Iнститут математики НАН України;
RomanOsaulenko@gmail.com
In the paper, we propose to solve the problem of construction a set of
a continuous transformation of the segment [0;1], which keeps the figure
frequency of a 𝑄𝑠 real number representation for any natural 𝑠 > 1. The
group properties of that set are studied in the article. Sets of functions
which keeps figure frequency and functions which keepping tails of the 𝑄𝑠
number representation are presented in the paper.
В работе предлагается решение задачи о построении множества непре-
рывных преобразований отрезка [0;1], которые сохраняют частоты
цифр 𝑄𝑠-изображения числа для произвольного натурального 𝑠 >
> 1. Изучаются групповые свойства множеств функций, которые со-
храняют хвосты, и функций, которые сохраняют частоты цифр 𝑄𝑠-
изображения числа. Представлено пример функции, которая сохраня-
ет частоты, но не сохраняет хвосты 𝑄𝑠-изображения чисел.
1 Вступ
Розглядається зображення дiйсних чисел з вiдрiзка [0; 1] зi скiнчен-
ним алфавiтом, яке є узагальненням класичного 𝑠-ого зображення
числа. У роботах [1–8] вивчаються властивостi 𝑄-зображення та рi-
знi математичнi об’єкти, з ним пов’язанi. Нагадаємо його змiст.
Нехай 1 < 𝑠 – фiксоване натуральне число, 𝐴𝑠 ≡ {0, 1, . . . , 𝑠− 1} –
алфавiт 𝑠-ої системи числення, 𝑄𝑠 ≡ {𝑞0, 𝑞1, . . . , 𝑞𝑠−1} – заданий набiр
дiйсних чисел, 𝑞𝑖 > 0,
𝑠−1∑︀
𝑗=0
𝑞𝑗 = 1, 𝛽0 ≡ 0, 𝛽𝑘 ≡
𝑘−1∑︀
𝑗=0
𝑞𝑖, 𝑘 = 1, 2, . . . , 𝑠−1.
c○ Осауленко Р. Ю., 2016
192 Осауленко Р. Ю.
Вiдомо [1, 2], що для будь-якого 𝑥 ∈ [0; 1] iснує нескiнченна послi-
довнiсть (𝛼𝑛), 𝛼𝑛 ∈ 𝐴𝑠, 𝑛 ∈ 𝑁 , така, що:
𝑥 = 𝛽𝛼1 +
∞∑︁
𝑘=0
⎛⎝𝛽𝛼𝑘
𝑘−1∏︁
𝑗=1
𝑞𝛼𝑗
⎞⎠ = △𝑄𝑠
𝛼1𝛼2𝛼3.... (1)
Подання числа 𝑥 у виглядi ряду (1) називається 𝑄𝑠–зображенням
числа 𝑥, а скорочений запис △𝑄𝑠
𝛼1𝛼2𝛼3... – його 𝑄𝑠–зображенням. При
цьому 𝛼𝑘 = 𝛼𝑘(𝑥) називається 𝑘-им 𝑄𝑠-символом або 𝑄𝑠-цифрою (да-
лi просто цифрою) числа 𝑥.
Якщо цифри утворюють перiод у 𝑄𝑠-зображеннi числа – запису-
ються у круглих дужках.
Злiченна множина чисел має два 𝑄𝑠–зображення. Це числа виду:
△𝑄𝑠
𝛼1𝛼2...𝛼𝑘(0)
= △𝑄𝑠
𝛼1𝛼2...[𝛼𝑘−1](𝑠−1),
вони називаються 𝑄𝑠-рацiональними, а решта 𝑄𝑠-iррацiональними.
Зауваження 1.1. Якщо 𝑞0 = 𝑞1 = · · · = 𝑞𝑠−1 = 1
𝑠 , то 𝑄𝑠–зобра-
ження є звичайним 𝑠-ковим розкладом числа. Тому 𝑄𝑠–зображення
є узагальненням 𝑠-го зображення числа. При цьому 𝑄𝑠-символи чи-
сла є iндексами у його представленнi, а не коефiцiєнти, як у 𝑠-ому
розкладi.
Означення 1.1. Цилiндром рангу 𝑚 з основою 𝑐1, 𝑐2, . . . , 𝑐𝑚, 𝑐𝑖 ∈
𝐴𝑠, називається множина △𝑄𝑠
𝑐1𝑐2...𝑐𝑚 , що складається з усiх чисел
𝑥 ∈ [0; 1], що мають 𝑄𝑠–зображення, у якого першi 𝑚 𝑄𝑠-символiв
спiвпадають з 𝑐1, 𝑐2, . . . , 𝑐𝑚 вiдповiдно, тобто
△𝑄𝑠
𝑐1𝑐2...𝑐𝑚 =
{︀
𝑥 : 𝛼𝑗(𝑥) = 𝑐𝑖, 𝑖 = 1,𝑚
}︀
.
Зазначимо, що цилiндром рангу 𝑚 є вiдрiзок, а саме:
△𝑄𝑠
𝑐1𝑐2...𝑐𝑚 =
[︁
△𝑄𝑠
𝑐1𝑐2...𝑐𝑚(0);△
𝑄𝑠
𝑐1𝑐2...𝑐𝑚(𝑠−1)
]︁
.
Iншi властивостi цилiндрiв представлено у монографiї [2].
Означення 1.2. Оператором лiвостороннього зсуву цифр 𝑄𝑠–зобра-
ження числа (далi оператор лiвостороннього зсуву) у просторi зо-
бражень називається вiдображення, означене рiвнiстю:
𝜔(△𝑄𝑠
𝛼1𝛼2𝛼3𝛼4...) = △𝑄𝑠
𝛼2𝛼3𝛼4.... (2)
Група неперервних перетворень вiдрiзка [0;1], якi зберiгають . . . 193
При домовленостi використовувати лише одне з двох iснуючих
зображень 𝑄𝑠-рацiональних чисел, а саме: те, що мiстить перiод (0),
оператор лiвостороннього зсуву породжує коректно означену фун-
кцiю на [0; 1], якщо покласти 𝜔(1) = 1.
Означення 1.3. Оператором правостороннього зсуву цифр 𝑄𝑠–зоб-
раження числа з параметром 𝑗 ∈ 𝐴𝑠 (далi оператор правосторон-
нього зсуву з параметром 𝑗) називається вiдображення, означене
рiвнiстю:
𝛿𝑗(△𝑄𝑠
𝛼1𝛼2𝛼3...) = △𝑄𝑠
𝑗𝛼1𝛼2𝛼3...
. (3)
Легко довести рiвностi: 𝜔(△𝑄𝑠
𝛼1𝛼2𝛼3𝛼4...) = (𝑥− 𝛽𝛼1) 𝑞
−1
𝛼1
,
𝛿𝑗(△𝑄𝑠
𝛼1𝛼2𝛼3...) = 𝛽𝑗 + 𝑞𝑗𝑥,
𝜔
(︁
𝛿𝑗(𝑥)
)︁
= 𝑥, 𝛿𝛼1(𝑥)
(︁
𝜔(𝑥)
)︁
= 𝑥.
