Topological equivalence of pseudo-harmonic functions of general position in the plane

Topological classification of functions in the plane is considered. Using a generalization of the Cronrod-Reeb graph we give necessary and sufficient conditions when two pseudo-harmonic functions which have finite number of singular points and comply with an additional condition are topologically eq...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2015
Автори:	Sharko, V. V., Polulyakh, Ye. O., Soroka, Yu. Yu., Шарко, В. В., Полулях, Є. О., Сорока, Ю. Ю.
Формат:	Стаття
Мова:	Українська
Опубліковано:	Інститут математики НАН України 2015
Онлайн доступ:	https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/86
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine
Завантажити файл:

Репозитарії

Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine

_version_	1872552621109149696
author	Sharko, V. V. Polulyakh, Ye. O. Soroka, Yu. Yu. Шарко, В. В. Полулях, Є. О. Сорока, Ю. Ю.
author_facet	Sharko, V. V. Polulyakh, Ye. O. Soroka, Yu. Yu. Шарко, В. В. Полулях, Є. О. Сорока, Ю. Ю.
author_institution_txt_mv	[ { "author": "В. В. Шарко", "institution": "Інститут математики НАН України" }, { "author": "Є. О. Полулях", "institution": "Інститут математики НАН України" }, { "author": "Ю. Ю. Сорока", "institution": "Інститут математики НАН України" } ]
author_sort	Sharko, V. V.
baseUrl_str	https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai
collection	OJS
datestamp_date	2018-01-23T11:58:55Z
description	Topological classification of functions in the plane is considered. Using a generalization of the Cronrod-Reeb graph we give necessary and sufficient conditions when two pseudo-harmonic functions which have finite number of singular points and comply with an additional condition are topologically equivalent.
first_indexed	2026-08-04T01:02:20Z
format	Article
fulltext	Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2015, т.12, №6, 7-47 УДК 515.162, 517.51, 517.27 В. В. Шарко , Є. О. Полулях Iнститут математики НАН України, Київ polulyah@imath.kiev.ua Ю. Ю. Сорока Київський нацiональний унiверситет iменi Тараса Шевченка soroka_yulya@ukr.net Про топологiчну еквiвалентнiсть псевдо-гармонiчних функцiй загального положення на площинi Topological classification of functions in the plane is considered. Using a generalization of the Cronrod-Reeb graph we give necessary and suf- ficient conditions when two pseudo-harmonic functions which have finite number of singular points and comply with an additional condition are topologically equivalent. Розглянуто питання топологiчної класифiкацiї функцiй на площинi. Використовуючи узагальнення графу Кронрода-Рiба дано необхiднi i достатнi умови, коли двi псевдо-гармонiчнi функцiї загального поло- ження, якi мають скiнчену кiлькiсть сингулярних точок i вiдповiдають певнiй додатковiй умовi, будуть топологiчно еквiвалентними. 1. Вступ У роботi дослiджується питання розрiзнення неперервних функцiй на площинi з точнiстю до орiєнтованої топологiчної еквiвалентностi. У такiй загальнiй постановцi ця задача дуже складна, тому ми обмежуємось класом функцiй, множини рiвня яких локаль- но мають просту будову — псевдо-гармонiчними функцiями. © В. В. Шарко , Є. О. Полулях, Ю. Ю. Сорока, 2015 8 В. В. Шарко , Є. О. Полулях, Ю. Ю. Сорока Нагадаємо, що функцiя на площинi називається псевдо-гар- монiчною, якщо локально в околi кожної точки областi визна- чення вона топологiчно еквiвалентна до Re zn у деякому околi початку координат на комплекснiй площинi (n ∈ N залежить вiд точки). Ми розглядаємо псевдо-гармонiчнi функцiї загального поло- ження (рiзнi сингулярнi точки знаходяться на рiзних множи- нах рiвня), якi до того ж мають скiнчену кiлькiсть сингулярних точок. У якостi основи для побудови iнварiанту, який розрiзняє та- кi функцiї, ми беремо так званий граф Кронрода-Рiба функцiї ΓK−R(f) i надiляємо його додатковою комбiнаторною структу- рою. Вiдомо, що на компактних поверхнях графи Кронрода-Рi- ба функцiй з простою локальною будовою (наприклад, фун- кцiй Морса, або бiльш загально — гладких функцiй з iзольова- ними особливостями) є топологiчними графами. Ситуацiя кар- динально мiняється при переходi до некомпактних поверхонь — вiдомi приклади гладких функцiй без особливостей на площинi, для яких топологiчний простiр ΓK−R(f) навiть не є Хаусдор- фовим (див. [1]). У зв’язку з цим нам приходиться ще бiльше обмежувати клас функцiй, який ми розглядаємо i вводити додаткову технiчну умову, яка гарантує, що ΓK−R(f) є “майже топологiчним гра- фом” (ми називаємо такi об’єкти графами з черешками). Не дивлячись на такi значнi обмеження, ми отримуємо до- волi широкий i цiкавий клас функцiй. Зупинимося на цьому докладнiше. Нехай M2 — двовимiрна поверхня, f — гладка функцiя на нiй з iзольованими критичними точками. Якщо x ∈ M2 — регулярна точка f , то за теоремою про ранг (див. [2]) iснує дифеоморфiзм деякого околу Ux точки x на окiл початку координат в R2, який вiдображає компоненти пе- ретинiв множин рiвня f с Ux у множини рiвня координатної проекцiї pr1 : R2 → R, pr1 : (x1, x2) �→ x1. Про топологiчну еквiвалентнiсть . . . 9 Вiдома така теорема (див. [3,4]): для кожної iзольованої кри- тичної точки x0 (окрiм локальних екстремумiв) функцiї f ∈ C3(M2,R) iснує окiл, у якому функцiя топологiчно еквiвален- тна до Re zk для деякого k ∈ N. Отже, кожна функцiя f ∈ C3(M2,R), яка не має локаль- них екстремумiв i всi критичнi точки якої iзольованi, є псевдо- гармонiчною. Скажемо декiлька слiв про структуру роботи i ї ї основний результат. У роздiлах 2 i 3 ми визначаємо клас функцiй, який ми ви- вчаємо, i означаємо поняття графа Кронрода-Рiба. Додаткова структура на графi Кронрода-Рiба включає орi- єнтацiю його ребер i частковий порядок на множинi вершин, якi породженi напрямком зростання функцiї f . Цим поняттям присвячений роздiл 4. Iншою складовою додаткової структури на ΓK−R(f) є спiн у вершинах цього графа. Спiном у вершинi називається вибра- ний певним чином цикл ребер, якi їй iнцидентнi. Означенню цих понять i дослiдженню властивостей спiна присвяченi роз- дiли 5–7. У роздiлi 8 означенi поняття навантаженого i слабо наван- таженого графiв Кронрода-Рiба, а також поняття їх еквiва- лентностi . Крiм того ми означаємо поняття орiєнтованої по- шарової еквiвалентностi функцiй f i g, бiльш слабке, нiж їх орiєнтована топологiчна еквiвалентнiсть. Нарештi, роздiли 9 та 10 присвяченi доведенню наступного основного результату даної роботи. Теорема 1.1. Нехай f, g : R2 → R— функцiї загального поло- ження, що задовольняють умови �. Функцiї f i g є орiєнтовано пошарово еквiвалентними тодi i тiльки тодi, коли слабо навантажений граф Кронрода-Рiба функцiї f еквiвалентний слабо навантаженому графу однiєї з функцiй g або −g. 10 В. В. Шарко , Є. О. Полулях, Ю. Ю. Сорока Функцiї f i g є орiєнтовано топологiчно еквiвалентними тодi i тiльки тодi, коли їх навантаженi графи Кронрода-Рiба є еквiвалентними. Далi ми будемо позначати через A i FrA замикання i межу множини A, вiдповiдно. 2. Умови � i функцiї загального положення Нехай V1, V2 — областi на площинi. Нагадаємо, що неперервнi функцiї g1 : V1 → R та g2 : V2 → R називаються топологiчно еквiвалентними, якщо для деяких гомеоморфiзмiв h : V1 → V2 та h� : R → R виконується рiвнiсть h� ◦ g1 = g2 ◦ h. Функцiї g1 та g2 орiєнтовано топологiчно еквiвалентнi , якщо додатково гомеоморфiзми h та h� зберiгають орiєнтацiю. Нехай f : R2 → R неперервна функцiя, яка задовольняє на- ступним умовам, якi позначимо �. a) Для кожного x ∈ R2 в околi точки x функцiя f тополо- гiчно еквiвалентна до Re zn, n ∈ N, в околi початку координат (якщо n = 1, тодi точку x називатимемо регулярною точкою; якщо n > 1, тодi x називатимемо сингулярною точкою). б) Число сингулярних точок функцiї f є скiнченним. в) Нехай для a ∈ R, точки x1, x2 ∈ R2 належать рiзним компонентам множини рiвня f−1(a). Тодi знайдуться вiдкритi околи U1 � x1 i U2 � x2, такi, що для кожного b ∈ R i ком- поненти Fb множини рiвня f−1(b) виконується спiввiдношення (Fb ∩ U1 = ∅) ∨ (Fb ∩ U2 = ∅). Означення 2.1. Скажемо, що f : R2 → R є функцiєю за- гального положення, якщо на кожнiй множинi рiвня мi- ститься не бiльше однiєї сингулярної точки. 3. Простiр Кронрода-Рiба функцiї f Розглянемо розбиття площини, елементами якого є компо- ненти множин рiвня f . Елементи розбиття, якi мiстять сингу- лярнi точки, назвемо сингулярними. Всi iншi компоненти мно- жин рiвня будемо називати регулярними. Про топологiчну еквiвалентнiсть . . . 