Linear idempotent operators on finite-dimensional vector spaces
In this paper we consider the problem on similarity of families of linear idempotent operators in finite-dimensional vector spaces.
Gespeichert in:
| Datum: | 2015 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/6 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552600937693184 |
|---|---|
| author | Bondarenko, V. M. Tertichnaia, E. N. Бондаренко, В. М. Тертичная, Е. Н. Бондаренко, В. М. Тертичная, Е. Н. |
| author_facet | Bondarenko, V. M. Tertichnaia, E. N. Бондаренко, В. М. Тертичная, Е. Н. Бондаренко, В. М. Тертичная, Е. Н. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "В. М. Бондаренко",
"institution": "Институт математики НАН Украины"
},
{
"author": "Е. Н. Тертичная",
"institution": "Киевский нац. экономический ун-т им. Вадима Гетьмана"
}
] |
| author_sort | Bondarenko, V. M. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-23T09:53:12Z |
| description | In this paper we consider the problem on similarity of families of linear idempotent operators in finite-dimensional vector spaces. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:02:01Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2015, том 12, № 1, 22–56
УДК 512.643+519.171
В. М. Бондаренко
(Институт математики НАН Украины, Киев)
Е. Н. Тертичная
(Киевский нац. экономический ун-т им. Вадима Гетьмана)
Линейные идемпотентные операторы
в конечномерных векторных
пространствах
vit-bond@imath.kiev.ua, olena-tertychna@mail.ru
In this paper we consider the problem on similarity of families of linear
idempotent operators in finite-dimensional vector spaces.
В этой статье рассматривается задача о подобии наборов линейных
идемпотентных операторов, действующих в конечномерных векторных
пространствах
Хорошо известна каноническая форма пары взаимноаннулирую-
щих операторов и пары самоаннулирующих операторов, действующих
в конечномерных векторных пространствах над произвольным полем
(И. М. Гельфанд, В. А. Пономарев [1] и В. М. Бондаренко [2] соответ-
ственно). В этой статье рассматривается подобная задача для наборов
идемпотентных операторов P1, . . . ,Pn, удовлетворяющих некоторым
равенствам вида PiPj = 0. Мы покажем, что при выполнении есте-
ственного условия конечности, в каждой конкретной ситуации задача
о канонической форме таких наборов сводится к аналогичной задаче
для представлений некоторого ориентированного графа. В качестве
следствия получим описание ручных и диких случаев для этой зада-
чи.
c© В.М. Бондаренко, Е.Н. Тертичная, 2015
Линейные идемпотентные операторы. . . 23
Заметим, что большинство излагаемых здесь результатов уже опуб-
ликованы авторами, но в терминах представлений полугрупп (см., в
частности, [3, 4, 5]). Однако нам кажется интересным рассмотреть
указанную задачу внутри линейной алгебры, для которой задачи о
канонических формах различных операторов и матриц являются при-
оритетными. При этом мы следуем традициям классической линейной
алгебры и поэтому не используем категорный язык, который широко
используется в современной теории представлений.
1. Основные понятия и постановка задачи.
На протяжении всей статьи k обозначает произвольное алгебраи-
чески замкнутое поле. Все векторные пространства являются конеч-
номерными k-пространствами.
Пусть Ok(n) обозначает множество всех упорядоченных наборов
линейных операторов A = {A1, . . . ,An}, действующих в одном и том
же векторном k-пространстве.
Два набора линейных операторов A = {A1, . . . ,An} и A′ =
{A′1, . . . ,A′n}, действующих соответственно в векторных простран-
ствах V и V ′, называем подобными, если существует обратимое ли-
нейное отображение X : V → V ′ такое, что
X−1A1X = A′1, . . . ,X−1AnX = A′n.
Прямой суммой A и A′ называется набор действующих в V ⊕ V ′ опе-
раторов
A⊕A′ = {A1 ⊕A′1, . . . ,An ⊕A′n}.
Набор операторов A, действующих в пространстве V 6= 0, называется
разложимым, если он подобен прямой сумме наборов операторов, дей-
ствующих в ненулевых пространствах, и неразложимым в противном
случае. В случае V = 0 набор операторов считается разложимым.
Хорошо известно, что любой набор операторов однозначно, с точно-
стью до подобия и перестановки слагаемых, раскладываются в прямую
сумму неразложимых операторов.
В этой статье изучаются наборы идемпотентных операторов.
Читатель, интересующийся в первую очередь прикладными задачами, может
считать поле k полем комплексных чисел. Все результаты статьи верны и для
произвольного алгебраически незамкнутого поля, однако в этом случае некоторые
определения, формулировки утверждений и их доказательства нужно модифици-
ровать стандартным образом.
См., напр., [6, §5.4]
24 В.М. Бондаренко, Е.Н. Тертичная
Положим [1, n] = {1, 2, . . . , n}, [1, n]2 = [1, n]× [1, n] и
[1, n]20 = [1, n]2 \ {(i, i) | i ∈ [1, n]},
где n — натуральное число. Для подмножества J ⊂ [1, n]20 че-
рез Ok(n, J) обозначим множество всех наборов операторов P =
{P1, . . . ,Pn} из Ok(n) таких, что
1) P2
i = Pi для всех i;
2) PiPj = 0 для всех (i, j) ∈ J .
Будем говорить, что задача об описании (с точностью до подобия)
наборов операторов P ∈ Ok(n, J) имеет конечный тип, если с точ-
ностью до подобия существует только конечное число неразложимых
наборов, и бесконечный тип в противном случае.
Задача бесконечного типа может быть ручного или дикого типа в
зависимости от того, покрываются ли неразложимые наборы опера-
торов в каждой размерности конечным числом однопараметрических
семейств наборов (среди которых могут быть “вырожденные” наборы)
или существует двухпараметрическое семейство наборов с определен-
ными свойствами. Дадим точные для нашей задачи определения руч-
ного и дикого типов.
Определение множества Ok(n, J) легко обобщается на случай про-
извольной (не обязательно конечномерной) k-алгебры Γ: OΓ(n, J) —
это множество наборов G = {G1, . . . ,Gn} эндоморфизмов Gi : M → M
свободного Γ-модуля M конечного ранга, таких, что G2
i = Gi для всех
i и GiGj = 0 для всех (i, j) ∈ J . Существует, очевидно, естественное
взаимно однозначное соответствие между наборами эндоморфизмов
из OΓ(n, J) и Γ-представлениями (представлениями эндоморфизмами
свободного Γ-модуля) полугруппы S(n, J) с образующими элемента-
ми 0, e1, . . . , en и определяющими соотношениями e2
i = ei для всех i,
eiej = 0 для всех (i, j) ∈ J . С другой стороны, как хорошо известно, су-
ществует естественное взаимно однозначное соответствие между пред-
ставлениями полугруппы и представлениями ее полугрупповой алгеб-
ры, в данном случае между Γ-представлениями полугруппы S(n, J) и
Γ-представлениями полугрупповой алгебры ΓS(n, J) .
Знак × обозначает знак декартового произведения.
Относительно ручных и диких задач в общем случае, в частности для алгебр,
см. п. 4.
Как обычно в подобной ситуации, мы отождествляем нулевой элемент алгебры
Линейные идемпотентные операторы. . . 25
Нас интересует только случай, когда Γ является свободной k-
алгеброй Km = k〈x1, . . . , xm〉 с образующими x1, . . . , xm (да и то лишь
при m = 1, 2); k-представление этой алгебры однозначно задаются на-
бором операторов A = {A1, . . . ,Am} ∈ Ok(m). Под тензорным произ-
ведением G ⊗ A набора эндоморфизмов G = {G1, . . . ,Gn} ∈ OKm(n, J)
и набора операторов A = {A1, . . . ,Am} ∈ Ok(m) мы понимаем набор
операторов изOk(n, J), который соответствует представлению G⊗KmA
алгебры kS(n, J), где G — Km-представление алгебры KmS(n, J), со-
ответствующее набору G, и A — k-представление свободной алгебры
Km, соответствующее набору A.
Будем говорить, что задача об описании (с точностью до подобия)
наборов операторов из Ok(n, J) имеет ручной тип (или является руч-
ной), если для любого натурального числа d существует конечное чис-
ло наборов эндоморфизмов G(i) ∈ OK1
(n, J), i ∈ Id, таких, что каж-
дый неразложимый набор операторов из Ok(n, J), действующий в век-
торном пространстве размерности d, подобен набору операторов вида
G(i) ⊗A для некоторых A ∈ Ok(1) и i ∈ Id.
Отметим, что задачи ручного типа представляют интерес именно
в классе задач бесконечного типа, но поскольку задачи ручного типа
формально включают в себя задачи конечного типа, то мы не будем
исключать задачи конечного типа из задач ручного типа, как это ино-
гда делается.
Будем говорить, что задача об описании (с точностью до подобия)
наборов операторов из Ok(n, J) имеет дикий тип (или является ди-
кой), если в OK2
(n, J) существует набор эндоморфизмов G(0) такой,
что выполняются следующие условия:
a) если P — неразложимый набор операторов из Ok(2), то набор
операторов G(0) ⊗A также является неразложимым;
b) если наборы операторов A и A′ из Ok(2) не подобны, то наборы
операторов G(0) ⊗A и G(0) ⊗A′ также не подобны.
