Trigonometric and linear widths for the classes of periodic multivariable functions
We establish the exact-order estimates for the trigonometric widths of Nikol’skii – Besov $B^r_{\infty ,\theta}$ and Sobolev $W^r_{\infty, \alpha} $ classes of periodic multivariable functions in the space $L_q,\; 1 < q < \infty$. The behavior of the linear widths of Nikol’skii – Bes...
Gespeichert in:
| Datum: | 2017 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2017
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1726 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507572796129280 |
|---|---|
| author | Romanyuk, A. S. Романюк, А. С. Романюк, А. С. |
| author_facet | Romanyuk, A. S. Романюк, А. С. Романюк, А. С. |
| author_sort | Romanyuk, A. S. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:24:56Z |
| description | We establish the exact-order estimates for the trigonometric widths of Nikol’skii – Besov $B^r_{\infty
,\theta}$ and Sobolev $W^r_{\infty, \alpha} $ classes
of periodic multivariable functions in the space $L_q,\; 1 < q < \infty$. The behavior of the linear widths of Nikol’skii – Besov $B^r_{\infty ,\theta}$ classes in the space $L_q$ is investigated for certain relations between the parameters $p$ and $q$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:11:27Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
А. С. Романюк (Ин-т математики НАН Украины, Киев)
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ И ЛИНЕЙНЫЕ ПОПЕРЕЧНИКИ
КЛАССОВ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
We establish the exact-order estimates for the trigonometric widths of Nikol’skii – Besov Br
\infty ,\theta and Sobolev W r
\infty ,\alpha classes
of periodic multivariable functions in the space Lq, 1 < q < \infty . The behavior of the linear widths of Nikol’skii – Besov
Br
p,\theta classes in the space Lq is investigated for certain relations between the parameters p and q.
Встановлено точнi за порядком оцiнки тригонометричних поперечникiв класiв Нiкольського – Бєсова Br
\infty ,\theta i
Соболєва W r
\infty ,\alpha перiодичних функцiй багатьох змiнних у просторi Lq, 1 < q < \infty . Дослiджено поведiнку лiнiйних
поперечникiв класiв Нiкольського – Бєсова Br
p,\theta у просторi Lq для деяких спiввiдношень мiж параметрами p i q.
1. Введение. В настоящей работе продолжается исследование тригонометрических и линейных
поперечников классов Никольского – Бесова Br
p,\theta периодических функций многих переменных,
которые изучались в работах [1 – 5]. Более подробно о рассматриваемых классах функций и их
аппроксимативных характеристиках будет говориться ниже, а сначала приведем необходимые
обозначения и определения.
Пусть \BbbR d, d \geq 1, — d-мерное пространство с элементами x = (x1, . . . , xd) и (x, y) =
= x1y1 + . . . + xdyd — скалярное произведение элементов x, y \in \BbbR d. Через Lp(\pi d), \pi d =
=
\prod d
j=1
[0, 2\pi ), обозначим пространство 2\pi -периодических по каждой переменной функций
f(x), для которых
\| f\| p =
\left( (2\pi ) - d
\int
\pi d
| f(x) | pdx
\right) 1/p
< \infty , 1 \leq p < \infty ,
\| f\| \infty = \mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in \pi d
| f(x)| < \infty .
Далее будем предполагать, что для f \in Lp(\pi d) выполнено условие
2\pi \int
0
f(x)dxj = 0, j = 1, d.
Множество таких функций будем обозначать через L0
p(\pi d).
Пусть Vl(t), l \in \BbbN , обозначает ядро Валле Пуссена вида
Vl(t) = 1 + 2
l\sum
k=1
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} kt+ 2
2l - 1\sum
k=l+1
\biggl(
1 - k - l
l
\biggr)
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} kt
(при l = 1 вторая сумма полагается равной нулю).
Сопоставим каждому вектору s = (s1, . . . , sd), sj \in \BbbN , j = 1, d, полином
As(x) =
d\prod
j=1
(V2sj (xj) - V
2sj - 1(xj))
c\bigcirc А. С. РОМАНЮК, 2017
670 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ И ЛИНЕЙНЫЕ ПОПЕРЕЧНИКИ КЛАССОВ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ . . . 671
и для f \in L0
p(\pi d), 1 \leq p \leq \infty , положим
As(f, x) = (f \ast As)(x),
где \ast обозначает операцию свертки.
Будем говорить, что функция f \in L0
p(\pi d) принадлежит классу Br
p,\theta , 1 \leq p \leq \infty , r =
= (r1, . . . , rd), rj > 0, j = 1, d, если выполнены условия\Biggl( \sum
s
2(s,r)\theta \| As(f, \cdot )\| \theta p
\Biggr) 1/\theta
\leq 1 (1)
при 1 \leq \theta < \infty и
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
s
2(s,r) \| As(f, \cdot )\| p \leq 1 (1\prime )
при \theta = \infty .
Заметим, что при этом величины в левых частях (1) и (1\prime ) эквивалентны нормам \| f\| Br
p,\theta
,
1 \leq \theta < \infty , и \| f\| Br
p,\infty \equiv \| f\| Hr
p
при \theta = \infty пространств Br
p,\theta и Hr
p соответственно.
