Classes of topological conjugacy of quadratic homogeneous polynomial maps

We study classes of topological conjugacy of quadratic homogeneous polynomial maps of a plane which are internal maps. Partial results are achieved, but this problem needs futher research.

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2015
Hauptverfasser:	Vlasenko, I. Yu., Holtsov, D. A., Власенко, И. Ю., Гольцов, Д. А.
Format:	Artikel
Sprache:	Russisch
Veröffentlicht:	Інститут математики НАН України 2015
Online Zugang:	https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/91
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine
Завантажити файл:

Institution

Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine

_version_	1872552626298552320
author	Vlasenko, I. Yu. Holtsov, D. A. Власенко, И. Ю. Гольцов, Д. А.
author_facet	Vlasenko, I. Yu. Holtsov, D. A. Власенко, И. Ю. Гольцов, Д. А.
author_institution_txt_mv	[ { "author": "", "institution": "Институт математики НАН Украины" }, { "author": "", "institution": "Институт математики НАН Украины" } ]
author_sort	Vlasenko, I. Yu.
baseUrl_str	https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai
collection	OJS
datestamp_date	2018-01-23T11:58:55Z
description	We study classes of topological conjugacy of quadratic homogeneous polynomial maps of a plane which are internal maps. Partial results are achieved, but this problem needs futher research.
first_indexed	2026-08-04T01:02:25Z
format	Article
fulltext	Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2015, т.12, №6, 48-67 И. Ю. Власенко, Д. А. Гольцов Институт математики НАН Украины, Киев vlasenko@imath.kiev.ua, adanos@i.ua О классах топологической сопряженности квадратичных однородных внутренних полиномиальных отображений We study classes of topological conjugacy of quadratic homogeneous poly- nomial maps of a plane which are internal maps. Partial results are achieved, but this problem needs futher research. Дослiджуються класи топологiчної спряженостi однорiдних квадрати- чних вiдображень площини, якi є внутрiшнiми вiдображеннями. 1. Введение Отображения из одного пространства в другое топологи- чески классифицируются как классы топологической эквива- лентности, то есть замены координат гомеоморфизмами в обра- зе и прообразе. В случае, когда отображение отображает про- странство в себя, существуют и другие, более детальные спо- собы классификации, дополнительно подразделяющие классы топологической эквивалентности. Это классификация с точно- стью до левого или правого действия гомеоморфизмом и клас- сификация с точностью до топологической сопряженности (то есть описание свойств, инвариантных относительно сопряжен- ности гомеоморфизмом1). 1Гомеоморфизмы f, g : X → X топологически сопряжены, если существу- ет гомеоморфизм h : X → X такой, что f ◦ h = h ◦ g. Подробнее см. [1]. © И. Ю. Власенко, Д. А. Гольцов, 2015 О квадратичных однородных внутренних отображениях 49 Для классификации с точностью до топологической сопря- женности получено много результатов, относящихся к раз- личным классам обратимых отображений— гомеоморфизмов и диффеоморфизмов. В то же время необратимые эндомор- физмы, по сравнению с обратимыми, сравнительно не изуче- ны. Голоморфные отображения одной комплексной перемен- ной являются на сегодняшний день одним из самых изученных классов необратимых внутренних отображений. Однако и для них классификация даже семейства полиномов второго поряд- ка z2 + c является непростой задачей (см. [2]). Отображения, отличные от голоморфных и некоторых дру- гих специальных классов необратимых отображений, таких, как одномерные отображения отрезка, как правило, представ- ляют собой “terra incognita” для задач топологической класси- фикации. В работах [3,4] был введен ряд новых инвариантов топологи- ческой сопряженности внутренних (т.е. открытых дискретных) отображений, в качестве модели для которых использовались динамические инвариантные множества гомеоморфизмов. Используя эти инварианты, в [5] для некоторого класса внут- ренних отображений, включающих отображения, у которых координатные функции являются однородными многочленами произвольной степени двух действительных переменных, были изучены некоторые топологические инварианты сопряженно- сти, описаны их свойства и дан критерий топологической со- пряженности. Критерий топологической сопряженности, полученный в [5], применяется в данной работе для изучения границ классов то- пологической сопряженности квадратичных однородных внут- ренних полиномиальных отображений плоскости. 