11 Фактор-простiр ΓK−R(f) площини по вказаному розбиттю називається простором Кронрода-Рiба функцiї f . Позначимо через πf : R2 → ΓK−R(f) вiдображення проекцiї. З того, що f вiдображає елементи розбиття на компоненти своїх множин рiвня в точки R, випливає (див. [5]), що непе- рервне фактор-вiдображення fK−R : ΓK−R(f) → R, таке, що f = fK−R ◦ πf . Нагадаємо деякi означення i конструкцiї (див. [1]). Скажемо, що граф скiнчений, якщо множини його вершин i ребер є скiнченими. Граф локально-скiнчений, якщо кожна йо- го вершина iнцидентна скiнченiй кiлькостi ребер. Для локально- скiнченого графа кiлькiсть ребер, яким iнцидентна вершина, називається порядком вершини. Петлею є ребро графа, кiнцi котрого збiгаються. Листками називаються вершини порядку один. Нехай G є локально-скiнчений (не обов’язково скiнчений) граф без петель. Розглянемо G як одновимiрний предсимплiцi- альний комплекс, нульвимiрними симплексами котрого є вер- шини, а одновимiрними є ребра (див. [6]). Вiдмiтимо, що граф, який не мiстить кратних ребер, є симплiцiальним комплексом. Розглянемо абстрактний полiедр \|G\|, що вiдповiдає цьому ком- плексу. Топологiя на \|G\| породжується покриттям, яке складає- ться з замкнених симплексiв комплексу G (пiдмножина A ⊂ \|G\| є замкненою тодi й тiльки тодi, коли її перетин з кожним ре- бром G є замкненим). Далi говорячи про топологiю на графi G ми будемо мати на увазi топологiчний простiр \|G\|. Граф G, на якому задана описана вище структура тополо- гiчного простору, називається топологiчним графом. Далi ми будемо розглядати тiльки такi графи. Замкненим ребром G будемо називати вiдповiдний замкне- ний одновимiрний симплекс, а вiдкритим ребром — вiдкритий симплекс (ребро без вершин, якi є його кiнцями). Нехай V0 є пiдмножиною множини листкiв Vl графа G (ви- падок V0 = ∅ ми не виключаємо). 12 В. В. Шарко , Є. О. Полулях, Ю. Ю. Сорока Нехай e ⊂ G— (замкнене) ребро G, iнцидентне деякому лис- тку з V0. Множину e \ V0 назвемо черешком. Простiр G0 = G \ V0 називається топологiчним графом з черешками. Позначимо через Σf i Kf множину сингулярних точок i об’єднання сингу- лярних компонент множин рiвня f . Число a ∈ f(R2) називає- ться сингулярним значенням функцiї f , якщо f−1(a)∩Σf �= ∅. Зауваження 3.1. Нехай x ∈ R2, Fx — компонента множини рiвня f , яка мiстить x. Оскiльки множина Fx ⊂ f−1(f(x)) зв’я- зна (див. [7]), то Fx = Fx. З умов � слiдує, що множина Kf є незв’язним об’єднанням скiнченої кiлькостi замкнених сингулярних компонент множин рiвня f . Тому множина Kf \ Fx замкнена i x має окiл, який не перетинається з цiєю множиною. З пунктiв а)-в) умови � i з [1, теорема 1], випливає таке твердження. Теорема 3.2. Простiр Кронрода-Рiба функцiї f : R2 → R1, що задовольняє умову � є графом з черешками, множина вершин якого збiгається з множиною πf (Kf ). Замкненi ребра ΓK−R(f) є образами замикання компонент множини R2 \Kf , черешки є образами замикання компонент R2 \Kf , що мають зв’язну межу. Зауваження 3.3. За означенням, граф ΓK−R(f)— локально- скiнчений, а тому з попереднього зауваження i теореми 3.2 слi- дує, що цей граф скiнчений, коли f вiдповiдає умовам �. 4. Орiєнтацiя ребер графа Кронрода-Рiба i вiдношення порядку на його вершинах, що iндукованi f Нехай f є функцiєю загального положення. Помiтимо, що на ребрах графу ΓK−R(f) функцiя fK−R є строго монотонною. Дiйсно, у противному випадку на деякому вiдкритому ре- брi e функцiя fK−R мала б (нестрогий) локальний екстремум. Внаслiдок цього обмеження f \|π−1(e) мало б у деякiй точцi x Про топологiчну еквiвалентнiсть . . . 13 вiдкритої множини π−1(e) локальний екстремум. Отже, f теж мала б локальний екстремум у точцi x. А це неможливо, оскiль- ки за умовою � у деякому околi точки x функцiя f топологiчно еквiвалентна до Re zn в околi початку координат для певного n ∈ N. А точка 0 очевидно не є локальним екстремумом Re zn нi при якому n ∈ N. Отже, на кожному ребрi графу ΓK−R(f) визначений напря- мок зростання fK−R i функцiя f iндукує орiєнтацiю на ΓK−R(f). На множинi вершин ΓK−R(f) можна ввести декiлька рiзних вiдношень строгого часткового порядку, пов’язаних з f . Означимо порядок P1(f), поклавши v1 < v2 тодi i лише тодi, коли fK−R(v1) < fK−R(v2), де v1, v2 – вершини на графi. З озна- чення 2.1 слiдує, що fK−R(v1) �= fK−R(v2) при v1 �= v2. Тому для функцiй загального положення порядок P1(f) є лiнiйним. Зрозумiло, що порядок P1(f) узгоджений з орiєнтацiєю на ΓK−R(f) у наступному сенсi. Якщо вершини v1 та v2 є вiдпо- вiдно початком i кiнцем орiєнтованого ребра e, то v1 < v2. Частковий порядок P2(f) на множинi вершин ΓK−R(f) ви- значимо наступним чином. Скажемо, що вершина v1 передує v2, якщо iснує орiєнтований шлях, для якого вершина v1 є по- чатком, а v2 — кiнцем. Вiдмiтимо, що порядок P2(f) є слабшим за P1(f), оскiльки ΓK−R(f) може мiстити вершини, якi не можна з’єднати за до- помогою орiєнтованого шляху. Нехай f є функцiєю загального положення, ΓK−R(f)— ї ї про- стiр Кронрода-Рiба. З огляду на теорему 3.2 ми будемо назива- ти ΓK−R(f) орiєнтованим графом з черешками Кронрода-Рiба функцiї f , або скорочено графом Кронрода-Рiба функцiї f . 5. Означення циклу Для того, щоб означити додаткову структуру на графах Крон- рода-Рiба, нам буде потрiбне поняття циклу елементiв множи- ни. Отже, нехай A— деяка множина, A∞ — множина всiх скiнче- них послiдовностей елементiв A. Нехай h— розбиття множини 14 В. В. Шарко , Є. О. Полулях, Ю. Ю. Сорока A∞, породжене вiдношенням �a1, a2, . . . , ar� ∼ �a2, . . . , ar, a1� , �a1, . . . , ar� ∈ A∞ . Елементи фактор-множини Â = A/h будемо називати циклами на A. Нехай p : A → Â— проекцiя. Позначимо (a1, . . . , ar) = p (�a1, . . . , ar�) , �a1, . . . , ar� ∈ A∞. Якщо p (�b1, . . . , br�) = (a1, . . . , ar), назвемо послiдовнiсть �b1, . . . , br� представником циклу (a1, . . . , ar). Елементи ai, ai+1 ∈ A послiдовностi �a1, . . . , ar� будемо нази- вати сусiднiми, i ∈ {1, . . . , r − 1}. Назвемо сусiднiми елементи ai, ai+1 ∈ A циклу (a1, . . . , ar), i ∈ {1, . . . , r − 1}, а також елементи ar та a1. 6. Спiн Нехай x ∈ R2 є сингулярною точкою функцiї f загального положення. Нехай Fx � x— вiдповiдна компонента сингулярної множини рiвня f . Зафiксуємо окiл U ⊂ Fx ∩ (R2 \ Kf ) точки x (див. зауваження 3.1) та гомеоморфiзми h : U → h(U) ⊂ C, h� : R → R, якi зберiгають орiєнтацiю i такi що виконуються рiвностi h(x) = 0 та h� ◦ f = Re zn ◦ h для деякого n ≥ 2. Нехай V = h(U). Позначимо Zn = {z ∈ C \| Re zn = 0} = {z ∈ C \| arg z = πk n , k ∈ Z} . З означень слiдує, що h(f−1(f(x))) = Zn ∩ h(U). Iснує ε > 0, для якого Uε(0) = {z ∈ C \| \|z\| < ε} ⊂ V . Множи- на Uε(0)\Zn розпадається на 2n областей V1, . . . , V2n. Прообраз V̂s = h−1(Vs) кожної з них є зв’язною пiдмножиною доповнення R2 \ Kf в силу вибору U i h. Тому згiдно з теоремою 3.2 для кожного s = 1, . . . , 2n iснує ребро es графа ΓK−R(f), таке, що V̂s ⊂ π−1(es). Про топологiчну еквiвалентнiсть . . . 15 Отже, послiдовностi областей �V1, . . . , V2n� вiдповiдає послi- довнiсть �e1, . . . , e2n� ребер графа Кронрода-Рiба, а тому i цикл ребер (e1, . . . , e2n). Означення 6.1. Нехай iндекси областей V1, . . . , V2n збiльшу- ються вiд 1 до 2n при обходi навколо початку координат у додатному напрямi, який визначається орiєнтацiєю площини C. Назвемо вiдповiдний їм цикл спiном у вершинi v = πf (x) графа Кронрода-Рiба ΓK−R(f) i позначимо його �v. Твердження 6.2. Означення спiна коректне. Доведення зводиться до легкої безпосередньої перевiрки. Означення 6.3 (див. [8]). Нехай у деякому околi сингулярної точки x ∈ R2 функцiя f топологiчно еквiвалентна до Re zn, n > 1, в околi початку координат. Число n − 1 називається кратнiстю сингулярної точки x. 7. Властивостi спiна Твердження 7.1. Нехай f є функцiєю загального положення, що задовольняє умови �. Тодi кожна сингулярна компонента множини рiвня функцiї f є об’єднанням сингулярної точки f кратностi n − 1, (n > 1— деяке число, яке залежить вiд компоненти), i 2n променiв, якi виходять з сингулярної точки i прямують до нескiнченностi. Доведення. Нехай F — сингулярна компонента зв’язностi мно- жини рiвня f . З означення функцiї загального положення слi- дує, що iснує єдина сингулярна точка x0 ∈ F . Розглянемо множину F0 = F \ {x0}. Нехай H — компонента зв’язностi цiєї множини. Перевiримо, що x0 ∈ H. За означенням H є замкненою пiд- множиною простору F0 в iндукованiй з R2 топологiї. Оскiль- ки F0 не мiстить iнших сингулярних точок, окрiм x0, то цей 16 В. В. Шарко , Є. О. Полулях, Ю. Ю. Сорока простiр є локально зв’язним (з умов � слiдує, що в околi ко- жної точки F0 локально гомеоморфний iнтервалу) i H є йо- го вiдкритою пiдмножиною. Нехай x0 /∈ H. З одного боку, H = H ∩F0 = H ∩F i H замкнена в F . З iншого боку, мно- жина F0 вiдкрита в F i H вiдкрита в F0 за припущенням. Тому множина H вiдкрита в F . Отже, H є вiдкрито-замкненою в F , що неможливо, оскiльки за означенням F є зв’язною множи- ною i H — ї ї власна пiдмножина. Отже, для кожної компоненти зв’язностi H множини F0 то- чка x0 мiститься в її замиканнi. Згiдно з лемою 1 з [1], H є або вкладеним у R2 вiдкритим iнтервалом, або колом. Якщо H гомеоморфна колу, то H є ком- пактом i H = H �� x0. Ми щойно довели, що таке неможливо. Отже, кожна компонента зв’язностi H множини F0 є гомеомор- фним образом iнтервалу. Згiдно з [1, зауваження 3 i лема 1] має виконуватися включе- ння H ⊂ H ∪ {x0}. По доведеному x0 ∈ H, отже H = H ∪ {x0}. Нехай α : R → R2 — вкладення, таке, що α(R) = H. Розгля- немо (див. [1]) множини L� = � τ∈R α(−∞,−τ) , L�� = � τ∈R α(τ,+∞) . Лема 3 з [1] стверджує, що кожна з цих множин або порожня, або збiгається з {x0}. Випадок L� = L�� = ∅ неможливий. Дiйсно, з одного боку, H ∪ L� ∪ L�� = H згiдно [1]. З iншого боку, ми встановили, що x0 ∈ H \H. Припустимо, що L� = L�� = {x0}. Тодi, як легко бачити, мно- жина H гомеоморфна колу. За теоремою Жордана, див. [7], це коло є межею вiдкритого диску W . Нехай D = W . Оскiльки D є компактом, то функцiя f \|D набуває у деяких точках мiнi- мальне i максимальне значення m та M , вiдповiдно. З умов � слiдує, що функцiя f не є постiйною на вiдкритiй множинi W , тому m �= M i одне з цих двох значень вiдрiзняється вiд f(x0). Про топологiчну еквiвалентнiсть . . . 