On the asymptotic behavior at infinity of ring and lower Q-homeomorphisms with respect to the p-modulus
In the paper the asymptotic behavior at infinity of ring Q-homeomorphisms with respect to the p-modulus as p≥n and lower Q-homeomorphisms with respect to the p-modulus as n−1<p≤n in the space Rn, n≥2, has been investigated.
Gespeichert in:
| Datum: | 2025 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2025
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/542 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872553048050499584 |
|---|---|
| author | Klishchuk, Bogdan Salimov, Ruslan Stefanchuk, Mariia Кліщук, Богдан Салімов, Руслан Стефанчук, Марія |
| author_facet | Klishchuk, Bogdan Salimov, Ruslan Stefanchuk, Mariia Кліщук, Богдан Салімов, Руслан Стефанчук, Марія |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Богдан Кліщук",
"institution": "Інститут математики НАН України"
},
{
"author": "Руслан Салімов",
"institution": "Інститут математики НАН України"
},
{
"author": "Марія Стефанчук",
"institution": "Інститут математики НАН України"
}
] |
| author_sort | Klishchuk, Bogdan |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2026-02-24T12:22:41Z |
| description | In the paper the asymptotic behavior at infinity of ring Q-homeomorphisms with respect to the p-modulus as p≥n and lower Q-homeomorphisms with respect to the p-modulus as n−1<p≤n in the space Rn, n≥2, has been investigated. |
| doi_str_mv | 10.3842/trim.v21n1.542 |
| first_indexed | 2026-08-04T01:09:08Z |
| format | Article |
| fulltext |
Çáiðíèê ïðàöü Ií-òó ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè (2024) ò. 21, �1, 82�101
Ïðî àñèìïòîòè÷íó ïîâåäiíêó íà
íåñêií÷åííîñòi êiëüöåâèõ òà íèæíiõ
Q-ãîìåîìîðôiçìiâ âiäíîñíî p-ìîäóëÿ
Á. À. Êëiùóê, Ð. Ð. Ñàëiìîâ, Ì. Â. Ñòåôàí÷óê
Abstract. In the paper the asymptotic behavior at in�nity of ring Q-
homeomorphisms with respect to the p-modulus as p ě n and lower Q-
homeomorphisms with respect to the p-modulus as n ´ 1 ă p ď n in the
space Rn, n ě 2, has been investigated.
Àíîòàöiÿ. Ó ñòàòòi äîñëiäæó¹òüñÿ àñèìïòîòè÷íà ïîâåäiíêà íà íåñêií-
÷åííîñòi êiëüöåâèõ Q-ãîìåîìîðôiçìiâ âiäíîñíî p-ìîäóëÿ ïðè p ě n òà
íèæíiõ Q-ãîìåîìîðôiçìiâ âiäíîñíî p-ìîäóëÿ ïðè n ´ 1 ă p ď n ó ïðî-
ñòîði Rn, n ě 2.
1. Âñòóï
Íàãàäà¹ìî äåÿêi îçíà÷åííÿ, äèâ. [50]. Íåõàé çàäàíî ñiì'þ Γ êðèâèõ
γ ó ïðîñòîði Rn, n ě 2. Áîðåëåâó ôóíêöiþ ρ : Rn Ñ r0,8s íàçèâàþòü
äîïóñòèìîþ äëÿ Γ (ïèøóòü ρ P admΓ), ÿêùî
ż
γ
ρpxq ds ě 1
äëÿ êîæíî¨ (ëîêàëüíî ñïðÿìëþâàíî¨) êðèâî¨ γ P Γ.
Íåõàé p P p1,8q. Òîäi p-ìîäóëåì ñiì'¨ Γ íàçèâà¹òüñÿ âåëè÷èíà
MppΓq “ inf
ρPadmΓ
ż
Rn
ρppxq dmpxq ,
äå dmpxq ïîçíà÷๠ìiðó Ëåáåãà â Rn.
Íåõàé D � îáëàñòü â Rn, n ě 2, x0 P D òà d0 “ distpx0, BDq. Äëÿ
äîâiëüíèõ ìíîæèí E, F i G ïðîñòîðó Rn ïîçíà÷èìî ÷åðåç ∆pE,F,Gq
Ðîáîòà áóëà ïiäòðèìàíà ãðàíòîì Simons Foundation (1290607, Á.À.Ê., Ð.Ð.Ñ.,
Ì.Â.Ñ.).
2020 Mathematics Subject Classi�cation: 30C65
Êëþ÷îâi ñëîâà: p-ìîäóëü ñiì'¨ êðèâèõ, p-ìîäóëü ñiì'¨ ïîâåðõîíü, êiëüöåâi Q-
ãîìåîìîðôiçìè âiäíîñíî p-ìîäóëÿ, íèæíi Q-ãîìåîìîðôiçìè âiäíîñíî p-ìîäóëÿ
DOI : https://doi.org/10.3842/trim.v21n1.542
82
Ïîâåäiíêà íà íåñêií÷åííîñòi êiëüöåâèõ òà íèæíiõ Q-ãîìåîìîðôiçìiâ 83
ñiì'þ âñiõ íåïåðåðâíèõ êðèâèõ γ : ra, bs Ñ Rn, ÿêi ç'¹äíóþòü E i F ó G,
òîáòî γpaq P E, γpbq P F i γptq P G ïðè a ă t ă b. Ïîêëàäåìî
Apx0, r1, r2q “ tx P Rn : r1 ă |x´ x0| ă r2u ,
Si “ Spx0, riq “ tx P Rn : |x´ x0| “ riu , i “ 1, 2 .
Íåõàé Q : D Ñ r0,8s � âèìiðíà ôóíêöiÿ. Íàãàäà¹ìî, ùî ãîìåîìîð-
ôiçì f : D Ñ Rn íàçèâà¹òüñÿ Q-ãîìåîìîðôiçìîì âiäíîñíî p-ìîäóëÿ,
ÿêùî íåðiâíiñòü
MppfΓq ď
ż
D
Qpxq ρppxq dmpxq (1.1)
âèêîíó¹òüñÿ äëÿ äîâiëüíî¨ ñiì'¨ Γ êðèâèõ â îáëàñòi D òà äîâiëüíî¨ äîïó-
ñòèìî¨ ôóíêöi¨ ρ äëÿ Γ.
Öå îçíà÷åííÿ ¹ ïðèðîäíèì óçàãàëüíåííÿì ãåîìåòðè÷íîãî îçíà÷åí-
íÿ êâàçiêîíôîðìíîãî âiäîáðàæåííÿ: ÿêùî Qpxq ď K ă 8 ì.ñ. (ìàéæå
ñêðiçü), òî f ¹ êâàçiêîíôîðìíèì äëÿ p “ 2 íà êîìïëåêñíié ïëîùèíi C
(äèâ. îçíà÷åííÿ A, ñ. 21�22 ó [1]), äëÿ p “ n ó ïðîñòîði Rn, n ě 2,
(äèâ. 13.1 òà 34.6 ó [50]), ì๠âëàñòèâiñòü ëîêàëüíî¨ ëiïøèöåâîñòi äëÿ
n ´ 1 ă p ă n òà f´1 ¹ ëiïøèöåâèì äëÿ p ą n, ïðè÷îìó ìåæi äëÿ
p ¹ òî÷íèìè (äèâ. [7]). Çàóâàæèìî, ùî îöiíêà òèïó (1.1) âïåðøå áóëà
âñòàíîâëåíà ó êëàñè÷íié êâàçiêîíôîðìíié òåîði¨ (äèâ. [20], ñ. 221). Äàëi
öå áóëî îòðèìàíî ó [2], ëåìà 2.1, äëÿ êâàçiêîíôîðìíèõ âiäîáðàæåíü ó
ïðîñòîði Rn, n ě 2. Êëàñ Q-ãîìåîìîðôiçìiâ âiäíîñíî n-ìîäóëÿ âïåðøå
áóëî ðîçãëÿíóòî ó ðîáîòàõ [22, 23], äèâ. òàêîæ ìîíîãðàôiþ [24]. Ãîëîâ-
íîþ ìåòîþ òåîði¨ Q-ãîìåîìîðôiçìiâ ¹ âñòàíîâëåííÿ ðiçíîìàíiòíèõ âçà¹-
ìîçâ'ÿçêiâ ìiæ âëàñòèâîñòÿìè ìàæîðàíòè Qpxq òà âiäïîâiäíèìè âëàñòè-
âîñòÿìè ñàìèõ âiäîáðàæåíü. Çîêðåìà, çàäà÷i ïðî ëîêàëüíó òà ìåæîâó
ïîâåäiíêó Q-ãîìåîìîðôiçìiâ áóëè äîñëiäæåíi ó ïðîñòîði Rn ñïî÷àòêó
äëÿ âèïàäêó Q P BMO (îáìåæåíîãî ñåðåäíüîãî êîëèâàííÿ) ó ðîáî-
òàõ [22, 23], à ïîòiì äëÿ âèïàäêó Q P FMO (ñêií÷åííîãî ñåðåäíüîãî
êîëèâàííÿ) òà äëÿ iíøèõ âèïàäêiâ ó ðîáîòàõ [33,54,55].
Íàñòóïíå îçíà÷åííÿ óçàãàëüíþ¹ òà ëîêàëiçó¹ îçíà÷åííÿ Q-ãîìåîìîð-
ôiçìó. Âîíî çóìîâëåíå êiëüöåâèì îçíà÷åííÿì êâàçiêîíîôîðìíèõ âiäî-
áðàæåíü çà Ãåðiíãîì (äèâ. [6]), ñïî÷àòêó ââåäåíå Â. Ðÿçàíîâèì, Ó. Ñð¹-
áðî òà Å. ßêóáîâèì íà ïëîùèíi (äèâ. [27�32]) òà ïiçíiøå óçàãàëüíåíå
Â. Ðÿçàíîâèì i �. Ñåâîñòüÿíîâèì ó ïðîñòîði Rn , n ě 2, (äèâ. [24], ðîç-
äiëè VII, XI).