50 И. Ю. Власенко, Д. А. Гольцов 2. Предварительные сведения Внутренним отображением будем называть непрерывный открытый (образ любого открытого множества открыт) конеч- нократный (у каждой точки число прообразов конечно) эпи- морфизм. Подробнее о внутренних отображениях см. [6]. Отображение f : Rn → Rn назовем однородным порядка k, если ∀t ≥ 0 ∀x ∈ Rn f(tkx) = tkf(x). Пусть Ĉ— двумерная сфера, являющаяся замыканием дву- мерного цилиндра R2 \ {0} точками 0 и ∞, и f : Ĉ → Ĉ— его внутреннее и однородное порядка k > 1 необратимое отображе- ние, не имеющее в цилиндре R2 \ {0} особых точек, с точками ветвления 0 и ∞. Заметим, что не всякое однородное отображение является внутренним. Например, однородное порядка 2 отображение (x, y) �→ (x2, y2) складывает блинчиком окрестность точки 0 и внутренним не является. Обозначим через O+ f (x) положительную полутраекторию точки x, то есть множество {fn(x)\| n ≥ 0}. Обозначим через O− f (x) отрицательную полутраекторию точки x, то есть мно- жество {fn(x)\| n < 0}. Широкой траекторией Of (x) точки x назовем множество ∪y∈O+ f (x)O − f (y). В отличие от гомеоморфизмов, для которых траектория точ- ки в точности состоит из ее положительной и отрицательной полутраекторий, у внутренних отображений широкая траекто- рия точки имеет и другие точки. Введем еще одно естествен- ное подмножество широкой траектории точки, которое нигде не пересекается с ее положительной и отрицательной полутра- екториями, кроме как в самой точке. Нейтральным сечением траектории точки x назовем множе- ство {f−n (fn(x)) \| n ≥ 0}, которое будем обозначать O⊥ f (x). Как легко видеть из определения, если среди образов x нет периодической точки, а f имеет в точках орбиты больше одно- го прообраза, то широкая траектория точки x распадается на О квадратичных однородных внутренних отображениях 51 бесконечное число нейтральных сечений, причем каждое ней- тральное сечение состоит из бесконечного числа точек. Определение 2.1. Точка x называется блуждающей точ- кой f , если найдется такая ее окрестность U , что для всех m ∈ Z выполнено условие fm(U) ∩ U = ∅. Общие определения суперблуждающих и равномерно супер- блуждающих даны в [4].Для краткости изложения дадим здесь упрощенное определение, используя тот факт, что в постро- енных примерах блуждающее множество двусвязно и гомео- морфно цилиндру, а сужение рассматриваемых отображений на этот цилиндр является локальным гомеоморфизмом. Определение 2.2. Точка x называется нейтрально блуж- дающей точкой f , если найдется такая ее связная окрест- ность U , что ∀n ≥ 0 открытое множество f−n(fn(U)) рас- падается на компоненты связности такие, что сужение f на каждую компоненту связности является гомеоморфизмом и каждая компонента связности содержит в точности одну точку из множества {f−n (fn(x))}. Определение 2.3. Точка x называется суперблуждающей точкой f , если она блуждающая и нейтрально блуждающая. Обозначим через Ω множество неблуждающих (не являю- щихся блуждающими) точек. Обозначим через Ω⊥ множество нейтрально неблуждающих (не являющихся нейтрально блуж- дающими) точек. Заметим, что это замкнутые множества. Определение 2.4. Блуждающая точка x называется регу- лярной, если для каждого � > 0 существует δ-окрестность δ(x) точки x, и N > 0 такие, что для любого k ∈ Z такого, что \|k\| > N выполняется условие: fk(δ(x)) ⊂ �(Ω), где �(Ω)— �-окрестность множества Ω. Очевидно, что множество регулярных точек открыто. 52 И. Ю. Власенко, Д. А. Гольцов 3. Критерий топологической сопряженности двумерных однородных внутренних отображений Напомним, что f : Ĉ → Ĉ— внутреннее и однородное поряд- ка k > 1 необратимое (степени >1) отображение, не имеющее в цилиндре R2 \ {0} особых точек, с точками ветвления 0 и ∞. В работе [5] получены следующие свойства этих отображе- ний: (1) ∀x ∈ R2 \ {0}, ∀t > 0, нейтральные сечения O⊥(x) и O⊥(tx) подобны с центром подобия в 0. (2) У отображения f точки 0 и ∞ обладают открытыми бассейнами притяжения. (3) На каждом луче, исходящем из центра координат, ле- жит ровно одна точка, не принадлежащая бассейнам притяжения точек 0 и ∞. (4) Множество точек, не принадлежащих бассейнам притя- жения точек 0 и ∞, образует гомеоморфную окружно- сти нейтрально инвариантную (то есть содержащую с каждой своей точкой ее нейтральное сечение) жордано- ву кривую, разделяющую бассейны притяжения точек 0 и ∞. Возьмем некоторый луч, выходящий из