Spatial oscillations of a liquid in a vertical cylindrical container
Using the nonlinear Narimanov–Moiseev modal system with linear damping coefficients corresponding to the logarithmic decrement of the sloshing eigenmodes, steady-state damped resonant sloshing in a cylindrical tank has been investigated. The usage of Miles formula to estimate the damping coefficient...
Gespeichert in:
| Datum: | 2025 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2025
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/547 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872553053288136704 |
|---|---|
| author | Raynovskyy, Ihor Райновський, Ігор |
| author_facet | Raynovskyy, Ihor Райновський, Ігор |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Ігор Райновський",
"institution": "Інститут математики НАН України"
}
] |
| author_sort | Raynovskyy, Ihor |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2026-02-24T12:22:41Z |
| description | Using the nonlinear Narimanov–Moiseev modal system with linear damping coefficients corresponding to the logarithmic decrement of the sloshing eigenmodes, steady-state damped resonant sloshing in a cylindrical tank has been investigated. The usage of Miles formula to estimate the damping coefficients shows that these effects can be of significant importance in laboratory conditions. Asymptotic steady-state solutions of the modal system have been obtained for a given motion of a cylindrical tank with four degrees of freedom when the forcing frequency approaches the lowest eigenfrequency of the fluid. This solution turns out to be asymptotically equivalent to a horizontal elliptical trajectory of the container. The response curves, which depend on the ratio of the semiaxes of the elliptical orbit and are related to the amplitudes of the two lowest eigenmodes of the sloshing, have been analyzed. |
| doi_str_mv | 10.3842/trim.v21n1.547 |
| first_indexed | 2026-08-04T01:09:13Z |
| format | Article |
| fulltext |
Çáiðíèê ïðàöü Ií-òó ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè (2024) ò. 21, �1, 169�179
Ïðîñòîðîâi êîëèâàííÿ ðiäèíè
â öèëiíäðè÷íîìó âåðòèêàëüíîìó
êîíòåéíåði
I. À. Ðàéíîâñüêèé
Abstract. Using the nonlinear Narimanov�Moiseev modal system with
linear damping coe�cients corresponding to the logarithmic decrement of
the sloshing eigenmodes, steady-state damped resonant sloshing in a cylin-
drical tank has been investigated. The usage of Miles formula to estimate
the damping coe�cients shows that these e�ects can be of signi�cant im-
portance in laboratory conditions. Asymptotic steady-state solutions of the
modal system have been obtained for a given motion of a cylindrical tank
with four degrees of freedom when the forcing frequency approaches the
lowest eigenfrequency of the �uid. This solution turns out to be asymptot-
ically equivalent to a horizontal elliptical trajectory of the container. The
response curves, which depend on the ratio of the semiaxes of the elliptical
orbit and are related to the amplitudes of the two lowest eigenmodes of
the sloshing, have been analyzed.
Àíîòàöiÿ. Çà äîïîìîãîþ íåëiíiéíî¨ ìîäàëüíî¨ ñèñòåìè Íàðiìàíî-
âà�Ìîiñ¹¹âà ç ëiíiéíèìè êîåôiöi¹íòàìè äåìïôóâàííÿ, ùî âiäïîâiäà-
þòü çà ëîãàðèôìi÷íèé äåêðåìåíò âëàñíèõ ìîä êîëèâàíü ðiäèíè, äî-
ñëiäæåíî óñòàëåíi äåìïôîâàíi ðåçîíàíñíi õëþïàííÿ ðiäèíè ó öèëií-
äðè÷íîìó ðåçåðâóàði. Âèêîðèñòàííÿ ôîðìóëè Ìàéëçà äëÿ îöiíêè êî-
åôiöi¹íòiâ äåìïôóâàííÿ ïîêàçó¹, ùî öi åôåêòè ìîæóòü ìàòè ñóòò¹-
âå çíà÷åííÿ ó ëàáîðàòîðíèõ óìîâàõ. Îòðèìàíî àñèìïòîòè÷íi ñòiéêi
ðîçâ'ÿçêè ìîäàëüíî¨ ñèñòåìè äëÿ çàäàíîãî ðóõó öèëiíäðè÷íîãî ðåçåð-
âóàðà ç ÷îòèðìà ñòóïåíÿìè âiëüíîñòi, êîëè ÷àñòîòà çáóðåíü íàáëèæà¹-
òüñÿ äî íàéíèæ÷î¨ âëàñíî¨ ÷àñòîòè ðiäèíè. Öåé ðîçâ'ÿçîê âèÿâëÿ¹òüñÿ
¹ àñèìïòîòè÷íî åêâiâàëåíòíèì ãîðèçîíòàëüíîìó åëiïòè÷íîìó çáóðåí-
íþ êîíòåéíåðà. Ïðîàíàëiçîâàíî àìïëiòóäíî-÷àñòîòíi õàðàêòåðèñòèêè,
ÿêi çàëåæàòü âiä ñïiââiäíîøåííÿ ïiâîñåé åëiïòè÷íî¨ îðáiòè, i ïîâ'ÿçàíi
ç àìïëiòóäàìè äâîõ íàéíèæ÷èõ âëàñíèõ ôîðì êîëèâàíü ðiäèíè.
1. Âñòóï
Êîëèâàííÿ ðiäèíè â ðåçåðâóàðàõ ìàþòü âåëèêå çíà÷åííÿ â áàãàòüîõ
ãàëóçÿõ òåõíiêè, âêëþ÷àþ÷è ñóäíîáóäóâàííÿ, õiìi÷íó ïðîìèñëîâiñòü òà
This work was supported by grants from the Simons Foundation (1290607, I.A.R.)
2020 Mathematics Subject Classi�cation: 57R30
Êëþ÷îâi ñëîâà: êîëèâàííÿ ðiäèíè, óñòàëåíi ðîçâ'ÿçêè
DOI : https://doi.org/10.3842/trim.v21n1.547
169
170 I. À. Ðàéíîâñüêèé
áiîòåõíîëîãi¨. Îñîáëèâî âàæëèâèì ¹ âèâ÷åííÿ ðåçîíàíñíèõ ñòàíiâ i äåì-
ïôóâàííÿ â ëàáîðàòîðíèõ óìîâàõ, äå ãåîìåòðiÿ ðåçåðâóàðiâ i âëàñòèâî-
ñòi ðiäèí âiäðiçíÿþòüñÿ âiä ïðîìèñëîâèõ ìàcøòàáiâ. Ìåòîþ öi¹¨ ñòàòòi
¹ àíàëiç âïëèâó äåìïôóâàííÿ íà óñòàëåíi ðåçîíàíñíi êîëèâàííÿ ðiäèíè
â öèëiíäðè÷íèõ ðåçåðâóàðàõ ç âèêîðèñòàííÿì ìîäàëüíèõ ñèñòåì òèïó
Íàðiìàíîâà�Ìîiñ¹¹âà.
