Estimates of characteristics of nonlinear approximation of classes of periodic functions
In the paper we make an overview of results concerning order estimates of the best m-term (sparse) trigonometric approximation and the best orthogonal trigonometric approximation of the Stepanets classes of multi- and univariate functions with bounded generalized derivatives in the Lebesque space. I...
Збережено в:
| Дата: | 2025 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2025
|
| Онлайн доступ: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/545 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872553052357001216 |
|---|---|
| author | Pozharska, Kateryna Пожарська, Катерина |
| author_facet | Pozharska, Kateryna Пожарська, Катерина |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Катерина Пожарська",
"institution": "Інститут математики НАН України, м. Київ, Україна; Технічний університет м. Хемніц, Німеччина"
}
] |
| author_sort | Pozharska, Kateryna |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2026-02-24T12:22:41Z |
| description | In the paper we make an overview of results concerning order estimates of the best m-term (sparse) trigonometric approximation and the best orthogonal trigonometric approximation of the Stepanets classes of multi- and univariate functions with bounded generalized derivatives in the Lebesque space. In addition, we formulate exact-order estimates for these approximation characteristics for the isotropic Nikol'skii-Besov classes with bounded differences in a certain Lebesque subspace. In particular, the case of small smoothness is considered of functions from the respective classes. |
| doi_str_mv | 10.3842/trim.v21n1.545 |
| first_indexed | 2026-08-04T01:09:12Z |
| format | Article |
| fulltext |
Çáiðíèê ïðàöü Ií-òó ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè (2024) ò. 21, �1, 149�168
Îöiíêè õàðàêòåðèñòèê
íåëiíiéíî¨ àïðîêñèìàöi¨
êëàñiâ ïåðiîäè÷íèõ ôóíêöié
Ê. Â. Ïîæàðñüêà
Abstract. In the paper we make an overview of results concerning order
estimates of the best m-term (sparse) trigonometric approximation and
the best orthogonal trigonometric approximation of the Stepanets classes of
multi- and univariate functions with bounded generalized derivatives in the
Lebesque space. In addition, we formulate exact-order estimates for these
approximation characteristics for the isotropic Nikol'skii-Besov classes with
bounded di�erences in a certain Lebesque subspace. In particular, the case
of small smoothness is considered of functions from the respective classes.
Àíîòàöiÿ. Ó ðîáîòi çðîáëåíî îãëÿä ðåçóëüòàòiâ ùîäî ïîðÿäêîâèõ îöi-
íîê âåëè÷èí íàéêðàùîãî m-÷ëåííîãî (ðîçðiäæåíîãî) òðèãîíîìåòðè-
÷íîãî íàáëèæåííÿ i íàéêðàùîãî îðòîãîíàëüíîãî òðèãîíîìåòðè÷íîãî
íàáëèæåííÿ êëàñiâ Ñòåïàíöÿ ôóíêöié îäíi¹¨ i áàãàòüîõ çìiííèõ ç îáìå-
æåíèìè óçàãàëüíåíèìè ïîõiäíèìè ó ìåòðèöi ïðîñòîðiâ Ëåáåãà. Êðiì
öüîãî, íàâåäåíî òî÷íi çà ïîðÿäêîì îöiíêè çàçíà÷åíèõ àïðîêñèìàòèâ-
íèõ õàðàêòåðèñòèê äëÿ içîòðîïíèõ êëàñiâ Íiêîëüñüêîãî-Á¹ñîâà ç îáìå-
æåíèìè ðiçíèöÿìè ó ìåòðèöi äåÿêîãî ïiäïðîñòîðó Ëåáåãà. Ðîçãëÿíóòî,
çîêðåìà, âèïàäîê ìàëî¨ ãëàäêîñòi ôóíêöié ç âiäïîâiäíèõ êëàñiâ.
1. Âñòóï
Ó ðîáîòi çðîáëåíî îãëÿä íàøèõ ðåçóëüòàòiâ ùîäî ïîðÿäêîâèõ îöiíîê
äåÿêèõ âåëè÷èí íåëiíiéíî¨ àïðîêñèìàöi¨. À ñàìå, ó ðîçäiëi 4.2 íàâåäåíî
i ïðîêîìåíòîâàíî îöiíêè íàéêðàùîãî m-÷ëåííîãî òðèãîíîìåòðè÷íîãî
íàáëèæåííÿ òà íàéêðàùîãî îðòîãîíàëüíîãî òðèãîíîìåòðè÷íîãî íàáëè-
æåííÿ êëàñiâ ôóíêöié ç îáìåæåíèìè óçàãàëüíåíèìè ïîõiäíèìè, ÿêi â
÷àñòêîâîìó âèïàäêó çáiãàþòüñÿ ç êëàñàìè Ñîáîë¹âà (Âåéëÿ-Íàäÿ), ó
ìåòðèöi ïðîñòîðiâ Ëåáåãà. Öi ðåçóëüòàòè âñòàíîâëåíî äëÿ áàãàòîâèìið-
íîãî âèèïàäêó, àëå ó íèçöi ñèòóàöié âîíè ¹ íîâèìè i äëÿ ôóíêöié îäíi¹¨
2020 Mathematics Subject Classi�cation: 42A10,41A46,41A63
Êëþ÷îâi ñëîâà: íàéêðàùå m-÷ëåííå òðèãîíîìåòðè÷íå íàáëèæåííÿ, íàéêðàùå
îðòîãîíàëüíå òðèãîíîìåòðè÷íå íàáëèæåííÿ, íåëiíiéíà àïðîêñèìàöiÿ, óçàãàëüíåíà
ïîõiäíà
DOI : https://doi.org/10.3842/trim.v21n1.545
149
150 Ê. Â. Ïîæàðñüêà
çìiííî¨. Äàëi, ó ðîçäiëi 4.3 íàâåäåíî îöiíêè çàçíà÷åíèõ àïðîêñèìàòèâ-
íèõ õàðàêòåðèñòèê äëÿ içîòðîïíèõ êëàñiâ Íiêîëüñüêîãî-Á¹ñîâà ôóíêöié
ç îáìåæåíèìè ðiçíèöÿìè ó ìåòðèöi äåÿêîãî âàæëèâîãî ïiäïðîñòîðó Ëå-
áåãà.
Çàóâàæèìî, ùî àïðîêñèìàòèâíi õàðàêòåðèñòèêè, ïîâ'ÿçàíi ç íåëiíié-
íîþ àïðîêñèìàöi¹þ, àêòèâíî äîñëiäæóþòüñÿ âæå ïîíàä ïiâ ñòîëiòòÿ.
Íåâè÷åðïíèé iíòåðåñ äî òàêèõ íàáëèæåíü âèêëèêàíèé íàñàìïåðåä òèì,
ùî â áàãàòüîõ ñèòóàöiÿõ âèÿâëåíî ïåðåâàãè íåëiíiéíèõ ìåòîäiâ íàáëè-
æåííÿ ïîðiâíÿíî ç ëiíiéíèìè.
Ïðè ðîçãëÿäi çàäà÷ íà êëàñàõ ïåðiîäè÷íèõ ôóíêöié áàãàòüîõ çìiííèõ
f :“ fpxq, x P Rd, d ě 1, âñå áiëüøîãî ðîçïîâñþäæåííÿ íàáóâ๠ìå-
òîä m-÷ëåííîãî (ðîçðiäæåíîãî) òðèãîíîìåòðè÷íîãî íàáëèæåííÿ, òîáòî
íàáëèæåííÿ f ïîëiíîìàìè âèãëÿäó
P pΘm,xq “
ÿ
kPΘm
cke
ipk,xq, ck P C, (1.1)
äå Θm � íàáið m äîâiëüíèõ âåêòîðiâ k P Zd, pk,xq “ k1x1 ` ¨ ¨ ¨ ` kdxd.
Âiäïîâiäíà àïðîêñèìàòèâíà õàðàêòåðèñòèêà ó áiëüø çàãàëüíié ñèòó-
àöi¨ áóëà ââåäåíà â 1955 ðîöi Ñ. Á. Ñò¹÷êiíèì [28] ïðè ôîðìóëþâàííi
êðèòåðiþ àáñîëþòíî¨ çáiæíîñòi îðòîãîíàëüíèõ ðÿäiâ ó ïðîñòîði L2. Ó
ðîáîòi Ð. Ñ. Iñìàãiëîâà [21], ïðè äîñëiäæåííi ïîïåðå÷íèêiâ êëàñiâ Ñîáî-
ë¹âà, áóëî îòðèìàíî ïåðøó íåòðèâiàëüíó îöiíêó âåëè÷èíè íàéêðàùîãî
m-÷ëåííîãî òðèãîíîìåòðè÷íîãî íàáëèæåíÿ äëÿ iíäèâiäóàëüíî¨ ôóíêöi¨.
Ðåçóëüòàò [21, Íàñëiäîê äî Òåîðåìè 6] ïîêàçàâ, ùî çàçíà÷åíà âåëè÷è-
íà íåëiíiéíîãî íàáëèæåííÿ äëÿ ôóíêöi¨ |x| ñïàä๠äî íóëÿ øâèäøå ó
ñòåïåíåâié øêàëi, íiæ âåëè÷èíà âiäïîâiäíîãî íàéêðàùîãî íàáëèæåííÿ
ëiíiéíèìè ìåòîäàìè. Çãîäîì äîñëiäæåííÿ íàéêðàùèõ m-÷ëåííèõ òðè-
ãîíîìåòðè÷íèõ íàáëèæåíü iíäèâiäóàëüíèõ ôóíêöié i, â áiëüøié ìiði,
ôóíêöiîíàëüíèõ êëàñiâ ïðîâîäèëèñü ó ðîáîòàõ Ã. À. Àêiøåâà, Ä. Á. Áà-
çàðõàíîâà, Å. Ñ. Áåëiíñüêîãî, Ð. À. ÄåÂîðà, Ä. Çóíãà, Ð. Ñ. Iñìàãiëî-
âà, Á. Ñ. Êàøèíà, Â. �. Ìàéîðîâà, Ê. I. Îñêîëêîâà, À. Ñ. Ðîìàíþêà,
Â. Ñ. Ðîìàíþêà, À. Ñ. Ñåðäþêà, Â. Ñiêêåëÿ, C. À. Ñòàñþêà, Î. I. Ñòåïàí-
öÿ, Ò. À. Ñòåïàíþê, Â. Ì. Òåìëÿêîâà, Ò. Óðëiõà, Ã. Õàíñåíà, Ñ. Î. ×àé-
÷åíêà, À. Ë. Øèäëi÷à, Ñ. ß. ßí÷åíêà òà iíøèõ. Îäåðæàíi ó öüîìó íà-
ïðÿìi ðåçóëüòàòè, ç îäíîãî áîêó, ìàþòü ñàìîñòiéíèé iíòåðåñ, à ç iíøîãî �
âîíè çíàõîäÿòü ïðàêòè÷íi çàñòîñóâàííÿ, çîêðåìà, ó ïèòàííÿõ êîäóâàí-
íÿ, ïåðåäà÷i i âiäòâîðåííÿ çîáðàæåíü.
Âiäìiòèìî, ùî â ëiòåðàòóði ðîçãëÿäàþòü ðiçíi óçàãàëüíåííÿ âåëè÷èíè
íàéêðàùîãî òðèãîíîìåòðè÷íîãî íàáëèæåííÿ, äå îïòèìiçàöiÿ ïðîâîäè-
òüñÿ âiäíîñíî m-âèìiðíèõ ïiäïðîñòîðiâ, ïîðîäæåíèõ åëåìåíòàìè äåÿêî¨
âèçíà÷åíî¨ îðòîíîðìîâàíî¨ ñèñòåìè ôóíêöié (òàê çâàíîãî �ñëîâíèêà�).
