Nonlinear properties of trajectories in models of dynamic conflict system
This article focuses on the study of trajectory properties of conflict dynamical systems. Both attractive and repulsive interactions between system components are considered. The results reveal a wide range of behavioral scenarios, including stable, cyclic, quasi-periodic, and chaotic regimes. Speci...
Gespeichert in:
| Datum: | 2025 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2025
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/549 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872553055186059264 |
|---|---|
| author | Satur, Oksana Сатур, Оксана |
| author_facet | Satur, Oksana Сатур, Оксана |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Оксана Сатур",
"institution": "Інститут математики НАН України"
}
] |
| author_sort | Satur, Oksana |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2026-02-24T12:22:41Z |
| description | This article focuses on the study of trajectory properties of conflict dynamical systems. Both attractive and repulsive interactions between system components are considered. The results reveal a wide range of behavioral scenarios, including stable, cyclic, quasi-periodic, and chaotic regimes. Special attention is given to the role of interaction parameters and initial conditions in determining the long-term dynamics of the system. The findings provide a foundation for modeling conflict systems in various applied domains, such as economics, ecology, and social sciences. |
| doi_str_mv | 10.3842/trim.v21n1.549 |
| first_indexed | 2026-08-04T01:09:14Z |
| format | Article |
| fulltext |
Çáiðíèê ïðàöü Ií-òó ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè (2024) ò. 21, �1, 191�204
Íåëiíiéíi âëàñòèâîñòi òðà¹êòîðié
â ìîäåëÿõ äèíàìi÷íèõ ñèñòåì êîíôëiêòó
Î. Ð. Ñàòóð
Abstract. This article focuses on the study of trajectory properties of
con�ict dynamical systems. Both attractive and repulsive interactions bet-
ween system components are considered. The results reveal a wide range of
behavioral scenarios, including stable, cyclic, quasi-periodic, and chaotic
regimes. Special attention is given to the role of interaction parameters
and initial conditions in determining the long-term dynamics of the sys-
tem. The �ndings provide a foundation for modeling con�ict systems in
various applied domains, such as economics, ecology, and social sciences.
Àíîòàöiÿ. Öÿ ñòàòòÿ ïðèñâÿ÷åíà äîñëiäæåííþ âëàñòèâîñòåé òðà¹êòî-
ðié äèíàìi÷íèõ ñèñòåì êîíôëiêòó. Ðîçãëÿäàþòüñÿ ÿê ïðèòÿãàëüíi, òàê i
âiäøòîâõóâàëüíi âçà¹ìîäi¨ ìiæ êîìïîíåíòàìè ñèñòåìè. Ðåçóëüòàòè äå-
ìîíñòðóþòü øèðîêèé ñïåêòð ïîâåäiíêîâèõ ñöåíàði¨â, âêëþ÷àþ÷è ñòà-
áiëüíi, öèêëi÷íi, êâàçiïåðiîäè÷íi òà õàîòè÷íi ðåæèìè. Îñîáëèâà óâàãà
ïðèäiëÿ¹òüñÿ ðîëi ïàðàìåòðiâ âçà¹ìîäi¨ òà ïî÷àòêîâèõ óìîâ ó âèçíà÷åí-
íi äîâãîñòðîêîâî¨ äèíàìiêè ñèñòåìè. Îòðèìàíi ðåçóëüòàòè ¹ îñíîâîþ
äëÿ ìîäåëþâàííÿ êîíôëiêòíèõ ñèñòåì ó ðiçíèõ ïðèêëàäíèõ ñôåðàõ,
òàêèõ ÿê åêîíîìiêà, åêîëîãiÿ òà ñîöiàëüíi íàóêè.
1. Âñòóï
Âèòîêè òåîði¨ äèíàìi÷íèõ ñèñòåì ñÿãàþòü XVIII ñòîëiòòÿ, êîëè Iñààê
Íüþòîí òà Ãîòôðiä Ëåéáíiö ðîçðîáèëè îñíîâè ìàòåìàòè÷íîãî àíàëiçó,
çîêðåìà äèôåðåíöiàëüíi ðiâíÿííÿ, ÿêi çãîäîì ñòàëè îñíîâîþ äëÿ îïèñó
ôiçè÷íèõ ÿâèù. Ó XIX ñòîëiòòi Àíði Ïóàíêàðå çàêëàâ îñíîâè ñó÷àñíî¨
òåîði¨ äèíàìi÷íèõ ñèñòåì. Âií ðîçðîáèâ êîíöåïöi¨ òðà¹êòîðié i ôàçîâîãî
ïðîñòîðó, ùî äîçâîëèëî îïèñóâàòè ñêëàäíi ñèñòåìè ÷åðåç ¨õíi çàãàëüíi
âëàñòèâîñòi, à íå ÷åðåç òî÷íi ðiøåííÿ. Ó XX ñòîëiòòi òåîðiÿ äèíàìi÷íèõ
ñèñòåì ïðîäîâæèëà àêòèâíî ðîçâèâàòèñÿ çàâäÿêè ðîáîòàì òàêèõ ó÷å-
íèõ, ÿê Ñòåôàí Ñìåéë òà Åäâàðä Ëîðåíö. Âîíè äîñëiäæóâàëè ñêëàäíi
ñèñòåìè, çîêðåìà õàîòè÷íó ïîâåäiíêó, ÿêà ñïîñòåðiãà¹òüñÿ â áàãàòüîõ
ïðèðîäíèõ ïðîöåñàõ.
This work was supported by grants from the Simons Foundation (1290607, O.R.S.)
2020 Mathematics Subject Classi�cation: 01A72, 16G50, 18G80
Êëþ÷îâi ñëîâà: dynamical con�ict system, �xed point
DOI : https://doi.org/10.3842/trim.v21n1.549
191
192 Î. Ð. Càòóð
Äèíàìi÷íi ñèñòåìè � öå îäèí iç íàéñòàðiøèõ i âîäíî÷àñ íàéñó÷àñíi-
øèõ ðîçäiëiâ ìàòåìàòèêè, ÿêèé çàéìà¹òüñÿ âèâ÷åííÿì åâîëþöi¨ ñèñòåì
ó ÷àñi. Ñüîãîäíi äèíàìi÷íi ñèñòåìè ¹ íåâiä'¹ìíîþ ÷àñòèíîþ ñó÷àñíî¨
ìàòåìàòèêè i ìàþòü ÷èñëåííi çàñòîñóâàííÿ â ðiçíèõ íàóêîâèõ äèñöè-
ïëiíàõ, çîêðåìà ó âèâ÷åííi õàîñó òà íåëiíiéíèõ ÿâèù. Ðîçâèòîê òåîði¨
äèíàìi÷íèõ ñèñòåì ¹ êðèòè÷íî âàæëèâèì ÷åðåç êiëüêà ïðè÷èí: óíiâåð-
ñàëüíiñòü, íåëiíiéíi ÿâèùà, iíòåðäèñöèïëiíàðíiñòü. Äèíàìi÷íi ñèñòåìè
îõîïëþþòü øèðîêèé ñïåêòð ïðîöåñiâ � âiä ïðèðîäíèõ äî òåõíîãåííèõ.
Ç ¨õ äîïîìîãîþ ìîæíà îïèñóâàòè é àíàëiçóâàòè áóäü-ÿêi ñèñòåìè, ÿêi
åâîëþöiîíóþòü ó ÷àñi. Ó áàãàòüîõ ñèñòåìàõ ïðèñóòíi íåëiíiéíi åëåìåíòè,
ùî âèêëèêàþòü ñêëàäíó é íåïåðåäáà÷óâàíó ïîâåäiíêó. Òåîðiÿ äèíàìi-
÷íèõ ñèñòåì äîïîìàã๠àíàëiçóâàòè öi ÿâèùà, âêëþ÷àþ÷è áiôóðêàöi¨
òà õàîñ, ùî ìàþòü âåëèêå çíà÷åííÿ â ïðèêëàäíèõ íàóêàõ. Äèíàìi÷íi
ñèñòåìè çàñòîñîâóþòüñÿ ó ôiçèöi, áiîëîãi¨, iíôîðìàòèöi, åêîíîìiöi òà
ñîöiàëüíèõ íàóêàõ, çàáåçïå÷óþ÷è ¹äèíèé ìàòåìàòè÷íèé ïiäõiä äî âèði-
øåííÿ ðiçíîìàíiòíèõ ïðîáëåì.
