Quasiperiodic Extremals of Nonautonomous Lagrangian Systems on Riemannian Manifolds
The paper deals with a quasiperiodically excited natural Lagrangian system on a Riemannian manifold. We find sufficient conditions under which this system has a weak Besicovitch quasiperiodic solution minimizing the averaged Lagrangian. It is proved that this solution is indeed a twice continuously...
Gespeichert in:
| Datum: | 2014 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2014
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2230 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508182500081664 |
|---|---|
| author | Parasyuk, I. O. Парасюк, І. О. |
| author_facet | Parasyuk, I. O. Парасюк, І. О. |
| author_sort | Parasyuk, I. O. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T10:26:46Z |
| description | The paper deals with a quasiperiodically excited natural Lagrangian system on a Riemannian manifold. We find sufficient conditions under which this system has a weak Besicovitch quasiperiodic solution minimizing the averaged Lagrangian. It is proved that this solution is indeed a twice continuously differentiable uniformly quasiperiodic function, and the corresponding system in variations is exponentially dichotomous on the real axis. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:21:09Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
I. О. Парасюк (Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка)
КВАЗIПЕРIОДИЧНI ЕКСТРЕМАЛI
НЕАВТОНОМНИХ ЛАГРАНЖЕВИХ СИСТЕМ
НА РIМАНОВИХ МНОГОВИДАХ
The paper deals with a quasiperiodically excited natural Lagrangian system on a Riemannian manifold. We find sufficient
conditions under which this system has a weak Besicovitch quasiperiodic solution minimizing the averaged Lagrangian.
It is proved that this solution is indeed a twice continuously differentiable uniformly quasiperiodic function, and the
corresponding system in variations is exponentially dichotomic on the real axis.
Рассматривается квазипериодически возбуждаемая натуральная лагранжева система на римановом многообразии.
Указаны достаточные условия, при выполнении которых такая система имеет слабое квазипериодическое по Безико-
вичу решение, минимизирующее усреднeнный лагранжиан. Доказано, что в действительности это решение является
дважды непрерывно дифференцируемой равномерной квазипериодической функцией, а соответствующая система
в вариациях экспоненциально дихотомична на всей вещественной оси.
1. Вступ. Нехай (M, 〈·, ·〉) — повний m-вимiрний рiманiв многовид з рiмановою метрикою
〈·, ·〉 , яка породжує функцiю вiдстанi ρ(·, ·) : M×M 7→ R+ та зв’язнiсть Левi – Чивiти∇. Через
∇ξ, ‖ξ‖ , ∇V та HV (x) позначимо вiдповiдно коварiантну похiдну вздовж дотичного вектора ξ,
норму цього вектора, градiєнт та гессiан гладкої функцiї V (·) : M 7→ R в точцi x. (Нагадаємо,
що за означенням ∇ξV (x) : = 〈∇V (x), ξ〉 , ‖ξ‖2 = 〈ξ, ξ〉 i 〈HV (x)ξ, η〉 := 〈∇ξ∇V (x), η〉 для
довiльних ξ, η ∈ TxM.)
Розглянемо на (M, 〈·, ·〉) натуральну систему з кiнетичною енергiєю K(ẋ) := 〈ẋ, ẋ〉 /2, де
ẋ = dx/dt — вектор миттєвої швидкостi, i квазiперiодичною за часом потенцiальною енергiєю
Π(t, x) вигляду Π(t, x) = −W (tω, x), де W (·, ·) : Tk ×M 7→ R — гладка функцiя. Тут Tk =
= Rk/(2πZk) — k-вимiрний тор з природними кутовими координатами ϕ=(ϕ1, . . . , ϕk)|mod2π,
а ω ∈ Rk — базисний вектор частот iз рацiонально незалежними компонентами. Отже, лагран-
жiан дослiджуваної системи має вигляд
L(tω, x, ẋ) = K(ẋ) +W (tω, x). (1)
Виникає природне питання: чи має лагранжева система з таким лагранжiаном квазiперiодич-
ний розв’язок iз базисним вектором частот ω? Один iз пiдходiв до розв’язання поставленого
питання спирається на варiацiйний метод [1 – 10]. За винятком [7, 8], у цих роботах розглядалися
лагранжевi системи в евклiдовому просторi. У [7, 8] було обґрунтовано варiацiйний метод
виявлення слабкого квазiперiодичного розв’язку лагранжевої системи з лагранжiаном (1) на
рiмановому многовидi за умови недодатностi секцiйної рiманової кривини цього многовиду. В
[11] при доведеннi iснування слабкого квазiперiодичного розв’язку вдалося уникнути вимоги
недодатностi секцiйної рiманової кривини за додаткового припущення — наявностi обмеженої
гладкої функцiї V (·) : M 7→ R, яка задовольняє такi умови:
У1) множина D :=
{
x ∈M : 2λV (x) + ‖∇V (x)‖2 > 0
}
, де
λV (x) := min {〈HV (x)ξ, ξ〉 : ‖ξ‖ = 1, ξ ∈ TxM}
c© I. О. ПАРАСЮК, 2014
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 10 1387
1388 I. О. ПАРАСЮК
— мiнiмальне власне число гессiана HV (x), непорожня i для деякого некритичного значення
v ∈ V (D) iснує обмежена зв’язна компонента Ω пiдрiвневої множини V −1 (−∞, v) така, що
Ω̄ := Ω ∪ ∂Ω ⊆ D;
У2) обмеження квадратичної форми 〈HV (x)ξ, ξ〉 на Tx∂Ω є додатно визначеною формою
для всiх x ∈ ∂Ω i
min
x∈Ω̄
{µV (x)− 2K∗(x)} > 0, (2)
де
µV (x) := min
{
〈HV (x)ξ, ξ〉 − 1
2
〈∇V (x), ξ〉2 : ‖ξ‖ = 1, ξ ∈ TxM
}
,
а K∗(x) — максимальна секцiйна (рiманова) кривина по двовимiрних площинах дотичного
простору TxM (див. визначення у [13, с. 113]);
У3) будь-якi двi точки x, y ∈ Ω можна з’єднати вiдрiзком геодезичної конформно еквiва-
лентної рiманової метрики 〈·, ·〉V := eV 〈·, ·〉 , розташованим у D̄.
Серед перелiчених вимог щодо функцiї V (·) умова У3 має „некоефiцiєнтний” i нелокальний
характер, унаслiдок чого її перевiрка може бути надто складною. Як показано у п. 2, насправ-
дi перевiряти цю умову немає потреби: вона виконується автоматично. Цей факт дозволив
на основi результатiв [11] констатувати, що умови У1, У2 разом iз певними властивостями
опуклостi функцiї W (·, ·) та умовою гостроти кута мiж градiєнтами функцiй V (·) та W (ϕ, ·)
при кожному ϕ ∈ Tk гарантують iснування функцiї u(·) : Tk 7→ M, яка породжує слабкий
квазiперiодичний за Безiковичем розв’язок x(t) := u(tω) системи з лагранжiаном L(tω, x, ẋ)
(теорема 1). Зазначений розв’язок має екстремальну властивiсть: вiн є границею послiдовностi,
яка мiнiмiзує функцiонал
L[x(·)] := lim
T→∞
1
2T
T∫
−T
L(tω, x(t), ẋ(t))dt (3)
на метричному просторi, утвореному шляхом замикання множини гладких квазiперiодичних
функцiй x(·) : R 7→ Ω за псевдометрикою
d1(x1(·), x2(·)) := lim
T→∞
1
2T
T∫
−T
[
‖ẋ1(t)− ẋ2(t)‖2 + ρ2(x1(t), x2(t))
]
dt. (4)
У п. 3 мiститься основний результат: тут на основi пiдходу, запропонованого в [4] i розвинутого
в [12], доведено, що x(t) є класичним рiвномiрним квазiперiодичним розв’язком системи з
лагранжiаном L(tω, x, ẋ) (теорема 2). Крiм того, встановлено, що система у варiацiях вiдносно
x(t) є експоненцiально дихотомiчною на всiй дiйснiй осi часу (теорема 3).
2. Теорема iснування слабкого квазiперiодичного розв’язку лагранжевої системи на
рiмановому многовидi. Згiдно з теоремою Неша [14] многовид (M, 〈·, ·〉) допускає гладке
iзометричне вкладення ι : M 7→ En в евклiдiв простiр En = (Rn, (·, ·)) деякої вимiрностi
n > m, так що 〈ξ, η〉 = (ι∗ξ, ι∗η) для довiльних ξ, η ∈ TxM. Тут (·, ·) — стандартний скалярний
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 10
КВАЗIПЕРIОДИЧНI ЕКСТРЕМАЛI НЕАВТОНОМНИХ ЛАГРАНЖЕВИХ СИСТЕМ . . . 1389
добуток в Rn, ι∗ — похiдна вiдображення вкладення ι. Тодi, як i в [11], можемо iнтерпретувати
натуральну лагранжеву систему на M як натуральну лагранжеву систему в En з голономною
в’яззю у виглядi пiдмноговиду ι(M).
Позначимо черезDωf(ϕ) :=
d
dt
∣∣
t=0
f(ϕ+tω) похiдну за напрямом ω функцiї f(·) : Tk 7→ En
i через ∇W (ϕ, x) градiєнт функцiї W (ϕ, ·) : M 7→ R у точцi x для фiксованого ϕ ∈ Tk.
