Representations of canonical anticommutation relations with orthogonality condition
We study the class of Hilbert space representations of the ∗-algebra $A^{(d)}_0$ generated by relations of the form $$A^{(d)}_0 = \mathbb{C}\langle a_j, a_j^{*} | a_j^{*} a_j = 1 - a_j a_j^{*},\; a_j, a_j^{*} = 0, i \neq j,\; i, j = 1,...,d\rangle,$$ Namely, we describe the classes of unitary equiv...
Gespeichert in:
| Datum: | 2012 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2012
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2656 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508597562114048 |
|---|---|
| author | Yakymiv, R. Ya. Якимів, Р. Я. |
| author_facet | Yakymiv, R. Ya. Якимів, Р. Я. |
| author_sort | Yakymiv, R. Ya. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:32:05Z |
| description | We study the class of Hilbert space representations of the ∗-algebra $A^{(d)}_0$ generated by relations of the form
$$A^{(d)}_0 = \mathbb{C}\langle a_j, a_j^{*} | a_j^{*} a_j = 1 - a_j a_j^{*},\; a_j, a_j^{*} = 0, i \neq j,\; i, j = 1,...,d\rangle,$$
Namely, we describe the classes of unitary equivalence of irreducible representations of $A^{(d)}_0$
such that there exists $j = 1,...,d$ for which $a^2_j \neq 0$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:27:44Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.98
Р. Я. Якимiв (Нац. ун-т бiоресурсiв i природокористування України, Київ)
ЗОБРАЖЕННЯ КАНОНIЧНИХ АНТИКОМУТАЦIЙНИХ СПIВВIДНОШЕНЬ
З УМОВОЮ ОРТОГОНАЛЬНОСТI
We study the class of Hilbert space representations of the ∗-algebra A
(d)
0 generated by relations of the form
A
(d)
0 = C
〈
aj , a
∗
j | a∗jaj = 1− aja
∗
j , a
∗
i aj = 0, i 6= j, i, j = 1, . . . , d
〉
,
Namely, we describe the classes of unitary equivalence of irreducible representations of A
(d)
0 such that there exists
j = 1, . . . , d for which a2
j 6= 0.
Изучается класс ∗-представлений ∗-алгебры A
(d)
0 , порожденной соотношениями вида
A
(d)
0 = C
〈
aj , a
∗
j | a∗jaj = 1− aja
∗
j , a
∗
i aj = 0, i 6= j, i, j = 1, . . . , d
〉
,
а именно, получено описание классов унитарной эквивалентности неприводимых ∗-представлений A
(d)
0 при условии
существования j = 1, . . . , d, для которого a2
j 6= 0.
1. Вступ. Канонiчнi антикомутацiйнi спiввiдношення квантової механiки, а також їх численнi
деформацiї та узагальнення є об’єктом iнтенсивного вивчення протягом останнiх десятилiть
(див., наприклад, [1, 2, 6, 7, 10 – 12]). Також, починаючи з роботи [4], багато уваги придiляється
вивченню операторних алгебр, породжених спiввiдношеннями з умовами ортогональностi, та
класифiкацiї ∗-зображень таких алгебр. Зокрема, в статтi [9] було класифiковано незвiднi не-
обмеженi iнтегровнi зображення алгебри O
(d)
q , породженої твiрними ai, a
∗
i , i = 1, . . . , d, що
задовольняють спiввiдношення
a∗i ai = 1 + qaia
∗
i , i = 1, . . . , d,
a∗i aj = 0, i 6= j,
(1)
де параметр q ∈ (0, 1). Зауважимо, що при q = 0 ми одержуємо алгебру Кунца – Тьоплiца,
породжену iзометрiями з ортогональними образами (див. [4]).
У цiй роботi будемо вивчати зображення ∗-алгебри A(d)
0 , породженої твiрними ai, a∗i , i =
= 1, . . . , d, що задовольняють спiввiдношення
a∗i ai = 1− aia∗i , i = 1, . . . , d,
a∗i aj = 0, i 6= j, i, j = 1, . . . , d.