Äèíàìi÷íi ñèñòåìè ç äèñêðåòíèì ÷àñîì ¹ âàæëèâîþ ÷àñòèíîþ òåîði¨
äèíàìi÷íèõ ñèñòåì ó ìàòåìàòèöi. Âîíè ìîäåëþþòü ïðîöåñè, ÿêi çìiíþ-
þòüñÿ â äèñêðåòíi ìîìåíòè ÷àñó, òîáòî ìiæ ïîäiÿìè iñíó¹ ôiêñîâàíèé
êðîê ó ÷àñi. Îñíîâíèì iíñòðóìåíòîì äëÿ ¨õíüîãî îïèñó ¹ âiäîáðàæåí-
íÿ, ùî îïèñóþòü ÿê ñòàí ñèñòåìè çìiíþ¹òüñÿ ç îäíîãî ìîìåíòó ÷àñó äî
iíøîãî.
Äèíàìi÷íà ñèñòåìà ç äèñêðåòíèì ÷àñîì çàäà¹òüñÿ ÿê ïàðà pX, fq, äå
X � öå ôàçîâèé ïðîñòið, f : X Ñ X � âiäîáðàæåííÿ, ÿêå îïèñó¹ åâîëþ-
öiþ ñèñòåìè ç êðîêîì ÷àñó. Åëåìåíòè ïðîñòîðó X íàçèâàþòüñÿ ñòàíàìè
ñèñòåìè, à âiäîáðàæåííÿ f çàä๠ïðàâèëî ïåðåõîäó âiä îäíîãî ñòàíó äî
iíøîãî. Äëÿ äàíî¨ ïî÷àòêîâî¨ óìîâè x0 P X, òðà¹êòîðiÿ ñèñòåìè âèçíà-
÷à¹òüñÿ ïîñëiäîâíiñòþ ñòàíiâ xn`1 “ fpxnq, n “ 1, 2, 3, . . .. Îñíîâíîþ
çàäà÷åþ ïðè äîñëiäæåííi òàêèõ ñèñòåì ¹ âèâ÷åííÿ äîâãîñòðîêîâî¨ ïîâå-
äiíêè òðà¹êòîðié.
Îäèí iç íàéïðîñòiøèõ ïðèêëàäiâ � ëiíiéíà äèíàìi÷íà ñèñòåìà ç äèñ-
êðåòíèì ÷àñîì, ùî çàäàíà ðiâíÿííÿì:
xn`1 “ Axn,
äå xn P Rk � âåêòîð ñòàíó ñèñòåìè íà n-òîìó êðîöi, à A � ôiêñîâàíà
ìàòðèöÿ ðîçìiðíîñòi kˆk. Ðîçâ'ÿçîê öi¹¨ ñèñòåìè äëÿ ïî÷àòêîâîãî ñòàíó
x0 ìîæå áóòè çàïèñàíèé ó âèãëÿäi:
xn “ Anx0.
Àíàëiçóþ÷è âëàñíi çíà÷åííÿ ìàòðèöi A, ìîæíà ïåðåäáà÷èòè ïîâåäií-
êó ñèñòåìè â äîâãîñòðîêîâié ïåðñïåêòèâi: ÿêùî âñi âëàñíi çíà÷åííÿ çà
Íåëiíiéíi âëàñòèâîñòi òðà¹êòîðié â ìîäåëÿõ ÄÑÊ 193
ìîäóëåì ìåíøi çà 1, òî ñèñòåìà ñõîäèòüñÿ äî ðiâíîâàæíîãî ñòàíó (ñòié-
êiñòü); ÿêùî õî÷à á îäíå âëàñíå çíà÷åííÿ çà ìîäóëåì áiëüøå çà 1, òðà¹-
êòîði¨ ñèñòåìè ìîæóòü äåìîíñòðóâàòè åêñïîíåíöiéíå çðîñòàííÿ (íåñòié-
êiñòü).
Áiëüøiñòü ðåàëüíèõ ñèñòåì, ùî ìîäåëþþòüñÿ äèíàìi÷íèìè ñèñòåìà-
ìè ç äèñêðåòíèì ÷àñîì, ¹ íåëiíiéíèìè. Îäíà ç êëàñè÷íèõ íåëiíiéíèõ
ñèñòåì � öå ëîãiñòè÷íå âiäîáðàæåííÿ, ÿêå îïèñó¹ ðiñò ïîïóëÿöi¨:
xt`1 “ rxtp1 ´ xtq, (1.1)
äå r � ïàðàìåòð, ùî õàðàêòåðèçó¹ øâèäêiñòü ðîñòó, à xt � ðîçìið ïî-
ïóëÿöi¨ íà t-òîìó êðîöi, íîðìîâàíèé òàê, ùîá xt P r0; 1s Ëîãiñòè÷íå
âiäîáðàæåííÿ äåìîíñòðó¹ ðiçíîìàíiòíó ïîâåäiíêó çàëåæíî âiä çíà÷åí-
íÿ ïàðàìåòðà r.
Ìîäèôiêó¹ìî âiäîáðàæåííÿ (1.1) ó äëÿ âèïàäêó äâîõ ïîïóëÿöié, êî-
ëè ìiæ íèìè iñíó¹ ïåâíà âçà¹ìîäiÿ, íàïðèêëàä êîíêóðåíòå ïðîòèñòî-
ÿííÿ ÷è íàâïàêè âçà¹ìîïiäòðèìêà åâîëþöiîíóâàííÿ. Êîæíó ç âçà¹ìî-
äié ìîæíà õàðàêòåðèçóâàòè âiäïîâiäíèì òåðìiíîì ïðèòÿãàëüíî¨ ÷è âiä-
øòîâõóâàëüíî¨ âçà¹ìîäi¨. Ïðèïóñòèìî, ùî pt, rt P Rn` � ñòîõàñòè÷íi
âåêòîðè ðîçìiðíîñòi n, ùî õàðàêòåðèçóþòü ùiëüíiñòü ðîçïîäiëó êîæíî¨
ç ïîïóëÿöi¨ íà t-òîìó êðîöi ÷àñó åâîëþöi¨ ïîïóëÿöié íà ñïiëüíîìó ïðî-
ñòîði iñíóâàííÿ Ω. Äèíàìiêà çìiíè ïîïóëÿöié tpt, rtu ¸,tÝÑ tpt`1, rt`1u,
t “ 0, 1, 2, . . . , çàäà¹òüñÿ âiäîáðàæåííÿì ¸, ùî âèçíà÷à¹òüñÿ ñèñòåìîþ
ðiçíèöåâèõ ðiâíÿíü:
pt`1 “ α
zt
ptp1 ´ γrtq, rt`1 “ β
zt
rtp1 ´ γptq (1.2)
äå α, β, γ � ïàðàìåòðè, zt “ 1´γppt, rtq � íîðìóâàëüíèé çíàìåííèê, ùî
çàáåçïå÷ó¹ ñòîõàñòè÷íiñòü âåêòîðiâ pt`1, rt`1.
Ó 2003 ðîöi Â. Ä. Êîøìàíåíêî çàïðîïîíóâàâ íàéïðîñòiøó ìîäåëü
äèíàìi÷íî¨ ñèñòåìè êîíôëiêòó, ÿêà áóëà ïðåäñòàâëåíà ðiçíèöåâèìè ðiâ-
íÿííÿìè òèïó (1.2) ïðè α, β, γ “ 1 (äèâ. [4]). Öÿ ìîäåëü îïèñóâàëà
ïðîöåñ êîíôëiêòíîãî ïåðåðîçïîäiëó àáñòðàêòíîãî ðåñóðñíîãî ïðîñòîðó
ìiæ äâîìà ñòîðîíàìè, ùî âñòóïàþòü â àëüòåðíàòèâíó âçà¹ìîäiþ. Âîíà
îòðèìàëà íàçâó � äèíàìi÷íà ñèñòåìà êîíôëiêòó ç âçà¹ìîäi¹þ âiäøòîâ-
õóâàííÿ. Ç ÷àñîì ïiä êåðiâíèöòâîì Â. Ä. Êîøìàíåíêà áóëà ðîçðîáëåíà
çíà÷óùà òåîðiÿ äèíàìi÷íèõ ñèñòåì êîíôëiêòó. Âîíà îõîïëþ¹ øèðîêèé
ñïåêòð ñó÷àñíèõ ïðîáëåì, âêëþ÷àþ÷è ìîäåëi êîíôëiêòíèõ ñóñïiëüñòâ,
âèáîð÷èõ ïðîöåñiâ, ôîðìóâàííÿ äóìîê, åêîëîãi÷íèõ ñèñòåì, ìiãðàöié-
íèõ ïðîöåñiâ òà ïåðåðîçïîäiëó ðåñóðñiâ. Ãîëîâíèì çàâäàííÿì öi¹¨ òåîði¨
¹ ðîçðîáêà ìàòåìàòè÷íèõ ïåðåòâîðåíü, ÿêi òî÷íî âiäîáðàæàþòü êîíôëi-
êòíó âçà¹ìîäiþ, òà âèâåäåííÿ âiäïîâiäíèõ åâîëþöiéíèõ ðiâíÿíü. Äëÿ
194 Î. Ð. Càòóð
öüîãî âèêîðèñòîâóþòüñÿ ìåòîäè ç òåîði¨ äèíàìi÷íèõ ñèñòåì, ôóíêöiî-
íàëüíîãî àíàëiçó, òåîði¨ ìiðè, éìîâiðíîñòåé òà ôðàêòàëüíî¨ ãåîìåòði¨.