Твердження 1. Функцiя t 7→ x(t) := u(tω) класу C2(R;M) , де u(·) ∈ C
(
Tk 7→M
)
i
D2
ωu(·) ∈ C
(
Tk 7→M
)
, є класичним квазiперiодичним розв’язком лагранжевої системи на
(M, 〈·, ·〉) з лагранжiаном (1) тодi й лише тодi, коли для будь-якого вiдображення h(·) ∈
∈ C
(
Tk;TM
)
такого, що Dωι∗h(·) ∈ C
(
Tk;En
)
i h(ϕ) ∈ Tu(ϕ)M при кожному ϕ ∈ Tk,
функцiя u(·) задовольняє рiвнiсть∫
Tk
[(Dωι ◦ u(ϕ), Dωι∗h(ϕ)) + (ι∗∇W (ϕ, u(ϕ)), ι∗h(ϕ))] dϕ = 0, (5)
де dϕ := dϕ1 ∧ . . . ∧ dϕk — диференцiальна форма об’єму на торi Tk.
Доведення. За означенням класичного розв’язку маємо
∇ẋ(t)ẋ(t) = ∇W (tω, x(t)) ∀t ∈ R. (6)
Якщо для кожної точки x ∈M визначити оператор ортогонального проектування
Px : Tι(x)En 7→ ι∗TxM,
то за вiдомою властивiстю зв’язностi Левi – Чивiти [13, с. 105] для будь-якого гладкого поля
дотичних векторiв ξ(t) уздовж x(t) маємо
ι∗∇ẋ(t)ξ(t) = Px(t)
d
dt
ι∗ξ(t). (7)
Тодi, з урахуванням рацiональної незалежностi компонент вектора частот, рiвнiсть (6) вилива-
ється в ланцюжок еквiвалентних спiввiдношень
Px(t)
d
dt
ι∗ẋ(t) = ι∗∇W (tω, x(t)) ∀t ∈ R ⇔
Pu(ϕ)D
2
ωι ◦ u(ϕ) = ι∗∇W (ϕ, u(ϕ)) ∀ϕ ∈ Tk ⇔∫
Tk
(
D2
ωι ◦ u(ϕ), Pu(ϕ)v(ϕ)
)
dϕ =
∫
Tk
(
ι∗∇W (ϕ, u(ϕ)), Pu(ϕ)v(ϕ)
)
dϕ
∀v(·) ∈ C
(
Tk;En
)
: Dωv(·) ∈ C
(
Tk;En
)
⇔
∫
Tk
(
D2
ωι ◦ u(ϕ), ι∗h(ϕ)
)
dϕ =
∫
Tk
(ι∗∇W (ϕ, u(ϕ)), ι∗h(ϕ)) dϕ (8)
∀h(·) ∈ C
(
Tk;TM
)
: Dωι∗h(·) ∈ C
(
Tk;En
)
, h(ϕ) ∈ Tu(ϕ)M ∀ϕ ∈ Tk.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 10
1390 I. О. ПАРАСЮК
Iнтегруючи частинами лiвий бiк рiвностi (8), завершуємо доведення твердження.
Тепер, спираючись на твердження 1, введемо поняття слабкого квазiперiодичного розв’язку
системи з лагранжiаном (1) на рiмановому многовидiM. Перш нiж сформулювати вiдповiдне
означення нагадаємо означення низки функцiональних просторiв i пов’язаних iз ними об’єктiв.
Позначимо через H(Tk;En) простiр En-значних функцiй на торi Tk, iнтегровних за Лебегом
з квадратом стандартної евклiдової норми ‖·‖ =
√
(·, ·) в En (зауважимо, що з урахуванням
iзометричностi вкладення ι норми векторiв ξ ∈ TxM i ι∗ξ ∈ Tι(x)En ∼ En у вiдповiдних
просторах рiвнi, тому ми використовуємо для позначення цих норм єдиний символ). Для еле-
ментiв простору H(Tk;En) визначено скалярний добуток (·, ·)0 := (2π)−k
∫
Tk(·, ·)dϕ та напiв-
норму ‖·‖0 =
√
(·, ·)2
0. Через H1
ω(Tk;En) позначимо простiр функцiй f(·) ∈ H(Tk;En), кожна
з яких має слабку (узагальнену) в сенсi Соболєва похiдну Dωf(·) ∈ H(Tk;En) за напрямом
ω, тобто (f(·), Dωg(·))0 = − (Dωf(·), g(·))0 для довiльної неперервно диференцiйовної функ-
цiї g(·) : Tk 7→ En. У просторi H1
ω(Tk;En) природним чином визначено скалярний добуток
(·, ·)1 := (·, ·)0 +(Dω·, Dω·)0 та породжену ним напiвнорму ‖·‖1 . Пiсля ототожнення елементiв,
рiвних майже скрiзь, обидва простори
(
H(Tk;En), (·, ·)0
)
,
(
H1
ω(Tk;En), (·, ·)1
)
перетворюються
на гiльбертовi простори (див., наприклад, [12, 15]).
Далi, для довiльної обмеженої множини A ⊂ M позначимо через SA простiр гладких
функцiй u(·) : Tk 7→ A.
Означення 1. Скажемо, що функцiя u(·) : Tk 7→ M належить класу H1
A, якщо ι ◦ u(·) є
сильною границею в H1
ω(Tk;En) деякої послiдовностi {ι ◦ uj(·)} , де uj(·) ∈ SA, j = 1, 2, . . . .
Зауважимо, що для компактної множини Ā⊂ M iснують додатнi сталi c та C такi, що
c ‖ι(x1)− ι(x2)‖ ≤ ρ(x1, x2) ≤ C ‖ι(x1)− ι(x2)‖ ∀x1, x2 ∈ Ā,
а оскiльки збiжна у H(Tk;En) послiдовнiсть мiстить пiдпослiдовнiсть, збiжну майже скрiзь на
Tk, то без обмеження загальностi можна вважати, що функцiї класу H1
A набувають значень
у Ā.
Означення 2. Скажемо, що вiдображення h(·) : Tk 7→ TM є векторним полем уздовж
вiдображення u(·) ∈ H1
A, визначеного послiдовнiстю {uj(·) ∈ SA} , якщо ι∗h(·) є сильною
границею в H1
ω (T;En) послiдовностi {ι∗hj(·)} , де
{
hj(·) : Tk 7→ TM
}
— послiдовнiсть гладких
вiдображень таких, що
hj(ϕ) ∈ Tuj(ϕ)M ∀j ∈ N, sup
j∈N,ϕ∈Tk
‖hj(ϕ)‖ <∞.
За вiдомою теоремою Рiса – Фiшера формальна сума
∑
n∈Zk
fne
i(n,ϕ) є рядом Фур’є функ-
цiї f(·) ∈ H(Tk;En) тодi й лише тодi, коли збiгається ряд
∑
n∈Zk
‖fn‖2 . З iншого боку, за
теоремою Фiшера – Рiса – Безiковича [16, c. 110] формальнiй сумi
∑
n∈Zk
fne
i(n,ω)t можна по-
ставити у вiдповiднiсть (неоднозначно) функцiю t 7→ f(t) класу L2
loc(R;En), яка має зазначену
формальну суму своїм рядом Фур’є i представляє елемент простору квазiперiодичних за Безiко-
вичем функцiй B2(R;En) . З огляду на вигляд обох зазначених рядiв Фур’є загальновживаним
є запис f(t) = f(tω) для квазiперiодичної функцiї f(·), асоцiйованої з функцiєю на торi f(·).
При цьому, однак, слiд мати на увазi такi обставини. По-перше, у процесi доведення теореми
Фiшера – Рiса – Безiковича побудова функцiї Безiковича за її рядом Фур’є здiйснюється безвiд-
носно до звуження на лiнiю {ϕ = tω}t∈R конкретної асоцiйованої функцiї з H(Tk;En), i, крiм
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 10
КВАЗIПЕРIОДИЧНI ЕКСТРЕМАЛI НЕАВТОНОМНИХ ЛАГРАНЖЕВИХ СИСТЕМ . . . 1391
того, будь-якi двi функцiї з L2
loc(R;En), що представляють елемент простору B2(R;En) (тобто
мають спiльний ряд Фур’є), можуть вiдрiзнятися на функцiю, скрiзь не рiвну нулю. По-друге,
якщо довiльно взяти функцiю f(·) ∈ H(Tk;En), то можна лише стверджувати, що функцiя
t 7→ f(ϕ + tω) буде належати B2(R;En) для майже кожної точки ϕ ∈ Tk, однак апрiорi невi-
домо, чи буде це вiрно для ϕ = 0. Тому для того, щоб надати неформального змiсту рiвностi
f(t) = f(tω), навпаки, вважають, що, вже маючи функцiю f(·) ∈ B2(R;En) , асоцiйовану функ-
цiю f(·) ∈ H(Tk;En) перевизначають у разi потреби на лiнiї {ϕ = tω}t∈R (яка має нульову
лебегову мiру) так, щоб зазначена рiвнiсть дiйсно виконувалася [15] (п. 1.5).
Нехай тепер f(·) = ι ◦ u(·), де u(·) ∈ H1
A. Для цiєї функцiї можна вказати асоцiйовану
квазiперiодичну функцiю Безiковича зi значеннями в En. Однак з огляду на зазначенi вище
обставини потребує роз’яснень таке питання: чи iснує асоцiйована з ι ◦ u(·) квазiперiодична
функцiя Безiковича, яка набуває значень у ι(Ā)? Тобто, чи визначена для функцiї u(·) ∈ H1
A
асоцiйована квазiперiодична функцiя Безiковича зi значеннями у Ā? Вiдповiдь на поставлене
питання є ствердною.
Справдi, позначимо через M2(R; Ā) простiр Марцинкевича [17], утворений функцiями x(·) :
R 7→ Ā такими, що ρ(x(·), x0) ∈ L2
loc(R;R) для деякого фiксованого x0 ∈ Ā i
lim sup
T→∞
1
2T
T∫
−T
ρ2(x(t), x0)dt <∞.
