Lagrange stability and instability of nonregular semilinear differential-algebraic equations and applications
We consider an nonregular (singular) semilinear differential-algebraic equation $$\frac d{dt} [Ax] + Bx = f(t, x)$$ and prove the theorems on Lagrange stability and instability. The theorems give sufficient conditions for the existence, uniqueness, and boundedness of a global solution of the Cauchy...
Збережено в:
| Дата: | 2018 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2018
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1598 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507408656236544 |
|---|---|
| author | Filipkovska, M. S. Филипковская, М. С. Филипковская, М. С. |
| author_facet | Filipkovska, M. S. Филипковская, М. С. Филипковская, М. С. |
| author_sort | Filipkovska, M. S. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:19:59Z |
| description | We consider an nonregular (singular) semilinear differential-algebraic equation $$\frac d{dt} [Ax] + Bx = f(t, x)$$ and prove the
theorems on Lagrange stability and instability. The theorems give sufficient conditions for the existence, uniqueness, and
boundedness of a global solution of the Cauchy problem for the semilinear differential-algebraic equation and sufficient
conditions for the existence and uniqueness of the solution with finite escape time for the analyzed Cauchy problem
(this solution is defined on a finite interval and unbounded). The proposed theorems do not contain constraints similar to
the global Lipschitz condition. This enables us to use them for solving more general classes of applied problems. Two
mathematical models of radioengineering filters with nonlinear elements are studied as applications. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:08:51Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.922
М. С. Филипковская
(Физ.-техн. ин-т низких температур им. Б. И. Веркина НАН Украины, Харьков. нац. ун-т им. В. Н. Каразина)
УСТОЙЧИВОСТЬ И НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ПО ЛАГРАНЖУ
НЕРЕГУЛЯРНЫХ ПОЛУЛИНЕЙНЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И ПРИЛОЖЕНИЯ*
We consider an nonregular (singular) semilinear differential-algebraic equation
d
dt
[Ax] + Bx = f(t, x) and prove the
theorems on Lagrange stability and instability. The theorems give sufficient conditions for the existence, uniqueness, and
boundedness of a global solution of the Cauchy problem for the semilinear differential-algebraic equation and sufficient
conditions for the existence and uniqueness of the solution with finite escape time for the analyzed Cauchy problem
(this solution is defined on a finite interval and unbounded). The proposed theorems do not contain constraints similar to
the global Lipschitz condition. This enables us to use them for solving more general classes of applied problems. Two
mathematical models of radioengineering filters with nonlinear elements are studied as applications.
Розглядається нерегулярне (сингулярне) напiвлiнiйне диференцiально-алгебраїчне рiвняння
d
dt
[Ax]+Bx = f(t, x).
Доведено теореми про стiйкiсть та нестiйкiсть за Лагранжем, якi дають достатнi умови iснування, єдиностi та об-
меженостi глобального розв’язку задачi Кошi для напiвлiнiйного диференцiально-алгебраїчного рiвняння i достатнi
умови iснування та єдиностi розв’язку зi скiнченним часом визначення (розв’язок є визначеним на скiнченному
iнтервалi та необмеженим) для цiєї задачi Кошi. Теореми не мiстять обмежень типу глобальної умови Лiпшиця, що
дозволяє застосовувати їх при розв’язаннi бiльш широких класiв прикладних задач. Як застосування дослiджено
двi математичнi моделi радiотехнiчних фiльтрiв iз нелiнiйними елементами.
1. Введение. Полулинейные дифференциально-алгебраические уравнения (ДАУ) используют-
ся для описания математических моделей в радиоэлектронике (см., например, [1 – 3] и при-
веденную в них библиографию), экономике, робототехнике [4], теории управления [1, 5],
химической кинетике и других областях. ДАУ называются также дескрипторными, алгебро-
дифференциальными и вырожденными дифференциальными уравнениями.
В настоящей статье доказаны теоремы об устойчивости и неустойчивости по Лагранжу
(см. определения 5 – 7) полулинейного ДАУ
d
dt
[Ax(t)] + Bx(t) = f(t, x(t)) с сингулярным
пучком \lambda A + B операторов A,B : \BbbR n \rightarrow \BbbR m. Теоремы дают достаточные условия существо-
вания и единственности глобальных решений задачи Коши, а также условия ограниченно-
сти глобальных решений (устойчивость по Лагранжу); достаточные условия существования
и единственности решений с конечным временем определения для задачи Коши (неустойчи-
вость по Лагранжу). Теоремы не содержат ограничений типа глобального условия Липшица,
что позволяет применять их при решении более широких классов прикладных задач. Кроме
того, теоремы имеют ряд преимуществ, о которых будет сказано ниже. В п. 5 полученные
теоретические результаты применены при исследовании математических моделей нелинейных
радиотехнических фильтров.
Во многих работах (см., например, [2, 3, 5 – 9]) изучалась устойчивость линейных ДАУ
и дескрипторных систем управления, которые описываются линейными ДАУ. R. März [10] и
* Выполнена при частичной финансовой поддержке Государственного фонда фундаментальных исследований
Украины (проект Ф 83/45808).
c\bigcirc М. С. ФИЛИПКОВСКАЯ, 2018
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 6 823
824 М. С. ФИЛИПКОВСКАЯ
C. Tischendorf [8] исследовали устойчивость по Ляпунову точки равновесия x\ast соответствен-
но автономного полулинейного ДАУ вида A
d
dt
x(t) + g(x(t)) = 0 (g(x\ast ) = 0) и автономного
нелинейного ДАУ вида f
\biggl(
d
dt
x(t), x(t)
\biggr)
= 0 (f(0, x\ast ) = 0). Полученные в [8, 10] теоремы
позволяют доказать существование и единственность глобальных решений только в некоторой
(достаточно малой) окрестности точки равновесия. Теорема 1 из п. 4 позволяет доказать суще-
ствование и единственность глобальных решений полулинейного ДАУ
d
dt
[Ax] +Bx = f(t, x)
для всех возможных начальных точек (см. замечание 1), т. е. независимо от наличия и коли-
чества точек равновесия. Кроме того, R. März и C. Tischendorf требовали, чтобы ДАУ имело
индекс 1. Это требование является слишком ограничительным (поскольку накладывает опреде-
ленные глобальные ограничения на производную нелинейной части уравнения) для практиче-
ских приложений, рассматриваемых в настоящей статье, и не используется в ней. Результаты,
полученные R. März, использовались в [11] при исследовании устойчивости по Ляпунову ну-
левого решения полулинейного ДАУ при дополнительных упрощениях для нелинейной части
уравнения. В теореме 6.16 [2] для некоторого глобального решения неавтономного нелинейно-
го регулярного ДАУ индекса 1 приводятся условия устойчивости по Ляпунову, которую также
можно рассматривать лишь локально (в достаточно малой окрестности этого решения). В усло-
виях указанной теоремы предполагается, что нелинейное ДАУ имеет глобальное решение, а
линеаризованное вдоль этого решения ДАУ является сильно сжимающим. Некоторые вопросы
относительно явления потери устойчивости квазилинейных ДАУ рассмотрены в [12].
Важно отметить, что даже для обыкновенного дифференциального уравнения с нелиней-
ной частью из устойчивости по Ляпунову нетривиального (не равного тождественно нулю)
решения не следует его устойчивость по Лагранжу (ограниченность на всей области опреде-
ления). Кроме того, в общем случае из неустойчивости по Ляпунову решения не следует его
неустойчивость по Лагранжу, а обратное утверждение справедливо.
В монографии [13] доказаны теорема об устойчивости по Лагранжу обыкновенного диф-
ференциального уравнения
d
dt
x = f(t, x), t \geq 0, где устойчивость по Лагранжу уравнения
означает ограниченность всех его решений (при t \geq 0), и теорема о существовании реше-
ний с конечным временем определения. Эти результаты используются в настоящей статье
для получения условий устойчивости и неустойчивости по Лагранжу полулинейного ДАУ.
Условия существования и единственности ограниченного на всей вещественной оси решения
нелинейного дифференциально-функционального уравнения получены в [14]. Устойчивость по
Лагранжу дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом, которое описывает
мемристорную нейронную сеть, изучена в [15].
В статье будем использовать следующие обозначения: L(X,Y ) — пространство ограни-
ченных линейных операторов, действующих из X в Y, L(X,X) = L(X); EX — единичный
оператор в пространстве X; rk(\lambda A + B) — ранг пучка \lambda A + B операторов (матриц) A, B;\int +\infty
c
f(t) dt < +\infty означает, что интеграл сходится,
\int +\infty
c
f(t) dt = \infty означает, что интеграл
расходится; A| X — сужение оператора A на пространство X.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 6
УСТОЙЧИВОСТЬ И НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ПО ЛАГРАНЖУ НЕРЕГУЛЯРНЫХ ПОЛУЛИНЕЙНЫХ . . . 825
2. Постановка задачи и основные определения. Рассмотрим задачу Коши для полули-
нейного ДАУ:
d
dt
[Ax] +Bx = f(t, x), (1)
x(t0) = x0, (2)
где t, t0 \geq 0, x, x0 \in \BbbR n, f(t, x) : [0,\infty ) \times \BbbR n \rightarrow \BbbR m — непрерывная функция, A, B : \BbbR n \rightarrow
\rightarrow \BbbR m — линейные операторы, которым соответствуют (m\times n)-матрицы A, B.
Определение 1. Функция x(t) называется решением задачи Коши (1), (2) на некотором
интервале [t0, t1), t1 \leq \infty , если x(t) \in C([t0, t1), \BbbR n), Ax(t) \in C1([t0, t1),\BbbR n), x(t) удовле-
творяет уравнению (1) на [t0, t1) и начальному условию (2).
Влияние линейной части уравнения (1) определяется свойствами характеристического пуч-
ка \lambda A+B, где \lambda — комплексный параметр. Рангом пучка матриц \lambda A+B называется наибольший
из порядков миноров пучка, не равных тождественно нулю [16]. Ясно, что ранги пучка матриц
и соответствующего пучка операторов \lambda A+B совпадают.
Определение 2. Пучок \lambda A + B называется регулярным, если n = m = rk(\lambda A + B), в
остальных случаях, т. е. при n \not = m или n = m и rk(\lambda A + B) < n, — сингулярным или
нерегулярным.
Полулинейное ДАУ с сингулярным пучком называется сингулярным или нерегулярным.
Определение 3. Аддитивным разложением единицы в s-мерном линейном пространстве
Z называется система одномерных проекторов \{ \Theta k\} sk=1, \Theta k : Z \rightarrow Z, таких, что \Theta i\Theta j =
= \delta ij \Theta i (\delta ij — символ Кронекера) и EZ =
\sum s
k=1
\Theta k [17].
Аддитивное разложение единицы порождает прямое разложение пространства Z в сумму
s одномерных подпространств: Z = Z1 \.+Z2 \.+ . . . \.+Zs, Zk = \Theta k Z.
Определение 4. Пусть W, Z — s-мерные линейные пространства, D \subset W. Оператор-
функция \Phi (w):D \rightarrow L(W,Z) называется базисно обратимой на выпуклой оболочке \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}\{ \^w, \^\^w\}
векторов \^w, \^\^w \in D, если для любого набора векторов \{ wk\} sk=1, w
k \in \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}\{ \^w, \^\^w\} , и некоторо-
го аддитивного разложения единицы \{ \Theta k\} sk=1 в пространстве Z оператор \Lambda =
=
\sum s
k=1
\Theta k\Phi (w
k) \in L(W,Z) имеет обратный \Lambda - 1 \in L(Z,W ) [17].
Если оператор \Phi (w) \in L(W,Z) представить в виде матрицы в некоторых базисах s-мерных
пространств W, Z :
\Phi (w) =
\left( \Phi 11(w) \cdot \cdot \cdot \Phi 1s(w)
\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot
\Phi s1(w) \cdot \cdot \cdot \Phi ss(w)
\right) ,
то в определении 4 оператор \Lambda примет вид
\Lambda =
\left( \Phi 11(w
1) \cdot \cdot \cdot \Phi 1s(w
1)
\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot
\Phi s1(w
s) \cdot \cdot \cdot \Phi ss(w
s)
\right) .
Заметим, что свойство базисной обратимости не зависит от выбора базиса или аддитивного
разложения единицы в Z.
Очевидно, из базисной обратимости \Phi (w) на выпуклой оболочке \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}\{ \^w, \^\^w\} следует обра-
тимость в любой точке w \in \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}\{ \^w, \^\^w\} (w = \alpha \^\^w+(1 - \alpha ) \^w, \alpha \in [0, 1]). Обратное утверждение
не имеет места, кроме случая, когда пространства W, Z одномерны. Рассмотрим пример.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 6
826 М. С. ФИЛИПКОВСКАЯ
Пример 1. Пусть W = Z = \BbbR 2, D = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}\{ \^w, \^\^w\} , \^w = (1, - 1)T , \^\^w = (1, 1)T , w =
= (a, b)T \in D, \Phi (w) =
\biggl(
a b 1
- 1 a b
\biggr)
. Для набора векторов \{ w1, w2\} \subset \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}\{ \^w, \^\^w\} , w1 =
= (a1, b1)
T , w2 = (a2, b2)
T , оператор \Lambda имеет вид \Lambda =
\biggl(
a1 b1 1
- 1 a2 b2
\biggr)
. Поскольку \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\Phi (w) =
= a2 b2 + 1 \not = 0 для любого w \in D, то \Phi (w) обратима на D. Однако оператор \Lambda необратим
для \{ w1, w2\} = \{ \^w, \^\^w\} и, следовательно, функция \Phi (w) не является базисно обратимой на D.
Если же взять \^w = (1, 0)T , то \Phi (w) будет базисно обратимой на D.
Определение 5. Решение x(t) задачи Коши (1), (2) называется глобальным, если оно су-
ществует на всем интервале [t0,\infty ).
Решение x(t) задачи Коши (1), (2) называется устойчивым по Лагранжу, если оно является
глобальным и \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}t\in [t0,\infty ) \| x(t)\| < +\infty .