Äèíàìi÷íi ñèñòåìè êîíôëiêòó âiäiãðàþòü âàæëèâó ðîëü ó áàãàòüîõ
ïðèêëàäíèõ çàäà÷àõ, âêëþ÷àþ÷è ìîäåëþâàííÿ åêîíîìi÷íèõ, ñîöiàëü-
íèõ i åêîëîãi÷íèõ ïðîöåñiâ. Íàïðèêëàä, â åêîëîãi¨ öi ìîäåëi çàñòîñî-
âóþòüñÿ äëÿ ïðîãíîçóâàííÿ ñòàáiëüíîñòi åêîñèñòåì, çîêðåìà âçà¹ìîäi¨
ìiæ âèäàìè, ÿêà ìîæå áóòè ïåðiîäè÷íîþ ÷åðåç ñåçîííiñòü. Ó ñîöiàëüíèõ
íàóêàõ � äëÿ àíàëiçó ïîâåäiíêè ëþäåé ó ãðóïàõ, ùî âçà¹ìîäiþòü ó êîí-
ôëiêòíèõ óìîâàõ (íàïðèêëàä, êîíêóðåíöiÿ çà ðåñóðñè). Â åêîíîìiöi �
äëÿ ïðîãíîçóâàííÿ çìií íà ðèíêàõ iç êîíêóðåíöi¹þ òà ðåñóðñíèìè îáìå-
æåííÿìè. Öå ïiäêðåñëþ¹ âàæëèâiñòü âèâ÷åííÿ ïîâåäiíêè òàêèõ ñèñòåì
äëÿ ðîçóìiííÿ ¨õ ñòàáiëüíîñòi òà äîâãîñòðîêîâèõ âëàñòèâîñòåé.
Ðîçãëÿíåìî ôiçè÷íó ñèñòåìó, ÿêà ñêëàäà¹òüñÿ ç äâîõ (ìîæíà i äå-
êiëüêîõ) ïðîòèäiþ÷èõ ñòîðií, ÿêi ïîçíà÷èìî ÷åðåç A òà B i íàçâåìî
îïîíåíòàìè. Ââàæà¹ìî, ùî îïîíåíòè iñíóþòü íà ñïiëüíîìó ðåñóðñíî-
ìó ïðîñòîði Ω i íåçíèùåííi. Ñòàíè òàêî¨ ñèñòåìè ïðèðîäíî çàäàâàòè
âèïàäêîâèìè ðîçïîäiëàìè ó òåðìiíàõ éìîâiðíiñíèõ ìið µ, ν âèçíà÷åíèõ
íà äåÿêié σ-àëãåáði ïiäìíîæèí ç ïðîñòîðó Ω. Ôiêñîâàíèé êëàñ öèõ ìið
ïîçíà÷èìî MpΩq. Êîíôëiêòíó âçà¹ìîäiþ (êîìïîçèöiþ êîíôëiêòó) ìiæ
îïîíåíòàìè A òà B, ÿê âiäîáðàæåííÿ (ïåðåòâîðåííÿ) â ïðîñòîði ïàð
ìið ç MpΩq, ïîçíà÷à¹ìî ñèìâîëîì ¸. Öå âiäîáðàæåííÿ çàä๠åâîëþöiþ
ôiçè÷íî¨ ñèñòåìè ó âèãëÿäi òðà¹êòîðié:
"
µt“0
νt“0
*
¸,tÝÑ
"
µt
νt
*
, t ě 0,
äå ¸, t ïîçíà÷๠êîíôëiêòíå ïåðåòâîðåííÿ íà ìîìåíò ÷àñó t. Äèíàìi÷íà
ñèñòåìà òàêîãî òèïó ïîçíà÷à¹òüñÿ ÿê tΩ,MpΩq,¸u i íàçèâà¹òüñÿ äè-
íàìi÷íîþ ñèñòåìîþ êîíôëiêòó. Çâè÷àéíî, ïðîñòið Ω, êëàñ ìið MpΩq
òà âiäîáðàæåííÿ ¸ òðåáà âèçíà÷àòè äîäàòêîâî ó êîæíîìó êîíêðåòíîìó
âèïàäêó.
Ó ðÿäi âàæëèâèõ âèïàäêiâ, ÿêi áëèçüêi äî çàñòîñóâàíü, ïðèïóñêà¹-
òüñÿ, ùî ðåñóðñíèé ïðîñòið Ω, íà ÿêîìó ñïiâiñíóþòü îïîíåíòè A òà B,
ïðèðîäíèì ÷èíîì ðîçêëàäåíî íà ñêií÷åíó êiëüêiñòü ðåãiîíiâ:
Ω “
nď
i“1
Ωi, 2 ď n ă 8.
Êîæåí îêðåìèé ðåãiîí Ωi íàçèâà¹òüñÿ ïîçèöi¹þ êîíôëiêòó. Ðîçïîäië
îïîíåíòiâ A, B íà Ω çâîäèòüñÿ äî çàäàííÿ äèñêðåòíèõ ìið: µpΩiq “ pi
òà νpΩiq “ ri. ×èñëà pi, ri ¹ êîîðäèíàòàìè ñòîõàñòè÷íèõ âåêòîðiâ
p “ pp1, p2, . . . , pnq, r “ pr1, r2, . . . , rnq P Rn`, p}p}1 “ }r}1 “ 1q.
Íåëiíiéíi âëàñòèâîñòi òðà¹êòîðié â ìîäåëÿõ ÄÑÊ 195
Öi ÷èñëà ¹ éìîâiðíîñòÿìè ïðèñóòíîñòi îïîíåíòiâ A, B â ðiçíèõ ïîçèöiÿõ
êîíôëiêòó.
Êîíôëiêòó âçà¹ìîäiþ ìiæ îïîíåíòàìè A, B ìîæíà çàïèñàòè â òåðìi-
íàõ åâîëþöi¨ âåêòîðiâ p, r ïiä äi¹þ ïåðåòâîðåííÿ ¸ â ïðÿìîìó äîáóòêó
ïðîñòîðiâ Rn`. Âiäçíà÷èìî, ùî ó ðîáîòàõ [5,6,10] öåé ïiäõiä óçàãàëüíåíî
äëÿ òðiéêè îïîíåíòiâ, à ó ðîáîòi [7] äëÿ äîâiëüíî¨ ñêií÷åííî¨ êiëüêîñòi
îïîíåíòiâ íà Ω.
 ðîáîòàõ [1, 9] äîñëiäæóâàëèñü ðiçíi çàäà÷i, ïîâÿçàíi ç äèíàìi÷íè-
ìè ñèñòåìàìè êîíôëiêòó ó äèñêðåòíîìó ÷àñi â òåðìiíàõ ñòîõàñòè÷íèõ
âåêòîðiâ çàäàíèõ òðà¹êòîðiÿìè:
tpt, rtu ¸,tÝÑ tpt`1, rt`1u, t “ 0, 1, 2, . . . ,
äå êîîðäèíàòè âåêòîðiâ pt`1, rt`1 âèçíà÷àëèñÿ ñèñòåìîþ ðiçíèöåâèõ ðiâ-
íÿíü. Íàéïðîñòiøèé âàðiàíò òàêèõ ðiâíÿíü ì๠âèãëÿä
pt`1
i “ 1
zt
ptip1 ´ αrtiq, rt`1
i “ 1
zt
rtip1 ´ αqtiq, ´ 1 ď α ď 1,
äå z “ 1´αpp, rq � íîðìóâàëüíèé çíàìåííèê, p¨, ¨q � ñêàëÿðíèé äîáóòîê
â Rn.
