Representation type of nodal algebras of type E
We define the representation type (finite, tame, wild) of nodal algebras of type $E$.
Gespeichert in:
| Datum: | 2017 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2017
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/9 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552630620782592 |
|---|---|
| author | Zembyk, V. V. Зембик, В. В. |
| author_facet | Zembyk, V. V. Зембик, В. В. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "В. В. Зембик",
"institution": "Інститут математики НАН України"
}
] |
| author_sort | Zembyk, V. V. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-23T09:53:12Z |
| description | We define the representation type (finite, tame, wild) of nodal algebras of type $E$. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:02:29Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2015, том 12, № 1, 119–140
УДК 512.552.8
В. В. Зембик
(Iн-т математики НАН України, Київ)
Зображувальний тип нодальних
алгебр типу E
vaszem@rambler.ru
We define the representation type (finite, tame, wild) of nodal algebras of
type E.
Визначено зображувальний тип (скiнченний, ручний, дикий) нодаль-
них алгебр типу E.
Ця стаття є продовженням робiт [1, 3]. У роботi [1] були введенi
нодальнi алгебри i встановлено зображувальнi типи (скiнченний, ру-
чний, дикий) нодальних алгебр типу A, тобто таких, якi отримуються
роздуттями i склеюваннями з сагайдакiв типу A або Ã. У статтi [3]
було встановлено зображувальнi типи нодальних алгебр типу D, тоб-
то таких, якi отримуються роздуттями i склеюваннями з сагайдакiв
типу D або D̃, але не є нодальними алгебрами типу A. У цiй робо-
тi ми встановимо зображувальнi типи нодальних алгебр типу E, якi
отримуються роздуттями i склеюваннями з сагайдакiв типу E або Ẽ.
1. Нодальнi алгебри
Ми фiксуємо алгебраїчно замкнене поле k i розглядаємо скiнченнови-
мiрнi k-алгебри.
Означення 1. Алгебра A називається нодальною, якщо iснує спадко-
ва алгебра H з radH = J , H ⊃ A ⊃ J i така, що
1) radA = J ;
c© В.В. Зембик, 2015
120 В.В. Зембик
2) lengthA(H ⊗A U) 6 2 для кожного простого лiвого A-модуля U .
Будемо казати, що нодальна алгебра A пов’язана зi спадковою алге-
брою H.
Нагадаємо, що алгебра A називається базовою [4], якщо її факто-
ралгебра A/ radA iзоморфна прямому добутку тiл. А оскiльки ми роз-
глядаємо алгебри над алгебраїчно замкненим полем k, то в даному
випадку A/ radA ' km для деякого m. Вiдомо [4], що алгебра i її ба-
зова алгебра мають однаковий зображувальний тип. У статтi [1] вста-
новлено, що якщо алгебра A є нодальною й пов’язана зi спадковою
алгеброю H, то й її базова алгебра є нодальною й пов’язаною зi спад-
ковою алгеброю, яка є Морiта-еквiвалентною до H. Отже, надалi ми
обмежимося розглядом лише базових нодальних алгебр.
Вiдомо [1, 2], що кожна базова нодальна алгебра A iзоморфна алге-
брi, яка отримується iз базової спадкової алгебри H iз сагайдаком Q за
допомогою деякої послiдовностi склеювань i роздуттiв вершин цього
сагайдака.
Нагадаємо, що склеювання вершин i та j сагайдака Q називають
неiстотним, якщо не iснує стрiлок, якi входять у вершину i (вiдпо-
вiдно, виходять iз вершини i) та стрiлок, якi виходять iз вершини j
(вiдповiдно, входять у вершину j). У статтi [1] доведено, що такi скле-
ювання не впливають на зображувальний тип алгебри A.
2. Нодальнi алгебри типу E
Тут ми розглядатимемо окремий клас нодальних алгебр, якi будемо
називати нодальними алгебрами типу E.
Означення 2. Нодальна алгебра A, яка пов’язана зi спадковою ал-
геброю H, де H ' kQ i Q — сагайдак Динкiна типу E або Ẽ, зветься
нодальною алгеброю типу E.
