A generalized theorem of mean values of an analytic function and an algorism of the determination of mean values
We prove the mean-value theorem for functions analytic in starlike domains, propose an algorithm for finding the function of mean values, and study its analytic continuation. We present a differential equation for the function of mean values and the interpretation of the Lagrange formula for analyti...
Gespeichert in:
| Datum: | 2017 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2017
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1734 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507582487068672 |
|---|---|
| author | Samoilenko, A. M. Самойленко, А. М. |
| author_facet | Samoilenko, A. M. Самойленко, А. М. |
| author_sort | Samoilenko, A. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:25:15Z |
| description | We prove the mean-value theorem for functions analytic in starlike domains, propose an algorithm for finding the function
of mean values, and study its analytic continuation. We present a differential equation for the function of mean values and
the interpretation of the Lagrange formula for analytic functions in terms of the theory of differential equations. The set
of points of the initial values of the function of mean values is analyzed and the upper of the radius of expansion of the
function of mean values in Taylor’s series is established. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:11:36Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.51
А. М. Самойленко (Iн-т математики НАН України, Київ)
УЗАГАЛЬНЕНА ТЕОРЕМА ПРО СЕРЕДНI ЗНАЧЕННЯ
ДЛЯ АНАЛIТИЧНОЇ ФУНКЦIЇ
ТА АЛГОРИТМ ВИЗНАЧЕННЯ ФУНКЦIЇ СЕРЕДНIХ ЗНАЧЕНЬ
We prove the mean-value theorem for functions analytic in starlike domains, propose an algorithm for finding the function
of mean values, and study its analytic continuation. We present a differential equation for the function of mean values and
the interpretation of the Lagrange formula for analytic functions in terms of the theory of differential equations. The set
of points of the initial values of the function of mean values is analyzed and the upper of the radius of expansion of the
function of mean values in Taylor’s series is established.
Доказана теорема о средних значениях для аналитической в звездной области функции, приведен алгоритм нахож-
дения функции средних значений и исследовано ее аналитическое продолжение. Приведены дифференциальное
уравнение для функции средних значений и интерпретация формулы Лагранжа для аналитических функций в
терминах теории дифференциальных уравнений. Проведен анализ множества точек начальных значений функции
средних значений и получена оценка сверху радиуса разложения функции средних значений в ряд Тейлора.
У данiй роботi, як i в [1], мова йтиме про поширення теореми Лагранжа про середнi значення,
тобто рiвняння
f(z) - f(0)
z
= f \prime (s) (1)
на випадок, коли f — аналiтична функцiя для z iз зiркової областi D комплексної площини \BbbC з
центром у точцi 0. Умова бути „теоремою про середнi значення”, що накладається на рiвняння
(1), з якого визначається це значення s(z), у цiй роботi, як i в [1], обмежує розгляд рiвняння
(1) умовою
| s| < | z| (2)
для кожного z \not = 0 iз областi D.
В данiй роботi узагальнено об’єднання результатiв [1], що наведенi в теоремi 2 та наслiдку 4.
Iз робiт на цю тему iнших авторiв вiдмiтимо роботи [2 – 4], якi стосуються лише окремих
реалiзацiй формули (1) для аналiтичної функцiї й не мають такого загального, як результат
роботи [1], характеру.
Теорема 1. Нехай f : z \rightarrow f(z) — однозначна, нелiнiйна та аналiтична для z iз круга
| z| < r (3)
функцiя. Тодi в деякому околi
| z| < r\prime < r (4)
точки 0 для кожного z знайдеться одне i лише одне n-значне s(z),
n = \mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}f \prime (0) \in \BbbN , (5)
c\bigcirc А. М. САМОЙЛЕНКО, 2017
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6 765
766 А. М. САМОЙЛЕНКО
таке, що
f(z) = f(0) + f \prime (s(z))z, | s(z)| < | z| . (6)
Функцiя s : z \rightarrow s(z) є єдиним n-значним аналiтичним для z iз круга | z| < r\prime розв’язком задачi
zf \prime (s) = f(z) - f(0), | s| < | z| ,
s(0) = 0, s\prime (0) = rne
2\pi k - 1
n
i, k = 1, n,
rn =
1
n
\surd
n+ 1
,
таким, що \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
1\int
0
s\prime (z\tau )d\tau - s\prime (0)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| < r\prime n < 1 - rn
для z iз круга | z| < r\prime .
Тут, як i в роботi [1], \mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}f \prime (0) — тейлорiв iндекс функцiї f у точцi 0, який визначається як
найменше цiле k \geq 1, для якого f (k)(0) \not = 0.
Виняток у теоремi для лiнiйної функцiї пов’язаний з тим, що рiвняння в теоремi для та-
кої функцiї стає тотожнiстю, що задовольняється довiльною функцiєю s. Бiльш того, лiнiйна
функцiя — єдина з аналiтичних для z iз околу точки 0 функцiй, для якої
\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}f \prime (0) = \infty ,
отже, для неї \mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}f \prime (0) /\in \BbbN .
У данiй роботi детально дослiджено окремi питання, пов’язанi з теоремою 1, зокрема,
наведено алгоритм визначення функцiї середнiх значень, аналiз множини точок g\prime (0) та много-
кутникiв у \BbbR 2 з вершинами в точках цiєї множини, питання аналiтичного продовження функцiї
s в ряд Маклорена з оцiнками значення r\prime , деякi iнтерпретацiї результатiв роботи та деякi
iлюстративнi приклади.
Згiдно з теоремою 1
g\prime (0) = rne
2\pi k - 1
n
i, k = 1, n, (7)
rn =
1
n
\surd
n+ 1
, n \in \BbbN . (8)
Розглянемо множину точок (7), як точок \BbbR 2 з координатами
rn
\biggl(
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} 2\pi
k - 1
n
, \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2\pi
k - 1
n
\biggr)
. (9)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
УЗАГАЛЬНЕНА ТЕОРЕМА ПРО СЕРЕДНI ЗНАЧЕННЯ ДЛЯ АНАЛIТИЧНОЇ ФУНКЦIЇ . . . 767
Цi точки \BbbR 2 лежать на колах
Kn : | z| = rn. (10)
Оскiльки
rn =
1
n
\surd
n+ 1
, n \in \BbbN , (11)
то кола Kn лежать у кiльцi
1
2
\leq | z| < 1. (12)
Бiльш того, оскiльки для n \geq 2
\mathrm{l}\mathrm{n}
rn+1
rn
= \mathrm{l}\mathrm{n} rn+1 - \mathrm{l}\mathrm{n} rn =
1
n
\mathrm{l}\mathrm{n} (n+ 1) - 1
n+ 1
\mathrm{l}\mathrm{n} (n+ 2) =
=
1
n
\mathrm{l}\mathrm{n} (n+ 1) - 1
n+ 1
\mathrm{l}\mathrm{n} (n+ 1) -
- 1
n+ 1
\mathrm{l}\mathrm{n}
\biggl(
1 +
1
n+ 1
\biggr)
=
\biggl(
1
n
- 1
n+ 1
\biggr)
\mathrm{l}\mathrm{n}(n+ 1) -
- 1
n+ 1
\mathrm{l}\mathrm{n}
\biggl(
1 +
1
n+ 1
\biggr)
=
1
n(n+ 1)
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}n+ \mathrm{l}\mathrm{n}
\biggl(
1 +
1
n+ 1
\biggr) \biggr)
-
- 1
n+ 1
\mathrm{l}\mathrm{n}
\biggl(
1 +
1
n+ 1
\biggr)
=
1
n+ 1
\left( \mathrm{l}\mathrm{n}n
n
+
\mathrm{l}\mathrm{n}
\biggl(
1 +
1
n
\biggr)
n
- \mathrm{l}\mathrm{n}
\biggl(
1 +
1
n+ 1
\biggr) \right) >
>
1
n+ 1
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}n
n
- 1
n
\biggl(
1 - 1
2(n+ 1)
+ . . .