Íåõàé Q : D Ñ r0,8s � âèìiðíà çà Ëåáåãîì ôóíêöiÿ. Ãîìåîìîð-
ôiçì f : D Ñ Rn íàçèâà¹òüñÿ êiëüöåâèì Q-ãîìåîìîðôiçìîì âiäíîñíî
84 Á. À. Êëiùóê, Ð. Ð. Ñàëiìîâ, Ì. Â. Ñòåôàí÷óê
p-ìîäóëÿ â òî÷öi x0 P D, ÿêùî ñïiââiäíîøåííÿ
Mpp∆pfS1, fS2, fDqq ď
ż
A
Qpxq ηpp|x´ x0|q dmpxq (1.2)
âèêîíó¹òüñÿ äëÿ áóäü-ÿêîãî êiëüöÿ A “ Apx0, r1, r2q , 0 ă r1 ă r2 ă d0,
d0 “ distpx0, BDq, i äëÿ êîæíî¨ âèìiðíî¨ ôóíêöi¨ η : pr1, r2q Ñ r0,8s
òàêî¨, ùî
r2ż
r1
ηprq dr “ 1 .
Ãîìåîìîðôiçì f : D Ñ Rn íàçèâàþòü êiëüöåâèì Q-ãîìåîìîðôiçìîì
âiäíîñíî p-ìîäóëÿ â îáëàñòi D, ÿêùî óìîâà (1.2) âèêîíó¹òüñÿ äëÿ áóäü-
ÿêî¨ òî÷êè x0 P D . Êiëüöåâi Q-ãîìåîìîðôiçìè âiäíîñíî p-ìîäóëÿ ïðè
p “ n íàçèâàþòü êiëüöåâèìè Q-ãîìåîìîðôiçìàìè (ó òî÷öi x0 P D ÷è â
îáëàñòi D).
Òåîðiÿ êiëüöåâèõ Q-ãîìåîìîðôiçìiâ âiäíîñíî p-ìîäóëÿ ó ïðîñòîði Rn
ïðè p “ n äîñëiäæóâàëàñü ó ðîáîòàõ [24, 29, 44], ïðè 1 ă p ă n äèâ.
[8,11,13,35,36] òà ïðè p ą n äèâ. [19,25,37�42,48,49,66]. Áiëüø çàãàëüíi
êëàñè âiäîáðàæåíü äîñëiäæóâàëèñü ó [3�5,14�17,43,46,47].
Íåõàé ωn´1 � ïëîùà îäèíè÷íî¨ ñôåðè Sn´1 “ tx P Rn : |x| “ 1u â Rn
òà
qx0prq “ 1
ωn´1 rn´1
ż
Spx0,rq
Qpxq dA
ñåðåäí¹ iíòåãðàëüíå çíà÷åííÿ ïî ñôåði Spx0, rq “ tx P Rn : |x´x0| “ ru,
òóò dA � åëåìåíò ïëîùi ïîâåðõíi.
Íèæ÷å íàâåäåíî êðèòåðié íàëåæíîñòi ãîìåîìîðôiçìiâ êëàñó êiëüöå-
âèõQ-ãîìåîìîðôiçìiâ âiäíîñíî p-ìîäóëÿ ïðè p ą 1 ó ïðîñòîði Rn, n ě 2,
äèâ. òåîðåìó 3.1 ó [57].
Òâåðäæåííÿ 1.1 ([57]). Íåõàé D � îáëàñòü â Rn, x0 P D òà
Q : D Ñ r0,8s � âèìiðíà çà Ëåáåãîì ôóíêöiÿ òàêà, ùî ñåðåäí¹ ií-
òåãðàëüíå çíà÷åííÿ qx0prq ñêií÷åííå äëÿ ì.â. (ìàéæå âñiõ) r P p0, d0q,
d0 “ distpx0, BDq. Ãîìåîìîðôiçì f : D Ñ Rn ¹ êiëüöåâèì Q-ãîìåîìîð-
ôiçìîì ó òî÷öi x0 òîäi i òiëüêè òîäi, êîëè äëÿ áóäü-ÿêèõ r1, r2 òàêèõ,
ùî 0 ă r1 ă r2 ă d0,
Mp p∆pfS1, fS2; fDqq ď ωn´1˜
r2ş
r1
dr
r
n´1
p´1 q
1
p´1
x0
prq
¸p´1 ,
äå S1 òà S2 � ñôåðè Spx0, r1q i Spx0, r2q.
Ïîâåäiíêà íà íåñêií÷åííîñòi êiëüöåâèõ òà íèæíiõ Q-ãîìåîìîðôiçìiâ 85
Âåëüìè êîðèñíèì iíñòðóìåíòîì ïðè äîñëiäæåííi ïëîñêèõ òà ïðîñòî-
ðîâèõ âiäîáðàæåíü âèÿâèëèñÿ òàêîæ òàê çâàíi íèæíi Q-ãîìåîìîðôiçìè
âiäíîñíî p-ìîäóëÿ, ùî áóëè âïåðøå ââåäåíi i âèâ÷àëèñÿ ïðè p “ n ó
ðîáîòi Ä. Êîâòîíþêà i Â. Ðÿçàíîâà, äèâ. [56] àáî ðîçä. 9 ó ìîíîãðàôi¨
[24] òà ïðè p ‰ n ó ðîáîòi [10]. �õ îçíà÷åííÿ òàêîæ íîñèòü ãåîìåòðè-
÷íèé õàðàêòåð i ìîòèâîâàíî êiëüöåâèì îçíà÷åííÿì Ãåðiíãà äëÿ êâàçi-
êîíôîðìíèõ âiäîáðàæåíü.
Äàëi íàãàäà¹ìî, ùî pn ´ 1q-âèìiðíîþ ïîâåðõíåþ S â Rn íàçèâàþòü
äîâiëüíå íåïåðåðâíå âiäîáðàæåííÿ S : ω Ñ Rn, äå ω � âiäêðèòà ìíîæèíà
â Rn´1
:“ Rn´1 Y t8u. Ôóíêöi¹þ êðàòíîñòi ïîâåðõíi S íàçèâà¹òüñÿ
÷èñëî ïðîîáðàçiâ åëåìåíòà y P Rn:
NpS, yq “ cardS ´1pyq “ card tx P ω : Spxq “ yu .
Äëÿ áîðåëåâî¨ ôóíêöi¨ ρ : Rn Ñ r0,8s iíòåãðàë ïî ïîâåðõíi S âèçíà÷à-
¹òüñÿ ðiâíiñòþ
ż
S
ρ dA :“
ż
Rn
ρpyqNpS, yq dHn´1pyq ,
äå ÷åðåç Hn´1 ïîçíà÷åíî pn ´ 1q-âèìiðíó ìiðó Õàóñäîðôà â Rn, n ě 2.
Íàäàëi ïîêëàäåìî dA :“ dAn´1.
Áîðåëåâó ôóíêöiþ ρ : Rn Ñ r0,8s íàçèâàþòü äîïóñòèìîþ äëÿ ñiì'¨
Γ pn´ 1q-âèìiðíèõ ïîâåðõîíü i ïèøóòü ρ P admΓ, ÿêùî
ż
S
ρn´1 dA ě 1 (1.3)
äëÿ êîæíî¨ ïîâåðõíi S P Γ. Òîäi p-ìîäóëåì ñiì'¨ Γ ïðè p ą 1 íàçèâàþòü
âåëè÷èíó
MppΓq “ inf
ρPadmΓ
ż
Rn
ρppxq dmpxq .
Êàæóòü, ùî äåÿêà âëàñòèâiñòü âèêîíó¹òüñÿ äëÿ p-ìàéæå âñiõ pn´1q-
âèìiðíèõ ïîâåðõîíü ñiì'¨ Γ, ÿêùî ïiäñiì'ÿ ïîâåðõîíü ñiì'¨ Γ, äëÿ ÿêèõ
öÿ âëàñòèâiñòü ïîðóøó¹òüñÿ, ì๠p-ìîäóëü íóëü.
Âèìiðíó çà Ëåáåãîì ôóíêöiþ ρ : Rn Ñ r0,8s íàçèâàþòü óçàãàëüíåíî
p-äîïóñòèìîþ äëÿ ñiì'¨ Γ, ùî ñêëàäà¹òüñÿ iç pn´1q-âèìiðíèõ ïîâåðõîíü
â Rn, i ïèøóòü ρ P extp admΓ, ÿêùî íåðiâíiñòü (1.3) âèêîíó¹òüñÿ äëÿ p-
ìàéæå âñiõ S P Γ.
86 Á. À. Êëiùóê, Ð. Ð. Ñàëiìîâ, Ì. Â. Ñòåôàí÷óê
Íåõàé D � îáëàñòü â Rn, n ě 2, Q : D Ñ p0,8q � âèìiðíà çà Ëåáå-
ãîì ôóíêöiÿ. Ãîìåîìîðôiçì f : D Ñ Rn íàçèâàþòü íèæíiì Q-ãîìåî-
ìîðôiçìîì âiäíîñíî p-ìîäóëÿ ó òî÷öi x0 P D, ÿêùî
Mp pfΣAq ě inf
ρPextp admΣA
ż
A
ρppxq
Qpxq dmpxq (1.4)
äëÿ êîæíîãî êiëüöÿ A “ Apx0, ε1, ε2q, 0 ă ε1 ď ε2 ă d0, äå ΣA � ñiì'ÿ
âñiõ ñôåð Spx0, rq, r P pε1, ε2q .
Ãîìåîìîðôiçì f : D Ñ Rn íàçèâàþòü íèæíiì Q-ãîìåîìîðôiçìîì
âiäíîñíî p-ìîäóëÿ â îáëàñòi D, ÿêùî óìîâà (1.4) âèêîíó¹òüñÿ äëÿ áóäü-
ÿêî¨ òî÷êè x0 P D . Íèæíi Q-ãîìåîìîðôiçìè âiäíîñíî p-ìîäóëÿ ïðè
p “ n íàçèâàþòü íèæíiìè Q-ãîìåîìîðôiçìàìè (ó òî÷öi x0 P D ÷è â
îáëàñòi D).
Òåîðiÿ íèæíiõ Q-ãîìåîìîðôiçìiâ âiäíîñíî p-ìîäóëÿ ó ïðîñòîði Rn,
n ě 2, ïðè p “ n äîñëiäæóâàëàñü ó ðîáîòàõ [24, 56], ïðè p ą n ´ 1
äèâ. [10], ïðè p ą n äèâ. [62, 65], à òàêîæ íà êîìïëåêñíié ïëîùèíi ïðè
1 ă p ă 2 äèâ. [68].
