АНАЛІТИЧНА НЕЛІНІЙНО-ІМОВІРНІСНА МОДЕЛЬ ЕКВІВАЛЕНТНОГО ЕЛЕКТРИЧНОГО ОПОРУ ШАРУ МЕТАЛЕВИХ ГРАНУЛ
As a result of processing the experimental data, an analytical continuous nonlinear-probabilistic model of the equivalent electrical resistance of a layer of metal granules in the working liquid was created. It is described by four equations: the modified Gaussian distribution and the dependences on...
Saved in:
| Date: | 2021 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут електродинаміки НАН України, Київ
2021
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://techned.org.ua/index.php/techned/article/view/179 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Technical Electrodynamics |
| Download file: |  |
Institution
Technical Electrodynamics| _version_ | 1868113389305200640 |
|---|---|
| author | Шидловська, Н.А. Захарченко, С.М. |
| author_facet | Шидловська, Н.А. Захарченко, С.М. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Н.А. Шидловська",
"institution": "Інститут електродинаміки НАН України, пр. Перемоги, 56, Київ, 03057, Україна"
},
{
"author": "С.М. Захарченко",
"institution": "Інститут електродинаміки НАН України, пр. Перемоги, 56, Київ, 03057, Україна"
}
] |
| author_sort | Шидловська, Н.А. |
| baseUrl_str | https://techned.org.ua/index.php/techned/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2021-08-30T09:19:41Z |
| description | As a result of processing the experimental data, an analytical continuous nonlinear-probabilistic model of the equivalent electrical resistance of a layer of metal granules in the working liquid was created. It is described by four equations: the modified Gaussian distribution and the dependences on the instantaneous values of the discharge current in the layer of metal granules of the mathematical expectation, dispersion and correction coefficient of the range of its equivalent electrical resistance. Based on the form of the dependences obtained during the experiments and the physics of the processes that occur in this case, two main groups of analytical functions are considered that approximate the obtained dependences. Criteria and methods for finding the optimal values of their coefficients are described. The adequacy of the approximation of each of the three obtained dependences by several analytical functions was investigated, the optimal values of the coefficients of which were found by the described method. Analytical functions was compared, which approximate the dependence of the mathematical expectation of the equivalent electrical resistance of a layer of metal granules on the instantaneous values of the discharge current in it with the known nonlinear models of the resistance of such a medium. References 33, figures 3, tables 3. |
| doi_str_mv | 10.15407/techned2021.05.003 |
| first_indexed | 2026-06-16T01:02:39Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2021. № 5 3
ТЕОРЕТИЧНА ЕЛЕКТРОТЕХНІКА ТА ЕЛЕКТРОФІЗИКА
УДК: 621.3.011.22: 621.373.54: 519.246 DOI: https://doi.org/10.15407/techned2021.05.003
АНАЛІТИЧНА НЕЛІНІЙНО-ІМОВІРНІСНА МОДЕЛЬ ЕКВІВАЛЕНТНОГО
ЕЛЕКТРИЧНОГО ОПОРУ ШАРУ МЕТАЛЕВИХ ГРАНУЛ
Н.А. Шидловська*, чл.-кор. НАН України, С.М. Захарченко**, докт. техн. наук
Інститут електродинаміки НАН України,
пр. Перемоги, 56, Київ, 03057, Україна.
E-mail: shydlovska@ied.org.ua, snzakhar@ukr.net
В результаті оброблення даних експериментів створено аналітичну безперервну нелінійно-імовірнісну модель
еквівалентного електричного опору шару металевих гранул в робочій рідині. Вона описується чотирма
рівняннями: модифікованого розподілу Гауса та залежностями від миттєвих значень розрядного струму у
шарі металевих гранул математичного сподівання, дисперсії і коефіцієнта корекції діапазону його
еквівалентного електричного опору. Виходячи з вигляду отриманих у ході експериментів залежностей та
фізики процесів, які при цьому відбуваються, розглянуто дві основні групи аналітичних функцій, які
апроксимують отримані залежності. Описано критерії та методику пошуку оптимальних значень їхніх
коефіцієнтів. Досліджено адекватність апроксимації кожної з трьох отриманих залежностей кількома
аналітичними функціями, оптимальні значення коефіцієнтів яких знайдено за описаною методикою. Проведено
порівняння аналітичних функцій, що апроксимують залежність математичного сподівання еквівалентного
електричного опору шару металевих гранул від миттєвих значень розрядного струму в ньому, з відомими
нелінійними моделями опору такого середовища. Бібл. 30, рис. 3, таблиць 3.
Ключові слова: розподіл опору, нелінійно-імовірнісна модель, розрядний струм, іскроерозійна обробка, шар
металевих гранул
Вступ. Іскро- та плазмоерозійна обробка шарів металевих гранул (ШМГ) в робочих рідинах є
основою чотирьох основних груп технологічних процесів. До першої відноситься виробництво мікро-
дисперсних порошків металів і сплавів із спеціальними властивостями: тугоплавких і жароміцних [1],
з магнітною [2] і температурною [3] пам’яттю форми, з аморфною [4] та аморфно-кристалічною
структурою [5], з гігантським магніторезистивним ефектом [6], магнітом’яких [7], воденьсорбуючих,
надтвердих [8], корозійно стійких [9] та ін. [10–12]. До другої – іскрове плазмове або електророзрядне
спікання під тиском мікророзмірних порошків металів і сплавів в композитах, кераміках та інших
гетерогенних середовищах [13]. До третьої – виробництво гідроксидів, утворюючих коагулянт
металів (Al та Fe) для очищення [14, 15] і знезараження [16] природних вод та промислових скидів.
До четвертої – виробництво стійких до седиментації нанодисперсних гідрозолей біологічно активних
металів (Ag, Cu, Zn, Fe, Mg, Mn, Mo, Co) [17] для застосування у рослинництві [18] і тваринництві
[19].