центра координат. Обозначим точку пересечения этого луча и γ1 через p1. Тогда точки луча можно представить как pt = tp1, t > 0. Исполь- зуя t как коэффициент подобия, построим набор кривых γt, t > 0, являющихся гомотетиями кривой γ1 относительно нача- ла координат. По построению, это некоторое слоение цилиндра R2 \ {0}, причем это слоение нейтрально инвариантно. Обозначим через Sφ гомеоморфное окружности множество лучей, исходящих из начала координат, где расстояние между двумя лучами равно минимуму углов между ними. Тогда f индуцирует на Sφ необратимое внутреннее отображение fφ без особых точек, то есть накрытие. В [4] полный топологический инвариант накрытий окружно- сти описан в терминах нейтрально инвариантных множеств, и О квадратичных однородных внутренних отображениях 53 в этих терминах дан критерий топологической сопряженности накрытий окружности одной и той же степени. Теорема 3.1 (Критерий топологической сопряженности, [4]). Пусть f и g — внутренние и однородные порядка k > 1 необра- тимые отображения, не имеющие в цилиндре R2 \ {0} особых точек, с точками ветвления 0 и ∞, и fφ, gφ : Sφ → Sφ — ин- дуцированные ими внутренние отображения множества Sφ. f и g топологически сопряжены ⇐⇒ fφ и gφ топологически сопряжены. 4. Классы топологической сопряженности В работе [5] однородные отображения были классифициро- ваны в терминах инвариантных множеств индуцированного отображения на множестве лучей. Этот подход работает, ес- ли инвариантные множества сравниваемых отображений уже известны. Однако такой важный частный случай однородных отобра- жений, как однородные полиномиальные отображения, зада- ются коэффициентами своих координатных полиномиальных функций. В таком случае их инвариантные множества инду- цированного отображения на множестве лучей заранее не из- вестны. Поэтому для однородных полиномиальных отображе- ний возникает задача вычислить по коэффициентам их коор- динатных полиномиальных функций их топологические инва- рианты, чтобы к ним можно было бы применить результаты работы [5]. Отметим, что, несмотря на простоту постановки, задачи та- кого вида весьма сложны в реализации. Здесь уместно вспом- нить и однопараметрическое семейство отображений прямой x2 + c, для изучения которого понадобилось развитие методов эргодической динамики. С их помощью удалось установить, что на интервале значений параметра c, порождающих хаоти- ческую динамическую систему, энтропия Колмогорова-Синая 54 И. Ю. Власенко, Д. А. Гольцов отображений различна, а значит, отображения попарно топо- логически не сопряжены. Более общее комплексное однопараметрическое семейство отображений комплексной плоскости z2 + c, порождает знаме- нитое множество Мальдеброта, изучению которого посвящено большое количество работ, а многие вопросы о его строении не решены до сих пор. Рассматриваемая здесь задача сродни упомянутым выше за- дачам тем, что, как и они, она не решается “в лоб”. Индуци- рованное отображение на множестве лучей можно явно вычис- лить. Однако далее из результатов работы [5] следует, что топо- логические инварианты индуцированнного отображения опре- деляются наличием и взаимным расположением его периодиче- ских интервалов. Чтобы определить расположение периодиче- ских интервалов, необходимо исследовать периодические точ- ки отображения, которых бесконечное число, выделить среди них неотталкивающие траектории, определить, входят ли та- кие траектории в границу периодических интервалов, и опре- делить взаимное расположение периодических интервалов. В работе [4] высказано предположение, что число периоди- ческих интервалов такого отображения конечно. Однако апри- ори это число может быть как угодно большим, в частности, превосходить возможности компьютерного эксперимента. По- этому описать топологические инварианты однородных поли- номиальных отображений в терминах коэффициентов его ко- ординатных полиномиальных функций— крайне не простая за- дача даже для квадратичных полиномиальных функций. Тем не менее, некоторые частичные результаты получить можно, чем мы и займемся далее. Для дальнейшего продвиже- ния в будущем можно будет провести масштабные компьютер- ные эксперименты, в основе которых будут полученные здесь частичные результаты. 