Îöiíêè õàðàêòåðèñòèê íåëiíiéíî¨ àïðîêñèìàöi¨ 151
Áóëî ïîêàçàíî, ùî íà êëàñàõ Ñîáîë¹âà i Íiêîëüñüêîãî-Á¹ñîâà ïåðiîäè-
÷íèõ ôóíêöié áàãàòüîõ çìiííèõ ó áàãàòüîõ âèïàäêàõ ñàìå òðèãîíîìå-
òðè÷íà ñèñòåìà ¹ îïòèìàëüíèì ñëîâíèêîì ó ñåíñi âiäïîâiäíèõ ïîðÿäêî-
âèõ îöiíîê ó ìåòðèöi ïðîñòîðiâ Ëåáåãà. Ó ðÿäi ñèòóàöié, ïðîòå, âåëè÷èíà
íàéêðàùîãî m-÷ëåííîãî íàáëèæåííÿ çà iíøèìè ñèñòåìàìè, çîêðåìà ñè-
ñòåìîþ âåéâëåòiâ, øâèäøå ñïàä๠äî íóëÿ ïðè m Ñ 8. Íà äàíèé ÷àñ
íèçêà ïèòàíü ùîäî òî÷íèõ ïîðÿäêiâ âåëè÷èíè íàéêðàùîãî m-÷ëåííîãî
íàáëèæåííÿ íà çàçíà÷åíèõ êëàñàõ äëÿ ãðàíè÷íèõ çíà÷åíü ïàðàìåòðiâ
êëàñó i ìåòðèêè çàëèøàþòüñÿ âiäêðèòèìè [3, Ðîçäiëè 7.5, 7.7]. Ó äàíié
ðîáîòi ìîâà áóäå éòè ñàìå ïðî îöiíêè íàéêðàùèõ m-÷ëåííèõ òðèãîíî-
ìåòðè÷íèõ íàáëèæåíü.
Îñêiëüêè ïðè âñòàíîâëåííi îöiíîê íàéêðàùèõ m-÷ëåííèõ òðèãîíîìå-
òðè÷íèõ íàáëèæåíü òèõ àáî iíøèõ êëàñiâ ôóíêöié íå çàâæäè âäà¹òüñÿ
ÿâíî ïðåä'ÿâèòè ïîëiíîì P ˚pΘm,xq, ÿêèé ðåàëiçó¹ âiäïîâiäíèé ïîðÿ-
äîê íàáëèæåííÿ, ðîçãëÿäàþòü òàêîæ áëèçüêó àïðîêñèìàòèâíó õàðàêòå-
ðèñòèêó � íàéêðàùå îðòîãîíàëüíå òðèãîíîìåòðè÷íå íàáëèæåííÿ. Îñî-
áëèâiñòþ íàéêðàùèõ îðòîãîíàëüíèõ òðèãîíîìåòðè÷íèõ íàáëèæåíü ïî-
ðiâíÿíî ç íàéêðàùèìèm-÷ëåííèìè òðèãîíîìåòðè÷íèìè íàáëèæåííÿìè
¹ òå, ùî êîåôiöi¹íòè ck ó ïîëiíîìàõ P pΘm,xq (1.1) ¹ âiäïîâiäíèìè êî-
åôiöi¹íòàìè Ôóð'¹ pfpkq ôóíêöié f . Äîñëiäæåííÿ öi¹¨ àïðîêñèìàòèâíî¨
õàðàêòåðèñòèêè íà êëàñàõ ôóíêöié îäíi¹¨ i áàãàòüîõ çìiííèõ îòðèìàëè
ðîçâèòîê ó ðîáîòàõ Å. Ñ. Áåëiíñüêîãî, À. Ñ. Ðîìàíþêà, Â. Ñ. Ðîìàíþ-
êà, Î. I. Ñòåïàíöÿ, Ä. Á. Áàçàðõàíîâà, C. À. Ñòàñþêà, À. Ñ. Ñåðäþêà,
Ò. À. Ñòåïàíþê, À. Ë. Øèäëi÷à, Ñ. ß. ßí÷åíêà òà iíøèõ.
Äåòàëüíèé îãëÿä âiäîìèõ îöiíîê âåëè÷èí íàéêðàùîãî m-÷ëåííîãî
òðèãîíîìåòðè÷íîãî i íàéêðàùîãî îðòîãîíàëüíîãî òðèãîíîìåòðè÷íîãî
íàáëèæåíü ó ìåòðèöi ïðîñòîðó Ëåáåãà òà âiäïîâiäíà áiáëiîãðàôiÿ ìi-
ñòèòüñÿ ó ìîíîãðàôiÿõ [3,16,26]. Áåçïîñåðåäíüî ïîâ'ÿçàíi ç íàøèìè äî-
ñëiäæåííÿìè ðåçóëüòàòè ïðîêîìåíòîâàíî ïiñëÿ âiäïîâiäíèõ òâåðäæåíü
ó ðîçäiëi 4.
Çàçíà÷èìî, ùî çãàäàíi âèùå àïðîêñèìàòèâíi õàðàêòåðèñòèêè íà òåïå-
ðiøíié ÷àñ äîáðå âèâ÷åíi ñòîñîâíî êëàñiâ ïåðiîäè÷íèõ ôóíêöié áàãàòüîõ
çìiííèõ Ñîáîë¹âà Wr
β,p, Íiêîëüñüêîãî Hr
p i Á¹ñîâà Brp,θ ó ìåòðèöi ïðîñ-
òîðó Ëåáåãà Lq. Ó òîé æå ÷àñ, äîñi çàëèøà¹òüñÿ íèçêà âiäêðèòèõ ïèòàíü
ùîäî òî÷íèõ ïîðÿäêiâ äîñëiäæóâàíèõ õàðàêòåðèñòèê. Òàê, ïðè äîñëi-
äæåííi ïèòàííÿ ïðî îöiíêè íàéêðàùèõ òðèãîíîìåòðè÷íèõ íàáëèæåíü
âiäïîâiäíèõ êëàñiâ ñóòò¹âó ðîëü âiäiãðàþòü îñîáëèâîñòi ðîçòàøóâàííÿ
ïàðàìåòðiâ p òà q íà îáëàñòi ¨õíiõ äîïóñòèìèõ çíà÷åíü. Îñîáëèâî¨ óâàãè
çàñëóãîâóþòü âèïàäêè, êîëè ïðèíàéìíi îäèí ç ïàðàìåòðiâ p, q P t1,8u,
ÿêi ¹ íàéáiëüø ñêëàäíèìè ç òî÷êè çîðó ìåòîäiâ îòðèìàííÿ îöiíîê âiä-
ïîâiäíèõ âåëè÷èí.
152 Ê. Â. Ïîæàðñüêà
Ñàìå äëÿ ãðàíè÷íèõ âèïàäêiâ çàëèøà¹òüñÿ íèçêà âiäêðèòèõ ïèòàíü
ùîäî òî÷íèõ çà ïîðÿäêîì îöiíîê àïðîêñèìàòèâíèõ õàðàêòåðèñòèê ði-
çíèõ ôóíêöiîíàëüíèõ êëàñiâ. Çîêðåìà, äëÿ êëàñiâ Wr
β,p áàãàòüîõ çìií-
íèõ äîñi çàëèøàþòüñÿ íåðîçâ'ÿçàíèìè ó çàãàëüíîìó âèïàäêó çàäà÷i ïðî
ïîðÿäêîâi îöiíêè âåëè÷èí íàéêðàùîãî m-÷ëåííîãî òðèãîíîìåòðè÷íîãî
íàáëèæåííÿ empWr
β,1q1 òà empWr
β,8q8 (äèâ. îçíà÷åííÿ (2.1)).
Öå âèêëèêàëî çíà÷íèé iíòåðåñ äî äîñëiäæåííÿ âiäïîâiäíèõ õàðàê-
òåðèñòèê ó ìåòðèöi ïiäïðîñòîðiâ Ëåáåãà Bq,1, 1 ď q ď 8, äå âäàëîñÿ
îòðèìàòè òî÷íi çà ïîðÿäêîì îöiíêè, çîêðåìà, äëÿ òèõ ñïiââiäíîøåíü
ìiæ ïàðàìåòðàìè, äå âîíè íå áóëè âiäîìi äëÿ âiäïîâiäíèõ ïðîñòîðiâ Lq.
Ïîñòàíîâêà çàäà÷i ùîäî âñòàíîâëåííÿ îöiíîê íàéêðàùèõm-÷ëåííèõ i
îðòîãîíàëüíèõ òðèãîíîìåòðè÷íèõ íàáëèæåíü êëàñiâ ôóíêöié ñàìå ó ìå-
òðèöi ïðîñòîðiâ Bq,1 (äèâ. ðîçäië 4.3) íå ¹ âèïàäêîâîþ. Ïîõèáêè ðiçíèõ
ìåòîäiâ àïðîêñèìàöi¨, çîêðåìà, i ó ìåòðèöi öèõ òàê çâàíèõ �íóëüîâèõ�
ïðîñòîðiâ Á¹ñîâà íåîäíîðàçîâî äîñëiäæóâàëèñÿ ó ëiòåðàòóði. Òàê, ó ðî-
áîòi [2] áóëî ïîêàçàíî, ùî îöiíêè àïðîêñèìàöiéíèõ ÷èñåë ïåðiîäè÷íèõ
ôóíêöié ÿê içîòðîïíî¨, òàê i äîìiíóþ÷î¨ ìiøàíî¨ ãëàäêîñòi, ç ãiëüáåð-
òîâèõ êëàñiâ Ñîáîë¹âà ó ìåòðèêàõ ïðîñòîðiâ L8 òà B8,1 îäèíàêîâi çà
ïîðÿäêîì. Îöiíêè åíòðîïiéíèõ ÷èñåë íà êëàñàõ Òðiáåëÿ-Ëiçîðêiíà, çîê-
ðåìà, ó íîðìi íóëüîâèõ ïðîñòîðiâ Á¹ñîâà áóëè âñòàíîâëåíi ó [17]. Ùîäî
îöiíîê âåëè÷èí íàéêðàùîãî íàáëèæåííÿ, íàáëèæåííÿ ñóìàìè Ôóð'¹,
ëiíiéíèõ, òðèãîíîìåòðè÷íèõ, êîëìîãîðîâñüêèõ ïîïåðå÷íèêiâ, åíòðîïié-
íèõ ÷èñåë êëàñiâ Ñîáîë¹âà i Íiêîëüñüêîãî-Á¹ñîâà ó ìåòðèöi ïðîñòîðó
B8,1, òóò âàðòî âèäiëèòè ðîáîòè [9, 10,12].
Îäíi¹þ ç âàæëèâèõ i ñêëàäíèõ çàäà÷ ¹ ðîçãëÿä âèïàäêó òàê çâàíî¨
�ìàëî¨ ãëàäêîñòi� äîñëiäæóâàíèõ ç òî÷êè çîðó àïðîêñèìàöi¨ ôóíêöié.
Öåé òåðìií áåðå ïî÷àòîê ç ðîáîòè Á. Ñ. Êàøèíà 1981 ðîêó, äå, äîñëi-
äæóþ÷è êîëìîãîðîâñüêi ïîïåðå÷íèêè êëàñiâWr
β,1 ïåðiîäè÷íèõ ôóíêöié
îäíi¹¨ çìiííî¨ ó ïðîñòîði Lq, âií âèÿâèâ, ùî ïðè 2 ă q ă 8 ïîâåäiíêà
öèõ ïîïåðå÷íèêiâ äëÿ 1´1{q ă r ă 1 ñóòò¹âî âiäðiçíÿ¹òüñÿ âiä âèïàäêó
r ą 1. Çãîäîì ïîäiáíà îñîáëèâiñòü áóëà âèÿâëåíà ó íèçêè àïðîêñèìàòèâ-
íèõ õàðàêòåðèñòèê ðiçíèõ êëàñiâ ôóíêöié. Ïðè äîñëiäæåííi íàéêðàùèõ
m-÷ëåííèõ òðèãîíîìåòðè÷íèõ íàáëèæåíü, íàìè áóëî ðîçãëÿíóòî (òåî-
ðåìè 4.7, 4.11) âèïàäîê ìàëî¨ ãëàäêîñòi ôóíêöié ç âiäïîâiäíèõ êëàñiâ òà
âèÿâëåíî âiäìiííîñòi ó ïîðÿäêàõ ñïàäàííÿ äî íóëÿ öèõ âåëè÷èí.
Êðiì öüîãî, íàìè áóëî âñòàíîâëåíî ïîðÿäêîâi îöiíêè âèùå çàçíà÷å-
íèõ õàðàêòåðèñòèê íåëiíiéíî¨ àïðîêñèìàöi¨ íà êëàñàõ òèïó Ñîáîë¹âà, à
ñàìå, íà êëàñàõ Lψβ,p, ÿêi â îäíîâèìiðíîìó âèïàäêó áóëè ââåäåíi ó 1983
ðîöi Î. I. Ñòåïàíöåì, i ÿêi ¹ óçàãàëüíåííÿì çà ãëàäêiñíèì ïàðàìåòðîì
êëàñiâWr
β,p. Çàóâàæèìî, ùî öi êëàñè ¹ äîñi çíà÷íî ìåíø äîñëiäæåíèìè
i â òîé æå ÷àñ àêòóàëüíèìè ç òî÷êè çîðó ñó÷àñíî¨ òåîði¨ àïðîêñèìàöi¨.