17 Нехай m �= f(x0). Оскiльки H ⊂ F ⊂ f−1(f(x0)), то iснує то- чка x ∈ W , така, що f(x) = m. Тодi, очевидно, x є локальним мiнiмумом функцiї f . А це суперечить умовам �. Отже, одна з множин L�, L�� порожня, а iнша збiгається з {x0}. Внаслiдок цього множина H є променем, який виходить з т. x0 i прямує до нескiнченностi. Нехай n− 1— кратнiсть сингулярної точки x0. Тодi у деяко- му околi U точки x0 функцiя f топологiчно еквiвалентна до функцiї g(z) = Re zn в околi нуля. Нехай h : U → h(U) ⊂ C та h� : R → R такi гомеоморфiзми, що h(x0) = 0 та h� ◦ f = g ◦ h. Зменшуючи за необхiдностi окiл U , ми можемо вважати, що h(U) = Ua(0) = {z ∈ C \| \|z\| < a} для деякого a > 0. Не обмежуючи загальнiсть мiркувань, мо- жемо вважати, що h(U) = U1(0). Розглянемо множину F0 ∩ U = (F ∩ U) \ {x0} = h−1 ((Zn ∩ U1(0)) \ {0}) . Очевидно, вона має 2n компонент зв’язностi. Нехай зновуH є компонентою зв’язностi множини F0. Так як x0 ∈ H, то H перетинається принаймнi з однiєю компонентою зв’язностi множини F0 ∩ U . Припустимо, що H перетинається з двома рiзними компонентами цiєї множини у точках x� та x��, вiдповiдно. З вибору околу U слiдує, що множина F ∩ U лiнiйно зв’я- зна, тому iснує дуга R0 ⊂ F ∩ U з кiнцями у точках x� i x��. Зрозумiло, що x0 ∈ R0. З iншого боку, iснує дуга R1 ⊂ H, яка з’єднує точки x� i x��. Очевидно, x0 /∈ R1. Легко бачити, що разом дуги R0 i R1 утворюють коло S ⊂ F ⊂ f−1(f(x0)). Як було показано вище, у внутрiшностi диску, межею якого є S, має мiститись локальний екстремум функцiї f . Але це суперечить умовам �. Зрозумiло, що кожна компонента множини F0∩U має мiсти- тися у деякiй компонентi бiльшої множини F0. Отже H ∩ U — 18 В. В. Шарко , Є. О. Полулях, Ю. Ю. Сорока компонента зв’язностi множини F0 ∩ U i F0 має рiвно 2n ком- понент. � Наслiдок 7.2. Нехай x— сингулярна точка f , Fx — сингуляр- на компонента множини рiвня f , яка мiстить x, Q— компо- нента зв’язностi множини R2 \Kf . Якщо Q∩Fx �= ∅, то x ∈ Q. Нехай H — компонента зв’язностi множини Fx\{x}. Якщо Q∩H �= ∅, то H ⊂ Q. Доведення. НехайH — компонента зв’язностi множини Fx\{x}. З твердження 7.1 слiдує, що x ∈ H. Отже, перше твердження наслiдку слiдує з другого. Нехай x� ∈ Q∩H. Вiзьмемо деяке x�� ∈ H. Оскiльки множи- на H гомеоморфна iнтервалу внаслiдок твердження 7.1, то в нiй iснує пiдмножина R, яка гомеоморфна вiдрiзку i мiстить x� та x��. Користуючись компактнiстю множини R iз зауваже- ння 3.1 легко вивести, що iснує окiл U множини R, для якого виконується спiввiдношення U ∩Kf ⊂ H. З твердження 7.1 випливає, що H мiстить лише регулярнi точки f , тому до R можна застосувати твердження 2 з [1]. Отже, iснують такий окiл N множини R i такий гомеомор- фiзм h : N → [−1, 1]2, що h(N ∩Fx) = {0}× [−1, 1]. Зменшуючи окiл N , можна вважати, що N ⊂ U i h(N ∩Kf ) = {0} × [−1, 1]. Розглянемо множини W1 = (−1, 0)× (−1, 1), W2 = (0, 1)× (−1, 1), а також їх прообрази Vi = h−1(Wi), i = 1, 2. Зрозумiло, що множини V1 i V2 зв’язнi. Також за побудовою N ∩ (R2 \Kf ) = V1 ∪ V2. Так як x� ∈ N ∩ Q, тому N ∩ Q �= ∅. Оскiльки Q ⊂ R2 \Kf , то Q ∩ (V1 ∪ V2) �= ∅. Нехай Q ∩ V1 �= ∅. Множина V1 ⊂ R2 \ Kf зв’язна, а Q є компонентою зв’язностi R2 \ Kf тому V1 ⊂ Q. Зрозумiло, що x�� ⊂ R ⊂ V1 ⊂ Q. Аналогiчно, якщо Q ∩ V2 �= ∅, то x�� ⊂ V2 ⊂ Q. Про топологiчну еквiвалентнiсть . . . 19 Остаточно, H ⊂ Q внаслiдок довiльностi у виборi x�� ∈ H. Наслiдок доведено. � Твердження 7.3. Нехай f є функцiєю загального положення, що задовольняє умови �. Нехай сингулярна компонента F її множини рiвня мiстить сингулярну точку x0 кратностi n−1 для деякого n > 1. Тодi множинi F в ΓK−R(f) вiдповiдає вершина, якiй iнци- дентнi рiвно 2n ребер, n > 1. Причому для n з цих ребер вер- шина є початком, для iнших n ребер— кiнцем. Доведення. Нехай U — окiл т. x0, в якому f топологiчно еквi- валентна до функцiї Re zn в деякому околi 0. Нехай також h : U → h(U) ⊂ C i h� : R → R— вiдповiднi гомеоморфiзми. Не обмежуючи загальнiсть мiркувань (див. зауваження 3.1), будемо вважати, що U ∩ Kf ⊂ F i h(U) ⊃ U1(0). Покладемо D = h−1 � U1(0) � . Позначимо через V1, . . . , V2n компоненти зв’язностi множини U1(0) \ h(F ) = U1(0) \ Zn. Нехай Wi = h−1(Vi), i = 1, . . . , 2n. Зрозумiло, що всi Wi зв’язнi, лежать у R2 \ Kf i мiстять x0 у межi. Також з властивостей Re zn слiдує, що для половини iндексiв виконується спiввiдношення f(Wi) ⊂ (−∞, f(x0)), а для iншої половини f(Wi) ⊂ (f(x0),+∞). Нехай Qi — компонента зв’язностi множини R2\Kf , для якої Wi ⊂ Qi. З теореми 3.2 та з монотонностi f на ребрах ΓK−R(f) слiдує, що вершина v = πf (F ) є початком ребра ei = πf (Qi), якщо f(Wi) ⊂ (f(x0),+∞). Аналогiчно v є кiнцем ei, якщо f(Wi) ⊂ (−∞, f(x0)). Наслiдок 7.2 стверджує, що для кожної компоненти зв’язно- стi Q множини R2 \Kf , яка межує з множиною F , виконується спiввiдношення x0 ∈ Q. Оскiльки U ∩ (R2 \ Kf ) ⊂ �2n i=1Qi, то Q збiгається з однiєю з множин Q1, . . . , Q2n. Отже, вершинi v графа Кронрода-Рiба функцiї f iнцидентно не бiльше, нiж 2n ребер. Для завершення доведення нам залишається перевiрити, що Qi �= Qj при i �= j. 20 В. В. Шарко , Є. О. Полулях, Ю. Ю. Сорока Нехай це не так i Wi ∪Wj ⊂ Qi при деяких i �= j. Зафiксуємо xi ∈ Wi, xj ∈ Wj , i з’єднаємо їх у Qi простою не- перервною кривою γ : [0, 1] → Qi ⊂ R2. Це можливо, тому що вiдкрита зв’язна пiдмножина Qi площини є лiнiйно зв’язною. Вiдкритiсть Qi слiдує з наступних мiркувань. Множина R2\Kf вiдкрита в силу зауваження 3.1, тому всi ї ї компоненти зв’я- зностi теж вiдкритi, оскiльки простiр R2 є локально-зв’язним (див. [7]). Нехай xi = γ(0), xj = γ(1). Позначимо ti = sup{t ∈ [0, 1] \| γ(t) ∈ Wi}, tj = inf{t ∈ [ti, 1] \| γ(t) ∈ Wj} . За побудовою Wi ∩Wj ⊂ Kf , тому Wi ∩Wj ∩Qi = ∅ i ti < tj . Позначимо yi = γ(ti), yj = γ(tj). Не обмежуючи загальнiсть мiркувань, можемо вважати, що γ(t) /∈ D при t ∈ (ti, tj). Дiйсно, якщо γ(τ) ∈ D для деякого τ ∈ (ti, tj), то знайдеться k ∈ {1, . . . , 2n}, таке, що γ(τ) ∈ Wk. Оскiльки γ(τ) ∈ Wk ∩Qi, то з вiдкритостi множини Qi слiдує, що Wk ∩ Qi �= ∅, внаслiдок чого Wk ⊂ Qi. За побудовою k /∈ {i, j}, i замiсть пари областей Wi∪Wj ⊂ Qi можемо розглянути Wi ∪Wk ⊂ Qi. Нехай γ̃(t) = γ(ti + (tj − ti)t), t ∈ [0, 1]. За побудовою γ̃ — проста неперервна крива, γ̃(0) = yi, γ̃(1) = yj i γ̃(t) /∈ D при всiх t ∈ (0, 1). Нехай також γi i γj — прямолiнiйнi вiдрiзки, що з’єднують в U1(0) точку 0 з h(yi) та h(yj), вiдповiдно. Покла- демо γ̃i = h−1 ◦ γi, γ̃j = h−1 ◦ γj . Проходячи послiдовно кривi γ̃i, γ̃ та γ̃j , отримаємо просту замкнену криву µ, яка проходить через x0 i лежить у Qi за ви- ключенням цiєї точки. Нехай E — вiдкритий диск, межею якого є µ. Позначимо S = Fr(U1(0)) = {z ∈ C \| \|z\| = 1}, S̃ = h−1(S) = FrD. Про топологiчну еквiвалентнiсть . . . 21 Коло S̃ розбивається точками yi та yj на двi дуги S� та S��. Оскiльки x0 ∈ µ ∩ IntD �= ∅ i γ̃(1/2) ∈ µ ∩ (R2 \ D) �= ∅ за побудовою, то одна з цих дуг лежить в E, iнша не перетинає E. Нехай S� ⊂ E. Кiнцями цiєї дуги є точки yi ∈ W i ∩Qi та yj ∈ W j ∩Qi. Точки h(yi) та h(yj) мiстяться в рiзних секторах множини U1(0) \Zn. З виду функцiї Re zn в околi 0 легко слi- дує, що дуга h(S�) мiстить точки множини h(F ) = h(U) ∩ Zn. Вiдповiдно, S� ∩ F �= ∅. Наприклад, F ∩ FrWi ∩ S� �= ∅ i F ∩ FrWj ∩ S� �= ∅. Тому iснує x� ∈ F ∩ E. Очевидно, x� �= x0. З твердження 7.1 слiдує, що iснує промiнь β : [0,+∞) → F ⊂ R2, який виходить з точки x0 = β(0), проходить через точку x� при деякому t� > 0 i прямує на нескiнченнiсть. За побудовою µ перетинається з F в єдинiй точцi x0, тому β(t) ∈ E для кожного t > 0, що неможливо, оскiльки множина E компактна. Внаслiдок отриманого протирiччя при i �= j виконується не- рiвнiсть Qi �= Qj . � Наслiдок 7.4. Нехай v — вершина ΓK−R(f) i �v = (e1, . . . , e2n) — спiн у вершинi v. Тодi всi елементи циклу (e1, . . . , e2n) рiзнi i у цьому циклi приймають участь усi ребра, iнцидентнi v у ΓK−R(f). В кожнiй парi сусiднiх ребер циклу �v ребра мають рiзнi орiєнтацiї вiдносно v (для одного ребра v є початком, для iн- шого – кiнцем). Доведення. Це твердження слiдує з локального вигляду фун- кцiї f у околi сингулярної точки (див. умови �) i з тверджен- ня 7.3. � Наслiдок 7.5. Нехай x— сингулярна точка f , Fx — сингуляр- на компонента множини рiвня f , x ∈ Fx. 22 В. В. Шарко , Є. О. Полулях, Ю. Ю. Сорока Нехай Q— компонента зв’язностi множини R2 \ Kf , яка межує з Fx. Тодi множина Q∩Fx є об’єднанням