Якщо для довiльної пари функцiй x1(·), x2(·) ∈M2(R; Ā) покласти
d(x1(·), x2(·)) :=
lim sup
T→∞
1
2T
T∫
−T
ρ2(x1(t), x2(t))dt
1/2
i задати у M2(R; Ā) вiдношення еквiвалентностi
x1(·) ∼ x2(·) ⇔ d(x1(·), x2(·)) = 0,
то дiстанемо повний метричний простiр
(
M2(R; Ā)/ ∼; d(·, ·)
)
[17 – 19]. Якщо тепер
{uj(·) ∈ SA} — послiдовнiсть, яка визначає функцiю u(·) ∈ H1
A, i xj(t) := uj(tω), то з ураху-
ванням нерiвностi
c ‖ι ◦ ui(·)− ι ◦ uj(·)‖20 ≤ d
2(xi(·), xj(·)) ≤ C ‖ι ◦ ui(·)− ι ◦ uj(·)‖20
послiдовнiсть квазiперiодичних функцiй {xj(·)} буде фундаментальною у зазначеному метрич-
ному просторi, а отже, збiжною до функцiї x∗(·) ∈ M2(R; Ā). Остання i є квазiперiодичною
функцiєю Безiковича зi значеннями в Ā, асоцiйованою з u(·) ∈ H1
A. Оскiльки
lim sup
T→∞
1
2T
T∫
−T
‖ι ◦ x∗(t)− ι ◦ xj(t)‖2 dt = 0,
то ι ◦ x∗(·) є квазiперiодичною функцiєю Безiковича, асоцiйованою з функцiєю ι ◦ u(·) ∈
∈ H1
ω(Tk;En).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 10
1392 I. О. ПАРАСЮК
Зауважимо, що для кожної функцiї f(·) ∈ B2(R;En) справджується рiвнiсть
lim sup
T→∞
1
2T
T∫
−T
‖f(t)‖2 dt = lim
T→∞
1
2T
T∫
−T
‖f(t)‖2 dt.
Оскiльки послiдовнiсть {ι ◦ uj(·)} збiгається за нормою ‖·‖1 i
lim
T→∞
1
2T
T∫
−T
‖ẋi(t)− ẋj(t)‖2 dt = lim
T→∞
1
2T
T∫
−T
‖ι∗ẋi(t)− ι∗ẋj(t)‖2 dt =
=
1
(2π)k
∫
Tk
‖Dωι ◦ ui(ϕ)−Dωι ◦ uj(ϕ)‖2 dϕ,
то послiдовнiсть {xj(t)} збiгається за псевдометрикою d1(·, ·) (4).
Тепер з огляду на твердження 1 сформулюємо таке означення.
Означення 3. Квазiперiодичну функцiю Безiковича t 7→ u(tω), асоцiйовану з функцiєю
u(·) ∈ H1
A, де A ⊆M — деяка обмежена множина, назвемо слабким квазiперiодичним розв’яз-
ком лагранжевої системи наM з лагранжiаном (1), якщо
(Dωι ◦ u(·), Dωι∗h(·))0 + (ι∗∇W (·, u(·)), ι∗h(·))0 = 0 (9)
для кожного векторного поля h(·) вздовж u(·).
Функцiю u(·), яка фiгурує в цьому означеннi, можна iнтерпретувати як екстремаль функ-
цiонала
J [u(·)] :=
∫
Tk
[
1
2
‖Dωι ◦ u(ϕ)‖2 +W (ϕ, u(ϕ))
]
dϕ
на множинi H1
A, а вiдповiдний слабкий розв’язок t 7→ u(tω) — як екстремаль функцiонала L
(3) на множинi квазiперiодичних функцiй Безiковича, асоцiйованих з функцiями класу H1
A.
Cформулюємо й доведемо теорему iснування слабкого квазiперiодичного розв’язку.
Теорема 1. Нехай на многовидi M iснує обмежена гладка функцiя V (·) : M 7→ R, яка
задовольняє умови У1, У2, а також нерiвностi
λW (ϕ, x) +
1
2
〈∇W (ϕ, x),∇V (x)〉 > 0 ∀(ϕ, x) ∈ Tk × Ω̄,
〈∇W (ϕ, x),∇V (x)〉 > 0 ∀(ϕ, x) ∈ Tk × ∂Ω,
де λW (ϕ, x) := min {〈HW (ϕ, x)ξ, ξ〉 : ξ ∈ TxM, ‖ξ‖ = 1} , HW (ϕ, x) — гессiан функцiї
W (ϕ, ·) : M 7→ R у точцi x при ϕ ∈ Tk. Тодi система з лагранжiаном (1) має слабкий
квазiперiодичний розв’язок, асоцiйований з функцiєю iз класу H1
Ω.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 10
КВАЗIПЕРIОДИЧНI ЕКСТРЕМАЛI НЕАВТОНОМНИХ ЛАГРАНЖЕВИХ СИСТЕМ . . . 1393
Доведення. Насамперед покажемо, що будь-якi двi точки множини Ω := V −1((−∞, v))
можна з’єднати геодезичним сегментом конформно еквiвалентної метрики 〈·, ·〉V := eV 〈·, ·〉 ,
який цiлком належить Ω. Позначимо через ∇V зв’язнiсть Левi – Чивiти рiманова многови-
ду (M, 〈·, ·〉V ) , через expVx (·) експоненцiальне вiдображення в точцi x, асоцiйоване зi зв’яз-
нiстю ∇V . Нехай x ∈ Ω i, отже, v0 := V (x) < v. Розглянемо вiдкриту множину
Zx =
{
ξ ∈ TxM : expVx (sξ) ∈ Ω ∀s ∈ [0, 1]
}
.
В [11, с. 10] на пiдставi вiдомої формули секцiйної кривини конформно еквiвалентної метрики
[13, с. 117] було зазначено, що при виконаннi нерiвностi (2) в кожнiй точцi областi Ω секцiйна
кривина для зв’язностi ∇V по будь-якому двовимiрному напряму є недодатною. Тодi за теоре-
мою Морса – Шенберга [13, с. 193] при кожному ξ ∈ Zx на геодезичному сегментi expVx (sξ),
s ∈ [0, 1], немає спряжених точок. Тому на множинi Zx вiдображення expVx (·) є локальним
дифеоморфiзмом i, отже, Ξ := expVx (Zx) є вiдкритою пiдмножиною множини Ω.
Покажемо, що Ξ є водночас замкненою пiдмножиною областi Ω. Нехай {ξk ∈ Zx} — така
послiдовнiсть, що послiдовнiсть
{
xk = expVx (ξk) ∈ Ξ
}
збiгається до точки x∗ ∈ Ω. Потрiбно
довести iснування вектора ξ∗ ∈ Zx такого, що expVx (ξ∗) = x∗. Множина Z̄x компактна, тому
можна вважати, що ξk збiгається до деякої точки ξ∗ ∈ Z̄x. Залишилось показати, що ξ∗ 6∈ ∂Zx.
Припустимо, що, навпаки, ξ∗ ∈ ∂Zx. Оскiльки для достатньо малого δ > 0 при всiх t ∈ [0, δ]
маємо expVx (tξ∗) ∈ Ω, то tξ∗ ∈ Zx для всiх t ∈ [0, δ]. З означення множини Zx випливає, що
iснує s∗ ∈ (δ, 1) таке, що expVx (s∗ξ∗) ∈ ∂Ω, але expVx (sξ∗) ∈ Ω, якщо s ∈ [0, s∗). Тут враховано,
що рiвнiсть s∗ = 1 неможлива, оскiльки x∗ ∈ Ω (якщо б s∗ = 1, то вектор ξ∗ належав би Zx,
що суперечить нашому припущенню).
Розглянемо тепер послiдовнiсть s∗ξk. Вона збiгається до s∗ξ∗, а тому V ◦ expVx (s∗ξk)→ v,
причому V ◦ expVx (s∗ξk) < v. Позначимо V̂ (ξ) := exp ◦V ◦ expVx (ξ). Тодi для всiх достатньо
великих k матимемо
1
2
(ev + ev0) < V̂ (s∗ξk) < ev. (10)
В [11, с. 9] показано, що включення Ω̄ ⊂ D гарантує iснування σ > 0 такого, що
d2
ds2
V̂ (sξk) ≥ σ ∀s ∈ [0, 1] ∀k ∈ N.
Тодi кожна похiдна
d
ds
V̂ (sξk) монотонно зростає на промiжку [0, 1] i до того ж
d
ds
V̂ (sξk) ≥
1
2s∗
(ev − ev0) ∀s ∈ [s∗, 1] (11)
для всiх k, починаючи з достатньо великого номера k∗. Справдi, в противному разi знайшлося
б достатньо велике k, для якого одночасно виконувалися б нерiвностi (10) i
d
ds
V̂ (sξk) ≤
d
ds
∣∣∣
s=s∗
V̂ (sξk) <
1
2s∗
(ev − ev0) ∀s ∈ [0, s∗].
Однак тодi
V̂ (s∗ξk) < ev0 +
1
2s∗
(ev − ev0) s∗ =
1
2
(ev + ev0) ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 10
1394 I. О. ПАРАСЮК
що суперечить нерiвностi (10). Тепер з нерiвностi (11) дiстаємо
exp ◦V (xk) = V̂ (ξk) ≥ V̂ (s∗ξk) +
1
2s∗
(ev − ev0) (1− s∗) ∀k ≥ k∗.
Спрямувавши тут k до нескiнченностi, дiстанемо
exp ◦V (x∗) ≥ ev +
1
2s∗
(ev − ev0) (1− s∗) > ev ⇒ V (x∗) > v,
а це суперечить припущенню, що x∗ ∈ Ω, тобто що V (x∗) < v.
Отже, Ξ є вiдкрито-замкненою в Ω пiдмножиною вiдкритої множини Ω. Оскiльки за при-
пущенням Ω є зв’язною, то, як загальновiдомо, Ξ = Ω.