Нагадаємо, що до сагайдакiв Динкiна типу E або Ẽ належать графи
4
E6 : 1
α
2
β
3
γ
5
δ ε
6
Зображувальний тип нодальних алгебр типу E 121
4
E7 : 1
α
2
β
3
γ
5
δ ε
6
π
7
4
E8 : 1
α
2
β
3
γ
5
δ ε
6
π
7
η
8
6′
4
θ
Ẽ6 : 1
α
2
β
3
γ
5
δ ε
6
4
Ẽ7 : 7′
σ
1
α
2
β
3
γ
5
δ ε
6
π
7
4
Ẽ8 : 1
α
2
β
3
γ
5
δ ε
6
π
7
η
8
µ
8′
з довiльною орiєнтацiєю ребер. В подальшому ми весь час користува-
тимемося позначеннями вершин i стрiлок, якi присутнi на цих дiагра-
мах.
Наступнi теореми описують зображувальнi типи нодальних алгебр
типу E. При цьому напрям стрiлок, не вказаний явно на малюнках, є
довiльним i не впливає на зображувальний тип.
Теорема 1. Нехай нодальна алгебра A є iзоморфною або антиiзомор-
фною до алгебри, яка одержана з сагайдака типу E деякими неiсто-
тними склеюваннями та однiєю з наступних операцiй:
122 В.В. Зембик
1) склеюванням вершин 1 i 3 у сагайдаку E6 вигляду
4
1
α // 2
β // 3
γ
OO
5
δoo ε
6
або
4
γ
��
1
α // 2
β // 3
δ // 5
ε
6
2) склеюванням вершин 1 i 5 у сагайдаку E6 вигляду
4
1
α // 2
β
3
γ
δ // 5
ε // 6
3) склеюванням вершин 2 i 7 у сагайдаку E7 вигляду
4
1
α // 2
β // 3
γ
5
δ ε
6
π // 7
4) склеюванням вершин 3 i 7 у сагайдаку E7 при умовi, що якщо у
вершину 7 стрiлка π входить, то з вершини 3 обовязково якiсь
двi стiлки виходять;
5) склеюванням вершин 3 i 8 у сагайдаку E8 вигляду
4
1
α
2
β // 3
γ
OO
δ // 5
ε
6
π
7
η // 8
або
4
1
α
2 3
βoo
γ
OO
5
δoo ε
6
π
7
η // 8
Зображувальний тип нодальних алгебр типу E 123
Тодi A має скiнченний зображувальний тип.
Теорема 2. Нехай нодальна алгебра A є iзоморфною або антиiзомор-
фною до алгебри, яка одержана з сагайдака типу E деякими неiсто-
тними склеюваннями та однiєю з наступних операцiй:
1) склеюванням вершин 1 i 3 у сагайдаку E7 вигляду
4
1
α // 2
β // 3
γ
OO
5
δoo ε
6
π
7
або
4
γ
��
1
α // 2
β // 3
δ // 5
ε
6
π
7
2) склеюванням вершин 1 i 5 у сагайдаку E7 вигляду
4
1
α // 2
β
3
γ
δ // 5
ε // 6
π
7
3) склеюванням вершин 2 i 4 у сагайдаку E6
4
1
α // 2
β // 3
γ
OO
5
δ ε
6
4) склеюванням вершин 2 i 5 у сагайдаку E6
4
1
α // 2
β // 3
γ
δ // 5
ε // 6
124 В.В. Зембик
5) склеюванням вершин 2 i 8 у сагайдаку E8 вигляду
4
1
α // 2
β // 3
γ
5
δ ε
6
π
7
η // 8
6) склеюванням вершин 3 i 7 у сагайдаку Ẽ7 вигляду
4
7′
σ
1
α
2
β // 3
γ
OO
δ // 5
ε
6
π // 7
або
4
7′
σ
1
α
2 3
βoo
γ
OO
5
δoo ε
6
π // 7
7) склеюванням вершин 3 i 8 у сагайдаку E8 вигляду
4
γ
��
1
α
2 3
βoo δ // 5
ε
6
π
7
η // 8
8) склеюванням вершин 3 i 8′ у сагайдаку Ẽ8 вигляду
4
1
α
2
β // 3
γ
OO
δ // 5
ε
6
π
7
η
8
µ // 8′
або
4
1
α
2 3
βoo
γ
OO
5
δoo ε
6
π
7
η
8
µ // 8′
Зображувальний тип нодальних алгебр типу E 125
Тодi A є ручною, нескiнченного зображувального типу.
Теорема 3. Якщо нодальна алгебра A типу E, не є анi iзоморфною,
анi антиiзоморфною до алгебри, яка пiдпадає пiд випадки, описанi в
теоремах 1 i 2, то вона є дикою.