(2)
Розглянемо випадок d > 2. Зауважимо, що на вiдмiну вiд спiввiдношень з двома ступенями
волi алгебра A(d)
0 при d > 2 не є типу один. Щоб переконатись у цьому, розглянемо зображення
A
(d)
0 , що визначене на просторi C2 ⊗K (K — гiльбертiв простiр) за допомогою операторiв
A1 =
(
0 0
1 0
)
= E21 ⊗ 1,
Aj =
(
Bj Sj
0 0
)
= E11 ⊗Bj + E12 ⊗ Sj ,
c© Р. Я. ЯКИМIВ, 2012
1266 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
ЗОБРАЖЕННЯ КАНОНIЧНИХ АНТИКОМУТАЦIЙНИХ СПIВВIДНОШЕНЬ . . . 1267
де оператори Bj , Sj , j = 2, . . . , d, задовольняють спiввiдношення
B∗iBi = 1−BiB∗i − SiS∗i , B2
i = 0,
S∗i Si = 1, S∗iBi = 0, BiSi = 0,
B∗iBj = 0, S∗i Sj = 0, S∗iBj = 0, i 6= j, i, j = 2, . . . , d.
(3)
Легко довести, що зображення, визначене операторамиAj , j = 2, . . . , d, є незвiдним тодi й лише
тодi, коли набiр операторiв F = {Bj , B∗j , Sj , S∗j , j = 2, . . . , d} є незвiдним на K. Зображення,
що вiдповiдають сiм’ям Fj , j = 1, 2, є унiтарно еквiвалентними тодi й лише тодi, коли сiм’ї F1
та F2 є унiтарно еквiвалентними.
РозглянемоC∗-алгебруGd, породжену спiввiдношеннями (3). ТакаC∗-алгебра iснує, оскiль-
ки множина ∗-зображень спiввiдношень (3) не є порожньою та в довiльному зображеннi
‖Sj‖ = 1, ‖Bj‖ ≤ 1, j = 2, . . . , d. Твiрнi Sj , j = 2, . . . , d, породжують C∗-пiдалгебру, що
iзоморфна алгебрi Кунца – Тьоплiца O(0)
d−1. Оскiльки одиниця алгебри O(0)
d−1 збiгається з одини-
цею алгебри Gd та O(0)
d−1 не має скiнченновимiрних зображень, можна зробити висновок, що
Gd не має скiнченновимiрних зображень також. Звiдси випливає (див. [3]), що C∗-алгебра Gd,
а отже й C∗-алгебра A(d)
0 , не є типу один.
У цьому випадку потрiбно видiляти „ручнi” класи зображень. Виявляється, один iз таких
класiв утворюють зображення, в яких часткова iзометрiя з полярного розкладу образу хоча б
однiєї твiрної мiстить унiтарну частину. Зауважимо, що ця умова виконується тодi й лише тодi,
коли для деякого j = 1, . . . , d образ a2j не є нульовим оператором. Нижче ми наведемо опис
усiх незвiдних зображень такого типу з точнiстю до унiтарної еквiвалентностi.
2. Попереднi вiдомостi. Спочатку нагадаємо опис незвiдних зображень вiкiвської версiї
канонiчних антикомутацiйних спiввiдношень з одним ступенем волi, тобто ∗-алгебри A1, по-
родженої твiрними a, a∗, що задовольняють спiввiдношення
a∗a = 1− aa∗. (4)
Очевидно, будь-яке ∗-зображення π спiввiдношень (4) є обмеженим, а саме, має мiсце оцiнка
‖π(a)‖ ≤ 1. Нагадаємо також, що C∗-алгебра, породжена спiввiдношеннями (4), є квантовим
аналогом алгебри неперервних функцiй на одиничному колi (див., наприклад, [7]).
Доведення наступного твердження можна знайти у книзi [8].
Теорема 1. Будь-яке незвiдне ∗-зображення алгебриA1 є унiтарно еквiвалентним одному
з побудованих нижче:
1) фокiвському зображенню: πF , що дiє на просторi C2,
πF (a) =
(
0 0
1 0
)
;
2) регулярним зображенням: πx,φ, що дiють на C2,
πx,φ(a) =
(
0 eiφ1
√
1− x√
x 0
)
,
де φ ∈ [0, 2π) та 0 < x <
1
2
фiксованi;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
1268 Р. Я. ЯКИМIВ
3) одновимiрним зображенням: ρφ, що визначенi на C,
ρφ(a) =
eiφ√
2
, φ ∈ [0, 2π).