В настоящей статье мы рассматриваем задачу об описании наборов
Ok(n, J) конечного, ручного и дикого типов.
2. Формулировка основных результатов.
Сопоставим каждой паре (n, J) ориентированный граф с множе-
ством вершин Λ0 = [1, n] = {1, . . . , n} и множеством стрелок
Λ1 = {i→ j | (i, j) ∈ J}.
ΓS(n, J) с нулевым элементом полугруппы S(n, J) .
26 В.М. Бондаренко, Е.Н. Тертичная
Граф Λ = (Λ0,Λ1), который будем обозначать через Λ(n, J), является
“графом соотношений” для операторов всех наборов из Ok(n, J). Од-
нако основную роль в нашей теории, как будет видно в дальнейшем,
играет не граф Λ(n, J), а граф Λ(n, J) := Λ(n, J), где J = [1, n]20 \ J .
Другими словами, Λ(n, J) — ориентированный граф, дополняющий
граф Λ(n, J) до полного графа (без петель), т. е. Λ(n, J) = (Λ0,Λ1),
где Λ0 = Λ0, а i → j принадлежит Λ1 тогда и только тогда, когда
i→ j не принадлежит Λ1 и при этом i 6= j.
Очевидно, что Λ(n, J) = Λ(n, J). Отметим еще, что множество J
однозначно восстанавливается и по графу Λ(n, J), и по графу Λ(n, J).
Теорема 1. Задача об описании с точностью до подобия наборов опе-
раторов из Ok(n, J) имеет конечный тип тогда и только тогда, ко-
гда граф Λ(n, J) имеет конечный представленческий тип.
Теорема 2. Если ориентированный граф Λ(n, J) ацикличный, то за-
дача об описании с точностью до подобия наборов операторов из
Ok(n, J) имеет ручной (соответственно дикий) тип тогда и толь-
ко тогда, когда граф Λ(n, J) имеет ручной (соответственно дикий)
представленческий тип.
Напомним, что ориентированный граф называется ацикличным, ес-
ли он не имеет ориентированных циклов. Условие ацикличности графа
Λ(n, J) означает, что операторы P1, . . . ,Pn любого набора P ∈ Ok(n, J)
порождают конечную полугруппу (см. п. 3).
Относительно определения представлений ориентированных гра-
фов и описания графов конечного, ручного и дикого представленче-
ских типов см. п. 4.
3. SemSemSem-конечные наборы операторов.
В этой части статьи мы выясним, что означает условие ациклично-
сти графа Λ(n, J) в иных терминах и, в частности, в терминах опера-
торов.
Напомним (см. п. 1), что паре (n, J) мы сопоставляем полугруп-
пу S(n, J) с образующими элементами 0, e1, . . . , en и определяющими
соотношениями e2
i = ei для всех i, eiej = 0 для всех (i, j) ∈ J .
Набор линейных операторов A1, . . . ,An, действующих в конечно-
мерном векторном k-пространстве V , будем называть sem-конечным,
если они порождают конечную полугруппу в алгебре Endk V .
Предложение 1. Следующие условия эквивалентны:
Линейные идемпотентные операторы. . . 27
a) ориентированный граф Λ(n, J) ацикличен;
b) полугруппа S(n, J) конечна;
c) любой набор операторов P ∈ Ok(n, J) sem-конечен.
Доказательство. Импликация a) ⇒ b). Зафиксируем в полугруппе
S(n, J) ненулевой элемент x = x1x2 . . . xm, где xi — некоторые стан-
дартные образующие: xi = eαi (i = 1, 2, . . . ,m). Очевидно, что x = 0,
если (αi, αi+1) не является стрелкой в графе Λ(n, J) (для некоторо-
го 1 ≤ i < m). Значит, чтобы элемент x не был нулевым, необходимо,
чтобы в графе Λ(n, J) существовал ориентированный путь из вершины
α1 в вершину αm, проходящий через вершины α2, . . . , αm−1. Посколь-
ку граф Λ(n, J) не имеет ориентированных циклов, то число всех его
ориентированных путей конечно, а значит полугруппа S(n, J) конечна.
Импликация b)⇒ c). Поскольку представление полугруппы S(n, J)
(или ее полугрупповой алгебры), соответствующее набору операторов
P = {P1, . . . ,Pn} ∈ Ok(n, J), сопоставляет образующим полугруппы
ei, i > 0, операторы Pi, то из конечности полугруппы S(n, J) следует
sem-конечность набора операторов P.
Импликация c) ⇒ a). Мы рассмотрим равносильную импликацию
a) ⇒ c), где a) и c) — отрицание условий a) и c). Итак, пусть граф
Λ(n, J) не является ацикличным. Зафиксируем в нем минимальный
ориентированный цикл (i1, i2), (i2, i3), . . . , (im−1, im), (im, i1) (т. е. та-
кой, что xi 6= xj при i 6= j); в силу определения графа Λ(n, J) имеем,
что m ≥ 2.
Введем следующие идемпотентные операторы C1, C2, . . ., Cn, дей-
ствующие в m-мерном векторном пространстве V с базисом v1, . . . , vm:
vsCis = vs+vs+1 при 1 ≤ s < m, vmCim = av1 +vm, где a ∈ k, и vtCq = 0
во всех остальных случаях; в частности, Ci — нулевой оператор, если
i 6= i1, . . . , im. Легко видеть, что {C1, C2, . . . , Cn} ∈ Ok(n, J). Положим
Q = C1C2 · · · Cn. Простые непосредственные вычисления показывают,
что для любого натурального числа s оператор Qs действует на базис-
ных векторах следующим образом: v1Qs = asv1 + as−1vm и viQs = 0
при i 6= 1. Если теперь в качестве a взять ненулевой элемент, не явля-
ющийся корнем из единицы, то элементы a, a2, a3, . . . поля k попарно
различны и следовательно попарно различными являются и операто-
ры Q, Q2, Q3, . . . . Значит набор операторов {C1, C2, . . . , Cn} не является
sem-конечным.
Предложение 1 доказано.
28 В.М. Бондаренко, Е.Н. Тертичная
Возвращаемся к ситуации, которая возникла при рассмотрении им-
пликации c) ⇒ a). Для простоты будем считать, что минимальный
цикл графа Λ(n, J) имеет вид (1, 2), (2, 3), . . . , (m− 1,m), (m, 1). Тогда
операторы Cm+1, . . . , Cn являются нулевыми, а операторы C1, C2, . . .,
Cm, действуют на базисных векторах v1, . . . , vm следующим образом:
v1C1 = v1 + v2, vsC1 = 0 при s 6= 1,
v2C2 = v2 + v3, vsC2 = 0 при s 6= 2,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vm−1Cm−1 = vm−1 + vm, vsCm−1 = 0 при s 6= m− 1,
vmCm = av1 + vm, vsCm = 0 при s 6= m.
Так как теперь мы будем рассматривать эти операторы при любом
a ∈ k (в отличии от доказательства импликации c) ⇒ a), где нас ин-
тересовало только одно, выбранное специальным образом, значение a,
то вместо Cm будем писать Cam, а набор операторов обозначаем через
Ca.
Для P = {P1, . . . ,Pn}, P ′ = {P ′1, . . . ,P ′n} из Ok(n, J) положим
Hom(P,P ′) = {X ∈ Ok(1) | P1X = XP1, . . . ,PnX = XPn}.
Очевидно, что Hom(P,P ′) является векторным пространством, а при
P = P ′ алгеброй (над k), которую назовем алгеброй эндоморфизмов
набора P.
Лемма 1. Hom(Ca1 , Ca2) = 0, если a1 6= a2.
Лемма 2. Hom(Ca, Ca) = {xE |x ∈ k}, где E : V → V — единичный
оператор.
Обе леммы будем доказывать одновременно.
Пусть X ∈ Hom(Ca1 , Ca2) и пусть для i ∈ [1, n]
viX = xi1v1 + xi2v2 + · · ·+ xinvn.
Если i ∈ [1,m], j ∈ [1,m− 1] и при этом i 6= j, то
0 = viCj = (viCj)X = (viX )Cj =
= (xi1v1 + xi2v2 + · · ·+ xinvn)Cj =
= xij(vjCj) = xij(vj + vj+1),
Линейные идемпотентные операторы. . . 29
откуда xij = 0. Далее, при i ∈ [1,m− 1]
0 = viCa1m = (viCa1m )X = (viX )Ca2m =
= (xi1v1 + xi2v2 + · · ·+ xinvn)Ca2m =
= xim(vmCa2m ) = xim(a2v1 + vm),
откуда xim = 0. Итак, оператор X является диагональным.
Применяя к обеим частям равенства viCi = vi + vi+1, i ∈ [1,m− 1],
оператор X и учитывая равенство CiX = XCi, последовательно имеем
(viX )Ci = viX + vi+1X , (xiivi)Ci = xiivi + xi+1,i+1vi+1, xiivi + xiivi+1 =
xiivi + xi+1,i+1vi+1, откуда xii = xi+1,i+1; итак, x11 = · · · = xmm, т. е.