Для розрахунку параметрів і оптимізації режимів цих процесів дуже важливим є моделювання
перехідних електромагнітних процесів у розрядно-імпульсних системах (РІС), навантаженням яких є
розрядні камери, що містять ШМГ, занурені у робочі рідини. Найскладнішим елементом моделей
таких систем є моделі електричних параметрів ШМГ.
Еволюція моделей електричних параметрів ШМГ відбувалася наступним чином. На її
першому етапі електричні параметри ШМГ представлялися виключно активним опором, величина
якого не змінювалася, принаймні протягом тривалості одного розрядного імпульсу. Звісно, навіть на
ранніх етапах створення таких моделей було відомо, що миттєві значення еквівалентного
електричного опору (ЕЕО) ШМГ змінюються протягом тривалості розрядних імпульсів, але на той
час математичні описи цих залежностей у відкритих публікаціях не зустрічалися. Для опису ЕЕО
використовувалися усереднені протягом тривалості синхронних імпульсів струму в ШМГ i(t) та
© Шидловська Н.А., Захарченко С.М., 2021
ORCID ID: * https://orcid.org/0000-0002-9907-7416 , ** https://orcid.org/0000-0002-8597-8045
4 ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2021. № 5
напруги на ньому u(t) значення:
0
2
0
dttidttituR [1]. Також використовувалися інші форми
представлення середнього значення ЕЕО ШМГ: dttituR
0
1 1 ,
00
2 dttidttuR [20, 21].
Створення аналітичних моделей залежностей середніх протягом розрядного імпульсу значень
ЕЕО ШМГ від амплітуд імпульсів напруги на них, струму в них або початкових умов на реактивних
елементах вихідного кола РІС для конкретних технологічних процесів дозволило значно підвищити
точність розрахунків не лише енергетичних, а і динамічних параметрів розрядних імпульсів у разі
зміни початкових умов на реактивних елементах вихідних кіл РІС в широких межах [22].
На другому етапі еволюції з’явилися так звані нелінійні моделі опору, в яких аналітично
описувалися залежності від розрядного струму або прикладеної напруги миттєвих значень активної
складової ЕЕО ШМГ [20, 21, 23]. Подальший розвиток нелінійних моделей призвів до урахування
різних значень опору на передньому і задньому фронтах імпульсів розрядних струмів за одних і тих
самих значеннях струму шляхом зміни значень коефіцієнтів аналітичних функцій для різних фронтів
імпульсів [24, 25]. Аналітичні моделі, які описують залежності цих коефіцієнтів від амплітудних
значень імпульсів розрядних струмів, прикладеної напруги або початкових умов на реактивних
елементах розрядного контуру РІС, дозволили значно розширити межі застосування нелінійних
моделей [25]. В моделі, описаній у [24], додатково було враховано зміну мінімального та
максимального значень ЕЕО ШМГ для різних імпульсів розрядного струму.
В [26] показано, що ЕЕО ШМГ має не тільки активну складову. Було запропоновано схему
заміщення мінімального структурного елемента ШМГ в робочій рідині, яка крім нелінійної активної
складової включала ще індуктивність і ємність, та розраховано залежності електричних параметрів її
елементів від їхніх розмірів, еквівалентної частоти розрядних імпульсів і електрофізичних параметрів
матеріалів компонентів. Було показано в яких режимах в залежності від значень тривалості і струму
розрядних імпульсів, розмірів і електрофізичних параметрів металевих гранул реактивними
елементами схеми заміщення можна знехтувати. Урахування реактивних елементів схеми заміщення
дало змогу значно підвищити точність розрахунку перехідних процесів у вихідному контурі РІС з
такою моделлю навантаження, особливо в умовах великих значень розрядного струму. Використання
цих моделей дозволило здійснити розрахунки не тільки енергетичних, а і динамічних параметрів
розрядних імпульсів у разі варіації значень реактивних елементів вихідного кола РІС і початкових
умов на них в широких межах [25].
Принциповим недоліком нелінійних моделей є неможливість коректного опису
багатомодальних залежностей, в яких одним і тим самим значенням аргументу в різні моменти часу
ставляться у відповідність різні значення функції, як це відбувається з залежностями опору ШМГ від
розрядного струму або напруги. На третьому етапі еволюції було розроблено так звані параметричні
моделі, які описують залежність опору від часу і не мають зазначеного вище недоліку [27].
Крім того, що ЕЕО ШМГ залежить від струму та часу його протікання, він також стохастично
змінюється як в межах одного імпульсу, так і від імпульсу до імпульсу. Це відбувається внаслідок
одночасного та послідовного у часі утворення, розвитку і згасання великої кількості плазмових
каналів між поверхнями сусідніх металевих гранул в їхньому шарі під час підведення до них
імпульсу електричної енергії [25]. Такі процеси можуть бути описані лише імовірнісними моделями,
які було розроблено на четвертому етапі еволюції. В [28] показано, що за фіксованих початкових
умовах на реактивних елементах розрядного контуру РІС отриманий в ході експериментів розподіл
середніх за час розрядного імпульсу значень ЕЕО ШМГ може бути описано теоретичним розподілом
Гауса з імовірністю помилки другого роду всього 0,06. Також досліджено залежність від початкових
умов на реактивних елементах РІС основних параметрів розподілу Гауса середнього за час імпульсу
ЕЕО ШМГ – математичного сподівання і дисперсії.
В роботах [29] без наведення результатів експериментів як постулат приймалося, що розподіл
середніх протягом тривалості одного імпульсу значень опору ШМГ від імпульсу до імпульсу розряд-
ного струму є рівномірним. Використання імовірнісних моделей середнього за час протікання розряд-
ного струму опору ШМГ дає змогу розраховувати розподіли ймовірностей параметрів імпульсів
лише у момент його завершення, а також енергію імпульсу, напругу на робочому конденсаторі та
ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2021. № 5 5
струм у індуктивних елементах схеми заміщення розрядного контуру генератора з іскро- та
плазмоерозійним навантаженням у момент закінчення імпульсу [29].