Определение 6. Решение x(t) задачи Коши (1), (2) имеет конечное время определения,
если оно существует на некотором конечном интервале [t0, T ) и \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}t\rightarrow T - 0 \| x(t)\| = +\infty .
Решение x(t) задачи Коши (1), (2) называется неустойчивым по Лагранжу, если оно имеет
конечное время определения.
Определение 7. Уравнение (1) устойчиво по Лагранжу, если каждое решение задачи Коши
(1), (2) устойчиво по Лагранжу.
Уравнение (1) неустойчиво по Лагранжу, если каждое решение задачи Коши (1), (2)
неустойчиво по Лагранжу.
3. Блочная структура пучка операторов, соответствующие прямые разложения про-
странств и проекторы. Представленная ниже блочная структура сингулярного пучка опера-
торов описана в [18] и используется для получения основных результатов. При построении
блочной структуры использовались результаты из [16], описывающие приведение сингуляр-
ного пучка матриц к каноническому квазидиагональному виду, где регулярный блок имеет
каноническую форму Вейерштрасса и сингулярный блок имеет каноническую форму Кроне-
кера. Разбиение сингулярного пучка на регулярную и сингулярную компоненты, названное
RS-расщеплением пучка, и блочные представления сингулярной компоненты пучка для двух
частных случаев приведены в [19].
Существуют разложения пространств \BbbR n, \BbbR m в прямые суммы подпространств
\BbbR n = Xs \.+Xr, \BbbR m = Ys \.+Yr, (3)
относительно которых сингулярный пучок \lambda A + B операторов A, B : \BbbR n \rightarrow \BbbR m принимает
блочный вид
\lambda A+B =
\biggl(
\lambda As +Bs 0
0 \lambda Ar +Br
\biggr)
, As, Bs : Xs \rightarrow Ys, Ar, Br : Xr \rightarrow Yr, (4)
где сингулярный блок \lambda As + Bs является чисто сингулярным пучком (т. е. от него нельзя
отделить регулярный блок), а регулярный блок \lambda Ar+Br является регулярным пучком. Введем
проекторы
S : \BbbR n \rightarrow Xs, P : \BbbR n \rightarrow Xr, F : \BbbR m \rightarrow Ys, Q : \BbbR m \rightarrow Yr (5)
на подпространства из разложений (3), E\BbbR n = S + P, E\BbbR m = F + Q. Пара сингулярных
подпространств Xs, Ys и пара регулярных подпространств Xr, Yr инвариантны относительно
операторов A, B, т. е. QA = AP, QB = BP, FA = AS, FB = BS.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 6
УСТОЙЧИВОСТЬ И НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ПО ЛАГРАНЖУ НЕРЕГУЛЯРНЫХ ПОЛУЛИНЕЙНЫХ . . . 827
Поскольку пучок \lambda A + B имеет комплексный параметр \lambda , в случае необходимости ве-
щественные операторы A, B, действующие из \BbbR n в \BbbR m, заменяются на их комплексные
расширения (см. определение в [20]) \^A, \^B, действующие из \BbbC n в \BbbC m. Здесь комплексное
пространство \BbbC n (\BbbC m), состоящее из всех пар (x, y), x, y \in \BbbR n (\BbbR m), записываемых в виде
(x, y) = x+ iy, является комплексификацией вещественного пространства \BbbR n (\BbbR m). Матрицы
операторов A, B относительно некоторых базисов в \BbbR n, \BbbR m совпадают с матрицами их комп-
лексных расширений \^A, \^B относительно тех же базисов в \BbbC n, \BbbC m и \^A(x + iy) = A(x + iy),
\^B(x+ iy) = B(x+ iy). Очевидно, ранги пучка \lambda A+B и его комплексного расширения \lambda \^A+ \^B
также совпадают.
Рассмотрим ядро \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(\lambda A+B) = \{ x(\lambda ) | (\lambda A+B)x(\lambda ) \equiv 0\} и область значений
\scrR (\lambda A+B) = \{ y(\lambda ) | \exists x : (\lambda A+B)x = y(\lambda )\} пучка \lambda A+B. Размерность ядра \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(\lambda A+
+B) равна размерности ядра \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(\lambda \^A+ \^B) комплексного расширения пучка \lambda A+B (анало-
гично для области значений пучка). Пусть \lambda \in \BbbC — некоторое фиксированное число. Поскольку
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(\lambda \^A + \^B) = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\BbbC n - \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\scrR (\lambda \^A + \^B) = n - rk(\lambda \^A + \^B), то \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(\lambda A + B) =
= n - rk(\lambda A + B). По определению ранг rk(\lambda A + B) — постоянное число, следовательно,
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(\lambda A+B) = n - rk(\lambda A+B) также постоянное число.
В случае, когда rk(\lambda A + B) = m < n ( ДАУ (1) соответствует недоопределенная система
уравнений, т. е. число уравнений меньше числа неизвестных), существует разложение сингу-
лярного пространства Xs = Xs1
\.+Xs2 в прямую сумму подпространств таких, что
As = (Agen 0) : Xs1
\.+Xs2 \rightarrow Ys, Bs = (Bgen Bund) : Xs1
\.+Xs2 \rightarrow Ys, (6)
где оператор Agen \in L(Xs1 , Ys) имеет обратный A - 1
gen \in L(Ys, Xs1). Существуют проекторы Si :
\BbbR n \rightarrow Xsi , i = 1, 2, на подпространства Xsi такие, что S = S1 + S2, S1S2 = S2S1 = 0,
AS2 = 0. Для построения сингулярных подпространств Xs, Ys, Xs1 , Xs2 найдем максимальное
количество линейно независимых решений x1(\lambda ), x2(\lambda ), . . . , xN (\lambda ) уравнения
(\lambda A+B)x = 0. (7)
Рассматриваются решения, являющиеся полиномами от \lambda : xj(\lambda ) =
\sum kj
i=0
( - 1)i\lambda ixji, j = 1, N,
xji \not = 0, i = 0, kj , где kj — степень xj(\lambda ). Известно, что многочленные столбцы x1(\lambda ), . . .
. . . , xN (\lambda ) являются линейно независимыми, если ранг матрицы, составленной из этих столб-
цов, равен N. Поскольку набор столбцов \{ x1(\lambda ), . . . , xN (\lambda )\} образует базис \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(\lambda A+B), то
N = n - rk(\lambda A+B). Если подставить xj(\lambda ) в (7) и приравнять коэффициенты при \lambda к нулю,
то получим набор равенств Bxj 0 = 0, Bxj 1 = Axj 0, . . . , Bxj kj = Axj kj - 1, Axj kj = 0.
Среди всех решений уравнения (7) можно выбрать набор линейно независимых решений
\{ \^xj(\lambda )\} Nj=1 (наборы определяются неоднозначно) с наименьшими возможными степенями, та-
кими, что k1 \leq k2 \leq . . . \leq kN ,
\sum N
j=1
kj \leq m,
\sum N
j=1
kj + N \leq n. Тогда соответствующие
системы векторов \{ \^xji\}
N,kj
j=1,i=0, \{ B\^xji\}
N,kj
j=1,i=1 = \{ A\^xji\}
N,kj - 1
j=1,i=0 линейно независимы и явля-
ются базисами своих линейных оболочек, образующих пространства Xs = \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ \^xji\}
N,kj
j=1,i=0,
Ys = \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ B\^xji\}
N,kj
j=1,i=1. Если взять произвольный максимальный набор линейно независимых
решений \{ xj(\lambda )\} Nj=1 уравнения (7), то линейные оболочки систем \{ xji\}
N,kj
j=1,i=0, \{ Bxji\}
N,kj
j=1,i=1
также образуют пространства Xs, Ys соответственно. Однако эти системы могут содержать
линейно зависимые векторы и, следовательно, не всегда целиком совпадают с базисами про-
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 6
828 М. С. ФИЛИПКОВСКАЯ
странств Xs, Ys (т. е. из этих систем всегда можно выбрать подсистемы, которые являются
базисами пространств Xs, Ys). Далее, можно выбрать базисы пространств Xs1 , Xs2 так, чтобы
относительно прямого разложения Xs = Xs1
\.+Xs2 операторы As, Bs имели блочную струк-
туру (6).
В случае, когда rk(\lambda A + B) = n < m ( ДАУ (1) соответствует переопределенная система
уравнений, т. е. число уравнений больше числа неизвестных), сингулярное пространство Ys
разлагается в прямую сумму подпространств Ys = Ys1 \.+Ys2 таких, что
As =
\biggl(
Agen
0
\biggr)
: Xs \rightarrow Ys1 \.+Ys2 , Bs =
\biggl(
Bgen
Bov
\biggr)
: Xs \rightarrow Ys1 \.+Ys2 , (8)
где оператор Agen \in L(Xs, Ys1) имеет обратный A - 1
gen \in L(Ys1 , Xs). Существуют проекторы Fi :
\BbbR m \rightarrow Ysi , i = 1, 2, на подпространства Ysi такие, что F = F1+F2, F1F2 = F2F1 = 0, F2A = 0.
Для построения сингулярных подпространств Xs, Ys, Ys1 , Ys2 найдем линейно независимые
решения y1(\lambda ), ..., yM (\lambda ) уравнения
(\lambda AT +BT )y = 0, (9)
где \lambda AT + BT — транспонированный пучок \lambda A + B, M = m - rk(\lambda A + B) (ясно, что
rk(\lambda A + B) = rk(\lambda AT + BT )). Далее, построим сингулярные пространства \^Xs, \^Ys \^Xs1 ,
\^Xs2
и соответствующие проекторы \^S, \^F , \^S1, \^S2 для пучка \lambda AT + BT , как в предыдущем случае.
Тогда S = \^F T , F = \^ST , F1 = \^ST
1 , F2 = \^ST
2 будут проекторами на сингулярные простран-
ства Xs, Ys, Ys1 , Ys2 для исходного пучка \lambda A + B. С помощью проекторов S, F, F1, F2
восстанавливаются соответствующие сингулярные пространства.
В общем случае, при rk(\lambda A + B) < n, rk(\lambda A + B) < m, сингулярные пространства Xs,
Ys разлагаются в прямые суммы подпространств Xs = Xs1
\.+Xs2 , Ys = Ys1 \.+Ys2 таких, что
As =
\biggl(
Agen 0
0 0
\biggr)
: Xs \rightarrow Ys, Bs =
\biggl(
Bgen Bund
Bov 0
\biggr)
: Xs \rightarrow Ys, (10)
где оператор Agen \in L(Xs1 , Ys1) имеет обратный A - 1
gen \in L(Ys1 , Xs1), Bgen \in L(Xs1 , Ys1),
Bund \in L(Xs2 , Ys1), Bov \in L(Xs1 , Ys2). Аналогично вводим проекторы
Si : \BbbR n \rightarrow Xsi , Fi : \BbbR m \rightarrow Ysi , i = 1, 2, (11)
F = F1 + F2, F1F2 = F2F1 = 0, S = S1 + S2, S1S2 = S2S1 = 0. Тогда Agen = F1AS1| Xs1
,
Bgen = F1BS1| Xs1
, Bund = F1BS2| Xs2
, Bov = F2BS1| Xs1
, AS2 = 0, F2A = 0, F2BS2 = 0.
В общем случае для построения проекторов и соответствующих сингулярных пространств
необходимо найти N = n - rk(\lambda A + B) линейно независимых решений уравнения (7) и
M = m - rk(\lambda A + B) линейно независимых решений уравнения (9). Далее, используя вид
сингулярных пространств, полученных при анализе решений уравнений (7), (9), строим син-
гулярные пространства Xs, Ys, Xs1 , Xs2 , Ys1 , Ys2 и соответствующие проекторы с учетом
их свойств, позволяющих получить блочную структуру (10). Легко убедиться, что сингуляр-
ные пространства Xs, Ys получаются из объединения базисов соответствующих сингулярных
пространств, полученных (как это было выше) при анализе решений уравнений (7), (9).
Общее максимальное количество d(\lambda A+B) = n+m - 2 rk(\lambda A+B) линейно независимых
решений уравнения (7) и линейно независимых решений уравнения (9) назовем дефектом
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 6
УСТОЙЧИВОСТЬ И НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ПО ЛАГРАНЖУ НЕРЕГУЛЯРНЫХ ПОЛУЛИНЕЙНЫХ . . . 829
пучка \lambda A + B [18]. Для пучка ранга rk(\lambda A+B) = m < n дефект равен d(\lambda A + B) = N =
= n - rk(\lambda A+B). Если пучок имеет ранг rk(\lambda A+B) = n < m, его дефект равен d(\lambda A+B) =
= M = m - rk(\lambda A + B). Очевидно, дефекты исходного и транспонированного пучков будут
совпадать, дефект регулярного пучка будет равен нулю.
Таким образом, существуют разложения пространств \BbbR n, \BbbR m в прямые суммы подпро-
странств
\BbbR n = Xs \.+Xr = Xs1
\.+Xs2
\.+Xr, \BbbR m = Ys \.+Yr = Ys1 \.+Ys2 \.+Yr (12)
таких, что при rk(\lambda A + B) < n, rk(\lambda A + B) < m сингулярный пучок операторов \lambda A + B
имеет блочную структуру (4), (10), при rk(\lambda A + B) = m < n — блочную структуру (4), (6) и
Ys1 = Ys, Ys2 = \{ 0\} (F1 = F, F2 = 0), при rk(\lambda A+B) = n < m — блочную структуру (4), (8) и
Xs1 = Xs, Xs2 = \{ 0\} (S1 = S, S2 = 0). Выше введены проекторы (5), (11) на подпространства
из разложений (12) и описан метод построения сингулярных подпространств Xs, Ys, Xsi , Ysi ,
i = 1, 2.
Заметим, что если Xr = \{ 0\} , Yr = \{ 0\} , то \lambda A+B = \lambda As+Bs является чисто сингулярным
пучком и регулярный блок \lambda Ar +Br отсутствует.