Ðåçîíàíñíi êîëèâàííÿ ðiäèíè â ðåçåðâóàðàõ êðóãëî¨ ôîðìè, ñïðè÷è-
íåíi ãàðìîíiéíèìè ãîðèçîíòàëüíèìè çáóðåííÿìè ç ÷àñòîòîþ, áëèçüêîþ
äî íàéíèæ÷î¨ âëàñíî¨ ÷àñòîòè, àêòèâíî äîñëiäæóþòüñÿ ç 1960-õ ðîêiâ.
Îãëÿä ñó÷àñíèõ òåîðåòè÷íèõ i åêñïåðèìåíòàëüíèõ äîñëiäæåíü ïðåä-
ñòàâëåíî ó ðîáîòàõ [7,8,12]. Ó ïðîìèñëîâèõ ìàcøòàáàõ â'ÿçêå äåìïôóâà-
ííÿ çàçâè÷àé iãíîðó¹òüñÿ ÷åðåç âåëèêi ãåîìåòðè÷íi ðîçìiðè ðåçåðâóàðiâ,
àëå äëÿ ëàáîðàòîðíèõ áàêiâ, òàêèõ ÿê áiîðåàêòîðè, öåé ôàêòîð íàáóâà¹
çíà÷åííÿ [5, 6]. Çáiëüøåííÿ â'ÿçêîñòi ðiäèíè, äèíàìi÷íèé êîíòàêòíèé
êóò òà ïîâåðõíåâi ÿâèùà, òàêi ÿê çàáðóäíåííÿ òà ðîçðèâ õâèëü, ñóòò¹âî
âïëèâàþòü íà êîëèâàííÿ [4].
Ó ïîïåðåäíiõ ðîáîòàõ [1] äîñëiäæóâàëèñü íåäåìïôîâàíi êîëèâàííÿ çà
äîïîìîãîþ íåëiíiéíîãî ìóëüòèìîäàëüíîãî ïiäõîäó Íàðiìàíîâà�Ìîiñ¹¹âà,
ÿêèé ïîêàçàâ âèñîêó òî÷íiñòü äëÿ ðåçåðâóàðiâ iç âiäíîøåííÿì ãëèáèíè
äî ðàäióñà h Á 1.2. Îäíàê äëÿ ìåíøèõ ãëèáèí öi ðiâíÿííÿ ìåíø òî÷íi
÷åðåç ÿâèùå âòîðèííîãî ðåçîíàíñó([2], ãëàâè 8-9). Òåîðåòè÷íi ïåðåäáà-
÷åííÿ çàäîâiëüíî óçãîäæóþòüñÿ ç åêñïåðèìåíòàìè [12], ïðîòå íåäåì-
ïôîâàíà òåîðiÿ íå âðàõîâó¹ çñóâó ôàç, âèìiðÿíîãî åêñïåðèìåíòàëüíî.
 öié ðîáîòi ïîêàçàíî äîïîâíåííÿ ðiâíÿíü Íàðiìàíîâà�Ìîiñ¹¹âà, âðà-
õîâóþ÷è äåìïôóâàííÿ, i ïðåäñòàâëÿþòüñÿ àñèìïòîòè÷íi ïåðiîäè÷íi ðî-
çâ'ÿçêè äëÿ êëàñèôiêàöi¨ äåìïôîâàíèõ ðåçîíàíñíèõ õâèëüîâèõ ðåæè-
ìiâ. Äåìïôóâàííÿ ðîçðàõîâó¹òüñÿ ç óðàõóâàííÿì åôåêòiâ íà çìî÷åíié
ïîâåðõíi áàêó òà îá'¹ìíî¨ â'ÿçêîñòi, ÿê çàïðîïîíîâàíî â [3]. Äëÿ âîäè öå
ñïðàâåäëèâî çà óìîâè ðàäióñà ðåçåðâóàðà r0 Á 0.05 ì.
Ìîäàëüíi ðiâíÿííÿ ç'¹äíóþòü óçàãàëüíåíi êîîðäèíàòè ç ðiçíèìè àñèì-
ïòîòè÷íèìè ïîðÿäêàìè (Opϵ1{3q, Opϵ2{3q, Opϵq), äå Opϵq ! 1 âiäïîâiäà¹
áåçðîçìiðíié àìïëiòóäi çáóðåííÿ. Äåìïôóâàííÿ âðàõîâó¹òüñÿ äëÿ íèæ-
÷èõ ôîðì âëàñíèõ êîëèâàíü, òîäi ÿê äëÿ âèùèõ ìîä âîíî íåõòó¹òüñÿ.
Îñíîâíà óâàãà ïðèäiëÿ¹òüñÿ ñòiéêîñòi ðåæèìiâ òà çàëåæíîñòi ôàçîâèõ
çñóâiâ ψ, φ âiä ãåîìåòðè÷íèõ ïàðàìåòðiâ.
Öÿ ðîáîòà òàêîæ àíàëiçó¹ âïëèâ äåìïôóâàííÿ íà ñòiéêiñòü ñòîÿ÷èõ
õâèëü i ñïiðàëüíèõ ðåæèìiâ äëÿ ðiçíèõ òèïiâ çáóðåíü: ãîðèçîíòàëüíèõ,
åëiïòè÷íèõ i êðóãîâèõ.
Ïðîñòîðîâi êîëèâàííÿ ðiäèíè 171
2. Ìàòåìàòè÷íà ìîäåëü
Ðîçãëÿäà¹òüñÿ íåñòèñëèâà iäåàëüíà ðiäèíà, ÿêà ÷àñòêîâî çàïîâíþ¹
âåðòèêàëüíèé æîðñòêèé êðóãîâèé ðåçåðâóàð ðàäióñîì r0.
Ðåçåðâóàð âèêîíó¹ ìàëi ïåðiîäè÷íi ðóõè â ïðîñòîði, η1ptq, η2ptq i η4ptq,
η5ptq âiäïîâiäíî, ÿê ïîêàçàíî íà ðèñóíêó 2.1. Ðóõ âiëüíî¨ ïîâåðõíi Σptq,
ïðåäñòàâëåíèé ôóíêöi¹þ z “ ζpr, θ, tq, òà äèíàìiêà êîëèâàííÿ ðiäèíè
äîñëiäæóþòüñÿ â áåçðîçìiðíîìó ôîðìóëþâàííi, ÿêå áàçó¹òüñÿ íà õàðà-
êòåðíîìó ðîçìiði áàêó r0 òà ÷àñi 1{σ, äå σ � ÷àñòîòà êîëèâàíü áàêó.