В случае 1 < p < \infty можно записать эквивалентное определение классов Br
p,\theta , заменив
„блоки” As(f, \cdot ) на другие. С этой целью для векторов s = (s1, . . . , sd), sj \in \BbbN , и k =
= (k1, . . . , kd), kj \in \BbbZ , j = 1, d, положим
\rho (s) =
\bigl\{
k = (k1, . . . , kd) : 2sj - 1 \leq | kj | < 2sj , j = 1, d
\bigr\}
и для f \in L0
1(\pi d) обозначим
\delta s(f, x) =
\sum
k\in \rho (s)
\widehat f(k)ei(k,x),
где
\widehat f(k) = (2\pi ) - d
\int
\pi d
f(t)e - i(k,t)dt
— коэффициенты Фурье функции f.
Тогда при p \in (1,\infty ), r = (r1, . . . , rd), rj > 0, j = 1, d, с точностью до абсолютных
постоянных, классы Br
p,\theta можно определить следующим образом:
B r
p, \theta =
\left\{ f : \| f\| B r
p, \theta
=
\Biggl( \sum
s
2(s,r) \theta \| \delta s(f, \cdot )\| \theta
p
\Biggr) 1/\theta
\leq 1
\right\}
при 1 \leq \theta < \infty и
B r
p,\infty =
\biggl\{
f : \| f\| B r
p,\infty = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
s
2(s, r) \| \delta s(f, \cdot )\| p \leq 1
\biggr\}
.
Пусть Fr(x, \alpha ) — многомерные аналоги ядер Бернулли, т. е.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
672 А. С. РОМАНЮК
Fr(x, \alpha ) = 2d
\sum
k
d\prod
j=1
k
- rj
j \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\Bigl(
kj xj -
\alpha j \pi
2
\Bigr)
, rj > 0, \alpha j \in \BbbR ,
и в сумме содержатся только те векторы k = (k1, . . . , kd), для которых kj > 0, j = 1, d. Тогда
через W r
p,\alpha обозначим класс функций f, представимых в виде
f(x) = \varphi (x) \ast Fr(x, \alpha ) = (2\pi ) - d
\int
\pi d
\varphi (y)Fr(x - y, \alpha )dy,
\varphi \in Lp(\pi d), \| \varphi \| p \leq 1.
С подробной информацией о классах (пространствах) Br
p,\theta , 1 \leq \theta < \infty , Hr
p и W r
p,\alpha , а
также историей их исследования можно ознакомиться в монографиях [6 – 10], а также в работах
[ 11, 12 ].
Всюду ниже будем предполагать, что координаты векторов r = (r1, . . . , rd), которые со-
держатся в определении рассматриваемых классов функций, упорядочены следующим обра-
зом: 0 < r1 = . . . = r\nu < r\nu +1 \leq . . . \leq rd. Вектору r = (r1, . . . , rd) сопоставим век-
тор \gamma = (\gamma 1, . . . , \gamma d), \gamma j =
rj
r1
, j = 1, d, которому, в свою очередь, сопоставляется вектор
\gamma \prime = (\gamma \prime 1, . . . , \gamma
\prime
d), где \gamma j = \gamma \prime j при j = 1, \nu и 1 < \gamma \prime j < \gamma j при j = \nu + 1, d.
Полученные результаты будем формулировать в терминах порядковых соотношений. При
этом для двух неотрицательных последовательностей (an)
\infty
n=1 и (bn)
\infty
n=1 соотношение (поряд-
ковое неравенство) an \ll bn означает, что существует постоянная C > 0, не зависящая от n,
такая, что an \leq C bn. Соотношение an \asymp bn равносильно тому, что an \ll bn и bn \ll an. Отме-
тим, что постоянные, которые будут содержаться в порядковых соотношениях и определениях
функций, могут зависеть от определенных параметров. Эти параметры иногда будем указывать,
в остальных случаях они будут понятны из контекста. Если A — конечное множество, то через
| A| будем обозначать количество его элементов.
Приведем сначала определения аппроксимативных характеристик, которые исследуются в
первой части работы.
Пусть F \subset Lq(\pi d) — некоторый функциональный класс. Тогда тригонометрический попе-
речник класса F в пространстве Lq (обозначается d\top M (F,Lq)) определяется по формуле
d\top M (F,Lq) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\theta M
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in F
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
t(\theta M ,\cdot )
\| f(\cdot ) - t(\theta M , \cdot )\| q,
где
t(\theta M , x) =
M\sum
j=1
cje
i(kj ,x), \theta M = \{ k1, . . . , kM\}
— всевозможные наборы векторов kj = (kj1, . . . , k
j
d), j = 1,M, из целочисленной решетки \BbbZ d,
cj — произвольные комплексные числа. Поперечник d\top M (F,Lq) введен в 1974 г. Р. С. Исмаги-
ловым [13] и впоследствии, для разных функциональных классов, изучался во многих работах
(см., например, [1, 5, 9, 10]).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ И ЛИНЕЙНЫЕ ПОПЕРЕЧНИКИ КЛАССОВ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ . . . 673
В комментариях к полученным в настоящей работе результатам будет упоминаться о близ-
кой к d\top M (F,Lq) аппроксимативной характеристике, которая для F \subset Lq(\pi d) определяется по
формуле
eM (F )q = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in F
eM (f)q = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in F
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\theta M ,cj
\| f(\cdot ) - t(\theta M , \cdot )\| q.
Величина eM (f)2 для функций одной переменной, в несколько более общем случае, введена
С. Б. Стечкиным [14]. С историей исследования величин eM (F )q для тех или иных классов
функций можно ознакомиться в [9, 10, 11, 15].
Заметим, что согласно определению
d\top M (F,Lq) \geq eM (F,Lq). (2)
Теперь приведем определение еще двух аппроксимативных характеристик, о которых будет
идти речь во второй части работы.