Розрахунок розподілів миттєвих значень напруг і струмів у схемі заміщення протягом всього
перехідного процесу можливий у разі використання нелінійно-імовірнісних або параметрично-імовір-
нісних моделей миттєвих значень опору ШМГ. В [30] на основі даних експериментів розроблено
дискретну нелінійно-імовірнісну модель миттєвих значень ЕЕО ШМГ для одинадцяти точок як на
передньому, так і задньому фронтах імпульсів розрядного струму. Там же наведено стратегію і
алгоритми побудови безперервних аналітичних нелінійно-імовірнісних моделей миттєвих значень
опору ШМГ за його дискретними моделями. Поява таких моделей знаменувала не тільки наступний
етап їхньої еволюції, але і змінила парадигму уявлень щодо ЕЕО ШМГ. Раніше до уваги бралися
залежності лише математичного сподівання миттєвих значень ЕЕО ШМГ. Після її появи стало
зрозуміло, що нелінійні та параметричні моделі – це лише окремі випадки нелінійно-імовірнісних та
параметрично-імовірнісних моделей, і у загальному випадку необхідно враховувати залежності ще як
мінімум одного параметра – дисперсії миттєвих значень ЕЕО ШМГ, а також інших, необхідних для
повного відтворення теоретичних законів розподілів.
Метою роботи є створення безперервних аналітичних нелінійно-імовірнісних моделей ЕЕО
ШМГ алюмінію у воді за його дискретною моделлю, знаходження оптимальних значень їхніх
коефіцієнтів та порівняння адекватності аналітичних моделей.
Методика створення безперервних аналітичних моделей. Вхідними даними для побудови
безперервних аналітичних нелінійно-імовірнісних моделей ЕЕО ШМГ є наведена в [30] його
дискретна нелінійно-імовірнісна модель, де доведено, що для кожного миттєвого значення
розрядного струму отриманий в ході експериментів розподіл значень ЕЕО ШМГ Rj у межах від Rmin
до Rmax з малою похибкою може бути описано теоретичним модифікованим розподілом Гауса
][2
][
exp
][2
2
RD
RMR
RD
k
Rf
, (1)
де
max
min
][2
][
exp][2%100
2R
R
dR
RD
RMR
RDk – коефіцієнт корекції діапазону;
n
j
jR
n
RM
1
1
][ –
математичне сподівання розподілу опору;
n
j
j RMR
n
RD
1
2][
1
][ – його дисперсія.
У відповідності до стратегій та алгоритмів їхньої побудови, детально викладених у [30], на
першому етапі побудови безперервних аналітичних нелінійно-імовірнісних моделей ЕЕО ШМГ
потрібно знайти аналітичні функції, які адекватно описують дискретні залежності коефіцієнтів (1) від
миттєвих значень розрядного струму на передніх і задніх фронтах його імпульсів.
На наступному етапі необхідно знайти оптимальні значення коефіцієнтів цих функцій. В
процесі їхнього пошуку авторами використовувалися 5 параметрів нев’язки апроксимацій [23]. Їхні
мінімальні значення служили критеріями пошуку оптимальних значень коефіцієнтів апроксимуючих
функцій. Як показали результати пошуку, якщо аналітична функція забезпечує гарний збіг з вхідними
дискретними даними, то за всіма розглянутими критеріями отримуються приблизно однакові
значення коефіцієнтів функції і параметрів її нев’язки. Якщо ж запропонована функція не забезпечує
задовільний збіг з дискретними вхідними даними, то в усіх випадках значення параметрів нев’язки
будуть занадто високими, а значення коефіцієнтів апроксимуючої функції можуть суттєво
відрізнятися в залежності від критерію їхнього пошуку. Але це вже немає суттєвого значення,
оскільки така функція не може бути прийнятою.
Тому далі наведені результати отримано лише за одним критерієм – мінімуму середнього
значення модулів відносних відхилень значень апроксимуючої функції ay від дискретно заданих
вхідних даних ey для усіх їх N точок:
N
j
ejejaj yyy
N 1
%100 . Під час пошуку оптимальних
значень коефіцієнтів апроксимуючих функцій використовувався модуль «Пошук рішення» Excel
2003 з налаштуваннями областей допустимих значень коефіцієнтів.
Результати та обговорення. Залежність математичного сподівання ЕЕО ШМГ від миттєвих
значень розрядного струму, який протікає в ньому, є не тільки однією з основних складових його
аналітичної нелінійно-імовірнісної моделі за законом розподілу (1), а і її окремим випадком –
6 ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2021. № 5
нелінійною моделлю [30]. Згідно з наведеними у [23] результатами, найкращі апроксимації
залежності усередненого за 30-ю миттєвими значеннями ЕЕО ШМГ від розрядного струму, який
протікає у ньому, демонстрували функції на основі степеневої з показником степеня (-1) та
експоненціальної. Тому для ефективної апроксимації залежностей математичного сподівання ЕЕО
ШМГ від миттєвих значень імпульсів розрядного струму на їхніх передніх (ПФ) і задніх фронтах
(ЗФ) в першу чергу були використані функції саме з цих груп (табл. 1). Оптимальні за критерієм
мінімуму середнього значення модулів відносних відхилень дискретних і апроксимованих даних
значення коефіцієнтів 20 ... aa цих функцій та значення параметра нев’язки апроксимацій окремо
для ПФ і ЗФ імпульсів розрядного струму також наведено у табл. 1.