X = x11E , где E — единичный оператор. Сделаем теперь то же самое
с равенством vmCa1m = a1v1 + vm, учитывая уже равенство Ca1m X =
XCa2m : (vmX )Ca2m = a1v1X + vmX , (xmmvm)Ca2m = a1x11v1 + xmmvm,
xmm(a2v1 +vm) = a1x11v1 +xmmvm, откуда (учитывая, что x11 = xmm)
имеем (a2−a1)x11 = 0. И если a2 = a1, то последнее равенство является
тождеством, а в противном случае x11 = 0 и следовательно X = 0.
Обе леммы доказаны.
Из лемм 1 и 2 имеем следующую теорему.
Теорема 3. Если граф Λ(n, J) не является ацикличным, то задача
об описании с точностью до подобия наборов операторов из Ok(n, J)
имеет бесконечный тип.
Действительно, из леммы 2 следует, что набор Ca неразложим для
любого a ∈ k как набор с локальной алгеброй эндоморфизмов, а из
леммы 1 следует, что наборы Ca1 и Ca2 не подобны, если a1 6= a2. И
остается лишь воспользоваться бесконечностью поля k.
4. Представления ориентированных графов. Поскольку при
изучении ориентированных графов представители разных школ на-
кладывали на них различные ограничения, то, в связи с введением
представлений графов [7], П. Габриель предложил называть ориенти-
рованный граф без всяких ограничений иным словом; в переводе на
русский язык это слово “колчан”. Мы в этой статье используем оба
термина.
Пусть Q = (Q0, Q1) — колчан с множеством вершин Q0 и мно-
жеством стрелок Q1, который в дальнейшем всегда предполагается
См., напр., [6, §5.2]
30 В.М. Бондаренко, Е.Н. Тертичная
конечным (т. е. Q0 и Q1 — конечные множества). Кроме того, можно
считать, без ограничения общности, что Q0 = {1, 2, . . . , q}. Начальную
и конечную вершины стрелки λ будем обозначать соответственно s(λ)
и t(λ). Если λ — стрелка с начальной вершиной s(λ) = x и конечной
вершиной t(λ) = y, то будем также писать λ : x→ y или (если колчан
не имеет кратных стрелок) λ = (x, y).
Представление колчана Q = (Q0, Q1) над полем k — это пара R =
(U, γ), которая состоит из семейства
U = {Ux |x ∈ Q0}
конечномерных векторных k-пространств Ux и семейства γ = {γα}
линейных отображений γα : Us(α) → Ut(α), где α пробегает множество
Q1 . Множество всех таких представлений обозначаем через repkQ.
Вектор
d = d(R) = (dx), x ∈ Q0,
где dx = dimkUx, называется вектор-размерностью представления R,
а сумма
d =
∑
x∈Q0
dx
— его размерностью. Носителем представления R называется подмно-
жество в Q0, состоящее из тех x, для которых dx 6= 0. Представление
называется точным, если его носитель совпадает с Q0.
Представление колчана Q = (Q0, Q1) размерности 0 называется ну-
левым. Его носителем является пустое множество.
Два представления R = (U, γ) и R′ = (U ′, γ′) колчана Q = (Q0, Q1)
называются эквивалентными, если существует семейство
λ = {λx |x ∈ Q0}
линейных биективных отображений λx : Ux → U ′x такое, что для каж-
дой стрелки α : x→ y из Q1 диаграмма
Ux
γα−−−−→ Uy
λx
y yλy
U ′x
γ′
α−−−−→ U ′y
Если говорить более точно, то нужно было бы назвать такие представления
конечномерными. Однако случай бесконечномерных пространств в этой статье не
рассматривается.
Линейные идемпотентные операторы. . . 31
является коммутативной, т. е. γαλy = λxγ
′
α.
Прямая сумма R′⊕R′′ представлений R′ = (U ′, γ′) и R′′ = (U ′′, γ′′)
колчана Q = (Q0, Q1) — это представление (U ′⊕U ′′, γ′⊕γ′′), где γ′⊕γ′′
обозначает семейство линейных отображений
{γ′α ⊕ γ′′α : U ′x ⊕ U ′′x → U ′y ⊕ U ′′y },
α : x→ y пробегает множество Q1.
Ненулевое представление R называется разложимым, если оно эк-
вивалентно прямой сумме двух ненулевых представлений, и неразло-
жимым в противном случае. Нулевое представление считается разло-
жимым.
Для представлений колчанов стандартным образом доказывается
теорема Крулля-Шмидта об однозначности разложения произвольно-
го представления в прямую сумму неразложимых представлений (с
точностью до эквивалентности и перестановки слагаемых).
Говорят, что колчан Q имеет конечный представленческий тип над
полем k, если он имеет, с точностью до эквивалентности, конечное чис-
ло неразложимых представлений. Колчаны конечного представленче-
ского типа описаны П. Габриелем в работе [7]. Очевидно, что несвяз-
ный колчан имеет конечный представленческий тип в том и только в
том случае, когда такой тип имеет каждая его связная компонента.
Теорема 4. Связный колчан имеет конечный представленческий
тип над полем k тогда и только тогда, когда соответствующий
ему неориентированный граф является диаграммой Дынкина, т. е.
имеет один из следующих видов:
An r r r r rp p p (n ≥ 1)
Dn
r r r r r
r
p p p (n ≥ 4)
См., напр., [6, §5.2], [8, 9].
32 В.М. Бондаренко, Е.Н. Тертичная
E6
r r r
r
r r
E7
r r r
r
r r r
E8
r r r
r
r r r r
(число вершин графа равно нижнему индексу в его обозначении).
Говорят, что колчан Q имеет ручной (соответственно дикий) пред-
ставленческий тип или является ручным (соответственно диким) над
полем k, если задача об описании его представлений над k является
ручной (соответственно дикой). Точные определения ручных и диких
матричных задач над полем k , которые включают в себя представле-
ния конечномерных алгебр (а также задачи об описании представле-
ний колчанов, частично упорядоченных множеств и т. п.) приведены в
работах [10, 11]. При этом в работе [10] доказано, что задача не может
быть одновременно ручной и дикой, а в работе [11] доказано, что лю-
бая матричная задача (из точно указанного общего класса) либо руч-
ная, либо дикая. Первый из этих результатов естественно учитывает-
ся нами при формулировании основных теорем этой статьи; второй из
этих результатов мы не используем (в силу специфики доказательства
ручности и дикости). Если говорить о точных определениях колчанов
ручного и дикого типов, то они аналогичны соответствующим опреде-
лениям для наборов операторов (см. п. 1), если только полугрупповую
алгебру заменить алгеброй путей колчана.
Колчаны ручного и дикого представленческих типов над полем k
описаны независимо в роботах [12] и [13].
Как и в случае конечного представленческого типа, несвязный кол-
чан имеет, очевидно, ручной (дикий) представленческий тип в том и
только в том случае, когда такой тип имеет каждая его связная ком-
понента.
Линейные идемпотентные операторы. . . 33
Теорема 5. Связный колчан бесконечного представленческого типа
является ручным над полем k тогда и только тогда, когда соответ-
ствующий ему неориентированный граф есть расширенной диаграм-
мой Дынкина, т. е. имеет один из следующих видов:
Ân r r r r rrp p p (n ≥ 1)
D̂n
r r r r rr
r r
p p p (n ≥ 4)
Ê6
r r r
r
r
r r
Ê7
r r r
r
r r r r
Ê8
r r r
r
r r r r r
(число вершин графа на единицу больше нижнего индекса в его обозна-
чении). В противном случае связный колчан является диким.
Из приведенных теорем следует, что в общем случае колчан имеет
ручной представленческий тип тогда и только тогда, когда он являет-
ся непересекающимся объединением подколчанов, неориентированный
граф каждого из которых есть обычная или расширенная диаграмма
34 В.М. Бондаренко, Е.Н. Тертичная
Дынкина. Если при этом расширенные схемы Дынкина отсутствуют,
то колчан имеет конечный представленческий тип.
5. Связь с представлениями колчанов. Схема доказатель-
ства теорем 1 и 2.
Напомним, что множество всех представлений колчана Q =
(Q0, Q1) над полем k обозначается через repkQ, а множество всех на-
боров операторов P = {P1, . . . ,Pn} из Ok(n) таких, что P2
i = Pi для
всех i и PiPj = 0 для всех (i, j) ∈ J , — через Ok(n, J).
Мы отождествляем линейное отображение α из векторного про-
странства U = U1⊕ . . .⊕Up в векторное пространство V = V1⊕ . . .⊕Vq
с матрицей (αij), i = 1, . . . , p, j = 1, . . . , q, где αij : Ui → Vj — ли-
нейные отображения, индуцированные отображением (тогда сумма и
композиция отображений задается правилами сложения и умножения
матриц). Тождественный оператор, действующий на пространстве V ,
обозначаем 1V .
Определим отображение
F = F(n, J) : repk Λ(n, J)→ Ok(n, J),
считая, что операторы P1(R), . . . ,Pn(R) набора RF , где R = (U, γ) ∈
repk Λ(n, J), действуют на пространстве U = ⊕ni=1Ui и задаются сле-
дующим образом:
Pi(R)jj = 1Uj , если i = j,
Pi(R)ij = γij , если (i, j) ∈ J ,
Pi(R)js = 0 во всех остальных случаях.