Предположим, что регулярный пучок \lambda Ar +Br удовлетворяет условию
\exists C1, C2 > 0 (C1, C2 \in \BbbR ) :
\bigm\| \bigm\| (\lambda Ar +Br)
- 1
\bigm\| \bigm\| \leq C1, | \lambda | \geq C2. (13)
Условие (13) означает, что точка \mu = 0 является либо простым полюсом резольвенты (Ar +
+\mu Br)
- 1 (это эквивалентно тому, что \lambda = \infty является устранимой особой точкой резольвенты
(\lambda Ar + Br)
- 1), либо регулярной точкой пучка Ar + \mu Br (т. е. в точке \mu = 0 существует
резольвента (Ar + \mu Br)
- 1 и, следовательно, оператор Ar невырожден). Если оператор Ar
вырожден и точка \mu = 0 является простым полюсом резольвенты (Ar+\mu Br)
- 1 (т. е. выполнено
условие (13)), то будем говорить, что \lambda Ar + Br является регулярным пучком индекса 1 (или
регулярный пучок \lambda Ar + Br имеет индекс 1). Если Ar = 0 и выполнено условие (13), т. е.
существует B - 1
r , то для простоты также будем говорить, что \lambda Ar + Br является регулярным
пучком индекса 1. Если оператор Ar невырожден, т. е. \mu = 0 является регулярной точкой пучка
Ar + \mu Br, то будем говорить, что \lambda Ar +Br является регулярным пучком индекса 0.
Таким образом, \lambda Ar + Br — регулярный пучок индекса не выше 1 (т. е. индекса 0 или 1),
если \lambda Ar +Br — регулярный пучок и выполнено условие (13).
Для регулярного пучка \lambda Ar +Br индекса не выше 1 существуют вещественные спектраль-
ные проекторы \~Pj : Xr \rightarrow Xj , \~Qj : Yr \rightarrow Yj , j = 1, 2 [19] (п. 3) (проекторы могут быть
вычислены контурным интегрированием, как показано, например, в [21], п. 2), такие, что про-
странства Xr, Yr разлагаются в прямые суммы подпространств
Xr = X1 \.+X2, Yr = Y1 \.+Y2, (14)
относительно которых индуцированные операторы Aj = Ar
\bigm| \bigm|
Xj
: Xj \rightarrow Yj , Bj = Br
\bigm| \bigm|
Xj
: Xj \rightarrow
\rightarrow Yj , j = 1, 2, таковы, что A2 = 0 и существуют A - 1
1 \in L(Y1, X1), B - 1
2 \in L(Y2, X2).
Обозначим через
Pj : \BbbR n \rightarrow Xj , Qj : \BbbR m \rightarrow Yj , j = 1, 2, (15)
расширения проекторов \~Pj , \~Qj (Pj = \~PjP, Qj = \~QjQ), при этом P = P1 + P2, Q = Q1 +Q2
и для расширенных проекторов сохраняются свойства исходных: APj = QjA, BPj = QjB,
j = 1, 2. Тогда A1 = Q1A| X1
, Q2A = 0, Bj = QjBj | Xj
, j = 1, 2.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 6
830 М. С. ФИЛИПКОВСКАЯ
Относительно разложений (12), (14) любой вектор x \in \BbbR n единственным образом предста-
вим в виде
x = xs + xr = xs1 + xs2 + xp1 + xp2 , (16)
где xs = Sx = xs1 + xs2 \in Xs, xr = Px = xp1 + xp2 \in Xr, xsi = Six \in Xsi , xpi = Pix \in Xi,
i = 1, 2.
4. Устойчивость и неустойчивость по Лагранжу сингулярного (нерегулярного) полу-
линейного ДАУ. В дальнейшем используются проекторы (5), (11), (15) и соответствующие
подпространства Xs, Xr, Ys, Yr, Xsi , Ysi , Xi, Yi, i = 1, 2, определенные в п. 3.
Теорема 1 (об устойчивости по Лагранжу полулинейного ДАУ). Пусть функция f(t, x)
принадлежит C([0,\infty )\times \BbbR n,\BbbR m), частная производная
\partial
\partial x
f(t, x) непрерывна на [0,\infty )\times \BbbR n,
\lambda A + B — сингулярный пучок операторов такой, что его регулярный блок \lambda Ar + Br из (4)
имеет индекс не выше 1, и выполнено условие
\forall t \geq 0 \forall xs1 \in Xs1 \forall xp1 \in X1 \exists xs2 \in Xs2\exists xp2 \in X2 :
(t, xs1 + xs2 + xp1 + xp2) \in L0 = \{ (t, x) \in [0,\infty )\times \BbbR n | (F2 +Q2)[Bx - f(t, x)] = 0\} , (17)
где Xs1 , Xs2 , X1, X2 из (12), (14). Пусть для любых \^xp2 ,
\^\^xp2 \in X2 таких, что (t\ast , x
\ast
s1 +
+ x\ast s2 + x\ast p1 + \^xp2), (t\ast , x
\ast
s1 + x\ast s2 + x\ast p1 +
\^\^xp2) \in L0, оператор-функция
\Phi (xp2) =
\biggl[
\partial
\partial x
\bigl(
Q2f(t\ast , x
\ast
s1 + x\ast s2 + x\ast p1 + xp2)
\bigr)
- B
\biggr]
P2 : X2 \rightarrow L(X2, Y2) (18)
является базисно обратимой на выпуклой оболочке \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}\{ \^xp2 , \^\^xp2\} . Предположим, что су-
ществуют самосопряженные положительные операторы H1 \in L(Xs1), H2 \in L(X1), число
R > 0 и функции k(t) \in C([0,\infty ),\BbbR ), U(v) \in C((0,\infty ), (0,\infty )), \phi s2(t) \in C([0,\infty ), Xs2) та-
кие, что (t, S1x+ \phi s2(t) + P1x+ P2x) \in L0 при всех t \in [0,\infty ),
\int +\infty
c
dv
U(v)
= +\infty (c > 0) и
выполнено\bigl(
H1S1x,A
- 1
genF1[ - BS1x - B\phi s2(t) + f(t, x)]
\bigr)
+
\bigl(
H2P1x,A
- 1
1 Q1[ - BP1x+ f(t, x)]
\bigr)
\leq
\leq k(t)U
\biggl(
1
2
\bigl[
(H1S1x, S1x) + (H2P1x, P1x)
\bigr] \biggr)
\forall (t, x) \in L0 : \| (S1 + P1)x\| \geq R. (19)
Тогда для каждой начальной точки (t0, x0) \in L0 существует единственное решение x(t)
задачи Коши (1), (2) на [t0,\infty ), для которого при rk(\lambda A+B) = m < n выбор функции \phi s2 с
начальным значением \phi s2(t0) = S2x0 однозначно определяет компоненту S2x(t) = \phi s2(t).
Если, дополнительно,
\int +\infty
t0
k(t) dt < +\infty , \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}t\in [0,\infty ) \| \phi s2(t)\| < +\infty ,
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in [0,\infty ), \| x\| \leq K
\| F2f(t, x)\| < +\infty , K > 0 (K \in \BbbR ), (20)
и существует такое \~xp2 \in X2, что для любого \~\~xp2 \in X2 такого, что (t\ast , x
\ast
s1+x\ast s2+x\ast p1+
\~\~xp2) \in
\in L0, оператор-функция (18) базисно обратима на \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}\{ \~xp2 , \~\~xp2\} \setminus \{ \~xp2\} и
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 6
УСТОЙЧИВОСТЬ И НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ПО ЛАГРАНЖУ НЕРЕГУЛЯРНЫХ ПОЛУЛИНЕЙНЫХ . . . 831
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in [0,\infty ), \| xs1+xs2+xp1\| \leq M
\| Q2f(t, xs1 + xs2 + xp1 + \~xp2)\| < +\infty , M > 0 (M \in \BbbR ), (21)
то для начальных точек (t0, x0) \in L0 уравнение (1), где S2x = \phi s2(t), устойчиво по Лагранжу;
при rk(\lambda A+B) = n < m компонента S2x отсутствует.
Замечание 1. Условие согласования (t0, x0) \in L0 для начальной точки (t0, x0) является
одним из необходимых условий существования решения задачи Коши (1), (2).
Начальные значения t0, x0, удовлетворяющие условию согласования (t0, x0) \in L0, называ-
ются согласованными начальными значениями.
Замечание 2. Учитывая свойства проекторов, многообразие L0 (17) можно представить в
виде L0 = \{ (t, x) \in [0,\infty )\times \BbbR n | F2[Bx - f(t, x)] = 0, Q2[Bx - f(t, x)] = 0\} .
Замечание 3. Если оператор-функция \Phi (xp2) (18) является базисно обратимой на
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}\{ \^xp2 , \^\^xp2\} для любых \^xp2 ,
\^\^xp2 \in X2, t\ast \in [0,\infty ), x\ast s1 \in Xs1 , x\ast s2 \in Xs2 , x\ast p1 \in X1, то,
очевидно, она является базисно обратимой на \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}\{ \^xp2 , \^\^xp2\} для любых \^xp2 ,
\^\^xp2 таких, что
(t\ast , x
\ast
s1 + x\ast s2 + x\ast p1 + \^xp2), (t\ast , x
\ast
s1 + x\ast s2 + x\ast p1 +
\^\^xp2) \in L0 , и на \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}\{ \~xp2 , \~\~xp2\} \setminus \{ \~xp2\} для
любых \~xp2 и \~\~xp2 таких, что (t\ast , x
\ast
s1 + x\ast s2 + x\ast p1 +
\~\~xp2) \in L0.
Доказательство теоремы 1. Применяя к уравнению (1) проекторы Fi, Qi, i = 1, 2, полу-
чаем эквивалентную систему
d
dt
(F1AS1x) + F1BSx = F1f(t, x),
d
dt
(Q1AP1x) +Q1BP1x = Q1f(t, x),
Q2f(t, x) - Q2BP2x = 0,
F2[Bx - f(t, x)] = 0.
(22)
Сужая операторы в уравнениях системы (22) на подпространства Xsi , Xi, i = 1, 2, из (12),
(14) и используя представление (16), получаем эквивалентную систему
d
dt
(Agenxs1) +Bgenxs1 +Bundxs2 = F1f(t, x), (23)
d
dt
(A1xp1) +B1xp1 = Q1f(t, x), (24)
Q2f(t, x) - B2xp2 = 0, (25)
Bovxs1 - F2f(t, x) = 0.
Обозначим \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}Xs1 = b, \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}Xs2 = l, \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}X1 = a, \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}X2 = d, b + l + a + d = n.
Пусть \{ si\} bi=1, \{ sb+i\} li=1, \{ pi\} ai=1, \{ pa+i\} di=1 — базисы подпространств Xs1 , Xs2 , X1, X2
соответственно. Объединение этих базисов является базисом пространства \BbbR n = \BbbR b \times \BbbR l \times
\times \BbbR a \times \BbbR d и для любого вектора x \in \BbbR n из разложения x =
\sum b
i=1
wi si +
\sum l
i=1
\xi i sb+i +
+
\sum a
i=1
zi pi +
\sum d
i=1
ui pa+i по этому базису следует представление в виде вектора-столбца
x = (wT , \xi T , zT , uT )T , где w \in \BbbR b, \xi \in \BbbR l, z \in \BbbR a, u \in \BbbR d также векторы-столбцы.
Указанное представление определяет операторы Sb : \BbbR b \rightarrow Xs1 , Sl : \BbbR l \rightarrow Xs2 , Pa : \BbbR a \rightarrow X1,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 6
832 М. С. ФИЛИПКОВСКАЯ
Pd : \BbbR d \rightarrow X2, для которых существуют обратные S - 1
b : Xs1 \rightarrow \BbbR b, S - 1
l : Xs2 \rightarrow \BbbR l, P - 1
a :
X1 \rightarrow \BbbR a, P - 1
d : X2 \rightarrow \BbbR d. Умножая уравнения (23) – (25) соответственно на S - 1
b A - 1
gen, P
- 1
a A - 1
1 ,
P - 1
d B - 1
2 , выполняя замену
xs1 = Sbw, xs2 = Sl \xi , xp1 = Pa z, xp2 = Pd u
и обозначая \~f(t, w, \xi , z, u) = f(t, Sbw + Sl \xi + Pa z + Pd u), получаем эквивалентную систему
dw
dt
+ S - 1
b A - 1
genBgenSbw = S - 1
b A - 1
gen
\Bigl(
F1
\~f(t, w, \xi , z, u) - BundSl \xi
\Bigr)
, (26)
dz
dt
+ P - 1
a A - 1
1 B1Pa z = P - 1
a A - 1
1 Q1
\~f(t, w, \xi , z, u), (27)
P - 1
d B - 1
2 Q2
\~f(t, w, \xi , z, u) - u = 0, (28)
BovSbw - F2
\~f(t, w, \xi , z, u) = 0. (29)
Таким образом, полулинейное ДАУ (1) эквивалентно системе (26) – (29).
I. Сначала докажем существование и единственность глобальных решений задачи Ко-
ши (1), (2).
Рассмотрим отображение
\Psi (t, w, \xi , z, u) = P - 1
d B - 1
2 Q2
\~f(t, w, \xi , z, u) - u. (30)
Оно непрерывно на [0,\infty )\times \BbbR n и имеет непрерывные частные производные
\partial \Psi (t, w, \xi , z, u)
\partial (w, \xi , z)
= P - 1
d B - 1
2
\partial Q2f(t, x)
\partial x
(Sb Sl Pa),
\partial \Psi (t, w, \xi , z, u)
\partial u
= P - 1
d B - 1
2 \Phi (Pd u)Pd,
где \Phi (Pd u) = \Phi (xp2) — оператор-функция (18), xp2 = Pd u \in X2.