3. Доведення теорем
Будемо доводити теореми 1− 3 одночасно. Легко бачити, що будь-яке
роздуття вершин в довiльному сагайдаку типу E або Ẽ дасть дику
задачу. Тому в доведеннi ми будемо мати справу лише iз операцiєю
склеювання вершин сагайдака.
Зауважимо, що тут ми розглянемо лише деякi випадки склеювання.
Iншi випадки доводяться аналогiчним чином, в деякому сенсi навiть
простiше.
I. Склеювання вершин 1 i 3.
В залежностi вiд напряму стрiлок, якi починаються (закiнчуються)
у вершинах 1 i 3, тут можливi наступнi пiдвипадки:
1)
4
1
α // 2
β // 3
γ
OO
5
δoo ε
6
В результатi отримаємо сагайдак вигляду
4
2
β
66 3
α
vv
γ
OO
5
δoo ε
6 зi спiввiдношеннями αβ = 0, αδ = 0.
Зведемо α
(
0 I
0 0
)
, тодi рядки i стовпчики матрицi β подiля-
ться на 2 частини, причому, iз-за умови αβ = 0, останнiй рядок буде
нульовим. Зауважимо також, що при зведеннi β нульовий рядок дiли-
126 В.В. Зембик
ться так же само, як i перший стовпчик. Зведемо β:
β
0 I 0 0
0 0 0 I
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
.
Вiдповiдно, матриця γ подiлиться на 5 вертикальних частин, з яких
1-ша i 5-та — пов’язанi. Зведемо γ:
γ
0 0 I 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 I 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 I 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 I 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 I 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 I 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 I
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
.
Отже, матриця δ подiлиться на 14 горизонтальних частин, причому,
iз-за умови αδ = 0, лише першi 8 з них будуть ненульовими. Легко
бачити, що додавання ненульових рядкiв в δ задається частково впо-
рядкованою множиною S вигляду
•
• •
• •
• •
•
Також δ матиме 2 стовпчики. Згiдно [5], наша задача рiвносильна за-
дачi про зображення частково впорядкованої множини, яка є карди-
нальною сумою S та множини, яка складається з одного елемента. З
робiт [5, 6] випливає, що ця задача має скiнченний тип.
Оскiльки в цiй задачi останньою ми зводили матрицю δ, то неважко
зробити висновок, що таке склеювання в сагайдаку E7 дасть задачу
ручного типу, а уже в сагайдаку E8 — дику.
Важче зробити такий висновок про сагайдак Ẽ6. Тут додатково
подiляться рядки γ, тобто матриця γ подiлиться на 5 вертикальних
Зображувальний тип нодальних алгебр типу E 127
частин i 2 горизонтальнi, i, знову ж таки, вертикальнi смуги пiд номе-
рами 1 i 5 пов’язанi. Звiвши
γ
0 0 0 I 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 I 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 I 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 I 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 I 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 I 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 I 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 I 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 I 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 I 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 I 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 I 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 I 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 I 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 I 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 I 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 I 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 I
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
,
ми бачимо, що матриця δ подiлиться на 27 горизонтальних частин,
причому, iз-за умови αδ = 0, лише першi 15 з них будуть ненульовими.
Додавання ненульових рядкiв в δ задається частково впорядкованою
множиною S вигляду
•
• •
• • •
• • •
• • •
• •
•
Тут, як i вище, δ також матиме 2 стовпчики. З робiт [5, 6] випливає,
що це дика задача.
128 В.В. Зембик
2) (змiнили напрям стрiлки δ).
4
1
α // 2
β // 3
γ
OO
δ // 5
ε
6
В результатi отримаємо сагайдак вигляду
4
2
β
66 3
α
vv
γ
OO
δ // 5
ε
6 зi спiввiдношенням αβ = 0.
Матрицi α, β i γ зводяться так же само, як у випадку 1). Матриця
δ подiлиться на 14 вертикальних частин, додавання яких задається
частково впорядкованою множиною S вигляду
•
• •
• •
• •
• •
• •
• •
•
Також δ матиме 2 рядки. Отже, згiдно [5], наша задача рiвносильна
задачi про зображення частково впорядкованої множини, яка є карди-
нальною сумою S та множини, яка складається з одного елемента. З
робiт [5, 6] випливає, що ця задача є дикою.
3)(змiнили напрям стрiлок γ i δ).