Далi: 𝜔2(𝑥) = 𝜔
(︁
𝜔 (𝑥)
)︁
, 𝜔𝑘(𝑥) = 𝜔
(︁
𝜔𝑘−1 (𝑥)
)︁
;
𝛿𝑗1𝑗2...𝑗𝑘(△
𝑄𝑠
𝛼1𝛼2𝛼3...) ≡ 𝛿𝑗1
(︃
𝛿𝑗2
(︁
. . .
(︀
𝛿𝑗𝑘
(︁
△𝑄𝑠
𝛼1𝛼2𝛼3...
)︁)︀)︁)︃
= △𝑄𝑠
𝑗1𝑗2...𝑗𝑘𝛼1𝛼2𝛼3...
Надалi ми будемо використовувати лише одне з двох можливих
𝑄𝑠-зображень чисел.
2 Перетворення, якi зберiгають хвости 𝑄𝑠–зобра-
ження чисел
Розглядається фiксоване 𝑄𝑠–зображення чисел вiдрiзка [0; 1].
Нагадаємо, що перетворенням вiдрiзка [0; 1] називається кожне бi-
єктивне вiдображення цього вiдрiзка на себе. Неперервнi перетворе-
ння вiдрiзка [0; 1] вичерпуються неперервними строго монотонними
функцiями 𝑓 , такими, що: 𝑓(0) = 0 i 𝑓(1) = 1 або 𝑓(0) = 1 i 𝑓(1) = 0.
Кажуть, що 𝑄𝑠–зображення △𝑄𝑠
𝑎1𝑎2... i △𝑄𝑠
𝑏1𝑏2...
двох дiйсних чисел
мають однаковий хвiст, якщо iснують 𝑘, 𝑛 ∈ 𝑍0: такi, що 𝑎𝑘+𝑗 =
= 𝑏𝑛+𝑗 , ∀𝑗 ∈ 𝑁 (символiчно: △𝑄𝑠
𝑎1𝑎2... ∼ △𝑄𝑠
𝑏1𝑏2...
).
Кажуть, що функцiя 𝑓 , яка визначена на вiдрiзку [0; 1] i набу-
ває значень з цього ж вiдрiзка, зберiгає хвости 𝑄𝑠–зображення дiй-
сних чисел, якщо ∀𝑥 ∈ [0; 1], ∃𝑘 = 𝑘(𝑥),𝑚 = 𝑚(𝑥) ∈ 𝑁 : 𝛼𝑛+𝑘(𝑥) =
= 𝛼𝑛+𝑚 (𝑓(𝑥)), ∀𝑛 ∈ 𝑁 , де 𝛼𝑛(𝑥) – це 𝑛-та цифра 𝑄𝑠–зображення
числа 𝑥.
194 Осауленко Р. Ю.
Слiд вiдмiтити, що оператори 𝜔, 𝛿𝑗 – зберiгають хвости 𝑄𝑠–зобра-
ження числа 𝑥.
Прикладом функцiї, яка зберiгає хвости 𝑄𝑠–зображення, є насту-
пна:
𝑓(𝑥) =
⎧⎨⎩𝜔(𝑥) при 0 ≤ 𝑥 < △𝑄𝑠
(0[𝑠−1]) =
𝑞0𝛽𝑠−1
1− 𝑞0𝑞𝑠−1
≡ 𝑎;
𝛿𝑠−1(𝑥) при 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 1.
(4)
Оскiльки розв’язком рiвняння 𝑞−1
0 𝑥 = 𝛽𝑠−1 + 𝑞𝑠−1𝑥 є число 𝑎 =
= 𝑞0𝛽𝑠−1
1−𝑞0𝑞𝑠−1
, то функцiя (4) є результатом "склеювання"двох функцiй
𝑓1(𝑥) = 𝑞−1
0 𝑥 та 𝑓2(𝑥) = 𝛽𝑠−1 + 𝑞𝑠−1𝑥 у точцi, абсциса якої рiвна 𝑎.
Функцiю 𝜙, яка залежить вiд цiлих невiд’ємних параметрiв 𝑛 та
𝑘, упорядкованого набору цифр (𝑎1, 𝑎2, . . . , 𝑎𝑛), 𝑎𝑗 ∈ 𝐴𝑠, означимо на
вiдрiзку [0;1] рiвнiстю:
𝜙
(︀
𝑥, 𝑛, (𝑎1, 𝑎2, . . . , 𝑎𝑛) , 𝑘
)︀
=
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
𝑥 при 𝑛 = 0 = 𝑘,
𝜔𝑘(𝑥) при 𝑛 = 0 ̸= 𝑘,
𝛿𝑎1𝑎2...𝑎𝑛 (𝑥) при 𝑘 = 0 ̸= 𝑛,
𝛿𝑎1𝑎2...𝑎𝑛
(︀
𝜔𝑘(𝑥)
)︀
при 𝑛 ̸= 0 ̸= 𝑘.
(5)
Рангом функцiї (5) називатимемо число 𝑟 = 𝑛+ 𝑘.
Функцiєю 𝑙 шарiв (𝑙 ∈ 𝑍0 = {0, 1, 2, . . . }) будемо називати функцiю
типу (5), ранг якої не бiльший за 𝑙.
Розглянемо множину всiх функцiй 𝑙 шарiв:
Φ𝑙 =
{︀
𝜙
(︀
𝑥, 𝑛, (𝑎1, 𝑎2, . . . , 𝑎𝑛) , 𝑘
)︀⃒⃒
𝑛+ 𝑘 ≤ 𝑙, 𝑎𝑗 ∈ 𝐴𝑠
}︀
, 𝑙 ∈ 𝑍0. (6)
Множина функцiй Φ𝑙, 𝑙 ∈ 𝑍0 – скiнченна, причому при 𝑙 = 0 скла-
дається з однiєї функцiї 𝑒(𝑥) = 𝑥. Будь-яка функцiя з множини (6)
зберiгає хвости 𝑄𝑠–зображення чисел, але жодна, окрiм 𝑒(𝑥) = 𝑥, не
є неперервним перетворенням вiдрiзка [0;1]. Для побудови множи-
ни таких неперервних перетворень оберемо 𝑙0 ∈ 𝑍0. Далi утворюємо
сiтку, лiнiями якої є графiки функцiй з Φ𝑙0 , а вузлами є точки перети-
ну лiнiй сiтки. Використовуючи утворену сiтку, будуємо неперервне
перетворення вiдрiзка [0;1].
Зазначимо, що зi зростанням кiлькостi шарiв, кiлькiсть неперерв-
них перетворень вiдрiзка [0;1], якi зберiгають хвости 𝑄𝑠–зображення
швидко зростає, наприклад, для 𝑄2 при 𝑙0 = 0 маємо лише одну фун-
кцiю, при 𝑙0 = 1 – це 3 функцiї, а при 𝑙0 = 2 маємо 189 функцiй.
Група неперервних перетворень вiдрiзка [0;1], якi зберiгають . . . 195
Позначимо множину неперервних перетворень 𝐻𝑄𝑠
=
⋃︀
𝑗∈𝑍0
𝐻𝑗
𝑄𝑠
,
де 𝐻 𝑙
𝑄𝑠
– множина усiх неперервних функцiй 𝑙 шарiв, якi зберiгають
хвости 𝑄𝑠–зображення чисел.
Для вивчення властивостей сiтки 𝑙 шарiв розглянемо додаткове
твердження.