Докажем, что для любых \^u, \^\^u \in \BbbR d таких, что (t\ast , w\ast , \xi \ast , z\ast , \^u), (t\ast , w\ast , \xi \ast , z\ast , \^\^u) принадле-
жат
\~L0 =
\bigl\{
(t, w, \xi , z, u)\in [0,\infty )\times \BbbR n | (F2 +Q2)
\bigl[
B(Sbw+
+Sl\xi + Paz + Pdu) - \~f(t, w, \xi , z, u)
\bigr]
= 0
\bigr\}
(31)
(аналогично замечанию 2, \~L0 = \{ (t, w, \xi , z, u) \in [0,\infty ) \times \BbbR n | (28), (29)\} ), оператор-функция
W (u) =
\partial
\partial u
\Psi (t\ast , w\ast , \xi \ast , z\ast , u) : \BbbR d \rightarrow L(\BbbR d) является базисно обратимой на \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}\{ \^u, \^\^u\} . Возь-
мем любые \^u, \^\^u \in \BbbR d такие, что (t\ast , w\ast , \xi \ast , z\ast , \^u), (t\ast , w\ast , \xi \ast , z\ast , \^\^u) \in \~L0, и любые uk \in
\in \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}\{ \^u, \^\^u\} , k = 1, d. Заметим, что (t, w, \xi , z, v) \in \~L0 \leftrightarrow (t, x) \in L0. По условию теоремы
для любых \^xp2 ,
\^\^xp2 \in X2 таких, что (t\ast , x
\ast
s1 + x\ast s2 + x\ast p1 + \^xp2), (t\ast , x
\ast
s1 + x\ast s2 + x\ast p1 +
\^\^xp2) \in L0 ,
оператор-функция (18) является базисно обратимой на \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}\{ \^xp2 , \^\^xp2\} . Следовательно, суще-
ствует аддитивное разложение единицы \{ \^\Theta k\} dk=1 в \BbbR d такое, что обратим действующий в \BbbR d
оператор
\Lambda =
d\sum
k=1
\^\Theta kW (uk) =
d\sum
k=1
\^\Theta k
\partial
\partial u
\Psi (t\ast , w\ast , \xi \ast , z\ast , u
k) =
d\sum
k=1
\^\Theta kP
- 1
d B - 1
2 \Phi (Pd u
k)Pd. (32)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 6
УСТОЙЧИВОСТЬ И НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ПО ЛАГРАНЖУ НЕРЕГУЛЯРНЫХ ПОЛУЛИНЕЙНЫХ . . . 833
Значит, оператор-функция W (u) базисно обратима на \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}\{ \^u, \^\^u\} .
Пусть (t\ast , w\ast , z\ast ) — произвольная (фиксированная) точка из [0,\infty ) \times \BbbR b \times \BbbR a. Выберем
\xi \ast \in \BbbR l, u\ast \in \BbbR d так, чтобы (t\ast , w\ast , \xi \ast , z\ast , u\ast ) \in \~L0 (это возможно в силу (17)). Из ба-
зисной обратимости W следует, что существует непрерывный линейный обратный оператор\biggl[
\partial
\partial u
\Psi (t\ast , w\ast , \xi \ast , z\ast , u\ast )
\biggr] - 1
. По теоремам о неявной функции [22] существуют окрестности
U\delta (t\ast , w\ast , \xi \ast , z\ast ) = U\delta 1(t\ast ) \times U\delta 2(w\ast ) \times U\delta 3(\xi \ast ) \times U\delta 4(z\ast ) (если t\ast = 0, то U\delta 1(t\ast ) = [0, \delta 1)),
U\varepsilon (u\ast ) и единственная функция u = u(t, w, \xi , z) \in C(U\delta (t\ast , w\ast , \xi \ast , z\ast ), U\varepsilon (u\ast )), непрерыв-
но дифференцируемая по (w, \xi , z), такая, что \Psi (t, w, \xi , z, u(t, w, \xi , z)) = 0 для (t, w, \xi , z) \in
\in U\delta (t\ast , w\ast , \xi \ast , z\ast ) и u(t\ast , w\ast , \xi \ast , z\ast ) = u\ast . Данное утверждение выполнено для всех точек
t \in [0,\infty ), w \in \BbbR b, z \in \BbbR a, \xi \in D\xi , u \in Du, где множества D\xi \subset \BbbR l, Du \subset \BbbR d та-
кие, что S - 1
l S2x0 \in D\xi , P - 1
d P2x0 \in Du. Определим глобальную функцию u = \eta (t, w, \xi , z)
в точке (t\ast , w\ast , \xi \ast , z\ast ) как \eta (t\ast , w\ast , \xi \ast , z\ast ) = u(t\ast , w\ast , \xi \ast , z\ast ). Так как u(t\ast , w\ast , \xi \ast , z\ast ) = u\ast и
(t\ast , w\ast , \xi \ast , z\ast , u\ast ) \in \~L0, то (t\ast , w\ast , \xi \ast , z\ast , \eta (t\ast , w\ast , \xi \ast , z\ast )) \in \~L0 и
u = \eta (t, w, \xi , z) : [0,\infty )\times \BbbR b \times \~D\xi \times \BbbR a \rightarrow \~Du,
где [0,\infty )\times \BbbR b \times \~D\xi \times \BbbR a \times \~Du = ([0,\infty )\times \BbbR b \times D\xi \times \BbbR a \times Du) \cap \~L0.
Докажем, что
\forall (t, w, \xi , z) \in [0,\infty )\times \BbbR b \times \~D\xi \times \BbbR a \exists !u \in \BbbR d : (t, w, \xi , z, u) \in \~L0. (33)
Рассмотрим произвольные (фиксированные) точки (t\ast , w\ast , \xi \ast , z\ast , \^u), (t\ast , w\ast , \xi \ast , z\ast , \^\^u) \in \~L0. Яс-
но, что \Psi (t\ast , w\ast , \xi \ast , z\ast , \^u) = 0, \Psi (t\ast , w\ast , \xi \ast , z\ast , \^\^u) = 0. Проекции \Psi k(t, w, \xi , z, u) = \^\Theta k\Psi (t, w, \xi ,
z, u), k = 1, d, являются функциями со значениями в одномерных пространствах Rk = \^\Theta k\BbbR d,
изоморфных \BbbR . По формуле конечных приращений [22] \Psi k(t\ast , w\ast , \xi \ast , z\ast , \^\^u) - \Psi k(t\ast , w\ast ,
\xi \ast , z\ast , \^u) =
\partial
\partial u
\Psi k(t\ast , w\ast , \xi \ast , z\ast , u
k)(\^\^u - \^u) = 0, uk \in \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}\{ \^u, \^\^u\} , k = 1, d. Следовательно,
\^\Theta k
\partial
\partial u
\Psi k(t\ast , w\ast , \xi \ast , z\ast , u
k)(\^\^u - \^u) = 0, k = 1, d, откуда, суммируя эти выражения по k, по-
лучаем \Lambda (\^\^u - \^u) = 0. Оператор \Lambda обратим в силу базисной обратимости оператор-функции
W (u) (см. выше), значит, \^\^u = \^u. С учетом (17) отсюда следует (33).
Поскольку в некоторой окрестности каждой точки (t\ast , w\ast , \xi \ast , z\ast ) \in [0,\infty ) \times \BbbR b \times \~D\xi \times \BbbR a
существует единственное решение u = \nu (t, w, \xi , z) уравнения (28), непрерывное по (t, w, \xi , z)
и непрерывно дифференцируемое по (w, \xi , z), то функция u = \eta (t, w, \xi , z) в некоторой окрест-
ности точки (t\ast , w\ast , \xi \ast , z\ast ) совпадает с \nu (t, w, \xi , z) и является решением уравнения (28) с соот-
ветствующими свойствами гладкости. Докажем, что функция u = \eta (t, w, \xi , z) единственная на
всей области определения. Действительно, если бы существовала функция u = \mu (t, w, \xi , z),
имеющая в некоторой точке (t\ast , w\ast , \xi \ast , z\ast ) \in [0,\infty ) \times \BbbR b \times \~D\xi \times \BbbR a те же свойства, что
и u = \eta (t, w, \xi , z), то в силу (33) \eta (t\ast , w\ast , \xi \ast , z\ast ) = \mu (t\ast , w\ast , \xi \ast , z\ast ) = u\ast . Следовательно,
\eta (t, w, \xi , z) = \mu (t, w, \xi , z) для всех точек (t, w, \xi , z) \in [0,\infty )\times \BbbR b \times \~D\xi \times \BbbR a.
Выберем непрерывную функцию \phi (t) = S - 1
l \phi s2(t) : [0,\infty ) \rightarrow \~D\xi , где \phi s2(t) определена в
условиях теоремы и \phi s2(t0) = S2x0, т. е. \phi (t0) = S - 1
l S2 x0. Подставим \xi = \phi (t) в функцию \eta
и обозначим q(t, w, z) = \eta (t, w, \phi (t), z).
Далее, подставляя u = q(t, w, z), \xi = \phi (t) в (26), (27), получаем систему
dw
dt
= S - 1
b A - 1
gen[ - BgenSbw + F1
\~f(t, w, \phi (t), z, q(t, w, z)) - BundSl \phi (t)],
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 6
834 М. С. ФИЛИПКОВСКАЯ
dz
dt
= P - 1
a A - 1
1 [ - B1Pa z +Q1
\~f(t, w, \phi (t), z, q(t, w, z))].
Запишем эту систему в виде
d\omega
dt
= N1[ - N2\omega +G(t, \omega )], (34)
где \omega =
\biggl(
w
z
\biggr)
, N1 =
\biggl(
S - 1
b A - 1
gen 0
0 P - 1
a A - 1
1
\biggr)
, N2 =
\biggl(
BgenSb 0
0 B1Pa
\biggr)
, G(t, \omega ) =
=
\Biggl(
F1
\~f(t, \omega , \phi (t), q(t, \omega )) - BundSl \phi (t)
Q1
\~f(t, \omega , \phi (t), q(t, \omega ))
\Biggr)
, q(t, \omega ) = q(t, w, z), \~f(t, \omega , \phi (t), q(t, \omega )) =
= \~f(t, w, \phi (t), z, q(t, w, z)).
В силу свойств функций F1f, Q1f, q, \phi функция G(t, \omega ) непрерывна по (t, \omega ) и непрерывно
дифференцируема по \omega на [0,\infty ) \times \BbbR b \times \BbbR a. Следовательно, для каждой начальной точки
(t0, \omega 0) такой, что (t0, w0, \phi (t0), z0, q(t0, w0, z0)) \in \~L0, существует единственное решение \omega (t)
уравнения (34) на некотором интервале [t0, \varepsilon ) с начальным условием
\omega (t0) = \omega 0, \omega 0 = (wT
0 , z
T
0 )
T . (35)
Введем функцию V (xs1 + xp1) =
1
2
[(H1xs1 , xs1) + (H2xp1 , xp1)] =
1
2
[(H1Sbw, Sbw) +
+(H2Paz, Paz)] =
1
2
\Bigl(
\^H\omega ,\omega
\Bigr)
= \^V (\omega ), где \^H =
\biggl(
S\ast
bH1Sb 0
0 P \ast
aH2Pa
\biggr)
и H1, H2 — операторы
из (19). Тогда \mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d} \^V (\omega ) = \^H\omega , где \mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d} \^V — градиент функции \^V . Ясно, что \^H = \^H\ast > 0.
Поскольку
\Bigl(
\^H\omega ,N1[ - N2\omega +G(t, \omega )]
\Bigr)
= (H1Sbw,A
- 1
gen[ - BgenSbw - BundSl\phi (t) +
+F1
\~f(t, w, \phi (t), z, q(t, w, z))])+(H2Paz,A
- 1
1 [ - B1Paz+Q1
\~f(t, w, \phi (t), z, q(t, w, z))]), то соглас-
но (19) существуют \^R > 0 и функции k(t) \in C([0,\infty ),\BbbR ), U(v) \in C((0,\infty ), (0,\infty )) такие, что\int +\infty
c
dv
U(v)
= +\infty и выполнено
\Bigl(
\^H\omega ,N1[ - N2\omega +G(t, \omega )]
\Bigr)
\leq k(t)U( \^V ) \forall t \geq 0, \| \omega \| \geq \^R. (36)
Производная функции \^V (\omega ) в силу системы (34) (см. в [13] определение производной
вдоль траектории системы) имеет вид \.\^V (\omega )
\bigm| \bigm| \bigm|
(34)
=
\bigl(
\^H\omega ,N1[ - N2\omega +G(t, \omega )]
\bigr)
. Из (36) следует,
что \.\^V
\bigm| \bigm| \bigm|
(34)
\leq k(t)U( \^V ) для всех t \geq 0 и \omega таких, что \| \omega \| \geq \^R. Из свойств функций k(t),
U(v) следует, что неравенство \.v \leq k(t)U(v), t \geq 0, не имеет ни одного положительного
решения v(t) с конечным временем определения (см. [13], гл. IV). Тогда по теореме XIII [13]
(гл. IV) каждое решение \omega (t) = (w(t)T , z(t)T )T уравнения (34) неограниченно продолжаемо
(т. е. решение определено на всем интервале [t0,\infty )).