Таким чином, для кожної пари точок x, y ∈ Ω iснує дотичний вектор ζ(x, y) ∈ TxM такий,
що expVx (ζ(x, y)) = y. При цьому геодезичний сегмент
⋃
s∈[0,1] expVx (sζ(x, y)) сполучає точки
x та y i повнiстю належить Ω. Бiльше того, в [11] (твердження 3.8) показано, що вiдображення
expVx (·) : Zx 7→ Ω
є дифеоморфiзмом, а отже, точки x, y однозначно визначають як вектор ζ(x, y), так i геодезич-
ний сегмент метрики 〈·, ·〉V , який їх сполучає i належить Ω.
Подальше доведення спирається на твердження 3.9 – 3.11 роботи [11] i повнiстю повторює
мiркування, викладенi в доведеннi теореми 4.1 та в додатку зазначеної статтi. На пiдставi
цих мiркувань встановлюємо таке: 1) iснує гладке вiдображення χ(·, ·, ·) : [0, 1] × Ω × Ω 7→ Ω
(вiдображення зв’язування) таке, що при фiксованих x, y ∈ Ω функцiя χ(·, x, y) : [0, 1] 7→ Ω є
розв’язком рiвняння
∇x′x′ =
‖x′‖2
2
∇V (x)
(
x′ :=
dx
ds
)
, (12)
задовольняє крайовi умови χ(0, x, y) = x, χ(1, x, y) = y i знайдеться додатне число κ > 0
таке, що для будь-якої пари гладких функцiй xi(·) : R 7→ Ω, i = 1, 2, i при кожному ϕ ∈ Tk
виконується умова опуклостi лагранжiана (14)
∂2
∂s2
L
(
ϕ+ tω, χ (s, x1(t), x2(t)) ,
∂
∂t
χ (s, x1(t), x2(t))
)
≥
≥ κ
[
‖∇ξη‖2 + ‖ξ‖2
(
‖η‖2 + 1
)]
, (13)
де
η := η(s, t) :=
∂
∂t
χ (s, x1(t), x2(t)) , ξ := ξ(s, t) :=
∂
∂s
χ (s, x1(t), x2(t))
— векторнi поля вздовж вiдображення (s, t) 7→ χ (s, x1(t), x2(t)); 2) як наслiдок, для довiльних
u1(·), u2(·) ∈ SΩ функцiя
s 7→ J [χ(s, u1(·), u2(·))]
строго опукла донизу на вiдрiзку [0, 1]; 3) мiнiмiзацiйна послiдовнiсть {uj(·) ∈ SΩ} для J
∣∣
SΩ
збiгається до функцiї u(·) ∈ H1
Ω в тому сенсi, що
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 10
КВАЗIПЕРIОДИЧНI ЕКСТРЕМАЛI НЕАВТОНОМНИХ ЛАГРАНЖЕВИХ СИСТЕМ . . . 1395
lim
j→∞
‖ι ◦ uj(·)− ι ◦ u(·)‖1 = 0,
причому для достатньо малого δ > 0 справджується рiвнiсть inf {J [SΩ+δ]} = J [u(·)]; 4) функ-
цiя u(·) задовольняє рiвнiсть J ′[u∗(·)]h(·) = 0, еквiвалентну (9), для довiльного векторного
поля h(·) вздовж u(·). Це означає, що t 7→ u(tω) — слабкий квазiперiодичний розв’язок системи
з лагранжiаном (1).
Теорему 1 доведено.
Зауваження 1. Оскiльки згiдно з умовами теореми 1 функцiї V (·) та W (·, ·) мають задо-
вольняти строгi нерiвностi, то отриманий результат залишатиметься справедливим i для областi
Ω′ = V −1(−∞, v′) ⊂ Ω з довiльним v′ < v, достатньо близьким до v. Тодi u(·) ∈ H1
Ω′ .
3. Теорема iснування класичного квазiперiодичного розв’язку. Основним результатом
даної роботи є така теорема.
Теорема 2. Нехай справджуються умови теореми 1 i функцiя u(·) ∈ H1
Ω визначає слабкий
квазiперiодичний розв’язок системи з лагранжiаном (1). Тодi u(·) ∈ C
(
Tk; Ω
)
i функцiя x(t) :=
:= u(tω) є класичним рiвномiрно квазiперiодичним розв’язком цiєї системи.
Доведення теореми спирається на твердження 2 – 4, якi наведено нижче.
Насамперед скористаємося технiкою, запропонованою в [4], i доведемо таке твердження.
Твердження 2. Нехай справджуються умови теореми 1 i функцiя u(·) ∈ H1
Ω визначає
слабкий квазiперiодичний розв’язок системи з лагранжiаном (1). Тодi для майже всiх ϕ ∈ Tk
функцiя t 7→ u(ϕ + tω) є класичним квазiперiодичним за Безiковичем розв’язком системи з
лагранжiаном
L(ϕ+ tω, x, ẋ) := K(ẋ) +W (ϕ+ tω, x). (14)
Цей розв’язок набуває значень у деякому компактi K ⊂ Ω.
Доведення. На пiдставi мiркувань, наведених у доведеннi теореми 1, можна дiйти висновку,
що множина Ω дифеоморфна деякiй областi U евклiдового простору Em = (Rm, (·, ·)) — картi
множини Ω. Отже, з урахуванням зауваження 1 вважатимемо, що функцiя u(·), iснування якої
встановлено в зазначенiй теоремi, належить класу H1
ω
(
Tk;Em
)
i набуває значень у компактнiй
пiдмножинi C ⊂ U , а вiдображення вкладення ι дiє з U у En. Метрика 〈·, ·〉 iндукує в U
тензорне поле g(x) i вiдповiдну метрику (g(x)·, ·) = 〈·, ·〉 . Оскiльки для довiльного гладкого
поля дотичних векторiв ξ(t) уздовж гладкої кривої x(t) з урахуванням (7) справджуються
рiвностi(
d
dt
ιx(t),
d
dt
ι∗ξ(t)
)
=
(
ι∗ẋ(t),
d
dt
ι∗ξ(t)
)
=
(
ι∗ẋ(t), Px(t)
d
dt
ι∗ξ(t)
)
=
(
ι∗ẋ(t), ι∗∇ẋ(t)ξ(t)
)
i в локальних координатах областi U
∇ẋ(t)ξ(t) = ξ̇(t) + Γx(t) (ẋ(t), ξ(t)) ,
де бiлiнiйне вiдображення Γx : Em × Em 7→ Em гладко залежить вiд x ∈ U i виражається через
символи Крiстоффеля, то для послiдовностi {uj(·)} , яка визначає функцiю u(·), i послiдовностi
{hj(·)} , яка згiдно з означенням 2 визначає векторне поле h(·) вздовж u(·), маємо
(Dωι ◦ uj(ϕ), Dωι∗hj(ϕ)) =
(
ι∗Dωuj(ϕ), ι∗∇Dωuj(ϕ)hj(ϕ)
)
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 10
1396 I. О. ПАРАСЮК
=
(
g (uj(ϕ))Dωuj(ϕ),∇Dωuj(ϕ)hj(ϕ)
)
=
=
(
g (uj(ϕ))Dωuj(ϕ), Dωhj(ϕ) + Γuj(ϕ) (Dωuj(ϕ), hj(ϕ))
)
.
Розглянемо частинний випадок, коли послiдовнiсть {hj(·)} визначається єдиним гладким вi-
дображенням h(·) : Tk 7→ Em, тобто вектор hj(ϕ) має початок у точцi uj(ϕ) i кiнець у точцi
uj(ϕ) + h(ϕ). Враховуючи, що {uj(·)} рiвномiрно обмежена i збiгається в H1
ω
(
Tk;Em
)
, а
∇W (ϕ, x) = g−1(x)W ′x(ϕ, x), властивiсть (5) функцiї u(·) можна записати у виглядi∫
Tk
[(
g(u(ϕ))Dωu(ϕ), Dωh(ϕ) + Γu(ϕ) (Dωu(ϕ), h(ϕ))
)
+
(
W ′x(ϕ, u(ϕ)), h(ϕ)
)]
dϕ = 0. (15)
Як i в [4], виконаємо в iнтегралi лiвої частини замiну змiнних ϕ→ (τ, y) за формулою
ϕ = Q(τ, y) :=
k−1∑
i=1
yiεi + τεk,
де {εi}ki=1 — ортонормований базис у Ek, причому εk := ω/ ‖ω‖ , i y = (y1, . . . , yk−1).Поклавши
v(τ, y) := u(Q(τ, y)), w(τ, y) := h(Q(τ, y)), I(y) := {τ ∈ R : Q(τ, y) ∈ K} , K := [0, 2π]k,
за теоремою Фубiнi з рiвностi∫
K
[(
g(u(ϕ))Dωu(ϕ), Dωh(ϕ) + Γu(ϕ) (Dωu(ϕ), h(ϕ))
)
+
(
W ′x(ϕ, u(ϕ)), h(ϕ)
)]
dϕ = 0 (16)
дiстанемо∫
Y
∫
I(y)
[(
‖ω‖2 g(v(τ, y))v′τ (τ, u), ẇ(τ, y) + Γv(τ,y)
(
v′τ (τ, y), w(τ, y)
))]
dτdy+
+
∫
Y
∫
I(y)
(
W ′x(Q(τ, y), v(τ, y)), w(τ, y)
)
dτdy = 0, (17)
де v′τ (τ, u) — узагальнена за Соболєвим, а ẇ(τ, y) = ∂w(τ, y)/∂τ — класична частиннi похiднi
за змiнною τ. Оскiльки u(ϕ) ∈ H1
ω
(
Tk;Em
)
, то∫
Y
∫
I(y)
‖v(τ, y)‖2 +
∥∥v′τ (τ, y)
∥∥2
dτdy <∞.
