One-sided approximation of a step by algebraic polynomials in the mean
An asymptotically sharp estimate is obtained for the best one-sided approximation of a step by algebraic polynomials in the space $L_1$.
Gespeichert in:
| Datum: | 2010 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2010
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2876 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508867645931520 |
|---|---|
| author | Motornaya, O. V. Motornyi, V. P. Nitiema, P. K. Моторная, О. В. Моторный, В. П. Нитиема, П. К. Моторная, О. В. Моторный, В. П. Нитиема, П. К. |
| author_facet | Motornaya, O. V. Motornyi, V. P. Nitiema, P. K. Моторная, О. В. Моторный, В. П. Нитиема, П. К. Моторная, О. В. Моторный, В. П. Нитиема, П. К. |
| author_sort | Motornaya, O. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:39:19Z |
| description | An asymptotically sharp estimate is obtained for the best one-sided approximation of a step by algebraic polynomials in the space $L_1$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:32:02Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
В. П. Моторный (Днепропетр. нац. ун-т),
О. В. Моторная (Киев. нац. ун-т им. Т. Шевченко),
П. К. Нитиема (Ун-т Уагадугу, Буркина-Фасо)
ОБ ОДНОСТОРОННЕМ ПРИБЛИЖЕНИИ СТУПЕНЬКИ
АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ МНОГОЧЛЕНАМИ В СРЕДНЕМ
An asymptotically sharp estimate is obtained for the best one-sided approximation of a step-like data by
algebraic polynomials in the space L1.
Одержано асимптотично точну оцiнку найкращого одностороннього наближення сходинки алгебраїч-
ними многочленами у просторi L1.
Введение. Пусть Pn — множество всех алгебраических многочленов степени не
выше n− 1 и
E+
n (f)1 = inf
1∫
−1
{P (t)− f(t)}dt : P ∈ Pn, P (t) ≥ f(t), t ∈ [−1; 1]
(
соответственно
E−n (f)1 = inf
1∫
−1
{f(t)− P (t)}dt : P ∈ Pn, P (t) ≤ f(t), t ∈ [−1; 1
— наилучшее сверху (соответственно снизу) приближение ограниченной измери-
мой функции f алгебраическими многочленами. Положим
(x)+ =
x, x > 0,
0, x ≤ 0.
Тогда для любого натурального числа r функция (x− a)r−1
+ называется усеченной
степенью, а в случае r = 1 — ступенькой.
Оценки для наилучших односторонних приближений усеченных степеней (x−
− a)r−1
+ алгебраическими многочленами в пространстве L1 получены в работах
[1 – 3]. В работах [1, 2] были доказаны неравенства
supt(∓2Br(t))
(√
1− a2
)r+1
nr
− Cr
(√
1− a2
)(r−2)+
nr+1
≤ E∓n
(
(x− a)r−1
+
(r − 1)!
)
1
≤
≤
supt(∓2Br(t))
(√
1− a2
)r−1
nr
+ Cr
(√
1− a2
)(r−2)+
nr+1
, (1)
где Br(t) — функции Бернулли,
Br(t) =
∞∑
k=1
cos(kx− πr/2)
kr
,
а величина Cr зависит только от r.
c© В. П. МОТОРНЫЙ, О. В. МОТОРНАЯ, П. К. НИТИЕМА, 2010
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 3 409
410 В. П. МОТОРНЫЙ, О. В. МОТОРНАЯ, П. К. НИТИЕМА
Главные части левой и правой частей неравенств (1) совпадают при a = 0, что
позволило получить асимптотически точную оценку величины E∓n (W r
1 )1,
E∓n (W r
1 )1 =
‖2Br‖C
nr
+O
(
1
nr+1
)
,
в которой величина, определяющая остаточный член, зависит только от r. Класс
W r
p , r = 1, . . . , p ≥ 1, состоит из функций, заданных на отрезке [−1, 1], (r − 1)-я
производная которых абсолютно непрерывна и ‖f (r)‖1 ≤ 1, а
E∓n (W r
1 )1 = sup
f∈W r
p
E±n (f)1.
Если a 6= 0, то главные части неравенств (1) разные. В работе [3] построен метод
приближения усеченных степеней, уточняющий оценку (1). Этот результат заклю-
чается в следующем.
Для любого натурального r и a ∈ (−1, 1) существуют алгебраические поли-
номы P+
n,r,a(x) (соответственно P−n,r,a(x)) степени не выше n, приближающие
усеченную степень сверху (соответственно снизу) такие, что справедливо равен-
ство ∥∥∥∥∥ (x− a)r−1
+
(r − 1)!
− P∓n,r,a(x)
∥∥∥∥∥
1
=
=
supt(∓2Br(t))
(√
1− a2
)r
nr
+O
(
lnn
(√
1− a2
)(r−2)+
nr+1
)
, (2)
где величина, определяющая остаточный член, зависит только от r.
Равенство (2) дает оценку сверху величины
1
(r − 1)!
E∓n
(
(x−a)r−1
+ )
)
1
. Оставал-
ся открытым вопрос об оценке снизу этой величины. Существует предположение,
что оценка снизу величины
1
(r − 1)!
E∓n
(
(x− a)r−1
+ )
)
1
совпадает с оценкой сверху.
В настоящей работе мы покажем, что в случае r = 1 это действительно так.
Приближение функций интерполяционными тригонометрическими поли-
номами полуцелого порядка в пространстве L1. Пусть 0 ≤ t1 ≤ t2 ≤ . . .