Ââîäèòüñÿ ìàëèé ïàðàìåòð 0 ă ϵ ! 1, ÿêèé ïîâ'ÿçàíèé iç áåçðîçìiðíîþ
âåëè÷èíîþ ïåðiîäè÷íîãî çáóðåííÿ, òîáòî ηiptq “ Opϵq, i “ 1, 2, 4, 5.
z
4
(t)
η
1
(t)
η
5
(t)
η
2
(t)
0
x
y
Σ
(t)Σ
Q (t)
S(t)
η
Ðèñ. 2.1. Îáëàñòü ðiäèíè Qptq îáìåæåíà âiëüíîþ ïî-
âåðõíåþ Σptq òà çìî÷åíîþ ïîâåðõíåþ áàêà Sptq. Êîëèâàí-
íÿ ðiäèíè ðîçãëÿäàþòüñÿ ó ñèñòåìi êîîðäèíàò, ïîâ'ÿçàíié
iç ñàìèì áàêîì.
Íà Ðèñ.2.1 çîáðàæåíî îáëàñòü ðiäèíè Qptq ç âiëüíîþ ïîâåðõíåþ Σptq.
Çàäà÷à áàçó¹òüñÿ íà ìóëüòèìîäàëüíîìó ìåòîäi, ñóòü ÿêîãî ó âèêî-
ðèñòàííi íàáëèæåíîãî ðîçâ'ÿçêó Ôóð'¹ (ìîäàëüíîãî ðîçâ'ÿçêó) äëÿ ïiä-
éîìó ïîâåðõíi z “ ζpr, θ, tq òà ïîòåíöiàëó øâèäêîñòi Φpr, θ, z, tq iç çà-
ëåæíèìè âiä ÷àñó íåâiäîìèìè êîåôiöi¹íòàìè ζ òà Φ, ÿêi âèçíà÷åíi ó
ôiêñîâàíié ñèñòåìi êîîðäèíàò Oxyz.
ζpr, θ, tq “
ÿ
M,i
αMiJM pkMirq cospMθqpMiptq`
ÿ
m,i
αmiJmpkmirq sinpmθqrmiptq,
(2.1)
Φpr, θ, z, tq “ 9η1ptqr cos θ ` 9η2ptqr sin θ ` F pr, zqr´ 9η4ptq sin θ ` 9η5ptq cos θs.
(2.2)
172 I. À. Ðàéíîâñüêèé
Ïðèïóñòèìî, ùî âòîðèííèõ ðåçîíàíñiâ íåìà¹, à ÷àñòîòà çáóðåííÿ áà-
êó ¹ áëèçüêîþ äî âëàñíî¨ ÷àñòîòè êîëèâàííÿ ðiäèíè ÷åðåç ââåäåííÿ
àñèìïòîòèêè Íàðiìàíîâà-Ìîiñ¹¹âà (ðîçäië 8,9 êíèãè [2]).
p11 „ r11 “ Opϵ1{3q; p0j „ p2j „ r2j “ Opϵ2{3q; (2.3)
r1pj`1q „ p1pj`1q „ r3j „ p3j “ Opϵq, j ě 1. (2.4)
×åðåç ðÿä ïåðåòâîðåíü (íåõòóþ÷è âåëè÷èíàìè ïîðÿäêó opϵq) òà äî-
áàâëÿþ÷è ÷ëåíè ëiíiéíî¨ äèñèïàöi¨ [9] ÷åðåç ôîðìóëè Õåíäåðñîí-Ìàéëçà
[3] ìîæåìî ïåðåéòè âiä çàäà÷i ãiäðîäèíàìiêè äî çàäà÷i â òåðìiíàõ àíà-
ëiòè÷íîõ ìåõàíiêè (÷åðåç óçàãàëüíåíi êîîðäèíàòè òà øâèäêîñòi). Ìè öi
ôîðìóëè ïåðåâèâîäèìî ÷åðåç íàøi âåëè÷èíè.
Óìîâîþ ðîçâ'ÿçíîñòi îòðèìàíèõ íåëiíiéíèõ ìîäàëüíèõ ðiâíÿíü òèïó
Íàðiìàíîâà-Ìîiñ¹¹âà ¹ íàñòóïíà ñåêóëÿðíà ñèñòåìà âiäíîñíî iíòåãðàëü-
íèõ àìïëiòóä pA,Bq òà çñóâiâ ôàç ϕ, ψ.
#
1 :ArΛ `m1A
2 ` pm3 ´ FqB2s “ ϵx cosψ, 3 :ArDB2 ` ξs “ ϵx sinψ,
2 :BrΛ `m1B
2 ` pm3 ´ FqA2s “ ϵy sinφ, 4 :BrDA2 ´ ξs “ ϵy cosφ,
(2.5à)
F “ pm3 ´m1q cos2pαq “ pm3 ´m1q{p1 ` C2q,
D “ pm3 ´m1q sinpαq cospαq “ pm3 ´m1qC{p1 ` C2q, (2.5á)
äå
Λ “ σ̄211 ´ 1, α “ φ´ ψ, C “ tanα, 0 ď ϵy ď ϵx “ 0,
(Fpαq òà Dpαq ¹ π-ïåðiîäè÷íèìè ôóíêöiÿìè çñóâiâ ôàç α).
3. Ïîçäîâæíi ïåðiîäè÷íi çáóðåííÿ ðåçåðâóàðà âçäîâæ îñi Ox
(ϵy “ 0)
Ñòiéêi êîëèâàííÿ ðiäèíè áåç äåìïôóâàííÿ (ξ “ 0) äëÿ ïîçäîâæíiõ
ãàðìîíi÷íèõ çáóðåíü (ϵy “ 0) äîñëiäæåíi â [1]. Áóëî äîâåäåíî, ùî çà
óìîâ ϵy “ ξ “ 0 iñíóþòü äâà ôiçè÷íî ðiçíi ñòiéêi ðîçâ'ÿçêè ìîäàëüíî¨
ñèñòåìè: ïëîñêi ñòîÿ÷i òà êðóãîâi õâèëi.
Äëÿ âèïàäêó ξ “ 0, ïëîñêi õâèëi ìàþòü A ą 0, B “ 0, sinψ “ 0, C “
0, òîäi ÿê êðóãîâi âèçíà÷àþòüñÿ óìîâàìè AB ą 0, sinψ “ cosφ “
0 pC “ ˘8q. Êðóãîâi õâèëi ¹ äâîìà ïðîãðåñóþ÷èìè õâèëÿìè ç ïðî-
òèëåæíèìè íàïðÿìêàìè.