Якщо тепер позначити через Y ортогональну проекцiю k-вимiрного куба K := [0, 2π]k на
гiперплощину з базисом {εi}k−1
i=1 , то з теореми Фубiнi та теореми 6 з [20, с. 399] випливають такi
факти: iснує множина Y ′ ⊂ Y така, що mesY ′ = mesY i для кожного y ∈ Y ′ функцiя v(·, y) :
I(y) 7→ C є абсолютно неперервною на вiдрiзку I(y), майже скрiзь на I(y) має класичну похiдну
v̇(τ, y) = v′τ (τ, y), задовольняє умову
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 10
КВАЗIПЕРIОДИЧНI ЕКСТРЕМАЛI НЕАВТОНОМНИХ ЛАГРАНЖЕВИХ СИСТЕМ . . . 1397∫
I(y)
‖v(τ, y)‖2 +
∥∥v′τ (τ, y)
∥∥2
dτ <∞ ∀y ∈ Y ′
i, як наслiдок, належить простору Соболєва H1(I(y);Em) .
Увiвши „iмпульс”
p(τ, y) = g(v(τ, y))v̇(τ, u),
рiвнiсть (17) запишемо у виглядi∫
Y
∫
I(y)
(p(τ, y), ẇ(τ, y)) dτdy =
= −
∫
Y
∫
I(y)
(
Gv(τ,y)(v̇(τ, y), v̇(τ, y)) + ‖ω‖−2W ′x(Q(τ, y), v(τ, y)), w(τ, y)
)
dτdy, (18)
де сiм’я бiлiнiйних вiдображень Gx(·, ·) : Em × Em 7→ Em, гладко залежна вiд x ∈ U , визнача-
ється рiвнiстю
(g(x)a,Γx(b, c)) = (Gx(a, b), c) ∀a, b, c ∈ Em.
Оскiльки рiвнiсть (18) виконується для будь-якої функцiїw(τ, y) з простору C∞0
(
Q−1 (K) ;Em
)
,
утвореного гладкими функцiями з носiями у внутрiшностi множини Q−1 (K) =
⋃
y∈Y I(y), то
зазначена рiвнiсть означає, що функцiя p(τ, y) має узагальнену в сенсi Соболєва iнтегровну в
Q−1(K) похiдну
p′τ (τ, y) = Gv(τ,y)(v̇(τ, y), v̇(τ, y)) + ‖ω‖−2W ′x(Q(τ, y), v(τ, y)). (19)
Знову скориставшись результатами [20, с. 399], дiйдемо висновку, що iснує множина Y ′′ ⊂ Y ′
така, що mesY ′′ = mesY ′ i для кожного y ∈ Y ′′ на вiдрiзку I(y) справджується рiвнiсть
p(τ, y) = p(τ0, y) +
τ∫
τ0
[
Gv(s,y)(v̇(s, y), v̇(s, y)) + ‖ω‖−2W ′x(Q(s, y), v(s, y))
]
ds, (20)
де τ0 ∈ I(y) — фiксована точка. Отже, при кожному y ∈ Y ′′ функцiї τ 7→ p(τ, y) та τ 7→
7→ v̇(τ, y) = p(τ, y)/g(v(τ, y)) є абсолютно неперервними на вiдрiзку I(y) i кожна з них майже
скрiзь на I(y) має звичайну частинну похiдну щодо τ. Тодi функцiя τ 7→ v(τ, y) є неперервно
диференцiйовною, а з (20) випливає, що й функцiя τ 7→ p(τ, y) неперервно диференцiйовна.
Зрозумiло, що тодi τ 7→ v̇(τ, y) є неперервно диференцiйовною. Таким чином, для майже всiх
y ∈ Y функцiя τ 7→ v(τ, y) двiчi неперервно диференцiйовна i задовольняє рiвнiсть (19) скрiзь
на I(y). Визначаючи з цiєї рiвностi функцiю v̈(·, ·) змiнних τ, y, бачимо, що вона iнтегровна на
Q−1(K).
Нарештi покажемо, що для майже всiх y ∈ Y функцiї τ 7→ v(τ, y) та τ 7→ p(τ, y) мають
описанi вище властивостi не лише на I(y), але й на будь-якому вiдрiзку прямої R. Запишемо
простiр Ek у виглядi об’єднання кубiв: Ek =
⋃
m∈Zk (K + 2πm) . Тодi R =
⋃
m∈Z Im(y), де
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 10
1398 I. О. ПАРАСЮК
I0(y) := I(y), Im(y) := {τ ∈ R : Q(τ, y) ∈ K + 2πm} .
Серед усiх Im(y) є й множини нульової мiри, зокрема, порожнi. Покладемо
Ym := {y ∈ Y : mes Im(y) > 0} , M :=
{
m ∈ Zk : Ym 6= ∅
}
.
Зрозумiло, що для фiксованого m множина Ym складається лише з тих y ∈ Y, для яких пряма
L(y), задана в Ek рiвнянням ϕ = Q(τ, y), τ ∈ R, перетинає куб K + 2πm по вiдрiзку, що не
зводиться до одноточкової множини, а M мiстить лише тi цiлочисловi вектори m, для яких
вiдповiдний куб K + 2πm перетинається хоча б з однiєю прямою L(y), y ∈ Y, по вiдрiз-
ку, зокрема в точцi. Неважко зрозумiти, що з огляду на рацiональну незалежнiсть компонент
вектора частот ω будь-яка непорожня множина Ym є вiдкритою, до того ж mes(Y \ Y0) = 0.
Ввiвши ортопроектори
prY (a) :=
k−1∑
i=1
(a, εi)εi, prT (a) := (a, εk)εk ∀a ∈ Ek,
для довiльної функцiї F : Tk 7→ Em дiстанемо1
f(τ, y) := F (Q(τ, y)) = F (Q(τ, y)− 2πm) = F (Q(τ − prT (2πm), y − prY (2πm))) =
= f (τ − prT (2πm), y − prY (2πm)) .
Тодi для кожного m ∈M i кожного y ∈ Ym маємо
y − prY (2πm) ∈ Y0, Im(y)− prT (2πm) = I (y − prY (2πm)) . (21)
Таким чином, для кожного y ∈ Ym властивостi функцiї τ 7→ f(τ, y) на вiдрiзку Im(y) цiлком
визначаються властивостями функцiї τ 7→ f (τ, y − prY (2πm)) на вiдрiзку I (y − prY (2πm))
прямої L (y − prY (2πm)) , розташованому в кубi K.
Введемо позначення Y∗ для множини тих y ∈ Y, для яких функцiя
τ 7→ ν(τ, y) := ‖v(τ, y)‖2 +
∥∥v′τ (τ, y)
∥∥2
не є локально iнтегровною на R, або, що те саме, для кожного y ∈ Y∗ знайдеться хоча б одне
m ∈M таке, що y ∈ Ym i∫
Im(y)
ν(τ, y)dτ =
∫
I(y−prY (2πm))
ν (τ, y − prY (2πm)) dτ =∞. (22)
Тодi Y∗ ⊂
⋃
m∈M Ym, а тому Y∗ =
⋃
m∈M(Y∗ ∩ Ym). Очевидно, що
mes(Y∗ ∩ Ym) = mes ([Y∗ ∩ Ym]− prY (2πm))
1Ми ототожнюємо функцiю на торi Tk = Rk/2πZk з її природним пiдняттям у простiр Ek, який накриває цей
тор.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 10
КВАЗIПЕРIОДИЧНI ЕКСТРЕМАЛI НЕАВТОНОМНИХ ЛАГРАНЖЕВИХ СИСТЕМ . . . 1399
i з огляду на (21), (22) маємо [Y∗ ∩ Ym] − prY (2πm) ⊂ Y∗ ∩ Y0. Оскiльки для майже кожного
y ∈ Y функцiя τ 7→ ν(τ, y) є iнтегровною на I0(y) = I(y), то mes (Y∗ ∩ Y0) = 0, а тому
mes (Y∗) ≤
∑
m∈M
mes(Y∗ ∩ Ym) =
∑
m∈M
mes ([Y∗ ∩ Ym]− prY (2πm)) ≤
≤
∑
m∈M
mes (Y∗ ∩ Y0) = 0.
Отже, для майже всiх y ∈ Y функцiя τ 7→ ν(τ, y) є локально iнтегровною на R. Звiдси випливає,
що для майже всiх y ∈ Y функцiя τ 7→ v(τ, y) абсолютно неперервна i має iнтегровну похiдну
на кожному вiдрiзку Im(y), m ∈M.
Повторивши мiркування, викладенi вище, легко довести, що для майже всiх y ∈ Y функцiя
τ 7→ v(τ, y) є двiчi неперервно диференцiйовною на кожному вiдрiзку Im(y),m ∈M. Вiзьмемо
тепер до уваги, що з урахуванням (15) у правiй частинi рiвностi (16) iнтегрування по кубу K
можна замiнити iнтегруванням по кубу K + sεk з довiльним s ∈ R. Вiдповiдно в рiвностi (17)
вiдрiзок I(y) можна замiнити на I(y) + s. Зрозумiло, що тодi функцiя τ 7→ v(τ, y) виявиться
двiчi неперервно диференцiйовною на кожному вiдрiзку Im(y) + s, m ∈ M, а отже, на всiй
дiйснiй осi. При цьому рiвнiсть (19) справджуватиметься для всiх дiйсних τ. Поклавши у (19)
τ = yk + ‖ω‖ t, дiйдемо висновку, що для кожного yk ∈ R i майже всiх y ∈ Y функцiя
t 7→ u
(∑k
i=1
ykεk + tω
)
, t ∈ R, є класичним розв’язком лагранжевої системи
d
dt
(g(x)ẋ) =
∂
∂x
[(g(x)ẋ, ẋ) +W (ϕ+ tω, x)]
з ϕ =
∑k
i=1
yiεi ∈ K, тобто системи, породженої на картi U лагранжiаном (14). Залиши-
лося зауважити, що ортогональне перетворення, яке точцi (y1, . . . , yk) ∈ Q−1(K) ставить у
вiдповiднiсть точку ϕ =
∑k
i=1
yiεi ∈ K, зберiгає мiру.