Таким образом, непрерывно дифференцируемые компоненты w(t), z(t) глобального ре-
шения \omega (t) уравнения (34) определены на [t0,\infty ). Уравнение (29) является тождеством, по-
скольку (t, w(t), \phi (t), z(t), q(t, w(t), z(t))) \in \~L0 для всех t \in [t0,\infty ). Следовательно, функция
x(t) = Sbw(t) + Sl \phi (t) + Pa z(t) + Pd q(t, w(t), z(t)) является решением задачи Коши (1), (2)
на [t0,\infty ).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 6
УСТОЙЧИВОСТЬ И НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ПО ЛАГРАНЖУ НЕРЕГУЛЯРНЫХ ПОЛУЛИНЕЙНЫХ . . . 835
Решение x(t) зависит от выбранной функции \xi = \phi (t), которую можно считать функ-
циональным параметром. Если rk(\lambda A + B) = n < m, то Xs = Xs1 , Xs2 = \{ 0\} , S2 = 0 и
компонента \xi = S - 1
l S2x отсутствует. Зафиксируем функцию \phi (t), выбранную ранее, и докажем
единственность глобального решения x(t) задачи Коши (1), (2) на всем интервале [t0,\infty ). Из
доказанного выше следует, что глобальное решение \omega (t) задачи Коши (34), (35) единственно
на некотором интервале [t0, \varepsilon ). Предположим, что решение не единственно на [t0,\infty ). Тог-
да существуют t\ast \geq \varepsilon и два различных неограниченно продолжаемых решения \omega (t), \^\omega (t) с
общим значением \omega \ast = \omega (t\ast ) = \^\omega (t\ast ). Возьмем точку (t\ast , \omega \ast ) в качестве начальной, тогда
на некотором интервале [t\ast , \varepsilon 1) должно существовать единственное решение уравнения (34)
с начальным значением \omega (t\ast ) = \omega \ast , что противоречит предположению. Из единственности
глобального решения \omega (t) следует единственность глобального решения x(t).
II. Предположим, что дополнительные условия теоремы выполнены. Докажем ограничен-
ность решений (устойчивость по Лагранжу ДАУ).
Если \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}t\in [0,\infty ) \| \phi s2(t)\| < +\infty , то существует число M1 > 0 такое, что \| Sl \phi (t)\| \leq M1 для
любого t \in [0,\infty ), где \phi (t) — функция, введенная выше. Доказательство, приведенное выше,
остается в силе. Если
\int +\infty
t0
k(t) dt < +\infty , то полученное выше неравенство \.v \leq k(t)U(v),
t \geq 0, не имеет ни одного положительного неограниченного при t \geq 0 решения (см. [13],
гл. IV). Тогда по теореме XV [13] (гл. IV) уравнение (34) устойчиво по Лагранжу. Следовательно,
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}t\in [t0,\infty ) \| \omega (t)\| < +\infty , т. е.
\exists M2, M3 > 0 (M2, M3 \in \BbbR ) : \| Sbw(t)\| \leq M2, \| Paz(t)\| \leq M3 \forall t \in [t0,\infty ).
Значит,
\| Sbw(t) + Sl \phi (t) + Paz(t)\| \leq M = M1 +M2 +M3 \forall t \in [t0,\infty ). (37)
В силу свойств оператор-функции \Phi (xp2) (18) и ее связи с введенной выше оператор-
функцией W (u) : \BbbR d \rightarrow L(\BbbR d) (см. пункт I доказательства) существует такая точка \~u \in \BbbR d
(\~u = P - 1
d \~xp2 ), что для любого \~\~u \in \BbbR d такого, что (t\ast , w\ast , \xi \ast , z\ast , \~\~u) \in \~L0, оператор-функция
W (u) базисно обратима на \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}\{ \~u, \~\~u\} \setminus \{ \~u\} . Пусть (t\ast , w\ast , \xi \ast , z\ast , \~\~u) \in \~L0 — произвольная
(фиксированная) точка, а \~u — точка с указанным выше свойством. Тогда, используя форму-
лу конечных приращений для \Psi k(t\ast , w\ast , \xi \ast , z\ast , \~\~u) и \Psi k(t\ast , w\ast , \xi \ast , z\ast , \~u), где \Psi k(t, w, \xi , z, u) =
= \^\Theta k\Psi (t, w, \xi , z, u), \Psi — отображение (30) и \{ \^\Theta k\} dk=1 — аддитивное разложение единицы в
\BbbR d, и суммируя полученные равенства по k, получаем \Psi (t\ast , w\ast , \xi \ast , z\ast , \~\~u) - \Psi (t\ast , w\ast , \xi \ast , z\ast , \~u) =
= \Lambda (\~\~u - \~u), где \Lambda — оператор (32), uk \in \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}\{ \~u, \~\~u\} \setminus \{ \~u\} (т. е. uk = \alpha \~\~u+ (1 - \alpha )\~u, \alpha \in (0, 1]),
k = 1, d. Из базисной обратимости W (u) на \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}\{ \~u, \~\~u\} \setminus \{ \~u\} следует, что существует об-
ратный оператор \Lambda - 1 \in L(\BbbR d). Учитывая изложенное выше и то, что \Psi (t\ast , w\ast , \xi \ast , z\ast , \~\~u) = 0,
имеем \~\~u = \~u - \Lambda - 1
\bigl[
P - 1
d B - 1
2 Q2
\~f(t\ast , w\ast , \xi \ast , z\ast , \~u) - \~u
\bigr]
. Это выполнено для произвольной точ-
ки (t\ast , w\ast , \xi \ast , z\ast , \~\~u) \in \~L0. Следовательно, для каждого t\ast \in [t0,\infty ) справедливо равенство
q(t\ast , w(t\ast ), z(t\ast )) = \~u - \Lambda - 1
\bigl[
P - 1
d B - 1
2 Q2
\~f(t\ast , w(t\ast ), \phi (t\ast ), z(t\ast ), \~u) - \~u
\bigr]
, где w(t), \phi (t), z(t)
и q(t, w(t), z(t)) — компоненты глобального решения x(t) = Sbw(t) + Sl \phi (t) + Pa z(t) +
+ Pd q(t, w(t), z(t)) задачи Коши (1), (2). Обозначим \~M = \| \~u\| . Поскольку \Lambda - 1 \in L(\BbbR d),
существует число N > 0 такое, что
\| q(t\ast , w(t\ast ), z(t\ast ))\| \leq (1 +N) \~M +N\| P - 1
d B - 1
2 \| \| Q2
\~f(t\ast , w(t\ast ), \phi (t\ast ), z(t\ast ), \~u)\|
для каждого t\ast \in [t0,\infty ). Тогда из (37), (21) следует, что существует число C > 0 такое, что
\| q(t\ast , w(t\ast ), z(t\ast ))\| \leq C для каждого t\ast \in [t0,\infty ).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 6
836 М. С. ФИЛИПКОВСКАЯ
Поскольку оценка \| x(t)\| = \| Sbw(t) + Sl \phi (t) + Pa z(t) + Pd q(t, w(t), z(t))\| \leq M + \| Pd\| C
выполнена для всех t \in [t0,\infty ) и с учетом (20) уравнение (29), эквивалентное уравнению
F2Bx(t) = F2f(t, x(t)), корректно, то решение x(t) задачи Коши (1), (2) устойчиво по Лагран-
жу. Это выполнено для каждой начальной точки (t0, x0) \in L0, где S2x0 = \phi s2(t0), t0 \geq 0.
Значит, для начальных точек (t0, x0) \in L0 уравнение (1), где S2x = \phi s2(t), устойчиво по
Лагранжу.
Теорема 1 доказана.
Теорема 2 (о неустойчивости по Лагранжу полулинейного ДАУ). Пусть функция f(t, x)
принадлежит C([0,\infty )\times \BbbR n,\BbbR m), частная производная
\partial
\partial x
f(t, x) непрерывна на [0,\infty )\times \BbbR n,
\lambda A + B — сингулярный пучок операторов такой, что его регулярный блок \lambda Ar + Br из (4)
имеет индекс не выше 1, и выполнено (17). Пусть для любых \^xp2 ,
\^\^xp2 \in X2 таких, что
(t\ast , x
\ast
s1 + x\ast s2 + x\ast p1 + \^xp2), (t\ast , x
\ast
s1 + x\ast s2 + x\ast p1 + \^\^xp2) \in L0, оператор-функция (18) являет-
ся базисно обратимой на \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}\{ \^xp2 , \^\^xp2\} . Далее, пусть существует область \Omega \subset Xs1
\.+X1
такая, что (S1 + P1)x = 0 \not \in \Omega и компонента (S1 + P1)x(t) каждого существующего ре-
шения x(t) с начальной точкой (t0, x0) \in L0, где (S1 + P1)x0 \in \Omega , все время остается в \Omega .
Предположим, что существуют самосопряженные положительные операторы H1 \in L(Xs1),
H2 \in L(X1) и функции k(t) \in C([0,\infty ),\BbbR ), U(v) \in C((0,\infty ), (0,\infty )), \phi s2(t) \in C([0,\infty ), Xs2)
такие, что (t, S1x + \phi s2(t) + P1x + P2x) \in L0 при всех t \in [0,\infty ),
\int +\infty
c
dv
U(v)
dv < +\infty
(c > 0),
\int +\infty
t0
k(t) dt = \infty и выполнено
\bigl(
H1S1x,A
- 1
genF1[ - BS1x - B\phi s2(t) + f(t, x)]
\bigr)
+
\bigl(
H2P1x,A
- 1
1 Q1[ - BP1x+ f(t, x)]
\bigr)
\geq
\geq k(t)U
\biggl(
1
2
\bigl[
(H1S1x, S1x) + (H2P1x, P1x)
\bigr] \biggr)
\forall (t, x) \in L0 : (S1 + P1)x \in \Omega . (38)
Тогда для каждой начальной точки (t0, x0) \in L0, где (S1 + P1)x0 \in \Omega , существует
единственное решение x(t) задачи Коши (1), (2), для которого при rk(\lambda A + B) = m < n
выбор функции \phi s2 с начальным значением \phi s2(t0) = S2x0 однозначно определяет компоненту
S2x(t) = \phi s2(t), и это решение имеет конечное время определения.
Доказательство. Начало доказательства теоремы 2 совпадает с доказательством теоре-
мы 1 вплоть до следующего утверждения. Для любой начальной точки (t0, \omega 0) такой, что
(t0, w0, \phi (t0), z0, q(t0, w0, z0)) \in \~L0, существует единственное решение \omega (t) уравнения (34) на
некотором интервале [t0, \varepsilon ) с начальным условием (35). Следовательно, для каждой начальной
точки (t0, x0) \in L0, где x0 = Sbw0+Sl \phi (t0)+Pa z0+Pd q(t0, w0, z0), существует единственное
решение x(t) = Sbw(t)+Sl \phi (t)+Pa z(t)+Pd q(t, w(t), z(t)) задачи Коши (1), (2) на некотором
интервале [t0, \varepsilon ).
Далее внесены следующие изменения.
По условию теоремы 2 существует область \Omega \subset Xs1
\.+X1 такая, что (S1 + P1)x = 0 \not \in \Omega и
компонента (S1 + P1)x(t) каждого решения x(t) с начальной точкой (t0, x0) \in L0, где (S1 +
+P1)x0 \in \Omega , все время остается в \Omega . Учитывая, что (S1+P1)x = Sbw+Paz = (Sb Pa)\omega , каждое
решение \omega (t) уравнения (34), начинающееся в области \^\Omega = \{ \omega \in \BbbR b \times \BbbR a | (Sb Pa)\omega \in \Omega \} , все
время остается в ней и \omega = 0 \not \in \^\Omega . Введем функцию \^V (\omega ) =
1
2
\Bigl(
\^H\omega ,\omega
\Bigr)
, где \^H =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 6
УСТОЙЧИВОСТЬ И НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ПО ЛАГРАНЖУ НЕРЕГУЛЯРНЫХ ПОЛУЛИНЕЙНЫХ . . . 837
=
\biggl(
S\ast
bH1Sb 0
0 P \ast
aH2Pa
\biggr)
и H1, H2 — операторы из (38). Очевидно, функция \^V (\omega ) поло-
жительна при всех \omega \in \^\Omega . Из (38) следует, что\Bigl(
\^H\omega ,N1[ - N2\omega +G(t, \omega )]
\Bigr)
\geq k(t)U( \^V ) \forall t \geq 0, \omega \in \^\Omega , (39)
где k(t) \in C([0,\infty ),\BbbR ), U(v) \in C((0,\infty ), (0,\infty )),
\int +\infty
c
dv
U(v)
dv < +\infty ,
\int +\infty
t0
k(t) dt = \infty .
Производная функции \^V (\omega ) в силу системы (34) имеет вид \.\^V (\omega )
\bigm| \bigm| \bigm|
(34)
=
\bigl(
\^H\omega ,N1[ - N2\omega +
+ G(t, \omega )]
\bigr)
. Из (39) следует, что \.\^V
\bigm| \bigm|
(34) \geq k(t)U( \^V ) при всех t \geq 0 и всех \omega \in \^\Omega . Из свойств
функций k(t), U(v) следует, что неравенство \.v \geq k(t)U(v), t \geq 0, не имеет ни одного неогра-
ниченно продолжаемого положительного решения (см. [13], гл. 4). Тогда по теореме XIV [13]
(гл. IV) каждое решение \omega (t) = (w(t)T , z(t)T )T уравнения (34), удовлетворяющее начальному
условию (35), где \omega 0 \in \^\Omega и (t0, \omega 0, \phi (t0), q(t0, \omega 0)) \in \~L0, имеет конечное время определения,
т. е. определено на некотором конечном интервале [t0, T ) и \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}t\rightarrow T - 0 \| \omega (t)\| = +\infty . Следова-
тельно, каждая функция x(t) = Sbw(t) + Sl \phi (t) + Pa z(t) + Pd q(t, w(t), z(t)) с соответству-
ющими начальными значениями (t0, x0), где x0 = Sbw0 + Sl \phi (t0) + Pa z0 + Pd q(t0, w0, z0),
является решением задачи Коши (1), (2) с конечным временем определения, т. е. решение x(t)
определено на соответствующем конечном интервале [t0, T ) и \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}t\rightarrow T - 0 \| x(t)\| = +\infty .