В частности, (это видно хотя бы по тому, что размерность про-
странства U , в котором действуют операторы набора F(R), совпадает
с размерностью представления R), нулевому представлению колчана
Λ(n, J) отображение F сопоставляет набор операторов, действующих
в 0-мерном векторном пространстве. А вот набор нулевых операто-
ров, действующий в векторном пространстве ненулевой размерности,
не представим в виде RF , поскольку из определения отображения F
следует, что оператор P1(R) + · · ·+ Pn(R) является обратимым.
Нулевым набором операторов назовем произвольный набор нуле-
вых операторов, действующих в некотором векторном пространстве
V . Если при этом V = 0, то набор называем тривиальным; в против-
ном случае нулевой набор называем нетривиальным.
Имеют место следующие утверждения.
Линейные идемпотентные операторы. . . 35
Предложение 2. Отображение F = F(n, J) удовлетворяет следу-
ющим свойствам:
a) наборы операторов RF и R′F подобны тогда и только тогда,
когда эквивалентны представления R и R′;
b) набор операторов RF неразложим тогда и только тогда, когда
неразложимо представление R.
Предложение 3. Если ориентированный граф Λ(n, J) ацикличный,
то каждый набор операторов из Ok(n, J), не содержащий нетриви-
альных нулевых прямых слагаемых, подобен набору вида RF .
Заметим, что эти предложения позволяют описывать все, с точ-
ностью до подобия, неразложимые наборы операторов из Ok(n, J) в
ручном случае (см. п. 7). При этом как сами предложения, так и их
доказательства дословно переносятся на случай произвольного поля
(см. в связи с этим примечание 1).
В следующем пункте мы приведем доказательства этих утвер-
ждений, причем будем пользоваться матричным языком, который яв-
ляется более наглядным.
Из теоремы 3 и предложений 2, 3 следует, очевидно, теорема 1.
Теорема 2 выводится из предложений 2 и 3 стандартным образом.
Таким образом, осталось доказать предложения 2 и 3; как уже го-
ворилось, это будет сделано в следующем пункте.
6. Матричные доказательства предложений 2 и 3.
6.1. Матричные представления колчанов. Определения, свя-
занные с представлениями колчанов, можно переформулировать на
матричном языке, если всем линейным отображениям, которые при
этом встречаются, сопоставить матрицы, предварительно зафиксиро-
вав базисы в соответствующих векторных пространствах. Но на этом
естественном пути возникают некоторые формальные нюансы.
При изложении этого материала мы пользуемся монографией [14].
Рассмотрим сначала случай, который, понятно, является главным,
Доказательство предложения 2 в терминах представлений полугруппы S(n, J)
приведено в [4]. Это же касается и предложения 3, однако в этой статье мы ис-
пользуем несколько другую идею доказательства.
В данном случае отображение F(n, J) нужно “поднять” до алгебр K1 и K2 и
воспользоваться вытекающей из предложений 2 и 3 связью между теми набора-
ми эндоморфизмов свободных модулей и представлениями графов над алгебрами,
которые указаны в определениях наборов операторов и графов ручного и дикого
типов.
36 В.М. Бондаренко, Е.Н. Тертичная
считая, когда колчан Q = (Q0, Q1) не имеет изолированных вершин
(т. е. таких, которые не являются ни начальной, ни конечной верши-
ной какой-либо стрелки). Число строк и столбцов матрицы A будем
обозначать соответственно r(A) и c(A).
В этом случае матричное представление колчана Q над полем k —
это семейство матриц
T = {Tα |α : x→ y пробегает Q1}
с элементами из поля k такое, что выполняются следующие условия:
а) матрицы Tα и Tβ имеют одинаковое число строк, если начальная
вершина стрелки α совпадает с начальной вершиной стрелки β;
б) матрицы Tα и Tβ имеют одинаковое число столбцов, если конеч-
ная вершина стрелки α совпадает с конечной вершиной стрелки
β;
в) число строк матрицы Tα равно числу столбцов матрицы Tβ , если
начальная вершина стрелки α совпадает с конечной вершиной
стрелки β.
Для матричного представления T и вершины x ∈ Q0 положим
dx(T ) = r(Tα), если существует стрелка α = {x → y}, и dx(T )= c(Tα),
если существует стрелка α = {z → x}.
Тогда вектор-размерность матричного представления T колчана
Q — это вектор
d = d(T ) = (dx), x ∈ Q0,
где dx = dx(T ), а размерность — это число
d =
∑
x∈Q0
dx.
Два матричных представления T и T ′ называются эквивалентны-
ми, если существует семейство обратимых матриц N = {Nx |x ∈ Q0},
которые удовлетворяют следующие условия:
г) r(Nx) = dx(T ) i c(Nx) = dx(T ′);
д) TαNy = NxT
′
α для каждой стрелки α : x→ y.
Линейные идемпотентные операторы. . . 37
Прямая сумма и неразложимость матричных представлений кол-
чана определяются естественным образом.
Как уже отмечалось (в общих чертах) выше, если в каждом век-
торном пространстве Ux представления R = (U, γ) колчана Q (без изо-
лированных вершин) зафиксировать некоторый базис и выписать мат-
рицы Tα, соответствующие отображениям γα, то получим матричное
представление T = {Tα}. Очевидно, что два представления эквива-
лентны тогда и только тогда, когда эквивалентны соответствующие им
матричные представления; это же касается и неразложимости пред-
ставлений.
Напомним, что все вышеизложенное о матричных представлени-
ях колчанов касается случая, когда колчан не имеет изолированных
вершин. Чтобы было полное соответствие между представлениями в
терминах линейных отображений и матричными представлениями в
общем случае, мы поступим следующим образом (этот способ предло-
жен в монографии [14]).
Итак, пусть Q = (Q0, Q1) — колчан. Его матричным представле-
нием Q назовем пару (d, T ), состоящую из семейства целых неотрица-
тельных чисел
d = (dx), x ∈ Q0,
и семейства матриц
T = {Tα |α : x→ y пробегает Q1}
такиx, что Tα имеет размер dx × dy для каждой стрелки α : x → y.
Множество всех матричных представлений колчана Q = (Q0, Q1) над
полем k обозначаем через RepkQ.
Два таких представления (d, T ) и (d′, T ′) назовем эквивалентными,
если d = d′ и существует семейство обратимых матриц N = {Nx |x ∈
Q0} таких, что
а) Nx имеет размер dx × d′x для произвольной вершины x;
б) TαNy = NxT
′
α для произвольной стрелки α : x→ y.
Очевидно, что в этом случае d = d′.
Прямая сумма представлений (d, T ) i (d′, T ′) — это представление
(d+ d′, T ⊕ T ′),
где
T ⊕ T ′ = {Tα ⊕ T ′α |α : x→ y пробегает Q1}.
38 В.М. Бондаренко, Е.Н. Тертичная
И мы видим, что если, например, колчан состоит только из одной
изолированной вершины, то его матричное представление — это пара
(d,∅), т. е. по сути произвольное целое неотрицательное число d; при
этом число 0 задает нулевое представление, а число 1 — единственное
неразложимое представление.
6.2. Отображение F(n, J) в матричном виде. Для подмноже-
ства J ⊂ [1, n]20 через Mk(n, J) обозначим множество всех наборов
квадратных матриц P = {P1, · · · , Pn} одинакового размера таких, что
P 2
i = Pi для всех i и PiPj = 0 для всех (i, j) ∈ J . Тогда отображению
F = F(n, J) соответствует отображение
F = F (n, J) : Repk Λ(n, J)→Mk(n, J).
Укажем это отображение в явном виде (на матричном языке).
Пусть (d, T ) ∈ Repk Λ(n, J). Тогда матрицы P1, · · · , Pn набора P =
(d, T )F из Mk(n, J) удовлетворяют следующие условия:
1) все матрицы Pi разбиты на n горизонтальных и n вертикальных
полос, причем i-ая горизонтальная (соответственно вертикальная) по-
лоса каждой из них состоит из di строк (соответственно столбцов);
2) в матрице Pi стоящий на месте (i, i) блок — единичная матрица;
остальные ее диагональные блоки — нулевые;
3) недиагональный блок матрицы Pi, стоящий на месте (i, j), j 6= i,
равен T(i,j), если в графе Λ(n, J) существует стрелка i→ j и является
нулевым в противном случае.
Во всех условиях i и j пробегают числа 1, . . . , n. Под блоком, сто-
ящим на месте (i, j), подразумевается блок, стоящий на пересечении
i-ой горизонтальной и j-ой вертикальной полос.
В дальнейшем матрицу T(i,j) представления колчана (соответству-
ющую стрелке i→ j) будем часто обозначать просто через Tij .
6.3. Доказательство предложения 2 на языке матриц. Пере-
ходим к доказательству предложения 2, используя определение отоб-
ражения F(n, J) в матричном виде (см. 6.2), которое обозначается
F = F (n, J).
Нам нужно доказать, что
a’) наборы матриц (d, T )F и (d′, T ′)F подобны тогда и только тогда,
когда эквивалентны матричные представления (d, T ) и (d′, T ′);
b’) набор матриц (d, T )F неразложим тогда и только тогда, когда
неразложимо матричное представление (d, T ).
Докажем сначала утверждение a’).
Линейные идемпотентные операторы. . . 39
Достаточность. Покажем, что два набора матриц P = {P1,
. . . , Pn} = (d, T )F и P ′ = {P ′1, . . . , P ′n} = (d′, T ′)F подобны, если экви-
валентны матричные представления (d, T ) и (d′, T ′) колчана Λ(n, J).
