On the Lebesgue Inequality on Classes of $\bar{\psi}$ -Differentiable Functions
We consider the deviations of Fourier sums in the spaces ${C^{\bar{\psi}}}$. The estimates of these deviations are expressed via the best approximations of the $\bar{\psi}$ -derivatives of functions in the Stepanets sense. The sequences $\bar{\psi} = (ψ_1, ψ_2)$ are quasiconvex.
Збережено в:
| Дата: | 2013 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2013
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2469 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508366322794496 |
|---|---|
| author | Zaderei, N. N. Zaderei, P. V. Задерей, Н. М. Задерей, П. В. |
| author_facet | Zaderei, N. N. Zaderei, P. V. Задерей, Н. М. Задерей, П. В. |
| author_sort | Zaderei, N. N. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:16:10Z |
| description | We consider the deviations of Fourier sums in the spaces ${C^{\bar{\psi}}}$. The estimates of these deviations are expressed via the best approximations of the $\bar{\psi}$ -derivatives of functions in the Stepanets sense. The sequences $\bar{\psi} = (ψ_1, ψ_2)$ are quasiconvex. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:24:04Z |
| format | Article |
| fulltext |
К О Р О Т К I П О В I Д О М Л Е Н Н Я
УДК 517.518.4
Н. М. Задерей (Нац. техн. ун-т України „КПI”, Київ),
П. В. Задерей (Київ. нац. ун-т технологiй та дизайну)
ПРО НЕРIВНIСТЬ ЛЕБЕГА НА КЛАСАХ ψ̄-ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ ФУНКЦIЙ
We consider deviations of Fourier sums of spaces Cψ̄ and estimates of these deviations are expressed by the best
approximation ψ̄-derivative functions in the understanding of A. I. Stepanets are obtained. The sequence ψ̄ = (ψ1, ψ2) are
quasiconvex.
Рассматривается уклонение сумм Фурье на пространствах Cψ̄, причем полученные оценки таких уклонений выра-
жены через наилучшие приближения ψ̄-производных функций в понимании А. И. Степанца. Последовательности
ψ̄ = (ψ1, ψ2) являются квазивыпуклыми.
Нехай L — простiр 2π-перiодичних iнтегровних за Лебегом функцiй f(·) з нормою ‖f‖L =
=
∫ π
−π
|f(x)|dx, а C — простiр, який складається з неперервних функцiй f(·) з нормою ‖f‖C =
= maxx |f(x)|.
Введемо деякi позначення. Для f ∈ L її ряд Фур’є має вигляд
S(f) =
a0
2
+
∞∑
k=1
(ak cos kx+ bk sin kx) ≡
∞∑
k=0
Ak(f ;x), (1)
Sn(f ;x) — частинна сума порядку n ряду (1); ρn(f ;x) = f(x)− Sn(f ;x);
En(f)X = inf
tn∈Tn
∥∥f(x)− tn(x)
∥∥
X
(2)
— найкраще наближення функцiї f тригонометричними полiномами tn(·) з Tn, де Tn — множина
тригонометричних полiномiв порядку n, а X означає або простiр L, або C.
А. Лебег [1] довiв, що∥∥ρn(f ;x)
∥∥
C
≤ (Ln + 1)En(f)C , n = 0, 1, 2, . . . , (3)
де Ln — сталi Лебега, тобто норми оператора Sn(f ;x), що дiє з простору C в C.
Оскiльки, як вiдомо [2, с 112],
Ln =
4
π2
lnn+ rn ∀n ∈ N, |rn| ≤ 3,
то спiввiдношення (3) можна записати у виглядi (див. [1, 2])∥∥ρn(f ;x)
∥∥
C
≤
(
4
π2
lnn+Rn
)
En(f)C , |Rn| ≤ 4. (4)
Нерiвнiсть (4) є асимптотично точною
(
з константою
4
π2
)
на всьому просторi неперервних
функцiй C, але вона не є точною, навiть за порядком, на деяких пiдмножинах множини C.
c© Н. М. ЗАДЕРЕЙ, П. В. ЗАДЕРЕЙ, 2013
844 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 6
ПРО НЕРIВНIСТЬ ЛЕБЕГА НА КЛАСАХ ψ̄-ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ ФУНКЦIЙ 845
К. I. Осколков [3] уточнив нерiвнiсть (4), показавши, що для будь-якої f ∈ C
∥∥ρn(f ;x)
∥∥
C
≤ K
n∑
k=0
1
k + 1
En+k(f)C . (5)
Тут i далi через K позначено абсолютнi додатнi сталi, можливо неоднаковi в рiзних формулах.