\biggr) \biggr)
>
>
1
n+ 1
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}n
n
- 1
n
\biggr)
=
1
n(n+ 1)
(\mathrm{l}\mathrm{n}n - 1) > 0, (13)
то для n \geq 2
rn < rn+1. (14)
Отже, в кiльцi (12) коло Kn+1 лежить ззовнi кола Kn, а оскiльки
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
rn = elimn\rightarrow \infty
1
n
ln (n+1) = 1, (15)
то кола Kn стягуються при n \rightarrow \infty до одиничного кола | z| = 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
768 А. М. САМОЙЛЕНКО
Згiдно з викладеним, rn утворюють монотонно зростаючу послiдовнiсть
1
2
<
1\surd
3
<
1
3
\surd
4
< . . . <
1
n
\surd
n+ 1
< . . . < \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
1
n
\surd
n+ 1
= 1. (16)
Точки (7) лежать на колi Kn в \BbbR 2 та дiлять його на n рiвних дуг. З’єднавши сусiднi з
них хордами, отримаємо правильнi вiртуальнi n-кутники в \BbbR 2 для довiльного n \geq 3, вiдрiзок\biggl[
- 1\surd
3
;
1\surd
3
\biggr]
для n = 2 та точку
1
2
для n = 1 з вершинами в точках (7) на колi Kn. Знайдемо
довжину dn сторони n-кутника. Вона, очевидно, дорiвнює довжинi вiдрiзка, що з’єднує точки
rn
\biggl(
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
2\pi
n
, \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
2\pi
n
\biggr)
та (1; 0). Отже, для n \geq 2
d2n = r2n
\Biggl( \biggl(
1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
2\pi
n
\biggr) 2
+ \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2
2\pi
n
\Biggr)
= 2r2n
\biggl(
1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
2\pi
n
\biggr)
= 4r2n \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
2 \pi
n
, (17)
dn = 2rn \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\pi
n
, n \geq 2.
Опишемо тепер кола навколо вершин n-кутника з центрами в цих вершинах i такi, щоб вони
лежали всерединi одиничного круга в \BbbR 2 : | z| = 1 та дотикалися до цього круга в однiй точцi.
Очевидно, це кола радiуса 1 - rn i вони найбiльшi по площi з кiл, що утворюють круговий окiл
навколо вершин n-кутника.
Вияснимо, чи перетинаються мiж собою кола з центрами в сусiднiх вершинах n-кутника.
Для цього порiвняємо довжину dn сторони n-кутника з дiаметром кола, описаного навколо його
вершини, з центром у нiй, рiвного 2(1 - rn), згiдно з побудовою. Отже, розглянемо порiвняння
dn \simeq 2(1 - rn), n \geq 2, (18)
де \simeq — знак порiвняння, який вiдповiдає потрiбному та означає <, > або = .
Очевиднi операцiї, якi можна робити з порiвняннями, — це операцiї, якi не змiнюють знак,
якому вiдповiдає порiвняння.
Згiдно iз викладеним та (17) для n \geq 2
rn \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\pi
n
\simeq (1 - rn), (19)
rn
\Bigl(
1 + \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\pi
n
\Bigr)
\simeq 1, (20)
або, позначивши rn через (n+ 1) - 1/n,
1 + \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\pi
n
(n+ 1)1/n
\simeq 1. (21)
Пiдрахунки показують, що порiвняння (21) набирає вигляду нерiвностей
1 + \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\pi
n
> (n+ 1)1/n (22)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
УЗАГАЛЬНЕНА ТЕОРЕМА ПРО СЕРЕДНI ЗНАЧЕННЯ ДЛЯ АНАЛIТИЧНОЇ ФУНКЦIЇ . . . 769
для n = 2, 16 та нерiвностей
1 + \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\pi
n
< (n+ 1)1/n (23)
для n = 17, 50. Це означає, що кола з центрами у вершинах n-кутника для n = 2, 16 не
перетинаються, а для n = 17, 50 — перетинаються.
Покажемо, що нерiвнiсть (23) виконується для довiльного n > 50. Для цього розглянемо
порiвняння
1 + \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\pi
n
- (n+ 1)1/n \simeq 0 (24)
для n > 50.
Нехай f : \BbbR \rightarrow \BbbR ,
f(x) = 1 + \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\pi
x
- (x+ 1)1/x, (25)
— функцiя, яка збiгається з лiвою частиною (24) для x = n. Оскiльки
f(1) = - 1, f(16) > 0, f(17) < 0, (26)
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow \infty
f(x) = 1 - \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow \infty
e
1
x
ln(x+1) = 0, (27)
то f \prime має нулi на пiвпрямiй x \geq 16. Знайдемо похiдну функцiї f. Згiдно з (25) маємо
f \prime (x) = - \pi
x2
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\pi
x
- (x+ 1)1/x
\biggl(
- 1
x2
\mathrm{l}\mathrm{n} (x+ 1) +
1
x(x+ 1)
\biggr)
=
=
1
x2
\biggl(
(x+ 1)1/x
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}(x+ 1) - x
x+ 1
\biggr)
- \pi \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\pi
x
\biggr)
. (28)
Отже,
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow \infty
x2f \prime (x) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow \infty
(\mathrm{l}\mathrm{n}(x+ 1) - (\pi + 1)) = \infty . (29)
Iз нерiвностей та граничних спiввiдношень (27) та (29) випливає, що функцiя f для x \geq 1
набуває як найбiльшого додатного, так i найменшого вiд’ємного значення, причому перше на
вiдрiзку [1, x1], 16 < x1 < 17, а друге на вiдрiзку [x1, x0], x0 \geq x1, де x0 визначається як
найбiльший iз нулiв функцiї f \prime умовами
f \prime (x0) = 0, f \prime (x) > 0, x > x0. (30)
Оскiльки згiдно з (28) для x \geq 2
x2f \prime (x) \geq \mathrm{l}\mathrm{n}(x+ 1) - (\pi + 1), (31)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
770 А. М. САМОЙЛЕНКО
то
f \prime (x) > 0, x > e\pi +1 - 1, (32)
отже,
x0 \leq e\pi +1 - 1. (33)
Запишемо далi рiвняння для x0 : згiдно з (28) та (30) для визначення x0 маємо рiвняння
(x+ 1)1/x
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}(x+ 1) - x
x+ 1
\biggr)
= \pi \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\pi
x
(34)
та оцiнку (33). Пiдрахунки показують, що
x0 < 47. (35)
Отже, для x \geq 47 має мiсце нерiвнiсть
f \prime (x) > 0, (36)
iнтегруючи яку, для x \geq 47 отримуємо
f(x) > f(x0), f(47) > f(x0). (37)
Оскiльки f(47) < 0, то iз (37) випливає, що
f(x0) < 0. (38)
Згiдно з (30), (38) та граничними значеннями iз (27), функцiя f монотонно зростає вiд f(x0)
до 0 при зростаннi x вiд x0 до \infty . Це доводить, що для n > 50
f(x) < 0. (39)
Отже,
f(x0) < 0, n \geq 17. (40)
Таким чином, ми отримали пiдсумовуюче твердження:
1 + \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\pi
n
> (n+ 1)1/n для n = 2, 16,
1 + \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\pi
n
< (n+ 1)1/n для n \geq 17,
з якого випливає, що
dn > 2(1 - rn) для n = 2, 16,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
УЗАГАЛЬНЕНА ТЕОРЕМА ПРО СЕРЕДНI ЗНАЧЕННЯ ДЛЯ АНАЛIТИЧНОЇ ФУНКЦIЇ . . . 771
dn < 2(1 - rn) для n \geq 17, (41)
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
dn = 0.
