Trigonometric Approximations and Kolmogorov Widths of Anisotropic Besov Classes of Periodic Functions of Several Variables
We describe the Besov anisotropic spaces of periodic functions of several variables in terms of the decomposition representation and establish the exact-order estimates of the Kolmogorov widths and trigonometric approximations of functions from unit balls of these spaces in the spaces L q .
Збережено в:
| Дата: | 2014 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2014
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2203 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508151317528576 |
|---|---|
| author | Myronyuk, V. V. Миронюк, В. В. |
| author_facet | Myronyuk, V. V. Миронюк, В. В. |
| author_sort | Myronyuk, V. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T10:26:14Z |
| description | We describe the Besov anisotropic spaces of periodic functions of several variables in terms of the decomposition representation and establish the exact-order estimates of the Kolmogorov widths and trigonometric approximations of functions from unit balls of these spaces in the spaces L q . |
| first_indexed | 2026-03-24T02:20:39Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
В. В. Миронюк (Iн-т математики НАН України, Київ)
ТРИГОНОМЕТРИЧНI НАБЛИЖЕННЯ ТА КОЛМОГОРОВСЬКI
ПОПЕРЕЧНИКИ АНIЗОТРОПНИХ КЛАСIВ БЄСОВА
ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ БАГАТЬОХ ЗМIННИХ
We describe the Besov anisotropic spaces of periodic functions of several variables in terms of the decomposition
representation and establish the exact-order estimates of the Kolmogorov widths and trigonometric approximations of
functions from unit balls of these spaces in the spaces Lq .
В терминах декомпозиционного представления охарактеризованы анизотропные пространства Бесова периодиче-
ских функций многих переменных и установлены точные по порядку оценки колмогоровских поперечников и
тригонометрических приближений функций из единичных шаров этих пространств в пространствах Lq .
1. Функцiональнi простори та класи. Нехай Rd, d > 1 — d-вимiрний евклiдiв простiр з
елементами x = (x1, . . . , xd) i Lp(πd), πd =
∏d
j=1[0, 2π], — простiр 2π-перiодичних по кожнiй
змiннiй i сумовних у степенi p, 1 6 p <∞ (вiдповiдно суттєво обмежених при p =∞), функцiй
f(x) = f(x1, . . . , xd). Норма в цьому просторi визначається таким чином:
‖f‖p :=
(2π)−d
∫
πd
|f(x)|pdx
1/p
, 1 6 p <∞,
‖f‖∞ := ess sup
x∈πd
|f(x)|.
Означимо кратну рiзницю порядку lj ∈ N функцiї f ∈ Lp(πd) в точцi x за змiнною xj з
кроком hj ∈ R згiдно з формулою
∆
lj
hj ,j
f(x) :=
lj∑
k=0
(−1)k+ljCkljf(x+ khjej),
де Cklj — бiномiальнi коефiцiєнти, ej — одиничний вектор, направлений вздовж осi xj , j = 1, d.
Вiдштовхуючись вiд кратної рiзницi ∆
lj
hj
f, означимо модуль неперервностi lj-го порядку
функцiї f ∈ Lp(πd) за змiнною xj , який будемо позначати ωl(f, ej , t)p , згiдно з формулою
ωlj (f, ej , t)p := sup
|hj |6t
∥∥∆
lj
hj ,j
f
∥∥
p
.
При d = 1 модуль неперервностi l-го порядку функцiї f будемо позначати ωl(f, t)p .
Нехай l = (l1, . . . , ld) ∈ Nd,R = (R1, . . . , Rd) ∈ Rd i 0 < Rj < lj , j = 1, d. Тодi нормований
простiр BRp, θ, 1 6 p, θ 6∞, означається таким чином:
BRp,θ :=
f ∈ Lp(πd) : ‖f‖BRp,θ := ‖f‖p +
d∑
j=1
|f |
B
Rj
xj,p,θ
<∞
, (1)
де
c© В. В. МИРОНЮК, 2014
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 8 1117
1118 В. В. МИРОНЮК
|f |
B
Rj
xj,p,θ
:=
+∞∫
0
(
ωlj (f, ej , t)p
tRj
)θ
dt
t
1/θ
, 1 6 θ <∞,
sup
t>0
ωlj (f, ej , t)p
tRj
, θ =∞.
Простори BRp,θ (а також їх аналоги в неперiодичному випадку), з дещо iншою заданою у
них нормою, вперше було розглянуто О. В. Бєсовим [1]. У випадку θ = ∞ вони збiгаються з
просторами HR
p , якi було введено С. М. Нiкольським [2]. Такi функцiональнi простори прийня-
то називати анiзотропними, оскiльки гладкiснi властивостi функцiй iз цих просторiв, взагалi
кажучи, неоднаковi по кожнiй змiннiй. Якщо ж R = (r, . . . , r) ∈ Rd i 0 < r < l, l ∈ N, то BRp,θ
називають iзотропними просторами Бєсова, якi далi будемо позначати Br
p,θ.
Пiд поняттям „класи BRp,θ” будемо розумiти одиничнi кулi у просторах BRp,θ, тобто
BRp,θ :=
{
f ∈ Lp(πd) : ‖f‖BRp,θ 6 1
}
.
Вiдповiдно одиничнi кулi у просторах HR
p та Br
p,θ позначатимемо HRp та Brp,θ.
2. Декомпозицiйне зображення норми функцiй iз просторiв BRp,θ. У цьому пунктi вста-
новлено еквiвалентне з точнiстю до абсолютних сталих зображення норми функцiй iз просторiв
BRp,θ (теорема 1). Таке зображення (яке називають декомпозицiйним) буде суттєво використову-
ватися при дослiдженнi апроксимативних характеристик. Зауважимо, що анiзотропнi простори
Бєсова неперiодичних функцiй багатьох змiнних (аналоги просторiв BRp,θ) з точки зору деком-
позицiйного опису дослiджувались у роботах [1, 3, 4]. Бiльш детальну iнформацiю з цього
питання можна знайти у книзi [5] (роздiл 5).
Перш нiж перейти до формулювання отриманого результату наведемо необхiднi позначення
та допомiжнi твердження, якi будемо використовувати в процесi доведення.
Для N = (N1, . . . , Nd) ∈ Nd розглянемо множину
K(N , d) :=
{
k = (k1, . . . , kd) ∈ Zd : |kj | 6 Nj , j = 1, d
}
i через T (N , d) позначимо множину тригонометричних полiномiв з номерами гармонiк iз
K(N , d) :
T (N , d) = T (N1, . . . , Nd) :=
g : g(x) =
∑
k∈K(N ,d)
cke
i(k,x), ck ∈ C, x ∈ Rd
,
де (k,x) = k1x1 + . . .+ kdxd.