Крiм того, в [3] встановлено наступне твердження.
Якщо ε = {εk}, k ∈ N, — послiдовнiсть невiд’ємних чисел, що монотонно прямує до нуля,
i Cε :=
{
f ∈ C : En(f)C ≤ εn∀n ∈ N
}
, то iснують двi абсолютнi сталi K1 i K2 такi, що
K1
n∑
k=0
εn+k
k + 1
≤ sup
f∈Cε
∥∥ρn(f ;x)
∥∥
C
≤ K2
n∑
k=0
εn+k
k + 1
. (6)
Спiввiдношення (5) i (6) уточнюють за порядком нерiвнiсть (4).
О. I. Степанець (див. [4, 5], а також [6], роздiл III, § 11) увiв поняття ψ̄-похiдних i на основi
цього поняття визначив класи Cψ̄C0 таким чином.
Нехай f ∈ L, а її ряд Фур’є має вигляд (1), ψ̄ = (ψ1, ψ2) — пара довiльних числових
послiдовностей ψ1(k) i ψ2(k), що задовольняє умову
ψ̄2(k) = ψ2
1(k) + ψ2
2(k) 6= 0 ∀k ∈ N.
Якщо ряд
∞∑
k=1
(
ψ1(k)
ψ̄
2
(k)
Ak(f ;x)− ψ2(k)
ψ̄2(k)
Ãk(f ;x)
)
,
де Ãk(f ;x) = ak sin kx − bk cos kx, є рядом Фур’є деякої функцiї ϕ ∈ L, то ϕ назвемо ψ̄-по-
хiдною функцiї f i будемо писати ϕ(·) = f ψ̄(·). Пiдмножину неперервних функцiй f ∈ C, якi
мають ψ̄-похiднi, позначатимемо через Cψ̄.
Якщо f ∈ Cψ̄ i при цьому f ψ̄ ∈ C0 =
{
ϕ ∈ C :
∫ π
−π
ϕ(t)dt = 0
}
, то множину таких
функцiй позначимо через Cψ̄C0.
Нагадаємо ще деякi позначення (див. [6]), якi будуть необхiднi у подальшому.
M означає множину опуклих донизу при v ≥ 1 функцiй ψ(v), для яких limv→∞ ψ(v) = 0;
M0 — пiдмножина функцiй ψ ∈ M, що задовольняють умову 0 < µ(ψ; t) :=
t
η(t)− t
≤
≤ K <∞, η(t) = η(ψ; t) = ψ−1
(
1
2
ψ(t)
)
;
M′ — пiдмножина функцiй ψ(·) ∈M таких, що
∞∫
1
ψ(t)
t
dt ≤ K <∞;
L — множина пар ψ̄ = (ψ1, ψ2) така, що ряд
∞∑
k=1
(ψ1(k) cos kx+ ψ2(k) sin kx)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 6
846 Н. М. ЗАДЕРЕЙ, П. В. ЗАДЕРЕЙ
є рядом Фур’є деякої функцiї Ψ(x).
О. I. Степанець (див. [7], а також [6], роздiл V) встановив такий аналог нерiвностi Лебега (4).
Якщо ±ψ1 ∈M0, ±ψ2 ∈M′0, то для будь-якої функцiї f ∈ Cψ̄C0 при довiльному n ∈ N
∥∥ρn(f ;x)
∥∥
C
≤
4
π2
ψ̄(n) lnn+
2
π
∞∫
n
∣∣ψ2(t)
∣∣
t
dt+O(1)ψ̄(n)
En(f ψ̄)C ,
де O(1) — величина, рiвномiрно обмежена по n ∈ N i по f ∈ Cψ̄C0, ψ̄(n) =
√
ψ2
1(n) + ψ2
2(n).
Позначимо через Cψ̄C0
ε множину неперервних функцiй f(·), ψ̄-похiднi яких належать до
C0
ε = Cε ∩ C0.
У данiй роботi ми замiнимо множину M бiльш широкою множиною, а саме, замiсть опук-
лостi послiдовностей ψi, i = 1, 2, будемо вимагати квазiопуклiсть. Слiд зауважити, що подiб-
ний результат одержав Р. М. Тригуб у [12], де, зокрема, знайдено порядок спадання величини∥∥ρn(f ;x)
∥∥
C
на класах, що визначаються обмеженнями на (ψ, β)-похiднi
(
ψ1(·) = ψ(·) cosβ
π
2
,
ψ2(·) = ψ(·) sinβ
π
2
)
, причому на функцiю ψ(·) накладено умови значно слабшi, нiж квазi-
опуклiсть.