4
γ
��
1
α // 2
β // 3
δ // 5
ε
6
Зображувальний тип нодальних алгебр типу E 129
В результатi отримаємо сагайдак вигляду
4
γ
��
2
β
66 3
α
vv δ // 5
ε
6 зi спiввiдношеннями αβ = 0, αγ = 0.
Ця задача чимось подiбна до тiєї, яку ми розглядали у випадку
1)(тут також присутнi два спiввiдношення, в якi входить α i одне з
яких спiвпадає). Виявляється, що таке склеювання дає аналогiчний
результат: в E6 це буде задача скiнченного типу, в E7 — ручного, а в
E8, Ẽ6, Ẽ7 i Ẽ8 — вона буде дикою.
4) (змiнили напрям стрiлки α).
4
1 2
αoo β // 3
γ
OO
δ // 5
ε
6
В результатi отримаємо сагайдак вигляду
4
2
α
((
β
66 3
γ
OO
δ // 5
ε
6 зi спiввiдношеннями γα = 0, δα = 0.
α, β — “пучок” (Кронекер). Для нього вiдомо такi нерозкладнi зобра-
ження:
(1) α = I, β = Jλ;
(2) α = J0, β = I;
(3) α =
1 0 . . . 0 0
0 1 . . . 0 0
...
...
. . .
...
...
0 0 . . . 1 0
, β =
0 1 0 . . . 0
0 0 1 . . . 0
...
...
...
. . .
...
0 0 0 . . . 1
;
130 В.В. Зембик
(4) α =
1 0 . . . 0
0 1 . . . 0
...
...
. . .
...
0 0 . . . 1
0 0 . . . 0
, β =
0 0 . . . 0
1 0 . . . 0
0 1 . . . 0
...
...
. . .
...
0 0 . . . 1
.
Розглянемо лише тi зображення, в яких α = J0, β = I (довiльних
розмiрiв). Якщо матриця α = J0 має розмiр n× n, то матриця γ подi-
литься на n вертикальних частин. Позначимо γ = ( γ1 γ2 . . . γn ),
тодi iз рiвностi γα = 0 випливає, що γ1 = γ2 = . . . = γn−1 = 0, γn 6= 0.
Теж саме можна сказати i про δ (зауваживши при цьому, що через ε
матриця δ дiлиться ще за рядками). Виходить, що γ i δ дiляться на
вертикальнi полоси i їх може бути скiльки завгодно. При цьому, як вi-
домо, стовпчики, якi вiдповiдають клiтинам меншого розмiру, можна
додавати до стовпчикiв, якi вiдповiдають клiтинам бiльшого розмiру.
Крiм того, пiсля зведення матрицi ε матриця δ подiлиться на двi го-
ризонтальнi полоси, одну з яких можна додавати до другої. Отже, ми
одержимо задачу про пару частково впорядкованих множин, одна з
яких — це (1, 2), а друга — лiнiйка довiльної довжини. Як випливає з
[7], це дика задача.
II. Склеювання вершин 2 i 5.
Зауважимо, що напрям стрiлки γ ролi не грає, а напрями стрiлок
α i β можна вибрати довiльними. В зележностi вiд напряму стрiлок δ
i ε, тут можливi наступнi пiдвипадки:
1) ( δ входить у вершину 5, а ε iз неї виходить).
4
1
α // 2
β // 3
γ
OO
δ // 5
ε // 6
В результатi отримаємо сагайдак вигляду
6 4
1
α // 2
ε
OO
β
((
3
γ
OO
δ
hh зi спiввiдношеннями εα = 0, βδ = 0.
Зведемо α
(
0 I
0 0
)
, тодi стовпчики матрицi ε подiляться на 2
Зображувальний тип нодальних алгебр типу E 131
частини, причому, iз-за умови εα = 0, перший стовпчик буде нульовим.
Пiсля зведення ε
(
0 0 I
0 0 0
)
, рядки матрицi δ подiляться на 3
частини. Зведемо δ:
δ
0 I 0 0
0 0 0 0
0 0 I 0
0 0 0 0
0 0 0 I
0 0 0 0
.
Вiдповiдно, матриця γ подiлиться на 4 вертикальнi частини. Зведемо
γ:
γ
0 I 0 0 0 0 0 0
0 0 0 I 0 0 0 0
0 0 0 0 0 I 0 0
0 0 0 0 0 0 0 I
0 0 0 0 0 0 0 0
.