Далi для f ∈ Lq(πd), 1 6 q 6∞, покладемо
EN (f)q = EN1,...,Nd(f)q := inf
g∈T (N ,d)
‖f − g‖q .
ВеличинуEN (f)q називають найкращим наближенням функцiї f за допомогою тригонометрич-
них полiномiв iз множини T (N , d).
Далi запис A � B означає, що iснують додатнi сталi C1 та C2, якi не залежать вiд одного
iстотного по контексту параметра у величинах A та B (наприклад, у наведеному нижче спiввiд-
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 8
ТРИГОНОМЕТРИЧНI НАБЛИЖЕННЯ ТА КОЛМОГОРОВСЬКI ПОПЕРЕЧНИКИ . . . 1119
ношеннi (8) — вiд функцiї f ) i такi, що C1A 6 B 6 C2A. Якщо тiльки B 6 C2A (B > C1A), то
пишемо B � A (B � A). Також скрiзь нижче запис [a] означатиме цiлу частину числа a ∈ R.
Теорема A (див., наприклад, [6], роздiл 2). Для довiльного полiнома g ∈ T (N , d) при
1 6 p 6∞ виконується порядкова нерiвнiсть∥∥∥∥∥ ∂‖α‖1g(x)
∂xα1
1 . . . ∂xαdd
∥∥∥∥∥
p
� ‖g‖p
d∏
j=1
N
αj
j , (2)
де α = (α1, . . . , αd) ∈ Zd+, ‖α‖1 = α1 + . . .+ αd.
Нерiвнiсть (2) називають узагальненою нерiвнiстю Бернштейна.
Лема A (див., наприклад, [6], роздiл 2). Для довiльної функцiї f ∈ Lp(πd), 1 6 p 6∞, має
мiсце порядкова нерiвнiсть
EN (f)p �
d∑
j=1
ωlj (f, ej , N
−1
j )p, lj ∈ N.
Лема Б (див., наприклад, [6], роздiл 2). Нехай f — 2π-перiодична неперервна функцiя, яка
lj разiв неперервно диференцiйовна по змiннiй xj . Тодi при 1 6 p 6∞
∥∥∆
lj
hj ,j
f
∥∥
p
6 |hj |lj
∥∥∥∥∥∂ ljf∂x
lj
j
∥∥∥∥∥
p
.
Тепер сформулюємо та доведемо отриманий результат.
Теорема 1. Функцiя f належить простору BRp,θ, 1 6 p, θ 6 ∞, тодi i тiльки тодi, коли
вона зображується збiжним у метрицi Lp(πd) рядом
f =
∞∑
s=0
Qs, Qs = Q[as1],...,[asd], (3)
де aj = b1/Rj , b > 1, j = 1, d, Q[as1],...,[asd] — тригонометричнi полiноми iз множини T (2[as1], . . .
. . . , 2[asd]), що задовольняють умови( ∞∑
s=0
bsθ‖Qs‖θp
)1/θ
<∞, якщо 1 6 θ <∞, (4)
i
sup
s∈Z+
bs‖Qs‖p <∞, якщо θ =∞. (5)
Бiльш того, мають мiсце спiввiдношення
‖f‖BRp,θ �
( ∞∑
s=0
bsθ‖Qs‖θp
)1/θ
при 1 6 θ <∞ (6)
i
‖f‖BRp,θ � sup
s∈Z+
bs‖Qs‖p при θ =∞. (7)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 8
1120 В. В. МИРОНЮК
Якщо ж, крiм цього, частиннi суми n-го порядку ряду (3) реалiзують найкраще наближення
E[an1 ],...,[and ](f)p (або принаймнi його порядок), то
‖f‖BRp,θ �
( ∞∑
s=0
bsθ‖Qs‖θp
)1/θ
при 1 6 θ <∞ (8)
i
‖f‖BRp,θ � sup
s∈Z+
bs‖Qs‖p при θ =∞. (9)
Доведення. Необхiднiсть. Нехай f належить простору BRp,θ i gs ∈ T (2[as1], . . . , 2[asd]), s ∈
∈ Z+, — тригонометричнi полiноми такi, що E[as1],...,[asd](f)p � ‖f − gs‖p . Покладемо
Q0 = g0, Qs = gs − gs−1, s = 1, 2, . . . .
Зрозумiло, що тодi Qs ∈ T (2[as1], . . . , 2[asd]), причому в сенсi збiжностi у метрицi простору
Lp(πd) справджується рiвнiсть
f =
∞∑
s=0
Qs.
Покажемо справедливiсть умов (4) та (5). Врахoвуючи лему A, отримуємо
‖Q0‖p = ‖g0 − f + f‖p 6 ‖g0 − f‖p + ‖f‖p � ‖f‖p ,
‖Qs‖p = ‖gs − gs−1‖p 6 ‖gs − f‖p + ‖f − gs−1‖p � E[as−1
1 ],...,[as−1
d ](f)p �
�
d∑
j=1
ωlj (f, ej , [a
s−1
j ]−1)p �
d∑
j=1
ωlj (f, ej , a
−s
j )p, s ∈ N.
Звiдси, беручи до уваги нерiвнiсть (x+ y)η 6 2η(xη + yη), де x > 0, y > 0, η > 0, маємо
( ∞∑
s=0
bsθ‖Qs‖θp
)1/θ
�
‖f‖θp +
∞∑
s=1
d∑
j=1
a
−(s−1)
j∫
a−sj
(
ωlj (f, ej , t)p
tRj
)θ
dt
t
1/θ
�
� ‖f‖p +
d∑
j=1
∞∫
0
(
ωlj (f, ej , t)p
tRj
)θ
dt
t
1/θ
= ‖f‖BRp,θ <∞, 1 6 θ <∞, (10)
i
sup
s∈Z+
bs‖Qs‖p � ‖f‖p +
d∑
j=1
sup
t>0
ωlj (f, ej , t)p
tRj
= ‖f‖BRp,∞ <∞, θ =∞. (11)
Необхiднiсть доведено.
Достатнiсть. Покажемо справедливiсть спiввiдношень (6) та (7).