Îñòàííiì ÷àñîì íèæíi i êiëüöåâi Q-ãîìåîìîðôiçìè çíàéøëè âàæëèâi
çàñòîñóâàííÿ, ÿê â òåîði¨ êðàéîâèõ çàäà÷ äëÿ ðiâíÿíü Áåëüòðàìi íà ïëî-
ùèíi, òàê i â òåîði¨ ïðîñòîðîâèõ ãîìåîìîðôiçìiâ êëàñiâ Ñîáîë¹âà i áiëüø
çàãàëüíèõ êëàñiâ Îðëi÷à-Ñîáîë¹âà, äèâ. [18,26,34,51�53,59�61,63,64]. Òà-
êîæ òåîðiÿ íèæíiõ òà êiëüöåâèõ Q-ãîìåîìîðôiçìiâ âiäíîñíî p-ìîäóëÿ
ìîæå áóòè çàñòîñîâàíà äî âiäîáðàæåíü êâàçiêîíôîðìíèõ â ñåðåäíüîìó
(äèâ. [9, 58]).
Íà êîìïëåêñíié ïëîùèíi òåîðiÿ êiëüöåâèõ Q-ãîìåîìîðôiçìiâ âiäíîñ-
íî p-ìîäóëÿ âèêîðèñòîâó¹òüñÿ ïðè âèâ÷åííi àñèìïòîòè÷íèõ âëàñòèâî-
ñòåé ðåãóëÿðíèõ ðîçâ'ÿçêiâ íåëiíiéíèõ ðiâíÿíü Áåëüòðàìi (äèâ. [12,45]).
Òàêîæ òåîðiÿ êiëüöåâèõ Q-ãîìåîìîðôiçìiâ ìîæå áóòè çàñòîñîâàíà äî
äîñëiäæåííÿ âiäîáðàæåíü çi ñêií÷åííèì ñïîòâîðåííÿì, ÿêi íàëåæàòü
êëàñàì Îðëi÷à-Ñîáîë¹âà W 1,φ
loc çà óìîâè òèïó óìîâè Êàëüäåðîíà, òà,
çîêðåìà, êëàñàì Ñîáîë¹âà W 1,p
loc ïðè p ą n´ 1, (äèâ. [13]).
Ó íàñòóïíié òåîðåìi âñòàíîâëåíî êðèòåðié íàëåæíîñòi ãîìåîìîðôi-
çìiâ êëàñó íèæíiõ Q-ãîìåîìîðôiçìiâ âiäíîñíî p-ìîäóëÿ ïðè p ą n´ 1.
Âïåðøå öåé êðèòåðié áóëî äîâåäåíî ïðè p “ n ó ðîáîòi [56, òåîðåìà 2.1],
äèâ. òàêîæ ìîíîãðàôiþ [24, òåîðåìà 9.2], à òàêîæ ó ïðîñòîði Rn, n ě 2,
ïðè p ą n´ 1 äèâ. [10, òåîðåìà 6.1].
Òåîðåìà 1.1 ([10]). Íåõàé D � îáëàñòü â Rn, n ě 2, x0 P D. Ïðèïóñòè-
ìî, ùî Q : D Ñ p0,8q � âèìiðíà ôóíêöiÿ. Ãîìåîìîðôiçì f : D Ñ Rn ¹
íèæíiì Q-ãîìåîìîðôiçìîì âiäíîñíî p-ìîäóëÿ ó òî÷öi x0 ïðè p ą n´1
òîäi i òiëüêè òîäi, êîëè
Ïîâåäiíêà íà íåñêií÷åííîñòi êiëüöåâèõ òà íèæíiõ Q-ãîìåîìîðôiçìiâ 87
MppfΣAq ě
ε2ż
ε1
dr
||Q|| n´1
p´n`1
px0, rq äëÿ âñiõ 0 ă ε1 ď ε2 ă d0,
äå d0 “ distpx0, BDq , ΣA � ñiì'ÿ âñiõ ñôåð Spx0, rq, r P pε1, ε2q, i
}Q} n´1
p´n`1
px0, rq :“
¨
˚̋
ż
Spx0,rq
Q
n´1
p´n`1 pxq dA
˛
‹‚
p´n`1
n´1
.
Iíôiìóì â (1.4) äîñÿãà¹òüñÿ äëÿ ôóíêöi¨
ρ0pxq “
˜
Qpxq
}Q} n´1
p´n`1
p|x´ x0|q
¸ 1
p´n`1
.
Ó íàñòóïíié òåîðåìi âñòàíîâëåíî çâ'ÿçîê ìiæ íèæíiìè i êiëüöåâèìè
Q-ãîìåîìîðôiçìàìè âiäíîñíî p-ìîäóëÿ.
Òåîðåìà 1.2 ([67]). Íåõàé D � îáëàñòü â Rn, n ě 2, x0 P D. Ïðè-
ïóñòèìî, ùî Q : D Ñ p0,8q � âèìiðíà çà Ëåáåãîì ôóíêöiÿ òàêà,
ùî }Q} n´1
p´n`1
px0, rq ‰ 8 äëÿ ì.â. r P p0, d0q, d0 “ dist px0, BDq, i f :
D Ñ Rn � íèæíié Q-ãîìåîìîðôiçì âiäíîñíî p-ìîäóëÿ ó òî÷öi x0 ïðè
p ą n ´ 1. Òîäi f ¹ êiëüöåâèì Q˚-ãîìåîìîðôiçìîì âiäíîñíî rp-ìîäóëÿ ó
òî÷öi x0 ïðè rp “ p
p´n`1 òà Q˚pxq “ Q
n´1
p´n`1 pxq.
Íàñëiäîê 1.1. ([10]) Ó ïðîñòîði Rn, n ě 2, áóäü-ÿêèé íèæíié Q-ãî-
ìåîìîðôiçì f : D Ñ Rn âiäíîñíî p-ìîäóëÿ ó òî÷öi x0 P D çà óìîâ
p ą n ´ 1 òà Q P L
n´1
p´n`1
loc pDq ¹ êiëüöåâèì Q˚-ãîìåîìîðôiçìîì âiäíîñíî
rp-ìîäóëÿ â òî÷öi x0 ïðè rp “ p
p´n`1 òà Q˚pxq “ Q
n´1
p´n`1 pxq.
2. Ïîâåäiíêà íà íåñêií÷åííîñòi êiëüöåâèõ Q-ãîìåîìîðôiçìiâ
Ó öüîìó ïóíêòi íàâåäåíî òåîðåìè ïðî àñèìïòîòè÷íó ïîâåäiíêó íà
íåñêií÷åííîñòi êiëüöåâèõ Q-ãîìåîìîðôiçìiâ âiäíîñíî p-ìîäóëÿ, ÿêi ¹
àíàëîãàìè òåîðåìè Ìàðòiî-Ðiêìàíà-Âàéñÿëÿ ïðî ðiñò íà íåñêií÷åííîñòi
êâàçiðåãóëÿðíèõ âiäîáðàæåíü (äèâ. [21]). Ó ðîáîòi [44] áóëî äîñëiäæåíî
âèïàäîê ïðè p “ n.
Íèæ÷å íàâåäåíî òåîðåìó ïðî àñèìïòîòè÷íó ïîâåäiíêó íà íåñêií÷åí-
íîñòi êiëüöåâèõ Q-ãîìåîìîðôiçìiâ, äèâ. [44].
88 Á. À. Êëiùóê, Ð. Ð. Ñàëiìîâ, Ì. Â. Ñòåôàí÷óê
Íåõàé R ą 0 i x0 P Rn. Äëÿ ãîìåîìîðôiçìó f : Rn Ñ Rn ïîêëàäåìî
Mpx0, f, Rq “ max
|x´x0|“R
|fpxq ´ fpx0q| .
Òåîðåìà 2.1. ([44]) Íåõàé f : Rn Ñ Rn � êiëüöåâèé Q-ãîìåîìîðôiçì ó
òî÷öi x0 P Rn, r0 ą 0 òà Q : Rn Ñ r0,8s � âèìiðíà çà Ëåáåãîì ôóíêöiÿ
òàêà, ùî ñåðåäí¹ iíòåãðàëüíå çíà÷åííÿ qx0prq ñêií÷åííå äëÿ ì.â. r ą 0.
Òîäi
lim inf
RÑ8 Mpx0, R, fq exp
¨
˝´
Rż
r0
dt
t q
1
n´1
x0 ptq
˛
‚ą 0 .
Íàñëiäîê 2.1. ([44]) Íåõàé f : Rn Ñ Rn � êiëüöåâèé Q-ãîìåîìîðôiçì
ó òî÷öi x0 P Rn òà äëÿ äåÿêèõ ÷èñåë r0 ą 0, κ “ κpx0q ą 0 âèêîíó¹òüñÿ
óìîâà qx0ptq ď κ äëÿ ì.â. t P rr0,8q. Òîäi
lim inf
RÑ8
Mpx0, R, fq
Rγ
ą 0 ,
äå γ “ κ
1
1´n .
Íàñëiäîê 2.2. ([44]) Íåõàé f : Rn Ñ Rn � êiëüöåâèé Q-ãîìåîìîðôiçì
ó òî÷öi x0 P Rn òà äëÿ äåÿêèõ ÷èñåë r0 ą 1, κ “ κpx0q ą 0 âèêîíó¹òüñÿ
óìîâà qx0ptq ď κ pln tqn´1 äëÿ ì.â. t P rr0,8q. Òîäi
lim inf
RÑ8
Mpx0, R, fq
plnRqγ ą 0 ,
äå γ “ κ
1
1´n .
Íèæ÷å íàâåäåíî ðåçóëüòàòè ðîáiò [40], [42] ïðî àñèìïòîòè÷íó ïîâå-
äiíêó íà íåñêií÷åííîñòi êiëüöåâèõ Q-ãîìåîìîðôiçìiâ âiäíîñíî p-ìîäóëÿ
ïðè p ą n.
Íàäàëi äëÿ ìíîæèíè E Ă Rn ÷åðåç diamE áóäåìî ïîçíà÷àòè åâêëi-
äîâèé äiàìåòð E.
Òåîðåìà 2.2. ([40]) Ïðèïóñòèìî, ùî f : Rn Ñ Rn � êiëüöåâèé Q-
ãîìåîìîðôiçì âiäíîñíî p-ìîäóëÿ ó òî÷öi x0 ïðè p ą n, äå x0 � äåÿêà
òî÷êà ïðîñòîðó Rn, òà äëÿ äåÿêèõ ÷èñåë r0 ą 0, κ “ κpx0q ą 0 âèêîíó-
¹òüñÿ óìîâà
qx0ptq ď κ tα (2.1)
äëÿ ì.â. t P rr0,`8q.