Отже, матриця β подiлиться на 8 горизонтальних частин. Легко бачи-
ти, що додавання рядкiв в δ задається частково впорядкованою мно-
жиною S вигляду
•
• •
• •
• •
•
Також β матиме 9 стовпчикiв, причому, враховуючи умову βδ = 0, ли-
ше 3 iз них будуть ненульовими. Додавання цих стовчикiв задається
лiнiйно впорядкованою множиною. Згiдно [5], наша задача рiвносиль-
на задачi про зображення частково впорядкованої множини, яка є кар-
динальною сумою S та множини, яка є лiнiйно впорядкованою i має 2
елементи. З робiт [5, 6] випливає, що ця задача ручна (нескiнченного
типу).
Неважко зробити висновок, що вже у сагайдаку E7 таке склею-
вання дасть дику задачу (при появi нової стрiлки, яка не входить у
спiввiдношення, додатково подiляться рядки i стовпчики в δ i, вiдпо-
вiдно, бiльше рядкiв i ненульових стовпчикiв стане в β, яку ми зводили
останньою).
132 В.В. Зембик
Розглянемо ще випадок склеювання вершин 2 i 5 в сагайдаку Ẽ6:
6′
4
θ
OO
1
α // 2
β // 3
γ
OO
δ // 5
ε // 6
В результатi отримаємо сагайдак вигляду
6
1
α // 5
ε
OO
β
66 3
δ
vv γ // 4
θ // 6′ зi спiввiдношеннями βδ = 0, εα = 0.
Ця задача також дика (див. склеювання вершин 2 i 4 у сагайдаку
Ẽ6 — якщо перепозначити деякi стрiлки, то наша задача iдентична
вищевказанiй).
2) ( δ i ε входять у вершину 5).
4
1
α // 2
β // 3
γ
OO
δ // 5 6
εoo
В результатi отримаємо сагайдак вигляду
6
ε
��
4
1
α // 2
β
((
3
γ
OO
δ
hh зi спiввiдношеннями βε = 0, βδ = 0.
Зведемо α
(
0 I
0 0
)
, тодi рядки матрицi ε подiляться на 2 частини.
Зведемо ε:
ε
0 I 0
0 0 0
0 0 I
0 0 0
.
Зображувальний тип нодальних алгебр типу E 133
Вiдповiдно, стовпчики матрицi ε подiляться на 4 частини, причому, iз-
за умови βε = 0, перший i третiй стовпчики будуть нульовими. Зведемо
β:
β
0 0 I 0 0 0
0 0 0 0 0 I
0 0 0 0 0 0
.
А значить, матриця γ подiлиться на 3 вертикальнi частини. Зведемо
γ:
γ
0 I 0 0 0 0
0 0 0 I 0 0
0 0 0 0 0 I
0 0 0 0 0 0
.
Отже, матриця δ подiлиться на 6 вертикальних частин. Неважко ба-
чити, що додавання стовпчикiв в δ задається частково впорядкованою
множиною S1 вигляду
•
• •
• •
•
Також δ матиме 8 рядкiв, причому, враховуючи умову βδ = 0, лише 4
iз них будуть ненульовими. Додавання цих рядкiв задається частково
впорядкованою множиною S2 вигляду
•
• •
•
Отже, наша задача рiвносильна задачi про зображення частково впо-
рядкованої множини, яка є кардинальною сумою S1 та S2. Як вiдомо,
ця задача — дика.
3) ( δ i ε виходять з вершини 5).
4
1
α // 2
β // 3
γ
OO
5
δoo ε // 6
134 В.В. Зембик
В результатi отримаємо сагайдак вигляду
6 4
1
α // 2
ε
OO
β
((
δ
66 3
γ
OO
зi спiввiдношеннями εα = 0, δα = 0.
А це є дикий сагайдак (тут немає спiввiдношень на стрiлки β, δ i ε мiж
собою). А отже, наша задача — дика.
4) ( δ виходить з вершини 5, а ε входить в неї).
4
1
α // 2
β // 3
γ
OO
5
δoo 6
εoo
В результатi отримаємо сагайдак вигляду
6
ε
��
4
1
α // 2
β
((
δ
66 3
γ
OO
зi спiввiдношеннями δα = 0, βε = 0.
А це є дикий сагайдак (тут немає спiввiдношень на стрiлки β, δ i γ
мiж собою). А отже, наша задача — дика.