сингулярної точки i двох променiв, що виходять iз цiєї точки i прямують на нескiнченнiсть. Нехай H — компонента зв’язностi множини Fx \ {x}. Тодi є рiвно двi компоненти зв’язностi множини R2 \Kf , спiльна межа яких мiстить H. Замикання будь-якої iншої компонен- ти R2 \Kf не перетинається з H. Припустимо, що H мiститься у спiльнiй межi компонент Q� i Q�� множини R2 \ Kf . Нехай e� = πf (Q �), e�� = πf (Q ��)— вiдповiднi їм ребра ΓK−R(f), v = πf (Fx)— вершина, що вiдпо- вiдає компонентi Fx множини рiвня f , �v — спiн у вершинi v. Тодi ребра e� i e�� є сусiднiми елементами циклу �v. Якщо ребра e� i e�� є сусiднiми елементами циклу �v, то у спiльнiй межi вiдповiдних їм областей Q� i Q�� мiститься компонента множини Fx \ {x}, причому така компонента єдина. Доведення. Нехай U ⊂ Fx ∪ (R2 \ Kf )— окiл т. x0, в якому f орiєнтовано топологiчно еквiвалентна до функцiї Re zn в деяко- му околi 0. Нехай h : U → h(U) ⊂ C i h� : R → R— вiдповiднi гомеоморфiзми. Не обмежуючи загальнiсть мiркувань, будемо вважати, що h(U) = U1(0) = {z ∈ C \| \|z\| < 1}. Позначимо через V1, . . . , V2n компоненти зв’язностi множи- ни U1(0) \ h(Fx) = U1(0) \ Zn в порядку обходу в додатному напрямку навколо початку координат. Нехай Wi = h−1(Vi), i = 1, . . . , 2n. Позначимо через T1, . . . , T2n компоненти зв’язностi множини U1(0) ∩ (Zn \ 0) = h(U ∩ (Fx \ {x})) таким чином, щоб компонента Ti лежала у спiльнiй межi Vi та Vi+1, а T2n — у спiльнiй межi V2n та V1. Нехай Ri = h−1(Ti), i = 1, . . . , 2n. Нехай H1, . . . , H2n — компоненти множини Fx \ {x}. З твер- дження 7.1 слiдує, що кожна з них мiстить рiвно одну з множин Про топологiчну еквiвалентнiсть . . . 23 R1, . . . , R2n. Змiнивши нумерацiю множин Hi, можемо вважа- ти, що Ri = Hi ∩ U , i = 1, . . . , 2n. Аналогiчно, застосовуючи твердження 7.3 можемо вважати, що для компонент Q1, . . . , Q2n множини R2 \Kf , якi межують з Fx, виконуються спiввiдношення Wi = Qi ∩ U , i = 1, . . . , 2n. Розглянемо Qk для деякого k ∈ {2, . . . , 2n}. Оскiльки U є вiдкритою множиною, легко бачити, що Qk ∩U = Wk ∩U ⊃ Rk−1 ∪Rk, Qk ∩Rm∗ = ∅ при n /∈ {k − 1, k}. Тому з наслiдку 7.2 випливає, що Hk−1 ∪Hk ⊂ Qk, Hm ∩Qk = ∅ при m /∈ {k − 1, k}. Аналогiчно, коли k = 1 маємо H2n ∪H1 ⊂ Q1, Hm ∩Q1 = ∅ при m /∈ {1, 2n}. Тому для довiльної компоненти Q множини R2 \Kf , яка ме- жує з Fx, iснують двi компоненти H � i H �� множини Fx \ {x}, такi, що Q∩Fx = H � ∪H �� ∪ {x}. Позначимо v = πf (Fx), ei = πf (Qi), i = 1, . . . , 2n. З вибору множин Wi = Qi ∩ U слiдує, що �v = (e1, . . . , e2n). Розглянемо Hk для деякого k ∈ {1, . . . , 2n − 1}. По вже до- веденому Hk ⊂ Qk ∩Qk+1, Hk ∩Qm = ∅ при m /∈ {k, k+1}. Очевидно, ребра ek i ek+1 є сусiднiми у циклi �v. Аналогiчно, коли k = 2n, маємо H2n ⊂ Q2n ∩Q1, H2n ∩Qm = ∅ при m /∈ {1, 2n}. Ребра e2n i e1 є сусiднiми у циклi �v. Для завершення доведення лишається зауважити, що для кожної компоненти зв’язностi H множини Fx \{x} виконується спiввiдношення H ∈ {H1, . . . , H2n}. � 24 В. В. Шарко , Є. О. Полулях, Ю. Ю. Сорока 8. Навантаженi i слабо навантаженi графи Кронрода-Рiба Легко побудувати приклади, якi показують, що граф Крон- рода-Рiба не є повним iнварiантом функцiї загального поло- ження. Тобто iснують топологiчно не еквiвалентнi функцiї, якi мають iзоморфнi графи Кронрода-Рiба. Нехай f задовольняє умови � i є функцiєю загального поло- ження. Наша мета знайти додаткове навантаження на ΓK−R(f), яке б перетворювало його на повний iнварiант f . Означення 8.1. Слабо навантаженим графом Кронро- да-Рiба називається орiєнтований граф ΓK−R(f), для якого в кожнiй вершинi визначений спiн. Виявляється, що орiєнтацiї ребер i спiна у вершинах ΓK−R(f) не досить, щоб розрiзняти функцiї загального положення. Спра- ва у тому, що частковий порядок P2(f), що породжений орiєн- тацiєю ребер ΓK−R(f), не є лiнiйним. Тобто, не кожна пара вершин порiвняна по вiдношенню до цього порядку. Легко будується приклад двох функцiй загального положе- ння, якi мають iзоморфнi слабо навантаженi графи Кронрода- Рiба, але породжують рiзнi лiнiйнi порядки на множинах вер- шин цих графiв. Однак нижче ми доведемо, що слабо навантаженi графи Кронрода-Рiба розрiзняють функцiї вiдносно бiльш слабкої, нiж топологiчна, еквiвалентностi, яку ми зараз i означимо. Означення 8.2. Нехай неперервнi функцiї f i g вiдповiдають умовам �. Скажемо, що f i g пошарово еквiвалентнi (вiд- повiдно, орiєнтовно пошарово еквiвалентнi), якщо iснує гомеоморфiзм (вiдповiдно, орiєнтований гомеоморфiзм) пло- щини на себе, який вiдображає компоненти множин рiвнiв f на компоненти множин рiвнiв g. Лiнiйний порядок P1(f) є iнварiантом вiдносно орiєнтова- ної топологiчної еквiвалентностi функцiй, але виявляється, що слабо навантажений граф Кронрода-Рiба з лiнiйним порядком Про топологiчну еквiвалентнiсть . . . 25 P1(f) на множинi вершин все ще не є повним iнварiантом. По- трiбно додатково вiдстежувати поведiнку f “на нескiнченностi”. Граф з черешками не є справжнiм графом у комбiнаторному сенсi. Вiн отриманий зi “справжнього графа” шляхом вилучен- ня деякої пiдмножини вершин порядку 1. Зрозумiло, що маючи граф з черешками i його розбиття на вершини i ребра, можна однозначно вiдновити на ньому комбi- наторну структуру графа, “додавши назад” вилученi вершини порядку 1. Будемо називати такi вершини вiртуальними. Мно- жину вiртуальних вершин позначимо Vvirt. Згадаємо, що на ΓK−R(f) визначена функцiя fK−R, така що fK−R ◦ πf = f . Для кожного ребра e визначенi двi величини m(e) = infx∈e fK−R(x) i M(e) = supx∈e fK−R(x). Кожна з цих величин може бути як скiнченою, так i ±∞. Нехай V — множина вершин ΓK−R(f). На множинi V ∪ Vvirt означимо функцiю flim наступним чином. Якщо v є початком ребра e, нехай flim(v) = m(e), а якщо v є кiнцем e, то нехай flim(v) = M(e). Ми встановили вище, що fK−R строго монотонна на ребрах. Внаслiдок цього flim = fK−R на множинi V “справжнiх” вер- шин ΓK−R(f). Оскiльки всi вiртуальнi вершини мають порядок 1, то flim коректно визначена також на Vvirt. Нас буде цiкавити не вся множина Vvirt, а лише тi вiртуальнi вершини, на яких flim набуває скiнченi значення. Позначимо Vfin = {v ∈ Vvirt \| flim(v) �= ±∞} . Множину Vext = V ∪Vfin назвемо розширеною множиною вер- шин графа ΓK−R(f). Функцiя flim породжує на Vext вiдношення часткового поряд- ку Pext(f), яке визначається наступним чином. Нехай v1, v2 ∈ Vext. Якщо flim(v1) < flim(v2), то вважатимемо, що v1 < v2. Якщо ж flim(v1) = flim(v2), то v1 i v2 непорiвняннi. Назвемо це вiдношення розширеним вiдношенням порядку на Vext. 26 В. В. Шарко , Є. О. Полулях, Ю. Ю. Сорока Зрозумiло, що Pext(f) збiгається з P1(f) на V . Також очеви- дно, що Pext(f) узгоджене з орiєнтацiєю ребер ΓK−R(f) у тому сенсi, що кiнець ребра завжди бiльший за його початок. Твердження 8.3. Вiдношення “бути непорiвнянними вiдно- сно Pext(f)” є транзитивним на множинi Vext. Доведення. Нехай v1 i v2, а також v2 i v3 непорiвняннi вiдносно Pext(f). Тодi flim(v1) = flim(v2) i flim(v2) = flim(v3). Внаслiдок цього v1 i v3 непорiвняннi. � Означення 8.4. Нехай на множинi A задане вiдношення ρ часткового порядку. Якщо вiдношення “бути непорiвнян- ними вiдносно ρ” є транзитивним на A, то вiдношення ρ називається функцiєподiбним. Отже, вiдношення Pext(f) функцiєподiбне. Означення 8.5. Навантаженим графом Кронрода-Рiба називається слабо навантажений граф ΓK−R(f) разом iз пiд- множиною Vfin множини вiртуальних вершин i розширеним вiдношенням порядку Pext(f) на розширенiй множинi вершин Vext = V ∪ Vfin. Нехай ΓK−R(f) i ΓK−R(g)— орiєнтованi графи з черешками. Розглянемо орiєнтованi комбiнаторнi графи Gf i Gg, якi їм вiд- повiдають. Множиною вершин Gf (Gg) є об’єднання звичайних i вiртуальних вершин ΓK−R(f) (ΓK−R(g)), елементами множи- ни ребер Gf (Gg) є ребра ΓK−R(f) (ΓK−R(g)). Iнцидентнiсть вершин до ребер i орiєнтацiя ребер переноситься з вiдповiдно- го графа з черешками. Означення 8.6. Комбiнаторним iзоморфiзмом орiєнто- ваних графiв з черешками ΓK−R(f) i ΓK−R(g) називає- ться iзоморфiзм орiєнтованих графiв Gf i Gg, який вiдобра- жає множину вiртуальних вершин графа ΓK−R(f) на мно- жину вiртуальних вершин графа ΓK−R(g). Про топологiчну еквiвалентнiсть . . . 27 Означення 8.7. Назвемо (слабо) навантаженi графи Крон- рода-Рiба функцiй f i g еквiвалентними, якщо iснує ком- бiнаторний iзоморфiзм ψ орiєнтованих графiв з черешками ΓK−R(f) i ΓK−R(g), який зберiгає (слабке) навантаження. Тобто iзоморфiзм ψ кожному спiну на ΓK−R(f) ставить у вiдповiднiсть спiн на ΓK−R(g): �v = (e1, e2, ..., en) �−→ �ψ(v) = (ψ(e1),ψ(e2), ...,ψ(en)) . Також у випадку, коли розглядаються навантаженi графи Кронрода-Рiба, ψ iндукує iзоморфiзм розширених порядкiв на розширених множинах вершин. 