Теорема 1. Нехай
lim
k→∞
ψ1(k) = lim
k→∞
ψ2(k) = 0, (7)
∞∑
k=1
∣∣ψ2(k)
∣∣
k
<∞,
∞∑
k=1
k
(∣∣42ψ1(k − 1)
∣∣+
∣∣42ψ2(k − 1)
∣∣) <∞, (8)
де 42ψi(k− 1) = ψi(k− 1)− 2ψi(k) +ψi(k+ 1), i = 1, 2. Тодi для будь-якої функцiї f ∈ Cψ̄C0
при n ∈ N виконується нерiвнiсть
‖ρn(f ;x)‖C ≤
≤
(
4
π2
n∑
k=1
1
k
√
ψ2
1(n+ k) + ψ2
2(n+ k) +
2
π
∞∑
k=2n+1
|ψ2(k)|
k
+
+O(1)
∞∑
k=1
k(|42ψ1(n+ k − 1)|+ |42ψ2(n+ k − 1)|)
)
En(f ψ̄)C , (9)
крiм того,
sup
f∈Cψ̄C0
ε
∥∥ρn(f ;x)
∥∥
C
=
=
(
4
π2
n∑
k=1
1
k
√
ψ2
1(n+ k) + ψ2
2(n+ k) +
2
π
∞∑
k=2n+1
∣∣ψ2(k)
∣∣
k
+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 6
ПРО НЕРIВНIСТЬ ЛЕБЕГА НА КЛАСАХ ψ̄-ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ ФУНКЦIЙ 847
+O(1)
∞∑
k=1
k
(∣∣42ψ1(n+ k − 1)
∣∣+
∣∣42ψ2(n+ k − 1)
∣∣))εn. (10)
Доведення. Як вiдомо (див. [9, 10], [6], роздiл I, § 8) з умов (7) i (8) випливає, що ψ̄ ∈ L.
Тому для f ψ̄ ∈ C0 у кожнiй точцi x виконується рiвнiсть (див. [6], роздiл IV, § 1)
ρn(f ;x) =
1
π
π∫
−π
f ψ̄(u)Fn(ψ̄;x− u)du,
де Fn(ψ̄; t) =
∑∞
k=n+1
(ψ1(k) cos kx+ ψ2(k) sin kx).
Крiм того, для тригонометричного полiнома t∗n ∈ Tn найкращого наближення функцiї f ψ̄(·)
справджується спiввiдношення
ρn(f ;x) =
1
π
π∫
−π
(
f ψ̄(u)− t∗n
)
Fn(ψ̄;x− u)du,
а отже,
∥∥ρn(f ;x)
∥∥
C
≤ En
(
f ψ̄
)
C
1
π
π∫
−π
∣∣Fn(ψ̄; t)
∣∣dt.
Поклавши ak = bk = 0, k = 1, 2, . . . , n, ak = ψ1(k), bk = ψ2(k), k = n + 1, n + 2, . . . , i
використавши асимптотичну формулу, одержану С. О. Теляковським (див. [11], формула (3.76)),
в якiй покладено m = n, знайдемо
∥∥ρn(f ;x)
∥∥
C
≤ En
(
f ψ̄
)
C
1
π
π∫
−π
∣∣Fn(ψ̄; t)
∣∣dt =
= En(f ψ̄)C
(
4
π2
n∑
k=1
ξk
k
+
2
π
∞∑
k=2n+1
|bk|
k
+O(1)Rn
)
, (11)
де
|Rn| ≤ K
∞∑
k=1
k
(∣∣42ψ1(n+ k − 1)
∣∣+
∣∣42ψ2(n+ k − 1)
∣∣),
ξk = ξ(bk,
√
(an−k − an+k)2 + (bn−k − bn+k)2),
а функцiя ξ(t, u) визначається рiвнiстю
ξ(t, u) =
π|t|
2
, |u| ≤ |t|,
|t| arcsin
(
|t|
|u|
)
+
√
u2 − t2, |t| < |u|,
зокрема ξ(0, u) = |u|.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 6
848 Н. М. ЗАДЕРЕЙ, П. В. ЗАДЕРЕЙ
Оскiльки bk = 0, k = 1, 2, . . . , n, то формулу (11) можна записати у виглядi∥∥ρn(f ;x)
∥∥
C
≤ En(f ψ̄)C
(
4
π2
n∑
k=1
1
k
√
ψ2
1(n+ k) + ψ2
2(n+ k)+
+
2
π
∞∑
k=2n+1
|ψ2(k)|
k
+O(1)
∞∑
k=1
k
(∣∣42ψ1(n+ k − 1)
∣∣+ +
∣∣42ψ2(n+ k − 1)
∣∣)),
що й доводить спiввiдношення (9).