Пусть W — центрально-симметричное множество в нормированном пространстве X. Тогда
величина
dM (W,X) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
LM
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
w\in W
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
u\in LM
\| w(\cdot ) - u(\cdot )\| X,
где LM \subset X — подпространства размерности M, называется колмогоровским поперечником
множества W в пространстве X. Поперечник dM (W,X) введен в 1936 г. А. Н. Колмогоро-
вым [16].
Линейный поперечник множества W в пространстве X определяется по формуле
\lambda M (W,X) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
A
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
w\in W
\| w(\cdot ) - Aw(\cdot )\| X,
где инфимум берется по всем действующим в X линейным операторам А, размерность области
значений которых не превышает M. Поперечник \lambda M (W,X) введен в 1960 г. В. М. Тихомиро-
вым [17].
Легко видеть, что
dM (W,X) \leq \lambda M (W,X) (3)
и, кроме того, для функционального класса F \subset Lq(\pi d)
dM (F,Lq) \leq d\top M (F,Lq). (4)
Исследования колмогоровских и линейных поперечников классов W r
p,\alpha , H
r
p и Br
p,\theta периоди-
ческих функций многих переменных имеют богатую историю, с которой можно ознакомиться,
например, в монографиях [9, 10], а также в работах [11, 18].
2. Тригонометрические поперечники классов \bfitB \bfitr
\infty ,\bfittheta и \bfitW \bfitr
\infty ,\bfitalpha в пространстве \bfitL \bfitq . В
этой части работы исследуются тригонометрические поперечники d\top M (Br
\infty ,\alpha , Lq) и
d\top M (W r
\infty ,\alpha , Lq) при 1 < q < \infty . Установленные точные по порядку оценки этих величин
дополняют результаты, которые получены в [1, 9, 10].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
674 А. С. РОМАНЮК
Теорема 1. Пусть 2 \leq q < \infty , r1 > 0, 1 \leq \theta \leq \infty . Тогда
d\top M (Br
\infty ,\theta , Lq) \asymp M - r1(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\nu - 1 M)r1+(1/2 - 1/\theta )+ , (5)
где a+ = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ a, 0\} .
(Здесь и далее символ \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} обозначает логарифм по основанию 2.)
Доказательство. Оценка сверху в (5) реализуется с помощью приближения функций f \in
\in Br
q,\theta в пространстве Lq, 2 \leq q < \infty , их ступенчатыми гиперболическими суммами Фурье
S\gamma \prime
n (f, x) =
\sum
(s,\gamma \prime )\leq n
\delta s(f, x).
В [19] установлено, что при r1 > 0, 2 \leq q < \infty и 1 \leq \theta < \infty
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in Br
q,\theta
\| f(\cdot ) - S\gamma \prime
n (f, \cdot )\| q \asymp 2 - n r1n(\nu - 1)(1/2 - 1/\theta )+ . (6)
Следовательно, подобрав по заданному M число n \in \BbbN из условия M \asymp 2n n\nu - 1 и вос-
пользовавшись (6), будем иметь
d\top M (Br
\infty ,\theta , Lq) \ll d\top M (Br
q,\theta , Lq) \asymp M - r1(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\nu - 1 M)r1+(1/2 - 1/\theta )+ , 1 \leq \theta < \infty .
Аналогично, используя в случае \theta = \infty оценку (см. [9, c. 35])
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in Hr
q
\| f(\cdot ) - S\gamma \prime
n (f, \cdot )\| q \asymp 2 - n r1n(\nu - 1)/2, 2 \leq q < \infty , r1 > 0,
находим
d\top M (Hr
\infty , Lq) \ll d\top M (Hr
q , Lq) \asymp M - r1(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\nu - 1 M)r1+1/2.
Переходя к доказательству в (5) оценки снизу, отметим, что в случае 1 \leq \theta < \infty она следует
(согласно (4)) из соответствующей оценки колмогоровского поперечника dM (Br
\infty ,\theta , Lq) [1]:
d\top M (Br
\infty ,\theta , Lq) \geq dM (Br
\infty ,\theta , Lq) \asymp M - r1(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\nu - 1 M)r1+(1/2 - 1/\theta )+ .
Если же \theta = \infty , то искомая оценка снизу является следствием оценки колмогоровского
поперечника dM (Hr
\infty , Lq) [20]:
d\top M (Hr
\infty , Lq) \geq dM (Hr
\infty , Lq) \asymp M - r1(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\nu - 1 M)r1+1/2, q > 1, r1 > 0.
Теорема доказана.
Следующее утверждение указывает порядок тригонометрического поперечника
d\top M (Br
\infty ,\theta , Lq) в случае 1 < q < 2, но при определенных ограничениях на параметр \theta .
Теорема 2. Пусть 1 < q < 2, r1 > 0. Тогда при 2 \leq \theta \leq \infty
d\top M (Br
\infty ,\theta , Lq) \asymp M - r1(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\nu - 1 M)r1+1/2 - 1/\theta . (7)
Доказательство. Оценка сверху следует из (5) в силу неравенства \| \cdot \| q < \| \cdot \| 2, 1 < q < 2.
Что касается оценки снизу в (7), то она следует из оценок колмогоровских поперечников
dM (Br
\infty ,\theta , Lq), 1 \leq \theta < \infty , и dM (Hr
\infty , Lq), которые получены в [1] и [20] соответственно.
Теорема доказана.