Отже, кола з центрами у вершинах n-кутника при n \geq 17 перетинаються, утворюючи
область в одиничному крузi з межею, утвореною дугами цих кiл, причому таку, що верхньою
своєю межею область дотикається одиничного кола в точках, що дiлять одиничне коло на n
рiвних частин.
Чи можлива побудова таких n-кутникiв в \BbbR 2? Вiдповiдь є очевидною: можлива, але лише
випадкова та з iмовiрнiстю нуль: достатньо в \BbbR 2 провести коло радiуса випадкової довжини та
зафiксувати на ньому випадково двi точки. Тодi з iмовiрнiстю нуль може трапитися, що радiус
такого кола дорiвнюватиме rn, вiдстань мiж точками дорiвнюватиме dn для деякого n \geq 3, а
побудований по rn та dn n-кутник буде правильним. Теорiя ймовiрностей визначає можливiсть
такої побудови з нульовою ймовiрнiстю, але не виключає можливiсть такої побудови, бо така
подiя є серед iмовiрних подiй.
Чому лише випадкова? Доводить це наступний факт: для тих n, для яких одиничне коло
дiлиться на n рiвних частин, можна побудувати правильнi n-кутники в \BbbR 2; для побудови наших
n-кутникiв, а побудова їх, як було зазначено, можлива саме для таких n, потрiбно ще провести
в \BbbR 2 коло радiуса rn =
1
n
\surd
n+ 1
, концентричне до одиничного кола, а це вимагає видiлення з
одиничного вiдрiзка вiдрiзка довжиною rn, тобто вимагає дiлення вiдрiзка одиничної довжини
на n
\surd
n+ 1 частин, що неможливо внаслiдок iррацiональностi числа n
\surd
n+ 1 для n \geq 2.
Неможливiсть побудови в \BbbR 2 таких n-кутникiв є причиною для того, щоб назвати їх пра-
вильними вiртуальними n-кутниками.
Нехай r — радiус круга з центром у центрi областi D, найбiльший iз можливих, що забез-
печують належнiсть круга
| z| < r (42)
зiрковiй областi D \subset \BbbC .
Запишемо формулу Лагранжа про середнє значення
f(z) - f(0)
z
= f \prime (s),
використавши рiвнiсть
f(z) - f(0) =
1\int
0
d
d\tau
f(z\tau )d\tau =
1\int
0
f \prime (z\tau )d\tau z,
у виглядi рiвняння вiдносно s
f \prime (s) =
1\int
0
f \prime (z\tau )d\tau (43)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
772 А. М. САМОЙЛЕНКО
та замiнимо в отриманому рiвняннi s на zw. Отже, покладемо
s = zw (44)
та отримаємо (43) у виглядi рiвняння
f \prime (zw) =
1\int
0
f \prime (z\tau )d\tau . (45)
Врахуємо обмеження теореми 1, яке для w перетворюється на умову | w| < 1, та розглянемо
(45) в областi
| z| < r, | w| < 1 (46)
простору \BbbC 2. Очевидно, що як функцiя f \prime : (z, w) \rightarrow f \prime (zw) є аналiтичною по обох змiнних
(z, w) в областi (46) простору \BbbC 2, так i функцiя f \prime : (z, \tau ) \rightarrow f \prime (z\tau ) є аналiтичною по обох
змiнних (z, \tau ) в областi
| z| < r, \tau \in (0, 1), (47)
простору \BbbC \times \BbbR . Iз аналiтичностi функцiї f \prime у крузi
| z| < r (48)
випливає, що ряд Маклорена цiєї функцiї збiгається до самої функцiї для z iз круга (48), при
цьому рiвномiрно в будь-якому компактi, що знаходиться всерединi круга (48).
Це дозволяє, враховуючи порядок функцiї f \prime в точцi 0, записати (45) через ряди Маклорена
вiдповiдних функцiй у виглядi
\sum
n
f (k+1)
k!
zkwk =
\sum
n
f (k+1)
(k + 1)!
zk (49)
або пiсля скорочення на z \not = 0 у виглядi
wn
\sum
n+1
f (k)
(k - 1)!
(zw)k - (n+1) =
\sum
n+1
f (k)
k!
zk - (n+1) (50)
i нарештi у виглядi
wn
\sum
0
f (k+n+1)
(k + n)!
zkwk =
\sum
0
f (k+n+1)
(k + n+ 1)!
zk, (51)
де позначено
f (k) = f (k)(0), k = n+ 1, n+ 2, . . . .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
УЗАГАЛЬНЕНА ТЕОРЕМА ПРО СЕРЕДНI ЗНАЧЕННЯ ДЛЯ АНАЛIТИЧНОЇ ФУНКЦIЇ . . . 773
При z = 0 рiвняння (51) набирає вигляду
wn f
(n+1)
n!
=
f (n+1)
(n+ 1)!
, (52)
i оскiльки, згiдно з визначенням порядку функцiї f \prime в точцi 0,
f (n+1) \not = 0, (53)
то (52) переходить у рiвняння
wn =
1
n+ 1
. (54)
Отже, n i лише n рiзних значень w0 при z = 0 задовольняють рiвняння (51) i цi значення
— це
rne
2\pi k - 1
n
i, k = 1, n. (55)
Розглянемо рiвняння (51) у околi
| z| < r, | w - w0| < 1 - rn (56)
точки (0, w0) \in \BbbC 2, де w0 — довiльне iз значень (55).
Для кожного z iз круга (42) точки круга
| w - w0| < 1 - rn (57)
знаходяться всерединi одиничного круга
| w| < 1, (58)
а границя круга (57) дотикається границi одиничного круга (58) в однiй точцi.
Нарештi, похiдна по w лiвої частини рiвняння (51) в точцi (0, w0) не дорiвнює нулевi:
nwn - 1
0
f (n+1)
n!