Ïîâåäiíêà íà íåñêií÷åííîñòi êiëüöåâèõ òà íèæíiõ Q-ãîìåîìîðôiçìiâ 89
1) ßêùî α P r0, p´ nq, òî
lim inf
RÑ8
diam f pBpx0, Rqq
R
p´n´α
p´n
ě 2κ
1
n´p
ˆ
p´ n
p´ n´ α
˙ p´1
p´n ą 0 . (2.2)
2) ßêùî α “ p´ n, òî
lim inf
RÑ8
diam f pBpx0, Rqq
plnRq p´1
p´n
ě 2κ
1
n´p
ˆ
p´ n
p´ 1
˙ p´1
p´n ą 0 , (2.3)
äå Bpx0, Rq “ tx P Rn : |x´ x0| ď Ru.
Ïðè α “ 0 ç òåîðåìè 2.2 áåçïîñåðåäíüî âèïëèâ๠íàñòóïíå òâåðäæåí-
íÿ.
Íàñëiäîê 2.3. ([40]) Ïðèïóñòèìî, ùî f : Rn Ñ Rn � êiëüöåâèé Q-
ãîìåîìîðôiçì âiäíîñíî p-ìîäóëÿ ó òî÷öi x0 ïðè p ą n, äå x0 � äåÿêà
òî÷êà ïðîñòîðó Rn, òà äëÿ äåÿêèõ ÷èñåë r0 ą 0, κ “ κpx0q ą 0 âèêîíó-
¹òüñÿ óìîâà qx0ptq ď κ äëÿ ì.â. t P rr0,`8q. Òîäi
lim inf
RÑ8
diam f pBpx0, Rqq
R
ě 2κ
1
n´p ą 0 ,
äå Bpx0, Rq “ tx P Rn : |x´ x0| ď Ru.
Ðîçãëÿíåìî íàñòóïíèé ïðèêëàä.
Ïðèêëàä 2.1. Íåõàé x0 P Rn òà f1 : Rn Ñ Rn, äå
f1pxq “
$
&
%
κ
1
n´p
´
p´n
p´n´α
¯ p´1
p´n |x´ x0| p´n´α
p´n x´x0|x´x0| , x ‰ x0,
0, x “ x0.
(2.4)
Çàóâàæèìî, ùî âiäîáðàæåííÿ f1 âiäîáðàæ๠êóëþ Bpx0, Rq íà êóëþ
Bp0, rRq, äå
rR “ κ
1
n´p
ˆ
p´ n
p´ n´ α
˙ p´1
p´n
R
p´n´α
p´n .
Ëåãêî áà÷èòè, ùî
lim
RÑ8
diam f1 pBpx0, Rqq
R
p´n´α
p´n
“ lim
RÑ8
diamBp0, rRq
R
p´n´α
p´n
“
“ lim
RÑ8
2 rR
R
p´n´α
p´n
“ 2κ
1
n´p
ˆ
p´ n
p´ n´ α
˙ p´1
p´n
.
Ïîêàæåìî, ùî âiäîáðàæåííÿ f1 ¹ êiëüöåâèì Q-ãîìåîìîðôiçìîì âiä-
íîñíî p-ìîäóëÿ ç ôóíêöi¹þ Qpxq “ κ |x ´ x0|α ó òî÷öi x0. Çðîçóìiëî,
90 Á. À. Êëiùóê, Ð. Ð. Ñàëiìîâ, Ì. Â. Ñòåôàí÷óê
ùî qx0ptq “ κ tα. Ðîçãëÿíåìî êiëüöå Apx0, r1, r2q, 0 ă r1 ă r2 ă 8. Çà-
óâàæèìî, ùî ãîìåîìîðôiçì f1 âiäîáðàæ๠êiëüöå Apx0, r1, r2q íà êiëüöå
rAp0, rr1, rr2q, äå
rri “ κ
1
n´p
ˆ
p´ n
p´ n´ α
˙ p´1
p´n
r
p´n´α
p´n
i , i “ 1, 2.
Ïîçíà÷èìî ÷åðåç Γ ìíîæèíó âñiõ êðèâèõ, ÿêi ç'¹äíóþòü ñôåðè Spx0, r1q
òà Spx0, r2q ó êiëüöi Apx0, r1, r2q. Òîäi îá÷èñëèìî p-ìîäóëü ñiì'¨ êðèâèõ
f1Γ:
Mppf1Γq “ ωn´1
ˆ
p´ n
p´ 1
˙p´1 ˆ
rr
p´n
p´1
2 ´ rr
p´n
p´1
1
˙1´p
(äèâ., íàïð., ôîðìóëó (2) ó [7]). Ïiäñòàâëÿþ÷è ó âèùåíàâåäåíó íåðiâ-
íiñòü çíà÷åííÿ rr1 òà rr2, îçíà÷åíi âèùå, îòðèìà¹ìî
Mppf1Γq “ ωn´1 κ
ˆ
p´ n´ α
p´ 1
˙p´1 ˆ
r
p´n´α
p´1
2 ´ r
p´n´α
p´1
1
˙1´p
.
Çàóâàæèìî, ùî îñòàííþ íåðiâíiñòü ìîæíà ïåðåïèñàòè ó âèãëÿäi
Mppf1Γq “ ωn´1˜
r2ş
r1
dt
t
n´1
p´1 q
1
p´1
x0
ptq
¸p´1 ,
äå qx0ptq “ κ tα.
Îòæå, çà òâåðäæåííÿì 1.1 ãîìåîìîðôiçì f1 ¹ êiëüöåâèì Q-ãîìåîìîð-
ôiçìîì âiäíîñíî p-ìîäóëÿ ïðè p ą n ç ôóíêöi¹þ Qpxq “ κ |x ´ x0|α ó
òî÷öi x0.
Çàóâàæåííÿ 2.1. Ïðèêëàä 2.1 ïîêàçó¹, ùî îöiíêà (2.2) ó òåîðåìi 2.2 ¹
òî÷íîþ, òîáòî äîñÿãà¹òüñÿ íà âiäîáðàæåííi (2.4).
Òåîðåìà 2.3. ([42]) Ïðèïóñòèìî, ùî f : Rn Ñ Rn � êiëüöåâèé Q-
ãîìåîìîðôiçì âiäíîñíî p-ìîäóëÿ ó òî÷öi x0 ïðè p ą n, äå x0 � äåÿêà
òî÷êà ïðîñòîðó Rn, òà äëÿ äåÿêèõ ÷èñåë r0 ą 1, κ “ κpx0q ą 0 âèêîíó-
¹òüñÿ óìîâà
qx0ptq ď κ tp´n pln tqα (2.5)
äëÿ ì.â. t P rr0,`8q.
1) ßêùî α P r0, p´ 1q, òî
lim inf
RÑ8
diam f pBpx0, Rqq
plnRq p´α´1
p´n
ě 2κ
1
n´p
ˆ
p´ n
p´ α ´ 1
˙ p´1
p´n ą 0 . (2.6)
Ïîâåäiíêà íà íåñêií÷åííîñòi êiëüöåâèõ òà íèæíiõ Q-ãîìåîìîðôiçìiâ 91
2) ßêùî α “ p´ 1, òî
lim inf
RÑ8
diam f pBpx0, Rqq
pln lnRq p´1
p´n
ě 2κ
1
n´p
ˆ
p´ n
p´ 1
˙ p´1
p´n ą 0 , (2.7)
äå Bpx0, Rq “ tx P Rn : |x´ x0| ď Ru.
Çàóâàæåííÿ 2.2. Ó òåîðåìàõ 2.2, 2.3 îöiíêè (2.3), (2.6), (2.7) ¹ òî÷íè-
ìè. Àíàëîãi÷íî äî ïðèêëàäó 2.1 ìîæíà ïîáóäóâàòè ïðèêëàäè êiëüöåâèõ
Q-ãîìåîìîðôiçìiâ âiäíîñíî p-ìîäóëÿ ïðè p ą n, íà ÿêèõ âîíè äîñÿãàþ-
òüñÿ.
Çàóâàæåííÿ 2.3. Ïðè âèêîíàííi óìîâ òåîðåì 2.2 àáî 2.3
diam f pBpx0, Rqq Ñ 8 ïðè R Ñ 8.
3. Òåîðåìè íåiñíóâàííÿ êiëüöåâèõ Q-ãîìåîìîðôiçìiâ
Ó öüîìó ïóíêòi íàâåäåíî òåîðåìè ïðî íåiñíóâàííÿ êiëüöåâèõQ-ãîìåî-
ìîðôiçìiâ âiäíîñíî p-ìîäóëÿ ïðè p ě n.
Òåîðåìà 3.1. Íåõàé x0 � äåÿêà òî÷êà ïðîñòîðó Rn, n ě 2, r0 ą 0
òà Q : Rn Ñ r0,8s � âèìiðíà çà Ëåáåãîì ôóíêöiÿ òàêà, ùî ñåðåäí¹
iíòåãðàëüíå çíà÷åííÿ qx0prq ñêií÷åííå äëÿ ì.â. r ą 0. Òîäi íå iñíó¹
êiëüöåâîãî Q-ãîìåîìîðôiçìó f : Rn Ñ Rn ó òî÷öi x0 ç àñèìïòîòè÷íîþ
óìîâîþ
lim inf
RÑ8 Mpx0, R, fq exp
¨
˝´
Rż
r0
dt
t q
1
n´1
x0 ptq
˛
‚“ 0 .
Íàñëiäîê 3.1. Íåõàé x0 � äåÿêà òî÷êà ïðîñòîðó Rn pn ě 2q òà äëÿ
äåÿêèõ ÷èñåë r0 ą 0, κ “ κpx0q ą 0 âèêîíó¹òüñÿ óìîâà qx0ptq ď κ
äëÿ ì.â. t P rr0,`8q. Òîäi íå iñíó¹ êiëüöåâîãî Q-ãîìåîìîðôiçìó
f : Rn Ñ Rn ó òî÷öi x0 ç àñèìïòîòè÷íîþ óìîâîþ
lim inf
RÑ8
Mpx0, R, fq
Rγ
“ 0 ,
äå γ “ κ
1
1´n .