Äëÿ ξ ą 0 ðîçâ'ÿçêè çàëèøàþòüñÿ ôiçè÷íî iäåíòè÷íèìè, àëå ôàçîâèé
çñóâ ψ áiëüøå íå ¹ êóñêîâî-íåïåðåðâíîþ ôóíêöi¹þ:
A2 rpΛ`m1A
2q2 `ξ2s “ ϵ2x; 0 ă A ď ϵx
ξ
; ψ “ arccos
ApΛ `m1A
2q
ϵx
. (3.1)
Ïðîñòîðîâi êîëèâàííÿ ðiäèíè 173
Ñòiéêi êðóãîâi õâèëi õàðàêòåðèçóþòüñÿ AB ą 0, C “ 0 òà îïèñóþòüñÿ
ðiâíÿííÿìè:$
’’’&
’’’%
A
”
Λ `m1A
2 ` m1`m3 C2
1`C2 B2
ı
“ ϵx cosψ;
A
” pm3´m1qC
1`C2 B2 ` ξ
ı
“ ϵx sinψ;
B2 “ ´ 1
m1
”
Λ ` m1`m3 C2
1`C2 A2
ı
ą 0; A2 “ ξ p1`C2q
pm3´m1qC ą 0.
(3.2)
Òóò C âèçíà÷à¹òüñÿ ðiâíÿííÿì:
PlpCq “ q3C
3 ` q2C
2 ` q1C ` q0 “ 0, (3.3)
äå
q3 “ ξ3 pm1 `m3q2 ą 0, q2 “ 2ξ2Λ pm2
3 ´m2
1q,
q1 “ ξ
“
4 ξ2m2
1 ` Λ2 pm1 ´m3q2‰ , q0 “ ϵ2xm
2
1 pm1 ´m3q.
B
A
/
11
0.4
0.20
0.1
0.2
0.85 0.9
0.3
0.95
0.4
1 01.05 1.1 1.15
E
H
1E
2
(a)
B
A
/
11
0.4
0.20
0.05
0.1
0.85
0.15
0.9
0.2
0.95 0
0.25
1 1.05
0.3
1.1
E E
H
H
P
2
2
1
1
(b)
Ðèñ. 3.1. Àìïëiòóäíî-÷àñòîòíi õàðàêòåðèñòèêè ó ïðî-
ñòîði pσ{σ11, A,Bq äëÿ ïîçäîâæíiõ ãîðèçîíòàëüíèõ çáó-
ðåíü ó ïëîùèíi Oxz, h “ 1.5, áåçðîçìiðíà àìïëiòóäà çáó-
ðåíü η1a “ 0.01 (η2a “ 0). Ãiëêè äëÿ ïëîñêèõ (B “ 0, (3.1))
òà êðóãîâèõ (B ą 0, (3.2)) õâèëü ïîçíà÷åíi æèðíèìè ëi-
íiÿìè ÿê ñòiéêi ðîçâ'ÿçêè. (a) - âèïàäîê áåç äåìïôóâàííÿ
(ξ “ 0), (b) - ç äåìïôóâàííÿì ξ “ 0.02. Ó äiàïàçîíi ìiæ
òî÷êàìè E1 (òî÷êà ïåðåãèíó) òà E2 (òî÷êà áiôóðêàöi¨ Ïó-
àíêàðå) ïåðåäáà÷àþòüñÿ õàîòè÷íi õâèëi.
Åêñïåðèìåíòè ïiäòâåðäèëè, ùî äåìïôóâàííÿ ñóòò¹âî âïëèâ๠íà ñòié-
êiñòü õâèëü. Äëÿ íåâåëèêèõ ðåçåðâóàðiâ ñòiéêi õâèëi iñíóþòü ëèøå â
îáìåæåíèõ äiàïàçîíàõ ÷àñòîò. Çà ìåæàìè öèõ äiàïàçîíiâ ñïîñòåðiãà¹-
òüñÿ ïåðåõiä äî õàîòè÷íèõ.
Àìïëiòóäíî-÷àñòîòíi õàðàêòåðèñòèêè äëÿ íåäåìïôîâàíîãî (a) òà äåì-
ïôîâàíîãî (b) âèïàäêó ñòiéêèõ êîëèâàíü ïîêàçàíi íà ðèñóíêó 3.1. Ðîç-
ðàõóíêè âèêîíàíi äëÿ h “ 1.5, àìïëiòóäè çáóðåííÿ η1a “ 0.01 (η2a “ 0)
174 I. À. Ðàéíîâñüêèé
i êîåôiöi¹íòà äåìïôóâàííÿ ξ “ 0.02. Öå âiäïîâiä๠0.05 ì ď r0 ď 0.1 ì,
ùî âiäîáðàæ๠âïëèâ â'ÿçêîñòi òà iíøèõ äèñèïàòèâíèõ ÿâèù.
Ðîçãàëóæåííÿ íà ðèñóíêó 3.1 ðîçðàõîâàíî çà äîïîìîãîþ (3.1) äëÿ
ïëîñêèõ õâèëü (B “ 0) i (3.2) äëÿ êðóãîâèõ (B ą 0). Ñòiéêi ïëîñêi
ñòîÿ÷i õâèëi iñíóþòü ëiâîðó÷ âiä òî÷êè ïåðåãèíó E1 i ïðàâîðó÷ âiä òî÷êè
áiôóðêàöi¨ Ïóàíêàðå E2. Ó íåñòiéêèõ çîíàõ áiëÿ ðåçîíàíñó σ{σ11 “ 1
ñïîñòåðiãàþòüñÿ õàîòè÷íi àáî êðóãîâi õâèëi. Ñòiéêå êðóãîâå êîëèâàííÿ
ñïîñòåðiãà¹òüñÿ ïðàâîðó÷ âiä H1, à äåìïôóâàííÿ îáìåæó¹ ÷àñòîòíèé
äiàïàçîí â òî÷öi H2.
Àìïëiòóäíî-÷àñòîòíi õàðàêòåðèñòèêè áåç äåìïôóâàííÿ îáãîâîðåíî â
[1] (ðèñóíîê 3.1 (a)). Íà ðèñóíêó 3.1 (b) ïîêàçàíî, ùî íåíóëüîâå ξ óñóâà¹
íåñêií÷åííi òî÷êè íà ðîçãàëóæåííi, ìàéæå íå âïëèâàþ÷è íà äiàïàçîíè
ñòiéêîñòi. Ïîçèöi¨ E1, E2 i H1 (çàìiñòü H) çàëèøàþòüñÿ ìàéæå íåçìií-
íèìè, ùî çàáåçïå÷ó¹ äîáðó óçãîäæåíiñòü ç åêñïåðèìåíòàìè. Íîâi òî÷êè
H2 i P ó (b) âêàçóþòü íà âèíèêíåííÿ êðóãîâèõ êîëèâàíü. Ñòiéêà ïiäãië-
êà H1H2 áëèçüêà äî íåäåìïôîâàíîãî âèïàäêó, ùî ïîÿñíþ¹ çàäîâiëüíå
ïåðåäáà÷åííÿ ìàêñèìàëüíèõ ïiäéîìiâ [12].