9. Основна теорема Лема 9.1. Нехай f — функцiя загального положення, що вiд- повiдає умовам �. Нехай Q— компонента зв’язностi множи- ни R2 \Kf . Тодi знайдеться гомеоморфiзм φ : Q → R × f(Q) ⊂ R2, та- кий, що f = pr2 ◦φ (тут pr2 : R2 → R— проекцiя на другу координату). Доведення. З умов �, а також з [1, твердження 6 i наслiдок 4] слiдує, що f(Q) = Int f(Q) , f(FrQ) = f(Q) ∩ Fr f(Q) . (9.1) Множина Q, а разом з нею i множина f(Q) зв’язнi. Тому iсну- ють a, b ∈ R ∪±∞ такi, що f(Q) = (a, b), f(FrQ) ⊂ {a, b} ∩ R. Якщо a ∈ f(FrQ), то \|a\| < ∞ i згiдно з [1, наслiдок 4], iснує сингулярна компонента Fa множини рiвня f−1(a), така, що f−1(a) ∩Q ⊂ Fa. З наслiдку 7.5 слiдує, що Ha = Q∩f−1(a) є об’єднанням син- гулярної точки i двох променiв, що виходять з цiєї точки i пря- мують на нескiнченнiсть. З цього i з теореми Жордана про криву легко слiдує, що множина Ha гомеоморфна R i розби- ває площину на двi компоненти зв’язностi, замикання кожної 28 В. В. Шарко , Є. О. Полулях, Ю. Ю. Сорока з яких гомеоморфне замкненiй пiвплощинi. Ha є спiльною ме- жею цих двох компонент. Аналогiчно, якщо b ∈ f(FrQ), то \|b\| < ∞ i iснує сингулярна компонента Fb рiвня f−1(b), яка мiстить множину Hb = f−1(b) ∩Q . Множина Hb гомеоморфна R i розбиває R2 на двi пiвплощи- ни, для яких Hb є спiльною межею. Таким чином, маємо три можливостi. 1) f(FrQ) = ∅. Тодi FrQ = ∅ i Q є вiдкрито-замкненою пiд- множиною R2. Тому Q = R2 i f не має сингулярних точок у R2. Наслiдок 3 з [1] стверджує, що для кожного x ∈ Q множи- на f−1(f(x))∩Q зв’язна. Внаслiдок цього можемо застосувати теорему 1 з [9], що й доводить лему у даному випадку. 2) Множина f(FrQ) не порожня i зв’язна. У цьому випадку або FrQ = Ha, або FrQ = Hb. Нехай FrQ = Ha. У цьому випадку Q є одною з двох компо- нент зв’язностi множини R2 \Ha. Позначимо iншу компоненту Qa. Позначимо також через x0 ∈ Ha ⊂ Fa сингулярну точку функцiї f . Зафiксуємо гомеоморфiзм χ : Qa → R × (−∞, a]. Розгляне- мо неперервну функцiю fa = pr2 ◦χ : Qa → R. За побудовою f(x) = fa(x) на множинi Q∩Qa, а тому функцiя g : R2 → R, означена за допомогою формули g(x) = � f(x), якщо x ∈ Q , fa(x), якщо x ∈ Qa , буде неперервною на R2. Зрозумiло, що для кожного x ∈ R2\Ha у деякому околi точки x функцiя g топологiчно еквiвалентна до координатної проекцiї pr2. Також для кожного x ∈ Ha у деякому околi точки x у просторi Qa функцiя fa орiєнтовано топологiчно еквiвалентна до pr2 у околi точки 0 у просторi R× (−∞, 0]. Про топологiчну еквiвалентнiсть . . . 29 З першої умови � слiдує, що для кожного x ∈ Ha \{x0} фун- кцiя f у деякому околi точки x орiєнтовано топологiчно еквiва- лентна до pr2 у околi 0 у R2. Оскiльки за побудовою f(y) > f(x) для кожного y ∈ Q, то функцiя f \|Q у околi x орiєнтовано то- пологiчно еквiвалентна до pr2 у околi 0 у просторi [0,+∞). Внаслiдок цього для кожного x ∈ Ha \ {x0} функцiя g топо- логiчно еквiвалентна до pr2. Iснує окiл U0 точки x0, в якому f топологiчно еквiвалентна до gn = Re zn в околi 0. Нехай h : U0 → h(U0) ⊂ C i h� : R → R— вiдповiдна пара гомеоморфiзмiв, для яких gn ◦ h = h� ◦ f . З тверджень 7.1 i 7.3 слiдує, що образ h(U0 ∩Q) збiгається з перетином h(U0) i замикання одного з секторiв V , що є компо- нентою зв’язностi множини C \ Zn = C \ g−1 n (0). Тому на мно- жинi h(U0 ∩Q) означене неперервне вiдображення ĥ(z) = n √ z, яке вiдображає V на пiвплощину. Нехай iще ĥ�(t) = Sign t· n � \|t\|. Легко бачити, що пара вiдображень ĥ ◦ h i ĥ� ◦ h� реалiзує орiєнтовану топологiчну еквiвалентнiсть функцiї f \|Q в околi U0 ∩ Q точки x0 до функцiї pr2 у деякому околi 0 в просторi R× [0,+∞). Внаслiдок цього в околi точки x0 функцiя f також топологiчно еквiвалентна до pr2. За побудовою g−1(t) = f−1(t)∩Q при t ∈ (a, b). Тому множи- на g−1(t) зв’язна при t > a (див. [1, наслiдок 3]). Аналогiчно, g−1(t) = χ−1(R × {t}) при t ≤ a, тому множина g−1(t) зв’язна також при t ≤ a. Отже, ми можемо застосувати теорему 1 з [9] до функцiї g. Отримаємо гомеоморфiзм φ0 : R2 → R × (−∞, b), такий що g = pr2 ◦φ0. Тодi обмеження φ1 = φ0\|Q : Q → R × (−∞, b) є вкладенням i φ1(Q) = [a, b). Тому φ1 iндукує гомеоморфiзм φ : Q → R× [a, b), φ(x) = φ1(x), x ∈ Q, який вiдповiдає вимогам леми. 3) f(FrQ) = {a, b}. Тодi FrQ = Ha ∪Hb, множини Ha ⊂ Fa i Hb ⊂ Fb гомеоморфнi R i кожна з них розбиває R2 на двi пiвплощини. Позначимо через Qa i Qb тi компоненти зв’язностi множин R2 \ Ha i R2 \ Hb вiдповiдно, якi не перетинаються 30 В. В. Шарко , Є. О. Полулях, Ю. Ю. Сорока з Q. Оскiльки Ha ⊂ f−1(a), Hb ⊂ f−1(b), то Ha ∩ Hb = ∅ i R2 = Qa ∪Q∪Qb, причому Qa ∩Q = Ha, Qb ∩Q = Hb. Зафiксуємо гомеоморфiзми χa :Qa → R× (−∞, a], χb :Qb → R× [b,+∞) i розглянемо неперервнi функцiї fa = pr2 ◦χa : Qa → R, fb = pr2 ◦χb : Qb → R. Очевидно, fa\|Ha = f \|Ha i fb\|Hb = f \|Hb , тому коректно означена функцiя g : R2 → R, g(x) =    fa(x), якщо x ∈ Qa , f(x), якщо x ∈ Q , fb(x), якщо x ∈ Qb . Оскiльки замкненi множини Qa, Q i Qb утворюють скiнчене замкнене покриття R2 i на кожнiй з них g неперервна, то g неперервна на R2. Мiркування, аналогiчнi до наведених у попередньому випад- ку, доводять наступне. По-перше, у деякому околi кожної точки площини функцiя g топологiчно еквiвалентна до координатної проекцiї. По-друге, всi множини рiвня g зв’язнi. Отже, можемо застосувати теорему 1 з [9] до g. Як i ранiше, отримаємо гомеоморфiзм φ0 : R2 → R2, такий що g = pr2 ◦φ0. Тодi обмеження φ1 = φ0\|Q : Q → R2 iндукує го- меоморфiзм φ : Q → R×[a, b] = φ1(Q), який вiдповiдає вимогам леми. � Зауваження 9.2. За рахунок додаткової пiдкрутки за допо- могою вiдображення I : R2 → R2, I (x, y) = (−x, y), завжди можна добитися щоб гомеоморфiзм φ з леми 9.1 був орiєнтова- ний. Лема 9.3. Нехай f є функцiєю загального положення, що за- довольняє умову �. Тодi її граф Кронрода-Рiба є деревом з че- решками. Про топологiчну еквiвалентнiсть . . . 31 Доведемо спочатку одне допомiжне твердження. Твердження 9.4. Нехай G є локально скiнченним топологi- чним графом, V0 — пiдмножина множини Vl листкiв G. Нехай H = G \ V0 — граф з черешками. Якщо H не мiстить циклiв, то G є деревом. Доведення. Нехай iснує цикл C = (v0, e1, v1, . . . , en, vn = v0) в G. Тут vi, i = 0, . . . , n, — вершини, ej — ребра, vj−1 та vj iнци- дентнi ребру ej , j = 1, . . . , n. Тодi vi /∈ Vl для кожного i. Отже, vi /∈ V0 i vi ∈ H, i = 0, . . . , n. Внаслiдок цього цикл C мiститься в H. З наведених аргументiв слiдує, що якщо в H немає циклiв, то й G не мiстить циклiв. � Доведення леми 9.3. Припустимо, що в ΓK−R(f) iснує простий (без самоперетинiв) цикл C = (v0, e1, v1, . . . , en, vn = v0) . Тут vi — вершини, ej — вiдкритi ребра простору ΓK−R(f), такi що vj−1, vj ∈ ej , j = 1, . . . , n. Нагадаємо, що через Kf ми позначили об’єднання сингуляр- них компонентiв рiвня функцiї f . Нехай Fi = π−1 f (vi)— вiдпо- вiднi сингулярнi компоненти рiвнiв f , Qj = π−1 f (ej)— компо- ненти зв’язностi доповнення R2 \Kf . З теореми 3.2, твердження 7.1 i наслiдку 7.4 слiдує, що кожна компонента множини R2 \ F0 мiстить прообраз рiвно одного вiдкритого ребра графа ΓK−R(f), яке iнцидентне вершинi v0. Тому множини Q1 i Qn належать до рiзних компонент зв’я- зностi множини R2 \ F0. Розглянемо множину C0 = n−1� i=1 vi ∪ n� j=1 ej 32 В. В. Шарко , Є. О. Полулях, Ю. Ю. Сорока i ї ї прообраз π−1 f (C0) = n−1� i=1 Fi ∪ n� j=1 Qj . Очевидно, множина C0 зв’язна. Перевiримо, що множина π−1 f (C0) теж зв’язна. Нехай s ∈ {1, . . . , n}. З теореми 3.2 слiдує, що iснують точки xs ∈ Qs ∩Fs i ys ∈ Qs+1 ∩Fs. Множини Qs, Fs, Qs+1 зв’язнi, тому зв’язнi також множиниQs∪{xs} ⊂ Qs, Qs+1∪{ys} ⊂ Qs+1. Отже, зв’язна i множина Ws = Qs ∪ Fs ∪Qs+1 = (Qs ∪ {xs}) ∪ Fs ∪ (Qs+1 ∪ {ys}) . Множина π−1 f (C0) = �n−1 s=1 Ws теж зв’язна внаслiдок того, що Ws ∩Ws+1 ⊃ Qs+1 �= ∅, s = 1, . . . , n− 2. Помiтимо, що π−1 f (C0) ∩ F0 = ∅, оскiльки Ws ∩ F0 = ∅ для кожного s = 1, . . . , n − 1. Але Q1 ∪ Qn ⊂ π−1 f (C0) i зв’язна множина π−1 f (C0) має перетинатись принаймнi з двома рiзними компонентами множини R2 \ F0. Отримане протирiччя доводить, що ΓK−R(f) не мiстить ци- клiв. Отже, ΓK−R(f) є деревом з черешками внаслiдок твер- дження 9.4. � Розглянемо наступну конструкцiю. Нехай a < b i c < d— деякi дiйснi числа, α,β : R → R i χ : [a, b] → [c, d]— неперервнi вiдображення. Нехай χ̂ : [a, b] → [0, 1], χ̂(t) = χ(t)− c d− c , t ∈ [a, b] , є композицiєю χ i лiнiйного вiдображення вiдрiзка [c, d] на [0, 1]. Визначимо неперервне вiдображення Φ : R× [a, b] → R× [c, d] за формулою: Φ(x, y) = � α(x)(1− χ̂(y)) + β(x)χ̂(y),χ(y) � , (9.2) для (x, y) ∈ R × [a, b]. Доведення наступної леми ми лишаємо читачу. Про топологiчну еквiвалентнiсть . . . 33 Лема 9.5. Якщо α, β i χ є сюр’єктивними i строго зроста- ють, то Φ є гомеоморфiзмом, зберiгає орiєнтацiю i вiдобра- жає горизонтальнi прямi на горизонтальнi прямi. 