Решение x(t) зависит от выбранной функции \xi = \phi (t), которую можно считать функцио-
нальным параметром. Если rk(\lambda A + B) = n < m, то Xs = Xs1 , Xs2 = \{ 0\} , S2 = 0 и
компонента \xi = S - 1
l S2x отсутствует. Зафиксируем функцию \phi (t), выбранную ранее, и про-
верим единственность решения x(t), t \in [t0, T ). Выше доказано, что решение \omega (t) задачи
Коши (34), (35) единственно на некотором интервале [t0, \varepsilon ). Предположим, что решение \omega (t)
не единственно на [t0, T ). Тогда существуют точка t\ast \in [\varepsilon , T ) и два различных решения \omega (t),
\^\omega (t) с общим значением \omega \ast = \omega (t\ast ) = \^\omega (t\ast ). Возьмем точку (t\ast , \omega \ast ) в качестве начальной,
тогда на некотором интервале [t\ast , \varepsilon 1) должно существовать единственное решение уравнения
(34) с начальным значением \omega (t\ast ) = \omega \ast , что противоречит предположению. Из единственности
решения \omega (t) на [t0, T ) следует единственность решения x(t) на [t0, T ).
Теорема 2 доказана.
5. Приложения. 5.1. Исследование математической модели четырехполюсника в усло-
виях неполных данных. Рассмотрим электрическую цепь четырехполюсного радиотехниче-
ского фильтра (четырехполюсника), представленного на рис. 1 [18]. Заданы входной ток I,
нелинейное сопротивление \varphi , нелинейная проводимость h, линейные сопротивления r1, r2,
индуктивность L и емкость C.
Для однозначного определения внутреннего состояния электрической цепи четырехполюс-
ника необходимо знать два входных параметра: входной ток и напряжение, или два входных
тока, или два напряжения. В данном случае проводится исследование модели четырехполюс-
ника в условиях неполных данных, поскольку задан лишь один входной параметр (ток I(t)).
Уравнения Кирхгофа для цепи и уравнения связей, которые описывают режимы работы
элементов цепи, имеют вид I1 + IL = I, I1 + I2 = IC , UL = U +UC , U = r1I1, UL = L
dIL
dt
+
+r2IL+\varphi (IL), IC = C
dUC
dt
+h(UC). Из приведенных уравнений получаем недоопределенную
систему уравнений с переменными x1 = IL, x2 = UC , x3 = I1, x4 = I2, которая описывает
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 6
838 М. С. ФИЛИПКОВСКАЯ
Рис. 1. Схема электрической цепи четырехполюсника.
математическую модель электрической цепи четырехполюсника:
L
dx1
dt
+ r2 x1 - x2 - r1 x3 = - \varphi (x1), (40)
C
dx2
dt
- x3 - x4 = - h(x2), (41)
x1 + x3 = I(t). (42)
Предполагается, что L, C, r1, r2 — положительные вещественные параметры, \varphi (x1) \in
\in C1(\BbbR ), h(x2) \in C1(\BbbR ), I(t) \in C([0,\infty ),\BbbR ).
Векторная форма системы (40) – (42) имеет вид полулинейного ДАУ (1), где
x =
\left(
x1
x2
x3
x4
\right) \in \BbbR 4, A =
\left( L 0 0 0
0 C 0 0
0 0 0 0
\right) , B =
\left( r2 - 1 - r1 0
0 0 - 1 - 1
1 0 1 0
\right) , f(t, x) =
\left( - \varphi (x1)
- h(x2)
I(t)
\right) .
(43)
Очевидно, \lambda A+B — сингулярный пучок операторов A,B : \BbbR 4 \rightarrow \BbbR 3, его ранг rk(\lambda A+B) =
= 3 и дефект d(\lambda A+B) = 1 (см. определения в пп. 2, 3).
Уравнение (7) имеет одно ненулевое решение x(\lambda ) =
\bigl(
1, \lambda L+ r1+ r2, - 1, \lambda 2CL+\lambda C(r1+
+ r2) + 1
\bigr) T
, которое определяется с точностью до скалярного множителя. Как описано в
п. 3, находим пространства Xs = Xs1
\.+Xs2 = \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ si\} 3i=1, Xs1 = \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ si\} 2i=1, Xs2 = \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ s3\} ,
Xr = \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ p\} , Ys = \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ gi\} 2i=1, Yr = \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ q\} , где
s1 =
\left(
1
0
- 1
1
\right) , s2 =
\left(
0
1
0
0
\right) , s3 =
\left(
0
0
0
1
\right) , p =
\left(
0
0
1
- 1
\right) ,
g1 =
\left( 1
0
0
\right) , g2 =
\left( 0
1
0
\right) , q =
\left( - r1
0
1
\right) ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 6
УСТОЙЧИВОСТЬ И НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ПО ЛАГРАНЖУ НЕРЕГУЛЯРНЫХ ПОЛУЛИНЕЙНЫХ . . . 839
и проекторы S = S1 + S2 : \BbbR 4 \rightarrow Xs, Sk : \BbbR 4 \rightarrow Xsk , k = 1, 2, P : \BbbR 4 \rightarrow Xr, F : \BbbR 3 \rightarrow Ys, Q :
\BbbR 3 \rightarrow Yr, которым соответствуют проекционные матрицы
S1 =
\left(
1 0 0 0
0 1 0 0
- 1 0 0 0
1 0 0 0
\right) , S2 =
\left(
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 1 1
\right) , S = S1 + S2,
P =
\left(
0 0 0 0
0 0 0 0
1 0 1 0
- 1 0 - 1 0
\right) , F =
\left( 1 0 r1
0 1 0
0 0 0
\right) , Q =
\left( 0 0 - r1
0 0 0
0 0 1
\right) .
Поскольку QA = 0, то Ar = QA| Xr
= A2 = 0. Легко проверить, что если xr \in Xr, то
QBxr = yr \in Yr, причем QBxr = 0 только при xr = 0. Значит, оператор Br = QB| Xr
\in
\in L(Xr, Yr) обратим. Следовательно, регулярный блок \lambda Ar + Br из (4) является регулярным
пучком индекса 1 и X2 = Xr, Y2 = Yr, X1 = \{ 0\} , Y1 = \{ 0\} ,
P2 = P, Q2 = Q, Q1 = 0, P1 = 0.
Компоненты (проекции) вектора x имеют вид
xs1 = S1x = (x1, x2, - x1, x1)
T , xs2 = S2x = (0, 0, 0, x3 + x4)
T , xs = xs1 + xs2 ,
xp1 = P1x = 0, xp2 = P2x = (0, 0, u, - u)T , u = x1 + x3.
Поскольку F1 = F и F2 = 0, множество L0 из условия (17) принимает вид L0 = \{ (t, x) \in
\in [0,\infty )\times \BbbR n | Q2[Bx - f(t, x)] = 0\} , где Q2[Bx - f(t, x)] = 0 эквивалентно уравнению (42),
которое, учитывая обозначение u = x1 + x3, можно записать в виде u = I(t). Поскольку
I(t) \in C([0,\infty ),\BbbR ), то для любого t \geq 0 существует u \in \BbbR такое, что u = I(t), следовательно,
выполнено (17).
Рассмотрим оператор-функцию \~\Phi (xp2) =
\biggl[
\partial
\partial x
\bigl(
Q2f(t\ast , x
\ast
s1 + x\ast s2 + xp2)
\bigr)
- B
\biggr]
P2 = - BP2 :
X2 \rightarrow L(\BbbR 4, Y2), где t\ast \in [0,\infty ), x\ast s1 \in Xs1 , x
\ast
s2 \in Xs2 . Тогда оператор-функция (18) принима-
ет вид \Phi (xp2) =
\~\Phi (xp2)
\bigm| \bigm|
X2
= - BP2
\bigm| \bigm|
X2
: X2 \rightarrow L(X2, Y2) (т. е. оператор \Phi (xp2) \in L(X2, Y2)
является сужением оператора \~\Phi (xp2) \in L(\BbbR 4, Y2) на X2). Поскольку пространства X2, Y2 одно-
мерны, требование базисной обратимости оператор-функции \Phi (xp2) эквивалентно требованию
обратимости. Ясно, что оператор \Phi (xp2) обратим. Таким образом, оператор-функция \Phi (xp2) яв-
ляется базисно обратимой на \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}\{ \^xp2 , \^\^xp2\} для любых \^xp2 ,
\^\^xp2 \in X2, t\ast \in [0,\infty ), x\ast s1 \in Xs1 ,
x\ast s2 \in Xs2 . Следовательно, выполнены условия для оператор-функции (18) (см. замечание 3)
и можно выбрать \~xp2 = 0 в условии (21). Поскольку \| Q2f(t, xs)\| \leq (1 + r21) \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}t\in [0,\infty ) | I(t)|
для всех t \in [0,\infty ), \| xs\| \leq M, где M > 0 (M \in \BbbR ), то условие (21) выполнено, если
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}t\in [0,\infty ) | I(t)| < +\infty .
Оператор Agen = FAS1
\bigm| \bigm|
Xs1
\in L(Xs1 , Ys) (см. (6)) имеет обратный A - 1
gen \in L(Ys, Xs1),
которому соответствует матрица A - 1
gen =
\left(
L - 1 0 r1L
- 1
0 C - 1 0
- L - 1 0 - r1L
- 1
L - 1 0 r1L
- 1
\right) .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 6
840 М. С. ФИЛИПКОВСКАЯ
Выберем H1 =
\left(
L/3 0 0 0
0 C 0 0
0 0 L/3 0
0 0 0 L/3
\right) и функцию \phi s2(t) =
\left(
0
0
0
\xi (t)
\right) \in C([0,\infty ), Xs2),
где \xi (t) \in C([0,\infty ),\BbbR ), \xi (t0) = x03 + x04, и x0 =
\bigl(
x01, x
0
2, x
0
3, x
0
4
\bigr) T
— начальное значение. Тогда
(H1S1x,A
- 1
genF [ - BS1x - B\phi s2(t) + f(t, x)]) = - (r2 + r1)x
2
1 - x1\varphi (x1) - x2h(x2) + x1x2 +
+ \xi (t)x2 + r1x1I(t).
Выводы. Если существуют число R > 0 и функции k(t) \in C([0,\infty ),\BbbR ), U(v) \in C((0,\infty ),
(0,\infty )) такие, что
+\infty \int
c
dv
U(v)
= +\infty , c > 0,
а также для любого t \geq 0 и любого x \in \BbbR 4 такого, что \| S1x\| =
\sqrt{}
3x21 + x22 \geq R, выполнено
- (r2 + r1)x
2
1 - x1\varphi (x1) - x2h(x2) + x1x2 + \xi (t)x2 + r1x1I(t) \leq k(t)U
\biggl(
1
2
(Lx21 + Cx22)
\biggr)
,
то по теореме 1 для любой начальной точки (t0, x
0) \in [0,\infty ) \times \BbbR 4 (x0 =
\bigl(
x01, x
0
2, x
0
3, x
0
4
\bigr) T
),
удовлетворяющей условию согласования
x01 + x03 = I(t0), (44)
и любой функции \xi (t) \in C([0,\infty ),\BbbR ) с начальным значением \xi (t0) = x03+x04 существует един-
ственное решение x(t) ДАУ (1) с (43), S2x = (0, 0, 0, \xi (t))T и начальным условием x(t0) = x0
на всем интервале [t0,\infty ). Если, дополнительно, \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}t\in [0,\infty ) | I(t)| < +\infty , \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}t\in [0,\infty ) | \xi (t)| <
< +\infty и
\int +\infty
t0
k(t) dt < +\infty , то для начальных точек (t0, x
0), удовлетворяющих условию (44),
уравнение (1) с (43), S2x = (0, 0, 0, \xi (t))T устойчиво по Лагранжу.
Рассмотрим частный случай. Используя результаты, полученные с помощью теоремы 1, лег-
ко проверить, что для функций \varphi (x1) = \alpha 1 x
2k - 1
1 , h(x2) = \alpha 2 x
2r - 1
2 , где k, r \in \BbbN , \alpha 1, \alpha 2 > 0,
любой начальной точки (t0, x
0) \in [0,\infty ) \times \BbbR 4, удовлетворяющей (44), и любой функции
\xi (t) \in C([0,\infty ),\BbbR ) с начальным значением \xi (t0) = x03 + x04 существует единственное ре-
шение x(t) ДАУ (1) с (43), S2x = (0, 0, 0, \xi (t))T и начальным условием x(t0) = x0 на [t0,\infty ).
Если, дополнительно, \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}t\in [0,\infty ) | I(t)| < +\infty , \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}t\in [0,\infty ) | \xi (t)| < +\infty , то для начальных то-
чек (t0, x
0), удовлетворяющих (44), уравнение (1) с (43), S2x = (0, 0, 0, \xi (t))T устойчиво по
Лагранжу.
5.2. Обратная задача для математической модели двухполюсника. Рассмотрим обрат-
ную задачу для двухполюсного радиотехнического фильтра (двухполюсника), изображенного
на рис. 2 [18]. Найдем условия, при которых для входного тока I = I(t) и начальных дан-
ных можно обеспечить эволюцию тока I1 в электрической цепи двухполюсника так, чтобы он
был равен наперед заданной функции I1 = I1(t), t0 \leq t < \infty , и условия, при которых все
токи и напряжения в цепи будут ограниченными. Для решения этой задачи необходимо полу-
чить условия глобальной разрешимости и устойчивости по Лагранжу системы уравнений (или
соответствующего ДАУ) с заданными токами I(t), I1(t), которая описывает математическую
модель электрической цепи двухполюсника. Также для цепи двухполюсника заданы линей-
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 6
УСТОЙЧИВОСТЬ И НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ПО ЛАГРАНЖУ НЕРЕГУЛЯРНЫХ ПОЛУЛИНЕЙНЫХ . . . 841
Рис. 2. Схема электрической цепи двухполюсника.
ные сопротивления rk, k = 1, 4, индуктивность L, емкость C и проводимость g, нелинейные
сопротивления \varphi 1, \varphi 3 и проводимость h.