. . . ≤ t2n < 2π. Тогда полином (см. [5]) lk(t) полуцелого порядка 2n − 1/2, удов-
летворяющий условию
lk(tj) =
0, j 6= k,
1, j = k,
l′k(tj) = 0, j, k = 1, 2, . . . , 2n,
имеет вид
lk(t) =
[
ω(t)
2ω′(tk) sin(t− tk)/2
]2 [
cos
t− tk
2
− 2ω′′(tk)
ω′(tk)
sin
t− tk
2
]
,
где ω(t) =
∏2n
j=1
sin(t − tj)/2, а полином hk(t) полуцелого порядка 2n − 1/2,
удовлетворяющий условию
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 3
ОБ ОДНОСТОРОННЕМ ПРИБЛИЖЕНИИ СТУПЕНЬКИ АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ . . . 411
h′k(tj) =
0, j 6= k,
1, i = k,
hk(tj) = 0, j, k = 1, 2, . . . , 2n,
— вид
hk(t) = 2
[
ω(t)
2ω′(tk) sin(t− tk)/2
]2
sin
t− tk
2
.
Тогда
H2n−1/2(t) =
2n∑
k=1
[
yklk(t) + y′khk(t)
]
является полиномом полуцелого порядка 2n − 1/2, удовлетворяющим условиям
Q2n−1(tj) = yj , Q
′
2n−1(tj) = y′j , где yj , j = 1, 2, . . . , n, y′j , j = 1, 2, . . . , n, —
произвольные числа. ПолиномH2n−1/2(t), удовлетворяющий указанным условиям,
единствен (см. [6]).
Полиномы полуцелого порядка удовлетворяют условию
Hn−1/2(t+ 2π) = −Hn−1/2(t). (3)
Поэтому, естественно, интерполировать и приближать полиномами полуцелого по-
рядка следует функции f(t), заданные на всей действительной оси и удовлетворя-
ющие условию (3). Такие функции будем называть антипериодическими, а число
2π — антипериодом.
Пусть cos tk = xk, k = 1, 2, . . . , n, tk ∈ (0;π), где xk — нули многочлена
Лежандра Pn(x), записанные в порядке убывания. Доопределим еще точки tn+k,
k = 1, 2, . . . , n, равенством tn+k = 2π − tn−k+1, k = 1, 2, . . . , n. Нетрудно видеть,
что ω(t) = 2−nPn(cos t) и
ω′′(tk)
ω′(tk)
= −cos tk
sin tk
.
Из равенства (см. [7], (4.1.3)) Pn(−x) = (−1)nPn(x), которому удовлетворяют
многочлены Лежандра, следует, что если cos t0 явлется нулем многочлена Pn(x),
то − cos t0 также есть нуль этого многочлена. Следовательно, для любого k =
= 1, 2, . . . , [(n + 1)/2] ([a]− целая часть числа a) tn−k+1 = π − tk. Это замечание
дает возможность доказать следующие утверждения.
Лемма 1. Для любого k = 1, 2, . . . , [(n+ 1)/2] имеют место равенства
2π∫
0
[
Pn(cos t)
2P ′n(cos tn−k+1) sin tn−k+1 sin(t− tn−k+1)/2
]2
dt =
=
2π∫
0
[
Pn(cos t)
2P ′n(cos tk) sin tk sin(t− tk)/2
]2
dt. (4)
Доказательство. Подставив в левую часть предполагаемого равенства (4) вме-
сто tn−k+1 разность π − tk, будем иметь
2π∫
0
[
Pn(cos t)
2P ′n(cos tk) sin tk sin(t− π + tk)/2
]2
dt,
а затем, заменив в интеграле t− π на −u, получим правую часть равенства (4).
Лемма доказана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 3
412 В. П. МОТОРНЫЙ, О. В. МОТОРНАЯ, П. К. НИТИЕМА
Лемма 2. Для любого k = 1, 2, . . . , n имеют место равенства
2π∫
0
[
Pn(cos t)
2P ′n(cos t2n−k+1) sin t2n−k+1 sin(t− t2n−k+1)/2
]2
dt =
=
2π∫
0
[
Pn(cos t)
2P ′n(cos tk) sin tk sin(t− tk)/2
]2
dt. (5)
Доказательство. В силу определения узлов tk для k = n + 1, n + 2, . . . <
< 2n получаем t2n−k+1 = tn+(n−k+1) = 2π − tk. Поэтому
∣∣P ′n(cos t2n−k+1)
∣∣ =
=
∣∣P ′n(cos(2π−tk))
∣∣ =
∣∣P ′n(cos tk)
∣∣, ∣∣ sin t2n−k+1
∣∣ =
∣∣ sin tk∣∣, ∣∣ sin(t−t2n−k+1)/2
∣∣ =
=
∣∣ sin(t − 2π + tk)/2
∣∣, k = 1, 2, . . . , n. Подставляя найденные значения в левую
часть равенства (5), а затем выполняя в интеграле замену переменной t−2π = −u,
получаем правую часть равенства (5).
Лемма доказана.
Замечания. 1. Пусть Lk(t) =
Pn(cos t)
2P ′n(cos tk) sin tk sin(t− tk)/2
. Согласно лем-
мам 1, 2, оценивая интегралы от функций L2
k(t) по отрезку [0; 2π], достаточно рас-
смотреть k = 1, 2, . . . , [(n + 1)/2]. Очевидно, что последним замечанием
можно пользоваться и при оценке интегралов по отрезку [0; 2π] от функций
L2
k(t)
sin(t− tk)/2
sin tk
и L2
k(t) sin
t− tk
2
.