Зображення рiзного типу, а також зображення одного й того ж типу, що вiдповiдають
рiзним значенням параметрiв, не є унiтарно еквiвалентними.
Використовуючи опис незвiдних зображень A1, можна одержати аналог розкладу Вольда
для оператора A : H → H, що задовольняє (4). А саме, розглянемо полярний розклад A =
= UC, де C = (A∗A)1/2, U — часткова iзометрiя та kerU = kerC = kerA. Тодi простiр H
розкладається в ортогональну суму пiдпросторiв
H = HF ⊕Hu,
iнварiантних вiдносно A, A∗, U, U∗ та C, до того ж звуження оператора A на HF є крат-
ним фокiвського зображення та часткова iзометрiя з полярного розкладу звуження A на Hu є
унiтарним оператором.
3. Опис незвiдних зображень A
(d)
0 з нетривiальною унiтарною частиною. Далi буде-
мо говорити, що зображення π алгебри A
(d)
0 має нетривiальну унiтарну частину, якщо iснує
j = 1, . . . , d, для якого пiдпростiр Hu з узагальненого розкладу Вольда оператора π(aj) є
ненульовим. У цьому пунктi ми дамо опис усiх таких зображень з точнiстю до унiтарної
еквiвалентностi.
Введемо деякi позначення. Для кожного j = 1, . . . , d покладемо
Λj =
{
∅, (α1, . . . , αk), k ∈ N, αs = 1, . . . , d, αk 6= j, αs 6= αs+1
}
.
Через Λ будемо позначати множину всiх скiнченних впорядкованих наборiв елементiв з мно-
жини {1, . . . , d}. Також будемо вважати, що ∅ ∈ Λ. Побудуємо перетворення σ, σj : Λ→ Λ,
σ(α) = (α2, . . . , αk), якщо |α| > 1, σ
(
(α1)
)
= ∅, σ(∅) = ∅,
σj(α) = (j, α1, α2, . . . , αk), σj(∅) = (j).
Нижче ми позначатимемо π(aj) через Aj . Для кожного α ∈ Λj позначатимемо через Aα
добуток операторiв Aα1Aα2 . . . Aαk
. Також покладемо A∅ = 1.
Твердження 1. Нехай оператори Ai, i = 1, . . . , d, дiють на просторi H та задовольня-
ють спiввiдношення (2). Припустимо, що унiтарна частинаHu,що визначається узагальненим
розкладом Вольда оператора A1, є ненульовою. Тодi пiдпростiр
H1 = 〈 Aαx, x ∈ Hu, α ∈ Λ1 〉
є iнварiантним вiдносоно дiї операторiв Aj , A∗j , j = 1, . . . , d, та
(
A2
l
)
|H1
= 0 для всiх l 6= 1.
Доведення. Нехай x належить Hu. Тодi за означенням Hu маємо A∗1x,A1x ∈ Hu ⊂ H1.
Побудуємо полярнi розклади Aj = UjCj , де Uj — часткова iзометрiя, Cj =
√
A∗jAj та
kerCj = kerUj = kerAj , j = 1, . . . , d. Iз спiввiдношень A∗iAj = 0, i 6= j, випливає, що
U∗j Ui = 0, i 6= j. Дiйсно,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
ЗОБРАЖЕННЯ КАНОНIЧНИХ АНТИКОМУТАЦIЙНИХ СПIВВIДНОШЕНЬ . . . 1269
CiU
∗
i UjCj = 0. (5)
Оскiльки kerCj = kerUj , iз спiввiдношення (5) випливає, що CiU
∗
i Uj = 0. Застосувавши
спряження, одержимоU∗j UiCi = 0, та використавши умову kerCi = kerUi, остаточно дiстанемо
U∗j Ui = 0.
Оскiльки звуження U1 на Hu є унiтарним оператором, для кожного x ∈ Hu виконуються
рiвностi
A∗jx = CjU
∗
j U1U
∗
1x = 0, якщо j 6= 1. (6)
Покажемо тепер, що для довiльних α ∈ Λ1, |α| ≥ 1, та x ∈ Hu
AjAαx = (1− δjα1)Aσj(α)x, j = 1, . . . , d,
A∗jAαx = δjα1Aσ(α)x, j = 1, . . . , d.