Нехай спочатку 1 6 θ <∞. Тодi за допомогою елементарних перетворень можемо записати
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 8
ТРИГОНОМЕТРИЧНI НАБЛИЖЕННЯ ТА КОЛМОГОРОВСЬКI ПОПЕРЕЧНИКИ . . . 1121
1∫
0
(
ωlj (f, ej , t)p
tRj
)θ
dt
t
= ln aj
∞∫
0
(
ωlj (f, ej , a
−u
j )p
a
−uRj
j
)θ
du =
= ln aj
∞∑
N=0
N+1∫
N
(
ωlj (f, ej , a
−u
j )p
a
−uRj
j
)θ
du�
∞∑
N=0
(
ωlj (f, ej , a
−N
j )p
a
−NRj
j
)θ
. (12)
Далi, оскiльки
f =
∞∑
s=0
Qs,
то
ωlj (f, ej , a
−N
j )p 6
∞∑
s=0
ωlj (Qs, ej , a
−N
j )p . (13)
Застосовуючи послiдовно лему Б та узагальнену нерiвнiсть Бернштейна (2), маємо
ωlj (Qs, ej , a
−N
j )p = sup
|hj |6a−Nj
‖∆lj
hj ,j
Qs‖p 6 sup
|hj |6a−Nj
|hj |lj
∥∥∥∥∥∂ljQs∂x
lj
j
∥∥∥∥∥
p
�
� a
−Nlj
j 2lj [asj ]
lj‖Qs‖p � a
(s−N)lj
j ‖Qs‖p при s 6 N. (14)
Якщо s > N , то
ωlj (Qs, ej , a
−N
j )p � ‖Qs‖p . (15)
Тепер, беручи до уваги (13) – (15), отримуємо
∞∑
N=0
(
ωlj (f, ej , a
−N
j )p
a
−NRj
j
)θ
�
�
∞∑
N=0
bNθ
(
N∑
s=0
a
(s−N)lj
j ‖Qs‖p +
∞∑
s=N+1
‖Qs‖p
)θ
�
�
∞∑
N=0
bNθ
(
N∑
s=0
a
(s−N)lj
j ‖Qs‖p
)θ
+
∞∑
N=0
bNθ
( ∞∑
s=N+1
‖Qs‖p
)θ
=
= I1 + I2. (16)
Оцiнимо кожен iз доданкiв у (16). Виберемо β > 0 i γ > Rj таким чином, щоб γ + β < lj .
Тодi згiдно з нерiвнiстю Гельдера (з вiдповiдною модифiкацiєю при θ = 1) одержуємо
I1 =
∞∑
N=0
bNθ
(
N∑
s=0
a
(s−N)β
j a
(s−N)(lj−β)
j ‖Qs‖p
)θ
6
6
∞∑
N=0
bNθ
(
N∑
s=0
a
(s−N)βθ′
j
)θ/θ′ ( N∑
s=0
a
(s−N)(lj−β)θ
j ‖Qs‖θp
)θ/θ
�
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 8
1122 В. В. МИРОНЮК
�
∞∑
N=0
N∑
s=0
bNθa
(s−N)(lj−β)θ
j ‖Qs‖θp =
∞∑
s=0
∞∑
N=s
bNθa
(s−N)(lj−β)θ
j ‖Qs‖θp 6
6
∞∑
s=0
∞∑
N=s
bsθa
(N−s)γθ
j a
(s−N)(lj−β)θ
j ‖Qs‖θp =
=
∞∑
s=0
bsθ‖Qs‖θp
∞∑
N=s
a
(s−N)(lj−β−γ)θ
j �
∞∑
s=0
bsθ‖Qs‖θp , (17)
де
1
θ
+
1
θ′
= 1.
Тепер перейдемо до оцiнки величини I2. Нехай 0 < δ < α < Rj . Тодi знову, використавши
нерiвнiсть Гельдера (з вiдповiдною модифiкацiєю при θ = 1), будемо мати
I2 =
∞∑
N=0
bNθ
( ∞∑
s=N+1
a
(N−s)δ
j a
(s−N)δ
j ‖Qs‖p
)θ
6
6
∞∑
N=0
bNθ
( ∞∑
s=N+1
a
(N−s)δθ′
j
)θ/θ′ ( ∞∑
s=N+1
a
(s−N)δθ
j ‖Qs‖θp
)θ/θ
�
�
∞∑
N=0
∞∑
s=N+1
bNθa
(s−N)δθ
j ‖Qs‖θp =
∞∑
s=1
s−1∑
N=0
bNθa
(s−N)δθ
j ‖Qs‖θp 6
6
∞∑
s=1
s−1∑
N=0
bsθa
(N−s)αθ
j a
(s−N)δθ
j ‖Qs‖θp =
=
∞∑
s=1
bsθ‖Qs‖θp
s−1∑
N=0
a
(N−s)(α−δ)θ
j �
∞∑
s=0
bsθ‖Qs‖θp , (18)
де
1
θ
+
1
θ′
= 1.
Отже, враховуючи (12) та (16) – (18), отримуємо
1∫
0
(
ωlj (f, ej , t)p
tRj
)θ
dt
t
�
∞∑
s=0
bsθ‖Qs‖θp . (19)
Для подальших мiркувань оцiнимо зверху ‖f‖p та
∫ ∞
1
(
ωlj (f, ej , t)p
tRj
)θ
dt
t
.
Використовуючи нерiвнiсть Гельдера (з вiдповiдною модифiкацiєю при θ = 1) маємо
‖f‖p 6
∞∑
s=0
‖Qs‖p �
( ∞∑
s=0
b−sθ
′
)1/θ′ ( ∞∑
s=0
bsθ‖Qs‖θp
)1/θ
�
�
( ∞∑
s=0
bsθ‖Qs‖θp
)1/θ
. (20)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 8
ТРИГОНОМЕТРИЧНI НАБЛИЖЕННЯ ТА КОЛМОГОРОВСЬКI ПОПЕРЕЧНИКИ . . . 1123
Беручи до уваги нерiвнiсть ωlj (f, ej , t)p � ‖f‖p та спiввiдношення (20), одержуємо
∞∫
1
(
ωlj (f, ej , t)p
tRj
)θ
dt
t
�
∞∫
1
‖f‖θp
tRjθ+1
dt�
∞∑
s=0
bsθ‖Qs‖θp . (21)
Таким чином, iз (19) – (21) випливає (6).