2. Будем обозначать абсолютные константы через C,C1, . . . , а величины, за-
висящие от параметра r, через Cr, хотя их значения в разных местах могут быть
различными.
В дальнейшем нам будут необходимы некоторые свойства полиномов Лежанд-
ра и нулей этих полиномов. Будем считать, что полиномы Pn(t) нормированы
условием Pn(1) = 1 и числа tk ∈ (0;π), k = 1, 2, . . . , n, такие, что cos tk = xk, где
xk — нули многочлена Лежандра Pn(x), записанные в порядке убывания.
1. Имеет место неравенство (см. [7], теорема 7.32.2)
|Pn(x)| ≤ Cn−1/2
(√
1− x+ 1/n
)−1/2
, 0 ≤ x ≤ 1, (6)
где C — абсолютная константа. В частности, если t ∈ (tj ; tj+1) ⊂ (0;π/2], то
Pn(t) ≤ C
n1/2
√
sin tj + 1/n
. (7)
2. Для нулей tk, k = 1, 2, . . . , n, полинома Pn(t) имеет место равенство (см. [7],
(8.9.1))
tk =
1
n
(
πk +O(1)
)
, (8)
где O(1) равномерно ограничена для всех n и k = 1, 2, . . . , n.
3. Для k = 1, 2, . . . , [(n+ 1)/2] выполняется неравенство (см. [7], (8.9.2))
1
P ′n(cos tk) sin tk
≤ Cnk−1/2, (9)
где C — абсолютная константа.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 3
ОБ ОДНОСТОРОННЕМ ПРИБЛИЖЕНИИ СТУПЕНЬКИ АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ . . . 413
4. Для k = 1, 2, . . . , [(n+ 1)/2] имеет место неравенство∣∣Lk(t)
∣∣ ≤ C, t ∈ (tk−1; tk+1). (10)
5. Нули многочлена Лежандра удовлетворяют условию (см. [7], (6.3.3), (6.3.8),
(6.3.10))
3π
2(2n+ 1)
< t1 < t2 − t1 < . . . < t[n/2]+1 − t[n/2] <
2π
2n+ 1
. (11)
Теорема 1. Для любого k = 1, 2, . . . , [(n+ 1)/2] выполняются неравенства
2π∫
0
L2
k(t)dt ≤ C1
n
,
2π∫
0
L2
k(t)
| sin(t− tk)/2|
sin tk
dt ≤ C2
n
,
2π∫
0
L2
k(t)
∣∣∣∣sin t− tk2
∣∣∣∣ dt ≤ C3 ln(n+ 1)
n2
,
где C1, C2, C3 — абсолютные константы.
Доказательство. Оценим сначала интеграл от функции L2
k(t) по отрезку
[−π/2;π/2] :
π/2∫
−π/2
L2
k(t)dt =
[n/2]∑
j=−[n/2]−1
tj+1∫
tj
L2
k(t)dt. (12)
В силу неравенства (10)
∫ tk+1
tk−1
L2
k(t)dt ≤ C/n, где C — абсолютная константа.
Тогда
π/2∫
−π/2
L2
k(t)dt ≤
≤ Ck
n
−1∑
j=−[n/2]−1
−1
j(k − j)2
+
k−1∑
j=1
1
j(k − j)2
+
[n/2]∑
j=k+1
1
j(k − j)2
+ 1/n
≤ C
n
.
(13)
Переходя к оценке интеграла от функции L2
k(t) по отрезку [π/2; 3π/2], заметим, что
|Pn(cos t)| = |Pn(cos(π−t))|, и если t ∈ [π/2; 3π/2], то π−t ∈ [−π/2;π/2].Поэтому
в силу (6) – (8) |Pn(cos t)| = |Pn(cos(π − t))| ≤ Cn−1/2(| sin(π − t)| + 1/n)−1/2, а
если t ∈ (tj ; tj+1), то |Pn(cos t)| ≤ Cn−1/2(|n− j|/n+ 1/n)−1/2. Поэтому
π∫
π/2
L2
k(t)dt ≤ Ck
n
n∑
j=[n/2]
1
(n− j + 1)(j − k)2
≤ C
n
. (14)
Если t ∈ (tj ; tj+1) ⊂ [π; 3π/2], то (t − tk) ∈ (π/4; 3π/4). Следовательно, sin(t −
− tk) ≥ 1/
√
2. Тогда в силу неравенства (6)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 3
414 В. П. МОТОРНЫЙ, О. В. МОТОРНАЯ, П. К. НИТИЕМА
3π/2∫
π
L2
k(t)dt ≤ Ck
n2
3π/2∫
π
P 2
n(cos t)dt ≤ Ck
n3
π/2∫
0
(sin t+ 1/n)−1dt ≤ C
n
. (15)
Из неравенств (13) – (15) следует оценка интеграла от функции L2
k(t). Чтобы оце-
нить интеграл от функции L2
k(t)
| sin(t− tk)/2|
sin tk
, заметим, что если t ∈ (tj ; tj+1) ⊂
⊂ [−π/2;π/2], то
L2
k(t)
| sin(t− tk)/2|
sin tk
≤ C
(|j|+ 1)(|j − k|+ 1)
.
