Mean value theorem
The mean value theorem for holomorphic function was proved. The statement of this theorem allows to define the domain of application
Saved in:
| Date: | 2014 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2014
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/76 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552606790844416 |
|---|---|
| author | Radzievskaya, E. I. Радзиевская, Е. И. |
| author_facet | Radzievskaya, E. I. Радзиевская, Е. И. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "",
"institution": "Национальный университет пищевых технологий"
}
] |
| author_sort | Radzievskaya, E. I. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-29T14:44:04Z |
| description | The mean value theorem for holomorphic function was proved. The statement of this theorem allows to define the domain of application |
| first_indexed | 2026-08-04T01:02:07Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2014, Т. 11, № 3, 189–195
УДК 517.547.3+519.652
Е. И. Радзиевская (Национальный университет пищевых технологий,
Киев)
ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ
The mean value theorem for holomorphic function was proved. The statement
of this theorem allows to define the domain of application.
Доказывается теорема о среднем для голоморфной функции, из форму-
лировки которой можно определить область ее применения.
Классическая теорема о среднем значении для действительной
функции f(z), определенной на отрезке действительной оси [z0, z1],
утверждает, что если функция f непрерывна на [z0, z1] и дифферен-
цируема на интервале (z0, z1), то найдется такая точка, для которой
справедливо равенство
f(z1)− f(z0) = (z1 − z0)f ′(ξ). (1)
Этот результат распространяется на функции, определенные и диф-
ференцируемые в n-мерной выпуклой области эвклидова простран-
ства Ω, и принимающие действительные значения. В этом случае
справедливо равенство
f(z1)− f(z0) = Df ′(ξ)(z1 − z0) = (gradf(ξ), z1 − z0). (2)
Здесь ξ лежит на отрезке, соединяющем точки z0 и z1 При n = 1 этот
результат совпадает с формулой (1), а при n = 2 дает распростра-
нение теоремы о среднем на функции, определенные в комплексной
плоскости и принимающие действительные значения.
Ситуация изменяется, если значения функции могут быть ком-
плексными. В этом легко убедиться на простом примере. Пусть
f(z) = eiz и z1 = z0 + 2π. Тогда левая часть в (1) равна нулю, а
правая отлична от нуля, каково бы ни было ξ из C. Кроме того, в [1]
(гл. 3, пример 9) показано, что для f(z) = eiz и произвольных веще-
ственных z0 и z1, z0 6= z1 не существует вещественного ξ, для кото-
рого выполняется равенство (1). Тем не менее в [2] доказана теорема
(дополняющая теорему 10 из [3]), гарантирующая существование
c© Е. И. Радзиевская, 2014
190 Е.И. Радзиевская
хотя бы одного ξ из круга U(z0; |z1 − z0|), для которого справедлива
формула (1), если только z1 достаточно близко расположено к z0
и z1 6= z0, причем в случае f ′′(z0) 6= 0 это ξ можно выбрать уже
из круга U((z1 + z0)/2; |z1 − z0|/2) (см. случай 1 в доказательстве
теоремы из [2]). Этот результат был уточнен в [4], где снято условие
f ′′(z0) 6= 0 для локализации ξ в круге U((z1 + z0)/2; |z1 − z0|/2) для
формулы (1).
Отметим, что в упомянутых здесь результатах устанавливается
справедливость формулы (1) для голоморфной функции, т.е. суще-
ствования среднего значения ξ, при этом предполагается достаточ-
ная близость точек z0 и z1. Определение области применения тео-
ремы о среднем для конкретных функций получить из формулиро-
вок этих теорем невозможно. Такая попытка была сделана в рабо-
те [5]. При значительных ограничениях было установлено, как близ-
ко должны располагаться z0 и z1, чтобы равенство (1) выполнялось.
Результаты работы [6] обобщают и уточняют утверждения из [2] и
[4], а также позволяют определить область применения теоремы о
среднем для конкретных голоморфных функций без всех ограни-
чений теоремы 3 работы [5]. Но из-за общности формулировок тео-
рем работы [6] их затруднительно использовать для сравнения с уже
известными результатами. Поэтому докажем аналог теоремы рабо-
ты [6] для частного случая и покажем на примере функции eiz, что
используя этот результат, можно значительно расширить область
применения теоремы о среднем.
Введем обозначения, используемые в работе. Как обычно, R, Z
и N множества вещественных, целых и целых положительных (на-
туральных) чисел соответственно. Везде далее f голоморфная в об-
ласти D комплексной плоскости C функция, ∂D граница D, а D
замыкание D. Через U(α; r) =
{
z ∈ C, |z−α| < r
}
обозначен откры-
тый круг с центром в точке α и радиуса r > 0. Считаем, что точки
z0 и z1 принадлежат области D.