Лема 2.1. Вiдношення △𝑄𝑠
𝛼1𝛼2...𝛼𝑘𝛼𝑘+1𝛼𝑘+2...
⋇△𝑄𝑠
𝛼1𝛼2...𝛼𝑘𝛽𝑘+1𝛽𝑘+2...
i
△𝑄𝑠
𝛼𝑘+1𝛼𝑘+2...
⋇△𝑄𝑠
𝛽𝑘+1𝛽𝑘+2...
– рiвносильнi (символ ⋇ ∈ {<,≤,=, ̸=, >,≥}).
Доведення. Нехай 𝑎 = △𝑄𝑠
𝛼1𝛼2...𝛼𝑘𝛼𝑘+1𝛼𝑘+2...
, 𝑎𝑘+1 = △𝑄𝑠
𝛼𝑘+1𝛼𝑘+2...
, 𝑏 =
= △𝑄𝑠
𝛼1𝛼2...𝛼𝑘𝛽𝑘+1𝛽𝑘+2...
, 𝑏𝑘+1 = △𝑄𝑠
𝛽𝑘+1𝛽𝑘+2...
. Тодi, згiдно з означенням
𝑄𝑠–зображення числа, числа 𝑎, 𝑏 представимо у наступному виглядi:
𝑎 = 𝛽𝛼1
+ 𝑞𝛼1
(︁
𝛽𝛼2
+ 𝑞𝛼2
(︀
. . . 𝛽𝛼𝑘
+ 𝑞𝛼𝑘
(𝑎𝑘+1)
)︀)︁
,
𝑏 = 𝛽𝛼1
+ 𝑞𝛼1
(︁
𝛽𝛼2
+ 𝑞𝛼2
(︀
. . . 𝛽𝛼𝑘
+ 𝑞𝛼𝑘
(𝑏𝑘+1)
)︀)︁
.
(7)
Використовуючи (7) i враховуючи властивостi числових нерiвно-
стей, легко показати, що 𝑎⋇ 𝑏 ⇔ 𝑎𝑘+1 ⋇ 𝑏𝑘+1.
Твердження 2.1 – 2.4 описують властивостi сiтки 𝑙 шарiв.
Твердження 2.1. Координати будь-якого вузла сiтки 𝑙 шарiв ма-
ють перiодичне 𝑄𝑠–зображення.
Доведення. Достатньо показати, що абсциси вузлiв мають перiоди-
чне 𝑄𝑠–зображення, оскiльки абсциса та ордината вузла сiтки мають
однаковий хвiст.
Лiнiями сiтки 𝑙 шарiв є графiки функцiй 𝑙 шарiв. Оберемо двi рiзнi
функцiї 𝑓1(𝑥) = 𝛿𝑎1𝑎2...𝑎𝑛
(︁
𝜔𝑘(𝑥)
)︁
та 𝑓2(𝑥) = 𝛿𝑏1𝑏2...𝑏𝑚
(︁
𝜔𝑟(𝑥)
)︁
, 𝑚 ≥ 𝑛.
Розглянемо два випадки: 𝑚 = 𝑛 та 𝑚 > 𝑛.
У першому випадку 𝑚 = 𝑛, але 𝑟 ̸= 𝑘 (оскiльки 𝑓1(𝑥) ̸= 𝑓2(𝑥)).
Згiдно з лемою 2.1: 𝑎𝑗 = 𝑏𝑗 , а отже, рiвняння 𝑓1(𝑥) = 𝑓2(𝑥) i 𝜔𝑘(𝑥) =
= 𝜔𝑟(𝑥)– рiвносильнi. Розв’язками останнього рiвняння будуть усi
числа 𝑥, 𝑄𝑠–зображення яких задовольняє рiвностi: 𝛼𝑘+𝑡+1(𝑥)
= 𝛼𝑟+𝑡+1(𝑥), 𝑡 ∈ 𝑁 , тобто розв’язки мають перiодичне 𝑄𝑠–зобра-
ження.
Аналогiчно до першого, у другому випадку при 𝑚 > 𝑛 рiвняння
𝑓1(𝑥) = 𝑓2(𝑥) можна представити у виглядi:
𝜔𝑘(𝑥) = 𝛿𝑏𝑛+1...𝑏𝑚
(︁
𝜔𝑟(𝑥)
)︁
. (8)
196 Осауленко Р. Ю.
Покажемо, що розв’язки рiвняння (8) мають перiодичне 𝑄𝑠–зобра-
ження. Нехай 𝑘 ≥ 𝑟, тодi 𝑥 = △𝑄𝑠
𝛼1...𝛼𝑟𝛼𝑟+1...𝛼𝑘𝛼𝑘+1...
. Перетворимо
обидвi частини рiвняння (8), використовуючи 𝑄𝑠–зображення числа:
△𝑄𝑠
𝛼𝑘+1𝛼𝑘+2...
= △𝑄𝑠
𝑏𝑛+1...𝑏𝑚𝛼𝑟+1...𝛼𝑘𝛼𝑘+1...
. (9)
У результатi бачимо, що розв’язки рiвняння (9) задовольняють на-
ступним рiвностям: 𝛼𝑘+𝜏 = 𝑏𝑛+𝜏 , де 𝜏 = 1, 2, . . . ,𝑚−𝑛 та 𝛼𝑘+𝑚−𝑛+𝑡 =
= 𝛼𝑟+𝑡 при 𝑡 ∈ 𝑁 , тобто розв’язки мають перiодичне 𝑄𝑠–зображення.
Аналогiчно проводяться мiркування при 𝑘 < 𝑟.
Твердження 2.2. Через будь-який вузол сiтки проходить злiченна
кiлькiсть функцiй типу (5).
Доведення. Розглянемо координати деякого вузла 𝐴 сiтки:
𝐴
(︁
△𝑄𝑠
𝛼1...𝛼𝑘(𝑐1𝑐2...𝑐𝑛)
;△𝑄𝑠
𝛽1...𝛽𝑚(𝑐*1𝑐*2 ...𝑐*𝑛)
)︁
,
де 𝑐*𝑗 = 𝑐[𝜍(𝑗−1)+1], 𝜍(𝑡) = (𝜉 + 𝑡) mod 𝑛, а 𝜉 – це фiксоване натуральне
значення для вузла 𝐴, яке використовується для опису зсуву цифр
перiоду.
Задамо початковi функцiї 𝜑𝑗 (𝑗 = 0, . . . , 𝑛− 1):
𝜑0(𝑥) = 𝛿𝛽1...𝛽𝑚
(︁
𝜔𝑘+𝜍(0)(𝑥)
)︁
, 𝜑𝑗(𝑥) = 𝛿𝛽1...𝛽𝑚𝑐*1 ...𝑐
*
𝑗
(︁
𝜔𝑘+𝜍(𝑗)(𝑥)
)︁
. (10)
Введемо додаткове позначення:
/𝑝1 . . . 𝑝/
𝑛 = 𝑝1 . . . 𝑝𝑝1 . . . 𝑝 . . . 𝑝1 . . . 𝑝⏟ ⏞
𝑛
. (11)
За допомогою функцiї 𝜑0(𝑥) задамо множину функцiй:
Ψ0 =
{︁
𝜓0(𝑥, 𝑡, 𝑟) = 𝛿𝛽1...𝛽𝑚/𝑐*1 ...𝑐
*
𝑛/
𝑡
(︁
𝜔𝑘+𝜍(0)+𝑛𝑟(𝑥)
)︁⃒⃒⃒
𝑡, 𝑟 ∈ 𝑍0
}︁
, (12)
де 𝜓0(𝑥, 𝑡 = 0, 𝑟 = 0) = 𝜑0(𝑥). Очевидно, що при рiзних значеннях
параметрiв 𝑡, 𝑟 ми отримаємо рiзнi функцiї.