(7)
Дiйсно, легко перевiрити, що для кожного j = 1, . . . , d оператор A2
j є нормальним. Припустимо,
що α ∈ Λj , α = (j, α2, . . . , αd). Тодi
〈AjAαx,AjAαx〉 = 〈A2
jAσ(α)x,A
2
jAσ(α)x〉 =
= 〈A∗2j A2
jAσ(α)x,Aσ(α)x〉 = 〈A2
jA
∗2
j Aσ(α)x,Aσ(α)x〉 = 0,
де використано властивiсть α2 6= α1 = j. Отже, якщо α1 = j, то
AjAαx = 0,
звiдки випливає перша з рiвностей (7). Далi,
A∗jAαx = A∗jAjAσ(α)x = (1−AjA∗j )Aσ(α)x = Aσ(α)x,
звiдки випливає друга з рiвностей (7). Таким чином, iнварiантнiсть пiдпростору H1 доведено.
Твердження 1 доведено.
Лема 1. Мають мiсце наступнi властивостi:
1) для довiльних непорожнiх α, β ∈ Λ1, α 6= β, та x, y ∈ Hu маємо 〈Aαx,Aβy〉 = 0;
2) якщо x, y ∈ Hu та 〈x, y〉 = 0, то 〈Aαx,Aαy〉 = 0 для всiх α ∈ Λ1;
3) якщо x ∈ Hu, ‖x‖ = 1, то для довiльного α ∈ Λ1 маємо ‖Aαx‖ = 1.
Доведення. Використаємо iндукцiю по довжинi α ∈ Λ1.
1. Спочатку покажемо, що при довiльних x, y ∈ Hu та непорожньому α ∈ Λ1 має мiсце
рiвнiсть 〈Aαx, y〉 = 0. Дiйсно, якщо α = (α1), то α1 6= 1 та 〈Aα1x, y〉 = 0. Якщо |α| ≥ 2 та
α1 6= 1, то
〈Aαx, y〉 = 〈Aσ(α)x,A∗α1
y〉 = 0,
iнакше
〈Aαx, y〉 = 〈Aσ(α)x,A∗1y〉,
де A∗1y ∈ Hu. Отже, за iндукцiєю по довжинi α одержимо 〈Aσ(α)x,A∗1y〉 = 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
1270 Р. Я. ЯКИМIВ
Нехай тепер α 6= β, α, β ∈ Λ1, |α|, |β| ≥ 1, та x, y ∈ Hu. Тодi за допомогою iндукцiї
отримаємо
〈Aαx,Aβy〉 = 〈Aσ(α)x,Aα∗1Aβy〉 = 〈Aσ(α)x, δα1β1Aσ(β)y〉 = 0.
2. Нехай x, y ∈ Hu, α ∈ Λ1. Тодi
〈Aαx,Aαy〉 = 〈Aσ(α)x,Aσ(α)y〉 = . . . = 〈x, y〉,
звiдки випливає справедливiсть тверджень 2 та 3 леми.
Лему 1 доведено.
З твердження 1 випливає, що якщо зображенняA(d)
0 , визначене операторамиAi, i = 1, . . . , d,
на просторi H, є незвiдним та пiдпростiр Hu з узагальненого розкладу Вольда оператора A1
не дорiвнює нулю, маємо рiвнiсть H = H1. Залишилося вияснити, за яких умов дiя операторiв
Ai, A
∗
i , i = 1, . . . , d, на H1 буде незвiдною.
Твердження 2. Нехай в зображеннiA(d)
0 , яке визначене операторамиAi, A∗i , i = 1, . . . , d,
на просторi H, пiдпростiр Hu в узагальненому розкладi Вольда оператора A1 не дорiвнює
нулю. Зображення алгебри A(d)
0 , що задане звуженнями операторiв Ai, A∗i на H1, є незвiдним
тодi й лише тодi, коли набiр {A1, A
∗
1}, звужений на Hu, є незвiдним.