В дополнение к теоремам 1, 2 приведем соответствующее утверждение для классов W r
\infty ,\alpha .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ И ЛИНЕЙНЫЕ ПОПЕРЕЧНИКИ КЛАССОВ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ . . . 675
Теорема 3. Пусть 1 < q < \infty , r1 > 0. Тогда
d\top M (W r
\infty ,\alpha , Lq) \asymp M - r1(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\nu - 1 M)r1 . (8)
Доказательство. В силу (4) оценка снизу следует из соотношения [21]
dM (W r
\infty ,\alpha , Lq) \gg M - r1(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}d - 1 M)r1 .
Оценка сверху в (8) реализуется с помощью приближения функций f \in W r
q,\alpha в про-
странстве Lq, 1 < q < \infty , их ступенчатыми гиперболическими суммами Фурье S\gamma
n(f, x) =
=
\sum
(s,\gamma )\leq n
\delta s(f, x). Соответствующий результат имеет вид (см. [9, c. 34])
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in W r
q,\alpha
\| f(\cdot ) - S\gamma
n(f, \cdot )\| q \asymp 2 - n r1 , 1 < q < \infty , r1 > 0.
Отсюда при M \asymp 2n n\nu - 1 в силу вложения W r
q,\alpha \subset W r
\infty ,\alpha , 1 < q < \infty , имеeм
d\top M (W r
\infty ,\alpha , Lq) \ll d\top M (W r
q,\alpha , Lq) \asymp M - r1(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\nu - 1 M)r1 .
Теорема доказана.
Подытоживая полученные результаты, приведем некоторые комментарии.
В связи с соотношением (2) представляется интересным сравнить оценки тригонометриче-
ских поперечников и наилучших M -членных тригонометрических приближений классов Br
\infty ,\theta
в пространстве Lq. С этой целью напомним, что в работе [15] (теорема 3.2) и обзорной статье
[11] (теорема 7.28) приведено следующее утверждение.
Теорема А. Пусть 1 < q \leq p < \infty , p \geq 2, r1 > 0. Тогда при 1 \leq \theta \leq \infty справедлива
оценка
eM (Br
p,\theta )q \asymp M - r1(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\nu - 1 M)(r1+1/2 - 1/\theta )+ . (9)
Следует заметить, что на самом деле такая же оценка имеет место и для классов Br
\infty ,\theta при
1 \leq \theta \leq \infty и 1 < q < \infty . Иными словами, справедливо следующее утверждение.
Теорема 4. Пусть 1 < q < \infty , r1 > 0. Тогда при 1 \leq \theta \leq \infty
eM (Br
\infty ,\theta )q \asymp M - r1(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\nu - 1 M)(r1+1/2 - 1/\theta )+ . (10)
Доказательство. Пусть \theta \in [1,\infty ). Тогда оценка сверху в (10) следует из (9) согласно
вложению Br
\infty ,\theta \subset Br
q,\theta , 1 < q < \infty , т. е.
eM (Br
\infty ,\theta )q \ll eM (Br
q,\theta )q \asymp M - r1(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\nu - 1 M)(r1+1/2 - 1/\theta )+ .
Оценка снизу величины eM (Br
\infty ,\theta )q, 1 \leq \theta < \infty , получена по ходу доказательства теоре-
мы 3.2 [15] (см. оценку (3.28)).
В случае \theta = \infty оценка снизу для eM (Hr
\infty )q, 1 < q < \infty , установлена в [21], а соответ-
ствующая ей оценка сверху следует из теоремы 1 в силу соотношения (2).
Теорема доказана.
Теперь, сопоставляя теоремы 1, 2, 4, приходим к следующему выводу.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
676 А. С. РОМАНЮК
При 2 \leq \theta \leq \infty , 1 < q < \infty , r1 > 0 имеем
eM (Br
\infty ,\theta )q \asymp d\top M (Br
\infty ,\theta , Lq).
Если же 1 \leq \theta < 2 и 2 \leq q < \infty , то, как следует из теорем 2, 4,
eM (Br
\infty ,\theta )q \asymp d\top M (Br
\infty ,\theta , Lq)
при r1 >
1
\theta
- 1
2
и
eM (Br
\infty ,\theta )q \asymp d\top M (Br
\infty ,\theta , Lq)(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}
\nu - 1 M)1/2 - 1/\theta
при 0 < r1 \leq
1
\theta
- 1
2
.
Таким образом, в последнем случае при \nu \geq 2 проявляется эффект несовпадения порядков
величин eM (Br
\infty ,\theta )q и d\top M (Br
\infty ,\theta , Lq).
Замечание 1. Вопрос о порядке величины eM (W r
\infty ,\alpha )q, 1 \leq q \leq \infty , r1 > 0, остается
открытым ( см. [11], открытый вопрос 7.4).
В заключение этой части работы приведем несколько утверждений, касающихся порядков
исследуемых аппроксимативных характеристик в пространствах L\infty и L1.
Теорема 5. Пусть r1 > 0. Тогда
d\top M (Br
\infty ,1, L\infty ) \asymp M - r1(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\nu - 1 M)r1 . (11)
Доказательство. Оценка снизу следует из теоремы 1. Чтобы установить в (11) оценку
сверху, подберем число n \in \BbbN из соотношения M \asymp 2nn\nu - 1 и рассмотрим для f \in Br
\infty ,1
приближающий полином вида
tn(x) =
\sum
(s,\gamma )\leq n
As(f, x).