\not = 0, (59)
згiдно з визначенням \mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}f \prime (0), а правої — дорiвнює нулевi. Це доводить, що рiвняння (51)
задовольняє всi умови теореми про неявну функцiю [5]. Згiдно з цiєю теоремою, в деякому
околi
| z| < r\prime , | w - w0| < r\prime n < 1 - rn, (60)
точки (0, w0) рiвняння (51) для кожного z має один i лише один розв’язок w(z). Цей розв’язок
є аналiтичною для z iз круга
| z| < r\prime (61)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
774 А. М. САМОЙЛЕНКО
функцiєю i неявною функцiєю, що визначається рiвнянням (51), умовою (60) для w(z) та
початковою умовою
w(0) = w0. (62)
Оскiльки з нерiвностi (60) для w(z) випливає нерiвнiсть для s(z) вигляду
| s(z)| = | zw(z)| = | z| | w(z) - w0 + w0| \leq
\leq | z| (| w(z) - w0| + | w0| ) \leq | z|
\bigl(
r\prime n + rn
\bigr)
<
< | z| (1 - rn + rn) \leq | z| (63)
для кожного z iз круга (61), то iз (60) випливає нерiвнiсть iз теореми 1
| s(z)| < | z| .
Запишемо оцiнку (60), врахувавши замiну (44):
s(z) = zw(z), w(z) =
s(z)
z
, (64)
отже, маючи рiвнiсть
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| s(z)z - w(0)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| =
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
1\int
0
s\prime (z\tau )d\tau - s\prime (0)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| , (65)
у виглядi \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
1\int
0
s\prime (z\tau )d\tau - s\prime (0)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| < r\prime n < 1 - rn. (66)
Нерiвнiсть (66) доводить другу iз нерiвностей iз теореми 1, що i завершує доведення теореми 1.
Наведемо алгоритм визначення функцiї середнiх значень. Для цього запишемо тотожнiсть, в
яку перетворюється рiвняння (51) пiсля пiдстановки в нього w(z). Для n = 1 це буде тотожнiсть
w(z)
\Biggl(
f (2) +
\sum
1
f (k+2)
(k + 1)!
zkwk(z)
\Biggr)
=
f (2)
2
+
\sum
1
f (k+2)
(k + 2)!
zk. (67)
Здиференцiюємо (67) та отримаємо
w\prime (0)f (2) + w2(0)
f (3)
2
=
f (3)
3!
. (68)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
УЗАГАЛЬНЕНА ТЕОРЕМА ПРО СЕРЕДНI ЗНАЧЕННЯ ДЛЯ АНАЛIТИЧНОЇ ФУНКЦIЇ . . . 775
Оскiльки f (2) \not = 0, iз (68) знаходимо
w\prime (0) =
f (3)
24f (2)
. (69)
Здиференцiюємо (67) двiчi та одержимо
w\prime \prime (0)f (2) + 2w\prime (0)
\Biggl(
f (2) +
f (3)
2!
zw +
f (4)
3!
z2w2
\Biggr) \prime
0
+
+w(0)
\Biggl(
f (2) +
f (3)
2!
zw +
f (4)
3!
z2w2
\Biggr) \prime \prime
0
=
f (4)2!
4!
. (70)
Далi знаходимо коефiцiєнт при 2w\prime (0) у формулi (70)
f (3)
2
w(0) =
f (3)
4
(71)
та при w(0)
f (3)
2!
2w\prime (0) +
f (4)2!
3!
w2(0) = f (3)w\prime (0) +
f (4)
12
. (72)
Отже, формула (70) з урахуванням рiвностей (71), (72) набирає вигляду
w\prime \prime (0)f (2) + w\prime (0)
f (3)
2
+ w\prime (0)
f (3)
2
+
f (4)
24
=
f (4)
12
. (73)
Iз (73) визначаємо w\prime \prime (0):
w\prime \prime (0) =
1
24f (2)
\Bigl(
f (4) - 24w\prime (0)f (3)
\Bigr)
. (74)
З урахуванням (69) iз (74) отримуємо
w\prime \prime (0) =
1
24f (2)
\Biggl(
f (4) - (f (3))2
f (2)
\Biggr)
. (75)
Здиференцiюємо тотожнiсть (67) k \geq 3 разiв та отримаємо, згiдно з формулою Лейбнiца,
рiвнiсть
w(k)(0)f (2) +
k\sum
\nu =1
C\nu
kw
(k - \nu )(0)
\nu \sum
j=1
f (j+2)
(j + 1)!
(zjwj(z))
(\nu )
0 =
k!
(k + 2)!
f (k+2). (76)
Оскiльки
(zjwj(z))
(\nu )
0 =
\nu \sum
n=0
Cn
\nu (w
j)
(\nu - n)
0 (zj)
(n)
0 = Cj
\nu (w
j)
(\nu - j)
0 j!, (77)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
776 А. М. САМОЙЛЕНКО
то (76) набирає вигляду
w(k)(0)f (2) +
k\sum
\nu =1
C\nu
kw
(k - \nu )(0)
\nu \sum
j=1
Cj
\nu (w
j)
(\nu - j)
0
f (j+2)
j + 1
=
f (k+2)
(k + 1)(k + 2)
. (78)
Отже,
w(k)(0) =
1
f (2)
\left\{ f (k+2)
(k + 1)(k + 2)
-
k\sum
\nu =1
\nu \sum
j=1
C\nu
kC
j
\nu w
(k - \nu )(0)(wj)
(\nu - j)
0
f (j+2)
j + 1
\right\} . (79)
Введемо позначення
Pj\nu = (wj)
(\nu )
0 . (80)
Тодi формула (79) набере вигляду
w(k)(0) =
1
f (2)
\left\{ f (k+2)
(k + 1)(k + 2)
-
k\sum
\nu =1
\nu \sum
j=1
C\nu
kC
j
\nu Pj(\nu - j)w
(k - \nu )(0)
f (j+2)
j + 1
\right\} (81)
з поки що не визначеними коефiцiєнтами (80). Згiдно з позначеннями (80)
Pj0 = wj(0), P1\nu = w(\nu )(0), (82)
i формулу (81) можемо записати у виглядi
w(k)(0) =
1
f (2)
\Biggl\{
f (k+2)
(k + 1)(k + 2)
-
k\sum
\nu =2
\nu \sum
j=1
C\nu
kC
j
\nu Pj(\nu - j)w
(k - \nu )(0)
f (j+2)
j + 1
-
- C1
kC
1
1w(0)w
(k - 1)(0)
f (3)
2
\Biggr\}
=
1
f (2)
\Biggl\{
f (k+2)
(k + 1)(k + 2)
-
-
k\sum
\nu =2
\nu \sum
j=2
C\nu
kC
j
\nu Pj(\nu - j)w
(k - \nu )(0)
f (j+2)
j + 1
-
k\sum
\nu =2
C\nu
kC
1
\nu w
(\nu - 1)(0)w(k - \nu )(0)
f (3)
2
-
- w(0)w(k - 1)(0)
kf (3)
2
\Biggr\}
=
1
f (2)
\Biggl\{
f (k+2)
(k + 1)(k + 2)
-
-
k\sum
\nu =3
\left( \nu \sum
j=2
C\nu
kC
j
\nu Pj(\nu - j)w
(k - \nu )(0)
f (j+2)
j + 1
- C2
kw
2(0)w(k - 2)(0)
f (4)
3
\right) -
-
k\sum
\nu =2
C\nu
kw
(\nu - 1)(0)w(k - \nu )(0)
\nu f (3)
2
- w(k - 1)(0)
kf (3)
22
\Biggr\}
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
УЗАГАЛЬНЕНА ТЕОРЕМА ПРО СЕРЕДНI ЗНАЧЕННЯ ДЛЯ АНАЛIТИЧНОЇ ФУНКЦIЇ . . . 777
=
1
f (2)
\Biggl\{
f (k+2)
(k + 1)(k + 2)
-
k\sum
\nu =3
\nu \sum
j=2
C\nu
kC
j
\nu Pj(\nu - j)w
(k - \nu )(0)
f (j+2)
j + 1
-
- C2
kw
(k - 2)(0)
f (4)
12
-
k\sum
\nu =2
C\nu
kw
(\nu - 1)(0)w(k - \nu )(0)
\nu f (3)
2
- w(k - 1)(0)
kf (3)
4
\Biggr\}
. (83)
Формула (83) визначає w(k)(0) по w(j)(0) з j = 1, k - 1 та по Pj(\nu - j) з \nu = 3, k, j = 2, \nu .