Таблиця 1
Значення коефіцієнтів №
Ф-ї
Функція
Фронт
струму 0a 1a 2a
Нев’язка
, %
ПФ 0,3957 118,0089 20,2669 14,2567
1 2
1
10
1
102 aiaaiaaaRM
ЗФ 0,1925 192,6946 154,0286 1,2802
ПФ 0,4280 86,3117 – 16,8616
2 1
10
iaaRM
ЗФ 0,1985 188,0930 – 2,0452
ПФ – 148,340 – 51,1764
3 1
1
iaRM
ЗФ – 249,230 – 19,6226
ПФ 0,5490 8,9576 32,3189 24,4797
4 210 exp aiaaRM
ЗФ 0,5120 18,5581 40,7911 18,9210
Як видно з табл. 1, найкращий збіг дискретних і апроксимованих значень ЕЕО ШМГ
демонструє функція під номером 1. Фізичний зміст її коефіцієнтів та заступну електричну схему ЕЕО
ШМГ, складену за нею, детально описано у [23]. Тут лише зазначимо, що за фізичним змістом у
формулі № 1 табл. 1 коефіцієнт 0a – активна складова опору ШМГ, включена послідовно з джерелом
електрорушійної сили, направленої назустріч струму (проти-ЕРС), яка моделюється коефіцієнтом 1a .
Коефіцієнтом 2a моделюється лінеаризована активна складова ЕЕО робочої рідини, підключеного у
заступній схемі паралельно ланцюгу 0a – 1a .
Спрощення заступної схеми усуненням з неї ЕЕО робочої рідини призводить до
трансформації формули № 1 у формулу №2 табл. 1. Як бачимо, це незначно погіршує якість
апроксимації, і така формула також може бути використана для апроксимації. Подальше спрощення
заступної схеми виключенням з неї опору, який моделюється 0a , призводить до формули № 3, яка є
математичною моделлю її еквівалентного опору. Значення параметрів нев’язки у разі використання
формули № 3 занадто великі, щоб рекомендувати її в якості апроксимуючої функції.
Функція № 4 табл. 1 на основі експоненціальної [21] у даному конкретному випадку
демонструє кращий збіг, ніж функція № 3, але набагато гірший, ніж функції № 1 та № 2 і не може
бути рекомендована для апроксимації залежності, що розглядається. Таким чином отримані
результати повністю узгоджуються з результатами, опублікованими у [23].
Дискретно задану за даними [30] залежність математичного сподівання ЕЕО ШМГ від
розрядного струму на передніх фронтах його імпульсів показано на рис. 1 трикутниками з вершиною
вгорі, а на задніх – з вершиною внизу. Їхні аналітичні апроксимації формулою № 1 з табл. 1
представлено суцільними кривими, підписаними ПФ для передніх фронтів імпульсів струму і ЗФ –
для задніх.
Другою важливою складовою аналітичної нелінійно-імовірнісної моделі ЕЕО ШМГ за
законом розподілу (1) є залежність його дисперсії від струму у навантаженні. Аналітичні функції, які
апроксимують цю дискретно задану у [30] залежність, знайдені за критерієм мінімуму значення
їхніх коефіцієнтів та значення параметру нев’язки наведено у табл. 2. Під час розгляду можливих
варіантів функцій для апроксимації цієї залежності спершу було перевірено гіпотезу щодо
можливості апроксимації залежностей математичного сподівання ЕЕО ШМГ та його дисперсії від
ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2021. № 5 7
розрядного струму в ньому однією функцією з різними значеннями коефіцієнтів. Функція №1 табл. 2
така ж сама, що і функція № 1 табл. 1. Як видно із значень параметру нев’язки, для цієї функції
(табл. 2) гіпотеза виявилася хибною, і застосування функції № 1 для ефективної апроксимації
залежності дисперсії ЕЕО ШМГ від розрядного струму в цьому випадку неможливе.
Оскільки у формулі дисперсії використовуються квадрати значень ЕЕО ШМГ, а залежність
від розрядного струму його математичного сподівання добре описується функціями на основі
степеневої з показником степеня (-1), то логічно припустити, що залежність його дисперсії від струму
буде добре апроксимована функціями на основі степеневої з показником степеня (-2). Функція № 2
табл. 2 якраз відноситься до цієї групи функцій і демонструє найменше значення параметру невя’зки
з усіх розглянутих функцій.
Таблиця 2
Значення коефіцієнтів №
Ф-ї
Функція
Фронт
струму 0a 1a 2a
Нев’язка
, %
ПФ 0 22,0461 7,182E–4 71,3741
1 2
1
10
1
102 aiaaiaaaRD
ЗФ 0 2,0612 19,9789 47,6866
ПФ 3,504E–5 425,4928 3,4815 14,3091
2 2
2
10
2
102 aiaaiaaaRD
ЗФ 0 1242,0003 65649,41 16,4283
ПФ 1E–4 384,0032 – 21,4509
3 2
10 iaaRD
ЗФ 0 1242 – 16,4272
ПФ – 428,40 – 22,3311
4 2
1 iaRD
ЗФ – 1242 – 16,4272
ПФ 6,8387E–4 3,2402 16,7082 51,8025
5 210 exp aiaaRD
ЗФ 2,7027E–3 14,7492 21,2612 43,8789
ПФ 7E–4 999,9652 24,0967 62,4825
6 2
2
10 exp aiaaRD
ЗФ 2,2937E–3 999,9987 32,5222 54,5535
Функції № 2 та № 3 табл. 2 є спрощеннями функції № 2 і також демонструють непоганий збіг
апроксимації з дискретно заданими даними на задніх фронтах розрядних імпульсів, але суттєво його
погіршують на передніх фронтах. Функції на основі експоненціальної, до яких значення розрядного
струму входять як у першій (№ 5), так і у другій (№ 6) степені, не забезпечують якісної апроксимації
розглянутої залежності на жодному з фронтів імпульсів розрядного струму.