Пусть (d, T ) и (d′, T ′) — эквивалентные матричные представления
колчана Λ(n, J). Это означает, что d = d′ и существуют обратимые
матрицы X1, . . . , Xn такие, что выполняются равенства
TijXj = XiT
′
ij
для каждой стрелки i → j колчана Λ(n, J). Тогда легко видеть, что
блочно-диагональная матрица C вида
C =
X1 0 · · · 0
0 X2 · · · 0
...
...
. . .
...
0 0 · · · Xn
задает подобие наборов матриц P = {P1, . . . , Pn} = (d, T )F и P ′ =
{P ′1, . . . , P ′n} = (d′, T ′)F , т. е. выполняется равенство PiC = CP ′i для
каждого i = 1, . . . , n:
0 · · · 0 0 0 · · · 0
...
. . .
...
...
... · · ·
...
0 · · · 0 0 0 · · · 0
Ti1 · · · Ti,i−1 E Ti,i+1 · · · Tin
0 · · · 0 0 0 · · · 0
... · · ·
...
...
...
. . .
...
0 · · · 0 0 0 · · · 0
X1 · · · 0 0 0 · · · 0
...
. . .
...
...
... · · ·
...
0 · · · Xi−1 0 0 · · · 0
0 · · · 0 Xi 0 · · · 0
0 · · · 0 0 Xi+1 · · · 0
... · · ·
...
...
...
. . .
...
0 · · · 0 0 0 · · · Xn
=
=
X1 · · · 0 0 0 · · · 0
...
. . .
...
...
... · · ·
...
0 · · · Xi−1 0 0 · · · 0
0 · · · 0 Xi 0 · · · 0
0 · · · 0 0 Xi+1 · · · 0
... · · ·
...
...
...
. . .
...
0 · · · 0 0 0 · · · Xn
0 · · · 0 0 0 · · · 0
...
. . .
...
...
... · · ·
...
0 · · · 0 0 0 · · · 0
T ′i1 · · · T ′i,i−1 E T ′i,i+1 · · · T ′in
0 · · · 0 0 0 · · · 0
... · · ·
...
...
...
. . .
...
0 · · · 0 0 0 · · · 0
40 В.М. Бондаренко, Е.Н. Тертичная
(напомним, что блок Tij матрицы Pi, стоящий на месте (i, j), — это мат-
рица представления T колчана Λ(n, J), если в нем существует стрелка
i → j, и нулевая матрица в противном случае; это же касается, есте-
ственно, и блоков T ′ij).
Необходимость. Пусть P = {P1, . . . , Pn} = (d, T )F и P ′ =
{P ′1, . . . , P ′n} = (d′, T ′)F — подобные наборы матриц. Тогда d = d′ и
существует обратимая матрица
C =
C11 C12 · · · C1n
C21 C22 · · · C2n
...
...
. . .
...
Cn1 Cn2 · · · Cnn
такая, что выполняются равенства PiC = CP ′i для всех i = 1, . . . , n,
т. е. имеют место следующие матричные равенства
E T12 T13 · · · T1n
0 0 0 · · · 0
0 0 0 · · · 0
...
...
...
. . .
...
0 0 0 · · · 0
C11 C12 C13 · · · C1n
C21 C22 C23 · · · C2n
C31 C32 C33 · · · C3n
...
...
...
. . .
...
Cn1 Cn2 Cn3 · · · Cnn
=
(1)
=
C11 C12 C13 · · · C1n
C21 C22 C23 · · · C2n
C31 C32 C33 · · · C3n
...
...
...
. . .
...
Cn1 Cn2 Cn3 · · · Cnn
E T ′12 T
′
13 · · · T ′1n
0 0 0 · · · 0
0 0 0 · · · 0
...
...
...
. . .
...
0 0 0 · · · 0
,
0 0 0 · · · 0
T21 E T23 · · · T2n
0 0 0 · · · 0
...
...
...
. . .
...
0 0 0 · · · 0
C11 C12 C13 · · · C1n
C21 C22 C23 · · · C2n
C31 C32 C33 · · · C3n
...
...
...
. . .
...
Cn1 Cn2 Cn3 · · · Cnn
=
(2)
Линейные идемпотентные операторы. . . 41
=
C11 C12 C13 · · · C1n
C21 C22 C23 · · · C2n
C31 C32 C33 · · · C3n
...
...
...
. . .
...
Cn1 Cn2 Cn3 · · · Cnn
0 0 0 · · · 0
T ′21 E T ′23 · · · T ′2n
0 0 0 · · · 0
...
...
...
. . .
...
0 0 0 · · · 0
,
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
0 · · · 0 0
...
. . .
...
...
0 · · · 0 0
Tn1 · · · Tn,n−1 E
C11 · · · C1,n−1 C1n
...
. . .
...
...
Cn−1,1 · · · Cn−1,n−1 Cn−1,n
Cn1 · · · Cn,n−1 Cnn
=
(n)
=
C11 · · · C1,n−1 C1n
...
. . .
...
...
Cn−1,1 · · · Cn−1,n−1 Cn−1,n
Cn1 · · · Cn,n−1 Cnn
0 · · · 0 0
...
. . .
...
...
0 · · · 0 0
T ′n1 · · · T ′n,n−1 E
.
Обозначим через (i, j) (блочное) равенство, которое получается по-
сле умножения i-ой горизонтальной и j-ой вертикальной полос в обеих
частях выписанного выше матричного равенства (j). Тогда имеем, в
частности, следующие равенства:
(2, 1) : 0 = C21,
(3, 1) : 0 = C31,
· · · · · · · · · · · · · · · · · ·
(n, 1) : 0 = Cn1;
(1, 2) : 0 = C12,
(3, 2) : 0 = C32,
· · · · · · · · · · · · · · · · · ·
(n, 2) : 0 = Cn2;
· · · · · · · · · · · · · · · · · ·
· · · · · · · · · · · · · · · · · ·
· · · · · · · · · · · · · · · · · ·
42 В.М. Бондаренко, Е.Н. Тертичная
(1, n) : 0 = C1n,
(2, n) : 0 = C2n,
· · · · · · · · · · · · · · · · · ·
(n− 1, n) : 0 = Cn−1,n.
Отсюда имеем, что
C =
C11 0 · · · 0
0 C22 · · · 0
...
...
. . .
...
0 0 · · · Cnn
.
Тогда равенства (1) – (n) будут иметь такой вид:
E T12 T13 · · · T1n
0 0 0 · · · 0
0 0 0 · · · 0
...
...
...
. . .
...
0 0 0 · · · 0
C11 0 0 · · · 0
0 C22 0 · · · 0
0 0 C33 · · · 0
...
...
...
. . .
...
0 0 0 · · · Cnn
=
=
C11 0 0 · · · 0
0 C22 0 · · · 0
0 0 C33 · · · 0
...
...
...
. . .
...
0 0 0 · · · Cnn
E T ′12 T
′
13 · · · T ′1n
0 0 0 · · · 0
0 0 0 · · · 0
...
...
...
. . .
...
0 0 0 · · · 0
,
0 0 0 · · · 0
T21 E T23 · · · T2n
0 0 0 · · · 0
...
...
...
. . .
...
0 0 0 · · · 0
C11 0 0 · · · 0
0 C22 0 · · · 0
0 0 C33 · · · 0
...
...
...
. . .
...
0 0 0 · · · Cnn
=
=
C11 0 0 · · · 0
0 C22 0 · · · 0
0 0 C33 · · · 0
...
...
...
. . .
...
0 0 0 · · · Cnn
0 0 0 · · · 0
T ′21 E T ′23 · · · T ′2n
0 0 0 · · · 0
...
...
...
. . .
...
0 0 0 · · · 0
,
Линейные идемпотентные операторы. . . 43
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
0 0 · · · 0 0
0 0 · · · 0 0
...
...
. . .
...
...
0 0 · · · 0 0
Tn1 Tn2 · · · Tn,n−1 E
C11 0 · · · 0 0
0 C22 · · · 0 0
...
...
. . .
...
...
0 0 · · · Cn−1,n−1 0
0 0 · · · 0 Cnn
=
=
C11 0 · · · 0 0
0 C22 · · · 0 0
...
...
. . .
...
...
0 0 · · · Cn−1,n−1 0
0 0 · · · 0 Cnn
0 0 · · · 0 0
0 0 · · · 0 0
...
...
. . .
...
...
0 0 · · · 0 0
T ′n1 T
′
n2 · · · T ′n,n−1 E
.
Первое из этих матричных уравнений эквивалентно равенствам
(1, 2) : T12C22 = C11T
′
12,
(1, 3) : T13C33 = C11T
′
13,
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
(1, n) : T1nCnn = C11T
′
1n,
второе — равенствам
(2, 1) : T21C11 = C22T
′
21,
(2, 3) : T23C33 = C22T
′
23,
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
(2, n) : T2nCnn = C22T
′
2n,
· · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
· · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
· · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
последнее (n-ое) — равенствам
(n, 1) : Tn1C11 = CnnT
′
n1,
(n, 2) : Tn2C22 = CnnT
′
n2,
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
(n, n− 1) : Tn,n−1Cn−1,n−1 = CnnT
′
n,n−1
44 В.М. Бондаренко, Е.Н. Тертичная
или, другими словами, выполняются равенства
TijCjj = CiiT
′
ij
для всех пар (i, j) таких, что в колчане Λ(n, J) существует стрелка
i→ j. А это и означает эквивалентность представлений (d, T ) и (d′, T ′)
колчана Λ(n, J) (обратимость матриц C11, . . . , Cnn следует из обрати-
мости матрицы C).