Твердження 2 доведено.
Зафiксуємо точку ϕ0 ∈ Tk так, щоб функцiя t 7→ x(t) := u(ϕ0 + tω) була класичним
розв’язком, про який йдеться у твердженнi 2. Якщо метрика 〈·, ·〉 евклiдова, тобто g(x) ≡ const,
то безпосереднiм наслiдком нерiвностi Ландау [21] є обмеженiсть похiдної цього розв’язку на
всiй дiйснiй осi. У загальному ж випадку встановлення факту обмеженостi похiдної потребує
iншого пiдходу.
Твердження 3. Функцiя ‖ẋ(·)‖ обмежена на дiйснiй осi.
Доведення. Векторне поле ξ(t) := ẋ(t) уздовж кривої γ, заданої рiвнянням x = x(t), t ∈ R,
задовольняє тотожнiсть
∇ẋ(t)ξ(t) ≡ ∇W (ϕ0 + tω, x(t)).
Взявши коварiантну похiдну ∇ẋ(t) вiд обох частин, переконаємося в тому, що ξ(·) є розв’язком
лiнiйної неоднорiдної системи
∇2
ẋξ = HW (ϕ0 + tω, x(t))ξ +
[
∇ ∂
∂t
W (ϕ0 + tω, x)
]
x=x(t)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 10
1400 I. О. ПАРАСЮК
i водночас системи
∇2
ẋξ = HW (ϕ0 + tω, x(t))ξ − r(‖ẋ(t)‖)R(ẋ(t), ξ)ẋ(t) +
[
∇ ∂
∂t
W (ϕ0 + tω, x)
]
x=x(t)
, (23)
де R — тензор кривини зв’язностi Левi – Чивiти, а r(·) : R+ 7→ R+ — довiльна неперервна
функцiя (достатньо зауважити, що R(ξ, ξ) = 0). Якщо вимагати, щоб r(s) = O(s−2) при
|s| → ∞, то права частина системи (23) буде обмеженою щодо t ∈ R для кожного поля ξ(t) з
обмеженою нормою.
Нехай Ξts — еволюцiйний оператор лiнiйної системи∇ẋ(t)ξ = 0, за допомогою якого викону-
ється паралельне перенесення векторiв уздовж γ. А саме, для довiльного вектора ξs ∈ Tx(s)M
результатом його паралельного перенесення з точки x(s) у точку x(t) вздовж кривої γ є век-
тор Ξtsξs.При паралельному перенесеннi скалярний добуток пари векторiв залишається сталим.
Тому оператор Ξts є ортогональним вiдносно метрики 〈·, ·〉 .
Покладемо y∗(t) := Ξ0
t ẋ(t) ≡ Ξ0
t ξ(t). Оскiльки
∇ẋξ(t) = lim
s→0
1
s
[
Ξtt+sξ(t+ s)− ξ(t)
]
= lim
s→0
1
s
[
Ξtt+sΞ
t+s
0 y∗(t+ s)− Ξt0y∗(t)
]
= Ξt0ẏ∗(t),
то з урахуванням (6) маємо
ẏ∗(t) = Ξ0
t∇W (ϕ0 + tω, x(t)),
звiдки, зокрема,
‖y∗(t)‖ = O(|t|), |t| → ∞. (24)
Далi, оскiльки векторне поле ξ(t) вздовж кривої γ задовольняє систему (23) i
∇2
ẋΞt0y∗(t) = ∇ẋΞt0ẏ∗(t) = Ξt0ÿ∗(t),
то y∗(t) є розв’язком лiнiйної неоднорiдної системи
ÿ = A(t)y + h(t), (25)
де
A(t)y := Ξ0
t
[
HW (ϕ0 + tω, x(t))Ξt0y − r(‖ξ(t)‖)R(ξ(t),Ξt0y)ξ(t)
]
,
h(t) := Ξ0
t
[
∇ ∂
∂t
W (ϕ0 + tω, x)
]
x=x(t)
.
Розглянемо тепер вiдповiднi однорiднi системи
∇2
ẋη = HW (ϕ0 + tω, x(t))η − r(‖ξ(t)‖)R(ξ(t), η)ξ(t), (26)
ÿ = A(t)y (27)
i покажемо, що при вiдповiдному виборi функцiї r(·) вони експоненцiально дихотомiчнi. Ви-
значимо функцiю
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 10
КВАЗIПЕРIОДИЧНI ЕКСТРЕМАЛI НЕАВТОНОМНИХ ЛАГРАНЖЕВИХ СИСТЕМ . . . 1401
F(t, η,∇ξ(t)η) :=
〈
∇ξ(t)η, η
〉
+
r(‖ξ(t)‖) ‖η‖2
2
〈∇V (x(t)), ξ(t)〉
й обчислимо та оцiнимо знизу її похiдну внаслiдок системи (26):
d
dt
F(t, η,∇ξη) =
〈
∇2
ξη, η
〉
+ ‖∇ξη‖2 + r(‖ξ‖) 〈∇ξη, η〉 〈∇V, ξ〉+
+
r(‖ξ‖) ‖η‖2
2
[〈∇ξ∇V, ξ〉+ 〈∇V,∇ξξ〉] +
r′(‖ξ‖) 〈ξ,∇ξξ〉 ‖η‖2 〈∇V, ξ〉
2 ‖ξ‖
=
= 〈HW η, η〉 − r(‖ξ‖) 〈R(ξ, η)ξ, η〉+ ‖∇ξη‖2 + r(‖ξ‖) 〈∇ξη, η〉 〈∇V, ξ〉+
+
r(‖ξ‖) ‖η‖2
2
[〈HV ξ, ξ〉+ 〈∇V,∇W 〉] +
r′(‖ξ‖) 〈ξ,∇W 〉 〈∇V, ξ〉 ‖η‖2
2 ‖ξ‖
≥
≥ 〈HW η, η〉+
r(‖ξ‖) ‖η‖2
2
〈∇W,∇V 〉+
+ ‖∇ξη‖2 − r(‖ξ‖) ‖ξ‖ ‖∇ξη‖ ‖η‖ |〈∇V, ε〉|+
r(‖ξ‖) ‖ξ‖2 ‖η‖2
2
[〈HV ε, ε〉 − 2K∗]−
−1
2
∣∣r′(‖ξ‖)∣∣ ‖ξ‖ |〈∇W, ε〉 〈∇V, ε〉| ‖η‖2 ,
де ε := ξ/ ‖ξ‖ . Тепер покладемо
r(s) :=
{
1, s ∈ [0, B],
B2/s2, s > B,
де B > 1, i позначимо ‖∇ξη‖ = z1, ‖η‖ = z2. Тодi на множинi тих t, для яких ‖ξ(t)‖ ≤ B,
матимемо
d
dt
F(t, η,∇ξ(t)η) ≥
[
λW +
1
2
〈∇W,∇V 〉
]
z2
2+
+z2
1 − |〈∇V, ε〉| z1 ‖ξ‖ z2 +
‖ξ‖2 z2
2
2
[〈HV ε, ε〉 − 2K∗] .
Легко бачити, що виконання умов теореми 1 гарантує iснування додатних чисел α1 та α2 таких,
що
λW +
1
2
〈∇W,∇V 〉 ≥ α1,
z2
1 − |〈∇V, ε〉| z1 ‖ξ‖ z2 +
[
1
2
〈HV ε, ε〉 −K∗
]
‖ξ‖2 z2
2 ≥ α2
(
z2
1 + ‖ξ‖2 z2
2
)
,
звiдки
d
dt
F(t, η,∇ξη) ≥ α1 ‖η‖2 + α2 ‖∇ξη‖2 ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 10
1402 I. О. ПАРАСЮК
якщо ‖ξ(t)‖ ≤ B.
Поклавши
C := max
{
max
x∈Ω̄
‖∇V (x)‖ , max
(ϕ,x)∈Tk×Ω̄
‖∇W (ϕ, x)‖ , max
(ϕ,x)∈Tk×Ω̄
‖HW (ϕ, x)‖
}
i вибравши B настiльки великим, щоб α2B
2 ≥ 1 + C(1 + 3C/2), на множинi тих t, для яких
‖ξ(t)‖ > B, дiстанемо
d
dt
F(t, η,∇ξη) ≥ ‖∇ξη‖2 −B |〈∇V, ε〉| ‖∇ξη‖ ‖η‖+
B2 ‖η‖2
2
[〈HW ε, ε〉 − 2K∗]−
−
[
C + 3C2/2
]
‖η‖2 ≥ α2(z2
1 +B2z2
2)−
[
C + 3C2/2
]
z2
2 ≥ α2z
2
1 + z2
2 .
Звiдси випливає, що iснує α > 0 таке, що похiдна квадратичної форми змiнних y, ẏ
F(t,Ξt0y,Ξ
t
0ẏ) = 〈ẏ, y〉+
r(‖ξ(t)‖)
2
〈∇V (x(t)), ξ(t)〉 ‖y‖2
внаслiдок системи (27) задовольняє нерiвнiсть
d
dt
F(t,Ξt0y,Ξ
t
0ẏ) ≥ α
[∥∥Ξt0y
∥∥2
+
∥∥Ξt0ẏ
∥∥2
]
= α
[
‖y‖2 + ‖ẏ‖2
]
i, отже, є додатно визначеною. Сама ж форма F(t,Ξt0y,Ξ
t
0ẏ), очевидно, невироджена i має
обмеженi коефiцiєнти. Вiдомо [22], що наявнiсть квадратичної форми з такими властивостями
гарантує експоненцiальну дихотомiю лiнiйної системи (27) на всiй дiйснiй осi, а неоднорiдна
система (25) з огляду на обмеженiсть ‖h(t)‖ має єдиний обмежений розв’язок. При цьому
будь-який iнший розв’язок цiєї системи експоненцiально зростає або при t → ∞, або при
t → −∞. Оскiльки вище було встановлено оцiнку (24), то розв’язок y∗(t) є обмеженим на R.