4.1. Однородные квадратичные внутренние отображе- ния. Каждое однородное квадратичное отображение имеет О квадратичных однородных внутренних отображениях 55 вид: f : (x, y) �→ (a20x 2 + a11xy + a02y 2, b20x 2 + b11xy + b02y 2). У него имеется единственная неподвижная особая точка (0, 0). Матрица Якоби f принимает вид � 2a20x+ a11y a11x+ 2a02y 2b20x+ b11y b11x+ 2b02y � , а ее детерминант равен (2a20x+ a11y)(b11x+ 2b02y)− (2b20x+ b11y)(a11x+ 2a02y) = = 2(a20b11−a11b20)x 2+4(a20b02−a02b20)xy+2(a11b02−a02b11)y 2. Чтобы однородное квадратичное отображение было внут- ренним, необходимо, чтобы особая точка была изолированной, то есть, чтобы вырожденная кривая II порядка (a20b11−a11b20)x 2+2(a20b02−a02b20)xy+(a11b02−a02b11)y 2 = 0 вырождалась в точку (представляла собой вырожденный эл- липс в классификации кривых II порядка). Для этого необхо- димым и достаточным условием является неравенство I2 > 0 для второго инварианта кривых II порядка. В наших обозна- чениях I2 = (a20b11−a11b20)(a11b02−a02b11)− (a20b02−a02b20) 2 > 0. В таком виде однородные квадратичные отображения ци- линдра являются шестипараметрическим семейством отобра- жений. Для задачи топологического описания этого семейства такое количество параметров избыточно. Заменами координат выделим из этого семейства более простое для изучения под- семейство, содержащее представителей всех классов топологи- ческой сопряженности исходного семейства. Легко видеть, что однородные квадратичные отображения с неподвижной особой точкой в (0, 0) обладают инвариантным 56 И. Ю. Власенко, Д. А. Гольцов слоением на координатные кривые φ = const в полярных ко- ординатах— исходящие из точки O лучи. Также, отображение симметрично относительно центра координат. На окружности— пространстве исходящих из точки O лу- чей— наше однородное квадратичное внутреннее отображение индуцирует двулистное накрытие. Такое отображение всегда имеет как минимум одну неподвижную точку (лемма 7.5 в [4]), которой соответствует инвариантный луч. Поворотом системы координат можно добиться, чтобы этот инвариантный луч пе- решел в положительный луч координатной оси OX. При этом b20 будет равно 0, однородное квадратичное внутреннее отоб- ражение принимает вид f : (x, y) �−→ � a20x 2 + a11xy + a02y 2, b11xy + b02y 2 � , а условие для I2 принимает вид I2 = a20b11(a11b02 − a02b11)− a220b 2 02 > 0. Ограничение f на положительный луч координатной оси OX является отображением a20x 2. Поскольку этот луч инвариан- тен, то a20 > 0 и a20x 2 — гомеоморфизм с притягивающими точками 0 и ∞ и неподвижной отталкивающей точкой 1 a20 . То- гда линейной заменой координат x� = x√ a20 можно добиться, что a20 = 1, на луче координатной оси OX (1, 0) является от- талкивающей неподвижной точкой, и однородное квадратич- ное внутреннее отображение принимает вид f : (x, y) �−→ � x2 + a11xy + a02y 2, b11xy + b02y 2 � с условием I2 = b11(a11b02 − a02b11)− b202 > 0. Рассмотрим нейтральное сечение неподвижной точки (1, 0). Вычислим ее нейтральные итерации1. Δ⊥ 1 ((1, 0)) = {(−1, 0)}. Сосчитаем Δ⊥ 2 ((1, 0)). Для этого найдем прообраз точки (−1, 0): 1Δ⊥ n (x) = f−n ◦ fn(x) \ f−(n−1) ◦ fn−1(x), см. тж. определение 3.7 в [4]. О квадратичных однородных внутренних отображениях 57 x2 + a11xy + a02y 2 = −1 b11xy + b02y 2 = 0 Если b02 = 0, то x = 0 и y2 = 1 −a02 . Если b02 �= 0, то y = − b11 b02 x и x2 = b202 b11(a11b02 − a02b11)− b202 = b202 I2 > 0. В первом случае (b02 = 0) из условия I2 > 0 получим, что a02 < 0. Тогда линейной заменой y� = √−a02y отображение в новой системе координат приводится к виду f : (x, y) �→ (x2 + a11xy − y2, b11xy) (4.1) с условием I2 = b211 > 0, или, эквивалентно, b11 �= 0. При этом в новых координатах Δ⊥ 1 ((0, 1)) = {(−1, 0)}, Δ⊥ 2 ((0, 1)) = {(0,−1), (0, 1)}. Во втором случае (b02 �= 0) мы имеем Δ⊥ 2 ((0, 1)) =      � b202 I2 ,−b11 b02 � b202 I2   ,  − � b202 I2 , b11 b02 � b202 I2      . Возьмем линейную замену координат, которая ось OX остав- ляет неизменной, а прямую, соединяющую точки O = (0, 0) и� + � b202 I2 ,− b11 b02 � b202 I2 � переводит в ось OY так, что образом точ- ки �� b202 I2 ,− b11 b02 � b202 I2 � станет точка (0, 1). С помощью такой замены во втором случае (b02 �= 0) внут- реннее отображение в новой системе координат также приво- дится к виду (4.1). Следствие 4.2. Однородные внутренние квадратичные отоб- ражения цилиндра R2 \ O линейно эквивалентны отображе- ниям двухпараметрического семейства (4.1). 