Ó ïîäàëüøèõ ïðàöÿõ Â.Ä. Êîøìàíåíêà i éîãî ó÷íiâ áóëî îäåðæàíî
ñåðiþ ðåçóëüòàòiâ, ÿê òåîðåòè÷íîãî çíà÷åííÿ òàê i â ïîáóäîâi òà äîñëi-
äæåíi êîíêðåòíèõ ìîäåëåé ç ðiçíèì ñïîñîáîì çàäàííÿ âiäîáðàæåííÿ ¸.
Îñíîâíà çàäà÷à � öå âèâ÷åííÿ ïîâåäiíêè òðà¹êòîðié ñèñòåìè ïðè t Ñ 8,
âñòàíîâëåííÿ iñíóâàííÿ i çíàõîäæåííÿ ãðàíè÷íèõ àñèìïòîòè÷íèõ ñòà-
íiâ, ïîøóê àòðàêòîðiâ òà ¨õíiõ áàñåéíiâ, äîâåäåííÿ iñíóâàííÿ íåðóõîìèõ
òî÷îê (ðiâíîâàæíèõ ñòàíiâ) òà iñíóâàííÿ öèêëi÷íèõ îðáiò.
2. Ïîáóäîâà äèíàìi÷íî¨ ñèñòåìè êîíôëiêó
Íåõàé Ω “ tω1, ω2, . . . , ωnu, n ą 1, ¹ äåÿêîþ ñêií÷åííà ìíîæèíîþ
ç äèñêðåòíîþ òîïîëîãi¹þ. Ïîçíà÷èìî M`
1 pΩq ÿê ìíîæèíó äèñêðåòíèõ
éìîâiðíiñíèõ ìið íà Ω. Íåõàé µi P M`
1 pΩq, i “ 1, . . . ,m, m ě 2 � äî-
âiëüíà ôiêñîâàíà ïiäìíîæèíà ìið. Êîæíó ìiðó µi ìîæíà çiñòàâèòè çi
ñòîõàñòè÷íèì âåêòîðîì pi “ ppijqnj“1, ÿêùî âèçíà÷èòè
pij “ µipωjq, i “ 1, . . . ,m, j “ 1, . . . , n.
Äëÿ ïîáóäîâè äèíàìi÷íî¨ ñèñòåìè çàäàìî âiäîáðàæåííÿ ¸ ó ïðîñòî-
ði ñòîõàñòè÷íèõ âåêòîðiâ (ïåðåòâîðåííÿ êîíôëiêòó). Êîæíîìó âåêòîðó
pi “ ppijqnj“1 ïîñòàâèìî ó âiäïîâiäíiñòü âåêòîð p1
i “ pp1ijqnj“1 çà ïðàâè-
ëîì, âèçíà÷åíèì ó òåðìiíàõ êîîðäèíàò
p1ij “ 1
z
`
pijpθ ` 1q ` ατj
˘
,
196 Î. Ð. Càòóð
äå θ “ θ
`
p1,p2, . . . ,pm
˘
� äîâiëüíà îáìåæåíà äîäàòíà ôóíêöiÿ, T “`
τj
˘n
j“1
� ôiêñîâàíèé âåêòîð ç íåâiä'¹ìíèìè êîîðäèíàòàìè, ÿêi çàëåæàòü
âiä p1, . . . ,pm, à z � íîðìóâàëüíèé çíàìåííèê, ùî çàáåçïå÷ó¹ ñòîõàñòè-
÷íiñòü âåêòîðà p1
i .
Iòåðàöiÿ öüîãî âiäîáðàæåííÿ ãåíåðó¹ áàãàòîêîìïîíåíòíó äèíàìi÷íó
ñèñòåìó ç òðà¹êòîðiÿìè
␣
pt1,p
t
2, . . . ,p
t
m
( ¸,tÝÑ ␣
pt`1
1 ,pt`1
2 , . . . ,pt`1
m
(
, t “ 0, 1, . . . , (2.1)
äå pt“0
i “ pi, à êîîðäèíàòè êîæíîãî âåêòîðà pti “ pptijqnj“1 çìiíþþòüñÿ
âiäïîâiäíî äî ðiâíÿíü
pt`1
ij “ 1
zt
`
ptij
`
θt ` 1
˘ ` ατ tj
˘
, t “ 0, 1, . . . , (2.2)
zt “ 1 ` θt `W t, W t “
nÿ
j“1
τ tj ą 0, (2.3)
äå θt “ θ
`
pt1,p
t
2, . . . ,p
t
m
˘
� äåÿêà îáìåæåíà äîäàòíà ôóíêöiÿ, ÿêà âè-
çíà÷๠âiëüíó åâîëþöiþ ñèñòåìè. Íîðìóâàëüíèé çíàìåííèê zt çàáåçïå-
÷ó¹ ñòîõàñòè÷íiñòü âåêòîðiâ pt`1
i . Íàáið äîäàòíèõ ôóíêöié τ tj (ïåâíèì
÷èíîì çàëåæíèõ âiä êîîðäèíàò âåêòîðiâ pti) âiäïîâiä๠çàêîíó âçà¹ìî-
äi¨. Çíà÷åííÿ öèõ ôóíêöié ïðè êîæíîìó ôiêñîâàíîìó t óòâîðþþòü äå-
ÿêèé íåñòîõàñòè÷íèé âåêòîð ç íåâiä'¹ìíèìè êîîðäèíàòàìè, ÿêèé ïîçíà-
÷åíî ñèìâîëîì T t “ `
τ tj
˘n
j“1
i íàçèâà¹ìî âåêòîðîì âçà¹ìîäi¨. Âåêòîð
wt “ pwtjqnj“1, äå w
t
j :“
τ tj
W t , ¹ ñòîõàñòè÷íèì àíàëîãîì âåêòîðà T t. Äàëi
áóäå äîñëiäæåíî ðÿä ìîäåëåé äèíàìi÷íèõ ñèñòåì êîíôëiêòó, òðà¹êòî-
ði¨ ÿêèõ çàëåæàòü âiä âèãëÿäó âåêòîðà T t, à òàêîæ âèâ÷åíî çàëåæíiñòü
ïîâåäiíêè ñèñòåìè âiä ïîâåäiíêè T t ïðè t Ñ 8.
 ðiâíÿííÿõ (2.2) ñòàëà α ìîæå íàáóâàòè äîâiëüíîãî çíà÷åííÿ, àëå
ïðè äîñèòü âåëèêèõ α øâèäêiñòü çáiæíîñòi (÷è ðîçáiæíîñòi) ñèñòåìè
áóäå äîñèòü âåëèêîþ ïðè ìàëèõ çíà÷åííÿ ÷àñó t. Òàêà äèíàìiêà íå âiä-
ïîâiäàòèìå äèíàìiöi ðåàëüíèõ ïðîöåñiâ, òîìó ïðè ïîáóäîâi ìîäåëi áóëî
âèáðàíî çíà÷åííÿ ñòàëî¨ α ç ïðîìiæêó r´1; 1s. Çãiäíî ç íàâåäåíèìè ðiâ-
íÿííÿìè, ó âèïàäêó α P p0; 1s âiäñòàíü ìiæ âåêòîðàìè pti â l1-íîðìi
çáiãà¹òüñÿ äî íóëÿ,
}pti ´ ptk}1 “
nÿ
j“1
|ptij ´ ptkj | Ñ 0, i ‰ k, i, k “ 1, . . . ,m,
òîìó âiäîáðàæåííÿ ¸, çàäàíå öèìè ðiâíÿííÿìè, îïèñó¹ âçà¹ìîäiþ ïðè-
òÿãàííÿ. Ïðè α P r´1; 0q áóäåìî ãîâîðèòè ïðî äèíàìi÷íó ñèñòåìó ç âçà-
¹ìîäi¹þ âiäøòîâõóâàííÿ. Çàóâàæèìî, ùî ïðè α “ 0 ïî÷àòêîâèé ñòàí␣
pt“0
i
(m
i“1
¹ íåðóõîìèì.