Äåìïôóâàííÿ ñóòò¹âî âïëèâ๠íà çñóâè ôàç. Íåäåìïôîâàíi êîëèâà-
ííÿ ìàþòü êóñêîâî-íåïåðåðâíi çíà÷åííÿ ψ i φ: sinψ “ 0 (ïëîñêi õâè-
ëi) i sinψ “ cosφ “ 0 (êðóãîâi õâèëi). Äëÿ ξ ą 0 ôàçîâi çñóâè ñòà-
þòü íåïåðåðâíèìè. Ïëîñêi õâèëi âiäïîâiäàþòü ψ ç (3.1), à êðóãîâi ç
C “ tanα ě 0, îòðèìàíèì ç (3.2).
4. Åëiïòè÷íi çáóðåííÿ ðåçåðâóàðà (0 ă δ “ ϵy{ϵx ă 1)
Ðèñ. 4.1 iëþñòðó¹, ùî ââåäåííÿ íåíóëüîâîãî äîäàòíüîãî δ ïðèçâîäèòü
äî ðîçäâî¹ííÿ àðêè PH1H2E2 íà ðèñóíêó 3.1 (b), ùî âiäïîâiä๠çà çáó-
ðåííÿ ïðîòè ãîäèííèêîâî¨ ñòðiëêè âçäîâæ Oy, ÷è¨ òî÷êè âiäïîâiäàþòü
äâîì iäåíòè÷íèì êðóãîâèì õâèëÿì (çà- i ïðîòèíàïðàâëåíî¨ êðóãîâèõ
õâèëü), íà äâi îêðåìi ãiëêè. Ïåðøà ãiëêà ìiñòèòü òî÷êè E1, H1H2, E2;
âîíè çíàõîäÿòüñÿ äîñèòü äàëåêî âiä ãîëîâíî¨ ðåçîíàíñíî¨ çîíè, äå ñïiâ-
íàïðàâëåíÿ iç òðà¹êòîði¹þ çáóðåííÿ êðóãîâi õâèëi ¹ áëèçüêèìè äî ñòî-
ÿ÷î¨ ïëîñêî¨ õâèëi. À ñàìå âiäïîâiäíi ïiäãiëêè ïî ëiâó ñòîðîíó âiä E1 òà
ïðàâó âiä E2. Iíøîþ çîíîþ ñòiéêîñòi ¹ ÷àñòèíà ïiäãiëêè ç H1H2. Äðóãà
ïåòëåïîäiáíà ãiëêà ç R1 òà R2 âiäïîâiä๠çà êðóãîâó õâèëþ, ÿêà ïðîòè-
ëåæíî íàïðàâëåíà äî íàïðÿìêó çáóðåííÿ áàêó. Âîíà ñòiéêà íà R1R2.
Òàêîæ ¹ äiàïàçîí ÷àñòîòè ìiæ E1 òà H1, äå òåîðiÿ íå ïåðåäáà÷๠ñòiéêî-
ãî óñòàëåíîãî êîëèâàííÿ ðiäèíè òà î÷iêóþòüñÿ íåðåãóëÿðíi (õàîòè÷íi)
õâèëi.
Ïðîñòîðîâi êîëèâàííÿ ðiäèíè 175
B
A
/
11
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.4
0.2
0 1.11.0510.950.90.85
E
E
R
H
1
H
1
1
2
2
R
2
A
B
/
11
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.3
0.2
0.1
1.11.050 10.950.90.85
H
H
E
E
R
R
1
1
2
1
2
2
Ðèñ. 4.1. Àìïëiòóäíî-÷àñòîòíi õàðàêòåðèñòèêè äëÿ
óñòàëåíîãî ðåçîíàíñíîãî êîëèâàííÿ ÷åðåç åëiïòè÷íå ïðî-
òè ãîäèííèêîâî¨ ñòðiëêè ïåðiîäè÷íå çáóðåííÿ ç η1a “
0.01, η2a “ δη1a i δ “ 0.05 çëiâà òà (ξ “ 0.02) ñïðàâà. Óñi
êðèâi âiäïîâiäàþòü êðóãîâèì õâèëÿì, àëå äåÿêi ïiäãiëêè
¹ äîñèòü áëèçüêèìè äî ïëîùèíè pσ{σ11, Aq, ùî îçíà÷à¹
êîëèâàííÿ ðiäèíè áëèçüêå äî ñòîÿ÷î¨ ïëîñêî¨ õâèëi. Ãië-
êà, ùî ìiñòèòü E1, H1, H2, E2 âiäïîâiä๠çà êðóãîâi õâè-
ëi, ùî ñïiâíàïðàâëåíi iç åëiïòè÷íèì çáóðåííÿì áàêó, àëå
çàìêíåíà ãiëêà iç R1 òà R2 âiäïîâiä๠çà ïðîòèëåæíî íà-
ïðàâëåíi êðóãîâi õâèëi. Òîâñòi ëiíi¨ âiäïîâiäàþòü çà ñòié-
êi ðîçâ'ÿçêè.
Çáiëüøåííÿ ñïiââiäíîøåííÿ ïiâîñåé åëiïñà δ çìåíøó¹ êîëîïîäiáíó ãië-
êó R, ùî âiäïîâiä๠çà ïðîòèëåæíî íàïðàâëåíó äî çáóðåííÿ áàêó êðó-
ãîâó õâèëþ. Ðèñ 4.2 iëþñòðó¹ öåé ôàêò äëÿ δ “ 0.3 òà 0.45. Çìåíøåí-
íÿ ãiëêè R îçíà÷à¹, ùî ëiíiéíå äåìïôóâàííÿ óíåìîæëèâëþ¹ iñíóâàííÿ
ïðîòèëåæíî íàïðàâëåíî¨ êðóãîâî¨ õâèëi äî çáóðåíü áàêó ïðè ïåðåõî-
äi ç ïîçäîâæíiõ çîâíiøíiõ çáóðåíü áàêó äî êðóãîâèõ. Äëÿ êîíòðàñòó,
òåîðåòè÷íèé àíàëiç áåç äåìïôóâàííÿ ó [1] ïîêàçó¹, ùî ïðîòèëåæíî íà-
ïðàâëåíà êðóãîâà õâèëÿ iñíó¹ çàâæäè òà ìîæå áóòè ñòiéêîþ â ÷àñòîòi
äëÿ 0 ă δ ă 1.