10. Доведення теореми 1.1 Необхiднiсть. Нехай iснує гомеоморфiзм h : R2 → R, який вiдображає компоненти множин рiвня f на компоненти мно- жин рiвня g. Вiдомо, що образ зв’язної множини пiд дiєю не- перервного вiдображення зв’язний. Внаслiдок того, що h i h−1 бiєктивнi та неперервнi, образами рiзних компонент є рiзнi ком- поненти. Отже, означене бiєктивне неперервне фактор-вiдобра- ження η : ΓK−R(f) → ΓK−R(g) просторiв Кронрода-Рiба. Зро- зумiло, що гомеоморфiзм h−1 породжує фактор-вiдображення, обернене до η. Тому η є гомеоморфiзмом. Нехай x ∈ R2, Fx — компонента множини рiвня функцiї f , яка мiстить x. З умов � слiдує, що порядок ordx(Fx) тополо- гiчного простору Fx у точцi x бiльший 2 тодi й тiльки тодi, коли x є сингулярною точкою f (див. [7]). Тому множини Σg i Kg сингулярних точок i сингулярних компонент зв’язностi множин рiвня g є образами вiдповiдних множин Σf i Kf , що вiдносяться до функцiї f . Зi сказаного слiдує, що η вiдображає множину вершин графа з черешками ΓK−R(f) на множину вершин ΓK−R(g). Зрозумiло, що h вiдображає компоненти зв’язностi множини R2 \ Kf на компоненти множини R2 \ Kg. Тому з теореми 3.2 слiдує, що η є iзоморфiзмом графiв з черешками. Нехай h зберiгає орiєнтацiю на площинi. За умовами теореми f i g є функцiями загального положення, тому кожна їх син- гулярна компонента лiнiї рiвня мiстить рiвно одну сингулярну точку. Отже множини Σf i Σg знаходяться у бiєктивнiй вiдпо- вiдностi з множинами вершин графiв з черешками ΓK−R(f) i ΓK−R(g). Оскiльки h зберiгає порядок обходу навколо точок площини, то η вiдображає спiн у кожнiй вершинi ΓK−R(f) на спiн в образi цiєї вершини, а отже η є еквiвалентнiсть графiв зi спiнами. 34 В. В. Шарко , Є. О. Полулях, Ю. Ю. Сорока До цих пiр ми не згадували про орiєнтацiю ребер. Нехай ΓK−R(g)— граф з черешками функцiї g, у кожнiй вершинi яко- го задано спiн. Нехай e— деяке ребро цього графа. Тодi орiєн- тацiя всiх ребер ΓK−R(g), що породжена напрямком зростання функцiї gK−R, однозначно вiдновлюється по орiєнтацiї ребра e. Перевiримо це. Якщо ребро e iнцидентне деякiй вершинi v, ми можемо ско- ристатися наслiдком 7.4 i, маючи спiн �v, вiдновити орiєнтацiю всiх ребер, що iнцидентнi v. Нехай e� — iнше ребро ΓK−R(g). Зафiксуємо шлях P (e, e�) = (e = e1, . . . , en = e�), який з’єднує e i e�. Нехай P (e, e�) послiдовно проходить через вершини v1, . . . , vn−1 (vi є спiльним кiнцем ребер ei та ei+1). За допомогою спiнiв �v1, . . . ,�vn−1 ми можемо послiдовно вiдно- вити орiєнтацiї ребер e2, . . . , en = e�. Згiдно з лемою 9.3 ΓK−R(g) є деревом з черешками, тому шлях P (e, e�), який з’єднує e i e� визначений однозначно. Отже, орiєнтацiя ребра e� залежить тiльки вiд орiєнтацiї ребра e. Внаслiдок сказаного на графi зi спiнами ΓK−R(g) можливi рiвно двi рiзних орiєнтацiї ребер. Очевидно, функцiя −g вiдповiдає умовам � i є функцiєю загального положення. Слабо навантаженi графи Кронрода- Рiба ΓK−R(g) i ΓK−R(−g) iзоморфнi як графи з черешками, мають однаковi спiни у вiдповiдних вершинах i вiдрiзняються тiльки орiєнтацiєю ребер. Оскiльки η є еквiвалентнiстю графiв зi спiнами, то це вiдображення iндукує еквiвалентнiсть слабо навантаженого графа Кронрода-Рiба ΓK−R(f) до ΓK−R(g), або ΓK−R(−g). Це доводить необхiднiсть твердження теореми для орiєнто- вано пошарово еквiвалентних функцiй f i g. Нехай функцiї f та g орiєнтовано топологiчно еквiвалентнi, тобто iснують гомеоморфiзми h : R2 → R2 та k : R → R, що збе- рiгають орiєнтацiю i такi, що k ◦ f = g ◦ h. Тодi гомеоморфiзм h : R2 → R2 вiдображає множини рiвня функцiї f на множини Про топологiчну еквiвалентнiсть . . . 35 рiвня g. Зрозумiло, що, будучи бiєктивним, h вiдображає ком- поненти множин рiвня f на компоненти множин рiвня g. Отже f i g орiєнтовано пошарово еквiвалентнi, внаслiдок чого слабо навантажений граф Кронрода-Рiба ΓK−R(f), еквiвалентний до ΓK−R(g), або ΓK−R(−g). Нехай, як i вище, η : ΓK−R(f) → ΓK−R(g) є фактор-вiдобра- женням гомеоморфiзму h вiдносно проекцiй πf i πg. Тодi вико- нується рiвнiсть k ◦ fK−R = gK−R ◦ η . (10.3) Враховуючи, що функцiя k монотонно зростає, легко бачи- ти, що η зберiгає напрямок зростання iндукованої функцiї на ребрах графа Кронрода-Рiба. Отже, слабо навантажений граф Кронрода-Рiба ΓK−R(f) еквiвалентний до ΓK−R(g). Зрозумiло, що η iндукує бiєктивне вiдображення множини Vvirt(f) вiртуальних вершин ΓK−R(f) на множину Vvirt(g) вiр- туальних вершин ΓK−R(g). Щоб не нагромаджувати позначень, ми його теж будемо позначати η. Нехай e— ребро ΓK−R(f), ẽ = η(e)— вiдповiдне йому ребро ΓK−R(g). Нехай, як i ранiше, m(e) = inf x∈e fK−R(x) , M(e) = sup x∈e fK−R(x) , m(ẽ) = inf x∈ẽ gK−R(x) , M(ẽ) = sup x∈ẽ gK−R(x) . Функцiя k монотонно зростає, тому m(ẽ) = k ◦m(e), M(ẽ) = k ◦M(e). Отже на множинi вершин ΓK−R(f) (включаючи вiртуальнi) ви- конується рiвнiсть k ◦ flim = glim ◦ η. Враховуючи те, що k : R → R є гомеоморфiзмом, маємо, що η(Vfin(f)) = Vfin(g). Отже η(Vext(f)) = Vext(g) i η iндукує iзо- морфiзм розширених вiдношень порядку на розширених мно- жинах вершин. Це доводить необхiднiсть твердження теореми для орiєнто- вано топологiчно еквiвалентних функцiй f i g. 36 В. В. Шарко , Є. О. Полулях, Ю. Ю. Сорока Достатнiсть. Розглянемо двi функцiї f : R2 → R, g : R2 → R. Будемо вважати, що для слабо навантажених графiв Кронро- да-Рiба ΓK−R(f), ΓK−R(g) цих функцiй заданий комбiнаторний iзоморфiзм ψ, що зберiгає спiни. Нехай Kf i Kg — множини сингулярних компонент зв’язностi рiвнiв функцiй f та g вiдповiдно. Вiзьмемо вершину v ∈ ΓK−R(f) i розглянемо вiдповiдну вер- шину w = ψ(v) ∈ ΓK−R(g). Нехай Fv = π−1 f (v) i �Fw = π−1 g (w)— сингулярнi компоненти множин рiвня f i g, якi вiдповiдають вершинам v i w. Побудуємо гомеоморфiзм h0 v : Fv → �Fw, такий, що для будь- якої компоненти доповнення U ⊂ R2\Kf , якiй вiдповiдає ребро e графа ΓK−R(f), виконується рiвнiсть h0v(FrU ∩ Fv) = Fr �U ∩ �Fw , (10.4) де �U — компонента доповнення R2 \ Kg, якiй вiдповiдає ребро ψ(e) графа ΓK−R(g). Оскiльки f є функцiєю загального положення, то множина Fv мiстить єдину сингулярну точку xv функцiї f . Аналогiчно, �Fw мiстить єдину сингулярну точку �xw функцiї g. З твердже- ння 7.3 слiдує, що кратностi xv i �xw збiгаються. Нехай вони дорiвнюють n − 1 для деякого n > 1. Тодi з твердження 7.1 випливає, що кожна з множин Fv i �Fw складається з сингу- лярної точки i 2n променiв, що з неї виходять i прямують на нескiнченнiсть. Нехай �v = (e1, . . . , e2n). Позначимо через Qi = π−1 f (ei), i = 1, . . . , 2n, компоненти R2 \ Kf , якi межують з Fv. Скори- стаємось наслiдком 7.5 i оберемо нумерацiю компонент зв’я- зностi множини Fv \ {xv} так, щоб компонента Hi мiстилась у FrQi∩FrQi+1 при i = 1, . . . , 2n−1, а такожH2n ⊂ FrQ2n∩FrQ1. За попереднiм припущенням �w = (ψ(e1), . . . ,ψ(e2n)). По- значимо �Qi = π−1 f (ψ(ei)), i = 1, . . . , 2n, — компоненти R2 \ Kg, Про топологiчну еквiвалентнiсть . . . 37 якi межують з �Fw. Знову наслiдок 7.5 гарантує можливiсть обрати нумерацiю компонент зв’язностi множини �Fw \{�xw} та- ким чином, щоб компонента �Hi мiстилась у Fr�Qi ∩Fr �Qi+1 при i = 1, . . . , 2n− 1, а також �H2n ⊂ Fr �Q2n ∩ Fr �Q1. Для кожного i = 1, . . . , 2n зафiксуємо гомеоморфiзм h0v,Hi : {xv} ∪Hi → {�xw} ∪ �Hi променя Hi = {xv} ∪Hi на промiнь �Hi = {�xw} ∪ �Hi. Зрозумiло, що h0v,Hi (xv) = �xw, а також Hi ∩Hj = {xv} при i �= j. Тому коректно означене вiдображення h0 v : Fv → �Fw, h0v(x) = h0v,Hi (x) , якщо x ∈ Hi , i ∈ {1, . . . , 2n} . Набiр множин {Hi} утворює скiнчене замкнене покриття Fv, отже вiдображення h0v неперервне. З того, що всi h0 v,Hi є го- меоморфiзмами, слiдує, що означене i неперервне обернене вiд- ображення (h0v) −1. Отже, h0v є гомеоморфiзмом. За побудовою Hi−1 ∪Hi ∪ {xv} = FrQi, i = 2, . . . , 2n, i також H2n ∪H1 ∪ {xv} = FrQ2n (див. наслiдки 7.2 i 7.5). Аналогiчно, �Hi−1 ∪ �Hi ∪ {�xw} = Fr�Qi, i = 2, . . . , 2n, також �H2n ∪ �H1 ∪ {�xv} = Fr �Q2n. Тому виконується спiввiдношен- ня (10.4). Нагадаємо, що за означенням множини Kf i Kg є прообраза- ми множин вершин графiв ΓK−R(f) i ΓK−R(g) вiдносно прое- кцiй πf i πg, вiдповiдно. Тому коректно визначене вiдображення h0 : Kf → Kg за такою формулою: h0(x) = h0πf (x) (x). Множини Fv, v ∈ πf (Kf ), попарно не перетинаються, є за- мкненими, i їх скiнчене число (див. зауваження 3.1). Те ж сто- сується i їх образiв вiдносно h0. Обмеження h0 на кожну з мно- жин Fv є гомеоморфiзмом на свiй образ �Fψ(v). Тому вiдобра- ження h0 є гомеоморфiзмом. Зараз ми продовжимо h0 до вiдображення h : R2 → R2, яке компонентам зв’язностi множин рiвня функцiї f ставить у вiд- повiднiсть компоненти множин рiвня g. 38 В. В. Шарко , Є. О. Полулях, Ю. Ю. Сорока Позначимо через Qf i Qg множини, елементами яких є ком- поненти зв’язностi множин R2 \Kf i вiдповiдно R2 \Kg. Нехай Q ∈ Qf , e = πf (Q)— вiдповiдне ребро ΓK−R(f). З леми 9.1 та зауваження 9.2 випливає, що iснує гомеоморфiзм φ : Q → R×f(Q), який зберiгає орiєнтацiю i задовольняє умову f = pr2 ◦φ. Нехай �Q ∈ Qg, для якої πg( �Q) = ψ(e). Тодi iснує гомеомор- фiзм �φ : �Q → R × g � �Q � , який зберiгає орiєнтацiю i такий, що g = pr2 ◦�φ. Множина f(Q) = fK−R(e) зв’язна. Зi спiввiдношень (9.1) слi- дує, що множина f(Q) гомеоморфна iнтервалу, пiвiнтервалу або вiдрiзку, f(Q) = Int f(Q) гомеоморфна вiдкритому iнтер- валу. Нагадаємо, що fK−R строго монотонна на ребрi e. Тому, якщо f(Q) мiстить кiнець iнтервала f(Q), вiн вiдповiдає вер- шинi графа ΓK−R(f), яка iнцидентна ребру e. Якщо не мiстить, то кiнець iнтервала вiдповiдає вiртуальнiй вершинi. Аналогiчне справедливо i для множин g( �Q) та g � �Q � . Оскiльки iзоморфiзм ψ зберiгає орiєнтацiї ребер i вiдобра- жає множину вiртуальних вершин ΓK−R(f) на множину вiрту- альних вершин ΓK−R(g), то зi сказаного вище слiдує, що iснує строго зростаюче бiєктивне вiдображення χ : f(Q) → g � �Q � . Отже, нехай a < b, c < d ∈ R ∪±∞ такi, що f(Q) = (a, b), f(FrQ) ⊂ {a, b} ∩ R, g( �Q) = (c, d), g(Fr �Q) ⊂ {c, d} ∩ R. Множина f(FrQ) може мати не бiльше двох елементiв. Розгля- немо всi можливi випадки. (a) Нехай FrQ = ∅. Тодi обидва кiнцi ребра e = πf (Q) вiрту- альнi. Внаслiдок цього Fr �Q = ∅, ΓK−R(f) = e, ΓK−R(g) = ψ(e), Q = �Q = R2 (див. доведення леми 9.1). Розглянемо вiдображення Φ = idR × χ : R× f(R2) → R× g(R2) . Про топологiчну еквiвалентнiсть . . . 