Теорема 1. Пусть f — голоморфная в области D функция не яв-
ляющаяся линейной, точки z0 и z1 не совпадают, а замыкание круга
U((z1 + z0)/2; |z1 − z0|/2) принадлежит D. Предположим, что s —
наименьшее из натуральных чисел, удовлетворяющих требованию
f (s+1)((z1 + z0)/2) 6= 0, и
Теорема о среднем 191
|z1 − z0|
(
sup
ζ∈U((z1+z0)/2; |z1−z0|/2)
|f (s+2)(ζ)|
)
<
<
s+ 2
s+ 3
(2s+ 1− (−1)s)|f (s+1)((z1 + z0)/2)|. (3)
Тогда в круге U((z1+z0)/2; |z1−z0|/2) найдется, по крайней мере
одно, но не более s, различных ξ, для которых справедлива форму-
ла (1).
Доказательство. Поскольку
f(z1)− f(z0) =
∫
[z0;z1]
f ′(τ)dτ,
то утверждение теоремы равносильно тому, что функция F , задан-
ная равенством
F (z) := f ′(z)− 1
(z1 − z0)
∫
[z0;z1]
f ′(τ)dτ,
имеет, по крайней мере один, но не более s, различных нулей в круге
U((z1 + z0)/2; |z1 − z0|/2).
Далее, для краткости, положим
α := (z1 + z0)/2
и введем две функции
F1(z) := f ′(z)− f ′(α), (4)
F2(z) := f ′(z)− f ′(α)− (z − α)s
s!
f (s+1)(α), (5)
и также два числа
c := − 1
2(z1 − α)
∫
[z0;z1]
F2(τ)dτ, (6)
192 Е.И. Радзиевская
cs := − 1
s!2(z1 − α)
∫
[z0;z1]
(τ − α)sdτ. (7)
Одним из основных моментов доказательства теоремы является
представление
F = F1 + c+ csf
(s+1)(α),
которое доказывается непосредственной проверкой.
Так как при s > 1 справедливы равенства f (2)(α) = ... = f (s)(α) =
= 0, то функция F2 совпадает с остаточным членом в формуле Тей-
лора Qs+1(z0; z1; f ′), записанным для функции f ′.
Используя интегральную форму остаточного члена и предполо-
жив принадлежность z замыканию круга U((α); |z1−z0|/2), получим
|F2(z)| = 1
s!
∣∣∣∣ ∫
[α;z]
f (s+2)(τ)(z − τ)sdτ
∣∣∣∣ ≤
≤ |z − α|
s+1
(s+ 1)!
(
sup
ζ∈U(α; |z1−z0|/2)
|f (s+2)(ζ)|
)
, z ∈ U(α; |z1 − z0|/2). (8)
Из этой оценки, определений (5) и (6) функций F1 и F2 следуют
соотношения
|F1(z)| ≥ |z − α|
s
s!
|f (s+2(α)| − |F2(z)| ≥
≥ |z − α|
s
s!
|f (s+2(α)|−
−|z − α|
s+1
(s+ 1)!
sup
ζ∈U(α; |z1−z0|/2)
|f (s+2(ζ)|, z ∈ U(α; |z1 − z0|/2). (9)
Покажем теперь, что у функции F1 в круге U(α; |z1−z0|/2) имеет-
ся один s — кратный ноль в точке α. Действительно, так как первым
отличным от нуля членом в разложении функции F1 в ряд Тейлора
в точке α является
(z − α)s
s!
f (s+1)(α),
Теорема о среднем 193
то α будет s — кратным нулем F1. Покажем, что в круге
U(α; |z1 − z0|/2) других нулей у F1 нет. Воспользовавшись очевид-
ной оценкой
|z − α| ≤ |z1 − z0|/2
для z ∈ U(α; |z1 − z0|/2), неравенством
2(s+ 1) >
s+ 2
s+ 3
(2s+ 1− (−1)s)
при s ∈ N, условием (4) и соотношениями (9), получим, что F1 6= 0
при s 6= α и z ∈ U(α; |z1 − z0|/2).
Оценим теперь модуль числа c и найдем выражение для числа
cs, заданных равенствами (6) и (7).
Из определения (6) числа c и оценки (8) имеем
|c| ≤ 1
(s+ 1)!2|z1 − α|
(
sup
ζ∈U(α; |z1−z0|/2)
|f (s+2)(ζ)|
)
|I|,
где интеграл
I =
∫
[z0;z1]
|(τ − α)s+1|dτ.