Згiдно з позначенням (80)
Pj(\nu - j) = (wj)(\nu - j)(0) (84)
дорiвнює значенню (\nu - j)-ї похiдної функцiї wj : z \rightarrow wj(z) у точцi 0, i оскiльки \nu - j, згiдно
з (83), не перевищує k - 2, то Pj(\nu - j) визначається по w(0), w\prime (0), . . . , w(k - 2)(0).
Таким чином, формула (83) визначає w(k)(0) для k \geq 3 по w(0), . . . , w(k - 2)(0) та Pj\nu з
j = 3, k, \nu = 2, j.
Для визначення коефiцiєнтiв Pj\nu , що входять у формулу (83), для k \geq 3 використаємо
формулу Лейбнiца, згiдно з якою для j \geq \nu > 0
Pj\nu = (wj)(\nu )(0) = j(wj - 1w\prime )(\nu - 1)(0). (85)
Отже, для \nu = 1
Pj\nu = jwj - 1(0)w\prime (0) =
j
2j - 1
w\prime (0) =
j
2j - 1
P11, (86)
для \nu \geq 2
Pj\nu = j
\Biggl\{
(wj - 1)(\nu - 1)(0)w\prime (0) +
\nu - 1\sum
m=1
Cm
\nu - 1(w
j - 1)(\nu - m - 1)(0)w(m+1)(0)
\Biggr\}
=
= j
\Biggl\{
P(j - 1)(\nu - 1)P11 +
\nu - 1\sum
m=1
Cm
\nu - 1P(j - 1)(\nu - m - 1)P1(m+1)
\Biggr\}
. (87)
Таким чином, ми отримали рекурентне спiввiдношення для коефiцiєнтiв Pj\nu (87) i завер-
шили алгоритм визначення функцiї середнiх значень у випадку n = 1.
Цей алгоритм утворюють формули (69), (75) для знаходження w\prime (0), w\prime \prime (0) та (83), (86),
(87) для знаходження w(k)(0) при k \geq 3.
Нехай n \geq 2. Тодi тотожнiсть (51) набирає вигляду
wn(z)
\left( f (n+1)
n!
+
\sum
j=1
f (j+n+1)
(j + n)!
zjwj
\right) =
f (n+1)
(n+ 1)!
+
\sum
j=1
f (j+n+1)
(j + n+ 1)!
zj . (88)
Здиференцiюємо (88) та отримаємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
778 А. М. САМОЙЛЕНКО
nwn - 1
0 w\prime (0)
f (n+1)
n!
+ wn+1
0
f (n+2)
(n+ 1)!
=
f (n+2)
(n+ 2)!
. (89)
Оскiльки
wn
0 = wn(0) =
1
n+ 1
, f (n+1) \not = 0, (90)
то (89) набирає вигляду
n
(n+ 1)!
w\prime (0)f (n+1) + w2
0
f (n+2)
(n+ 1)!(n+ 1)
= w0
f (n+2)
(n+ 2)!
(91)
та визначає w\prime (0):
w\prime (0) =
f (n+2)w(0)
nf (n+1)
\biggl(
1
n+ 2
- w(0)
n+ 1
\biggr)
. (92)
Здиференцiюємо (88) k \geq 2 разiв та отримаємо
(wn)(k)(0)
f (n+1)
n!
+
k\sum
j=1
Cj
k(w
n)(k - j)(0)
j\sum
\nu =1
f (\nu +n+1)
(\nu + n)!
(z\nu w\nu )(j)(0) =
k!f (k+n+1)
(k + n+ 1)!
. (93)
Оскiльки
(z\nu w\nu )(j)(0) = C\nu
j (w
\nu )(j - \nu )(0)\nu !, (94)
то (93) набирає вигляду
(wn)(k)(0)
f (n+1)
n!
+
k\sum
j=1
Cj
k(w
n)(k - j)(0)
j\sum
\nu =1
C\nu
j (w
\nu )(j - \nu )(0)
\nu !f (\nu +n+1)
(\nu + n)!
=
k!f (k+n+1)
(k + n+ 1)!
. (95)
Iз (95) отримуємо, враховуючи, що f (n+1) \not = 0, рiвняння для визначення w(k)(0):
(wn)(k)(0) =
n!
f (n+1)
\Biggl\{
k!f (k+n+1)
(k + n+ 1)!
-
-
k\sum
j=1
j\sum
\nu =1
Cj
kC
\nu
j (w
n)(k - j)(0)(w\nu )(j - \nu )(0)
\nu !f (\nu +n+1)
(\nu + n)!
\Biggr\}
. (96)
Зауважимо, що частина цього рiвняння згiдно з його визначенням залежить лише вiд f та w(0),
w\prime (0), . . . , w(k - 1)(0) та не залежить вiд w(k)(0).
Запишемо (96), використавши (80):
(wn)(k)(0) =
n!
f (n+1)
\left\{ k!f (k+n+1)
(k + n+ 1)!
-
k\sum
j=1
j\sum
\nu =1
Cj
kC
\nu
j Pn(k - j)P\nu (j - \nu )
\nu !f (\nu +n+1)
(\nu + n)!
\right\} . (97)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
УЗАГАЛЬНЕНА ТЕОРЕМА ПРО СЕРЕДНI ЗНАЧЕННЯ ДЛЯ АНАЛIТИЧНОЇ ФУНКЦIЇ . . . 779
Далi маємо
(wn)(k)(0) = n(w\prime wn - 1)(k - 1)(0) = n
k - 1\sum
j=0
Cj
k - 1w
(k - j)(0)(wn - 1)(j)(0) =
= nwn - 1(0)w(k)(0) + n
k - 1\sum
j=1
Cj
k - 1w
(k - j)(0)(wn - 1)(j)(0) =
= nwn - 1(0)w(k)(0) + n
k - 1\sum
j=1
Cj
k - 1P(n - 1)jP1(k - j). (98)
З урахуванням (98) рiвняння (97) можна записати у виглядi
nwn - 1(0)w(k)(0) =
n!
f (n+1)
\Biggl\{
k!f (k+n+1)
(k + n+ 1)!