39 Зрозумiло, що Φ є гомеоморфiзмом i зберiгає орiєнтацiю, а тому h = �φ−1 ◦ Φ ◦ φ має подiбнi властивостi. Очевидно, φ вiдображає компоненти зв’язностi множин рiв- ня f на горизонтальнi прямi, а �φ−1 вiдображає горизонтальнi прямi на компоненти множин рiвня g. Тому h задає пошарову еквiвалентнiсть f i g. (b) Нехай f(FrQ) мiстить рiвно один елемент. Тодi з наслiд- ку 4 з [1], слiдує, що множина FrQ зв’язна, отже iснує єдина компонента зв’язностi Fv множини Kf , така, що Fv ∩ Q �= ∅. Тут v — вершина ΓK−R(f), для якої Fv = π−1 f (v). Тодi g(Fr �Q) теж мiстить один елемент. Отже, для верши- ни w = ψ(v) i вiдповiдної компоненти зв’язностi �Fw = π−1 g (w) множини Kg має виконуватись спiввiдношення �Q∩Kg ⊂ �Fw. Нехай �v — спiн при вершинi v графа ΓK−R(f). Позначимо через e� ребро, яке передує e у цьому циклi. Нехай e�� — ребро, яке слiдує за e. Розглянемо вiдповiднi елементи Q� = π−1 f (e�) i Q�� = π−1 f (e��) множини Qf . Нехай xv ∈ Fv — сингулярна точка f . Позначимо H � та H �� компоненти множини Fv \ {xv}, для яких виконуються спiввiд- ношення H � ⊂ Q� ∩Q, H �� ⊂ Q∩Q��. Аналогiчно, нехай �xw ∈ �Fw — сингулярна точка g, �w — спiн при вершинi w графа ΓK−R(g). Нехай ребро �e� = πg( �Q�) передує �e у циклi �w, �e�� = πg( �Q��) слiдує за �e. Позначимо через �H � та �H �� компоненти множини �Fw \ {�xw}, такi що �H � ⊂ �Q� ∩ �Q, �H �� ⊂ �Q∩ �Q��. З наслiдку 7.5 випливає, що Q∩Fv = H � ∪H �� ∪ {xv}, �Q∩�Fw = �H � ∪ �H �� ∪ {�xw}. Оскiльки ψ зберiгає спiни, то �e� = ψ(e�), �e�� = ψ(e��). 40 В. В. Шарко , Є. О. Полулях, Ю. Ю. Сорока Вiдображення h0 побудовано таким чином, що h0(Fv) = h0v(Fv) = �Fw, h0(xv) = �xw, h0(H �) = �H �, h0(H ��) = �H ��. Отже, h0(Q∩Fv) = �Q∩�Fw. Очевидно, обмеження h0 на Q∩Fv iндукує гомеоморфiзм h0v,Q : Q∩Fv → �Q∩�Fw . Припустимо, що f(FrQ) = {a}. З iснування χ слiдує, що g(Fr �Q) = {c}. Нехай q ∈ R. Введемо наступнi позначення. R− q = (−∞, 0)× {q} ⊂ R2 , R+ q = (0,+∞)× {q} ⊂ R2 . Iз спiввiдношень (9.1) слiдує, що φ(Q∩Fv) = R× {a}. Не обмежуючи загальнiсть мiркувань, можемо вважати, що φ(xv) = (0, a), �φ(�xw) = (0, c). Будемо також вважати, що дода- тний напрямок обходу навколо точки на площинi є напрямок проти годинникової стрiлки. При обходi навколо точки xv ми рухаємося у областi Q вiд множини H � у напрямку множини H ��. Аналогiчно, при обходi навколо точки (0, a) = φ(xv) ми рухаємося всерединi областi R × (a, b) = φ(Q) вiд R+ a у напрямку R− a . Оскiльки φ зберiгає орiєнтацiю, то φ(H �) = R+ a , φ(H ��) = R− a . Аналогiчно, �φ( �Q∩�Fw) = R× {c}, (0, c) = �φ(�xw), �φ( �H �) = R+ c i �φ( �H ��) = R− c . Розглянемо вiдображення Φa = �φ ◦ h0 ◦ φ−1\|R×{a} : R× {a} → R2 . Очевидно, Φa є гомеоморфiзмом на свiй образ R× {c}. Також справедливi рiвностi Φa(R − a ) = �φ ◦ h0(H ��) = �φ( �H ��) = R− c i Φa(R + a ) = R+ c . Про топологiчну еквiвалентнiсть . . . 41 Нехай ia : R → R2, ia(t) = (t, a), t ∈ R. Означимо функцiю α = pr1 ◦Φa ◦ ia : R → R . Тут pr1 : R2 → R— проекцiя на першу координату. Легко бачити, що α є гомеоморфiзмом. Тому ця функцiя або строго зростає, або строго спадає. Оскiльки для множини R− = {t ∈ R \| t < 0} виконуються спiввiдношення ia(R −) = R− a i pr1(R− c ) = R−, то за побудовою α(R−) = R− i функцiя α зростає. Означимо вiдображення Φ : R× [a, b) → R× [c, d), Φ(x, y) = (α(x),χ(y)) , (x, y) ∈ R× [a, b) . З властивостей α i χ слiдує, що це гомеоморфiзм, який зберiгає орiєнтацiю. Також за побудовою Φ(x, y) = Φa(x, y) для всiх (x, y) ∈ R× {a}. Нарештi, нехай hQ = �φ−1 ◦ Φ ◦ φ : Q → �Q . За побудовою hQ є гомеоморфiзмом i зберiгає орiєнтацiю. Оскiльки φ(FrQ) = R× {a}, то hQ\|FrQ = �φ−1 ◦ Φa ◦ φ = h0 . За означенням множина R2 \Kf є об’єднанням усiх регуляр- них компонент рiвня функцiї f . Внаслiдок цього кожна ком- понента рiвня f , яка перетинається з Q, мiститься в Q. Ана- логiчно, якщо компонента зв’язностi рiвня g має непорожнiй перетин з �Q, вона мiститься в цiй областi. Отже, з властивостей φ i �φ−1 слiдує, що hQ для кожної точки x ∈ Q вiдображає компоненту зв’язностi множини f−1(f(x)), яка мiстить x, на компоненту множини рiвня g, що мiстить точку hQ(x). Випадок f(FrQ) = {b} розглядається аналогiчно. (c) Нехай множина f(FrQ) мiстить два елементи. Тодi оби- два кiнця ребра e не вiртуальнi. Позначимо їх v� i v��. Як i 42 В. В. Шарко , Є. О. Полулях, Ю. Ю. Сорока ранiше, застосовуючи наслiдок 4 з [1], приходимо до висновку, що для компонент зв’язностi Fv� = π−1 f (v�) i Fv�� = π−1 f (v��) мно- жини Kf справедливi спiввiдношення Fv�∩Q �= ∅, Fv��∩Q �= ∅, Q ⊂ Fv� ∪ Fv�� . Так як вершини w� = ψ(v�) i w�� = ψ(v��) графа ΓK−R(g) є кiн- цями ребра ψ(e), а тому компоненти зв’язностi �Fw� = π−1 f (w�) i �Fv�� = π−1 f (w��) множини Kg вiдповiдають спiввiдношенням �Fw� ∩ �Q �= ∅, �Fw�� ∩ �Q �= ∅, �Q ⊂ �Fw� ∪ �Fw�� . Нехай, як i вище, гомеоморфiзми φ : Q → R× [a, b], �φ : �Q → R× [c, d] зберiгають орiєнтацiю, f = pr2 ◦φ i g = pr2 ◦�φ. Не обмежуючи загальнiсть мiркувань, ми можемо вважати, що φ(Fv� ∩Q) = {a}, φ(Fv�� ∩Q) = {b}. Iзоморфiзм ψ зберiгає орiєнтацiю ребер. Оскiльки вона ви- значається напрямком зростання функцiй f i g, то �φ(�Fw� ∩ �Q) = {c}, �φ(�Fw�� ∩ �Q) = {d}. Як i у попередньому випадку, з наслiдку 7.5 слiдує, що коре- ктно визначенi вiдображення Φa = �φ ◦ h0 ◦ φ−1\|R×{a} : R× {a} → R2 , Φb = �φ ◦ h0 ◦ φ−1\|R×{b} : R× {b} → R2 , якi гомеоморфно вiдображають R×{a} i R×{b} на R×{c} та R× {d}, вiдповiдно. Нехай ia : R → R2, ia(t) = (t, a), ib : R → R2, ib(t) = (t, b), t ∈ R. Як i вище, перевiряється, що функцiї α = pr1 ◦Φa ◦ ia : R → R , β = pr1 ◦Φb ◦ ib : R → R , є бiєктивними i такими, що строго зростають. Зафiксуємо також гомеоморфiзм χ : [a, b] → [c, d], такий, що χ(a) = c. Про топологiчну еквiвалентнiсть . . . 43 З леми 9.5 слiдує, що вiдображення Φ : R× [a, b] → R× [c, d], означене за допомогою формули (9.2), є гомеоморфiзмом, збе- рiгає орiєнтацiю, а також вiдображає горизонтальнi прямi на горизонтальнi прямi. Оскiльки χ̂(a) = 0 i χ̂(b) = 1, то з формули (9.2) випливає, що Φ(x, y) = Φa(x, y) для всiх (x, y) ∈ R × {a} i Φ(x, y) = Φb(x, y) для кожного (x, y) ∈ R× {b}. Означимо hQ = �φ−1 ◦ Φ ◦ φ : Q → �Q . За побудовою hQ є гомеоморфiзмом i зберiгає орiєнтацiю. Оскiльки φ(FrQ) = R × {a, b}, то аналогiчно до попереднього випадку hQ\|FrQ = h0 . Як i вище, перевiряється, що hQ вiдображає кожну компоненту зв’язностi множини рiвня f , яка перетинається з Q, на деяку компоненту множини рiвня g. Поєднуючи (a)-(c), для кожного Q ∈ Qf ми отримали го- меоморфiзм hQ ї ї замикання на замикання деякого �Q ∈ Qg, що вiдображає компоненти зв’язностi множин рiвня f , що нале- жать Q, на компоненти множин рiвня g. Нехай Q� i Q�� — два рiзнi елементи Qf . Тодi за означенням Q� ∩Q�� = FrQ�∩FrQ�� ⊂ Kf . Отже, за побудовою для кожного x ∈ Q� ∩Q�� виконується рiвнiсть hQ�(x) = hQ��(x) = h0(x). Крiм того, з наслiдку 7.2 випливає, що R2 = � Q∈Qf Q. Тому коректно означене вiдображення h : R2 → R2, h(x) = hQ(x), якщо x ∈ Q, Q ∈ Qf . (10.5) Оскiльки граф ΓK−R(f) скiнчений (див. зауваження 3.3), то на- бiр множин {Q \| Q ∈ Qf} утворює скiнчене замкнене покриття площини, i на кожному елементi цього покриття h неперервне за означенням. Тому h неперервне на R2 (див. [5]). За побудовою h\|Kf = h0 i h бiєктивно вiдображає Kf на Kg. Також h бiєктивно вiдображає кожну множину Q ∈ Qf на деякий елемент сiм’ї Qg. 44 В. В. Шарко , Є. О. Полулях, Ю. Ю. Сорока Нехай Q�, Q�� ∈ Qf , Q� �= Q��, �Q� = h(Q�), �Q�� = h(Q��). Нехай e� = πf (Q �), e�� = πf (Q ��), �e� = πg(�Q�), �e�� = πg(�Q��)— вiдпо- вiднi ребра графiв ΓK−R(f) i ΓK−R(g). Оскiльки �e� = ψ(e�), �e�� = ψ(e��) i ψ — комбiнаторний iзоморфiзм, то �Q� i �Q�� — рiзнi елементи Qg. Отже, �Q� ∩ �Q�� = ∅. Очевидно, для кожного Q ∈ Qf виконуються спiввiдношення R2 \ Q = Kf ∪ � Q�∈Qf ,Q� �=QQ�. Зi сказаного вище слiдує, що h(R2 \Q) = Kg ∪ � �Q�∈Qg ,�Q� �=h(Q) �Q�. Тому h(Q) ∩ h(R2 \Q) = ∅ для всiх Q ∈ Qf i вiдображення h бiєктивне. Отже, означене вiдображення h−1. Оскiльки h(Q) ∈ Qg i h−1\|h(Q) = h−1 Q для кожного Q ∈ Qf , всi h−1 Q неперервнi за побудовою i сiм’я { �Q \| �Q ∈ Qg} утворює скiнчене замкнене покриття площини, то вiдображення h−1 неперервне i h є го- меоморфiзмом. Ми довели вище, що всi вiдображення h\|Q, Q ∈ Qf i h0 став- лять у вiдповiднiсть компонентам зв’язностi множин рiвня f компоненти множин рiвня g. Отже, h є пошаровою еквiвален- тнiстю f i g. Аналогiчно, якщо для слабо навантажених графiв Кронро- да-Рiба ΓK−R(f) i ΓK−R(−g) заданий комбiнаторний iзомор- фiзм, що зберiгає спiни, то функцiї f i −g пошарово еквiва- лентнi. Але зрозумiло, що розбиття R2, елементами якого є компоненти зв’язностi множин рiвнiв функцiї −g, збiгається з аналогiчним розбиттям на компоненти множин рiвнiв g. Тому i у цьому випадку функцiї f i g пошарово еквiвалентнi. Припустимо тепер, що навантаженi графи Кронрода-Рiба ΓK−R(f) i ΓK−R(g) є еквiвалентними. Це означає, що слабо навантаженi графи Кронрода-Рiба функцiй f i g еквiвалентнi i комбiнаторний iзоморфiзм ψ, який зберiгає слабке навантаже- ння, також iндукує iзоморфiзм ψ̂ частково впорядкованих роз- ширених множин вершин Vext i �Vext графiв ΓK−R(f) i ΓK−R(g) вiдносно порядкiв Pext i �Pext, вiдповiдно. Про топологiчну еквiвалентнiсть . . . 