Покажемо, що множина функцiй типу (12) є злiченною. Як ба-
чимо, кожна функцiя множини (12) залежить вiд двох невiд’ємних
цiлих параметрiв, якi можна представити у виглядi цiлих невiд’ємних
координат деякої точки площини. Добре вiдомо, що множина точок з
Група неперервних перетворень вiдрiзка [0;1], якi зберiгають . . . 197
цiлими невiд’ємними координатами – є злiченною, а отже злiченною
також є множина функцiй Ψ0.
Аналогiчно, до множини Ψ0 ми можемо на основi 𝜑𝑗(𝑥) утворити
злiченнi множини Ψ𝑗 :
Ψ𝑗 =
{︁
𝜓𝑗(𝑥, 𝑡, 𝑟) = 𝛿𝛽1...𝛽𝑚/𝑐*1 ...𝑐
*
𝑛/
𝑡𝑐*1 ...𝑐
*
𝑗
(︁
𝜔𝑘+𝜍(𝑗)+𝑛𝑟(𝑥)
)︁⃒⃒⃒
𝑡, 𝑟 ∈ 𝑍0
}︁
,
(13)
де 𝜓𝑗(𝑥, 𝑡 = 0, 𝑟 = 0) = 𝜑𝑗(𝑥), 𝑗 = 1, . . . , 𝑛− 1.
Iз форми запису функцiй множин Ψ𝑗 , 𝑗 = 0, 1, . . . , 𝑛−1, очевидно,
що цi множини є попарно не перетинними. Нехай Ψ =
𝑛−1⋃︀
𝑗=0
Ψ𝑗 , тодi
Ψ є злiченною множиною як об’єднання скiнченної кiлькостi злiчен-
них множин. Також вона мiстить усi можливi функцiї, якi проходять
через вузол 𝐴.
Зауваження 2.1. При доведенi властивостi 2 ми встановили ще
один факт: будь-яка точка площини 𝐵(0 ≤ 𝑥 ≤ 1; 0 ≤ 𝑦 ≤ 1), коорди-
нати якої мають однаковий хвiст та перiодичне 𝑄𝑠–зображення, є
вузлом сiтки.
Твердження 2.3. Зi зростанням шарiв кiлькiсть вузлiв зростає,
а вiдстань мiж сусiднiми вершинами сiтки зменшується.
Доведення. Очевидно, що будь-яка функцiя 𝑙 шарiв мiж двома сусi-
днiми вузлами є функцiєю типу (5) рангу не бiльшого нiж 𝑙. Розгля-
немо довiльну функцiю 𝑓(𝑥) ∈ 𝐻 𝑙.
Оскiльки функцiї 𝜔𝑙+1(𝑥) та 𝑓(𝑥) набувають значень з [0; 1], при
𝑥 ∈ △𝑄𝑠
𝛼1...𝛼𝑙𝛼𝑙+1
для 𝜔𝑙+1(𝑥) та при 𝑥 ∈ [0; 1] для 𝑓(𝑥), то очевидно, що
у кожному цилiндрi iснує хоча б одна вузлова точка 𝑙+1 шару. Ана-
логiчно 𝜔𝑙+2(𝑥) на кожному цилiндрi △𝑄𝑠
𝛼1...𝛼𝑙+1𝛼𝑙+2
має спiльну точку
з 𝑓(𝑥). Враховуючи те, що |△𝑄𝑠
𝛼1...𝛼𝑙+1𝛼𝑙+2
| < |△𝑄𝑠
𝛼1...𝛼𝑙𝛼𝑙+1
|, а функцiї
𝜔𝑙+1(𝑥) та 𝜔𝑙+2(𝑥) є функцiями 𝑙 + 1 та 𝑙 + 2 шарiв, то ми отримали,
що для довiльної функцiї 𝑙 шарiв кiлькiсть вузлових точок зi зро-
станням шару зростає i вiдстань мiж ними зменшується. Оскiльки
ми розглядали довiльну функцiю 𝑓(𝑥) ∈ 𝐻 𝑙, графiк якої складається
лише з лiнiй сiтки 𝑙 шарiв, то цей результат можна застосувати до
всiєї сiтки.
Твердження 2.4. Для будь-яких двох функцiй 𝑓(𝑥) та 𝑔(𝑥) з мно-
жини 𝐻 𝑙
𝑄𝑠
завжди iснує вiдмiнна вiд 𝑓(𝑥) та 𝑔(𝑥) функцiя 𝜏(𝑥) з
198 Осауленко Р. Ю.
множини 𝐻 𝑙′
𝑄𝑠
, де 𝑙′ > 𝑙 така, що: |𝑓(𝑥)− 𝑔(𝑥)| = |𝑓(𝑥)− 𝜏(𝑥)| +
|𝑔(𝑥)− 𝜏(𝑥)|.
Доведення. Позначимо 𝑥1 та 𝑥2 – абсциси вiдповiдних точок перетину
функцiй 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) з функцiєю 𝜔𝑙
′
(𝑥), де 𝑙′ > 𝑙, на одному такому фi-
ксованому цилiндрi рангу 𝑙′, який мiститься мiж двома найближчими
спiльними вузлами функцiй 𝑓(𝑥) та 𝑔(𝑥), щоб 𝑥1 ̸= 𝑥2. Iснування та-
ких точок випливає з доведення попередньої властивостi та з способу
побудови функцiй 𝑓(𝑥) та 𝑔(𝑥).
Утворимо функцiю 𝜏(𝑥):
∙ якщо 𝑥1 < 𝑥2, то 𝜏(𝑥) =
⎧⎪⎨⎪⎩
𝑓(𝑥) при 𝑥 < 𝑥1;
𝜔𝑙
′
(𝑥) при 𝑥1 ≤ 𝑥 < 𝑥2;
𝑔(𝑥), при 𝑥 > 𝑥2.
∙ якщо 𝑥1 > 𝑥2, то 𝜏(𝑥) =
⎧⎪⎨⎪⎩
𝑔(𝑥) при 𝑥 < 𝑥2;
𝜔𝑙
′
(𝑥) при 𝑥2 ≤ 𝑥 < 𝑥1;
𝑓(𝑥), при 𝑥 > 𝑥1.
Покажемо правильнiсть рiвностi
|𝑓(𝑥)− 𝑔(𝑥)| = |𝑓(𝑥)− 𝜏(𝑥)|+ |𝑔(𝑥)− 𝜏(𝑥)| .