Доведення. 1. Покажемо спочатку, що якщо набiр {A1, A
∗
1} є звiдним на Hu, то набiр
{Aj , A∗j , j = 1, . . . , d} є звiдним на H1. Доведення випливає з твердження 1 та леми 1. Дiйсно,
припустимо, що зображення, визначене дiєю операторiв A1, A
∗
1 на Hu, є звiдним. Тодi iснує
розклад Hu в ортогональну суму нетривiальних пiдпросторiв
Hu = H(1)
u ⊕H(2)
u ,
iнварiантних вiдносно A1, A
∗
1. Побудуємо пiдпростори
H(s)
1 =
〈
Aαx, x ∈ H(s)
u , α ∈ Λ1
〉
⊂ H1, s = 1, 2.
З формул (6), (7) випливає iнварiантнiсть H(s)
1 , s = 1, 2, вiдносно Aj , A∗j , j = 1, . . . , d, тодi як
з леми 1 випливає, що H(1)
1 є ортогональним до H(2)
1 . Таким чином, звуження операторiв Aj ,
A∗j , j = 1, . . . , d, на H1 визначають звiдне зображення A(d)
0 .
2. Доведемо, що у випадку, коли набiр {A1, A
∗
1} є незвiдним на Hu, набiр {Ai, A∗i , i =
= 1, . . . , d} є незвiдним на H1. Використаємо лему Шура.
З незвiдностi {A1, A
∗
1} на Hu випливає, що
dimHu = 1 або dimHu = 2.
В першому випадку (A1)|Hu
=
eiφ1√
2
. Якщо dimHu = 2, то в деякому ортонормованому базисi
e
(1)
∅ , e
(2)
∅ маємо
A1e
(1)
∅ =
√
1− x1e(2)∅ , A1e
(2)
∅ = eiφ1
√
x1e
(1)
∅ ,
де x1 ∈ (0, 1/2) та φ1 ∈ [0, 2π) фiксованi.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
ЗОБРАЖЕННЯ КАНОНIЧНИХ АНТИКОМУТАЦIЙНИХ СПIВВIДНОШЕНЬ . . . 1271
Оскiльки (A2
1)|H⊥u = 0, пiдпростiр Hu є власним для оператора A2
1, що вiдповiдає власному
числу
ei2φ1
2
, якщо dimHu = 1, та числу eiφ1
√
x1(1− x1) при dimHu = 2. Крiм того, e(1)∅
породжує власний пiдпростiр оператора C2
1 = A∗1A1, що вiдповiдає числу 1− x1, а вектор e(2)∅
є власним вектором C2
1 з числом x1.
Нехай Hu =
〈
e∅
〉
, де через e∅ ∈ Hu позначено деякий одиничний вектор. З твердження 1
та леми 1 випливає, що вектори eα = Aαe∅, α ∈ Λ1, утворюють ортонормований базис H1.
Аналогiчно, якщо Hu = C
〈
e
(1)
∅ , e
(2)
∅
〉
, вектори e
(j)
α = Aαe
(j)
∅ , α ∈ Λ1, j = 1, 2, утворюють
ортонормований базис H1.
Нехай тепер самоспряжений C ∈ B(H1) комутує з усiма Aj , A∗j , j = 1, . . . , d. Припустимо
спочатку, що dimHu = 1. Тодi Ce∅ є власним вектором A1,що вiдповiдає власному числу
eiφ1√
2
.
Оскiльки для кожного x ∈ H⊥u ⊂ H1 має мiсце рiвнiсть A2
1x = 0, можна зробити висновок, що
Ce∅ = c · e∅ для деякого c ∈ R. Тодi з рiвностi CAα = AαC, α ∈ Λ1, випливає, що
Ceα = CAαe∅ = AαCe∅ = cAαe∅ = ceα.
Отже, C = c · 1H1 та набiр {Aj , A∗j , j = 1, . . . , d} є незвiдним на H1.
Тепер припустимо, що dimHu = 2. Тодi Ce(1)∅ = c1e
(1)
∅ , Ce
(2)
∅ = c2e
(2)
∅ та iз спiввiдошення
CA1 = A1C i рiвностi A1e
(1)
∅ =
√
1− x1e(2)∅ випливає, що c2 = c1. Далi, мiркуючи, як у
попередньому випадку, одержуємо C = c·1H1 отже, i в другому випадку зображення, визначене
дiєю Aj , A
∗
j , j = 1, . . . , d, на пiдпросторi H1, є незвiдним.