45 Нагадаємо, що частковий порядок Pext (вiдповiдно, �Pext) iн- дукується на множинi Vext (вiдповiдно, �Vext) зi стандартно- го лiнiйного порядку на прямiй за допомогою вiдображення flim : Vext → R (вiдповiдно, glim : �Vext → R). Позначимо Af = flim(Vext), Ag = glim(�Vext). З тверджен- ня 8.3 слiдує, що iснує бiєктивне строго зростаюче вiдображе- ння k̂ : Af → Ag, таке, що комутативна дiаграма Vext ψ̂−−−−→ �Vext flim � �glim Af −−−−→ k̂ Ag Множини Af i Ag скiнченi (див. зауваження 3.3) i мають одна- кову кiлькiсть елементiв m. Нехай Af = {a1, . . . , am}, a1 < . . . < am; Ag = {b1, . . . , bm}, b1 < . . . < bm. Очевидно, bi = k̂(ai), i = 1, . . . ,m. Означимо вiдображення k : R → R за допомогою спiввiдно- шення k(t) =    t+ (b1 − a1), якщо t < a1 , 1 ai+1−ai � bi(ai+1 − t) + bi+1(t− ai) � , якщо t ∈ [ai, ai+1] , t+ (bm − am), якщо t > am . Тодi k є гомеоморфiзмом i k(ai) = bi = k̂(ai), i = 1, . . . ,m. Оскiльки слабо навантаженi графи Кронрода-Рiба функцiй f i g еквiвалентнi, то ми можемо побудувати гомеоморфiзми h0 : Kf → Kg i hQ : Q → �Q, Q ∈ Qf , як ми це зробили при доведеннi пошарової еквiвалентностi f i g. При побудовi вiдображень hQ є певна неоднозначнiсть. Вияв- ляється, що цi вiдображення можна вибрати таким чином, що гомеоморфiзм h, визначений за допомогою (10.5), дасть разом iз k топологiчну еквiвалентнiсть f i g. 46 В. В. Шарко , Є. О. Полулях, Ю. Ю. Сорока Отже, нехай Q ∈ Qf , e = πf (Q)— вiдповiдне ребро графа ΓK−R(f), v�, v�� ∈ V ∪ Vvirt — вершини, якi з’єднує ребро e. То- дi вершини w� = ψ(e�) i w�� = ψ(e��) графа ΓK−R(g) з’єднанi ребром ψ(e). Нехай �Q = π−1 g (ψ(e))— вiдповiдний елемент Qg. Вище ми побудували hQ у виглядi �φ−1 ◦Φ ◦ φ, де φ i �φ— вiд- ображення з леми 9.1, а Φ має вигляд Φ(x, y) = (η(x, y),χ(y)), (x, y) ∈ R× f(Q) (див. формулу (9.2)). Отже, комутативна на- ступна дiаграма: Q hQ−−−−→ �Q φ � ��φ R× f(Q) Φ−−−−→ R× g( �Q) pr2 � ��pr2 f(Q) χ−−−−→ g( �Q) Лема 9.1 стверджує, що f = pr2 ◦φ i g = pr2 ◦�φ. Тому кому- тативна наступна дiаграма: Q hQ−−−−→ �Q f � �g f(Q) χ−−−−→ g( �Q) (10.6) У цiй конструкцiї в якостi χ : Q → �Q можна взяти довiльне неперервне бiєктивне зростаюче вiдображення. Функцiя fK−R строго монотонна на ребрах ΓK−R(f). Отже, не обмежуючи загальностi мiркувань, ми можемо вважати, що flim(v�) < flim(v��). Оскiльки ψ зберiгає орiєнтацiю ребер, то glim(w�) < glim(w��). Нехай v� /∈ Vext. Тодi flim(v�) ∈ ±∞. Так як flim(v�) < flim(v��), то flim(v�) = −∞. За означенням ψ(Vext) = �Vext, а значить w� = ψ(v�) /∈ �Vext i по аналогiї з попереднiм glim(w�) = −∞. Про топологiчну еквiвалентнiсть . . . 47 Якщо v� ∈ Vext, то flim(v�) = ar для деякого r ∈ {1, . . . ,m}. Тодi glim(w�) = glim ◦ ψ(v�) = k̂ ◦ flim(v�) = k ◦ flim(v�) = br . Так само, або flim(v��) = glim(w��) = +∞, або flim(v��) = as i glim(w��) = k ◦ flim(v��) = bs для деякого s ∈ {1, . . . ,m}. Внаслiдок сказаного виконується рiвнiсть k(f(Q)) = g( �Q). Отже, можемо взяти χ(t) = k(t), t ∈ f(Q) . Тодi зi спiввiдно- шень (10.5) i (10.6) слiдує, що k◦f = g◦h. Теорему 1.1 доведено. Лiтература [1] Полулях Е. А. Графы Кронрода-Риба функций на неком- пактных двумерных поверхностях // Укр. мат. журн. — 2015. — 67, 3. — С. 375–396. [2] Зорич В. А. Математический анализ, I. — М.: МЦНМО, 2002. — С. xvi+664. [3] Prishlyak A. O. Topological equivalence of smooth functions with isolated critical points on a closed surface // Topology Appl. — 2002. — 119, 3. — P. 257–267. [4] Church P. T., Timourian J. G. Differentiable open maps of (p + 1)-manifold to p-manifold // Pacific J. Math. — 1973. — 48. — P. 35–45. [5] Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Гео- метрические главы. — М.: Наука, 1977. — С. 488. [6] Hilton P. J., Wylie S. Homology theory: An introduction to algebraic topology. — Cambridge University Press, New York, 1960. — P. xv+484. [7] Куратовский К. Топология, том. 2. — М.: Мир, 1969. — С. 624. [8] Морс М. Топологические методы теории функции компле- ксного переменного. — М.: Изд. иностр. лит., 1951. — С. 248. [9] Sharko V. V., Soroka Yu. Yu. Topological equivalence to a projection // Methods Funct. Anal. Topology. — 2015. — 21, 1. — P. 3–5.
id	oai:trim.imath.kiev.ua:article-86
institution	Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine
keywords_txt_mv	keywords
language	Ukrainian
last_indexed	2026-08-04T01:02:20Z
publishDate	2015
publisher	Інститут математики НАН України
record_format	ojs
resource_txt_mv	trimimathkievua/36/885d76a6a861766a8aeba14003f75836.pdf
spelling	oai:trim.imath.kiev.ua:article-862018-01-23T11:58:55Z Topological equivalence of pseudo-harmonic functions of general position in the plane Про топологiчну еквiвалентнiсть псевдо-гармонiчних функцiй загального положення на площинi Sharko, V. V. Polulyakh, Ye. O. Soroka, Yu. Yu. Шарко, В. В. Полулях, Є. О. Сорока, Ю. Ю. Topological classification of functions in the plane is considered. Using a generalization of the Cronrod-Reeb graph we give necessary and sufficient conditions when two pseudo-harmonic functions which have finite number of singular points and comply with an additional condition are topologically equivalent. Розглянуто питання топологiчної класифiкацiї функцiй на площинi. Використовуючи узагальнення графу Кронрода-Рiба дано необхiднi i достатнi умови, коли двi псевдо-гармонiчнi функцiї загального положення, якi мають скiнчену кiлькiсть сингулярних точок i вiдповiдають певнiй додатковiй умовi, будуть топологiчно еквiвалентними. Інститут математики НАН України 2015-12-15 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/86 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 12 No. 6 (2015): Topology of maps on low-dimensional manifolds; 7-47 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 12 № 6 (2015): Топологiя вiдображень маловимiрних многовидiв; 7-47 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 12 № 6 (2015): Топологiя вiдображень маловимiрних многовидiв; 7-47 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/86/123 Авторське право (c) 2015 В. В. Шарко, Є. О. Полулях, Ю. Ю. Сорока
spellingShingle	Sharko, V. V. Polulyakh, Ye. O. Soroka, Yu. Yu. Шарко, В. В. Полулях, Є. О. Сорока, Ю. Ю. Topological equivalence of pseudo-harmonic functions of general position in the plane
title	Topological equivalence of pseudo-harmonic functions of general position in the plane
title_alt	Про топологiчну еквiвалентнiсть псевдо-гармонiчних функцiй загального положення на площинi
title_full	Topological equivalence of pseudo-harmonic functions of general position in the plane
title_fullStr	Topological equivalence of pseudo-harmonic functions of general position in the plane
title_full_unstemmed	Topological equivalence of pseudo-harmonic functions of general position in the plane
title_short	Topological equivalence of pseudo-harmonic functions of general position in the plane
title_sort	topological equivalence of pseudo-harmonic functions of general position in the plane
url	https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/86
work_keys_str_mv	AT sharkovv topologicalequivalenceofpseudoharmonicfunctionsofgeneralpositionintheplane AT polulyakhyeo topologicalequivalenceofpseudoharmonicfunctionsofgeneralpositionintheplane AT sorokayuyu topologicalequivalenceofpseudoharmonicfunctionsofgeneralpositionintheplane AT šarkovv topologicalequivalenceofpseudoharmonicfunctionsofgeneralpositionintheplane AT polulâhêo topologicalequivalenceofpseudoharmonicfunctionsofgeneralpositionintheplane AT sorokaûû topologicalequivalenceofpseudoharmonicfunctionsofgeneralpositionintheplane AT sharkovv protopologičnuekvivalentnistʹpsevdogarmoničnihfunkcijzagalʹnogopoložennânaploŝini AT polulyakhyeo protopologičnuekvivalentnistʹpsevdogarmoničnihfunkcijzagalʹnogopoložennânaploŝini AT sorokayuyu protopologičnuekvivalentnistʹpsevdogarmoničnihfunkcijzagalʹnogopoložennânaploŝini AT šarkovv protopologičnuekvivalentnistʹpsevdogarmoničnihfunkcijzagalʹnogopoložennânaploŝini AT polulâhêo protopologičnuekvivalentnistʹpsevdogarmoničnihfunkcijzagalʹnogopoložennânaploŝini AT sorokaûû protopologičnuekvivalentnistʹpsevdogarmoničnihfunkcijzagalʹnogopoložennânaploŝini

Topological equivalence of pseudo-harmonic functions of general position in the plane

Репозитарії

Схожі ресурси