Íàñëiäîê 3.2. Íåõàé x0 � äåÿêà òî÷êà ïðîñòîðó Rn pn ě 2q òà äëÿ
äåÿêèõ ÷èñåë r0 ą 1, κ “ κpx0q ą 0 âèêîíó¹òüñÿ óìîâà
qx0ptq ď κ pln tqn´1
92 Á. À. Êëiùóê, Ð. Ð. Ñàëiìîâ, Ì. Â. Ñòåôàí÷óê
äëÿ ì.â. t P rr0,`8q. Òîäi íå iñíó¹ êiëüöåâîãî Q-ãîìåîìîðôiçìó
f : Rn Ñ Rn ó òî÷öi x0 ç àñèìïòîòè÷íîþ óìîâîþ
lim inf
RÑ8
Mpx0, R, fq
plnRqγ “ 0 ,
äå γ “ κ
1
1´n .
Òåîðåìà 3.2. Íåõàé x0 � äåÿêà òî÷êà ïðîñòîðó Rn pn ě 2q òà äëÿ
äåÿêèõ ÷èñåë r0 ą 0, κ “ κpx0q ą 0 âèêîíó¹òüñÿ óìîâà qx0ptq ď κ tα
äëÿ ì.â. t P rr0,`8q.
1) ßêùî α P r0, p ´ nq, òî íå iñíó¹ êiëüöåâîãî Q-ãîìåîìîðôiçìó
f : Rn Ñ Rn âiäíîñíî p-ìîäóëÿ ïðè p ą n ó òî÷öi x0 ç àñèìïòîòè÷íîþ
óìîâîþ
lim inf
RÑ8
Mpx0, f, Rq
R
p´n´α
p´n
“ 0.
2) ßêùî α “ p ´ n, òî íå iñíó¹ êiëüöåâîãî Q-ãîìåîìîðôiçìó
f : Rn Ñ Rn âiäíîñíî p-ìîäóëÿ ïðè p ą n ó òî÷öi x0 ç àñèìïòîòè÷íîþ
óìîâîþ
lim inf
RÑ8
Mpx0, f, Rq
plnRq p´1
p´n
“ 0.
Íàñëiäîê 3.3. Íåõàé x0 � äåÿêà òî÷êà ïðîñòîðó Rn pn ě 2q òà äëÿ
äåÿêèõ ÷èñåë r0 ą 0, κ “ κpx0q ą 0 âèêîíó¹òüñÿ óìîâà qx0ptq ď κ
äëÿ ì.â. t P rr0,`8q. Òîäi íå iñíó¹ êiëüöåâîãî Q-ãîìåîìîðôiçìó
f : Rn Ñ Rn âiäíîñíî p-ìîäóëÿ ïðè p ą n ó òî÷öi x0 ç àñèìïòîòè÷íîþ
óìîâîþ
lim inf
RÑ8
diam f pBpx0, Rqq
R
“ 0.
Òåîðåìà 3.3. Íåõàé x0 � äåÿêà òî÷êà ïðîñòîðó Rn pn ě 2q òà äëÿ
äåÿêèõ ÷èñåë r0 ą 1, κ “ κpx0q ą 0 âèêîíó¹òüñÿ óìîâà
qx0ptq ď κ tp´npln tqα
äëÿ ì.â. t P rr0,`8q.
1) ßêùî α P r0, p ´ 1q, òî íå iñíó¹ êiëüöåâîãî Q-ãîìåîìîðôiçìó
f : Rn Ñ Rn âiäíîñíî p-ìîäóëÿ ïðè p ą n ó òî÷öi x0 ç àñèìïòîòè÷íîþ
óìîâîþ
lim inf
RÑ8
Mpx0, f, Rq
plnRq p´α´1
p´n
“ 0.
2) ßêùî α “ p ´ 1, òî íå iñíó¹ êiëüöåâîãî Q-ãîìåîìîðôiçìó
f : Rn Ñ Rn âiäíîñíî p-ìîäóëÿ ïðè p ą n ó òî÷öi x0 ç àñèìïòîòè÷íîþ
Ïîâåäiíêà íà íåñêií÷åííîñòi êiëüöåâèõ òà íèæíiõ Q-ãîìåîìîðôiçìiâ 93
óìîâîþ
lim inf
RÑ8
Mpx0, f, Rq
pln lnRq p´1
p´n
“ 0.
4. Ïîâåäiíêà íà íåñêií÷åííîñòi íèæíiõ Q-ãîìåîìîðôiçìiâ
Ó öüîìó ïóíêòi íàâåäåíî òåîðåìè ïðî àñèìïòîòè÷íó ïîâåäiíêó íà
íåñêií÷åííîñòi íèæíiõ Q-ãîìåîìîðôiçìiâ âiäíîñíî p-ìîäóëÿ.
Íèæ÷å íàâåäåíî òåîðåìó ïðî àñèìïòîòè÷íó ïîâåäiíêó íà íåñêií÷åí-
íîñòi íèæíiõ Q-ãîìåîìîðôiçìiâ, ÿêà ¹ àíàëîãîì ðåçóëüòàòó Ìàðòiî-
Ðiêìàíà-Âÿéñÿëÿ ïðî �ñèëüíå� çðîñòàííÿ â îêîëi íåñêií÷åííîñòi âiäî-
áðàæåíü ç îáìåæåíèì ñïîòâîðåííÿì (äèâ. [21]).
Òåîðåìà 4.1. ([67]) Íåõàé f : Rn Ñ Rn � íèæíié Q-ãîìåîìîðôiçì ó
òî÷öi x0 P Rn, r0 ą 0 òà Q : Rn Ñ p0,8q � âèìiðíà çà Ëåáåãîì ôóíêöiÿ
òàêà, ùî }Q}n´1px0, rq ‰ 8 äëÿ ì.â. r ą 0. Òîäi
lim inf
RÑ8 Mpx0, R, fq exp
¨
˝´ω
1
n´1
n´1
Rż
r0
dt
}Q} n´1px0, tq
˛
‚“ M0 ą 0 , (4.1)
äå }Q} n´1px0, tq “
˜
ş
Spx0,tq
Qn´1pxq dA
¸ 1
n´1
.
Íàâåäåìî äåÿêi ïîçíà÷åííÿ. Äëÿ öiëèõ çíà÷åíü k ě 0 ïîêëàäåìî
e0 “ 1, e1 “ e, e2 “ ee, . . . , ek`1 “ exp ek
i ln0 t “ t, ln1 t “ ln t, ln2 t “ ln ln t, . . . , lnk`1 t “ ln lnk t .
Íàñëiäîê 4.1. ([67]) Íåõàé f : Rn Ñ Rn � íèæíié Q-ãîìåîìîðôiçì ó
äåÿêié òî÷öi x0 P Rn. ßêùî äëÿ äåÿêèõ ÷èñåë r0 ą eN , C0 “ C0px0q ą 0
âèêîíó¹òüñÿ óìîâà
}Q} n´1px0, rq ď C0
Nź
k“0
lnk r
äëÿ ì.â. r P rr0,8q, òî
lim inf
RÑ8
Mpx0, R, fq
plnN Rqγ “ M0 ą 0 ,
äå γ “ ω
1
n´1
n´1
C0
.
94 Á. À. Êëiùóê, Ð. Ð. Ñàëiìîâ, Ì. Â. Ñòåôàí÷óê
Íàñëiäîê 4.2. ([67]) ßêùî äëÿ äåÿêèõ ÷èñåë r0 ą 0, C0 “ C0px0q ą 0
âèêîíó¹òüñÿ óìîâà }Q} n´1px0, rq ď C0 r äëÿ ì.â. r P rr0,8q, òî
lim inf
RÑ8
Mpx0, R, fq
Rγ
“ M0 ą 0 ,
äå γ “ ω
1
n´1
n´1
C0
.
Íèæ÷å íàâåäåíî òåîðåìè ïðî àñèìïòîòè÷íó ïîâåäiíêó íà íåñêií÷åí-
íîñòi íèæíiõ Q-ãîìåîìîðôiçìiâ âiäíîñíî p-ìîäóëÿ ïðè n ´ 1 ă p ă n.
Àíàëîãi÷íi ðåçóëüòàòè îòðèìàíî íà êîìïëåêñíié ïëîùèíi ïðè 1 ă p ă 2
ó ðîáîòi [68].
Òåîðåìà 4.2. Ïðèïóñòèìî, ùî f : Rn Ñ Rn � íèæíié Q-ãîìåîìîð-
ôiçì âiäíîñíî p-ìîäóëÿ ó òî÷öi x0 ïðè n ´ 1 ă p ă n, äå x0 � äåÿêà
òî÷êà ïðîñòîðó Rn, òà äëÿ äåÿêèõ ÷èñåë r0 ą 0, C0 “ C0px0q ą 0
âèêîíó¹òüñÿ óìîâà
}Q} n´1
p´n`1
px0, tq ď C0 t
β (4.2)
äëÿ ì.â. t P rr0,`8q.
1) ßêùî β P rp´ n` 1, 1q, òî
lim inf
RÑ8
diam f pBpx0, Rqq
R
1´β
n´p
ě 2C
1
p´n
0 λn,p
ˆ
n´ p
1 ´ β
˙ 1
n´p ą 0 . (4.3)
2) ßêùî β “ 1, òî
lim inf
RÑ8
diam f pBpx0, Rqq
plnRq 1
n´p
ě 2C
1
p´n
0 λn,p pn´ pq 1
n´p ą 0 , (4.4)
äå Bpx0, Rq “ tx P Rn : |x´ x0| ď Ru, λn,p “ ω
p´n`1
pn´1qpn´pq
n´1 .
Äîâåäåííÿ. Äiéñíî, çà òåîðåìîþ 1.2 íèæíié Q-ãîìåîìîðôiçì âiäíîñíî
p-ìîäóëÿ ó òî÷öi x0 ïðè n´ 1 ă p ă n ¹ êiëüöåâèì Q˚-ãîìåîìîðôiçìîì
âiäíîñíî rp-ìîäóëÿ ó òî÷öi x0 ç ïàðàìåòðîì rp “ p
p´n`1 ą n ïðè Q˚pxq “
Q
n´1
p´n`1 pxq. Çàñòîñîâóþ÷è òåîðåìó 2.2 ç ïàðàìåòðàìè κ “ C
n´1
p´n`1
0
ωn´1
òà
α “ pn´1qpβ´p`n´1q
p´n`1 , ïðèõîäèìî äî âèñíîâêiâ òåîðåìè. □
Ïîêëàâøè ó òåîðåìi 4.2 β “ p´ n` 1, îòðèìà¹ìî íàñòóïíå òâåðäæå-
ííÿ.