Таблиця 3
Значення коефіцієнтів №
Ф-ї
Функція
Фронт
струму 0a 1a 2a
Нев’язка
, %
ПФ 0 5,4247 0 12,2664
1
2
210 iaiaak
ЗФ 4,3444 3,0186 5,3391E–4 7,6125
ПФ – 5,4247 – 12,2664
2 iak 1
ЗФ – 3,2329 – 8,3524
ПФ – – 9,2042E–3 45,8930
3 2
2iak
ЗФ – – 4,6316 E–3 48,0818
ПФ 5,4236 5,5317E–5 50,7147 9,9170
4 210 exp aiaiak
ЗФ 3,2247 9,3380E–6 50,6015 6,8719
Таким чином, найкращу апроксимацію дискретно заданої за результатами [30] залежності
дисперсії ЕЕО ШМГ від розрядного струму у ньому з усіх розглянутих функцій забезпечує функція
№2 табл. 2. На рис. 2 дискретно задані значення цієї залежності позначено трикутниками з вершиною
вгорі для передніх фронтів розрядних імпульсів, а трикутниками з вершиною внизу – для задніх. Їхні
аналітичні апроксимації формулою № 2 з табл. 2 представлено суцільними кривими, підписаними ПФ
для передніх фронтів імпульсів струму, і ЗФ – для задніх.
Третьою і останньою складовою аналітичної нелінійно-імовірнісної моделі ЕЕО ШМГ,
створеною за законом розподілу (1), є залежність його коефіцієнта корекції діапазону k від струму,
що протікає у навантаженні. У табл. 3 представлено функції, які апроксимують цю залежність,
8 ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2021. № 5
значення їхніх коефіцієнтів, знайдені за критерієм мінімуму , та значення параметру нев’язки .
На рис. 3 дискретно задані значення цієї залежності [30] позначено трикутниками з вершиною вгорі
для передніх фронтів розрядних імпульсів, а трикутниками з вершиною внизу – для задніх.
Виходячи з вигляду залежності рис. 3 оцінювалася якість її апроксимації степеневими
функціями з показниками степеня 1 (№ 2 у табл. 3) і 2 (№ 1 і № 3), а також функцією на основі
експоненціальної (№ 4). Найкращий збіг дискретно заданих даних та їхніх апроксимацій у даному
випадку демонструє функція № 4, яка є суперпозицією лінійної та експоненціальної функцій. Проста
лінійна функція (№ 2) демонструє дещо гіршу якість апроксимації. Суперпозиція лінійної та
квадратичної функцій (№ 1) трохи покращує якість апроксимації порівняно з функцією (№ 2) на
задніх фронтах розрядних імпульсів. Квадратична функція (№ 3) демонструє найгіршу якість
апроксимації і не може бути рекомендована у даному випадку. Суцільними кривими на рис. 3
представлено аналітичні апроксимації дискретно заданої залежності k(i) [30] функцією № 4 табл. 3,
підписані ПФ для передніх фронтів розрядних імпульсів і ЗФ – для задніх.
i, A
0 200 400 600 800 1000
M[R], Ом
0
2
4
6
8
10
12
14
16
ПФ
ЗФ
i, A
0 200 400 600 800 1000
D[R], Ом2
0,0001
0,001
0,01
0,1
1
10
ПФ
ЗФ
i, A
0 200 400 600 800 1000
k, %
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
ПФ
ЗФ
Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3
Висновки. 1. Вперше створено аналітичну безперервну нелінійно-імовірнісну модель ЕЕО
ШМГ на основі модифікованого розподілу Гауса. Вона формалізована системою рівнянь, що
складається з модифікованого розподілу Гауса і трьох аналітичних функцій, які описують залежності
від миттєвих значень розрядного струму у ШМГ математичного сподівання, дисперсії і коефіцієнта
корекції діапазону його ЕЕО.
2. Доведено, що серед всіх розглянутих функцій залежність математичного сподівання ЕЕО
ШМГ від миттєвих значень розрядного струму, який протікає в ньому, найкраще описується
функцією на основі степеневої з показником степеня (-1) (№ 1 у табл. 1), що повністю узгоджується з
розробленими раніше нелінійними моделями ЕЕО ШМГ.
3. Залежність дисперсії ЕЕО ШМГ від струму у ньому найкраще серед усіх розглянутих
функцій апроксимується функцією на основі степеневої з показником степеня (-2) (№ 2 у табл. 2).
4. Найкращу апроксимацію дискретно заданої залежності коефіцієнта корекції діапазону
серед усіх розглянутих функцій забезпечує функція № 4 у табл. 3, яка є суперпозицією лінійної та
експоненціальної функцій.
5. За критерієм найменшого середнього значення модулів відносних відхилень апрокси-
муючої функції від дискретно заданих вхідних даних знайдено оптимальні значення коефіцієнтів
апроксимуючих функцій як для передніх, так і задніх фронтів розрядних імпульсів струму у ШМГ.
Їхні значення для передніх і задніх фронтів імпульсів розрядного струму суттєво відрізняються.
Роботу виконано частково за рахунок бюджетної теми «Розроблення теорії та принципів побудови
енергоефективних перетворювальних пристроїв стабілізації та регулювання параметрів електромагнітної
енергії для систем живлення сучасних електротехнологічних комплексів» (шифр «Сигма-Ш4»). Державний
реєстраційний номер 0117U000291, КПКВК 6541030.
ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2021. № 5 9
ANALYTICAL NONLINEAR-PROBABILISTIC MODEL OF THE EQUIVALENT ELECTRICAL RESISTANCE OF A
LAYER OF METAL GRANULES
N.A. Shydlovska, S.M. Zakharchenko
Institute of Electrodynamics National Academy of Sciences of Ukraine,
pr. Peremohy, 56, Kyiv, 03057, Ukraine. E-mail: shydlovska@ied.org.ua, snzakhar@ukr.net
As a result of processing the experimental data, an analytical continuous nonlinear-probabilistic model of the
equivalent electrical resistance of a layer of metal granules in the working liquid was created. It is described by four
equations: the modified Gaussian distribution and the dependences on the instantaneous values of the discharge
current in the layer of metal granules of the mathematical expectation, dispersion and correction coefficient of the
range of its equivalent electrical resistance. Based on the form of the dependences obtained during the experiments and
the physics of the processes that occur in this case, two main groups of analytical functions are considered that
approximate the obtained dependences. Criteria and methods for finding the optimal values of their coefficients are
described. The adequacy of the approximation of each of the three obtained dependences by several analytical functions
was investigated, the optimal values of the coefficients of which were found by the described method. Analytical
functions was compared, which approximate the dependence of the mathematical expectation of the equivalent
electrical resistance of a layer of metal granules on the instantaneous values of the discharge current in it with the
known nonlinear models of the resistance of such a medium. References 30, figures 3, tables 3.