-
k\sum
j=1
j\sum
\nu =1
Cj
kC
\nu
j Pn(k - j)\times
\times P\nu (j - \nu )
\nu !f (\nu +n+1)
(\nu + n)!
\Biggr\}
- n
k - 1\sum
j=1
Cj
k - 1P(n - 1)jP1(k - j). (99)
Iз (99) отримуємо формулу для визначення w(k)(0) вигляду
w(k)(0) = (n+ 1)
\left\{ (n - 1)!
f (n+1)
\Biggl(
k!f (k+n+1)
(k + n+ 1)!
-
k\sum
j=1
j\sum
\nu =1
Cj
kC
\nu
j Pn(k - j)\times
\times P\nu (j - \nu )
\nu !f (\nu +n+1)
(\nu + n)!
\Biggr)
-
k - 1\sum
j=1
Cj
k - 1P(n - 1)jP1(k - j)
\right\} w(0). (100)
Отже, формула (92) для знаходження w\prime (0) та (100) для знаходження w(k)(0), k \geq 2, разом
iз рекурентними спiввiдношеннями (82), (86), (87) для визначення коефiцiєнтiв Pj\nu утворюють
алгоритм визначення розвинення функцiї середнiх значень s у ряд Маклорена для n \geq 2.
Згiдно з теоремою 1 справджується рiвнiсть
f \prime (zw(z)) =
1\int
0
f \prime (z\tau )d\tau (101)
для z iз круга
| z| < r\prime , r\prime < r, (102)
при цьому
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
780 А. М. САМОЙЛЕНКО
| w(z) - w(0)| < r\prime n < 1 - rn. (103)
Iз (103) випливає нерiвнiсть
w(z) \not = 0 (104)
для z iз круга (102).
Дiйсно, припустимо, що (104) не виконується, тобто для деякого z0 \not = 0,
| z0| < r\prime ,
має мiсце рiвнiсть
w(z0) = 0. (105)
Для цього z0 виконується нерiвнiсть (103), отже,
| w(0)| = | w(z0) - w(0)| < 1 - rn, n \in \BbbN . (106)
Але згiдно з позначеннями w(0) = rn, так що нерiвнiсть (106) набирає вигляду
2rn < 1, rn <
1
2
, n \in \BbbN , (107)
що суперечить ланцюгу нерiвностей (16).
Суперечнiсть доводить нерiвнiсть (104).
Вiдносно функцiї s нерiвнiсть (104) означає, що
s(z) = zw(z) \not = 0 (108)
для z \not = 0, | z| < r\prime . Це доводить справедливiсть важливого доповнення до теореми 1.
Наслiдок 1. Нехай f : z \rightarrow f(z) — функцiя, що задовольняє умови теореми 1. Тодi функцiя
середнiх значень s iз теореми 1 задовольняє нерiвнiсть
0 <
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| s(z)z
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| < 1
для z \not = 0 iз круга (102).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
УЗАГАЛЬНЕНА ТЕОРЕМА ПРО СЕРЕДНI ЗНАЧЕННЯ ДЛЯ АНАЛIТИЧНОЇ ФУНКЦIЇ . . . 781
Як результат, отриманий iз використанням теореми про неявну функцiю, теорема даної
роботи має локальний характер, i ця локальнiсть пов’язана з тим, що в теоремi функцiя середнiх
значень s визначена в крузi радiуса r\prime , про який вiдомо лише, що вiн менший за r : r\prime < r.
Щоб позбутися цiєї локальностi теореми 1, використаємо аналiтичнiсть функцiї s у кру-
зi (102) та надану цiєю властивiстю можливiсть аналiтичного продовження функцiї s iз кру-
га (102) в бiльшу область простору \BbbC .
З метою спрощення викладок розглянемо результат такого продовження у випадку, коли D
— круг радiуса r з центром у центрi областi D, тобто круг
| z| < r. (109)
У цьому випадку r — радiус збiжностi ряду Маклорена функцiї f, який дорiвнює \infty , коли f
— цiла функцiя, та менший нiж \infty , коли функцiя f на його границi втрачає аналiтичнiсть, має
особливiсть.
Запропонований алгоритм визначення функцiї s — такий собi метод послiдовного визначен-
ня w(k)(0), k \in \BbbN , — дозволяє, хоча й неявно, визначити радiус збiжностi ряду
\sum
0
w(k)(0)
k!
zk, (110)
як аналiтичного продовження функцiї w, iснування якої для z iз круга (102) доведено теоре-
мою 1.
Нехай R — радiус збiжностi ряду (110). Тодi R \leq r i функцiя w є визначеною й аналiтичною
для z iз круга
| z| < R. (111)
Iз теореми про єдинiсть випливає, що аналiтичне продовження w iз круга (102) в круг (111)
зберiгає рiвнiсть (101). Отже, рiвнiсть (101), яка мала мiсце для z iз круга (102), залишається
справедливою й для z iз круга (111). Звiдси випливає нерiвнiсть
r\prime \leq R (112)
та справедливiсть (101) для z iз круга (111).
Таким чином, доведено наступний наслiдок iз теореми 1.
Наслiдок 2. Нехай функцiя f : z \rightarrow f(z) задовольняє умови теореми 1. Тодi для r\prime iз
теореми 1 справджується нерiвнiсть
r\prime \leq R,
де R — радiус збiжностi ряду Маклорена функцiї середнiх значень s iз теореми 1.
Очевидним є наступне твердження, як наслiдок теореми 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
782 А. М. САМОЙЛЕНКО
Наслiдок 3. Нехай функцiя f : z \rightarrow f(z) задовольняє умови теореми 1 та набуває дiйсних
значень для дiйсних z. Тодi функцiя середнiх значень s iз теореми 1 набуває для дiйсного
значення z : одне i лише одне дiйсне значення для непарного n, а саме те, що вiдповiдає
значенню rn для w(0), та два i лише два дiйсних значення для парного n, а саме тi, що
вiдповiдають значенням \pm rn для w(0).
Дiйсно, оскiльки згiдно з алгоритмом визначення функцiї w : z \rightarrow w(z) =
s(z)
z
iз теореми 1
w(k)(0) для дiйсних f (k) та дiйсних w(0) є дiйсним, то ряд Маклорена функцiї w в цьому
випадку має дiйснi коефiцiєнти, а отже, визначає функцiю w такою, що набуває дiйсних значень
для дiйсних z iз круга (111). Але серед значень w(0) лише наведенi в наслiдку є дiйсними. Це
й завершує доведення наслiдку 3.