Íåíóëüîâå ξ ïðèçâîäèòü äî çíèêíåííÿ ãiëêè R ðàçîì iç çáiëüøåííÿì
δ. Ïðè êîåôiöi¹íòi äåìïôóâàííÿ ξ “ 0.02 öå âiäáóâà¹òüñÿ, êîëè δ ¹ äåùî
íèæ÷èì çà 0.5. ßê íàñëiäîê, ìè íå áà÷èìî öi¹¨ ãiëêè íà ðèñóíêó 4.3, äå
δ “ 0.5 òà 0.8.
Íà ðèñóíêàõ 4.2 òà 4.3, ìè òàêîæ áà÷èìî åêñòðà îñòðiâöi ñòiéêèõ
ðîçâ'ÿçêiâ H3H4 òà R3R4. Ïiñëÿ çíèêíåííÿ ãiëêè R, îñòðiâåöü iç òî-
÷êàìè H3H4 çðîñò๠òà, âðåøòi ðåøò, ç'¹äíó¹òüñÿ ç iíøèìè ïiäãiëêàìè
iç ñòiéêèìè ðîçâ'ÿçêàìè (ùî ìiñòÿòü òî÷êè E1 òà H1 âiäïîâiäíî).
Íåçàòóõàþ÷i êîëèâàííÿ, ñïðè÷èíåíi åëiïòè÷íèì çáóðåííÿì, õàðàêòå-
ðèçóþòüñÿ ā “ b̄ “ 0 [1], ùî îçíà÷๠sinψ “ cosφ “ 0 i cosα “ 0, sinα “
176 I. À. Ðàéíîâñüêèé
A
B
/
11
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.3
0.2
0.1
1.11.050 10.950.90.85
E
R
H
H
H
E
1
2
2R1
H
3
4
1
2
/
11
B
A
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.3
1.20.2 1.1
0.1 1
0.90
E
1E
2
H
2
H4
H
3 3R
4R
R
R1 H
2
1
Ðèñ. 4.2. Òå ñàìå, ùî íà ðèñóíêó 4.1, àëå äëÿ δ “ ϵy{ϵx “
0.3 (çëiâà) òà δ “ 0.45 (ñïðàâà). Âèÿâëåíî äîäàòêîâèé äi-
àïàçîí ñïiâíàïðàâëåíèõ (äî ðóõó áàêó) êðóãîâèõ õâèëü
H3H4 iç çáiëüøåííÿì δ, àëå ñòiéêi ïðîòèëåæíî íàïðàâ-
ëåíi êðóãîâi õâèëi (òî÷êè R1R2, R3R4) çíèêàþòü iç çáiëü-
øåííÿì δ.
˘1. Ó öüîìó âèïàäêó âèðàçè äëÿ A “ |a| i B “ |b| âèçíà÷àþòüñÿ ñèñòå-
ìîþ ðiâíÿíü:
A2rΛ `m1A
2 `m3B
2s “ ϵ2x, B2rΛ `m1B
2 `m3A
2s “ δ2ϵ2x. (4.1)
Öþ ñèñòåìó ìîæíà àíàëiòè÷íî ðîçâ'ÿçàòè, ÿê îïèñàíî ó [1].
Äëÿ çàòóõàþ÷èõ êîëèâàíü (ξ “ 0) ôàçîâi çñóâè φ i ψ ñòàþòü ñêëà-
äíèìè ôóíêöiÿìè âõiäíèõ ïàðàìåòðiâ. Àìïëiòóäè A,B òà ôàçîâi çñóâè
φ,ψ âèçíà÷àþòüñÿ íåëiíiéíîþ ñèñòåìîþ ðiâíÿíü (2.5à).
B
A
/
11
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.3
0.35
0.2
0.1
1.21.151.11.0510 0.950.90.85
E
EH
H
H
H
1
2
1
2
4
3
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.4
0.3
0.35
0.4
0.3
0.2
0.1 1.21.151.11.0510 0.950.90.85
E
1
E
2
A
B
/
11
Ðèñ. 4.3. Òå ñàìå, ùî íà ðèñóíêó 4.1, àëå äëÿ δ “ ϵy{ϵx “
0.5 òà δ “ 0.8 ñïðàâà òà çëiâà, âiäïîâiäíî. ßê ìîæíà ïîìi-
òèòè, êðóãîâà õâèëÿ, ùî ïðîòèëåæíî íàïðàâëåíà äî òðà-
¹êòîði¨ åëiïòè÷íîãî çáóðåííÿ áàêó, âçàãàëi âiäñóòíÿ.
Ïðîñòîðîâi êîëèâàííÿ ðiäèíè 177
Ðåçóëüòàòè ÷èñåëüíîãî ðîçðàõóíêó ïðåäñòàâëåíi íà ðèñóíêàõ 4.1�4.4
äëÿ ðiçíèõ çíà÷åíü 0 ă δ ă 1.
/
11
A
B
0.4
0.3
0.20
0.85
0.1
0.9 0.10.95
0.2
1
1.05
1.1
0.3
01.15
1.2
0.4
E
2
1E
Ðèñ. 4.4. Òå ñàìå, ùî íà ðèñóíêó 4.3, àëå äëÿ ìàéæå
êðóãîâèõ δ “ ϵy{ϵx “ 0.95 (çëiâà) òà êðóãîâèõ çáóðåíü
áàêó δ “ 1.0 (ñïðàâà).
Íà Ðèñ. 4.4 ñïðàâà ïðîiëþñòðîâàíî àìïëiòóäíî-÷àñòîòíi õàðàêòåðè-
ñòèêè äëÿ ìàéæå êðóãîâèõ çáóðåíü áàêó δ “ ϵy{ϵx “ 0.95 òà äëÿ êðóãî-
âèõ çáóðåíü δ “ 1.0.
5. Âèñíîâêè
Âêëþ÷åííÿ äåìïôóâàííÿ â ìîäàëüíi ñèñòåìè äîçâîëÿ¹ òî÷íiøå ìî-
äåëþâàòè ïîâåäiíêó ðiäèíè â ðåçåðâóàðàõ.
Äëÿ ëàáîðàòîðíèõ ðåçåðâóàðiâ äåìïôóâàííÿ âiäiãð๠êðèòè÷íó ðîëü
ó ôîðìóâàííi óñòàëåíèõ ðåæèìiâ.
Ïîäàëüøi äîñëiäæåííÿ ìîæóòü áóòè ñïðÿìîâàíi íà åêñïåðèìåíòàëüíå
ïiäòâåðäæåííÿ ìîäåëåé äëÿ iíøèõ òèïiâ ðiäèí i ðåçåðâóàðiâ.