Уравнения Кирхгофа для цепи на рис. 2 имеют вид I = Ir4 + I\varphi 1 + IL, IL = I1 + I2,
I1 = IC + Ig + Ih, Ir1 = I - I1, UL +Ur3 +U\varphi 3 +Ur2 = U\varphi 1 , UC = Ur1 +Ur2 . Режимы работы
элементов цепи описываются следующими уравнениями связей: Ur1 = r1 Ir1 , Ur2 = r2 I2,
Ur3 = r3 IL, U\varphi 1 = \varphi 1(I\varphi 1), U\varphi 3 = \varphi 3(IL), Ir4 = q U\varphi 1, q = 1/r4, UL = L
dIL
dt
, IC = C
dUC
dt
,
Ig = g UC , Ih = h(UC). Из приведенных выше уравнений получаем переопределенную систему
с переменными x1 = IL, x2 = UC , x3 = I\varphi 1 :
L
dx1
dt
+ (r2 + r3)x1 = r2 I1(t) + \varphi 1(x3) - \varphi 3(x1), (45)
C
dx2
dt
+ g x2 = I1(t) - h(x2), (46)
x2 - r2 x1 = r1 I(t) - (r1 + r2) I1(t), (47)
x1 + x3 = I(t) - q \varphi 1(x3). (48)
Предполагается, что L, C, r1, r2 — положительные вещественные параметры, \varphi 1(x3) \in
\in C1(\BbbR ), \varphi 3(x1) \in C1(\BbbR ), h(x2) \in C1(\BbbR ), I(t) \in C([0,\infty ),\BbbR ), I1(t) \in C([0,\infty ),\BbbR ).
Векторная форма системы (45) – (48) имеет вид полулинейного ДАУ (1), где
x=
\left( x1
x2
x3
\right) \in \BbbR 3, A =
\left(
L 0 0
0 C 0
0 0 0
0 0 0
\right) , B=
\left(
r2 + r3 0 0
0 g 0
- r2 1 0
1 0 1
\right) , f(t, x)=
\left(
r2I1(t) + \varphi 1(x3) - \varphi 3(x1)
I1(t) - h(x2)
r1I(t) - (r1 + r2)I1(t)
I(t) - q\varphi 1(x3)
\right) .
(49)
Очевидно, \lambda A+B — сингулярный пучок операторов A,B : \BbbR 3 \rightarrow \BbbR 4, его ранг rk(\lambda A+B) =
= 3 и дефект d(\lambda A+B) = 1 (см. определения в пп. 2, 3).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 6
842 М. С. ФИЛИПКОВСКАЯ
Уравнение (9) имеет одно ненулевое решение (оно определяется с точностью до скалярного
множителя), которое имеет вид y(\lambda ) =
\bigl(
- r2(\lambda C+g), \lambda L+r2+r3, - (\lambda C+g)(\lambda L+r2+r3), 0
\bigr) T
при L \not = C(r2 + r3)/g и y(\lambda ) =
\bigl(
- r2g/(r2 + r3), 1, - (\lambda C + g), 0
\bigr) T
при L = C(r2 + r3)/g.
Тогда при L \not = C(r2 + r3)/g получаем пространства Xs = \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ si\} 2i=1, Xr = \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ p\} , Ys =
= Ys1 \.+Ys2 = \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ li\} 3i=1, Ys1 = \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ li\} 2i=1, Ys2 = \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ l3\} , Yr = \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ w\} , X2 = Xr, Y2 = Yr,
X1 = \{ 0\} , Y1 = \{ 0\} , где
s1 =
\left( 1
0
- 1
\right) , s2 =
\left( 0
1
0
\right) , p =
\left( 0
0
1
\right) , l1 =
\left(
1
0
0
0
\right) ,
l2 =
\left(
0
1
0
0
\right) , l3 =
\left(
0
0
1
0
\right) , w =
\left(
0
0
0
1
\right) ,
а при L = C(r2 + r3)/g — пространства Xs = \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ s\} , Xr = X1 \.+X2 = \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ pi\} 2i=1, X1 =
= \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ p1\} , X2 = \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ p2\} , Ys = Ys1 \.+Ys2 = \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ li\} 2i=1, Ys1 = \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ l1\} , Ys2 = \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ l2\} , Yr =
= Y1 \.+Y2 = \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ wi\} 2i=1, Y1 = \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ w1\} , Y2 = \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ w2\} , где
s =
\left( 0
1
0
\right) , p1 =
\left( 1
r2
- 1
\right) , p2 =
\left( 0
0
1
\right) , l1 =
\left(
0
1
0
0
\right) ,
l2 =
\left(
0
0
1
0
\right) , w1 =
\left(
1
r2g
r2 + r3
0
0
\right) , w2 =
\left(
0
0
0
1
\right) .
Далее рассмотрим подробно случай, когда L \not = C(r2 + r3)/g.
Запишем проекторы S : \BbbR 3 \rightarrow Xs, P : \BbbR 3 \rightarrow Xr, Q : \BbbR 4 \rightarrow Yr, F : \BbbR 4 \rightarrow Ys, Fk : \BbbR 4 \rightarrow Ysk ,
Pk : \BbbR 3 \rightarrow Xk, Qk : \BbbR 4 \rightarrow Yk, k = 1, 2:
F = F1 + F2, P2 = P, Q2 = Q, Q1 = 0, P1 = 0,
F1 =
\left(
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
\right) , F2 =
\left(
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 0
\right) ,
Q =
\left(
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 1
\right) , S =
\left( 1 0 0
0 1 0
- 1 0 0
\right) , P =
\left( 0 0 0
0 0 0
1 0 1
\right) .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 6
УСТОЙЧИВОСТЬ И НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ПО ЛАГРАНЖУ НЕРЕГУЛЯРНЫХ ПОЛУЛИНЕЙНЫХ . . . 843
Легко проверить, что \lambda Ar+Br — регулярный пучок индекса 1. Компоненты (проекции) вектора
x имеют вид
xs = Sx = (x1, x2, - x1)
T = (a, b, - a)T ,
xp1 = P1x = 0, xp2 = P2x = (0, 0, x1 + x3)
T = (0, 0, u)T ,
где a = x1, b = x2, u = x1 + x3 \in \BbbR .
Уравнение (F2+Q2)[Bx - f(t, x)] = 0, определяющее множество L0 из (17), эквивалентно
системе уравнений (47), (48), которую, учитывая новые обозначения, можно представить в виде
b - r2 a = r1I(t) - (r1 + r2)I1(t), (50)
u = I(t) - q \varphi 1(u - a). (51)
Условие (17) выполнено, если для любых t \geq 0, a, b \in \BbbR существует u \in \BbbR такое, что
выполнены уравнения (50), (51) или
r1 u - (r1 + r2)I1(t) - b+ r2 a = - r1q \varphi 1(u - a). (52)
Рассмотрим оператор-функцию
\~\Phi (xp2) =
\biggl[
\partial
\partial x
\bigl(
Q2f(t\ast , x
\ast
s1+x\ast s2+x\ast p1+xp2)
\bigr)
- B
\biggr]
P2 = -
\bigl(
q\varphi \prime
1(u - a\ast )+1
\bigr)
W : X2 \rightarrow L(\BbbR 3, Y2),
где W = (wij) — матрица размера 4 \times 3, у которой все элементы нулевые, кроме w41 = 1
и w43 = 1, \varphi \prime
1(u - a) =
d\varphi 1(y)
dy
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
y=u - a
и a\ast \in \BbbR . Поскольку пространства X2, Y2 одно-
мерны, базисная обратимость оператор-функции \Phi (xp2) = \~\Phi (xp2)
\bigm| \bigm| \bigm|
X2
: X2 \rightarrow L(X2, Y2) (18)
эквивалентна обратимости \Phi (xp2). Пусть для любых (фиксированных) \^u, \^\^u, a\ast \in \BbbR , удовле-
творяющих (51), выполнено условие q\varphi \prime
1(u\ast - a\ast ) \not = - 1 при любом u\ast \in \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}\{ \^u, \^\^u\} . Тогда
оператор \Lambda = \~\Lambda
\bigm| \bigm|
X2
\in L(X2, Y2), где \~\Lambda = \~\Phi (x\ast p2), x\ast p2 = (0, 0, u\ast )
T , обратим, так как из
равенства \~\Lambda xp2 = 0, xp2 \in X2, следует, что xp2 = 0. Значит, для любых \^u, \^\^u, a\ast \in \BbbR , удовле-
творяющих (51), оператор-функция \Phi (xp2) (18) является базисно обратимой на \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}\{ \^xp2 , \^\^xp2\} ,
где \^xp2 = (0, 0, \^u)T , \^\^xp2 = (0, 0, \^\^u)T .
Оператор Agen = F1AS
\bigm| \bigm|
Xs
\in L(Xs, Ys1) (см. (8)) имеет обратный A - 1
gen \in L(Ys1 , Xs),
которому соответствует матрица A - 1
gen =
\left( L - 1 0 0 0
0 C - 1 0 0
- L - 1 0 0 0
\right) .
Выберем H1 =
\left( L/2 0 0
0 C 0
0 0 L/2
\right) . Тогда (H1Sx,A
- 1
genF1[ - BSx + f(t, x)]) = - gx22 -
- (r2 + r3)x
2
1 - x1\varphi 3(x1) - x2h(x2) + x1\varphi 1(x3) + (r2x1 + x2)I1(t).
Поскольку для всех t \in [0,\infty ), x \in \BbbR 3 выполнена оценка \| F2f(t, x)\| \leq r1 \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}t\in [0,\infty ) | I(t)| +
+ (r1 + r2) \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}t\in [0,\infty ) | I1(t)| , то условие (20) выполнено, если \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}t\in [0,\infty ) | I(t)| < +\infty ,
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}t\in [0,\infty ) | I1(t)| < +\infty .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 6
844 М. С. ФИЛИПКОВСКАЯ
Заметим, что для любого фиксированного \~xp2 = (0, 0, \~u)T , где \~u \in \BbbR , и для всех t \in [0,\infty ),
\| xs + xp1\| \leq M, где M > 0 (M \in \BbbR ), т. е. M — произвольное фиксированное положительное
число, выполнена оценка \| Q2f(t, xs+xp1 +\~xp2)\| \leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}t\in [0,\infty )\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}| a| \leq M/
\surd
2 | I(t) - q\varphi 1(\~u - a)| .
Так как \varphi 1 принадлежит C1(\BbbR ), то для любого фиксированного \~xp2 (т. е. любого фиксирован-
ного \~u \in \BbbR ) выполнено условие (21), если \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}t\in [0,\infty ) | I(t)| < +\infty .
Теперь рассмотрим случай, когда L = C(r2 + r3)/g.
Запишем проекторы S : \BbbR 3 \rightarrow Xs, P : \BbbR 3 \rightarrow Xr, Q : \BbbR 4 \rightarrow Yr, F : \BbbR 4 \rightarrow Ys, Fk : \BbbR 4 \rightarrow Ysk ,
Pk : \BbbR 3 \rightarrow Xk, Qk : \BbbR 4 \rightarrow Yk, k = 1, 2; F = F1 + F2, Q = Q1 +Q2, P = P1 + P2,
F1 =
\left(
0 0 0 0
- r2g
r2 + r3
1 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
\right) , F2 =
\left(
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 0
\right) ,
Q1 =
\left(
1 0 0 0
r2g
r2 + r3
0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
\right) , Q2 =
\left(
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 1
\right) ,
S =
\left( 0 0 0
- r2 1 0
0 0 0
\right) , P1 =
\left( 1 0 0
r2 0 0
- 1 0 0
\right) , P2 =
\left( 0 0 0
0 0 0
1 0 1
\right) .
Легко проверить, что \lambda Ar+Br — регулярный пучок индекса 1. Компоненты (проекции) вектора
x имеют вид
xs = Sx = (0, x2 - r2x1, 0)
T = (0, d, 0)T , xp1 = P1x = (x1, r2x1, - x1)
T = (a, r2a, - a)T ,
xp2 = P2x = (0, 0, x1 + x3)
T = (0, 0, u)T , где a = x1, d = x2 - r2x1, u = x1 + x3 \in \BbbR .
Уравнение (F2 + Q2)[Bx - f(t, x)] = 0 эквивалентно системе (47), (48). Учитывая новые
обозначения, уравнение (47) можно представить в виде
d = r1I(t) - (r1 + r2)I1(t), (53)
а уравнение (48) — в виде (51). Условие (17) выполнено, если для любых t \geq 0, a, d \in \BbbR
существует u \in \BbbR такое, что выполнены (53), (51) или
r1 u - (r1 + r2)I1(t) - d = - r1q \varphi 1(u - a). (54)
Оператор-функция \Phi (xp2) (18) имеет тот же вид, что и в случае L \not = C(r2+r3)/g, и являет-
ся базисно обратимой при выполнении аналогичного условия. Матрицы операторов, обратных к
Agen \in L(Xs, Ys1), A1 = Q1A
\bigm| \bigm|
X1
\in L(X1, Y1), имеют вид A - 1
gen =
\left( 0 0 0 0
- r2L
- 1 C - 1 0 0
0 0 0 0
\right) ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 6
УСТОЙЧИВОСТЬ И НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ПО ЛАГРАНЖУ НЕРЕГУЛЯРНЫХ ПОЛУЛИНЕЙНЫХ . . . 845
A - 1
1 =
\left( L - 1 0 0 0
r2L
- 1 0 0 0
0 0 0 0
\right) . Выберем H1 =
\left(
1 0 0
0
C(r2 + r3)
r2g
0
0 0 1
\right) , H2 =
=
\left(
Lr2 0 0
0
L(r2 + r3)
r22g
0
0 0 1
\right) для (19). Оценки для условий (21), (20) аналогичны получен-
ным выше.