Îöiíêè õàðàêòåðèñòèê íåëiíiéíî¨ àïðîêñèìàöi¨ 153
Îäåðæàíi ðåçóëüòàòè áóäåìî ôîðìóëþâàòè ó òåðìiíàõ ïîðÿäêîâèõ
ñïiââiäíîøåíü. Äëÿ äâîõ íåâiä'¹ìíèõ ïîñëiäîâíîñòåé tapnqu i tbpnqu ïî-
ðÿäêîâà íåðiâíiñòü apnq ! bpnq îçíà÷à¹, ùî iñíó¹ C1 ą 0, òàêå ùî
apnq ď C1bpnq. Ïîðÿäêîâà ðiâíiñòü apnq — bpnq ðiâíîñèëüíà òîìó, ùî
apnq ! bpnq i bpnq ! apnq. Çàçíà÷èìî, ùî Ci ó ïîðÿäêîâèõ ñïiââiäíîøå-
ííÿõ, ìîæóòü çàëåæàòè âiä äåÿêèõ (îêðiì n) ïàðàìåòðiâ.
2. Îçíà÷åííÿ àïðîêñèìàòèâíèõ õàðàêòåðèñòèê
Íåõàé Rd, d ě 1, � åâêëiäiâ ïðîñòið iç åëåìåíòàìè x “ px1, . . . , xdq.
×åðåç Lq :“ LqpTdq, 1 ď q ď 8, Td “ r0, 2πqd, ïîçíà÷èìî ïðîñòið ôóí-
êöié f , ÿêi ¹ 2π-ïåðiîäè÷íèìè çà êîæíîþ çìiííîþ i òàêi, ùî
}f}q :“ }f}Lq “
´
p2πq´d
ż
Td
|fpxq|q dx
¯1{q ă 8, 1 ď q ă 8,
}f}8 :“ }f}L8 “ ess supxPTd |fpxq| ă 8, q “ 8.
Äàëi, íåõàé X � íîðìoâàíèé d-âèìiðíèé ïðîñòið iç íîðìîþ } ¨ }X . Äëÿ
ôóíêöi¨ f P X ðîçãëÿíåìî âåëè÷èíó ¨¨ íàéêðàùîãî m-÷ëåííîãî òðèãî-
íîìåòðè÷íîãî íàáëèæåííÿ
empfqX :“ inf
ck
inf
Θm
›››f ´
ÿ
kPΘm
cke
ipk,xq
›››
X
“ inf
ck
inf
Θm
}f ´ P pΘmq}X , (2.1)
òîáòî íàáëèæåííÿ ïîëiíîìàìè (1.1) iç ãàðìîíiêàìè ç ìíîæèíè Θm ïî-
òóæíîñòi íå áiëüøå m.
Ó òîìó âèïàäêó, êîëè â îçíà÷åííi (2.1) äîâiëüíi êîåôiöi¹íòè ck çàìi-
íèòè íà êîåôiöi¹íòè Ôóð'¹ pfpkq ôóíêöi¨ f P L1, òîáòî ïîêëàñòè
ck “ pfpkq “ p2πq´d
ż
Td
fptqe´ipk,tqdt, k P Θm,
îòðèìà¹ìî âåëè÷èíó
eK
M pfqX :“ inf
Θm
›››f ´
ÿ
kPΘm
pfpkqeipk,xq
›››
X
, (2.2)
ÿêó íàçèâàþòü íàéêðàùèì îðòîãîíàëüíèì òðèãîíîìåòðè÷íèì íàáëè-
æåííÿì ôóíêöi¨ f .
ßêùî F Ă X � äåÿêèé êëàñ ôóíêöié, òî ïîêëàäåìî, âiäïîâiäíî,
empF qX :“ sup
fPF
empfqX , eK
mpF qX :“ sup
fPF
eK
mpfqX .
Âåëè÷èíè empF qX i eK
mpF qX íàçèâàþòü íàéêðàùèì m-÷ëåííèì òðè-
ãîíîìåòðè÷íèì i íàéêðàùèì îðòîãîíàëüíèì òðèãîíîìåòðè÷íèì íàáëè-
æåííÿìè êëàñó F ó ïðîñòîði X. Îäðàçó ç îçíà÷åíü áà÷èìî, ùî
empF qX ď eK
mpF qX .
154 Ê. Â. Ïîæàðñüêà
Íàìè áóëî âñòàíîâëåíî ïîðÿäêîâi îöiíêè âåëè÷èí (2.1) i (2.2) ó âèïàä-
êàõ, êîëè ïîõèáêà íàáëèæåííÿ âèìiðþ¹òüñÿ ó ìåòðèöi ïðîñòîðó Ëåáåãà
Lq, à òàêîæ ó ìåòðèöi ïiäïðîñòîðó Bq,1, 1 ď q ď 8.
Îçíà÷èìî íîðìó } ¨ }Bq,1 ó ïiäïðîñòîðàõ ôóíêöié f P Lq. Òàêà íîð-
ìà ñõîæà íà äåêîìïîçèöiéíó íîðìó ôóíêöié iç ïðîñòîðiâ Á¹ñîâà (äèâ.
ðîçäië 3).
Îòæå, íåõàé Vlpxq � áàãàòîâèìiðíå ÿäðî Âàëëå-Ïóññåíà âèãëÿäó
Vlpxq :“
dź
j“1
Vlpxjq, l P N, x P Rd,
äå äëÿ t P R ïîêëàäåìî Vlptq :“ l´1
ř2l´1
k“l Dkptq, à Dkptq :“ řk
m“´k eimt �
ÿäðî Äiðiõëå. Ðîçãëÿíåìî çãîðòêó ôóíêöi¨ f P L1 ç ÿäðîì Vlpxq, òîáòî
Vlpf,xq :“ pf ˚ Vlqpxq, òà ââåäåìî òàêi ïîçíà÷åííÿ:
σ0pfq :“ σ0pf,xq “ V1pf,xq,
σspfq :“ σspf,xq “ V2spf,xq ´ V2s´1pf,xq, s P N.
Äëÿ ïîëiíîìiâ t çà êðàòíîþ òðèãîíîìåòðè÷íîþ ñèñòåìîþ teipk,xqukPZd
íoðìó }t}Bq,1 , 1 ď q ď 8, çàäàíî çãiäíî ç ôîðìóëîþ
}t}Bq,1 :“
ÿ
sPZ`
}σsptq}q,
äå Z` “ N Y t0u. Àíàëîãi÷íî îçíà÷åíî íîðìó }f}Bq,1 i äëÿ áóäü-ÿêî¨
ôóíêöi¨ f P Lq òàêî¨, ùî ðÿä ř
sPZ` }σspfq}q çáiãà¹òüñÿ. Çàçíà÷èìî, ùî
äëÿ f P Bq,1, 1 ď q ď 8, âèêîíóþòüñÿ ñïiââiäíîøåííÿ:
}f}q ! }f}Bq,1 ; }f}B1,1 ! }f}Bq,1 ! }f}B8,1 .
3. Êëàñè ôóíêöié
Ó öié ÷àñòèíi îçíà÷èìî ïðîñòîðè 2π-ïåðiîäè÷íèõ ôóíêöié áàãàòüîõ
çìiííèõ ìiøàíî¨ ãëàäêîñòi: Ñîáîë¹âà (Âåéëÿ�Íàäÿ) W r
p,α i Ñòåïàíöÿ
Lψβ,p, à òàêîæ içîòðîïíî¨ ãëàäêîñòi Íiêîëüñüêîãî-Á¹ñîâà Br
p,θ .
Ïiä êëàñàìè ôóíêöié áóäåìî ðîçóìiòè îäèíè÷íi êóëi âiäïîâiäíèõ ïðîñ-
òîðiâ. Çàäëÿ ñïðîùåííÿ âèêëàäó, áóäåìî âèêîðèñòîâóâàòè äëÿ íèõ ñïiëü-
íå ïîçíà÷åííÿ.
Iíîäi äëÿ çðó÷íîñòi ìè áóäåìî ðîçãëÿäàòè ëèøå òi ôóíêöi¨ f P L1,
äëÿ ÿêèõ âèêîíàíà óìîâà
ż 2π
0
fpxqdxj “ 0 ìàéæå ñêðiçü, j “ 1, . . . , d.
Ìíîæèíó òàêèõ ôóíêöié ïîçíà÷èìî L0
p.
Îöiíêè õàðàêòåðèñòèê íåëiíiéíî¨ àïðîêñèìàöi¨ 155
Öÿ óìîâà íå çìåíøó¹ çàãàëüíîñòi ïîñòàíîâêè çàäà÷i çàâäÿêè åêâi-
âàëåíòíîñòi âiäïîâiäíèõ êëàñiâ ôóíêöié (äèâ. [3, Çàóâàæåííÿ 3.2.4]).
Çàóâàæèìî ïðîòå, ùî òàêi âiäìiííîñòi â îçíà÷åííi êëàñiâ ñóòò¹âî âïëè-
âàòèìóòü íà ïðåàñèìïòîòè÷íi îöiíêè àïðîêñèìàòèâíèõ õàðàêòåðèñòèê,
äå âàæëèâîþ ¹ çàëåæíiñòü ñòàëèõ ó ïîðÿäêîâèõ ñïiââiäíîøåííÿõ âiä
ðîçìiðíîñòi d (öÿ òåìà íå ðîçãëÿäà¹òüñÿ ó äàíié ñòàòòi).
3.1. Ïðîñòîðè Ñîáîë¹âà (Âåéëÿ�Íàäÿ) ôóíêöié ç îáìåæåíîþ
ïîõiäíîþ. Íàâåäåìî îçíà÷åííÿ êëàñiâ ôóíêöié ç îáìåæåíîþ ìiøà-
íîþ ïîõiäíîþ ÷åðåç iíòåãðàëüíå ïðåäñòàâëåííÿ öèõ ôóíêöié ó òåðìiíàõ
çãîðòîê iç ÿäðîì Áåðíóëëi. Òàêèé ïiäõiä äîçâîëÿ¹ ïðèðîäíiì ÷èíîì ïî-
øèðèòè êëàñè Âåéëÿ-Íàäÿ ôóíêöié ç îáìåæåíèìè äðîáîâèìè ïîõiäíè-
ìè íà áàãàòîâèìiðíèé âèïàäîê.
Íåõàé F rαpxq, äå r,α P Rd, rj ą 0, j “ 1, . . . , d, � áàãàòîâèìiðíi àíà-
ëîãè ÿäåð Áåðíóëëi, òîáòî
F rαpxq :“ 2d
ÿ
kPNd
dź
j“1
k
´rj
j cos
´
kjxj ´ αjπ
2
¯
.
×åðåç W r
p,α ïîçíà÷èìî êëàñ ôóíêöié f P L0
p âèãëÿäó
fpxq “ φpxq ˚ F rαpxq “ p2πq´d
ż
Td
φpyqF rαpx´ yqdy,
äå φ P L0
p, }φ}p ď 1, à ˚ � îïåðàöiÿ çãîðòêè, ç íîðìîþ }f}Wr
p,α
:“ }φ}p.
Ïðè 1 ă αj ă 8, j “ 1, . . . , d, âiäïîâiäíi êëàñè ôóíêöié ¹ åêâiâà-
ëåíòíèìè ìiæ ñîáîþ. Áóäåìî ââàæàòè, ùî êîîðäèíàòè âåêòîðà r P Rd
âïîðÿäêîâàíi ó ïîðÿäêó çðîñòàííÿ.