Íàñëiäîê 4.3. Ïðèïóñòèìî, ùî f : Rn Ñ Rn � íèæíié Q-ãîìåîìîð-
ôiçì âiäíîñíî p-ìîäóëÿ ó òî÷öi x0 ïðè n ´ 1 ă p ă n, äå x0 � äåÿêà
òî÷êà ïðîñòîðó Rn, òà äëÿ äåÿêèõ ÷èñåë r0 ą 0, C0 “ C0px0q ą 0
Ïîâåäiíêà íà íåñêií÷åííîñòi êiëüöåâèõ òà íèæíiõ Q-ãîìåîìîðôiçìiâ 95
âèêîíó¹òüñÿ óìîâà }Q} n´1
p´n`1
px0, tq ď C0 t
p´n`1 äëÿ ì.â. t P rr0,`8q.
Òîäi
lim inf
RÑ8
diam f pBpx0, Rqq
R
ě 2C
1
p´n
0 λn,p ą 0 ,
äå Bpx0, Rq “ tx P Rn : |x´ x0| ď Ru, λn,p “ ω
p´n`1
pn´1qpn´pq
n´1 .
Òåîðåìà 4.3. Ïðèïóñòèìî, ùî f : Rn Ñ Rn � íèæíié Q-ãîìåîìîð-
ôiçì âiäíîñíî p-ìîäóëÿ ó òî÷öi x0 ïðè n ´ 1 ă p ă n, äå x0 � äåÿêà
òî÷êà ïðîñòîðó Rn, òà äëÿ äåÿêèõ ÷èñåë r0 ą 1, C0 “ C0px0q ą 0
âèêîíó¹òüñÿ óìîâà
}Q} n´1
p´n`1
px0, tq ď C0 t pln tqβ (4.5)
äëÿ ì.â. t P rr0,`8q.
1) ßêùî β P r0, 1q, òî
lim inf
RÑ8
diam f pBpx0, Rqq
plnRq 1´β
n´p
ě 2C
1
p´n
0 λn,p
ˆ
n´ p
1 ´ β
˙ 1
n´p ą 0 . (4.6)
2) ßêùî β “ 1, òî
lim inf
RÑ8
diam f pBpx0, Rqq
pln lnRq 1
n´p
ě 2C
1
p´n
0 λn,p pn´ pq 1
n´p ą 0 , (4.7)
äå Bpx0, Rq “ tx P Rn : |x´ x0| ď Ru, λn,p “ ω
p´n`1
pn´1qpn´pq
n´1 .
Äîâåäåííÿ. Äiéñíî, çà òåîðåìîþ 1.2 íèæíié Q-ãîìåîìîðôiçì âiäíîñíî
p-ìîäóëÿ ó òî÷öi x0 ïðè n´ 1 ă p ă n ¹ êiëüöåâèì Q˚-ãîìåîìîðôiçìîì
âiäíîñíî rp-ìîäóëÿ ó òî÷öi x0 ç ïàðàìåòðîì rp “ p
p´n`1 ą n ïðè Q˚pxq “
Q
n´1
p´n`1 pxq. Çàñòîñîâóþ÷è òåîðåìó 2.3 ç ïàðàìåòðàìè κ “ C
n´1
p´n`1
0
ωn´1
òà
α “ βpn´1q
p´n`1 , ïðèõîäèìî äî âèñíîâêiâ òåîðåìè. □
Çàóâàæåííÿ 4.1. Ó òåîðåìàõ 4.2, 4.3 îöiíêè (4.3), (4.4), (4.6), (4.7) ¹
òî÷íèìè. Ìîæíà ïîáóäóâàòè ïðèêëàäè íèæíiõ Q-ãîìåîìîðôiçìiâ âiä-
íîñíî p-ìîäóëÿ ïðè n´ 1 ă p ă n, íà ÿêèõ âîíè äîñÿãàþòüñÿ.
5. Òåîðåìè íåiñíóâàííÿ íèæíiõ Q-ãîìåîìîðôiçìiâ
Ó öüîìó ïóíêòi íàâåäåíî òåîðåìè ïðî íåiñíóâàííÿ íèæíiõ Q-ãîìåî-
ìîðôiçìiâ âiäíîñíî p-ìîäóëÿ ïðè n ´ 1 ă p ď n. Ïðè 1 ă p ă 2 íà
êîìïëåêñíié ïëîùèíi àíàëîãi÷íi ðåçóëüòàòè îòðèìàíî ó ðîáîòi [68].
96 Á. À. Êëiùóê, Ð. Ð. Ñàëiìîâ, Ì. Â. Ñòåôàí÷óê
Òåîðåìà 5.1. Íåõàé x0 � äåÿêà òî÷êà ïðîñòîðó Rn, n ě 2, r0 ą 0
òà Q : Rn Ñ p0,8q � âèìiðíà çà Ëåáåãîì ôóíêöiÿ òàêà, ùî
}Q}n´1px0, rq ‰ 8 äëÿ ì.â. r ą 0. Òîäi íå iñíó¹ íèæíüîãî Q-ãîìåîìîð-
ôiçìó f : Rn Ñ Rn ó òî÷öi x0 ç àñèìïòîòè÷íîþ óìîâîþ
lim inf
RÑ8 Mpx0, R, fq exp
¨
˝´ω
1
n´1
n´1
Rż
r0
dt
}Q} n´1px0, tq
˛
‚“ 0 ,
äå }Q} n´1px0, tq “
˜
ş
Spx0,tq
Qn´1pxq dA
¸ 1
n´1
.
Íàñëiäîê 5.1. Íåõàé x0 � äåÿêà òî÷êà ïðîñòîðó Rn pn ě 2q òà äëÿ
äåÿêèõ ÷èñåë r0 ą eN , C0 “ C0px0q ą 0 âèêîíó¹òüñÿ óìîâà
}Q} n´1px0, rq ď C0
Nź
k“0
lnk r
äëÿ ì.â. t P rr0,8q. Òîäi íå iñíó¹ íèæíüîãî Q-ãîìåîìîðôiçìó
f : Rn Ñ Rn ó òî÷öi x0 ç àñèìïòîòè÷íîþ óìîâîþ
lim inf
RÑ8
Mpx0, R, fq
plnN Rqγ “ 0 ,
äå γ “ ω
1
n´1
n´1
C0
.
Íàñëiäîê 5.2. Íåõàé x0 � äåÿêà òî÷êà ïðîñòîðó Rn pn ě 2q òà äëÿ äå-
ÿêèõ ÷èñåë r0 ą 0, C0 “ C0px0q ą 0 âèêîíó¹òüñÿ óìîâà
}Q} n´1px0, rq ď C0 r äëÿ ì.â. t P rr0,8q. Òîäi íå iñíó¹ íèæíüîãî Q-
ãîìåîìîðôiçìó f : Rn Ñ Rn ó òî÷öi x0 ç àñèìïòîòè÷íîþ óìîâîþ
lim inf
RÑ8
Mpx0, R, fq
Rγ
“ 0 ,
äå γ “ ω
1
n´1
n´1
C0
.
Òåîðåìà 5.2. Íåõàé x0 � äåÿêà òî÷êà ïðîñòîðó Rn, n ě 2, òà äëÿ
äåÿêèõ ÷èñåë r0 ą 0, C0 “ C0px0q ą 0 âèêîíó¹òüñÿ óìîâà
}Q} n´1
p´n`1
px0, tq ď C0 t
β
äëÿ ì.â. t P rr0,`8q.
Ïîâåäiíêà íà íåñêií÷åííîñòi êiëüöåâèõ òà íèæíiõ Q-ãîìåîìîðôiçìiâ 97
1) ßêùî β P rp ´ n ` 1, 1q, òî íå iñíó¹ íèæíüîãî Q-ãîìåîìîðôiçìó
f : Rn Ñ Rn âiäíîñíî p-ìîäóëÿ ïðè n ´ 1 ă p ă n ó òî÷öi x0 ç àñèì-
ïòîòè÷íîþ óìîâîþ
lim inf
RÑ8
Mpx0, f, Rq
R
1´β
n´p
“ 0.
2) ßêùî β “ 1, òî íå iñíó¹ íèæíüîãî Q-ãîìåîìîðôiçìó f : Rn Ñ Rn
âiäíîñíî p-ìîäóëÿ ïðè n ´ 1 ă p ă n ó òî÷öi x0 ç àñèìïòîòè÷íîþ
óìîâîþ
lim inf
RÑ8
Mpx0, f, Rq
plnRq 1
n´p
“ 0.
Íàñëiäîê 5.3. Íåõàé x0 � äåÿêà òî÷êà ïðîñòîðó Rn pn ě 2q òà äëÿ
äåÿêèõ ÷èñåë r0 ą 0, C0 “ C0px0q ą 0 âèêîíó¹òüñÿ óìîâà
}Q} n´1
p´n`1
px0, tq ď C0 t
p´n`1
äëÿ ì.â. t P rr0,`8q. Òîäi íå iñíó¹ íèæíüîãî Q-ãîìåîìîðôiçìó
f : Rn Ñ Rn âiäíîñíî p-ìîäóëÿ ïðè n ´ 1 ă p ă n ó òî÷öi x0 ç àñèì-
ïòîòè÷íîþ óìîâîþ
lim inf
RÑ8
diam f pBpx0, Rqq
R
“ 0.
Òåîðåìà 5.3. Íåõàé x0 � äåÿêà òî÷êà ïðîñòîðó Rn, n ě 2, òà äëÿ äå-
ÿêèõ ÷èñåë r0 ą 1, C0 “ C0px0q ą 0 âèêîíó¹òüñÿ óìîâà
}Q} n´1
p´n`1
px0, tq ď C0 t pln tqβ äëÿ ì.â. t P rr0,`8q.
1) ßêùî β P r0, 1q, òî íå iñíó¹ íèæíüîãî Q-ãîìåîìîðôiçìó
f : Rn Ñ Rn âiäíîñíî p-ìîäóëÿ ïðè n ´ 1 ă p ă n ó òî÷öi x0 ç àñèì-
ïòîòè÷íîþ óìîâîþ
lim inf
RÑ8
Mpx0, f, Rq
plnRq 1´β
n´p
“ 0.
2) ßêùî β “ 1, òî íå iñíó¹ íèæíüîãî Q-ãîìåîìîðôiçìó f : Rn Ñ Rn
âiäíîñíî p-ìîäóëÿ ïðè n ´ 1 ă p ă n ó òî÷öi x0 ç àñèìïòîòè÷íîþ
óìîâîþ
lim inf
RÑ8
Mpx0, f, Rq
pln lnRq 1
n´p
“ 0.