Утверждение a’) доказано.
Переходим к доказательству утверждения b’). Мы докажем, что на-
бор матриц (d, T )F разложим тогда и только тогда, когда разложимо
матричное представление (d, T ).
Если матричное представление R = (d, T ) разложимо, то оно эк-
вивалентно прямой сумме некоторых ненулевых представлений R(1)
и R(2), а тогда согласно утверждению a’) наборы матриц RF и
(R(1) ⊕ R(2))F подобны; и поскольку из определения отображения F
следует, что (R(1) ⊕ R(2))F = R(1)F ⊕ R(2)F , то отсюда имеем, что
набор операторов RF разложим (так как размерности пространств,
на которых действуют операторы наборов R(1)F и R(2)F , совпадают
соответственно с размерностями представлений R(1) и R(2), то эти про-
странства ненулевые).
Предположим теперь, что разложимо матричное представление
(d, T )F . Из доказательства утверждения a’) следует (если поло-
жить P = P ′), что алгебра эндоморфизмов EndP = {C |P1C =
CP1, . . . , PnC = CPn} набора P = {P1, . . . , Pn} = (d, T )F состоит из
матриц вида
C =
C11 0 · · · 0
0 C22 · · · 0
...
...
. . .
...
0 0 · · · Cnn
,
где набор диагональных блоков C = {C11, . . . , Cnn} является эндо-
морфизмом представления R = (d, T ) (т. е. задает эквивалентность
представления с самим собой).
Применим эту зависимость к нашему случаю.
В силу разложимости представления (d, T )F существует идемпо-
тентная матрица C ∈ EndP , отличная от нулевой и единичной (так
как такая матрица существует для любой прямой суммы наборов
Линейные идемпотентные операторы. . . 45
операторов); значит соответствующий набор C является нетривиаль-
ным идемпотентным элементом алгебры эндоморфизмов представле-
ния (d, T ), а следовательно она не является локальной. Отсюда имеем,
что представление (d, T ) разложимо.
6.4. Доказательство предложения 3 на языке матриц. Дока-
жем, что если ориентированный граф Λ(n, J) ацикличный, то каждый
набор матриц P = {P1, · · · , Pn} из Mk(n, J), не содержащий нетриви-
альных нулевых прямых слагаемых, подобен набору вида (d, T )F .
Доказательство будем проводить индукцией по n. При n = 1 граф
Λ(n, J) состоит из одной вершины (без стрелок), а набор P состоит
из одной единичной матрицы P1; следовательно, если P1 — матрица
размера m×m, то P = (m,∅)F (см. 6.1).
Предположим теперь, что наше утверждение верно приm = n−1 >
0 и докажем, что оно верно при m = n.
Итак, пусть P = {P1, · · · , Pn} — набор матриц из Mk(n, J), не со-
держащий нетривиального нулевого прямого слагаемого (т. е. набора
нулевых матриц размера s×s при s > 0). Зафиксируем в графе Λ(n, J)
вершину i, в которую не входит ни одна стрелка (существование такой
вершины следует из ацикличности графа); будем считать, что i = 1
(иначе перенумеруем вершины графа Λ(n, J)).
Рассмотрим теперь матрицы P1′ , . . . , Pm′ , где 1′ = 2, . . . ,m′ = n.
Очевидно, что набор P̂ = {P1′ , . . . , Pm′} принадлежит Mk(m′, J ′), где
J ′ = J ∩ ([m′]× [m′]); здесь [m′] = {1′, . . . ,m′}. При этом граф Λ(m′, J ′)
получается из графа Λ(n, J) выбрасыванием вершины 1 и всех связан-
ных с ней стрелок (с последующей перенумерацией вершин элемента-
ми из [m′]).
Перейдем от набора матриц P̂ к подобному набору матриц 0⊕Q =
{0s ⊕Q1′ , . . . , 0s ⊕Qm′}, равному прямой сумме нулевого набора 0 из
нулевых матриц размера s× s (s ≥ 0), и набора Q = {Q1′ , . . . , Qm′} без
нулевых прямых слагаемых. В силу индукционного предположения
существует матричное представление (d′, T ′) колчана Λ(m′, J ′) такое,
что набор Q ∈Mk(m′, J ′) подобен набору (d′, T ′)F ′, где F ′ = F (m′, J ′).
Пусть (d′, T ′)F ′ = U = {U1′ , . . . , Um′} и пусть X — обратимая
матрица такая, что X−1Q1′X = U1′ , . . . , X−1Qm′X = Um′ . Тогда
обратимая матрица Es ⊕ X, где Es — единичная матрица размера
s × s, осуществляет подобие наборов матриц 0 ⊕ Q и 0 ⊕ U . И сле-
См., напр., [6, §5.2]
46 В.М. Бондаренко, Е.Н. Тертичная
довательно набор матриц P = {P1, · · · , Pn} подобен набору матриц
V = {V1, V1′ , . . . , Vm′}, где V1 — некоторая матрица и Vi′ = 0s⊕Ui′ для
любого i′ = 1′, . . . ,m′, т. е. (учитывая, что 1′ = 2, . . . ,m′ = n) набору
матриц V = {V1, V2, . . . , Vn} следующего вида:
V1 =
(
A W
B C
)
,
V2 =
(
0s 0
0 U2
)
, . . . , Vn =
(
0s 0
0 Un
)
.
Поскольку {U2, . . . , Un} = (d′, T ′)F ′, то матрицы U2, . . . , Un разбиты
на n− 1 горизонтальных и n− 1 вертикальных полос, и следовательно
матрицы V2, . . . , Vn также являются блоковыми, с n горизонтальны-
ми и n вертикальными полосами (после продления разбиений матриц
U2, . . . , Un); естественно считать, что и матрица V1 разбита на полосы
таким же образом. Так как (согласно выбору вершины 1) граф Λ(n, J)
не содержит стрелок, входящих в 1, то ViV1 = 0 для любого i 6= 1,
а значит (V2 + · · · + Vn)V1 = 0, откуда имеем (учитывая обратимость
матрицы U2 + · · ·+Un), что блоки B и C матрицы V1 — нулевые. Итак,
V1 =
(
A W
0 0
)
.
Покажем, что A — обратимая матрица. Предположим противное.
Поскольку A2 = A, то существует обратимая матрица Y такая, что
Y −1AY =
(
E 0
0 0
)
,
где 2-ая горизонтальная и вертикальная полосы не пустые. Тогда
(
Y 0
0 E
)−1
V1
(
Y 0
0 E
)
=
E 0 W1
0 0 W2
0 0 0
,
(
Y 0
0 E
)−1
Vi
(
Y 0
0 E
)
=
0 0 0
0 0 0
0 0 Ui
Линейные идемпотентные операторы. . . 47
при i = 2, . . . , n. И поскольку из V 2
1 = V1 следует, чтоW2 = 0, то, таким
образом, имеем, что набор матриц V , а значит и набор матриц P , со-
держит (нетривиальное) нулевое прямое слагаемое, что противоречит
выбору набора P .
Итак, идемпотентная матрица A обратимая, а следовательно явля-
ется единичной. Тогда
V1 =
(
E W
0 0
)
и, напоминаем,
V2 =
(
0s 0
0 U2
)
, . . . , Vn =
(
0s 0
0 Un
)
.
Осталось учесть равенство V1Vj = 0 для всех j таких, что в графе
Λ(n, J) не существует стрелки 1 → j. Такое равенство означает, что
блок W1j матрицы V1, стоящий на пересечении 1-ой горизонтальной
полосы с j-ой вертикальной полосой, является нулевым.
Теперь легко видеть, что V = (d, T )F (n, J), где (d, T ) — следующее
матричное представление колчана Λ(n, J):
a) ограничение (d, T ) на подколчан Λ(m′, J ′) совпадает с представ-
лением (d′, T ′);
b) d1 = s;
c) стрелке вида 1→ j соответствует матрица W1j .
Предложение 3 доказано.
7. Примеры.
7.1. Рассмотрим задачу об описании с точностью до подобия на-
боров идемпотентных операторов P = {P1,P2,P3,P4}, таких что
PiPj = 0 для любых i, j, кроме (i, j) = (1, 2), (2, 3), (3, 4). В этом случае
J = [1, 4]20 \ {(1, 2), (2, 3), (3, 4)} и граф Λ(4, J) имеет следующий вид:
1→ 2→ 3→ 4
Следовательно согласно теоремам 1 и 4 рассматриваемая задача об
операторах имеет конечный тип.
Выпишем все (с точностью до подобия) неразложимые на-
боры операторов, пользуясь предложениями 2 и 3. Из этих
предложений следует, что если зафиксировать полную систему
неразложимых попарно неэквивалентных представлений колчана
48 В.М. Бондаренко, Е.Н. Тертичная
Λ(4, J) и применить к ним отображение F = F(4, J), то вместе с един-
ственным нулевым неразложимым набором получим полную систему
неразложимых попарно неподобных наборов операторов.