Розглянемо перший випадок, коли 𝑥1 < 𝑥2, тодi для 𝑥 < 𝑥1 :
𝜏(𝑥) ≡ 𝑓(𝑥), для 𝑥 > 𝑥2 : 𝜏(𝑥) ≡ 𝑔(𝑥) виконання рiвностi стає оче-
видним. Згiдно з побудовою функцiї 𝜏(𝑥) графiк функцiї 𝜔𝑙
′
(𝑥) на
промiжку [𝑥1;𝑥2] буде лежати мiж графiками 𝑓(𝑥) та 𝑔(𝑥), тобто
𝑓(𝑥) ≤ 𝜔𝑙
′
(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥), що забезпечує виконання рiвностi. Аналогi-
чно доводиться правильнiсть твердження для другого випадку, коли
𝑥1 > 𝑥2.
3 Група перетворень, якi зберiгають частоти цифр
𝑄𝑠–зображення числа
Означення 3.1. Якщо iснує границя
𝜈𝑗(𝑥) = 𝜈𝑄𝑠
𝑗 (𝑥) = lim
𝑛→∞
𝑛−1𝑁𝑄𝑠
𝑗 (𝑥, 𝑛),
то її значення називається частотою цифри 𝑗 в 𝑄𝑠-зображеннi чи-
сла 𝑥, де 𝑁𝑄𝑠
𝑗 (𝑥, 𝑛) – це кiлькiсть цифр 𝑗 серед перших 𝑛 цифр 𝑄𝑠–
зображення числа [0; 1] ∋ 𝑥 = △𝑄𝑠
𝛼1𝛼2...𝛼𝑘...
.
Група неперервних перетворень вiдрiзка [0;1], якi зберiгають . . . 199
Множину всiх чисел 𝑥 ∈ [0; 1], якi мають частоти всiх цифр вiдпо-
вiдного 𝑄𝑠–зображення, позначатимемо через 𝐸. Добре вiдомо [2, 8],
що мiра Лебега цiєї множини рiвна 1.
Кажуть, що функцiя 𝑦 = 𝑓(𝑥) зберiгає частоти цифр 𝑄𝑠- зо-
браження числа, якщо для ∀𝑥 ∈ 𝐸 виконується система рiвностей:
𝜈𝑗 (𝑓(𝑥)) = 𝜈𝑗(𝑥), 𝑗 ∈ 𝐴𝑠. У джерелах [9, 10] вивчались розривнi фун-
кцiї, якi зберiгають частоти та асимптотичне середнє значення цифр.
Теорема 3.1. На множинi 𝑥 ∈ [0; 1] множина 𝐻𝑄𝑠 – утворює неко-
мутативну групу 𝐺𝐻 вiдносно операцiї композицiї (𝑓
(︀
𝑔(𝑥)
)︀
= 𝑔 ∘ 𝑓).
1. Множина 𝐻𝑄𝑠
– замкнена i визначена на множинi [0; 1]. Оскiль-
ки функцiї множини 𝐻𝑄𝑠
у кожнiй конкретнiй точцi будуються
на основi функцiй, якi змiнюють кiлькiсть цифр, але не змiню-
ють їх частоту, то їх композицiя також буде змiнювати кiлькiсть
цифр запису, але не змiнюватиме частоту, а отже, (𝑔 ∘ 𝑓) ∈ 𝐻𝑄𝑠
.
2. Операцiя ∘ - асоцiативна (для неперервних функцiй завжди ви-
конується асоцiативнiсть вiдносно їх композицiї).
3. Iснує одиничний(нейтральний) елемент 𝑒(𝑥) = 𝑥: 𝑒∘𝑓 = 𝑓∘𝑒 = 𝑓 .
4. Iснує обернений елемент 𝑓−1(𝑥) – функцiя симетрична до фун-
кцiї 𝑓(𝑥) вiдносно 𝑒(𝑥): 𝑓−1 ∘ 𝑓 = 𝑓 ∘ 𝑓−1 = 𝑒.
5. Не виконується комутативнiсть: 𝑓 ∘ 𝑔 ̸= 𝑔 ∘ 𝑓 . Розглянемо двi
функцiї з множини 𝐻𝑄𝑠
:
𝑓(𝑥) =
{︃
𝛿0(𝑥) при 0 ≤ 𝑥 < 𝑐 = △𝑄𝑠
([𝑠−1]0),
𝜔(𝑥) при 𝑐 ≤ 𝑥 ≤ 1,
(14)
𝑔(𝑥) =
{︃
𝜔2(𝑥) при 0 ≤ 𝑥 < 𝑏 = △𝑄𝑠
(00[𝑠−1]),
𝛿[𝑠−1](𝑥) при 𝑏 ≤ 𝑥 ≤ 1,
(15)
Розглянемо точку 𝑥0 = △𝑄𝑠
[𝑠−1](0) та обчислимо значення функцiй
𝑓(𝑔(𝑥0)) та 𝑔(𝑓(𝑥0)):
𝑓(𝑔(𝑥0) = 𝑓
(︁
𝑔
(︁
△𝑄𝑠
[𝑠−1](0)
)︁)︁
= 𝑓
(︁
△𝑄𝑠
[𝑠−1][𝑠−1](0)
)︁
= △𝑄𝑠
[𝑠−1](0),
𝑔 (𝑓 (𝑥0)) = 𝑔
(︁
𝑓
(︁
△𝑄𝑠
[𝑠−1](0)
)︁)︁
= 𝑔
(︁
△𝑄𝑠
0[𝑠−1](0)
)︁
= △𝑄𝑠
[𝑠−1]0[𝑠−1](0).
200 Осауленко Р. Ю.
отже, 𝑓 (𝑔(𝑥0)) ̸= 𝑔 (𝑓(𝑥0)) ⇒ 𝑓 (𝑔(𝑥)) ̸= 𝑔 (𝑓(𝑥)), що i потрiбно було
довести.
Наслiдок 3.1. Будь-який елемент 𝑓𝑗(𝑥) ̸= 𝑥 з множини 𝐻𝑄𝑛
є
твiрним для нескiнченної циклiчної пiдгрупи групи 𝐺𝐻 вiдносно опе-
рацiї композицiї.
Наслiдок 3.2. На множинi 𝑥 ∈ [0; 1] множина 𝐹𝑄𝑠
функцiй, якi
зберiгають частоти цифр 𝑄𝑠–зображення числа 𝑥 – утворює неа-
белеву групу 𝐺𝐹 вiдносно операцiї композицiї (𝑓
(︀
𝑔(𝑥)
)︀
= 𝑔 ∘ 𝑓).
Залишається вiдкритими питання: чи є група 𝐺𝐻 скiнченнопоро-
дженою i яка потужнiсть множини 𝐻𝑄𝑠
?
4 Приклад функцiї, яка зберiгає частоти, але не
зберiгає хвости зображення 𝑄𝑠-iррацiональних чи-
сел
Розглянемо приклад неперервної функцiї, яка зберiгає частоти цифр,
але не зберiгає хвости зображення 𝑄𝑠-iррацiональних чисел. Для цьо-
го послiдовнiсть допомiжних функцiй 𝑣𝑚 означимо рiвнiстю:
𝑣𝑚(𝑥 =△𝑄𝑠
𝛼1...𝛼𝑚−1𝛼𝑚...)
=
⎧⎨⎩△𝑄𝑠
𝛼1...𝛼𝑚−10𝛼𝑚𝛼𝑚+1...