Отже, функцiя ‖ẋ(t)‖ =
∥∥Ξt0y∗(t)
∥∥ = ‖y∗(t)‖ обмежена на R.
Твердження 3 доведено.
Твердження 4. Якщо виконуються умови теореми 1, то для довiльного ϕ ∈ Tk система з
лагранжiаном (14) має не бiльше одного розв’язку x(·) : R 7→ K такого, що supt∈R ‖ẋ(t)‖ <∞,
де K ⊂ Ω — компакт iз твердження 2.
Доведення. Мiркуючи вiд супротивного, припустимо, що iснує пара рiзних розв’язкiв
xi(·) : R 7→ K таких, що supt∈R ‖ẋi(t)‖ <∞, i = 1, 2. Скориставшись вiдображенням зв’язуван-
ня χ, про яке йшлося в кiнцi п. 2, i ввiвши позначення
η(s, t) :=
∂
∂t
χ (s, x1(t), x2(t)) , ξ(s, t) :=
∂
∂s
χ (s, x1(t), x2(t)) ,
визначимо функцiю
l(t) := 〈η(s, t), ξ(s, t)〉
∣∣∣s=1
s=0
= 〈ẋ2(t), ξ(1, t)〉 − 〈ẋ1(t), ξ(0, t)〉 .
Вона обмежена на R, а її похiдну можна записати у виглядi
l̇(t) = 〈∇ẋ2 ẋ2(t), ξ(1, t)〉+
∂
∂s
∣∣∣
s=1
〈ẋ2(t), η(s, t)〉−
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 10
КВАЗIПЕРIОДИЧНI ЕКСТРЕМАЛI НЕАВТОНОМНИХ ЛАГРАНЖЕВИХ СИСТЕМ . . . 1403
−〈∇ẋ1 ẋ1(t), ξ(0, t)〉 − ∂
∂s
∣∣∣
s=0
〈ẋ1(t), η(s, t)〉 =
= 〈∇W (ϕ+ tω, x2(t)), ξ(1, t)〉+
∂
∂s
∣∣∣
s=1
〈ẋ2(t), η(s, t)〉−
− 〈∇W (ϕ+ tω, x1(t)), ξ(0, t)〉 − ∂
∂s
∣∣∣
s=0
〈ẋ1(t), η(s, t)〉 =
=
∂
∂s
L (ϕ+ tω, χ (s, x1(t), x2(t)) , η(s, t))
∣∣∣s=1
s=0
=
=
1∫
0
∂2
∂s2
L (ϕ+ tω, χ (s, x1(t), x2(t)) , η(s, t)) ds.
З урахуванням (13) маємо
l̇(t) ≥ κ
1∫
0
[
‖∇ξη‖2 +
(
‖η‖2 + 1
)
‖ξ‖2
]
ds.
Таким чином, функцiя l(·) є неспадною i її обмеженiсть гарантує збiжнiсть iнтегралiв
0∫
−∞
1∫
0
‖ξ(s, t)‖2 dsdt <∞,
∞∫
0
1∫
0
‖ξ(s, t)‖2 dsdt <∞. (28)
Зазначимо, що χ′s(0, x, y) 6= 0 при x 6= y. Справдi, в iншому випадку вiдображення s 7→
7→ χ(s, x, y) визначало б розв’язок рiвняння (12), який задовольняє початковi умови χ
∣∣
s=0
= x,
χ′s
∣∣
s=0
= 0, а таким є лише сталий розв’язок χ(s, x, y) ≡ x.Це суперечить рiвностi χ(1, s, y) = y.
З урахуванням того, що рiвнiсть x1(t) = x2(t) може виконуватися лише на дискретнiй множинi
точок, ξ(0, t) 6≡ 0. Тодi виконуються строгi нерiвностi
lim sup
t→−∞
l(t) < l(0) < lim inf
t→∞
l(t). (29)
Покажемо, що друга нерiвнiсть у (28) гарантує iснування послiдовностi t+k →∞ такої, що
max
{∥∥ξ(0, t+k )
∥∥ ,∥∥ξ(1, t+k )
∥∥}→ 0. Справдi, в iншому випадку знайдуться додатнi числа T та σ
такi, що
inf
t>T
max {‖ξ(0, t)‖ , ‖ξ(1, t)‖} = σ.
Оскiльки з урахуванням (12) для i = 0, 1 маємо
‖ξ(s, t)‖2 ≥ ‖ξ(i, t)‖2 − |s− i|
2
max
s∈[0,1]
∣∣∣∣ ∂∂s ‖ξ(s, t)‖2
∣∣∣∣ = ‖ξ(i, t)‖2 − |s− i| max
s∈[0,1]
|〈∇ξξ, ξ〉| ≥
≥ ‖ξ(i, t)‖2 − |s− i|
2
max
[0,1]×K×K
(∥∥χ′s(s, x, y)
∥∥3 ‖∇V (χ(s, x, y))‖
)
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 10
1404 I. О. ПАРАСЮК
то знайдеться δ > 0 таке, що
inf
t>T
max
{
min
s∈[0,δ]
‖ξ(s, t)‖2 , min
s∈[1−δ,1]
‖ξ(s, t)‖2
}
≥ σ2
2
,
а тодi
∞∫
0
1∫
0
‖ξ(s, t)‖2 dsdt ≥
∞∫
T
δ∫
0
‖ξ(s, t)‖2 ds+
1∫
1−δ
‖ξ(s, t)‖2 ds
ds =∞.
Отримали суперечнiсть.
Аналогiчно доводиться, що перша нерiвнiсть у (28) гарантує iснування послiдовностi
t−k → −∞, уздовж якої ‖ξ(0, t)‖ та ‖ξ(1, t)‖ одночасно прямують до нуля. Тодi, враховую-
чи обмеженiсть ‖ẋi(t)‖ на R, дiстаємо
lim
k→∞
l(t±k ) = 0.
Легко перевiрити, що ця рiвнiсть суперечить (29). А саме, випадок l(0) ≥ 0 суперечить iсну-
ванню послiдовностi
{
t+k
}
, а випадок l(0) < 0 — iснуванню послiдовностi
{
t−k
}
.
Твердження 4 доведено.
Доведення теореми 2. Застосуємо теорему Амерiо (див., наприклад, [23, с. 437]). На
картi U ⊂ Em областi Ω ⊂ M систему з лагранжiаном L(ϕ0 + tω, x, ẋ) запишемо у виглядi
системи другого порядку, еквiвалентної 2m-вимiрнiй нормальнiй системi першого порядку з
фазовим простором U × Em. Оскiльки компоненти вектора частот ω рацiонально незалежнi,
то H-клас системи з лагранжiаном L(ϕ0 + tω, x, ẋ) утворює сiм’я систем з лагранжiанами
L(ϕ+ tω, x, ẋ), параметризована точками тора ϕ ∈ Tk. З тверджень 2 – 4 випливає, що в C×Em
(C — зображення компакта K на картi) система з лагранжiаном L(ϕ0 + tω, x, ẋ) має єдиний
класичний обмежений квазiперiодичний у сенсi Безiковича розв’язок t 7→ u(ϕ0 + tω) i кожна
система з її H-класу має єдиний обмежений розв’язок у C × Em. Отже, всi умови теореми
Амерiо виконано i u(ϕ0 + tω) є рiвномiрною майже перiодичною функцiєю. З урахуванням
вигляду її ряду Фур’є вона є рiвномiрною квазiперiодичною функцiєю з базисом частот ω. Тодi
u(·) ∈ C
(
Tk; C
)
i при кожному ϕ ∈ Tk, зокрема при ϕ = 0, функцiя t 7→ u(ϕ+ tω) є класичним
квазiперiодичним розв’язком системи з лагранжiаном L(ϕ+ tω, x, ẋ).
Теорема 3. Припустимо, що виконано умови теореми 2 i x(·) ∈ C2 (R;K) — квазiперiодич-
ний розв’язок системи з лагранжiаном L(tω, x, ẋ). Тодi система у варiацiях вiдносно цього
розв’язку є експоненцiально дихотомiчною на R.
Доведення. Нехай t 7→ x(t, s), s ∈ (−δ, δ), сiм’я розв’язкiв системи з лагранжiаном
L(tω, x, ẋ) гладко залежна вiд параметра s i така, що x(t, 0) = x(t). Тодi ξ(t, s) := x′t(t, s),
η(t, s) := x′s(t, s) утворюють векторнi поля вздовж вiдображення (t, s) 7→ x(t, s) i справджуєть-
ся рiвнiсть — рiвняння Лагранжа
∇ξ(t,s)ξ(t, s) = ∇W (tω + ϕ, x(t, s)).
Обчисливши тут коварiантну похiдну ∇η(t,s) вiд обох частин, взявши до уваги рiвностi [13,
c. 111]
∇ηξ = ∇ξη, ∇η∇ξξ −∇ξ∇ηξ = R(ξ, η)ξ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 10
КВАЗIПЕРIОДИЧНI ЕКСТРЕМАЛI НЕАВТОНОМНИХ ЛАГРАНЖЕВИХ СИСТЕМ . . . 1405
де R — тензор кривини зв’язностi Левi – Чивiти, та поклавши s = 0, ξ(t) := ξ(t, 0), η(t) :=
:= η(t, 0), переконаємося, що поле η(t) задовольняє систему в варiацiях вiдносно розв’язку
x(t):
∇2
ξ(t)η = ∇η∇W (tω + ϕ, x(t))−R(ξ(t), η)ξ(t). (30)
Оскiльки в даному випадку функцiя t 7→ ‖ξ(t)‖ є обмеженою, то можемо скористатися мiркуван-
нями з доведення твердження 3 у випадку r(s) ≡ 1, якi й доводять експоненцiальну дихотомiю
системи (30).