III. Склеювання вершин 3 i 6 у сагайдаку E7.
Очевидно, що якщо стрiлки δ i ε одночасно входять у вершину 5
(або виходять iз неї), то ми автоматично отримаємо дикий сагайдак.
Тому ми можемо зафiксувати напрям цих стрiлок, вважаючи, напри-
клад, що δ входить у вершину 5, а ε iз неї виходить. В залежностi вiд
напряму iнших стрiлок, якi починаються(закiнчуються) у вершинах 3
i 6 (β, γ i π), тут можливi наступнi пiдвипадки:
1)
4
γ
��
1
α
2 3
βoo δ // 5
ε // 6 7
πoo
Зображувальний тип нодальних алгебр типу E 135
В результатi отримаємо сагайдак вигляду
4
γ
��
1
α
2 6
βoo
δ
((
5
ε
hh зi спiввiдношеннями δε = 0, δπ = 0,
βπ = 0, βε = 0.
7
π
OO
Зведемо ε
(
0 I
0 0
)
, тодi рядки i стовпчики матрицi δ подiляться
на 2 частини, причому, iз-за умови δε = 0, перший стовпчик буде ну-
льовим. Зауважимо також, що при зведеннi δ нульовий стовчик подi-
литься так же само, як i другий рядок. Зведемо δ:
δ
0 0 0 I 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 I
0 0 0 0 0
.
Вiдповiдно, матриця γ подiлиться на 5 горизонтальних частин, причо-
му 1-ша i 5-та частини пов’язанi. Зведемо γ:
γ
0 I 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 I 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 I 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 I 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 I 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 I 0
0 0 0 0 0 0 0 I
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
.
136 В.В. Зембик
Тодi матриця π також подiлиться на 14 горизонтальних частин, при-
чому внаслiдок умови δπ = 0 останнi 6 рядкiв будуть нульовими. За-
уважимо також, що в цiй матрицi 4 першi i 4 останнi рядки пов’язанi.
Додавання ненульових рядкiв тут задається частково впорядкованою
множиною вигляду:
•
• •
• •
• •
•
При зведеннi матрицi π, вона подiлиться на 44 горизонтальнi частини.
Отже, в кiнцевому рахунку матриця β буде мати 2 горизонтальнi ча-
стини i 44 вертикальних. Враховуючи умови βπ = 0 i βε = 0, лише 18
стовпчикiв у β будуть ненульовими. Пронумерувавши їх справа налiво
вiд 1 до 18, неважко зробити висновок, що додавання цих стовпчикiв
задається частково впорядкованою множиною S вигляду:
1
5 8
13 2
9
3
6 10
4
7 11
14
15
16
17
18
З [5] випливає, що наша задача рiвносильна задачi про зображення
частково впорядкованої множини, яка є кардинальною сумою S та
Зображувальний тип нодальних алгебр типу E 137
множини, яка складається з одного елемента. З робiт [5, 6] випливає,
що ця задача дика.
2)
4
1
α
2
β // 3
γ
OO
δ // 5
ε // 6 7
πoo
В результатi отримаємо сагайдак вигляду
4
1
α
2
β // 6
γ
OO
δ
((
5
ε
hh зi спiввiдношеннями δε = 0, δπ = 0,
γπ = 0, γε = 0.
7
π
OO
Аналогiчно до попереднього випадку, спочатку зведемо матрицi ε i δ.
Пiсля цього матриця β подiлиться на 5 горизонтальних частин (1-ша i
5-та з них пов’язанi) та 2 вертикальнi. Пiсля зведення кожен з рядкiв
в β подiлиться на 3, причому пов’язанi (1-й i 5-й рядки) ще додатково
подiляться, тобто в кiнцевому рахунку β матиме 27 рядкiв, додавання
яких задається частково впорядкованою множиною вигляду:
•
• •
• • •
• • •
• • •
• • •
• • •
• • •
• • •
• •
•
Тодi матриця γ розiб’ється на 27 стовпчикiв iз такими ж додаваннями.
Враховуючи умову γε = 0, першi 12 стовпчикiв в γ будуть нульовими.
138 В.В. Зембик
Тобто, залишається 15 ненульових стовпчикiв. Пронумеруємо їх злiва
направо вiд 1 до 15. Зазаначимо, що додавання цих стовпчикiв керує-
ться частково впорядкованою множиною вигляду:
15
12 14
9 11 13
6 8 10
3 5 7
2 4
1
Розглянемо зображення, в яких γ має наступний вигляд (де ненульовi
смуги — лише 6, 9, 11 i 13):
γ =
I 0 0 0 I 0
0 I I 0 I 0
0 0 0 I 0 I
.