Поэтому
π/2∫
−π/2
L2
k(t)
| sin(t− tk)/2|
sin tk
dt ≤ C
n
[n/2]∑
j=−[n/2]−1
1
(|j|+ 1)(|j − k|+ 1)
≤ C2
n
. (16)
Если t ∈ (tj ; tj+1) ⊂ [π/2;π], то
L2
k(t)
| sin(t− tk)/2|
sin tk
≤ C
(j − k)(|j − n|+ 1)
,
π∫
π/2
L2
k(t)
| sin(t− tk)/2|
sin tk
dt ≤ C
n
n∑
j=[n/2]+1
1
(j − k)(|j − n|+ 1)
≤ C2
n
. (17)
Снова учитывая то, что если t ∈ (tj ; tj+1) ⊂ [π; 3π/2], то sin(t − tk) ≥ 1/
√
2,
получаем
3π/2∫
π
L2
k(t)
| sin(t− tk)/2|
sin tk
dt ≤ C
n3/2
π/2∫
0
(sin t+ 1/n)−1dt ≤ C
n
. (18)
Из неравенств (16) – (18) следует оценка интеграла от функцииL2
k(t)
| sin(t− tk)/2|
sin tk
.
Чтобы оценить интеграл
2π∫
0
L2
k(t)| sin(t− tk)/2|dt,
заметим, что если t ∈ (tj ; tj+1) ⊂ [−π;π/2], то
L2
k(t)
∣∣∣∣sin t− tk2
∣∣∣∣ ≤ Ck
n(|j|+ 1)(|j − k|+ 1)
.
Поэтому
π/2∫
−π/2
L2
k(t)
∣∣∣∣sin t− tk2
∣∣∣∣ dt ≤ Ck
n2
[n/2]∑
j=−[n/2]−1
1
(|j|+ 1)(|j − k|+ 1)
≤ C ln(n+ 1)
n2
.
(19)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 3
ОБ ОДНОСТОРОННЕМ ПРИБЛИЖЕНИИ СТУПЕНЬКИ АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ . . . 415
Если t ∈ (tj ; tj+1) ⊂ [π/2;π], то
L2
k(t)
∣∣∣∣sin t− tk2
∣∣∣∣ ≤ Ck
n(|n− j|+ 1)(j − k)
.
Следовательно,
π∫
π/2
L2
k(t)
∣∣∣∣sin t− tk2
∣∣∣∣ dt ≤ Ck
n2
n∑
j=[n/2]
1
(|n− j|+ 1)(j − k)
≤ C ln(n+ 1)
n2
. (20)
Если t ∈ (tj ; tj+1) ⊂ [π; 3π/2], то sin(t− tk) ≥ 1/
√
2 и
3π/2∫
π
L2
k(t)
∣∣∣∣sin t− tk2
∣∣∣∣ dt ≤ Ck
n3
π/2∫
0
(
sin t+
1
n
)−1
dt ≤ C ln(n+ 1)
n2
. (21)
Из неравенств (19) – (21) следует оценка интеграла от функции L2
k(t)| sin(t−tk)/2|.
Теорема доказана.
Следствие 1. Утверждение теоремы 1 означает, что существуют абсолют-
ные константы C1 и C2 такие, что
2π∫
0
|lk(t)|dt ≤ C1
n
, (22)
2π∫
0
|hk(t)|dt ≤ C1 ln(n+ 1)
n2
. (23)
Пусть числа yj , j = 1, 2, . . . , 2n, и y′j , j = 1, 2, . . . , 2n, являются значениями
в точках tj антипериодической функции f(t) и ее производной f ′(t). Далее будем
предполагать, что производная f ′(t) есть функция ограниченной вариации. Если в
точке tj производная f ′ имеет разрыв, то будем полагать, что y′j = f ′(tj + 0) либо
y′j = f ′(tj − 0). Пусть
An(f ; t) =
2n∑
k=1
f(xj)lk(t), Bn(f ; t) =
2n∑
k=1
f ′(xk + 0)hk(t).
Лемма 3. Для любой антипериодической функции, имеющей производную
ограниченной вариации, имеет место неравенство
‖An(f)‖1 ≤ C
(
‖f‖1 +
‖f ′‖1
n
)
, (24)
‖Bn(f)‖1 ≤
C ln(n+ 1)
n+ 1
(
‖f ′‖1 +
V 2π
0 (f ′)
n
)
. (25)
Доказательство. Для данной антипериодической функции f определим кусоч-
но-постоянную антипериодическую функцию, задав ее на полуинтервале [t1; t2n+1),
где t2n+1 = t1 + 2π, равенством fn(t) = f(tj), если t ∈ [tj ; tj+1), j = 1, 2, . . . , 2n.
Очевидно, что An(f ; t) = An(fn; t), Bn(f ; t) = Bn(fn; t) и для всех t ∈ [0;π/n)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 3
416 В. П. МОТОРНЫЙ, О. В. МОТОРНАЯ, П. К. НИТИЕМА
‖An(f)‖1 = ‖An(fn)‖1 =
∥∥∥∥∥
2n∑
k=1
fn(tk + αk(t))lk(x)
∥∥∥∥∥
1
.
Аналогично
‖Bn(f)‖1 = ‖Bn(fn)‖1 =
∥∥∥∥∥
2n∑
k=1
fn(tk + αk(t))hk(x)
∥∥∥∥∥
1
,
где αk(t) = (tk+1 − tk)nt/π, t ∈ [0;π/n).