98 Á. À. Êëiùóê, Ð. Ð. Ñàëiìîâ, Ì. Â. Ñòåôàí÷óê
Ëiòåðàòóðà
[1] L. V. Ahlfors. Lectures on quasiconformal mappings. Number 10 in Van Nostrand
Mathematical Studies. D. Van Nostrand Co., Inc., Toronto, Ont.-New York-London,
1966.
[2] C. J. Bishop, V. Ya. Gutlyanskii, O. Martio½ M. Vuorinen. On conformal dilatation
in space. Intern. Journ. Math. and Math. Scie., 22:1397�1420, 2003.
[3] M. Cristea. Local homeomorphisms satisfying generalized modular inequalities.
Complex Variables and Elliptic Equations, 59(2):232�246, 2014.
[4] M. Cristea. Some properties of open discrete generalized ring mappings. Complex
Variables and Elliptic Equations, 61(5):623�643, 2016.
[5] M. Cristea. Eliminability results for mappings satisfying generalized modular
inequalities. Complex Variables and Elliptic Equations, 64(4):676�684, 2019.
[6] F. W. Gehring. Rings and quasiconformal mappings in space. Trans. Amer. Math.
Soc., 103:353�393, 1962.
[7] F. W. Gehring. Lipschitz mappings and the p-capacity of ring in n-space. Advances
in the theory of Riemann surfaces (Proc. Conf. Stonybrook, N.Y., 1969), Ann. of
Math. Studies, 66:175�193, 1971.
[8] A. Golberg. Di�erential properties of pα,Qq-homeomorphisms. Further Progress in
Analysis, Proc. 6th ISAAC Congr., pages 218�228, 2009.
[9] A. Golberg. Integrally quasiconformal mappings in space. Çáiðíèê ïðàöü Ií-òó
ìàòåìàòèêè ÍÀÍÓ, 7(2):53�64, 2010.
[10] A. Golberg, R. Salimov. Topological mappings of integrally bounded p-moduli. Ann.
Univ. Bucharest, Ser. Math., 3 (LXI):49�66, 2012.
[11] A. Golberg, R. Salimov. Logarithmic Holder continuity of ring homeomorphisms
with controlled p-module. Complex Variables and Elliptic Equations, 59(1):91�98,
2014.
[12] A. Golberg, R. Salimov. Nonlinear Beltrami equation. Complex Variables and Elli-
ptic Equations, 65(1):6�21, 2019.
[13] A. Golberg, R. Salimov½ E. Sevost'yanov. Distortion estimates under mappings with
controlled p-module. Ann. Univ. Bucharest, Ser. Math., 5 (LXIII):95�114, 2014.
[14] A. Golberg, R. Salimov½ E. Sevost'yanov. Singularities of discrete open mappings
with controlled p-module. J. Anal. Math., 127:303�328, 2015.
[15] A. Golberg, R. Salimov½ E. Sevost'yanov. Normal families of discrete open mappings
with controlled p-module. Contemporary Mathematics, 667:83�103, 2016.
[16] A. Golberg, R. Salimov½ E. Sevost'yanov. Poletskii type inequality for mappings
from the Orlicz-Sobolev classes. Complex Analysis and Operator Theory, 10:881�
901, 2016.
[17] A. Golberg, R. Salimov½ E. Sevost'yanov. Estimates for Jacobian and dilatation
coe�cients of open discrete mappings with controlled p-module. Complex Analysis
and Operator Theory, 11(7):1521�1542, 2017.
[18] A. Golberg, R. Salimov½ E. Sevost'yanov. Poletskii type inequality for mappings
from the Orlicz-Sobolev classes. Complex Analysis and Operator Theory, 10:881�
901, 2016.
[19] B. Klishchuk. On Power-Law Behavior of Some Mapping Class at In�nity. Journal
of Mathematical Sciences, 268(2):192�198, 2022.
[20] O. Lehto, K. Virtanen. Quasiconformal mappings in the Plane. Springer-Verlag,
Berlin-Heidelberg-New York, 1973.
Ïîâåäiíêà íà íåñêií÷åííîñòi êiëüöåâèõ òà íèæíiõ Q-ãîìåîìîðôiçìiâ 99
[21] O. Martio, S. Rickman½ J. V�ais�al�a. Distortion and singularities of quasiregular
mappings. Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A1. Math., 465:1�13, 1970.
[22] O. Martio, V. Ryazanov, U. Srebro½ E. Yakubov. Mappings with �nite length di-
stortion. J. Anal. Math., 93:215�236, 2004.
[23] O. Martio, V. Ryazanov, U. Srebro½ E. Yakubov. On Q-homeomorphisms. Ann.
Acad. Sci. Fenn. Ser. A1. Math., 30:49�69, 2005.
[24] O. Martio, V. Ryazanov, U. Srebro½ E. Yakubov.Moduli in Modern Mapping Theory.
Springer Monographs in Mathematies. Springer, New York, 2009.
[25] I. Petkov, R. Salimov½ M. Stefanchuk. On the distortion of the disk image diameter.
Journal of Mathematical Sciences, 274(3):352�369, 2023.
[26] V. Ryazanov, R. Salimov, U. Srebro½ E. Yakubov. On Boundary Value Problems
for the Beltrami Equations. Contemporary Mathematics, 591:211�242, 2013.
[27] V. Ryazanov, U. Srebro½ E. Yakubov. Degenerate Beltrami equation and radial Q-
homeomorphisms, volume 369. Preprint, Department of Mathematics, University of
Helsinki, 2003.
[28] V. Ryazanov, U. Srebro½ E. Yakubov. Beltrami equation and FMO functions.
Contemporary Mathematics, 382:357�364, 2005.
[29] V. Ryazanov, U. Srebro½ E. Yakubov. On ring solutions of Beltrami equation. J.
Anal. Math., 96:117�150, 2005.
[30] V. Ryazanov, U. Srebro½ E. Yakubov. Finite mean oscillation and the Beltrami
equation. Israel J. Math., 153:247�266, 2006.
[31] V. Ryazanov, U. Srebro½ E. Yakubov. On the theory of the Beltrami equation.
Ukrainian Mathematical Journal, 58(11):1786�1798, 2006.
[32] V. Ryazanov, U. Srebro½ E. Yakubov. The Beltrami equation and ring homeomorphi-
sms. Ukrain. Math. Bull., 4(1):79�115, 2007.
[33] R. Salimov. ACL and di�erentiability of Q-homeomorphisms. Ann. Acad. Sci. Fenn.
Ser. A1. Math., 33:295�301, 2008.
[34] R. Salimov. On regular homeomorphisms in the plane. Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser.
A1. Math., 35:285�289, 2010.
[35] R. Salimov. Îne property of ring Q-homeomorphisms with respect to a p-module.
Ukrainian Mathematical Journal, 65(5):806�813, 2013.
[36] R. Salimov. To a theory of ring Q-homeomorphisms with respect to a p-modulus.
Journal of Mathematical Sciences, 196:679�692, 2014.
[37] R. Salimov, B. Klishchuk. Extremal problem for the area of the image of a disk.
Journal of Mathematical Sciences, 234(3):373�380, 2018.
[38] R. Salimov, B. Klishchuk. An extremal problem for the volume functional.
Matematychni Studii, 50(1):36�43, 2018.
[39] R. Salimov, B. Klishchuk. Lower bounds for the volume of the image of a ball.
Ukrainian Mathematical Journal, 71:883�895, 2019.
[40] R. Salimov, B. Klishchuk. On the asymptotic behavior at in�nity of ring Q-
homeomorphisms with respect to p-modulus. Ïðàöi IÏÌÌ ÍÀÍ Óêðà¨íè, 36(1):26�
35, 2022.
[41] R. Salimov, B. Klishchuk. On the Behavior at In�nity of One Class of Homeomorphi-
sms. Current Trends in Analysis, its Applications and Computation. Trends in
Mathematics. Birkh�auser, Cham, pages 173�180, 2022.
[42] R. Salimov, B. Klishchuk½ M. Stefanchuk. On the asymptotic behavior at in�nity of
one mapping clas. Proceedings of the International Geometry Center, 16(1):50�58,
2023.
100 Á. À. Êëiùóê, Ð. Ð. Ñàëiìîâ, Ì. Â. Ñòåôàí÷óê
[43] R. Salimov, E. Sevost'yanov½ A. Markish. On the lower estimate of the distortion of
distance for one class of mappings. Ukrainian Mathematical Journal, 70:1791�1802,
2019.
[44] R. Salimov, E. Smolovaya. On the order of growth of ring Q-homeomorphisms at
in�nity. Ukrainian Mathematical Journal, 62(6):961�969, 2010.
[45] R. Salimov, M. Stefanchuk. Finite Lipschitzness of regular solutions to nonlinear
Beltrami equation. Complex Variables and Elliptic Equations, 69(6):913�923, 2024.
[46] E. Sevost'yanov, S. Skvortsov½ P. Dovhopiatyi. On nonhomeomorphic mappings with
the inverse Poletsky inequality. Journal of Mathematical Sciences, 252(4):541�557,
2021.
[47] E. Sevost'yanov, A. Ukhlov. Sobolev mappings and moduli inequalities on Carnot
groups. Journal of Mathematical Sciences, 249(5):754�768, 2020.
[48] M. Stefanchuk. On exponential asymptotics of one class of homeomorphisms at
a point of the complex plane. Proceedings of the International Geometry Center,
17(2):158�170, 2024.
[49] M. Stefanchuk. On exponential asymptotics of ring Q-homeomorphisms at in�nity.
Journal of Mathematical Sciences, 282(1):83�92, 2024.
[50] J. V�ais�al�a. Lectures on n-dimensional quasiconformal mappings, volume 229 of
Lecture Notes in Math. Springer-Verlag, Berlin, 1971.
[51] Å. Àôàíàñüåâà, Â. Ðÿçàíîâ½ Ð. Ñàëèìîâ. Ê òåîðèè îòîáðàæåíèé êëàññà Ñîáîëåâà
ñ êðèòè÷åñêèì ïîêàçàòåëåì. Óêðà¨íñüêèé ìàòåìàòè÷íèé âiñíèê, 15(2):154�176,
2018.
[52] Å. Àôàíàñüåâà, Â. Ðÿçàíîâ½ Ð. Ñàëèìîâ. Ê òåîðèè êëàññîâ Ñîáîëåâà ñ êðèòè÷å-
ñêèì ïîêàçàòåëåì. Äîïîâiäi ÍÀÍ Óêðà¨íè, (8):3�8, 2019.