Íåëiíiéíà ìóëüòèìîäàëüíà òåîðiÿ [1] ìîäèôiêîâàíà øëÿõîì äîäàâà-
ííÿ ëiíiéíèõ äåìïôóþ÷èõ ÷ëåíiâ, ÿêi âðàõîâóþòü ëiíiéíi êîåôiöi¹íòè
çàòóõàííÿ (âiäïîâiäàëüíi çà ëîãàðèôìi÷íi äåêðåìåíòè) ïðèðîäíèõ ìîä
êîëèâàíü. Öi êîåôiöi¹íòè âðàõîâóþòü ñóêóïíèé åôåêò ðiçíèõ äæåðåë
äèñèïàöi¨, âêëþ÷àþ÷è ïðèêîðäîííèé øàð íà çìî÷åíié ïîâåðõíi ðåçåðâó-
àðà òà îá'¹ìíó â'ÿçêiñòü. Êîåôiöi¹íòè çàòóõàííÿ ìîæóòü ñóòò¹âî çáiëü-
øóâàòèñÿ ïðè âðàõóâàííi äèíàìi÷íîãî êîíòàêòó, çàáðóäíåííÿ ïîâåðõíi,
ðóéíóâàííÿ õâèëü òîùî. Òàêå çáiëüøåííÿ çàçâè÷àé ñïîñòåðiãà¹òüñÿ ó
ëàáîðàòîðíèõ ðåçåðâóàðàõ (áiîðåàêòîðàõ).
Îðèãiíàëüíà ìóëüòèìîäàëüíà òåîðiÿ íåõòó¹ ïîâåðõíåâèì íàòÿãîì (äëÿ
âîäîïðîâiäíî¨ âîäè òà ðàäióñîì ðåçåðâóàðà r0 Á 0.05 ñì) i ïðèïóñêà¹,
ùî êîíòåéíåð ç êðóãëîþ îñíîâîþ çäiéñíþ¹ çàäàíèé ïåðiîäè÷íèé ðóõ,
÷àñòîòà çáóðåíü ÿêîãî áëèçüêà äî íàéíèæ÷î¨ âëàñíî¨ ÷àñòîòè êîëèâàíü;
178 I. À. Ðàéíîâñüêèé
ñïiââiäíîøåííÿ ñåðåäíüî¨ ãëèáèíè ðiäèíè äî ðàäióñà ðåçåðâóàðà h Á 1.2
äëÿ óíèêíåííÿ ÿâèù âòîðèííîãî ðåçîíàíñó.
Àñèìïòîòè÷íèé ñòiéêèé ðîçâ'ÿçîê ìîäàëüíèõ ðiâíÿíü îòðèìàíî. Éî-
ãî ñòiéêiñòü ïðîàíàëiçîâàíî çà äîïîìîãîþ ëiíiéíîãî ìåòîäó Ëÿïóíîâà òà
òåõíiêè àíàëiçó ïîâiëüíîãî òà øâèäêîãî ÷àñó. Àñèìïòîòè÷íà ïðîöåäóðà
ââîäèòü äâi äîìiíóþ÷i àìïëiòóäè õâèëü i âiäïîâiäíi ôàçîâi çñóâè, ÿêi
êåðóþòüñÿ ÷îòèðìà (ñåêóëÿðíèìè) íåëiíiéíèìè àëãåáðà¨÷íèìè ðiâíÿí-
íÿìè. Öi ðiâíÿííÿ ìàþòü òó ñàìó ñòðóêòóðó, ÿê i ó âèïàäêó åëiïòè÷íîãî
ãîðèçîíòàëüíîãî îðáiòàëüíîãî ðóõó êîíòåéíåðà. Öå äîçâîëÿ¹ çîñåðåäè-
òèñÿ íà ñòiéêèõ ðåæèìàõ õâèëü, ÿêi âèíèêàþòü ÷åðåç òàêi åëiïòè÷íi çáó-
ðåííÿ ç ðiçíèìè ñïiââiäíîøåííÿìè ïiâîñåé δ. Ïîçäîâæíi ãîðèçîíòàëüíi
ãàðìîíiéíi çáóðåííÿ ðåçåðâóàðà òà êðóãîâi çáóðåííÿ ¹ äâîìà ãðàíè÷íè-
ìè âèïàäêàìè.
Ñòiéêi êîëèâàííÿ ðiäèíè, ç òà áåç äåìïôóâàííÿ, ÷åðåç ïîçäîâæí¹ ãî-
ðèçîíòàëüíå ãàðìîíiéíå çáóðåííÿ ïðèçâîäÿòü äî óòâîðåííÿ ïëîñêèõ àáî
êðóãîâèõ õâèëü. Ââåäåííÿ ëiíiéíîãî äåìïôóâàííÿ ïðèçâîäèòü äî ïîÿâè
äîäàòêîâèõ òî÷îê áiôóðêàöi¨ íà êðèâèõ àìïëiòóäíî-÷àñòîòíèõ õàðàê-
òåðèñòèê, äå êðóãîâi õâèëi âèíèêàþòü iç ïëîñêèõ õâèëü. Êîæíà òî÷êà
íà êðóãîâié ãiëöi âiäïîâiä๠äâîì ôiçè÷íî iäåíòè÷íèì, àëå ïðîòèëåæíî
ñïðÿìîâàíèì ïðîãðåñèâíèì õâèëÿì. Ïðè íåíóëüîâîìó δ âiäáóâà¹òüñÿ
ðîçïîäiëåííÿ íà äâi íåçâ'ÿçàíi êðèâi: îäíà ç íèõ âiäïîâiä๠ñïiâíàïðÿì-
ëåíèì, iç ðóõîì áàêó, êðóãîâèì õâèëÿì, iíøà � ïðîòèëåæíî íàïðÿì-
ëåíèì. Çáiëüøåííÿ ñïiââiäíîøåííÿ ïiâîñåé åëiïñà çáóðåíü áàêó ïðèçâî-
äèòü äî çìåíøåííÿ äðóãî¨ êðèâî¨ (ïðîòèíàïðÿìëåíèõ õâèëü) àæ äî ¨¨
çíèêíåííÿ ïðè ïåâíîìó δ. Öå ïðîòèëåæíî âèïàäêó áåç äåìïôóâàííÿ [1],
êîëè ïðîòèíàïðÿìëåíi õâèëi iñíóâàëè ïðè áóäü-ÿêîìó 0 ă δ ď 1.
Äëÿ åëiïòè÷íèõ çáóðåíü, iç âiäíîñíî ìàëèì ñïiââiäíîøåííÿì ïiâîñåé
åëiïñà òðà¹êòîði¨ ðóõó áàêó, òåîðiÿ âèÿâëÿ¹ ÷àñòîòíèé äiàïàçîí, äå íå
iñíó¹ ñòiéêèõ óñòàëåíèõ ðîçâ'ÿçêiâ.