Используя неравенство (22), получаем
∥∥An(f)
∥∥
1
=
n
π
π/n∫
0
2π∫
0
∣∣∣∣∣
2n∑
k=1
fn(tk + αk(t))lk(x)
∣∣∣∣∣ dxdt ≤
≤ n
π
π/n∫
0
2n∑
k=1
2π∫
0
∣∣lk(x)
∣∣dx∣∣fn(tk + αk(t))
∣∣dt ≤
≤ C
2n∑
k=1
π/n∫
0
∣∣fn(tk + αk(t))
∣∣dt. (26)
В каждом интеграле выполним замену переменной интегрирования u = tk +αk(t)
и воспользуемся неравенствами (11). Тогда
2n∑
k=1
π/n∫
0
∣∣fn(tk + αk(t))
∣∣dt =
2n∑
k=1
π
n(tk+1 − tk)
tk+1∫
tk
|fn(u)|du ≤
≤ C1
2n∑
k=1
tk+1∫
tk
∣∣fn(u)
∣∣du = C1‖fn‖1. (27)
Из определения функции fn следует
‖fn‖1 ≤ ‖fn − f‖1 + ‖f‖1 ≤ ‖f‖1 +
π
n
V 2π
0 f. (28)
Из неравенств (26) – (28) следует (24). Аналогично, используя неравенства (23) и
(11), доказываем неравенство (25).
Лемма доказана.
Замечание 3. Лемма 3 будет справедливой, если в определении операторов
Bn(f) вместо чисел f ′(tj + 0) использовать f ′(tj − 0).
Для любой функции f, имеющей производную ограниченной вариации, поло-
жим
H2n−1/2(f ; t) = An(f ; t) +Bn(f ; t).
Пусть W rKV (r — натуральное число) — множество антипериодических функ-
ций, (r − 1)-я производная которых абсолютно непрерывна, а V 2π
0 (f (r) ≤ K.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 3
ОБ ОДНОСТОРОННЕМ ПРИБЛИЖЕНИИ СТУПЕНЬКИ АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ . . . 417
Теорема 2. Для любой функции f ∈W rKV выполняется неравенство∥∥f −H2n−1/2(f)
∥∥
1
≤ CrK
ln(n+ 1)
nr+1
,
где величина Cr зависит только от r.
Доказательство. Поскольку для любого полинома Q2n−1/2 полуцелого по-
рядка 2n− 1/2 имеет место равенство
H2n−1/2(Q2n−1/2) = Q2n−1/2,
то, взяв в качестве Q2n−1/2 полином наилучшего приближения функции f и
использовав теорему А. Л. Гаркави [8] об одновременном приближении функции
и ее производных и лемму 3, получим∥∥f −H2n−1/2(f)
∥∥
1
≤ ‖f −Q2n−1/2‖1 +
∥∥H2n−1/2(f −Q2n−1/2)
∥∥
1
≤
≤ C1‖f −Q2n−1/2‖1 +
C2 ln(n+ 1)
n
‖f ′ −Q′2n−1/2‖1+
+
C3 ln(n+ 1)
n2
V 2π
0 (f ′ −Q′2n−1/2) ≤
≤ CrK
ln(n+ 1)
nr+1
.
Теорема доказана.
Оценка снизу односторонних приближений ступеньки алгебраическими
многочленами в среднем. Будем рассматривать приближения снизу (односто-
ронние приближения сверху рассматриваются аналогично). Пусть t1, t2, . . . , t2n
— узлы интерполирования, определяемые нулями полинома Лежандра: cos tk =
= xk, k = 1, 2, . . . , n, где xk — нули многочлена Лежандра Pn(x), записанные
в порядке убывания. Для k = 1, 2, . . . , n точки tn+k = 2π − tn−k+1. Посколь-
ку
∑2n
k=1
tk = 2πn, тригонометрический полином L2n(t) порядка 2n с коэффи-
циентом при cos 2nt, равным нулю, удовлетворяющим условиям L2n(tk) = yk,
L′2n(tk) = y′k, k = 1, 2, . . . , 2n, где yk и y′k, k = 1, 2, . . . , 2n, — заданные числа,
имеет вид (см. [5, с. 79, 80])
L2n(t) =
2n∑
k=1
ykck(t) +
2n∑
k=1
y′kdk(t).
Здесь
ck = l2k(t)(1− ω′′(tk)
ω′(tk)
sin(t− tk), dk = l2k(t) sin(t− tk),
lk(t)
ω(t)
2ω′(tk) sin(t− tk)/2
, ω(t) =
2n∏
j=1
sin(t− tj)
2
.