Keywords: resistance distribution, nonlinear-probabilistic model, discharge current, spark-erosion treatment, layer of
metal granules
1. Asanov U.A., Tsoj A.D., Shcherba A.A., Kazekin V.I. Electroerosive technology of interconnections and
powders of metals. Frunze: Ilym, 1990. 256 p. (Rus)
2. Perekos A.E., Chernenko V.A., Bunayev S.A., Zalutskiy V.P., Ruzhitskaya T.V., Boitsov O.F.,
Kakazei G.N. Structure and Magnetic Properties of Highly Dispersed Ni-Mn-Ga Powders Prepared by Spark-Erosion.
Journal of Applied Physics. 2012. Vol. 112. Pp. 093909-1 – 093909-7. DOI: https://doi.org/10.1063/1.4764017
3. Monastyrsky G. Nanoparticles formation mechanisms through the spark erosion of alloys in cryogenic
liquids. Nanoscale Research Letters. 2015. Vol. 10: 503. Pp. 1–8. DOI: https://doi.org/10.1186/s11671-015-1212-9
4. Aur S., Egami T., Berkowitz A.E., Walter J.L. Atomic Structure of Amorphous Particles Produced by Spark
Erosion. Physical Review B. 1982. Vol. 26. No 12. Pp. 6355–6361. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevB.26.6355
5. Hong J.I., Parker F.T., Solomon V.C., Madras P., Smith D.J., Berkowitz A.E. Fabrication of spherical
particles with mixed amorphous/crystalline nanostructured cores and insulating oxide shells. Journal of Materials
Research. 2008. Vol. 23. Issue 06. Pp. 1758–1763. DOI: https://doi.org/10.1557/JMR.2008.0199
6. Wang W., Zhu F., Weng J., Xiao J., Lai W. Nanoparticle morphology in a granular Cu–Co alloy with giant
magnetoresistance. Applied Physics Letters. 1998. Vol. 72. No 9. Pp. 1118–1120. DOI:
https://doi.org/10.1063/1.120942
7. Berkowitz A.E., Hansen M.F., Parker F.T., Vecchio K.S., Spada F.E., Lavernia E.J., Rodriguez R.
Amorphous soft magnetic particles produced by spark erosion. Journal of Magnetism and Magnetic Materials. 2003.
Vol. 254–255. Pp. 1–6. DOI: https://doi.org/10.1016/S0304-8853(02)00932-0
8. Dvornik M.I. Nanostructured WC–Co particles produced by carbonization of spark eroded powder:
Synthesis and characterization. International Journal of Refractory Metals & Hard Materials. 2010. Vol. 28. Issue 4.
Pp. 523–528. DOI: https://doi.org/10.1016/j.ijrmhm.2010.02.011
9. Harrington T., McElfresh C., Vecchio K.S. Spark erosion as a high-throughput method for producing
bimodal nanostructured 316L stainless steel powder. Powder Technology. 2018. Vol. 328. Pp. 156–166. DOI:
https://doi.org/10.1016/j.powtec.2018.01.012
10. Berkowitz A.E., Walter J.L. Spark Erosion: A Method for Producing Rapidly Quenched Fine Powders.
Journal of Materials Research. 1987. No 2. Pp. 277–288. DOI: https://doi.org/10.1557/JMR.1987.0277
11. Nadutov V.M., Perekos A.O., Kokorin V.V., Konoplyuk S.M., Efimova T.V., Zalutsky V.P. The effect of
electrospark dispersion on the magnetic and electric transport properties of the Heusler alloy Cu-Mn-Al. Metallofizika i
Noveishie Tekhnologii. 2014. Vol. 36. No 12. Pp. 1679–1694. (Rus)
12. Liu Y., Zhu K., Li X., Lin F., Li Y. Analysis of multi-scale Ni particles generated by ultrasonic aided
electrical discharge erosion in pure water. Advanced Powder Technology. 2018. Vol. 29. Issue 4. Pp. 863–873. DOI:
https://doi.org/10.1016/j.apt.2018.01.003
13. Shen B., Inoue A. Fabrication of large-size Fe-based glassy cores with good soft magnetic properties by
spark plasma sintering. Journal of Materials Research. 2003. Vol. 18. No 9. Pp. 2115–2121. DOI:
https://doi.org/10.1557/jmr.2003.0297
14. Danilenko N.B., Savel’ev G.G., Yavorovskii N.A., Khaskel’berg M.B., Yurmazova T.A., Shamanskii V.V.
Water purification to remove As(V) by electropulse treatment of an active metallic charge. Russian Journal of Applied
Chemistry. 2005. Vol. 78. No 10. Pp. 1631–1635.
10 ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2021. № 5
15. Kornev Ia., Saprykin F., Lobanova G., Ushakov V., Preis S. Spark erosion in a metal spheres bed:
Experimental study of the discharge stability and energy efficiency. Journal of Electrostatics. 2018. Vol. 96. Pp. 111–
118. DOI: https://doi.org/10.1016/j.elstat.2018.10.008
16. Goncharuk V.V., Shcherba A.A., Zakharchenko S.N., Savluk O.S., Potapchenko N.G., Kosinova V.N.
Disinfectant action of the volume electrospark discharges in water. Khimiia i tehnologiia vody. 1999. Vol. 21. No 3.