58 И. Ю. Власенко, Д. А. Гольцов Отметим, что для отображений семейства (4.1) Jf = det � 2x+ a11y a11x− 2y b11y b11x � = 2b11(x 2 + y2). Поэтому знак Якобиана Jf определяется знаком b11. Соответ- ственно, семейство (4.1) содержит 2 подсемейства: отображе- ния, сохраняющие ориентацию, с b11 > 0, и обращающие ори- ентацию, с b11 < 0. Изучим отображения этого семейства с точностью до топо- логической сопряженности. Заметим, что однородные квадратичные отображения явля- ются частным случаем однородных отображений из работы [5], поэтому для них справедливы утверждения лемм 1–5 и теоре- ма 1 из этой работы. Следствие 4.3. У отображений семейства (4.1) замыкание нейтрального сечения точки (1, 0) входит в общую границу бассейнов притяжения точек O и ∞. Пусть f — отображение семейства (4.1). Обозначим через f1(x, y) = x2 + a11xy− y2, f2(x, y) = b11xy координатные функ- ции отображения f . Обозначим через Sφ гомеоморфное окружности множество лучей, исходящих из начала координат. Отображение f инду- цирует на Sφ внутреннее отображение fφ. В качестве Sφ можно взять единичную окружность. Ее точки имеют вид (cosϕ, sinϕ), где ϕ— угловая координата. При этом f1(ϕ) = cos 2ϕ+ a11 2 sin 2ϕ, f2(ϕ) = b11 2 sin 2ϕ. Тогда внутреннее отображение fφ : Sφ → Sφ можно выразить из уравнений cos(fφ) = f1√ f2 1+f2 2 , sin(fφ) = f2√ f2 1+f2 2 , ctg(fφ) = f1 f2 . Из них последнее выражение наиболее удобно для вычислений. Получим О квадратичных однородных внутренних отображениях 59 fφ(ϕ) =    arcctg � 2 b11 ctg(2ϕ) + a11 b11 � , f2 > 0 arcctg � 2 b11 ctg(2ϕ) + a11 b11 � − π, f2 < 0, f1 > 0 arcctg � 2 b11 ctg(2ϕ) + a11 b11 � + π, f2 < 0, f1 ≤ 0 π 2 , f2 = 0, f1 > 0 −π 2 , f2 = 0, f1 < 0 Предположим, что ϕ не принимает значения 0, π 2 , π, 3π 2 . Для удобства обозначим a = a11, b = b11. Тогда производная отоб- ражения fφ(ϕ) имеет вид (fφ) �(ϕ) = � arcctg � 2 b ctg 2ϕ+ a b �� = = − 1 1 + � 2 b ctg 2ϕ+ a b �2 � 2 b · � − 1 sin2 2ϕ � · 2 � = = 4 b · sin2 2ϕ � 1 + � 2 b ctg 2ϕ+ a b �2� . Таким выражением удобно пользоваться для всех точек, кроме 0, π 2 , π, 3π 2 . Для вычисления значения (fφ) �(ϕ) в этих точках удобнее воспользоваться выражением sin(fφ) = f2√ f2 1+f2 2 , Из него следует, что в этих точках (fφ) � = b. В работе [5] описаны классы топологической сопряженности индуцированного отображения fφ, а значит, и отображений се- мейства (4.1). Для fφ возникает следующая дихотомия: либо Ω⊥(fφ) = Sφ, либо Ω⊥(fφ) �= Sφ. 4.4. Отображения сопряженные с z �→ z2. Рассмотрим вначале случай, когда Ω⊥(fφ) = Sφ. Тогда у fφ нет периодиче- ских интервалов и fφ топологически сопряжено стандартному линейному растяжению окружности φ �→ 2φ либо φ �→ −2φ, в 60 И. Ю. Власенко, Д. А. Гольцов зависимости от того, fφ сохраняет ориентацию окружности Sφ или нет. Тогда для отображений семейства (4.1) имеют место резуль- таты из [5] и главы 7 [4]. В частности, замыкание нейтрального сечения точки (1, 0) является той гомеоморфной окружности жордановой кривой, которая разделяет бассейны притяжения точек O и ∞, и такой, что сужение на нее отображения се- мейства (4.1) порождает отображение fφ. При этом, если f со- храняет ориентацию, то f топологически сопряжено z2, а если обращает— то z2. Возникает естественный вопрос: при каких значениях коэф- фициентов a и b у отображения fφ, индуцированного отобра- жением f семейства (4.1), имеет место Ω⊥(fφ) = Sφ? Для проверки можно было бы воспользоваться тем, что отоб- ражение fφ гладкое, и сосчитать производную вдоль каждой периодической траектории. Если Ω⊥(fφ) = Sφ, то все периоди- ческие траектории топологически отталкивающие. Если при некоторых значениях коэффициентов a и b у отображения fφ найдется траектория, такая, что производная вдоль тра- ектории (произведение значений производной во всех точках) меньше 1, то отображение fφ имеет притягивающую траекто- рию, и Ω⊥(fφ) �= Sφ. И наоборот, если для всех периодиче- ских траекторий производная вдоль траектории больше 1, то все периодические траектории топологически отталкивающие и Ω⊥(fφ) = Sφ. Если же для какой-то периодической траек- тории производная вдоль траектории равна 1, то для такой траектории требуется дополнительное исследование, является ли она топологически отталкивающей. Однако такой критерий на практике не применим, так как для исследования бесконечного числа траекторий требуется произвести бесконечное число вычислений. Тем не менее, один важный частный случай этого критерия можно легко вычис- лить. Когда производная отображения fφ строго больше 1 на О квадратичных однородных внутренних отображениях 61 всей окружности, то тем более для всех периодических траек- торий производная вдоль траектории больше 1. Ограничимся частным случаем, когда отображения семей- ства (4.1) сохраняют