Äëÿ êðóãîâîãî îðáiòàëüíîãî çáóðåííÿ êðèâi àìïëiòóäíî-÷àñòîòíèõ
õàðàêòåðèñòèê äåìîíñòðóþòü ïîâåäiíêó æîðñòêîãî òèïó ïðóæèíè, ùî
ÿêiñíî óçãîäæó¹òüñÿ çi ñïîñòåðåæåííÿìè òà âèìiðàìè iç [10] i [11].
Ëiòåðàòóðà
[1] O. M. Faltinsen, I. A. Lukovsky½ A. N. Timokha. Resonant sloshing in an upright
tank. Journal of Fluid Mechanics, 804:608�645, 2016.
[2] O. M. Faltinsen, A. N. Timokha. Sloshing. Cambridge University Press, Cambridge,
2009.
[3] D. M. Heenderson, J. W. Miles. A note on interior vs boundary-layer damping if
surface waves in a circular tank. Journal of Fluid Mechanics, 364:319�323, 1998.
[4] D. M. Henderson, J. W. Miles. Surface-wave damping in a circular cylinder with a
�xed contact angle. Journal of Fluid Mechanics, 275:285�299, 1994.
Ïðîñòîðîâi êîëèâàííÿ ðiäèíè 179
[5] T. Ikeda, R. A. Ibrahim, Y. Harata½ T. Kuriyama. Nonlinear liquid sloshing in a
square tank subjected to obliquely horizontal excitation. Journal of Fluid Mechanics,
700:304�328, 2012.
[6] H. M. Kim, J. Kizito. Stirring free surface �ows due to horizontal circulatory osci-
llation of a partially �lled container. Chem. Eng. Comm., 196:1300�1321, 2009.
[7] I. A. Lukovsky. Nonlinear dynamics: mathematical models for rigid bodies with a
liquid. De Gruyter, 2015.
[8] I. A. Lukovsky, A. N. Timokha. Multimodal method in sloshing. Journal of
Mathematical Sciences, 220:239�253, 2017.
[9] I. A. Raynovskyy, A. N. Timokha. Sloshing in Upright Circular Containers: Theory,
Analytical Solutions, and Applications. CRC Press/Taylor and Francis Group, 2020.
[10] M. Reclari. Hydrodynamics of orbital shaken bioreactors. PhD thesis, Ecole
Polytechnique Federale de Lausanne, 2013.
[11] M. Reclari, M. Dreyer, S. Tissot, D. Obreschkow, F.M. Wurm½ M. Farhat. Surface
wave dynamics in orbital shaken cylindrical containers. Physics of Fluids, 26:052104�
1�11, 2014.
[12] A. Royon-Lebeaud, E. Hop�nger½ A. Cartellier. Liquid sloshing and wave breaking in
circular and square-base cylindrical containers. Journal of Fluid Mechanics, 577:467�
494, 2007.
I. À. Ðàéíîâñüêèé
Iíñòèòóò ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè, ì. Êè¨â
Email: ihor.raynovskyy@gmail.com
ORCID: 0000-0003-0767-3227
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-547 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:09:13Z |
| publishDate | 2025 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/f8/94cb47df53812bd282b0581ac0f9f5f8.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-5472026-02-24T12:22:41Z Spatial oscillations of a liquid in a vertical cylindrical container Просторові коливання рідини в~циліндричному вертикальному контейнері Raynovskyy, Ihor Райновський, Ігор Using the nonlinear Narimanov–Moiseev modal system with linear damping coefficients corresponding to the logarithmic decrement of the sloshing eigenmodes, steady-state damped resonant sloshing in a cylindrical tank has been investigated. The usage of Miles formula to estimate the damping coefficients shows that these effects can be of significant importance in laboratory conditions. Asymptotic steady-state solutions of the modal system have been obtained for a given motion of a cylindrical tank with four degrees of freedom when the forcing frequency approaches the lowest eigenfrequency of the fluid. This solution turns out to be asymptotically equivalent to a horizontal elliptical trajectory of the container. The response curves, which depend on the ratio of the semiaxes of the elliptical orbit and are related to the amplitudes of the two lowest eigenmodes of the sloshing, have been analyzed. За допомогою нелінійної модальної системи Наріманова–Моісєєва з лінійними коефіцієнтами демпфування, що відповідають за логарифмічний декремент власних мод коливань рідини, досліджено усталені демпфовані резонансні хлюпання рідини у циліндричному резервуарі. Використання формули Майлза для оцінки коефіцієнтів демпфування показує, що ці ефекти можуть мати суттєве значення у лабораторних умовах. Отримано асимптотичні стійкі розв'язки модальної системи для заданого руху циліндричного резервуара з чотирма ступенями вільності, коли частота збурень наближається до найнижчої власної частоти рідини. Цей розв'язок виявляється є асимптотично еквівалентним горизонтальному еліптичному збуренню контейнера. Проаналізовано амплітудно-частотні характеристики, які залежать від співвідношення півосей еліптичної орбіти, і пов'язані з амплітудами двох найнижчих власних форм коливань рідини. Інститут математики НАН України 2025-08-18 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/547 10.3842/trim.v21n1.547 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 21 No. 1 (2024): Special Issue "Actual problems of modern mathematics: methods, models and applications"; 169-179 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 21 № 1 (2024): Спеціальний номер "Актуальні проблеми сучасної математики: методи, моделі та застосування" ; 169-179 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 21 № 1 (2024): Спеціальний номер "Актуальні проблеми сучасної математики: методи, моделі та застосування" ; 169-179 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/547/529 Авторське право (c) 2024 Ігор Райновський http://creativecommons.org/licenses/by/4.0 |
| spellingShingle | Raynovskyy, Ihor Райновський, Ігор Spatial oscillations of a liquid in a vertical cylindrical container |
| title | Spatial oscillations of a liquid in a vertical cylindrical container |
| title_alt | Просторові коливання рідини в~циліндричному вертикальному контейнері |
| title_full | Spatial oscillations of a liquid in a vertical cylindrical container |
| title_fullStr | Spatial oscillations of a liquid in a vertical cylindrical container |
| title_full_unstemmed | Spatial oscillations of a liquid in a vertical cylindrical container |
| title_short | Spatial oscillations of a liquid in a vertical cylindrical container |
| title_sort | spatial oscillations of a liquid in a vertical cylindrical container |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/547 |
| work_keys_str_mv | AT raynovskyyihor spatialoscillationsofaliquidinaverticalcylindricalcontainer AT rajnovsʹkijígor spatialoscillationsofaliquidinaverticalcylindricalcontainer AT raynovskyyihor prostorovíkolivannârídinivcilíndričnomuvertikalʹnomukontejnerí AT rajnovsʹkijígor prostorovíkolivannârídinivcilíndričnomuvertikalʹnomukontejnerí |