Нехай тепер θ =∞. Тодi, як i у випадку 1 6 θ <∞, отримуємо
‖f‖p 6
∞∑
s=0
‖Qs‖p � sup
s∈Z+
bs‖Qs‖p
∞∑
s=0
b−s � sup
s∈Z+
bs‖Qs‖p (22)
i
sup
t>0
ωlj (f, ej , t)p
tRj
� sup
N∈Z+
ωlj (f, ej , a
−N
j )p
b−N
+ sup
t>1
ωlj (f, ej , t)p
tRj
�
� sup
N∈Z+
∞∑
s=0
bNωlj (Qs, ej , a
−N
j )p + sup
t>1
‖f‖p
tRj
�
� sup
N∈Z+
(
N∑
s=0
bNa
(s−N)lj
j ‖Qs‖p +
∞∑
s=N+1
bN‖Qs‖p
)
+ ‖f‖p �
� sup
s∈Z+
bs‖Qs‖p sup
N∈Z+
(
N∑
s=0
a
(s−N)(lj−Rj)
j +
∞∑
s=N+1
b(N−s) + 1
)
�
� sup
s∈Z+
bs‖Qs‖p . (23)
З (22) та (23) випливає (7) i, таким чином, достатнiсть доведено.
У випадку, коли частиннi суми n-го порядку ряду (3) реалiзують найкраще наближення
E[an1 ],...,[and ](f)p (або принаймнi його порядок), використовуючи лему А, одержуємо
‖Q0‖p = ‖Q0 − f + f‖p 6 ‖Q0 − f‖p + ‖f‖p � ‖f‖p ,
‖Qn‖p =
∥∥∥∥∥
n∑
s=0
Qs −
n−1∑
s=0
Qs
∥∥∥∥∥
p
6
∥∥∥∥∥
n∑
s=0
Qs − f
∥∥∥∥∥
p
+
∥∥∥∥∥f −
n−1∑
s=0
Qs
∥∥∥∥∥
p
�
� E[an−1
1 ],...,[an−1
d ](f)p �
d∑
j=1
ωlj (f, ej , [a
n−1
j ]−1)p �
�
d∑
j=1
ωlj (f, ej , a
−n
j )p, n ∈ N.
Але тодi, як показано вище, виконуються порядковi нерiвностi (10) та (11), тому, беручи до
уваги (6) та (7), отримуємо (8) та (9) вiдповiдно.
Теорему доведено.
Нижче при дослiдженнi апроксимативних характеристик ми будемо використовувати тео-
рему 1 у випадку, коли полiноми Qs побудованi на основi ядер Валле Пуссена. Для того щоб
розглянути цей випадок, наведемо необхiднi позначення.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 8
1124 В. В. МИРОНЮК
Нехай R = (R1, . . . , Rd), Rj > 0, j = 1, d, — вектор iз означених вище просторiв BRp,θ,
g(R) :=
d∑
j=1
1
Rj
−1
,
ρ = ρ(R) =
g(R)
R
:=
(
g(R)
R1
, . . . ,
g(R)
Rd
)
:= (ρ1, . . . , ρd),
2ρn := (2ρ1n, . . . , 2ρdn), n ∈ Z+,
[2ρn] := ([2ρ1n], . . . , [2ρdn]).
Позначимо через Vm, m ∈ N, ядро Валле Пуссена вигляду
Vm(t) = 1 + 2
m∑
k=1
cos kt+ 2
2m−1∑
k=m+1
2m− k
m
cos kt, t ∈ R.
Тодi в точцi x ∈ Rd багатовимiрне ядро Валле Пуссена VN (x), N ∈ Nd, означимо згiдно з
формулою
VN (x) :=
d∏
j=1
VNj (xj).
Далi через V(f,R, n), n ∈ Z+, позначимо згортку функцiї f ∈ Lp(πd), 1 6 p 6∞, з багатови-
мiрним ядром V[2ρn], тобто
V(f,R, n)(x) :=
(
f ∗ V[2ρn]
)
(x) = (2π)−d
∫
πd
f(t)V[2ρn](x− t)dt,
i покладемо
σ(f,R, 0) := V(f,R, 0), σ(f,R, s) := V(f,R, s)− V(f,R, s− 1), s ∈ N.
Зазначимо, що довiльну функцiю f ∈ Lp(πd), 1 6 p 6 ∞, в сенсi збiжностi у метрицi
простору Lp(πd) можна зобразити у виглядi ряду (див., наприклад, [6], роздiл 2)
f =
∞∑
s=0
σ(f,R, s),
частиннi суми n-го порядку якого реалiзують порядок найкращого наближення E[2ρn](f)p .
Таким чином, у прийнятих позначеннях iз теореми 1 випливає таке твердження.
Наслiдок 1. Функцiя f належить простору BRp,θ, 1 6 p 6 ∞, 1 6 θ < ∞, тодi i тiльки
тодi, коли ( ∞∑
s=0
2sg(R)θ‖σ(f,R, s)‖θp
)1/θ
<∞,
причому
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 8
ТРИГОНОМЕТРИЧНI НАБЛИЖЕННЯ ТА КОЛМОГОРОВСЬКI ПОПЕРЕЧНИКИ . . . 1125
‖f‖BRp,θ �
( ∞∑
s=0
2sg(R)θ‖σ(f,R, s)‖θp
)1/θ
. (24)
Вiдповiдно функцiя f належить простору BRp,∞, 1 6 p 6∞, тодi i тiльки тодi, коли
sup
s∈Z+
2sg(R)‖σ(f,R, s)‖p <∞,
причому
‖f‖BRp,∞ � sup
s∈Z+
2sg(R)‖σ(f,R, s)‖p .
Зауваження 1. При θ =∞ наслiдок 1 отримав В. М. Темляков [6] (роздiл 2).
Зазначимо, що з урахуванням нерiвностей
sup
s∈Z+
|νs| 6
( ∞∑
s=0
|νs|θ
′
)1/θ′
6
( ∞∑
s=0
|νs|θ
)1/θ
, 1 6 θ < θ′ <∞,
якi виконуються для будь-якої послiдовностi чисел {νs}∞s=0 (див., наприклад, [5, c. 149]), iз
наслiдку 1 випливають вкладення
BRp,1 ⊂ BRp,θ ⊂ BRp,θ′ ⊂ BRp,∞ ≡ HR
p , 1 < θ < θ′ <∞. (25)
3. Тригонометричнi наближення класiв BRp,θ у просторах Lq. Спочатку означимо апрок-
симативнi характеристики, якi будемо дослiджувати у цьому пунктi.