ориентацию, (b > 0). Вычислим, когда производная отображения fφ строго больше 1 на всей окруж- ности. Как и выше, можно считать, что ϕ �= 0, π2 ,π, 3π 2 . Тогда из b > 0 получаем, что b · sin2 2ϕ � 1 + � 2 b ctg 2ϕ+ a b �2� > 0. Следо- вательно, \|f �(ϕ)\| > 1 влечет 4 b · sin2 2ϕ � 1 + � 2 b ctg 2ϕ+ a b �2� > 1, b · sin2 2ϕ � 1 + � 2 b ctg 2ϕ+ a b �2� < 4, b · � sin2 2ϕ+ sin2 2ϕ · � 4 b2 ctg2 2ϕ+ 4a b2 ctg 2ϕ+ a2 b2 �� < 4, b sin2 2ϕ+ 4 b cos 2 2ϕ+ 4a b cos 2ϕ sin 2ϕ+ a2 b sin2 2ϕ < 4, b2 sin2 2ϕ+ 4 cos2 2ϕ+ 4a cos 2ϕ sin 2ϕ+ a2 sin2 2ϕ < 4b, � a2 + b2 � sin2 2ϕ+ 4a cos 2ϕ sin 2ϕ+ 4 cos2 2ϕ− 4b < 0, � a2 + b2 � (2 tgϕ)2 (1 + tg2 ϕ) 2 + 4a 2 tgϕ � 1− tg2 ϕ � (1 + tg2 ϕ) 2 +4 � 1− tg2 ϕ �2 (1 + tg2 ϕ) 2 − 4b < 0, � a2 + b2 � tg2 ϕ+ 2a tgϕ � 1− tg2 ϕ � + � 1− tg2 ϕ �2− −b � 1 + tg2 ϕ �2 < 0. Используя замену u = tgϕ получим: � a2 + b2 � u2 + 2au � 1− u2 � + � 1− u2 �2 − b � 1 + u2 �2 < 0, (1− b)u4 − 2au3 + � a2 + b2 − 2b− 2 � u2 + 2au+ (1− b) < 0. 62 И. Ю. Власенко, Д. А. Гольцов Положим q(u) = (1− b)u4 − 2au3 + � a2 + b2 − 2b− 2 � u2 + 2au+ (1− b). Заметим, что когда ϕ ∈ � 0, π2 � , то u > 0. Чтобы имело место неравенство q1(u) < 0, для каждого u > 0 график полинома q1 должен лежать под осью Ox. Рассмотрим два случая 1) Пусть b = 1. Тогда q1(u) = −2au3 + � a2 − 3 � u2 + 2au < 0, u � 2au2 − � a2 − 3 � u− 2a � > 0, 2au2 − � a2 − 3 � u− 2a > 0. Рассмотрим последнее неравенство. При a �= 0 оно задано по- линомом второй степени. Отметим, что дискриминант левой части последнего неравенства равен D = � a2 − 3 �2 + 16a2 > 0. Он всегда положителен, а значит, уравнение всегда имеет кор- ни и случай a �= 0 не подходит. Если же a = 0, то получим неравенство −3u2 < 0, которое не выполняется при a = 0. По- этому при b = 1 имеем только нестрогое неравенство −3u2 ≤ 0 и fϕ не является строго метрически растягивающим отображе- нием. 2) Предположим, что b �= 1. Тогда (1− b)u4 − 2au3 + � a2 + b2 − 2b− 2 � + 2au+ (1− b) < 0. Сокращая на u2, получим: (1− b) � u2 + 1 u2 � − 2a � u− 1 u � + � a2 + b2 − 2b− 2 � < 0 (1− b) �� u− 1 u �2 + 2 � − 2a � u− 1 u � + � a2 + b2 − 2b− 2 � < 0. Сделаем замену t = u− 1 u , тогда (1− b)t2 − 2at+ � a2 + b2 − 4b � < 0. О квадратичных однородных внутренних отображениях 63 Если u пробегает все множество положительных чисел, то t пробегает всю числовую прямую, поэтому последнее неравен- ство должно выполняться для всех t ∈ R, то есть дискриминант левой части должен быть отрицательным и 1 − b < 0. Таким образом, D = 4a2 + 4(b− 1) � a2 + b2 − 4b � < 0, a2 + (b− 1) � a2 + b2 − 4b � < 0, a2b+ b(b− 4)(b− 1) < 0, a2 + b2 − 5b+ 4 < 0, что дает нам открытый диск (внутренность эллипса): a2 + � b− 5 2 �2 < � 3 2 �2 . Заметим, что точка a = 0, b = 2 (соответствующая отображе- нию z2) лежит у него внутри, а точка a = 0, b = 1 лежит на граничной окружности этого диска. Также, этот диск целиком лежит в области b > a2 4 + 1 (or a2 < 4(b − 1)), которая будет рассмотрена далее. 4.5. Отображения, не сопряженные с z �→ z2. В предыду- щем разделе были найдены достаточные условия, когда отоб- ражения семейства (4.1) сопряжены z2. Найдем теперь до- статочные условия, когда отображения семейства (4.1) не со- пряжены z2. Для этого рассмотрим оставшийся случай, когда Ω⊥(fφ) �= Sφ. Тогда у множества W⊥(fφ) отображения fφ есть периодические интервалы. Как следует из результатов главы 7 [4], в этом случае каж- дому циклу периодических компонент отображения fφ соответ- ствует в R2 инвариантный для отображения f набор секторов, заполненных лучами, исходящими из начала координат. Гра- ницы таких периодических компонент состоят из периодиче- ских лучей, в сужении на каждый цикл из своих периодиче- ских компонент отображение fφ является гомеоморфизмом, а 64 И. Ю. Власенко, Д. А. Гольцов внутри таких периодических компонент под действием отобра- жения fφ каждый луч со временем сходится к периодическому лучу внутри или на границе такой периодической компоненты. Поскольку отображение квадратично, то на каждом пери- одическом луче существует единственная периодическая точ- ка, которая разделяет бассейны притяжения точек O и ∞. Со- ответственно, на каждом движущемся луче существует един- ственная точка, которая принадлежит в зависимости от на- правления движения устойчивому или неустойчивому многооб- разию соответствующей периодической точки и разделяет бас- сейны притяжения точек O и ∞, причем точки, попадающие в бассейны притяжения точек O и ∞, являются суперблуждаю- щими. Таким