Ще один наслiдок з теореми 1 ми отримаємо таким чином. Рiвнiсть (101), записану у виглядi
f \prime (s(z)) =
1\int
0
f \prime (z\tau )d\tau , (113)
перетворимо так:
f \prime (s(z)) - f \prime (0) =
1\int
0
(f \prime (z\tau ) - f \prime (0))d\tau ,
s(z)\int
0
f \prime \prime (\eta )d\eta =
1\int
0
(f \prime (z\tau ) - f \prime (0))d\tau ,
f \prime \prime (s(z))s\prime (z) =
1\int
0
f \prime \prime (z\tau )\tau d\tau . (114)
Домноживши (114) на z2, отримаємо
z2f \prime \prime (s(z))s\prime (z) =
z\int
0
f \prime \prime (\eta )\eta d\eta =
= f \prime (z)z -
z\int
0
f \prime (\eta )d\eta = f \prime (z)z - (f(z) - f(0)). (115)
Iз (114) та (115) отримуємо рiвнiсть правих частин результату домноження (114) на z2 та (115),
тобто рiвнiсть
f \prime (z)z - (f(z) - f(0)) =
1\int
0
f \prime \prime (z\tau )\tau d\tau z2,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
УЗАГАЛЬНЕНА ТЕОРЕМА ПРО СЕРЕДНI ЗНАЧЕННЯ ДЛЯ АНАЛIТИЧНОЇ ФУНКЦIЇ . . . 783
або остаточно
f(z) = f(0) + f \prime (z)z -
1\int
0
f \prime \prime (z\tau )\tau d\tau z2. (116)
Рiвнiсть (116) справедлива для z iз круга (102), а отже, згiдно з теоремою про єдинiсть, для z
iз областi D \subseteq \BbbC .
Таким чином, ми отримали наступний наслiдок iз теореми 1.
Наслiдок 4. Якщо функцiя f : z \rightarrow f(z) аналiтична для z iз областi D \subseteq \BbbC , то
f(z) = f(0) + f \prime (z)z -
1\int
0
f \prime \prime (z\tau )\tau d\tau z2.
Для нелiнiйної функцiї f наслiдок 4 доведено, для лiнiйної вiн є очевидним.
Наведемо деякi iнтерпретацiї отриманих результатiв.
Насамперед зауважимо, що для лiнiйної функцiї, єдиної з аналiтичних функцiй в околi
точки 0, для яких
\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}f \prime (0) = \infty ,
рiвнiсть iз наслiдку 4 можна iнтерпретувати в термiнах теорiї диференцiальних рiвнянь таким
чином: довiльна лiнiйна однорiдна функцiя є розв’язком задачi Кошi
zf \prime = f, f(0) = 0 (117)
та визначає однопараметричну сiм’ю iнтегральних кривих рiвняння (117).
Аналогiчну iнтерпретацiю можна надати функцiї середнiх значень s.
Дiйсно, оскiльки s(z) є розв’язком рiвняння
f \prime (s) =
1\int
0
f \prime (z\tau )d\tau , (118)
то s(z) — розв’язок диференцiального рiвняння
f \prime \prime (s)s\prime =
1\int
0
f \prime \prime (z\tau )\tau d\tau , (119)
отриманого диференцiюванням (118). Отже, (118) — це рiвняння iнтегралiв диференцiального
рiвняння (119), що визначаються умовами
s(0) = 0, s\prime (0) = w(0), | s(z)| < | z| (120)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
784 А. М. САМОЙЛЕНКО
для z iз круга (111). Цi iнтеграли утворюють в \BbbC 2 „мережу” iз n iнтегральних кривих рiвняння
(119), якi перетинаються в початку координат \BbbC 2.
Зауважимо також, що згiдно з (101) та формулою, виведеною в [1] для функцiї f, для якої
\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}f \prime (0) = n, а саме, згiдно з (101) та формулою
f \prime (z) = f \prime (0) +
zn
(n - 1)!
1\int
0
f (n+1)(z\tau )(1 - \tau )n - 1d\tau (121)
для z \in D, рiвняння для функцiї w, що приводить до (101), тобто рiвняння
f \prime (zw) =
1\int
0
f \prime (z\tau )d\tau , (122)
можна записати у виглядi
wn
1\int
0
f (n+1)(zw\tau )(1 - \tau )n - 1d\tau =
1\int
0
1\int
0
f (n+1)(zt\tau )(1 - \tau )n - 1tnd\tau dt. (123)
Варто зауважити також, що (123) — це запис рiвняння (51) не через ряд Маклорена функцiї
f, а через саму функцiю f.
Наведемо тепер оцiнки для r\prime . Нехай r\prime < r. Тодi в кiльцi
r\prime \leq | z| < r (124)
можуть бути точки, якi задовольняють рiвнiсть (101) та не задовольняють нерiвнiсть наслiдку
1. Це такi точки (z0, s(z0)), що r\prime \leq | z0| < r,
s(z0) = 0, (125)
та такi (z\prime 0, s(z
\prime
0)), що r\prime \leq | z\prime 0| < r,
s(z\prime 0) = z\prime 0. (126)
Отже, згiдно з викладеним, першi з них задовольняють рiвнiсть
f \prime (0) =
1\int
0
f \prime (z0\tau )d\tau , (127)
другi — рiвнiсть
f \prime (z\prime 0) =
1\int
0
f \prime (z\prime 0\tau )d\tau . (128)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
УЗАГАЛЬНЕНА ТЕОРЕМА ПРО СЕРЕДНI ЗНАЧЕННЯ ДЛЯ АНАЛIТИЧНОЇ ФУНКЦIЇ . . . 785
Та iз точок, що задовольняють умови (125), (127) та (126), (128), яка по модулю найменша
або лежить на границi круга | z| < r\prime , або знаходиться найближче до цiєї границi зовнi, якщо
позначити її через z\ast , приводить до оцiнки
r\prime \leq z\ast . (129)
Якщо ж z\ast не iснує, а отже нi (127), нi (128) не справджується, то припущення r\prime < r може не
мати мiсця. Отже, тодi може бути справедливою рiвнiсть
r\prime = r. (130)
Рiвнiсть (127) означає, що z0 \not = 0 є коренем рiвняння
f \prime (0) =
1\int
0
f \prime (z\tau )d\tau , (131)
а рiвнiсть (128) — що z\prime 0 \not = 0 є коренем рiвняння
f \prime (z) =
1\int
0
f \prime (z\tau )d\tau . (132)
Отже, z\ast \not = 0 — найменший по модулю iз коренiв рiвнянь (131), (132), зокрема z\ast \not = 0 може
бути коренем рiвняння
f \prime (0) = f \prime (z), (133)
яке є наслiдком рiвнянь (131), (132).
Ми довели наступний наслiдок iз теореми 1, який визначає обмеження на величину r\prime .
Наслiдок 5. Нехай функцiя f : z \rightarrow f(z) задовольняє умови теореми 1. Тодi якщо рiвняння
f \prime (z) = f \prime (0)
та
f(z) = f(0) + f \prime (0)z
мають у крузi | z| < r ненульовi коренi та z\ast \not = 0 є найменшим по модулю серед них, то
r\prime \leq | z\ast | ,
в протилежному випадку
r\prime \leq r.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
786 А. М. САМОЙЛЕНКО
Розглянемо iлюстративнi приклади, в яких функцiя s знаходиться явно.