Для каждого связного подграфа Q = (Q0, Q1) графа Λ(4, J) (вклю-
чая сам граф и пустой подграф) рассмотрим представление RQ графа
Λ(4, J), сопоставляющее вершине s ∈ Q0 одномерное пространство k,
вершине s /∈ Q0 нулевое пространство и стрелке i→ j подграфаQ тож-
дественное отображение. Представлениями вида RQ исчерпываются
все (с точностью до эквивалентности) неразложимые представления
колчана Λ(4, J) [7].
Легко видеть, что указанные ниже наборы операторов 1) – 11) об-
разуют полную систему неразложимых попарно неподобных наборов
операторов из Ok(4, J) (операторы записываются в матричном виде):
1) P1 = 0, P2 = 0, P3 = 0, P4 = 0;
2) P1 = 1, P2 = 0, P3 = 0, P4 = 0;
3) P1 = 0, P2 = 1, P3 = 0, P4 = 0;
4) P1 = 0, P2 = 0, P3 = 1, P4 = 0;
5) P1 = 0, P2 = 0, P3 = 0, P4 = 1;
6) P1 =
(
1 1
0 0
)
, P2 =
(
0 0
0 1
)
, P3 =
(
0 0
0 0
)
, P4 =
(
0 0
0 0
)
;
7) P1 =
(
0 0
0 0
)
, P2 =
(
1 1
0 0
)
, P3 =
(
0 0
0 1
)
, P4 =
(
0 0
0 0
)
;
8) P1 =
(
0 0
0 0
)
, P2 =
(
0 0
0 0
)
, P3 =
(
1 1
0 0
)
, P4 =
(
0 0
0 1
)
;
9) P1 =
1 1 0
0 0 0
0 0 0
, P2 =
0 0 0
0 1 1
0 0 0
,
Согласно [7] этот результат является верным для любого колчана типа An
(т. е. колчана, сопутствующим неориентированным графом которого есть диаграм-
ма Дынкина An).
Операторы, соответствующие этим матрицам, выписываются естественным об-
разом в стандартных базисах векторных пространств, задаваемых в виде km.
Линейные идемпотентные операторы. . . 49
P3 =
0 0 0
0 0 0
0 0 1
, P4 =
0 0 0
0 0 0
0 0 0
;
10) P1 =
0 0 0
0 0 0
0 0 0
, P2 =
1 1 0
0 0 0
0 0 0
,
P3 =
0 0 0
0 1 1
0 0 0
, P4 =
0 0 0
0 0 0
0 0 1
;
11) P1 =
1 1 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
, P2 =
0 0 0 0
0 1 1 0
0 0 0 0
0 0 0 0
,
P3 =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 1 1
0 0 0 0
, P4 =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 1
.
7.2. Рассмотрим задачу об описании с точностью до подобия на-
боров идемпотентных операторов P = {P1,P2,P3,P4}, таких что
PiPj = 0 для любых i, j, кроме (i, j) = (1, 2), (1, 3), (1, 4). В этом случае
J = [1, 4]20 \ {(1, 2), (1, 3), (1, 4)} и граф Λ(4, J) имеет следующий вид:
3
↑
2← 1→ 4
Следовательно согласно теоремам 1 и 4 рассматриваемая задача об
операторах имеет конечный тип.
Описание всех (с точностью до подобия) неразложимых наборов
операторов из Ok(4, J) будем проводить по той же схеме, что и в 7.1.
Неразложимые представления колчана Λ(4, J) исчерпываются (с
точностью до эквивалентности) представлениями вида RQ (см. 7.1)
и представлением R1 = (U, γ), где U1 = k ⊕ k, U2 = U3 = U4 = k,
γ(1,2) =
(
1k
0
)
, γ(1,3) =
(
0
1k
)
, γ(1,4) =
(
1k
1k
)
[7].
Легко видеть, что указанные ниже наборы операторов 1) – 13) об-
разуют полную систему неразложимых попарно неподобных наборов
50 В.М. Бондаренко, Е.Н. Тертичная
операторов из Ok(4, J) (операторы записываются в матричном виде):
1) P1 = 0, P2 = 0, P3 = 0, P4 = 0;
2) P1 = 1, P2 = 0, P3 = 0, P4 = 0;
3) P1 = 0, P2 = 1, P3 = 0, P4 = 0;
4) P1 = 0, P2 = 0, P3 = 1, P4 = 0;
5) P1 = 0, P2 = 0, P3 = 0, P4 = 1;
6) P1 =
(
1 1
0 0
)
, P2 =
(
0 0
0 1
)
, P3 =
(
0 0
0 0
)
, P4 =
(
0 0
0 0
)
;
7) P1 =
(
1 1
0 0
)
, P2 =
(
0 0
0 0
)
, P3 =
(
0 0
0 1
)
, P4 =
(
0 0
0 0
)
;
8) P1 =
(
1 1
0 0
)
, P2 =
(
0 0
0 0
)
, P3 =
(
0 0
0 0
)
, P4 =
(
0 0
0 1
)
;
9) P1 =
1 1 1
0 0 0
0 0 0
, P2 =
0 0 0
0 1 0
0 0 0
,
P3 =
0 0 0
0 0 0
0 0 1
, P4 =
0 0 0
0 0 0
0 0 0
;
10) P1 =
1 1 1
0 0 0
0 0 0
, P2 =
0 0 0
0 1 0
0 0 0
,
P3 =
0 0 0
0 0 0
0 0 0
, P4 =
0 0 0
0 0 0
0 0 1
;
11) P1 =
1 1 1
0 0 0
0 0 0
, P2 =
0 0 0
0 0 0
0 0 0
,
Линейные идемпотентные операторы. . . 51
P3 =
0 0 0
0 1 0
0 0 0
, P4 =
0 0 0
0 0 0
0 0 1
;
12) P1 =
1 1 1 1
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
, P2 =
0 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
,
P3 =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 0
, P4 =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 1
;
13) P1 =
1 0 1 0 1
0 1 0 1 1
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
, P2 =
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
,
P3 =
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 0
, P4 =
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 1
.
7.3. Рассмотрим задачу об описании с точностью до подобия набо-
ров идемпотентных операторов P = {P1,P2,P3}, таких что PiPj = 0
для любых i, j, кроме (i, j) = (1, 2), (2, 3), (1, 3). В этом случае J =
[1, 3]20 \ {(1, 2), (2, 3), (1, 3)} и граф Λ(3, J) имеет следующий вид:
2
↗ ↘
1 −→ 3
Согласно теоремам 1 и 4 рассматриваемая задача об операторах имеет
бесконечный тип, а согласно теоремам 2 и 5 она имеет ручной тип.
Описание всех (с точностью до подобия) неразложимых наборов
операторов из Ok(3, J) будем проводить по той же схеме, что и в 7.1.
52 В.М. Бондаренко, Е.Н. Тертичная
Неразложимые представления колчана Λ(3, J) можно получить из
неразложимых представлений цикла длины 4 без ориентированных пу-
тей длины 2 (описанных в матричном виде в [15]), если ограничиться
представлениями с обратимыми отображениями для фиксированной
стрелки . Мы не будем выписывать указанных представлений (чита-
тель, интересующийся этой тематикой, может это легко сделать и сам),
а сразу укажем полную систему неразложимых попарно неподобных
наборов операторов из Ok(3, J) (записывая операторы в матричном
виде):
1) P1 = 0, P2 = 0, P3 = 0;
2) P1 = 1, P2 = 0, P3 = 0;
3) P1 = 0, P2 = 1, P3 = 0;
4) P1 = 0, P2 = 0, P3 = 1;
5) P1 =
(
1 1
0 0
)
, P2 =
(
0 0
0 1
)
, P3 =
(
0 0
0 0
)
;
6) P1 =
(
1 1
0 0
)
, P2 =
(
0 0
0 0
)
, P3 =
(
0 0
0 1
)
;
7) P1 =
(
0 0
0 0
)
, P2 =
(
1 1
0 0
)
, P3 =
(
0 0
0 1
)
;
8) P1 =
En+1 En+1
En
0̃
0n+1 0n+1 0n+1,n
0n,n+1 0n,n+1 0n
, P2 =
0n+1 0n+1 0n+1,n
0n+1 En+1
0̃
En
0n,n+1 0n,n+1 0n
,
P3 =
0n+1 0n+1 0n+1,n
0n+1 0n+1 0n+1,n
0n,n+1 0n,n+1 En
, n ≥ 1;
Задачу об описании неразложимых представлений цикла любой длины (и, в
частности, цикла длины 3) можно свести к аналогичной задаче для циклов длины
2 (см. [12, стр.764]), решение которой изложено в [16], если обе стрелки имеют оди-
наковое направление, и в [17], если стрелки имеют противоположное направление.
Ее можно также рассматривать как задачу об описании некоторой связки цепей
[18].