Нехай S(f,R, n), n ∈ Z+, позначає кратну суму Фур’є функцiї f ∈ L1(πd), яка визначається
таким чином:
S(f,R, n)(x) :=
(
f ∗D[2ρn]
)
(x) = (2π)−d
∫
πd
f(t)D[2ρn](x− t)dt,
де
DN (x) :=
d∏
j=1
DNj (xj) =
d∏
j=1
(
1
2
+
Nj∑
k=1
cos kxj
)
, N = (N1, . . . , Nd) ∈ Nd,
— багатовимiрне ядро Дiрiхле.
Для функцiї f ∈ Lq(πd), 1 6 q 6∞, покладемо
ERn (f)q = E[2ρn](f)q, ERn (f)q = ‖f − S(f,R, n)‖q
i для функцiонального класу F ⊂ Lq(πd) розглянемо апроксимативнi характеристики
ERn (F )q := sup
f∈F
ERn (f)q (26)
та
ERn (F )q := sup
f∈F
ERn (f)q . (27)
Задача полягає у знаходженнi точних за порядком оцiнок величин (26) та (27) при умовi,
що роль класу F вiдiграє BRp,θ, 1 6 θ < ∞. Зауважимо, що при θ = ∞, тобто для класiв HRp ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 8
1126 В. В. МИРОНЮК
порядковi оцiнки вiдповiдних величин встановив В. М. Темляков (див. [6], роздiл 2). Видiлимо
цей результат i подамо його у виглядi двох тверджень.
Теорема Б. Нехай 1 6 p, q 6∞ i g(R) >
(
1
p
− 1
q
)
+
. Тодi має мiсце порядкова оцiнка
ERn (HRp )q � 2
−n
(
g(R)−
(
1
p
− 1
q
)
+
)
,
де a+ = max{a, 0}.
Теорема В. Нехай 1 6 p, q 6∞ i g(R) >
(
1
p
− 1
q
)
+
. Тодi має мiсце порядкова оцiнка
ERn (HRp )q �
n
d2−ng(R), (p, q) ∈ {(1, 1), (∞,∞)},
2
−n
(
g(R)−
(
1
p
− 1
q
)
+
)
в iнших випадках,
де a+ = max{a, 0}.
Тепер сформулюємо та доведемо отриманi результати.
Теорема 2. Нехай 1 6 p, q 6 ∞ i g(R) >
(
1
p
− 1
q
)
+
. Тодi при 1 6 θ < ∞ має мiсце
порядкова оцiнка
ERn (BRp,θ)q � 2
−n
(
g(R)−
(
1
p
− 1
q
)
+
)
, (28)
де a+ = max{a, 0}.
Доведення. Насамперед зазначимо, що оцiнка зверху в (28) випливає iз теореми Б вна-
слiдок вкладення (25). Оцiнку знизу в (28), знову-таки внаслiдок вкладення (25), достатньо
встановити при θ = 1. З цiєю метою в залежностi вiд того, яких значень набувають параметри
p i q, розглянемо два випадки. При цьому вiдмiтимо, що метод отримання оцiнок знизу буде
базуватись на побудовi екстремальних функцiй.
1. Нехай спочатку 1 6 p < q 6∞. В цьому випадку розглянемо функцiю
f1(x) = C32
−
(
g(R)+1− 1
p
)
n
d∏
k=1
vnk(xk),
де vnk(xk) = V2nk+1(xk)−V2nk (xk), nk = [ng(R)/Rk] + 1, C3 > 0. Покажемо, що f1 ∈ BRp,1 при
деякому виборi сталої C3 > 0. Для цього оцiнимо зверху ‖f1‖p та |f1|
B
Rj
xj,p,1
, j = 1, d.
Беручи до уваги порядкову оцiнку (див., наприклад, [7, с. 66])
‖vnk‖p � 2
(
1− 1
p
)
nk , 1 6 p 6∞,
маємо
‖f1‖p � 2
−
(
g(R)+1− 1
p
)
n
d∏
k=1
‖vnk‖p � 2
−
(
g(R)+1− 1
p
)
n
d∏
k=1
2
(
1− 1
p
)
nk �
� 2
−
(
g(R)+1− 1
p
)
n
d∏
k=1
2
(
1− 1
p
)
ng(R)/Rk � 2−g(R)n < 1. (29)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 8
ТРИГОНОМЕТРИЧНI НАБЛИЖЕННЯ ТА КОЛМОГОРОВСЬКI ПОПЕРЕЧНИКИ . . . 1127
Далi
|f1|
B
Rj
xj,p,1
=
+∞∫
0
ωlj (f1, ej , t)p
tRj+1
dt =
+∞∫
0
sup
|hj |6t
∥∥∥∑lj
k=0(−1)k+ljCkljf1(x+ khjej)
∥∥∥
p
tRj+1
dt �
� 2
−
(
g(R)+1− 1
p
)
n
d∏
k=1
k 6=j
‖vnk‖p
+∞∫
0
sup
|hj |6t
∥∥∥∑lj
k=0(−1)k+ljCkljvnj (xj + khj)
∥∥∥
p
tRj+1
dt �
� 2
−
(
g(R)+1− 1
p
)
n
d∏
k=1
k 6=j
‖vnk‖p
+∞∫
0
ωlj (vnj , t)p
tRj+1
dt =
= 2
−
(
g(R)+1− 1
p
)
n
d∏
k=1
k 6=j
‖vnk‖p
‖vnj‖p +
+∞∫
0
ωlj (vnj , t)p
tRj+1
dt− ‖vnj‖p
. (30)
Щоб продовжити оцiнку (30), скористаємося спiввiдношенням (24) при d = 1. Тодi
|f1|
B
Rj
xj,p,1
� 2
−
(
g(R)+1− 1
p
)
n
d∏
k=1
k 6=j
‖vnk‖p
∑
s∈Z+
2sRj‖σ(vnj , s)‖p − ‖vnj‖p
=
= 2
−
(
g(R)+1− 1
p
)
n
d∏
k=1
k 6=j
‖vnk‖p
nj+2∑
s=nj
2sRj‖σ(vnj , s)‖p − ‖vnj‖p
�
� 2
−
(
g(R)+1− 1
p
)
n
2njRj
d∏
k=1
‖vnk‖p � 2
−
(
g(R)+1− 1
p
)
n
2ng(R)2
(
1− 1
p
)
n
= 1. (31)
Отже, враховуючи (29) та (31), iз (1) отримуємо, що функцiя f1 при вiдповiдному виборi
сталої C3 > 0 належить класу BRp,1.