Теорему 3 доведено.
4. Заключнi зауваження. В данiй роботi з використанням допомiжної функцiї V (·) та
варiацiйного методу встановлено достатнi умови iснування як слабкого, так i класичного гiпер-
болiчного квазiперiодичного розв’язку натуральної лагранжевої системи на рiмановому мно-
говидi. Нам вдалося показати, що зазначений класичний розв’язок є рiвномiрною квазiперiо-
дичною функцiєю. З цього погляду теорема 2 посилює результати робiт [4, 12], автори яких
обмежились лише доведенням того факту, що класичнi розв’язки, породженi слабкими розв’яз-
ками певних класiв систем в евклiдовому просторi, є квазiперiодичними функцiями Безiковича.
Варто зазначити, що в [12] розглядалися квазiперiодичнi системи в Em достатньо загального
вигляду
dpq
dtp
= F
(
tω, q, q̇, . . . ,
dp−1q
dtp−1
)
за умови обмеженостi правої частини за похiдними q(j), j = 1, . . . , p − 1. На жаль, ця умова
унеможливлює застосування отриманих у [12] результатiв про класичнi квазiперiодичнi за
Безiковичем розв’язки до лагранжевих систем на рiмановому многовидi з несталим метричним
тензором g(x).
Застосування отриманих у цiй статтi результатiв до конкретних механiчних систем вимагає
побудови допомiжної функцiї V (·). Один iз способiв знаходження цiєї функцiї з використанням
усередненої силової функцiї
W̄ (x) :=
1
(2π)k
∫
Tk
W (ϕ, x)dϕ
запропоновано в [11], де водночас продемонстровано ефективнiсть зазначеного способу для
виявлення екстремальних вимушених квазiперiодичних коливань сферичного маятника за до-
помогою слабких розв’язкiв вiдповiдної лагранжевої системи. З огляду на теорему 2 можемо
тепер стверджувати, що цi коливання описуються рiвномiрною квазiперiодичною функцiєю.
1. Blot J. Calculus of variations in mean and convex Lagrangians // J. Math. Anal. and Appl. – 1988. – 134, № 2. –
P. 312 – 321.
2. Blot J. Calculus of variations in mean and convex Lagrangians II // Bull. Austral. Math. Soc. – 1989. – 40, № 3. –
P. 457 – 463.
3. Blot J. Calculus of variations in mean and convex Lagrangians III // Isr. J. Math. – 1989. – 67, № 3. – P. 337 – 344.
4. Berger M. S., Zhang Luping. A new method for large quasiperiodic nonlinear oscillations with fixed frequencies for
nondissipative second order conservative systems of second type // Commun. Appl. Nonlinear Anal. – 1996. – 3,
№ 1. – P. 25 – 49.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 10
1406 I. О. ПАРАСЮК
5. Mawhin J. Bounded and almost periodic solutions of nonlinear differential equations: variational vs nonvariational
approach // Calculus Variat. and Different. Equat. Res. Notes Math. – Boca Raton: Chapman & Hall/CRC, 2000. –
410. – P. 167 – 184.
6. Zakharin S. F., Parasyuk I. O. Generalized and classical almost periodic solutions of Lagrangian systems // Funkc.
ekvacioj. – 1999. – 42 . – P. 325 – 338.
7. Захарiн С. Ф., Парасюк I. О. Узагальненi квазiперiодичнi розв’язки лагранжевих систем на рiманових мно-
говидах недодатної кривини // Вiсн. Київ. ун-ту iм. Т. Шевченка. Математика. Механiка. – 1999. – Вип. 3. –
С. 15 – 20.
8. Захарiн С. Ф., Парасюк I. О. Про гладкiсть квазiперiодичних розв’язкiв лагранжевих систем на рiманових
многовидах недодатної кривини // Нелiнiйнi коливання. – 1999. – 2, № 2. – С. 180 – 193.
9. Ayachi M., Blot J. Variational methods for almost periodic solutions of a class of neutral delay equations // Abstr.
Appl. Anal. – 2008. – 2008. – ID 153285. – 13 p.
10. Kuang J. Variational approach to quasi-periodic solution of nonautonomous second-order Hamiltonian systems //
Abstrs Appl. Anal. – 2012. – 2012. – ID 271616. – 14 p.
11. Parasyuk I., Rustamova A. Variational approach for weak quasiperiodic solutions of quasiperiodically excited Lagrangi-
an systems on Riemannian manifolds // Electron. J. Different. Equat. – 2012. – 2012, № 66. – P. 1 – 22.
12. Blot J., Pennequin D. Spaces of quasi-periodic functions and oscillations in differential equations // Acta Appl. Math. –
2001. – 65, № 1–3. – P. 83 – 113.
13. Громол Д., Клингенберг В., Мейер В. Риманова геометрия в целом. – М.: Мир, 1971. – 344 с.
14. Nash J. The imbedding problem for Riemannian manifolds // Ann. Math. – 1956. – 63, № 1. – P. 20 – 63.
15. Samoilenko A. M. Elements of the mathematical theory of multi-frequency oscillations. – Dordrecht: Kluwer Acad.
Publ., 1991. – 313 p.
16. Besicovitch A. S. Almost periodic functions. – New York: Dover Publ., 1955. – 180 p.
17. Marcinkiewicz J. Une remarque sur les espaces de M. Besicowitch // C. r. Acad. sci. Paris. – 1939. – 208 . –
P. 157 – 159.
18. Bohr H., Fölner E. On some types of function spaces. A contribution to the theory of almost periodic functions //
Acta Math. – 1945. – 76. – P. 31 – 155.
19. Данилов Л.И. О равномерной аппроксимации почти периодических по Вейлю и почти периодических по
Безиковичу функций // Изв. Ин-та математики и информатики УдГу. – 2006. – 35, № 1. — С. 33 – 48.
20. Никольский С. М. Курс математического анализа: В 2 т. – М.: Наука, 1983. – Т. 2. – 448 с.
21. Landau E. Ungleichungen für zweimal differenzierbare Funktionen // Proc. London Math. Soc. – 1913. – 13. –
P. 43 – 49.
22. Самойленко А. М. Об экспоненциальной дихотомии на R линейных дифференциальных уравнений в Rn// Укр.
мат. журн. – 2001. – 53, № 3. – С. 356 – 371.
23. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. – М.: Наука, 1967. – 472 с.
Одержано 13.11.13
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 10
|
| id | umjimathkievua-article-2230 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:21:09Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/f0/1ea09e394d489b2bb85dd7c94a67bdf0.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-22302019-12-05T10:26:46Z Quasiperiodic Extremals of Nonautonomous Lagrangian Systems on Riemannian Manifolds Квазіперіодичні екстремалі неавтономних лагранжевих систем на ріманових многовидах Parasyuk, I. O. Парасюк, І. О. The paper deals with a quasiperiodically excited natural Lagrangian system on a Riemannian manifold. We find sufficient conditions under which this system has a weak Besicovitch quasiperiodic solution minimizing the averaged Lagrangian. It is proved that this solution is indeed a twice continuously differentiable uniformly quasiperiodic function, and the corresponding system in variations is exponentially dichotomous on the real axis. Рассматривается квазипериодически возбуждаемая натуральная лагранжева система на римановом многообразии. Указаны достаточные условия, при выполнении которых такая система имеет слабое квазипериодическое по Безико-вичу решение, минимизирующее усредтенный лагранжиан. Доказано, что в действительности это решение является дважды непрерывно дифференцируемой равномерной квазипериодической функцией, а соответствующая система в вариациях экспоненциально дихотомична на всей вещественной оси. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2014-10-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2230 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 66 No. 10 (2014); 1387–1406 Український математичний журнал; Том 66 № 10 (2014); 1387–1406 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2230/1461 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2230/1462 Copyright (c) 2014 Parasyuk I. O. |
| spellingShingle | Parasyuk, I. O. Парасюк, І. О. Quasiperiodic Extremals of Nonautonomous Lagrangian Systems on Riemannian Manifolds |
| title | Quasiperiodic Extremals of Nonautonomous Lagrangian Systems on Riemannian Manifolds |
| title_alt | Квазіперіодичні екстремалі неавтономних лагранжевих систем на ріманових многовидах |
| title_full | Quasiperiodic Extremals of Nonautonomous Lagrangian Systems on Riemannian Manifolds |
| title_fullStr | Quasiperiodic Extremals of Nonautonomous Lagrangian Systems on Riemannian Manifolds |
| title_full_unstemmed | Quasiperiodic Extremals of Nonautonomous Lagrangian Systems on Riemannian Manifolds |
| title_short | Quasiperiodic Extremals of Nonautonomous Lagrangian Systems on Riemannian Manifolds |
| title_sort | quasiperiodic extremals of nonautonomous lagrangian systems on riemannian manifolds |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2230 |
| work_keys_str_mv | AT parasyukio quasiperiodicextremalsofnonautonomouslagrangiansystemsonriemannianmanifolds AT parasûkío quasiperiodicextremalsofnonautonomouslagrangiansystemsonriemannianmanifolds AT parasyukio kvazíperíodičníekstremalíneavtonomnihlagranževihsistemnarímanovihmnogovidah AT parasûkío kvazíperíodičníekstremalíneavtonomnihlagranževihsistemnarímanovihmnogovidah |