Твердження 2 доведено.
Пiдсумовуючи отриманi вище результати, одержуємо опис усiх незвiдних зображень A(d)
0
з умовою нетривiальностi унiтарної частини узагальненого розкладу Вольда хоча б одного з
образiв твiрних.
Теорема 2. Припустимо, що набiр {Aj , A∗j , j = 1, . . . , d} визначає незвiдне зображення
A
(d)
0 на просторi H та для оператора Ak унiтарна частина Hu з узагальненого розкладу
Вольда є ненульовою. Тодi dimHu = 1 або dimHu = 2 та з точнiстю до унiтарної еквiвалент-
ностi:
1. Простiр H породжений ортонормованим базисом eα, α ∈ Λk, та для деякого φk ∈
∈ [0, 2π)
Ake∅ =
eiφk√
2
· e∅, A∗ke∅ =
e−iφk√
2
· e∅,
Akeα = (1− δkα1) · eσk(α), A∗keα = δkα1eσ(α),
Ajeα = (1− δjα1)eσj(α), A∗jeα = δjα1eσ(α), j 6= k,
Aje∅ = e(j), A∗je∅ = 0, j 6= k.
Зображення, що вiдповiдають рiзним k = 1, . . . , d або рiзним φk ∈ [0, 2π), є нееквiвалентними.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
1272 Р. Я. ЯКИМIВ
2. Простiр H породжений ортонормованим базисом e
(1)
α , e
(2)
α , α ∈ Λk, та для фiксованих
xk ∈ (0, 1/2), φk ∈ [0, 2π)
Ake
(1)
∅ =
√
1− xk · e
(2)
∅ , Ake
(2)
∅ = eiφk
√
xk · e
(1)
∅ ,
A∗ke
(1)
∅ = e−iφk
√
xk · e
(2)
∅ , A∗ke
(2)
∅ =
√
1− xk · e
(1)
∅ ,
Ake
(r)
α = (1− δkα1) · e(r)σk(α), A∗ke
(r)
α = δkα1e
(r)
σ(α), r = 1, 2,
Aje
(r)
α = (1− δjα1)e
(r)
σj(α)
, A∗je
(r)
α = δjα1e
(r)
σ(α), j 6= k, r = 1, 2,
Aje
(r)
∅ = e
(r)
(j), A∗je
(r)
∅ = 0, j 6= k, r = 1, 2.
Зображення, що вiдповiдають рiзним k чи рiзним парам (xk, φk), не еквiвалентнi.
Доведення. Очевидно, що зображення, в яких dimHu набуває рiзних значень, не є еквiва-
лентними.
Зображення, в яких dimHu = 1, що вiдповiдають рiзним значенням k, не еквiвалентнi,
оскiльки при фiксованому k маємо A2
k 6= 0, A2
j = 0, j 6= k. Зображення, що вiдповiдають
одному й тому ж значенню k та рiзним φk ∈ [0, 2π) не еквiвалентнi, оскiльки
eiφk√
2
є єдиним
ненульовим власним числом оператора Ak.
Випадок dimHu = 2 розглядається аналогiчно.
Теорему 2 доведено.
1. Проскурiн Д. П., Сукретний К. М. Про ∗-зображення деформацiй CAR // Укр. мат. журн. – 2010. – 60, № 2. –
С. 203 – 214.
2. Albeverio S., Proskurin D., Turowska L. On ∗-representations of a deformation of a Wick analogue of the CAR
algebra // Rept. Math. Phys. – 2005. – 56, № 2. – P. 175 – 196.