образом, и в случае, когда Ω⊥(fφ) �= Sφ, бассейны притяжения точек O и∞ также разделяет образованная дина- мически выделенными топологически инвариантными множе- ствами жорданова кривая γ, в сужении на которую отображе- ние f сопряжено fφ. При этом все периодические точки отображения f , кроме O = (0, 0) и ∞, лежат на жордановой кривой γ, и их можно естественно отождествить с периодическими точками отобра- жения fφ. Если отображения семейства (4.1) сопряжены z2, то у них есть ровно три неподвижные точки: O = (0, 0), ∞ и единствен- ную неподвижную точку на жордановой кривой γ, которая по построению имеет координаты (1, 0). Соответственно, если у отображения возникнут дополни- тельные неподвижные точки, то такое отображение не сопря- жено z2. 5. Дополнительные неподвижные точки Найдем конечные неподвижные точки отображения f : (x, y) �−→ (x2 + axy − y2, bxy), О квадратичных однородных внутренних отображениях 65 т. е. решим систему уравнений: � x2 + axy − y2 = x bxy = y Если y = 0, то имеем уже упомянутые неподвижные точки (1, 0) и (0, 0). Пусть y �= 0. Тогда x = 1 b , и 1 b2 + a b y − y2 = 1 b =⇒ 1 + aby − b2y2 = b. Пусть t = by. Рассмотрим уравнение t2 − at+ b− 1 = 0. Если D < 0, то, как и выше, у нас только две (конечные) неподвижные точки (1, 0) и (0, 0) отображения f . Но так как D = a2 − 4b+ 4, то это достигается, если b > � a 2 �2 + 1. Рассмотрим случай, когда D = 0. Тогда b = � a 2 �2 +1, и t = a 2 , следовательно, x = 1 b , y = a 2b . При a = 0, b = 1 все равно две неподвижные точки, так как y = 0, а при любых других значениях a и b, лежащих на параболе b = � a 2 �2 + 1, возникает 3 неподвижные точки: (1, 0), (0, 0), � 1 b , a 2b � . Если D > 0 (b < � a 2 �2 + 1), то у нас может быть до четырех неподвижных точек: (0, 0), (1, 0), � 1 b , a− √ a2 − 4b+ 4 2b � , � 1 b , a+ √ a2 − 4b+ 4 2b � . Но если b = 1, то точка � 1 b , a− √ a2−4b+4 2b � совпадает с точкой (1, 0) и остаются три неподвижные точки: (0, 0), (1, 0), (1, a). Для остальных значений параметров из области b < � a 2 �2 + 1 все четыре точки различны. Рассмотрим неподвижные точки, лежащие на кривой γ. Ко- гда 0 < b < 1, то, сосчитав производную, легко видеть, что точка (1, 0)— притягивающая, и две другие неподвижные точ- ки образуют границы инвариантного интервала бассейна при- тяжения точки (1, 0). 66 И. Ю. Власенко, Д. А. Гольцов Когда 1 < b < � a 2 �2 + 1, то отображение fφ также обладает инвариантным интервалом, но точка (1, 0) уже входит в грани- цу этого инвариантного интервала, который представляет со- бой бассейн притяжения, образованный одной из оставшихся неподвижных притягивающих точек. Суммируем полученные результаты в следующей теореме: Теорема 5.1. Однородные внутренние квадратичные отоб- ражения цилиндра R2 \ O линейными заменами коорди- нат сводятся к отображениям двухпараметрического семей- ства (4.1). При этом для полученных коэффициентов справед- ливы следующие утверждения: (a) если параметры a и b попадают внутрь области a2 + � b− 5 2 �2 < � 3 2 �2 , то отображение топологически сопряжено голоморфному отображению z2; (b) за исключением точки a = 0 b = 1, область b ≤ � a 2 �2 +1 в полуплоскости параметров {(a, b)\|b > 0}, сохраняющих ори- ентацию отображений семейства (4.1), содержит отобра- жения, которые топологически не сопряжены голоморфному отображению z2; (c) в области b ≤ � a 2 �2 +1 можно выделить следующие под- множества: • точка a = 0 b = 1; • прямая b = 1 без точки a = 0 b = 1; • парабола b = � a 2 �2 + 1 без точки a = 0 b = 1; • двумерные открытые области - связные компоненты дополнения к объединению вышеперечисленных подмно- жеств в полуплоскости параметров. такие, что отображения, параметры которых принадлежат подмножествам разных размерностей, топологически не со- пряжены между собой, так как имеют разное число непо- движных точек. О квадратичных однородных внутренних отображениях 67 Для дальнейшего описания классов топологической сопря- женности отображений семейства (4.1) необходимо дальнейшее исследование их периодических точек. При этом исследование точек периода 2 еще может быть вы- полнено аналитическим способом, так как сводится к уравне- ниям 4-й степени, однако исследование точек более высоких периодов приводит к уравнениям 8-й и больше степени, что потребует приближенных вычислений и экспериментов на ком- пьютере. В работе [4] было высказано предположение, что чис- ло периодических интервалов у индуцированного отображения окружности будет конечным. Используя