при 𝜔𝑚−1(𝑥) ≤ △𝑄𝑠
([𝑠−1]0);
△𝑄𝑠
𝛼1...𝛼𝑚−1𝛼𝑚+1... при 𝜔𝑚−1(𝑥) > △𝑄𝑠
([𝑠−1]0).
(16)
Лема 4.1. Функцiя 𝑣𝑚, означена рiвнiстю (16), є неперервною фун-
кцiєю, що зберiгає хвости 𝑄𝑠–зображення чисел.
Доведення. Представимо 𝑣𝑚(𝑥) у iншiй формi:
𝑣𝑚(𝑥) = △𝑄𝑠
𝛼1...𝛼𝑚−1(0)
+ 𝑔
(︀
𝜔𝑚−1(𝑥)
)︀𝑚−1∏︁
𝑘=1
𝑞𝛼𝑘
, (17)
де
𝑔(𝑥) =
⎧⎨⎩ 𝛿0(𝑥) при 0 ≤ 𝑥 ≤ △𝑄𝑠
([𝑠−1]0);
𝜔(𝑥) при △𝑄𝑠
([𝑠−1]0) < 𝑥 ≤ 1.
(18)
Функцiя 𝑔(𝑥) є неперервним перетворенням [0; 1], яке зберiгає хво-
сти 𝑄𝑠–зображення числа.
Група неперервних перетворень вiдрiзка [0;1], якi зберiгають . . . 201
Легко показати, що △𝑄𝑠
𝛼1...𝛼𝑚−1(0)
= 𝑥 − 𝜔𝑚−1(𝑥)
∏︀𝑚−1
𝑘=1 𝑞𝛼𝑘
, тодi
функцiю (17) можна представити у виглядi:
𝑣𝑚(𝑥) = 𝑥+
(︁
𝑔
(︀
𝜔𝑚−1(𝑥)
)︀
− 𝜔𝑚−1(𝑥)
)︁𝑚−1∏︁
𝑘=1
𝑞𝛼𝑘
. (19)
З (19) отримуємо, що 𝑣𝑚(𝑥) є неперервною функцiєю на кожно-
му iнтервалi виду:
(︁
△𝑄𝑠
𝛼1...𝛼𝑚−1(0)
;△𝑄𝑠
𝛼1...𝛼𝑚−1(𝑠−1)
)︁
, оскiльки функцiї
𝜔𝑚−1(𝑥) та
∏︀𝑚−1
𝑘=1 𝑞𝛼𝑘
є неперервними на кожному з вказаних iнтер-
валiв.
Для кожної точки виду 𝑥0 ≡ △𝑄𝑠
𝛼1...𝛼𝑚−1(0)
перевiримо неперерв-
нiсть, для цього достатньо, щоб були рiвними права та лiва границi
функцiї (19), що легко показати, враховуючи, що lim
𝑛→𝑥0+
𝜔𝑚−1(𝑥) = 0,
а lim
𝑛→𝑥0−
𝜔𝑚−1(𝑥) = 1. Забiгаючи наперед, зазначимо справедливiсть
рiвностi 𝑣𝑚(𝑥0) = 𝑥0, що дозволяє досить легко показати той факт,
що функцiя (21) зберiгає хвости зображення 𝑄𝑠-рацiональних чисел.
Виберемо строго зростаючу послiдовнiсть натуральних𝑚𝑗 = 𝑗2+1
та побудуємо послiдовнiсть функцiй
(︁
𝑓𝑗
)︁
:
𝑓𝑗+1(𝑥) = 𝑣𝑚𝑗
(︁
𝑓𝑗(𝑥)
)︁
, 𝑓0(𝑥) = 𝑥. (20)
Основну функцiю 𝑓 означимо рiвнiстю:
𝑓(𝑥) ≡ lim
𝑗→∞
𝑓𝑗(𝑥) (21)
Теорема 4.1. Функцiя 𝑓 , означена рiвнiстю (21), є неперервною
функцiєю, яка зберiгає частоти цифр, але не зберiгає хвости зо-
браження 𝑄𝑠-iррацiональних чисел.
Доведення. Для того, щоб показати, що границя (21) iснує i є непе-
рервною функцiєю, побудуємо ряд:
∞∑︁
𝑛=1
(︁
𝑓𝑛+1(𝑥)− 𝑓𝑛(𝑥)
)︁
(22)
202 Осауленко Р. Ю.
Рис 1. Графiк функцiї, яка задається виразом (21).
та перетворимо його:
∞∑︁
𝑛=1
(︁
𝑓𝑛+1(𝑥)− 𝑓𝑛(𝑥)
)︁
=
∞∑︁
𝑛=1
(︁
𝑣𝑛2+1(𝑓𝑛(𝑥))− 𝑓𝑛(𝑥)
)︁
=
=
∞∑︁
𝑛=1
(︁
𝑓𝑛(𝑥) +
(︁
𝑔
(︁
𝜔𝑛
2
(𝑓𝑛(𝑥))
)︁
− 𝜔𝑛
2
(𝑓𝑛(𝑥))
)︁ 𝑛2∏︁
𝑘=1
𝑞𝛼𝑘
− 𝑓𝑛(𝑥)
)︁
=
=
∞∑︁
𝑛=1
(︁
𝑔
(︁
𝜔𝑛
2
(𝑓𝑛(𝑥))
)︁
− 𝜔𝑛
2
(𝑓𝑛(𝑥))
)︁ 𝑛2∏︁
𝑘=1
𝑞𝛼𝑘
.
(23)
Оскiльки
⃒⃒⃒
𝑔
(︁
𝜔𝑛
2
(𝑓𝑛(𝑥))
)︁
− 𝜔𝑛
2
(𝑓𝑛(𝑥))
⃒⃒⃒
≤ 1, то
∞∑︁
𝑛=1
⃒⃒⃒(︁
𝑓𝑛+1(𝑥)− 𝑓𝑛(𝑥)
)︁⃒⃒⃒
≤
∞∑︁
𝑛=1
𝑛2∏︁
𝑘=1
𝑞𝛼𝑘
≤
∞∑︁
𝑛=1
𝑛2∏︁
𝑘=1
𝑞 =
∞∑︁
𝑛=1
𝑞𝑛
2
, (24)
де 𝑞 = max
𝑡∈𝐴𝑠
𝑞𝑡.
Ми отримали, що ряд (22) є абсолютно збiжним. Добре вiдомо,
що коли члени функцiонального ряду за модулем не перевищують
вiдповiдних членiв збiжного додатного числового ряду, то такий ряд
рiвномiрно збiжний (ознака Вейєрштрасса), тому ряд (22) – рiвномiр-
но збiжний, i оскiльки всi члени ряду (22) є неперервними функцiями,
то його сума – неперервна функцiя. Легко показати, що
𝑓1(𝑥) +
∞∑︁
𝑛=1
(︁
𝑓𝑛+1(𝑥)− 𝑓𝑛(𝑥)
)︁
= lim
𝑘→∞
𝑓𝑘+1(𝑥) = 𝑓(𝑥). (25)
Група неперервних перетворень вiдрiзка [0;1], якi зберiгають . . . 203
Покажемо, що функцiя (21) зберiгає частоти. Нехай Ψ(𝑓(𝑥), 𝑛) –
функцiя, яка пiдраховує, скiльки цифр було вставлено або вилучено
серед перших 𝑛 цифр запису числа x. При 𝑚𝑗 = 𝑗2 + 1 маємо:
𝜈𝑖(𝑓(𝑥)) = lim
𝑛→∞
𝑛−1 (𝑁𝑖(𝑥)−Θ(𝑥, 𝑛)) = lim
𝑛→∞
𝑛−1𝑁𝑖(𝑥) = 𝜈𝑖(𝑥), (26)
де |Θ(𝑥, 𝑛)| ≤ Ψ(𝑓(𝑥), 𝑛), lim
𝑛→∞
𝑛−1Ψ(𝑓(𝑥), 𝑛) = 0.