Çàñòîñîâóþ÷è òåîðåìó Ëiòòâóäà-Ïåëi, ïðè 1 ă p ă 8 ìîæíà çà-
ïèñàòè åêâiâàëåíòíi ïðåäñòàâëåííÿ íîðìè ïðîñòîðiâ W r
p,α ó òåðìiíàõ
äâiéêîâèõ áëîêiâ ðÿäó Ôóð'¹ âiäïîâiäíèõ ôóíêöié. Òàêi åêâiâàëåíòíi
ïðåäñòàâëåííÿ ¹ çðó÷íèìè, çîêðåìà, ïðè àíàëiçi âåëè÷èí íàáëèæåííÿ
ôóíêöié ïîëiíîìàìè ç ãàðìîíiêàìè, ùî íàëåæàòü òàê çâàíèì ñõiä÷àñòî-
ãiïåðáîëi÷íèì õðåñòàì, ÿêi, ÿê áóëî ïîêàçàíî ó 60-õ ðîêàõ ìèíóëîãî
ñòîëiòòÿ, ó áàãàòüîõ ñèòóàöiÿõ ðåàëiçîâóþòü òî÷íi ïîðÿäêè êîëìîãîðîâ-
ñüêèõ ïîïåðå÷íèêiâ êëàñiâ ôóíêöié ç äîìiíóþ÷îþ ìiøàíîþ ãëàäêiñòþ.
Äåòàëüíiøó iíôîðìàöiþ ìîæíà çíàéòè ó [3, Ðîçäië 3.1].
3.2. Ïðîñòîðè Ñòåïàíöÿ ôóíêöié ç îáìåæåíîþ óçàãàëüíåíîþ
ïîõiäíîþ. Îçíà÷èìî êëàñè ôóíêöié ç îáìåæåíîþ óçàãàëüíåíîþ pψ,βq-
ïîõiäíîþ. Â îäíîâèìiðíîìó âèïàäêó, âîíè áóëè ââåäåíi ó 1983 ðîöi
Î. I. Ñòåïàíöåì (äèâ. [27]) òà çãîäîì áóëè ïîøèðåíi íà âèïàäîê ôóíêöié
áàãàòüîõ çìiííèõ À. Ñ. Ðîìàíþêîì.
156 Ê. Â. Ïîæàðñüêà
Îòæå, äëÿ f P L0
1 ðîçãëÿíåìî ¨¨ ðÿä Ôóð'¹
ř
kPZd pfpkqeipk,xq, äå pfpkq �
êîåôiöi¹íòè Ôóð'¹ ôóíêöi¨ f .
Íåõàé ψ :“ pψ1, . . . , ψdq, äå ψj ‰ 0, j “ 1, . . . , d, � äåÿêi äîâiëüíi
ïîñëiäîâíîñòi, β P Rd, Z̊d “ pZzt0uqd. Ïðèïóñòèìî, ùî ðÿä
ÿ
kPZ̊d
dź
j“1
ei
πβj
2
sgnkj
ψjp|kj |q
pfpkqeipk,xq
¹ ðÿäîì Ôóð'¹ äåÿêî¨ ñóìîâíî¨ ôóíêöi¨. Öþ ôóíêöiþ íàçèâàþòü pψ,βq-
ïîõiäíîþ ôóíêöi¨ f i ïîçíà÷àþòü fψβ .
×åðåç Lψβ,p, 1 ď p ď 8, ïîçíà÷èìî êëàñ ôóíêöié f , äëÿ ÿêèõ iñíóþòü
pψ,βq-ïîõiäíi i âèêîíó¹òüñÿ óìîâà ››fψβ
››
p
ď 1.
Îêðiì êëàñiâ, íàìè áóëî äîñëiäæåíî òàêîæ ôóíêöi¨ Dψβ , ðÿäè Ôóð'¹
ÿêèõ ìàþòü âèãëÿä
ÿ
kPZ̊d
dź
j“1
ψjp|kj |qei
πβj
2
sgnkjeipk,xq.
Ç îäíîãî áîêó, ôóíêöi¨ Dψβ ¹ öiêàâèìè ç òî÷êè çîðó ¨õ àïðîêñèìà-
öiéíèõ âëàñòèâîñòåé, à ç iíøîãî � âîíè âiäiãðàþòü âàæëèâó ðîëü ïðè
äîñëiäæåííi àïðîêñèìàòèâíèõ õàðàêòåðèñòèê êëàñiâ Lψβ,p, çîêðåìà, äëÿ
ãðàíè÷íîãî âèïàäêó p “ 1. Òàê, êîæíó ôóíêöiþ f ç êëàñó Lψβ,p ìîæíà
çîáðàçèòè ó âèãëÿäi çãîðòêè
fpxq “ φpxq ˚Dψβ pxq “ p2πq´d
ż
Td
φpyqDψβ px´ yqdy,
äå }φ}p ď 1 i ôóíêöiÿ φ ìàéæå ñêðiçü ñïiâïàä๠ç fψβ .
Ïðè ψjp|τ |q “ |τ |´rj , τ P Zzt0u, rj ą 0, βj P R, j “ 1, . . . , d, âiäïîâiäíi
êëàñè Lψβ,p ¹ êëàñàìè Ñîáîë¹âà (Âåéëÿ�Íàäÿ) W r
β,p, à ôóíêöi¨ Dψβ ¹
ÿäðàìè Áåðíóëëi, äèâ. ðîçäië 3.1
Íà ïîñëiäîâíîñòi ψj , j “ 1, . . . , d, ÿêi âèçíà÷àþòü êëàñè Lψβ,p òà ôóíê-
öi¨ Dψβ , áóäåìî íàêëàäàòè äåÿêi äîäàòêîâi óìîâè.
Îçíà÷åííÿ 3.1. Ïîñëiäîâíiñòü ϕ íàëåæèòü äî ìíîæèíè D, ÿêùî
‚ ϕ � äîäàòíÿ òà íåçðîñòàþ÷à;
‚ DM ą 0 òàêå, ùî @l P N âèêîíó¹òüñÿ óìîâà ϕplq
ϕp2lq ď M .
Åëåìåíòàìè ìíîæèíè D ¹, çîêðåìà, ïîñëiäîâíîñòi ϕp|τ |q “ |τ |´r, r ą 0,
τ P Zzt0u; ϕp|τ |q “ lnαp|τ |`1q, τ P Zzt0u, α ă 0; ϕp|τ |q “ |τ |´r lnαp|τ |`1q,
r ą 0, τ P Zzt0u, α P R.
Îöiíêè õàðàêòåðèñòèê íåëiíiéíî¨ àïðîêñèìàöi¨ 157
Ðåçóëüòàòè áóäåìî ôîðìóëþâàòè ó òåðìiíàõ äåÿêèõ ôóíêöié íàòó-
ðàëüíîãî àðãóìåíòó Φpnq òà Ψpnq ñïåöiàëüíîãî âèãëÿäó.
Îçíà÷åííÿ 3.2. Äëÿ ψj, j “ 1, . . . , d, s,1 P Nd i n P N ïîêëàäåìî
Φpnq :“ min
ps,1q“n
dź
j“1
ψjp2sj q, Ψpnq :“ max
ps,1q“n
dź
j“1
ψjp2sj q.
Âåëè÷èíè Φpnq òà Ψpnq, çàëåæíî âiä âèãëÿäó âiäïîâiäíèõ ïîñëiäîâ-
íîñòåé, ìîæóòü áóòè îäèíàêîâi ÷è ðiçíi çà ïîðÿäêîì. Òàê, íàïðèêëàä,
ÿêùî ïîêëàñòè ψjp|τ |q “ |τ |´r, τ P Zzt0u, j “ 1, . . . , d, r ą 0, òî îòðèìà-
¹ìî
Φpnq “ Ψpnq “ 2´nr.
ßêùî æ (äëÿ d “ 2) ψjp|τ |q “ |τ |´r lnp|τ |q, τ P Zzt0,˘1u, j “ 1, 2, r ą 0,
òî
Ψpnq “ 2´nr´2n2, Φpnq “ 2´nrpn´ 1q,
à ó âèïàäêó ψjp|τ |q “ |τ |´rplnp|τ |qq´1, τ P Zzt0,˘1u, j “ 1, 2, r ą 0,
Ψpnq “ 2´nrpn´ 1q´1, Φpnq “ 4 ¨ 2´nrn´2.
Êðiì öüîãî ñëiä çàçíà÷èòè, ùî ïðè d “ 1 ôóíêêöi¨ Φpnq i Ψpnq çáiãàþ-
òüñÿ i íàáóâàþòü âèãëÿäó ψ1p2nq.
3.3. Içîòðîïíi ïðîñòîðè Íiêîëüñüêîãî-Á¹ñîâà ôóíêöié ç îáìå-
æåíèìè ðiçíèöÿìè. Îçíà÷èìî ïðîñòîðè ôóíêöié Íiêîëüñüêîãî-Á¹-
ñîâà ÷åðåç ¨õíi ìîäóëi ãëàäêîñòi.
Íåõàé h P Rd. Äëÿ f P Lp ïîçíà÷èìî ∆hfpxq “ fpx ` hq ´ fpxq òà
îçíà÷èìî ðiçíèöi ïîðÿäêó k P Z` ç êðîêîì h òàêèì ÷èíîì:
∆0
hfpxq “ fpxq, ∆k
hfpxq “ ∆h∆
k´1
h fpxq, k P N.
Ìîäóëü ãëàäêîñòi ïîðÿäêó k ôóíêöi¨ f P Lp çàäà¹òüñÿ çãiäíî ç ôîðìó-
ëîþ wkpf, tqp :“ sup
|h|ďt
}∆k
hf}p, äå |h| “
b
h21 ` . . .` h2d, t P R, t ą 0.
Áóäåìî ãîâîðèòè, ùî ôóíêöiÿ f P Lp íàëåæèòü êëàñó Br
p,θ, 1 ď p,
θ ď 8, r ą 0, ÿêùî âiäïîâiäíà íîðìà
}f}Brp,θ :“ }f}p `
´ ż 8
0
pt´rwkpf, tqpqθ dt
t
¯1{θ ď 1, 1 ď θ ă 8,
}f}Brp,8 ” }f}Hr
p
:“ }f}p ` sup
tą0
t´rwkpf, tqp ď 1, θ “ 8,
äëÿ äåÿêîãî k ą r.
158 Ê. Â. Ïîæàðñüêà
Ïðîñòîðè Hr
p ” Br
p,8 òà Br
p,θ, 1 ď θ ă 8, áóëè ââåäåíi Ñ. Ì. Íiêîëü-
ñüêèì òà Î. Â. Á¹ñîâèì, âiäïîâiäíî. Äëÿ íèõ ñïðàâåäëèâi òàêi âêëàäå-
ííÿ:
Br
p,1 Ă Br
p,θ1 Ă Br
p,θ2 Ă Br
p,8 ” Hr
p, 1 ď θ1 ď θ2 ď 8.
Ïðè âñòàíîâëåííi ïîðÿäêîâèõ îöiíîê àïðîêñèìàòèâíèõ õàðàêòåðèñ-
òèê êëàñiâ Íiêîëüñüêîãî-Á¹ñîâà, íàìè áóëî âèêîðèñòàíî åêâiâàëåíòíi
ïðåäñòàâëåííÿ íîðìè ôóíêöié f ç ïðîñòîðiâ Br
p,θ ó òåðìiíàõ âåëè÷èí
σspfq, s P Z`, ïîáóäîâàíèõ íà îñíîâi ÿäåð Âàëëå-Ïóññåíà. Öi áëîêè áó-
ëè îçíà÷åíi ðàíiøå ó ðîçäiëi 2.
Îòæå, äëÿ f P Br
p,θ, 1 ď p, θ ď 8, r ą 0, âèêîíó¹òüñÿ ïîðÿäêîâi
ðiâíîñòi [5]
}f}Brp,θ —
´ ÿ
sPZ`
2srθ}σspfq}θp
¯1{θ
, 1 ď θ ă 8,
}f}Brp,8 — sup
sPZ`
2sr}σspfq}p, θ “ 8.
Çàóâàæèìî, ùî ó âèïàäêó 1 ă p ă 8 ìîæíà çàïèñàòè àíàëîãi÷íi
åêâiâàëåíòíi ïðåäñòàâëåííÿ íîðìè ó òåðìiíàõ áëîêiâ ðÿäó Ôóð'¹, àëå,
íà âiäìiíó âiä ïðîñòîðiâ ôóíêöié iç äîìiíóþ÷îþ ìiøàíîþ ãëàäêiñòþ,
äëÿ içîòðîïíîãî âèïàäêó âiäïîâiäíi ãàðìîíiêè íàëåæàòèìóòü òàê çâà-
íèì �äâiéêîâèì êîðèäîðàì�, à íå ñõiä÷àñòî-ãiïåðáîëi÷íèì õðåñòàì.