[53] Å. Àôàíàñüåâà, Ð. Ñàëèìîâ. Àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå íà áåñêîíå÷íîñòè ðåøå-
íèé óðàâíåíèÿ Áåëüòðàìè. Çáiðíèê ïðàöü Ií-òó ìàòåìàòèêè ÍÀÍÓ, 12(3):9�
16, 2015.
[54] À. Èãíàòüåâ, Â. Ðÿçàíîâ. Êîíå÷íîå ñðåäíåå êîëåáàíèå â òåîðèè îòîáðàæåíèé.
Óêðà¨íñüêèé ìàòåìàòè÷íèé âiñíèê, 2(3):395�417, 2005.
[55] À. Èãíàòüåâ, Â. Ðÿçàíîâ. Ê òåîðèè ãðàíè÷íîãî ïîâåäåíèÿ ïðîñòðàíñòâåííûõ
îòîáðàæåíèé. Óêðà¨íñüêèé ìàòåìàòè÷íèé âiñíèê, 3(2):199�211, 2006.
[56] Ä. Êîâòîíþê, Â. Ðÿçàíîâ. Ê òåîðèè íèæíèõ Q-ãîìåîìîðôèçìîâ. Óêðà¨íñüêèé
ìàòåìàòè÷íèé âiñíèê, 5(2):157�181, 2008.
[57] Ä. À. Êîâòîíþê, Ð. Ñàëèìîâ½ Å. Ñåâîñòüÿíîâ. Ê òåîðèè îòîáðàæåíèé êëàññîâ
Ñîáîëåâà è Îðëè÷à-Ñîáîëåâà. Íàóêîâà äóìêà, Êè¨â, 2013.
[58] Â. Êðóãëèêîâ. �ìêîñòè êîíäåíñàòîðîâ è ïðîñòðàíñòâåííûå îòîáðàæåíèÿ, êâàçè-
êîíôîðìíûå â ñðåäíåì. Ìàò. ñá., 130(2):185�206, 1986.
[59] Â. Ðÿçàíîâ, Ð. Ñàëèìîâ½ Å. Ñåâîñòüÿíîâ. Î êëàññàõ Îðëè÷à-Ñîáîëåâà è îòîáðà-
æåíèÿõ ñ îãðàíè÷åííûì èíòåãðàëîì Äèðèõëå. Óêð. ìàò. æóðí., 65(9):1254�
1265, 2013.
[60] Â. Ðÿçàíîâ, Ð. Ñàëèìîâ½ Å. Ñåâîñòüÿíîâ. Íîðìàëüíîñòü êëàññîâ Îðëè÷à-
Ñîáîëåâà. Óêð. ìàò. æóðí., 68(1):106�116, 2016.
[61] Ð. Ñàëèìîâ. Àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå êëàññîâ Îðëè÷à-Ñîáîëåâà íà áåñêîíå-
÷íîñòè. Çáiðíèê ïðàöü Ií-òó ìàòåìàòèêè ÍÀÍÓ, 12(4):273�284, 2015.
[62] Ð. Ñàëèìîâ. Íèæíèå Q-ãîìåîìîðôèçìû îòíîñèòåëüíî p-ìîäóëÿ. Óêðà¨íñüêèé
ìàòåìàòè÷íèé âiñíèê, 12(4):484�510, 2015.
[63] Ð. Ñàëèìîâ. Î íîâîì óñëîâèè êîíå÷íîé ëèïøèöåâîñòè êëàññîâ Îðëè÷à-
Ñîáîëåâà. Ìàòåìàòè÷íi Ñòóäi¨, 44(1):27�35, 2015.
Ïîâåäiíêà íà íåñêií÷åííîñòi êiëüöåâèõ òà íèæíiõ Q-ãîìåîìîðôiçìiâ 101
[64] Ð. Ñàëèìîâ. Ìåòðè÷åñêèå ñâîéñòâà êëàññîâ Îðëè÷à-Ñîáîëåâà. Óêðà¨íñüêèé ìà-
òåìàòè÷íèé âiñíèê, 13(1):129�141, 2016.
[65] Ð. Ñàëèìîâ. Îá îöåíêå ìåðû îáðàçà øàðà äëÿ íèæíèõ Q-ãîìåîìîðôèçìîâ. Äî-
ïîâiäi ÍÀÍ Óêðà¨íè, 12(1):19�25, 2016.
[66] Ð. Ñàëèìîâ, Á. Êëèùóê. Ýêñòðåìàëüíàÿ çàäà÷à äëÿ ïëîùàäè îáðàçà êðóãà. Äî-
ïîâiäi ÍÀÍ Óêðà¨íè, (10):22�27, 2016.
[67] Ð. Ñàëiìîâ. Ìåòîä íåêîíôîðìíîãî ìîäóëÿ ó òåîði¨ âiäîáðàæåíü çi ñêií÷åííèì
ñïîòâîðåííÿì. Ðóêîïèñ äèñ. äîêò. ôiç.-ìàò. íàóê, 2021.
[68] Ì. Ñòåôàí÷óê. Ïðî àñèìïòîòè÷íó ïîâåäiíêó íà íåñêií÷åííîñòi íèæíiõ Q-
ãîìåîìîðôiçìiâ âiäíîñíî p-ìîäóëÿ íà êîìïëåêñíié ïëîùèíi. Ïðàöi IÏÌÌ ÍÀÍ
Óêðà¨íè, 38(2):103�118, 2024.
Á. À. Êëiùóê
Iíñòèòóò ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè, ì. Êè¨â
Email: kban1988@gmail.com
ORCID: 0000-0001-9632-2079
Ð. Ð. Ñàëiìîâ
Iíñòèòóò ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè, ì. Êè¨â
Email: ruslan.salimov1@gmail.com
ORCID: 0000-0001-9395-3334
Ì. Â. Ñòåôàí÷óê
Iíñòèòóò ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè, ì. Êè¨â
Email: stefanmv43@gmail.com
ORCID: 0000-0003-3672-8346
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-542 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:09:08Z |
| publishDate | 2025 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/d5/3332a80bca7e00d979c3082398a365d5.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-5422026-02-24T12:22:41Z On the asymptotic behavior at infinity of ring and lower Q-homeomorphisms with respect to the p-modulus Про асимптотичну поведінку на нескінченності кільцевих та нижніх Q-гомеоморфізмів відносно p-модуля Klishchuk, Bogdan Salimov, Ruslan Stefanchuk, Mariia Кліщук, Богдан Салімов, Руслан Стефанчук, Марія In the paper the asymptotic behavior at infinity of ring Q-homeomorphisms with respect to the p-modulus as p≥n and lower Q-homeomorphisms with respect to the p-modulus as n−1<p≤n in the space Rn, n≥2, has been investigated. У статті досліджується асимптотична поведінка на нескінченності кільцевих Q-гомеоморфізмів відносно p-модуля при p≥n та нижніх Q-гомеоморфізмів відносно p-модуля при n−1<p≤n у просторі Rn, n≥2. Інститут математики НАН України 2025-08-18 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/542 10.3842/trim.v21n1.542 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 21 No. 1 (2024): Special Issue "Actual problems of modern mathematics: methods, models and applications"; 82-101 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 21 № 1 (2024): Спеціальний номер "Актуальні проблеми сучасної математики: методи, моделі та застосування" ; 82-101 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 21 № 1 (2024): Спеціальний номер "Актуальні проблеми сучасної математики: методи, моделі та застосування" ; 82-101 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/542/525 Авторське право (c) 2024 Богдан Кліщук, Руслан Салімов, Марія Стефанчук http://creativecommons.org/licenses/by/4.0 |
| spellingShingle | Klishchuk, Bogdan Salimov, Ruslan Stefanchuk, Mariia Кліщук, Богдан Салімов, Руслан Стефанчук, Марія On the asymptotic behavior at infinity of ring and lower Q-homeomorphisms with respect to the p-modulus |
| title | On the asymptotic behavior at infinity of ring and lower Q-homeomorphisms with respect to the p-modulus |
| title_alt | Про асимптотичну поведінку на нескінченності кільцевих та нижніх Q-гомеоморфізмів відносно p-модуля |
| title_full | On the asymptotic behavior at infinity of ring and lower Q-homeomorphisms with respect to the p-modulus |
| title_fullStr | On the asymptotic behavior at infinity of ring and lower Q-homeomorphisms with respect to the p-modulus |
| title_full_unstemmed | On the asymptotic behavior at infinity of ring and lower Q-homeomorphisms with respect to the p-modulus |
| title_short | On the asymptotic behavior at infinity of ring and lower Q-homeomorphisms with respect to the p-modulus |
| title_sort | on the asymptotic behavior at infinity of ring and lower q-homeomorphisms with respect to the p-modulus |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/542 |
| work_keys_str_mv | AT klishchukbogdan ontheasymptoticbehavioratinfinityofringandlowerqhomeomorphismswithrespecttothepmodulus AT salimovruslan ontheasymptoticbehavioratinfinityofringandlowerqhomeomorphismswithrespecttothepmodulus AT stefanchukmariia ontheasymptoticbehavioratinfinityofringandlowerqhomeomorphismswithrespecttothepmodulus AT klíŝukbogdan ontheasymptoticbehavioratinfinityofringandlowerqhomeomorphismswithrespecttothepmodulus AT salímovruslan ontheasymptoticbehavioratinfinityofringandlowerqhomeomorphismswithrespecttothepmodulus AT stefančukmaríâ ontheasymptoticbehavioratinfinityofringandlowerqhomeomorphismswithrespecttothepmodulus AT klishchukbogdan proasimptotičnupovedínkunaneskínčennostíkílʹcevihtanižníhqgomeomorfízmívvídnosnopmodulâ AT salimovruslan proasimptotičnupovedínkunaneskínčennostíkílʹcevihtanižníhqgomeomorfízmívvídnosnopmodulâ AT stefanchukmariia proasimptotičnupovedínkunaneskínčennostíkílʹcevihtanižníhqgomeomorfízmívvídnosnopmodulâ AT klíŝukbogdan proasimptotičnupovedínkunaneskínčennostíkílʹcevihtanižníhqgomeomorfízmívvídnosnopmodulâ AT salímovruslan proasimptotičnupovedínkunaneskínčennostíkílʹcevihtanižníhqgomeomorfízmívvídnosnopmodulâ AT stefančukmaríâ proasimptotičnupovedínkunaneskínčennostíkílʹcevihtanižníhqgomeomorfízmívvídnosnopmodulâ |