Pp. 328 – 336. (Rus)
17. Shcherba A.A., Zakharchenko S.N., Lopatko K.G., Aftandilyants E.G. Application of volume electric spark
dispersion for production steady to sedimentation hydrosols of biological active metals. Pratsi Instytutu
Elektrodynamiky Natsionalnoi Akademii Nauk Ukrainy. 2009. Issue 22. Pp. 74–79. (Rus)
18. Lopatko K.G., Melnichuk M.D. Physics, synthesis and biological functionality of nanosize objects. Kyiv:
Vidavnichij centr Natsionalnogo Universitetu Bioresursiv i Priridokoristuvannya Ukraini, 2013. 297 p. (Ukr)
19. Borisevich V.B., Kaplunenko V.G., Kosinov N.V., Borisevich B.V. Nanomaterials and nanotechnology in
veterinary practice. Kyiv: Avitsena, 2012. 512 p.
20. Shcherba A.A., Podoltsev A.D., Kucheryavaya I.N. Mathematical modeling of electrothermal processes at
spark processing of contacting current conducting granules. Proc. of the 3rd International scientific and technical
conference Unconventional electromechanical and electrical systems. Szczecin, Poland. 1997. Vol. 1. Pp. 139–147
21. Shydlovskyi A.K., Shcherba A.A., Suprunovska N.I. Power Processes in Electrical Pulse Devices with
Capacitive Energy Storages. Kyiv: Interkontinental-Ukraina, 2009. 208 p. (Rus)
22. Shcherba A.A., Podoltsev A.D., Zakharchenko S.N. Regulation of dynamic parameters of technological
systems of volume electrospark treatment heterogeneous current-carrying media. Pratsi Instytutu Elektrodynamiky
Natsionalnoi Akademii Nauk Ukrayiny: Elektrotekhnika. 2001. Pp. 3–16. (Rus)
23. Zakharchenko S.N. Modelling of Dependence of Electrical Resistance of Granulated Current-carrying
Mediums from a Pulse Current Proceeding in them. Tekhnichna Elektrodynamika. 2012. No 5. Pp. 17–27. (Rus)
24. Suprunovska N.I. Modeling and Transient Analysis in Electric Circuits of Semiconductor Electro-discharge
Installations with Nonlinear Electro-Spark Load. Energy saving. Power engineering. Energy audit. 2014. No 9 (128)
Special issue Vol. 1: Power electronics and energy efficiency. Pp. 34–44. (Rus)
25. Shydlovska N.A., Zakharchenko S.M., Cherkaskyi O.P. Physical Prerequisites of Construction of
Mathematical Models of Electric Resistance of Plasma-erosive Loads. Tekhnichna Electrodynamika. 2017. No 2. Pp. 5–
12. (Ukr) DOI: https://doi.org/10.15407/techned2017.02.005
26. Zakharchenko S.M. Physical Model of the Granulated Current-carrying Medium. Tekhnichna
Elektrodynamika. 2012. No 6. Pp. 19–26. (Rus)
27. Shydlovska N.A., Zakharchenko S.M., Cherkaskyi O.P. Parametric Model of Resistance of Plasma-erosive
Load, Adequate in the Wide Range of Change of Applied Voltage. Tekhnichna Elektrodynamika. 2017. No 3. Pp. 3–12.
(Ukr) DOI: https://doi.org/10.15407/techned2017.03.003
28. Zakharchenko S.M. Statistical Research of Equivalent Electric Resistance of the Heterogeneous Current-
carrying Medium at its Electroerosive Processing on an Example of Granules of Aluminum in Water. Naukovyi Vіsnyk
Natsіonalnoho hіrnychoho unіversytetu. 2013. No 1 (133). Pp. 62–67. (Ukr)
29. Ivashchenko D.S., Shcherba A.A., Suprunovska N.I. Analyzing Probabilistic Properties of Electrical
Characteristics in the Circuits Containing Stochastic Load. IEEE International Conference on Intelligent Energy and
Power Systems IEPS-2016. Kyiv, Ukraine, June 7–11, 2016. Pp. 45–48.
30. Shydlovska N.A., Zakharchenko S.M. Discrete Nonlinear-Probabilistic Model of the Equivalent Electrical
Resistance of a Layer of Metal Granules. Tekhnichna Elektrodynamika. 2021. No 2. Pp. 3–12. (Ukr). DOI:
https://doi.org/10.15407/techned2021.02.003
Надійшла 26.03.2021
Остаточний варіант 24.05.2021
|
| id | techned_org_ua-article-179 |
| institution | Technical Electrodynamics |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-06-16T01:02:39Z |
| publishDate | 2021 |
| publisher | Інститут електродинаміки НАН України, Київ |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | technedorgua/bb/24d6ccc3e2e2289c02a9726f3a0e6fbb.pdf |
| spelling | techned_org_ua-article-1792021-08-30T09:19:41Z ANALYTICAL NONLINEAR-PROBABILISTIC MODEL OF THE EQUIVALENT ELECTRICAL RESISTANCE OF A LAYER OF METAL GRANULES АНАЛІТИЧНА НЕЛІНІЙНО-ІМОВІРНІСНА МОДЕЛЬ ЕКВІВАЛЕНТНОГО ЕЛЕКТРИЧНОГО ОПОРУ ШАРУ МЕТАЛЕВИХ ГРАНУЛ Шидловська, Н.А. Захарченко, С.