4. Íàéêðàùi îðòîãîíàëüíi òà m-÷ëåííi òðèãîíîìåòðè÷íi
íàáëèæåííÿ
4.1. Îöiíêè âåëè÷èí àïðîêñèìàöi¨ iíäèâiäóàëüíèõ ôóíêöié ó
ìåòðèöi ïðîñòîðó Ëåáåãà. Ñïåðøó íàâåäåìî ðåçóëüòàòè ùîäî ïî-
ðÿäêîâèõ îöiíîê íàéêðàùèõ îðòîãîíàëüíèõ òðèãîíîìåòðè÷íèõ íàáëè-
æåíü òà íàéêðàùèõ m-÷ëåííèõ òðèãîíîìåòðè÷íèõ íàáëèæåíü àíàëîãiâ
ÿäåð Áåðíóëëi Dψβ ó ïðîñòîði Lq, 1 ă q ă 8.
Âñi îöiíêè ó öié ÷àñòèíi ðîáîòè áóäåìî ôîðìóëþâàòè ó òåðìiíàõ îçíà-
÷åíü 3.1, 3.2.
Òåîðåìà 4.1 ([30]). Íåõàé 1 ă q ă 8, ψj P D, βj P R, j “ 1, . . . , d,
i, êðiì òîãî, iñíó¹ ε ą 0 òàêå, ùî ïîñëiäîâíîñòi ψjp|τ |q|τ |1´1{q`ε, j “
1, . . . , d, íå çðîñòàþòü. Òîäi äëÿ áóäü-ÿêèõ íàòóðàëüíèõ m i n, ùî çà-
äîâîëüíÿþòü óìîâó m “ mpnq — 2nnd´1, ìàþòü ìiñöå ñïiââiäíîøåííÿ
Φpnqm1´ 1
q plogmq2pd´1qp 1
q
´ 1
2
q ! eK
mpDψβ qq ! Ψpnqm1´ 1
q plogmq2pd´1qp 1
q
´ 1
2
q
.
Îöiíêè õàðàêòåðèñòèê íåëiíiéíî¨ àïðîêñèìàöi¨ 159
Çàóâàæåííÿ 4.1. Ó âèïàäêó d “ 1 ç òåîðåìè 4.1 âèïëèâ๠òî÷íà çà
ïîðÿäêîì îöiíêà
eK
mpDψ1
β qq — ψ1pmqm1´ 1
q ,
ÿêà ïðè äîäàòêîâèõ óìîâàõ íà ïîñëiäîâíiñòü ψ1 âñòàíîâëåíà Â. Â. Øêà-
ïîþ [31].
Çàóâàæåííÿ 4.2. Ïðè ψjp|τ |q “ |τ |´rj , τ P Zzt0u, rj ą 1 ´ 1{q, βj P R,
j “ 1, . . . , d, äëÿ ôóíêöié Dψβ ” F rβ òî÷íi çà ïîðÿäêîì îöiíêè âåëè÷èíè
eK
M pF rβqq, 1 ă q ă 8, çíàéäåíî À. Ñ. Ðîìàíþêîì:
eK
mpF rβqq — m
´pr1´1` 1
q
qplogmqpd´1qpr1´1` 2
q
q
.
Ó âèïàäêó, êîëè r “ pr1, . . . , r1q P Rd, r1 ą 1 ´ 1{q, β P Rd, öþ îöiíêó
ìîæíà îòðèìàòè iç ðåçóëüòàòó òåîðåìè 4.1.
Íà âiäìiíó âiä íàéêðàùèõ îðòîãîíàëüíèõ òðèãîíîìåòðè÷íèõ íàáëè-
æåíü, ïðè äîñëiäæåííi íàéêðàùèõ m-÷ëåííèõ òðèãîíîìåòðè÷íèõ íà-
áëèæåíü ôóíêöié Dψβ ó ïðîñòîði Lq, 1 ă q ă 8, âèíèêëà íåîáõiäíiñòü
îêðåìî ðîçãëÿíóòè äâà ñóòò¹âî ðiçíi âèïàäêè 1 ă q ď 2 òà 2 ă q ă 8.
Òåîðåìà 4.2 ([13]). Íåõàé 1 ă q ď 2, ψj P D, βj P R, j “ 1, . . . , d,
i, êðiì òîãî, iñíó¹ ε ą 0 òàêå, ùî ïîñëiäîâíîñòi ψjp|τ |q|τ |1´1{q`ε, j “
1, . . . , d, íå çðîñòàþòü. Òîäi äëÿ áóäü-ÿêèõ íàòóðàëüíèõ m i n, ùî çà-
äîâîëüíÿþòü óìîâó m “ mpnq — 2nnd´1, ìàþòü ìiñöå ñïiââiäíîøåííÿ
Φpnqm1´ 1
q plogmq2pd´1qp 1
q
´ 1
2
q ! empDψβ qq ! Ψpnqm1´ 1
q plogmq2pd´1qp 1
q
´ 1
2
q
.
Òåîðåìà 4.3 ([14]). Íåõàé 2 ă q ă 8, ψj P D, βj P R, j “ 1, . . . , d, i,
êðiì òîãî, iñíó¹ ε ą 0 òàêå, ùî ïîñëiäîâíîñòi ψjp|τ |q|τ |1`ε, j “ 1, . . . , d,
íå çðîñòàþòü. Òîäi äëÿ áóäü-ÿêèõ íàòóðàëüíèõ m i n, ùî çàäîâîëüíÿ-
þòü óìîâó m “ mpnq — 2nnd´1, ñïðàâåäëèâi ñïiââiäíîøåííÿ
Φpnqm 1
2 ! empDψβ qq ! Ψpnqm 1
2 .
Ðåçóëüòàòè òåîðåì 4.2, 4.3 ¹ íîâèìè i â îäíîâèìiðíîìó âèïàäêó. Ñôîð-
ìóëþ¹ìî âiäïîâiäíi òâåðäæåííÿ.
Íàñëiäîê 4.1 ([13]). Íåõàé d “ 1, 1 ă q ď 2, ψ1 P D, β P R, i, êðiì
òîãî, iñíó¹ ε ą 0 òàêå, ùî ïîñëiäîâíiñòü ψ1p|τ |q|τ |1´1{q`ε íå çðîñòà¹.
Òîäi ñïðàâåäëèâà îöiíêà
empDψ1
β qq — ψ1pmqm1´ 1
q .
160 Ê. Â. Ïîæàðñüêà
Íàñëiäîê 4.2 ([14]). Íåõàé d “ 1, 2 ă q ă 8, ψ1 P D, β P R, i, êðiì
òîãî, iñíó¹ ε ą 0 òàêå, ùî ïîñëiäîâíiñòü ψ1p|τ |q|τ |1`ε íå çðîñòà¹. Òîäi
ñïðàâåäëèâà îöiíêà
empDψ1
β qq — ψ1pmqm 1
2 .
Çàóâàæåííÿ 4.3. Ùî ñòîñó¹òüñÿ îöiíêè âåëè÷èíè empF rβqq, òî:
‚ ïðè 1 ă q ď 2, rj ą 1 ´ 1{q, βj P R, j “ 1, . . . , d, ¨¨ ïîðÿäîê
empF rβqq — m
´r1`1´ 1
q plogmqpd´1qpr1´1` 2
q
q
áóëî âñòàíîâëåíî Å. Ñ. Áåëiíñüêèì [18];
‚ ïðè 2 ă q ă 8, rj ą 1, βj P R, j “ 1, . . . , d, îöiíêà
empF rβqq — m´r1` 1
2 plogmqr1pd´1q
áóëà àíîíñîâàíà Å. Ñ. Áåëiíñüêèì [19].
Ó âèïàäêó r “ pr1, . . . , r1q P Rd, β P Rd i âiäïîâiäíèõ îáìåæåííÿõ íà
ïàðàìåòð r1 öi îöiíêè âèïëèâàþòü iç ðåçóëüòàòiâ òåîðåì 4.2, 4.3.
Çàóâàæåííÿ 4.4. Ïîðiâíÿâøè ðåçóëüòàòè äëÿ íàéêðàùèõ îðòîãîíàëü-
íèõ òðèãîíîìåòðè÷íèõ íàáëèæåíü, îòðèìàíi ó òåîðåìi 4.1, ç ðåçóëüòàòà-
ìè äëÿ íàéêðàùèõ m-÷ëåííèõ òðèãîíîìåòðè÷íèõ íàáëèæåíü, îòðèìà-
íèõ ó òåîðåìàõ 4.2, 4.3, áà÷èìî, ùî ïðè 1 ă q ď 2 îöiíêè çâåðõó âåëè÷èí
empDψβ qq òà eK
mpDψβ qq îäíàêîâi çà ïîðÿäêîì. Ó âèïàäêó 2 ă q ă 8 îöiíêè
âiäïîâiäíèõ àïðîêñèìàòèâíèõ õàðàêòåðèñòèê âiäðiçíÿþòüñÿ.
4.2. Îöiíêè âåëè÷èí àïðîêñèìàöi¨ êëàñiâ pψ, βq-äèôåðåíöiéîâ-
íèõ ôóíêöié ó ìåòðèöi ïðîñòîðó Ëåáåãà. Íàâåäåíi ó ðîçäiëi 4.1
ðåçóëüòàòè äàëè çìîãó îäåðæàòè ïîðÿäêîâi îöiíêè íàéêðàùèõ îðòî-
ãîíàëüíèõ òà m-÷ëåííèõ òðèãîíîìåòðè÷íèõ íàáëèæåíü êëàñiâ pψ,βq-
äèôåðåíöiéîâíèõ ôóíêöié ó ãðàíè÷íîìó âèïàäêó, êîëè ïàðàìåòð p “ 1,
òîáòî êëàñiâ Lψβ,1 ó ïðîñòîði Lq, 1 ă q ă 8.
Òåîðåìà 4.4 ([30]). Íåõàé 1 ă q ă 8, ψj P D, βj P R, j “ 1, . . . , d,
i, êðiì òîãî, iñíó¹ ε ą 0 òàêå, ùî ïîñëiäîâíîñòi ψjp|τ |q|τ |1´1{q`ε, j “
1, . . . , d, íå çðîñòàþòü. Òîäi äëÿ áóäü-ÿêèõ íàòóðàëüíèõ m i n, ùî çà-
äîâîëüíÿþòü óìîâó m “ mpnq — 2nnd´1, ìàþòü ìiñöå ñïiââiäíîøåííÿ
Φpnqm1´ 1
q plogmq2pd´1qp 1
q
´ 1
2
q ! eK
mpLψβ,1qq ! Ψpnqm1´ 1
q plogmq2pd´1qp 1
q
´ 1
2
q
.
Çàóâàæåííÿ 4.5.  îäíîâèìiðíîìó âèïàäêó ç òåîðåìè 4.4 âèïëèâà¹
òî÷íà çà ïîðÿäêîì îöiíêà
eK
mpLψ1
β,1qq — ψ1pmqm1´ 1
q ,
Îöiíêè õàðàêòåðèñòèê íåëiíiéíî¨ àïðîêñèìàöi¨ 161
ÿêà ïðè äîäàòêîâèõ óìîâàõ íà ïîñëiäîâíiñòü ψ1 áóëà âñòàíîâëåíà
Â. Â. Øêàïîþ [31].
Çàóâàæåííÿ 4.6. Ó âèïàäêóψjp|τ |q “ |τ |´rj , τ P Zzt0u, rj ą 1 ´
1{q, βj P R, j “ 1, . . . , d, äëÿ êëàñiâ Lψβ,1 ” W r
β,1 ïîðÿäîê âåëè÷èíè
eK
mpW r
β,1qq, 1 ă q ă 8, îòðèìàíî À. Ñ. Ðîìàíþêîì:
eK
mpW r
β,1qq — m
´pr1´1` 1
q
qplogmqpd´1qpr1´1` 2
q
q
.
Äëÿ r “ pr1, . . . , r1q P Rd, r1 ą 1 ´ 1{q, β P Rd, öþ îöiíêó ìîæíà
îòðèìàòè iç ðåçóëüòàòó òåîðåìè 4.4.