Выводы. По теореме 1 для любой начальной точки (t0, x
0)\in [0,\infty )\times \BbbR 3 (x0=
\bigl(
x01, x
0
2, x
0
3
\bigr) T
),
удовлетворяющей условию согласования
x02 - r2 x
0
1 = r1 I(t0) - (r1 + r2) I1(t0), x01 + x03 = I(t0) - q \varphi 1(x
0
3), (55)
существует единственное решение x(t) ДАУ (1) с (49) и начальным условием
x(t0) = x0 (56)
на [t0,\infty ), если при L \not = C(r2 + r3)/g выполнены условия:
1) для любых t \geq 0, a, b \in \BbbR существует u \in \BbbR такое, что выполнено (52);
2) для любых \^u, \^\^u, a\ast \in \BbbR , удовлетворяющих (51), выполнено условие q\varphi \prime
1(u\ast - a\ast ) \not = - 1
при любом u\ast \in \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}\{ \^u, \^\^u\} ;
3) существуют R > 0 и функции k(t) \in C([0,\infty ),\BbbR ), U(v) \in C((0,\infty ), (0,\infty )) такие,
что
\int +\infty
c
dv
U(v)
= +\infty и - gx22 - (r2 + r3)x
2
1 - x1\varphi 3(x1) - x2h(x2) + x1\varphi 1(x3) + (r2x1 +
+ x2)I1(t) \leq k(t)U
\biggl(
1
2
(Lx21 + Cx22)
\biggr)
для всех (t, x) \in [0,\infty )\times \BbbR 3 таких, что
\sqrt{}
2x21 + x22 \geq R
и выполнены уравнения (47), (48);
при L = C(r2 + r3)/g выполнены условия:
1) для любых t \geq 0, a, d \in \BbbR существует u \in \BbbR такое, что выполнено (54);
2) аналогично условию 2 при L \not = C(r2 + r3)/g;
3) существуют R > 0 и функции k(t) \in C([0,\infty ),\BbbR ), U(v) \in C((0,\infty ), (0,\infty )) такие, что\int +\infty
c
dv
U(v)
= +\infty и - r2 + r3
r2g
\bigl[
g(x2 - r2x1)
2+r2(gr2 - r2 - r3)x
2
1 + x2h(x2)
\bigr]
+x1
\biggl[
3r2(\varphi 1(x3) -
- \varphi 3(x1))+
r2 + r3
g
h(x2)
\biggr]
- x2[\varphi 1(x3) - \varphi 3(x1)]+
\biggl[ \biggl(
r2 + r3
r2g
- r2
\biggr)
(x2 - r2x1) + 2r22x1
\biggr]
I1(t) \leq
\leq k(t)U
\biggl(
C(r2 + r3)
2r2g
(x2 - r2x1)
2 +
L(r2g + r2 + r3 + g)
2g
x21
\biggr)
для всех (t, x) \in [0,\infty ) \times \BbbR 3
таких, что
\sqrt{}
2x21 + x22 \geq R и выполнены уравнения (47), (48).
Если, дополнительно, существует \~u \in \BbbR такое, что для любых \~\~u, a\ast \in \BbbR , удовлетворя-
ющих (51), выполнено условие q\varphi \prime
1(u\ast - a\ast ) \not = - 1 при любом u\ast \in \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}\{ \~u, \~\~u\} \setminus \{ \~u\} , и
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}t\in [0,\infty ) | I(t)| < +\infty , \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}t\in [0,\infty ) | I1(t)| < +\infty ,
\int +\infty
t0
k(t) dt < +\infty , то для начальных точек
(t0, x
0), удовлетворяющих (55), уравнение (1) с (49) устойчиво по Лагранжу.
Рассмотрим частные случаи. В реальных радиотехнических устройствах встречаются нели-
нейные сопротивления и проводимости типа
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 6
846 М. С. ФИЛИПКОВСКАЯ
\varphi 1(y) = \alpha 1 y
2k - 1, \varphi 3(y) = \alpha 2 y
2j - 1, h(y) = \alpha 3 y
2r - 1, k, j, r \in \BbbN , \alpha i > 0, i = 1, 3,
(57)
\varphi 1(y) = \alpha 1 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(y), \varphi 3(y) = \alpha 2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(y), h(y) = \alpha 3 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(y), \alpha i > 0, i = 1, 3. (58)
Для функций вида (57), где k \leq j при L \not = C(r2 + r3)/g, k \leq j, r при L = C(r2 + r3)/g и
\alpha 1 достаточно мало, или функций вида (58), где \alpha 1 < r4, и любой начальной точки (t0, x
0) \in
\in [0,\infty )\times \BbbR 3, удовлетворяющей условию (55), существует единственное решение задачи Коши
(1), (49), (56) на [t0,\infty ). Если, дополнительно, \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}t\in [0,\infty ) | I(t)| < \infty и \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}t\in [0,\infty ) | I1(t)| < \infty ,
то для начальных точек (t0, x
0), удовлетворяющих условию (55), ДАУ (1) с (49) устойчиво
по Лагранжу. В частности, эти требования выполнены для токов вида I1(t) = \beta 1t
- n1 , I(t) =
= \beta 2t
- n2 , I1(t) = \beta 1e
- \alpha 1t, I(t) = \beta 2e
- \alpha 2t, I1(t) = \beta 1e
- (t - c1)2\sigma
- 2
1 , I(t) = \beta 2e
- (t - c2)2\sigma
- 2
2 ,
I1(t) = \beta 1 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\omega 1t + \theta 1), I(t) = \beta 2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\omega 2t + \theta 2), где nk \in \BbbN , \alpha k > 0, \beta k, ck, \sigma k, \omega k \in \BbbR ,
\theta k \in [0, 2\pi ], k = 1, 2.
6. Выводы. Получены условия, при которых существует единственное глобальное ре-
шение сингулярного полулинейного ДАУ (1) для любых согласованных начальных значений
t0, x0 (см. замечание 1), а также условия ограниченности глобальных решений. Получены
условия, при которых для любых согласованных начальных значений t0 и x0, где компонента
(S1 + P1)x0 принадлежит некоторой области \Omega , существует единственное решение ДАУ (1),
которое определено лишь на конечном интервале времени и неограниченно (имеет конечное
время определения).
Полученные условия не содержат ограничений типа глобального условия Липшица, что
позволяет решать более сложные прикладные задачи.
Найдены условия существования, единственности и ограниченности глобальных решений
для математических моделей четырех- и двухполюсного радиотехнических фильтров с нелиней-
ными элементами. Исходя из условий исследуемых задач, модели описываются сингулярными
полулинейными ДАУ.
Литература
1. Kunkel P., Mehrmann V. Differential-algebraic equations: analysis and numerical solution. – Zürich: Eur. Math. Soc.,
2006. – 256 p.
2. Lamour R., März R., Tischendorf C. Differential-algebraic equations: a projector based analysis. – New York etc.:
Springer, 2013. – 239 p.
3. Riaza R. Differential-algebraic systems: analytical aspects and circuit applications. – Hackensack, NJ: World Sci.,
2008. – 330 p.
4. Rabier P. J., Rheinboldt W. C. Nonholonomic motion of mechanical systems from a DAE viewpoint. – Philadelphia:
SIAM, 2000. – 140 p.
5. Dai L. Singular control systems // Lect. Notes Control and Inform. Sci. – Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 1989. –
332 p.
6. Stykel T. On criteria for asymptotic stability of differential-algebraic equations // J. Appl. Math. and Mech. – 2002. –
82, № 3. – P. 147 – 158.
7. Campbell S. L., Linh V. H. Stability criteria for DAEs with multiple delays and their numerical solutions // Appl.
Math. and Comput. – 2009. – 208. – P. 397 – 415.
8. Tischendorf C. On the stability of solutions of autonomous index-1 tractable and quasilinearindex-2 tractable DAEs //
Circ. Syst. Signal Process. – 1994. – 13, № 2–3. – P. 139 – 154.
9. Du N. H., Linh V. H., Mehrmann V., Thuan D. D. Stability and robust stability of linear time-invariant delay
differential-algebraic equations // SIAM J. Matrix Anal. and Appl. – 2013. – 34, № 4. – P. 1631 – 1654.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 6
УСТОЙЧИВОСТЬ И НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ПО ЛАГРАНЖУ НЕРЕГУЛЯРНЫХ ПОЛУЛИНЕЙНЫХ . . . 847
10. März R. Practical Lyapunov stability criteria for differential algebraic equations // Banach Center Publ. – 1994. – 29,
№ 1. – P. 245 – 266.
11. Tuan V., Viet P. V. Stability of solutions of a quasilinear index-2 tractable DAE by the Lyapunov second method //
Ukr. Math. J. – 2004. – 56, № 10. – P. 1574 – 1593.
12. Riaza R. Stability loss in quasilinear DAEs by divergence of a pencil eigenvalue // SIAM J. Math. Anal. – 2010. –
41, № 6. – P. 2226 – 2245.
13. Ла-Салль Ж., Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова. – М.: Мир, 1964. – 168 с.
14. Самойленко А. М., Пелюх Г. П. Ограниченные на всей вещественной оси решения систем нелинейных диф-
ференциально-функциональных уравнений и их свойства // Укр. мат. журн. – 1994. – 46, № 6. – С. 737 – 747.
15. Wu A., Zeng Zh. Lagrange stability of memristive neural networks with discrete and distributed delays // IEEE Trans.
Neural Networks and Learn. Systems. – 2014. – 25, № 4. – P. 690 – 703.
16. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. – М.: Наука, 1988. – 552 с.
17. Руткас А. Г., Филипковская М. С. Продолжение решений одного класса дифференциально-алгебраических
уравнений // Журн. обчислюв. та прикл. математики. – 2013. – № 1 (111). – С. 135 – 145.
18. Filipkovskaya M. Global solvability of singular semilinear differential equations and applications to nonlinear radio
engineering // Challeng. Mod. Technol. – 2015. – 6, № 1. – P. 3 – 13.
19. Руткас А. Г. Разрешимость полулинейных дифференциальных уравнений с сингулярностью // Укр. мат. журн. –
2008. – 60, № 2. – С. 225 – 239.
20. Халмош П. Конечномерные векторные пространства. – М.: Физматгиз, 1963. – 264 с.
21. Rutkas A. G., Vlasenko L. A. Existence, uniqueness and continuous dependence for implicit semilinear functional
differential equations // Nonlinear Anal. – 2003. – 55, № 1-2. – P. 125 – 139.
22. Шварц Л. Анализ. – М.: Мир, 1972. – Т. 1. – 822 с.
Получено 18.11.16
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 6
|
| id | umjimathkievua-article-1598 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:08:51Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/eb/f4c26066eefaee15b4c04ae8cf8cbeeb.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-15982019-12-05T09:19:59Z Lagrange stability and instability of nonregular semilinear differential-algebraic equations and applications Устойчивость и неустойчивость по Лагранжу нерегулярных полулинейных дифференциально-алгебраических уравнений и приложения Filipkovska, M. S. Филипковская, М. С. Филипковская, М. С. We consider an nonregular (singular) semilinear differential-algebraic equation $$\frac d{dt} [Ax] + Bx = f(t, x)$$ and prove the theorems on Lagrange stability and instability. The theorems give sufficient conditions for the existence, uniqueness, and boundedness of a global solution of the Cauchy problem for the semilinear differential-algebraic equation and sufficient conditions for the existence and uniqueness of the solution with finite escape time for the analyzed Cauchy problem (this solution is defined on a finite interval and unbounded). The proposed theorems do not contain constraints similar to the global Lipschitz condition. This enables us to use them for solving more general classes of applied problems. Two mathematical models of radioengineering filters with nonlinear elements are studied as applications. Розглядається нерегулярне (сингулярне) напiвлiнiйне диференцiально-алгебраїчне рiвняння $$\frac d{dt} [Ax] + Bx = f(t, x).$$ Доведено теореми про стiйкiсть та нестiйкiсть за Лагранжем, якi дають достатнi умови iснування, єдиностi та об- меженостi глобального розв’язку задачi Кошi для напiвлiнiйного диференцiально-алгебраїчного рiвняння i достатнi умови iснування та єдиностi розв’язку зi скiнченним часом визначення (розв’язок є визначеним на скiнченному iнтервалi та необмеженим) для цiєї задачi Кошi. Теореми не мiстять обмежень типу глобальної умови Лiпшиця, що дозволяє застосовувати їх при розв’язаннi бiльш широких класiв прикладних задач. Як застосування дослiджено двi математичнi моделi радiотехнiчних фiльтрiв iз нелiнiйними елементами. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2018-06-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1598 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 70 No. 6 (2018); 823-847 Український математичний журнал; Том 70 № 6 (2018); 823-847 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1598/580 Copyright (c) 2018 Filipkovska M. S. |
| spellingShingle | Filipkovska, M. S. Филипковская, М. С. Филипковская, М. С. Lagrange stability and instability of nonregular semilinear differential-algebraic equations and applications |
| title | Lagrange stability and instability of nonregular semilinear differential-algebraic equations and applications |
| title_alt | Устойчивость и неустойчивость по Лагранжу нерегулярных
полулинейных дифференциально-алгебраических уравнений и приложения |
| title_full | Lagrange stability and instability of nonregular semilinear differential-algebraic equations and applications |
| title_fullStr | Lagrange stability and instability of nonregular semilinear differential-algebraic equations and applications |
| title_full_unstemmed | Lagrange stability and instability of nonregular semilinear differential-algebraic equations and applications |
| title_short | Lagrange stability and instability of nonregular semilinear differential-algebraic equations and applications |
| title_sort | lagrange stability and instability of nonregular semilinear differential-algebraic equations and applications |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1598 |
| work_keys_str_mv | AT filipkovskams lagrangestabilityandinstabilityofnonregularsemilineardifferentialalgebraicequationsandapplications AT filipkovskaâms lagrangestabilityandinstabilityofnonregularsemilineardifferentialalgebraicequationsandapplications AT filipkovskaâms lagrangestabilityandinstabilityofnonregularsemilineardifferentialalgebraicequationsandapplications AT filipkovskams ustojčivostʹineustojčivostʹpolagranžuneregulârnyhpolulinejnyhdifferencialʹnoalgebraičeskihuravnenijipriloženiâ AT filipkovskaâms ustojčivostʹineustojčivostʹpolagranžuneregulârnyhpolulinejnyhdifferencialʹnoalgebraičeskihuravnenijipriloženiâ AT filipkovskaâms ustojčivostʹineustojčivostʹpolagranžuneregulârnyhpolulinejnyhdifferencialʹnoalgebraičeskihuravnenijipriloženiâ |