Тогда для \| f(\cdot ) - tn(\cdot )\| \infty можем записать
\| f(\cdot ) - tn(\cdot )\| \infty =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\sum
(s,\gamma )>n
As(f, \cdot )
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty
\leq
\leq
\sum
(s,\gamma )>n
\| As(f, \cdot )\| \infty =
\sum
(s,\gamma )>n
2(s,r) \| As(f, \cdot )\| \infty 2 - (s,r) \leq
\leq 2 - n r1
\sum
(s,\gamma )>n
2(s,r) \| As(f, \cdot )\| \infty \ll 2 - n r1\| f(\cdot )\| Br
\infty ,1
\leq 2 - n r1 .
Отсюда с учетом соотношения M \asymp 2nn\nu - 1 приходим к искомой оценке.
Теорема доказана.
Замечание 2. Вопрос о порядке величины eM (Br
\infty ,1)\infty остается, по-видимому, открытым.
Следующие два утверждения относятся к одномерному случаю, поэтому нам понадобятся
соответствующие обозначения.
Пусть T (2n) — множество тригонометрических полиномов вида
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ И ЛИНЕЙНЫЕ ПОПЕРЕЧНИКИ КЛАССОВ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ . . . 677
T (2n) =
\Biggl\{
t : t(x) =
2n\sum
k= - 2n
ck e
ikx
\Biggr\}
.
Для f \in Lq[ - \pi , \pi ], 1 \leq q \leq \infty , через
E2n(f)q = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
t\in T (2n)
\| f(\cdot ) - t(\cdot )\| q
обозначим ее наилучшее приближение полиномами из T (2n). Соответственно, если F \subset
\subset Lq[ - \pi , \pi ] — некоторый класс функций, то положим
E2n(F )q = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in F
E2n(f)q.
Теорема 6. Пусть d = 1, 1 \leq p \leq \infty , r1 > 0. Тогда при 1 \leq \theta \leq \infty
d\top M (Br1
p,\theta , L1) \asymp eM (Br1
p,\theta )1 \asymp M - r1 . (12)
Доказательство. В силу (2) оценку сверху в (12) достаточно доказать для d\top M (Br1
p,\theta , L1), а
снизу — для eM (Br1
p,\theta )1.
Итак, воспользовавшись оценкой
E2n(B
r1
p,\theta )1 \asymp 2 - n r1 ,
(см. [2] при 1 < p \leq \infty и [22] при p = 1), где n \in \BbbN подобрано из соотношения 2n - 1 \leq M <
< 2n, будем иметь
eM (Br1
p,\theta )1 \leq d\top M (Br1
p,\theta , L1) \ll E2n(B
r1
p,\theta )1 \asymp M - r1 .
Для оценки снизу величины eM (Br1
p,\theta )1 нам понадобится вспомогательное утверждение.
Пусть BN
\infty — подмножество полиномов t \in T (N), N \in \BbbN , для которых \| t\| \infty \leq 1. Тогда
справедлива следующая лемма.
Лемма А [23]. Пусть N \in \BbbN и m \leq N
2
. Тогда при 1 \leq q \leq \infty
em(BN
\infty )q \geq C1, (13)
где C1 > 0 — некоторая постоянная.
Чтобы воспользоваться леммой А, покажем, что
C2 2
- nr1 B2n
\infty \subset Br1
\infty ,1, C2 > 0. (14)
Пусть t \in B2n
\infty и Vl, l \in \BbbN — одномерное ядро Валле Пуссена, которое было определено
выше. Тогда, приняв во внимание, что \| Vl\| 1 \leq C3, C3 > 0, можем записать
\| 2 - nr1 t(\cdot )\| Br1
\infty ,1
\asymp 2 - nr1
n\sum
s=1
2sr1\| As(t, \cdot )\| \infty =
= 2 - nr1
n\sum
s=1
2sr1\| t(\cdot ) \ast (V2s(\cdot ) - V2s - 1(\cdot ))\| \infty \leq
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
678 А. С. РОМАНЮК
\leq 2 - nr1
n\sum
s=1
2sr1\| t(\cdot )\| \infty (\| V2s(\cdot )\| 1 + \| V2s - 1(\cdot )\| 1) \ll 2 - nr1
n\sum
s=1
2sr1 \leq C4.
Отсюда следует (14).
Таким образом, при 2n - 2 \leq M \leq 2n - 1, n \in \BbbN , в силу (14) имеем
d\top M (Br1
p,\theta , L1) \geq d\top M (Br1
\infty ,\theta , L1) \geq eM (Br1
\infty ,\theta )1 \geq
\geq eM (Br1
\infty ,1)1 \gg 2 - nr1eM (B2n
\infty )1 \gg 2 - nr1 \asymp M - r1 . (15)
Теорема доказана.
Замечание 3. В многомерном случае (d \geq 2) известно следующее утверждение (см. [10],
теорема 3.3.3).
Теорема Б. Пусть d \geq 2 и выполнены условия:
а) 1 < p < 2, 1 \leq \theta < p и 0 < r1 <
1
\theta
- 1
p
;
б) 2 \leq p \leq \infty , 1 \leq \theta < 2 и 0 < r1 <
1
\theta
- 1
2
.
Тогда
eM (Br
p,\theta )1 \asymp M - r1 .
Теорема 7. Пусть d = 1, 1 \leq \theta \leq \infty , r1 > 0. Тогда
d\top M (Br1
\infty ,\theta , L\infty ) \asymp eM (Br1
\infty ,\theta )\infty \asymp M - r1 . (16)
Доказательство. Оценки сверху в (16) являются следствием соотношения
E2n(B
r1
p,\theta )\infty \asymp 2 - n(r1 - 1/p), 1 \leq p \leq \infty , r1 >
1
p
, 1 \leq \theta \leq \infty
(см. [2], теорема 2.3).