Делая замену
τ = α+ (z1 − α)t,
заключаем
I = (z1 − α)s+2
1∫
−1
|t|s+1dt =
2(z1 − α)s+2
s+ 2
,
а значит,
|c| ≤ |z1 − α|
s+1
(s+ 2)!
(
sup
ζ∈U(α; |z1−z0|/2)
|f (s+2)(ζ)|
)
. (10)
Аналогично вычислению интеграла I вычисляется число cs, за-
данное формулой (7). Получаем
cs =
(z1 − α)s
(s+ 1)!2
(1 + (−1)s). (11)
194 Е.И. Радзиевская
Теперь оценка
|F1(z)| > |c|+ |csf (s+1)(α)|
при z ∈ ∂U(α; |z1 − z0|/2) вытекает после простых преобразований
из условия (3) теоремы, неравенства (9) при z ∈ ∂U(α; |z1 − z0|/2),
соотношений (10) и (11). При этом используются очевидные равен-
ства
|z − α| = |z1 − α| = |z1 − z0|/2
при z ∈ ∂U(α; |z1 − z0|/2). Тем самым,
|F1(z)| > |c+ csf
(s+1)(α)|
при z ∈ ∂U(α; |z1 − z0|/2). Отсюда, на основании представления
F = F1 + c+ csf
(s+1)(α),
и теоремы Руше, у функций F1 + c + csf
(s+1)(α) и F1 в круге
U(α; |z1 − z0|/2) равное (с учетом кратностей) количество нулей. Но,
как уже было показано, у функции F1 в этом круге имеется лишь
один s-кратный ноль α. Это и доказывает теорему.
Замечание. В теореме предполагается, что функция f не явля-
ется линейной. Это требование необходимо для утверждения един-
ственности ξ или установления их количества, поскольку в против-
ном случае формула(1) справедлива при произвольном ξ.
Пример. Если положить в теореме f(z) = ez и обозначить
|z1 − z0| = d, то условие теоремы (3) запишется в виде
ded/2 < 3,
и как показывают вычисления d > 1, 451.
Отметим, что в работе [2] справедливость теоремы о среднем для
функции ez была установлена при значительно жестком требовании
|z1 − z0| < 0, 3 .
1. Гелбаум Б., Олмстед Дж. Контрпримеры в анализе. М.: Мир, 1967.
2. Robertson J.M. A local mean value theorem for the complex plane // Proc.
Edinburg Math. Soc. — 1969. — 16, № 4. — P. 329 – 331.
Теорема о среднем 195
3. McLeod R.M. Mean value theorems for vector valued function // Proc.
Edinburgh Math. Soc. — 1965. — 14, № 3. — P. 197 – 209.
4. Samuelsson A. A local mean value theorem for analytic function // Amer.
Math. Monthly. — 1973. — 80, № 1. — P. 45 – 46.
5. Qazi M.A.The mean value theorem and analytic functions of a complex
variable // J. Math. Anal. Appl. — 2006. — 324, № 1. — P. 30 – 38.
6. Радзиевская Е.И.,Радзиевский Г.В. Для голоморфной в области функции
остаточный член в формуле Тейлора допускает запись в форме Лагран-
жа // Сиб. мат. журн. — 2003. — 44, № 2. — С. 403—414.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-76 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Russian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:02:07Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/29/08ae1bc7c207b9377ce110a8cf969529.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-762018-01-29T14:44:04Z Mean value theorem Теорема о среднем Теорема о среднем Radzievskaya, E. I. Радзиевская, Е. И. The mean value theorem for holomorphic function was proved. The statement of this theorem allows to define the domain of application Доказывается теорема о среднем для голоморфной функции, из формулировки которой можно определить область ее применения Інститут математики НАН України 2014-06-24 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/76 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 11 No. 3 (2014): Approximation Theory of Functions and Related Problems; 189-195 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 11 № 3 (2014): Tеорiя наближення функцiй та сумiжнi питання; 189-195 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 11 № 3 (2014): Tеорiя наближення функцiй та сумiжнi питання; 189-195 3083-7529 1815-2910 ru https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/76/77 |
| spellingShingle | Radzievskaya, E. I. Радзиевская, Е. И. Mean value theorem |
| title | Mean value theorem |
| title_alt | Теорема о среднем Теорема о среднем |
| title_full | Mean value theorem |
| title_fullStr | Mean value theorem |
| title_full_unstemmed | Mean value theorem |
| title_short | Mean value theorem |
| title_sort | mean value theorem |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/76 |
| work_keys_str_mv | AT radzievskayaei meanvaluetheorem AT radzievskaâei meanvaluetheorem AT radzievskayaei teoremaosrednem AT radzievskaâei teoremaosrednem |