Нехай далi g∗n ∈ T ([2ρn], d) — полiном найкращого наближення функцiї f1 пiдпростором
T ([2ρn], d). Тодi, з одного боку, використовуючи позначення (f, g) := (2π)−d
∫
πd
f(x)g(x)dx,
на пiдставi нерiвностi Гельдера можемо записати(
f1 − g∗n,
d∏
k=1
vnk
)
6 ‖f1 − g∗n‖q
d∏
k=1
‖vnk‖q′ �
� ‖f1 − g∗n‖q
d∏
k=1
2
(
1− 1
q′
)
nk � 2
n
qERn (f1)q , (32)
де
1
q
+
1
q′
= 1. З iншого боку,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 8
1128 В. В. МИРОНЮК(
f1 − g∗n,
d∏
k=1
vnk
)
=
(
f1,
d∏
k=1
vnk
)
� 2
−
(
g(R)+1− 1
p
)
n
d∏
k=1
‖vnk‖
2
2 � 2
−
(
g(R)− 1
p
)
n
. (33)
Таким чином, спiвставляючи (32) та (33), одержуємо
ERn (BRp,θ)q > ERn (f1)q � 2
−n
(
g(R)−
(
1
p
− 1
q
))
.
2. Нехай тепер 1 6 q 6 p 6∞. Розглянемо функцiю
f2(x) = C42−ng(R)
d∏
k=1
ei2
nkxk ,
де nk = [ng(R)/Rk] + 1, C4 > 0. Як i у випадку 1, можна показати, що f2 належить BRp,1 при
деякому виборi сталої C4 > 0.
Нехай далi g∗∗n ∈ T ([2ρn], d) — полiном найкращого наближення функцiї f2 пiдпростором
T ([2ρn], d). Тодi, з одного боку, внаслiдок нерiвностi Гельдера можемо записати(
f2 − g∗∗n ,
d∏
k=1
ei2
nkxk
)
6 ‖f2 − g∗∗n ‖q
d∏
k=1
‖ei2
nkxk‖q′ = ‖f2 − g∗∗n ‖q = ERn (f2)q , (34)
де
1
q
+
1
q′
= 1. З iншого боку,
(
f2 − g∗∗n ,
d∏
k=1
ei2
nkxk
)
=
(
f2,
d∏
k=1
ei2
nkxk
)
� 2−ng(R)
d∏
k=1
‖ei2
nkxk‖22 � 2−ng(R). (35)
Таким чином, спiвставляючи (34) та (35), одержуємо
ERn (BRp,θ)q > ERn (f2)q � 2−ng(R).
Теорему доведено.
Зауваження 2. Для iзотропних класiв Brp,θ порядкову оцiнку (28) отримав А. С. Рома-
нюк [8].
Теорема 3. Нехай 1 6 p, q 6 ∞ i g(R) >
(
1
p
− 1
q
)
+
. Тодi при 1 6 θ < ∞ має мiсце
порядкова оцiнка
ERn (BRp,θ)q �
n
d2−ng(R), (p, q) ∈ {(1, 1), (∞,∞)},
2
−n
(
g(R)−
(
1
p
− 1
q
)
+
)
в iнших випадках,
(36)
де a+ = max{a, 0}.
Доведення. Внаслiдок вкладення (25) оцiнки зверху в (36) випливають iз вiдповiдних оцi-
нок на класах Нiкольського (див. теорему В), а оцiнки знизу достатньо встановити при θ = 1. З
цiєю метою в залежностi вiд того, яких значень набувають параметри p i q, розглянемо кiлька
випадкiв.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 8
ТРИГОНОМЕТРИЧНI НАБЛИЖЕННЯ ТА КОЛМОГОРОВСЬКI ПОПЕРЕЧНИКИ . . . 1129
1. Якщо (p, q) 6∈ {(1, 1), (∞,∞)}, то оцiнка знизу в (36) випливає iз теореми 1 внаслiдок
очевидної нерiвностi ERn (BRp,θ)q 6 ERn (BRp,θ)q .
2. Нехай тепер (p, q) = (1, 1). Розглянемо тригонометричний полiном
ϕm(t) =
∑
|k|6m
(
1− |k|
m
)
ei(k+m)t, t ∈ R, m ∈ N.
Використовуючи мiркування, аналогiчнi до тих, якi проводились у роботi [9], можна показати,
що ϕm задовольняє такi умови:
1) ‖ϕm‖1 = 1;
2) ‖Sm(ϕm)‖1 � ln(m+ 1), де Sm(ϕm) = ϕm ∗Dm;
3) C5m
−rϕm ∈ Br1,1 при деякому виборi сталої C5 > 0.
Далi, поклавши Nk = [2ρkn], k = 1, d, розглянемо функцiю
f3(x) = C62−ng(R)
d∏
k=1
ϕNk(xk)
та покажемо, що вона при деякому виборi сталої C6 > 0 належить класу BR1,1.
Маємо
‖f3‖1 � 2−ng(R)
d∏
k=1
‖ϕNk‖1 = 2−ng(R) < 1 (37)
i
|f3|
B
Rj
xj,p,1
=
+∞∫
0
ωlj (f3, ej , t)p
tRj+1
dt =
+∞∫
0
sup
|hj |6t
∥∥∥∑lj
k=0(−1)k+ljCkljf3(x+ khjej)
∥∥∥
p
tRj+1
dt �
� 2−ng(R)
d∏
k=1
k 6=j
‖ϕNk‖p
+∞∫
0
sup
|hj |6t
∥∥∥∑lj
k=0(−1)k+ljCkljϕNj (xj + khj)
∥∥∥
p
tRj+1
dt �
� 2−ng(R)
+∞∫
0
ωlj (ϕNj , t)p
tRj+1
dt � 2−ng(R)N
Rj
j
+∞∫
0
ωlj (N
−Rj
j ϕNj , t)p
tRj+1
dt�
� 2−ng(R)2ng(R) = 1. (38)
Отже, враховуючи (37) та (38), iз (1) отримуємо, що функцiя f3 при вiдповiдному виборi
сталої C6 > 0 належить класу BR1,1. Звiдси
ERn (BR1,θ)1 > ERn (f3)1 = ‖f3 − S(f3,R, n)‖1 >
∣∣‖S(f3,R, n)‖1 − ‖f3‖1
∣∣ �
� 2−ng(R)
∣∣∣∣∣
d∏
k=1
‖SNk(ϕNk)‖1 − 1
∣∣∣∣∣� 2−ng(R)
d∏
k=1
ln(Nk + 1) � nd2−ng(R).