3. Bunce J. Representations of strongly amenable C*-algebras // Proc. Amer. Math. Soc. – 1972. – 32. – P. 241 – 246.
4. Cuntz J. Simple C∗-algebras generated by isometries // Communs Math. Phys. – 1977. – 57. – P. 173 – 185.
5. Murphy G. J. C∗-algebras and operator theory. – Boston: Acad. Press, 1990. – 286 p.
6. Nagy G. On the K-theory of the non-commutative circle // J. Oper. Theory. – 1994. – 31. – P. 303 – 309.
7. Nagy G., Nica A. On the quantum disk and non-commutative circle // Algebraic Methods in Operator Theory / Eds
P. E. T. Jorgensen, R. Curto. – Boston: Birkhäuser, 1994. – P. 276 – 290.
8. Ostrovskyi V., Samoilenko Yu. Introduction to the theory of representations of finitely presented algebras // Rev. Math.
and Math. Phys. – 2000. – Vol. 11. – 261 p.
9. Ostrovskyi V., Proskurin D., Turowska L. Unbounded representations of q-deformation of Cuntz algebra // Lett. Math.
Phys. – 2008. – 85, № 2 – 3. – P. 147 – 162.
10. Proskurin D. Homogeneous ideals in Wick ∗-algebras // Proc. Amer. Math. Soc. – 1998. – 126, № 11. – P. 3371 – 3376.
11. Proskurin D., Savcnuk Yu., Turowska L. On C∗-algebras generated by some deformations of CAR relations //
Contemp. Math. – 2005. – 391. – P. 297 – 312.
12. Pusz W. Twisted canonical anticommutation relations // Repts Math. Phys. – 1989. – 27. – P. 349 – 360.
Одержано 29.05.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
|
| id | umjimathkievua-article-2656 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:27:44Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/b2/b2094fedc0d7fe85fe1685231dad70b2.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-26562020-03-18T19:32:05Z Representations of canonical anticommutation relations with orthogonality condition Зображення канонічних антикомутаційних співвідношень з умовою ортогональності Yakymiv, R. Ya. Якимів, Р. Я. We study the class of Hilbert space representations of the ∗-algebra $A^{(d)}_0$ generated by relations of the form $$A^{(d)}_0 = \mathbb{C}\langle a_j, a_j^{*} | a_j^{*} a_j = 1 - a_j a_j^{*},\; a_j, a_j^{*} = 0, i \neq j,\; i, j = 1,...,d\rangle,$$ Namely, we describe the classes of unitary equivalence of irreducible representations of $A^{(d)}_0$ such that there exists $j = 1,...,d$ for which $a^2_j \neq 0$. Изучается класс ∗-представлений ∗-алгебры $A^{(d)}_0$, порожденной соотношениями вида $$A^{(d)}_0 = \mathbb{C}\langle a_j, a_j^{*} | a_j^{*} a_j = 1 - a_j a_j^{*},\; a_j, a_j^{*} = 0, i \neq j,\; i, j = 1,...,d\rangle,$$ а именно, получено описание классов унитарной эквивалентности неприводимых ∗-представлений $A^{(d)}_0$ при условии существования $j = 1,...,d$, для которого $a^2_j \neq 0$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2012-09-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2656 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 64 No. 9 (2012); 1266-1272 Український математичний журнал; Том 64 № 9 (2012); 1266-1272 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2656/2071 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2656/2072 Copyright (c) 2012 Yakymiv R. Ya. |
| spellingShingle | Yakymiv, R. Ya. Якимів, Р. Я. Representations of canonical anticommutation relations with orthogonality condition |
| title | Representations of canonical anticommutation relations with orthogonality condition |
| title_alt | Зображення канонічних антикомутаційних співвідношень з умовою ортогональності |
| title_full | Representations of canonical anticommutation relations with orthogonality condition |
| title_fullStr | Representations of canonical anticommutation relations with orthogonality condition |
| title_full_unstemmed | Representations of canonical anticommutation relations with orthogonality condition |
| title_short | Representations of canonical anticommutation relations with orthogonality condition |
| title_sort | representations of canonical anticommutation relations with orthogonality condition |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2656 |
| work_keys_str_mv | AT yakymivrya representationsofcanonicalanticommutationrelationswithorthogonalitycondition AT âkimívrâ representationsofcanonicalanticommutationrelationswithorthogonalitycondition AT yakymivrya zobražennâkanoníčnihantikomutacíjnihspívvídnošenʹzumovoûortogonalʹností AT âkimívrâ zobražennâkanoníčnihantikomutacíjnihspívvídnošenʹzumovoûortogonalʹností |