Соответствующая оценка снизу для величины eM (Br1
\infty ,\theta )\infty следует из (15).
Теорема доказана.
Замечание 4. В связи с соотношениями (16) отметим, что в [5] в двумерном случае получен
следующий результат.
Теорема В. Пусть d = 2, r = (r1, r1), r1 > 0. Тогда при 2 \leq \theta \leq \infty
d\top M (Br
\infty ,\theta , L\infty ) \asymp M - r1(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}M)r1+1 - 1/\theta .
Порядки величин eM (Br
\infty ,\theta )\infty при d \geq 2 неизвестны.
3. Линейные поперечники классов \bfitB \bfitr
\bfitp ,\bfittheta в пространстве \bfitL \bfitq . В этом пункте уточня-
ются оценки снизу линейных поперечников классов Br
p,\theta в пространстве Lq для некоторых
областей изменения параметров p, q, r1 и \theta . Полученные результаты в сочетании с оценками
сверху, установленными в работе [4], позволили записать в соответствующих случаях точные
по порядку оценки величин \lambda M (Br
p,\theta , Lq).
Для формулировки и доказательства полученных утверждений нам понадобятся некоторые
обозначения и вспомогательный результат.
Пусть lmp , m \in \BbbN , 1 \leq p \leq \infty , обозначает пространство \BbbR m, снабженное нормой
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ И ЛИНЕЙНЫЕ ПОПЕРЕЧНИКИ КЛАССОВ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ . . . 679
\| x\| lmp =
\left\{
\Biggl(
m\sum
i=1
| xi| p
\Biggr) 1/p
, 1 \leq p < \infty ,
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
1\leq i\leq m
| xi| , p = \infty .
Через Bm
p обозначим единичный шар в lmp , т. е. множество элементов x \in lmp , для которых
\| x\| lmp \leq 1. Далее, для m,n \in \BbbN и 1 \leq p, q \leq \infty через lm,n
p,q будем обозначать пространство
\BbbR mn с нормой
\| x\| lm,n
p,q
=
\left( n\sum
l=1
\left( \sum
k\in \bigtriangleup l
| xk| p
\right) q/p
\right)
1/q
, (17)
где
\bigtriangleup l =
\bigl\{
k \in \BbbN : (l - 1)m \leq k < lm, l = 1, n
\bigr\}
.
Соответственно через Bm,n
p,q обозначим единичный шар в lm,n
p,q . Заметим, что при q = \infty либо
p = \infty подразумевается естественная модификация нормы (17) и, кроме того, в случае p = q
справедливо тождество
\| x\| lm,n
p,q
\equiv \| x\| lmn
p
.
В принятых обозначениях справедливо следующее утверждение.
Теорема Г [24]. Для m,n \in \BbbN выполняется оценка
d[ mn
2
](B
m,n
1,\infty , lm,n
2,1 ) \geq C5n,
где C5 > 0 — абсолютная постоянная.
Теперь перейдем к формулировке и доказательству полученных результатов.
Теорема 8. Пусть 1 < p \leq 2, p \prime < q < \infty , r1 > 1 - 1
q
. Тогда при \theta \in (q,\infty ) справедлива
оценка
\lambda M (Br
p,\theta , Lq) \asymp (M - 1 \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\nu - 1M)r1 - 1/2+1/q(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\nu - 1M)1/q - 1/\theta , (18)
где
1
p \prime +
1
p
= 1.
Доказательство. Оценка сверху получена в [4]. При доказательстве в (18) оценки снизу
до определенного места нужно повторить схему рассуждений, которая применялась в [4]. Сле-
довательно, мы остановимся только на том изменении в заключительной части доказательства,
которое позволило получить более точную оценку снизу величины \lambda M (Br
p,\theta , Lq).
Итак, предварительно заметим, что искомую оценку достаточно получить при p = 2 и
\nu = d.
Выберем число \mu \in \BbbN из соотношения M \asymp 2\mu \mu d - 1 так, чтобы количество элементов
множества Q\mu =
\bigcup
s\in \Omega \mu
\rho (s) было не меньше 2M (здесь \Omega \mu — набор векторов s = (s1, . . . , sd),
sj \in \BbbN , j = 1, d, вида \Omega \mu = \{ s : (s, 1) = \mu \} ). Заметим, что | \Omega \mu | \asymp \mu d - 1.
В [4] с помощью метода дискретизации получено соотношение
\lambda M (Br
2,\theta , Lq) \gg 2 - \mu (r1 - 1/2+1/q) | \Omega \mu | 1/q - 1/\theta - 1 dM
\Bigl(
B
2\mu ,| \Omega \mu |
1,\infty , l
2\mu ,| \Omega \mu |
2,1
\Bigr)
. (19)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
680 А. С. РОМАНЮК
Далее, применив к последнему множителю правой части (19) теорему Г и выполнив соответ-
ствующие преобразования, будем иметь
\lambda M (Br
p,\theta , Lq) \gg \lambda M (Br
2,\theta , Lq) \gg 2 - \mu (r1 - 1/2+1/q) | \Omega \mu | 1/q - 1/\theta - 1 | \Omega \mu | =
= 2 - \mu (r1 - 1/2+1/q) | \Omega \mu | 1/q - 1/\theta \asymp (M - 1 \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}d - 1M)r1 - 1/2+1/q (\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}d - 1M)1/q - 1/\theta .