Для всiх 𝑄𝑠-iррацiональних чисел 𝑥 очевидно, що значення 𝜔𝑚(𝑥),
𝑚 ∈ 𝑍, також буде 𝑄𝑠-iррацiональним числом, а раз так, то воно буде
мiститись в iнтервалi
(︁
△𝑄𝑠
𝛼1...𝛼𝑚(0);△
𝑄𝑠
𝛼1...𝛼𝑚(𝑠−1)
)︁
. Згiдно з побудовою
функцiї (21), маємо, що на нескiнченнiй кiлькостi мiсць цифр запису
числа 𝑥 вiдбудуться змiни, а тому хвости не збережуться.
З доведення теореми 4.1 випливає справедливiсть твердження:
⃒⃒⃒
𝑓(𝑥)− 𝑓𝑗(𝑥)
⃒⃒⃒
≤
∞∑︁
𝑛=𝑗
𝑛2∏︁
𝑘=1
𝑞𝛼𝑘
≤
∞∑︁
𝑛=𝑗
𝑞𝑛
2
, (27)
де 𝑞 = max
𝜏=0,𝑠−1
𝑞𝜏 , що, є оцiнкою наближення 𝑓(𝑥) функцiєю 𝑓𝑗(𝑥).
На завершення статтi автор висловлює вдячнiсть М.В. Працьови-
тому за допомогу в написаннi статтi.
[1] Працевитый Н. В. Случайные величины с независимыми 𝑄2-
символами // Асимптотические методы в исследовании стохастиче-
ских моделей. – К.: Ин-т математики АН УССР, 1987. – C. 92-102.
[2] Працьовитий М. В. Фрактальний пiдхiд у дослiдженнях сингулярних
розподiлiв. – К.: Вид-но НПУ iм. М. П. Драгоманова, 1998. – 296 с.
[3] Працьовитий М. В. Полiосновне 𝑄̃-представлення i фрактальнi ма-
тематичнi об’єкти з ним пов’язанi// Фрактальний аналiз та сумiжнi
питання. – К.: IМ НАН України – НПУ iм. Драгоманова. – 1998. – №2.
– C. 14-35.
[4] Pratsiovytyi M. Random variables determined by polybasic 𝑄-
representation digits distributions and their fractal properties // Voronoi
Conference on Analytic Number Theory and Space Tilings: Abstract. –
Kyiv: Institute of Mathematics of NAS of Ukraine, 1998. – P. 48-50.
[5] Замрiй I. В. Сингулярнiсть iнверсора цифр 𝑄3-зображення дробової
частини дiйсного числа, його фрактальнi та iнтегральнi властивостi/
Замрiй I. В., Працьовитий М. В. // Нелiнiйнi коливання (ISSN 1562-
3076)/ – 18, 1. – Iнститут математики НАН України. – 2015. – С. 55-70.
204 Осауленко Р. Ю.
[6] Замрiй I. В. Неперервнi функцiї, якi зберiгають цифру 1 в 𝑄3-
зображенi числа/ Працьовитий М. В., Замрiй I. В. // Буковинський
математичний журнал – Чернiвцi: Чернiвецький нацiональний унiвер-
ситет, 2015. – 3, 3-4. – С. 142-159.
[7] Pratsovytyi M., Makarchuk O., Skrypnyc S. Rational and algebraic
𝑄2-representations of real numbers // Siauliai Math. Sem. – 2015. –
Vol.10(18). – P. 199-211.
[8] Працьовитий М. В., Фещенко О. Ю. Математичнi моделi двосторон-
нiх динамiчних конфлiктiв i 𝑄-представлення чисел // Наук. записки
НПУ iм. М.П. Драгоманова. Фiз.-мат. науки. – 2003. – №4. – С. 260-269.
[9] Працьовитий М. В., Климчук С. О., Макарчук О. П. Перетворення
i функцiї, якi зберiгають середнє значення цифр трiйкового зображе-
ння числа // Науковий часопис НПУ iм. М. П. Драгоманова. Серiя
1 : Фiз.-мат. науки. – 2013. – № 15. – С. 87-99. – Режим доступу:
http://nbuv.gov.ua/UJRN/Nchnpu_01_2013_15_9 .
[10] Працьовитий М.В., Климчук С.О., Макарчук О.П. Частота цифри у
зображеннi числа i його асимптотичне середнє значення цифр // Укр.
мат. журн. – 2014. – No 3. – С. 302–310.
1. Луковський І.О., Гаврилюк І.О., Василик В.Б., Ситник Д.О.
2. Біленко В. І., Божонок К. В., Дзядик С. Ю., Стеля О. Б.
Інтегро–апроксимаційний алгоритм
Вступ
Постановка задачі
Алгоритм
Похибка алгоритму
Застосування a–методу для алгебраїчно–нелінійних рівнянь гіперболічного типу
Задача Дирихле для алгебраїчно–нелінійних рівнянь еліптичного типу на прямокутнику
Наближений розв'язок початкової задачі для алгебраїчно–нелінійних рівнянь параболічного типу на прямокутнику
Сплайн–алгоритм
Монотонна схема для рівняння конвекції–дифузії
Висновки
3. Василик В.Б., Макаров В.Л., Ситник Д.О.
Вступ
Регуляризація та явне зображення розв'язку
Вибір контуру інтегрування
Чисельний метод
4. Веселовська Г.М.
5. Грушковская В.В.
Введение
Построение модельной системы
Условия устойчивости
Оценка скорости убывания решений
Пример: оценка скорости затухания колебаний маятниковой системы с частичной диссипацией
Выводы
6. Дзюбенко Г.А.
Вступ
Допоміжні факти
Доведення Теореми ??
7. Діденко Ю.Ф., Денисенко В.І.
8. Елишевич М.А.
Постановка задачи
Полученный результат
Пример
9. Константинов А.В., Лимарченко О.С., Кинебас К.В., Паранькина О.Ю.
Введение
Объект исследования и математическая модель
Результаты вычислительных экспериментов
Выводы
10. Мазко О.Г., Кусій С.М.
Вступ
Допоміжні твердження
Лінійні системи з керованими і спостережуваними виходами
Статичний регулятор по вимірюваному виходу
Динамічний регулятор
Алгоритм побудови динамічного регулятора
Приклад. Гасіння коливань лінійного осцилятора.
Висновок
11. Працьовитий М. В., Маслова Ю. П.
Вступ
Функція Радемахера і ряди Уолша
Узагальнення функцій Радемахера
Узагальнення функцій Уолша
12. Працьовитий М.В., Чуйков А.С.