М. resistance distribution nonlinear-probabilistic model discharge current spark-erosion treatment layer of metal granules розподіл опору нелінійно-імовірнісна модель розрядний струм іскроерозійна обробка шар металевих гранул As a result of processing the experimental data, an analytical continuous nonlinear-probabilistic model of the equivalent electrical resistance of a layer of metal granules in the working liquid was created. It is described by four equations: the modified Gaussian distribution and the dependences on the instantaneous values of the discharge current in the layer of metal granules of the mathematical expectation, dispersion and correction coefficient of the range of its equivalent electrical resistance. Based on the form of the dependences obtained during the experiments and the physics of the processes that occur in this case, two main groups of analytical functions are considered that approximate the obtained dependences. Criteria and methods for finding the optimal values of their coefficients are described. The adequacy of the approximation of each of the three obtained dependences by several analytical functions was investigated, the optimal values of the coefficients of which were found by the described method. Analytical functions was compared, which approximate the dependence of the mathematical expectation of the equivalent electrical resistance of a layer of metal granules on the instantaneous values of the discharge current in it with the known nonlinear models of the resistance of such a medium. References 33, figures 3, tables 3. В результаті оброблення даних експериментів створено аналітичну безперервну нелінійно-імовірнісну модель еквівалентного електричного опору шару металевих гранул в робочій рідині. Вона описується чотирма рівняннями: модифікованого розподілу Гауса та залежностями від миттєвих значень розрядного струму у шарі металевих гранул математичного сподівання, дисперсії і коефіцієнта корекції діапазону його еквівалентного електричного опору. Виходячи з вигляду отриманих у ході експериментів залежностей та фізики процесів, які при цьому відбуваються, розглянуто дві основні групи аналітичних функцій, які апроксимують отримані залежності. Описано критерії та методику пошуку оптимальних значень їхніх коефіцієнтів. Досліджено адекватність апроксимації кожної з трьох отриманих залежностей кількома аналітичними функціями, оптимальні значення коефіцієнтів яких знайдено за описаною методикою. Проведено порівняння аналітичних функцій, що апроксимують залежність математичного сподівання еквівалентного електричного опору шару металевих гранул від миттєвих значень розрядного струму в ньому, з відомими нелінійними моделями опору такого середовища. Бібл. 33, рис. 3, табл. 3. Інститут електродинаміки НАН України, Київ 2021-08-26 Article Article application/pdf https://techned.org.ua/index.php/techned/article/view/179 10.15407/techned2021.05.003 Tekhnichna Elektrodynamika; No. 5 (2021): TEKHNICNA ELEKTRODYNAMIKA; 003 ТЕХНІЧНА ЕЛЕКТРОДИНАМІКА; № 5 (2021): ТЕХНІЧНА ЕЛЕКТРОДИНАМІКА; 003 2218-1903 1607-7970 10.15407/techned2021.05 uk https://techned.org.ua/index.php/techned/article/view/179/150 Авторське право (c) 2021 ТЕХНІЧНА ЕЛЕКТРОДИНАМІКА https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0 |
| spellingShingle | розподіл опору нелінійно-імовірнісна модель розрядний струм іскроерозійна обробка шар металевих гранул Шидловська, Н.А. Захарченко, С.М. АНАЛІТИЧНА НЕЛІНІЙНО-ІМОВІРНІСНА МОДЕЛЬ ЕКВІВАЛЕНТНОГО ЕЛЕКТРИЧНОГО ОПОРУ ШАРУ МЕТАЛЕВИХ ГРАНУЛ |
| title | АНАЛІТИЧНА НЕЛІНІЙНО-ІМОВІРНІСНА МОДЕЛЬ ЕКВІВАЛЕНТНОГО ЕЛЕКТРИЧНОГО ОПОРУ ШАРУ МЕТАЛЕВИХ ГРАНУЛ |
| title_alt | ANALYTICAL NONLINEAR-PROBABILISTIC MODEL OF THE EQUIVALENT ELECTRICAL RESISTANCE OF A LAYER OF METAL GRANULES |
| title_full | АНАЛІТИЧНА НЕЛІНІЙНО-ІМОВІРНІСНА МОДЕЛЬ ЕКВІВАЛЕНТНОГО ЕЛЕКТРИЧНОГО ОПОРУ ШАРУ МЕТАЛЕВИХ ГРАНУЛ |
| title_fullStr | АНАЛІТИЧНА НЕЛІНІЙНО-ІМОВІРНІСНА МОДЕЛЬ ЕКВІВАЛЕНТНОГО ЕЛЕКТРИЧНОГО ОПОРУ ШАРУ МЕТАЛЕВИХ ГРАНУЛ |
| title_full_unstemmed | АНАЛІТИЧНА НЕЛІНІЙНО-ІМОВІРНІСНА МОДЕЛЬ ЕКВІВАЛЕНТНОГО ЕЛЕКТРИЧНОГО ОПОРУ ШАРУ МЕТАЛЕВИХ ГРАНУЛ |
| title_short | АНАЛІТИЧНА НЕЛІНІЙНО-ІМОВІРНІСНА МОДЕЛЬ ЕКВІВАЛЕНТНОГО ЕЛЕКТРИЧНОГО ОПОРУ ШАРУ МЕТАЛЕВИХ ГРАНУЛ |
| title_sort | аналітична нелінійно-імовірнісна модель еквівалентного електричного опору шару металевих гранул |
| topic | розподіл опору нелінійно-імовірнісна модель розрядний струм іскроерозійна обробка шар металевих гранул |
| topic_facet | resistance distribution nonlinear-probabilistic model discharge current spark-erosion treatment layer of metal granules розподіл опору нелінійно-імовірнісна модель розрядний струм іскроерозійна обробка шар металевих гранул |
| url | https://techned.org.ua/index.php/techned/article/view/179 |
| work_keys_str_mv | AT šidlovsʹkana analyticalnonlinearprobabilisticmodeloftheequivalentelectricalresistanceofalayerofmetalgranules AT zaharčenkosm analyticalnonlinearprobabilisticmodeloftheequivalentelectricalresistanceofalayerofmetalgranules AT šidlovsʹkana analítičnanelíníjnoímovírnísnamodelʹekvívalentnogoelektričnogooporušarumetalevihgranul AT zaharčenkosm analítičnanelíníjnoímovírnísnamodelʹekvívalentnogoelektričnogooporušarumetalevihgranul |