Íåëiíiéíi âëàñòèâîñòi òðà¹êòîðié â ìîäåëÿõ ÄÑÊ 197
3. Äîñëiäæåííÿ âëàñòèâîñòåé òðà¹êòîðié äèíàìi÷íèõ
ñèñòåì êîíôëiêòó
Äèíàìi÷íi ñèñòåìè êîíôëiêòó ìîæóòü ìàòè ðiçíi ïîâåäiíêîâi ñöåíà-
ði¨ çàëåæíî âiä âåêòîðà âçà¹ìîäi¨, ùî âèçíà÷๠¨õíþ äèíàìiêó òà äîâ-
ãîòðèâàëi ñòàíè. Êîìï'þòåðíå ìîäåëþâàííÿ ïiäòâåðäæó¹, ùî çìiíà ïà-
ðàìåòðiâ âïëèâ๠íà òèï ãðàíè÷íîãî ñòàíó � ñòàáiëüíèé, öèêëi÷íèé àáî
õàîòè÷íèé, ùî ðîçêðèâ๠ìîæëèâîñòi äëÿ ðîçóìiííÿ ðîçâèòêó êîíôëi-
êòíèõ ñèñòåì.
Ïðè ïåâíèõ óìîâàõ òðà¹êòîði¨ ñèñòåìè êîíôëiêòó çáiãàþòüñÿ äî íå-
ðóõîìèõ òî÷îê � ãðàíè÷íèõ ñòàíiâ, ó ÿêèõ äèíàìiêà ñòàáiëiçó¹òüñÿ. Äëÿ
ïðèòÿãóâàëüíî¨ âçà¹ìîäi¨ òðà¹êòîði¨ ñèñòåìè çáëèæàþòüñÿ äî ñïiëüíèõ
ïîçèöié, òîäi ÿê âiäøòîâõóâàëüíà âçà¹ìîäiÿ ìîæå ïðèâîäèòè äî ðîç-
ïîäiëó ðåñóðñiâ ìiæ îïîíåíòàìè. Òàêà ïîâåäiíêà ïðîäåìîíñòðîâàíà íà
ðèñ. 3.1 äëÿ âiäøòîâõóâàííÿ (ðèñ. 3.1.2) òà ïðèòÿãàííÿ (ðèñ. 3.1.3)
Òåîðåìà 3.1 ([7,8]). ßêùî âñi êîîðäèíàòè ñòîõàñòè÷íîãî âåêòîðà wt
¹ ìîíîòîííèìè (çðîñòàþòü àáî ñïàäàþòü íåçàëåæíî îäíà âiä îäíî¨)
ïðè α “ p0; 1s àáî ñïàäàþòü ïðè α “ r´1; 0q, òî iñíó¹ ãðàíè÷íèé âå-
êòîð w8 i êîæíà òðà¹êòîðiÿ äèíàìi÷íî¨ ñèñòåìè (2.1) ç ïî÷àòêîâèì
ñòàíîì
␣
pt“0
i
(m
i“1
çáiãà¹òüñÿ äî íåðóõîìîãî ãðàíè÷íîãî ñòàíó
␣
p8
i
(m
i“1
p8
i “ lim
tÑ8pti, @ i “ 1, . . . ,m.
Ïðè öüîìó, ó âèïàäêó α “ p0; 1s âñi ãðàíè÷íi âåêòîðè p8
i ìàþòü
îäíàêîâi êîîðäèíàòè p8
ij “ w8
j äëÿ âñiõ i “ 1, . . . ,m, j “ 1, . . . , n, ÿêi
ñïiâïàäàþòü ç êîîðäèíàòàìè âåêòîðà w8. Ó âèïàäêó α “ r´1; 0q, ÿêùî
w8
j ă 0 äëÿ âñiõ j “ 1, . . . , n, òî p8
ij “ w8
j äëÿ âñiõ i “ 1, . . . ,m,
j “ 1, . . . , n.
Äåÿêi ñèñòåìè äîñÿãàþòü öèêëi÷íèõ îðáiò, êîëè êîîðäèíàòè âåêòîðà
âçà¹ìîäi¨ ¹ ïåðiîäè÷íèìè çíà÷åííÿìè. Ó òàêîìó âèïàäêó òðà¹êòîði¨ ïî-
âòîðþþòüñÿ ç ïîñòiéíîþ ïåðiîäè÷íiñòþ, ùî ôîðìó¹ öèêëi÷íó äèíàìiêó.
Öåé ôàêò äåìîíñòðó¹ íàñòóïíà òåîðåìà.
Òåîðåìà 3.2 ([7, 8]). Íåõàé êîîðäèíàòè τ tj “ τjptq, j “ 1, . . . , n, äå
τjptq � äîâiëüíi äîäàòíi ïåðiîäè÷íi ôóíêöi¨ ç cóìiðíèìè ïåðiîäàìè. Ïðè-
ïóñòèìî, ùî ãîëîâíèé ïåðiîä ôóíêöié wjptq ¹ äîäàòíiì öiëèì ÷èñëîì
T ą 1, à êîîðäèíàòè âåêòîðà wt íå ¹ êîíñòàíòàìè. Òîäi êîæíà òðà-
¹êòîðiÿ äèíàìi÷íî¨ ñèñòåìè (2.1), çàäàíî¨ ñèñòåìîþ ðiçíèöåâèõ ðiâ-
íÿíü (2.2), çáiãà¹òüñÿ äî ω-ãðàíè÷íî¨ ìíîæèíè Γ8, ÿêà ¹ öèêëi÷íîþ
198 Î. Ð. Càòóð
1) tp1,p2,p3,p4u, t “ 0 2)tp8
1 ,p
8
2 ,p
8
3 ,p
8
4 u, α “ ´1
3) tp8
1 ,p
8
2 ,p
8
3 ,p
8
4 u, α “ 1
Ðèñ. 3.1. m “ 4, n “ 100, 1) ïî÷àòêîâèé ñòàí
tp1,p2,p3,p4u çàäàíèé ìîäóëåì ôóíêöi¨ Áåññåëÿ ïåðøî-
ãî ðîäó, òîáòî fipxq “ |Jβpxq|, äå
Jβpxq “
8ÿ
m“0
p´1qm
m!Γpm` β ` 1q
`x
2
˘2m`β
äëÿ β “ 0, 1, 2, 3, x P r0; 6s, à êîîðäèíàòè âåêòîðiâ pt“0
i
çàäàíî çà äîïîìîãîþ çíà÷åíü ôóíêöié fipxq íà âiäðiçêó
r0, 6s çãiäíî ôîðìóëè pik “ fipxkq
D , äå D “
nř
k“1
fipxkq, à xk
íàëåæèòü ðîçáèòòþ âiäðiçêà r0, 6s; 2)�3) ãðàíè÷íi ñòàíè
tp8
1 ,p
8
2 ,p
8
3 ,p
8
4 u ç τ tj âèçíà÷åíèì ÿê ìiíiìàëüíå çíà÷åííÿ
j-òèõ êîîðäèíàò âåêòîðiâ pti, òîáòî τ
t
j “ min
i
tptiju.
Íåëiíiéíi âëàñòèâîñòi òðà¹êòîðié â ìîäåëÿõ ÄÑÊ 199
îðáiòîþ. Òîáòî, ìíîæèíà Γ8 ¹ iíâàðiàíòíîþ âiäíîñíî ïåðåòâîðåí-
íÿ ¸ òà ñêëàäà¹òüñÿ ç T âïîðÿäêîâàíèõ âåêòîðiâ Γl, l “ 1, . . . , T
Γ1
¸ÝÑ Γ2
¸ÝÑ Γ3
¸ÝÑ ¨ ¨ ¨ ¸ÝÑ ΓT
¸ÝÑ Γ1.
Ãðàíè÷íà ìíîæèíà Γ8 çàëåæèòü âiä ïî÷àòêîâîãî âåêòîðà wt“0.
Òåîðåìà 3.3. Íåõàé êîîðäèíàòè
τ tj “ τjptq, j “ 1, . . . , n,
äå τjptq � äîâiëüíi äîäàòíi ïåðiîäè÷íi ôóíêöi¨ ç íåcóìiðíèìè ïåðiîäà-
ìè. Ïðèïóñòèìî, ùî êîîðäèíàòè âåêòîðà wt íå ¹ êîíñòàíòàìè. Òîäi
êîæíà òðà¹êòîðiÿ äèíàìi÷íî¨ ñèñòåìè (2.1), çàäàíî¨ ñèñòåìîþ ðiçíè-
öåâèõ ðiâíÿíü (2.2) ¹ êâàçiïåðiîäè÷íîþ ïðè t Ñ 8. Òèïîâi (àáî, ÿê ïðà-
âèëî) òðà¹êòîði¨ íà ãðàíèöi çàïîâíþþòü äåÿêó êîìïàêòíó ìíîæèíó.