При этом коэффициент b2n при sin 2nt равен
1
24n
2n∑
k=1
1
ω′2(tk)
[
ω′′(tk)
ω′(tk)
yk − y′k
]
, где
ω′′(tk)
ω′(tk)
= −cos tk
sin tk
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 3
418 В. П. МОТОРНЫЙ, О. В. МОТОРНАЯ, П. К. НИТИЕМА
Построим полином L−2n−1(B1(tk − ∗); t) порядка 2n − 1, интерполирующий
ядро Бернулли B1(tk − t) и его производную в точках tj , j 6= k. В точке tk
положим L−2n−1(B1(tk − ∗); t) равным −π/2, а y′k выберем так, чтобы коэффици-
ент b2n был равен нулю. Очевидно, что в некоторой окрестности слева от точки
tk будет иметь место неравенство L−2n−1(B1(tk − ∗); t) < B1(tk − t). Посколь-
ку степень интерполяционного полинома не превышает 2n − 1, указанное нера-
венство будет выполняться всюду, за исключением точек tj . Аналогично опре-
делим полином L−2n−1(B1(tk + ∗); t) порядка 2n − 1, интерполирующий функ-
цию B1(tk + t) и ее производную в точках tj , j 6= k. В точке tk положим
L−2n−1(B1(tk + ∗); t) равным −π/2, а y′k выберем так, чтобы коэффициент b2n был
равен нулю. Имеет место неравенство L−2n−1(B1(tk + ∗); t) ≤ B1(tk + t). Так как
ηk(t) := (cos tk− cos t)0+ =
1
π
(B1(t+ tk) +B1(tk− t)) +
tk
π
, четный тригонометри-
ческий полином T2n−1(t) = L−2n−1(B1(tk −∗); t) +L−2n−1(B1(tk + ∗); t) +
tk
π
будет
интерполировать функцию ηk(t) в точках tj . Поскольку T2n−1(t) можно предста-
вить в виде T2n−1(t) = P2n−1,k(cos t), где P2n−1,k(x) — алгебраический многочлен
степени не выше 2n−1, алгебраический многочлен P2n−1,k(x) интерполирует сту-
пеньку (xk−x)0+ и ее производную в точках xj , j 6= k, а в точке xk P2n−1,k(xk) = 0.
При этом P2n−1,k(x) ≤ (xk − x)0+ для всех x ∈ [−1; 1].
Лемма 4. Многочлен P2n−1,k(x) является многочленом наилучшего односто-
роннего приближения снизу ступеньки (xk − x)0+ в пространстве L1.
Доказательство. Рассмотрим функционал Φg(f), определяемый функцией
1−
∑n
k=1
pkδ(x− xk) следующим образом:
Φg(f) =
1∫
−1
f(x)dx−
n∑
k=1
pkf(xk),
где числа pk определяют квадратурную формулу
∫ 1
−1
f(x)dx ≈
∑n
k=1
pkf(xk) наи-
высшей алгебраической точности (2n− 1) — квадратурную формулу Гаусса. Тогда
для любого многочлена Q2n−1(x) степени не выше 2n− 1 такого, что Q2n−1(x) ≤
≤ (xk − x)0+, в силу того, что функционал Φg(f) равен нулю на любом алгебраи-
ческом многочлене степени не выше 2n− 1, получаем
1∫
−1
[
(xk − x)0+ − P2n−1,k(x)
]
dx = Φg
(
(xk − x)0+ − P−2n−1,k(x)
)
=
= Φg((xk − x)0+ −Q2n−1(x) +Q2n−1(x)− P2n−1,k(x)) =
= Φg((xk − x)0+ −Q2n−1(x)) =
=
1∫
−1
[
(xk − x)0+ −Q2n−1(x)
]
dx−
n∑
i=1
pi((xk − xi)0+ −Q2n−1(xi)) ≤
≤
1∫
−1
[
(xk − x)0+ −Q2n−1(x)
]
dx. (29)
Лемма доказана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 3
ОБ ОДНОСТОРОННЕМ ПРИБЛИЖЕНИИ СТУПЕНЬКИ АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ . . . 419
Лемма 5. Для любого k выполняются неравенства
2π∫
0
B1(tk − t)− L−2n(B1(tk − ∗); t)
∣∣∣∣sin t− tk2
∣∣∣∣ dt ≤ C lnn
n2
, (30)
2π∫
0
B1(tk + t)− L−2n(B1(tk + ∗); t)
∣∣∣∣sin t+ tk
2
∣∣∣∣ dt ≤ C lnn
n2
. (31)
Доказательство. Полином L−2n−1(B1(tk−∗); t) sin
t− tk
2
полуцелого порядка
2n − 1
2
дважды интерполирует функцию B1(tk − t) sin
t− tk
2
в узлах tk, k =
= 1, 2, . . . , 2n. При этом
d
dt
(L−2n−1(B1(tk − ∗); t) sin
t− tk
2
∣∣∣∣
t
= tk = B1(−0). Так
как функция B1(tk − t) sin
t− tk
2
принадлежит классу W 1KV, в силу теоремы 2
имеет место неравенство (30). Аналогично доказывается соотношение (31).
Лемма доказана.
Следствие 2. Пусть tk ∈ (0, π). Тогда имеют место неравенства
0∫
−π
(
B1(tk − t)− L−2n−1(B1(tk − ∗); t)
)
dt ≤ C lnn
n2 sin tk
, (32)
π∫
0
(
B1(tk + t)− L−2n−1(B1(tk + ∗); t)
)
dt ≤ C lnn
n2 sin tk
. (33)
Доказательство. Действительно, используя теорему 2 и неравенство 2
∣∣ sin(t−
− tk)/2
∣∣ ≥ sin tk, выполняющееся для всех t из отрезка, по которому вычисляется
интеграл, получаем
0∫
−π
(
Br(tk − t)− L−2n−1(B1(tk − ∗); t)
)
dt ≤
≤ 2
0∫
−π
(
Br(tk − t)− L−2n−1(B1(tk − ∗); t)
) | sin(t− tk)/2|
sin tk
dt ≤
≤ 2
sin tk
2π∫
0
B1(tk − t)− L−2n(B1(tk − ∗); t)
∣∣∣∣sin t− tk2
∣∣∣∣ dt ≤ C lnn
n2 sin tk
.
Аналогично доказывается неравенство (33). В этом случае необходимо восполь-
зоваться неравенством 2| sin(t + tk)/2| ≥ sin tk, выполняющимся для всех t из
отрезка, по которому вычисляется интеграл в (33), и теоремой 2.