Оцiнка зверху в (10) випливає з (9). Побудуємо функцiю Φn(x) ∈ Cψ̄C0
ε , на якiй досягається
рiвнiсть у спiввiдношеннi (10). Для цього покладемо
gn(−x) = signFn(ψ̄;x), |x| ≤ π
2
.
Далi, згладимо функцiю gn(−x), замiнивши її в околi точок розриву лiнiйною. Одержану не-
перервну функцiю позначимо через g̃n(−x), |x| ≤ π
2
. При
π
2
< |x| ≤ π визначимо функцiю
g̃n(−x) так, щоб g̃n(−x) була неперервною на [−π;π], g̃n(−π) = g̃n(π),
∣∣g̃n(−x)
∣∣ ≤ 1. Крiм
того, щоб iснувало на [−π;π] не менше 2n точок ci, в яких
∣∣g̃n(−ci)
∣∣ = 1, в цих точках функцiя
g̃n(−x) почергово змiнює знак, щоб при цьому виконувалась рiвнiсть
π∫
−π
g̃n(−x)dx = 0.
Позначимо ϕ̃(n;−x) = εng̃n(−x), а через Φn(−x) ψ̄-iнтеграл функцiї ϕ̃(n,−x). Таким
чином,
(
Φn(−x)
)ψ̄
= ϕ̃(n,−x) i найкраще рiвномiрне наближення функцiї ϕ̃(n,−x) буде здiйс-
нювати полiном, тотожно рiвний нулю.
Оскiльки
En(ϕ̃)C = εnEn(g̃n) ≤ εn,
то ϕ̃ ∈ C0
ε i
sup
f∈Cψ̄C0
ε
∥∥ρn(f ;x)
∥∥
C
≥
∥∥ρn(Φn;x)
∥∥
C
≥ |ρn(Φn; 0)| =
=
1
π
∣∣∣∣∣∣
π∫
−π
ϕ̃(n;−u)Fn(ψ̄;u)du
∣∣∣∣∣∣ ≥
≥ εn
π
π/2∫
−π/2
|Fn(ψ̄;u)|du− εn
π
∫
π
2
≤|u|≤π
∣∣Fn(ψ̄;u)
∣∣du. (12)
З огляду на те, що (див. (11))
sup
f∈Cψ̄C0
ε
∥∥ρn(f ;x)
∥∥
C
≤ εn
π
π∫
−π
∣∣Fn(ψ̄;u)
∣∣du, (13)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 6
ПРО НЕРIВНIСТЬ ЛЕБЕГА НА КЛАСАХ ψ̄-ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ ФУНКЦIЙ 849
на пiдставi нерiвностей (12) i (13) робимо висновок, що
sup
f∈Cψ̄C0
ε
‖ρn(f ;x)‖C =
εn
π
π∫
−π
|Fn(ψ̄;u)|du+
+ O
εn ∫
π
2
≤|u|≤π
|Fn(ψ̄;u)|du
. (14)
З (14) i оцiнки∫
π
2≤|u|≤π
∣∣Fn(ψ̄;u)
∣∣du ≤ K ∞∑
k=1
k
(∣∣42ψ1(n+ k − 1)
∣∣+
∣∣42ψ2(n+ k − 1)
∣∣)
випливає спiввiдношення (10), що й доводить теорему.
1. Lebesǵue H. Sur la représentation trigonometrique approcheé des fonctions satisfaisant a une condition de
Lipschitz // Bull. Soc. Math. France. – 1910. – 38. – P. 184 – 210.
2. Дзядик В. К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. – М.: Наука, 1977. – 512 с.
3. Осколков К. И. К неравенству Лебега в равномерной метрике и на множестве полной меры // Мат. заметки. –
1975. – 18, № 4. – C. 515 – 526.
4. Степанец А. И. Приближение ψ̄-интегралов периодических функций суммами Фурье. – Киев, 1996. – 70 с. –
(Препринт/ НАН Украины. Ин-т математики; 96.11).
5. Степанец А. И. Скорость сходимости рядов Фурье на классах ψ̄-интегралов // Укр. мат. журн. – 1997. – 49,
№ 8. – C. 1069 – 1113.
6. Степанец А. И. Методы теории приближений: В 2 т. – Киев: Ин-т математики НАН Украины, 2002. – I. –
427 c.