Ðîçãëÿíåìî ñèñòåìó (2.1), çàäàíó ðiâíÿííÿìè: pt`1 “ fppt, τ tq, äå
τ t “ pτ t1, τ t2, . . . , τ tnq � íàáið ïàðàìåòðiâ, ÿêi çàëåæàòü âiä ÷àñó t, i êîæíà
τjptq ¹ ïåðiîäè÷íîþ ôóíêöi¹þ ç íåñóìiðíèìè ïåðiîäàìè. Ôóíêöiÿ f ¹ íå-
ïåðåðâíîþ i îáìåæåíîþ, òîìó òðà¹êòîði¨ pt çàëèøàþòüñÿ â îáìåæåíié
îáëàñòi ôàçîâîãî ïðîñòîðó, òîáòî òðà¹êòîði¨ íàëåæàòü äåÿêié êîìïà-
êòíié ìíîæèíi.
Íåñóìiðíiñòü ïåðiîäiâ ôóíêöié τjptq îçíà÷à¹, ùî äëÿ áóäü-ÿêîãî íà-
áîðó öiëèõ ÷èñåë k1, k2, . . . , kn ðiâíiñòü
k1T1 ` k2T2 ` ¨ ¨ ¨ ` knTn “ 0
âèêîíó¹òüñÿ ëèøå äëÿ òðèâiàëüíîãî âèïàäêó k1 “ k2 “ ¨ ¨ ¨ “ kn “ 0.
Òàêèì ÷èíîì, ôóíêöi¨ τjptq íiêîëè íå ñèíõðîíiçóþòüñÿ, i çíà÷åííÿ τ t
íå ïîâòîðþþòüñÿ ïåðiîäè÷íî. Öå âèêëþ÷๠ìîæëèâiñòü ïåðiîäè÷íî¨ ïî-
âåäiíêè òðà¹êòîðié. Íåñóìiðíiñòü ïåðiîäiâ τjptq ïðèçâîäèòü äî òîãî, ùî
òðà¹êòîði¨ ðiâíîìiðíî çàïîâíþþòü äåÿêó êîìïàêòíó ìíîæèíó â ôàçî-
âîìó ïðîñòîði. Öå âiäáóâà¹òüñÿ çàâäÿêè âëàñòèâîñòi êâàçiïåðiîäè÷íèõ
ôóíêöié, ÿêi ðiâíîìiðíî ïîêðèâàþòü òîðîïîäiáíó ïîâåðõíþ. Òàêèì ÷è-
íîì, òðà¹êòîði¨ ñèñòåìè äåìîíñòðóþòü êâàçiïåðiîäè÷íó ïîâåäiíêó.
Òðà¹êòîði¨ ñèñòåìè çàëåæàòü âiä ïî÷àòêîâîãî ñòàíówt“0, ÿêèé âèçíà-
÷๠ôàçó ôóíêöié τjptq òà ïî÷àòêîâi êîîðäèíàòè p0. Òîìó äëÿ ðiçíèõ ïî-
÷àòêîâèõ óìîâ òðà¹êòîði¨ ìîæóòü ïîêðèâàòè ðiçíi ÷àñòèíè êîìïàêòíî¨
ìíîæèíè, ïðîòå âñi âîíè çàëèøàþòüñÿ êâàçiïåðiîäè÷íèìè.
Òàêèì ÷èíîì, òèïîâi òðà¹êòîði¨ ñèñòåìè ¹ êâàçiïåðiîäè÷íèìè i çàïîâ-
íþþòü äåÿêó êîìïàêòíó ìíîæèíó â ôàçîâîìó ïðîñòîði.
Ðîçãëÿíåìî êîíêðåòíèé ïðèêëàä äëÿ âèïàäêó n “ 3, m “ 3. Íåõàé
ïî÷àòêîâèé ñòàí çàäàíî íàñòóïíèìè âåêòîðàìè:
pt“0
1 “ p0.08; 0.02; 0.9q, pt“0
2 “ p0.1; 0.55; 0.35q, pt“0
3 “ p0.8; 0.15; 0.05q.
200 Î. Ð. Càòóð
Ðèñ. 3.2. Çìiíà êîîðäèíàò âåêòîðiâ pti ïðè τ1ptq “
sinpπt2 q ` 1, τ2ptq “ sinp2πt3 q ` 2, τ3ptq “ cosp2πt5 q ` 1, äå
T “ 60 � ãîëîâíèé ïåðiîä êîîðäèíàò âåêòîðà wt.
Íà Ðèñ. 3.2, 3.3 çà óìîâè ñóìiðíîñòi ïåðiîäiâ ôóíêöié τjptq, ñèñòåìà
äåìîíñòðó¹ öèêë iç ôiêñîâàíèì ïåðiîäîì T . Öåé ïåðiîä çàëåæèòü âiä
îñíîâíîãî ïåðiîäó ôóíêöié τ tj i îïèñó¹òüñÿ íàáîðîì âïîðÿäêîâàíèõ âåê-
òîðiâ Γ1,Γ2, . . . ,ΓT . Òðà¹êòîði¨ ñèñòåìè ïiäòâåðäæóþòü öèêëi÷íiñòü i
ñòàáiëüíiñòü ó ôàçîâîìó ïðîñòîði âiäïîâiäíî äî òåîðåìè 3.3. Íà Ðèñ.
3.4, 3.5 çîáðàæåíà äèíàìiêà ç âèêîðèñòàííÿì ôóíêöié τ tj iç íåñóìiðíè-
ìè ïåðiîäàìè. Íåñóìiðíiñòü ïåðiîäiâ ôóíêöié τ tj ïðèçâîäèòü äî êâàçiïå-
ðiîäè÷íî¨ ïîâåäiíêè. Ñèñòåìà íå çáiãà¹òüñÿ äî öèêëi÷íî¨ îðáiòè, àëå ¨¨
òðà¹êòîði¨ çàïîâíþþòü êîìïàêòíó ìíîæèíó â ôàçîâîìó ïðîñòîði. Êâà-
çiïåðiîäè÷íiñòü òðà¹êòîðié ïiäòâåðäæó¹òüñÿ òèì, ùî ñèñòåìà çàïîâíþ¹
òîðîïîäiáíó êîìïàêòíó ìíîæèíó, çáåðiãàþ÷è êâàçiïåðiîäè÷íó äèíàìiêó.
Öiêàâîþ äëÿ ðîçãëÿäó ¹ äèíàìi÷íà ñèñòåìà êîíôëiêòó, äå ëèøå îäíà
ç êîîðäèíàò âåêòîðà âçà¹ìîäi¨ τ tj “ τjptq ¹ ïåðiîäè÷íîþ ôóíêöi¹þ ç ïå-
ðiîäîì T ą 1. Òàêèé âèáið ïàðàìåòðà τ tj ìîæå ñóòò¹âî âïëèâàòè íà
Íåëiíiéíi âëàñòèâîñòi òðà¹êòîðié â ìîäåëÿõ ÄÑÊ 201
Ðèñ. 3.3. Ôàçîâèé ïîðòðåò ñèñòåìè ó ïðîñòîði âiäîá-
ðàæåíü ppt1, pt`1
1 q, ïîáóäîâàíèé ïðè τ1ptq “ sinpπt2 q ` 1,
τ2ptq “ sinp2πt3 q ` 2, τ3ptq “ cosp2πt5 q ` 1, T “ 60.
Ðèñ. 3.4. Çìiíà êîîðäèíàò âåêòîðiâ pti ïðè τ1ptq “
sinpπt2 q ` 1, τ2ptq “ sinp2πt3 q ` 2, τ3ptq “ cosp2πt5 q ` 1, äå
T “ 60π � ãîëîâíèé ïåðiîä êîîðäèíàò âåêòîðà wt.
202 Î. Ð. Càòóð
1) t “ 1000 2) t “ 5000
3) t “ 10000 4) t “ 10000, ïðèáëèæåíî
Ðèñ. 3.5. Ôàçîâèé ïîðòðåò ñèñòåìè ó ïðîñòîði âiäîá-
ðàæåíü ppt1, pt`1
1 q, ïîáóäîâàíèé ïðè τ1ptq “ sinp t2q ` 1,
τ2ptq “ sinp2t3 q ` 2, τ3ptq “ cosp2t5 q ` 1, T “ 60π. ßê âèäíî
íà ðèñóíêàõ, äëÿ íåñóìiðíèõ òðà¹êòîði¨ çàïîâíþþòü òî-
ðîïîäiáíó ñòðóêòóðó.