Теорема доказана.
Прокомментируем полученный результат.
Во-первых, порядок поперечников \lambda M (Br
p,\theta , Lq) для тех значений параметров p, q, r1, \theta ,
которые рассмотрены в теореме 8, не реализуется M -мерным подпространством тригономет-
рических полиномов с „номерами” гармоник из ступенчатых гиперболических крестов [19].
Во-вторых, оценка (18) отличается по порядку от соответствующей оценки колмогоровского
поперечника dM (Br
p,\theta , Lq) (см., например, [10], § 4.2).
Теорема 9. Пусть 2 \leq p < q < \infty , r1 >
1
p
- 1
q
. Тогда при \theta \in (q,\infty ) справедлива оценка
\lambda M (Br
p,\theta , Lq) \asymp (M - 1 \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\nu - 1M)r1 - 1/p+1/q (\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\nu - 1M)1/q - 1/\theta . (20)
Доказательство. Оценка сверху получена в [4]. Для установления в (20) оценки снизу,
воспользовавшись вложением B
r - 1/p+1/2
2,\theta \subset Br
p,\theta и теоремой 8, будем иметь
\lambda M
\bigl(
Br
p,\theta , Lq
\bigr)
\gg \lambda M
\bigl(
B
r - 1/p+1/2
2,\theta , Lq
\bigr)
\gg
\gg (M - 1 \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\nu - 1M)r1 - 1/p+1/q (\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\nu - 1M)1/q - 1/\theta .
Теорема доказана.
Заметим, что в (20), в отличие от оценки (18), порядок величины \lambda M (Br
p,\theta , Lq) реализу-
ется M -мерным подпространством тригонометрических полиномов с „номерами” гармоник
из ступенчатых гиперболических крестов [19]. Кроме того, при выполнении условий теоремы
9 на параметры p, q, \theta и при r1 >
1/p - 1/q
1 - 2/q
поперечники \lambda M (Br
p,\theta , Lq) и dM (Br
p,\theta , Lq) (см.
[10], § 4.2) имеют разные порядки. Отметим также, что при 2 \leq p < q < \infty , 1 \leq \theta < \infty и
1
p
- 1
q
< r1 \leq
1/p - 1/q
1 - 2/q
порядок колмогоровского поперечника dM (Br
p,\theta , Lq) не известен.
В заключение, объединив теоремы 8, 9 с соответствующими оценками, полученными в [3]
для других значений параметра \theta , можно сформулировать два общих утверждения.
Теорема 8\prime . Пусть 1 < p \leq 2, p \prime < q < \infty , r1 > 1 - 1
q
. Тогда при \theta \in [2,\infty ) имеет место
оценка
\lambda M (Br
p,\theta , Lq) \asymp (M - 1 \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\nu - 1M)r1 - 1/2+1/q (\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\nu - 1M)(1/q - 1/\theta )+ ,
где a+ = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ a, 0\} .
Теорема 9\prime . Пусть 2 \leq p < q < \infty , r1 >
1
p
- 1
q
. Тогда при \theta \in [2,\infty ) справедливо
соотношение
\lambda M (Br
p,\theta , Lq) \asymp (M - 1 \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\nu - 1M)r1 - 1/p+1/q (\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\nu - 1M)(1/q - 1/\theta )+ .
Замечание 5. Вопрос о порядках линейных поперечников \lambda M (Br
p,\theta , Lq) при \theta \in [1, 2) и
условиях теорем 8\prime , 9\prime на другие параметры в случае d \geq 2 остается открытым.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ И ЛИНЕЙНЫЕ ПОПЕРЕЧНИКИ КЛАССОВ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ . . . 681
Литература
1. Романюк А. С. Колмогоровские и тригонометрические поперечники классов Бесова Br
p,\theta периодических
функций многих переменных // Мат. сб. – 2006. – 197, № 1. – С. 71 – 96.
2. Романюк А. С. Наилучшие приближения и поперечники классов периодических функций многих перемен-
ных // Мат. сб. – 2008. – 199, № 2. – С. 93 – 114.
3. Романюк А. С. Поперечники и наилучшее приближение классов Br
p,\theta периодических функций многих пере-
менных // Anal. Math. – 2011. – 37. – P. 181 – 213.
4. Романюк А. С. К вопросу о линейных поперечниках классов Br
p,\theta периодических функций многих перемен-
ных // Укр. мат. журн. – 2014. – 66, № 7. – С. 970 – 982.
5. Романюк А. С. Энтропийные числа и поперечники классов Br
p,\theta периодических функций многих перемен-
ных // Укр. мат. журн. – 2016. – 68, № 10. – С. 1403 – 1417.
6. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. – М.: Наука, 1969. – 480 с.
7. Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. – М.:
Наука, 1975. – 480 с.
8. Аманов Т. И. Пространства дифференцируемых функций с доминирующей смешанной производной. – Алма-
Ата: Наука, 1976. – 224 с.
9. Темляков В. Н. Приближение функций с ограниченной смешанной производной // Тр. Мат. ин-та АН СССР. –
1986. – 178. – С. 1 – 112.
10. Романюк А. С. Аппроксимативные характеристики классов периодических функций многих переменных //
Пр. Iн-ту математики НАН України. – 2012. – 93. – 352 c.
11. Ding D., Temlyakov V. N., Ullrich T. Hyperbolic cross approximation // arXiv: 1601. 03978 v 2[math. NA] 2 Dec.
2016.