Теорема 3. Для любого tk ∈ (0, π) имеет место неравенство
E−2n−1
(
(cos tk − ∗)0+
)
1
≥ 2 suptB1(t) sin tk
n
− C ln(n+ 1)
n2
. (34)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 3
420 В. П. МОТОРНЫЙ, О. В. МОТОРНАЯ, П. К. НИТИЕМА
Доказательство. Имеем
E−2n−1
(
(cos tk − ∗)0+
)
1
=
1∫
−1
(
(cos tk − x)0+ − P2n−1,k(x)
)
dx =
=
π∫
0
[
(cos tk − cos t)0+ − P2n−1,k(cos t)
]
sin tdt =
=
1
π
∫ π
0
(
B1(t+ tk) +B1(tk − t)
)
− (L−2n−1(B1(tk + ∗); t)+
+L−2n−1
(
B1(tk − ∗); t)
)
sin tdt.
Легко проверить равенство
1
π
(
B1(t+ tk) +B1(tk − t)
)
−
−
(
L−2n−1(B1(tk + ∗); t) + L−2n−1(B1(tk − ∗); t)
)
sin t =
=
sin tk
π
(
−B1(t+ tk) +B1(tk − t)+
+L−2n−1(B1(tk + ∗); t)− L−2n−1(B1(tk − ∗); t)
)
−
− 1
π
(sin t− sin tk)
(
L−2n−1(B1(tk − ∗); t)−B1(tk − t)
)
+
+
1
π
(sin t+ sin tk)
(
B1(t+ tk)− L−2n−1(B1(tk + ∗); t)
)
. (35)
Используя равенство (35) и оценки (30), (31), получаем
1
π
π∫
0
(
B1(t+ tk) +B1(tk − t)
)
−
−
(
L−2n−1(B1(tk + ∗); t) + L−2n−1(B1(tk − ∗); t)
)
sin tdt ≥
≥ sin tk
π
π∫
0
(
−B1(t+ tk) +B1(tk − t)+
+L−2n−1(B1(tk + ∗); t)− L−2n−1(B1(tk − ∗); t)
)
dt− C lnn
n2
=
=
sin tk
π
π∫
−π
(B1(tk − t)− L−2n−1(B1(tk − ∗); t))dt −
−
0∫
−π
(B1(tk − t)− L−2n−1(B1(tk − ∗); t))dt +
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 3
ОБ ОДНОСТОРОННЕМ ПРИБЛИЖЕНИИ СТУПЕНЬКИ АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ . . . 421
+
π∫
0
(−B1(t+ tk) + L−2n−1(B1(tk + ∗); t))dt
− C lnn
n2
.
Поскольку
π∫
−π
(
B1(tk − t)− L−2n−1(B1(tk − ∗); t)
)
dt ≥ E−n (B1)1,
применяя к интегралам, содержащимся в круглых скобках, следствие 2, имеем
1
π
π∫
0
(
B1(t+ tk) +B1(tk − t)
)
−
−
(
L−2n−1(B1(tk + ∗); t) + L−2n−1(B1(tk − ∗); t)
)
sin tdt ≥
≥ sin tk
π
E−n (B1)1 −
C ln(n+ 1)
n2
. (36)
Из оценок (35), (36) следует (34).
Теорема доказана.
Чтобы доказать теорему 3 для любого числа a ∈ (−1; 1), следует использо-
вать утверждение, справедливое (см. [9]) для обычных наилучших приближений
усеченных степеней.
Лемма 6. Пусть xk = cos tk, k = 1, 2, . . . , n, — нули многочлена Лежандра.
Тогда имеют место неравенства
E−n
(
(a− x)r−1
+
)
1
> E−n
(
(xk0 − x)r−1
+
)
1
(
1− π
n+ 1
)
, (37)
если a ∈ (xk+1;xk), k = 1, 2, . . . , n, где k0 = k + 1, если a < 0, и k0 = k, если
a ≥ 0.
Доказательство. Пусть a < 0, z = 1 + a − xk+1 и Qn(x) — алгебраичес-
кий многочлен наилучшего приближения снизу усеченной степени (a − x)r−1
+ в
пространстве L1. Тогда
E−n
(
(a− x)r−1
+
)
1
=
1∫
−1
[
(a− x)r−1
+ −Qn(x)
]
dx =
=
z∫
−z
[(
a− u
z
)r−1
+
−Qn
(u
z
)] du
z
=
1
zr
z∫
−z
[
(az − u)r−1
+ − zr−1Qn
(u
z
)]
du.
Полагая u = x+ s, где s = za− xk+1, и используя неравенства z − s > 1 и s > 0,
получаем
E−n
(
(a− x)r−1
+
)
1
=
1
zr
z−s∫
−z−s
[
(az − x− s)r−1
+ − zr−1Qn
(
x+ s
z
)]
dx ≥
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 3
422 В. П. МОТОРНЫЙ, О. В. МОТОРНАЯ, П. К. НИТИЕМА
≥ 1
zr
1∫
−1
[
(xk+1 − x)r−1
+ − zr−1Qn
(
x+ s
z
)]
dx ≥
≥ 1
zr
E−n
(
(xk+1 − x)r−1
+
)
1
. (38)
Поскольку 1− (a− xk+1) > 1− (xk − xk+1) и в силу (11) xk − xk+1 < tk+1− tk <
<
2π
2n+ 1
, то
1
zr
> 1− (a− xk+1) > 1− π
n+ 1
. (39)
Из (38) и (39) следует (37) для a < 0. Случай a ≥ 0 рассматривается аналогично.