3. При (p, q) = (∞,∞) розглянемо тригонометричний полiном
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 8
1130 В. В. МИРОНЮК
ψm(t) =
m∑
|k|=1
ei(k+2m+2)t
m+ 1− |k|
+
2m+1∑
|k|=m+2
ei(k+2m+2)t
m+ 1− |k|
, t ∈ R, m ∈ N.
Використовуючи мiркування, аналогiчнi до тих, якi проводились у роботi [10], можна показати,
що ψm задовольняє такi умови:
1) ‖ψm‖∞ = C7, C7 > 0;
2) ‖Sm(ψm)‖∞ � ln(m+ 1), де Sm(ψm) = ψm ∗Dm;
3) C8m
−rψm ∈ Br∞,1 при деякому виборi сталої C8 > 0.
Далi, поклавши Nk = [2ρkn], k = 1, d, розглянемо функцiю
f4(x) = C92−ng(R)
d∏
k=1
ψNk(xk), C9 > 0.
Так само, як i у випадку 2, одержимо, що f4 при вiдповiдному виборi сталої C9 > 0 належить
класу BR∞,1 i при цьому має мiсце спiввiдношення
ERn (BR∞,θ)∞ > ERn (f4)∞ � nd2−ng(R).
Таким чином, оцiнки знизу в усiх випадках встановлено, а разом з цим теорему доведено.
Зауваження 3. Для iзотропних класiв Brp,θ порядкову оцiнку (36) було отримано у роботах
[8, 10]. Зокрема, при (p, q) 6∈ {(1, 1), (∞,∞)} або (p, q) = (1, 1) i d = 1 це було зроблено у
роботi [8], а при (p, q) = (∞,∞) або (p, q) = (1, 1) i d > 2 — в [10].
4. Колмогоровськi поперечники класiв BRp,θ у просторах Lq. Нагадаємо спочатку озна-
чення поперечника, введеного А. М. Колмогоровим [11]. Нехай Φ — центрально-симетрична
множина банахового простору X . Величина
dm(Φ,X ) := inf
Lm⊂Lm
sup
f∈Φ
inf
u∈Lm
‖f − u‖X ,
де Lm — сукупнiсть усiх пiдпросторiв Lm розмiрностi m у просторi X , називається колмо-
горовським поперечником множини Φ у просторi X . Якщо iснує пiдпростiр L∗m, на якому
досягається точна нижня межа (або принаймнi її порядок), то його називають екстремальним
пiдпростором.
Метою цього пункту є знаходження точних за порядком оцiнок величин dm(BRp,θ, Lq) у
випадку 1 6 q 6 p 6 ∞, 1 6 θ < ∞. Зазначимо, що при θ = ∞, тобто для класiв HRp ,
порядковi оцiнки вiдповiдних величин ранiше отримав В. М. Темляков. Цей результат можна
сформулювати у виглядi такого твердження (див. [6], роздiл 2).
Теорема Г. Нехай 1 6 q 6 p 6∞ i g(R) > 0. Тодi має мiсце порядкова оцiнка
dm(HRp , Lq) � m−g(R).
Наведемо ще одне допомiжне твердження, яке знадобиться при доведеннi отриманого ре-
зультату.
Теорема Д (див. [6], роздiл 2). Нехай ε > 0 i пiдпростiр Ψ ⊂ T (N , d) є таким, що його
розмiрнiсть dim Ψ > ε
∏d
j=1
(2Nj + 1). Тодi iснує полiном ψ ∈ Ψ, який задовольняє умови
‖ψ‖∞ = 1, ‖ψ‖2 > C(ε, d) > 0.
Тепер перейдемо до формулювання та доведення отриманого результату.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 8
ТРИГОНОМЕТРИЧНI НАБЛИЖЕННЯ ТА КОЛМОГОРОВСЬКI ПОПЕРЕЧНИКИ . . . 1131
Теорема 4. Нехай 1 6 q 6 p 6 ∞ i g(R) > 0. Тодi при 1 6 θ < ∞ має мiсце порядкова
оцiнка
dm(BRp,θ, Lq) � m−g(R). (39)
Доведення. Оцiнка зверху в (39) вiдразу випливає iз теореми Г внаслiдок вкладення (25), а
оцiнку знизу достатньо встановити при θ = 1.
Нехай в L1(πd) задано довiльну систему функцiй {uj}mj=1. Пiдберемо число n = n(m)
таким чином, щоб
dimT ([2ρn], d) > 2m > dimT ([2ρ(n−1)], d).
Зрозумiло, що тодi 2n � m.
Розглянемо далi пiдпростiр
Ψ =
{
g ∈ T ([2ρn], d) : (g, uj) = 0, j = 1,m
}
.
Згiдно iз теоремою Д, iснує полiном ψ ∈ Ψ такий, що
‖ψ‖∞ = 1, ‖ψ‖2 > C10 > 0.
Покладемо f5(x) = C112−ng(R)ψ(x) i покажемо, що f5 належить BRp,1 при деякому виборi
сталої C11 > 0.
Оскiльки σ(f,R, s) = f ∗
(
V[2ρs] − V[2ρ(s−1)]
)
, то внаслiдок ортогональностi тригономет-
ричної системи функцiй σ(f,R, s) = 0 для довiльної функцiї f , „номери гармонiк” якої не
належать множинi K(2[2ρs], d)\K([2ρ(s−1)], d). Звiдси, зокрема, σ(f5,R, s) = 0 при s > n+ 1.
Але тодi, використавши спiввiдношення (24), будемо мати
‖f5‖BRp,1 �
∑
s∈Z+
2sg(R)‖σ(f5,R, s)‖p =
n∑
s=0
2sg(R)‖σ(f5,R, s)‖p �
�
n∑
s=0
2(s−n)g(R)‖ψ‖p 6
n∑
s=0
2(s−n)g(R)‖ψ‖∞ = C12, C12 > 0.
Отже, f5 ∈ BRp,1 при деякому виборi сталої C11 > 0.
Тепер для довiльного полiнома u, побудованого на базi системи функцiй {uj}mj=1, згiдно з
нерiвнiстю Гельдера маємо
‖f5 − u‖q > ‖f5 − u‖1 = ‖f5 − u‖1‖ψ‖∞ > (f5 − u, ψ) = (f5, ψ) �
� 2−ng(R)‖ψ‖22 � m−g(R).
З останнього спiввiдношення випливає оцiнка знизу в (39).
Теорему доведено.
Зауваження 4. Для iзотропних класiв Brp,θ оцiнку (39) для деяких спiввiдношень мiж па-
раметрами p, q, θ, r, d встановлено у роботах [12 – 14] (див. також [15]).