ïîâåäiíêó ñèñòåìè. Âèõîäÿ÷è ç öüîãî, ìîæëèâi íàñòóïíi ñöåíàði¨ äèíà-
ìiêè:
1. Ïåðiîäè÷íà ñòàáiëüíiñòü. ßêùî iíøi ïàðàìåòðè ñèñòåìè íå çìi-
íþþòüñÿ õàîòè÷íî i ¹ ñòàáiëüíèìè àáî ïîñòóïîâî àäàïòóþòüñÿ äî öè-
êëi÷íîãî âïëèâó τ tj , ñèñòåìà ìîæå çáiãàòèñÿ äî ïåðiîäè÷íî¨ îðáiòè ç òèì
ñàìèì ïåðiîäîì T . Äëÿ òàêî¨ ñòàáiëüíîñòi íåîáõiäíî, ùîá àìïëiòóäè êî-
ëèâàíü τ tj òà iíøi ïàðàìåòðè íå ïðèâîäèëè äî ñóòò¹âèõ çáóðåíü. Öå ÷àñòî
ìîæëèâî ó âèïàäêàõ, êîëè ñèñòåìà ì๠ñèëüíi ñòàáiëiçóþ÷i ìåõàíiçìè
(íàïðèêëàä, ïðèòÿãóâàëüíó âçà¹ìîäiþ àáî çãëàäæóâàííÿ êîëèâàíü). Ó
ðåçóëüòàòi ñèñòåìà äåìîíñòðó¹ ïåðåäáà÷óâàíó äèíàìiêó, ùî ïîâòîðþ¹-
òüñÿ ÷åðåç êîæíi T êðîêiâ.
2. Êâàçiðåãóëÿðíà äèíàìiêà. Ó ðàçi, ÿêùî iíøi êîìïîíåíòè âåêòîðà
âçà¹ìîäi¨ àáî ïàðàìåòðè ñèñòåìè ìàþòü ñâî¨ âíóòðiøíi ïåðiîäè, àëå íå
ñèíõðîíiçóþòüñÿ ç τ tj , ìîæå âèíèêíóòè êâàçiðåãóëÿðíà ïîâåäiíêà. Öå
ÿâèùå ñïîñòåðiãà¹òüñÿ çà íàÿâíîñòi äåêiëüêîõ âçà¹ìîäiþ÷èõ ïåðiîäè-
÷íèõ ïðîöåñiâ iç áëèçüêèìè, àëå íåñóìiðíèìè ïåðiîäàìè. Ñèñòåìà ìîæå
äåìîíñòðóâàòè ñêëàäíi ðèòìè, ç ïîÿâîþ ïîâòîðþâàíèõ âiçåðóíêiâ àáî
ïåðåõîäiâ ìiæ ðiçíèìè ôàçàìè, àëå áåç ÷iòêî¨ öèêëi÷íîñòi.
Íåëiíiéíi âëàñòèâîñòi òðà¹êòîðié â ìîäåëÿõ ÄÑÊ 203
3. Õàîòè÷íà äèíàìiêà. ßêùî τ tj âñòóï๠ó âçà¹ìîäiþ ç iíøèìè êîì-
ïîíåíòàìè ñèñòåìè, ùî äåìîíñòðóþòü íåñòàáiëüíiñòü àáî âèñîêó ÷óòëè-
âiñòü äî çáóðåíü, ñèñòåìà ìîæå ïåðåéòè äî õàîòè÷íî¨ ïîâåäiíêè. Õàî-
òè÷íà äèíàìiêà ìîæëèâà çà íàÿâíîñòi íåëiíiéíî¨ âçà¹ìîäi¨, êîëè íàâiòü
íåâåëèêi çìiíè ó τ tj çäàòíi ñïðè÷èíÿòè çíà÷íi çìiíè â òðà¹êòîðiÿõ ñèñòå-
ìè. Ñèñòåìà ìîæå âèÿâëÿòè õàîòè÷íó ïîâåäiíêó, êîëè îäíà ç êîîðäèíàò
âåêòîðà âçà¹ìîäi¨ ïiäïîðÿäêîâàíà õàîòè÷íîñòi, íàïðèêëàä ëîãiñòè÷íî-
ìó çàêîíó. Öå ïðèçâîäèòü äî ÷óòëèâîñòi òðà¹êòîðié äî ïî÷àòêîâèõ óìîâ
i ìîæå çóìîâëþâàòè íåïåðåäáà÷óâàíi êîëèâàííÿ. Âàæëèâîþ óìîâîþ ¹
òàêîæ âiäñóòíiñòü ìåõàíiçìiâ, ÿêi ñòàáiëiçóþòü ïîâåäiíêó. Ñèñòåìà ñòà¹
÷óòëèâîþ äî ïî÷àòêîâèõ óìîâ, i íàâiòü ìàëi çìiíè íà âõîäi ìîæóòü ïðè-
çâîäèòè äî ñóòò¹âî ðiçíèõ òðà¹êòîðié. Òàêà ïîâåäiíêà óñêëàäíþ¹ ïðî-
ãíîçóâàííÿ i ìîæå ìàòè çíà÷íi íàñëiäêè ó ðåàëüíèõ ïðèêëàäíèõ ñöåíà-
ðiÿõ.
4. Êîìáiíîâàíà äèíàìiêà Ó äåÿêèõ âèïàäêàõ ñèñòåìà ìîæå äåìîí-
ñòðóâàòè ïåðåõiä âiä ïåðiîäè÷íî¨ ñòàáiëüíîñòi äî õàîòè÷íî¨ äèíàìiêè
àáî ïî¹äíàííÿ ïåðiîäè÷íî¨ òà õàîòè÷íî¨ ïîâåäiíêè ó ðiçíèõ ôàçàõ. Öå
ìîæëèâî ïðè íàÿâíîñòi ðiçíèõ âïëèâiâ àáî çìiíàõ ïàðàìåòðiâ τ tj ó ïðî-
öåñi åâîëþöi¨ ñèñòåìè. Òàêà äèíàìiêà ¹ íåñòàáiëüíîþ àáî ñêëàäíîþ äëÿ
ìîäåëþâàííÿ òà êîíòðîëþ.
4. Âèñíîâêè
Âèâ÷åííÿ äèíàìi÷íèõ ñèñòåì êîíôëiêòó ïîêàçàëî, ùî ¨õ òðà¹êòî-
ði¨ ìîæóòü äåìîíñòðóâàòè øèðîêèé ñïåêòð ïîâåäiíêîâèõ ñöåíàði¨â, âiä
ñòàáiëüíîñòi äî õàîòè÷íîñòi, çàëåæíî âiä ïàðàìåòðiâ âçà¹ìîäi¨ òà ïî÷à-
òêîâèõ óìîâ. Çîêðåìà, ðåçóëüòàòè äîñëiäæåíü ïiäòâåðäèëè ìîæëèâiñòü
iñíóâàííÿ íåðóõîìèõ òî÷îê, öèêëi÷íèõ îðáiò òà êâàçiïåðiîäè÷íî¨ ïîâå-
äiíêè, ùî ¹ âàæëèâèìè äëÿ àíàëiçó ðåàëüíèõ ñîöiàëüíî-åêîíîìi÷íèõ òà
åêîëîãi÷íèõ ïðîöåñiâ.
Äëÿ ñèñòåì iç ïðèòÿãàëüíîþ âçà¹ìîäi¹þ õàðàêòåðíà êîíâåðãåíöiÿ òðà-
¹êòîðié äî ñïiëüíèõ ãðàíè÷íèõ ñòàíiâ, òîäi ÿê âiäøòîâõóâàëüíà âçà¹ìî-
äiÿ ïðèçâîäèòü äî ðîçïîäiëó ðåñóðñiâ ìiæ îïîíåíòàìè. Äèíàìiêà ñèñòåì
ç ïåðiîäè÷íèìè ïàðàìåòðàìè ìîæå äîñÿãàòè ñòàáiëüíèõ öèêëi÷íèõ îð-
áiò. Öå ïiäòâåðäæåíî ìîäåëÿìè, ùî âðàõîâóþòü ïåðiîäè÷íiñòü âåêòîðà
âçà¹ìîäi¨. Ó ðàçi íåñóìiðíèõ ïåðiîäiâ ïàðàìåòðiâ ñèñòåìà ìîæå äåìîí-
ñòðóâàòè êâàçiïåðiîäè÷íó ïîâåäiíêó àáî ïåðåõîäèòè äî õàîòè÷íî¨ äèíà-
ìiêè, ùî îñîáëèâî àêòóàëüíî äëÿ àíàëiçó ñêëàäíèõ ñîöiàëüíèõ i åêîëîãi-
÷íèõ ñèñòåì. Òàêèì ÷èíîì, çàïðîïîíîâàíi ìîäåëi äîçâîëÿþòü îïèñóâàòè
ñêëàäíó ïîâåäiíêó êîíôëiêòíèõ ñèñòåì òà ¹ îñíîâîþ äëÿ ïîäàëüøèõ äî-
ñëiäæåíü, ñïðÿìîâàíèõ íà ðîçðîáêó åôåêòèâíèõ ñòðàòåãié óïðàâëiííÿ
êîíôëiêòàìè.