Тодi, з умови γπ = 0 випливає, що π має вигляд
π =
−A1
−A1 −A2
A2
B
A1
−B
,
де матрицi (A1, A2) утворюють пучок i нiяких додавань мiж A1, A2 та
B немає. А це є вiдома дика задача — зображення сагайдака:
· ·
a2
gg
a1
xx b // ·
3)
4
γ
��
1
α
2 3
βoo δ // 5
ε // 6
π // 7
Зображувальний тип нодальних алгебр типу E 139
В результатi отримаємо сагайдак вигляду
4
γ
��
1
α
2 6
βoo
δ
((
π
��
5
ε
hh зi спiввiдношеннями δε = 0, βε = 0, πγ = 0.
7
4)
4
1
α
2
β // 3
γ
OO
δ // 5
ε // 6
π // 7
В результатi отримаємо сагайдак вигляду
4
1
α
2
β // 6
γ
OO
δ
((
π
��
5
ε
hh зi спiввiдношеннями δε = 0, γε = 0, πβ = 0.
7
Ми не будемо приводити доведення для останнiх двох пiдвипадкiв,
лише зазначимо, що воно подiбне доведенню для пiдвипадкiв 1 i 2.
Враховуючи, що тут на одне спiввiдношення менше, задача не може
бути «кращою» за двi вищероглянутi, а тому вона також дика.
Цим завершується доведення теорем 1–3.
Лiтература
[1] Drozd Y. A., Zembyk V. V. Representations of nodal algebras of type
A // Algebra Discrete Math. – 2013. – 15, №2. – P. 179–200.
[2] Зембик В.В. Будова скiнченновимiрних нодальних алгебр // Укр.
мат. журн. – 2014. – 66, №3. – С. 415–419.
140 В.В. Зембик
[3] Дрозд Ю.А., Зембик В.В. Зображувальний тип нодальних алгебр
типу D // Укр. мат. журн. – 2014. – 66, №7. – С. 930–938.
[4] Дрозд Ю.А., Кириченко В.В. Конечномерные алгебры. – К.: Ви-
ща школа, 1980.
[5] Клейнер М. М. Частично упорядоченные множества конечного ти-
па // Записки науч. семин. ЛОМИ. – 1972. – 28. – С. 32–41.
[6] Назарова Л. А. Частично упорядоченные множества бесконечного
типа // Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1975. – 39. – С. 963–991.
[7] Kleiner M. M. Pairs of partially ordered sets of tame representation
type // Linear Algebra Appl. – 1988. – 104. – P. 103–115.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-9 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:02:29Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/81/ef65f08b225d58c1e3ffaf039aa01f81.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-92018-01-23T09:53:12Z Representation type of nodal algebras of type E Зображувальний тип нодальних алгебр типу E Zembyk, V. V. Зембик, В. В. We define the representation type (finite, tame, wild) of nodal algebras of type $E$. Визначено зображувальний тип (скiнченний, ручний, дикий) нодальних алгебр типу $E$. Інститут математики НАН України 2017-11-26 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/9 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 12 No. 1 (2015): Spectral theory of operators and of collections of operators; 119-140 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 12 № 1 (2015): Спектральна теорія операторів та наборів операторів; 119-140 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 12 № 1 (2015): Спектральна теорія операторів та наборів операторів; 119-140 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/9/10 |
| spellingShingle | Zembyk, V. V. Зембик, В. В. Representation type of nodal algebras of type E |
| title | Representation type of nodal algebras of type E |
| title_alt | Зображувальний тип нодальних алгебр типу E |
| title_full | Representation type of nodal algebras of type E |
| title_fullStr | Representation type of nodal algebras of type E |
| title_full_unstemmed | Representation type of nodal algebras of type E |
| title_short | Representation type of nodal algebras of type E |
| title_sort | representation type of nodal algebras of type e |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/9 |
| work_keys_str_mv | AT zembykvv representationtypeofnodalalgebrasoftypee AT zembikvv representationtypeofnodalalgebrasoftypee AT zembykvv zobražuvalʹnijtipnodalʹnihalgebrtipue AT zembikvv zobražuvalʹnijtipnodalʹnihalgebrtipue |