Зауваження 5. Порiвнюючи теореми 2 i 4, приходимо до висновку, що у випадку 1 6
6 q 6 p 6∞, g(R) > 0 пiдпростiр T ([2ρn], d) є екстремальним пiдпростором для наближення
функцiй iз класiв BRp,θ.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 8
1132 В. В. МИРОНЮК
1. Бесов О. В. Исследование одного семейства функциональных пространств в связи с теоремами вложения и
продолжения // Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1961. – 60. – C. 42 – 81.
2. Никольский С. М. Неравенства для целых функций конечной степени и их применение в теории дифференци-
руемых функций многих переменных // Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1951. – 38. – С. 244 – 278.
3. Аманов Т. И. Теоремы представления и вложения для функциональных пространств S(r)
p,θB(Rn) и S
(r)∗
p,θ B
(0 ≤ xj ≤ 2π, j = 1, ..., n) // Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1965. – 77. – С. 5 – 34.
4. Лизоркин П. И. Обобщенные гельдеровы пространства B(r)
p,θ и их соотношение с пространствами Соболева
L
(r)
p // Сиб. мат. журн. – 1968. – 9, № 5. – C. 1127 – 1152.
5. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. – М.: Наука, 1969. – 480 c.
6. Temlyakov V. N. Approximation of periodic functions. – New York: Nova Sci. Publ. Inc., 1993. – 272 p.
7. Темляков В. Н. Приближение функций с ограниченной смешанной производной // Тр. Мат. ин-та АН СССР. –
1986. – 178. – С. 1 – 112.
8. Романюк А. С. Приближение изотропных классов Brp,θ периодических функций многих переменных в про-
странстве Lq // Теорiя наближення функцiй та сумiжнi питання: Зб. праць Iн-ту математики НАН України. –
2008. – 5, № 1. – С. 263 – 278.
9. Романюк A. C. Приближение классов B r
p, θ периодических функций одной и многих переменных // Мат.
заметки. – 2010. – 87, № 3. – С. 429 – 442.
10. Миронюк В. В. Наближення класiв BΩ
p,θ перiодичних функцiй багатьох змiнних сумами Фур’є у просторi Lp
при p = 1,∞ // Укр. мат. журн. – 2012. – 64, № 9. – С. 1204 – 1213.
11. Kolmogoroff A. Über die beste Annäherung von Funktionen einer gegebenen Funktionenklasse // Ann. Math. – 1936. –
37, № 1. – P. 107 – 110.
12. Романюк А. С. Билинейные приближения и колмогоровские поперечники периодических классов Бесова //
Теорiя операторiв, диференцiальнi рiвняння i теорiя функцiй: Зб. праць Iн-ту математики НАН України. –
2009. – 6, № 1. – С. 222 – 236.
13. Романюк А. С. О колмогоровских и линейных поперечниках классов Бесова периодических функций мно-
гих пременных // Исследования по теории приближения функций: Сб. науч. тр. – Киев: Ин-т математики
АН Украины. – 1991. – С. 86 – 92.
14. Романюк А. С. Колмогоровские и тригонометрические поперечники классов Бесова Brp,θ периодических функ-
ций многих переменных // Мат. сб. – 2006. – 197, № 1. – С. 71 – 96.
15. Романюк А. С. Аппроксимативные характеристики классов периодических функций многих переменных //
Працi Iн-ту математики НАН України. – 2012. – 93. – 352 с.
Одержано 29.10.13
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 8
|
| id | umjimathkievua-article-2203 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:20:39Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/1d/2d829b9d29bc54c43634a43e7926981d.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-22032019-12-05T10:26:14Z Trigonometric Approximations and Kolmogorov Widths of Anisotropic Besov Classes of Periodic Functions of Several Variables Тригонометричні наближення та колмогоровські поперечники анізотропних класів Бєсова періодичних функцій багатьох змінних Myronyuk, V. V. Миронюк, В. В. We describe the Besov anisotropic spaces of periodic functions of several variables in terms of the decomposition representation and establish the exact-order estimates of the Kolmogorov widths and trigonometric approximations of functions from unit balls of these spaces in the spaces L q . В терминах декомпозиционного представления охарактеризованы анизотропные пространства Бесова периодических функций многих переменных и установлены точные по порядку оценки колмогоровских поперечников и тригонометрических приближений функций из единичных шаров этих пространств в пространствах L q . Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2014-08-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2203 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 66 No. 8 (2014); 1117–1132 Український математичний журнал; Том 66 № 8 (2014); 1117–1132 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2203/1407 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2203/1408 Copyright (c) 2014 Myronyuk V. V. |
| spellingShingle | Myronyuk, V. V. Миронюк, В. В. Trigonometric Approximations and Kolmogorov Widths of Anisotropic Besov Classes of Periodic Functions of Several Variables |
| title | Trigonometric Approximations and Kolmogorov Widths of Anisotropic Besov Classes of Periodic Functions of Several Variables |
| title_alt | Тригонометричні наближення та колмогоровські поперечники анізотропних класів Бєсова періодичних функцій багатьох змінних |
| title_full | Trigonometric Approximations and Kolmogorov Widths of Anisotropic Besov Classes of Periodic Functions of Several Variables |
| title_fullStr | Trigonometric Approximations and Kolmogorov Widths of Anisotropic Besov Classes of Periodic Functions of Several Variables |
| title_full_unstemmed | Trigonometric Approximations and Kolmogorov Widths of Anisotropic Besov Classes of Periodic Functions of Several Variables |
| title_short | Trigonometric Approximations and Kolmogorov Widths of Anisotropic Besov Classes of Periodic Functions of Several Variables |
| title_sort | trigonometric approximations and kolmogorov widths of anisotropic besov classes of periodic functions of several variables |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2203 |
| work_keys_str_mv | AT myronyukvv trigonometricapproximationsandkolmogorovwidthsofanisotropicbesovclassesofperiodicfunctionsofseveralvariables AT mironûkvv trigonometricapproximationsandkolmogorovwidthsofanisotropicbesovclassesofperiodicfunctionsofseveralvariables AT myronyukvv trigonometričnínabližennâtakolmogorovsʹkípoperečnikianízotropnihklasívbêsovaperíodičnihfunkcíjbagatʹohzmínnih AT mironûkvv trigonometričnínabližennâtakolmogorovsʹkípoperečnikianízotropnihklasívbêsovaperíodičnihfunkcíjbagatʹohzmínnih |