Çàóâàæåííÿ 4.7. Âiäìiòèìî, ùî ïîðÿäêè íàéêðàùèõ m-÷ëåííèõ îð-
òîãîíàëüíèõ òðèãîíîìåòðè÷íèõ íàáëèæåíü ó òåîðåìi 4.4 ðåàëiçîâàíi íà-
áëèæåííÿì ôóíêöié f P Lψβ,1 ¨õíiìè ñõiä÷àñòî-ãiïåðáîëi÷íèìè ñóìàìè
Ôóð'¹ SQnpfq (ïðè m “ |Qn| — 2nnd´1) âèãëÿäó
SQnpfq :“ SQnpf,xq “
ÿ
ps,1qăn
ÿ
kPρpsq
pfpkqeipk,xq,
äå Qn “ Yps,1qănρpsq � ñõiä÷àñòî-ãiïåðáîëi÷íèé õðåñò,
ρpsq :“
!
k P Zd : 2sj´1 ď |kj | ă 2sj , j “ 1, . . . , d
)
.
Òåîðåìà 4.5 ([13]). Íåõàé 1 ă q ď 2, ψj P D, βj P R, j “ 1, . . . , d,
i, êðiì òîãî, iñíó¹ ε ą 0 òàêå, ùî ïîñëiäîâíîñòi ψjp|τ |q|τ |1´1{q`ε, j “
1, . . . , d, íå çðîñòàþòü. Òîäi äëÿ áóäü-ÿêèõ íàòóðàëüíèõ m i n, ùî çà-
äîâîëüíÿþòü óìîâó m “ mpnq — 2nnd´1, ìàþòü ìiñöå ñïiââiäíîøåííÿ
Φpnqm1´ 1
q plogmq2pd´1qp 1
q
´ 1
2
q ! empLψβ,1qq ! Ψpnqm1´ 1
q plogmq2pd´1qp 1
q
´ 1
2
q
.
Òåîðåìà 4.6 ([14]). Íåõàé 2 ă q ă 8, ψj P D, βj P R, j “ 1, . . . , d, i,
êðiì òîãî, iñíó¹ ε ą 0 òàêå, ùî ïîñëiäîâíîñòi ψjp|τ |q|τ |1`ε, j “ 1, . . . , d,
íå çðîñòàþòü. Òîäi äëÿ áóäü-ÿêèõ íàòóðàëüíèõ m i n, ùî çàäîâîëüíÿ-
þòü óìîâó m “ mpnq — 2nnd´1, ñïðàâåäëèâi ñïiââiäíîøåííÿ
Φpnqm 1
2 ! empLψβ,1qq ! Ψpnqm 1
2 .
Îöiíêè òåîðåìè 4.5 ¹ íîâèìè i â îäíîâèìiðíîìó âèïàäêó.
Íàñëiäîê 4.3 ([13]). Íåõàé d “ 1, 1 ă q ď 2, ψ1 P D, β P R, i, êðiì
òîãî, iñíó¹ ε ą 0 òàêå, ùî ïîñëiäîâíiñòü ψ1p|τ |q|τ |1´1{q`ε íå çðîñòà¹.
Òîäi ñïðàâåäëèâå ñïiââiäíîøåííÿ
empLψ1
β,1qq — ψ1pmqm1´ 1
q .
162 Ê. Â. Ïîæàðñüêà
Îöiíêè òåîðåìè 4.6 ó âèïàäêó d “ 1 ïðè äåÿêèõ äîäàòêîâèõ óìîâàõ íà
ïîñëiäîâíiñòü ψ1 âñòàíîâëåíî Â. Â. Øêàïîþ [32]. À ñàìå, ñïðàâåäëèâå
íàñòóïíå òâåðäæåííÿ.
Íàñëiäîê 4.4 ([14]). Íåõàé d “ 1, 2 ă q ă 8, ψ1 P D, β P R, i, êðiì
òîãî, iñíó¹ ε ą 0 òàêå, ùî ïîñëiäîâíiñòü ψ1p|τ |q|τ |1`ε íå çðîñòà¹. Òîäi
ì๠ìiñöå ñïiââiäíîøåííÿ
empLψ1
β,1qq — ψ1pmqm 1
2 .
Çàóâàæåííÿ 4.8. Ùî ñòîñó¹òüñÿ îöiíêè âåëè÷èíè empW r
β,1qq, òî:
‚ ïðè 1 ă q ď 2, rj ą 1 ´ 1{q, βj P R, j “ 1, . . . , d, ¨¨ ïîðÿäîê
empW r
β,1qq — m
´r1`1´ 1
q plogmqpd´1qpr1´1` 2
q
q
áóëî âñòàíîâëåíî À. Ñ. Ðîìàíþêîì [25];
‚ ïðè 2 ă q ă 8, rj ą 1, βj P R, j “ 1, . . . , d, îöiíêà
empW r
β,1qq — m´r1` 1
2 plogd´1mqr1
áóëà àíîíñîâàíà Å. Ñ. Áåëiíñüêèì [19].
Ó âèïàäêó r “ pr1, . . . , r1q P Rd, β P Rd i âiäïîâiäíèõ îáìåæåííÿõ íà
ïàðàìåòð r1 öi îöiíêè âèïëèâàþòü iç ðåçóëüòàòiâ òåîðåì 4.5, 4.6.
Çàóâàæåííÿ 4.9. Ïîðiâíÿâøè ðåçóëüòàòè òåîðåì 4.4, 4.5 òà 4.6 áà÷è-
ìî, ùî ïðè 2 ă q ă 8 îöiíêè çâåðõó âåëè÷èí empLψβ,1qq òà eK
mpLψβ,1qq
âiäðiçíÿ¹òüñÿ çà ïîðÿäêîì.
Êðiì öüîãî, íàìè áóëî ðîçãëÿíóòî âèïàäîê òàê çâàíî¨ �ìàëî¨ ãëàä-
êîñòi�, äå âäàëîñÿ çíàéòè ïîðÿäêîâi îöiíêè íàéêðàùèõ m-÷ëåííèõ òðè-
ãîíîìåòðè÷íèõ íàáëèæåíü êëàñiâ Lψβ,p ïåðiîäè÷íèõ ôóíêöié áàãàòüîõ
çìiííèõ ó ïðîñòîði Lq, 1 ă p ď 2 ă q ă 8.
Òåîðåìà 4.7 ([24]). Íåõàé 1 ă p ď 2 ă q ă 8, ψj P D, βj P R, j “
1, . . . , d, i, êðiì òîãî, iñíó¹ ε ą 0 òàêå, ùî ïîñëiäîâíîñòi ψjp|τ |q|τ |1{p´ε,
j “ 1, . . . , d, íå ñïàäàþòü, à ψjp|τ |q|τ |q1
`
1{p´1{q
˘
, j “ 1, . . . , d, 1{q`1{q1 “
1, íå çðîñòàþòü. Òîäi äëÿ áóäü-ÿêèõ íàòóðàëüíèõ m i n, ùî çàäîâîëü-
íÿþòü óìîâó m “ mpnq — 2nnd´1, òà ÷èñëà n1 “ qn{2 ´ pq{2 ´ 1qpd ´
1q log n, ñïðàâåäëèâi îöiíêè
Φprn1sqm q
2
p 1
p
´ 1
q
qplogmqpd´1qp1´ q
p
q ! empLψβ,pqq !
! Ψprn1sqm q
2
p 1
p
´ 1
q
qplogmqpd´1qp1´ q
p
q
,
äå ras � öiëà ÷àñòèíà ÷èñëà a.
Îöiíêè õàðàêòåðèñòèê íåëiíiéíî¨ àïðîêñèìàöi¨ 163
Çàóâàæåííÿ 4.10.  îäíîâèìiðíîìó âèïàäêó òî÷íi çà ïîðÿäêîì îöií-
êè, ÿêi âiäïîâiäàþòü îäåðæàíèì ó òåîðåìi 4.7 ðåçóëüòàòàì, âñòàíîâëåíi
À. Ñ. Ôåäîðåíêîì [29].
Çàóâàæåííÿ 4.11. Ïîðÿäîê âåëè÷èíè empW r
β,pqq, 1 ă p ď 2 ă q ă 8,
q1p1{p ´ 1{qq ă rj ă 1{p, βj P R, j “ 1, . . . , d, âñòàíîâëåíî Å. Ñ. Áåëií-
ñüêèì [20]:
empW r
β,pqq — m
´ q
2
pr1´ 1
p
` 1
q
qplogmqpd´1qpq´1qpr1´q1p 1
p
´ 1
q
qq
.
Ó âèïàäêó r “ pr1, . . . , r1q P Rd, öþ îöiíêó ìîæíà îòðèìàòè iç ðåçóëü-
òàòó òåîðåìè 4.7.
Çàóâàæåííÿ 4.12. Ïîðiâíþþ÷è ðåçóëüòàò òåîðåìè 4.7 ç îöiíêàìè íàé-
êðàùèõ îðòîãîíàëüíèõ òðèãîíîìåòðè÷íèõ íàáëèæåíü eK
mpLψβ,pqq, 1 ă
p ď 2 ă q ă 8, β P Rd [23], áà÷èìî, ùî ïðè âiäïîâiäíèõ óìîâàõ íà
ïîñëiäîâíîñòi ψj , j “ 1, . . . , d, öi âåëè÷èíè ïðè m Ñ 8 âåäóòü ñåáå ïî
ðiçíîìó.
Çàóâàæåííÿ 4.13. Çà iíøèõ óìîâ íà ïîñëiäîâíîñòi ψj , j “ 1, . . . , d
(âåëèêà ãëàäêiñòü) îöiíêè âåëè÷èíè empLψβ,pqq, 1 ă p ď 2 ă q ă 8,
β P Rd, âñòàíîâëåíî Í. Ì. Êîíñåâè÷ [22].
4.3. Îöiíêè âåëè÷èí àïðîêñèìàöi¨ êëàñiâ ôóíêöié ó ìåòðèöi
ïiäïðîñòîðó Ëåáåãà. Ïåðåéäåìî äî ðåçóëüòàòiâ, ùî ñòîñóþòüñÿ îöi-
íîê íàéêðàùèõ îðòîãîíàëüíèõ òðèãîíîìåòðè÷íèõ íàáëèæåíü òà íàé-
êðàùèõ m-÷ëåííèõ òðèãîíîìåòðè÷íèõ íàáëèæåíü ó ìåòðèöi ïiäïðîñòî-
ðiâ Ëåáåãà.
Ó íèçöi ðîáiò âèâ÷àëèñü ïèòàííÿ íàáëèæåííÿ êëàñiâ òèïó Íiêîëü-
ñüêîãî-Á¹ñîâà i Ñîáîë¹âà ïåðiîäè÷íèõ ôóíêöié áàãàòüîõ çìiííèõ ç ìi-
øàíîþ ãëàäêiñòþ ó ìåòðèöi ïðîñòîðiâ Bq,1. Ïðè öüîìó áóëî âèÿâëåíî,
ùî â áàãàòüîõ ñèòóàöiÿõ îöiíêè ðîçãëÿíóòèõ òàì àïðîêñèìàöiéíèõ õà-
ðàêòåðèñòèê âiäðiçíÿþòüñÿ çà ïîðÿäêîì âiä îöiíîê âiäïîâiäíèõ õàðàê-
òåðèñòèê ó ïðîñòîðàõ Lq. Ñëiä çàçíà÷èòè, ùî îïòèìàëüíèìè (ç òî÷êè
çîðó ïîðÿäêîâèõ çíà÷åíü) àïàðàòàìè íàáëèæåííÿ çãàäàíèõ êëàñiâ ôóí-
êöié ó ïðîñòîðàõ Bq,1, ÿê i ó ïðîñòîðàõ Lq, âèÿâèëèñÿ òðèãîíîìåòðè÷íi
ïîëiíîìè ç �íîìåðàìè� ãàðìîíiê iç ñõiä÷àñòèõ ãiïåðáîëi÷íèõ õðåñòiâ.
Ïðèíöèïîâî iíøà ñèòóàöiÿ ñïîñòåðiãà¹òüñÿ ïðè äîñëiäæåííi àïðîêñè-
ìàöiéíèõ õàðàêòåðèñòèê içîòðîïíèõ êëàñiâ. Óñi âiäîìi îöiíêè õàðàêòå-
ðèñòèê ÿê ëiíiéíî¨ òàê i íåëiíiéíî¨ àïðîêñèìàöi¨ içîòðîïíèõ êëàñiâ Íi-
êîëüñüêîãî-Á¹ñîâà Br
p,θ ó ìåòðèêàõ ïðîñòîðiâ Bq,1, ñïiâïàäàþòü çà ïî-
ðÿäêîì ç âiäïîâiäíèìè îöiíêàìè ó ïðîñòîðàõ Lq. Êðiì öüîãî, âiäïîâiäíi
164 Ê. Â. Ïîæàðñüêà
îöiíêè ðåàëiçóþòüñÿ çà äîïîìîãîþ íàáëèæåííÿ ôóíêöié ç êëàñiâ Br
p,θ
òðèãîíîìåòðè÷íèìè ïîëiíîìàìè çi ñïåêòðîì ó êóái÷íèõ îáëàñòÿõ.