7. Степанец А. И. Приближение ψ̄-интегралов периодических функций суммами Фурье (небольшая гладкость).
I // Укр. мат. журн. – 1998. – 50, № 2. – C. 274 – 291.
8. Степанец А. И. Приближение ψ̄-интегралов периодических функций суммами Фурье (небольшая гладкость).
II // Укр. мат. журн. – 1998. – 50, № 3. – C. 388 – 400.
9. Kolmogoroff A. Sur l′ordre de grandeur des coefficients de la serie de Fourier-Lebesǵue // Bull. Acad. pol. Sér. sci.
math. – 1923. – P. 83 – 86.
10. Теляковский С. А. Некоторые оценки для тригонометрических рядов с квазивыпуклыми коэффициента-
ми // Мат. сб. – 1964. – 63(105), № 3. – C. 426 – 444.
11. Теляковский С. А. Оценка нормы функции через ее коэффициенты Фурье, удобная в задачах теории аппрок-
симации // Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1971. – 109. – C. 65 – 97.
12. Тригуб Р. М. Приближение непрерывных периодических функций с ограниченной производной полинома-
ми // Теория отображений и приближение функций. – Киев: Наук. думка, 1989. – С. 185 – 195.
Одержано 09.12.11,
пiсля доопрацювання — 30.11.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 6
|
| id | umjimathkievua-article-2469 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:24:04Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/00/a42500aec3b1d3bef396086a1eb4a000.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-24692020-03-18T19:16:10Z On the Lebesgue Inequality on Classes of $\bar{\psi}$ -Differentiable Functions Про нерівність Лебега на класах $\bar{\psi}$ -диференційовних функцій Zaderei, N. N. Zaderei, P. V. Задерей, Н. М. Задерей, П. В. We consider the deviations of Fourier sums in the spaces ${C^{\bar{\psi}}}$. The estimates of these deviations are expressed via the best approximations of the $\bar{\psi}$ -derivatives of functions in the Stepanets sense. The sequences $\bar{\psi} = (ψ_1, ψ_2)$ are quasiconvex. Рассматривается уклонение сумм Фурье на пространствах ${C^{\bar{\psi}}}$, причем полученные оценки таких уклонений выражены через наилучшие приближения $\bar{\psi}$-производных функций в понимании А. И. Степанца. Последовательности $\bar{\psi} = (ψ_1, ψ_2)$ являются квазивыпуклыми. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2013-06-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2469 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 65 No. 6 (2013); 844–849 Український математичний журнал; Том 65 № 6 (2013); 844–849 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2469/1704 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2469/1705 Copyright (c) 2013 Zaderei N. N.; Zaderei P. V. |
| spellingShingle | Zaderei, N. N. Zaderei, P. V. Задерей, Н. М. Задерей, П. В. On the Lebesgue Inequality on Classes of $\bar{\psi}$ -Differentiable Functions |
| title | On the Lebesgue Inequality on Classes of $\bar{\psi}$ -Differentiable Functions |
| title_alt | Про нерівність Лебега на класах $\bar{\psi}$ -диференційовних функцій |
| title_full | On the Lebesgue Inequality on Classes of $\bar{\psi}$ -Differentiable Functions |
| title_fullStr | On the Lebesgue Inequality on Classes of $\bar{\psi}$ -Differentiable Functions |
| title_full_unstemmed | On the Lebesgue Inequality on Classes of $\bar{\psi}$ -Differentiable Functions |
| title_short | On the Lebesgue Inequality on Classes of $\bar{\psi}$ -Differentiable Functions |
| title_sort | on the lebesgue inequality on classes of $\bar{\psi}$ -differentiable functions |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2469 |
| work_keys_str_mv | AT zadereinn onthelebesgueinequalityonclassesofbarpsidifferentiablefunctions AT zadereipv onthelebesgueinequalityonclassesofbarpsidifferentiablefunctions AT zaderejnm onthelebesgueinequalityonclassesofbarpsidifferentiablefunctions AT zaderejpv onthelebesgueinequalityonclassesofbarpsidifferentiablefunctions AT zadereinn pronerívnístʹlebeganaklasahbarpsidiferencíjovnihfunkcíj AT zadereipv pronerívnístʹlebeganaklasahbarpsidiferencíjovnihfunkcíj AT zaderejnm pronerívnístʹlebeganaklasahbarpsidiferencíjovnihfunkcíj AT zaderejpv pronerívnístʹlebeganaklasahbarpsidiferencíjovnihfunkcíj |