Вступ
Оператори лівостороннього та правостороннього зсуву елементів ланцюгового дробу
Інші функції, пов'язані з оператором T(x)
13. Новицький В.В., Зінчук М.О., Коломійчук О.П., Тетерятник О.В.
Вступ
Оптимальне керування лінійними неперервними майже консервативними системами
Оптимальне керування лінійними дискретними майже консервативними системами
14. Осауленко Р. Ю.
Вступ
Перетворення, які зберігають хвости Qs–зображення чисел
Група перетворень, які зберігають частоти цифр Qs–зображення числа
Приклад функції, яка зберігає частоти, але не зберігає хвости зображення Qs-ірраціональних чисел
15. Слинько В.І., Кравчук С.В.
Постановка задачі.
Основний результат.
Умови стійкості
16. Солодун А. В.
Постановка задачи
Численные результаты
17. Ситник Д.О.
Вступ
Sinc–апроксимація
Sinc-апроксимація функції за її значеннями поза інтерполяційною сіткою
18. Сосницький С.П.
Вступ
Про рівняння збуреного руху в околі стаціонарних лагранжевих трикутників
Теорема про орбітальну нестійкість лагранжевих стаціонарних рухів у задачі трьох тіл
Висновок
19. Сосницький С.П.
Вступ
Про достатні умови відсутності осцилюючих симетричних рухів
20. Чернецька Л.О.
21. Timokha A.N.
Statement
Asymptotic steady-state solutions of (??)–(??)
The reciprocating excitation type
The axisymmetric elliptic excitation type
The oblique elliptic excitation type
Conclusions
22. Shlepakov L.N.
Main relationships for a non-inflated system
Construction of enlarged systems
Defining the task mathematical programming
Case of multiple channels with same probability characteristics in the same system of channels.
23. Shidlich A.L.
Approximative characteristics
Main results
Order estimates for some functionals and their applications
Proof of Theorems ?? and ??.
24. Луковський І.О., Стороженко В.О.
25. Луковський І.О., Пустовойтов М.О.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-53 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:01:39Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/e2/4faeb2a089dca7516c55291ab4e1cae2.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-532018-02-13T11:57:10Z A group of continuous transformations of a region $[0; 1]$ that preserve the frequency of the digits in $Q_s$-representation of a number Группа непрерывных преобразований отрезка $[0;1]$, которые сохраняют частоту цифр $Q_s$–изображений числа Група неперервних перетворень вiдрiзка $[0;1]$, якi зберiгають частоти цифр $Q_s$–зображення числа Osaulenko, R. Yu. Осауленко, Р. Ю. Осауленко, Р. Ю. In the paper, we propose to solve the problem of construction a set of a continuous transformation of the segment $[0;1]$, which keeps the figure frequency of a $????_????$ real number representation for any natural $???? &gt;1$. The group properties of that set are studied in the article. Sets of functions which keeps figure frequency and functions which keepping tails of the $????_????$ number representation are presented in the paper. В работе предлагается решение задачи о построении множества непрерывных преобразований отрезка $[0;1]$, которые сохраняют частоты цифр $????_????$ -изображения числа для произвольного натурального $????&gt;1$. Изучаются групповые свойства множеств функций, которые сохраняют хвосты, и функций, которые сохраняют частоты цифр $????_????$&nbsp; - изображения числа. Представлено пример функции, которая сохраняет частоты, но не сохраняет хвосты $????_????$ - изображения чисел. У роботі пропонується розвязок задачі про побудову безлічі неперервних перетворень відрізка $[0;1]$, які зберігають частоти цифр $????_????$ - зображення числа для довільного натурального $????&gt;1$. Вивчаються групові властивості множин функцій, які зберігають хвости, і функцій, які зберігають частоти цифр $????_????$ - зображення числа. Представлено приклад функції, яка зберігає частоти, але не зберігає хвости $????_????$ - зображення чисел. Інститут математики НАН України 2017-12-22 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/53 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 13 No. 3 (2016): Mathematical problems of mechanics and computational mathematics; 191-204 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 13 № 3 (2016): Математичні проблеми механіки та обчислювальної математики; 191-204 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 13 № 3 (2016): Математичні проблеми механіки та обчислювальної математики; 191-204 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/53/48 Авторське право (c) 2016 Праці Інституту математики НАН України |
| spellingShingle | Osaulenko, R. Yu. Осауленко, Р. Ю. Осауленко, Р. Ю. A group of continuous transformations of a region $[0; 1]$ that preserve the frequency of the digits in $Q_s$-representation of a number |
| title | A group of continuous transformations of a region $[0; 1]$ that preserve the frequency of the digits in $Q_s$-representation of a number |
| title_alt | Группа непрерывных преобразований отрезка $[0;1]$, которые сохраняют частоту цифр $Q_s$–изображений числа Група неперервних перетворень вiдрiзка $[0;1]$, якi зберiгають частоти цифр $Q_s$–зображення числа |
| title_full | A group of continuous transformations of a region $[0; 1]$ that preserve the frequency of the digits in $Q_s$-representation of a number |
| title_fullStr | A group of continuous transformations of a region $[0; 1]$ that preserve the frequency of the digits in $Q_s$-representation of a number |
| title_full_unstemmed | A group of continuous transformations of a region $[0; 1]$ that preserve the frequency of the digits in $Q_s$-representation of a number |
| title_short | A group of continuous transformations of a region $[0; 1]$ that preserve the frequency of the digits in $Q_s$-representation of a number |
| title_sort | group of continuous transformations of a region $[0; 1]$ that preserve the frequency of the digits in $q_s$-representation of a number |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/53 |
| work_keys_str_mv | AT osaulenkoryu agroupofcontinuoustransformationsofaregion01thatpreservethefrequencyofthedigitsinqsrepresentationofanumber AT osaulenkorû agroupofcontinuoustransformationsofaregion01thatpreservethefrequencyofthedigitsinqsrepresentationofanumber AT osaulenkorû agroupofcontinuoustransformationsofaregion01thatpreservethefrequencyofthedigitsinqsrepresentationofanumber AT osaulenkoryu gruppanepreryvnyhpreobrazovanijotrezka01kotoryesohranâûtčastotucifrqsizobraženijčisla AT osaulenkorû gruppanepreryvnyhpreobrazovanijotrezka01kotoryesohranâûtčastotucifrqsizobraženijčisla AT osaulenkorû gruppanepreryvnyhpreobrazovanijotrezka01kotoryesohranâûtčastotucifrqsizobraženijčisla AT osaulenkoryu grupaneperervnihperetvorenʹvidrizka01âkizberigaûtʹčastoticifrqszobražennâčisla AT osaulenkorû grupaneperervnihperetvorenʹvidrizka01âkizberigaûtʹčastoticifrqszobražennâčisla AT osaulenkorû grupaneperervnihperetvorenʹvidrizka01âkizberigaûtʹčastoticifrqszobražennâčisla AT osaulenkoryu groupofcontinuoustransformationsofaregion01thatpreservethefrequencyofthedigitsinqsrepresentationofanumber AT osaulenkorû groupofcontinuoustransformationsofaregion01thatpreservethefrequencyofthedigitsinqsrepresentationofanumber AT osaulenkorû groupofcontinuoustransformationsofaregion01thatpreservethefrequencyofthedigitsinqsrepresentationofanumber |