Ñôîðìóëþ¹ìî âiäïîâiäíi òâåðäæåííÿ. Ïðè öüîìó âiäìiòèìî, ùî, ÿê i
ó ðîçãëÿíóòèõ ó ðîçäiëàõ 4.1, 4.2 âèïàäêàõ, ïîðÿäêè íàéêðàùèõ îðòîãî-
íàëüíèõ òðèãîíîìåòðè÷íèõ íàáëèæåíü ¹ îäèíàêîâèìè äëÿ âñiõ ðîçãëÿ-
íóòèõ ñïiââiäíîøåíü ìiæ ïàðàìåòðàìè äîñëiäæóâàíîãî êëàñó i ìåòðè-
êè, â ÿêié âèìiðþ¹òüñÿ âiäïîâiäíå íàáëèæåííÿ. Ùîäî îöiíîê âåëè÷èíè
íàéêðàùîãî m-÷ëåííîãî òðèãîíîìåòðè÷íîãî íàáëèæåííÿ, òî òóò âèíè-
ê๠íåîáõiäíiñòü âèäiëèòè íèçêó ðiçíèõ âèïàäêiâ.
Òåîðåìà 4.8 ([11]). Íåõàé 1 ď p, q, θ ď 8, pp, qq R tp1, 1q, p8,8qu. Òîäi
äëÿ r ą dp1{p´ 1{qq` ñïðàâåäëèâà îöiíêà
eK
mpBr
p,θqBq,1 — m
´ r
d
`p 1
p
´ 1
q
q` ,
äå a` “ maxta; 0u.
Çàóâàæåííÿ 4.14. Ïðè d “ 1 îöiíêó òåîðåìè 4.8 áóëî îäåðæàíî ðàíi-
øå ó ðîáîòàõ [10] i [12] ïðè 1 ă p ă 8 i p “ 1 âiäïîâiäíî.
Çàóâàæåííÿ 4.15. Ïîðiâíþþ÷è ðåçóëüòàò òåîðåìè 4.8 ç âiäïîâiäíîþ
îöiíêîþ ó ìåòðèöi ïðîñòîðó Lq [8], áà÷èìî, ùî äëÿ 1 ď p, q, θ ď 8,
pp, qq R tp1, 1q, p8,8qu, r ą dp1{p´ 1{qq` âèêîíó¹òüñÿ ñïiââiäíîøåííÿ
eK
mpBr
p,θqBq,1 — eK
mpBr
p,θqq.
Çàóâàæåííÿ 4.16. Ïîðÿäêè íàéêðàùèõ îðòîãîíàëüíèõ òðèãîíîìåòðè-
÷íèõ íàáëèæåíü ó òåîðåìi 4.8 ðåàëiçîâàíi íàáëèæåííÿì ôóíêöié f P
Br
p,θ ¨õíiìè êóái÷íèìè ñóìàìè Ôóð'¹ Snpfq âèãëÿäó
Snpfq :“ Snpf,xq “ fp0q `
n´1ÿ
s“1
ÿ
kPµpsq
pfpkqeipk,xq,
äå µpsq :“ tk P Zd : 2s´1 ď maxj“1,...,d |kj | ă 2su, çà óìîâè m — 2dn.
Íàãàäà¹ìî, ùî äëÿ ðîçãëÿíóòèõ ó ðîçäiëi 4.2 êëàñiâ ôóíêöié óçà-
ãàëüíåíî¨ ìiøàíî¨ ãëàäêîñòi, ïîðÿäêîâi îöiíêè âiäïîâiäíèõ íàéêðàùèõ
îðòîãîíàëüíèõ òðèãîíîìåòðè÷íèõ íàáëèæåíü ó ìåòðèöi ïðîñòîðó Ëå-
áåãà áóëè ðåàëiçîâàíi íàáëèæåííÿì ôóíêöié f P Lψβ,1 ¨õíiìè ñõiä÷àñòî-
ãiïåðáîëi÷íèìè ñóìàìè Ôóð'¹ SQnpfq ïðè m “ |Qn| — 2nnd´1 (äèâ.
çàóâàæåííÿ 4.7).
Òàêi âiäìiííîñòi âèêëèêàíi îñîáëèâîñòÿìè êëàñiâ ôóíêöié içîòðîïíî¨
òà ìiøàíî¨ ãëàäêîñòi.
Îöiíêè õàðàêòåðèñòèê íåëiíiéíî¨ àïðîêñèìàöi¨ 165
Ïåðåéäåìî äî îöiíîê íàéêðàùèõ m-÷ëåííèõ òðèãîíîìåòðè÷íèõ íà-
áëèæåíü. ßê óæå áóëî çàçíà÷åíî, ïîðÿäêè âiäïîâiäíî¨ âåëè÷èíè íàáëè-
æåííÿ êëàñiâ Br
p,θ ó ìåòðèöi ïðîñòîðó Bq,1 âiäðiçíÿþòüñÿ çàëåæíî âiä
ðîçòàøóâàííÿ ïàðàìåòðiâ p i q íà îáëàñòi ¨õíüîãî âèçíà÷åííÿ.
Òåîðåìà 4.9 ([11]). Íåõàé d ě 1 i 1 ď p ď q ď 2 àáî 1 ď q ď p ď 8.
Òîäi äëÿ r ą dp1{p´ 1{qq`, 1 ď θ ď 8 ñïðàâåäëèâà îöiíêà
empBr
p,θqBq,1 — m
´ r
d
`p 1
p
´ 1
q
q` .
Òåîðåìà 4.10 ([6]). Íåõàé d ě 1, 2 ă p ă q ă 8. Òîäi äëÿ r ą d{2,
1 ď θ ď 8, ñïðàâåäëèâà îöiíêà
empBr
p,θqBq,1 — m´ r
d .
Òåîðåìà 4.11 ([6]). Íåõàé d ě 1, 1 ă p ď 2 ă q ă 8, 1 ď θ ď 8. Òîäi
ñïðàâåäëèâi ñïiââiäíîøåííÿ
empBr
p,θqBq,1 —
#
m
´ q
2
p r
d
´ 1
p
` 1
q
q
, dp1p ´ 1
q q ă r ă d
p ,
m
´ r
d
` 1
p
´ 1
2 , r ą d
p .
Çàóâàæåííÿ 4.17. Ó òåîðåìi 4.11 âèíèê๠åôåêò �ìàëî¨ ãëàäêîñòi�: ïðè
ïåðåõîäi ãëàäêiñíèì ïàðàìåòðîì r ãðàíè÷íîãî çíà÷åííÿ r “ d{p ñïîñòå-
ðiãà¹òüñÿ �ñòðèáîê� ó îöiíöi âåëè÷èíè empBr
p,θqBq,1 . Iíøèìè ñëîâàìè,
ïîêàçàíî, ùî äëÿ 1 ă p ď 2 ă q ă 8, ó âèïàäêàõ dp1{p´ 1{qq ă r ă d{p
òà r ą d{p âåëè÷èíè empBr
p,θqBq,1 ìàþòü ðiçíi ïîðÿäêè.
Çàóâàæåííÿ 4.18. Çàóâàæèìî, ùî ó âèïàäêó 1 ă p ď 2 ă q ă p{pp´1q,
r ą d, òî÷íèé ïîðÿäîê âåëè÷èíè empBr
p,θqBq,1 áóëî îòðèìàíî ó [11].
Çàóâàæåííÿ 4.19. Ïîðiâíþþ÷è ðåçóëüòàòè òåîðåì 4.10 i 4.11 iç îöií-
êîþ òåîðåìè 4.8 äëÿ âiäïîâiäíèõ çíà÷åíü ïàðàìåòðiâ r, p, q áà÷èìî, ùî
ïîðÿäêè âåëè÷èí empBr
p,θqBq,1 i eK
mpBr
p,θqBq,1 ðiçíi.
Ùîäî âèïàäêiâ 1 ď p ď q ď 2 i 1 ď q ď p ď 8, pp, qq R tp1, 1q, p8,8qu,
ÿêi áóëè ðîçãëÿíóòi ó òåîðåìi 4.9, âèêîíó¹òüñÿ ïîðÿäêîâà ðiâíiñòü
eK
mpBr
p,θqBq,1 — empBr
p,θqBq,1 .
Çàóâàæåííÿ 4.20. Ïèòàííÿ ïîðÿäêiâ âåëè÷èíè eK
mpBr
p,θqBq,1 ó âèïàäêó
êðèòè÷íîãî çíà÷åííÿ r “ d{p ïàðàìåòðà ãëàäêîñòi, ÿêèé íå áóâ ðîçãëÿ-
íóòèé ó òåîðåìi 4.11, çàëèøà¹òüñÿ âiäêðèòèì.
Çàóâàæåííÿ 4.21. Îöiíêè íàéêðàùèõ m-÷ëåííèõ òðèãîíîìåòðè÷íèõ
íàáëèæåíü içîòðîïíèõ êëàñiâ Íiêîëüñüêîãî-Á¹ñîâà ó ìåòðèöi ïðîñòîðó
Lq âñòàíîâëåíî ó ðîáîòàõ [1, 4, 15].
166 Ê. Â. Ïîæàðñüêà
Ó îäíîâèìiðíîìó âèïàäêó íàì âäàëîñÿ âñòàíîâèòè òàêîæ òî÷íi çà
ïîðÿäêîì îöiíêè âåëè÷èí empBr
p,θqB8,1 .
Òåîðåìà 4.12 ([6]). Íåõàé d “ 1, 1 ď p, θ ď 8. Òîäi äëÿ r ą maxt1{p, 1{2u
ñïðàâåäëèâi ñïiââiäíîøåííÿ
empBr
p,θqB8,1 — m
´r`p 1
p
´ 1
2
q` .
Çàóâàæåííÿ 4.22. Ïîðiâíþþ÷è ðåçóëüòàò òåîðåìè 4.12 ç îöiíêîþ âiä-
ïîâiäíîãî íàéêðàùîãî m-÷ëåííîãî íàáëèæåííÿ êëàñó Br
p,θ, ó ìåòðèöi
ïðîñòîðó L8 [7], îòðèìó¹ìî, ùî
empBr
p,θqB8,1 — empBr
p,θq8 — m
´r`p 1
p
´ 1
2
q` .
Ç iíøîãî áîêó, îöiíêè âåëè÷èíè empBr
p,θqB8,1 , çíàéäåíi ó òåîðåìi 4.12,
i âåëè÷èíè eK
mpBr
p,θqB8,1 (âèïàäîê d “ 1 òåîðåìè 4.8) âiäðiçíÿþòüñÿ çà
ïîðÿäêîì.
Ïîäÿêè. Àâòîð âèñëîâëþ¹ ùèðó ïîäÿêó äîêòîðó ôiç.-ìàò. íàóê, ïðî-
ôåñîðó Ðîìàíþêó Àíàòîëiþ Ñåðãiéîâè÷ó çà ïiäòðèìêó òà öiííi çàóâà-
æåííÿ i ïîðàäè. Ðîáîòó âèêîíàíî çà ôiíàíñóâàííÿ ôîíäó Ãóìáîëüäòà
(Philipp Schwartz Fellowship of the Alexander von Humboldt Foundation).
Ëiòåðàòóðà
[1] E. S. Belinsky. Approximation by a ��oating� system of exponentials on classes of
smooth periodic functions. Math. Sb., 60:19�27, 1988.
[2] F. Cobos, T. K�uhn½ W. Sickel. On optimal approximation in periodic Besov spaces.
J. Math. Anal. Appl., 474(2):1441�1462, 2019.
[3] D. D�ung, V. Temlyakov½ T. Ullrich. Hyperbolic cross approximation. Adv. Courses
Math. Birkh�auser, CRM Barselona. 2018.
[4] R. A. DeVore, V. N. Temlyakov. Nonlinear approximation by trigonometric sums.