Линейные идемпотентные операторы. . . 53
9) P1 =
En En En 0
0n 0n 0n,n+1
0n+1,n 0n+1,n 0n+1
, P2 =
0n 0n 0n,n+1
0n En 0En
0n+1,n 0n+1,n 0n+1
,
P3 =
0n 0n 0n,n+1
0n 0n 0n,n+1
0n+1,n 0n+1,n En+1
, n ≥ 1;
10) P1 =
En+1
En
0̃
En+1
0n,n+1 0n 0n,n+1
0n+1 0n+1,n 0n+1
, P2 =
0n+1 0n+1,n 0n+1
0n,n+1 En 0En
0n+1 0n+1,n 0n+1
,
P3 =
0n+1 0n+1,n 0n+1
0n,n+1 0n 0n,n+1
0n+1 0n+1,n En+1
, n ≥ 1;
11) P1 =
En En 0 En
0n+1,n 0n+1 0n+1,n
0n 0n,n+1 0n
, P2 =
0n 0n,n+1 0n
0n+1,n En+1
0̃
En
0n 0n,n+1 0n
,
P3 =
0n 0n,n+1 0n
0n+1,n 0n+1 0n+1,n
0n 0n,n+1 En
, n ≥ 1;
12) P1 =
En+1
En
0̃
0̃
En
0n,n+1 0n 0n
0n,n+1 0n 0n
, P2 =
0n+1 0n+1,n 0n+1,n
0n,n+1 En En
0n,n+1 0n 0n
,
P3 =
0n+1 0n+1,n 0n+1,n
0n,n+1 0n 0n
0n,n+1 0n En
, n ≥ 1;
13) P1 =
En En 0 0En
0n+1,n 0n+1 0n+1
0n+1,n 0n+1 0n+1
, P2 =
0n 0n,n+1 0n,n+1
0n+1,n En+1 En+1
0n+1,n 0n+1 0n+1
,
54 В.М. Бондаренко, Е.Н. Тертичная
P3 =
0n 0n,n+1 0n,n+1
0n+1,n 0n+1 0n+1
0n+1,n 0n+1 En+1
, n ≥ 1;
14) P1 =
En En En
0n 0n 0n
0n 0n 0n
, P2 =
0n 0n 0n
0n En Jn(0)
0n 0n 0n
,
P3 =
0n 0n 0n
0n 0n 0n
0n 0n En
, n ≥ 1;
15) P1 =
En Jn(0) En
0n 0n 0n
0n 0n 0n
, P2 =
0n 0n 0n
0n En En
0n 0n 0n
,
P3 =
0n 0n 0n
0n 0n 0n
0n 0n En
, n ≥ 1;
16) P1 =
En En Jn(a)
0n 0n 0n
0n 0n 0n
, P2 =
0n 0n 0n
0n En En
0n 0n 0n
,
P3 =
0n 0n 0n
0n 0n 0n
0n 0n En
, a ∈ k, n ≥ 1.
Здесь Ei (соответственно 0i) обозначает единичную (соответствен-
но нулевую) матрицу размера i × i, 0ij , i 6= j, — нулевую матрицу
размера i × j и Ji(b) — клетку Жордана размера i × i с собственным
числом b. Через 0 и 0̃ обозначается соответственно нулевой столбец и
нулевая строка.
Заметим, что указанный ответ остается верным и для алгебраиче-
ски незамкнутого поля, если в 16) вместо клеток Жордана рассмат-
ривать неразложимые клетки Фробениуса.
Линейные идемпотентные операторы. . . 55
Список литературы
[1] Гельфанд И. М., Пономарев В. А. Неразложимые представления
группы Лоренца // Успехи мат. наук. – 1968 . – 23, вып. 2. – С.
3–60.
[2] Бондаренко В. М. Представления диэдральных групп над полем
характеристики 2 // Мат. сб. – 1975. – 96, вып. 1. – С. 63–74.
[3] Бондаренко В. М., Тертичная Е. Н. О бесконечности типа бес-
конечных полугрупп, порожденных идемпотентами с частичным
нулевым умножением // Проблеми топологiї та сумiжнi питання
: Зб. праць Iн-ту математики НАН України. – 2006. – 3, № 3. –
С. 23–44.
[4] Bondarenko V. M., Tertychna O. M. On tame semigroups generated
by idempotents with partial null multiplication // Algebra Discrete
Math. – 2008. – № 4. – P. 15–22.
[5] Тертична О. М. Матричнi зображення напiвгруп, породжених
iдемпотентами з частковим нульовим множенням: дис. канд. фiз.-
мат. наук : 01.01.06 – К., 2009 (наук. керiвник В. М. Бондаренко).
– 167 с.
[6] Пирс Р. Ассоциативные алгебры. // М.: Мир, 1986. – 543 с.
[7] Gabriel P. Unzerlegbare Darstellungen // Manuscripts Math. – 1972.
– 6. – P. 71–103.
[8] Дрозд Ю. А. Матричные задачи и категории матриц // Зап. науч.
семинаров ЛОМИ. – 1972. – 28. – С. 144–153.
[9] Клейнер М. М., Ройтер А. В. Представления дифференциальных
градуированных категорий // Матричные задачи. - Киев: Ин-т
математики АН УССР. – 1977. – С. 5–70.
[10] Дрозд Ю. А. О ручных и диких матричных задачах // Матричные
задачи. – Киев: Ин-т математики АН УССР. – 1977. – С. 104–114.
[11] Дрозд Ю. А. Ручные и дикие матричные задачи // Представления
и квадратичные формы. – Киев: Ин-т математики АН УССР. –
1979. – С. 39–74.
56 В.М. Бондаренко, Е.Н. Тертичная
[12] Назарова Л. А. Представления колчанов бесконечного типа //
Изв. АН СССР. – 1973. – 37, № 4. – С. 752–791.
[13] Donovan P., Freislich M. R. The representation theory of finite graphs
and associated algebras // Carleton Lecture Notes. – 1973. – № 5. –
P. 3–86.
[14] Бондаренко В. М. Зображення гельфандових графiв // Видавниц-
тво Iн-ту математики НАН України, Київ, 2005. – 228 с.
[15] Назарова Л. А. Представления четвериады // Изв. АН СССР. –
1967. – 31, № 6. – С. 1361–1378.
[16] Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. // М: Наука, 1966. – 576 с.
[17] Добровольская Н. М., Пономарев В. А. Пара встречных операто-
ров // УМН. – 1965. – 20 (126), вып. 6. – C. 81–86.
[18] Бондаренко В. М. Представления связок полуцепных множеств и
их приложения // Алгебра и анализ. – 1991. – 3, вып. 5. – С. 38–61.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-6 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Russian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:02:01Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/48/1e61d458aaa7a48d627c0fd07c6c7548.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-62018-01-23T09:53:12Z Linear idempotent operators on finite-dimensional vector spaces Линейные идемпотентные операторы в конечномерных векторных пространствах Bondarenko, V. M. Tertichnaia, E. N. Бондаренко, В. М. Тертичная, Е. Н. Бондаренко, В. М. Тертичная, Е. Н. In this paper we consider the problem on similarity of families of linear idempotent operators in finite-dimensional vector spaces. В этой статье рассматривается задача о подобии наборов линейных идемпотентных операторов, действующих в конечномерных векторных пространствах. Інститут математики НАН України 2015-05-05 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/6 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 12 No. 1 (2015): Spectral theory of operators and of collections of operators; 22-56 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 12 № 1 (2015): Спектральна теорія операторів та наборів операторів; 22-56 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 12 № 1 (2015): Спектральна теорія операторів та наборів операторів; 22-56 3083-7529 1815-2910 ru https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/6/4 |
| spellingShingle | Bondarenko, V. M. Tertichnaia, E. N. Бондаренко, В. М. Тертичная, Е. Н. Бондаренко, В. М. Тертичная, Е. Н. Linear idempotent operators on finite-dimensional vector spaces |
| title | Linear idempotent operators on finite-dimensional vector spaces |
| title_alt | Линейные идемпотентные операторы в конечномерных векторных пространствах |
| title_full | Linear idempotent operators on finite-dimensional vector spaces |
| title_fullStr | Linear idempotent operators on finite-dimensional vector spaces |
| title_full_unstemmed | Linear idempotent operators on finite-dimensional vector spaces |
| title_short | Linear idempotent operators on finite-dimensional vector spaces |
| title_sort | linear idempotent operators on finite-dimensional vector spaces |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/6 |
| work_keys_str_mv | AT bondarenkovm linearidempotentoperatorsonfinitedimensionalvectorspaces AT tertichnaiaen linearidempotentoperatorsonfinitedimensionalvectorspaces AT bondarenkovm linearidempotentoperatorsonfinitedimensionalvectorspaces AT tertičnaâen linearidempotentoperatorsonfinitedimensionalvectorspaces AT bondarenkovm linearidempotentoperatorsonfinitedimensionalvectorspaces AT tertičnaâen linearidempotentoperatorsonfinitedimensionalvectorspaces AT bondarenkovm linejnyeidempotentnyeoperatoryvkonečnomernyhvektornyhprostranstvah AT tertichnaiaen linejnyeidempotentnyeoperatoryvkonečnomernyhvektornyhprostranstvah AT bondarenkovm linejnyeidempotentnyeoperatoryvkonečnomernyhvektornyhprostranstvah AT tertičnaâen linejnyeidempotentnyeoperatoryvkonečnomernyhvektornyhprostranstvah AT bondarenkovm linejnyeidempotentnyeoperatoryvkonečnomernyhvektornyhprostranstvah AT tertičnaâen linejnyeidempotentnyeoperatoryvkonečnomernyhvektornyhprostranstvah |