12. Лизоркин П. И., Никольский С. М. Пространства функций смешанной гладкости с декомпозиционной точки
зрения // Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1989. – 187. – С. 143 – 161.
13. Исмагилов Р. С. Поперечники множеств в линейных нормированных пространствах и приближение функций
тригонометрическими многочленами // Успехи мат. наук. – 1974. – 29, № 3. – С. 161 – 178.
14. Стечкин С. Б. Об абсолютной сходимости ортогональных рядов // Докл. АН СССР. – 1955. – 102, № 1. –
С. 37 – 40.
15. Романюк А. С. Наилучшие M -членные тригонометрические приближения классов Бесова периодических
функций многих переменных // Изв. РАН. Сер. мат. – 2003. – 67, № 2. – С. 61 – 100.
16. Kolmogoroff A. Über die beste Annüherung von Funktionen einer gegeben Funktionenklasse // Ann. Math. – 1936.
– 37. – S. 107 – 111.
17. Тихомиров В. М. Поперечники множеств в функциональных пространствах и теория наилучших приближе-
ний // Успехи мат. наук. – 1960. – 15, № 3. – С. 81 – 120.
18. Галеев Э. М. Линейные поперечники классов Гельдера – Никольского периодических функций многих пере-
менных // Мат. заметки. – 1996. – 59, № 2. – С. 189 – 199.
19. Романюк А. С. Приближение классов Бесова периодических функций многих переменных в пространст-
ве Lq // Укр. мат. журн. – 1991. – 43, № 10. – С. 1398 – 1408.
20. Темляков В. Н. Оценки асимптотических характеристик классов функций с ограниченной смешанной произ-
водной или разностью // Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1989. – 189. – С. 138 – 168.
21. Кашин Б. С., Темляков В. Н. О наилучших m-членных приближениях и энтропии множеств в пространстве
L1 // Мат. заметки. – 1994. – 56, № 5. – С. 57 – 86.
22. Романюк А. С. Приближение классов Br
p,\theta периодических функций многих переменных линейными методами
и наилучшие приближения // Мат. сб. – 2004. – 195, № 2. – С. 91 – 116.
23. De Vore R. A., Temlyakov V. N. Nonlinear approximation by trigonometric sums // Fourier Anal. Appl. – 1995. – 2. –
№ 1. – P. 29 – 48.
24. Малыхин Ю. В., Рютин К. С. Произведение октаэдров плохо приближается в метрике l2,1 // Мат. заметки. –
2017. – 101, № 1. – С. 85 – 90.
Получено 20.02.17
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
|
| id | umjimathkievua-article-1726 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:11:27Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/4a/4c8628131d825db32efa2a48f3aeec4a.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-17262019-12-05T09:24:56Z Trigonometric and linear widths for the classes of periodic multivariable functions Тригонометрические и линейные поперечники классов периодических функций многих переменных Romanyuk, A. S. Романюк, А. С. Романюк, А. С. We establish the exact-order estimates for the trigonometric widths of Nikol’skii – Besov $B^r_{\infty ,\theta}$ and Sobolev $W^r_{\infty, \alpha} $ classes of periodic multivariable functions in the space $L_q,\; 1 < q < \infty$. The behavior of the linear widths of Nikol’skii – Besov $B^r_{\infty ,\theta}$ classes in the space $L_q$ is investigated for certain relations between the parameters $p$ and $q$. Встановлено точнi за порядком оцiнки тригонометричних поперечникiв класiв Нiкольського – Бєсова $B^r_{\infty ,\theta}$ i Соболєва $W^r_{\infty, \alpha} $ перiодичних функцiй багатьох змiнних у просторi $L_q,\; 1 < q < \infty$. Дослiджено поведiнку лiнiйних поперечникiв класiв Нiкольського – Бєсова $B^r_{\infty ,\theta}$ у просторi $L_q$ для деяких спiввiдношень мiж параметрами $p$ i $q$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2017-05-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1726 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 69 No. 5 (2017); 670-681 Український математичний журнал; Том 69 № 5 (2017); 670-681 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1726/708 Copyright (c) 2017 Romanyuk A. S. |
| spellingShingle | Romanyuk, A. S. Романюк, А. С. Романюк, А. С. Trigonometric and linear widths for the classes of periodic multivariable functions |
| title | Trigonometric and linear widths for the classes of periodic multivariable
functions |
| title_alt | Тригонометрические и линейные поперечники классов периодических
функций многих переменных |
| title_full | Trigonometric and linear widths for the classes of periodic multivariable
functions |
| title_fullStr | Trigonometric and linear widths for the classes of periodic multivariable
functions |
| title_full_unstemmed | Trigonometric and linear widths for the classes of periodic multivariable
functions |
| title_short | Trigonometric and linear widths for the classes of periodic multivariable
functions |
| title_sort | trigonometric and linear widths for the classes of periodic multivariable
functions |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1726 |
| work_keys_str_mv | AT romanyukas trigonometricandlinearwidthsfortheclassesofperiodicmultivariablefunctions AT romanûkas trigonometricandlinearwidthsfortheclassesofperiodicmultivariablefunctions AT romanûkas trigonometricandlinearwidthsfortheclassesofperiodicmultivariablefunctions AT romanyukas trigonometričeskieilinejnyepoperečnikiklassovperiodičeskihfunkcijmnogihperemennyh AT romanûkas trigonometričeskieilinejnyepoperečnikiklassovperiodičeskihfunkcijmnogihperemennyh AT romanûkas trigonometričeskieilinejnyepoperečnikiklassovperiodičeskihfunkcijmnogihperemennyh |