J. Fourier Anal. Appl., 2(1):29�48, 1995.
[5] P. I. Lizorkin. Generalized Holder spaces Bprq
p,θ and their correlations with the Sobolev
spaces Lprq
p . Sibirsk. Math. Zh., 9(5):1127�1152, 1968.
[6] K. V. Pozharska, A. S. Romanyuk. The best m-term trigonometric approximations
of the classes of periodic functions of one and many variables in the space Bq,1. Res.
Math., 32(2), 2024.
[7] A. S. Romanyuk. Best trigonometric approximations for some classes of periodic
functions of several variables in the uniform metric. Math. Notes, 82(2):216�228,
2007.
[8] A. S. Romanyuk. Approximative characteristics of the isotropic classes of periodic
functions of many variables. Ukr. Math. J., 61:613�626, 2009.
[9] A. S. Romanyuk, V. S. Romanyuk. Approximating characteristics of the classes of
periodic multivariate functions in the space B8,1. Ukr. Math. J., 71(2):308�321,
2019.
Îöiíêè õàðàêòåðèñòèê íåëiíiéíî¨ àïðîêñèìàöi¨ 167
[10] A. S. Romanyuk, V. S Romanyuk. Estimation of some approximating characteri-
stics of the classes of periodic functions of one and many variables. Ukr. Math. J.,
71(8):1257�1272, 2020.
[11] A. S. Romanyuk, V. S. Romanyuk, K. V. Pozharska½ S. B. Hembars'ka. Characteri-
stics of linear and nonlinear approximation of isotropic classes of periodic multivari-
ate functions. Carpathian Math. Publ., 15(1):78�94, 2023.
[12] A. S. Romanyuk, S. Ya. Yanchenko. Aproximation of the classes of periodic functions
of one and many variables from the Nikol'skii-Besov and Sobolev spaces. Ukr. Math.
J., 74(6):967�980, 2022.
[13] K. V. Shvai. The best m-term trigonometric approximations of classes of pψ,βq-
di�erentiable periodic multivariate functions in the space Lq. J. Comput. Appl.
Math., 122(2):83�91, 2016.
[14] K. V. Shvai. The bestm-term trigonometric approximations of the classes of periodic
multivariate functions with bounded generalized derivative in the space Lq. J. Math.
Sci., 222(6):750�761, 2017.
[15] S. A. Stasyuk. Best m-term trigonometric approximation of periodic functions of
several variables from Nikol'skii-Besov classes for small smoothness. J. Approx.
Theory, 177:1�16, 2014.
[16] R. M. Trigub, E. S. Belinsky. Fourier analysis and approximation of functions.
Kluwer Academic Publishers, Dordrecht. 2004.
[17] J. Vybiral. Function spaces with dominating mixed smoothness. Dissertationes
Mathematicae, pages 1�73, 2006.
[18] Ý. Ñ. Áåëèíñêèé. Ïðèáëèæåíèå ïåðèîäè÷åñêèõ ôóíêöèé �ïëàâàþùåé� ñèñòåìîé
ýêñïîíåíò è òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ïîïåðå÷íèêè. Èññëåäîâàíèå ïî òåîðèè ôóí-
êöèé ìíîãèõ âåùåñòâåííûõ ïåðåìåííûõ. � ßðîñëàâëü: ßðîñë. óí�ò., pages 10�
24, 1984.
[19] Ý. Ñ. Áåëèíñêèé. Ïðèáëèæåíèå ïåðèîäè÷åñêèõ ôóíêöèé ìíîãèõ ïåðåìåííûõ
�ïëàâàþùåé� ñèñòåìîé ýêñïîíåíò è òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ïîïåðå÷íèêè. Äîêë. ÀÍ
ÑÑÑÐ, 284:1294�1297, 1985.
[20] Ý. Ñ. Áåëèíñêèé. Ïðèáëèæåíèå �ïëàâàþùåé� ñèñòåìîé ýêñïîíåíò íà êëàññàõ
ïåðèîäè÷åñêèõ ôóíêöèé ñ îãðàíè÷åííîé ñìåøàííîé ïðîèçâîäíîé. Èññëåäîâàíèå
ïî òåîðèè ôóíêöèé ìíîãèõ âåùåñòâåííûõ ïåðåìåííûõ. � ßðîñëàâëü: ßðîñë.
óí�ò., pages 16�33, 1988.
[21] Ð. Ñ. Èñìàãèëîâ. Ïîïåðå÷íèêè ìíîæåñòâ â ëèíåéíûõ íîðìèðîâàííûõ ïðî-
ñòðàíñòâàõ è ïðèáëèæåíèå ôóíêöèé òðèãîíîìåòðè÷åñêèìè ìíîãî÷ëåíàìè.
Óñïåõè ìàò. íàóê., 29(3):161�178, 1974.
[22] Í. Ì. Êîíñåâè÷. Íàéêðàùi m-÷ëåííi òðèãîíîìåòðè÷íi íàáëèæåííÿ êëàñiâ Lψβ,p
ó ïðîñòîði Lq. Êðàéîâi çàäà÷i äëÿ äèôåðåíöiàëüíèõ ðiâíÿíü: Çá. ïðàöü Ií-òó
ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè, 3:204�219, 1998.
[23] Í. Ì. Êîíñåâè÷. Íàéêðàùi îðòîãîíàëüíi òðèãîíîìåòðè÷íi íàáëèæåííÿ êëàñiâ
ôóíêöié áàãàòüîõ çìiííèõ Lψβ,p. Óêð. ìàò. æóðí., 53(1):23�29, 2001.
[24] Ê. Â. Ïîæàðñüêà. Îöiíêè íàéêðàùèõ m-÷ëåííèõ òðèãîíîìåòðè÷íèõ íàáëèæåíü
êëàñiâ Lψβ,p ïåðiîäè÷íèõ ôóíêöié áàãàòüîõ çìiííèõ ìàëî¨ ãëàäêîñòi ó ïðîñòî-
ði Lq. Äèôåðåíöiàëüíi ðiâíÿííÿ i ñóìiæíi ïèòàííÿ àíàëiçó: Çá. ïðàöü Ií-òó
ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè, 14(3):293�318, 2017.
[25] À. Ñ. Ðîìàíþê. Î íàèëó÷øåé òðèãîíîìåòðè÷åñêîé è áèëèíåéíîé àïïðîêñèìà-
öèè êëàññîâ Áåñîâà ôóíêöèé ìíîãèõ ïåðåìåííûõ. Óêð. ìàò. æóðí., 47(8):1097�
1111, 1995.
168 Ê. Â. Ïîæàðñüêà
[26] À. Ñ. Ðîìàíþê. Àïïðîêñèìàòèâíûå õàðàêòåðèñòèêè êëàññîâ ïåðèîäè÷åñêèõ
ôóíêöèé ìíîãèõ ïåðåìåííûõ. Ïðàöi Ií�òó ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè. 2012.
[27] À. È. Ñòåïàíåö. Ìåòîäû òåîðèè ïðèáëèæåíèé. Ïðàöi Ií-òó ìàòåìàòèêè ÍÀÍ
Óêðà¨íè. 2012.
[28] Ñ. Á. Ñòå÷êèí. Îá àáñîëþòíîé ñõîäèìîñòè îðòîãîíàëüíûõ ðÿäîâ. Äîêë. ÀÍ ÑÑ-
ÑÐ, 102(1):37�40, 1955.
[29] À. Ñ. Ôåäîðåíêî. Íàèëó÷øèå m-÷ëåííûå òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ïðèáëèæåíèÿ
êëàññîâ pψ, βq-äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèé îäíîé ïåðåìåííîé. Óêð. ìàò.
æóðí., 52(6):850�856, 2000.
[30] Ê. Â. Øâàé. Îöiíêè íàéêðàùèõ îðòîãîíàëüíèõ òðèãîíîìåòðè÷íèõ íàáëèæåíü
óçàãàëüíåíèõ áàãàòîâèìiðíèõ àíàëîãiâ ÿäåð Áåðíóëëi òà êëàñiâ Lψβ,1 ó ïðîñòî-
ði Lq. Äèôåðåíöiàëüíi ðiâíÿííÿ i ñóìiæíi ïèòàííÿ àíàëiçó: Çá. ïðàöü Ií-òó
ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè, 13(1):300�320, 2016.
[31] Â. Â. Øêàïà. Íàéêðàùi îðòîãîíàëüíi òðèãîíîìåòðè÷íi íàáëèæåííÿ ôóíêöié iç
êëàñiâ Lψβ,1. Òåîðiÿ íàáëèæåííÿ ôóíêöié òà ñóìiæíi ïèòàííÿ: Çá. ïðàöü Ií-òó
ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè, 11(3):315�329, 2014.
[32] Â. Â. Øêàïà. Àïðîêñèìàòèâíi õàðàêòíðèñòèêè êëàñiâ Lψβ,p ïåðiîäè÷íèõ ôóíêöié
ó ïðîñòîði Lq. Óêð. ìàò. æóðí., 67(8):1139�1150, 2015.
Ê. Â. Ïîæàðñüêà
Iíñòèòóò ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè, ì. Êè¨â, Óêðà¨íà; Òåõíi÷íèé óíiâåð-
ñèòåò ì. Õåìíiö, Íiìå÷÷èíà
Email: pozharska.k@gmail.com
ORCID: https://orcid.org/0000-0001-7599-8117
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-545 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:09:12Z |
| publishDate | 2025 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/1b/f0639d7a2a5f2b398326d51fd4276c1b.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-5452026-02-24T12:22:41Z Estimates of characteristics of nonlinear approximation of classes of periodic functions Оцінки характеристик нелінійної апроксимації класів періодичних функцій Pozharska, Kateryna Пожарська, Катерина In the paper we make an overview of results concerning order estimates of the best m-term (sparse) trigonometric approximation and the best orthogonal trigonometric approximation of the Stepanets classes of multi- and univariate functions with bounded generalized derivatives in the Lebesque space. In addition, we formulate exact-order estimates for these approximation characteristics for the isotropic Nikol'skii-Besov classes with bounded differences in a certain Lebesque subspace. In particular, the case of small smoothness is considered of functions from the respective classes. У роботі зроблено огляд результатів щодо порядкових оцінок величин найкращого m-членного (розрідженого) тригонометричного наближення і найкращого ортогонального тригонометричного наближення класів Степанця функцій однієї і багатьох змінних з обмеженими узагальненими похідними у метриці просторів Лебега. Крім цього, наведено точні за порядком оцінки зазначених апроксимативних характеристик для ізотропних класів Нікольського-Бєсова з обмеженими різницями у метриці деякого підпростору Лебега. Розглянуто, зокрема, випадок малої гладкості функцій з відповідних класів. Інститут математики НАН України 2025-08-18 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/545 10.3842/trim.v21n1.545 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 21 No. 1 (2024): Special Issue "Actual problems of modern mathematics: methods, models and applications"; 149-168 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 21 № 1 (2024): Спеціальний номер "Актуальні проблеми сучасної математики: методи, моделі та застосування" ; 149-168 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 21 № 1 (2024): Спеціальний номер "Актуальні проблеми сучасної математики: методи, моделі та застосування" ; 149-168 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/545/528 Авторське право (c) 2024 Катерина Пожарська http://creativecommons.org/licenses/by/4.0 |
| spellingShingle | Pozharska, Kateryna Пожарська, Катерина Estimates of characteristics of nonlinear approximation of classes of periodic functions |
| title | Estimates of characteristics of nonlinear approximation of classes of periodic functions |
| title_alt | Оцінки характеристик нелінійної апроксимації класів періодичних функцій |
| title_full | Estimates of characteristics of nonlinear approximation of classes of periodic functions |
| title_fullStr | Estimates of characteristics of nonlinear approximation of classes of periodic functions |
| title_full_unstemmed | Estimates of characteristics of nonlinear approximation of classes of periodic functions |
| title_short | Estimates of characteristics of nonlinear approximation of classes of periodic functions |
| title_sort | estimates of characteristics of nonlinear approximation of classes of periodic functions |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/545 |
| work_keys_str_mv | AT pozharskakateryna estimatesofcharacteristicsofnonlinearapproximationofclassesofperiodicfunctions AT požarsʹkakaterina estimatesofcharacteristicsofnonlinearapproximationofclassesofperiodicfunctions AT pozharskakateryna ocínkiharakteristiknelíníjnoíaproksimacííklasívperíodičnihfunkcíj AT požarsʹkakaterina ocínkiharakteristiknelíníjnoíaproksimacííklasívperíodičnihfunkcíj |