Лемма доказана.
1. Motornyi V. P., Pas’ko A. N. On the best one-sided approximation of some classes of differentiable
functions in L1 // East. J. Approxim. – 2004. – 10, № 1-2. – P. 159 – 169.
2. Моторный В. П., Пасько А. Н. Наилучшие одностороннее приближение усеченных степеней и
оценки погрешности квадратурных формул на некоторых классах функций // Вестн. Днепропетр.
нац. ун-та. Математика. – 2003. – № 8. – С. 74 – 80.
3. Моторный В. П., Моторная О. В. Об одностороннем приближении усеченных степеней алгебраи-
ческими многочленами в среднем // Тр. Мат. ин-та РАН. – 2005. – 248. – С. 185 – 193.
4. Натансон И. П. Конструктивная теория функций. – М.: Гостехиздат, 1949. – 688 с.
5. Турецкий А. Х. Теория интерполирования в задачах. – Минск: Вышэйш. шк., 1968. – 318 с.
6. Турецкий А. Х. Теория интерполирования в задачах. – Минск: Вышэйш. шк., 1977. – 256 с.
7. Сеге Г. Ортогональные ряды. – М.: Физматгиз, 1962.– 500 с.
8. Гаркави А. Л. О совместном приближении периодической функции и ее производных тригоно-
метрическими полиномами // Изв. АН СССР Сер. мат. – 1960. – 24. – С. 103 – 128.
9. Motornyi V. P., Nitiema P. C. On the best L1-approximation by polynomials of functions which are
fractional integrals of summa functions // East. J. Approxim. – 1994. – 2, № 4. – P. 409 – 425.
Получено 19.10.09
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 3
|
| id | umjimathkievua-article-2876 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:32:02Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/2c/30863931be49785068937c88bfd9b52c.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-28762020-03-18T19:39:19Z One-sided approximation of a step by algebraic polynomials in the mean Об одностороннем приближении ступеньки алгебраическими многочленами в среднем Motornaya, O. V. Motornyi, V. P. Nitiema, P. K. Моторная, О. В. Моторный, В. П. Нитиема, П. К. Моторная, О. В. Моторный, В. П. Нитиема, П. К. An asymptotically sharp estimate is obtained for the best one-sided approximation of a step by algebraic polynomials in the space $L_1$. Одержано асимптотично точну оцінку найкращого одностороннього наближення сходинки алгебраїчними многочленами у просторі $L_1$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2010-03-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2876 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 62 No. 3 (2010); 409–422 Український математичний журнал; Том 62 № 3 (2010); 409–422 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2876/2503 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2876/2504 Copyright (c) 2010 Motornaya O. V.; Motornyi V. P.; Nitiema P. K. |
| spellingShingle | Motornaya, O. V. Motornyi, V. P. Nitiema, P. K. Моторная, О. В. Моторный, В. П. Нитиема, П. К. Моторная, О. В. Моторный, В. П. Нитиема, П. К. One-sided approximation of a step by algebraic polynomials in the mean |
| title | One-sided approximation of a step by algebraic polynomials in the mean |
| title_alt | Об одностороннем приближении ступеньки алгебраическими многочленами в среднем |
| title_full | One-sided approximation of a step by algebraic polynomials in the mean |
| title_fullStr | One-sided approximation of a step by algebraic polynomials in the mean |
| title_full_unstemmed | One-sided approximation of a step by algebraic polynomials in the mean |
| title_short | One-sided approximation of a step by algebraic polynomials in the mean |
| title_sort | one-sided approximation of a step by algebraic polynomials in the mean |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2876 |
| work_keys_str_mv | AT motornayaov onesidedapproximationofastepbyalgebraicpolynomialsinthemean AT motornyivp onesidedapproximationofastepbyalgebraicpolynomialsinthemean AT nitiemapk onesidedapproximationofastepbyalgebraicpolynomialsinthemean AT motornaâov onesidedapproximationofastepbyalgebraicpolynomialsinthemean AT motornyjvp onesidedapproximationofastepbyalgebraicpolynomialsinthemean AT nitiemapk onesidedapproximationofastepbyalgebraicpolynomialsinthemean AT motornaâov onesidedapproximationofastepbyalgebraicpolynomialsinthemean AT motornyjvp onesidedapproximationofastepbyalgebraicpolynomialsinthemean AT nitiemapk onesidedapproximationofastepbyalgebraicpolynomialsinthemean AT motornayaov obodnostoronnempribliženiistupenʹkialgebraičeskimimnogočlenamivsrednem AT motornyivp obodnostoronnempribliženiistupenʹkialgebraičeskimimnogočlenamivsrednem AT nitiemapk obodnostoronnempribliženiistupenʹkialgebraičeskimimnogočlenamivsrednem AT motornaâov obodnostoronnempribliženiistupenʹkialgebraičeskimimnogočlenamivsrednem AT motornyjvp obodnostoronnempribliženiistupenʹkialgebraičeskimimnogočlenamivsrednem AT nitiemapk obodnostoronnempribliženiistupenʹkialgebraičeskimimnogočlenamivsrednem AT motornaâov obodnostoronnempribliženiistupenʹkialgebraičeskimimnogočlenamivsrednem AT motornyjvp obodnostoronnempribliženiistupenʹkialgebraičeskimimnogočlenamivsrednem AT nitiemapk obodnostoronnempribliženiistupenʹkialgebraičeskimimnogočlenamivsrednem |