компьютерные экспе- рименты, можно попытаться оценить это число, затем доказы- вать полученную гипотезу методами одномерной динамики. Список литературы [1] Кузаконь В. М., Кириченко В. Ф., Пришляк О. О. Гладкi многовиди: геометричнi та топологiчнi аспекти. —Институт математики НАН Украины. Киев, 2013. — 97. —С. 500. [2] Cabrera Carlos. On the classification of laminations associated to quadratic polynomials // J. Geom. Anal. — 2008. — 18, 1. — P. 29–67. [3] Власенко И. Ю. Особенности динамики бесконечнократных внутренних по Трохимчуку эпиморфизмов. // Труды Меж- дународной конференции “Геометрия в Одессе – 2008”. — 2008. —С. 373–389. [4] Власенко И. Ю. Внутренние отображения: топологические инварианты и их приложения. —Працi Iнституту математи- ки НАН України. Математика та її застосування. Iнститут математики НАН України, Київ, 2014. — 101. —С. 225. [5] Власенко И. Ю. Топологические инварианты однородных многочленов на цилиндре // Proc. Intern. Geom. Center. — 2015. — 1. —С. 7–11. [6] Трохимчук Ю. Ю. Дифференцирование, внутренние отоб- ражения и критерии аналитичности. —Институт математи- ки НАН Украины. Киев, 2008. — 70. —С. 539.
id	oai:trim.imath.kiev.ua:article-91
institution	Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine
keywords_txt_mv	keywords
language	Russian
last_indexed	2026-08-04T01:02:25Z
publishDate	2015
publisher	Інститут математики НАН України
record_format	ojs
resource_txt_mv	trimimathkievua/6d/a30e8cd92c2de99baefd547547fc8a6d.pdf
spelling	oai:trim.imath.kiev.ua:article-912018-01-23T11:58:55Z Classes of topological conjugacy of quadratic homogeneous polynomial maps О классах топологической сопряженности квадратичных однородных внутренних полиномиальных отображений Vlasenko, I. Yu. Holtsov, D. A. Власенко, И. Ю. Гольцов, Д. А. We study classes of topological conjugacy of quadratic homogeneous polynomial maps of a plane which are internal maps. Partial results are achieved, but this problem needs futher research. Дослiджуються класи топологiчної спряженостi однорiдних квадратичних вiдображень площини, якi є внутрiшнiми вiдображеннями. Інститут математики НАН України 2015-12-15 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/91 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 12 No. 6 (2015): Topology of maps on low-dimensional manifolds; 48-67 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 12 № 6 (2015): Топологiя вiдображень маловимiрних многовидiв; 48-67 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 12 № 6 (2015): Топологiя вiдображень маловимiрних многовидiв; 48-67 3083-7529 1815-2910 ru https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/91/240 Авторське право (c) 2015 И. Ю. Власенко, Д. А. Гольцов
spellingShingle	Vlasenko, I. Yu. Holtsov, D. A. Власенко, И. Ю. Гольцов, Д. А. Classes of topological conjugacy of quadratic homogeneous polynomial maps
title	Classes of topological conjugacy of quadratic homogeneous polynomial maps
title_alt	О классах топологической сопряженности квадратичных однородных внутренних полиномиальных отображений
title_full	Classes of topological conjugacy of quadratic homogeneous polynomial maps
title_fullStr	Classes of topological conjugacy of quadratic homogeneous polynomial maps
title_full_unstemmed	Classes of topological conjugacy of quadratic homogeneous polynomial maps
title_short	Classes of topological conjugacy of quadratic homogeneous polynomial maps
title_sort	classes of topological conjugacy of quadratic homogeneous polynomial maps
url	https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/91
work_keys_str_mv	AT vlasenkoiyu classesoftopologicalconjugacyofquadratichomogeneouspolynomialmaps AT holtsovda classesoftopologicalconjugacyofquadratichomogeneouspolynomialmaps AT vlasenkoiû classesoftopologicalconjugacyofquadratichomogeneouspolynomialmaps AT golʹcovda classesoftopologicalconjugacyofquadratichomogeneouspolynomialmaps AT vlasenkoiyu oklassahtopologičeskojsoprâžennostikvadratičnyhodnorodnyhvnutrennihpolinomialʹnyhotobraženij AT holtsovda oklassahtopologičeskojsoprâžennostikvadratičnyhodnorodnyhvnutrennihpolinomialʹnyhotobraženij AT vlasenkoiû oklassahtopologičeskojsoprâžennostikvadratičnyhodnorodnyhvnutrennihpolinomialʹnyhotobraženij AT golʹcovda oklassahtopologičeskojsoprâžennostikvadratičnyhodnorodnyhvnutrennihpolinomialʹnyhotobraženij

Classes of topological conjugacy of quadratic homogeneous polynomial maps

Institution

Ähnliche Einträge