Нехай
f(z) = zn+1, n \in \BbbN .
Тодi рiвняння для s має вигляд
(n+ 1)sn = zn, n \in \BbbN ,
\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}f \prime (0) = n, z\ast — вiдсутнє. Маємо
s(z) = zw(0), z \in \BbbC .
Нехай
f(z) = ez, \mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}f \prime (0) = 1.
Тодi рiвняння для s має вигляд
es =
ez - 1
z
=
\sum
1
zk - 1
k!
,
z\ast = 2\pi i, s\prime (0) =
1
2
, R = 2\pi = | z\ast | ,
s(z) = \mathrm{l}\mathrm{n}
ez - 1
z
= \mathrm{l}\mathrm{n}
\sum
1
zk - 1
k!
,
для z iз круга
| z| < 2\pi ,
де \mathrm{l}\mathrm{n} — головна частина \mathrm{L}\mathrm{n}, дiйсна для дiйсних значень z.
В обох наведених прикладах функцiї f є цiлими.
Нехай
f(z) = \mathrm{l}\mathrm{n}(z + 1), | z| < 1.
Тодi рiвняння для s набирає вигляду
1
s+ 1
=
\mathrm{l}\mathrm{n}(z + 1)
z
=
\sum
1
( - 1)k - 1
k
zk - 1,
\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}f \prime (0) = 1, s\prime (0) =
1
2
, z\ast — вiдсутнє, R < 1. Маємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
УЗАГАЛЬНЕНА ТЕОРЕМА ПРО СЕРЕДНI ЗНАЧЕННЯ ДЛЯ АНАЛIТИЧНОЇ ФУНКЦIЇ . . . 787
s(z) =
z
\mathrm{l}\mathrm{n}(z + 1)
- 1 =
1\sum
1
( - 1)k - 1
k
zk - 1
- 1
для z iз круга
| z| < 1,
радiус якого визначається тим, що функцiя s в точцi - 1 має особливiсть, яка збiгається з
особливiстю в точцi - 1 функцiї f.
Насамкiнець зауважимо, що в загальному випадку, коли D — зiркова область \BbbC , функцiю
середнiх значень s можна аналiтично продовжити з круга | z| < r\prime у пiдобласть U \subseteq D, що
суттєво змiнює локальнiсть тверджень теореми 1. Звичайно, при такому продовженнi потрiбно
перейти до розвинення функцiї середнiх значень s в околах точок z0 \not = 0 в ряд Тейлора, а не
Маклорена.
Зазначимо також, що близькими до даної роботи є роботи [6 – 8].
Лiтература
1. Самойленко А. M. Деякi результати локальної теорiї гладких функцiй // Укр. мат. журн. — 2007. — 59, № 2. —
С. 231 – 267.
2. Савчук B. B. До теореми про середнє для аналiтичних функцiй // Укр. мат. журн. — 1997. — 49, № 8. —
С. 1143 – 1147.
3. Радзиевская Е. И., Радзиевский Г. В. Для голоморфной в области функции остаточный член в ряде Тейлора
допускает запись в форме Лагранжа // Сиб. мат. журн. — 2003. — 44, № 2. — С. 402 – 414.
4. Abel U., Ivan M., Riedel T. The mean value theorem of Flett and divided differences // J. Math. Anal. and Appl. —
2004. — 295, № 1 — P. 1 – 9.
5. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Т. 1. Начала теории. – 2-е изд. — М.: Наука, 1967. — 486 с.
6. Арнольд В. И. Особенности гладких отображений // Успехи мат. наук. — 1968. — 23, № 1(139). — С. 3 – 44.
7. Самойленко А. M. Об эквивалентности гладкой функции полиному Тейлора в окрестности критический точки
конечного типа // Функцион. анализ. — 1968. — 2, № 4. — С. 63 – 69.
8. Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений. — М.: Наука,
1982. — 302 с.
Одержано 15.05.17
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
|
| id | umjimathkievua-article-1734 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:11:36Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/64/77c6c0714f0b2502ba3a989170d4d164.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-17342019-12-05T09:25:15Z A generalized theorem of mean values of an analytic function and an algorism of the determination of mean values Узагальнена теорема про середні значення для аналітичної функції та алгоритм визначення функції середніх значень Samoilenko, A. M. Самойленко, А. М. We prove the mean-value theorem for functions analytic in starlike domains, propose an algorithm for finding the function of mean values, and study its analytic continuation. We present a differential equation for the function of mean values and the interpretation of the Lagrange formula for analytic functions in terms of the theory of differential equations. The set of points of the initial values of the function of mean values is analyzed and the upper of the radius of expansion of the function of mean values in Taylor’s series is established. Доказана теорема о средних значениях для аналитической в звездной области функции, приведен алгоритм нахождения функции средних значений и исследовано ее аналитическое продолжение. Приведены дифференциальное уравнение для функции средних значений и интерпретация формулы Лагранжа для аналитических функций в терминах теории дифференциальных уравнений. Проведен анализ множества точек начальных значений функции средних значений и получена оценка сверху радиуса разложения функции средних значений в ряд Тейлора. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2017-06-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1734 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 69 No. 6 (2017); 765-787 Український математичний журнал; Том 69 № 6 (2017); 765-787 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1734/716 Copyright (c) 2017 Samoilenko A. M. |
| spellingShingle | Samoilenko, A. M. Самойленко, А. М. A generalized theorem of mean values of an analytic function and an algorism of the determination of mean values |
| title | A generalized theorem of mean values of an analytic function and an algorism of the determination of mean values |
| title_alt | Узагальнена теорема про середні значення для аналітичної функції та алгоритм визначення функції середніх значень |
| title_full | A generalized theorem of mean values of an analytic function and an algorism of the determination of mean values |
| title_fullStr | A generalized theorem of mean values of an analytic function and an algorism of the determination of mean values |
| title_full_unstemmed | A generalized theorem of mean values of an analytic function and an algorism of the determination of mean values |
| title_short | A generalized theorem of mean values of an analytic function and an algorism of the determination of mean values |
| title_sort | generalized theorem of mean values of an analytic function and an algorism of the determination of mean values |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1734 |
| work_keys_str_mv | AT samoilenkoam ageneralizedtheoremofmeanvaluesofananalyticfunctionandanalgorismofthedeterminationofmeanvalues AT samojlenkoam ageneralizedtheoremofmeanvaluesofananalyticfunctionandanalgorismofthedeterminationofmeanvalues AT samoilenkoam uzagalʹnenateoremaproseredníznačennâdlâanalítičnoífunkcíítaalgoritmviznačennâfunkcííseredníhznačenʹ AT samojlenkoam uzagalʹnenateoremaproseredníznačennâdlâanalítičnoífunkcíítaalgoritmviznačennâfunkcííseredníhznačenʹ AT samoilenkoam generalizedtheoremofmeanvaluesofananalyticfunctionandanalgorismofthedeterminationofmeanvalues AT samojlenkoam generalizedtheoremofmeanvaluesofananalyticfunctionandanalgorismofthedeterminationofmeanvalues |