204 Î. Ð. Càòóð
Ïîðiâíÿííÿ ç äîñëiäæåííÿìè [2,3] ïîêàçàëî ñõîæiñòü ó âèêîðèñòàííi
íåëiíiéíèõ ìîäåëåé, ìóëüòèôàêòîðíîãî àíàëiçó òà ïðèíöèïiâ ñòàáiëüíî-
ñòi é íåñòàáiëüíîñòi ñèñòåì. Â ðîáîòi [2] ïiäêðåñëåíî âàæëèâiñòü ìóëü-
òèïëåêñíèõ âçà¹ìîäié, òàêèõ ÿê ïîëiòè÷íi é êóëüòóðíi, ùî âiäïîâiäà¹
êîíöåïöi¨ ðîçïîäiëó ðåñóðñiâ ó äàíié ðîáîòi. Â [3] äîñëiäæåíî ðîëü çà-
òðèìîê i ïðîñòîðîâî¨ íåëîêàëüíîñòi, ÿêi òàêîæ ìîæóòü áóòè àäàïòîâàíi
äî ðîçãëÿíóòèõ âèùå ìîäåëåé äèíàìi÷íèõ ñèñòåì êîíôëiêòó. Ðîçãëÿ-
íóòi âëàñòèâîñòi ìîäåëåé äèíàìi÷íèõ ñèñòåì ïiäòâåðäæóþòü ¨õ óíiâåð-
ñàëüíiñòü äëÿ àíàëiçó ñêëàäíèõ ñîöiàëüíèõ, åêîëîãi÷íèõ i åêîíîìi÷íèõ
ïðîöåñiâ. Öå äîçâîëÿ¹ çðîáèòè âèñíîâîê, ùî ðîçãëÿíóòi â öié ðîáîòi
ìîäåëi ¹ åôåêòèâíèì iíñòðóìåíòîì äëÿ äîñëiäæåííÿ ðåàëüíèõ êîíôëi-
êòíèõ ñèñòåì i ìîæóòü áóòè ðîçøèðåíi ç óðàõóâàííÿì áiëüø ñêëàäíèõ
ôàêòîðiâ i ñòðóêòóð.
Ëiòåðàòóðà
[1] S. Albeverio, M. Bodnarchyk½ V. Koshmanenko. Dynamics of discrete con�ict
interactions between non-annihilating opponents. Methods of Functional Analysis
and Topology, 11(4):309�319, 2005.
[2] Gerardo Aquino, Weisi Guo½ Alan Wilson. Nonlinear dynamic models of con�ict via
multiplexed interaction networks. 09 2019. doi:10.48550/arXiv.1909.12457.
[3] A. Bayliss, A. Nepomnyashchy½ V. Volpert. Mathematical modeling of
cyclic population dynamics. Physica D: Nonlinear Phenomena, 394, 02 2019.
doi:10.1016/j.physd.2019.01.010.
[4] V. D. Koshmanenko. Spectral Theory for Con�ict Dynamical Systems. Naukova
Dumka, Kyiv, 2016.
[5] V. D. Koshmanenko, I. V. Samoilenko. A dynamical system model for a con�ict
triad. Nonlinear Oscillations, 14(1):55�75, 2011. doi:10.1007/s11072-011-0141-5.
[6] K. M. M. Salam, K. I. Takahashi. Mathematical model of con�ict and cooperation
with non-annihilating multi-opponent. pages 299�306, 2010. doi:10.1007/978-3-540-
85081-6_38.
[7] O. R. Satur. Limit states of multicomponent discrete dynamical systems. Journal of
Mathematical Sciences, 256:648�662, 2021. doi:10.1007/s10958-021-05451-x.
[8] O. R. Satur. Dependence of the behaviors of trajectories of dynamic con�ict
systems on the interaction vector. Journal of Mathematical Sciences, 274:76�93,
2023. doi:10.1007/s10958-023-06572-1.
[9] Ì. Â. Áîäíàð÷óê, Â. Ä. Êîøìàíåíêî½ Í. Â. Õàð÷åíêî. Âëàñòèâîñòi ãðàíè÷íèõ
ñòàíiâ äèíàìi÷íî¨ ñèñòåìè êîíôëiêòó. Íåëiíiéíi êîëèâàííÿ, 7(4):446�461, 2004.
[10] Î. Ð. Ñàòóð. Äèíàìi÷íà ñèñòåìà êîíôëiêòó ç ïðèòÿãàííÿì äëÿ òðiéêè âçà¹ìîäi-
þ÷èõ ñòîðií. Íàóêîâi çàïèñêè ÍàÓÊÌÀ. Ôiçèêî-ìàòåìàòè÷íi íàóêè, 201:34�
37, 2017.
Î. Ð. Ñàòóð
Iíñòèòóò ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè, ì. Êè¨â
Email: orlassat@gmail.com
ORCID: 0000-0001-6318-2145
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-549 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:09:14Z |
| publishDate | 2025 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/11/766d3000d115ad0d13dfe6bf70c12d11.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-5492026-02-24T12:22:41Z Nonlinear properties of trajectories in models of dynamic conflict system Нелінійні властивості траєкторій в моделях динамічних систем конфлікту Satur, Oksana Сатур, Оксана This article focuses on the study of trajectory properties of conflict dynamical systems. Both attractive and repulsive interactions between system components are considered. The results reveal a wide range of behavioral scenarios, including stable, cyclic, quasi-periodic, and chaotic regimes. Special attention is given to the role of interaction parameters and initial conditions in determining the long-term dynamics of the system. The findings provide a foundation for modeling conflict systems in various applied domains, such as economics, ecology, and social sciences. Ця стаття присвячена дослідженню властивостей траєкторій динамічних систем конфлікту. Розглядаються як притягальні, так і відштовхувальні взаємодії між компонентами системи. Результати демонструють широкий спектр поведінкових сценаріїв, включаючи стабільні, циклічні, квазіперіодичні та хаотичні режими. Особлива увага приділяється ролі параметрів взаємодії та початкових умов у визначенні довгострокової динаміки системи. Отримані результати є основою для моделювання конфліктних систем у різних прикладних сферах, таких як економіка, екологія та соціальні науки. Інститут математики НАН України 2025-08-18 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/549 10.3842/trim.v21n1.549 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 21 No. 1 (2024): Special Issue "Actual problems of modern mathematics: methods, models and applications"; 191-204 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 21 № 1 (2024): Спеціальний номер "Актуальні проблеми сучасної математики: методи, моделі та застосування" ; 191-204 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 21 № 1 (2024): Спеціальний номер "Актуальні проблеми сучасної математики: методи, моделі та застосування" ; 191-204 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/549/531 Авторське право (c) 2024 Оксана Сатур http://creativecommons.org/licenses/by/4.0 |
| spellingShingle | Satur, Oksana Сатур, Оксана Nonlinear properties of trajectories in models of dynamic conflict system |
| title | Nonlinear properties of trajectories in models of dynamic conflict system |
| title_alt | Нелінійні властивості траєкторій в моделях динамічних систем конфлікту |
| title_full | Nonlinear properties of trajectories in models of dynamic conflict system |
| title_fullStr | Nonlinear properties of trajectories in models of dynamic conflict system |
| title_full_unstemmed | Nonlinear properties of trajectories in models of dynamic conflict system |
| title_short | Nonlinear properties of trajectories in models of dynamic conflict system |
| title_sort | nonlinear properties of trajectories in models of dynamic conflict system |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/549 |
| work_keys_str_mv | AT saturoksana nonlinearpropertiesoftrajectoriesinmodelsofdynamicconflictsystem AT saturoksana nonlinearpropertiesoftrajectoriesinmodelsofdynamicconflictsystem AT saturoksana nelíníjnívlastivostítraêktoríjvmodelâhdinamíčnihsistemkonflíktu AT saturoksana nelíníjnívlastivostítraêktoríjvmodelâhdinamíčnihsistemkonflíktu |